Colégio Integrado Jaó.

Prof. Paulo.

MatrizesMatrizes Exemplos:

MatrizesMatrizes Definição: toda tabela de números dispostos em

linhas ou colunas.

Cada elemento da matriz é indicado por dois índices:

Formando assim um conjunto m x n (m por n) elementos dispostos em m linhas e n colunas onde aij é o elemento associado a i-ésima linha e j-ésima coluna.

Matrizes EspeciaisMatrizes Especiais Matriz-linha – matriz de tipo 1×n

Matriz-coluna – matriz de tipo m×1

Matriz-quadrada – matriz de tipo n×n ou de ordem n elementos principais = Aii diagonal principal tr(A) = traço de uma matriz quadrada = soma dos

elementos da diagonal principal

Matriz transposta obtém-se através da troca ordenada de linhas por

colunas (colunas por linhas) de uma matriz.

Matrizes EspeciaisMatrizes Especiais

Operações MatriciaisOperações Matriciais Igualdade de matrizes: duas matrizes

são iguais se e só se os elementos homólogos são iguais.

Elementos homólogos – elementos com índices iguais

Adição e subtração de Adição e subtração de matrizesmatrizes A adição ou subtração de duas matrizes é

uma matriz cujos elementos são iguais à soma dos elementos homólogos.

Multiplicação por um escalarMultiplicação por um escalar O produto de uma matriz por um escalar é

uma matriz que se obtém multiplicando o escalar por cada um dos elementos da matriz.

Multiplicação de MatrizesMultiplicação de Matrizes Considerem-se duas matrizes A e B tais

que o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. O produto das matrizes A e B é uma matriz P=A.B onde

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x3

3 x 3

=

2x 3

Multiplicação de matrizesMultiplicação de matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x3

3 x3

8

2x 3

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x3

3 x3

8

2x 3

12

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x3

3 x3

8

2x 3

12 15

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x3

3 x3

8

2x 3

12 15

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x3

3 x3

8

2x 3

12 15

15

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x3

3 x3

8

2x 3

12 15

15 29

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x3

3 x3

8

2x 3

12 15

15 29 27

PropriedadesPropriedades1. Em geral, AB ≠ BA, ou seja, não é comutativa.

2. Associatividade: (AB)C = A(BC).

3. α(AB) = (αA)B = A(αB), A(–B) = (–A)B = –(AB).

4. (A + B)C = AC + BC se A e B são m×n e C e n×p.

5. D(A + B) = DA + DB se A e B são m×n e D e p×m.

6. Elemento neutro da multiplicacao: AIn = ImA = A , em que Ip e a matriz identidade de ordem p.

CriptografiaCriptografia

Fundamentação Teórica

Criptografia

Kriptós:escondido,

oculto

Grápho:grafia

Introdução à CriptografiaIntrodução à Criptografia A Criptografia é a ciência que estuda as

formas de se escrever uma mensagem em código. Trata-se de um conjunto de técnicas que permitem tornar incompreensível uma mensagem originalmente escrita com clareza, de forma a permitir que apenas o destinatário a decifre e compreenda (Cavalcante, 2004).

A cifra de HillA cifra de Hill Método que se utiliza da Álgebra Linear

para codificar e decodificar uma mensagem através da multiplicação de matrizes.

Pré-requisito para Cifra de Hill• Matrizes• Multiplicação de Matrizes• Inversa de uma Matriz• Matriz Identidade

A cifra de HillA cifra de HillQuando uma mensagem esta codificadapor uma Matriz A2x2 , dizemos que se

trata deuma 2-Cifra de Hill.

A decodificação é feita multiplicando amensagem codificada pela inversa da

matrizcodificadora.

A cifra de HillA cifra de Hill Tabela de conversão de caracteres em

números.

Exemplo de codificação e Exemplo de codificação e decodificaçãodecodificaçãoTomemos a mensagem:

Tudo bem?e substituamos cada letra por um número,

de acordocom a tabela anterior.

T u d o b e m ?

59 21 4 15 0 2 5 13 94

Exemplo de codificação e Exemplo de codificação e decodificaçãodecodificação Montamos uma matriz 3x3 com os

números encontrados:59 21 4 15 0 2 5

13 94

Exemplo de codificação e Exemplo de codificação e decodificaçãodecodificaçãoUsaremos com chave a matriz:

Agora efetuamos a multiplicação da matriz chave pela

matriz texto.

Substituindo os valores da matriz pelos símbolos da tabela temos a

mensagem codificada:

Óuftm!em?