com Mathematica - cmig.ufpa.br · Do mesmo modo que os pontos de um plano são caracterizados por...

Luiz Rijo

Cálculo de

com

Mathematica

Várias Variáveis

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CAPÍTULO 1

Vetores, Curvas e Superfícies no EspaçoIniciar o MathKernel

In[1]:= 2 + 2

Out[1]= 4

In[2]:= H∗ Pacote Add−on: Graphics`Arrow` traça setas ∗L<< Graphics`Arrow`

In[3]:= H∗ Pacote Add−on Graphics`ParametricPlot3D`traça gráficos parametrizados tridimensionais ∗L

<< Graphics`ParametricPlot3D`

1.1 Coordenadas cartesianas no espaço

Do mesmo modo que os pontos de um plano são caracterizados por pares ordenados de números reais (x, y), os pontos do espaço podem igualmente ser identificado com ternos de números reais (Fig. 1.1).

In[4]:= H∗ Desenha a Fig 1.1 ∗LShow@Plot@0, 8x, 0, 2<, Axes → False, Epilog → 8Text@"O", 8−0.1, .05<D,

Text@"y", 82, −.12<D, Text@"x", 8−.75, −.95<D, Text@"z", 8.1, 2<D,Text@"P=Hx,y,zL", 81.2, 1.2<D, Text@"Fig. 1.1", 81.5, −.95<D<,

DisplayFunction → IdentityD, Graphics@8Arrow@80, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, 0<, 80, 2<D, Arrow@80, 0<, 8−1, −1<D<, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@880, 0<, 8.6, −.6<, 8.6, 1.2<, 80, 1.7<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,ListPlot@88−.6, −.6<, 8.6, −.6<, 81.2, 0<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,[email protected], 1.2<<, PlotStyle → [email protected]<,DisplayFunction → IdentityD,AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

Oy

x

z

P=Hx,y,zL

Fig. 1.1

EXEMPLO 1. (pág. 3)

A equação x2 + y2 + z2 = 0, representa o lugar dos pontos P = (x, y, z) tais que OP = 5, isto é, trata-se da superfície esférica de centro na origem e raio r = 5.

2 Cal 3 Capítulo 1.nb

In[5]:= H∗ Desenha a superfície esferica x2 + y2 + z2 = 25 ∗LParametricPlot3D@85 Cos@uD Cos@vD, 5 Sin@uD Cos@vD, 5 Sin@vD<,8u, 0, 2 Pi, Piê10<, 8v, 0, 2 Pi, Piê15<, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<D;

-5-2.5

02.5

5x

-5-2.5

02.5

5y

-5

-2.5

0

2.5

5

z

-5-2.5

02.5x

5-2.5

02.5y


A equação Hx - 2L2 + Hy + 1L2 + Hz - 1L2 = 9, representa o lugar dos pontos P = (x, y, z) tais que OP = 3, isto é, trata-se da superfície esférica de centro nno ponto (2, -1, 1) e raio r = 3.

In[6]:= H∗ Desenha a superfície esferica Hx − 2L2 + Hy + 1L2 + Hz −1L2 = 9 ∗LParametricPlot3D@83 Cos@uD Cos@vD + 2, 3 Sin@uD Cos@vD − 1, 3 Sin@vD + 1<,8u, 0, 2 Pi, Piê10<, 8v, 0, 2 Pi, Piê15<, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<D;

02

4x

-4

-20

2y

-2

0

2

4

z

02

4x

4

-20

y


Vamos mostrar que a equação 4 (x2 + y2 + z2 + x - 2 y + 2 z) - 7 = 0, representa a superfície esférica. De fato, usando a técnica de completar quadrado, temos

x2 + x = x + 2 x/2 = (x + 1 ê 2L2 - 1/4,

Cal 3 Capítulo 1.nb 3

y2 - 2 y = (y - 1L2 - 1,

z2 + 2 z = (z + 1L2 - 1.

Portanto, a equação anterior pode ser escrita na forma (x + 1 ê 2L2 - 1/4 + (y - 1L2 - 1 + (z + 1L2 - 1 - 7/4 = 0,

ou ainda (x + 1 ê 2L2 + (y - 1L2 + (z + 1L2 = 4.

Está claro, agora, que esta é a equação da superfície da esfera de raio r = 2 e centro C = (-1/2, 1, -1).

In[7]:= H∗ Desenha a superfície esferica Hx − 1ê2L2 + Hy−1L2 + Hz+1L2 = 4 ∗LParametricPlot3D@82 Cos@uD Cos@vD − 1ê2, 2 Sin@uD Cos@vD − 1, 2 Sin@vD + 1<,8u, 0, 2 Pi, Piê10<, 8v, 0, 2 Pi, Piê15<, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<D;

-2-1

01x

-3-2

-10

1y

-1

0

1

2

3

z

-2-1

01x

3-2

-10y


A equação 2 y + 3 z - 6 = 0 representa uma reta no plano 0xz. Como ela não impõe qualquer restrição à variável x, ela representa, no espaço o plano que passa pela reta mencionada e é perpendicular ao plano 0xz (Fig 1.4).


In[8]:= H∗ Desenha a Fig. 1.4 ∗LParametricPlot3D@8u, v, 2 − 2 vê3<, 8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,

AxesLabel → 8"x", "y", "z"<, PlotPoints → 5, ViewPoint → 82, 1, 2<D;-1

-0.50

0.5

1

x

-1-0.5

00.5

1y

1.5

2

2.5

z.5

2


1.1.2 Exercícios (pág. 4)

1. Marque, num sistema de coordenadas, os pontos A = (2, 3, 4), B = (3, 2, -4), C = (-2, 1, 3), D = (-3, 2, -1), E = (-1, -2, 3), F = (-2, -1, -3).

In[1]:= H∗ Marca,num sistema de coordenadas, os pontos A, B, C, D, E e F.∗Lpontos = 8Point@81, 3, 4<D, Point@83, 2, −4<D, Point@8−2, 1, 3<D,Point@8−3, 2, −1<D, Point@8−1, −2, 3<D, Point@8−2, −1, −3<D<;

Show@Graphics3D@ [email protected], pontos, Text@"A", 81.4, 3, 4<D,Text@"B", 83.5, 2, −4<D, Text@"C", 8−1.6, 1, 3<D, Text@"D", 8−3.5, 2, −1.2<D,Text@"E", 8−1.4, −2, 3<D, Text@"F", 8−2.4, −1, −3<D<D,

Axes → True, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<D;

-20

2

x

-2

0

2y

-4

-2

0

2

4

z

A

B

C

D

E

F

2

0

2y

Nos Exercícios 2 a 5, os pontos dados são vértices opostos de um paralelepípedo retângulo de arrestas paralelas aos eixos de coordenadas. Determine os outros seis vértices e faça gráficos em cada caso.

2. A = (1, 1, 1) e B = (3, 3, 3).


In[2]:= H∗ Desenha o paralelepípedo do Exer. 2. ∗LShow@Graphics3D@Cuboid@81, 1, 1<, 83, 3, 3<D, Axes → TrueD,

AxesLabel → 8"x", "y", "z"<D;

11.5

22.5

3x

11.5

22.5

3y

1

1.5

2

2.5

3

z

11.5

22.5x

11.5

22.5y

3. A = (0, 1, 1) e B = (1, 0, -3).


In[3]:= H∗ Desenha o paralelepípedo do Exer. 3. ∗LShow@Graphics3D@Cuboid@80, 1, 1 <, 81, 0, −3<D, Axes → TrueD,

AxesLabel → 8"x", "y", "z"<, TextStyle → 8FontSize → 7.0<D;

0 0.250.5

0.751

x

00.25

0.50.75

1

y

−3

−2

−1

0

1

z

250.50.75

1

4. A = (-2, 2, 3) e B = (1, -2, -1).


In[4]:= H∗ Desenha o paralelepípedo do Exer. 4. ∗LShow@Graphics3D@Cuboid@8−2, 2, 3<, 81, −2, −1 <D, Axes → TrueD,


-2-1

01x

-2-1

01

2y

-1

0

1

2

3

z

-2-1

0x

-2-1

01y

5. A = (1, 2, 1) e B = (0, -3, -1).

In[5]:= H∗ Desenha o paralelepípedo do Exer. 5. ∗LShow@Graphics3D@Cuboid@81, 2, 1<, 80, −3, −1 <D, Axes → TrueD,


00.250.50.751x

-2

0

2

y

-1

-0.5

0

0.5

1

z

0.250 50 75

-2

0

2

y

Nos Exercícios 6 a 9, calcule a distância entre os dois pontos dados, em cada caso.

6. A = (1, 0, -2) e B = (-2, -3, -1).


In[6]:= H∗ Solução do Exercício 6. ∗La = 81, 0, −2<;b = 8−2, 3, −1<;Sqrt@Total@Ha − bL^2DD

Out[8]=è!!!!!!19

7. A = (1/2, -1, -1/3) e B = (-1, 1/2, -3/2).

In[9]:= H∗ Solução do Exercício 7. ∗La = 81ê2, −1, −1ê3<;b = 8−1, 1ê2, −3ê2<;Sqrt@Total@Ha − bL^2DD

Out[11]=è!!!!!!!!!2116

8. A = (-1 + è!!!2 , 3, 0) e B = (-1, -1, 1).

In[12]:= H∗ Solução do Exercício 8 ∗La = 8−1 + Sqrt@2D, 3, 0<;b = 8−1, −1, 1<;Sqrt@Total@Ha − bL^2DD

Out[14]=è!!!!!!19

9. A = (a, b, c è!!!2 ) e B = (b, -a, 0).

In[15]:= H∗ Solução do Exercício 9. ∗LClear@a, b, cDu = 8a, b, c Sqrt@2D<;v = 8b, −a, 0<;Sqrt@Total@Hu − vL^2DD êê Simplify

Out[18]=è!!!2 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a2 + b2 + c2

10. Num levantamento topográfico, um observador num ponto A determinou que um ponto B está 700 m mais ao Leste, 500 m mais ao Sul e 200 m acima de sua posição. Determine a distância entre A e B e faça um gráfico.

In[19]:= H∗ Solução do Exercício 10. ∗La = 80, 0, 0<;b = 8700, 500, 200<;Sqrt@Total@Ha − bL^2DD

Out[21]= 100 è!!!!!!78

11. Demostre que os pontos A = (1. 0, 1), B = (0, 1, -1) e C = (3, 4, 2) são vértices de um triângulo retângulo. Faça o gráfico. .


In[22]:= H∗ Solução do Exercício 11. ∗La = 81, 0, 1<;b = 80, 1, −1<;c = 83, 4, 2<;ab = Sqrt@Total@Ha − bL^2DDac = Sqrt@Total@Ha − cL^2DDbc = Sqrt@Total@Hb − cL^2DDbc^2 − ab^2 − ac^2

Out[25]=è!!!6

Out[26]=è!!!!!!21

Out[27]= 3 è!!!3Out[28]= 0

12. Determinar z de maneira que os pontos A = (-1. 1, z), B = (-1, 1, -z) e a origem O sejam vértices de um triângulo retângulo em O. Faça o gráfico. .

In[29]:= H∗ Solução do Exercício 12. ∗La = 8−1, 1, z<;b = 8−1, 1, −z<;[email protected] 0, 8z<D

Out[31]= 99z → −è!!!2 =, 9z →

è!!!2 ==

Verificação do resultado:

In[32]:= a = 9−1, 1,è!!!!2 =;

b = 9−1, 1, −è!!!!2 =;

c = 80, 0, 0<;ac = Sqrt@Total@Ha − cL^2DDbc = Sqrt@Total@Hb − cL^2DDab = Sqrt@Total@Hb − aL^2DDab^2 − ac^2 − bc^2

Out[35]= 2

Out[36]= 2

Out[37]= 2 è!!!2Out[38]= 0

Nos Exercícios 13 a 22, faça o gráfico ilustrando os planos de equações dadas.

13. 3 x - 2 y + 1 = 0.


In[39]:= H∗ Desenho do Exercício 13 ∗LParametricPlot3D@8u, 1ê2 + 3ê2 u, v<, 8u, −1, 1<,8v, −1, 1<, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<, PlotPoints → 5D;

-1-0.5

00.5

1x

-1

0

1

2

y

-1

-0.5

0

0.5

1

z

-1-0.5

00.5x

0

1

2

y

14. y = 2 z + 3.

In[40]:= H∗ Desenho do Exercício 14 ∗LParametricPlot3D@8u, 2 v + 3, v<, 8u, −1, 1<,8v, −1, 1<, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<, PlotPoints → 5D;

-1-0.5

00.5

1x

1

2

3

4

5

y

-1

-0.5

0

0.5

1

z

-1-0.5

00 5

2

3

4

5

y

15. - x + z/2 = 1.


In[41]:= H∗ Desenho do Exercício 15 ∗LParametricPlot3D@8uê2 − 1, v, u<, 8u, −1, 1<,8v, −1, 1<, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<, PlotPoints → 5,TextStyle → 8FontSize → 7.0<, ViewPoint → 84, 4, 1<D;

−1.5−1.25−1−0.75−0.5 x

−1−0.5

00.5

1y

−1

−0.5

0

0.5

1

z

−1.−1.251

16. x = 2.

In[42]:= H∗ Desenho do Exercício 16 ∗LParametricPlot3D@82, u, v<, 8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,

AxesLabel → 8"x", "y", "z"<, PlotPoints → 5, TextStyle → 8FontSize → 7.0<D;

0

1

2

3

4

x

−1

−0.5

0

0.5

1

y

−1

−0.5

0

0.5

1

z

0

1

2

3x

−

−

17. y = -3.


In[43]:= H∗ Desenho do Exercício 17 ∗LParametricPlot3D@8u, −3, v<, 8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,


−1−0.5

00.5

1x

−6

−4

−2

0

y

−1

−0.5

0

0.5

1

z

1−0.5

00 5

−4

−2

0

y

18. z = - 2.

In[44]:= H∗ Desenho do Exercício 18 ∗LParametricPlot3D@8u, v, −2<, 8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,


−1−0.5 0 0.5 1

x

−1−0.5

00.5

1y

−4

−3

−2

−1

0

z

1−0.5

00.5

19. x + y = 2.


In[45]:= H∗ Desenho do Exercício 19 ∗LParametricPlot3D@8u, 2 − u, v<, 8u, −1, 1<,8v, −1, 1<, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<, PlotPoints → 5,TextStyle → 8FontSize → 7.0<, ViewPoint → 82, 1, 1<D;

−1

−0.5

0

0.5

1

x11.5

22.5

3

y

−1

−0.5

0

0.5

1

z

−1

−0.5

0

0.5

1

x

−1

.5

0

5

20. x - z = 1.

In[46]:= H∗ Desenho do Exercício 20 ∗LParametricPlot3D@8u, v, u − 1<, 8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,


−1−0.5

0

0.5

1

x

−1

−0.5

0

0.51

y

−2

−1.5

−1

−0.5

0

z

−1−0.5

0

0.5x

1

−0.5

0

0.5y

21. 4 z + 5 y = 0.


In[47]:= H∗ Desenho do Exercício 21 ∗LParametricPlot3D@8u, v, −5 vê4<, 8u, −1, 1<,8v, −1, 1<, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<, PlotPoints → 5,TextStyle → 8FontSize → 7.0<, ViewPoint → 82, 1, 1<D;

−1

−0.5

0

0.5

1

x−1−0.5

00.5

1y

−1

0

1

z

−1

−0.5

0

0.5

1

x

−1

0

21. 5 x = 4 z.

In[48]:= H∗ Desenho do Exercício 21 ∗LParametricPlot3D@8u, v, 5 uê4<, 8u, −1, 1<,8v, −1, 1<, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<, PlotPoints → 5,TextStyle → 8FontSize → 7.0<, ViewPoint → 84, 4, 1<D;

−1−0.5

00.5

1 x

−1−0.5

00.5

1y

−1

0

1

z

−1−0.5

00 5

Nos Exercícios 23 a 27, determine a equação da esfera de centro e raio dados, em cada caso (Pág. 8).

23. C = (2, 1, 1), r = 2.


In[49]:= H∗ Solução do Exercício 23. ∗L8a, b, c, r< = 82, 1, 1, 2<;Expand@Hx − aL^2 + Hy − bL^2 + Hz − cL^2D − r^2 0

Out[50]= 2 − 4 x + x2 − 2 y + y2 − 2 z + z2 0

24. C = (0, -2, 1), r = 5.

In[51]:= H∗ Solução do Exercício 24. ∗L8a, b, c, r< = 80, −2, 1, 5<;Expand@Hx − aL^2 + Hy − bL^2 + Hz − cL^2D − r^2 0

Out[52]= −20 + x2 + 4 y + y2 − 2 z + z2 0

25. C = (-1, 0, 4), r = 1.

In[53]:= H∗ Solução do Exercício 25. ∗L8a, b, c, r< = 8−1, 0, 4, 1<;Expand@Hx − aL^2 + Hy − bL^2 + Hz − cL^2D − r^2 0

Out[54]= 16 + 2 x + x2 + y2 − 8 z + z2 0

26. C = (1/2, -1/3, 1), r = 1/2.

In[55]:= H∗ Solução do Exercício 26. ∗L8a, b, c, r< = 81ê2, −1ê3, 1, 1ê2<;Expand@Hx − aL^2 + Hy − bL^2 + Hz − cL^2D − r^2 0

Out[56]=109

− x + x2 +2 y3

+ y2 − 2 z + z2 0

27. C = (0, -3, -2/3), r = 5.

In[57]:= H∗ Solução do Exercício 27. ∗L8a, b, c, r< = 80, −3, −2ê3, 5<;Expand@Hx − aL^2 + Hy − bL^2 + Hz − cL^2D − r^2 0

Out[58]= −1409

+ x2 + 6 y + y2 +4 z3

+ z2 0

Nos Exercícios 28 a 31, determine o centro e o raio da esfera de equação dada, em cada caso.

28. x2 + y2 + z2 - 2y + 4z + 4 = 0

In[59]:= H∗ Solução do Exercício 28. ∗LSimplify@x^2 + y^2 + z^2 − 2 y + 4 z + 4 D 0

Out[59]= x2 − 2 y + y2 + H2 + zL2 0

Completar os quadrados

y2 - 2 y = Hy - 1L2 - 1

z2 + 4 z = Hz + 2L2 - 4


In[60]:= x^2 + Hy − 1L^2 − 1 + Hz + 2L^2 − 4 + 4 0

Out[60]= −1 + x2 + H−1 + yL2 + H2 + zL2 0

Centro = (0, 1, -2) e raio = 1.


In[61]:= Expand@x^2 + Hy − 1L^2 + Hz + 2L ^2 − 1D 0

Out[61]= 4 + x2 − 2 y + y2 + 4 z + z2 0

29. 4(x2 + y2 + z2 - x + y) - 26 = 0

In[62]:= H∗ Solução do Exercício 29. ∗LSimplify@4 x^2 + 4 y^2 + 4 z^2 − 4 x + 4 y − 26D 0

Out[62]= −26 − 4 x + 4 x2 + 4 y + 4 y2 + 4 z2 0


4 x2 - 4 x = 4 Hx - 1 ê 2L2 - 1

4 y2 + 4 y = 4 Hy + 1 ê 2L2 - 1

In[63]:= 4 Hx − 1ê2L^2 − 1 + 4 Hy + 1ê2L^2 − 1 + 4 z^2 − 26 0

Out[63]= −28 + 4 J−12

+ xN2

+ 4 J 12

+ yN2

+ 4 z2 0

Dividindo por 4,

Centro = (1/2, -1/2, 0) e raio = è!!!7 .


In[64]:= Expand@Hx − 1ê2L^2 + Hy + 1ê2L^2 + z ^2 − 7D 0

Out[64]= −132

− x + x2 + y + y2 + z2 0

Multiplicando por 4,

4 Hx2 + y2 + z2 - x + yL - 26 = 0.

30. 9(x 2 + y2 + z2 ) - 12x + 24 z - 205 = 0

In[65]:= H∗ Solução do Exercício 30. ∗LSimplify@9 x^2 + 9 y^2 + 9 z^2 − 12 x + 24 z − 205D 0

Out[65]= −205 − 12 x + 9 x2 + 9 y2 + 24 z + 9 z2 0


9 x2 - 12 x = H3 x - 2L2 - 4

9 z2 + 2 4 z = H3 z + 4L2 - 16


In[66]:= H3 x − 2L^2 − 4 + 9 y^2 + H3 z + 4L^2 − 16 − 205 0

Out[66]= −225 + H−2 + 3 xL2 + 9 y2 + H4 + 3 zL2 0

Dividindo por 9,

Hx - 2 ê3L2 + y2 + Hz + 4 ê 3L2 = 25

Centro = (2/3, 0, -4/3) e raio = 5.


In[67]:= Expand@Hx − 2ê3L^2 + y^2 + Hz + 4ê3L^2 − 25D 0

Out[67]= −2059

−4 x3

+ x2 + y2 +8 z3

+ z2 0


9 Hx2 + y2 + z2 L - 12 x + 24 z - 205 = 0.

31. 2(x 2 + y2 + z2 ) - 4x + 2y - 6 z + 5 = 0

In[68]:= H∗ Solução do Exercício 31. ∗LSimplify@2 x^2 + 2 y^2 + 2 z^2 − 4 x + 2 y − 6 z + 5D 0

Out[68]= 5 − 4 x + 2 x2 + 2 y + 2 y2 − 6 z + 2 z2 0


2 Hx2 + y2 + z2 L - 4 x + 2 y - 6 z + 5 = 0.


2 x2 - 4 x = 2 Hx - 1L2 - 2

2 y2 + 2 y = 2 Hy + 1 ê 2L2 - 1 ê 2

2 z2 - 6 z = 2 Hz - 3 ê 2L2 - 9 ê 2

In[69]:= 2 Hx − 1L^2 − 2 + 2 Hy + 1ê2L^2 − 1ê2 + 2 Hz − 3ê2L^2 − 9ê2 + 5 0

Out[69]= −2 + 2 H−1 + xL2 + 2 J 12

+ yN2

+ 2 J−32

+ zN2

0

Dividindo por 2,

Hx - 1L2 + Hy + 1 ê 2L2 + Hz - 3 ê 2L2 = 1

Centro = (1, -1/2, 3/2) e raio = 1.


In[70]:= Expand@Hx − 1L^2 + Hy + 1ê2L^2 + Hz − 3ê2L^2 − 1D 0

Out[70]=52

− 2 x + x2 + y + y2 − 3 z + z2 0


2 Hx2 + y2 + z2 L - 4 x + 2 y - 6 z + 5 = 0.


1.2 Vetores e Retas no Espaço

Um vetor no espaço é simplesmente um terno ordenado de números reais (x, y, z) simbolizado por uma letra em negrito v = (x, y, z) ou encimada por uma flexa v” = (x, y, z). Os números x, y, z são as componentes do vetor v.

Dados dois vetores quaisquer (x, y, z) e (x', y', z') e um número real r, definimos a soma e o produto por um escalar:

(x, y, z) + (x', y', z') = (x + x', y + y', z + z'),

r(x, y, z) = (rx, ry, rz).

Dado um vetor v = (x, y, z), seu oposto é o vetor

- v = (-1)v = (-x, -y, -z)

A diferença de dois vetores (x, y, z) e (x', y', z') é definida com a soma de v com -v':

v - v' = v + (- v') = (x - x', y - y', z - z' ).

O vetor 0 = (0, 0, 0) é camado vetor nulo.

Quaisquer que sejam os vetores u, v e w no espaço e os escalares r e s, as seguintes propriedades são verificadas:

u + v = v + u (cumitatividade)

(u + v) + w = u + (u + w) (associatividade)

u + 0 = u e u + (-u ) = 0 (vetor nulo)

(r + s)u = ru + su (distributividade da soma de escalares)

r(u + v) = ru + rv (distributividade da soma de vetores)

(rs)u = r(su) (distributividade do produto de escalares)

1. u = u

O módulo, norma ou comprimento de um vetor v = (x, y, z) é definido como sendo

|v| = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 + z2

Geometricamente, o módulo de um vetor

v = 0 X”÷÷÷÷÷÷÷ = B - A

é o comprimento dos segmentos 0X ou AB que representam o vetor (Fig 1.5).

Se r é um número real e v = (x, y, z) é um vetor qualquer, então


|rv| = |r| |v|.

In[1]:= H∗ Desenha a Fig. 1.5 ∗LShow@Plot@0, 8x, 0, 2<, Axes → False, Epilog → 8Text@"O", 8−0.1, .05<D,

Text@"y", 82, −.12<D, Text@"x", 8−.75, −.95<D, Text@"z", 8.1, 2<D,Text@"X", 81.3, .7<D, Text@"A", 8.6, .8<D, Text@"B", 81.8, 1.4<D,Text@"Fig. 1.5", 81.5, −.95<D<, DisplayFunction → IdentityD,

Graphics@8Arrow@80, 0<, 81.2, 0.6<D, Arrow@80, 0<, 80, 2<D,Arrow@80, 0<, 8−1, −1<D, Arrow@80, 0<, 8−1, −1<D,[email protected], .7<, 81.8, 1.3<D<, DisplayFunction → IdentityD,

[email protected], −.6<, 81.2, .6<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,ListPlot@88−.6, −.6<, 81.2, −.6<, 81.8, 0<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

Oy

x

z

XA

B

Fig. 1.5

A equação vetorial da reta que passa pelo um ponto dado P0 = (x0 , y0 , z0 ) e é paralela a um vetor v = (a, b, c) ∫ 0 tem a forma

P = P0 + t(a, b, c)

equivalente às equações paramétricas da reta

x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct.


Vamos imaginar que um sistema de coordenadas Oxyz seja transladadopara uma nova posição O' x' y' z' HFig. 1.7L, de forma que os eixos o O' x',O' y' e O' z' permaneçam com a mesma direção e sentido que os eixos Ox,Oy, e Oz, respectivamente .


Seja O' = Ha, b, cL a nova origem, Então

OP”÷÷÷÷ = OO'”÷÷÷÷÷÷÷

+ O' P”÷÷÷÷÷÷÷÷

onde P é um ponto qualquer. sejam, x, y,z coordenadas de P no sistema antigo Oxyz e x', y',z' as suas coordenadas no sistema novo O' x' y' z' . A equação anterior nos diz,precisamente, que

x = a + x', y = b + y', z = c + z'.

Estas são as fórmulas de transformação de um sisyema np outro.


O ponto médio de um dado segmento AB é o ponto X tal que AX”÷÷÷÷ = AX”÷÷÷÷ ,ou X − A = B − X . Daqui segue − se que

X =A − B2

.

A Fig. 1.8 ilustra o significado geométrico dessa fórmula.


A reta pelo ponto P0 = H3, −2, 1L, paralela ao vetor v = H−4, 2, 3L tem equação vetorialP = P0 + tv,

onde P = Hx, y, zL é o ponto genérico dareta. Essa equação equivale às seguintes equações paramétricas.

x = 3 − 4 t, y = −2 + 2 t, z = 1 + 3 t.


Nos Exercícios 2 a 7, determine as equações paramétricas da reta pelos pontos dados.

2. A = (0, 1, 1) e B = (-1, 2, -3).

In[1]:= H∗ Solução do Exercício 2. ∗La = 80, 1, 1<;b = 8−1, 2, −3<;b − a

Out[3]= 8−1, 1, −4<

Equações paramétricas: x = -t, y = 1 + t, z = 1 - 4t.

3. A = (1, -2, -1) e B = (4, -1, 5).


In[4]:= H∗ Solução do Exercício 3. ∗La = 81, −2, −1<;b = 84, −1, 5<;b − a

Out[6]= 83, 1, 6<

Equações paramétricas: x = 1 + 3t, y = -2 + t, z = -1 + 6t.

4. A = (6, -1, 0) e B = (0, -2, -3).

In[7]:= H∗ Solução do Exercício 4. ∗La = 86, −1, 0<;b = 80, −2, −3<;b − a

Out[9]= 8−6, −1, −3<

Equações paramétricas: x = 6 - 6t, y = -1 - t, z = - 3t.

5. A = (-2, 3, 1) e B = (-2, 0, 2).

In[10]:= H∗ Solução do Exercício 5. ∗La = 8−2, 3, 1<;b = 8−2, 0, 2<;b − a

Out[12]= 80, −3, 1<

Equações paramétricas: x = -2, y = 3 - 3t, z = 1 + t.

6. A = (0, 1, 4) e B = (5, -1, 4).

In[13]:= H∗ Solução do Exercício 6. ∗La = 80, 1, 4<;b = 85, −1, 4<;b − a

Out[15]= 85, −2, 0<

Equações paramétricas: x = 5t, y = 1 - 2t, z = 4.

7. A = (1, 7, 3) e B = (-1, 7, 5).

In[16]:= H∗ Solução do Exercício 7. ∗La = 81, 7, 3<;b = 8−1, 7, 5<;b − a

Out[18]= 8−2, 0, 2<

Equações paramétricas: x = 1 - 2t, y = 7, z = 3 + 2t.

8. Determine o ponto P tal que AP = 3 AB onde A = (10, 7, 3) e B = (2, -1, 5).


In[19]:= H∗ Solução do Exercício 8. ∗La = 810, 7, 3<;b = 82, −1, 5<;a + 3 Hb − aL

Out[21]= 8−14, −17, 9<

9. Determine o ponto médio do segmento AP, onde A = (1, -1, 2) e B = (3, -5, -4).

In[22]:= H∗ Solução do Exercício 9. ∗La = 81, −1, 2<;b = 83, −5, −4<;Hb + aLê2

Out[24]= 82, −3, −1<

10. Determine os pontos M e N que divide o segmento AB em três partes iguais, sendo A = (2, 0, -1) e B = (4, 3, 4).

In[25]:= H∗ Solução do Exercício 10. ∗La = 82, 0, −1<;b = 84, 3, 4<;m = Hb − aLê3n = 2 Hb − aLê3

Out[27]= 9 23, 1,

53=

Out[28]= 9 43, 2, 10

3=

1.3 O Produto Escalar

Dados dois vetores

v1 = (x1 , y1 , z1 ) e v2 = (x2 , y2 , z2 ),

definimos seu produto escalar, ou produto interno, como no caso do plano

v1 · v2 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .

Quaisquer que sejam os vetores u, v, w e o escalar r, as seguintes propriedades são verificadas:

u· u = » u »2 ,

u· v = v· u ,


u· (v + w ) = u· v + u· w ,

(ru)· v = r(u· v ) = u· (rv).

Geometricamente, dois vetores u e v são ortogonais ou perpendiculares se

| v + w | = | v - w |

ou equivalentemente,

u· v = 0.

In[1]:= H∗ Desenha a Fig. 1.9. ∗LShow@Plot@0, 8x, 0, 2<, PlotRange → 88−.1, 2.1<, 8−.1, 1<<, Axes → False,

Epilog → 8Text@"u", 81, −.05<D, Text@"v", 8−.05, .5<D, Text@"u + v",81.5, .6<D, Text@"u − v", 8.65, .8<D<, DisplayFunction → IdentityD,

Graphics@8Arrow@80, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, 0<, 80, 1<D, Arrow@80, 0<, 82, 1<D,Arrow@82, 0<, 80, 1<D<, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@882, 0<, 82, 1<, 80, 1<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

u

vu + v

u − v

Dados os vetorres u e v e o escalar r

rv = u. vÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ»v »2 v = (u . vÅÅÅÅÅÅÅ»v» ) vÅÅÅÅÅÅÅ»v»

é chamado a projeção ortogonal de u sobre v. Se estes vetores são ambos não nulos e q é o angulo que eles formam, então é claro que

cos q = r»v»ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ»u» = »v»ÅÅÅÅÅÅÅ»u» . u. vÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ»v »2 = uÅÅÅÅÅÅÅ»u» . vÅÅÅÅÅÅÅ»v» ,

donde segue-se que

u . v = |u| |v| cos q

A direção e o sentido de um vetor v = (x, y, z) são dados pelo vetor unitário

u = vÅÅÅÅÅÅÅ»v» = ( xÅÅÅÅÅÅ»v» , xÅÅÅÅÅÅ»v» , xÅÅÅÅÅÅ»v» ) = (a, b, c)

Em particular, os vetores unitários


i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1),

são dois a dois ortogonais e caracterizam os sentidos positivos dos eixos Ox, Oy e Oz, respectivamente (Fig. 1.11). Eles formam o chamado triedro fundamental.

A desigualdade de Schwartz,

u . v § |u| |v|,

válida quaisquer que sejam os vetores u e v.

A desigualdade do trângulo,

|u + v| § |u| + |v|,

válida quaisquer que sejam os vetores u e v.


Nos Exercícios 1 a 6, determine o vetor unitário com a mesma direção e sentido do vetir dado.

1. v = (2, -1, 2)

In[1]:= H∗ Solução do Exercício 1. ∗Lv = 82, −1, 2<;vê[email protected]

Out[2]= 9 23, −

13, 2

3=

2. v = (-2, 1, 3)

In[3]:= H∗ Solução do Exercício 2. ∗Lv = 8−2, 1, 3<;vê[email protected]

Out[4]= 9−$%%%%%%27,

1è!!!!!!14

,3

è!!!!!!14=

3. v = (0, -1, 2)


Out[6]= 90, −1è!!!5

,2è!!!5

=


4. v = (4, 1/2, -1/3)

In[7]:= H∗ Solução do Exercício 4. ∗Lv = 84, 1ê2, −1ê3<;vê[email protected]

Out[8]= 9 24è!!!!!!!!!589

,3

è!!!!!!!!!589, −

2è!!!!!!!!!589

=

5. v = (2/3, -1/2, 0)

In[9]:= H∗ Solução do Exercício 5. ∗Lv = 82ê3, −1ê2, 0<;vê[email protected]

Out[10]= 9 45, −

35, 0=

6. v = (1, 6, -12)

In[11]:= H∗ Solução do Exercício 6. ∗Lv = 81, 6, −12<;vê[email protected]

Out[12]= 9 1è!!!!!!!!!181

,6

è!!!!!!!!!181, −

12è!!!!!!!!!181

=

Nos Exercícios 8 a 11, determine o ângulo entre os vetores dados.

8. u = (1, 1, 0) e v = (0, 1, 1)

In[13]:= H∗ Solução do Exercício 8. ∗Lu = 81, 1, 0<;v = 80, 1, 1<;[email protected]ê[email protected] [email protected]

Out[15]=π3

9. u = (1, 1, 1/2) e v = (1, 1, 4)

In[16]:= H∗ Solução do Exercício 9. ∗Lu = 81, 1, 1ê2<;v = 81, 1, 4<;[email protected]ê[email protected] [email protected]

Out[18]= ArcCosA 4 è!!!29

E

10. u = (-1, 2, 3) e v = (2, -1, 0)


In[19]:= H∗ Solução do Exercício 10. ∗Lu = 8−1, 2, 3<;v = 82, −1, 0<;[email protected]ê[email protected] [email protected]

Out[21]= ArcCosA−2$%%%%%%%%%235

E

11. u = (-2, 1, 0) e v = (0, -3, 2)

In[22]:= H∗ Solução do Exercício 11. ∗Lu = 8−2, 1, 0<;v = 80, −3, 2<;[email protected]ê[email protected] [email protected]

Out[24]= ArcCosA−3

è!!!!!!65E

Nos Exercícios 12 a 14, determine o vetor projeção de u sobre v.

12. u = (1, 1, 1) e v = (1, 1, 0)

In[25]:= H∗ Solução do Exercício 12. ∗Lu = 81, 1, 1<;v = 81, 1, 0<;Hu.vêv.vL v

Out[27]= 81, 1, 0<

13. u = (2, 3, 4) e v = (1, -1, 0)

In[28]:= H∗ Solução do Exercício 13. ∗Lu = 82, 3, 4<;v = 81, −1, 0<;Hu.vêv.vL v

Out[30]= 9−12,

12, 0=

14. u = (-3, 1, -1) e v = (3, -1, 2)

In[31]:= H∗ Solução do Exercício 14. ∗Lu = 8−3, 1, 1<;v = 83, −1, 2<;Hu.vêv.vL v

Out[33]= 9−127

, 47, −

87=


1.4 Retas e Planos

Usando o produto escalar, é fácil obter a equação de um plano por um ponto P0 = Hx0 , y0 , z0 ), perpendicular a um vetor v = (a, b, c). Um ponto P = (x, y, z) pertence ao referido plano, se, e somente se,

v . (P - P0 ) = 0.

Esta equação equivale a

a (x - x0 ) + b (y - y0 ) + c (z - z0 ) = 0,

ou ainda

a x + b y + c z + d = 0

onde d = - a x0 - b y0 - c z0 .


O plano de equaçãox + 3 y + 2 z − 6 = 0

é perpendicular ao vetor v = H1, 3, 2L e passa pelos pontos H6, 0, 0L,H0, , 2, 0L e H0, 0, 3L.


Os planos de equaçõesx + 2 y − 3 z − 10 = 0 e 2 x + 3 y − 4 z + 7 = 0

são perpendiculares ais vetores v1 = H1, 2, −3L e v2 = H2, 3, −4L,respectivamente. O ângulo entre os dois planos,que é o mesmo que o ângulo entre esses vetores, pode ser determinado pelo produto escalar

In[1]:= v1 = 81, 2, −3<;v2 = 82, 3, −4<;[email protected]ê[email protected] [email protected]

Out[3]= ArcCosA10$%%%%%%%%%%%2203

E


O plano de equações

x + 3 y + 2 z - 5 = 0


x + 3 y + 2 z − 6 = 0é perpendicular ao vetor v = H1, 3, 2L e passa pelos pontos H6, 0, 0L,H0, , 2, 0L e H0, 0, 3L.


Dados os planos de equações

x + 3 y + 2 z - 5 = 0

é perpendicular ao vetor v = (1, 3, 2) e passa pelos pontos (6, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3).


1. Determine as equações paramétricas da reta pela origem, perpendicular ao plano

2 x - y + 3 z - 6 = 0

e faça o gráfico.

In[1]:= H∗ Solução do Exercício 1. ∗Lt 82, −1, 3<

Out[1]= 82 t, −t, 3 t<

Equações paramétricas: x = 2 t , y = - t , z = 3 t.

2. Determine as equações paramétricas da reta pelo ponto (2, -1, 3), perpendicular ao plano de equação x - y + z + 10 = 0.

In[2]:= H∗ Solução do Exercício 2. ∗Lt 81, −1, 1< + 82, −1, 3<

Out[2]= 82 + t, −1 − t, 3 + t<

Equações paramétricas: x = 2 + t , y = -1 - t , z = 3 + t.

4. Determine o vetor mais geral que é perpendicular aos vetores u = (1, -1, 2) e v = (2, 0,,-1).


Out[4]= 9 23, −

13, 2

3=

Nos Exercícios 9 a 19, determine equações paramétricas das retas interseções dos planos dados.

9. 2 x - y - z - 1 = 0 e x + y - 2 z + 7 = 0


In[5]:= H∗ Solução do Exercício 9. ∗LClear@x, y, zDz = t;Solve@82 x − y 1 + z, x + y −7 + 2 z<, 8x, y<D

Out[7]= 88x → −2 + t, y → −5 + t<<

Equações paramétricas: x = t - 2, y = t - 5, z = t.

10. 3 x - 2 y - 7 = 0 e 2 y + 3 z + 7 = 0

In[8]:= H∗ Solução do Exercício 10. ∗LClear@x, y, zDy = t;Solve@83 x 7 + 2 y, 3 z −2 y − 7<, 8x, z<D

Out[10]= 99x →13H7 + 2 tL, z →

13H−7 − 2 tL==

Equações paramétricas: x = 2 t/3 + 7/3 , y = t , x = -2 t/3 - 7/3

Equações paramétricas: x = t - 2, y = t - 5, z = t.

11. x - 2 y + z + 1 = 0 e 2 y - x + z - 3 = 0

In[11]:= H∗ Solução do Exercício 11. ∗LClear@x, y, zDy = t;Solve@8x + z 2 y − 1, −x + z −2 y + 3<, 8x, z<D

Out[13]= 88x → 2 H−1 + tL, z → 1<<

Equações paramétricas: x = - 2 + 2 t + 7/3 , y = t , z = 1.

12. 3 x - 2 y + z - 2 = 0 e 3 x + 4 y + z + 1 = 0

In[14]:= H∗ Solução do Exercício 12. ∗LClear@x, y, zDz = t;Solve@83 x − 2 y −z + 2, 3 x + 4 y −z − 1<, 8x, y<D

Out[16]= 99x → −13H−1 + tL, y → −

12==

Equações paramétricas: x = -1/3 t + 1/3 , y = -1/2 , z = t.

13. 2 x - y + 5 z = 0 e x + y - 5 z = 1 0

In[17]:= H∗ Solução do Exercício 12. ∗LClear@x, y, zDz = t;Solve@82 x − y −5 z , x + y 5 z + 10<, 8x, y<D

Out[19]= 99x →103

, y →53H4 + 3 tL==


Equações paramétricas: x = 10/3, y = 5 t + 20/3 , z = t.

14. x + 3 y = 5 e 2x - z - 1 = 0

In[20]:= H∗ Solução do Exercício 14. ∗LClear@x, y, zDx = t;Solve@83 y 5 − x , z 2 x − 1<, 8y, z<D

Out[22]= 99y →5 − t3

, z → −1 + 2 t==

Equações paramétricas: x = t, y = -1/3 t + 5/3 , z = 2 t - 1.

15. 2 x - y = 3 e 2 y + z = 0

In[23]:= H∗ Solução do Exercício 15. ∗LClear@x, y, zDz = t;Solve@82 x − y 3 , 2 y − z<, 8x, y<D

Out[25]= 99x → −14H−6 + tL, y → −

t2==

Equações paramétricas: x = 1/4 t + 3/2 , y = -1/2 t, z = t.

16. x = 3 e z = 2.

In[26]:= H∗ Solução do Exercício 16. ∗LClear@x, y, zDy = t;Solve@8 x 3 , z 2<, 8x, z<D

Out[28]= 88x → 3, z → 2<<

Equações paramétricas: x = 3 , y = t, z = 2.

Equações paramétricas: x = 1/4 t + 3/2 , y = -1/2 t, z = t.

17. x = - 4 e y = 5.

In[29]:= H∗ Solução do Exercício 17. ∗LClear@x, y, zDz = t;Solve@8 x −4 , y 5<, 8x, y<D

Out[31]= 88x → −4, y → 5<<

Equações paramétricas: x = - 4 , y = 5, z = t.

18. y = 2 e z = - 3.


In[32]:= H∗ Solução do Exercício 18. ∗LClear@x, y, zDx = t;Solve@8 y 2 , z 5<, 8y, z<D

Out[34]= 88y → 2, z → 5<<

Equações paramétricas: x = t, y = 2, z = 5.

19. x + y = 0 e y + z = 0.

In[35]:= H∗ Solução do Exercício 19. ∗LClear@x, y, zDy = −t;Solve@8 x −y , z −y<, 8x, z<D

Out[37]= 88x → t, z → t<<

Equações paramétricas: x = t, y = - t, z = t.

1.5 O Produto Vetorial

Dados dois vetores v1 = (x1 , y1 , z1 ) e v2 = (x2 , y2 , z2 ), define-se o produto vetorial v1 × v2 mediante a expressão

w = v1 × v2 = (y1 z2 - z1 y2 , z1 x2 - x1 z2 , x1 y2 - y1 x2 ).

O produto vetorial w possui as seguintes propriedades:

(1) | w | = | v1 | | v2 | sen q, onde q ( 0 § q § p ) é o ângulo entre os vetores v1 e v2 , supostamente ambos não nulos;

(2) w é perpendicular a v1 e a v2 ;

(3) O sentido de w é tal que os três vetores v1 , v2 e w, nesta ordem, formam um triedro com orientação positiva. Isto significa que esses vetores obdecem à chamada regra da mão direita, assim descrita: com a mão direita semi-ab-erta, o dedo indicador representando o vetor v1 e o dedp médio representandpo o vetor v2 , o vetor w deve ser represen-tado pelo dedo polegar, dispostos perpandicularmente aos dois primeiros;

Alem disso o produto vetorial deve possuir as seguintes propriedades, quaisquer que sejam os vetores a, b e c e o escalar r,

a × ( b + c) = a × b + a × c;

(a + b) × c = a × c + b

(ra) × b = r (a × b).


Lembrando que um determinante de segunda ordem é assim definido

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒa bc d

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒ = ab - bc,

podemos reescrever o produto vetorial dos vetores u = (x1 , y1 , z1 ) e v = (x2 , y2 , z2 ) na seguinte forma

u × v = ƒƒƒƒƒƒƒƒƒ

y1 z1

y2 z2

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒ i -

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒx1 z1

x2 z2

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒ j +

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒx1 y1

x2 y2

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒ k.

Por outro lado, um determinante de terceira ordem desenvolve-se em termo de determinante de segunda ordem, de acordo com a regra:

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ

a b cx1 y1 z1x2 y2 z2

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ =

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒy1 z1

y2 z2

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒ a -

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒx1 z1

x2 z2

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒ b +

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒx1 y1

x2 y2

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒ c.

Comparando estas duas última expressões, podemos, simbolicamente, representar o produto vetorial na forma

u × v = ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ

i j kx1 y1 z1x2 y2 z2

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ

O comando Det[m] calcula o determinante da matrix quadrada m.

Uma matriz m de terceira ordem é representada assim: {{a1 , a2 , a3 }, {b1 , b2 , b3 }, {c1 , c2 , c3 }}.


Vamos calcular o produto vetorial de u = (2, 4, 5) e v = (4, 3, 2).

In[1]:= H∗ Produto vetorial de u e v ∗Lu = 82, 4, 5<;v = 84, 3, 2<;Det@88i, j, k<, u, v<D

Out[3]= −7 i + 16 j − 10 k

Do mesmo modo, sendo u = (-2, 3, 2) e v = (3, -5, -4,) seu produto vetorial é dado por.

In[4]:= H∗ Produto vetorial de u e v ∗Lu = 8−2, 3, 2<;v = 83, −5, −4<;Det@88i, j, k<, u, v<D

Out[6]= −2 i − 2 j + k

É preferível usar o comando Cross[u, v] para calcular o produto vetorial dos vetores u e v.


Repetindo o EXEMPLO 1 com o comando Cross[u, v],

Vamos calcular o produto vetorial de u = (2, 4, 5) e v = (4, 3, 2).

In[7]:= H∗ Produto vetorial de u e v ∗Lu = 82, 4, 5<;v = 84, 3, 2<;Cross@u, vD

Out[9]= 8−7, 16, −10<

Do mesmo modo, sendo u = (-2, 3, 2) e v = (3, -5, -4,) seu produto vetorial é dado por.

In[10]:= H∗ Produto vetorial de u e v ∗Lu = 8−2, 3, 2<;v = 83, −5, −4<;Cross@u, vD

Out[12]= 8−2, −2, 1<


Dados os planos 2 x - y -3 z - 3 = 0 e x - 3 y + z + 1 = 0, os vetores a = (2, -1, -3) e b = (1, -3, 1) são perpendiculares a esses dois planos, respectivamente. Então, o seu produto vetorial,

In[13]:= a = 82, −1, −3<;b = 81, −3, 1<;Cross@a, bD

Out[15]= 8−10, −5, −5<

define a direção da reta interseção dos planos dados. Para escrever as equações parametricas da reta precisamos determinar um de seus pontos, que é uma solução particular das equações dos dois planos. Por exemplo, considerando z = 1,

In[16]:= Clear@x, y, zDz = 1;Solve@82 x − y − 3 z 3, x − 3 y + z −1<, 8x, y<D

Out[18]= 88x → 4, y → 2<<

Portanto, as equações paramétricas da reta interseção dos planos são x = 4 - 10 t, y = 2 - 5t, z = 1 - 5 t.

Naturalmente, pode-se usar outra parametrização. Por exemplo, em vez do vetor c = (-10, -5, -5) podemos considerar o vetor v = c/5 = (2, 1, 1) e em vez de z = 1, fazer z = 0. Então,

In[19]:= z = 0;Solve@82 x − y − 3 z 3, x − 3 y + z −1<, 8x, y<D

Out[20]= 88x → 2, y → 1<<

Agora, as equações paramétricas da reta interseção dos planos são x = 2 + 2 t, y = 1 + t. t, z = t. A relação entre as duas parametrização é t = (1 - t)/5.



Para determinar a equação do plano pelos três pontos A = (1, -2, -1), B = (-1, -1, 2) e C = (2, 3, 1), notemos que ele é perpendicular ao vetor AB”÷÷÷÷÷

× AC”÷÷÷÷÷÷. Portanto

In[21]:= a = 81, −2, −1<;b = 8−1, −1, 2<;c = 82, 3, 1<;Cross@b − a, c − aD

Out[24]= 8−13, 7, −11<

Então, a sua equação tem a forma -13 x + 7 y - 11 z + d = 0.

Para determinar d basta substituir, nesta equação, um dos pontos A, B, C, donde se conclui que d = - 16. Portanto, o plano considerado tem equação

13 x - 7 y + 11 z - 11 = 0.

Sabendo-se que » a »2 » a »2 sen2 q = » a »2 » a »2 (1 - cos2 q ) = » a »2 » a »2 - » a . b »2 é fácil provar que a × b = | a | | b | sen q. De fato,

In[25]:= a = 8a1, a2, a3<;b = 8b1, b2, b3<;axb = Cross@a, bD;axb.axb − Ha.aL Hb.bL + Ha.bL.Ha.bL êê Simplify

Out[28]= −Ha1 b1 + a2 b2 + a3 b3L2 + Ha1 b1 + a2 b2 + a3 b3L.Ha1 b1 + a2 b2 + a3 b3L

Estes dois termos se cancelam, portanto a × b = | a | | b | sen q.

Geometricamente a propriedade que acabamos de demostrar significa que |a × b| é a área do paralelogramo de lado a e b (Fig 1.19), pois | b | sen q = h é a altura desse paralelogramorelativa ao lado b.


In[29]:= H∗ Desenha a Fig 1.19 ∗LShow@Plot@0, 8x, 0, 2<, PlotRange → 8−.1, 1.1<, Axes → False,

Epilog → 8Text@"a", 82, −0.07<D, Text@"b", 8.9, 1.03<D, Text@"θ", 8.2, .1<D,Text@"h", 81.1, .5<D, Text@"Fig 1.19.", 82.8, −.05<D<,

DisplayFunction → IdentityD, Graphics@8Arrow@80, 0<, 82, 0<D,Arrow@80, 0<, 81, 1<D<, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@882, 0<, 83, 1<, 81, 1<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,ListPlot@881, 0<, 81, 1<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

a

b

θ

h

Fig 1.19.


1. Verifique as propriedades:

i × j = - j × i = k; j × k = - k × j = i; k × i = - i × k = j; i × i = j × j = k × k = 0;

In[1]:= H∗ Mostra que j × k = −k × j = i. ∗Li := 81, 0, 0<;j := 80, 1, 0<;k := 80, 0, 1<;TrueQ@Cross@i, jD kDTrueQ@Cross@−j, iD kD

Out[4]= True

Out[5]= True

True[expr] retorna True se expr for verdadeira, e retorna False se expr for falsa.


In[6]:= H∗ Mostra que j × k = −k × j = i. ∗Li := 81, 0, 0<;j := 80, 1, 0<;k := 80, 0, 1<;TrueQ@Cross@j, kD iDTrueQ@Cross@−k, jD iD

Out[9]= True

Out[10]= True

In[11]:= H∗ Mostra que k × i = −i × k = j. ∗Li := 81, 0, 0<;j := 80, 1, 0<;k := 80, 0, 1<;TrueQ@Cross@k, iD jDTrueQ@Cross@−i, kD jD

Out[14]= True

Out[15]= True

In[16]:= H∗ Mostra que i × i = j × j = k × k = 0. ∗Li := 81, 0, 0<;j := 80, 1, 0<;k := 80, 0, 1<;TrueQ@Cross@i, iD 80, 0, 0<DTrueQ@Cross@j, jD 80, 0, 0<DTrueQ@Cross@k, kD 80, 0, 0<D

Out[19]= True

Out[20]= True

Out[21]= True

2. Determine a equação do plano pelos pontos A = (2, 0, 1) e B = ( 0, 2, 1), paralelo ao vetor v = (-1, -2, 3).

In[22]:= H∗ Solução do Exercício 2 ∗LClear@x, y, zDa := 82, 0, 1<;b := 80, 2, 1<;v := 8−1, −2, 3<;Cross@8x, y, z< − a, b − aD.v êê Simplify

Out[26]= 6 H−3 + x + y + zL

A equação do plano é x + y + z - 3 = 0.

3. Determine a equação do plano pelo ponto A = (-1, 2, -3) paralelo às direções u = (1, 0, 1) e v = (1, 1, 0).


In[27]:= H∗ Solução do Exercício 3 ∗LClear@x, y, zDa := 8−1, 2, −3<;u := 81, 0, 1<;v := 81, 1, 0<;Cross@u, vD.H8x, y, z< − aL êê Simplify

Out[31]= −x + y + z

A equação do plano é -x + y + z = 0.

4. Determine a equação do plano pela origem, perpendicular aos planos de equações 2 x - y + z = 1 e x + y - 2 z + 4 = 0.

In[32]:= H∗ Solução do Exercício 4 ∗LClear@x, y, zDa := 82, −1, 1<;b := 81, 1, −2<;Cross@a, bD.8x, y, z<

Out[35]= x + 5 y + 3 z

O plano considerado tem equação x + 5 y + 3 z = 0.

5. Determine a equação do plano pela ponto A = (0, 1, 2), perpendicular aos planos de equações x - y + z + 1 = 0 e 3 x + y - 2 z - 5 = 0.

In[36]:= H∗ Solução do Exercício 5 ∗LClear@x, y, zDa := 80, 1, 2<;b := 81, −1, 1<;c := 83, 1, −2<;Cross@b, cD.H8x, y, z< − aL êê Simplify

Out[40]= −13 + x + 5 y + 4 z

O plano considerado tem equação x + 5 y + 4 z - 13 = 0.

6. Determine a equação do plano pelos pontos A = (1, -1, 2), B = (-1, 0, 1), C = (2, 1, 3).

In[41]:= H∗ Solução do Exercício 6 ∗LClear@x, y, zDa := 81, −1, 2<;b := 8−1, 0, 1<;c := 82, 1, 3<;Cross@b − a, c − aD

Out[45]= 83, 1, −5<

Então a equação do plano tem a forma 3 x + y - 5 z + d = 0. Substituíndo o ponto A nesta equação se comclui que d = 8. Portanto o plano considerado tem equação 3 x + y - 5 z + 8 = 0.


9. Desenvolva o determinante

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ.

In[46]:= H∗ Solução do Exercício 9 ∗LDet@88a1, a2, a3<, 8b1, b2, b3<, 8c1, c2, c3<<D

Out[46]= −a3 b2 c1 + a2 b3 c1 + a3 b1 c2 − a1 b3 c2 − a2 b1 c3 + a1 b2 c3

10. Um determinante não se altera quando trocamos suas linhas por suas colunas, isto é


a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ =


a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3


In[47]:= H∗ Solução do Exercício 10 ∗Ldet1 = Det@88a1, a2, a3<, 8b1, b2, b3<, 8c1, c2, c3<<D;det2 = Det@88a1, b1, c1<, 8a2, b2, c2<, 8a3, b3, c3<<D;p = det2 − det1;TrueQ@p == 0D

Out[50]= True

11. Um determinante troca de sinal quando trocamos entre si duas de suas linhas (ou colunas)

In[51]:= H∗ Solução do Exercício 11 ∗Ldet1 = Det@88a1, a2, a3<, 8b1, b2, b3<, 8c1, c2, c3<<D;det2 = Det@88c1, c2, c3<, 8b1, b2, b3<, 8a1, a2, a3<<D;p = det1 + det2;TrueQ@p == 0D

Out[54]= True

12. Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) são multiplicados por um mesmo número p, o determinante fica multiplicado por esse número.

In[55]:= H∗ Solução do Exercício 12 ∗LClear@pDdet1 = Det@88a1, a2, a3<, 8b1, b2, b3<, 8c1, c2, c3<<D;det2 = Det@8 8a1, a2, a3<, p 8b1, b2, b3<, 8c1, c2, c3<<D;q = p det1 − det2 êê Simplify;TrueQ@q == 0D

Out[59]= True

13. Um determinante é zero se todos os elementos de uma linha (ou coluna) são o produto, por um mesmo número p, dos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna).


In[60]:= H∗ Solução do Exercício 13 ∗LDet@88a1, a2, a3<, p 8a1, a2, a3<, 8c1, c2, c3<<D

Out[60]= 0

14. Um determinante é zero se todos os elementos de uma linha (ou coluna) são o produto, por um mesmo número p, dos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna)


a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3



c1 c2 c3a1 a2 a3b1 b2 b3



b1 b2 b3c1 c2 c3a1 a2 a3

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒIn[61]:= H∗ Solução do Exercício 14 ∗L

det1 = Det@88a1, a2, a3<, 8b1, b2, b3<, 8c1, c2, c3<<D;det2 = Det@88c1, c2, c3<, 8a1, a2, a3<, 8b1, b2, b3<<D;det3 = Det@88b1, b2, b3<, 8c1, c2, c3<, 8a1, a2, a3<<D;TrueQ@det2 − det1 == 0 DTrueQ@det3 − det2 == 0 D

Out[64]= True

Out[65]= True


1.6 O Produto Misto e Produto Duplo Vetorial

O produto misto dos vetores a, b e c, nesta ordem, é, por definição, o produto a · (b × c) = a · b × c. Note-se que (a · b) × c não faz sentido: seria o "produto vetorial" de um escalar por um vetor!

Sejam

a = (a1 , a1 , a1 ), b = (b1 , b1 , b1 ) e c = (c1 , c1 , c1 ).

Então, como

b × c = ƒƒƒƒƒƒƒƒƒ

b2 b3

c2 c3

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒ i -

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒb1 b3

c2 c3

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒ j +


c2 c2

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒ k,

obtemos

a · (b × c) = ƒƒƒƒƒƒƒƒƒ

b2 b3

c2 c3

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒa1 -


c2 c3

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒ a2 +


c2 c2

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒ a3 .

Mas isso é precisamente o determinante de terceira ordem da matriz cujas primeira, segunda e terceira linhas são as componentes dos vetores a, b e c, respectivamente, ito é

a · (b × c) = ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3


Custuma-se escrever o produto misto a · b × c dos vetores a, b e c na forma abc.

Geometricamente, o produto misto

a · b × c = | a | | b × c | cos q

é o volume de um paralelepípedo formado com os vetores a, b e c, tomados com o sinal positivo ou negativo conforme o triedro a, b e c tenha ou não orientação positiva, respectivamente.


Dados dois vetores não colineares a = (a1 , a2 , a3 ) e b = (b1 , b2 , b3 ), a condição para que um ponto P = (x, y, z) esteja no plano desses vetores e passe por um dado ponto P0 = (x0 , y0 , z0 ) é que P - P0 seja ortogonal a a × b. Isto significa que o produto misto de P - P0 , a e b é zero, logo a equação do referido plano é

(P - P0 ) . a × b = ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ

x − x0 y − y0 z − z0a1 a2 a3b1 b2 b3

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ = 0.

Para considerar uma situação concreta, sejam a = (2, -3, 1), b = (2, 1, 2) e P0 = (3, 5, 2). Portanto, a equação anterior fica sendo

In[1]:= Det@88x − 3, y − 5, z − 2<, 82, −3, 1<, 82, 1, 2<<D êê Simplify

Out[1]= 15 − 7 x − 2 y + 8 z


Então, a equação do referido plano é 7 x + 2 y + 8 z - 13 = 0.


1. Verifique que (a × b) × c = (a · c) b - (b · c) a.

In[2]:= H∗ Mostra que Ha × bL× c = Ha⋅cL b −Hb⋅cL a. ∗La = 8a1, a2, a3<;b = 8b1, b2, b3<;c = 8c1, c2, c3<;p = Cross@Cross@a, bD, cD − a.c b + b.c a êê Simplify;TrueQ@p == 80, 0, 0< D

Out[6]= True

2. Verifique que a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0.

In[7]:= H∗ Mostra que a ×Hb × cL + b ×Hc × aL +c ×Ha × bL = 0. ∗La = 8a1, a2, a3<;b = 8b1, b2, b3<;c = 8c1, c2, c3<;p = Cross@a, Cross@b, cDD + Cross@b, Cross@c, aDD + Cross@c, Cross@a, bDD ;TrueQ@p == 80, 0, 0< D

Out[11]= True

3. Verifique que (a × b) . (c × d) = (a · c) (b · d) - (a · d) (b · c)

In[12]:= H∗ Mostra que Ha × bL.Hc × dL = Ha⋅cL Hb⋅dL − Ha⋅dL Hb⋅cL. ∗La = 8a1, a2, a3<;b = 8b1, b2, b3<;c = 8c1, c2, c3<;d = 8d1, d2, d3<;p = Cross@a, bD .Cross@c, dD − HHa.cL Hb.dL − Ha.dL Hb.cLL êê Simplify;TrueQ@p == 0 D

Out[17]= True

4. Determine x de forma que os vetores a = i - j + 2 k, b = - i + 2 j + k e a = x i + 3 j + 2 k sejam complanares.


In[18]:= H∗ Solução do Exercício 4 ∗LClear@xDi := 81, 0, 0<;j := 80, 1, 0<;k := 80, 0, 1<;a := i − j + 2 k;b := −i + 2 j + k;c := x i + 3 j + 2 k;Solve@Cross@a, bD.c 0, 8x<D

Out[25]= 99x → −75==

5. Determine a equação do plano pelos pontos A = (0, 1, 1}, B = (2, 0, -1}, paralelo ao vetor v = i - 2 j + 3 k.

In[26]:= H∗ Solução do Exercício 5 ∗LClear@x, y, zDa := 80, 1, 1<;b := 82, 0, −1<;i := 81, 0, 0<;j := 80, 1, 0<;k := 80, 0, 1<;v := i − 2 j + 3 k;Cross@8x, y, z< − a, b − aD.v êê Simplify

Out[33]= 11 − 7 x − 8 y − 3 z

A equação do plano é 7 x + 8 y + 3 z - 11 = 0.

6. Verifique que (b × c) × (c × a) = (abc) c

In[34]:= H∗ Mostra que Hb × cL×Hc × aL = HabcL c. ∗La = 8a1, a2, a3<;b = 8b1, b2, b3<;c = 8c1, c2, c3<;p = Cross@Cross@b, cD , Cross@c, aDD − Ha . Cross@b, cDL c êê Simplify;TrueQ@p == 80, 0, 0< D

Out[38]= True

7. Verifique que (a × b) . (b × c) × (c × a) = HabcL2


In[39]:= H∗ Mostra que Ha × bL.Hb × cL×Hc × aL = HabcL2 ∗La = 8a1, a2, a3<;b = 8b1, b2, b3<;c = 8c1, c2, c3<;p = Cross@a, bD . Cross@Cross@b, cD, Cross@c, aDD −

Ha . Cross@b, cDL^2 êê Simplify;TrueQ@p ==

0 DOut[43]= True

8. Verifique que os vetores b - a, b - c e a - c são complanares.

In[44]:= H∗ Solução do Exercício 8 ∗La = 8a1, a2, a3<;b = 8b1, b2, b3<;c = 8c1, c2, c3<;p = Cross@b − a, b − cD .Ha − cL êê Simplify;TrueQ@p == 0 D

Out[48]= True

9. Verifique que o vetor a × b + b × c + c × a é perpendicular ao plano dos vetores b - a e b - c.

In[49]:= H∗ Solução do Exercício 9 ∗La = 8a1, a2, a3<;b = 8b1, b2, b3<;c = 8c1, c2, c3<;p = HCross@a, bD + Cross@b, cD + Cross@c, aDL.Hb − aL êê Simplify;q = HCross@a, bD + Cross@b, cD + Cross@c, aDL.Hb − cL êê Simplify;TrueQ@p == 0 DTrueQ@q == 0 D

Out[54]= True

Out[55]= True


@1.6.2 Exercícios

@1. Verifique que a equação do plano pelos pontos A = (a1 , a2 , a3 ), B = (b1 , b2 , b3 ) e C = (c1 , c2 , c3 ) tem a forma


x − a1 y − a2 z − a3b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3c1 − a1 c2 − a2 c3 − a3

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ = 0.

In[1]:= H∗ Solução do Exercício @1 ∗LClear@x, y, zDa = 8a1, a2, a3<;b = 8b1, b2, b3<;c = 8c1, c2, c3<;p = Det@88x − a1, y − a2, z − a3<,

8b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3<, 8c1 − a1, c2 − a2, c3 − a3<<D êê Simplify;q = Cross@b − a, c − aD;r = q@@1DD x + q@@2DD y + q@@3DD z −

Hq@@1DD a1 + q@@2DD a2 + q@@3DD a3L êê Simplify;TrueQ@p −

r ==

0 DOut[8]= True

@1. Determine a equação do plano pelos pontos A = (1, -1, 2), B = (-1, 0, 1) e C = (2, 1, 3}.

In[9]:= H∗ Solução do Exercício @1 ∗LClear@x, y, zD8a1, a2, a3< = 81, −1, 2<;8b1, b2, b3< = 8−1, 0, 1<;8c1, c2, c3< = 82, 1, 3<;Det@88x − a1, y − a2, z − a3<,

8b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3<, 8c1 − a1, c2 − a2, c3 − a3<<D êê Simplify

Out[13]= 8 + 3 x + y − 5 z

Portanto, o plano considerado tem equação 3 x + y - 5 z + 8 = 0. Compare este resultado com o do Exercício 6 da seção 1.5.1.

@2. Determine a equação do trângulo pelos pontos A = (0, 0, 1), B = (1, 0, 0) e C = (0, 1, 0} e traçe o gráfico.


In[14]:= H∗ Solução do Exercício @2 ∗LClear@x, y, zD8a1, a2, a3< = 80, 0, 1<;8b1, b2, b3< = 81, 0, 0<;8c1, c2, c3< = 80, 1, 0<;Det@88x − a1, y − a2, z − a3<,


Out[18]= −1 + x + y + z

Portanto, o triângulo considerado tem equação x + y + z = 1.

In[19]:= H∗ Desenho do plano do Exercício @2 ∗Ltriangulo := Polygon@88a1, a2, a3<, 8b1, b2, b3<, 8c1, c2, c3<<DShow@Graphics3D@trianguloD, Axes → True,


00.25

0.50.75

1x

00.25

0.50.75

1y

0

0.25

0.5

0.75

1

z

00.25

0.50.75x

00.25

0.50.75y

@3. Determine a equação do trângulo pelos pontos A = (0, 0, 0), B = (1, 0, 1) e C = (0, 1, 0} e traçe o gráfico.



Out[25]= −x + z

Portanto, o trângulo considerado tem equação - x + z = 0.


In[26]:= H∗ Desenho do triângulo do Exercício @3 ∗Ltriangulo := Polygon@88a1, a2, a3<, 8b1, b2, b3<, 8c1, c2, c3<<DShow@Graphics3D@trianguloD, Axes → True,


00.25

0.50.75

1x

00.25

0.50.75

1y

0

0.25

0.5

0.75

1

z

00.25

0.50.75x

00.25

0.50.75y

@4. Determine a equação do triângulo pelos pontos A = (0, 0, 0), B = (1, 0, 0) e C = (0, 1, 1} e traçe o gráfico.



Out[32]= −y + z

Portanto, o triângulo considerado tem equação - y + z = 0.


In[33]:= H∗ Desenho do triângulo do Exercício @4 ∗Ltriangulo := Polygon@88a1, a2, a3<, 8b1, b2, b3<, 8c1, c2, c3<<DShow@Graphics3D@trianguloD, Axes → True,


00.25

0.50.75

1x

0

0.25

0.50.75

1y

0

0.25

0.5

0.75

1

z

00.25

0.50.75x

0

0.25

0.50.75y

@5. Determine a equação do triângulo pelos pontos A = (0, 0, 2), B = (1, 0, 1/4 ) e C = (0, 1, 1} e traçe o gráfico.

In[35]:= H∗ Solução do Exercício @5 ∗LClear@x, y, zD8a1, a2, a3< = 80, 0, 2<;8b1, b2, b3< = 81, 0, 1ê4<;8c1, c2, c3< = 80, 1, 1<;Det@88x − a1, y − a2, z − a3<,


Out[39]= −2 +7 x4

+ y + z

Portanto, o triângulo considerado tem equação 33 x + 30 y + 4 z - 34 = 0.


In[40]:= H∗ Desenho do triângulo do Exercício 3@ ∗Ltriangulo := Polygon@88a1, a2, a3<, 8b1, b2, b3<, 8c1, c2, c3<<DShow@Graphics3D@trianguloD, Axes → True, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<,TextStyle → 8FontSize → 7.0<, ViewPoint → 82, 3, 4<D;

00.25

0.50.75

1

x 0

0.25

0.5

0.75

1

y

0.5

1

1.5

2

z

0

0.25

0.5

0.7

y

5

@6. Sejam as funções f1 = 1 - x - y, f2 = x e f3 = y. Trace o gráfico do triângulo de equação - 2 f1 - f2 /4 - f3 e cujas projeções dos vértices A, B e C no plano XY são, respectivamente, (0, 0), (1, 0) e (0, 1).


In[41]:= H∗ Desenha o triângulo do Exercício @6 ∗LClear@x, y, zDf1 := 1 − x − y;f2 := x;f3 := y;8a1, a2, a3< = 8x, y, 2 f1 + f2ê4 + f3< ê. 8x → 0, y → 0<;8b1, b2, b3< = 8x, y, 2 f1 + f2ê4 + f3< ê. 8x → 1, y → 0<;8c1, c2, c3< = 8x, y, 2 f1 + f2ê4 + f3< ê. 8x → 0, y → 1<;triangulo := Polygon@88a1, a2, a3<, 8b1, b2, b3<, 8c1, c2, c3<<DShow@Graphics3D@trianguloD, Axes → True, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<,TextStyle → 8FontSize → 7.0<, ViewPoint → 82, 3, 4<D;

00.25

0.50.75

1

x 0

0.25

0.5

0.75

1

y

0.5

1

1.5

2

z

0

0.25

0.5

0.7

y

5

O triangulo é idêntico ao do exercício anterior. Note-se que a equação deste triangulo é composta pela soma das equações dos três triângulos dos exercícios @2, @3 e @4, multiplicadas, respectivamente por 2, 1/4 e 1.

1.7 Curvas no Espaço. Função Vetorial

Uma curva no espaço é descrita dando-se as coordenadas de seu ponto genérico P como função de uma variável independente t:

x = x (t), y = y (t), z = z (t).

Estas são as equações paramétricas da curva e t é o parâmetro. Note-se que essas equações escalares equivalem à única equação vetorial. Este é o vetor posição P (t).


Diz-se que P(t) tem limite P0 = (x0, y0, z0 ) quando t Ø t0 se x (t) Ø x0 , y (t) Ø y0 e z (t) Ø z0 . O vetor posição P(t) é função contínua em t = t0 se

limt Ø t0

P (t) = P (t0 ).

Isto significa que são contínuas, simultaneamente, as três componentes de P (t) em t = t0 .

P(t) é derivável em t = t0 se suas componentes forem deriváveis nesse ponto. Neste caso, a derivada de P(t) é definida por

P(t) = dPHtLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅdt = ( dxÅÅÅÅÅÅÅdt , dyÅÅÅÅÅÅÅdt , dzÅÅÅÅÅÅdt ).Isto equivale a definir derivada em termos da razão incremental,

PHt + Dt L - PHtLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅDt = DPÅÅÅÅÅÅÅÅDt = ( DxÅÅÅÅÅÅÅDt , DyÅÅÅÅÅÅÅDt , DzÅÅÅÅÅÅÅDt ).Quando P(t) é o vetor posição de uma partícula em movimento, então a derivada P '(t) é a sua velocidade vetorial e a derivada segunda P ''(t), é a aceleração.

Geometricamente, P(t) descreve uma curva no espaço e P(t + Dt ) é um ponto dessa curva que torna-se tão próximo de P(t) quanto menor for Dt.

Portanto, é natural considerar a derivada

dPHtLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅdt = limDt Ø 0

PHt + Dt L - PHtLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅDt

como definido a direção tangente à curva no ponto P(t), desde que essa derivada não seja zero. Veja figura abaixo.

In[50]:= << Graphics`Arrow`ShowAPlotA8x + .25, 1 − Hx − 1L^2<, 8x, 0, 2.3<, PlotRange → 80, 2<,

Epilog → 9TextA"P”HtL", 8.4, .9<E, TextA"P”Ht + ΛtL", 82, .7<E,TextA"P”'HtL", 81.1, 1.6<E=, Axes → False, DisplayFunction → IdentityE,

[email protected], .75<, 82, .5<<, PlotJoined → True,DisplayFunction → IdentityD, Graphics@[email protected], 0.75<, 81.25, 1.5<D<D,DisplayFunction → $DisplayFunctionE;

P”HtLP”Ht + ΛtL

P”'HtL


O comprimento de arco de uma curva no espaço,

P = P(t) = (x (t), y (t), z (t)), a § t § b,

é dado pela fórmula

s = ‡a

b "####################################################x' HtL2 + y' HtL2 + z' HtL2 „ t ,

Evidentemente, temos de supor que P(t) seja derivável.

EXEMPLO 1.. (AG3, pág.31) A curva dada por P(t) = (r cos wt, r sen wt, vt) é chamda hélice cilíndrica circular. Interpret-ando o parâmetro t como tempo, vemos que a projeção de P(t) sobre o plano Oxy é o ponto Q(t) = r ( cos wt, sen wt) que descreve a circunferência de centro na origem e raio r, com velocidade angular w. Ao mesmo tempo, a projeção de P(t) sobre o eixo Oz desloca-se , sobre este eixo, com velocidade v.

In[99]:= H∗ Gráfico de uma hélice cilíndrica circular com r = 2, ω = 1 e v = 1ê3 ∗Lr = 2; ω = 1; v = 1ê3;p@tD = 8r Cos@ω tD, r Sin@ω tD, v t<;ParametricPlot3D@Evaluate@p@tDD, 8t, 0, 21<D;

-2 -1 0 1 2

-2-1

012

0

2

4

6

2-1

01

A velocida e a aceleração da partícula são dados por

In[60]:= H∗ Velocidade aceleração da partícula ∗LClear@t, r, ω , vDp@tD = 8r Cos@ω tD, r Sin@ω tD, v t<;D@p@tD, tDD@%, tD

Out[61]= 8−r ω Sin@t ωD, r ω Cos@t ωD, v<Out[62]= 8−r ω2 Cos@t ωD, −r ω2 Sin@t ωD, 0<

A derivada ds/dt, do comprimento de arco s com relação ao parâmetro t, é obtida pela fórmula è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!P ' HtL P ' HtL . Assim,


In[129]:= H∗ A derivada dsêdt ∗LClear@t, r, ω , vDp@tD = 8r Cos@ω tD, r Sin@ω tD, v t<;dsdt = Sqrt@D@p@tD, tD.D@p@tD, tDD êê Simplify

Out[131]=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!v2 + r2 ω2

Portanto, contando o comprimento de arco a partir de t = 0, obtemos s = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!r2 w2 + v2 t.

Agora, vamos calcular o comprimento da curva no intervalo 0 § t § 21.

In[132]:= H∗ Comprimento da curva no intervalo 0 ≤

t ≤ 21 usando a fórmula s =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!r2 ω2 + v2 t ∗L

r = 2; ω = 1; v = 1ê3;Sqrt@r^2 ω^2 + v^2D 21

Out[133]= 7 è!!!!!!37

Podemos também usar a fórmula geral Ÿab è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

x' HtL2 + y ' HtL2 + z' HtL2 t para calcular o comprimento de arco. Nesse caso, teríamos

In[144]:= H∗ Comprimento da curva no intervalo 0 ≤ t ≤ 21 usando a fórmula s =

Ÿab è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

x' HtL2 + y' HtL2 + z' HtL2 t∗Lr = 2; ω = 1; v = 1ê3;p@tD = 8r Cos@ω tD, r Sin@ω tD, v t<;dpdt = D@p@tD, tD;Integrate@Sqrt@dpdt@@1DD^2 + dpdt@@2DD^2 + dpdt@@3DD^2D, 8t, 0, 21<D

Out[147]= 7 è!!!!!!37

A expressão s = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!r2 w2 + v2 t pode ser usada para exprimoir P em termos de s:

P (s) = (r cos w sÅÅÅÅÅÅÅÅK , r sen w sÅÅÅÅÅÅÅÅK , v sÅÅÅÅÅÅÅK ) onde K = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!r2 w2 + v2 .

Isto resulta num nova parametrização da hélice cilíndrica circular.

Exercícios1. Dada a curva P(t) = (t2 + 1)i + 8tj + (t2 - 3)k, ache o vetor unitário tangente em t = 1; calcule o comprimento da curva no trecho compreendido entre t = 0 e t = 1. Entendendo-se que P9t) representa o movimento de uma partícula, encontre a velocidade e a aceleração do movimento no instante t.

Primeiro, vamos traçar o gráfico da curva no intervalo 0 § t § 2 e o ponto na curva correspondente a t = 1.


In[200]:= H∗ Gráfico da curva no intervalo 0 ≤ t ≤ 2 e o ponto P H1L ∗Lp@tD = 8t^2 + 1, 8 t, t^2 − 3<;Show@ParametricPlot3D@Evaluate@p@tDD,

8t, 0, 2<, DisplayFunction → IdentityD, Graphics3D@[email protected], Point@82, 8, −2<D<, DisplayFunction → IdentityD,DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

12

34

5

0

5

10

15

-3

-2

-1

0

1

12

34

0

5

10

15

Agora vamos achar o vetor unitário tangente em t = 1.

In[234]:= H∗ Vetor unitário tangente curva em t = 1 ∗Lp@tD = 8Ht^2 + 1L, 8 t, Ht^2 − 3L<;v = D@p@tD, tD;vê[email protected] ê. t → 1

Out[236]= 9 13 è!!!2

,2 è!!!23

,1

3 è!!!2=

In[242]:= H∗ Vetor unitário tangente curva em t = 1 ∗Lp@tD = 8Ht^2 + 1L, 8 t, Ht^2 − 3L<;v = D@p@tD, tD ê. t → 1

Out[243]= 82, 8, 2<

O plano normal à curva no ponto P(1) é o plano normal ao vetor tangente (2, 8, 2). Portanto, a sua equação é dada por 2 x + 8 y + 2 z + d = 0. O valor de d é obtido substituindo t = 1 nas equaçõs paramétricas de x, y e z. Assim a equação do plano é x + 4 y + z - 32 = 0.

O comprimento da curva no trecho compreendido entre t = 0 e t =1.


In[1]:= H∗ Comprimento da curva no intervalo 0 ≤ t ≤ 1 ∗Lp@tD = 8t^2 + 1, 8 t, t^2 − 3<;dpdt = D@p@tD, tD;Integrate@Sqrt@dpdt@@1DD^2 + dpdt@@2DD^2 + dpdt@@3DD^2D, 8t, 0, 1<D

Out[3]=è!!!2 H3 + Log@16DL

In[4]:= H∗ Velocidade aceleração da partícula ∗LClear@tDp@tD = 8t^2 + 1, 8 t, t^2 − 3<;D@p@tD, tDD@%, tD

Out[6]= 82 t, 8, 2 t<Out[7]= 82, 0, 2<

A velocidade é o vetor (2t, 8, 2t) e a acelaração é o vetor (2, 0, 2).

7. Determine os pontos em que a curva P(t) = (t2 - 1, t2 + 1, 3t) corta o plano 3x - 2y - z + 7 = 0.

Achar os pontos de interseção equivale a determinar os valores de t que satisfaçam simultaneamente as equações da curva e do plano. Assim, podemos escrever

In[25]:= H∗ Resolve a equação 3 Ht2−1L + 2 Ht2+1L − 3 t + 7 = 0 ∗L3 x − 2 y − z + 7 ê. 8x → t2 − 1, y −> t2 + 1, z → 3 t<;Solve@% 0, tD

Out[26]= 88t → 1<, 8t → 2<<

Os valores de t nos pontos de interseção são 1 e 2. Substituindo estes valores na equação paramétrica da curva, obtemos os pontos de interseçao da curva com o plano. Portanto,

In[29]:= H∗ Substitui os valres t = 1 e t = 2 na equação da curva. ∗L8 t2 − 1, t2 + 1, 3 t< ê. t → 1 êê Simplify8 t2 − 1, t2 + 1, 3 t< ê. t → 2 êê Simplify

Out[29]= 80, 2, 3<Out[30]= 83, 5, 6<


1.8 Superfícies Quadráticas

Uma superfície quadrática ué o conjunto das soluções da equação de segundo grau em x, y e z,

Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 Vamos examinar vários casos particulares desta equação que são representativos da situação geral.

ElipsoidesConsideremos uma elípse no plano Oyz, de equação

y2ÅÅÅÅÅÅÅb2 + z2

ÅÅÅÅÅÅc2 = 1,

onde suponhamos b < c < 0. Quando giramos essa elipse em torno de seu eixo Oz, obtemos a superfície ilustrada na figura abaixo. Ela é chamada elipsóide de revolução do tipo achatado, oblato ou oblongo.

In[43]:= H∗ Elipsóide achatado ou oblato ∗LesferoideOblato = 82 Cos@uD Cos@vD, 2 Cos@uD Sin@vD, Sin@uD<;ParametricPlot3D@Evaluate@esferoideOblatoD, 8u, −Piê2, Piê2<,8v, 0, 2 Pi<, PlotPoints → 25, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<D;

-2-1

01

2x

-2

-1

0

1

2

y

-1-0.5

00.51

z

-2-1

01x

A equação do elipsóide oblato a cima descrito é

x2ÅÅÅÅÅÅÅb2 + y2

ÅÅÅÅÅÅÅb2 + z2ÅÅÅÅÅÅc2 = 1,

com b > c.

No caso de b < c, tem-se o elipsóide alongado ou prolato.


In[51]:= H∗ Elipsóide alongado ou prolato ∗LesferoideOblato = 8Cos@uD Cos@vD, Cos@uD Sin@vD, 2 Sin@uD<;ParametricPlot3D@Evaluate@esferoideOblatoD, 8u, −Piê2, Piê2<,8v, 0, 2 Pi<, PlotPoints → 25, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<D;

-1-0.5 0 0.5 1

x

-1-0.5

00.5

1y

-2

-1

0

1

2

z

1-0.5

00.5y

Os elipsóides oblato e prolato são superfícies de revolução, e portanto, são elipsóides especiais. A equação do tipo mais geral de elipsóide é

x2ÅÅÅÅÅÅÅa2 + y2

ÅÅÅÅÅÅÅb2 + z2ÅÅÅÅÅÅc2 = 1,

com a, b e c diferentes de zero.


In[61]:= H∗ Elipsóide do tipo geral ∗LesferoideOblato = 82 Cos@uD Cos@vD, 6 Cos@uD Sin@vD, 3 Sin@uD<;ParametricPlot3D@Evaluate@esferoideOblatoD, 8u, −Piê2, Piê2<,8v, 0, 2 Pi<, PlotPoints → 25, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<D;

-2-1 0 1 2x

-5

0

5

y

-2

0

2

z

2-1 0 1

-5

0

5

y

ElipsoidesOs hiperbolóides de revoluçãosão obtidos por rotação de um hipérbole em redor de um dos seus eixos. Consideremos a hipérbole no plano Oyz, de equação

y2ÅÅÅÅÅÅÅb2 - z2

ÅÅÅÅÅÅc2 = 1,

A rotação dessa hiperbóle em volta do eixo Oz resulta na superfície chamada hiperbolóide de uma folha mostrada na figura abaixo.


In[153]:= H∗ Elipsóide de uma folha ∗Lhiperboloide = 8HCos@uD − v Sin@uDLê2,HSin@uD + v Cos@uDLê2, v<;ParametricPlot3D@Evaluate@hiperboloideD, 8u, 0, 2 Pi, 2 Piê20<,8v, −2, 2<D;

-1-0.50 0.5 1

-1-0.5

00.5

1

-2

-1

0

1

2-1-0.5

00.5

A equação do hiperpolóide de um folha em torno do eixo Oz é

x2ÅÅÅÅÅÅÅb2 + y2

ÅÅÅÅÅÅÅb2 - z2ÅÅÅÅÅÅc2 = 1,

Se efetuarmos a rotação da hipérbole em volta do eixo Oy, obtemos o chamado hiperbilóide de duas folhas de equação

- x2ÅÅÅÅÅÅc2 + y2

ÅÅÅÅÅÅÅb2 - z2ÅÅÅÅÅÅc2 = 1.

Hiperbolóides mais gerais são obtidos dos hiperbolóides acima por contração ou dilatação ao longo do eixo Ox. Isto significa que as equações acima dão lugar às equações mais gerais,

x2ÅÅÅÅÅÅÅa2 + y2

ÅÅÅÅÅÅÅb2 - z2ÅÅÅÅÅÅc2 = 1 e - x2

ÅÅÅÅÅÅÅa2 + y2ÅÅÅÅÅÅÅb2 - z2

ÅÅÅÅÅÅc2 = 1,

respectivamente.

ParabolóidesConsideremos, no plano Oyz, a parábola de equação z = y2 ê b2. Quando girada em volta do eixo Oz ela dá origem à superfície chamada parabolóide de revolução como mostra a figura abaixo.


In[123]:= << Graphics`ParametricPlot3D`CylindricalPlot3D@r^2, 8r, 0, 3<, 8θ, 0, 2 Pi<D;

-20

2

-20

2

0

2

4

6

8

-20

2

Um parabolóide mais geral é chamado parabolóide elíptico, e é obtido do parabolóide cilíndrico por contração ou dilatação ao longo do eixo Ox. Sua equação é

z = x2ÅÅÅÅÅÅÅa2 + y2

ÅÅÅÅÅÅÅb2 .

ConesConsideremos, no plano Oyz, a parábola de equação z = y2 ê b2. Quando girada em volta do eixo Oz ela dá origem à superfície chamada parabolóide de revolução como mostra a figura abaixo.


In[145]:=

cone = 8v Cos@uD, v Sin@uD, v<;ParametricPlot3D@Evaluate@coneD, 8u, 0, 2 Pi, 2 Piê20<, 8v, −2 , 2<D;

-2-1

01

2

-2-1

01

2

-2

-1

0

1

2

-2-1

01

-2-1

01

Cilindros e casos degeneradosConsideremos, no plano Oyz, a parábola de equação z = y2 ê b2. Quando girada em volta do eixo Oz ela dá origem à superfície chamada parabolóide de revolução como mostra a figura abaixo.

In[147]:=

cilindro = 82 Cos@uD, 2 Sin@uD, v<;ParametricPlot3D@Evaluate@cilindroD,8u, 0, 2 Pi, 2 Piê20<, 8v, −2, 2, 2ê5<D;

-2-1

01

2

-2-1

01

2

-2

-1

0

1

2

-2-1

01

2-1

01


Exercícios Identifique e descreva as superfícies de equações dadas nos Exercícios 1 a 24.

1. x2 + y2 + z2 - 2 x + 4 y + 4 = 0.

Completando os quadrados , obtemos (x - 1L2 + (y + 2L2 + z2 = 1. Portanto, trata-se de uma esfera de centro (1, -2, 0) e raio 1.

2. 4 x2 + 4 y2 - 9 z2 - 8 y - 32 = 0.

Dividindo por 4 e completando os quadrados , obtemos x2 + (y - 4L2 + 9/4 z2 = 25. Dividindo os dois membros por 25, obtemos

x 2ÅÅÅÅÅÅÅÅ52 + Hy-4 L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ52 + z2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH10ê3L2 = 1.

Portanto, trata-se de um esferóide oblato de centro (0, -4, 0) e semi-eixos 5, 5, 10/3.

3. x2 + y2 - 2 y - z + 1 = 0.

Completando os quadrados , obtemos x2 + (y - 4L2 - z2 = 25. Dividindo os dois membros por 25, obtemos

x 2ÅÅÅÅÅÅÅÅ52 + Hy-4 L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ52 + z2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH10ê3L2 = 1.

Portanto, trata-se de um esferóide oblato de centro (0, -4, 0) e semi-eixos 5, 5, 10/3.


1.9 Espaço Euclidiano de n Dimensões

Até agora só consideramos vetores no plano e no espaço. Eles foram identificados por pares e ternos de números reais. Todas as operaç!oes com vetores -- soma, multiplicação por escalar, produto escalar foram definidos para esses pares e ternos de números. Essencialmente, as mesmas definições podem ser dadas para quádruplas, quíntuplas e, em geral, para ênuplas de números reais (x1, x2, . . . , xn ).

Assim, sendo

x = (x1, x2, . . . , xn ) e y = (y1, y2, . . . , yn ),

ênuplas quaisquer, definimos sua soma como sendo

x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 ,. . . , xn + yn );

o produto da ênupla x por qualquer escalar r é a ênupla

rx = (rx1, rx2, . . . , rxn )

e o produto escalar de x e y é assim definido

x • y = x1 xy1 + x2 y2 + . . + xn yn .

Nestas definições, n é um inteiro positivo qualquer O conjunto de todas as ênuplas de números reais, com n fixo, com as operações adotadas acima, é o que chamamos espaço euclidiano de n dimensões e que indicaremos com o símbolo Rn . As ênuplas são chamadas pontos ou vetores desse espaço.

O comprimento, norma ou módulo de um vetor x = (x1, x2, . . . , xn ) é definido em termo do produto escalar:

|x| = è!!!!!!!!!!!x • x = "###################################x12 + x2

2 + . . . + xn2

Em termo desse conceito, introduzimos também a noção de distância de dois pontos x e y, que indicamos d(x, y):

d(x, y) = |x - y| = "########################################################################################Hx1 - y1L2 + Hx2 - y2L2 + . . . + Hxn - ynL2


CAPÍTULO 2

Funções de Várias VariaveisIniciar o MathKernel

In[1]:= 2 + 2

Out[1]= 4

2.1 Funções e Gráficos

O conceito de função de várias variáveis reais é análogo ao de funções deuma variável real. Por exemplo, as equações

z = x2 + y2 e z = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 - x2 - y2

exprimem z como função de x e y. Em abos os casos, z é a variável dependente e x e y são as variáveis independente. O domínio da função do primeiro exemplo o conjunto de todos os pontos (x, y) do plano, ao passo que, no segundo exemplo, o domínio máximo da função é o círculo {(x, y): x2 + y2 § 1.

Em geral, z é uma função de x e y se existe uma correspondência f que a cada ponto P = (x, y) de um certo conjunto D do plano associa um valor z. D é o domínio da função f, x e y são as variáveis independentes e z é a variável depen-dente. Escreve-se z = f(x, y) ou z = f(P).

As funções de várias variáveis são introduzidas do mesmo modo que as fun;cões de duas variáveis. Assim, dizemos que az é função de x1 x2 , . . ., xn se a cada ponto P = (x1 x2 , . . ., xn ) de um domínio D do espaço n corresponde, segunda uma lei determinada f, um vlor z. Escreve-se

z = f (x1 x2 , . . ., xn ).


As funções mais simples são as funções lineare, ou seja, funções do tipo z = a x + b y + c onde a, b e c são constantes. Essa equação, que é equivalente a a x + b y - z = - c, representa, como sabemos, um plano perpendicular ã direção v = (x, y, - 1) e que passa pelo ponto

P0 = -cÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa2 + b2 + 1 (a, b, - 1).

Este plano, representado na figura abaixo, é o gráfico da função.

In[2]:= H∗ Gráfico da função z = x + y + 1 ∗Ltriangulo := Polygon@881, 0, 0<, 80, 1, 0<, 80, 0, 1<<DShow@Graphics3D@trianguloD, Axes → True,


00.25

0.50.75

1

x

0

0.25

0.50.75

1y

0

0.25

0.5

0.75

1

z

00.25

0.50.75x

0

0.25

0.50.75y


A equação x 2 + y2 + z2 = 1, quando resolvida em relação a z, nos permite definir duas funções, z = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 - x2 - y2 e z = - è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 - x2 - y2 . Ambas têm por domínio o círculo de centro na origem e raio 1., x2 + y2 § 1. SEus gráficos são os hemisferos superior e inferior da esfera x 2 + y2 + z2 = .1, ilustrados abaixo.

In[10]:= H∗ Gráfico da função z =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 − x2 − y2 ∗L

ParametricPlot3D@8Cos@uD Cos@vD, Sin@uD Cos@vD, Sin@vD<, 8u, 0, 2 Pi<,8v, 0, Pi<, PlotPoints → 17, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<D;

-1-0.5

00.5

1x -1

-0.5

00.51

y0

0.250.5

0.751

z

-1-0.5

00.5x


In[11]:= H∗ Gráfico da função z =−è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 − x2 − y2 ∗L

ParametricPlot3D@8Cos@uD Cos@vD, Sin@uD Cos@vD, Sin@vD<, 8u, 0, 2 Pi<,8v, Pi, 2 Pi<, PlotPoints → 17, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<D;

-1-0.5

00.5

1x -1

-0.5

00.51

y-1

-0.75-0.5

-0.250

z

-1-0.5

00.5x


A função z = x2 + y2 , definida em todo o plano, tem por gráfico um parabolóide de revolução em torno do eixo Oz, ilustrado na figura abaixo.

In[12]:= << Graphics`ParametricPlot3D`H∗ Gráfico da função z = x2+ y2 ∗LCylindricalPlot3D@r^2, 8r, 0, 3<, 8θ, 0, 2 Pi<D;

-20

2

-20

2

0

2

4

6

8

-20

2

Toda função do tipo z = f Hx2 + y2L têm por gráficos uma superfície de revolução em torno do eixo Oz. Asim , osgr;aficos das funções

z = log(1 - è!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 ), z = (2 - è!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 )/(1 - x2 - y2 ), z = tgHx2 + y2L3ê2 e z = ex2 + y2 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 + 1 são todos

superfícies de revolução em torno do eixo Oz, como mostra as figuras abaixo.


In[24]:= H∗ Gráfico da função z = logI1 −è!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 M ∗L

Clear@rD;CylindricalPlot3D@Log@1 − rD, 8r, 0, 3<, 8θ, 0, 2 Pi<D;

-0.5 0 0.5

-0.500.5

-2

-1

0

-0.500.5

Toda função z = x2 + y2 , definida em todo o plano, tem por gráfico um parabolóide de revolução em torno do eixo Oz, ilustrado na figura abaixo.

In[59]:= H∗ Gráfico da função z = I2 +è!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 MëH1 − x2 − y2L ∗L

Clear@rD;CylindricalPlot3D@H2 + rLêH1 − r^2L, 8r, 0, 3<, 8θ, 0, 2 Pi<, PlotPoints → 20D;

-2 0 2-2

02

-10

0

10

202


In[71]:= H∗ Gráfico da função z = tgHx2 + y2 L3ê2 ∗LClear@rD;CylindricalPlot3D@Tan@r^3D,8r, 0, 3<, 8θ, 0, 2 Pi<, ViewPoint → 81.2, 1.2, 1.2<D;

-20

2

-20

2

-4

-2

0

2

4

02

Além da representação gráfica de uma função de duas variáveis, z = f(x, y), por uma superfície no espaço, outro modomuito conveniente de visualizar geometricamente a função consiste em representar, no plano Oxy, as chamadas curvasde nível desta função. Quando atribuimos a z um valor constante k, o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem aequação f(x, y), = k formam, em geral, uma curva Ck , que é chamada curva de nível da função f correspondente aovalor z = k. Quando consideramos várias curvas de nível de uma dada função f, podemos formar uma idéia da super-fície que é o gráfico dessa função. Na figura abaixo a função z = f(x, y) = 2 e-x2 - y2

Hx2 - y2L é ilustrada por estes doistipos de representação gráfica.

In[110]:= H∗ A função z = 2 e−x2 − y2 Hx2 − y2L ∗L

Clear@x, yD;f@x_, y_D := 2 Exp@−x^2 − y^2D Hx^2 − y^2 L

In[120]:= H∗ Gráficos da função z =

2 e−x2 − y2 Hx2 − y2L nas formas de superfície e mapa de curvas de níveis ∗L

p1 = Plot3D@f@x, yD, 8x, −2, 2<, 8y, −2, 2<, PlotPoints → 20,BoxRatios → 81, 1, 1<, DisplayFunction → IdentityD;

p2 = ContourPlot@f@x , yD, 8x, −2, 2<, 8y, −2, 2<, ContourShading → False,Contours → 10, DisplayFunction → Identity D;

p3 = ContourPlot@f@x , yD, 8x, −2, 2<, 8y, −2, 2<, ColorFunction → Hue,Contours → 10, DisplayFunction → Identity D;



2 e−x2 − y2 Hx2 − y2L nas formas de superfície e mapa de curvas de níveis ∗L

Show@GraphicsArray@8p1, p2, p3<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

-2-1

01

2

-2-1

012

-0.5

0

0.5

-2-1

01

2-1

01

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2


A função z = x2 - y2 tem por curvas de níveis as hiperbóles x2 - y2 = k. A figura abaixo mostra os gráficos da função z = x2 - y2 nas formas de superfície e de mapa de curva de níveis.

In[100]:= H∗ A função z = x2 − y2 ∗LClear@x, yD;f@x_, y_D := x^2 − y^2


x2 − y2 nas formas de superfície e mapa de curvas de níveis ∗Lp1 = Plot3D@f@x, yD, 8x, −2, 2<, 8y, −2, 2<, PlotPoints → 15,

BoxRatios → 81, 1, 1<, DisplayFunction → IdentityD;p2 = ContourPlot@f@x , yD, 8x, −2, 2<, 8y, −2, 2<, ContourShading → False,

Contours → 10, DisplayFunction → Identity D;p3 = ContourPlot@f@x , yD, 8x, −2, 2<, 8y, −2, 2<, ColorFunction → Hue,

Contours → 10, DisplayFunction → Identity D;


x2 − y2 nas formas de superfície e mapa de curvas de níveis ∗LShow@GraphicsArray@8p1, p2, p3<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

-2-1

01

2

-2-1

012

-4-20

2

4

-2-1

01

2-1

01

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2


2.2 Limite e Continuidade

Dado um ponto P0 = Hx0, y0L e um número d > 0, chama-se vizinhança d de P0 que se indica com o símboloVd (P0 ), ao conjunto dos pontos P = (x, y) cuja distância a P0 é menor que d:

Vd (P0 ), = {P: |P - P0 | < d,

ou |P - P0 | = "##############################################Hx - x0L2 + Hy - y0L2 < d.

No caso do espaço 3 , a vizinhança Vd (P0 ) é definida pela condição

|P - P0 | = "########################################################################Hx - x0L2 + Hy - y0L2 + Hz - z0L2 < d,

e por uma desigualdade análoga no caso de n .

Diz-se que um ponto P é ponto interior de um conjunto C se existe uma vizinhança de P toda contida em C. Diz-seque um ponto Q é ponto de fronteira de C se qualquer vizinhança de Q contém pontos de C e pontos fora de C. Afronteira de C é o conjunto de todos os seus pontos de fronteira. Um conjunto diz-se aberto se não contém qualquerponto da sua fronteira, e fechado se contém toda a fronteira.

Diz-se que uma função f, com domínio D, tem limite L com P tendendo a P0 se, dado e ? 0 existe d > 0 tal que

0 < |P - P0 | < d e P œ D fl | f(P) - L | < e

ou seja

P œ [Vd (P0 ) - 8P0<D › D fl » f HPL - L » < e .


A função f(x, y) = x y ê Hx2 + y2L, Hx, yL ∫ (0, 0), não tem limite com P = (x, y) Ø 0 = (0, 0) no sentido ordinário.


2.3 Derivadas parciais

Seja f uma função de duas variáveis, definidas numa vizinhança de um ponto Hx0, y0L . Como já notamos, o gráfico de fé, em geral, uma superfície no espaço. Se fixarmos uma das variáveis, digamos, y = y0 , obtemos uma função z =fHx, y0L da única variável x. Sua derivada, que é o limite da razão incremental

f Hx + h, y0L - f Hx0, y0LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅh

com h Ø 0, quando existe, é chamada derivada parcial de f em relação a x no ponto . Ela costuma ser indicada com ossímbolos

∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x Hx0, y0L , fx Hx0, y0L , ∑zÅÅÅÅÅÅÅ∑x , f1 Hx0, y0L .

É importante observar que fx, ∑f/∑x, etc., significa a derivada de f em relação a primeira variável. Asim, quandoescrevemos

∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x Hx2 + y2, yL

é preciso primeiro derivar fHx, yL em relação a x para depoissubstituir x por x2 + y2 .

Como a derivada é o declive do gráfico no caso de funções de uma variável., a derivada parcial fx Hx0, y0L é o declive,no ponto Hx0, y0L , da curva Cy0 , interseção do gráfico de f com o plano y = y0.

De maneira inteiramente análoga define-se a derivada parcial fy Hx0, y0L , que é o declive da curva Dx0 , interseção dográfico de f com o plano x = x0.

No Mathematica a deivada parcial de f(x, y) em relação a x é dada pelo comando D[f, x]. Analogamente, a deri-vada parcial em relação a y é dada pelo comando D[f, y].


Seja f(x, y) = x2 + y3 . Então,

In[81]:= H∗ A função f Hx,yL = x2 + y2 ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := x^2 + y^3

In[83]:= H∗ Derivada parcial da função f Hx,yL em relação a x ∗LD@f@x, yD, xD

Out[83]= 2 x


In[84]:= H∗ Derivada parcial da função f

Hx,yL em relação a x no ponto Hx2 + y2, y2L ∗LD@f@x, yD, xD ê. x → x^2 + y^2

Out[84]= 2 Hx2 + y2L

In[90]:= H∗ A função g Hx,yL = Hx2 + y2L2+ y3 ∗L

Clear@x, y, gD;g@x_, y_D := Hx^2 + y^2L^2 + y^3

In[92]:= H∗ Derivada parcial da função g Hx,yL em relação a x ∗LD@g@x, yD, xD

Out[92]= 4 x Hx2 + y2L

Note que ∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x Hx2 + y2, yL ∫ ∑ÅÅÅÅÅÅÅ∑x fHx2 + y2, yL .


Dada a função f(x, y) = cos x y + x2 y3 , temos

In[98]:= H∗ A função f Hx,yL = cos xy + x3 y3 ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Cos@x yD + x^3 y^3


Out[100]= 3 x2 y3 − y Sin@x yD

In[101]:= H∗ Derivada parcial da função f Hx,yL em relação a y ∗LD@f@x, yD, yD

Out[101]= 3 x3 y2 − x Sin@x yD

In[103]:= H∗ Derivada parcial segunda da função f Hx,yL em relação a x ∗LD@f@x, yD, 8x, 2<D

Out[103]= 6 x y3 − y2 Cos@x yD

In[104]:= H∗ Derivada parcial segunda da função f Hx,yL em relação a y ∗LD@f@x, yD, 8y, 2<D

Out[104]= 6 x3 y − x2 Cos@x yD

In[105]:= H∗ Derivada parcial mista da função f

Hx,yL em relação a x e em seguida em relação a y ∗LD@f@x, yD, x, yD

Out[105]= 9 x2 y2 − x y Cos@x yD − Sin@x yD


In[106]:= H∗ Derivada parcial mista da função f

Hx,yL em relação a y e em seguida em relação a x ∗LD@f@x, yD, y, xD

Out[106]= 9 x2 y2 − x y Cos@x yD − Sin@x yD

Observe que, neste caso, as derivadas fxy e fyx são iguais. Isso ocorre na quase totalidade das funções com que lidamosna prática, mas não é uma propriedade evidente, em geral, como ilustra o exemplo seguinte.


Vamos mostrar que no caso da função f(x, y) = x y (x2 - y2 )/(x2 + y2 ), fxy (0, 0) ∫ fyx (0, 0)

In[107]:= H∗ A função f Hx,yL = x y Hx2 − y2LêHx2 + y2L ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := x y Hx^2 − y^2LêHx^2 + y^2L

In[127]:= H∗ Derivada parcial da função f Hx,yL em relação a x em x → 0 ∗LD@f@x, yD, xD ê. x → 0

Out[127]= −y

In[126]:= H∗ Derivada parcial da função f Hx,yL em relação a y em y → 0 ∗LD@f@x, yD, yD ê. y → 0

Out[126]= x

TEOREMA. Suponhamos que uma função f seja definida, contínua e tenha derivada contínuas, fx , fy e fxy numavizinhança Vd de um ponto P0 = Hx0, y0L . Então fxy Hx0, y0L ∫ fyx Hx0, y0L .

Exercícios (pág. 60)

Calcule as derivadas parciais ∑z/∑x e ∑z/∑y das funções dadas nos Exercícios 1 a 15.

1. z = 3 x2 y3 - 5 x3 y2 .

In[128]:= H∗ A função z = 3 x2 y3−5 x3 y2. ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := 3 x^2 y^3 − 5 x^3 y^2


Out[130]= −15 x2 y2 + 6 x y3



Out[131]= −10 x3 y + 9 x2 y2

2. z = (x2 - y2 )/(1 + x2 + y2 ).

In[132]:= H∗ A função z = Hx2−y2LêH1+x2+y2L. ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Hx^2 − y^2LêH1 + x^2 + y^2L

In[135]:= H∗ Derivada parcial da função f Hx,yL em relação a x ∗LD@f@x, yD, xD êê Simplify

Out[135]=2 Hx + 2 x y2LH1 + x2 + y2L2

In[136]:= H∗ Derivada parcial da função f Hx,yL em relação a y ∗LD@f@x, yD, yD êê Simplify

Out[136]= −2 Hy + 2 x2 yLH1 + x2 + y2L2

3. z = exêy .

In[137]:= H∗ A função e = exêy. ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Exp@xêyD


Out[139]=xêy

y


Out[140]= −xêy xy2

4. z = esen x è!!!!y .

In[141]:= H∗ A função e = esen x è!!!!

y . ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Exp@Sin@xD Sqrt@yDD


Out[143]=è!!!!y Sin@xD è!!!y Cos@xD



Out[144]=

è!!!!y Sin@xD Sin@xD2 è!!!y

5. z = x3 ey2 .

In[145]:= H∗ A função e = x3 ey2 . ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := x^3 Exp@y^2D


Out[147]= 3 y2 x2


Out[148]= 2 y2 x3 y

6. z = yx .

In[149]:= H∗ A função z = yx. ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := y^x


Out[151]= yx Log@yD


Out[152]= x y−1+x

7. z = cos è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + x2 y4 .

In[153]:= H∗ A função z = cos è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + x2 y4 . ∗L

Clear@x, y, fD;f@x_, y_D := Cos@Sqrt@1 + x^2 y^4DD


Out[155]= −x y4 SinAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + x2 y4 E

è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + x2 y4



Out[156]= −2 x2 y3 SinAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + x2 y4 E

è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + x2 y4

8. z = log y2 è!!!!!x3 .

In[157]:= H∗ A função z = log y2 è!!!!!!x3 . ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Log@y^2 Sqrt@x^3DD


Out[159]=32 x


Out[160]=2y

9. z = ( sin x2 è!!!!y )/(cos y2

è!!!x )

In[161]:= H∗ A função z = Isin x2 è!!!y MëIcos y2 è!!!x M. ∗L

Clear@x, y, fD;f@x_, y_D := Sin@x^2 Sqrt@yDDêCos@y^2 Sqrt@xDD


Out[166]=

è!!!y SecAè!!!x y2E I4 x3ê2 CosAx2 è!!!y E + y3ê2 SinAx2 è!!!y E TanAè!!!x y2EM2 è!!!x


Out[165]=

è!!!x SecAè!!!x y2E Ix3ê2 CosAx2 è!!!y E + 4 y3ê2 SinAx2 è!!!y E TanAè!!!x y2EM2 è!!!y

10. z = x2 è!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2

In[167]:= H∗ A função z = x2 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 . ∗L

Clear@x, y, fD;f@x_, y_D := x^2 Sqrt@x^2 + y^2D



Out[172]=3 x3 + 2 x y2è!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2


Out[170]=x2 y

è!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2

In[1]:= 2 + 2

Out[1]= 4

11. z = arc sen è!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y4

In[2]:= H∗ A função z = arc sen è!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y4 . ∗L

Clear@x, y, fD;f@x_, y_D := ArcSin@ Sqrt@x^2 + y^4DD


Out[4]=x

è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!−H−1 + x2 + y4L Hx2 + y4L


Out[5]=2 y3

è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!−H−1 + x2 + y4L Hx2 + y4L

12. z = arc tg x2 y3

In[6]:= H∗ A função z = arc tg x2 y3. ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := ArcTan@x^2 y^3D


Out[8]=2 x y3

1 + x4 y6


Out[9]=3 x2 y2

1 + x4 y6


13. z = x3 cos xy2

In[10]:= H∗ A função z = x3 cos xy2 . ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := x^3 Cos@x y^2D


Out[12]= x2 H3 Cos@x y2D − x y2 Sin@x y2DL


Out[13]= −2 x4 y Sin@x y2D

14. z = sen(xy) log(x2 - y2 )

In[14]:= H∗ A função z = sen HxyL log Hx2 − y2L. ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Sen@x yD Log@x^2 − y^2D


Out[16]=2 x Sen@x yD

x2 − y2+ y Log@x2 − y2D Sen @x yD


Out[17]=2 y Sen@x yD

−x2 + y2+ x Log@x2 − y2D Sen @x yD

15. z = x2ê3 tg (xy/(1 + x2 y4 )

In[151]:= H∗ A função z = x2ê3 tg HxyêH1 + x2 y4L. ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := x^H2ê3L Tan@x yêH1 + x^2 y^4LD


Out[153]=Sec@ x y

1+x2 y4 D2 I3 x y − 3 x3 y5 + H1 + x2 y4L2 Sin@ 2 x y

1+x2 y4 DM3 x1ê3 H1 + x2 y4L2


Out[155]= −x5ê3 H−1 + 3 x2 y4L Sec@ x y

1+x2 y4 D2

H1 + x2 y4L2


Mostre que as funções dos Exercícios 34 a 40 satisfazem a equação deferencial parcial zxx + zyy = 0, chamada equação de Laplace

34. z = log è!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2

In[133]:= H∗ A função z = logè!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 M. ∗L

Clear@x, y, fD;f@x_, y_D := Log@Sqrt@x^2 + y^2DD

In[135]:= H∗ Verificar se f satisfaz à equação de Laplace ∗LD@f@x, yD, 8x, 2<D + D@f@x, yD, 8y, 2<D 0 êê Simplify

Out[135]= True

35. z = arc tg(y/x)

In[136]:= H∗ A função z = arc tg HyêxL. ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := ArcTan@yêxD


Out[138]= True

36. z = x3 - 3 xy2.

In[139]:= H∗ A função z = x3 − 3 x y2. ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := x^3 − 3 x y^2


Out[141]= True

37. z = ex cos y

In[142]:= H∗ A função z = ex cos y. ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Exp@xD Cos@yD


Out[144]= True

37. z = ex sen y

In[145]:= H∗ A função z = ex sen y. ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Exp@xD Sin@yD



Out[147]= True

39. z = y ê Hx2 + y2LIn[148]:= H∗ A função z = yêHx2 + y2L. ∗L

Clear@x, y, fD;f@x_, y_D := yêHx^2 + y^2L


Out[150]= True

40. z = x ê Hx2 + y2LIn[130]:= H∗ A função z = xêHx2 + y2L. ∗L

Clear@x, y, fD;f@x_, y_D := xêHx^2 + y^2L


Out[132]= True

41. Seja f uma função de uma variável, derivável até a segunda ordem. Demostre que z = f(x - ct) satisfaz a chamada equação da onda zxx - H1 ê cL zyy = 0, onde c é uma constante.

In[127]:= H∗ A função z = f Hx − ctL. ∗LClear@x, t, fD;f@x_, t_D := x − c t

In[129]:= H∗ Verificar se f satisfaz à equação da onda ∗LD@f@x, tD, 8x, 2<D − D@f@x, tD, 8t, 2<D 0 êê Simplify

Out[129]= True

42. Mostre que a função z = e-x2ê4 k t ëè!!t satisfaz a chamada equação da difusão ou equação do calor, zt = k zxx = 0, onde c é uma constante.

In[124]:= H∗ A função z = f Hx − ctL. ∗LClear@x, t, fD;f@x_, t_D := 1êSqrt@tD Exp@−x^2ê H4 k tLD

In[126]:= H∗ Verificar se f satisfaz à equação do calor ∗LD@f@x, tD, tD − k D@f@x, tD, 8x, 2<D 0 êê Simplify

Out[126]= True


2.4 Diferenciabilidade

Quando uma função de um variável é derivável, ela é também contínua. Isto não é mais verdade em se tratando defunções de mais de uma variável, como mostra o exemplo seguinte.


Seja f a função dada por f(0, 0 ) = 0 e f(x, y) = x y ê Hx2 + y2L, se Hx, yL ∫ (0, 0). Vimoa na seção 2.2 que essa função é descontínua na origem. Não obstante isso, ela é derivável em relação a x e a y neste mesmo ponto. De fato, as duas derivadas parciais são iguais a zero no ponto (0, 0), como podemos ver:

In[158]:=

H∗ A função f Hx, yL = xyêHx2 + y2L ∗LClear@x, yD;f@x_, y_D := x y Hx2 + y2L

In[160]:= H∗ Derivadas parciais de f Hx,yL no ponto H0, 0L ∗LD@f@x, yD, xD ê. 8x −> 0, y −> 0<D@f@x, yD, yD ê. 8x −> 0, y −> 0<

Out[160]= 0

Out[161]= 0

Diz-se que uma função z = f(x, y) é diferenciável num ponto Hx0, y0L se existe um plano pelo pontoHx0, y0, f Hx0, y0L L , de equação

Z = f Hx0, y0L + A (x - x0 ) + B (y - y0 )

tal que a diferença de f(x, y) - Z seja um infinitésimo de ordem superior em comparação com r ="##############################################Hx - x0L2 + Hy - y0L2 quando r Ø 9,

O conceito de diferenciabilidade assegura a continuidade da função. De fato,

Uma função f, que é diferenciável num ponto Hx0, y0L é contínua nesse ponto. Ademais, f terá derivadas parciais deprimeira ordem neste ponto. Além disso, numa vizinhança do ponto (x0 , y0 ) o plano de equação

Z = f(x0 , y0 ) + fx Hx0, y0L Hx - x0L + fy Hx0, y0L Hy - y0Laproxima o gráfico de z = f(x, y) no sentido de que a diferença f(x, y) - Z é um diferencial de ordem superior emrelação a r com r Ø 0:

f(x, y) - Z = o(r) ou h = f Hx, yL - ZÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅr Ø 0 com r Ø 0.


Geometricamente, o plano de equação Z = f(x0 , y0 ) + fx Hx0, y0L Hx - x0L + fy Hx0, y0L Hy - y0L e a superfície z = f(x, y) têm, no ponto Hx0, y0L , contato de ordem ¥ 1. Podemos dizer, então, que a distância f(x, y) - Z, entre a superfície e oplano ao longo das perpendiculares ao plano Oxy, tendem a zero mais depressa que r.

Determinar a equação do plano tangente ao hiperbolóide z = 10 - x2 - 2 y2 no ponto (1, 2). Esboçe o parabolóide e o plano tangente.

In[62]:= H∗ Equação do plano tangente ao hiperbolóide no ponto H1, 2L ∗LClear@x, yD;f@x_, y_D := 10 − x2 − 2 y2

fx = D@f@x, yD, xD ê. 8x → 1, y → 2<;fy = D@f@x, yD, yD ê. 8x → 1, y → 2<;z = f@1, 2D + fx Hx − 1L + fy Hy − 2L êê Expand

Out[66]= 19 − 2 x − 8 y

In[97]:= H∗ Gráfico hiperbolóide e do plano tangente no ponto H1, 2L ∗Lp1 = Plot3D@f@x, yD, 8x, −5, 5<, 8y, −5, 5<, DisplayFunction → IdentityD;p2 = Plot3D@z, 8x, −5, 5<, 8y, −5, 5<,

PlotPoints → 10, DisplayFunction → IdentityD;Show@8p1, p2<, ViewPoint → 82.3, −2.2, 0.8<,

DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

-5-2.5

02.5

5-5-2.5

02.5

5-50

0

50

-5-2.5

02.5

In[30]:= Plot3D@Sqrt@Abs@x yDD, 8x, −10, 10<, 8y, −10, 10<, PlotPoints → 15D;

-10-5

05

10-10

-5

0

5

10

02.55

7.510

0-5

05



Calcule as diferenciais de cada uma das funções dadas nos Exercícios 1 a 10.

1. z = ex y2

In[162]:= H∗ A função z = ex y2 . ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Exp@xD y2

In[173]:= H∗ Diferencial da função z = ex y2 . ∗Lfx = D@f@x, yD, xD;fy = D@f@x, yD, yD;df = fx dx + fy dy êê Simplify

Out[175]= x y H2 dy + dx yL

O diferencial da função dada é y2 ex dx + 2yex dy.

2. z = x2 è!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + xy2

In[176]:= H∗ A função z = x2 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + xy2 . ∗L

Clear@x, y, fD;

f@x_, y_D := x2 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

1 + x y2

In[178]:= H∗ Diferencial da função z = x2 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + xy2 . ∗L

fx = D@f@x, yD, xD;fy = D@f@x, yD, yD;df = fx dx + fy dy êê Simplify

Out[180]=x H2 dy x2 y + dx H4 + 5 x y2LL

2 è!!!!!!!!!!!!!!!!1 + x y2

O diferencial da função dada é 4 x + 5 x2 y2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 è!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + x y2

dx + 2 x3 yÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 è!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + x y2

dy .

O diferencial da função dada é y2 ex dx + 2yex dy.

3. z = log è!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2

In[229]:= H∗ A função z = log è!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 . ∗L

Clear@x, y, fD;

f@x_, y_D := LogAè!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 E


In[231]:= H∗ Diferencial da função z = log è!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 . ∗L


Out[233]=dx x + dy yx2 + y2

O diferencial da função dada é xÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx2 + y2 dx + yÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx2 + y2 dy .

4. z = x2 y3 z4

In[200]:= H∗ A função z = x2 y3 z4 . ∗LClear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := x2 y3 z4

In[202]:= H∗ Diferencial da função z = x2 y3 z4 . ∗Lfx = D@f@x, y, zD, xD;fy = D@f@x, y, zD, yD;fz = D@f@x, y, zD, zD;df = fx dx + fy dy + fz dz êê Simplify

Out[205]= x y2 z3 H4 dz x y + 3 dy x z + 2 dx y zL

O diferencial da função dada é 2 x y3 z4 dx + 3 x 2 y2 z4 dy + 4 x 2 y3 z3 dz .

5. z = ex2 y2 z3

In[206]:= H∗ A função z = ex2 y2 z3 . ∗LClear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := Exp@xD2 y2 z3

In[208]:= H∗ Diferencial da função z = ex2 y2 z3 . ∗L

fx = D@f@x, y, zD, xD;fy = D@f@x, y, zD, yD;fz = D@f@x, y, zD, zD;df = fx dx + fy dy + fz dz êê Simplify

Out[211]= 2 x y z2 H3 dz y + 2 Hdy + dx yL zL

O diferencial da função dada é 2 y2 z3 e2 x dx + 2 y z3 e2 x dy + 3 y2 z2 e2 x dz .

6. z = x2 ê y

In[219]:= H∗ A função z = x2êy . ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := x2 êy


In[221]:= H∗ Diferencial da função z = x2êy . ∗Lfx = D@f@x, yD, xD;fy = D@f@x, yD, yD;df = fx dx + fy dy êê Simplify

Out[223]=x H−dy x + 2 dx yL

y2

O diferencial da função dada é 2 x yÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅy2 dx - x2ÅÅÅÅÅÅÅy2 dy .

7. z = x2 sen yÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx2 + 1

In[224]:= H∗ A função z = x2 senHyêHx2 + 1LL . ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := x2 Sin@yêHx2 + 1LD

In[226]:= H∗ Diferencial da função z = x2 senHyêHx2 + 1LL . ∗Lfx = D@f@x, yD, xD;fy = D@f@x, yD, yD;df = fx dx + fy dy êê Simplify

Out[228]=x Ix Hdy + dy x2 − 2 dx x yL Cos@ y

1+x2 D + 2 dx H1 + x2L2 Sin@ y1+x2 DM

H1 + x2L2

8. z = arc tg è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + x2 y2

In[234]:= H∗ A função z = arc tg è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + x2 y2 . ∗L

Clear@x, y, fD;f@x_, y_D := ArcTan@1 + x2 y2D

In[236]:= H∗ Diferencial da função z = arc tg è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + x2 y2 . ∗L


Out[238]=2 x y Hdy x + dx yL2 + 2 x2 y2 + x4 y4

9. z = xÅÅÅÅy + yÅÅÅÅx

In[239]:= H∗ A função z = xêy + yêx . ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := xêy + yêx

In[241]:= H∗ Diferencial da função z = xêy + yêx . ∗Lfx = D@f@x, yD, xD;fy = D@f@x, yD, yD;df = fx dx + fy dy êê Simplify

Out[243]= −Hdy x − dx yL Hx2 − y2L

x2 y2


10. z = x - yÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx + y

In[249]:= H∗ A função z = Hx − yLêHx + yL . ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Hx − yLêHx + yL

In[251]:= H∗ Diferencial da função z = Hx - yLêHx + yL . ∗Lfx = D@f@x, yD, xD;fy = D@f@x, yD, yD;df = fx dx + fy dy êê Simplify

Out[253]=−2 dy x + 2 dx y

Hx + yL2

2.5 Derivada direcional e Gradiente

Uma função diferenciável possui derivadas em todas as direções e não apenas nas direções i = (1, 0) e j = (0, 1), quesão as derivadas fx e fy , respectivamente.

Seja f uma função de duas variáveis e

a”÷ = (cos q, sen q) = cos q i + sen q j

uma direção qualquer no plano Oxy. Chama-se derivada de f na direção a”÷ , no ponto P = (x, y), ao seguinte limite,quando existe, indicado pelos símbolos ∑f/∑a”÷ , “a”÷ f ou Da”÷ f:

∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑a”÷ = (“a”÷ f )(P) = (Da”÷ f)(P) = limt Ø 0 f HP + t a”÷ L - f HPLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅt .

Fazendo t Ø 0, obtemos

(Da”÷ f)(x, y) = fx (x, y) cos q + fy (x, y) sen q


Vamos calcular a derivada da função f(x, y) = x2 y na direção (2, 1) no ponto (-1, 2). Como (2, 1) não é unitário, devemos primeiro normalizá-lo para encontrar o vetor unitário a”÷ com a mesma direção e sentido do vetor:

In[57]:= H∗ A função f Hx, yL = x2 y . ∗LClear@x, fD;f@x_, y_D := x2 y


In[59]:= H∗ O vetor unitário α” . ∗Lv = 81, 2<;

α = v ëè!!!!!!!!!v.v

Out[60]= 9 1è!!!5

, 2è!!!5

=

In[61]:= H∗ Derivada direcional no ponto H−1, 2L na direção H1, 2L ∗L8x0, y0< = 8−1, 2<;D@f@x, yD, xD α@@1DD + D@f@x, yD, yD α@@2DD ê. 8x → x0, y → y0<

Out[62]= −2è!!!5


Seja calcular a derivada da função f(x, y) = xy (x + y) na direção (2, -3) no ponto (x, y).

In[11]:= H∗ A função f Hx, yL = x y Hx + yL . ∗LClear@x, fD;f@x_, y_D := x y Hx + yL

In[13]:= H∗ O vetor unitário α” . ∗Lv = 82, −3<;

α = v ëè!!!!!!!!!v.v

Out[14]= 9 2è!!!!!!13

, −3

è!!!!!!13=

In[16]:= H∗ Derivada direcional no ponto H−1,2L ∗LD@f@x, yD, xD α@@1DD + D@f@x, yD, yD α@@2DD êê Simplify

Out[16]=−3 x2 − 2 x y + 2 y2

è!!!!!!13

Gradiente

O gradiente de f, indicado por “ f ou grad f, é o vetor

“ f = grad f = ∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x i”÷ + ∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑y j”÷÷

In[1]:= H∗ Pacote Add−on: Calculus`VectorAnalysis` ∗L<< Calculus`VectorAnalysis`

Grad[f, Cartesian[x, y, z]] fornece o gradiente da função escalar f[x, y, z] no sistema de coordena-das cartesiano.


A fórmula da derivada dericional


pode ser reescrita assim:

(Da”÷ f)(x, y) = ( fx (x, y)+ fy (x, y) ) . (cos q, sen q) = ( ∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x , ∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑y ). a”÷

Como a”÷ é um vetor unitário podemos reescrever ainda

(Da”÷ f)(x, y) = (“ f). a”÷ = | “ f | cos f

onde f é o ângulo entre os vetores “ f e a”÷ , como ilusta a figura abaixo.

In[17]:= H∗ Pacote Add−on: Graphics`Arrow` traça setas ∗L<< Graphics`Arrow`

In[52]:= H∗ Direção do gradiente ∗LShow@Graphics@8Arrow@80, 0<, 81ê2, 2<D, Arrow@80, 0<, 81, 3ê2<D<,

Epilog → 8Text@"P", 80.01, .15<D, Text@"α”", 8.95, 1.6<D,Text@"∇f", 8.4, 1.9<D, Text@"φ", 80.13, .3<D<DD;

P

α”∇f

φ

A fórmula da derivada dericional


pode ser reescrita assim:

(Da”÷ f)(x, y) = ( fx (x, y)+ fy (x, y) ) . (cos q, sen q) = ( ∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x , ∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑y ). a”÷

Como a”÷ é um vetor unitário podemos reescrever ainda

(Da”÷ f)(x, y) = (“ f). a”÷ = | “ f | cos f

onde f é o ângulo entre os vetores “ f e a”÷ , como ilusta a figura abaixo.


Exercícios (pág.73)

Nos Exercícios 1 a 8 , determine as derivadas das funções dadas, nos pontos dados e nas dir�ções indicadas

1. z = x2 - 3y em P = (0, 0), na direção do vetor (1, 2).

In[53]:= H∗ A função f Hx, yL = x2 − 3 y . ∗LClear@x, fD;f@x_, y_D := x2 − 3 y


α = v ëè!!!!!!!!!v.v

Out[8]= 9 1è!!!5

,2è!!!5

=

In[55]:= H∗ Derivada direcional no ponto H0,0L na direção H1, 2L ∗L8x0, y0< = 80, 0<;D@f@x, yD, xD α@@1DD + D@f@x, yD, yD α@@2DD ê. 8x → x0, y → y0<

Out[56]=9

è!!!!!!13

2. z = sen x2 y + cos x y2 em P = (x, y), na direção do vetor (1, è!!!3 ).

In[63]:= H∗ A função f Hx, yL = sen x2 y + cos x y2 . ∗LClear@x, fD;f@x_, y_D := Sin@x2 yD + Cos@x y2D

In[65]:= H∗ O vetor unitário α” . ∗Lv = 91,

è!!!!3 =;

α = v ëè!!!!!!!!!v.v

Out[66]= 9 12,

è!!!32

=

In[70]:= H∗ Derivada direcional no ponto H0,0L na direção H1, 2L ∗LD@f@x, yD, xD α@@1DD + D@f@x, yD, yD α@@2DD êê Simplify

Out[70]=12Ix Iè!!!3 x + 2 yM Cos@x2 yD − y I2 è!!!3 x + yM Sin@x y2DM

3. z = cos x y em P = (x, y), na direção do vetor (a1, a2).


In[74]:= H∗ A função f Hx, yL = x2 − 3 y . ∗LClear@x, fD;f@x_, y_D := Cos@x yD

In[76]:= H∗ O vetor unitário α” . ∗Lα = 8α1, α2<

Out[76]= 8α1, α2<

In[79]:= H∗ Derivada direcional no ponto Hx,yL na direção Hα1, α2L ∗LD@f@x, yD, xD α@@1DD + D@f@x, yD, yD α@@2DD

Out[79]= −y α1 Sin@x yD − x α2 Sin@x yD

4. z = sen è!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 em P = (3, 4), na direção do vetor (-1, 1).

In[80]:= H∗ A função f Hx, yL = sen è!!!!!!!!!!!!!x2+y2 . ∗L

Clear@x, fD;f@x_, y_D := Sin@x2 + y2D

In[82]:= H∗ O vetor unitário α” . ∗Lv = 8−1, 1<;

α = v ëè!!!!!!!!!v.v

Out[83]= 9−1è!!!2

,1è!!!2

=

In[84]:= H∗ Derivada direcional no ponto H3,4L na direção H−1, 1L ∗L8x0, y0< = 83, 4<;D@f@x, yD, xD α@@1DD + D@f@x, yD, yD α@@2DD ê. 8x → x0, y → y0<

Out[85]=è!!!2 Cos@25D

5. z = ex2-cos y em P = (x, y), na direção do vetor (2, 3).

In[86]:= H∗ A função f Hx, yL = ex2-cos y . ∗LClear@x, fD;f@x_, y_D := Exp@x2 − Cos@yDD


α = v ëè!!!!!!!!!v.v

Out[89]= 9 2è!!!!!!13

, 3è!!!!!!13

=

In[90]:= H∗ Derivada direcional no ponto Hx,yL na direção H2, 3L ∗LD@f@x, yD, xD α@@1DD + D@f@x, yD, yD α@@2DD êê Simplify

Out[90]=x2−Cos@yD H4 x + 3 Sin@yDL

è!!!!!!13


6. w = x2 + 2 x y + z2 em P = (1, 0, -1), na direção do vetor (1, -1, 1).

In[91]:= H∗ A função f Hx, yL = x2 − 3 y . ∗LClear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := x2 + 2 x y + z2

In[93]:= H∗ O vetor unitário α” . ∗Lv = 81, −1, 1<;

α = v ëè!!!!!!!!!v.v

Out[94]= 9 1è!!!3

, −1è!!!3

,1è!!!3

=

In[95]:= H∗ Derivada direcional no ponto H1, 0, −1L na direção H1, −1, 1L ∗L8x0, y0, z0< = 81, 0, −1<;D@f@x, y, zD, xD α@@1DD + D@f@x, y, zD, yD α@@2DD + D@f@x, y, zD, zD α@@3DD ê.8x → x0, y → y0, z → z0<

Out[96]= −2è!!!3

7. w = x y2 z3 em P = (x, y, z), na direção do vetor (1, -2, 1).

In[101]:= H∗ A função f Hx, yL = x y2 z3 . ∗LClear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := x y2 z3


α = v ëè!!!!!!!!!v.v

Out[100]= 9 1è!!!6

, −$%%%%%%23,

1è!!!6

=

In[103]:= H∗ Derivada direcional no ponto H0,0L na direção H1, 2L ∗LD@f@x, y, zD, xD α@@1DD +

D@f@x, y, zD, yD α@@2DD + D@f@x, y, zD, zD α@@3DD êê Simplify

Out[103]=y z2 H3 x y − 4 x z + y zL

è!!!6

8. w = 2x2 y3 - 3 x3 y2 em P = (1, 2), na direção à tangente a curva y = x3 + 1.

In[191]:= H∗ A função f Hx, yL = 2 x2 y3 −3 x3 y2 . ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := 2 x2 y3 − 3 x3 y2


In[193]:= H∗ Tangente a curva y = x3 + 1 . ∗Lm = D@x3 + 1, xD ê. x → 1;α = 8Cos@ArcTan@mDD, Sin@ArcTan@mDD<

Out[194]= 9 1è!!!!!!10

,3

è!!!!!!10=

In[195]:= H∗ Derivada direcional no ponto H1,2L à tangente a curva y=x3 + 1 ∗L8x0, y0< = 81, 2<;D@f@x, yD, xD α@@1DD + D@f@x, yD, yD α@@2DD ê. 8x → x0, y → y0< êê Simplify

Out[196]= 16$%%%%%%25

In[197]:= H∗ Tangente a curva y = x3 + 1 . ∗Lm = D@x3 + 1, xD ê. x → 1;α = 8−Cos@ArcTan@mDD, −Sin@ArcTan@mDD<

Out[198]= 9−1

è!!!!!!10, −

3è!!!!!!10

=

In[199]:= H∗ Derivada direcional no ponto H1,2L à tangente a curva y = x3 + 1 ∗L8x0, y0< = 81, 2<;D@f@x, yD, xD α@@1DD + D@f@x, yD, yD α@@2DD ê. 8x → x0, y → y0< êê Simplify

Out[200]= −16$%%%%%%25

Exercícios (pág.73)

Nos Exercícios 1 a 8 , determine as derivadas das funções dadas, nos pontos dados e nas dir�ções indicadas

1. z = x2 - 3y em P = (0, 0), na direção do vetor (1, 2).

In[53]:= H∗ A função f Hx, yL = x2 − 3 y . ∗LClear@x, fD;f@x_, y_D := x2 − 3 y


α = v ëè!!!!!!!!!v.v

Out[8]= 9 1è!!!5

,2è!!!5

=


In[55]:= H∗ Derivada direcional no ponto H0,0L na direção H1, 2L ∗L8x0, y0< = 80, 0<;D@f@x, yD, xD α@@1DD + D@f@x, yD, yD α@@2DD ê. 8x → x0, y → y0<

Out[56]=9

è!!!!!!13

2. z = sen x2 y + cos x y2 em P = (x, y), na direção do vetor (1, è!!!3 ).

In[63]:= H∗ A função f Hx, yL = sen x2 y + cos x y2 . ∗LClear@x, fD;f@x_, y_D := Sin@x2 yD + Cos@x y2D

In[65]:= H∗ O vetor unitário α” . ∗Lv = 91,

è!!!!3 =;

α = v ëè!!!!!!!!!v.v

Out[66]= 9 12,

è!!!32

=

In[70]:= H∗ Derivada direcional no ponto H0,0L na direção H1, 2L ∗LD@f@x, yD, xD α@@1DD + D@f@x, yD, yD α@@2DD êê Simplify

Out[70]=12Ix Iè!!!3 x + 2 yM Cos@x2 yD − y I2 è!!!3 x + yM Sin@x y2DM

3. z = cos x y em P = (x, y), na direção do vetor (a1, a2).

In[74]:= H∗ A função f Hx, yL = x2 − 3 y . ∗LClear@x, fD;f@x_, y_D := Cos@x yD

In[76]:= H∗ O vetor unitário α” . ∗Lα = 8α1, α2<

Out[76]= 8α1, α2<

In[79]:= H∗ Derivada direcional no ponto Hx,yL na direção Hα1, α2L ∗LD@f@x, yD, xD α@@1DD + D@f@x, yD, yD α@@2DD

Out[79]= −y α1 Sin@x yD − x α2 Sin@x yD

4. z = sen è!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 em P = (3, 4), na direção do vetor (-1, 1).

In[80]:= H∗ A função f Hx, yL = sen è!!!!!!!!!!!!!x2+y2 . ∗L

Clear@x, fD;f@x_, y_D := Sin@x2 + y2D


In[82]:= H∗ O vetor unitário α” . ∗Lv = 8−1, 1<;

α = v ëè!!!!!!!!!v.v

Out[83]= 9−1è!!!2

, 1è!!!2

=

In[84]:= H∗ Derivada direcional no ponto H3,4L na direção H−1, 1L ∗L8x0, y0< = 83, 4<;D@f@x, yD, xD α@@1DD + D@f@x, yD, yD α@@2DD ê. 8x → x0, y → y0<

Out[85]=è!!!2 Cos@25D

5. z = ex2-cos y em P = (x, y), na direção do vetor (2, 3).

In[86]:= H∗ A função f Hx, yL = ex2-cos y . ∗LClear@x, fD;f@x_, y_D := Exp@x2 − Cos@yDD


α = v ëè!!!!!!!!!v.v

Out[89]= 9 2è!!!!!!13

,3

è!!!!!!13=

In[90]:= H∗ Derivada direcional no ponto Hx,yL na direção H2, 3L ∗LD@f@x, yD, xD α@@1DD + D@f@x, yD, yD α@@2DD êê Simplify

Out[90]=x2−Cos@yD H4 x + 3 Sin@yDL

è!!!!!!13

6. w = x2 + 2 x y + z2 em P = (1, 0, -1), na direção do vetor (1, -1, 1).

In[91]:= H∗ A função f Hx, yL = x2 − 3 y . ∗LClear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := x2 + 2 x y + z2


α = v ëè!!!!!!!!!v.v

Out[94]= 9 1è!!!3

, −1è!!!3

, 1è!!!3

=


In[95]:= H∗ Derivada direcional no ponto H1, 0, −1L na direção H1, −1, 1L ∗L8x0, y0, z0< = 81, 0, −1<;D@f@x, y, zD, xD α@@1DD + D@f@x, y, zD, yD α@@2DD + D@f@x, y, zD, zD α@@3DD ê.8x → x0, y → y0, z → z0<

Out[96]= −2è!!!3

7. w = x y2 z3 em P = (x, y, z), na direção do vetor (1, -2, 1).

In[101]:= H∗ A função f Hx, yL = x y2 z3 . ∗LClear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := x y2 z3


α = v ëè!!!!!!!!!v.v

Out[100]= 9 1è!!!6

, −$%%%%%%23,

1è!!!6

=

In[103]:= H∗ Derivada direcional no ponto H0,0L na direção H1, 2L ∗LD@f@x, y, zD, xD α@@1DD +

D@f@x, y, zD, yD α@@2DD + D@f@x, y, zD, zD α@@3DD êê Simplify

Out[103]=y z2 H3 x y − 4 x z + y zL

è!!!6

14. Data a função f(x, y) = x y ( 3 x2 - 5 y2 ) calcule “ f no ponto (1, 1) e duas direções ao longo das quais a derivada direcional de f é zero.

In[234]:= H∗ A função f Hx, yL = x y H 3 x2 − 5 y2L . ∗LClear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := x y H3 x2 − 5 y2L

In[236]:= H∗ Gradiente de f Hx, yL = x y H 3 x2 − 5 y2L no ponto H1, 1L . ∗L8x0, y0< = 81, 1<;gradF = Grad@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD ê. 8x → x0, y → y0<

Out[237]= 84, −12, 0<

In[233]:= H∗ Direção ao longo do gradiente de f . ∗LgradFëè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

gradF.gradF

Out[233]= 9 1è!!!!!!10

, −3

è!!!!!!10, 0=

A derivada de f é zero nas direções perpendiculares à direção do gradiente. Portamto, ± ( 3 ëè!!!!!!10 , 1 ëè!!!!!!10 ).

Nos Exercícios 15 a 24, determine para a função f dada, as curvas ao longo das quais a direção de “ f permanece con-stante. Faça um gáfico com várias curvas f(x, y) = constante, mostrando também as curvas a determinar.


15. f(x, y) = 2 x2 + 3 y2 .

In[48]:= H∗ A função f Hx, yL = 2 x2 + 3 y2 . ∗LClear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := 2 x2 + 3 y2

In[50]:= H∗ Gradiente de f Hx, yL = 2 x2 + 3 y2 no ponto Hx, yL . ∗LgradF = Grad@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD

Out[50]= 84 x, 6 y, 0<

In[11]:= H∗ Ativa o pacote Add−on Graphics`PlotField`. ∗L<< Graphics`PlotField`

ContourPlot[f, {x, xmin. xmax}, {y, ymin, ymax}] gera um mapa de contorno da função f(x, y).

PlotGradientFiield[f, {x, xmin. xmax,(xu)}, {y, ymin, ymax,(yu)}] gera um mapa um campo de vetores do gradiente de um campo escalar f(x, y).

In[54]:= H∗ Gera as curvas de níveis da função f e campo de vetores do greadiente∗Lp1 = ContourPlot@f@x , y, zD, 8x, −2, 2<, 8y, −2, 2<,

ColorFunction → Hue, Contours → 10, DisplayFunction → IdentityD;p2 = PlotGradientField@f@x, y, zD, 8x, −2, 2<,

8y, −2, 2<, DisplayFunction → IdentityD;

In[56]:= H∗ Traça as curvas de níveis e o campo de vetores ∗LShow@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

16. f(x, y) = 4 x2 + y2 .


In[57]:= H∗ A função f Hx, yL = 4 x2 + y2 . ∗LClear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := 4 x2 + y2

In[59]:= H∗ Gradiente de f Hx, yL = 4 x2 + y2 no ponto Hx, yL . ∗LgradF = Grad@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD

Out[59]= 88 x, 2 y, 0<





-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

17. f(x, y) = y - x2 .

In[71]:= H∗ A função f Hx, yL = y − x2. ∗LClear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := y − x2

In[73]:= H∗ Gradiente de f Hx, yL = y − x2 no ponto Hx, yL . ∗LgradF = Grad@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD

Out[73]= 8−2 x, 1, 0<






-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

18. f(x, y) = y + x2 .

In[77]:= H∗ A função f Hx, yL = y + x2. ∗LClear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := y + x2

In[79]:= H∗ Gradiente de f Hx, yL = y + x2 no ponto Hx, yL . ∗LgradF = Grad@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD

Out[79]= 82 x, 1, 0<





-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2


19. f(x, y) = x - y2 .

In[83]:= H∗ A função f Hx, yL = x − y2. ∗LClear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := x − y2

In[85]:= H∗ Gradiente de f Hx, yL = x − y2 no ponto Hx, yL . ∗LgradF = Grad@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD

Out[85]= 81, −2 y, 0<





-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

20. f(x, y) = x + y2 .

In[89]:= H∗ A função f Hx, yL = x + y2. ∗LClear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := x + y2

In[91]:= H∗ Gradiente de f Hx, yL = x + y2 no ponto Hx, yL . ∗LgradF = Grad@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD

Out[91]= 81, 2 y, 0<






-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

21. f(x, y) = x y .

In[95]:= H∗ A função f Hx, yL = xy. ∗LClear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := x y

In[97]:= H∗ Gradiente de f Hx, yL = xy no ponto Hx, yL . ∗LgradF = Grad@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD

Out[97]= 8y, x, 0<





-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


22. f(x, y) = x2 - y2 .

In[101]:= H∗ A função f Hx, yL = x2 − y2. ∗LClear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := x2 − y2

In[103]:= H∗ Gradiente de f Hx, yL = x2 − y2 no ponto Hx, yL . ∗LgradF = Grad@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD

Out[103]= 82 x, −2 y, 0<





-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

23. f(x, y) = x3 - y2 .



Out[109]= 83 x2, −2 y, 0<






-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

24. f(x, y) = x2 - y3 .



Out[115]= 82 x, −3 y2, 0<





-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


Nos Exercícios 25 a 27, determine as direções em que f(x, y) crescem e decrescem mais rapidamente no ponto dado, bem como as componentes derivadas direcionais máxima e mínima respectivamente.

25. f(x, y) = x3 - y2 , P = (1, 1).


In[127]:= H∗ Gradiente de f Hx, yL = x2 − y3 no ponto H1, 1L . ∗L8x0, y0< = 81, 1<;gradF = Grad@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD ê. 8x → x0, y → y0<

Out[128]= 83, −2, 0<

In[129]:= H∗ O vetor unitário α” . ∗Lα = gradFëè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

gradF.gradF

Out[129]= 9 3è!!!!!!13

, −2

è!!!!!!13, 0=

In[133]:= H∗ Derivada direcional máxima . ∗LD@f@x, y, zD, xD α@@1DD + D@f@x, y, zD, yD α@@2DD ê. 8x → x0, y → y0<

Out[133]=è!!!!!!13

In[134]:= H∗ Derivada direcional mínima . ∗LD@−f@x, y, zD, xD α@@1DD − D@f@x, y, zD, yD α@@2DD ê. 8x → x0, y → y0<

Out[134]= −è!!!!!!13

26. f(x, y) = x2 + 2 y2 , P = (1, -1).

In[138]:= H∗ A função f Hx, yL = x2 + 2 y2. ∗LClear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := x2 + 2 y2

In[140]:= H∗ Gradiente de f Hx, yL = x2 + 2 y2 no ponto H1, −1L . ∗L8x0, y0< = 81, −1<;gradF = Grad@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD ê. 8x → x0, y → y0<

Out[141]= 82, −4, 0<


gradF.gradF

Out[142]= 9 1è!!!5

, −2è!!!5

, 0=

In[143]:= H∗ Derivada direcional máxima . ∗LD@f@x, y, zD, xD α@@1DD + D@f@x, y, zD, yD α@@2DD ê. 8x → x0, y → y0<

Out[143]= 2 è!!!5


In[144]:= H∗ Derivada direcional mínima . ∗LD@−f@x, y, zD, xD α@@1DD − D@f@x, y, zD, yD α@@2DD ê. 8x → x0, y → y0<

Out[144]= −2 è!!!5

27. f(x, y, z) = x2 + 3 y2 + 4 z2 , P = (1, -1, 1).

In[154]:= H∗ A função f Hx, y, zL = x2 + 3 y2 + 4 z2. ∗LClear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := x2 + 3 y2 + 4 z2

In[156]:= H∗ Gradiente de f Hx, yL = x2 + 3 y2 + 4 z2. no ponto H1, −1, 1L . ∗L8x0, y0, z0< = 81, −1, 1<;gradF = Grad@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD ê. 8x → x0, y → y0, z → z0<

Out[157]= 82, −6, 8<


gradF.gradF

Out[158]= 9 1è!!!!!!26

, −3

è!!!!!!26, 2$%%%%%%%%%2

13=

In[161]:= H∗ Derivada direcional máxima . ∗LD@f@x, y, zD, xD α@@1DD + D@f@x, y, zD, yD α@@2DD + D@f@x, y, zD, zD α@@3DD ê.8x → x0, y → y0, z −> z0<

Out[161]= 2 è!!!!!!26

In[162]:= H∗ Derivada direcional mínima . ∗LD@−f@x, y, zD, xD α@@1DD + D@−f@x, y, zD, yD α@@2DD + D@−f@x, y, zD, zD α@@3DD ê.8x → x0, y → y0, z −> z0<

Out[162]= −2 è!!!!!!26


2.6 Regra da cadeia e Plano tangente

Seja a função f(x, y, z) diferenciável num ponto P = (x, y, z). Se esse ponto for função de um parâmetro t

P = (x(t), y(t), z(t)

verifica-se a regra da cadeia:

df HtLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅdt = dÅÅÅÅÅÅdt f(x(t), y(t), z(t)) = ∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x ∑xÅÅÅÅÅÅÅ∑t + ∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑y ∑yÅÅÅÅÅÅÅ∑t + ∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑z ∑zÅÅÅÅÅÅÅ∑t

ou ainda

dÅÅÅÅÅÅdt f(P(t)) = “ f. P '(t)

As equações paramétricas do plano tangente à superfície f(x, y, z) = 0 que passa pelo ponto Hx0, y0, z0L são

x = x0 + t “ f Hx0, y0, z0L.i”

y = y0 + t “ f Hx0, y0, z0L. j”

z = z0 + t “ f Hx0, y0, z0L.k”÷

EXEMPLO (pág. 78)

Vamos considerar a superfície de equação f(x, y, z) = 3 x2 + y2 - 7z = 0 que passa pelo ponto P = (1, -2, 1).

In[203]:= H∗ A função f Hx, y, zL = 3 x2 + y2 + 7 z. ∗LClear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := 3 x2 + y2 − 7 z

In[214]:= H∗ Gradiente de f Hx, yL = 3 x2 + y2 + + 7 z. no ponto H1, −2, 1L . ∗L8x0, y0, z0< = 81, −2, 1<;gradF = Grad@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD ê. 8x → x0, y → y0, z → z0<

Out[215]= 86, −4, −7<

In[218]:= x x0 + t gradF.81, 0, 0<y y0 + t gradF.80, 1, 0<z z0 + t gradF.80, 0, 1<

Out[218]= x 1 + 6 t

Out[219]= y −2 − 4 t

Out[220]= z 1 − 7 t

As equações paramétricas do plano tangwnte são: x = 1 + 6 t, y = -2 - 4 t e z = 1 - 7 t.


2.7 Regra da cadeia - continuação

Seja a função f(x, y, z) em que x = x(t, s, u), y = y(t, s, u), e z = z(t, s, u) vale a regra da cadeia

∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑t = ∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x ∑xÅÅÅÅÅÅÅ∑t + ∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑y ∑yÅÅÅÅÅÅÅ∑t + ∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑z ∑zÅÅÅÅÅÅÅ∑t

∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑s = ∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x ∑xÅÅÅÅÅÅÅ∑s + ∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑y ∑yÅÅÅÅÅÅÅ∑s + ∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑z ∑zÅÅÅÅÅÅÅ∑s

∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑u = ∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x ∑xÅÅÅÅÅÅÅ∑u + ∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑y ∑yÅÅÅÅÅÅÅ∑u + ∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑z ∑zÅÅÅÅÅÅÅ∑u

EXEMPLO 1 (pág. 80)

Seja a função z = 3 x2 - 5 y2. Se tuvermos também x = st e y = s2 + t2 , então z será função de s e t através de x e y.

In[241]:= H∗ A função f Hx, y, zL = 3 x2 − 5 y2 ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := 3 x2 − 5 y2

x@s_, t_D := s ty@s_, t_D := s2 + t2

In[251]:= D@f@x, yD, xD D@x@s, tD, tD + D@f@x, yD, yD D@y@s, tD, tD ê.8x → s t, y → s2 + t2< êê Simplify

Out[251]= −2 H7 s2 t + 10 t3L

In[252]:= D@f@x, yD, xD D@x@s, tD, sD + D@f@x, yD, yD D@y@s, tD, sD ê.8x → s t, y → s2 + t2< êê Simplify

Out[252]= −2 H10 s3 + 7 s t2L


CAPÍTULO 3

Fórmula de Taylor - Máximos e MínimosIniciar o MathKernel

In[1]:= 2 + 2

Out[1]= 4

3.1 Fórmula de Taylor

Seja f(x, y) uma função definidas num domínio aberto D, com derivadas parciais contínuas até a ordem n + 1.Neste caso, a função f pode ser aproximada numa vizinhança de qualquer ponto P0 = (x0 , y0 ) de D, por umpolinômio de grau n na variáveis Dx = x - x0 e Dy = y - y0. O polinômio é obtido a partir da fórmula de Taylor

f(x, y) = f (x0 , y0 ) + fx Dx + fy Dy + 1ÅÅÅÅÅÅ2! H fxx Dx2 + 2 DxDx fxy + fyy Dy2L

+ . . . + 1ÅÅÅÅÅÅn! @Dxn f Dxn + n Dx

n-1 DYn f Dxn-1 Dy + . . . + DY

n f DynD + Rn ,

onde todas as derivadas de f que ai aparecem são calculadas no ponto P0 = (x0 , y0 ): o resto Rn , por sua vez, édado por

Rn = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHn + 1L! HDx Dx + Dy DyLn + 1 f ,

onde as derivadas são agora calculadas num ponto Pc = (x0 + cDx , y0 + cDy), sendo c um número compreen-dido entre 0 e 1.

A série de Maclaurin de um função f(x, y) é um caso particular da série de Taylor quando P0 = (0, 0).

Series[f[x, y], {x, x0, nx}, {y, y0, nt)] gera a série de Taylor da função f(x, y) em torno do ponto Hx0 , y0L de ordem n = nx + ny.

Normal[Series[f[x, y], {x, x0, nx}, {y, y0, nt)]] trunca a série de Taylor da função f(x, y) num polinômio de grau n = nx + ny.


Vamos obter o desenvolvimento de Taylor da função arc sen(x/y) até os termos de segunda ordem no ponto P0 = (0, 1):

In[7]:= H∗ A função f Hx,yL = arcsen HxêyL ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := ArcSin@xêyD

In[9]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f Hx,yL de segunda ordem ∗LSeries@f@x, yD, 8x, 0, 1<, 8y, 1, 1<D

Out[9]= H1 − Hy − 1L + O@y − 1D2L x + O@xD2

In[10]:= H∗ Polinômio de Taylor de f Hx,yL de grau dois ∗LNormal@Series@f@x, yD, 8x, 0, 1<, 8y, 1, 1<DD

Out[10]= x − x H−1 + yL


Obter o desenvolvimento de Maclaurin da função f(x, y) = log(1 + x + y) até os termos de terceira ordem.

In[11]:= H∗ A função f Hx,yL = log H1 + x + yL ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Log@1 + x + yD

In[27]:= H∗ Polinômio de Taylor de f Hx,yL de grau 3 + 3 = 6 ∗LNormal@Series@f@x, yD, 8x, 0, 3<, 8y, 0, 3<DD êê Expand

Out[27]= x −x2

2+x3

3+ y − x y + x2 y − x3 y −

y2

2+

x y2 −3 x2 y2

2+ 2 x3 y2 +

y3

3− x y3 + 2 x2 y3 −

10 x3 y3

3


Nos Exercícios 1 a 7, desenvolver a Fórmula de Taylor de cada função, no ponto indicado, até os termos de terceira ordem.

1. f(x, y) = exy , P0 = (1, -1)

In[28]:= H∗ A função f Hx, yL = exy. ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Exp@x yD

In[34]:= H∗ Polinômio de Taylor de f Hx,yL de grau 3 + 3 = 6 ∗LNormal@Series@f@x, yD, 8x, 1, 3<, 8y, −1, 3<DD êê Expand

Out[34]= −π4

−9 x4

+ 2 x2 −7 x3

12−9 y4

+7 x2 y4

−

3 x3 y4

− 2 y2 +7 x y2

4−x3 y2

4−7 y3

12+3 x y3

4−x2 y3

4

2 Rijo Cal 3 Cap 3.nb

2. f(x, y) = arctg(x/y), P0 = (1, 1)

In[31]:= H∗ A função f Hx, yL = arctg HxêyL ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := ArcTan@xêyD


Out[35]=π4

+9 x4

− 2 x2 +7 x3

12−9 y4

+7 x2 y4

−

3 x3 y4

+ 2 y2 −7 x y2

4+x3 y2

4−7 y3

12+3 x y3

4−x2 y3

4

3. f(x, y) = x2 y - cos xy , P0 = (1, p/2)

In[36]:= H∗ A função f Hx, yL = x2 y − cos xy. ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := x2 y − Cos@x yD

In[38]:= H∗ Polinômio de Taylor de f Hx,yL de grau 3 + 3 = 6 ∗LNormal@Series@f@x, yD, 8x, 1, 3<, 8y, π ê2, 3<DD êê Expand

Out[38]= −π2

+π3

48+

π5

384−

π5 x96

+5 π5 x2

384−

π5 x3

192−

π4 y48

+ x y −18

π2 x y +564

π4 x y + x2 y −

332

π4 x2 y +7192

π4 x3 y +5 π3 y2

96−

316

π3 x y2 +14

π x2 y2 +732

π3 x2 y2 −

112

π3 x3 y2 −π2 y3

24+

748

π2 x y3 −16

π2 x2 y3 −x3 y3

6+

116

π2 x3 y3

4. f(x, y) = x - 3 x2 y + 2 y2 , P0 = (1, -1)

In[43]:= H∗ A função f Hx, yL = x − 3 x2 y + 2 y2. ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := x − 3 x2 y + 2 y2

In[45]:= H∗ Polinômio de Taylor de f Hx,yL de grau 3 + 3 = 6 ∗LNormal@Series@f@x, yD, 8x, 1, 3<, 8y, −1, 3<DD êê Expand

Out[45]= x − 3 x2 y + 2 y2

5. f(x, y) = ey cosx, P0 = (p, 0)

In[46]:= H∗ A função f Hx, yL = ey cos x ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Exp@yD Cos@xD

In[48]:= H∗ Polinômio de Taylor de f Hx,yL de grau 3 + 3 = 6 ∗LNormal@Series@f@x, yD, 8x, π, 3<, 8y, 0, 3<DD êê Expand

Out[48]= −1 +π2

2− π x +

x2

2− y +

π2 y2

− π x y +x2 y2

−y2

2+

π2 y2

4−12

π x y2 +x2 y2

4−y3

6+

π2 y3

12−16

π x y3 +x2 y3

12

6. f(x, y) = log(1 + xy), P0 = (1, 2)

Rijo Cal 3 Cap 3.nb 3

In[49]:= H∗ A função f Hx, yL = log H1 + xyL ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Log@1 + x yD


Out[51]= −24402187

+16 x729

+104 x2

729−80 x3

2187+

8 y729

+259 x y243

−112 x2 y243

+64 x3 y729

+26 y2

729−

56 x y2

243+37 x2 y2

486−8 x3 y2

729−10 y3

2187+16 x y3

729−4 x2 y3

729+x3 y3

2187+ Log@3D

7. f(x, y) = xy P0 = (1, 0)

In[53]:= H∗ A função f Hx, yL = xy ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := xy


Out[55]= 1 −11 y6

+ 3 x y −3 x2 y2

+x3 y3

+ y2 −

5 x y2

2+ 2 x2 y2 −

x3 y2

2−y3

6+x y3

2−x2 y3

2+x3 y3

6

Nos Exercícios 8 a 14, determine o desenvolvimento de Maclaurin de cada função até os termos de segunda ordem.

8. f(x, y) = cos x ê cos y .

In[58]:= H∗ A função f Hx, yL = cos xêcos y. ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Cos@xDêCos@yD


Out[60]= 1 −x2

2+y2

2−x2 y2

4

9. f(x, y) =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 - x2 - y2 .

In[64]:= H∗ A função f Hx, yL =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 − x2 − y2 . ∗L

Clear@x, y, fD;

f@x_, y_D :=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

1 − x2 − y2


Out[66]= 1 −x2

2−y2

2−x2 y2

4

10. f(x, y) = logH1 + x + yL ê H1 - x - yL .

In[67]:= H∗ A função f Hx, yL = log H1 + x + yLêH1 − x − yL . ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Log@1 + x + yDêH1 − x − yL



Out[69]= x +x2

2+ y + x y +

5 x2 y2

+y2

2+5 x y2

2+7 x2 y2

2

11. f(x, y) = arc tg(1 + x)/(1 - y).

In[70]:= H∗ A função f Hx, yL = arc tg H1 + xLêH1 − yL . ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := ArcTan@H1 + xLêH1 − yLD


Out[72]=π4

+x2

−x2

4+y2

−x2 y4

+y2

4−x y2

4

12. f(x, y) = Hx + 1Ly .

In[73]:= H∗ A função f Hx, yL = Hx + 1Ly. ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Hx + 1Ly


Out[75]= 1 + x y −x2 y2

+x2 y2

2

13. f(x, y) = ex sen y

In[76]:= H∗ A função f Hx, yL = ex sen y ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Exp@xD Sin@yD


Out[78]= y + x y +x2 y2

14. f(x, y) = ex log(1 - y).

In[79]:= H∗ A função f Hx, yL = ex log H1 − yL ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Exp@xD Log@1 − yD


Out[81]= −y − x y −x2 y2

−y2

2−x y2

2−x2 y2

4


3.2 Máximos e Mínimos

Diz que um pontp P0 é ponto de máximo de uma função f se f(P) b f HP0L para todo ponto P no domínio de f. Analogamente, P0 é ponto de mínimo se f(P) r f HP0L para todo P no domínio de f.

Quando P0 é ponto inerior do domínio D da função f e f(P) b f HP0L para todo P de uma vizinhança Vd de P0 ,dizemos que P0 é um ponto de máximo local ou máximo relativo. DE maneira análoga define-se mínimo local ou mínimo relativo.


A função z = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 - x2 - y2 / Hx2 + y2L definida no conjunto limitado D = {(x, y): x2 + y2 b 1, (x, y) ∫ (0, 0), não tem máximo, quando (x, y) aproxima a origem, z tende para ¶. Seu mínimo, zero, ocorre em todos os pontos da circunferência x2 + y2 = 1.


A função f(x, y) = x è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 - x2 - y2 / y com domínio D = {(x, y): x2 + y2 b 1, y >0 não tem máximo nem mínimo. DE fato, basta notar que, fazendo x ∫ 0, limyz0 f(x, y) = ± ¶, conforme seja x > 0 ou x < 0, respectivamente.

Teorema. Seja fuma função contínua com domínio fechado e limitado (compacto). Então f possui ao menos um ponto de máximo e ao menos um ponto de mínimo.

Teorema. Se P0 é ponto de máximo ou de mínimo local da função f e se esta for diferenciável nesse ponto, entãosuas derivadas parciais de primeira ordem se anulam em P0.

Um ponto P0 onde as derivadas de f se anulam é chamado ponto crítico ou ponto estacionário. da função. Umponto crítico que não é de máximo ou de mínimo é chamado de ponto de sela.


Vamos considerar a função f(x, y) = x y (3 - x - y), definida no domínio D = x r 0, y r 0, x + y b 3. Esta função tem um único ponto crítico em D. De fato:

In[82]:= H∗ A função f Hx, yL = xy H3 − x − yL ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := x y H3 − x − yL

In[84]:= H∗ Calculo das derivadas parciais fx e fy ∗Lfx = D@f@x, yD, xDfy = D@f@x, yD, yD

Out[84]= −x y + H3 − x − yL yOut[85]= x H3 − x − yL − x y


In[86]:= H∗ Determinação dos pontos críticos ∗LSolve@8fx 0, fy 0<, 8x, y<D

Out[86]= 88x → 0, y → 0<, 8x → 0, y → 3<, 8x → 1, y → 1<, 8x → 3, y → 0<<

In[88]:= H∗ Os valores da função nos pontos críticos ∗Lf@x, yD ê. 8x → 0, y → 0<f@x, yD ê. 8x → 0, y → 3<f@x, yD ê. 8x → 1, y → 1<f@x, yD ê. 8x → 3, y → 0<

Out[88]= 0

Out[89]= 0

Out[90]= 1

Out[91]= 0


Nos Exercícios 1 a 6, determine os pontos estacionários das funções dadas e verifique quais são de máximo e quais são de mínimo.

1. z = 5 - 2 x2 - 3 y2

In[94]:= H∗ A função z = 5 − 2 x2 − 3 y2. ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := 5 − 2 x2 − 3 y2


Out[96]= −4 x

Out[97]= −6 y


Out[98]= 88x → 0, y → 0<<

In[99]:= H∗ O valor da função no ponto crítico ∗Lf@x, yD ê. 8x → 0, y → 0<

Out[99]= 5

O valor máximo da função é 5 no ponto (0, 0).

2. z = ex2 + 3 y2


In[104]:= H∗ A função z = ex2 + 3 y2 . ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Exp@x2 + 3 y2D


Out[109]= 2 x2+3 y2 x

Out[110]= 6 x2+3 y2 y


Out[111]= 88x → 0, y → 0<<

In[112]:= f@x, yD ê. 8x → 0, y → 0<Out[112]= 1


3. z = x2 = 5 y2 +7

In[113]:= H∗ A função z = x2 + 5 y2 +7. ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := x2 + 5 y2 + 7


Out[115]= 2 x

Out[116]= 10 y


Out[117]= 88x → 0, y → 0<<

In[118]:= f@x, yD ê. 8x → 0, y → 0<Out[118]= 7


4. z = e1 - 3 x2 - 5 y2

In[119]:= H∗ A função z = e1 − 3 x2 5 y2 . ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Exp@1 − 3 x2 − 5 y2D



Out[121]= −6 1−3 x2−5 y2 x

Out[122]= −10 1−3 x2−5 y2 y


Out[123]= 88y → 0, x → 0<<

In[124]:= f@x, yD ê. 8x → 0, y → 0<Out[124]=

O valor máximo da função é ‰ no ponto (0, 0).


5. z =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3 - 2 x2 - 5 y2

In[125]:= H∗ A função z =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3 − 2 x2 − 5 y2 . ∗L

Clear@x, y, fD;

f@x_, y_D :=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

3 − 2 x2 − 5 y2


Out[127]= −2 x

è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3 − 2 x2 − 5 y2

Out[128]= −5 y

è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3 − 2 x2 − 5 y2


Out[129]= 88x → 0, y → 0<<

In[130]:= f@x, yD ê. 8x → 0, y → 0<Out[130]=

è!!!3

O valor máximo da função é è!!!3 no ponto (0, 0).

6. z = x2 y2

In[131]:= H∗ A função z = x2 y2. ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := x2 y2



Out[133]= 2 x y2

Out[134]= 2 x2 y

In[135]:= H∗ Determinação dos pontos críticos ∗LSolve@8fx 0, fy 0<, 8x, y<DSolve::svars :

Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…

Out[135]= 88x → 0<, 8x → 0<, 8y → 0<, 8y → 0<<

In[136]:= f@x, yD ê. 8x → 0, y → 0<Out[136]= 0

7. Determinar a distância mínima da origem ao plano 2x - 3y -z +2 = 0

In[391]:= H∗ A função z =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 + z2 ∗L

Clear@x, y, fD;z = 2 x − 3 y + 2;

f@x_, y_D :=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

x2 + y2 + z2


Out[394]=2 x + 4 H2 + 2 x − 3 yL

2è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + H2 + 2 x − 3 yL2 + y2

Out[395]=−6 H2 + 2 x − 3 yL + 2 y

2è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + H2 + 2 x − 3 yL2 + y2


Out[396]= 99x → −27, y →

37==

In[397]:= f@x, yD ê. 8x → −2ê7, y → 3ê7<

Out[397]= $%%%%%%27

8. Determinar a distância mínima da origem ao plano a x + b y + c z + d = 0


Clear@x, y, fD;z = H−a x − b y − dLêc;

f@x_, y_D :=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

x2 + y2 + z2



Out[409]=2 x − 2 a H−d−a x−b yL

c2

2"############################################x2 + y2 + H−d−a x−b yL2c2

Out[410]=2 y − 2 b H−d−a x−b yL

c2

2"############################################x2 + y2 + H−d−a x−b yL2c2


Out[403]= 99x → −a d

a2 + b2 + c2, y → −

b da2 + b2 + c2

==

In[406]:= f@x, yD ê. 9x → −a d

a2 + b2 + c2, y → −

b d

a2 + b2 + c2= êê Simplify

Out[406]= $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%d2a2 + b2 + c2

9. Ache a menor distância da origem à superfície z = x y + 2


Clear@x, y, fD;z = x y + 2;

f@x_, y_D :=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

x2 + y2 + z2


Out[424]=2 x + 2 y H2 + x yL

2è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 + H2 + x yL2

Out[425]=2 y + 2 x H2 + x yL

2è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 + H2 + x yL2


Out[426]= 98x → −1, y → 1<, 8x → 0, y → 0<, 8x → 1, y → −1<,9x → − è!!!3 , y → − è!!!3 =, 9x → è!!!3 , y → è!!!3 ==

In[427]:= f@x, yD ê. 8x → −1, y → 1<f@x, yD ê. 8x → 0, y → 0<f@x, yD ê. 8x → 1, y → −1<

Out[427]=è!!!3

Out[428]= 2

Out[429]=è!!!3

11. Calcule a menor distância entre a parábola y = x2 + 1 e a reta y = x - 2


In[438]:= H∗ A função z =è!!!!!!Hx ∗L

Clear@x, y, fD;

f@x_, y_D :="##################################################################Hx − yL2 + Hx2 + 1 − y + 2L2


Out[440]=2 Hx − yL + 4 x H3 + x2 − yL2"#################################################Hx − yL2 + H3 + x2 − yL2

Out[441]=−2 Hx − yL − 2 H3 + x2 − yL2"#################################################Hx − yL2 + H3 + x2 − yL2


Out[442]= 99y →158

, x →12==

In[444]:= f@x, yD ê. 8x → 1ê2, y → 15ê8<

Out[444]=11

4 è!!!2

In[449]:= Show@Plot@8x2 + 1, x − 2<, 8x, −2, 2<, DisplayFunction → IdentityD,ListPlot@881ê2, 5ê4<, 815ê8, −1ê8<<, PlotJoined → True,

PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityD,DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

-2 -1 1 2

-4

-2

2

4


3.3 Caracterização de máximos e mínimos locais

Teorema. Seja z = f(x, y) uma função contínua, com derivadas contínuas até a terceira ordem, numa vizinhsmçade P0 = Hx0, y0L , onde fx = fy = 0. Então, se o discriminante D = fxy

2 - fxx fyy for negativo e fxx < 0 no pontoP0 (quando teremos também fyy < 0), P0 será um ponto de máximo da função f; se D < 0 e fxx > 0 em P0(quando teremos também fyy < 0), então P0 será então ponto de mínimo. Ao contrário, se D > 0 em P0 , este seráum ponto de sela da função f.

Veja a demostração no GA3, pág. 94.


Determinar os pontos críticos da função f(x, y) = x y (3 - x - y) definida no plano xy.

In[142]:= H∗ A função f Hx, yL = xy H3 − x − yL ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := x y H3 − x − yL


Out[144]= −x y + H3 − x − yL yOut[145]= x H3 − x − yL − x y


Out[146]= 88x → 0, y → 0<, 8x → 0, y → 3<, 8x → 1, y → 1<, 8x → 3, y → 0<<

In[147]:= H∗ Os valores da função nos pontos críticos ∗Lf@x, yD ê. 8x → 0, y → 0<f@x, yD ê. 8x → 0, y → 3<f@x, yD ê. 8x → 1, y → 1<f@x, yD ê. 8x → 3, y → 0<

Out[147]= 0

Out[148]= 0

Out[149]= 1

Out[150]= 0


In[170]:= H∗ Calculo do discriminante ∗Lfxx = D@f@x, yD, 8x, 2<D;fxy = D@D@f@x, yD, xD, yD;fyy = D@f@x, yD, 8y, 2<D;desc = fxy^2 − fxx fyy

Out[173]= H3 − 2 x − 2 yL2 − 4 x y

In[174]:= H∗ Os valores do discriminante nos pontos críticos ∗Ldesc ê. 8x → 0, y → 0<desc ê. 8x → 0, y → 3<desc ê. 8x → 1, y → 1<desc ê. 8x → 3, y → 0<

Out[174]= 9

Out[175]= 9

Out[176]= −3

Out[177]= 9

Os pontos (0, 0), (0, 3), (3, 0) são pontos de sela. O ponto (1, 1) é um ponto de máximo ou de mínimo da função.

In[179]:= H∗ Teste se o ponto crítico é de máximo ou de mínimo. ∗Lfxx ê. 8x → 1, y → 1<fyy ê. 8x → 1, y → 1<

Out[179]= −2

Out[180]= −2

O ponto (1, 1) é um ponto de máximo da função.

In[195]:= Plot3D@f@x, yD, 8x, −4, 4<, 8y, −4, 4<, PlotRange → 8−200, 200<D;

-4

-2

0

2

4 -4

-2

0

2

4

-200

-100

0

100

200

-4

-2

0

2


Determinar os pontos críticos da função f(x, y) = Hx - 2L2 y + y2 - y no domínio D = x ¥ 0, y ¥ 0, x + y b 4.


In[196]:= H∗ A função f Hx, yL = Hx − 2L2 + y2 − y ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Hx − 2L2 y + y2 − y


Out[198]= 2 H−2 + xL yOut[199]= −1 + H−2 + xL2 + 2 y


Out[200]= 98y → 0, x → 1<, 8y → 0, x → 3<, 9y →12, x → 2==

In[201]:= H∗ Os valores da função nos pontos críticos ∗Lf@x, yD ê. 8x → 1, y → 0<f@x, yD ê. 8x → 3, y → 0<f@x, yD ê. 8x → 2, y → 1ê2<

Out[201]= 0

Out[202]= 0

Out[203]= −14

In[204]:= H∗ Calculo do discriminante ∗Lfxx = D@f@x, yD, 8x, 2<D;fxy = D@D@f@x, yD, xD, yD;fyy = D@f@x, yD, 8y, 2<D;desc = fxy^2 − fxx fyy

Out[207]= 4 H−2 + xL2 − 4 y

In[208]:= H∗ Os valores do discriminante nos pontos críticos ∗Ldesc ê. 8x → 2, y → 1ê2<

Out[208]= −2

O ponto (2, 1/2) é um ponto de máximo ou de mínimo da função.

In[209]:= H∗ Teste se o ponto crítico é de máximo ou de mínimo. ∗Lfxx ê. 8x → 1, y → 1<fyy ê. 8x → 1, y → 1<

Out[209]= 2

Out[210]= 2

Como fyy > 0, o ponto (2, 1/2) é um ponto de mínimo da função.


3.4 Método dos multiplicadores de Lagrange.

Em muitas aplicações o problema de achar os extremos de uma função f(x, y, z) apresenta-se sujeito a certas condições, por exemplo g(x, y, z) = 0, nas variáveis independentes. Estas condições são chamadas vínculos e o problema correspondente é um problema de extremos vinculados ou extremos condicionados.


Determinar o paralelepípedo retângulo de maior volume cujos vertices jazem no elipsóide de equação x2 ê a2 + y2 ê b2 + z2 ê c2 = 1.

In[311]:= Clear@x, y, zD;f@x_, y_, z_D := 8 x y z

In[313]:= Clear@x, y, gD;g@x_, y_, z_D := x2 êa2 + y2 ê b2 + z2 êc2 − 1

In[315]:= dfdx = D@f@x, y, zD, xD;dfdy = D@f@x, y, zD, yD;dfdz = D@f@x, y, zD, zD;dgdx = D@g@x, y, zD, xD;dgdy = D@g@x, y, zD, yD;dgdz = D@g@x, y, zD, zD;


In[321]:= Solve@8dfdx − λ dgdx 0, dfdy − λ dgdy 0,dfdz − λ dgdz 0, g@x, y, zD 0<, 8x, y, z, λ<D

Out[321]= 98λ → 0, x → 0, y → 0, z → −c<, 8λ → 0, x → 0, y → 0, z → c<,8λ → 0, x → 0, y → −b, z → 0<, 8λ → 0, x → 0, y → b, z → 0<,8λ → 0, x → −a, y → 0, z → 0<, 8λ → 0, x → a, y → 0, z → 0<,9λ → −

4 a b cè!!!3

, x → −aè!!!3

, y → −bè!!!3

, z → −cè!!!3

=,

9λ → −4 a b cè!!!3

, x → −aè!!!3

, y →bè!!!3

, z →cè!!!3

=,

9λ → −4 a b cè!!!3

, x →aè!!!3

, y → −bè!!!3

, z →cè!!!3

=,

9λ → −4 a b cè!!!3

, x →aè!!!3

, y →bè!!!3

, z → −cè!!!3

=,

9λ →4 a b cè!!!3

, x → −aè!!!3

, y → −bè!!!3

, z →cè!!!3

=,

9λ →4 a b cè!!!3

, x → −aè!!!3

, y →bè!!!3

, z → −cè!!!3

=,

9λ →4 a b cè!!!3

, x →aè!!!3

, y → −bè!!!3

, z → −cè!!!3

=,

9λ →4 a b cè!!!3

, x →aè!!!3

, y →bè!!!3

, z →cè!!!3

==

In[322]:= f@x, y, zD ê. 9x →a

è!!!!3

, y →b

è!!!!3

, z →c

è!!!!3=

Out[322]=8 a b c3 è!!!3


Encontrar a menor distância da origem à curva y = x3 + 1.

In[336]:= Clear@x, y, fD;f@x_, y_D := x2 + y2

In[348]:= Clear@x, y, gD;g@x_, y_D := y − x3 − 1

In[350]:= dfdx = D@f@x, yD, xD;dfdy = D@f@x, yD, yD;dgdx = D@g@x, yD, xD;dgdy = D@g@x, yD, yD;

In[357]:= Solve@8dfdx − λ dgdx 0, dfdy − λ dgdy 0, g@x, yD 0<, 8x, y, λ<D êê N

Out[357]= 88y → −0.175865 − 0.259309 ,λ → −0.351731 − 0.518618 , x → 0.597146 − 0.880478 <,8y → −0.175865 + 0.259309 , λ → −0.351731 + 0.518618 ,x → 0.597146 + 0.880478 <, 8y → 0.393875, λ → 0.787749, x → −0.846293<,8y → 0.957856, λ → 1.91571, x → −0.347999<, 8λ → 2., y → 1., x → 0.<<


In[359]:= f@x, yD ê. 8y → 1., x → 0.<f@x, yD ê. 8y → 0.787749, x → −0.846293<f@x, yD ê. 8y → 0.957856, x → −0.347999<

Out[359]= 1.

Out[360]= 1.33676

Out[361]= 1.03859

In[366]:= Plot@x3 + 1, 8x, −1, 1<, PlotRange → 80, 2<D;

-1 -0.5 0.5 1

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2


Calcular a distância mínima da origem à curva g(x, y) = H1 - xL3 + y2 , x r 1.

In[369]:= Clear@x, y, fD;f@x_, y_D := x2 + y2

In[371]:= Clear@x, y, gD;g@x_, y_D := H1 − xL3 + y2

In[373]:= dfdx = D@f@x, yD, xD;dfdy = D@f@x, yD, yD;dgdx = D@g@x, yD, xD;dgdy = D@g@x, yD, yD;

In[377]:= Solve@8dfdx − λ dgdx 0, dfdy − λ dgdy 0, g@x, yD 0<, 8x, y, λ<D

Out[377]= 99y → −13$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2

3I7 − è!!!5 M , λ → 1, x →

13I2 + è!!!5 M=,

9y →13$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2

3I7 − è!!!5 M , λ → 1, x →

13I2 + è!!!5 M=,

9y → −13$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2

3I7 + è!!!5 M , λ → 1, x →

13I2 − è!!!5 M=,

9y →13$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2

3I7 +

è!!!5 M , λ → 1, x →13I2 −

è!!!5 M==


In[299]:= dfdx = D@f@x, y, zD, xD;dfdy = D@f@x, y, zD, yD;dfdz = D@f@x, y, zD, zD;dgdx = D@g@x, y, zD, xD;dgdy = D@g@x, y, zD, yD;dgdz = D@g@x, y, zD, zD;

In[305]:= Solve@8dfdx − λ dgdx 0, dfdy − λ dgdy 0,dfdz − λ dgdz 0, g@x, y, zD 0<, 8x, y, z, λ<D

Out[305]= 98λ → 1, z → 2, x → 0, y → 0<, 9λ →1è!!!3

, z → 1, x → −1, y → 1=,

9λ →1è!!!3

, z → 1, x → 1, y → −1=, 9λ → è!!!5, z → −1, x → − è!!!3 , y → − è!!!3 =,

9λ → è!!!5, z → −1, x → è!!!3 , y → è!!!3 ==

In[306]:= f@x, y, zD ê. 8x → 0, y → 0, z → 2<f@x, y, zD ê. 8x → −1, y → 1, z → 1<f@x, y, zD ê. 8x → 1, y → −1, z → 1<

Out[306]= 2

Out[307]=è!!!3

Out[308]=è!!!3


3.5 Extensão do método dos multiplicadores de Lagrange.

O método dos multiplicadores de Lagrange se estende a funções de várias variáveis e aos casos em que vários vínculos devem ser considerados simultaneamemte.

Consideremos uma função f Hx1, x2, . . ., xnL , cujos pontos esrtacionáriosse desejam encontrar, sujeitos a r víncu-los (r < n) dados pelas equações

g1Hx1, x2, . . ., xnL = 0,

g2Hx1, x2, . . ., xnL = 0,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

grHx1, x2, . . ., xnL = 0,

Para isso introduzimos os parâmetros l1 , l1 , . . ., lr e formemos a função de n + r variáveis

F(x1, x2, . . ., xn ; l1 , l1 , . . ., lr ) = f - l1 g1 - l1 g1 - . . . - lr gr .

Em seguida determinamos seus pontos estacionários, rersolvendo as n + r equações

∑FÅÅÅÅÅÅÅÅ∑xi = 0, i = 1, 2, . . . n; gi = 0, j = 1, 2, . . . ,r.

. .


CAPÍTULO 4

Funções Implícitas e TransformaçõesIniciar o MathKernel

In[1]:= 2 + 2

Out[1]= 4

4.1 Funções implícitas de uma variável

Teorema das Funções Implícitas. Seja F(x, y) uma função com derivadas Fx e Fy contínuas num domínio abertoD. Suponhamos que F se anula num ponto P0 = Hx0, y0L de D, onde Fy ∫ 0. Então existe um retângulo

R : x0 - d < x < x0 + d, y0 - m < y < y0 + u,

todo contido em D, e uma única função f, com domínio

Vd = 8x : x0 - d < x < x0 + d<, tal que Hx, f HxLL œ R e FHx, f HxLL = 0 para todo x0 œ Vd . Além disso, f é derivável e

f ´HxL = -FxÅÅÅÅÅÅÅÅFy

(4.1)


A equação FHx, yL = x2 + y2 - 1 = 0 está satisfeita em todos os pontos da circunferência de centro na origem e raio 1. A condição Fy = 2 y ∫ 0 também está satisfeita em todos os pontos dessa circunferência, exceto em A≤ = H≤1, 0L. Então, numa vizinhança de cada ponto P0 ∫ A≤ , a equação define y0 = f HxL , com derivada

f ´HxL = -FxÅÅÅÅÅÅÅÅFy

= -xÅÅÅÅÅy .

Se a função F(x, y) tiver derivadas segundas contínuas, a Eq. 4.1 nos mostra que f ´será derivável. Para calcularf ´´tanto podemos derivar essa equação ou sua equivalente, a identidade

FxHx, f HxLL + FyHx, f HxLL f ´HxL = 0.

Derivando esta identidade, obtemos

Fxx + Fxy f ` + Fyx f ´ + Fyy f ´2 + Fy f ´´ = 0.

Daqui e da Eq. 4.1 segue-se que

f0 ´´ = Fxx F2y + 2 Fxy Fx Fy + Fyy F2

xÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅF3 y.

De maneira análoga podemosw obter as derivadas de f até certa ordem n que F tenha derivadas contínuas até essaordem.


Vamos considerar y como função de x, na equação FHx, yL = x3 y3 - x - y + 1 = 0 numa vizinhança de Po = H1, 1L. Como equação FH1, 1L = 0, Fx = 3 x2 y3 - 1 e Fy = 3 x3 y2 - 1 , podemos aplicar o teorema das Funções Implícitas.

In[35]:= H∗ Primeira d erivada de F Hx, yL em relação a x. ∗LClear@xD;le = D@x3 y@xD3 − x − y@xD + 1 , xD

Out[36]= −1 + 3 x2 y@xD3 − y @xD + 3 x3 y@xD2 y @xD

In[22]:= H∗ Explicitar y´ ∗LSolve@le 0, y @xDD

Out[22]= 99y @xD →1 − 3 x2 y@xD3

−1 + 3 x3 y@xD2 ==

In[24]:= H∗ Calcular o valor de y´ no ponto H1, 1L∗L1 − 3 x2 y3

−1 + 3 x3 y2ê. 8x → 1, y → 1<

Out[24]= −1

In[25]:= H∗ Segunda d erivada de F Hx, yL em relação a x. ∗LClear@x, y, fD;le = D@x3 y@xD3 − x − y@xD + 1 , 8x, 2<D

Out[26]= 6 x y@xD3 + 18 x2 y@xD2 y @xD − y @xD + x3 H6 y@xD y @xD2 + 3 y@xD2 y @xDL

In[28]:= H∗ Explicitar y´´ ∗LSolve@le 0, y @xDD

Out[28]= 99y @xD →−6 x y@xD3 − 18 x2 y@xD2 y @xD − 6 x3 y@xD y @xD2

−1 + 3 x3 y@xD2 ==

In[30]:= H∗ Calcular o valor de y´´ no ponto H1, 1L ∗L−6 x y3 − 18 x2 y2 y − 6 x3 y y 2

−1 + 3 x3 y2ê. 8x → 1, y → 1, y → −1<

Out[30]= 3

In[31]:= H∗ Terceira d erivada de F Hx, yL em relação a x. ∗LClear@x, y, fD;le = D@x3 y@xD3 − x − y@xD + 1 , 8x, 3<D

Out[32]= 6 y@xD3 + 54 x y@xD2 y @xD + 9 x2 H6 y@xD y @xD2 + 3 y@xD2 y @xDL −

yH3L@xD + x3 H6 y @xD3 + 18 y@xD y @xD y @xD + 3 y@xD2 yH3L@xDL


In[33]:= H∗ Explicitar yH3L ∗LSolve@le 0, yH3L@xDD

Out[33]= 99yH3L@xD →1

−1 + 3 x3 y@xD2 H−6 y@xD3 − 54 x y@xD2 y @xD − 6 x3 y @xD3 −

18 x3 y@xD y @xD y @xD − 9 x2 H6 y@xD y @xD2 + 3 y@xD2 y @xDLL==

In[34]:=

H∗ Calcular o valor de yH3L no ponto H1, 1L ∗L−6 y3 − 54 x y2 y − 6 x3 y 3 − 18 x3 y y y − 9 x2 H6 y y 2 + 3 y2 y L

−1 + 3 x3 y2ê.

8x → 1, y → 1, y → −1, y → 3<

Out[34]= −272

Estes valores nos permitem escrever o polinômio de Taylor de terceiro grau da função y = f HxL relativo ao ponto x = 1.

p3 = 1 - Hx - 1L + 3ÅÅÅÅ2 Hx - 1L2 - 11ÅÅÅÅÅÅÅ4 Hx - 1L3.


Nos Exercícios 1 a 7, desenvolver a Fórmula de Taylor de cada função, no ponto indicado, até os termos de terceira ordem.

1. f(x, y) = exy , P0 = (1, -1)

In[28]:= H∗ A função f Hx, yL = exy. ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Exp@x yD


4.2 Funçâo implícita de várias variáveis

Do mesmo modo que uma equação FHx, yL = 0 pode determinar uma das variáveis como função da outra,também uma equação envolvendo três ou mais variáveis determina, sob certa condições, uma das variáveis comofun;cão das outras. Assim, se FHx0, y0, z0L = 0 e se as derivadas parciais Fx , Fy , Fz são funções contínuas emtodo um conjunto aberto D, contendo o ponto P0 = Hx0, y0, z0L , onde Fz ∫ 0, então a equação FHx, y, z L = 0de-termina uma função z = f Hx, yL , definida numa vizinhança V conveniente do ponto Hx0, y0L em 2 , tal que,para Hx, yL em V Hx, y, f Hx, yLL está em D e

FHx, y, f Hx, yLL = 0(4.2)

identicamente. Além disso, f possui derivada parciais fx e fy , que são calculadas por derivação da identidade(4.2), usando a regra da cadeia:

∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x = - FxÅÅÅÅÅÅÅFy e ∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑y = - FyÅÅÅÅÅÅÅFx

.


A equação função FHx, y, zL = 2 sen z - x z + y2 - 1 está satisfeita no ponto (1, 1, 0), onde Fz = 1 ∫ 0, logo ela define z como função de x e y numa vizinhança do ponto (1, 1).

In[4]:= H∗ Primeira d erivada de F Hx, yL em relação a x. ∗LClear@x, y, zD;le = D@2 Sin@z@xDD − x z@xD + y3 − 1 , xD

Out[5]= −z@xD − x z @xD + 2 Cos@z@xDD z @xD

In[3]:= H∗ Explicitar y´ ∗LSolve@le 0, z @xDD

Out[3]= 99z @xD → −z@xD

x − 2 Cos@z@xDD ==

In[9]:= H∗ Primeira d erivada de F Hx, yL em relação a x. ∗LClear@x, y, zD;le = D@2 Sin@z@yDD − x z@yD + y3 − 1 , yD

Out[10]= 3 y2 − x z @yD + 2 Cos@z@yDD z @yD

In[11]:= H∗ Explicitar y´ ∗LSolve@le 0, z @yDD

Out[11]= 99z @yD →3 y2

x − 2 Cos@z@yDD ==

In[12]:= H∗ Calcular o valor de fx H1, 1L ∗L−

z

x − 2 Cos@zDê. 8x → 1, y → 1, z → 0<

Out[12]= 0


In[13]:= H∗ Calcular o valor de fy H1, 1L ∗L3 y2

x − 2 Cos@zDê. 8x → 1, y → 1, z → 0<

Out[13]= −3


Nos Exercícios 1 a 6, ache em termos de x , y, z , as derivadas parciais de primeira ordem das funções implícitas z = f Hx, yL , determinadas pelas equações dadas

1. x2 + y2 + z2 = 1

In[14]:= H∗ Primeira d erivada de F Hx, yL em relação a x. ∗LClear@x, y, zD;le = D@x2 + y2 + z@xD2 , xD

Out[15]= 2 x + 2 z@xD z @xD


Out[16]= 99z @xD → −x

z@xD ==

In[17]:= H∗ Primeira d erivada de F Hx, yL em relação a x. ∗LClear@x, y, zD;le = D@x2 + y2 + z@yD2 , yD

Out[18]= 2 y + 2 z@yD z @yD


Out[19]= 99z @yD → −y

z@yD ==

Resultado: fx = -x ê z e fy = - y ê z .

2. x yH1 + x + yL - z2 = 0

In[20]:= H∗ Primeira d erivada de F Hx, yL em relação a x. ∗LClear@x, y, zD;le = D@x y H1 + x + yL − z@xD2 , xD

Out[21]= x y + y H1 + x + yL − 2 z@xD z @xD


Out[22]= 99z @xD →y + 2 x y + y2

2 z@xD ==


In[23]:= H∗ Primeira d erivada de F Hx, yL em relação a x. ∗LClear@x, y, zD;le = D@x y H1 + x + yL − z@yD2 , yD

Out[24]= x y + x H1 + x + yL − 2 z@yD z @yD


Out[25]= 99z @yD →x + x2 + 2 x y

2 z@yD ==

Resultado: fx = Hy + 2 x y + y2L ê H2 zL e fy = Hx + 2 x y + x2L ê H2 zL .

Resultado: fx = -x ê z e fy = - y ê z .

3. log x y z + ez = 1

In[28]:= H∗ Primeira d erivada de F Hx, yL em relação a x. ∗LClear@x, y, zD;le = D@Log@x y z@xDD + Exp@z@xDD − 1, xD

Out[29]= z@xD z @xD +y z@xD + x y z @xD

x y z@xD


Out[30]= 99z @xD → −z@xD

x H1 + z@xD z@xDL ==

In[31]:= H∗ Primeira d erivada de F Hx, yL em relação a x. ∗LClear@x, y, zD;le = D@Log@x y z@yDD + Exp@z@yDD − 1, yD

Out[32]= z@yD z @yD +x z@yD + x y z @yD

x y z@yD


Out[33]= 99z @yD → −z@yD

y H1 + z@yD z@yDL ==

Resultado: fx = - z ê Hx + x z ezL e fy = - z ê Hy + y z ezL .

4. x2 z + y x2 - arc sen z = 0

In[34]:= H∗ Primeira d erivada de F Hx, yL em relação a x. ∗LClear@x, y, zD;le = D@x2 z@xD + y x2 − ArcSin@z@xDD, xD

Out[35]= 2 x y + 2 x z@xD + x2 z @xD −z @xD

è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 − z@xD2

In[37]:= H∗ Explicitar y´ ∗LSolve@le 0, z @xDD êê Simplify

Out[37]= 99z @xD → −2 x Hy + z@xDL è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 − z@xD2

−1 + x2è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 − z@xD2

==


In[38]:= H∗ Primeira d erivada de F Hx, yL em relação a x. ∗LClear@x, y, zD;le = D@x2 z@yD + y x2 − ArcSin@z@yDD, yD

Out[39]= x2 + x2 z @yD −z @yD

è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 − z@yD2

In[41]:= H∗ Explicitar y´ ∗LSolve@le 0, z @yDD êê Simplify

Out[41]= 99z @yD →x2

è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 − z@yD2

1 − x2è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 − z@yD2

==

Resultado: fx = - 2 x Hy + z L è!!!!!!!!!!!!!!1 - z2 ë Ix2 è!!!!!!!!!!!!!!1 - z2 - 1M e fx = x2 è!!!!!!!!!!!!!!1 - z2 ë Ix2 è!!!!!!!!!!!!!!1 - z2 - 1M .

Resultado: fx = - z ê Hx + x z ezL e fy = - z ê Hy + y z ezL .

5. x z2 - 3 y z + cos z = 0

In[44]:= H∗ Primeira d erivada de F Hx, yL em relação a x. ∗LClear@x, y, zD;le = D@x z@xD2 − 3 y z@xD + Cos@z@xDD, xD

Out[45]= z@xD2 − 3 y z @xD − Sin@z@xDD z @xD + 2 x z@xD z @xD


Out[48]= 99z @xD →z@xD2

3 y + Sin@z@xDD − 2 x z@xD ==

In[49]:= H∗ Primeira d erivada de F Hx, yL em relação a x. ∗LClear@x, y, zD;le = D@x z@yD2 − 3 y z@yD + Cos@z@yDD, yD

Out[50]= −3 z@yD − 3 y z @yD − Sin@z@yDD z @yD + 2 x z@yD z @yD


Out[53]= 99z @yD →3 z@yD

−3 y − Sin@z@yDD + 2 x z@yD ==

Resultado: fx = z2 ê H3 y + sen z - 2 x zL e fx = - 3 z ê H3 y + sen z - 2 x zL .

6. x2 - y2 + z2 = 1

In[54]:= H∗ Primeira d erivada de F Hx, yL em relação a x. ∗LClear@x, y, zD;le = D@x2 − y2 + z@xD2 − 1, xD

Out[55]= 2 x + 2 z@xD z @xD


Out[56]= 99z @xD → −x

z@xD ==


In[57]:= H∗ Primeira d erivada de F Hx, yL em relação a x. ∗LClear@x, y, zD;le = D@x2 − y2 + z@yD2 − 1, yD

Out[58]= −2 y + 2 z@yD z @yD


Out[59]= 99z @yD →y

z@yD ==

Resultado: fx = - x ê z e fx = y ê z .

4.3 Funçôes implícitas de várias variáveis

Os resultados anteriores se estendem mesmo ao caso em que lidamos com sistema de equações envolvendo váriasvariáveis. Assim, duas equações em várias variáveis,

FHx1, x2, . . . , xnL = 0 e GHx1, x2, . . . , xnL = 0 (4.3)

podem, em geral, ser resolvidas em relação a duas dessas variáveis como função das outras.

Vamos considerar, em seguida, duas equações

FHu, v, x, yL = 0 e GHu, v, x, yL = 0 (4.4)

que desejamos resolver para exprimir, digamos, u e v como função de x e y. Para isso devemos introduuzir odeterminante

J =


∑FÅÅÅÅÅÅÅÅ∑u∑GÅÅÅÅÅÅÅÅ∑u

∑FÅÅÅÅÅÅÅÅ∑v∑GÅÅÅÅÅÅÅÅ∑v

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ = ∑FÅÅÅÅÅÅÅÅ∑u

∑GÅÅÅÅÅÅÅÅ∑v - ∑FÅÅÅÅÅÅÅÅ∑v∑GÅÅÅÅÅÅÅÅ∑u

chamado o jacobiano das funções F e G em relação a u e v. Ele costuma ser indicado pelos símbolos

∑HF, GLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑Hu, vL ou DHF, GLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅDHu, vL

Teorema. Sejam FHu, v, x, yL e GHu, v, x, yL funções contínuas com derivadas contínuas num domínio D de4 . Se as Eqs. (4.4) estão satisfeitas num ponto P0 = Hu0, v0, x0, y0L de D e se nesse ponto o jacobiano édiferente de zero, então existe um único par de funções, u = f Hx, yL e v = g(x, y), definidas numa vizinhança Vconveniente do ponto Q0 = Hx0, y0L em 2 , tal que o ponto H f Hx, yL, gHx, yL, x, yL está em D, o jacobiano J édiferente de zero e

FH f Hx, yL, gHx, yL, x, yL e F(f(x, y), g(x, y), x, y)

identicamente para Hx, yL em V. Além disso, as funções f e g são diferenciáveis e suas derivadas são dadas por


∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x =



∑FÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x∑GÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅJ ∑gÅÅÅÅÅÅÅ∑x = -



∑FÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x∑GÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅJ

∑ fÅÅÅÅÅÅÅÅ∑y =



∑FÅÅÅÅÅÅÅÅ∑y∑GÅÅÅÅÅÅÅÅ∑y

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅJ ∑gÅÅÅÅÅÅÅ∑y = -



∑FÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x∑GÅÅÅÅÅÅÅÅ∑y

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅJ


1. Resolver explicitamente as equações x + y + sen u v = 0 e 3 x + 2 y + u2 + v2 = 0 para obter x e y como funções de u e v.

In[1]:= H∗ Explicitar x e y ∗LClear@x, y, fD;Solve@8x + y + Sin@ u vD 0, 3 x + 2 y + u2 + v2 0<, 8x, y<D

Out[2]= 88x → −u2 − v2 + 2 Sin@u vD, y → u2 + v2 − 3 Sin@u vD<<

2. Determinar as derivadas parciais de primeira ordem de u e v como funções de x e y, definidas implicitamente pela equações x u2 + y2 v = 1 e u v - x2 + y 2 u2 = 0.

In[5]:= H∗ Calcular o jacobiano ∗LClear@x, y, u, vD;f@x_, y_, u_, v_D := x u2 + y2 v2 − 1g@x_, y_, u_, v_D := u v − x2 + y2 u2

In[9]:= j = Det@88D@f@x, y, u, vD, uD, D@g@x, y, u, vD, uD<,8D@f@x, y, u, vD, vD, D@g@x, y, u, vD, vD<<D

Out[9]= 2 u2 x − 2 v2 y2 − 4 u v y4

In[26]:= dfdx = Det@88D@f@x, y, u, vD, vD, D@g@x, y, u, vD, vD<,8D@f@x, y, u, vD, xD, D@g@x, y, u, vD, xD<<Dêj êê Simplify

Out[26]=u3 + 4 v x y2

−2 u2 x + 2 v2 y2 + 4 u v y4

In[25]:= dgdx = −Det@88D@f@x, y, u, vD, uD, D@g@x, y, u, vD, uD<,8D@f@x, y, u, vD, xD, D@g@x, y, u, vD, xD<<Dêj êê Simplify

Out[25]=u Hu v + 4 x2 + 2 u2 y2L2 u2 x − 2 v2 y2 − 4 u v y4

In[24]:= dfdy = Det@88D@f@x, y, u, vD, vD, D@g@x, y, u, vD, vD<,8D@f@x, y, u, vD, yD, D@g@x, y, u, vD, yD<<Dêj êê Simplify

Out[24]=u v y H−v + 2 u y2L

u2 x − v2 y2 − 2 u v y4


In[23]:= dgdy = −Det@88D@f@x, y, u, vD, uD, D@g@x, y, u, vD, uD<,8D@f@x, y, u, vD, yD, D@g@x, y, u, vD, yD<<Dêj êê Simplify

Out[23]=y Hv3 − 2 u3 x + 2 u v2 y2Lu2 x − v2 y2 − 2 u v y4

4.4 Transformações e suas inversas. Transformações lineares

Um sistema de duas funções

u = uHx, yL e v = vHx, yLdefinidas num mesmo domínio D constitui o que chamamos de transformação ou aplicação, visto que cada ponto P = Hx, yL e transformado (aplicado) num outro ponto Q = Hu, vL . Podemos indicar essa aplicação com o símbolo f, escrevendo

f HPL = HuHPL, vHPLL = Q

f : Hx, yL Ø Hu, vL , f : P Ø f HPL ou f : D œ 2 Ø 2

A idéia de aplicação não se restringe apenas ao plano, ele pode ser generalizada para espaços de três ou mais dimensões. Nesse caso, teríamos

f : D œ m Ø n

Uma aplicação desse tipo é também chamada de campo vetorial.


Vamos considerar a transformação f dada pelas equações

z = a x + b y,

w = c x + d y,

onde a, b, c, d são constantes não todas nulas. Esta aplicação tem a interessante propriedade de transformar retas em retas. Por esta razão este tipo de transformação é chamada transformação linear.

Essa transformação linear é inversível se D = a d - b c ∫ 0. Neste caso, teremos

x = Hd z - b wL ê D,

y = Ha w - c zL ê D,


Uma aplicação linear f no espaço 3 é dada pela fórmulas de transformação

u = a1 x + b1 y + c1 z,

v = a2 x + b2 y + c2 z,

w = a3 x + b3 y + c3 z.

Como no exemplo anterior, essa aplicação transforma reta em retas e planos em planos.


Aplicações lineares satisfazem as seguintes propriedades

f Hu + vL = f HuL + f HvL, f Ht uL = t f HuL .


A transformação por reflexão no círculo unitário, também chamada transformação de Kelvin é dada pela fórmulas de transformação

u = x ê Hx2 + y2L e v = y ê Hx2 + y2L Essa transformação f leva o exterior do círculo unitário de centro na origem no seu interior e vice-versa. Ela deixa invariantes os pontos da circunferência desse círculo. Além disso f HPL Ø 0 com P Ø ¶ e f HPL Ø ¶ com P Ø 0.

De forma análoga, a transformação inversa é dada por

x = u ê Hu2 + v2L e y = v ê Hu2 + v2L .


4. Determine as equações de transformação da aplicação linear f dada por f(1, 1) = (1, 2) e f(-1, 2) = (0, 7)

In[2]:= H∗ Calcular a, b, c, d ∗LSolve@8a + b 1, c + d 2, −a + 2 b == 0, −c + 2 d == 7<, 8a, b, c, d<D

Out[2]= 99a →23, b →

13, c → −1, d → 3==

z = H 2 x + yL ê 3, w = - x + 3 y

In[6]:= H∗ Transformação inversa ∗LSolve@8H2 x + yLê3 == z, −x + 3 y w<, 8x, y<D

Out[6]= 99x → −17Hw − 9 zL, y → −

17H−2 w − 3 zL==

x = H 9 z - wL ê 7, y = H 3 z + 2 wL ê 7

7. Determine as equações de transformação da aplicação linear f : 3 Ø 3 tal que

f(1, 0, 0) = (0, 1, 2), f(1, 1, 0) = (1, 1, 1), f(1, 1, 1) = (2, -1, 1),

In[4]:= H∗ Calcular a, b, c, d ∗LSolve@8a1 0, a2 1, a3 2, a1 + b1 1, a2 + b2 1, a3 + b3 1,

a1 + b1 + c1 2, a2 + b2 + c2 −1, a3 + b3 + c3 1<,8a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3<D

Out[4]= 88a1 → 0, b1 → 1, c1 → 1, a2 → 1, b2 → 0, c2 → −2, a3 → 2, b3 → −1, c3 → 0<<

u = y + z, v = x - 2 z, w = 2 x - y.


In[5]:= H∗ Transformação inversa ∗LSolve@8y + z == u, x − 2 z v, 2 x − y w<, 8x, y, z<D

Out[5]= 99x → −15H−2 u − v − 2 wL, y → −

15H−4 u − 2 v + wL, z → −

15H−u + 2 v − wL==

4.5 Mudança de Coordenadas

Teorema: Suponhamos que as funções u = u(x, y) e v = v(x, y) sejam contínuas e tenham derivadas primeira contínuas numa vizinhança V de um ponto Hx0, y0L onde o jacobiano é sempre diferente de zero, isto é,

J0 = ∑Hu, vLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑Hx, yL = ux vy - uy vx ∫ 0 em V.

Então u = u(x, y) e v = v(x, y) podem ser resolvidas, ao menos inplicitamente, e as funções inversas u = u(x, y) e v = v(x, y) são contínuas e possuem derivadas primeirascont;inuas numa vizinhança do ponto Hx0, y0L , onde u0 = uHx0, y0L e v0 = vHx0, y0L . Além disso, as derivadas dessas funções são dadas por

xu = vy ê J , yu = -vx ê J , xv = -uy ê J , yv = ux ê J .


CAPÍTULO 5

Integrais MúltiplasIniciar o MathKernel

In[1]:= 2 + 2

Out[1]= 4

5.1 Integrais que dependem de um parâmetro

Dada a função a função

F(x) = Ÿu1HxL

u2HxLf Hx, yL „ y.

A derivada de F0HxL é dada por

dÅÅÅÅÅÅÅdx Ÿu1HxL

u2HxLf Hx, yL „ y = Ÿu1HxL

u2HxL∑ f Hx, yLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x „ y + f Hx, u2HxLL u2 ' HxL - f Hx, u1HxLL u1 ' HxL

EXEMPLO 1. Derivar a função

FHxL = Ÿx2

è!!!!x‰-y2

„ y

In[1]:= H∗ Derivada de f HxL ∗Lf@x_D := IntegrateAExp@−y2D, 9y, x2,

è!!!!x =E

D@f@xD, xD êê Simplify

Out[2]=−x

2 è!!!x− 2 −x4

x


FHxL = Ÿ0

1logHx2 + y2L „ y

In[3]:= H∗ Derivada de f HxL ∗Lf@x_D := Integrate@Log@x2 + y2D, 8y, 0, 1<DD@f@xD, xD êê Simplify

Out[4]= IfARe@x2D > 0, −2

H1 + 1x2 L x3

−2

I1 + H 1x L

2M x+

2 xx2 + 2 ArcTanA 1

xE,

IntegrateA 2 xx2 + y2 , 8y, 0, 1<, Assumptions → Re@x2D ≤ 0EE

In[27]:= −2

H1 + 1x2 L x3

−2

I1 + H 1xL2M x

+2 x

x2êê Simplify

Out[27]= 0


FHxL = Ÿx

è!!!!x‰xy2 ê y „ y

In[5]:= f@x_, y_D := Exp@x y2Dêyu1@x_D := x

u2@x_D :=è!!!!

xIntegrate@D@f@x, yD, xD, 8y, u1@xD, u2@xD<D +

f@x, u2@xDD D@u2@xD, xD − f@x, u1@xDD D@u1@xD, xD êê Simplify

Out[8]=2 x2

− 3 x3

2 x


Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 13.

1. FHxL = Ÿ1x2

log y „ y

In[57]:= H∗ Derivada de f HxL ∗LClear@x, yD;f@y_D := Log@yDu1@x_D := 1u2@x_D := x2

In[61]:= f@u2@xDD D@u2@xD, xD − f@u1@xDD D@u1@xD, xDOut[61]= 2 x Log@x2D

Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 13.

2. FHxL = Ÿ1‰x

log y „ y


In[62]:= H∗ Derivada de f HxL ∗LClear@x, yD;f@y_D := Log@yDu1@x_D := 1u2@x_D := x

In[66]:= f@u2@xDD D@u2@xD, xD − f@u1@xDD D@u1@xD, xDOut[66]= x Log@ xD

3. FHxL = Ÿ-è!!!x

1 1 êè!!!!!!!!!!!!!!!y2 + 1 „ y

In[68]:= H∗ Derivada de f HxL ∗LClear@x, yD;

f@y_D := 1 ëè!!!!!!!!!!!!!!!y2 + 1

u1@x_D := −è!!!!

xu2@x_D := 1

In[72]:= f@u2@xDD D@u2@xD, xD − f@u1@xDD D@u1@xD, xD

Out[72]=1

2 è!!!x è!!!!!!!!!!!1 + x

4. FHxL = Ÿ-è!!!x

1 y è!!!!!!!!!!!!1 - y „ y

In[73]:= H∗ Derivada de f HxL ∗LClear@x, yD;

f@y_D := y è!!!!!!!!!!!!!

1 − yu1@x_D := xu2@x_D := x2

In[78]:= f@u2@xDD D@u2@xD, xD − f@u1@xDD D@u1@xD, xD êê Simplify

Out[78]= −è!!!!!!!!!!!1 − x x + 2 x3 è!!!!!!!!!!!!!1 − x2

5. FHxL = Ÿ-è!!!x1

‰y „ y

In[84]:= H∗ Derivada de f HxL ∗LClear@x, yD;f@y_D := Sin@1êyDu1@x_D :=

è!!!!x

u2@x_D := x

In[88]:= f@u2@xDD D@u2@xD, xD − f@u1@xDD D@u1@xD, xD êê Simplify

Out[88]= SinA 1xE −

SinA 1è!!!!x E2 è!!!x

6. FHxL = Ÿ-è!!!x1

‰y „ y


In[31]:= H∗ Derivada de f HxL ∗LClear@x, yD;f@y_D := y

u1@x_D := x2

u2@x_D := Log@xDf@u2@xDD D@u2@xD, xD − f@u1@xDD D@u1@xD, xD êê Simplify

Out[35]= 1 − 2 x2x

5.2 Integrais duplas. Áreas e Volume

Seja f Hx, yL uma função definida num domínio D do plano. Vamos supor que ekle seja limitado, de sorte que eleestará todo contido num retângulo

R : a § x § b, c § y § d

A integral dupla da função f Hx, yL é o resultado de se integrar primeiro em y e depois em x:

Ÿ ŸDf Hx, yL „ x „ y = Ÿa

b AŸu1HxL

u2HxLf Hx, yL „ yE „ x

ou primeiro em x e depois em y:

Ÿ ŸDf Hx, yL „ x „ y = Ÿc

d AŸu1HyL

u2HyLf Hx, yL „ xE „ y

EXEMPLO 1. Vamos calcular a integral

Ÿ ŸD

è!!!x cos Iy è!!!x M „ x „ y

onde D é o domínio delineado pelas retas y = 0, x = p/4 e pela curva y = è!!!x .

In[28]:= H∗ O gráfico do domínio D ∗Lp1 = PlotAè!!!!

x , 8x, 0, 1<, DisplayFunction → IdentityE;

p2 = [email protected], LineA98t, 0<, 9t,

è!!!!t ==E=E, 8t, 0, π ê4, .001<E,

DisplayFunction → IdentityE;

Show@8p1, p2, p1<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1


In[89]:= H∗ Cálculo da integral da função f Hx, yL ∗Lf@x_, y_D :=

è!!!!x CosAy

è!!!!x E

IntegrateAIntegrateAf@x, yD, 9y, 0,è!!!!

x =E, 8x, 0, π ê4<E

Out[90]= 1 −1è!!!2


Ÿ ŸDx è!!!!y „ x „ y

onde D é o domínio delineado pelas retas y = 0, x + y = 2 e e a parábola x = y2 .

In[42]:= H∗ O gráfico do domínio D ∗Lp1 = PlotA9è!!!!

x , 2 − x=, 8x, 0, 2<, DisplayFunction → IdentityE;

p2 = [email protected], LineA98t, 0<, 9t,

è!!!!t ==E=E, 8t, 0, 1, .001<E,

DisplayFunction → IdentityE;

p3 = Show@Table@Graphics@[email protected], Line@88t, 0<, 8t, 2 − t<<D<D, 8t, 1, 2, .001<D,DisplayFunction → IdentityD;

Show@8p1, p2, p3, p1<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

In[91]:= H∗ Cálculo da integral da função f Hx, yL ∗Lf@x_, y_D := x

è!!!!y

Integrate@Integrate@f@x, yD, 8x, y2, 2 − y<D, 8y, 0, 1<D

Out[92]=676

1155


5.3 Propriedades da integral

A linearidade da integral se expressa através das seguintes equações:

Ÿ ŸDc f Hx, yL „ x „ y = c Ÿ ŸD

f Hx, yL „ x „ y

ou primeiro em x e depois em y:

Ÿ ŸD@ f Hx, yL + gHx, yLD „ x „ y = Ÿ ŸD

f Hx, yL „ x „ y + Ÿ ŸDgHx, yL „ x „ y .

Se D = D1 ‹ D2 , onde D1 e D2 são domínios disjuntos ou se têm em comum um número finito de arcos regulares,então

Ÿ ŸD1 ‹ D2f Hx, yL „ x „ y = Ÿ ŸD1

f Hx, yL „ x „ y + Ÿ ŸD2f Hx, yL „ x „ y

5.4 Mudança de variáveis nas integrais duplas

Seja a integral

Ÿ ŸDf Hx, yL „ x „ y.

Vamos supor que o domínio D do plano x, y seja transformado num domínio D ' do plano u, v por uma aplicaçãobiunívoca dada pela equações de transformação

x = xHu, vL e y = yHu, vLSupomos ainda que essas funções sejam contínuas, com derivadas contínuas e jacobiano diferente de zero em D '.

J = ∑Hx, yLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑Hu, vL =


∑xÅÅÅÅÅÅÅ∑u∑yÅÅÅÅÅÅÅ∑u

∑xÅÅÅÅÅÅÅ∑v∑yÅÅÅÅÅÅÅ∑v

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ∫ 0

Ÿ ŸDf Hx, yL „ x „ y = Ÿ ŸD '

f Hx@u, vL, yHu, vLL À J À „ u „ v


Ÿ ŸD

è!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 „ x „ y

onde D é o círculo x2 + y2 § R .

In[76]:= f@x_, y_D :=è!!!!!!!!!!!!!!!!!

x2 + y2


In[69]:= Clear@x, y, r, θD;x = r Cos@θD;y = r Sin@θD;

In[83]:= jacobiano = Det@88D@x, rD, D@y, rD<, 8D@x, θD, D@y, θD<<D êê Simplify

Out[83]= r

In[84]:= H∗ Cálculo da integral da função f Hx, yL ∗LIntegrate@Integrate@f@x, yD Abs@jacobianoD, 8r, 0, R<D, 8θ, 0, 2 π<D

Out[84]=23

π HR2L3ê2


Ÿ ŸDI x2

ÅÅÅÅÅÅÅa2 + y2ÅÅÅÅÅÅÅb2 M „ x „ y

onde D = 9Hx, yL : x2ÅÅÅÅÅÅÅa2 + y2

ÅÅÅÅÅÅÅb2 § 1= .

In[85]:= f@x_, y_D := x2 êa2 + y2 ê b2

In[86]:= Clear@x, y, r, θD;x = a u;y = b v;

In[90]:= f@x, yDOut[90]= u2 + v2

In[91]:= Clear@u, v, r, θD;u = r Cos@θD;v = r Sin@θD;

In[94]:= jacobiano = Det@88D@u, rD, D@v, rD<, 8D@u, θD, D@v, θD<<D êê Simplify

Out[94]= r

In[96]:= H∗ Cálculo da integral da função f Hx, yL ∗La b Integrate@Integrate@f@x, yD Abs@jacobianoD, 8r, 0, 1<D, 8θ, 0, 2 π<D

Out[96]=a b π

2


Ÿ ŸDÀ Hx + yL Hx - yL À „ x „ y

ondeD = 8Hx, yL : » x » + » y » § 1<

In[110]:= f@x_, y_D :="#######################################HHx + yL Hx − yLL2

In[111]:= Clear@x, y, u, vD;x = Hu + vLê2;y = Hu − vLê2;


In[114]:= jacobiano = Det@88D@x, uD, D@y, uD<, 8D@x, vD, D@y, vD<<D êê Simplify

Out[114]= −12

In[119]:= H∗ Cálculo da integral da função f Hx, yL ∗LIntegrate@

Integrate@Evaluate@f@x, yDD Abs@jacobianoD, 8u, −1, 1<D, 8v, −1, 1<D

Out[119]=12

5.5 Integrais impróprias

5.6 Integrais triplas

O cálculo de uma integral tripla, em geral, é efetuado por redução a uma integral simples, seguida de uma inte-gração dupla. Por exemplo, vamos considerar um domínio D, cuja fronteira seja constituída de duas superfícies

z = g1Hx, yL e z = g2Hx, yLonde g1 e g2 são definidas no mesmo domínio D do plano x, y, g1Hx, yL § g2Hx, yL . Então

Ÿ Ÿ ŸDf Hx, y, zL „ x „ y „ z = Ÿ ŸR

„ x „ yŸg1HxL

ug2HxLf Hx, y, zL „ z

EXEMPLO 1. Vamos usar a integração tripla para calcular o volume do sólido D, delineado pelos parabolóides

z = x2 + y2 e z = 12 - x2 - 3 y2.


In[210]:= p1 = Plot3D@x2 + y2, 8x, −3, 3<, 8y, −3, 3<,BoxRatios → 81, 1, 1<, DisplayFunction → IdentityD;

p2 = Plot3D@12 − x2 − 3 y2, 8x, −3, 3<, 8y, −3, 3<,BoxRatios → 81, 1, 1<, DisplayFunction → IdentityD;

Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

-2

0

2

-2

0

2

-20

-10

0

10

-2

0

2

-2

0

2

In[154]:= H∗ Interseção dos dois parabolóides ∗Lx2 + y2 − 12 + x2 + 3 y2 0 êê Simplify

Out[154]= x2 + 2 y2 6

In[157]:= Solve@2 y2 6, yDOut[157]= 99y → −

è!!!3 =, 9y →è!!!3 ==

In[161]:= H∗ Cálculo da integral da função f Hx, y, zL = 1 em D ∗LClear@x, y, zD;f@x_, y_, z_D := 1IntegrateAIntegrateAIntegrate@f@x, y, zD, 8z, x2 + y2, 12 − x2 − 3 y2<D,

9x, −è!!!!!!!!!!!!!!!!

6 − 2 y2 ,è!!!!!!!!!!!!!!!!

6 − 2 y2 =E, 9y, −è!!!!

3 ,è!!!!

3 =E

Out[163]= 18 è!!!2 π

1. ‡0

πê2

x ‡0

x

y ‡0

y

cos Hx + y + zL z


Calcule as integrais repetidas nos Exercícios 1 a 5.


1. ‡0

πê2

x ‡0

x

y ‡0

y

cos Hx + y + zL z

In[164]:= H∗ Derivada de f HxL ∗LClear@x, y, zD;Integrate@

Integrate@Integrate@Cos@x + y + zD, 8z, 0, y<D, 8y, 0, x<D, 8x, 0, π ê2<D

Out[165]= −13

2. ‡0

πê2

y ‡0

y

z ‡0

z

sen Hx + y + zL z


Integrate@Integrate@Sin@x + y + zD, 8x, 0, z<D, 8z, 0, y<D, 8y, 0, π ê2<D

Out[169]=13

3. ‡0

1

x ‡0

x

y ‡0

y yx

z

In[177]:= H∗ Derivada de f HxL ∗LClear@x, y, zD;Integrate@Integrate@Integrate@ y êx, 8z, 0, y<D, 8y, 0, x<D, 8x, 0, 1<D

Out[178]=19

4. ‡0

π

z ‡0

z

y ‡0

yz

cos Hxêy L x


Integrate@Integrate@ Cos@xêyD, 8x, 0, y z<D, 8y, 0, z<D, 8z, 0, π<D

Out[184]=12H−4 + π2L

5. ‡0

πê4

z ‡z

2 z

y ‡y

Cos@yDx x


Integrate@Integrate@ x, 8x, Cos@yD, y <D, 8y, z, 2 z<D, 8z, 0, π ê4<D

Out[190]=π2 H−48 + 7 π2L

6144


5.7 Mudanças de variáveis

O problema de mudança de variáveis numa integral tripla é inteiramente análogo ao mesmo problema, já tratadono caso das integrais duplas.

Seja a integral

Ÿ Ÿ ŸDf Hx, yL „ x „ y.

Vamos supor que o domínio D do espaço x, y, z seja transformado num domínio D ' do espaço u, v, w por umaaplicação biunívoca dada pela equações de transformação

x = xHu, v, wL , y = yHu, v, wL , z = z (u, v, w)

Supomos ainda que essas funções sejam contínuas, com derivadas contínuas e jacobiano diferente de zero em D '.

J = ∑Hu, v, wLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑Hx, y, zL =

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ

∑xÅÅÅÅÅÅÅ∑u∑xÅÅÅÅÅÅÅ∑v

∑xÅÅÅÅÅÅÅÅ∑w∑yÅÅÅÅÅÅÅ∑u

∑yÅÅÅÅÅÅÅ∑v∑yÅÅÅÅÅÅÅÅ∑w

∑zÅÅÅÅÅÅÅ∑u∑zÅÅÅÅÅÅÅ∑v

∑zÅÅÅÅÅÅÅÅ∑w

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ

∫ 0

Ÿ Ÿ ŸDf Hx, yL „ x „ y = Ÿ Ÿ ŸD '

f Hx@u, v, wL, yHu, v, wL, zHu, v, wLL À J À „ u „ v „ w

Coordenadas cilíndricaIn[191]:= x = r Cos@θD;

y = r Sin@θD;z = z;

In[195]:= jacobiano = Det@88D@x, rD, D@x, θD, D@x, zD<, 8D@y, rD, D@y, θD, D@y, zD<,8D@z, rD, D@z, θD, D@z, zD<<D êê Simplify

Out[195]= r

Coordenadas esféricasIn[197]:= Clear@x, y, z, r, θ, φD;

x = r Sin@θD Cos@φD;y = r Sin@θD Sin@φD;z = r Cos@θD;

In[202]:= jacobiano = Det@88D@x, rD, D@x, θD, D@x, φD<, 8D@y, rD, D@y, θD, D@y, φD<,8D@z, rD, D@z, θD, D@z, φD<<D êê Simplify

Out[202]= r2 Sin@θD

EXEMPLO 1. Calculo da massa de um cilindro contido num cilindro circular reto de raio R e altuta h, supondo que a densidade de massa r = r0 r 0nde r0 é uma constante e r é a distância ao eixo do cilindro.


In[214]:= << Graphics`Shapes`

In[215]:= Show@Graphics3D@Cylinder@DDD;

In[208]:= Clear@r, θ, zD;Integrate@Integrate@Integrate@ρ0 r2, 8z, 0, h<D, 8r, 0, R<D, 8θ, 0, 2 π<D

Out[209]=23

h π R3 ρ0


CAPÍTULO 6

Integrais de LinhaIniciar o MathKernel

In[1]:= 2 + 2

Out[1]= 4

6.1 Arcos e Regiões

Um arco de curva ou caminho no espaço é uma aplicação de I Õ em 3 especificada por três equaçõesparamétricas

x = x HtL, y = y HtL, z = z HtL.Um arco C(t) = x HtL i + y HtL j + z HtL k é contínuo se as funções paramétricas forem contínuas.

Um arco é dito liso ou regular se C ' (t) = x ' HtL i + y ' HtL j + z ' HtL k ∫ 0. Um arco é seccionalmente regular sesuas funções paramétricas forem contínuas no intervalo de definição, porém cujas derivadas sejam seccionalmentecontínuas nesse intervalo.

A representação paramétrica de um arco C(t), a § t § b ordena os pontos de C de acordo com os valorescrescentes de t, de sorte que C é um conjunto ordenado ou orientado. A orientação é direta ou positiva quando tcresce de a a b, a orientação é oposta ou negativa quando t decresce de b a a. Os pontos C(a) e C(b) são chamadosa origem e a extremidade de C, respectivamente. Diz-se que um arco é simples quando t1 ∫ t2 fl CHt1L ∫ CHt2L .Diz-se que o arco é fechado quando suas extremidades são coincidentes: C(a) = C(b). O arco é fechado simples setodos os seus pontos, à exceção das extremidades, forem simples. Um arco fechado simples é chamado decontorno.

Um conjunto aberto é todo conjunto cujos pontos são interiores, nenhum deles pertencem à sua fronteira. Diz-seque um conjunto aberto é conexo se quaisquer dois de seus pontos podem ser ligados por uma linha poligonal todacontida no conjunto.

Chamanos região a todo conjunto aberto e conexo. É comum indicar a fronteira de um conjunto qualquer A com osímpolo ∑A. Dada um região R, chamamos região fechada Rêêê ao conjunto R ‹ ∑R, que se obtém juntando-se a Ros pontos de sua fronteira.

Uma região R é simplesmente conexa se qualquer curva (arco, caminho) fechada em R pode ser deformada comcontinuidade até reduzir-se a um ponto sem sair de R.

Exercícios

Identifique os arcos nos Exercícios 1 a 12, faça gráficosa e indique suas orientações

1. P(t) = t i + H1 - tL j , 0 § t § 1

In[228]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := 1 − tParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, 0, 1<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2. P(t) = 2 t i + t2 j , -1 § t § 0

In[232]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := 2 ty@t_D := t2

ParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, −1, 0<D;

-2 -1.5 -1 -0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

3. P(t) = Ht2 + 1L i + 3 t j , -1 § t § 1


In[236]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := t2 + 1y@t_D := −3 tParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, −1, 1<D;

1.2 1.4 1.6 1.8 2

-3

-2

-1

1

2

3

4. P(t) = t i + 2 t j + H1 - tL k , 0 § t § 2

In[240]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := ty@t_D := 2 tz@t_D := 1 − tParametricPlot3D@8x@tD, y@tD, z@tD<, 8t, 0, 2<D;

00.5

11.5

2

0

1

2

3

4

-1

-0.5

0

0.5

1

00.5

11 5

1

2

3

4

5. P(t) = cos t i + sen t j + t k , 0 § t § 2p


In[245]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := Cos@tDy@t_D := Sin@tDz@t_D := tParametricPlot3D@8x@tD, y@tD, z@tD<, 8t, 0, 2 π<D;

-1-0.50 0.5 1

-1-0.5

00.5

1

0

2

4

6

500.5

1

6. P(t) = sen t i - cos t j - 2 t k , 0 § t § p


In[250]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := Sin@tDy@t_D := −Cos@tDz@t_D := −2 tParametricPlot3D@8x@tD, y@tD, z@tD<, 8t, 0, π<D;

00.250.50.751

-1-0.500.51

-6

-4

-2

0

7. P(t) = 1 ê t i + t j , 1 § t § ¶

In[253]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := 1êty@t_D := tParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, 0, 70<, PlotRange → 80, 10<D;

0.5 1 1.5 2 2.5 3

2

4

6

8

10

8. P(t) = t i + 2 ê t j , ¶ § t § 0


In[269]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := 2êtParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, 0, 2<, PlotRange → 80, 40<D;

0.5 1 1.5 2

510152025303540

9. P(t) = t i +è!!!!!!!!!!!!!!!1 - t2 j , -1 § t § 1

In[263]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := t

y@t_D :=è!!!!!!!!!!!!!!!!

1 − t2


-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

10. P(t) = t i -è!!!!!!!!!!!!!!!1 - t2 j , -1 § t § 1


y@t_D := −è!!!!!!!!!!!!!!!!

1 − t2


-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2


11. P(t) = è!!!!!!!!!!!!!!!1 - t2 i + t j , -1 § t § 1

In[271]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, tD;

x@t_D :=è!!!!!!!!!!!!!!!!

1 − t2

y@t_D := tParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, −1, 1<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.5

0.5

1

12. P(t) = -cos i + sen t j , 0 § t § p/2;

P(t) = Ht - p ê 2L j , p/2 § t § 1 + p/2;

P(t) = Ht - 1 - p ê 2L i + (2 - t + p/2) j , 1+p/2 § t § 2 + p/2;

In[179]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := − Cos@tD ê; 0 ≤ t ≤ π ê2y@t_D := Sin@tD ê; 0 ≤ t ≤ π ê2x@t_D := 0 ê; π ê2 ≤ t ≤ 1 + π ê2y@t_D := t − π ê2 ê; π ê2 ≤ t ≤ 1 + π ê2x@t_D := t − 1 − π ê2 ê; 1 + π ê2 ≤ t ≤ 2 + π ê2y@t_D := 2 − t + π ê2 ê; 1 + π ê2 ≤ t ≤ 2 + π ê2ParametricPlot@8x@tD, y@tD<,8t, 0, 2 + π ê2<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

11. P(t) = t i + t 3 j + sen 1 ê t k , 0 < t § 1


In[280]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := t3

z@tD := Sin@1êtDParametricPlot3D@8x@tD, y@tD, z@tD<, 8t, 0, 1<D;

0 0.250.50.75 1

00.25

0.50.75

1

-2

-1.5

-1

-0.5

000.25

0.50.75

In[209]:= H∗ Limite do arco P' HtL no ponto t = 0 ∗LLimit@x'@tD, t → 0DLimit@y'@tD, t → 0D

Out[209]= 1

Out[210]= 0

O arco dado é regular.

11. P(t) = t i + t 2 sen 1 ê t j , 0 < t § 1

In[309]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := t2 Sin@1êtDParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, 0, 1<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-0.04-0.02

0.020.040.060.08



Out[203]= 1

Out[204]= Interval@8−1, 1<D

O arco dado não é regular em t = 0..

6.2 Integral de linha de primeira espécie.

Sejam C (s) = (x(s), y(s), z(s)) um arco de curva e s o comprimento, ao longo de C, contando positivamente a partirde uma de suas extremidades. Os pontos (x, y, z) desse arco são, então, caracterizados pelo parâmetro s, que variade 0 a L, onde L é o comprimento total de C.

Seja f (C) uma função contínua definida nos pontos de C. A integral

Ÿ0

L

f (C (s)) ds

é chamada integral de linha de primeira espécie de f sobre C..

Em virtude de d s = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!d x2 + d y2 + d z2 podemos reescrever a integral de linha de primeira espécie na seguinteforma

Ÿa

b

f (x (t), y(t), z(t)) "###############################################################Hx ' HtLL2 + Hy ' HtL L2 + Hz' HtLL2 d t

onde C (t) = (x(t), y(t), z(t)) , a § t § b , é uma nova parametrização do arco C. Do ponto de vista computacio-nal esta fórmula é muito mais simples que a anterior.

EXEMPLO 1. Vamos calcular a integral da função f Hx, yL = x sobre o contorno fechado 0AB0, formado pelas retas x = 0, y = 1 e a parábola y = x2, x ¥ 0.


In[32]:= H∗ Gráfico do contorno C ∗Lp1 = Plot@x2, 8x, 0, 1<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,

Epilog → 8Text@"A", 8.9, .92<D, Text@"B", 8.06, .92<D<,DisplayFunction → IdentityD;

p2 = ListPlot@880, 0<, 80, 1<, 81, 1<<, PlotJoined → True,PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityD;


0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1AB

In[299]:= H∗ Integral no trecho 0 B ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := 0y@t_D := t

int0B = IntegrateAx@tD "######################################x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 0, 1<E

Out[302]= 0

In[307]:= H∗ Integral no trecho BA ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := 1

intBA = IntegrateAx@tD "######################################x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 0, 1<E

Out[310]=12

In[317]:= H∗ Integral no trecho A0 ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := t2

intA0 = IntegrateAx@tD "######################################x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 0, 1<E

Out[320]=112

I−1 + 5 è!!!5 M

In[321]:= int0B + intBA + intA0 êê Simplify

Out[321]=512

I1 +è!!!5 M


Exercícios

Calcule as integrais indicadas nos Exercícios 1 a 10.

1. ŸC

Hx - yL ds, onde C é o contorno do trângulo de vértices (0, 0), (1, 2) e (2, 1).

In[48]:= H∗ Gráfico do contorno C ∗LListPlot@880, 0<, 81, 2<, 82, 1<, 80, 0<<,

PlotJoined → True, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, Epilog →

8Text@"A", 8.2, .2<D, Text@"B", 81.05, 1.8<D, Text@"C", 81.85, 1<D<D;

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

A

B

C

In[217]:= H∗ Integral no trecho AB ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := 2 t

intAB = IntegrateAHx@tD − y@tDL "######################################

x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 0, 1<E

Out[220]= −è!!!52

In[221]:= H∗ Integral no trecho BC ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := − t + 3

intBC = IntegrateAHx@tD − y@tDL "######################################

x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 1, 2<EOut[224]= 0


In[234]:= H∗ Integral no trecho CA ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := tê2

intCA = IntegrateAHx@tD − y@tDL "######################################

x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 0, 2<E

Out[237]=è!!!52

In[238]:= intAB + intBC + intCA

Out[238]= 0

3. ŸC

x y ds, onde C é o quadrado | x | + | y | = 1.

In[87]:= H∗ Gráfico do contorno C ∗LListPlot@88−1, 0<, 80, 1<, 81, 0<, 80, −1<, 8−1, 0<<,

PlotJoined → True, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,Epilog → 8Text@"A", 8.1, 1<D, Text@"B", 81, .1<D,

Text@"C", 8.1, −1<D, Text@"D", 8−1, .1<D<,AspectRatio → AutomaticD;

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1 A

B

C

D

In[200]:= H∗ Integral no trecho AB ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := −t + 1

intAB = IntegrateAx@tD y@tD "######################################

x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 0, 1<E

Out[203]=1

3 è!!!2


In[204]:= H∗ Integral no trecho BC ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := t − 1

intBC = IntegrateAx@tD y@tD "######################################x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 1, 0<E

Out[207]=1

3 è!!!2

In[208]:= H∗ Integral no trecho CD ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := −t − 1

intCD = IntegrateA x@tD y@tD "######################################

x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 0, −1<E

Out[211]= −1

3 è!!!2

In[212]:= H∗ Integral no trecho DA ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := t + 1

intDA = IntegrateAx@tD y@tD "######################################

x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, −1, 0<E

Out[215]= −1

3 è!!!2

In[216]:= intAB + intBC + intCD + intDA

Out[216]= 0

5. ŸC

x ds, onde C é o arco C (t) = Ht, t2L , 0 § t § 1

In[125]:= H∗ Gráfico do caminho C ∗LParametricPlot@8t, t2<, 8t, 0, 1<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1


In[239]:= H∗ Integral no caminho C ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := t2

IntegrateAx@tD "#####################################

x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 0, 1<E

Out[242]=112

I−1 + 5 è!!!5 M

7. ŸC

x ds, onde C é o arco C (t) = Hq, q sen q, q cos qL , 0 § q § a

In[131]:= H∗ Gráfico do contorno C ∗LParametricPlot3D@8θ, θ Sin@θD, θ Cos@θD<, 8θ, 0, 4 π<D;

05

10

-10

-5

0

5

-10

-5

0

5

10

05

10

-10

-5

0

5

In[243]:= x@θ_D := θ

y@θ_D := θ Sin@θDz@θ_D := θ Cos@θD

IntegrateAx@θD "###########################################################x'@θD2 + y'@θD2 + z'@θD2 , 8θ, 0, a<E

Out[246]=13I−2 è!!!2 + H2 + a2L3ê2M

9. ŸC

y coa z ds, onde C é o arco C (t) = Ht, t2L , 0 § t § 1



0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1


IntegrateAy@tD "#####################################

x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 0, 1<E

Out[286]=164

I18 è!!!5 − ArcSinh@2DM

6.2 Integral de linha das formas diferenciais

Sejam L (x, y, z), M (x, y, z), N (x, y, z) funções definidas e contínuas numa região R do espaço e seja C um arcoregular, todo contido em R, com representação paramétrica

C (t) = (x (t), y (t), z (t)), a § t § b.

Vamos definir a integral de linha da expressão

L dx + M dy + N dz

ao longo do arco C , como sendo

Ÿa

b

[L (x (t), y(t), z(t)) x' (t) + M (x (t), y(t), z(t)) y' (t) + N (x (t), y(t), z(t)) z' (t)] dt

A expressão

L dx + M dy + N dz

é chamada forma diferencial. Ela pode ser interpretada como produto escalar do vetor F”÷÷ = L i + M j + N k como vetor \

d P”÷÷ = d x i + d y j + d z k. Então, a integral de linha ao logo do arco C toma a forma

ŸC

F”÷÷ (x, y, z) . d P”÷÷


Como d P”÷÷ = t ds, onde o vetor unitário t é paralelo à tangente ao arco no ponto (x, y, z), podemos reescrever aintegral de linha da seguinte maneira

ŸC

F”÷÷ (x, y, z) . t ds

EXEMPLO 1. Calcular a integral da forma diferencial

y d x - x d y + z d z

ao logo do arco de hélice C : x = cos t, y = sen t, z = t, 0 § t § p/2,

In[324]:= H∗ Gráfico do contorno C ∗LParametricPlot3D@8Cos@tD, Sin@tD, t<, 8t, 0, π ê2<D;

00.25

0.50.75

1

00.25

0.50.75

1

0

0.5

1

1.5

00.25

0.50.75

In[325]:= H∗ Integral no caminho C ∗Lx@t_D := Cos@tDy@t_D := Sin@tDz@t_D := tIntegrate@y@tD x'@tD − x@tD y'@tD + z@tD z'@tD, 8t, 0, π ê2<D

Out[328]=18H−4 + πL π


x z d z



In[333]:= H∗ Integral no caminho C ∗Lx@t_D := Cos@tDy@t_D := Sin@tDz@t_D := tIntegrate@x@tD y@tD z'@tD, 8t, 0, π ê2<D

Out[336]=12

EXEMPLO 3. Consideremos a forma

x y d x + y2 d y,

que será integrada ao logo dos arcos C e C ',

C : y = x2 , 0 § x § 1,

C ': x = y2 , 0 § y § 1.

In[117]:= H∗ Gráfico dos arcos C e C' ∗LPlotA9x2,

è!!!!x =, 8x, 0, 1<,

PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<,Epilog → 8Text@"C", 8.6, .45<D, Text@"â", 8.4, .2<D,

Text@"C'", 8.6, .8<D, Text@"â", 8.2, .5<D<,AspectRatio → AutomaticE;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

C

â

C'

â

In[2]:= H∗ Integral no caminho C ∗Lx@t_D := ty@t_D := t2

Integrate@x@tD y@tD x'@tD + y@tD2 y'@tD, 8t, 0, 1<D

Out[4]=712

In[5]:= H∗ Integral no caminho C' ∗Lx@t_D := t2

y@t_D := tIntegrate@x@tD y@tD x'@tD + y@tD2 y'@tD, 8t, 0, 1<D

Out[7]=1115


EXEMPLO 4. A integral da forma

y x d x - x z d y + x y z d z ,

ao logo do polígono P1 P2 P3 P4 onde,

P1 = H1, 1, 1L , P2 = H2, 1, 1L, P3 = H2, 2, 1L, P4 = H2, 2, 2L.


è!!!!x =, 8x, 0, 1<,



0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

C

â

C'

â

In[34]:= H∗ Integral no caminho P1 P2 ∗Lx@t_D := ty@t_D := 1z@t_D := 1intP1P2 =

Integrate@y@tD x@tD x'@tD − x@tD z@tD y'@tD + x@tD y@tD z@tD z'@tD, 8t, 1, 2<D

Out[37]=32

In[38]:= H∗ Integral no caminho P2 P3 ∗Lx@t_D := 1y@t_D := tz@t_D := 1intP2P3 =

Integrate@y@tD x@tD x'@tD − x@tD z@tD y'@tD + x@tD y@tD z@tD z'@tD, 8t, 1, 2<DOut[41]= −1


In[42]:= H∗ Integral no caminho P3 P4 ∗Lx@t_D := 1y@t_D := 1z@t_D := tintP3P4 =


Out[45]=32

In[46]:= H∗ Integral no arco C total ∗LintP1P2 + intP2P3 + intP3P4

Out[46]= 2

Exercícios

Calcule as integrais indicadas nos Exercícios 1 a 11. Faça gráficos dos caminhos de intrgração em cada caso, sempre que possível.

1. ŸC

x y d x - d y, onde C é o arco y = x2, 0 § x § 1.

In[110]:= H∗ Gráfico do caminho C ∗LParametricPlot@8t, t2<, 8t, 0, 1<,

Epilog → 8Text@"â", 80.75, .47<D<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

â

In[51]:= H∗ Integral no trecho AB ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := t2

Integrate@x@tD y@tD x'@tD − y'@tD, 8t, 1, 2<D

Out[54]=34

2. ŸC

x y d x - d y, onde C é o arco x = y2, 0 § y § 1.


In[114]:= H∗ Gráfico do caminho C ∗LParametricPlot@8t2, t<, 8t, 0, 1<,


0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

â

In[56]:= H∗ Integral no trecho AB ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := t2

y@t_D := tIntegrate@x@tD y@tD x'@tD − y'@tD, 8t, 1, 2<D

Out[59]=575

3. ŸC

x y d x - d y, onde C é o segmento 0 § x § 1, y = 0, seguido do segmento x = 1, 0 § y § 1,

In[99]:= H∗ Gráfico do caminho C ∗LListPlot@880, 0<, 81, 0<, 81, 1<<,

PlotJoined → True, PlotRange → 88−.1, 1.1<, 8−.1, 1.1<<,Epilog → 8Text@"z", 8.5, .07<D, Text@"↑", 81.05, .45<D<,PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z

↑

In[79]:= H∗ Integral no trecho 0 ≤ x ≤ 1, y = 0 ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := 0int1 = Integrate@x@tD y@tD x'@tD − y'@tD, 8t, 0, 1<D

Out[82]= 0


In[74]:= H∗ Integral no trecho x = 1, 0 ≤ y ≤ 1 ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := 1y@t_D := tint2 = Integrate@x@tD y@tD x'@tD − y'@tD, 8t, 0, 1<D

Out[77]= −1

In[83]:= H∗ Integral no arco C total∗Lint1 + int2

Out[83]= −1

5. ŸC

x2 y d x + y d y, onde C é o segmento x = 1/2, y = 1 a y = 1/2 seguido do segmento y = 1/2, x =1/2 a x =1,

In[96]:= H∗ Gráfico do caminho C ∗[email protected], 1<, 8.5, .5<, 81, .5<<,

PlotJoined → True, PlotRange → 880, 1<, 80, 1<<,Epilog → 8Text@"↓", 8.45, .75<D, Text@"z", 8.75, .55<D<,PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, PlotRange → 880, 1<, 80, 1<<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

↓

z

In[122]:= H∗ Integral no trecho 0 ≤ x ≤ 1, y = 0 ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := 1ê2y@t_D := tint1 = Integrate@x@tD2 y@tD x'@tD + y@tD y'@tD, 8t, 1, 1ê2<D

Out[125]= −38

In[126]:= H∗ Integral no trecho x = 1, 0 ≤ y ≤ 1 ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := 1ê2int2 = Integrate@x@tD2 y@tD x'@tD + y@tD y'@tD, 8t, 1ê2, 1<D

Out[129]=748


Out[130]= −1148

7. ŸC

sen y d x - cos y d y + z d z, onde C é o arco Ht2, -2 t, sen tL , 0 § t § p/2.




0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

↓

z

In[136]:= H∗ Integral no trecho 0 ≤ x ≤ 1, y = 0 ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := t2

y@t_D := −2 tz@t_D := − Sin@tDint1 =

Integrate@Sin@y@tDD x'@tD − Cos@ y@tDD y'@tD + z@tD z'@tD, 8t, 0, π ê2<D

Out[140]=1 − π2

9. ŸC

2 x d y - y d x + z d z, onde C é o arco da hélice Hcos t, sen t, tL , 0 § t § 2p.

In[293]:= H∗ Gráfico do contorno C ∗LParametricPlot3D@8Cos@tD, Sin@tD, t<, 8t, 0, 2 π<D;

-1-0.50 0.5 1

-1-0.5

00.5

1

0

2

4

6

500.5

1


In[141]:= H∗ Integral no arco C ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := Cos@tDy@t_D := Sin@tDz@t_D := tint1 = Integrate@−y@tD x'@tD + 2 x@tD y'@tD + z@tD z'@tD, 8t, 0, 2 π<D

Out[145]= π H3 + 2 πL

11. ŸC

y z d x + x z d x + x y d z, onde A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1).

In[158]:= H∗ Integral no trecho AB ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := ty@t_D := −t + 1z@t_D := 0int1 =

Integrate@y@tD z@tD x'@tD + x@tD z@tD y'@tD + x@tD y@tD z'@tD, 8t, 0, 1<DOut[162]= 0

In[163]:= H∗ Integral no trecho BC ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := 0y@t_D := tz@t_D := −t + 1int2 =


In[168]:= H∗ Integral no arco C completo ∗Lint1 + int2

Out[168]= 0

12. ŸC

y d x - x d y, ao longo do semicírculo (cos q, sen q), 0 § q § p.

In[169]:= H∗ Integral no arco C ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := Cos@tDy@t_D := Sin@tDIntegrate@y@tD x'@tD − x@tD y'@tD , 8t, 0, π<D

Out[172]= −π

13. ŸC

y d x - x d y, ao longo do semicírculo parametrizado por y = è!!!!!!!!!!!!!!!1 - x2 , -1 § x § 1.


In[177]:= H∗ Integral no arco C ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := t

y@t_D :=è!!!!!!!!!!!!!!!

1 − t2

Integrate@y@tD x'@tD − x@tD y'@tD , 8t, 1, −1<DOut[180]= −π

Nos Exercícios 15 a 18 calcule o trabalho da força F”÷÷ dada ao longo do deslocamento dado.

15. F”÷÷ = j / H1 + x2L ; C é o arco de parábola y = x2 + 1, de x = 0 a x = 1.

In[183]:= H∗ Gráfico do caminho C ∗LParametricPlot@8t, 1 + t2<, 8t, 0, 1<, PlotRange → 80, 2<,

Epilog → 8Text@"â", 80.75, 1.47<D<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.250.50.75

11.251.51.75

2

â

In[184]:= H∗ Integral no arco C ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := 1 + t2

Integrate@ 1êH1 + x@tD2L y'@tD , 8t, 0, 1<DOut[187]= Log@2D

16. F”÷÷ = j / H1 - x2L ; C é o arco de parábola y = - è!!!!!!!!!!!!!!!1 - x2 , de x = 0 a x = 1 ê 2.



0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.250.50.75

11.251.51.75

2

â



y@t_D := −è!!!!!!!!!!!!!!

1 − t2

Integrate@ 1êH1 − x@tD2L y'@tD , 8t, 0, 1ê2<D

Out[191]= −1 +2è!!!3

17. F”÷÷ = y i + z j + x k ; C é o arco de hélice (cos q, sen q, -q ), 0 § q § 2p

In[289]:= H∗ Gráfico do contorno C ∗LParametricPlot3D@8Cos@θD, Sin@θD, −θ<, 8θ, 0, 2 π<D;

-1-0.50 0.5 1

-1-0.5

00.5

1

-6

-4

-2

0500.5

1

In[192]:= H∗ Integral no arco C ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := Cos@tDy@t_D := Sin@tDz@t_D := −tIntegrate@ y@tD x'@tD + z@tD y'@tD + x@tD z'@tD, 8t, 0, 2 π<D

Out[196]= −π

Nos Exercícios 19 a 22 calcule o trabalho da força F”÷÷ dada ao longo de dois caminhos.

a) C1 é o arco (t, t3, t5 ), 0 § t § 1;

b) C2 é poligonal 0 P1 P2 P3, onde 0 = (0, 0, 0), P1 = (1, 0, 0), P2 = (1, 1, 0), P3 = (1, 1, 1).

19. F”÷÷ = x i + y j + z k


In[296]:= H∗ Gráfico do caminho C1 ∗LParametricPlot3D@88t, 0, 0<, 81, t, 0<, 81, 1, t<, 8t, t3, t5<<, 8t, 0, 1<D;

00.25

0.50.75

1

00.25

0.50.75

1

0

0.25

0.5

0.75

1

00.25

0.50.75

00.25

0.50.75

In[197]:= H∗ Integral no arco C1 ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := ty@t_D := t3

z@t_D := t5

Integrate@ x@tD x'@tD + y@tD y'@tD + z@tD z'@tD, 8t, 0, 1<D

Out[201]=32

In[202]:= H∗ Integral no trecho 0 P1 do caminho C2 ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := ty@t_D := 0z@t_D := 0int0P1 = Integrate@ x@tD x'@tD + y@tD y'@tD + z@tD z'@tD, 8t, 0, 1<D

Out[206]=12

In[207]:= H∗ Integral no trecho P1 P2 do caminho C2 ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := 1y@t_D := tz@t_D := 0intP1P2 = Integrate@ x@tD x'@tD + y@tD y'@tD + z@tD z'@tD, 8t, 0, 1<D

Out[211]=12


In[212]:= H∗ Integral no trecho P2 P3 do caminho C2 ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := 1y@t_D := 1z@t_D := tintP2P3 = Integrate@ x@tD x'@tD + y@tD y'@tD + z@tD z'@tD, 8t, 0, 1<D

Out[216]=12

In[217]:= H∗ Integral no caminho C2 completo ∗Lint0P1 + intP1P2 + intP2P3

Out[217]=32

20. F”÷÷ = è!!!z i - x j


z@t_D := t5

IntegrateA è!!!!!!!!!!!z@tD x'@tD − x@tD y'@tD , 8t, 0, 1<E

Out[222]= −1328

In[223]:= H∗ Integral no trecho 0 P1 do caminho C2 ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := ty@t_D := 0z@t_D := 0

int0P1 = IntegrateA è!!!!!!!!!!!z@tD x'@tD − x@tD y'@tD , 8t, 0, 1<E

Out[227]= 0

In[228]:= H∗ Integral no trecho P1 P2 do caminho C2 ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := 1y@t_D := tz@t_D := 0

intP1P2 = IntegrateA è!!!!!!!!!!!z@tD x'@tD − x@tD y'@tD , 8t, 0, 1<E

Out[232]= −1

In[233]:= H∗ Integral no trecho P2 P3 do caminho C2 ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := 1y@t_D := 1z@t_D := t


Out[237]= 0



Out[238]= −1

21. F”÷÷ = z i - è!!!x k


z@t_D := t5

IntegrateA z@tD x'@tD −è!!!!!!!!!!!

x@tD z'@tD , 8t, 0, 1<E

Out[248]= −4966


int0P1 = IntegrateA z@tD x'@tD −è!!!!!!!!!!!

x@tD z'@tD , 8t, 0, 1<EOut[253]= 0


intP1P2 = IntegrateA z@tD x'@tD −è!!!!!!!!!!!

x@tD z'@tD , 8t, 0, 1<EOut[258]= 0



x@tD z'@tD , 8t, 0, 1<EOut[263]= −1


Out[264]= −1

22. F”÷÷ = y j + z k



z@t_D := t5

Integrate@ y@tD y'@tD + z@tD z'@tD , 8t, 0, 1<DOut[269]= 1

In[270]:= H∗ Integral no trecho 0 P1 do caminho C2 ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := ty@t_D := 0z@t_D := 0int0P1 = Integrate@ y@tD y'@tD + z@tD z'@tD , 8t, 0, 1<D

Out[274]= 0

In[275]:= H∗ Integral no trecho P1 P2 do caminho C2 ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := 1y@t_D := tz@t_D := 0intP1P2 = Integrate@ y@tD y'@tD + z@tD z'@tD , 8t, 0, 1<D

Out[279]=12

In[280]:= H∗ Integral no trecho P2 P3 do caminho C2 ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := 1y@t_D := 1z@t_D := tintP2P3 = Integrate@ y@tD y'@tD + z@tD z'@tD , 8t, 0, 1<D

Out[284]=12


Out[285]= 1


6.4 Teorema de Green no plano

Teorema de Green. Seja R uma região do plano, quesupomos simples ou que possa ser decomposta em umnúmero finito de regões simples por meio de um número finito de arcos regulares. Sejam L(x, y) e M(x, y) funçõescontínuas, com derivadas primeiras contínuas em Rêêê = R ‹ ∑R. Então

ŸR

I ∑MÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x - ∑LÅÅÅÅÅÅÅ∑y M d x d y = Ÿ∑R

L d x + M d y

EXEMPLO 1. Vamos calcular a integral da forma função LHxL + M HyL = Hy + x2 cos xL d x + H2 x - y2L d y ao longo da circunferência x2 + y2 = 1, no sentido anti-horário.

In[32]:= H∗ Gráfico do contorno C ∗L

In[321]:= H∗ Gráfico do círculo de raio 1 ∗LParametricPlot@8Cos@tD, Sin@tD<, 8t, 0, 2 π<, AspectRatio → AutomaticD;

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

In[317]:= Integrate@ Hy@tD + x@tD2 Cos@x@tDDL x'@tD , 8t, 0, 2 π<D êê Timing

Out[317]= 8148.544 Second, −π<

In[318]:= Integrate@ H2 x@tD − y@tD2 Sin@y@tDDL y'@tD , 8t, 0, 2 π<D êê Timing

Out[318]= 81.231 Second, 2 π<

In[305]:= H∗ Integral de linha do teorema de Green ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := Cos@tDy@t_D := Sin@tDIntegrate@ Hy@tD + x@tD2 Cos@x@tDDL x'@tD +

H2 x@tD − y@tD2 Sin@y@tDDL y'@tD , 8t, 0, 2 π<DOut[308]= $Aborted


In[331]:= H∗ Integral de superfície do teorema de Green ∗LIntegrate@Integrate@HD@2 x − y2 Sin@yD, xD − D@y + x2 Cos@xD, yDL r, 8r, 0, 1<D, 8θ, 0, 2 π<D

Out[331]= π

O teorema de Green pode ser usado para se obter a área de uma região R o plano. De fato, fazendo-se L = 0 e M =x, obtemos

A(R) = ŸR

d x d y = Ÿ∑R

x d y

Analogamente, fazendo-se L = -y e M = 0, encontramos

A(R) = ŸR

d x d y = - Ÿ∑R

y d x

Portanto, podemostambém escrever

A(R) = ŸR

d x d y = 1ÅÅÅÅ2 Ÿ∑R

x d y - y d x

EXEMPLO 1. Vamos calcular a área encerrada pela hipociclóide x2ê3 + y2ê3 = a2ê3.

In[313]:= H∗ Gráfico do círculo da hipociclóide ∗LParametricPlot@8Cos@tD3, Sin@tD3<, 8t, 0, 2 π<,

PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio → AutomaticD;

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

In[341]:= H∗ Integral de linha do teorema de Green ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := a Cos@tD3

y@t_D := a Sin@tD3

1ê2 Integrate@ x@tD y'@tD − y@tD x'@tD , 8t, 0, 2 π<D

Out[344]=3 a2 π8

EXEMPLO 2. Vamos calcular a área encerrada pela elipsóide b2 x2 + a2 y2 = a2 b2.


In[314]:= H∗ Gráfico do círculo da hipociclóide ∗LClear@ θD;ParametricPlot@82 Cos@θD, Sin@θD<, 8θ, 0, 2 π<,


-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

In[358]:= H∗ Integral de linha do teorema de Green ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := a Cos@tDy@t_D := b Sin@tD1ê2 Integrate@ x@tD y'@tD − y@tD x'@tD , 8t, 0, 2 π<D

Out[361]= a b π

Exercícios

Use a fórmula de Green para calcular as integrais dadas nos Exercícios 1 a 10.

1. ŸC

x y d x + Hy2 - x2L d y, onde C é o quadrado de vértices (0, 0), (0,1), (1,0), (1,1).

In[363]:= H∗ Gráfico do caminho C ∗LListPlot@880, 0<, 81, 0<, 81, 1<, 80, 1<, 80, 0<<,


0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

â

In[412]:= H∗ Integral dupla do teorema de Green no quadrado ∗LIntegrate@Integrate@D@y2 − x2, xD − D@x y, yD , 8x, 0, 1<D, 8y, 0, 1<D

Out[412]= −32


In[380]:= H∗ Integral no trecho H0, 0L a H1,0L ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := 0int1 = Integrate@x@tD y@tD x'@tD + Hy@tD2 − x@tD2L y'@tD, 8t, 0, 1<D

Out[383]= 0

In[384]:= H∗ Integral no trecho H1, 0L a H1,1L ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := 1y@t_D := tint2 = Integrate@x@tD y@tD x'@tD + Hy@tD2 − x@tD2L y'@tD, 8t, 0, 1<D

Out[387]= −23


Out[400]= −12

In[401]:= H∗ Integral de linha no trecho H0, 1L a H0,0L ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := 0y@t_D := tint4 = Integrate@x@tD y@tD x'@tD + Hy@tD2 − x@tD2L y'@tD, 8t, 1, 0<D

Out[404]= −13

In[405]:= H∗ Integral de linha do teorema de Green ao longo do quadrado ∗Lint1 + int2 + int3 + int4

Out[405]= −32


Out[412]= −32

3. ŸC

x y2 d x - x2 y d y, onde C é o retângulo determinado pelas retas x = 1, x = 3, y = -1, y = 3.




0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

â

In[413]:= H∗ Integral dupla do teorema de Green no quadrado ∗LIntegrate@Integrate@D@ −x2 y, xD − D@x y2, yD , 8x, 1, 3<D, 8y, −1, 3<D

Out[413]= −64

In[414]:= H∗ Integral no trecho H1, −1L a H3, −1L ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := −1int1 = Integrate@x@tD y@tD2 x'@tD − x@tD2 y@tD y'@tD, 8t, 1, 3<D

Out[417]= 4

In[418]:= H∗ Integral no trecho H3, −1L a H3, 3L ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := 3y@t_D := tint2 = Integrate@x@tD y@tD2 x'@tD − x@tD2 y@tD y'@tD, 8t, −1, 3<D

Out[421]= −36

In[422]:= H∗ Integral no trecho H3, 3L a H1, 3L ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := 3int3 = Integrate@x@tD y@tD2 x'@tD − x@tD2 y@tD y'@tD, 8t, 3, 1<D

Out[425]= −36

In[426]:= H∗ Integral de linha no trecho H0, 1L a H0,0L ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := 1y@t_D := tint4 = Integrate@x@tD y@tD2 x'@tD − x@tD2 y@tD y'@tD, 8t, 3, −1<D

Out[429]= 4


Out[430]= −64


5. ŸC

è!!!!y d x +è!!!!x d y, onde C é o retângulo determinado pelas retas x = 1, x = 3, y = -1, y = 3.



0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

â


Out[413]= −64

In[435]:= H∗ Integral no trecho H1, −1L a H3, −1L ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := t2

int1 = IntegrateAè!!!!!!!!!!!y@tD x'@tD +

è!!!!!!!!!!!x@tD y'@tD, 8t, 0, 1<E

Out[438]=1310

In[439]:= H∗ Integral no trecho H3, −1L a H3, 3L ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := 1


è!!!!!!!!!!!x@tD y'@tD, 8t, 1, 0<E

Out[442]= −1

In[443]:= H∗ Integral no trecho H3, 3L a H1, 3L ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := 0y@t_D := t


è!!!!!!!!!!!x@tD y'@tD, 8t, 1, 0<E

Out[446]= 0

In[447]:= H∗ Integral de linha do teorema de Green ao longo do quadrado ∗Lint1 + int2 + int3

Out[447]=310

7. ŸC

Hx2 - y tan yL d y, onde C é a circunferência Hx - aL2 + y2 = R2 com R < p/2


In[496]:= H∗ Gráfico do caminho C ∗LParametricPlot@82 + Cos@tD, Sin@tD<,8t, 0, 2 π<, Epilog → 8Text@"â", 82.7, −0.6<D<,PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio → AutomaticD;

1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0.5

1

â


Out[413]= −64

In[456]:= H∗ Integral no trecho H1, −1L a H3, −1L ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := a + R Cos@tDy@t_D := R Sin@tDint1 = Integrate@H x@tD2 − y@tD Tan@y@tDDL y'@tD, 8t, 0, 2 π<D

Out[459]= 2 a π R2

9. ŸC

x3 d y , onde C é a circunferência x 2 + y2 = 1.

In[495]:= H∗ Gráfico do caminho C ∗LParametricPlot@8Cos@tD, Sin@tD<,8t, 0, 2 π<, Epilog → 8Text@"â", 80.7, −0.6<D<,PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio → AutomaticD;

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

â


In[474]:= H∗ Integral dupla do teorema de Green no círculo x2 + y2 < 1 ∗Lx@θ_D := Cos@θDIntegrate@Integrate@r D@x@θD3, x@θDD, 8r, 0, 1<D, 8θ, 0, 2 π<D

Out[475]=3 π2

In[484]:= H∗ Integral dupla do teorema de Green no círculo x2 + y2 < 1 ∗Lx@θ_D := Cos@θDIntegrate@Integrate@r 3 Cos@θD2, 8θ, 0, π<D, 8r, 0, 1<D

Out[485]=3 π4

In[476]:= H∗ Integral de linha do teorema de Green na circunferência x2 + y2 =

1 ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := Cos@tDy@t_D := Sin@tDIntegrate@ x@tD3 y'@tD, 8t, 0, 2 π<D

Out[479]=3 π4

6.5 Teorema da Divergência e Fórmula de Green no plano

O divergente de um vetor F”÷÷ = L i + M j , indicado com os símbolos div F”÷÷ e “ . F”÷÷ é o escalar

div F”÷÷ = “ . F”÷÷ = ∑LÅÅÅÅÅÅÅ∑x + ∑MÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑y

<<Calculus`VectorAnalysis` carrega o pacote de análise vetorial

In[8]:= << Calculus`VectorAnalysis`

Div[f, coordsys] calcula o divergente da função vetorial f no sistema de coordenadas coordsys(Carte-sian, Cylindrical, Spherical)

Teorema da Divergência. Sejam R uma região que possa ser dividida em um número finito de regiões simples esejam L e M em F”÷÷ = L i + M j , funções contínuas, com derivadas primeiras contínuas em R. Então

ŸR

div F”÷÷ d x d y = Ÿ∑R

F”÷÷ . n d s

onde n é normal externa a ∑R.

In[318]:= << Graphics`ImplicitPlot`


In[321]:= H∗ Gráfico do círculo de raio 1 ∗LImplicitPlot@Hy − 1L2 x3 H2 − xL,8x, 0, 2<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

EXEMPLO 1. Vamos calcular a seguinte integral

ŸC

rÅÅÅÅÅÅr2 . n d s,

onde r = x i + y j, r2 = x2 + y2, C é um contorno fechado simples que não passa pela origem e n é a normal externa a C.

Vamos calcular o divergente de rÅÅÅÅÅÅr2 = r = Hx ê Hx2 + y2L i + y ê Hx2 + y2L jL e aplicar o teorema de Green.

In[13]:= H∗ Divergente da função dada ∗Lf@x_, y_, z_D := 8xêHx2 + y2L, yêHx2 + y2L, 0<Div@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD êê Simplify

Out[14]= 0

Como o divergente de rÅÅÅÅÅÅr2 é igual a zero, a integral dada também é zero em virtude do teorema de Green.

Exercícios

1. Mostre que ŸC

Hx i - y j L . n d s = 0, qualquer que seja o contorno fechado simples.

Vamos calcular o divergente de (x i - y j ) e aplicar o teorema de Green.

In[15]:= H∗ Divergente da função dada ∗Lf@x_, y_, z_D := 8x, −y, 0<Div@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD êê Simplify

Out[16]= 0


Como o divergente de Hx i - y jL é igual a zero, a integral dada também é zero em virtude do teorema de Green.

3. Mostre que div@HHx - 3L i + y jL ê HHx - 3L2 + y2LD = 0.

In[17]:= H∗ Divergente da função dada ∗Lf@x_, y_, z_D := 8Hx − 3L, y, 0<êHHx − 3L2 + y2LDiv@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD êê Simplify

Out[18]= 0


Fazendo-se r - r0 igual a v, podemos escrever

In[27]:= H∗ Divergente da função dada ∗Lf@v_, θ_, φ_D := 81êv2 , 0, 0<Div@f@v, θ, φD, Spherical@v, θ, φDD êê Simplify

Out[28]= 0

6.6 Integração de diferenciais exatas

Diz-se que a forma diferencial

L d x + M d y + N d z = F”÷÷ (P) . dP

onde F”÷÷ = L i + M j + N k e dP = d x i + d y i + d x i ,

é exata se existe uma função U(x, y, z) tal que

∑UÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x = L , ∑UÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑y = M , ∑UÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑z = N ,

ou seja,

d U = L d x + M d y + N d z

O teorema a seguir é fundamental sobre forma diferencial exata.

Teorema. Se L, M e N são funções contínuas numa região R, então as seguintes condições são iquivalentes:

1) a forma diferencial L d x + M d y + N d z é exata.

2) a integral da forma L d x + M d y + N d z ao longo de qualquer caminho C indo do ponto A até oponto B só depende dos pontos A e B e não do caminho C.

3) a integral da forma L d x + M d y + N d z ao longo de qualquer caminho fechado C contido em R ézero.

Satisfeita qualquer dessas condições, existe uma função U(x, y, z) tal que

ŸA

B

F”÷÷ (P) . dP = ŸA

B

F”÷÷ (P) . t ds = U(B) - U(A).


Se um campo vetorial F”÷÷ deriva de um potencial U, esse potencial é determinado a menos de uma constantearbitrária. Ademais,

F”÷÷ = grad U = “ U = ∑UÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x i + ∑UÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑y j

EXEMPLO 1. O campo vetorial F”÷÷ = x i + y j é de fácil visualização com o Mathematica.

<<Graphics`PlotField` carrega o pacote que traça gráficos de campos vetoriais bidimensionais.

In[29]:= << Graphics`PlotField`

PlotVectorField[f, {x, x0, x1}, {y, y0, y1}, options] traça o gráfico do campo vetorial bidimensiona f.

In[131]:= H∗ Gráfico do campo vetorial da função dada ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := 8x, y<PlotVectorField@f@x, yD, 8x, −2, 2<,8y, −2, 2<, ScaleFactor → .5, Frame → TrueD;

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

EXEMPLO 2. O análogo do campo vetorial anterior no espaço é o campo F”÷÷ = x i + y j + z k que pode também ser facilmente visualizado o Mathematica como campo de vetores radiais.

<<Graphics`PlotField3D` carrega o pacote que traça gráficos de campos vetoriais tridimensionais.

In[194]:= << Graphics`PlotField3D`

PlotVectorField3D[f, {x, x0, x1}, {y, y0, y1}, options] traça o gráfico do campo vetorial tridimensiona f.


In[231]:= H∗ Gráfico do campo vetorial da função dada ∗LClear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := 8x, y, z<PlotVectorField3D@f@x, y, zD, 8x, −2, 2<,8y, −2, 2<, 8z, −2, 2<, PlotPoints → 5, VectorHeads → TrueD;

EXEMPLO 2. A diferencial H3 x2 + 2 x yL d x + Hx2 + 3 y2L d y é exata para todo ponto (x, y).

In[355]:= Clear@x, y, fD;f@x_, y_D := 83 x2 + 2 x y, x2 + 3 y2<

In[358]:= H∗ Mostra que a forma diferencial é exata ∗LD@f@x, yD@@1DD, yD − D@f@x, yD@@2DD, xD

Out[358]= 0

In[412]:= H∗ Calcula o potencial ∗LClear@x, y, w, potUD;w@x_, y_D := Integrate@f@u, yD@@1DD, 8u, 0, x<DpotU@x_, y_D :=

w@x, yD + Integrate@f@x, vD@@2DD − D@w@x, vD, vD, 8v, 0, y<D + cpotU@x, yD

Out[415]= c + y3 + x2 Hx + yL

In[410]:= H∗ Verifica que ∂Uê∂x = L ∗LD@potU@x, yD, xD êê Simplify

Out[410]= x H3 x + 2 yL

In[411]:= H∗ Verifica que ∂Uê∂y = M ∗LD@potU@x, yD, yD êê Simplify

Out[411]= x2 + 3 y2


Exercícios

Nos Exercícios 9 a 24, verifique se a forma diferencial dada é xatae, em caso afirmativo, encontre a função potencial U da qual ela deriva.

9. y d x + x d y

In[416]:= H∗ Gráfico do campo vetorial da função dada ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := 8y, x<PlotVectorField@f@x, yD, 8x, −2, 2<,8y, −2, 2<, ScaleFactor → .5, Frame → TrueD;

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


Out[46]= 0

In[419]:= H∗ Calcula o potencial U Hx, yL ∗LClear@x, y, w, potUD;w@x_, y_D := Integrate@f@u, yD@@1DD, 8u, 0, x<DpotU@x_, y_D :=


Out[422]= c + x y


Out[423]= y



Out[424]= x

10. x d x + y d y


-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


Out[56]= 0



Out[431]= c +x2

2+y2

2


Out[432]= x


Out[433]= y

11. x d x - y d y


In[434]:= H∗ Gráfico do campo vetorial da função dada ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := 8x, −y<PlotVectorField@f@x, yD, 8x, −2, 2<,8y, −2, 2<, ScaleFactor → .5, Frame → TrueD;

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2


Out[53]= 0



Out[440]= c +x2

2−y2

2


Out[441]= x


Out[442]= −y

12. 3 Hx2 d x - y2L d y


In[452]:= H∗ Gráfico do campo vetorial da função dada ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := 3 8x2, − y2<PlotVectorField@f@x, yD, 8x, −2, 2<,8y, −2, 2<, ScaleFactor → .5, Frame → TrueD;

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


Out[59]= 0



Out[458]= c + x3 − y3


Out[459]= 3 x2


Out[460]= −3 y2

13. H2 x - 3 yL d x + H 2 y - 3 xL d y


In[461]:= H∗ Gráfico do campo vetorial da função dada ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := 82 x − 3 y, 2 y − 3 x<PlotVectorField@f@x, yD, 8x, −2, 2<,8y, −2, 2<, ScaleFactor → .5, Frame → TrueD;

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


Out[62]= 0



Out[467]= c + x Hx − 3 yL + y2


Out[468]= 2 x − 3 y


Out[469]= −3 x + 2 y

14. Hy2 - 2 x yL d x + H 2 y - 3 xL d y


In[470]:= H∗ Gráfico do campo vetorial da função dada ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := 8y2 − 2 x y , 2 x y − x2<PlotVectorField@f@x, yD, 8x, −2, 2<,8y, −2, 2<, ScaleFactor → .5, Frame → TrueD;

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


Out[325]= 0



Out[476]= c + x y H−x + yL


Out[477]= y H−2 x + yL


Out[478]= −x Hx − 2 yL

15. Hy2 - 3 x L d x + H 2 xy + cos yL d y


In[479]:= H∗ Gráfico do campo vetorial da função dada ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := 8y2 − 3 x , 2 x y + Cos@yD<PlotVectorField@f@x, yD, 8x, −2, 2<,8y, −2, 2<, ScaleFactor → .5, Frame → TrueD;

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


Out[68]= 0



Out[485]= c −3 x2

2+ x y2 + Sin@yD


Out[486]= −3 x + y2


Out[487]= 2 x y + Cos@yD

16. Hx2 y + 3 y2L d x - H x3 - 3 y2L d y


In[488]:= H∗ Gráfico do campo vetorial da função dada ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := 8x2 y + 3 y2 , −x3 + 3 y2<PlotVectorField@f@x, yD, 8x, −2, 2<,8y, −2, 2<, ScaleFactor → .5, Frame → TrueD;

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2


Out[74]= 4 x2 + 6 y

A forma diferencial dada nãi é exata.

17. Hcos x y L Hy d x + x d yL

In[491]:= H∗ Gráfico do campo vetorial da função dada ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Cos@x yD 8y, x<PlotVectorField@f@x, yD, 8x, −2, 2<,8y, −2, 2<, ScaleFactor → .5, Frame → TrueD;

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


Out[77]= 0




Out[497]= c + Sin@x yD


Out[498]= y Cos@x yD


Out[499]= x Cos@x yD

18. H‰ x y Hy d x + x d yL

In[500]:= H∗ Gráfico do campo vetorial da função dada ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Exp@x yD 8y, x<PlotVectorField@f@x, yD, 8x, −2, 2<,8y, −2, 2<, ScaleFactor → .5, Frame → TrueD;

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


Out[80]= 0



Out[506]= −1 + c + x y



Out[507]= x y y


Out[508]= x y x

19. ‰x yHsen y d x + sen x d yL

In[182]:= H∗ Gráfico do campo vetorial da função dada ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := Exp@x yD 8Sin@yD, Sin@xD<PlotVectorField@f@x, yD, 8x, −2, 2<,8y, −2, 2<, ScaleFactor → .5, Frame → TrueD;

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

In[84]:= H∗ Mostra que a forma diferencial é exata ∗LD@f@x, yD@@1DD, yD − D@f@x, yD@@2DD, xD êê Simplify

Out[84]= x y H−Cos@xD + Cos@yD − y Sin@xD + x Sin@yDL

20. H 4 x3 - 6 x y3L d x + H2 y - 9 x2 y2L d y

A forma diferencial dada não é exata.


In[509]:= H∗ Gráfico do campo vetorial da função dada ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := 84 x3 − 6 x y3, 2 y − 9 x2 y2<PlotVectorField@f@x, yD, 8x, −2, 2<,8y, −2, 2<, ScaleFactor → .5, Frame → TrueD;

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


Out[87]= 0



Out[515]= c + x4 + y2 − 3 x2 y3


Out[516]= 4 x3 − 6 x y3


Out[517]= y H2 − 9 x2 yL

21. H‰x cos y + 2 yL d x + H‰x sen y - 2 xL d y


In[518]:= H∗ Gráfico do campo vetorial da função dada ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := 8Exp@xD Cos@yD + 2 y, −Exp@xD Sin@yD + 2 x<PlotVectorField@f@x, yD, 8x, −2, 2<,8y, −2, 2<, ScaleFactor → .5, Frame → TrueD;

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


Out[90]= 0


w@x, yD + Integrate@f@x, vD@@2DD − D@w@x, vD, vD, 8v, 0, y<D + cpotU@x, yD êê Simplify

Out[528]= −1 + c + 2 x y + x Cos@yD


Out[529]= 2 y + x Cos@yD


Out[530]= 2 x − x Sin@yD

24. 3 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 Hx d x + y d yL


In[531]:= H∗ Gráfico do campo vetorial da função dada ∗LClear@x, y, fD;

f@x_, y_D := 3 è!!!!!!!!!!!!!!!!!

x2 + y2 8x, y<PlotVectorField@f@x, yD, 8x, −2, 2<,8y, −2, 2<, ScaleFactor → .5, Frame → TrueD;

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


Out[93]= 0

In[551]:= H∗ O potencial U ∗LpotU@x_, y_D := Hx2 + y2L3ê2


Out[552]= 3 x è!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2


Out[553]= 3 y è!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2

Usando o cálculo do exercício anterior, identifique os potenciais das formas ou camps dados nos Exercícios 26 a 28.

26. F”÷÷ = 6 Hx2 + y2L Hx i + y jL

In[561]:= H∗ O potencial U ∗LpotU@x_, y_D := Hx2 + y2L3


Out[562]= 6 x Hx2 + y2L2


Out[563]= 6 y Hx2 + y2L2


O potencial U(x, y) = Hx2 + y2L3

27. F”÷÷ = 5 Hx2 + y2L3ê2 Hx i + y jL



Out[565]= 5 x Hx2 + y2L3ê2


Out[566]= 5 y Hx2 + y2L3ê2

O potencial U(x, y) = Hx2 + y2L5ê2

28. d U = Hx d x + y d yL ë Hx2 + y2L2ê3

In[580]:= H∗ O potencial U ∗LpotU@x_, y_D := 3ê2 Hx2 + y2L1ê3


Out[581]=x

Hx2 + y2L2ê3


Out[579]=y

Hx2 + y2L2ê3

O potencial U(x, y) = 3ê2 Hx2 + y2L1ê3


CAPÍTULO 7

Teoremas da Divergência e de StokesIniciar o MathKernel

In[1]:= 2 + 2

Out[1]= 4

7.1 Integrais de superfícies

Um arco de curva ou caminho no espaço é uma aplicação de I Õ em 3 especificada por três equaçõesparamétricas

x = x HtL, y = y HtL, z = z HtL.Um arco C(t) = x HtL i + y HtL j + z HtL k é contínuo se as funções paramétricas forem contínuas.

Um arco é dito liso ou regular se C ' (t) = x ' HtL i + y ' HtL j + z ' HtL k ∫ 0. Um arco é seccionalmente regular sesuas funções paramétricas forem contínuas no intervalo de definição, porém cujas derivadas sejam seccionalmentecontínuas nesse intervalo.

A representação paramétrica de um arco C(t), a § t § b ordena os pontos de C de acordo com os valorescrescentes de t, de sorte que C é um conjunto ordenado ou orientado. A orientação é direta ou positiva quando tcresce de a a b, a orientação é oposta ou negativa quando t decresce de b a a. Os pontos C(a) e C(b) são chamadosa origem e a extremidade de C, respectivamente. Diz-se que um arco é simples quando t1 ∫ t2 fl CHt1L ∫ CHt2L .Diz-se que o arco é fechado quando suas extremidades são coincidentes: C(a) = C(b). O arco é fechado simples setodos os seus pontos, à exceção das extremidades, forem simples. Um arco fechado simples é chamado decontorno.

Um conjunto aberto é todo conjunto cujos pontos são interiores, nenhum deles pertencem à sua fronteira. Diz-seque um conjunto aberto é conexo se quaisquer dois de seus pontos podem ser ligados por uma linha poligonal todacontida no conjunto.

Chamanos região a todo conjunto aberto e conexo. É comum indicar a fronteira de um conjunto qualquer A com osímpolo ∑A. Dada um região R, chamamos região fechada Rêêê ao conjunto R ‹ ∑R, que se obtém juntando-se a Ros pontos de sua fronteira.

Uma região R é simplesmente conexa se qualquer curva (arco, caminho) fechada em R pode ser deformada comcontinuidade até reduzir-se a um ponto sem sair de R.

Exercícios

Identifique os arcos nos Exercícios 1 a 12, faça gráficosa e indique suas orientações

1. P(t) = t i + H1 - tL j , 0 § t § 1

In[228]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := 1 − tParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, 0, 1<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2. P(t) = 2 t i + t2 j , -1 § t § 0

In[232]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := 2 ty@t_D := t2


-2 -1.5 -1 -0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

3. P(t) = Ht2 + 1L i + 3 t j , -1 § t § 1


In[236]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := t2 + 1y@t_D := −3 tParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, −1, 1<D;

1.2 1.4 1.6 1.8 2

-3

-2

-1

1

2

3

4. P(t) = t i + 2 t j + H1 - tL k , 0 § t § 2

In[240]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := ty@t_D := 2 tz@t_D := 1 − tParametricPlot3D@8x@tD, y@tD, z@tD<, 8t, 0, 2<D;

00.5

11.5

2

0

1

2

3

4

-1

-0.5

0

0.5

1

00.5

11 5

1

2

3

4

5. P(t) = cos t i + sen t j + t k , 0 § t § 2p


In[245]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := Cos@tDy@t_D := Sin@tDz@t_D := tParametricPlot3D@8x@tD, y@tD, z@tD<, 8t, 0, 2 π<D;

-1-0.50 0.5 1

-1-0.5

00.5

1

0

2

4

6

500.5

1

6. P(t) = sen t i - cos t j - 2 t k , 0 § t § p


In[250]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := Sin@tDy@t_D := −Cos@tDz@t_D := −2 tParametricPlot3D@8x@tD, y@tD, z@tD<, 8t, 0, π<D;

00.250.50.751

-1-0.500.51

-6

-4

-2

0

7. P(t) = 1 ê t i + t j , 1 § t § ¶

In[253]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := 1êty@t_D := tParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, 0, 70<, PlotRange → 80, 10<D;

0.5 1 1.5 2 2.5 3

2

4

6

8

10

8. P(t) = t i + 2 ê t j , ¶ § t § 0


In[269]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := 2êtParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, 0, 2<, PlotRange → 80, 40<D;

0.5 1 1.5 2

510152025303540

9. P(t) = t i +è!!!!!!!!!!!!!!!1 - t2 j , -1 § t § 1


y@t_D :=è!!!!!!!!!!!!!!!!

1 − t2


-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

10. P(t) = t i -è!!!!!!!!!!!!!!!1 - t2 j , -1 § t § 1


y@t_D := −è!!!!!!!!!!!!!!!!

1 − t2


-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2


11. P(t) = è!!!!!!!!!!!!!!!1 - t2 i + t j , -1 § t § 1

In[271]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, tD;

x@t_D :=è!!!!!!!!!!!!!!!!

1 − t2

y@t_D := tParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, −1, 1<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.5

0.5

1

12. P(t) = -cos i + sen t j , 0 § t § p/2;

P(t) = Ht - p ê 2L j , p/2 § t § 1 + p/2;

P(t) = Ht - 1 - p ê 2L i + (2 - t + p/2) j , 1+p/2 § t § 2 + p/2;

In[179]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := − Cos@tD ê; 0 ≤ t ≤ π ê2y@t_D := Sin@tD ê; 0 ≤ t ≤ π ê2x@t_D := 0 ê; π ê2 ≤ t ≤ 1 + π ê2y@t_D := t − π ê2 ê; π ê2 ≤ t ≤ 1 + π ê2x@t_D := t − 1 − π ê2 ê; 1 + π ê2 ≤ t ≤ 2 + π ê2y@t_D := 2 − t + π ê2 ê; 1 + π ê2 ≤ t ≤ 2 + π ê2ParametricPlot@8x@tD, y@tD<,8t, 0, 2 + π ê2<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

11. P(t) = t i + t 3 j + sen 1 ê t k , 0 < t § 1


In[280]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := t3

z@tD := Sin@1êtDParametricPlot3D@8x@tD, y@tD, z@tD<, 8t, 0, 1<D;

0 0.250.50.75 1

00.25

0.50.75

1

-2

-1.5

-1

-0.5

000.25

0.50.75


Out[209]= 1

Out[210]= 0

O arco dado é regular.

11. P(t) = t i + t 2 sen 1 ê t j , 0 < t § 1

In[309]:= H∗ O gráfico do arco P HtL ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := t2 Sin@1êtDParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, 0, 1<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-0.04-0.02

0.020.040.060.08



Out[203]= 1

Out[204]= Interval@8−1, 1<D

O arco dado não é regular em t = 0..

6.2 Integral de linha de primeira espécie.

Sejam C (s) = (x(s), y(s), z(s)) um arco de curva e s o comprimento, ao longo de C, contando positivamente a partirde uma de suas extremidades. Os pontos (x, y, z) desse arco são, então, caracterizados pelo parâmetro s, que variade 0 a L, onde L é o comprimento total de C.

Seja f (C) uma função contínua definida nos pontos de C. A integral

Ÿ0

L

f (C (s)) ds

é chamada integral de linha de primeira espécie de f sobre C..

Em virtude de d s = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!d x2 + d y2 + d z2 podemos reescrever a integral de linha de primeira espécie na seguinteforma

Ÿa

b

f (x (t), y(t), z(t)) "###############################################################Hx ' HtLL2 + Hy ' HtL L2 + Hz' HtLL2 d t

onde C (t) = (x(t), y(t), z(t)) , a § t § b , é uma nova parametrização do arco C. Do ponto de vista computacio-nal esta fórmula é muito mais simples que a anterior.

EXEMPLO 1. Vamos calcular a integral da função f Hx, yL = x sobre o contorno fechado 0AB0, formado pelas retas x = 0, y = 1 e a parábola y = x2, x ¥ 0.


In[32]:= H∗ Gráfico do contorno C ∗Lp1 = Plot@x2, 8x, 0, 1<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,

Epilog → 8Text@"A", 8.9, .92<D, Text@"B", 8.06, .92<D<,DisplayFunction → IdentityD;

p2 = ListPlot@880, 0<, 80, 1<, 81, 1<<, PlotJoined → True,PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityD;


0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1AB

In[299]:= H∗ Integral no trecho 0 B ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := 0y@t_D := t

int0B = IntegrateAx@tD "######################################x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 0, 1<E

Out[302]= 0

In[307]:= H∗ Integral no trecho BA ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := 1

intBA = IntegrateAx@tD "######################################x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 0, 1<E

Out[310]=12

In[317]:= H∗ Integral no trecho A0 ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := t2

intA0 = IntegrateAx@tD "######################################x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 0, 1<E

Out[320]=112

I−1 + 5 è!!!5 M

In[321]:= int0B + intBA + intA0 êê Simplify

Out[321]=512

I1 +è!!!5 M


Exercícios

Calcule as integrais indicadas nos Exercícios 1 a 10.

1. ŸC

Hx - yL ds, onde C é o contorno do trângulo de vértices (0, 0), (1, 2) e (2, 1).

In[48]:= H∗ Gráfico do contorno C ∗LListPlot@880, 0<, 81, 2<, 82, 1<, 80, 0<<,

PlotJoined → True, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, Epilog →

8Text@"A", 8.2, .2<D, Text@"B", 81.05, 1.8<D, Text@"C", 81.85, 1<D<D;

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

A

B

C

In[217]:= H∗ Integral no trecho AB ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := 2 t

intAB = IntegrateAHx@tD − y@tDL "######################################

x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 0, 1<E

Out[220]= −è!!!52

In[221]:= H∗ Integral no trecho BC ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := − t + 3

intBC = IntegrateAHx@tD − y@tDL "######################################

x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 1, 2<EOut[224]= 0


In[234]:= H∗ Integral no trecho CA ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := tê2

intCA = IntegrateAHx@tD − y@tDL "######################################

x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 0, 2<E

Out[237]=è!!!52

In[238]:= intAB + intBC + intCA

Out[238]= 0

3. ŸC

x y ds, onde C é o quadrado | x | + | y | = 1.

In[87]:= H∗ Gráfico do contorno C ∗LListPlot@88−1, 0<, 80, 1<, 81, 0<, 80, −1<, 8−1, 0<<,

PlotJoined → True, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,Epilog → 8Text@"A", 8.1, 1<D, Text@"B", 81, .1<D,

Text@"C", 8.1, −1<D, Text@"D", 8−1, .1<D<,AspectRatio → AutomaticD;

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1 A

B

C

D

In[200]:= H∗ Integral no trecho AB ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := −t + 1

intAB = IntegrateAx@tD y@tD "######################################

x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 0, 1<E

Out[203]=1

3 è!!!2


In[204]:= H∗ Integral no trecho BC ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := t − 1

intBC = IntegrateAx@tD y@tD "######################################x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 1, 0<E

Out[207]=1

3 è!!!2

In[208]:= H∗ Integral no trecho CD ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := −t − 1

intCD = IntegrateA x@tD y@tD "######################################

x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 0, −1<E

Out[211]= −1

3 è!!!2

In[212]:= H∗ Integral no trecho DA ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := t + 1

intDA = IntegrateAx@tD y@tD "######################################

x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, −1, 0<E

Out[215]= −1

3 è!!!2

In[216]:= intAB + intBC + intCD + intDA

Out[216]= 0

5. ŸC

x ds, onde C é o arco C (t) = Ht, t2L , 0 § t § 1


0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1



IntegrateAx@tD "#####################################

x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 0, 1<E

Out[242]=112

I−1 + 5 è!!!5 M

7. ŸC

x ds, onde C é o arco C (t) = Hq, q sen q, q cos qL , 0 § q § a

In[131]:= H∗ Gráfico do contorno C ∗LParametricPlot3D@8θ, θ Sin@θD, θ Cos@θD<, 8θ, 0, 4 π<D;

05

10

-10

-5

0

5

-10

-5

0

5

10

05

10

-10

-5

0

5

In[243]:= x@θ_D := θ

y@θ_D := θ Sin@θDz@θ_D := θ Cos@θD

IntegrateAx@θD "###########################################################x'@θD2 + y'@θD2 + z'@θD2 , 8θ, 0, a<E

Out[246]=13I−2 è!!!2 + H2 + a2L3ê2M

9. ŸC

y coa z ds, onde C é o arco C (t) = Ht, t2L , 0 § t § 1



0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1


IntegrateAy@tD "#####################################

x'@tD2 + y'@tD2 , 8t, 0, 1<E

Out[286]=164

I18 è!!!5 − ArcSinh@2DM

6.2 Integral de linha das formas diferenciais

Sejam L (x, y, z), M (x, y, z), N (x, y, z) funções definidas e contínuas numa região R do espaço e seja C um arcoregular, todo contido em R, com representação paramétrica

C (t) = (x (t), y (t), z (t)), a § t § b.

Vamos definir a integral de linha da expressão

L dx + M dy + N dz

ao longo do arco C , como sendo

Ÿa

b

[L (x (t), y(t), z(t)) x' (t) + M (x (t), y(t), z(t)) y' (t) + N (x (t), y(t), z(t)) z' (t)] dt

A expressão

L dx + M dy + N dz

é chamada forma diferencial. Ela pode ser interpretada como produto escalar do vetor F”÷÷ = L i + M j + N k como vetor \

d P”÷÷ = d x i + d y j + d z k. Então, a integral de linha ao logo do arco C toma a forma

ŸC

F”÷÷ (x, y, z) . d P”÷÷


Como d P”÷÷ = t ds, onde o vetor unitário t é paralelo à tangente ao arco no ponto (x, y, z), podemos reescrever aintegral de linha da seguinte maneira

ŸC

F”÷÷ (x, y, z) . t ds


y d x - x d y + z d z


In[324]:= H∗ Gráfico do contorno C ∗LParametricPlot3D@8Cos@tD, Sin@tD, t<, 8t, 0, π ê2<D;

00.25

0.50.75

1

00.25

0.50.75

1

0

0.5

1

1.5

00.25

0.50.75

In[325]:= H∗ Integral no caminho C ∗Lx@t_D := Cos@tDy@t_D := Sin@tDz@t_D := tIntegrate@y@tD x'@tD − x@tD y'@tD + z@tD z'@tD, 8t, 0, π ê2<D

Out[328]=18H−4 + πL π


x z d z



In[333]:= H∗ Integral no caminho C ∗Lx@t_D := Cos@tDy@t_D := Sin@tDz@t_D := tIntegrate@x@tD y@tD z'@tD, 8t, 0, π ê2<D

Out[336]=12

EXEMPLO 3. Consideremos a forma

x y d x + y2 d y,

que será integrada ao logo dos arcos C e C ',

C : y = x2 , 0 § x § 1,

C ': x = y2 , 0 § y § 1.


è!!!!x =, 8x, 0, 1<,



0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

C

â

C'

â

In[2]:= H∗ Integral no caminho C ∗Lx@t_D := ty@t_D := t2

Integrate@x@tD y@tD x'@tD + y@tD2 y'@tD, 8t, 0, 1<D

Out[4]=712

In[5]:= H∗ Integral no caminho C' ∗Lx@t_D := t2

y@t_D := tIntegrate@x@tD y@tD x'@tD + y@tD2 y'@tD, 8t, 0, 1<D

Out[7]=1115


EXEMPLO 4. A integral da forma

y x d x - x z d y + x y z d z ,

ao logo do polígono P1 P2 P3 P4 onde,

P1 = H1, 1, 1L , P2 = H2, 1, 1L, P3 = H2, 2, 1L, P4 = H2, 2, 2L.


è!!!!x =, 8x, 0, 1<,



0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

C

â

C'

â

In[34]:= H∗ Integral no caminho P1 P2 ∗Lx@t_D := ty@t_D := 1z@t_D := 1intP1P2 =


Out[37]=32

In[38]:= H∗ Integral no caminho P2 P3 ∗Lx@t_D := 1y@t_D := tz@t_D := 1intP2P3 =

Integrate@y@tD x@tD x'@tD − x@tD z@tD y'@tD + x@tD y@tD z@tD z'@tD, 8t, 1, 2<DOut[41]= −1


In[42]:= H∗ Integral no caminho P3 P4 ∗Lx@t_D := 1y@t_D := 1z@t_D := tintP3P4 =


Out[45]=32

In[46]:= H∗ Integral no arco C total ∗LintP1P2 + intP2P3 + intP3P4

Out[46]= 2

Exercícios

Calcule as integrais indicadas nos Exercícios 1 a 11. Faça gráficos dos caminhos de intrgração em cada caso, sempre que possível.

1. ŸC

x y d x - d y, onde C é o arco y = x2, 0 § x § 1.

In[110]:= H∗ Gráfico do caminho C ∗LParametricPlot@8t, t2<, 8t, 0, 1<,


0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

â

In[51]:= H∗ Integral no trecho AB ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := t2

Integrate@x@tD y@tD x'@tD − y'@tD, 8t, 1, 2<D

Out[54]=34

2. ŸC

x y d x - d y, onde C é o arco x = y2, 0 § y § 1.


In[114]:= H∗ Gráfico do caminho C ∗LParametricPlot@8t2, t<, 8t, 0, 1<,


0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

â

In[56]:= H∗ Integral no trecho AB ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := t2

y@t_D := tIntegrate@x@tD y@tD x'@tD − y'@tD, 8t, 1, 2<D

Out[59]=575

3. ŸC

x y d x - d y, onde C é o segmento 0 § x § 1, y = 0, seguido do segmento x = 1, 0 § y § 1,

In[99]:= H∗ Gráfico do caminho C ∗LListPlot@880, 0<, 81, 0<, 81, 1<<,

PlotJoined → True, PlotRange → 88−.1, 1.1<, 8−.1, 1.1<<,Epilog → 8Text@"z", 8.5, .07<D, Text@"↑", 81.05, .45<D<,PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z

↑

In[79]:= H∗ Integral no trecho 0 ≤ x ≤ 1, y = 0 ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := 0int1 = Integrate@x@tD y@tD x'@tD − y'@tD, 8t, 0, 1<D

Out[82]= 0


In[74]:= H∗ Integral no trecho x = 1, 0 ≤ y ≤ 1 ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := 1y@t_D := tint2 = Integrate@x@tD y@tD x'@tD − y'@tD, 8t, 0, 1<D

Out[77]= −1


Out[83]= −1

5. ŸC

x2 y d x + y d y, onde C é o segmento x = 1/2, y = 1 a y = 1/2 seguido do segmento y = 1/2, x =1/2 a x =1,



0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

↓

z

In[122]:= H∗ Integral no trecho 0 ≤ x ≤ 1, y = 0 ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := 1ê2y@t_D := tint1 = Integrate@x@tD2 y@tD x'@tD + y@tD y'@tD, 8t, 1, 1ê2<D

Out[125]= −38

In[126]:= H∗ Integral no trecho x = 1, 0 ≤ y ≤ 1 ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := 1ê2int2 = Integrate@x@tD2 y@tD x'@tD + y@tD y'@tD, 8t, 1ê2, 1<D

Out[129]=748


Out[130]= −1148

7. ŸC

sen y d x - cos y d y + z d z, onde C é o arco Ht2, -2 t, sen tL , 0 § t § p/2.




0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

↓

z

In[136]:= H∗ Integral no trecho 0 ≤ x ≤ 1, y = 0 ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := t2

y@t_D := −2 tz@t_D := − Sin@tDint1 =

Integrate@Sin@y@tDD x'@tD − Cos@ y@tDD y'@tD + z@tD z'@tD, 8t, 0, π ê2<D

Out[140]=1 − π2

9. ŸC

2 x d y - y d x + z d z, onde C é o arco da hélice Hcos t, sen t, tL , 0 § t § 2p.

In[293]:= H∗ Gráfico do contorno C ∗LParametricPlot3D@8Cos@tD, Sin@tD, t<, 8t, 0, 2 π<D;

-1-0.50 0.5 1

-1-0.5

00.5

1

0

2

4

6

500.5

1


In[141]:= H∗ Integral no arco C ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := Cos@tDy@t_D := Sin@tDz@t_D := tint1 = Integrate@−y@tD x'@tD + 2 x@tD y'@tD + z@tD z'@tD, 8t, 0, 2 π<D

Out[145]= π H3 + 2 πL

11. ŸC

y z d x + x z d x + x y d z, onde A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1).

In[158]:= H∗ Integral no trecho AB ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := ty@t_D := −t + 1z@t_D := 0int1 =


In[163]:= H∗ Integral no trecho BC ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := 0y@t_D := tz@t_D := −t + 1int2 =


In[168]:= H∗ Integral no arco C completo ∗Lint1 + int2

Out[168]= 0

12. ŸC

y d x - x d y, ao longo do semicírculo (cos q, sen q), 0 § q § p.

In[169]:= H∗ Integral no arco C ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := Cos@tDy@t_D := Sin@tDIntegrate@y@tD x'@tD − x@tD y'@tD , 8t, 0, π<D

Out[172]= −π

13. ŸC

y d x - x d y, ao longo do semicírculo parametrizado por y = è!!!!!!!!!!!!!!!1 - x2 , -1 § x § 1.



y@t_D :=è!!!!!!!!!!!!!!!

1 − t2

Integrate@y@tD x'@tD − x@tD y'@tD , 8t, 1, −1<DOut[180]= −π

Nos Exercícios 15 a 18 calcule o trabalho da força F”÷÷ dada ao longo do deslocamento dado.

15. F”÷÷ = j / H1 + x2L ; C é o arco de parábola y = x2 + 1, de x = 0 a x = 1.



0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.250.50.75

11.251.51.75

2

â

In[184]:= H∗ Integral no arco C ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := 1 + t2

Integrate@ 1êH1 + x@tD2L y'@tD , 8t, 0, 1<DOut[187]= Log@2D

16. F”÷÷ = j / H1 - x2L ; C é o arco de parábola y = - è!!!!!!!!!!!!!!!1 - x2 , de x = 0 a x = 1 ê 2.



0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.250.50.75

11.251.51.75

2

â



y@t_D := −è!!!!!!!!!!!!!!

1 − t2

Integrate@ 1êH1 − x@tD2L y'@tD , 8t, 0, 1ê2<D

Out[191]= −1 +2è!!!3

17. F”÷÷ = y i + z j + x k ; C é o arco de hélice (cos q, sen q, -q ), 0 § q § 2p

In[289]:= H∗ Gráfico do contorno C ∗LParametricPlot3D@8Cos@θD, Sin@θD, −θ<, 8θ, 0, 2 π<D;

-1-0.50 0.5 1

-1-0.5

00.5

1

-6

-4

-2

0500.5

1

In[192]:= H∗ Integral no arco C ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := Cos@tDy@t_D := Sin@tDz@t_D := −tIntegrate@ y@tD x'@tD + z@tD y'@tD + x@tD z'@tD, 8t, 0, 2 π<D

Out[196]= −π

Nos Exercícios 19 a 22 calcule o trabalho da força F”÷÷ dada ao longo de dois caminhos.

a) C1 é o arco (t, t3, t5 ), 0 § t § 1;

b) C2 é poligonal 0 P1 P2 P3, onde 0 = (0, 0, 0), P1 = (1, 0, 0), P2 = (1, 1, 0), P3 = (1, 1, 1).

19. F”÷÷ = x i + y j + z k


In[296]:= H∗ Gráfico do caminho C1 ∗LParametricPlot3D@88t, 0, 0<, 81, t, 0<, 81, 1, t<, 8t, t3, t5<<, 8t, 0, 1<D;

00.25

0.50.75

1

00.25

0.50.75

1

0

0.25

0.5

0.75

1

00.25

0.50.75

00.25

0.50.75


z@t_D := t5

Integrate@ x@tD x'@tD + y@tD y'@tD + z@tD z'@tD, 8t, 0, 1<D

Out[201]=32

In[202]:= H∗ Integral no trecho 0 P1 do caminho C2 ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := ty@t_D := 0z@t_D := 0int0P1 = Integrate@ x@tD x'@tD + y@tD y'@tD + z@tD z'@tD, 8t, 0, 1<D

Out[206]=12

In[207]:= H∗ Integral no trecho P1 P2 do caminho C2 ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := 1y@t_D := tz@t_D := 0intP1P2 = Integrate@ x@tD x'@tD + y@tD y'@tD + z@tD z'@tD, 8t, 0, 1<D

Out[211]=12


In[212]:= H∗ Integral no trecho P2 P3 do caminho C2 ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := 1y@t_D := 1z@t_D := tintP2P3 = Integrate@ x@tD x'@tD + y@tD y'@tD + z@tD z'@tD, 8t, 0, 1<D

Out[216]=12


Out[217]=32

20. F”÷÷ = è!!!z i - x j


z@t_D := t5

IntegrateA è!!!!!!!!!!!z@tD x'@tD − x@tD y'@tD , 8t, 0, 1<E

Out[222]= −1328


int0P1 = IntegrateA è!!!!!!!!!!!z@tD x'@tD − x@tD y'@tD , 8t, 0, 1<E

Out[227]= 0



Out[232]= −1



Out[237]= 0



Out[238]= −1

21. F”÷÷ = z i - è!!!x k


z@t_D := t5

IntegrateA z@tD x'@tD −è!!!!!!!!!!!

x@tD z'@tD , 8t, 0, 1<E

Out[248]= −4966


int0P1 = IntegrateA z@tD x'@tD −è!!!!!!!!!!!

x@tD z'@tD , 8t, 0, 1<EOut[253]= 0



x@tD z'@tD , 8t, 0, 1<EOut[258]= 0



x@tD z'@tD , 8t, 0, 1<EOut[263]= −1


Out[264]= −1

22. F”÷÷ = y j + z k



z@t_D := t5

Integrate@ y@tD y'@tD + z@tD z'@tD , 8t, 0, 1<DOut[269]= 1

In[270]:= H∗ Integral no trecho 0 P1 do caminho C2 ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := ty@t_D := 0z@t_D := 0int0P1 = Integrate@ y@tD y'@tD + z@tD z'@tD , 8t, 0, 1<D

Out[274]= 0

In[275]:= H∗ Integral no trecho P1 P2 do caminho C2 ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := 1y@t_D := tz@t_D := 0intP1P2 = Integrate@ y@tD y'@tD + z@tD z'@tD , 8t, 0, 1<D

Out[279]=12

In[280]:= H∗ Integral no trecho P2 P3 do caminho C2 ∗LClear@x, y, z, tD;x@t_D := 1y@t_D := 1z@t_D := tintP2P3 = Integrate@ y@tD y'@tD + z@tD z'@tD , 8t, 0, 1<D

Out[284]=12


Out[285]= 1


6.4 Teorema de Green no plano

Teorema de Green. Seja R uma região do plano, quesupomos simples ou que possa ser decomposta em umnúmero finito de regões simples por meio de um número finito de arcos regulares. Sejam L(x, y) e M(x, y) funçõescontínuas, com derivadas primeiras contínuas em Rêêê = R ‹ ∑R. Então

ŸR

I ∑MÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x - ∑LÅÅÅÅÅÅÅ∑y M d x d y = Ÿ∑R

L d x + M d y

EXEMPLO 1. Vamos calcular a integral da forma função LHxL + M HyL = Hy + x2 cos xL d x + H2 x - y2L d y ao longo da circunferência x2 + y2 = 1, no sentido anti-horário.

In[32]:= H∗ Gráfico do contorno C ∗L

In[321]:= H∗ Gráfico do círculo de raio 1 ∗LParametricPlot@8Cos@tD, Sin@tD<, 8t, 0, 2 π<, AspectRatio → AutomaticD;

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

In[317]:= Integrate@ Hy@tD + x@tD2 Cos@x@tDDL x'@tD , 8t, 0, 2 π<D êê Timing

Out[317]= 8148.544 Second, −π<

In[318]:= Integrate@ H2 x@tD − y@tD2 Sin@y@tDDL y'@tD , 8t, 0, 2 π<D êê Timing

Out[318]= 81.231 Second, 2 π<

In[305]:= H∗ Integral de linha do teorema de Green ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := Cos@tDy@t_D := Sin@tDIntegrate@ Hy@tD + x@tD2 Cos@x@tDDL x'@tD +

H2 x@tD − y@tD2 Sin@y@tDDL y'@tD , 8t, 0, 2 π<DOut[308]= $Aborted


In[331]:= H∗ Integral de superfície do teorema de Green ∗LIntegrate@Integrate@HD@2 x − y2 Sin@yD, xD − D@y + x2 Cos@xD, yDL r, 8r, 0, 1<D, 8θ, 0, 2 π<D

Out[331]= π

O teorema de Green pode ser usado para se obter a área de uma região R o plano. De fato, fazendo-se L = 0 e M =x, obtemos

A(R) = ŸR

d x d y = Ÿ∑R

x d y

Analogamente, fazendo-se L = -y e M = 0, encontramos

A(R) = ŸR

d x d y = - Ÿ∑R

y d x

Portanto, podemostambém escrever

A(R) = ŸR

d x d y = 1ÅÅÅÅ2 Ÿ∑R

x d y - y d x

EXEMPLO 1. Vamos calcular a área encerrada pela hipociclóide x2ê3 + y2ê3 = a2ê3.

In[313]:= H∗ Gráfico do círculo da hipociclóide ∗LParametricPlot@8Cos@tD3, Sin@tD3<, 8t, 0, 2 π<,


-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

In[341]:= H∗ Integral de linha do teorema de Green ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := a Cos@tD3

y@t_D := a Sin@tD3

1ê2 Integrate@ x@tD y'@tD − y@tD x'@tD , 8t, 0, 2 π<D

Out[344]=3 a2 π8

EXEMPLO 2. Vamos calcular a área encerrada pela elipsóide b2 x2 + a2 y2 = a2 b2.


In[314]:= H∗ Gráfico do círculo da hipociclóide ∗LClear@ θD;ParametricPlot@82 Cos@θD, Sin@θD<, 8θ, 0, 2 π<,


-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

In[358]:= H∗ Integral de linha do teorema de Green ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := a Cos@tDy@t_D := b Sin@tD1ê2 Integrate@ x@tD y'@tD − y@tD x'@tD , 8t, 0, 2 π<D

Out[361]= a b π

Exercícios

Use a fórmula de Green para calcular as integrais dadas nos Exercícios 1 a 10.

1. ŸC

x y d x + Hy2 - x2L d y, onde C é o quadrado de vértices (0, 0), (0,1), (1,0), (1,1).



0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

â


Out[412]= −32



Out[383]= 0

In[384]:= H∗ Integral no trecho H1, 0L a H1,1L ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := 1y@t_D := tint2 = Integrate@x@tD y@tD x'@tD + Hy@tD2 − x@tD2L y'@tD, 8t, 0, 1<D

Out[387]= −23


Out[400]= −12

In[401]:= H∗ Integral de linha no trecho H0, 1L a H0,0L ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := 0y@t_D := tint4 = Integrate@x@tD y@tD x'@tD + Hy@tD2 − x@tD2L y'@tD, 8t, 1, 0<D

Out[404]= −13


Out[405]= −32


Out[412]= −32

3. ŸC

x y2 d x - x2 y d y, onde C é o retângulo determinado pelas retas x = 1, x = 3, y = -1, y = 3.




0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

â


Out[413]= −64

In[414]:= H∗ Integral no trecho H1, −1L a H3, −1L ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := −1int1 = Integrate@x@tD y@tD2 x'@tD − x@tD2 y@tD y'@tD, 8t, 1, 3<D

Out[417]= 4

In[418]:= H∗ Integral no trecho H3, −1L a H3, 3L ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := 3y@t_D := tint2 = Integrate@x@tD y@tD2 x'@tD − x@tD2 y@tD y'@tD, 8t, −1, 3<D

Out[421]= −36

In[422]:= H∗ Integral no trecho H3, 3L a H1, 3L ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := 3int3 = Integrate@x@tD y@tD2 x'@tD − x@tD2 y@tD y'@tD, 8t, 3, 1<D

Out[425]= −36

In[426]:= H∗ Integral de linha no trecho H0, 1L a H0,0L ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := 1y@t_D := tint4 = Integrate@x@tD y@tD2 x'@tD − x@tD2 y@tD y'@tD, 8t, 3, −1<D

Out[429]= 4


Out[430]= −64


5. ŸC

è!!!!y d x +è!!!!x d y, onde C é o retângulo determinado pelas retas x = 1, x = 3, y = -1, y = 3.



0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

â


Out[413]= −64

In[435]:= H∗ Integral no trecho H1, −1L a H3, −1L ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := t2


è!!!!!!!!!!!x@tD y'@tD, 8t, 0, 1<E

Out[438]=1310

In[439]:= H∗ Integral no trecho H3, −1L a H3, 3L ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := ty@t_D := 1


è!!!!!!!!!!!x@tD y'@tD, 8t, 1, 0<E

Out[442]= −1

In[443]:= H∗ Integral no trecho H3, 3L a H1, 3L ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := 0y@t_D := t


è!!!!!!!!!!!x@tD y'@tD, 8t, 1, 0<E

Out[446]= 0

In[447]:= H∗ Integral de linha do teorema de Green ao longo do quadrado ∗Lint1 + int2 + int3

Out[447]=310

7. ŸC

Hx2 - y tan yL d y, onde C é a circunferência Hx - aL2 + y2 = R2 com R < p/2


In[496]:= H∗ Gráfico do caminho C ∗LParametricPlot@82 + Cos@tD, Sin@tD<,8t, 0, 2 π<, Epilog → 8Text@"â", 82.7, −0.6<D<,PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio → AutomaticD;

1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0.5

1

â


Out[413]= −64

In[456]:= H∗ Integral no trecho H1, −1L a H3, −1L ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := a + R Cos@tDy@t_D := R Sin@tDint1 = Integrate@H x@tD2 − y@tD Tan@y@tDDL y'@tD, 8t, 0, 2 π<D

Out[459]= 2 a π R2

9. ŸC

x3 d y , onde C é a circunferência x 2 + y2 = 1.

In[495]:= H∗ Gráfico do caminho C ∗LParametricPlot@8Cos@tD, Sin@tD<,8t, 0, 2 π<, Epilog → 8Text@"â", 80.7, −0.6<D<,PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio → AutomaticD;

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

â


In[474]:= H∗ Integral dupla do teorema de Green no círculo x2 + y2 < 1 ∗Lx@θ_D := Cos@θDIntegrate@Integrate@r D@x@θD3, x@θDD, 8r, 0, 1<D, 8θ, 0, 2 π<D

Out[475]=3 π2

In[484]:= H∗ Integral dupla do teorema de Green no círculo x2 + y2 < 1 ∗Lx@θ_D := Cos@θDIntegrate@Integrate@r 3 Cos@θD2, 8θ, 0, π<D, 8r, 0, 1<D

Out[485]=3 π4

In[476]:= H∗ Integral de linha do teorema de Green na circunferência x2 + y2 =

1 ∗LClear@x, y, tD;x@t_D := Cos@tDy@t_D := Sin@tDIntegrate@ x@tD3 y'@tD, 8t, 0, 2 π<D

Out[479]=3 π4

6.5 Teorema da Divergência e Fórmula de Green no plano

O divergente de um vetor F”÷÷ = L i + M j , indicado com os símbolos div F”÷÷ e “ . F”÷÷ é o escalar

div F”÷÷ = “ . F”÷÷ = ∑LÅÅÅÅÅÅÅ∑x + ∑MÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑y

<<Calculus`VectorAnalysis` carrega o pacote de análise vetorial

In[8]:= << Calculus`VectorAnalysis`

Div[f, coordsys] calcula o divergente da função vetorial f no sistema de coordenadas coordsys(Carte-sian, Cylindrical, Spherical)

Teorema da Divergência. Sejam R uma região que possa ser dividida em um número finito de regiões simples esejam L e M em F”÷÷ = L i + M j , funções contínuas, com derivadas primeiras contínuas em R. Então

ŸR

div F”÷÷ d x d y = Ÿ∑R

F”÷÷ . n d s

onde n é normal externa a ∑R.

In[318]:= << Graphics`ImplicitPlot`


In[321]:= H∗ Gráfico do círculo de raio 1 ∗LImplicitPlot@Hy − 1L2 x3 H2 − xL,8x, 0, 2<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

EXEMPLO 1. Vamos calcular a seguinte integral

ŸC

rÅÅÅÅÅÅr2 . n d s,

onde r = x i + y j, r2 = x2 + y2, C é um contorno fechado simples que não passa pela origem e n é a normal externa a C.

Vamos calcular o divergente de rÅÅÅÅÅÅr2 = r = Hx ê Hx2 + y2L i + y ê Hx2 + y2L jL e aplicar o teorema de Green.

In[13]:= H∗ Divergente da função dada ∗Lf@x_, y_, z_D := 8xêHx2 + y2L, yêHx2 + y2L, 0<Div@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD êê Simplify

Out[14]= 0

Como o divergente de rÅÅÅÅÅÅr2 é igual a zero, a integral dada também é zero em virtude do teorema de Green.

Exercícios

1. Mostre que ŸC

Hx i - y j L . n d s = 0, qualquer que seja o contorno fechado simples.

Vamos calcular o divergente de (x i - y j ) e aplicar o teorema de Green.

In[15]:= H∗ Divergente da função dada ∗Lf@x_, y_, z_D := 8x, −y, 0<Div@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD êê Simplify

Out[16]= 0


Como o divergente de Hx i - y jL é igual a zero, a integral dada também é zero em virtude do teorema de Green.


In[17]:= H∗ Divergente da função dada ∗Lf@x_, y_, z_D := 8Hx − 3L, y, 0<êHHx − 3L2 + y2LDiv@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD êê Simplify

Out[18]= 0


Fazendo-se r - r0 igual a v, podemos escrever

In[27]:= H∗ Divergente da função dada ∗Lf@v_, θ_, φ_D := 81êv2 , 0, 0<Div@f@v, θ, φD, Spherical@v, θ, φDD êê Simplify

Out[28]= 0

6.6 Integração de diferenciais exatas

Diz-se que a forma diferencial

L d x + M d y + N d z = F”÷÷ (P) . dP

onde F”÷÷ = L i + M j + N k e dP = d x i + d y i + d x i ,

é exata se existe uma função U(x, y, z) tal que

∑UÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x = L , ∑UÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑y = M , ∑UÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑z = N ,

ou seja,

d U = L d x + M d y + N d z

O teorema a seguir é fundamental sobre forma diferencial exata.

Teorema. Se L, M e N são funções contínuas numa região R, então as seguintes condições são iquivalentes:

1) a forma diferencial L d x + M d y + N d z é exata.

2) a integral da forma L d x + M d y + N d z ao longo de qualquer caminho C indo do ponto A até oponto B só depende dos pontos A e B e não do caminho C.

3) a integral da forma L d x + M d y + N d z ao longo de qualquer caminho fechado C contido em R ézero.

Satisfeita qualquer dessas condições, existe uma função U(x, y, z) tal que

ŸA

B

F”÷÷ (P) . dP = ŸA

B

F”÷÷ (P) . t ds = U(B) - U(A).


Se um campo vetorial F”÷÷ deriva de um potencial U, esse potencial é determinado a menos de uma constantearbitrária. Ademais,

F”÷÷ = grad U = “ U = ∑UÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x i + ∑UÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑y j

EXEMPLO 1. O campo vetorial F”÷÷ = x i + y j é de fácil visualização com o Mathematica.

<<Graphics`PlotField` carrega o pacote que traça gráficos de campos vetoriais bidimensionais.

In[29]:= << Graphics`PlotField`

PlotVectorField[f, {x, x0, x1}, {y, y0, y1}, options] traça o gráfico do campo vetorial bidimensiona f.


-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

EXEMPLO 2. O análogo do campo vetorial anterior no espaço é o campo F”÷÷ = x i + y j + z k que pode também ser facilmente visualizado o Mathematica como campo de vetores radiais.

<<Graphics`PlotField3D` carrega o pacote que traça gráficos de campos vetoriais tridimensionais.

In[194]:= << Graphics`PlotField3D`

PlotVectorField3D[f, {x, x0, x1}, {y, y0, y1}, options] traça o gráfico do campo vetorial tridimensiona f.


In[231]:= H∗ Gráfico do campo vetorial da função dada ∗LClear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := 8x, y, z<PlotVectorField3D@f@x, y, zD, 8x, −2, 2<,8y, −2, 2<, 8z, −2, 2<, PlotPoints → 5, VectorHeads → TrueD;

EXEMPLO 2. A diferencial H3 x2 + 2 x yL d x + Hx2 + 3 y2L d y é exata para todo ponto (x, y).

In[355]:= Clear@x, y, fD;f@x_, y_D := 83 x2 + 2 x y, x2 + 3 y2<


Out[358]= 0

In[412]:= H∗ Calcula o potencial ∗LClear@x, y, w, potUD;w@x_, y_D := Integrate@f@u, yD@@1DD, 8u, 0, x<DpotU@x_, y_D :=


Out[415]= c + y3 + x2 Hx + yL


Out[410]= x H3 x + 2 yL


Out[411]= x2 + 3 y2


Exercícios

Nos Exercícios 9 a 24, verifique se a forma diferencial dada é xatae, em caso afirmativo, encontre a função potencial U da qual ela deriva.

9. y d x + x d y

In[416]:= H∗ Gráfico do campo vetorial da função dada ∗LClear@x, y, fD;f@x_, y_D := 8y, x<PlotVectorField@f@x, yD, 8x, −2, 2<,8y, −2, 2<, ScaleFactor → .5, Frame → TrueD;

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


Out[46]= 0



Out[422]= c + x y


Out[423]= y
