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Coletânea de Problemas

ELECTROTECNIA TEÓRICA

Prof. Vítor Maló Machado

I.S.T., fevereiro de 2018

1

Índice:

1. Problemas de Campo Elétrico Estático 03

1.1. Problema CEE1 03





2. Problemas de Circuito Magnético e Lei da Indução 16

2.1. Problema CMLI1 16





3. Problemas de Circuitos - Regime Forçado Sinusoidal e Transitório 30

3.1. Problema CRST1 30




4. Problemas de Transformador – Circuito Magnético e Circuitos 42

4.1. Problema TC1 42





5. Problemas de Linha de Transmissão 59

5.1. Problema LT1 59







3

1. Problemas de Campo Elétrico Estático

1.1 – Problema CEE1

1 m

12,34 m

3,93 m

15 mm

k

o

h

d

r

l

h

d

ro

ar

1 2

0

Fig. 1

A Fig.1 representa um corte transversal de um sistema constituído por dois condutores

cilíndricos iguais (condutores 1 e 2), de raio r0, com comprimento l, à distância d um do

outro e à mesma distância h de um condutor plano (condutor 0). O dielétrico que envolve

os condutores é o ar cujo campo elétrico de disrupção, nas condições atmosféricas em

presença, se considera 20 kV/cm. Considere a aproximação de condutores finos.

1) Por aplicação do método das imagens, calcule a matriz dos coeficientes de potencial

[S] do sistema de condutores, tomando o condutor 0 como referência.

2) Determine a matriz dos coeficientes de capacidade. Verifique que os elementos

C11=8nF e 12C =2nF.

3) Determine o esquema equivalente de capacidades parciais.

4) Considere que, com o sistema descarregado, liga um gerador que impõe a tensão de

100 kV entre o condutor 1 e o condutor de referência, mantendo o condutor 2 isolado

(Q2=0). Após o estabelecimento do equilíbrio eletrostático, determine a tensão do

condutor 2 e a carga do condutor 1. Determine ainda a parte da carga complementar

do condutor 1 que está no condutor 2. Faça o esboço das linhas do campo elétrico.

Determine a energia elétrica armazenada.

5) Em seguida liga-se o condutor 2 ao condutor 0 através de um condutor de ligação,

mantendo-se ligado o gerador que impõe a tensão do condutor 1. Determine as novas

cargas dos condutores, após o estabelecimento do novo estado de equilíbrio.

Determine a nova energia elétrica armazenada. Existe dissipação de energia por

efeito de Joule na transição do estado de equilíbrio de 4) e este novo? Justifique

qualitativamente. Comente o facto da energia elétrica ser superior à de 4).

6) Determine, para a pior situação, o valor aproximado do campo elétrico máximo.

Comente o resultado.

4

Resultados:

1)

-1

-1

F

F

8

11 22

8

12 21

S S 1.333 10

S S 0.333 10

2)

(nF)1 8 2

C S2 8

3)

nF

nF

10 20 11 12

12 12

C C C C 6

C C 2

4)

kV,

kV

1 2

2

1

U 100 Q 0

U 25

Q 750 C

Parte da carga complementar de Q1 que está no condutor 2 = C150

Esboço das linhas do campo elétrico:

1 2 + +

+ +

+

E

+

JeW 37,5

5)

kV,

C

C

J

1 2

1

2

e

U 100 U 0

Q 800

Q 200

W 40

Existe energia dissipada por efeito de Joule entre os dois estados de equilíbrio, quer

através da ligação do gerador quer através da ligação entre os condutores 2 e 0, em

consequência do rearranjo das cargas elétricas dos condutores. Assim, o aumento da

energia elétrica armazenada é feita à custa do gerador.

6) A pior situação é para C1Q 800 (situação da alínea 5)). Assim,

kV/cmmax dE 9,6 E

5

1.2 – Problema CEE2

1

1 m

10 cm

5 mm

k

30 kVcm

o

dE

h

r

l

h

ro ar

h

U P

r1

r2

Fig. 1

A Fig.1 representa o corte transversal de um sistema de comprimento l constituído por

um condutor cilíndrico de raio r0 à distância h de um condutor plano. O sistema encontra-

se mergulhado no ar seco considerando-se para a constante dielétrica 0 e para o

campo elétrico de disrupção o valor de Ed dado.

1) Justifique, com base nas equações fundamentais e por aplicação do princípio da

sobreposição – método das imagens – que o potencial escalar do campo elétrico num

ponto P, colocado como se indica na figura, é 2 1 0ln( / ) /(2 )PV Q r r l . Considere

nulo o potencial do condutor plano e que o condutor cilíndrico é fino (r0<<h). Q é a

carga elétrica do condutor cilíndrico.

2) Com base na alínea anterior, estabeleça a expressão da capacidade do condensador e

verifique que o seu valor é C=15,1 nF.

3) Considere que se liga um gerador de tensão U=10 kV entre os dois condutores.

Determine a carga elétrica do condutor cilíndrico após o estabelecimento do

equilíbrio eletrostático. Preveja justificadamente o valor do campo elétrico máximo

indicando a sua localização. Comente o resultado referindo-se à possibilidade de

existência de disrupção do ar.

4) Após o estabelecimento do estado da alínea anterior, desliga-se o gerador e ligam-se

os dois condutores através de um condutor de resistência R. Calcule a energia

dissipada por efeito de Joule durante o processo de descarga do condensador.

5) Determine a força de natureza elétrica que atua sobre o condutor cilíndrico nas

condições da alínea 3).

6

Resultados:

1) A solução de uma distribuição filiforme com carga Q e comprimento l é dada por:

0

0

ln2

rQV

l r

em que r e r0 são as distâncias da distribuição filiforme de carga ao ponto P e ao

ponto de potencial nulo, respetivamente. Por aplicação do princípio da sobreposição,

então a solução vem com a forma dada no enunciado, em que os pontos de potencial

nulo estão localizados no plano condutor.

2) Considerando a tensão U como o potencial num ponto sobre a superfície do condutor

cilíndrico, então

0

0

215 1 nF

2

lQC ,

U hln

r

3)

-1

0 151mC

5 44 kVcmmax d

Q ,

E , E

O campo máximo encontra-se sobre a superfície do condutor cilíndrico no ponto mais

próximo do condutor plano.

4)

0,76JJ eW W

5)

2,05 NhF

7

1.3 - Problema CEE3

r2

(a) (b)

2 1

U1 U2

Q1 Q2

10C 20C

110 20;2,5 0,2

1

r C C F

l km

r1

1r

S

R

1

2

0

0

2r

Fig. 1

A Fig.1-a) representa um corte transversal de um sistema constituído por três condutores

coaxiais. São dados os valores das capacidades parciais, conforme o esquema equivalente

indicado na Fig.1-b). Conhece-se a constante dielétrica relativa do dielétrico 1, r1, entre

os condutores 1 e 0. É dado o comprimento l do sistema de condutores.

1) Verifique justificadamente que o esquema equivalente de capacidades parciais tem a

configuração que se indica na Fig.1-b).

2) Determine a matriz dos coeficientes de capacidade.

3) Considere o sistema inicialmente descarregado. Em seguida ligou-se um gerador de

tensão de 100 kV entre os condutores 1 e 2, mantendo-se o condutor 0 isolado

(interruptor S aberto). Determine a carga elétrica dos condutores, bem como as

tensões dos condutores 1 e 2 relativas ao condutor 0, U1 e U2. Determine a energia

elétrica armazenada.

4) Em seguida, desligou-se o gerador entre os condutores 1 e 2 e fecha-se o interruptor

S, ligando-se, assim, os condutores 2 e 0 através da resistência R. Determine as novas

cargas dos condutores bem como as novas tensões U1 e U2 após o estabelecimento

do novo estado de equilíbrio eletrostático.

5) Calcule a energia dissipada por efeito de Joule na resistência R entre os estados de

equilíbrio descritos em 3) e 4).

6) Determine o raio do condutor interior, r1, de modo que o campo elétrico máximo na

situação da alínea 4) não exceda 10% do campo de disrupção do dielétrico 1 de

constante dielétrica relativa r1, Ed=200 kV/cm. Determine o raio interior do condutor

0, r2.

8

Resultados:

1) Em consequência do condutor 0 envolver completamente o condutor 1, tem-se:

12 1 10 1 2 20 2ˆ ˆ ˆC 0 , Q C U , Q C U .

2)

F F11

11 10 22 20

22

C 0 ˆ ˆC , C C 0,2 , C C 0,20 C

3)

1kV , Q mC1 2 2

e

U U 50 Q 10

W 500 J

4)

mC, kV

mC

2 2

1 1

0 1

U 0, Q 0

Q 10 U 50

Q Q 10

5) Nova energia elétrica: JeW 250

Energia dissipada por efeito de Joule: JJW 250

6)

-1 Vm cm6

max 1E 2 10 r 3,6

F cm6

10 2C 0,2 10 r 7,2

9

1.4 - Problema CEE4

o

(a) (b) 0

Q1 Q2 1 2

U1 U2

1 2

10C

12C

20C

0

Fig. 1

A Fig. 1-a) representa um corte transversal de um sistema de multicondutores onde os

condutores 1 e 2 são iguais e estão localizados à mesma distância do condutor 0. O

esquema equivalente de capacidades parciais está indicado na Fig. 1-b).

1) Aplica-se o modo simétrico ao sistema, isto é, a tensão é imposta entre os condutores

1 e 2 ligados entre si e o condutor 0: U=U1=U2=1 V. Mediu-se a carga elétrica

equivalente do condensador assim formado: Q=Q1+Q2=6 nC. Verifique que a

capacidade equivalente do condensador é dada pela associação paralelo de e 10 20ˆ ˆC C

, tendo em conta o esquema equivalente da Fig. 1-b) e determine os respetivos

valores.

2) Aplica-se, agora, o modo anti-simétrico, isto é, U=U1-U2=1 V com Q0=0. Mediu-se

a carga elétrica equivalente do condensador assim constituído: Q=Q1= 3,5 nC.

Verifique que a capacidade equivalente do condensador é dada pela associação

paralelo entre 12C e a associação série de

10C com 20C , tendo em conta a Fig.1-b).

Determine o valor de 12C .

3) Determine a matriz dos coeficientes de capacidade do sistema.

4) Considere que, com o sistema descarregado, se liga um gerador que impõe a tensão

de 1 V entre o condutor 1 e o condutor 0, mantendo o condutor 2 isolado (Q2=0).

Após o estabelecimento do equilíbrio eletrostático, determine a tensão do condutor

2, U2 e a carga do condutor 1, Q1. Faça o esboço das linhas do campo elétrico.

Determine a energia elétrica armazenada.

5) Em seguida desliga-se a fonte de tensão que impôs a tensão de 1 V entre os

condutores 1 e 0 e liga-se o condutor 2 ao condutor 0 através de um condutor de

ligação. Determine a nova tensão do condutor 1, U1 e a nova carga do condutor 2,

Q2. Determine a nova energia elétrica armazenada. Comente o facto da energia

elétrica ser inferior à de 4).

6) Como poderia descarregar completamente o sistema? Determine a energia dissipada

por efeito de Joule durante esse processo de descarga.

10

Resultados:

1)

nF nFeq 10 20 10 10 20ˆ ˆ ˆ ˆ ˆC 6 c c 2c c c 3

2)

nF= nF10 20 10eq 12 21 12

10 20

ˆ ˆ ˆc c cˆ ˆ ˆC 3,5 c c c 2

ˆ ˆc c 2

3)

nF

nF

11 22 10 12

12 21 12

ˆ ˆc c c c 5

ˆc c c 2

4)

V,

V, n

1 2

2 1

U 1 Q 0

U 0,4 Q 4,2 C

Esboço das linhas do campo elétrico:

o

1 2

nJeW 2,1

5)

nC,

V, nC

nJ

1 2

1 2

e

Q 4,2 U 0

U 0,84 Q 1,68

W 1,764

Existe energia dissipada por efeito de Joule entre os dois estados de equilíbrio através

da ligação entre os condutores 2 e 0, dada por

nJJ e eW W W 0,336 0

6)

Ligam-se os condutores 1 e 0. A energia dissipada por efeito de Joule é

nJJ eW W 1,764 .

11

1.5 - Problema CEE5

Considere o cabo bifilar com bainha representado na Fig. 1 de comprimento l=1 km. Os

condutores cilíndricos 1 e 2 são iguais de raio r1=2 mm e estão dispostos à distância 2d=2

cm um do outro, simetricamente colocados em relação à bainha (condutor 0) cilíndrica

oca de raio interior r0=2 cm. O dielétrico do cabo tem constante dielétrica relativa r=2,3.

1 2

ro

r1

d d

0

Fig. 1 – Corte transversal de um cabo bifilar com bainha.

1) Ligou-se um gerador de tensão elétrica U1=1 kV entre os condutores 1 e 0, mantendo-

se o condutor 2 isolado. Após o estabelecimento do equilíbrio eletrostático, mediu-se

o módulo da carga elétrica do condutor 1, 63,65μC1Q e a tensão U2=107,2 V entre

os condutores 2 e 0. Faça o esboço das linhas do campo elétrico. Determine a matriz

dos coeficientes de potencial do sistema. Determine a energia elétrica armazenada.

2) Determine a matriz dos coeficientes de capacidade. Determine o esquema equivalente

de capacidades parciais.

3) Com base nas dimensões e nas propriedades do cabo, por aplicação do método das

imagens, verifique o resultado anterior da matriz dos coeficientes de potencial.

Justifique indicando as aproximações usadas.

4) Após o estado de equilíbrio de 1), desliga-se o gerador que impôs a tensão U1. Indique

as alterações ao sistema. Depois ligou-se o condutor 2 ao condutor 0 através de uma

resistência R. Determine para o novo equilíbrio, a tensão U1 e carga Q2. Determine a

nova energia elétrica armazenada e a energia dissipada por efeito de Joule na

resistência R.

12

Resultados Numéricos:

1)

-1

e(MF ) W mJ15,71 1,684

S 31,8251,684 15,71

Estes resultados foram confirmados com recurso a um programa de cálculo baseado

no método multipolar [1] com consideração do efeito de proximidade.

2)

(nF)64,4 6,9

C6,93 64,4

nF

nF

10 20

12

ˆ ˆc c 57,5

c 6 ,9

3)

-1(MF )15,77 1,746

S1,746 15,77

4)

V

μC

m J , m J

1

2

e J e e

U 988,35

Q 6,82

W 31,454 W W W 0,371

Nota à resolução da alínea 3)

O problema de dois condutores cilíndricos finos envolvidos por uma bainha também

cilíndrica pode ser estudado à custa de um sistema constituído pela bainha (condutor 0) e

apenas por um dos condutores cilíndricos interiores, por exemplo o condutor 1 (ver

Fig. 2), pois, na aproximação de condutores finos, se a carga de um dos condutores

interiores, por exemplo o condutor 2, for nula então o campo elétrico sofre uma pequena

perturbação desprezável face ao campo elétrico na ausência desse condutor 2.

O problema de dois condutores descentrados, um dentro do outro, pode ser estudado pelo

método das imagens à custa de duas distribuições filiformes equivalentes de cargas

simétricas (+Q1 e –Q1) dispostas simetricamente relativamente a um plano de simetria

tomado como referência dos potenciais (ver Fig. 2).

O potencial VP no ponto P à distância 1 da carga +Q1 e à distância 2 da carga –Q1 é

dado por (2.30) de [2]:

1 2P V V

1

QV ln K , K

2

(1)

13

Fig. 2

Cada superfície equipotencial é uma superfície cilíndrica caracterizada por um

determinado valor de KV, definida pela localização do seu centro xc e do seu raio dados

por (2.33) de [2]:

2

Vc 2

V

V

2

V

K 1x a

K 1

2Ka

K 1

(2)

Assim, para a equipotencial coincidente com a superfície interior do condutor 0 (bainha)

de potencial V0 de valor dado por (1):

10 0

QV ln K

2 (3)

obtém-se resolvendo o sistema de equações (2) e atendendo à Fig. 2:

2 2 2

0 0

2

0 00

0 0

x a r

x xK 1 1

r r

(4)

Para a equipotencial coincidente com a superfície do condutor cilíndrico 1 de potencial

V1 de valor dado por (1):

11 1

QV ln K

2 (5)

obtém-se de (2) (ver Fig. 2):

ro

d

+Q1

xo

x1

d a a

r1

1

P

2

-Q1

Posição do conductor 2

(ausente)

Plano de simetria (V=0)

Cargas filiformes

equivalentes

conductor 1

conductor 0

14

2 2 2

1 1

2

1 11

1 1

x a r

x xK 1 1

r r

(6)

Note-se que x0 e x1 não são dados do problema, assim como a localização das cargas

filiformes equivalentes definida por a. Todavia, a distância entre os centros das

equipotenciais d:

0 1d x x (7)

é um dado do problema. Assim, o sistema de equações constituído pelas primeiras

equações de (4) e (5):

2 2 2

1 0

2 2 2

1 1

x d a r

x a r

(8)

permite a determinação de x1 e a à custa de r0, r1 e d. Para a aproximação de condutores

finos (r1<<a), obtém-se de (8):

cm2 2

01 1

r dx a 1,5 r

2d

(9)

Pelo que:

2 2

01

1 1

2 2

0 0

0 0

r dx

r 2dr

x r d

r 2dr

(10)

Tendo em conta (10) e as segundas equações de (4) e (6), obtém-se:

2 2

01

1

00

0

r dK

dr

rK

d

(11)

Finalmente atendendo a (3) e (5), a tensão U1=V1-V0 é dada por:

2 2

011

0 1

r dQU ln

2 r r

(12)

O potencial do condutor 2 é o potencial do ponto de localização do condutor 2 o que tendo

em conta (1) permite obter:

1 1 1 12

1

Q 2d ( x a ) Q d xV ln ln

2 2d ( x a ) 2 d

(13)

A tensão U2=V2-V0 vem assim dada por:

15

1 12

0

Q d xU ln

2 r

(14)

Deste modo, para os coeficientes de potencial obtém-se de (12) e (14), e, atendendo à

simetria geométrica:

2

2 2

0111 22

1 0 1Q 0

r dU 1S ln S

Q 2 r r

(15)

e

2

2 121 12

1 0Q 0

U d x1S ln S

Q 2 r

. (16)

Referências:

[1] J. F. Borges da Silva, The electrostatic field problem of stranded and bundle

conductors solved by the multipole method, Electricidade 142 (1979) 1-11.

[2] J.A. Brandão Faria, Electromagnetic Foundations of Electrical Engineering, Wiley &

Sons, UK, August 2008, ISBN 978-0-470-72709-6.

16

2. Problemas de Circuito Magnético e Lei da Indução

2.1 – Problema CMLI1

i1 (A)

1

10 t (ms)

(a) (b)

i1

N2

u1

u2

i2

S

N1 S

r1

r2

r

0

Fig. 1

I

Considere o circuito magnético representado na Fig. 1, constituído por um núcleo toroidal

de permeabilidade magnética relativa, r=100, com raio interior r1=2 cm, raio exterior

r2=3,3 cm e profundidade a=2 cm. Em torno do núcleo existem dois enrolamentos de

número de espiras respetivamente N1=1000 e N2=500 e percorridos pelas correntes i1 e i2,

consideradas estacionárias. Considere que para a hipótese usual – desprezo da dispersão

– o campo de indução magnética na peça toroidal é inversamente proporcional a r: B=/r.

1) Determine a expressão de em função das correntes i1 e i2, por aplicação da lei de

Ampère.

2) Determine a expressão do fluxo de indução magnética, , através de uma secção reta

do núcleo, S, tendo em conta que o campo de indução magnética não é uniforme no

núcleo. Calcule o valor de para i1=1 A, considerando o enrolamento 2 em aberto

(i2=0).

3) Determine a expressão e o valor numérico da relutância magnética do núcleo. Avalie

o erro no cálculo da relutância magnética decorrente da aproximação de campo

uniforme no núcleo.

4) Determine a expressão do fluxo ligado com cada enrolamento, 1 e 2, em função

das correntes i1 e i2. Quais os seus valores para a situação descrita na alínea 2).

Determine os valores dos coeficientes de indução do sistema constituído pelos dois

enrolamentos, L11, LM e L22, verificando que o coeficiente de autoindução do

enrolamento 1 é L11=0,2 H. Qual o valor do fator de ligação magnética? Comente o

resultado.

5) Determine a energia magnética para a situação descrita na alínea 2).

17

II

Considere o circuito magnético representado na Fig. 1, onde a corrente que percorre o

enrolamento 1 tem o andamento temporal indicado na Fig. 1 – b). A resistência do

enrolamento 1 é r1=20 e a resistência do enrolamento 2 é desprezável.

1) Escreva, por aplicação da lei da indução, as equações que permitem exprimir as

tensões u1 e u2 em função das correntes i1 e i2.

2) Determine o andamento temporal e faça a respetiva representação gráfica das tensões

u1 e u2 na situação em que o interruptor S está em aberto.

3) Determine o andamento temporal e faça a respetiva representação gráfica de u1 e i2

na situação em que o interruptor S está fechado.

Resultados:

I

1)

1 1 2 2 1 1 2 2H 2 r N i N i , B H , ( N i N i )

2

2)

Tm , mWb

2

1

r

2 1

r

2

adr a ln( r / r )r

2 10 0,2

3)

-1

-1

H

Cálculo aproximado: H (erro de 2%)

cm

6

m

2 1

6

m

2 1

2 1

Fmm 2R 5 10

a ln( r / r )

2 rR 5,1 10

a( r r )

r rr 2,65

2

4)

Wb , Wb

H

H

H , (ligação magnética perfeita)

1 2

11

M

22

0,2 0,1

L 0,2

L 0,1

L 0,05 k 1

18

5)

J2 2

m 11 1

V

1 1 1W B dV L i 0,1

2 2

II

1)

1 21 1 1 11 M

1 22 M 22

di diu r i L L

dt dt

di diu L L

dt dt

2)

-1Vs V

V

11 1 1 11

12 M

3

1

2

diu r i L

dt

diu L

dt

u t U , 2 10 , U 200 t 10 ms :

u 10

3)

-1e Vs3M 112 1 1 1 1 1 1

22 M

L Li i i 2i u r i t , 2 10

L L

19


(b) (a)

S

1 2 3

i2 i3

u1 u2 u3

S S

R

225 cm

1 mm

691espiras

75

S

N

R

i1

i1 (A)

1

10 t (ms)

N

Fig. 1

Considere o circuito magnético representado na Fig.1-a), onde se desprezam as

relutâncias magnéticas das peças de ferro (a sombreado). Os três entreferros de ar são

todos iguais com secção reta S e espessura . Os três enrolamentos são todos iguais com

N número de espiras e resistência desprezável. Despreza-se a dispersão. O enrolamento

percorrido pela corrente i1 está ligado em série a uma resistência R.

1) Calcule a relutância magnética dos entreferros. Comente as aproximações usadas.

2) Por aplicação das leis fundamentais, estabeleça as equações que permitem o cálculo

dos fluxos 1, 2 e indicados na figura em função das correntes i1, i2 e i3.

3) Calcule esses fluxos 1, 2 e para a situação em que os enrolamentos 2 e 3 estão

em aberto (i2=i3=0) impondo i1=1 A.

4) Determine os campos de indução magnética B e intensidade do campo magnético H

nos entreferros.

5) Relacione os fluxos ligados com cada enrolamento, 1, 2 e 3 com os fluxos através

das secções retas das peças verticais 1, 2 e Determine os valores de 1, 2 e 3

para a situação da alínea 3). Determine os elementos da coluna 1 da matriz dos

coeficientes de indução [L] do sistema constituído pelos três enrolamentos,

verificando que L11=1 H e 21 31 11 / 2L L L . Determine, recorrendo às simetrias do

problema os restantes elementos da matriz dos coeficientes de indução.

6) Determine a energia magnética armazenada e a sua repartição espacial para a situação

da alínea 3).

7) Considere agora que as correntes i1, i2 e i3 são variáveis no tempo. Tendo em conta a

relação entre fluxos ligados e correntes imposta pela matriz [L] e a lei de indução de

Faraday, exprima as tensões u1, u2 e u3 em função das correntes.

8) Considere que i1(t) tem o andamento indicado na Fig.1-b), que o enrolamento 2 está

em aberto (i2=0) e que o enrolamento 3 está em curto-circuito (u3=0). Verifique que

3=0. Determine i3. Determine as tensões u1(t) e u2(t) e represente o respetivo

andamento temporal.

20

Resultados:

1) -1 H5

mR 3,183 10

2)

1 2

1 2

m

2 3

2 3

m

1 2 3

N i i

R

N i i

R

0

3)

2

mWb

mWb

1

3

1,45

0,72

4)

-1

-1

T kAm

T kAm

1 1

2 3 2 3

B 0,58 H 461

B B 0,29 H H 230

5)

Wb H

Wb H

Wb H

1 11

112 21

113 31

1 L 1

L0,5 L 0,5

2

L0,5 L 0,5

2

p M M

11M p M p 11 M 21 31

M M p

L L LL

L L L , L L , L L L2

L L L

6)

J2 2

21 2m 11 1

0 0

B B1 1 1W S 2 S L i 0,5

2 2 2

21

7)

11 1

322 2 3 3

j k

i p i M j M k p i

du Ri

dt

ddu ( r 0 ) , u ( r 0 )

dt dt

i iL i L i L i L i , i, j ,k 1,2,3

2

8)

M3 3 3 1 1

p

31 1 11 1 p M 1 p M 1 p

31 1 12 M M M p

L 1u 0 0 i i i

L 2

didi di di1 3u Ri L L Ri L L Ri L

dt dt 2 dt 4 dt

didi di di3 3u L L L L

dt dt 2 dt 4 dt

(V)

75

10 t (ms)

75

u2

u1

Ri1

13

4p

diL

dt

22


2

5 -1

-1

15,9 cm

10 H

1 mm

4 cm

1 A

600 espiras

30 ms

m

S

R

a

I

N

v

v

ua a

ia

x

v

0

N

I

S

v

Fig. 1

A Fig.1 representa um circuito magnético onde se despreza a dispersão e a relutância

magnética das peças a sombreado. A secção retangular S dada é constante ao longo do

circuito magnético. A peça não sombreada tem relutância magnética Rm dada. O

entreferro de ar tem espessura . A espira retangular em aberto que abraça o entreferro,

de profundidade a dada, está também representada de topo na Fig. 1. O enrolamento de

N espiras é percorrido pela corrente I estacionária.

1) Calcule a relutância magnética do entreferro de ar. Justifique indicando as

aproximações que considerou.

2) O fluxo é constante ao longo do circuito magnético? Justifique. Determine o seu

valor por aplicação da lei de Ampère.

3) Determine o fluxo ligado com o enrolamento de N espiras e com a espira retangular

colocada na posição x=0 (posição indicada na Fig. 1). Verifique que o coeficiente de

autoindução do enrolamento e o coeficiente de indução mútua entre o enrolamento e

a espira têm, respetivamente os valores de L=0,6 H e LM=1 mH. Qual o valor do fator

de ligação magnética? Justifique.

4) Determine o campo de indução magnética B em todos os troços do circuito magnético

e a intensidade do campo magnético H no entreferro de ar.

5) Determine a energia magnética armazenada. Determine a energia magnética

armazenada na peça não sombreada.

23

6) Considere agora que a espira retangular se move com a velocidade v, constante no

tempo, dada na figura, a partir da posição x=0 em t=0 (espira alinhada com a

superfície interior do circuito magnético). Determine e represente graficamente o

andamento temporal da tensão ua(t) aos terminais da espira.

Resultados:

1)

-1H5

marR 5 10

2)

-1H

mWb

5

mt m mar

mt

R R R 6 10

R NI 1

3)

enrolamento

espira

Wb H

mWb mHM

0,6 L 0,6

1 L 1

k=1, ligação magnética perfeita, ausência de dispersão.

4)

-1T kAmarB 0,63 H 500

5)

J

J J

mt

mar m mt mar

W 0,3

W 0,25 W W W 0,05

6)

ms

ms

ms

ms

v v a

espira

espira

a

SE Bv e Bva u 0 t 1,325

av

S( S / a x )Ba 0 t 1,325

av

SBva 0,76V 0 t 1,325

d avu

Sdt0 t 0 t 1,325

av

24


N2 r1

N1

Sn

1 2

1

16 cm

3,99 cm

1 mm

2 1500 esp.

1,5

l

w

N N

r

0

x

l

l w w

w

Sa

u2 u1

i2=0 i1

r=560

Rm0

i1

t T=1s

IM=1A

(a) (b)

Fig. 1

Considere o circuito magnético representado na Fig.1-a). Despreza-se a dispersão e a

relutância magnética da peça a sombreado. O núcleo (peça não sombreada) tem

permeabilidade magnética relativa r dada. A secção Sn é uniforme ao longo do núcleo e

tem secção reta quadrangular, Sn=w2. A secção da armadura (peça a sombreado) é também

uniforme ao longo da peça e tem-se Sa=2Sn/3. O enrolamento 1 tem resistência r1 e N1

espiras e considera-se percorrido pela corrente estacionária i1=IM=1 A nas condições das

alíneas 1) até à alínea 5). O enrolamento 2 tem N2=N1/2 espiras e está em aberto (i2=0).

1) Por aplicação da lei do circuito magnético (lei de Ampère), calcule o fluxo de indução

magnética através de uma secção reta do circuito magnético. Indique as

aproximações usadas.

2) Calcule a indução magnética B e a intensidade do campo magnético H nos diferentes

troços do circuito magnético.

3) Relacione os fluxos ligados com cada enrolamento, 1 e 2 com o fluxo Determine

os valores de 1 e 2. Determine os coeficientes de indução do sistema de dois

enrolamentos.

4) Determine a repartição espacial da energia magnética armazenada e, a partir da

energia, verifique o valor de L11.

5) Determine a força de natureza magnética a que está sujeita a peça a sombreado.

6) Por aplicação da lei da indução (lei de Faraday), exprima as tensões u1 e u2 em função

das correntes i1 e i2.

25

7) Considere que i1(t) tem o andamento temporal indicado na Fig.1-b) e que o

enrolamento 2 se mantem em aberto (i2=0). Determine as tensões u1(t) e u2(t) e

represente o respetivo andamento temporal.

Resultados:

1) Para campos uniformes em cada troço do circuito magnético:

-1 -1

-1

H H

H

mWb

6 6

mn m0

r 0 n 0 n

6

m mn m0

1 1m 1 1 2 2

m

3l 2w 2R 0,5 10 , R 10

S S

R R R 1,5 10

N iR N i N i 1

R

2)

-1

-1

T Am

T kAm

T ,

nn n

n r 0

200 n 0

0

a a

a

BB 0,63 H 893

S

BB B 0,63 H 5 10

B 0,945 H 0S

3)

Wb H

Wb H

H

2

2

2

1 11 1 11

1 mi 0

2 1 2 112 2 M

1 mi 0

2

M22

11

NN 1,5 L 1,5

i R

N N LN 0,75 L 0,75

i R 2

Lk 1 L 0,375

L

4)

J

H

m 0 0 n n n n

2

11 1 11

1 1W B H 2 S B H ( 3l 2w )S 0,75

2 2

1L i L 1,5

2

5)

NxF 501,5

26

6)

1 1 21 1 1 1 1 11 M

2 1 22 2 2 2 2 M 22

d di diu r i r i L L

dt dt dt


dt dt dt

7)

para 2

11 1 1 11

12 M

i 0

diu r i L

dt

diu L

dt

(V)

t (s) 1

3

1,5

0,75

u1

u2

27


(a) (b)

Fig.1

Considere o circuito magnético representado na Fig.1-a). Despreza-se a dispersão e a

relutância magnética do núcleo. A secção S é uniforme ao longo do núcleo com secção

reta quadrada de lado a. Os entreferros iguais têm espessura e são de ar. Os

enrolamentos têm igual número de espiras N1=N2=N3. A resistência r1 do enrolamento 1

com N1 espiras é dada. A espira em aberto é percorrida pela corrente i0 nula.

1) Determine justificadamente a relutância magnética dos entreferros.

2) Com base nas leis fundamentais, estabeleça as equações que permitem determinar os

fluxos 1, 2 e 3 em função das correntes dos enrolamentos i1, i2 e i3 e onde intervêm

as relutâncias magnéticas referidas anteriormente. Determine as respetivas

expressões.

3) Relacione os fluxos ligados com cada enrolamento, 1, 2 e 3 com os fluxos 1, 2

e 3. Determine, tendo em conta os resultados de 2), a matriz dos coeficientes de

indução. Determine o fator de ligação magnética entre os enrolamentos 1 e 2, k12.

Comente o facto de k23=k12 e k13=0.

4) Considere agora que i1=1A e i2=i3=0. Determine, a partir de 2), os fluxos 1, 2 e 3.

Determine os campos de indução magnética, B, e intensidade do campo magnético,

H, em todos os troços do circuito magnético. Determine a energia magnética e a sua

repartição espacial. Confirme o valor de L11 por considerações de natureza

energética.

5) Estabeleça, por aplicação da lei da indução (de Faraday), as equações que permitem

representar as tensões u1, u2 e u3 em função das correntes i1, i2 e i3. Considere que i1

tem o andamento temporal representado na Fig. 1-b). Considere ainda que os

i1

1 2 3 i2

u1

u2

O S=a2

i3

u3

N1 N3 N2

i1 (A)

t (ms) 50

1

i0=0

u0

v

l x l+a x

2

1 2 3

1

1

12

4

500 espiras

10

144 /

mm

S a

l cm

a cm

N N N

r

v km h

28

enrolamentos 2 e 3 estão em aberto (i2=i3=0). Determine então as tensões u1, u2 e u3

em valores instantâneos e esboce o respetivo andamento gráfico.

6) Considere agora o sistema de correntes estacionárias definido por i2=1A e i1=i3=0.

Determine, tendo em conta 2), o campo de indução magnética B no entreferro

percorrido pelo fluxo 3. Determine, nesta situação, a tensão u0 aos terminais da

espira de corrente i0=0, considerando que esta se move ao longo do eixo dos xx com

a velocidade uniforme v dada. Esboce o andamento gráfico desta tensão considerando

que a espira parte, em t=0, da posição x=0. Como seria a tensão u0 para as condições

da alínea 4)? Justifique.

Resultados:

1) Para campos uniformes em cada entreferro tem-se:

5 1

m

0

R 4,97 10 HS

2)

1 1 2 21

m

1 2 3

3 3 2 2m 1 1 1 2 2 3

m

m 3 3 3 2 2

2 2 1 1 3 32

m

N i N i

R0

N i N iR N i N i

RR N i N i

2N i N i N i

R

3)

2

1 1 1 1 1 2

2

2 2 2 2 1 2 2 3

2

3 3 3 3 2 3

0 0 5 0 5 01

[ ] 2 0 5 1 0 5 (H)

0 0 0 5 0 5m

N N N N , ,

N L N N N N N , ,R

N N N N , ,

12

12 23

11 22

L 1k k

L L 2 .

k13=0 pois não existe ligação magnética entre os enrolamentos 1 e 3.

29

4)

mWb T

mWb T

1 1

2 2

3 1

1 B 0,625

1 B 0,625

0 B 0

O campo H é nulo exceto no entreferro 1: kAm 1

1H 497 .A energia magnética

está a armazenada no entreferro 1:

J Hmm 1 1 11 2

1

2W1W H B S 0,2485 L 0,5

2 i

5)

31 1 2 11 1 1 1 1 11 12 13 1 1 1 11

32 1 2 12 2 2 2 2 21 22 23 2 21

3 3 3 311 23 3 3 3 3 31 32 33

did di di diu r i r i L L L u r i L

dt dt dt dt dt

did di di diu r i r i L L L u L

dt dt dt dt dt

d di u 0 ( L 0 )di diu r i r i L L L

dt dt dt dt

Para 0<t<50 ms, u1(t) tem um crescimento linear:

V V1 1u (0 ) 10 , u ( t 50 ms ) 20 ;

Para t>50 ms, u1(t) é constante com valor 10 V. Para 0<t<50 ms, u2(t) tem um valor

constante igual a -10 V.

6)

mH T3 31 , B 0,625 .

O campo elétrico de indução do movimento, Ev, só existe quando a espira passa pelo

entreferro 3 onde o campo B não é nulo. Nestas condições Ev tem a direção ortogonal

ao plano da figura, concordante com a corrente i0, ao longo do lado inferior da espira

v 0E Bv u Bva 1V, para l/v=3 ms <t< (l+a)/v=4 ms. O mesmo resultado

poderia ser obtido por aplicação da lei geral da indução: Num deslocamento x da

espira no intervalo de tempo t ao longo do entreferro 3, obtém-se

dBa x Bva.

dt

Nas circunstâncias da alínea 4), o campo B3 é nulo e, portanto, u0=0 em todo o

domínio temporal.

30

3. Problemas de Circuitos - Regime Forçado Sinusoidal e Transitório

3.1 – Problema CRST1

i R

uR

C

uL

uC

L

u ~ ()

0

2 cos ( )

2 , 10

1 mH

3

u t V

f f kHz

L

Q

Fig. 1

A Fig.1 representa um circuito RLC série. Considere o regime forçado sinusoidal de

frequência angular imposto pela tensão u de frequência f, e amplitude dadas. Conhece-

se o coeficiente de autoindução L do circuito.

1) Escreva as equações em valores instantâneos do circuito que permitem calcular a

corrente i e as tensões uR, uL, e uC com u imposto. Escreva as correspondentes

equações vetoriais.

2) Considere que o circuito está em ressonância à frequência f dada. Estabeleça

justificadamente a condição de ressonância do circuito. Determine o valor da

capacidade C do circuito.

3) Defina fator de qualidade Q0 na situação de ressonância do circuito. Obtenha o valor

da resistência R de modo que o fator de qualidade tenha o valor Q0=3.

4) Determine as amplitudes complexas de i, uR, uL e uC. Indique os valores eficazes

dessas grandezas. Represente as amplitudes complexas das tensões u, i, uR, uL e uC

num diagrama vetorial à escala, com indicação do eixo real, e onde se mostrem as

relações entre as grandezas, tensões e correntes, atrás mencionadas.

5) Verifique o teorema de Poynting complexo.

31

Resultados:

1)

RR

LL

CC

R L CR L C

di 11u Ri L idt

U RI j LI j Idt CC

u RiU RI

diU j LIu L

dt1

1 U j Iu idt C

CU U U U

u u u u

2)

F1

L C 0,253C

3)

0

LR 20,9

Q

4)

0

0

/ 2

2 (V)

2 47,8 (mA)

2 3 (V)

j

g R

j

j

L C

U U e

I e

U U e

5)

* 0

2

2 2

147,8 ( VA)

2

Re[ ] 47,8mW

Im[ ] 2 [( ) ( ) ] 0

1 1( ) 1,14 J , ( ) 1,14 J

2 2

j

J ef

q m av e av

m av ef e av Cef

P U I e m

P P P RI

P P W W

W LI W CU

32


gu Cu C

S

Ru

Lu

i

~

Ci R

L

Li

( ) 2 cos / 2

( ) 2 cos / 2

230 , 2,3 , / 3

2 , 50

g gef g

L Lef g

gef Lef

g

u t U t

i t I t

U V I A

f f Hz

( )g

Fig. 1

I

A Fig.1 representa um ramo indutivo, RL série, em paralelo com um condensador de

capacidade C. Considere o regime forçado sinusoidal de frequência angular g com o

interruptor S fechado, imposto pelo gerador de tensão ug(t) de frequência f e valor eficaz

Ugef dados, obtendo-se a corrente iL(t) cuja expressão está indicada na figura.

7) Escreva as equações em valores instantâneos do ramo indutivo, RL série, que

permitem calcular a corrente iL e as tensões uR e uL com ug imposto. Escreva as

correspondentes equações vectoriais.

8) Mediram-se os valores eficazes da tensão, Ugef, e da corrente, ILef, bem como a

desfasagem entre a tensão ug e a corrente iL, com valores dados na figura.

Determine a impedância do ramo indutivo. Calcule a resistência, R, e o coeficiente

de autoindução, L.

9) Determine as amplitudes complexas de uR e uL. Represente as amplitudes complexas

das tensões ug, uR e uL e da corrente iL num diagrama vetorial à escala, com indicação

do eixo real, e onde se mostrem as relações entre as grandezas, tensões e correntes,

atrás mencionadas.

10) Estabeleça a equação em valores instantâneos que permite determinar a corrente iC

em função da tensão ug. Estabeleça também a equação que permite determinar a

corrente i do gerador. Escreva as correspondentes equações vetoriais. Complete o

diagrama vetorial da alínea 3) de modo que o circuito visto do gerador esteja em

ressonância. Determine o valor de C. Verifique o teorema de Poynting complexo.

II

Considere o mesmo circuito representado na Fig.1. Pretende-se a determinação dos

regimes transitórios da corrente iL supondo que o interruptor S se fecha no instante t T

com T=1/f, sendo f dado na figura, e que o interruptor S se abre em t=0. Enquanto o

interruptor S está fechado (-T<t<0), o regime forçado de iL, imposto pela tensão do

gerador ug, é caraterizado pela expressão dada na Fig.1.

1) Indique a condição inicial para o regime de funcionamento da corrente iL após o fecho

do interruptor S, t T . Com base nesta condição inicial, justifique a ausência de

33

regime transitório na ligação do ramo indutivo, RL série, ao gerador de tensão

sinusoidal.

2) Estabeleça a equação diferencial a que deve obedecer a corrente iL após a abertura do

interruptor S, para 0t . Verifique que o regime livre da corrente iL é oscilatório

amortecido, calculando para o efeito o fator de amortecimento , a frequência angular

das oscilações não amortecidas, 0, e das oscilações amortecidas, .

3) Estabeleça as condições iniciais para o regime de funcionamento após a abertura do

interruptor S, 0t . Determine a solução para a corrente iL.

Resultados:

I

1)

Lg L

g L

R L R L

L L LL

g R L

g R L

diu Ri L

U ( R j L )Idt

u Ri U RI

di U j LIu L

dt U U U

u u u

2)

Ω

Ω mH

g gef j j / 3

L

L Lef

U UZ e 100 e ( ) R j L

I I

R 50 ; L X / 276

3)

/ 6

/ 2

/ 2

0

2 230 (V)

2 2,3 (A)

2 115 (V)

2 199,2 (V)

j

g

j

L

j

R

j

L

U e

I e

U e

U e

4)

g

C

dui C

dt

L Ci i i

Equações vetoriais: ;C g L CI j CU I I I

34

Ressonância (a partir do diagrama vetorial de 3)):

/3 / 6

( ) 27,6μF

21,99 ; 21,15

Lef Cef gef

j j

C

I sen I CU C

I e I e

Teorema de Poynting complexo:

* 0

2

2 2

1264,5 (VA)

2

Re 264,5W

Im 0 2

1 10,729J; 0,729J

2 2

j

g

Lef

q m eav av

m Lef e gefav av

P U I e

P P RI

P P W W

W L I W CU

II

1) Condição inicial em t T : i( T ) i( T ) 0.

Solução forçada em Lf Left T : i ( T ) 2 I cos( T / 2 ) 0

2) Equação diferencial para a corrente iL:

-1 -1s rads

22L L0 L2

0

d i di2 i 0

dt dt

R 190,6 ; 362,3

2L LC

O regime forçado é nulo. Sendo <0, o regime livre é oscilatório amortecido:

-1

Re

rads rad

st t

L

j j

0

2 2

0

i ( t ) Ie Ie cos( t )

I Ie , s j e

350,8 , arctan( / ) 1,824

3) Condições iniciais:

V

A

L L

C C g 0

t

C

00

i (0 ) i (0 ) 0 cos 0 / 2

u (0 ) u (0 ) u (0 ) U 281,7

u ( t ) L / C I e cos( t )

UU L / C I sen( ) I 2,91

L / C sen( )

35


2 cos

2 , 50

200

0,3183

ef

ef

u U t

f f Hz

U V

L H

u Cu

S Li i

~ R Ru

Lu L

Ci

C

Fig. 1

A Fig.1 representa um circuito RL série em paralelo com um condensador de capacidade

C. Na primeira parte do problema (alíneas 1) a 5)), o interruptor S está fechado e o circuito

funciona em regime forçado sinusoidal imposto pela tensão u do gerador de frequência f

e valor eficaz Uef dados. O coeficiente de autoindução L da bobine é dado.

1) Para a situação em que o interruptor S está fechado, escreva as equações em valores

instantâneos do circuito que permitem a determinação de todas as correntes e tensões

assinaladas na figura. Escreva as correspondentes equações vetoriais do regime

forçado sinusoidal.

2) Estabeleça a expressão que permite a determinação do valor médio da potência

associada à dissipação por efeito de Joule, PJ, em função da resistência R, da

reactância da bobine L e do valor eficaz da tensão u, Uef. Determine os valores de R

e de PJ para a situação em que PJ tem um valor máximo considerando R variável,

com L fixo e tensão imposta.

3) Determine os valores eficazes e desfasagens da corrente iL e das tensões uR e uL. Faça

o respetivo diagrama vetorial à escala evidenciando a relação entre as grandezas e

onde também se representa a amplitude complexa de u.

4) Determine, por considerações de natureza energética, o valor da capacidade C que

leva o circuito à compensação perfeita do fator de potência.

5) Determine os valores e desfasagens das correntes iC e i. Complete, com a

representação das amplitudes complexas de iC e i, o diagrama vetorial da alínea 3).

Verifique o teorema de Poynting complexo.

6) Considere agora que o interruptor S se abre no instante em que a corrente iL passa por

um valor máximo. Tomando este instante como t=0, determine a fase na origem dos

tempos da tensão u(t). Estabeleça a equação diferencial que permite a determinação

do regime transitório da corrente iL. Verifique que o regime livre é oscilatório

amortecido. Estabeleça justificadamente as condições iniciais do regime transitório.

Determine a solução de iL(t) para t>0, isto é, após a abertura do interruptor S.

36

Resultados:

1)

LL

L L

R LR L

LL LL

C R LC R L

C

CL C

L C

diu Ri L

dt U RI j LIu Ri

U RIdi

U j LIu Ldt

U U U Uu u u u

I j CUdui C

I I Idt

i i i

2)

2

22

2 2

2

222

0 100 200 W

ef

ef J

UP R

R L

L RdPU R L , P

dR R L

3)

4

4

4 4

141

2 200 21 41 A

2141 2141

j /

L

j j( / )

C L

L

j( / ) j( / )

R L

Z R j L e ( )

UU U e (V ) , I , e ( )

Z

U e (V ) , U e (V )

4)

2 2

22

1 115,9μF

2 2m e Lef Cefav av

LW W LI CU C

R L

5)

( / 2)

* 0

2 (A)

2 (A)

1200 (VA) , Re[ ] 200 W

2

Im[ ] 0

j

C

j

C L

j

J

q m eav av

I j CU e

I I I e

P U I e P P P

P P W W

37

6)

Considerando o instante inicial o instante em que a corrente iL passa por um máximo

4/ .

22

02

1 -1

0

2 0

1157,1s , 444,3rads

2

L LL

d i dii

dt dt

R

L LC

0 regime oscilatório amortecido: 2 2 -1

0 415,6rads

Condições iniciais: valor máximo de 0

(0) 2 1,41 2A e 0.LL

t

dii

dt

0

0

1 21radt j( )

L

tL

i ( t ) I e cos( t ), s j e , arctan ,

diI e cos( t )

dt

A partir das condições iniciais, obtém-se a solução:

2A 0 361rad

0 2 14A

I cos( ) ,

cos( ) I ,

38


uC1

R

i2

C2 uC2

ug

i i1

~ ()

1

2

18,38 F

37,82 F

( ) 2 cos

230V

2 , 50 Hz

132,25 W

g gef

gef

C

C

u t U t

U

f f

P

uX

S

(t=0)

C1

uR

Fig. 1

I

A Fig.1 representa um circuito onde, com o interruptor S fechado, está a funcionar em

regime forçado sinusoidal de frequência f imposto pelo gerador de tensão ug(t). O circuito

é constituído por um ramo capacitivo (R, C1), composto pela série da resistência R com o

condensador de capacidade C1, em paralelo com a série de um outro condensador de

capacidade C2 com um elemento reativo puro com tensão aos seus terminais uX.

1) Escreva as equações em valores instantâneos do ramo capacitivo (R, C1) que

permitem calcular a corrente i1 e as tensões uR, e uC1 com ug imposto. Escreva as

correspondentes equações vetoriais.

2) Com base nestas equações e no teorema de Poynting, estabeleça a expressão da

potência ativa P posta em jogo pelo gerador, em função de R e do valor eficaz Ugef

da tensão ug(t). Determine o menor valor de R que conduz ao valor da potência ativa

P dada.

3) Determine os valores eficazes e desfasagens de i1, uR, e uC1. Trace o respetivo

diagrama vetorial à escala onde sejam explícitas as relações entre as grandezas e

também figure a amplitude complexa da tensão ug.

4) Considere que o circuito visto do gerador está em ressonância à frequência f. Tendo

em conta que o elemento com tensão uX é reativo puro, determine justificadamente

os valores eficazes e desfasagens das correntes i2 e i, e os valores eficazes e

desfasagens das tensões uC2 e uX. Complete o diagrama vetorial anterior, de 3), com

o traçado relativo a i2, i, uC2 e uX.

5) Por considerações de natureza energética, a partir do teorema de Poynting complexo,

indique a característica do elemento reativo puro de tensão uX (capacitivo ou

indutivo) e o valor do respetivo parâmetro (capacidade C ou coeficiente de indução

L).

II

Considere ainda o circuito da Fig. 1, onde o interruptor S é aberto no instante t=0, isto é,

no instante em que a tensão ug passa por um máximo.

39

1) Estabeleça a equação diferencial em valores instantâneos da tensão uC2 após a

abertura do interruptor S, onde figure também a carga q0=q1+q2, sendo q1 e q2 as

cargas elétricas dos condensadores de capacidade C1 e C2, respetivamente.

2) Por aplicação da lei da conservação da carga, relacione q0 com a corrente i do

gerador. Justifique que q0 se mantem constante no tempo, após a abertura de S.

Determine o valor de q0. Determine o regime forçado de uC2.

3) Indique justificadamente o tipo de regime livre que se obtém para uC2.

4) Estabeleça as condições iniciais do problema e determine a solução da tensão uC2 e

da corrente i2 para t 0 .

Resultados:

I

1)

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

g g

C C

R R

g C R g C R

1 1u i dt Ri U I RI

C j C

1 1u i dt U I

C j C

u Ri U RI

u u u U U U

2)

W

22 2

1 gef max max

2

1 1

2

max 1 gef

( C ) U P P1P R R 1 100

( R C ) 1 C P P

1P C U 152,73

2

3)

0

/3

1

/3

1

/3

1

/ 6

1 1

1

2 230 (V)

1200 ( ) , / 3

2 1,15 (A)

2 115 (V)

12 200 (V)

j

g

j

g j

j

R

j

C

U e

Z R j eC

UI e

Z

U RI e

U j I eC

40

4)

/ 2 / 2

2 1

0

1

2 2

2

0

2

2 ( ) 2 (A)

2 cos( ) 2 0,575 (A)

12 84,2 (V)

2 314,16 (V)

j j

ef

j

ef

j

C

j

X g C

I I sen e e

I I e

U j I eC

U U U e

5)

2

1 1 1

2

2 2 2

1 2

2

2

10 3676J

2

10 1339J

2

0 5

21H

e C efav

e C efav

e e e mav av av av

m av

ef

W C U ,

W C U ,

W W W , J W

WL

I

II

1)

μF

2C 2 2 C1

C 22 2

0 1 2 1 C1 2 C 2

2

C 2 C 2 01 2C 2 2 22

1 1

2 22C 2 C 2 00 C 2 02

1 2

1 20 eq

1 2eq

diu L Ri u 0

dt

dui C

dt

q q q C u C u

d u du qC Cu LC RC

C dt dt C

d u du2 u q

dt dt C C

C CR 1, , C 12,37

2L C CLC

2)

0dqi

dt

Para 00 0t , i q constante.

41

Pode-se concluir que para o regime forçado sinusoidal, para t<0 se tem :

2

0 2 1 83 (mC)j /Q j I / , e

Ou 0 21 83 2 (mC)q ( t ) , cos( t / )

E, portanto q0(0)=0. O regime forçado de uC2 é assim nulo.

3)

Nps rads1 1

050 , 284,34

0 regime oscilatório amortecido, , rads2 2 1

0 279 91

2 ( ) cos( )

, , º

t

C

j

0

u t Ue t

s j e 100 13

4)

A partir do regime forçado anterior, obtêm-se as condições iniciais:

22 2

0

0 0 0 0 119 02 (V)CC

t

dui ( ) e u ( ) ,

dt

:

cos( ) sin( )/ /

cos( ) ( ) , V º , º

cos( ) , V

, A/

t tC 22 2

eq eq

C

eq

du U Ui C e t e t

dt L C L C

U u 0 119 02 90 10 13

0 U 120 9

U0 425

L C

42

4. Problemas de Transformador – Circuito Magnético e Circuitos

4.1 – Problema TC1

Considere um transformador monofásico, linear, de ligação magnética perfeita. Procedeu-

se ao ensaio de vazio do transformador, com tensão imposta do lado do enrolamento 1,

sinusoidal de frequência 50 Hz, tendo-se obtido os seguintes resultados: valor eficaz da

tensão do primário, U1ef=230 V, valor eficaz da tensão do secundário (em aberto),

U2ef=115 V, valor eficaz da corrente do primário, I1ef=0,23 A e potência ativa posta em

jogo no primário, P1=16 mW. A resistência do secundário, r2, está relacionada com a

resistência do primário, r1, pela relação r2=r1/2, em que é a relação de transformação

do transformador.

1) Escreva as equações vetoriais do transformador que permitem calcular as tensões do

primário e do secundário em função das correntes primária e secundária.

Particularize-as para o transformador em vazio.

2) Determine justificadamente os parâmetros do transformador: a relação de

transformação , as resistências r1 e r2, bem como os coeficientes de autoindução do

primário L11, de indução mútua LM e o de autoindução do secundário L22.

3) Estabeleça o esquema equivalente em “T” do transformador, referido ao primário.

Resultados:

1)

(em vazio)

(em vazio)

1 1 1 11 1 M 2 1 1 11 1

2 2 2 22 2 M 1 M 1

U r I j L I j L I r I j L I

U r I j L I j L I j L I

2)

H , H , H

1ef

2ef

1 11 22 2

1ef

2ef 1ef MM 11 M 22

1ef 1ef

U2

U

P rr 0,3 , r 0,075

I

U U LL 1,59 L L 3,18 L 0,796

I I

3)

11

Ω

H

1 2

22

M 11

r r 0,3

0

L L 3,18

43


2 2

1 225,2 cm , 16,7 cm , 500 , 2 600 espirasrl S N N

(a) (b)

i1 2i

i0

2C L

u1 2u u1R

0,75 H , 0,25 HL

N2 N1 C2=40,55 F

u2

u1

i1 i2 Sw

S S S

l

r

Fig. 1

I

A Fig.1 representa um circuito magnético com derivações onde se despreza a relutância

magnética das peças não sombreadas. As peças sombreadas são iguais, com a mesma

secção, S, comprimento, l, e com permeabilidade magnética relativa, r. A perna central

tem um entreferro de ar, também de secção S, mas de espessura . Os enrolamentos 1 e 2

têm N1 e N2 espiras, respetivamente. Despreza-se a dispersão. O interruptor Sw está

aberto. Considere i1=1A.

1) Determine a relutância magnética Rm das peças sombreadas. Justifique referindo as

aproximações que considerou. Determine a espessura do entreferro de modo que a

relutância magnética do entreferro seja igual ao valor de Rm.

2) Calcule os fluxos de indução magnética em cada ramo do circuito magnético, 1, 0

e 2. Determine o campo de indução magnética, B, e a intensidade do campo

magnético, H, nas peças a sombreado e no entreferro.

3) Determine os fluxos ligados com os enrolamentos 1 e 2, respetivamente 1 e 2.

Determine o coeficiente de autoindução do enrolamento 1 e o coeficiente de indução

mútua entre os dois enrolamentos, respetivamente L11 e LM. Verifique que a relação

entre os coeficientes de autoindução dos dois enrolamentos é 2

11 22 1 2L / L ( N / N ) .

Qual o valor do fator de ligação magnética entre os dois enrolamentos? Comente.

4) Determine a repartição espacial da energia magnética. Verifique, por via energética,

o resultado obtido para L11.

II

Considere que o sistema da Fig.1 constitui um transformador, cujo primário e secundário

são os enrolamentos 1 e 2, respetivamente. Desprezam-se as perdas por efeito de Joule

nos dois enrolamentos. Considere agora que o interruptor Sw está fechado, ligando-se o

condensador de capacidade C2 ao secundário.

1) Estabeleça, a partir das leis fundamentais, as equações em valores instantâneos que

relacionam as tensões u1 e u2 com as correntes i1 e i2. Estabeleça as respetivas

equações vetoriais do regime forçado sinusoidal de frequência angular .

44

2) Indique os esquemas equivalentes em “T”, referidos ao primário, onde o

transformador ideal tem uma relação de transformação . Que valores de são

admissíveis para que os esquemas sejam fisicamente realizáveis? Justifique. Mostre

que tomando para o seu limite inferior, o esquema equivalente reduzido ao primário

é o representado na Fig.1-b). Que valor de 2C deve ser considerado no esquema

equivalente. Justifique.

3) Considere o regime forçado sinusoidal em que a tensão do secundário é

22 2efu ( t ) U cos( t ) , onde U2ef=230V, =2f, f=50Hz. Determine, com base no

esquema equivalente da Fig.1-b), os valores eficazes e desfasagens de todas as

tensões e correntes assinaladas nas Fig.1 –a) e b). Faça o respetivo diagrama vetorial

à escala.

4) Determine as potências ativa e reativa postas em jogo no primário do transformador.

Verifique o teorema de Poynting complexo. Verifique, por via energética, que o

circuito está em ressonância.

Resultados:

1) Para campos uniformes nas peças a sombreado:

-1H5

m

0 r

lR 2,4 10

S

No entreferro: mmrl / 0,504

2)

-1

-1

-1

kAm

T

kAm

T

kAm

11 1

m

12 0 1 1

m

11

0 r11

22

0 r2 0 1

00

0

N2i 1,67 mWb

3 R

N1 1i 0,835 mWb

2 3 R

BH 1,59

B 1BS

H 0,7961

B B B 0,52 B

H 398

3)

Wb Wb2

1 2 11 1 1 1 2 2 2 1

m m

N N N2 1N i 1 , N i 0,25

3 R 3 R

45

H H

2 2

2

1 1 2 2 111 M

1 m 1 mi 0 i 0

N N N2 1L 1 , L 0,25

i 3 R i 3 R

2

11 22 1 2( L / L ) ( N / N ) por razões de simetria do circuito magnético.

Pelo que H22L 0,25 .

M

11 22

Lk 0,5

L L (metade das linhas de indução magnética que atravessam o

enrolamento 1 e criadas pela corrente deste enrolamento, atravessam também o

enrolamento 2).

4)

J

J

J

m1 1 1

m2 2 2

m0 0 0

1W B H lS 0,335

2

1W B H lS 0,084

2

1W B H S 0,084

2

J, Hmm m1 m2 m2 11 2

1

2WW W W W 0,5 L 1

i .

II

1)

1 21 1 1 11 M

1 1 21 1 11 M

2 2 122 1 2 22 M2 2 2 22 M

di diu r i L L

U r I j L I j L Idt dt

di di U r I j L I j L Iu r i L L

dt dt

2)

2 M11 M M 22 22 1 2

LL L ; L L ; ( L ); r r 0

2

2 2 2 22

1Z Z C C

Esquema físicamente realizável: M 11

22 M

L L1 4

L L

Para =1, H H11 M M 22L L 0,75 , L L 0,25 , 0,

μF2 2C C 40,55 .

46

3)

(V)

(A) (A)

(A)

(V)

j

2 2

j / 2 j / 2

2 2 2 2 2

j / 220

1 2 0

j

1 1R 2

U U 2 230 e

1I j C U 2 2,93e I I 2 2,93e

UI 2 2,93e

j L

I I I 0

U U U 2 230 e

4)

J J

*

1 1

J

q m eav av

2 2

m 0ef e 2 2efav av

1P U I 0 j0

2

P P 0

P 2 W W 0

1 1W LI 1,073 ; W C U 1,073

2 2

Ressonância: Pq=0 e (Wm)av=(We)av.

47

4.3 - Problema TC3

5 16,67 10

10

500 espiras

2 cos

40

2 , 50

m

g gef

gef

a

R H

r

N

u U t

U V

f f Hz

C C

(b)

i1 2i

i0

C L

l

ug 2u u0

R

u

(a)

N r

Ca u2 ug

i1 i2

N

S1 S2

~

Rm

3Rm

Fig. 1

I

A Fig.1-a) representa um circuito magnético com derivações constituído por um só

material, considerado linear, e com secção reta constante. A relutância magnética de cada

um dos ramos laterais é o triplo da relutância magnética do ramo central. A relutância do

ramo central é 5 -16,67×10 HmR . Os dois enrolamentos têm o mesmo número de espiras

N=500. Despreza-se a dispersão.

1) Estabeleça justificadamente as equações que permitem calcular os fluxos 1, 0 e 2

a partir das correntes i1 e i2.

2) Determine o valor desses fluxos para i1=1 A com o interruptor S2 aberto (i2=0).

3) Relacione os fluxos ligados com os enrolamentos 1 e 2, 1 e 2, respeivamente, com

os fluxos simples calculados anteriormente. Determine os seus valores. Determine o

coeficiente de autoindução do enrolamento 1 e o coeficiente de indução mútua entre

os dois enrolamentos, respetivamente L11 e LM. Atendendo à simetria do circuito

magnético, que relação deve existir entre os coeficientes de autoindução dos dois

enrolamentos? Qual o valor do fator de ligação magnética? Comente a resposta dada.

4) Determine a repartição espacial da energia magnética armazenada para a situação de

2). Confirme, a partir da energia magnética, o valor do coeficiente de autoindução do

enrolamento 1.

48

II

Os dois enrolamentos ligados magneticamente e representados na Fig.1-a), constituem

um transformador. Considere o regime forçado sinusoidal, para a situação em que os

interruptores S1 e S2 estão fechados, imposto pelo gerador de tensão sinusoidal ug de valor

eficaz Ugef e frequência f dados. A resistência do enrolamento 1 tem o valor r=10 .

Despreza-se a resistência do enrolamento 2.

1) Verifique que o esquema equivalente do transformador referido ao primário pode ser

obtido para C=Ca onde C está representado na Fig. 1-b) e Ca na Fig.1-a). Determine

os parâmetros R, l, L e do esquema da Fig.1-b).

2) A partir do esquema equivalente, escreva as equações vetoriais que permitem

determinar as tensões e correntes indicadas na Fig. 1-a) e b).

3) Determine C=Ca de modo que i1 seja nula.

4) Considerando C=101,3 F, determine os valores eficazes e desfasagens das tensões

e correntes indicadas na Fig.1–a) e b). Trace o respetivo diagrama vetorial à escala

onde estejam explícitas as relações entre as diversas grandezas.

5) Verifique o teorema de Poynting complexo. Justifique que o circuito está em

ressonância.

6) Com o interruptor S2 fechado, considere que se abre o interruptor S1 no instante t=0,

instante em que ug(t) passa por um máximo. A partir do esquema da Fig. 1-b),

estabeleça a equação diferencial que permite a determinação do regime transitório da

tensão u’2. Caracterize o respetivo regime transitório para t>0, calculando o fator de

amortecimento e a frequência angular das oscilações não amortecidas 0. Indique

justificadamente quais as condições iniciais do problema.

Resultados:

I

1)

m 1 m 0 1

m 0 m 2 2

1 0 2

3R R Ni

R 3R Ni

0

2)

mWb

mWb

mWb

1 1 2

m m

2 1 2

m m

0 1 2

m m

4 1Ni Ni 0,2

15R 15R

1 4Ni Ni 0,05

15R 15R

1 1Ni Ni 0,15

5R 5R

49

3)

2

2

11 1 11

1 0

22 2

1 0

22 11

11 22

100mWb 100mH

25mWb 25mH

100mH

1k=

4

i

M

i

M

N Li

N Li

L L

L

L L

4)

2 2 2

1 0 2

11 2

1

1 1 13 3 (40 7,5 2,5) mJ 50 mJ

2 2 2

2100 mH

m m m m

m

W R R R

WL

i

II

1)

mH mH mH

M 11

22 M

a2

2 M11 M M 22

L L0,25 4

L L

1C C 1

LR r 10 , l L L 75 , L L 25 , ( L ) 75

2)

' '

0 2 2 2

' ' '

2 2 2 2

' '

2 0 2

0 0

'

1 0 2 1 0

1( ) ,

1 1,

,

, ( )g

U j I I IC

U j I U UC

U j I U U U

U j LI

I I I U R j l I U

3)

' 0 00 2

2

10 0 ( ) 0

1( )

1101,3μF

( )

U UI I L

j L Cj

C

CL

50

4)

0

1 0

' / 2

0 2 2

' 0

2 2

0 2 40 (V)

7,85 2 5,1 (A)

131,42 2160 (V)

23,55 2120 (V)

j

g

j

j

j

I U U e

L I I I e

U U eC

U e

5)

*

1

2

1

2 2 '2

1 0 2

'2

2

10 0

2

0

1 1 1( ) 1,3

2 2 2

1( ) 1,3

2

2 ( ) ( ) 0

g

J ef

m av ef ef ef

e av ef

q m av e av

P U I j

P RI

W lI LI I J

W CU J

P W W

6)

rads

' ' 2 '' ' '2 2 22 2 22

1

0

di du d u 1( L ) u 0 i C u 0

dt dt dt ( L )C

10, 314,19

( L )C

0 regime oscilatório não amortecido, 2 2

0 0

' '

'' '

( ) ( ) , ( )

( ) ( )

2 2

22 2

t 0

u 0 u 0 226 3 V

dui 0 i 0 0 0

dt

51


4 1

21

1

8,2 10

350 espiras2

544,2

544,2

2 , 50

m

a

ef

R H

NN

R

U V

f f Hz

i 1i 2i

1u

u Li

2u C L ~

Ci

R

(a)

(b)

i2

N1

i1

u1

2 0 1

N2

0mR

mR

u2

S

Ra

Fig. 1

A Fig.1 representa um transformador em que o enrolamento primário é o enrolamento 1

de N1 espiras e o enrolamento secundário é o enrolamento 2 de N2 espiras. No circuito

magnético, também representado na Fig1.-a), considera-se ausência de dispersão e

relutância magnética desprezável nas peças a sombreado. As peças verticais têm

relutância magnética Rm dada.

1) Circuito magnético:

a. Estabeleça, a partir das equações fundamentais, as equações que permitem

calcular os fluxos simples 1, 0 e 2 a partir das correntes i1 e i2.

b. Considerando agora i1=1A e i2=0 (interruptor S aberto), determine os fluxos

simples 1, 0 e 2.

c. Exprima os fluxos ligados com cada enrolamento, 1 e 2, em função dos fluxos

simples 1, 0 e 2. Determine os valores de 1 e 2 para a situação de b).

Determine o coeficiente de autoindução do primário e o coeficiente de indução

mútua, L11 e LM respetivamente. Justifique, por considerações de natureza

qualitativa, que o fator de ligação magnética k=0,5. Determine o coeficiente de

autoindução do secundário L22.

d. Determine a repartição espacial da energia magnética para a situação de 1-b).

Confirme o valor de L11 a partir do valor da energia magnética.

2) Considere agora o funcionamento do transformador com o interruptor S fechado.

a. Por aplicação da lei da indução, estabeleça as equações que permitem relacionar

as tensões u1 e u2 com as correntes i1 e i2, variáveis no tempo.

52

b. Considere as resistências dos enrolamentos desprezáveis. Verifique que o

esquema equivalente do transformador referido ao primário pode ser o indicado

na Fig. 1-b) com L=1 H, =3 H e R=Ra. Indique o valor da relação de

transformação do transformador ideal do esquema equivalente.

3) Considere agora que o primário está ligado ao gerador de tensão sinusoidal de valor

eficaz U1ef e frequência f dados. Tome o esquema equivalente indicado na Fig. 1-b).

a. Escreva as equações vetoriais que permitem calcular todas as tensões e correntes

assinaladas nas Fig (s) 1-a) e b).

b. Por considerações de natureza energética, determine o valor da capacidade do

condensador C que conduz à compensação perfeita do fator de potência.

c. Determine os valores eficazes e desfasagens de todas as tensões e correntes

assinaladas nas Fig.(s) 1-a) e b). Faça o respetivo diagrama vetorial onde se

mostrem as relações entre as grandezas.

d. Determine a potência complexa posta em jogo pelo gerador. Verifique o valor

da potência ativa por aplicação do teorema de Poynting complexo.

Resultados:

1-a)

1 0 2

1 0 1 1

0 2 2 2

0

( )

( )

m

m

R N i

R N i

1-b)

11 1

10 2

22 846 mWb

3

1 423 mWb2

m

Ni ,

R

,

1-c)

2

2

11 1 1 11

1 0

22 2 2

1 0

1 Wb, 1H

1 Wb, 1H

i

M

i

N Li

N Li

k=0,5 pois o circuito magnético é simétrico e metade das linhas com origem na

corrente i1 atravessa o enrolamento 2 e vice-versa. 2

22 2

11

4HMLL

L k .

53

1-d)

2 2 2

1 0 2

11 2

1

1 1 10,333 0,083 0,083(J) 0,5J

2 2 2

21H

m m m m

m

W R R R

WL

i

2-a)

1 1 21 1 1 1 1 11 M

2 1 22 2 2 2 2 M 22


dt dt dt


dt dt dt

2-b)

H

H

1 2

1111 11 M

M

M 11

' 2 M2 22

' 2

a a a

r r 0

LL L 0 1

L

L L L 1

L( L ) 3

R R R R 544,2

3-a)

' '12 2 2

' ' '

2 2 2 2

'

2

1L

'

1 L 2

C 1

C 1

UI , I I

R j

1U RI , U U

U j I

UI

j L

I I I

I j CU

I I I

3-b)

μF

2 2

1ef 1ef2 ' 2

m Lef 2ef 2 2 2 2 2av

2

e 1efav

m e 2 2 2 2av av

U U1 1 1 1W LI I L

2 2 2 L 2 R

1W CU

2

1W W C 12,66

L R

54

3-c)

(A) (A) (A)

(V) (V)

(V)

(A)

(A)= (A)

(A)

(A)

' j60º j120º

2 2

' j60º j120º

2 2

j30º

j90º

L

j83,4º

1

j90º

C

I 2 0,5 e 2 0,25 j 2 0,433 , I 2 0,5 e

U 2 272,1 e , U 2 272,1 e

U 2 471,3 e

I 2 1,73 e

I 2 0,25 j 2 2,165 2 2,18 e

I 2 2,165 e

I 2 0,25

3-d)

(VA)

W

* j0

1

' 2

2ef

1P U I 136,05e

2

P Re P RI 136,05

55


1

2

1 2

1,5 cm

2,92 cm

1,5 cm

500 espiras

1000r

r

r

a

N N

i2

Ra

Ca

u2

N2/2

r

r1

r2

0 N1 N2/2 u1

i1

r

2r1

2r2

a

S

Fig. 1

I

A Fig.1 representa um transformador em que o enrolamento primário é o enrolamento 1

de N1 espiras e o enrolamento secundário é o enrolamento 2 de N2 espiras, dividido em

duas partes de N2/2 espiras cada. O circuito magnético é constituído por dois núcleos

toroidais iguais, dispostos encostados como indica a figura, de permeabilidade magnética

relativa r e cada um com geometria cilíndrica de raio interior r1, raio exterior r2 e

espessura a. Despreza-se a dispersão.

1) Por aplicação da lei de Ampère, exprima a intensidade do campo magnético, H, em

cada núcleo toroidal, em função das correntes i1 e i2 e verifique que o campo de

indução magnética B varia inversamente com a distância r ao eixo do núcleo. Defina

relutância magnética de um troço e determine a relutância magnética Rm de cada um

dos dois núcleos toroidais.

2) Estabeleça, a partir das equações fundamentais, as expressões que permitem calcular

os fluxos simples 1 e 2 a partir das correntes i1 e i2.

3) Exprima os fluxos ligados com cada enrolamento, 1 e 2, em função dos fluxos

simples 1 e 2. Determine, a partir da definição, os coeficientes de autoindução do

primário e do secundário bem como o coeficiente de indução mútua, respetivamente

L11, L22 e LM. Determine o fator de ligação magnética k. Comente o resultado.

4) Considere o transformador com o secundário em vazio (interruptor S aberto, i2=0) e

em que i1 varia no tempo de modo que, a partir do instante inicial t=0 com valor nulo,

i1(t) cresça linearmente no tempo atingindo o valor de 1 A no intervalo de tempo de

50 ms, após o que permanece constante com o valor de 1 A. Por aplicação das leis

56

fundamentais, determine justificadamente a tensão u2(t) e esboce o seu andamento

temporal.

II

Considere o regime forçado sinusoidal do funcionamento do transformador imposto por

um gerador de frequência angular =2f, f =1 kHz e tensão 1 1( ) 2 cos( )efu t U t ,

U1ef=6,28 V. Considere o interruptor S fechado, ligando o secundário à carga constituída

por uma resistência Ra em série com um condensador de capacidade Ca cujos valores são

desconhecidos.

1) Indique o esquema equivalente do transformador reduzido ao primário onde figure a

impedância de carga Z R jX reduzida ao primário. Relacione R e X com Ra e Ca.

2) Com base no esquema equivalente, exprima a potência ativa P posta em jogo pelo

gerador em função de R, X e U1ef. Considerando R variável, determine a relação entre

R e X de modo que P seja máxima. Com esta relação entre R e X, determine R, X, Ra

e Ca de modo que o transformador esteja em ressonância.

3) Determine os valores eficazes e desfasagens das grandezas indicadas na Fig. 1 e

represente-as num diagrama vetorial à escala.

4) Verifique o teorema de Poynting complexo.

Resultados:

I

1) Em cada núcleo toroidal tem-se:

21 1 22

2

NH r N i i

ou 0 21 1 2

1( ) ,

2 2

r Fmm NB r Fmm N i i

r

5 1

0 2 1

25 10 H

ln /m

r

Ra r r

2)

1 2

1 21 2

2

m

m m m

R Fmm ,

N NFmmi i

R R R

57

3)

2 1

2 1

2

1 1 21 1 1 2 1 1 2

2

2 2 1 2 22 1 2 2 1 2

2

1 1 1 1 211

1 20 0

2

2 1 2 2 222

1 20 0

22

2 2 2

21H, 0 5H

0 5H, 0 25H2

m m

m m

M

m mi i

M

m mi i

N N NN ( ) N i i

R R

N N N N NN i i

R R

N N NL L ,

i R i R

N N NL , L ,

i R i R

11 22

1ML

kL L

(Ligação magnética perfeita).

4)

Aplicação da lei da indução ao enrolamento 2:

2 12 10V (0 5ms)M

d diu L t

dt dt

.

II

1)

O esquema equivalente do transformador reduzido ao primário é constituído pela

bobine de coeficiente de indução L=L11=1 H em paralelo com a carga reduzida ao

primário formada pela resistência 2

aR R em série com o condensador de reatância

2 /( )aX C , com =L11/LM=LM/L22=2.

2)

1'2 ' 2

2 2 2 12 22 2

2 22

122 2

, /

0

ef

ef ef ef ef

ef

U RP RI I I P U

R XR X

dP X RU R X

dR R X

2 2

2 2

1,

R XY j Z R X

Z L Z

Condição de ressonância:2

1Im 0

XY

Z L .

Nas condições em que R X e em ressonância:

2

13,14k

XR X R X

Z L .

58

22/ 785 , 202,8nFa aR R C

X

.

3)

/ 210

' / 4 ' 3 / 412 2 2

' 0

1 0 2

' '

2 2 2 1 2

2 (mA)

21,41 (mA) , 2 2,83 (mA)

2 (mA)

1, 2 3,14 ( )

j

j j

j

j

UI e

j L

UI e I I e

Z

I I I e

U U U U U e V

4)

* 0

1 1

16,28 (mVA)

2

jP U I e

Potência ativa: '2 2

2 2Re 6,28mWef a efP P RI R I

Para a potência reativa:

J

J

V

2

m 11 0efav

' ' 2

e a Cefav

' '

Cef 2ef'

a

q m eav av

1W L I 0,5

2

1W C U 0,5

2

1U I 4,43

C

P Im P 2 W W 0

59

5. Problemas de Linha de Transmissão

5.1 – Problema LT1

RL

l

gu

iL

uL

y 0

0,5

100

2

50

g

L

l m

f MHz

P W

R

~

gi

Fig. 1

Considere o cabo coaxial de um quarto de comprimento de onda considerado sem perdas

representado na Fig. 1 a funcionar em regime forçado sinusoidal. Conhece-se o

comprimento da linha l, a frequência f de funcionamento, a potência ativa Pg posta em

jogo pelo gerador e a resistência de carga RL.

1) Determine a constante dielétrica relativa do cabo coaxial. Determine a constante de

fase .

2) Escreva as expressões das soluções para as amplitudes complexas da tensão e da

corrente ao longo da linha, U( y ) e I ( y ) , onde intervenham a resistência

característica de onda Rw e o fator de reflexão na carga . Com base nestas

expressões obtenha a expressão de em função da resistência de carga RL e a

expressão da impedância à entrada da linha (y=l), substituindo o coeficiente pela

expressão obtida anteriormente. Determine Rw de modo a obter para a resistência

vista da entrada o valor de 112,5 .

3) Determine o fator de onda estacionária SWR e trace o diagrama de onda estacionária

de tensão e da corrente que se observa no cabo coaxial indicando os seus valores

máximos e mínimos e respetiva localização e os valores eficazes da tensão e corrente

à entrada da linha e na carga.

5) Quais os valores da potência reativa posta em jogo pelo gerador e da potência ativa

na carga. Justifique.

60

Resultados:

1)

8 1 0

r

r

1

/ 4 l 0,5 m 2 m

cv f 2 10 ms 2.25

2rad m

2)

para

' j y 2 j y

1

'j y 2 j y1

w

L wL w

L w

U( y ) U e (1 e )

UI ( y ) e (1 e )

R

R RU( y ) 1y 0 : R Z(0 ) R

I ( y ) 1 R R

Sendo

2

win w

L

w L in

R12 l , l / 4 R Z( l ) R

1 R

R R R 75

3)

gef max g in

max

gef min max in g gef

w

Lef min w min max

Lef max max w min

25 10,2 SWR 1,5

125 1

y l / 4 : U U P R 15V ,

UI I U / R P / U 0,133 A

SWR R

y 0 : U U R I U / SWR 10V ,

I I U / R I SWR 0,2 A

4)

(linha sem perdas)in qin L gZ( l ) R P 0 , P P 2W

61


( ) 2 cos , 22,36V, 2g gef gefu t U t U f

gi Li

LZ gu Lu ~ ( )

y 112, 5 ml 0

i

u

2, 1W, 3

3ml l P SWR

y l ml 0

maxU

gefU

minU

( )efU y

(a) (b)

Fig. 1

Considere a linha bifilar da Fig. 1 de condutores iguais, de comprimento l, com dielétrico

de ar, sem perdas. A Fig. 1-b) representa o diagrama de onda estacionária (D.O.E.) da

tensão, correspondente ao funcionamento da linha, em regime forçado sinusoidal de

frequência f, terminada pela impedância de carga LZ . Este diagrama apresenta um valor

máximo na carga. São dados o coeficiente de onda estacionária, SWR, a localização do 1º

mínimo de tensão, lm, o valor eficaz da tensão do gerador, Ugef, e a potência ativa posta

em jogo na carga, P.

1) Calcule a velocidade de fase, v, o comprimento de onda, , a frequência f e a

constante de fase, .

2) Determine os valores de Umax e Umin do D.O.E da Fig. 1-b). Esboce o D.O.E. da

corrente com a indicação dos valores máximos e mínimos e respetiva localização.

Determine Rw.

3) Calcule a impedância de carga LZ . Determine as amplitudes complexas das tensões

e correntes no gerador e na carga. Faça o respetivo diagrama vetorial. Determine a

impedância vista do gerador. Calcule as potências ativa e reativa postas em jogo pelo

gerador. Interprete fisicamente os resultados.

62

Resultados:

1)

-1ms8

0v c 3 10 (dieléctrico de ar)

-1m m MHz rad mm m

2 v 2 2l l 75 ; 4l 300 ; f 1 ;

3 300

2)

' j y 2 j y

i

' j y 2 j y

w i

U( y ) U e (1 e )

R I ( y ) U e (1 e )

j0SWR 10,5 0,5e

SWR 1

(1º máximo de tensão em y=0 0 )

V

V V

gef ef ief ief ief

maxmax ief min

U U ( l ) U 1 j0,5 1,118U U 20

UU U (1 ) 30 ; U 10

SWR

D.O.E. da corrente: mínimo localizado em y=0 e máximo localizado em y=lm.

mA mA

Ω

min max min

max

max minw

max min

PI 33,3 ; I SWR I 100

U

U UR 300

I I

3)

(V)

(Ω)

(mA)

(V)

L w

g g j2,82

i j l 2 j l j3 / 4

j0 ,927

w

g j l 2 j l j0 ,927ig

w

j2,82 iLL i L

L w

1Z R 900

1

U UU 2 20 e

e (1 e ) e (1 j0,5 )

U( l ) 1 j0,5Z( l ) R 300 e

I ( l ) 1 j0,5

U UI e (1 e ) 274,5 e

Z( l ) R

UUU U (1 ) 2 30 e ; I (1

Z R

na linha

(mA)

(VA) (VA)

W (linha sem perdas);

VAr μJ

j 2 ,82

* j0 ,927

g g g

g

qg

qg m eav av

) 2 33,3e

1P U I 1,667 e 1 j1,33 ;

2

P P 1

PP 1,33 W W 0,106

2

63


gi

1

75

2,25

1 mm

5 m , 4 m

2 10 cos (V)

w

r

M

g

R

r

u t

gu ~

0

r ( ) 12r

y M 0

Fig. 1

Considere o cabo coaxial representado na Fig. 1, sem perdas, com resistência

característica de onda Rw, comprimento , raio do condutor interior r1, e dielétrico com

constante dielétrica relativa r, todos dados. O dielétrico é caracterizado pela

permeabilidade magnética =0. A linha funciona em regime forçado sinusoidal imposto

pelo gerador de tensão ug(t) cuja amplitude é dada. A linha está terminada em vazio.

Verifica-se que o segundo máximo do diagrama de onda estacionária da tensão está

localizado em My dado.

1) Calcule a velocidade de fase v, o comprimento de onda , a frequência f e a constante

de fase . Calcule a capacidade C, e o coeficiente de autoindução L, por unidade de

comprimento do cabo.

2) Indique o valor do coeficiente de reflexão na carga. Construa o diagrama de onda

estacionária da tensão e da corrente, indicando os seus valores máximos e mínimos,

sua localização e ainda os valores no gerador ( y ), tendo em conta que o valor

eficaz da tensão do gerador é imposto. Determine as amplitudes complexas da tensão

ug e da corrente ig no gerador e trace o respetivo diagrama vetorial. Determine a

potência complexa posta em jogo no gerador. Comente o resultado.

3) Considere agora que o condutor interior do cabo coaxial é de cobre (condutividade -1Sm75,6 10 , permeabilidade magnética =0). Determine a profundidade de

penetração do campo eletromagnético no condutor à frequência f=25 MHz. Discuta

a validade da aproximação às altas frequências para a determinação da impedância

interna iZ do condutor. Determine a impedância interna e o coeficiente de auto-

indução interno Li, por unidade de comprimento, na aproximação às altas

frequências. Desprezando a impedância interna do condutor exterior do cabo coaxial,

corrija os valores do coeficiente de autoindução L, por unidade de comprimento, da

constante da fase , da velocidade de fase v e da constante de atenuação , do cabo

à frequência f.

64

Resultados:

1)

-1 -1

-1 -1

m s m MHz rad m

pF m μH m

80M

r

w

w

c v 2v 2 10 ; 2 8 ; f 25 ;

4

R1C 66,7 ; L 0,375

vR v

2)

(linha em vazio)

(V) (V)

V =0, localizados em e m

' j y 2 j y '

i i

' j y 2 j y '

w i i

' ' j0 ' j

g i i i

M ief m

m M

1

U( y ) U e (1 e ) 2U cos( y )

R I ( y ) U e (1 e ) 2 jU sen( y )

5 / 4 U 2U cos( ) 2U 2 10e U 27,07e

U 2U 14,1 , I y 0 4

U 0, I

dentro da linha

A, localizados em m

(A)

VA

VAr nJ

M w

'j / 2i

g

w

*

g g g

g qg m av e av

U / R 0,19 y 2

UI 2 j sen( ) 2 0,133e

R

1P U I j1,33

2

P 0, P 1,33 (W ) (W ) 4,23

3)

-1 -1

-1

-1

-1

-1

μm mm (aprox.altas frequencias)

Im[ ](Ω m ) pH m

H m

(Ω m )

(Sm )

Np m e

1

0

ii i

1

e i e

213,45 r 1

Z1 jZ 0,21(1 j ) L 1,34

2 r

L L L 0,376 L

Z R j L 0,21 j59,06

Y j C 0,0105

1 RR L ZY j j LC

2 L / C

1,4

-1 rad m4

mantem-se praticamente inalterado, pelo que o mesmo acontece com a velocidade

de fase v.

65


Considere uma linha bifilar de dielétrico de ar, sem perdas, com resistência característica

de onda Rw=300 e comprimento =1,25 m. A linha funciona em regime forçado

sinusoidal imposto pela tensão de um gerador ideal com valor eficaz Ugef=1 V e

frequência f=150 MHz. A linha está terminada em curto-circuito.

1) Calcule a velocidade de fase v, o comprimento de onda e a constante de fase

Calcule a capacidade C e o coeficiente de autoindução L, por unidade de


2) Indique o valor do coeficiente de reflexão na carga. Construa o diagrama de onda

estacionária da tensão e da corrente, indicando os seus valores máximos e mínimos,

sua localização e ainda os valores no gerador ( y ), tendo em conta que a tensão

do gerador é imposta. Determine as amplitudes complexas da tensão e da corrente no

gerador e trace o respetivo diagrama vetorial. Determine a potência complexa posta

em jogo pelo gerador. Comente o resultado. Qual a diferença entre os valores médios

das energias magnética e elétrica armazenadas ao longo da linha?

3) Considerando que a distância entre os dois condutores da linha é d=1,2 cm e que os

condutores são iguais, determine o raio dos condutores. Justifique.

Resultados:

1)

-1 -1

-1 -1

m s m rad m

pF m μH m

8

0

w

w

v 2v c 3 10 ; 2 ;

f

R1C 11,1 ; L 1

vR v

2)

(linha em curto-circuito)

(V) (V)

V =0, localizados

' j y 2 j y '

i i

' j y 2 j y '

w i i

' ' j / 2 j0 ' j / 2

g i i i

M ief m

1

U( y ) U e (1 e ) 2 jU sen( y )

R I ( y ) U e (1 e ) 2U cos( y )

5 / 4 U 2 jU sen( ) 2U e 2 e U 2 0,707e

U 2U 1,41 , I

em m

mA, localizados em e m

(mA)

m M M w

'j / 2i

g

w

y / 4 0,5

U 0, I U / R 4,7 y 0 y / 2 1

UI 2 cos( ) 2 3,33e

R

66

dentro da linha

(mVA)

mVAr pJ

*

g g g

qg

g qg m av e av

1P U I j3,33

2

PP 0, P 3,33 (W ) (W ) 1,77

2

3)

0L ln( d / r )

(aproximação condutores finos)

/ 12,182 0,99 mmd r r .

67


Considere uma linha bifilar de dielétrico de ar, sem perdas, com resistência característica

de onda Rw=300 e comprimento =1,5 m. A linha funciona em regime forçado

sinusoidal imposto pela tensão de um gerador ideal com valor eficaz Ugef=1 V e

frequência f=100 MHz. A linha está terminada por uma impedância de cargaaZ .

Observa-se que o valor eficaz da tensão tem um mínimo de valor nulo à distância

1,125mm da carga.

1) Calcule a velocidade de fase v, o comprimento de onda e a constante de fase

Calcule a capacidade C, e o coeficiente de autoindução L, por unidade de


2) Calcule o valor do coeficiente de reflexão na carga. Determine a impedância de

carga aZ da linha. Com que elemento de circuito poderia construir essa impedância?

3) Construa o diagrama de onda estacionária da tensão e da corrente, indicando os seus

valores máximos e mínimos, sua localização e ainda os valores no gerador ( y ) e

na carga (y=0), tendo em conta que a tensão do gerador é imposta.

4) Determine a impedância de entrada da linha, no lado do gerador. Compare com a

impedância de carga da linha. Comente o resultado. Determine a potência complexa

posta em jogo pelo gerador.

Resultados:

1)

-1 -1

-1 -1

m s m rad m

pFm μHm

8

0

w

w

v 2 2v c 3 10 ; 3 ;

f 3

R1C 11,1 , L 1

vR v

2)

H

min

m

j / 2

aa w w a a

SWR 1U 0 SWR 1

SWR 1

arg( ) 2 / 2

e j

X1 1 jZ R R j300 ( ) jX L 0,48

1 1 j

68

3)

No diagrama de onda estacionária, a tensão é mínima com valor nulo e a corrente é

máxima em 1,125mmy . A corrente é mínima com valor nulo e a tensão é

máxima em / 4 0,375mmy .

' '

'

'

'

'

2 2 1 0,707 V

1 3,3mA

(1 1) 1,41 V 4,7 mA

1 1 , 1 3,3mA

gef ief ief

ief

gef

w

maxmax ief max

w

ief

aef ief aef

w

U U j U

UI j

R

UU U I

R

UU U j V I j

R

4)

1300( )

1g w aZ R Z j

pois a linha é de comprimento /2.

Logo 0 3,3 (mVA)g aP P j

Não há dissipação por efeito de Joule na linha pois ela é sem perdas e, sendo uma

linha de /2, então ( ) ( )m av e avW W ao longo da linha.

69


Considere uma linha bifilar sem perdas constituída por dois condutores cilíndricos

paralelos iguais de raio r=0,821 mm, à distância d=1 cm um do outro, de comprimento

l=2,25 m e com dielétrico de ar. A entrada da linha está ligada a um gerador que impõe a

tensão sinusoidal ( ) 2 cos( ), 3V, 2g gef gefu t U t U f , f=100 MHz. A saída

da linha está ligada a um condensador de capacidade Ca= 5,3 pF.

1) Determine o coeficiente de autoindução por unidade de comprimento da linha L, a

velocidade de fase v e a capacidade por unidade de comprimento da linha C.

Determine a resistência característica de onda Rwo comprimento de onda e a

constante de fase .

2) Defina fator de reflecção da carga . Determine o seu valor. Estabeleça o diagrama

vetorial do vetor uV representativo das tensões ao longo da linha. Esboce o diagrama

de onda estacionária da tensão e da corrente ao longo da linha, indicando os

respetivos valores máximos e mínimos e sua localização, bem como os valores à

entrada e à saída da linha. Determine as amplitudes complexas das tensões e correntes

à entrada e à saída da linha. Determine a impedância vista do gerador.

3) Determine o valor da intensidade do campo elétrico máximo. Justifique, indicando

as aproximações que usou. Comente o resultado.

Resultados:

1)

-10

8 -1

0 0

-10

2

-1

ln 1μHm

13 10 ms

111,1pFm

ln

300

2 23m, rad m

3

w

dL

r

v c

Cd v L

r

LR vL

C

vLC

f v

70

2)

'/ 2

'

' 2

' 2

0 ' 3 / 2 ' 3 / 2 / 4 '

' / 4

1

300

( ) (1 )

( ) (1 )

32 3 (V) (1 ) (1 ) 2

2

2 2,121 (V)

ja wr

i a w

a

a

j y j y

i

j y j y

w i

j j j j

g i i i

j

i

Z RUe j

U Z R

jZ j

C

U y U e e

R I y U e e

l U e U e U e j e U

U e

Localização do máximo de tensão e mínimo de corrente: max

3 / 21.125m

2y

;

Localização dos mínimos de tensão e máximos de corrente:

y=ymax-/4=0,375 m e y=ymax+/4=1,875 m.

' ' maxmax max

min min

(1 ) 2 4,24V , 14,1mA

0

ief ief

w

UU U U I

R

U I

Em y=0 (saída da linha):

' 0 / 2(1 ) 2 3 ( ), 210 (A)j jaa i a

a

UU U e V I e

Z

Em y=l (entrada da linha, gerador):

' 3 / 2 / 21

(1 ) 210 (A), 300gj j

g i g

w g

UI U e e Z j

R I

3)

Tomando a aproximação de condutores finos, d r :

3 -1maxmax

0 0

max

11,2 10 Vm

2 2

2 4,24( ) 6V

CUqE

r

U V

Não existe disrupção do ar pois Emax<Edisr.

71


Considere uma linha bifilar, de dielétrico de ar, sem perdas, constituída por dois

condutores cilíndricos paralelos iguais de raio r=1 mm, com coeficiente de autoindução

externo por unidade de comprimento (p.u.c.) Le=1 Hm-1. A entrada da linha está ligada

a um gerador que impõe a tensão sinusoidal ( ) 2 cos( )g gefu t U t , Ugef=3 V, =2f,

f=30 MHz. A saída da linha está ligada a uma resistência Ra=180 em série com um

condensador de capacidade Ca= 22,1 pF.

1) Determine a velocidade de fase v, o comprimento de onda a constante de fase a

capacidade C p.u.c. e verifique que a resistência característica de onda Rw=300.

2) Defina fator de reflecção da carga e determine o seu valor. Defina fator de onda

estacionária SWR e determine o seu valor. Calcule os possíveis comprimentos da

linha de modo que a impedância de entrada da linha seja resistiva pura com valor

maior que Rw. Tome o menor desses valores do comprimento. Determine o valor da

resistência de entrada da linha. Esboce o diagrama de onda estacionária da tensão e

da corrente indicando a localização dos valores máximos e mínimos e respetivos

valores, bem como os respetivos valores na carga. Determine as amplitudes

complexas das tensões e correntes à entrada e à saída da linha.

3) Considere os condutores de cobre cuja condutividade é 7 -15,7 10 Sm .Cu

Determine a profundidade de penetração do campo eletromagnético nos conduto-

res da linha. Determine a resistência R p.u.c. dos condutores da linha. Corrija o valor

da constante de propagação da linha, em particular indicando o valor da constante de

atenuação. Comente a validade da aproximação de linha sem perdas.

Resultados:

1)

8 -1

0 0

-1

-1

2

13 10 ms

210 m, rad m

5

111,1pFm

300w

v c

v

f v

Cv L

LR vL

C

72

2)

'/ 2

'

53,1º

max max

min min

0,5

180 240 ( ) 300 ( )

13

1

ja wr

i a w

j

a a

a

Z RUe

U Z R

jZ R j e

C

U ISWR

U I

2

min

( )1 '( ) , ' '

1 ' ( )

( ) ( ) ' / 2 2 2 , 1,2,...

/ 82

3 /8 3,75m , ( ) 900

j l ww

w

w

Z l RZ l R e

Z l R

Z l Z l R l k k

l k

l Z l

Deve acompanhar a resolução com um esboço do diagrama vetorial dos vetores

representativos da tensão.

No gerador está localizado o máximo de tensão e mínimo de corrente:

max 3,75my l ;

Localização dos mínimos de tensão e máximos de corrente: y=ymax-/4=1,25 m.

' ' '

max min max

max max min min max

3(1 ) 3V =2V, / 1V

2

/ 10mA , / / 3,33mA

gef ief ief ief

w w

U U U U U U U SWR

I U R I U R I SWR

No gerador:

0 ' ' 3 / 4

0

2 3 (V) (1 ') 2 2 (V)

/ ( ) 2 3,33 (mA)

j j l j

g i i

j

g g

U e U e U e

I U Z l e

Na carga:

' 161,6º

108,5º

(1 ) 2 2,236 (V)

/ 2 7,45 (mA)

j

a i

j

a a a

U U e

I U Z e

73

3)

-1

-1

-1

μm mm (aprox.altas frequencias)

(Ω m )

m

Np m

0

e

e

e

4 3 l

w

212,2 r 1

1R 2 0,458

2 r

Z R j L 0,458 j188,5 ( )

Y j C

1 RR L ZY j j L C

2 L / C

1 R7,6 10 , l 2,85 10 Np e 1!!!

2 R

mantem-se praticamente inalterado, pelo que o mesmo acontece com a

velocidade de fase v.

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