Análise

Combinatória

Desenvolvido por:

Cristiano De Angelis

Jorge Cunha

Adélson Jardim

Anagrama é a alteração da posição das

letras de uma mesma palavra.

Vejamos quantos anagramas tem a palavra CHÁ:

C

H A 1º- CHA

A H 2º - CAH

HA C 3º - HAC

C A 4º - HCA

AC H 5º - ACH

H C 6º - AHC

Ao considerarmos três espaços, temos:

3letras

c,h ou a

No primeiro espaço podemos considerar três letras - C, H ou A

2letras

uma que não tenha sido usada

No segundo espaço temos somente duas opções. (caso contrário repetiremos a primeira letra)

1letra

a restante

No terceiro espaço teremos somente uma opção, a letra restante.

3.2.1 = 3! = 6

Vejamos agora quantos anagramas tem a palavra CAFÉ.

C

AF E 1º- CAFE

E F 2º - CAEF

FE A 3º - CFEA

A E 4º - CFAE

EA F 5º - CEAF

F A 6º - CEFA...Puts !!!

Isto somente começando com a letra C ! Mas, como existem só mais três letras que podem começar os anagramas da palavra café, temos:

4 . 3! = 4! = 24

No primeiro anagrama temos: 3! = 3.2.1 = 6 No segundo anagrama temos: 4! = 4.3.2.1 = 24

Definição:

Quando o número de elementos “n” é igual ao número de vagas, teremos:

n! Isto quer dizer:

Existe um grupo de 5 estudantes (Cristiano, Jorge, Adélson, Marina, Raquel) para concorrer ao Daema, sendo a chapa formada por presidente e vice. Quantas serão as chapas possíveis?

Vamos fazer inicialmente todas as permutações possíveis.

CJAMR CAMRJ CMRJA CRJAM CJARM CAMJR CMRAJ CRJMACJMRA CAJMR CMJAR CRMJACJMAR CAJRM CMJRA CRMAJCJRMA CARJM CMAJR CRAJMCJRAM CARMJ CMARJ CRAMJ

Cristiano Presidente !!

JAMRC JMRCA JRCAM JCAMR JAMCR JMRAC JRCMA JCARM JARCM JMCAR JRAMC JCMRA JARMC JMCRA JRACM JCMAR JACMR JMARC JRMAC JCRMA JACRM JMACR JRMCA JCRAMJorge Presidente !!

AMRCJ ARCJM AC MRJ AJMRC AMRJC ARCMJ AC MJR AJMCRAMCJR ARJMC AC JMR AJRCMAMCRJ ARJCM AC JRM AJRMCAMJRC ARMCJ AC RJM AJCMRAMJCR ARMJC AC RMJ AJCRM

Adélson Presidente !!

MRCJA MCRJA MJRCA MARCJ MRCAJ MCRAJ MJRAC MARJCMRJAC MCJAR MJCAR MACJR MRJCA MCJRA MJCRA MACRJ MRAJC MCAJR MJARC MAJRC MRACJ MCARJ MJACR MAJCRMarina Presidente !!

RCJAM RJCAM RACJM RMCJA RCJMA RJCMA RACMJ RMCAJ RCAMJ RJAMC RAJMC RMJAC RCAJM RJACM RAJCM RMJCA RCMJA RJMAC RAMCJ RMAJC RCMAJ RJMCA RAMJC RMACJ

Raquel Presidente !!

O resultado das permutações será:

5! = 5.4.3.2.1 = 120,mas existem vários resultados repetidos que consideram o mesmo presidente com o mesmo vice:

CJAMR CJARM CJMRA CJMAR CJRMA CJRAM

Quais resultados serão estes?

A permutação de todos os elementos que não influenciam

na formação da chapa!

Temos então, a permutação de “n” objetos, mas precisamos excluir a permutação dos objetos que não influenciam no resultado.

5! ou 5 . 4 . 3 . 2 . 1

Precisamos excluir a permutação dos três objetos sem influência.

3! 3.2.1

Agora podemos simplificar !!

Isto é:

A PP

n pn

n p

n

n p,

( )=

− ou

!

( - )!

Arranjo aparece quando temos um universo de “n” objetos agrupados em “p” vagas em que a ordem

interessa!

Existe um grupo de 5 estudantes (Cristiano, Jorge, Adélson, Marina, Raquel) para formar uma dupla de representantes de turma.

Quantas serão as duplas possíveis?

CJAMR CAMRJ CMRJA CRJAM CJARM CAMJR CMRAJ CRJMACJMRA CAJMR CMJAR CRMJACJMAR CAJRM CMJRA CRMAJCJRMA CARJM CMAJR CRAJMCJRAM CARMJ CMARJ CRAMJ

JAMRC JMRCA JRCAM JCAMR JAMCR JMRAC JRCMA JCARM JARCM JMCAR JRAMC JCMRA JARMC JMCRA JRACM JCMAR JACMR JMARC JRMAC JCRMA JACRM JMACR JRMCA JCRAM

AMRCJ ARCJM AC MRJ AJMRC AMRJC ARCMJ AC MJR AJMCRAMCJR ARJMC AC JMR AJRCMAMCRJ ARJCM AC JRM AJRMCAMJRC ARMCJ AC RJM AJCMRAMJCR ARMJC AC RMJ AJCRM

MRCJA MCRJA MJRCA MARCJ MRCAJ MCRAJ MJRAC MARJCMRJAC MCJAR MJCAR MACJR MRJCA MCJRA MJCRA MACRJ MRAJC MCAJR MJARC MAJRC MRACJ MCARJ MJACR MAJCR

RCJAM RJCAM RACJM RMCJA RCJMA RJCMA RACMJ RMCAJ RCAMJ RJAMC RAJMC RMJAC RCAJM RJACM RAJCM RMJCA RCMJA RJMAC RAMCJ RMAJC RCMAJ RJMCA RAMJC RMACJ

Mas, agora todas as permutações com CJ e JC , por

exemplo, são desnecessárias pois a dupla não tem ordem.

CJAMRCJARMCJMRACJMARCJRMACJRAM

JCAMRJCARM JCMRA JCMAR JCRMAJCRAM

Novamente, temos a permutação de “n” objetos, precisamos excluir a permutação dos objetos que não influenciam no resultado, e ainda excluir a permutação possível entre as vagas.

5 . 4 . 3 . 2 . 13.2.1

= 5 . 4

5 . 4

2!= 10

C

C

n p

n

n pp

n pn

n p p

,

!

( )!!

!

= −

ou

, = ( - )! !

Problemas

UFRGS/ 95-2) Com 4 lápis de cores diferentes, quantas são as maneiras de pintar o seguinte mapa, de modo que as regiões que tem fronteira comum fiquem com cores distintas?

(A) 96(B) 60(C) 48(D) 36(E) Não é possível

Unisinos-97/2- Luciane estuda na Unisinos, de segunda a quarta, no turno da noite. Para vir à Unisinos e dela regressar para casa, Luciane costuma utilizar o seu próprio carro, ônibus ou mesmo carona. Quando ela vai no próprio carro, é claro que ela também volta de carro. O número de opções que Luciane tem para vir a Unisinos e dela voltar, nesses três dias é:

a) 5b) 25c) 125d) 300e) 500

Clóvis- 95/2) Um pintor tem 6 tintas para pintar 7 peças. Quer usar todas as tintas. Uma cor em cada peça. De quantos modos pode fazê-lo ?

Solução do Clóvis:

n n( )!

!

+1

2

SoluçãoVamos tentar com um universo menor, 3 tintas e 4 peças.

B B

B BB B

B BB B

B B

C4,2 .3 .2!

nº de cores permutação de 2 cores restantes

Cn+1,2 .n .(n-1)!

C7,2 .6 .5! = 15120

C n nn+

−1 2

1,. .( )!

( )!

!( )!. .( )!

n

nn n

++ −

−1

2 1 21

( )!

!( )!. .( )!

n

nn n

+−

−1

2 11

n n( )!

!

+1

2 c.q.d