Colégio Pedro II - Aula 14 - Matemática 2014 - Circunferencia.pdf
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COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA 2014
PROFESSORES: MARIA HELENA / WALTER TADEU
AULA 14: Geometria Analtica
QUESTES - GABARITO
1. Escrever a equao da circunferncia cujo centro o ponto (3,5) e raio igual a 7.
Soluo. Forma reduzida: 495y3x 22 .
Forma geral: 015y10x6yx
04934y10x6yx4925y10y9x6x22
2222
.
2. Uma circunferncia tem um dimetro cujos extremos so A(2,3) e B(4,5), encontre sua equao.
Soluo. A medida do raio ser a metade da distncia entre os pontos A e B. O centro ter como coordenadas o ponto mdio entre os pontos A e B.
104y1x104y1x:Equao)iii
4,12
8,
2
2
2
53,
2
42)B,A(M:centro)ii
102
102
2
40
2
436
2
)2(6
2
)53()42(
2
)B,A(dr:raio)i
22222
2222
.
3. Determinar a equao da circunferncia cujo centro o ponto (7,6) e que passa pelo ponto (2,2).
Soluo. O ponto (2,2) pertence circunferncia. Logo, sua distncia ao centro a medida do raio da
circunferncia:
896y7x896y7x:Equao)ii896425)8(5)26()27(r:raio)i
22222
2222
.
4. Determinar a equao da circunferncia cujo centro o ponto P(2,4) e tangente ao eixo Y. Soluo. Se a circunferncia tangente ao eixo Y, ento a distncia horizontal do eixo abscissa do centro ser o raio. Isto , o raio vale 2.
44y2x24y2x:Equao 22222 .
5. Uma circunferncia tem seu centro no ponto (0,2) e tangente a reta 5x 12y + 2 = 0. Encontrar a equao desta circunferncia.
Soluo 1. O raio ser a medida da distncia entre o centro e a reta.
42yx22y0x:Equao)ii
213
26
169
26
14425
224
)12(5
2)2(12)0(5)r,p(d:raio)i
22222
22
.
Soluo 2. O ponto de tangncia satisfaz equao da reta e da circunferncia.
42yx22y0x:Equao)ii
2r4r100r250r251000r251044
0r25104.4160r25104).169.(4)52(0:Tangente
.0r25104y52y1690r25100y100y254y48y144
0r4y4y5
2y12
0r4y4yx
5
2y12x
r2y0x
02y12x5)i
22222
2222
222
22222
22
2
222222
.
-
6. A equao de uma circunferncia (x 3)2 + (y + 4)2 = 36. Mostrar que o ponto (2, 5) se encontra no interior da circunferncia e o ponto ( 4,1), no exterior.
Soluo. O raio da circunferncia vale 6 e centro (3, 4). Se o ponto for interior, sua distncia ao centro ser menor que o raio. Se for exterior sua distncia ao centro ser maior que o raio.
exterior6357526495)7()41()34(d:)1,4(Q)ii
eriorint6211)1()1()45()32(d:)5,2(P)i
2222
2222
.
7. Determinar a equao da circunferncia cujo raio 5 e cujo centro a interseo das retas cujas equaes so: 3x 2y 24 = 0 e 2x +7y + 9 = 0.
Soluo. Resolvendo o sistema, temos:
25)3y(6x:Equao)3,6(:Centro)ii
.63
18
3
)3(224x,Logo.3
25
75y75y25
27y21x6
48.y4x6
)3(9y7x2
)2(24y2x3)i
22
.
8. Uma corda da circunferncia x2 + y2 = 25 se encontra sobre a reta cuja equao x 7y + 25 = 0.
Encontrar o comprimento da corda. (Use 4,12 ). Soluo. A reta secante circunferncia. Encontrando os pontos de interseo, temos:
7)4,1.(525)corda(oCompriment
50149)43()34()Q,P(d)corda(oCompriment)4,3(Q
)3,4(P:sIntersee)ii
.325)4(7x4y
425)3(7x3y0)4y).(3y(
012y7y0600y350y50025y625y350y49
025y25y7025yx
25y7x
25yx
025y7x)i
22
2222
22
2222
.
9. Determinar a equao da circunferncia cujo centro se encontra sobre o eixo X e que passa pelos dois pontos (1,3) e (4,6).
Soluo. O centro da forma (c,0), pois sobre o eixo X a ordenada nula. As distncias dos pontos informados ao centro correspondem medida do raio.
45y)7x(:Equao)iii
534593696)03(71r:raio)ii
0,7centro,Logo.7c42c6101636c8c2
36cc8169cc21)06()c4()03()c1(
)06()c4()03()c1()06()c4(r
)03()c1(r)i
22
222
222
222
22
2222
22
22
.
10. A equao de uma circunferncia 4x2 + 4y2 16x + 20y + 25 = 0. Determine a equao da circunferncia concntrica e que tangente reta 5x 12y = 1.
Soluo. Circunferncias concntricas possuem o mesmo centro. A distncia do centro reta ser a medida do raio desta circunferncia tangente.
92
5y2x3
2
5y2x:Equao)iii
313
39
169
39
14425
13010
)12(5
12
512)2(5
)r,Centro(d:raio)ii
2
5,2:Centro4
2
5y)2x(0
4
25y5y44x4x
04
25y5x4yx025y20x16y4x4)i
2
22
2
2
22
2
222
2222
.
-
11. A equao de uma circunferncia x2 + y2 + 2x 2y 39 = 0. Determinar a equao da reta tangente a esta circunferncia no ponto (4,5).
Soluo. A equao da reta tangente perpendicular reta que passa pelo centro e pelo ponto de tangncia.
040x5y4ou104
x5y
10n40n4n42020n4
)4(55s)5,4(
n4
x5y:s
4
5
m
1mrs:)gente(tanreta
)iii
5
4
)1(4
15m:)ponto,centro(reta)ii
1,1:Centro
41)2y()2x(03911y2y11x2x039y2x2yx)i
r
s
r
222222
.
12. A reta r: 2x + 3y + k = 0 tangente circunferncia de equao x2 + y2 + 6x + 4y = 0. Determinar os valores da constante k.
Soluo. H dois valores possveis. Encontrando os pontos de tangncias, temos:
25k
1k
0)1k).(25k(025k24k025k24k0400k384k16
0k624k52400k240k360k12k).13.(4)20k6(0:Tangente
0k12ky)20k6(y13
0y16k12y36y4kky6y90y42
ky36y
4
kky6y9
0y4x6y2
ky3
0y4x6yx
2
ky3x0ky3x2
)i
222
2222
22
222222
2
2
22
.
13. A equao de uma circunferncia x2 + y2 8x 6y = 0. Determinar a equao da reta que passa pelo ponto P(11,4), e tangente a esta circunferncia (obs.: duas solues).
Soluo. Considere a equao da reta r: y = mx + n. Esta reta passa por P(11,4). Temos:
032y3x44412x4y33
4.114
3
x4y:)gente(tanreta
3
4m
049y4x33316x3y44
3.114
4
x3y:)gente(tanreta
4
3m
)iv
3
4
24
32
24
257m
4
3
24
18
24
257m
24
257
24
6257m
24
576497
)12.(2
)12).(12.(4)7()7(m012m7m12024m14m24
25m251m14m491m.51m71m.51m7
1m.51m71m.5m.111m451m
m.114)3()4.(mraio)r,centro(d)iii
5Raio
)3,4(Centro25)3y()4x(099y6y1616x8x0y6x8yx)ii
0m.114ymx:rm.114mxy:r
m.114nn)11.(m4r4,11
nmxy:r)i
2
1
2
22
222
222
22
2
222222
.
-
14. Considere a circunferncia de equao x2 + y2 = 5, determinar os valores de k para os quais as retas da famlia x 2y + k = 0:
a) interceptam a circunferncia em 2 pontos distintos; b) so tangentes a circunferncia;
c) no encontram a circunferncia.
Soluo. As condies so satisfeitas com o estudo do sinal do discriminante da equao do 2 grau que representa a interseo da reta com a circunferncia.
erseesint25k525k100k4100k40100k40
gentetan5kou5k25k100k4100k40100k40
erseointsem5kou5k25k100k4100k40100k40
)ii
100k4
100k20k16)5k).(5.(4)k4(05kky4y505ykky4y4
05yky205yx
ky2x
5yx
0ky2x)i
2222
2222
2222
2
222222222
22
2222
.
15. Determine p para que a circunferncia 2x2 + 2y2 8x 16y p = 0 seja tangente ao eixo Y.
Soluo. Para que seja tangente ao eixo Y, a medida do raio deve ser a distncia da abscissa do centro origem. Isto significa que a circunferncia tangente reta x = 0.
4)4y()2x(416y8y4x4x016y8y44x4x
016y8x4yx032y16x8y2x2:Equao
32p8
256p0p82560)p).(2.(4)16(0:Tangncia)ii
0py16y20x
0py16x8y2x2)i
222222
2222
2
222
.
16. Ache a equao da circunferncia que tem centro na reta de equao x 2y + 9 = 0 e que passa pelos pontos (1, 4) e (5,2)?
Soluo. Sejam (a,b) as coordenadas do centro da circunferncia. Como est sobre a reta x 2y + 9 = 0, ento satisfaz essa equao. Isto : a 2b + 9 = 0 => a 2b = 9. Os pontos (1, 4) e (5,2) satisfazem equao da circunferncia (x a)2 + (y b)2 = r2.
12b12a8bb429aa10bb817aa2
bb44aa1025bb816aa21r)b2()a5(
r)b4()a1(
2222
2222
222
222
.
Resolvendo o sistema com as equaes envolvendo as coordenas do centro, vem:
65)3y()3x(:)nciacircunfer(Equao
654916r)34()31(r)b4()a1(r:Raio)ii
312
36
12
)3(812b,Logo.3
14
42a42a14
54b1a6
12b12a8
)6(9b2a
12b12a8
22
2222222
.
-
17. (ITA) Considere o quadrado ABCD, de diagonal AC definida pelos pontos (1,1) e (3,4). Determine as coordenadas dos demais vrtices do quadrado.
Soluo 1. As distncias de AB e BC possuem as mesmas medidas.
Considerando B(x0, y0), temos:
1.Eq23y6x4
16y8y9x6x1y2y1x2x
4y3x1y1x
4y3x1y1x
00
0
2
00
2
00
2
00
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
22
0
2
0
22
0
2
0
.
O quadrado um polgono regular, logo inscritvel em uma circunferncia de centro no ponto mdio da diagonal e raio medindo a distncia de B (e D) reta que passa por A e C. O raio mede a metade da diagonal.
i) Clculo de rAB:
01x3y2ou2
1
2
x3y:r
2
1
2
31nn
2
)1(31r)1,1(
n2
x3y
2
3
13
14m
.
ii) Clculo d raio: 2
13
2
94
2
)14()13(R
22
.
iii) Calculando a distncia de B a rAB:
3.Eq2
131x3y2
2.Eq2
131x3y2
2
13
13
1x3y2
2
13)r,B(d
13
1x3y2
32
1x3y2)r,B(d
00
0000
00
22
00
.
iv) Relacionando as equaes (1 e 2) e (1 e 3), encontramos os outros vrtices do quadrado.
B:
2
3,
2
7.
2
3
6
9
6
1423
6
2
7.423
y,Logo
2
72
2
3x26
2
39x13
23x4y6
2
393x9y6
23x4y6
)3(2
131x3y2
0
00
00
00
00
00
.
D:
2
7,
2
1.
2
7
6
21
6
223
6
2
1.423
y,Logo
2
12
2
3x26
2
39x13
23x4y6
2
393x9y6
23x4y6
)3(2
131x3y2
0
00
00
00
00
00
.
Soluo 2. O vetor BA foi obtido pela rotao de 90 do vetor BC . Utilizando complexos, temos:
2
3,
2
7Bi
2
3
2
7
11
2i2i55
i1
i1.
i1
i25
i1
i25B4i3i1)i1(B
4i3ABiBCiABiBBiCiBA)BC(iBABC.iBA.
O vetor AD foi obtido pela rotao de 90 do vetor AB . Utilizando complexos, temos:
2
7,
2
1Di
2
5
2
1
2
1i
2
5i1ii
2
1
2
5i1Dii1i
2
3
2
7i1D
iABADAiBiAD)AB(iADAB.iAD.
-
18. (UERJ) Um disco metlico de centro O e dimetro AB = 4dm, utilizado na fabricao de determinada pea, representado pelo seguinte esquema: Calcule a distncia entre os pontos J e K.
Soluo. O raio da circunferncia centrada da origem vale 2dm. Os pontos J e K so as intersees das retas r e s com a circunferncia. A distncia pedida ser entre as abscissas de K (Kx) e de J (Jx).
Quadrante42
71x
k2
71x
4
722
4
282
4
2442x
4
)3).(2(442x03x2x2041x2xx4)1x(x
1xy1yx
4yx1yx:r0)1(1)1(y)1(x0
110
101
1yx
:s
Quadrante32
71x
J2
71x
4
722
4
282
4
2442x
4
)3).(2(442x03x2x2041x2xx4)1x(x
1xy1yx
4yx1yx:r0)1(1)1(y)1(x0
110
101
1yx
:r
2
x1
22222
22
2
x1
22222
22
.
A distncia : dm712
71
2
71
2
71
2
71kJ xx
.