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COMENTÁRIO CURSO DE FÉRIAS

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

PROFESSOR ALEXANDRE MOURA

Exercícios de Fixação

1.

O total de originais (U) é obtido somando todos os

valores do diagrama que corresponde a 118 páginas.

Resposta: C

2. Fazendo j como o índice de homens que jogam xadrez e

falam inglês, temos que:

25 + 10 + (9 – j) + 11 + (13 –j) + 12 = 70

80 – 2j = 70

–2j = 70 –80

(–1)(–2j) = (–10)(–1)

2j = 10

j = 5 homens

Resposta: A

3. Temos 36 brasileiros fumantes, destes, 20 são homens.

Então, 16 mulheres brasileiras são fumantes.

Então, temos: 96 brasileiros e 51 homens brasileiros,

então, 45 são mulheres brasileiras. Para saber quais não

fumam, é só subtrair 45 – 16 = 29.

Logo, 29 brasileiras não fumam.

Temos 25 homens fumantes e 20 brasileiros fumantes.

Para saber o número de fumantes estrangeiros, basta

fazer 25 – 20 = 5.

Então, são 5 homens estrangeiros que fumam.

Temos 47 pessoas fumantes no total. É dado que

existem 25 homens fumantes. Então ficaria 47 – 25 = 22

Portanto, 22 mulheres são fumantes.

Resposta: C

4. Fatorando o 2004, teremos:

2004 = 2 2 3 167

2004 = 22 3 167

Perceba que os divisores de 2004 estão na forma de:

2a 3b 167c

Sendo:

a [0, 1, 2]

b [0, 1]

a [1, 2, 3] c [0, 1]

Assim, o número de divisores é dado por:

– Número de maneiras de escolher a: 3

– Número de maneiras de escolher b: 2

– Número de maneiras de escolher c: 2

3 2 2 = 12 maneiras

Resposta: A

5. Seja d1 a despesa com o carro I, tal que 1 I 5.

Assim, temos:

d1 = 46.000 + 8 4.200 – 14.000 = 65.600;

d2 = 55.000 + 8 4.000 – 10.000 = 77.000;

d3 = 56.000 + 8 4.900 – 16.000 = 79.200;

d4 = 45.000 + 8 5.000 – 7.000 = 78.000;

d5 = 40.000 + 8 6.000 – 15.000 = 73.000.

Portanto, o carro que resultaria em menor despesa total

é o I.

Resposta: A

6. A pessoa inicialmente foi até o mercado com 96

garrafas vazias e, a cada 8 vazias trocou por 1 litro de

refrigerante. Logo, 96 8 = 12 litros na primeira troca.

Após esvaziar as 12 garrafas recebidas, retornou ao

mercado e trocou as 12 garrafas por mais um litro de

refrigerante (pois apenas a cada 8 garrafas vazias é

possível fazer a troca). Assim, ao final das trocas a

pessoa teria recebido o equivalente a 12 + 1 = 13 litros

de refrigerante.

Resposta: A

7. Calculando o custo total para cada uma das impressoras,

considerando-se 50 000 cópias:

Custo cópia 80

A1 000

= 0,08

custo total A = 500 + 0,08 50 000 - 4.500,00

Custo cópia 140

B2 000

= 0,07

custo total B = 1 100 + 0,07 50 000 = 4.600,00

Custo cópia 80

C1 000

= 0,05

custo total C = 2 000 + 0,05 50 000 = 4.500,00

Logo, conclui-se que a empresa pode adquirir a

impressora A ou C, descartando a B (maior custo).

Resposta: D

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8.

Portanto, teremos:

(5 90) 3 + (4 50) 3 + 2 50 = 2 050 segundos =

34 minutos e 10 segundos.

Resposta: A

9. Total da conta

2 R$ 7,70 + 2 R$ 3,60 + R$ 4,40 = R$ 27,00

Cada menina pagará R$ 13,50

Portanto,

R$ 20,00 R$ 13,50 R$ 6,5026 moedas

0,25 0,25

Resposta: A

10. Sendo Q a quantidade de litros utilizada por cada

motorista em cada viagem, e C o custo total de cada

viagem, pode-se calcular:

MOTORISTA

CUSTO POR

LITRO DE

COMBUSTÍVEL

(R$)

DISTÂNCIA

PERCORRIDA

(KM)

VELOCIDADE

MÉDIA

(KM/H)

RENDIMENTO

(KM/LITRO)

1 2,80 400 84 12

2 2,89 432 77 16

3 2,65 410 86 10

4 2,75 415 74 15

5 2,90 405 72 15

Motorista 1

1 1

400Q 33,33 litros C 2,80 33,33 93,33 reais

12

Motorista 2

2 2

432Q 27 litros C 2,89 27 78,03 reais

16

Motorista 3

3 3

410Q 41 litros C 2,65 41 108,65 reais

10

Motorista 4

4 4

415Q 27,67 litros C 2,75 27,67 76,08 reais

15

Motorista 5

5 5

405Q 27 litros C 2,90 27 78,30 reais

15

Assim, o motorista que obteve a viagem com menor

custo foi o motorista 4,

Resposta: B

11. Calculando:

2,10Pacote I 0,70

3

2,60Pacote II 0,65

4

3,00Pacote III 0,60

5

3,90Pacote IV 0,65

6

9,60Pacote V 0,80

12

Resposta: C

12. Considerando que os valores de pavimentação de cada

lote seja iguais a R$ 15.000,00, o que cada proprietário

irá pagar:

Proprietário do Lote 1: 15 000

4

Proprietário do Lote 2: 15 000 15 000

4 3

Proprietário do Lote 3: 15 000 15 000 15 000

4 3 2

Proprietário do Lote 4: 15 000 15 000 15 000

15 0004 3 2

Logo, a diferença entre o que o proprietário do lote 4

pagou e o que o proprietário do lote 2 pagou é de:

15 00015 000 R$ 22.500,00

2

Resposta: E

13. O jogador I converte chutes em gol com probabilidade

45 3

60 4 , enquanto que o jogador II converte chutes em

gol com probabilidade 50 2

75 3 .

Portanto, como 3 2

,4 3 o jogador I deve ser escolhido

para iniciar a partida.

Resposta: A

14. O resultado é dado por 80

P(negativo | sadio) 0,8990

Resposta: D

15. Tem-se que x 2

x 3015 x 3

Resposta: D


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16. A probabilidade de a aluna ser sorteada, dado que ela

está na sala C, é igual a: 1 1 1

3 18 54

Resposta: B

17. Calculando cada uma das probabilidades:

1

2

3

4

5

7 800P(C ) 0,0433 4,33%

180 000

7 500P(C ) 0,075 7,5%

100 000

9 000P(C ) 0,08181 8,2%

110 000

6 500P(C ) 0,03939 3,9%

165 000

11 000P(C ) 0,06285 6,3%

175 000

Logo, a cidade que receberá a maior verba será a de

número III (maior probabilidade).

Resposta: A

18. Calculando:

R vencedor Possibilidades:

R ganhar /S empatar 0,8 0,2 0,16 16%

R ganhar /S perder 0,8 (1 0,4 0,2) 0,32 32% 54%

R empatar /S perder 0,15 (1 0,4 0,2) 0,06 6%

Resposta: E

19. A probabilidade do primeiro país escolhido pertencer à

América do Norte é de 3

6.

A probabilidade do segundo pertencer ao continente

asiático é de 3

5.

A probabilidade de ambos os eventos ocorrerem será:

3 3 9 3

6 5 30 10 .

Resposta: B

20. Para que a aula ocorra no domingo, é necessário que

chova no sábado e não chova no domingo. Assim,

pode-se escrever:

sáb

dom

dom dom

sáb dom

P(chover ) 0,30

P(chover ) 0,25

P(não chover ) 1 P(chuva ) 1 0,25 0,75

P(chover ) P(não chover ) 0,30 0,75 0,225 22,5%

Resposta: D

Exercícios Propostos

1. Decompondo os valores em fatores primos, temos:

528, 240, 2016 2

264, 120, 1008 2

132, 60, 504 2

66, 30, 252 2

33, 15, 126 3

11, 5, 42

Logo, o total de açúcar por kit é de 11 quilos.

Resposta: D

2. Para obter o número total de barreiras, basta dividir o

tamanho total do percurso pelo espaço que cada barreira

está uma da outra, ou seja,

1 000 25 = 40.

Porém, como a última barreira está a 25 metros da linha

de chegada, deve-se subtrair uma barreira, logo:

40 – 1 = 39 barreiras.

Resposta: B

3. Transformando os tempos dados para minutos e

calculando-se o mínimo múltiplo comum entre eles,

tem-se:

45 s 0,75 min

60 s 1 min MMC(0,75;1; 0,45) 9

27 s 0,45 min

Assim, a cada 9 minutos as lâmpadas vermelhas estarão

acesas (pois todas as outras estarão acesas ao mesmo

tempo). Lembrando que para encontrar o MMC, deve-se

fatorar os números (dividir sucessivamente por números

primos em ordem crescente), ou seja:

0,75 1 0,45 2

90092 2 3 3 5 5 900

100

0,75 0,50 0,45 2

0,75 0,25 0,45 3

0,25 0,25 0,15 3

0,25 0,25 0,05 5

0,05 0,05 0,01 5

0,01 0,01 0,01

Resposta: E

4. O resultado pedido corresponde ao máximo divisor

comum dos números 120, 180 e 252, ou seja,

MDC(120, 180, 252) = MDC(23 3 5, 22 32 5, 22 32 7)

= 22 3

= 12.

Resposta: A


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5. O valor total em notas de 100 será representado por

100n, em que n é o número de notas.

A diferença entre o valor recebido por um médico e o

valor recebido por um orientando será dada por:

50n 50n (950 300) n 650 n

6 19 114 114

Considerando:

650 nn 114 650 (não é múltiplo de 100)

114

650 nn 228 1 300 (múltiplo de 100)

114

Portanto, a diferença pedida é no mínimo R$ 1.300,00.

Resposta: A

6. Tempo para a colheita da variedade V1:

5 + 3 + 1 = 9 semanas.

Tempo para a colheita da variedade V2:

3 + 2 + 1 = 6 semanas.

Tempo para a colheita da variedade V3:

2 + 1 + 1 = 4 semanas.

O número mínimo de semanas necessárias para que a

colheita das três variedades ocorra simultaneamente,

será: MMC(9, 6, 4) = 36 semanas

Resposta: B

7. Considerando o número de alunos da turma, temos:

N = 3x + 1, x N N – 1 = 3x, x N

N = 4x + 1, x N N – 1 = 4x, x N

Concluímos, então, que N – 1 é múltiplo de 12, ou seja,

N = 12 k + 1, k N N {1, 13, 25, 37, 49, 61, 73, ...}

Como 17 são homens e o número de mulheres é maior

que o número de homens, o menor valor possível para N

será:

N = 37 (37 = 17 + 20 e 20 > 17)

Logo, N é um primo e não par.

Resposta: B

8. Para obter após quanto tempo os dois amigos se

encontram na linha de chegada, basta obter o mínimo

múltiplo comum (MMC) entre dos dois tempos, ou seja:

28, 24 2

MMC (28, 24) = 2 2 2 3 7 1 = 168

14, 12 2

7, 6 2

7, 3 3

7, 1 7

1, 1 1

Dividindo 168 segundos por 60, para obter o tempo em

minutos, temos:

1682,8 2 min e 48 segundos.

60

Resposta: D

9. Sejam x e y, respectivamente, o número de dúzias

compradas de canetas do tipo A e o número de dúzias

compradas de canetas do tipo B, tem-se que:

20x + 15y = 1 020 4x + 3y = 204

Ademais, sendo 777 = 36 21 + 21, podemos concluir

que ele ganhou 21 canetas e, portanto, comprou

3 21 = 63 dúzias de canetas. Em consequência, vem:

4 (63 – y) + 3y = 204 y = 48

Resposta: C

10. Sabendo que os remédios devem ser tomados em

intervalos de 1,5h e 2,5h, respectivamente, para que

ambos sejam tomados novamente no mesmo horário é

preciso encontrar um intervalo de tempo (entre 0 e 24

horas) que seja divisível por 1,5 e 2,5 simultaneamente.

Calculando os múltiplos:

1,5 2 = 3

1,5 3 = 4,5

1,5 4 = 6

1,5 5 = 7,5

2,5 2 = 5

2,5 3 = 7,5

2,5 4 = 10

2,5 5 = 12,5

O primeiro número que é divisível simultaneamente por

1,5 e 2,5 é o número 7,5 (não há necessidade de ser um

número inteiro, pois se trata de intervalo de tempo em

horas). Assim, iniciando o tratamento às 6h, a cada 7,5

horas de intervalo os remédios serão novamente

tomados juntos, ou seja, os dois remédios serão tomados

juntos novamente às:

6h + ,5 = 13,5h 13h30 min

13,5h + ,5h = 21h 21h

Logo, o horário que o remédio deverá ser tomado à

noite é às 21h.


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O problema pode ainda ser resolvido elaborando-se uma

tabela:

Remédio 1

(a cada 1,5h)

Remédio 2

(a cada 2,5h)

06:00 06:00

06:30 06:30

07:00 07:00

07:30 07:30

08:00 08:00

08:30 08:30

09:00 09:00

09:30 09:30

10:00 10:00

10:30 10:30

11:00 11:00

11:30 11:30

12:00 12:00

12:30 12:30

13:00 13:00

13:30 13:30

14:00 14:00

14:30 14:30

15:00 15:00

15:30 15:30

16:00 16:00

16:30 16:30

17:00 17:00

17:30 17:30

18:00 18:00

18:30 18:30

19:00 19:00

19:30 19:30

20:00 20:00

20:30 20:30

21:00 21:00

Resposta: D

11. Para calcular o número de dias necessários para que seu

cão tome os dois remédios juntos novamente devemos

calcular o mínimo múltiplo comum entre 6 e 20, ou

seja, 60.

Como o medicamento da caixa A é tomado a cada

6 dias, depois de 60 dias já foram tomados 60 : 6 = 10

comprimidos da caixa A, restando 14 comprimidos.

Resposta: C

12. O número de documentos em cada pasta é dado por

MDC (42, 30, 18) = 6. Por conseguinte, a resposta é

42 30 1815

6 6 6

Resposta: B

13.

8 2 2 2

12 2 2 3 MMC 2 2 2 3 5 120 min 2h depois

20 2 2 5

Portanto, os ônibus chegarão novamente nesse mesmo

ponto às 8 horas.

Resposta: D

14. O número de professores corresponde ao máximo

divisor comum dos números de redações. Portanto,

desde que 702 = 2 33 13, 728 = 23 7 13 e

585 = 32 5 13, temos MDC (702, 728, 585) = 13.

Logo, como 52 = 4 13, segue o resultado.

Resposta: A

15. Calculando o MDC (144, 96, 192, 240) obtemos 48.

Logo, 144

348

pacotes de feijão por cesta.

Resposta: C

16. Fatorando as quantidades de goiabas, laranjas e maçãs,

tem-se

6 2

4 3 3 2

3 2

576 2 3

432 2 3 MDC(432, 504, 576) 2 3 72 famílias

504 2 3 7

Assim, cada família receberá:

576 72 = 8 goiabas

432 72 = 6 laranjas

504 72 = 7 maçãs

Somando as frutas que cada família receberá, tem-se o

número 21, que é múltiplo de 7.

Resposta: B

17. O número mínimo de escolas beneficiadas ocorre

quando cada escola recebe o maior número possível de

ingressos. Logo, sendo o número máximo de ingressos

igual ao máximo divisor comum de 400 = 24 52 e 320 =

= 26 5, temos MDC (400, 320) = 24 5 = 80.

Portanto, como 400 = 5 80 e 320 = 4 80, segue que a

resposta é 5 + 4 = 9.

Resposta: C

18. Sendo 540 = 22 33 5, 810 = 2 34 5 e 1080 =

= 23 33 5, vem que o máximo divisor comum desses

números é 2 33 5 = 270. Contudo, se o comprimento

das novas peças deve ser menor do que 200 centímetros,

então, queremos o maior divisor comum que seja menor

do que 200, ou seja, 33 5 = 135.


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Em consequência, a resposta é:

540 810 108040 30 10 420

135 135 135

Resposta: C

19. MMC(3, 4, 60) = 12

Portanto, 6 + 12 = 18 horas

Resposta: E

20. Para que um armário fique com a porta aberta deverá

ser alterado um número ímpar de vezes.

O número de divisores de um quadrado perfeito é

sempre ímpar, ao passo que o número de divisores de

um número, não quadrado perfeito, é sempre par.

Portanto, os quartos que ficarão abertos terão quadrados

perfeitos como números.

São eles: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.

Portanto, 10 quartos ficarão com as portas abertas.

Resposta: A

PROFESSOR FABRÍCIO MAIA


1. Temos que:

Taxa de variação:

Δt 7,30 7,24

a 0,006.x 20 10

Coeficiente linear t(0) = 7,24 – 10 × (0,006) = 7,18

Logo:

t(x) = 0,006x + 7,18

Resposta: A

2. Uma pessoa trabalha x horas por mês com programação

e y horas com conserto de computadores, com

remuneração de R$ 40,00 por hora de programação

e R$ 20,00 por hora de conserto de computador. Então, I. se a pessoa trabalha no máximo 160 horas por mês,

temos: x + y ≤ 160, com x ≥ 0 e y ≥ 0

II. se a pessoa ganha ao menos R$ 5.000,00 por mês, temos:

40 x + 20 5000, com x ≥ 0 e y ≥ 0

As condições anteriores representadas no sistema de coordenadas resultam:

I. II. As duas condições simultâneas resultam:

Resposta: E 3. Sabemos que o volume de um bloco retangular ou

paralelepípedo reto retângulo é dado pelo produto das medidas de suas dimensões.

Então:

Volume do reservatório = x y 10 = 180 m3

x y = 18 18

y = .x

Como x e y representam grandezas inversamente proporcionais, temos a representação a seguir.

Resposta: E

4. A partir do enunciado, a área de atuação de Cláudio

será igual a A1 = x2 e a área de atuação de Luís será

A2 = (y2 – x2), com 0 < x < y 30.

Se as áreas de atuação são as mesmas, resulta:

A1 = A2 y2 – x2) = x2

y2 – x2 = x2 y2 = 2x2

y = 2 x (pois y > x > 0)

Segundo o que foi estabelecido pelos vendedores, o

lugar geométrico no plano cartesiano dos pares

ordenados (x, y) é o segmento de reta da alternativa B,

excluindo a origem.

Resposta: B


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5. Se a função que relaciona o PIB com o tempo t

é quadrática, então, é do tipo P(t) = at2 + bt + c. Como

os pontos (1; 53), (2;58) e (3;65) pertencem ao gráfico

de P, tem-se:

2

2

3

a 1 b 1 c 53 a b c 53

a 2 b 2 c 58 3a b 5

5a b 7a 3 b 3 c 65

a b c 53 a 1

3a b 5 b 2

2a 2 c 50

Assim, P(t) = t2 + 2t + 50, com 1 ≤ t ≤ 6, t em anos

e P(t) em bilhões de dólares.

Resposta: C

6. Sendo C(x) = 1000

x 160x

o custo por unidade, em

reais, o custo total, em reais, desta empresa na produção

de x unidades será dado por

x C(x) = x2 – 160x + 10000, cujo gráfico é:

Portanto, o custo total mínimo é de R$ 3.600,00.

Resposta: A

7.

1. Conforme o enunciado, a demanda é elástica quando

E(p) > 1. Assim,

2 2p 2p 1 p 2p 1

1 1 04p 1 4p 1

2p 2p

0.4p 1

2. O gráfico de f(p) = –p2 + 2p, com p > 0, é do tipo:

3. O gráfico de g(p) = – 4p + 1, com p > 0, é:

4. p 2p f (p) 1

0 0 0 p ou p 24p 1 g(p) 4

conforme mostra o quadro de sinais:

Resposta: D

8. Sendo c, b e r, respectivamente, os preços de um

chiclete, uma bala e um refrigerante, temos:

3c 7b r 3,15 9c 21b 3r 3,15 (I)

4c 10b r 4,20 8c 20b 2r 8,40 (II)

Fazendo (I) – (II), membro a membro, temos:

c + b + r = 1,05

Dessa forma, o preço de um chiclete, uma bala e um

refrigerante é igual a R$ 1,05.

Resposta: D

9. Supondo que até hoje não houve reajuste em sua

aposentadoria, e sendo y = valor anual recebido hoje, e

x o número de anos trabalhados antes da aposentadoria,

teremos:

1. O aposentado recebe aposentadoria proporcional ao

quadrado do número de anos trabalhados: y = kx2

2. Se trabalhar A anos a mais, então a aposentadoria

seria P reais maior que hoje: y + P = k (x + A)2.

3. Se trabalhar B anos a mais, sua aposentadoria seria

Q reais maior que hoje: y + Q = k (x + B)2.

O sistema que permite obter k é o da alternativa E.

Resposta: E

10 000

3 600

f(p)


8 002.858 – 128983/18

10.

Para 6 valores de n, pode ser mais barato comprar mais

do que n livros do que exatamente n livros. São eles:

n = 23 e n = 24, pois sai mais barato comprar 25 livros,

n = 45, n = 46, n = 47 e n = 48, pois sai mais barato

comprar 49 livros.

Resposta: D

11. Dionísio pretende consumir as quantidades x e y

(x ≥ 0 e y ≥ 0) dos produtos A e B, cujas unidades

valem respectivamente R$ 20,00 e R$ 30,00.

Se R$ 600,00 é o máximo que Dionísio pode gastar no

consumo desses produtos e no máximo R$ 300,00 com

o produto A, temos:

20 x 30 y 600 2x 3y 60

20 x 300 x 15

x 0 e y 0 x 0 e y 0

A representação gráfica do conjunto dos pares (x; y)

possíveis, no plano cartesiano, é:

A área da região representada (trapézio) é igual a:

(20 10)

A 15 2252

Resposta: D

12. No gráfico seguinte, temos o valor estimado da casa, em

função do tempo, sendo P o valor estimado da casa

daqui a 4 anos e 3 meses = 17

4 anos.

Como os triângulos ABC e ADE são semelhantes,

temos:

DE AD P 280 000 17

4BC AB 325 000 280 000

3

1 17

P 280 000 45 000 343 7503 4

Resposta: D

13.

Por semelhança de triângulos, temos:

650 600 2014 2013 50 1

1800 600 x 2013 1200 x 2013

1200

x 2013 x 2013 24 x 203750

Resposta: D

14.


9 002.858 – 128983/18

Da semelhança dos triângulos ABC e ADE, temos:

n 400 2010 2000 n 400 10

560 400 2008 2000 160 8

1600

n 400 n 400 200 n 6008

Resposta: A

15.

Calculando:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

M(–3,3) 9 + 9 – 3D + 3E + F = 0

–3D + 3E + F = –18

N(2,8) 4 + 64 + 2D + 8E + F = 0 2D + 8E + F = –68

O(6,0) 36 + 6D + F = 0 F = –36 – 6D

9D 3E 18

4D 8E 32

72D 24E 14460D 240 D 4 F 12 E 6

12D 24E 96

x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0

xc = 4

22

yc = 6

32

R = 2 22 3 ( 12) R = 5

Perímetro = 2R = 2 3, 14 5 = 31,4 cm

Resposta: B

16. Calculando:

reta y – y0 = m (x – x0)

m = 7 2 5 1

11 1 10 2

reta AB 1 x 3

y 2 (x 1) y2 2

reta rio x + 3y = 17 17 x

y3

intersecção 17 x x 3

34 2x 3x 93 2

5x = 25 x = 5 5 3

y 4 I(5,4)2

Resposta: E

17.

r s = {T}

2 2

T, O

y 6x 4T (0,4) d 0 4 4

y 4

r t = {S}

2 2

S, O

y 6x 4S ( 1, 2) d ( 1) ( 2) 5

2y 3X 1 0

s t = {R}

2 2

R, O

y 4R (3,4) d 3 4 5

2y 3x 1 0

(raio da circunferência)

Logo, a inequação que representa o círculo será dada

por:

(x, y) 2; x2 + y2 ≤ 25

Resposta: A

18. Os pontos de intersecção entre as duas circunferências

são solução do sistema a seguir:

2 2

2 2

(x 3) (y 1) 10 (I)

(x 3) y 13 (II)

Subtraindo membro a membro as equações (II) e (I),

temos:

(x + 3)2 + y2 – (x + 3)2 – (y + 1)2 = 13 – 10

y2 – y2 – 2y – 1 = 3

2y = 4

y = –2

Substituindo y = –2 na equação (I),

(x + 3)2 + (–2 + 1) = 10

(x + 3)2 = 9

x+ 3 = 3 x = 0 ou x + 3 = –3 x = –6

Assim, os pontos de intersecção entre as duas

circunferências são A (0, –2) e B(–6, –2).

Logo,

2 2

A,Bd ( 6 0) ( 2 ( 2))

dA,B = 36 0

dA,B = 6

Resposta: D


10 002.858 – 128983/18

19. Diante do exposto, temos a figura a seguir:

Pitágoras R2 = (R – 8)2 + 122 R = 13.

Então,

raio = 5 Centro = (12, –5)

Logo:

2 2 2

reduzida da circunferência

(x 12) (y 5) 13

Resposta: A

20. Suponha que:

n é o número de aumentos de R$ 10,00 no preço da

passagem.

Como a receita R(n) de cada voo é dada pelo produto

entre o preço da passagem e o número de passageiros,

temos:

preço passageiros

R(n) = (200 +10n 120 – 4n

polinômio do 2º grau, em

R(n) 40 (n 20) (n 30)

n

Logo, o número de aumentos que torna a receita

máxima é dado pela abscissa do vértice do polinômio

R(n).

20 30n 5 preço da passagem 200 10 5 R$ 250,00

2

Resposta: D


1. O melhor gráfico é a letra D, pois mostra o nível da

substância A, antes, durante e depois da presença do

medicamento no organismo.

Resposta: D

2. A função *h : , R R dada por h = f(t), é crescente e

sua taxa de crescimento diminui com o tempo. Portanto,

o gráfico que melhor representa h é o da alternativa D.

Resposta: D

3. Seja f : [37500, 47000] [2100; 4237,5] a função

definida por f(x) = ax + b, em que x é a base de cálculo

e f(x) é o imposto devido.

A taxa de variação da função f é dada por

4237,5 2100

a 0,225.47000 37500

Portanto, o acréscimo pedido é igual a

f(x + 1000) – f(x) = 0,225 (x + 1000) + b – (0,225x + b) =

R$ 225,00

Resposta: C

4. Adotando convenientemente um sistema de coordenadas

cartesianas, considere a figura.

Sejam A, o ponto de lançamento do projétil e a função

quadrática f : [–20, 20] R, dada na forma canônica

por f(x) = a (x – m)2 + k, com a, m, k R e a ≠ 0.

É imediato que m = 0 e k = 200. Logo, sabendo que

f(20) = 0, vem

0 = a 202 + 200 a = 1

.2

Portanto, temos f(x) = 2x

2002

e, desse modo, segue

que o resultado pedido é

2( 10)

f ( 10) 200 150 m.2

Resposta: D

5. A receita é dada por

R(x) = p x = (300 – 0,75x) x = –0,75x2 + 300x

O número de passageiros que resulta na receita

máxima é xv = 300

2001,5

–8


11 002.858 – 128983/18

Como o avião utilizado tem 180 lugares, concluímos

que a receita máxima ocorre para x = 180 e resulta, em

reais,

R(180) = (310 – 0,75 180) = 165 180 = 29 700

Resposta: B

6.

1. A função R(x) é de primeiro grau e do tipo

R(x) = ax + b, com R(0) = 0 e R(1 000) = 15 000.

Assim:

R(0) a b 0 a 15

R(1000) a 1000 b 15 000 b 0

e R(x) = 15x

2. A função C(x) é de primeiro grau e do tipo

C(x) = cx + d, com C(0) = c 0 + d = 5 000 e

C(1 000) = 15 000.

Assim:

C(0) c 0 d 5 000 c 10

C(1000) c 1000 d 15 000 d 5 000

e C(x) = 10x + 5 000

3. O lucro ao se produzir e vender 1 350 unidades é

L(1 350) = R(1 350) – C(1 350) =

= 15 1 350 – (10 1 350 + 5 000) = 1 750

Resposta: B

7.

1.

Como dispõe de 60 m de cerca, em metros, temos:

x + y + x = 60 y = 60 – 2x

2. A área do retângulo ABCD é

SABCD = x y = x (60 – 2x) = –2x2 + 60x e é

máxima para x = ( 60)

15.2 ( 2)

Neste caso, y = 60 – 2 × 15 = 30 e, em m2,

Smáxima = 15 30 = 450.

Resposta: D

8. Analisando o gráfico, tem-se que as coordenadas dos

estabelecimentos são:

A(5, 4)

B(–3, 1)

C(4, 2)

D(–4, –3)

Assim, para avaliar se o estabelecimento está dentro da

área de cobertura do sinal basta substituir suas

coordenadas na equação:

x2 + y2 – 2x – 4y – 31 0

A 52 + 42 – 2 5 – 4 4 – 31 0 – 16 0 OK!

B (–3)2 + 12 – 2 (–3) – 4 1 – 31 0

– 19 0 OK!

C 42 + 22 – 2 4 – 4 2 – 31 0 –27 0 OK!

D (–4)2 + (–3)2 – 2 × (–4) – 4 × (–3) – 31 0

14 0 Falso!

Resposta: D

9.

I. O número de carros que comparecem, diariamente

ao estacionamento é y = 120 – 0,5x, sendo x, em

reais, o preço pago por cada um;

II. A receita diária é x (120 – 0,5x);

III. O custo diário, em reais, é 1.150;

IV. Para não ter prejuízo devemos ter

x (120 – 0,5x) ≥ 1.150

120x – 0,5x2 – 1.150 ≥ 0

–x2 + 240x – 2.300 ≥ 0

O gráfico da função definida por

f(x) = –x2 + 240x – 2.300 é do tipo

Assim sendo: –x2 + 240x – 2300 ≥ 0

10 ≤ x ≤ 230 e, portanto, [a; b] = [10; 230] e b – a = 220.

Resposta: A


12 002.858 – 128983/18

10. A receita R é igual ao produto do preço por unidade

pelo número de unidades vendidas. Assim, R = p x =

= (–0,4x + 200) x = –0,4x2 + 200x.

A receita é igual a R$ 21.000,00 x2 – 500x + 52.500 = 0

As soluções da equação têm soma 500 e correspondem

aos números de pratos k1 e k2, então, k1 + k2 = 500.

Resposta: B

11. O custo total para a produção de x paletós, em reais,

é C(x) = 10 000 + 100 x, com x [0; 500].

O custo médio na produção de x paletós é

C(x) 10 000 100xCM(x)

x x

100100 1 reais

x

O menor custo médio ocorre com o maior valor possível

de x (no caso 500). Desta forma, em reais, o menor

custo médio possível é

100

100 1 120500

Resposta: E

12. Sendo y (a receita mensal de vendas) uma função de x

(gastos mensais com propaganda) de 1º grau; temos y =

a x + b.

De acordo com o enunciado, se x = 10 000 quando

y = 80 000, e, x = 20 000 quando y = 120 000, temos

o sistema:

80 000 a 10 000 b a 4

120 000 a 20 000 b b 40 000

Dessa forma a expressão de y em função de x, pode ser

expressa por: y = 4 x + 40 000.

Resposta: A

13. Da função f(x): 2x 1,1 x 5

, tem-sex 12, 5 x 12

f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 5, f(4) = 7, f(5) = 7, f(6) = 6,

f(7) = 5, f(8) = 4, f(9) = 3, f(10) = 2, f(11) = 1 e f(12) = 0.

O rol de utilização do equipamento é:

0; 1; 1; 2; 3; 3; 4; 5; 5; 6; 7; 7.

Os dois elementos centrais do rol são o 3 e o 4, em

destaque na sequência anterior.

A mediana é a média aritmética dos dois, portanto,

3 43, 5

2

Resposta: B

14. A função do primeiro grau que relaciona p com x é do

tipo p = ax + b e, de acordo com o enunciado, temos:

b 6010 a 200 b 200 a b 10

115 a 180 b 5 20a a

4

Assim sendo, 1

p x 604

Representando por r a receita diária e sendo

1p x 60,

4 temos

1r x x 60 ,

4

cujo

gráfico é do tipo

A receita diária será máxima para x = 120 e, portanto,

para 1 1

p x 60 120 60 30.4 4

Resposta: D

15.

I. A função que permite calcular o valor da máquina

em função do tempo, em anos, é do tipo y = ax + b;

II. x = 2 y = a 2 + b = 6 400

x = 5,5 y = a 5,5 + b = 4 300

III. 2a b 6 400 a 600

5,5a b 4 300 b 7 600

e y = – 600x + 7 600

IV. x = 7 y = – 600 7 + 7 600 = 3 400

Resposta: D

16. Segundo a análise feita, o único gráfico que possui

concavidade apenas para cima, ou seja, aceleração

positiva, e apresenta velocidade crescente de leitura das

páginas é o da alternativa B.

Resposta: B


13 002.858 – 128983/18

17. De acordo com a figura, a primeira parte do gráfico não

pode ser uma reta, pois a variação da altura no cone não

é constante. A segunda parte do gráfico deverá ser uma

reta, pois a variação da altura no cilindro é constante.

O único gráfico que obedece a essas condições é o da

alternativa D.

Resposta: D

18. Temos que:

100x2 + 100y2 – 400x – 600y + 1075 = 0(100)

x2 + y2 – 4x– 6y + 43

04

x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 43

4 94

(x – 2)2 + (y – 3)2 = 9

4

Logo, o raio será dado por: r = 9 3

.4 2

Calculando o comprimento do arco (altura h da

professora):

32

2h 0,75 u.c.4

Resposta: C

19. Desde que a parábola apresente concavidade para baixo

e intersecte o eixo das abscissas em dois pontos distintos, temos a < 0 e b2 – 4ac > 0.

Resposta: D 20. A taxa de crescimento da altura no tronco do cone

inferior aumenta com o tempo. Já no tronco de cone superior, a mesma taxa diminui com o tempo. Por outro lado, no cilindro, a taxa é constante. Assim, o gráfico que expressa a altura da água na escultura em função do tempo decorrido é o da alternativa D.

Resposta: D

PROFESSOR FILIPE SERPA


1. Calculando:

2

2 2

6 4V = 3 = 36 cmprisma 2

1V = b 4 = 36 b = 27 = 3 3 cmpirâmide 3

Resposta: D

2. Calculando:

prisma base

pirâmide base prisma

base base

= S h

1 1V = S PA = V

3 9

1 1 hS PA = S h PA

3 9 3

V

Resposta: B

3. Considerando o tubo de ensaio, um cilindro e R o raio

deste tubo, após o aquecimento, podemos considerar

que:

2cil

2

2

2

V = R h

2 = π R 0,3

2R =

0,942

R = 2,12

R = 1,5

π

Ou seja, o diâmetro mede aproximadamente 2 1,5 = 3 cm.

Resposta: B

4. Do enunciado, temos:

V : volume total de água que cabe no tanque

2

3

3

1 5π 2 = V

4 100

V = 20π m

V 63 m

Resposta: C

5. Seja r, em mm, a medida do raio de uma esfera cujo

volume é 500 mm3.

Temos então:

3

3

33

3

4500 = π r

3

375r =

π

3 5r =

π

3r = 5 mm

π


14 002.858 – 128983/18

Sendo t, o tempo em segundos, que o balão leva para

atingir o volume 500 mm3 nas condições dadas,

3

3

35 mm

0,5 mm π=

1 s t

3t = 10 s

π

Resposta: E

6. Se g é a geratriz do cone, então:

2 g = 2 2 6 g = 12 cm

Logo, sendo h a altura do cone, vem

h2 = 122 – 62 h = 6 3 cm

A resposta é dada por

2

3π 6 6 3= 72 3π cm

3

.

Resposta: A

7. Do enunciado e da figura, temos:

3

3

3

2v H=

v 1

2 = H

H = 2

Resposta: A

8. Do enunciado e da figura, temos:

A’ B’ C’ D’ E’ F’ é um hexágono regular cujo lado têm

medida igual a 1

,2

logo, pode ser decomposto em 6

triângulos equiláteros congruentes, todos com lados de

medidas 1

.2

SA’B’C’D’E’F’: área do hexágono regular A’B’C’D’E’F’.

Ssetor: área do setor circular de centro no ponto O4,

extremos nos pontos E’ e D’ e raio de medida 1

.2

O4 E’D’ é um triângulo equilátero cujo lado têm medida

igual a 1

.2

Sendo S a área pedida, temos:

S = SA’B’C’C’D’E’F’ – 6. (Ssetor – 4O E'D'S )

4A'B'C'D'E'F' setor O E'D'

2o

S = S – 6 S – S

1 1 1 1 1 1 1 1S = 6 sen 60° – 6 π – sen 60

2 2 2 6 2 2 2 2

3 3 π 3S = – 6 –

8 24 16

3 3 π 3 3S = – +

8 4 8

3 3 – πS =

4

Resposta: A

9. A área de intersecção será igual a área de dois

triângulos equiláteros de lado 2 somado com a área de

um setor circular de 60º, conforme a figura a seguir.

Calculando:

2

triângulo

2 2

setor

intersecção triângulo setor

2 3S = = 3

4

πR π2 4πS = = =

6 6 6

4π 6 3 + 2πS = 2S + S = 2 3 + =

6 3

Resposta: D


15 002.858 – 128983/18

10. As dimensões do terreno são dadas por 8 + 2x e 10 + 2x,

portanto sua área será dada por:

2

2

2

(8 + 2x) (10 + 2x) = 120

80 +16x + 20x + 4x = 120

4x + 36x – 40 = 0

x + 9x – 10 = 0 x = –10 ou x = 1

Portanto, x = 1 metro.

Resposta: A

11. Marcando 36 pontos; igualmente espaçados, na

circunferência, encontraremos um polígono regular de

36 lados inscrito nesta circunferência.

A medida do ângulo central deste polígono será dada

por 360 36 = 10º. Podemos então imaginar a figura

abaixo:

xsen 5° = x = 1× 0,08 = 0,08

1

Portanto, o lado do polígono mede:

2 x = 2 0,08 = 0,16

Resposta: C

12. Calculando:

2 2 2a a – x

A(x) = a – 2 = a – a + ax A(x) = ax2

O único gráfico que apresenta uma função linear é o

mostrado na alternativa D.

Resposta: D

13. O triângulo OAB é um triângulo pitagórico do tipo

3- 4-5, portanto:

OA = 4

AB = r = 3

R = 5

h = R – OA 5 – 4 h = 1

Resposta: C

14. Sendo 6 + 2 0,2 + 0,1 = 6,5 m e 10,4 + 2 0,2 + 2 0,1 = 11 m

as dimensões da casa, podemos concluir que a resposta

é dada por 4 6,5 11 = R$ 286,00.

Resposta: E

15. Pela Lei dos cossenos:

2 2 2

2 2

a = 10 + 6 – 2 10 6 cos 120°

1a = 136 – 120 – a = 196 a = 14

2

Perímetro = 10 + 6 +14 = 30 m

3 voltas = 90 m custo = 5 90 = 450 reais

Resposta: C

16. Para tornar mais fácil a análise, acrescentou-se na figura

os pontos E, F e G e os segmentos DG e CE,

perpendiculares a AB, conforme indicado na figura

abaixo:

Nota-se por construção que:

1. GE DC 40 cm ,

2. AG AE GE 60 40 20 cm.

3. ADG = 135° – 90° = 45°, e como AGD = 90°, então

GAD = 45°, e o triângulo AGD é isósceles, o que

implica que h = DG = AG = 20 cm, sendo h a altura

do trapézio.

4. FCE = 150° – 90° = 60° e CEF = 120° – 90° = 30° o

que implica que CFE = 180° – 30° – 60° = 90° e, por


16 002.858 – 128983/18

consequência, BFE = 90°. Logo, a área do triângulo

BFE desejada é igual a EF× FB

.2

5. Do triângulo EFC,

3EF = CE cos 30° = h cos 30° = 20 = 10 3 cm

2 .

6. BEF = 180° –120° = 60°, o que implica que

FB = EF tg60° = 10 3 3 = 30 cm .

A área desejada é calculada da seguinte forma:

2EF FB 10 3 30Área = = = 150 3 cm

2 2

Resposta: D

17. Consideremos o triângulo ABC formado pelo centro da

bola 1 (vértice A), centro da bola 9 (vértice B) e centro

da bola 6 (vértice C). Tal triângulo é equilátero e a

medida de cada um de seus lados é 8r onde r é a medida

do raio de cada uma das bolas de bilhar.

No triângulo ABD,

2 2

22 – 2rtg 60° =

4r

22 – 2r3 =

4r

4r 3 = 22 – 2r

4r 3 + 2r = 22

2r 2 3 +1 = 22

11r =

2 3 +1

11 2 3 – 1r =

2 3 +1 2 3 – 1

11 2 3 – 1r =

2 3 – 1

11 2 3 – 1r =

11

r = 2 3 – 1

Resposta: E

18.

5 1senα = = α = 30°

10 2

7,05senβ = = 0,705 α = 45°

10

Portanto, AOB = 30° + 45° = 75°.

Resposta: C

19. Distância percorrida de A até B: AB = 2 v

Distância percorrida de B até C: BC = v

Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo ABC,

temos a distância d entre os pontos A e B.

2 2 2

2 2 2 2

2 2

d = (2v) + v – 2 2v v cos(180° – α)

3d = 4v + v + –4v –

4

d = 8v

d = 2v 2

Resposta: E

20. Do enunciado,

d x = h x – g x

d x = cos 2x – cos x

d x = cos 2x – sen 2x – cos x

d x = cos 2x – 1 – cos 2x – cos x

d x = cos 2x – 1+ cos 2x – cos x

d x = 2cos 2x – cos x – 1

Como 0 x 2π cosx 1 , 1 .

Fazendo cos x = t, temos a função abaixo:

2y = 2t – t –1, –1 t 1 .


17 002.858 – 128983/18

O gráfico da função 2y = 2t – t –1, –1 t 1 segue

abaixo.

Observando o gráfico, Ymáximo = 2.

Assim, máximo

d x = 2.

Resposta: E


1. O sólido ABCDEF é um prisma triangular de bases

ABF e DCE. Portanto, a resposta é dada por

31 1AB AA AD = 2 4 2 = 8cm .

2 2

Resposta: C

2. Medida da aresta do cubo maior: x + 4

Medida da aresta do cubo menor: x

Como a diferença entre os volumes é de 208 cm3

podemos escrever que: 3 3

3 2 3

2

2

(x + 4) – x = 208

x +12x + 48x + 64 – x = 208

12x + 48x – 144 = 0

x + 4x – 12 = 0

Resolvendo a equação, temos:

x = –6 ou x = 2.

Portanto, a aresta do cubo maior será 6 cm.

Considerando a área lateral da figura igual a área lateral

do cubo, temos: 2 2

LA = 4 6 = 144 cm .

Resposta: B

3. Sabendo que a superfície lateral de um cilindro reto

corresponde à superfície de um retângulo e que a

superfície lateral de um cone corresponde à superfície

de um setor circular, podemos concluir que a única

alternativa possível é a B.

Resposta: B

4. A base do cilindro foi dividida em 7 partes pelos planos

perpendiculares a elas, dividindo assim o cilindro em 7

sólidos. Considerando o plano paralelo às bases cada

um destes 7 sólidos foi dividido em duas partes.

Portanto, o valor de N será 2 7 = 14.

Resposta: C

5. É imediato que RS = π 0,4 3,1 0,4 = 1,24 m .

Resposta: D

6. O volume pedido é igual a metade do volume do

cilindro. Assim, pode-se escrever:

2

metade

π 2 10 40πV = = V = 20π

2 2

Resposta: D

7.

Comprimento do arco AB (circunferência da base do

cone de raio R).

2 π 42 π R = R = 1 cm

4

Calculando, agora, a altura do cone, temos: 2 2 2h +1 = 4 h = 15 cm

Logo, o volume do cone será:

2 31 15 πV = π 1 15 = cm

3 3

Resposta: C

8. De x2 + y2 – 6x = 0, temos:

2 2

2 2 2

x – 6x + 9 + y = 0 + 9

x – 3 + y – 0 = 3

Logo, o raio de C1 mede 3 km.


18 002.858 – 128983/18

Com isso, observemos a figura abaixo:

Então,

2 2 2

2 2

30π = π 3 + r – π 3 – π r

30π = π 9 + 6r + r – 9 – r

30 = 6r

r = 5 número primo

Resposta: C

9. Calculando:

ocupada total lago

2total

2lago

2ocupada

S = S S

40 + 60S = 30 = 1 500 m

2

30 30S = = 450 m

2

S = 1 500 – 450 = 1 050 m

Nº pessoas = 1050 4 = 4 200 pessoas

Resposta: C

10. Seja u a unidade de área da malha, de tal modo que

2 2 21 u = 160 = 25 600 m = 0,0256 km .

Dividindo o hexágono em um triângulo e dois trapézios,

como indicado, segue que a área aproximada desse

polígono é dada por

2

3 1 9 + 3 3 + 2+ 5 + 5 = 44 u

2 2 2

= 44 0,0256

1,1 km

.

Portanto, temos [0,8; 11,1 ,3[ .

Resposta: A

11. Se os triângulos retângulos são isósceles e congruentes,

então seus catetos medem 18 m e a base do

paralelogramo que constitui o passeio mede 24 – 18 = 6

m. Portanto, a área do passeio é igual a 6 18 = 108 m2.

Resposta: A 12. 10 m = 0,1 m

Área de cada cerâmica em m2:

2 22(0,1) 3 (0,1) 1,7

A = 6 6 0,0255 m4 4

Número de cerâmicas 25,5

= = 1 0000,0255

Resposta: D

13. Tem-se que

D = (10,2 10) = (10, 20) e

C = (10 + 20, – (10 + 20) + 50) = (30, 20).

Ademais, sendo yB = 0, vem

0 = –xB + 50 xB = 50

Portanto, segue que o resultado é dado por

221 1 20

(50 + 20) 20 – π = (700 – 50π) m2 2 2

.

Resposta: B

14. Abrindo-se novamente a folha de papel, tem-se:


19 002.858 – 128983/18

Assim, pode-se escrever:

maior

menor

B = 10 - x10 – x + x 6 60

b = x S = = = 302 2

h = 6

Resposta: B

15. Dentre as opções, as únicas que possuem valor inicial

próximo de 10 000 são as das alternativas D e E.

Ademais, como a função inicialmente é crescente e seu

período é π

2, podemos concluir que a função que

modela razoavelmente bem a curva indicada por A no

gráfico do artigo é a da alternativa E.

Resposta: E

16. Pela equação de Clapeyron (da Química):

PV = nRT

P = pressão

V = volume

n = quantidade de matéria (nº mols)

R = constante universal dos gases

T = temperatura

Assim, percebe-se que pressão e volume são

inversamente proporcionais: a pressão do gás é máxima

quando o volume é mínimo. Como a função logarítmica

dada é sempre crescente, o volume será mínimo quando

o logaritmando for mínimo.

Ou seja:

mín

logaritmando (5 + 2 sen(πt))

(t) = 5 + 2 sen(πt) sen(πt) deve ser mínimo

3π 3 3πt = + 2kπ t = + 2k t = = 1,5

2 2 2

f

Resposta: D

17. Segue de imediato que 1,8

en α = sen α = 0,0360

s .

Portanto, de acordo com as informações da tabela,

podemos afirmar que [1,5; 1,8[ .α

Resposta: C

18. De acordo com as informações do problema, temos:

BAC = 180° –18° – 81° = 81°ˆ

Logo, BC = AC e BM = AM = 1 850.

No triângulo retângulo BMC, temos:

1 850 1 850cos 81° = 0,16 =

BC BC

1 850BC = BC = 11 562

0,16

Logo, AB + BC = 3 700 +11 562 = 15 262 15 300 km

Resposta: E

19. A medida de cada nível será: 830 ÷ 8 = 103,75 m

Na figura, temos:

htg 60° h = 300 3 h 519 m

300

Dividindo 519 por 103,75 obtemos:

519 ÷103,75 5

Portanto, o feixe de laser atingirá a coluna central do

Burj Khalifa, aproximadamente, na marca N5.

Resposta: A

20. Sabendo que o valor máximo de 8π

cos t3

é 1,

podemos concluir que o valor da pressão diastólica é

100 – 20 = 80 mmHg.

Por outro lado, sendo –1 o valor mínimo de

8πcos t

3

, segue que o valor da pressão sistólica é

100 – 20 (–1) = 120 mmHg .

Resposta: C


20 002.858 – 128983/18

PROFESSOR JORGE JÚNIOR


1. O número de trapézios formados na etapa n, com n 2,

corresponde ao número de combinações simples dos

n segmentos horizontais (inclusive a base do triângulo

inicial) tomados 2 a 2 isto é, n

.2

Portanto, a resposta

é 6 6!

15.2 2! 4!

Resposta: B

2. A estratégia conveniente é retirar as letras na ordem

FGV ou GFV. De fato, considerando a sequência FGV,

para que as letras sejam da mesma cor, pelo Princípio

das Gavetas, a pessoa deverá retirar 6 letras F, 8 letras

G e 1 letra V, totalizando 15 letras. O raciocínio para a

sequência GFV é análogo.

Resposta: B

3. Calculando o total de possibilidades:

6,3 8,3

6,3

8,3

Total C C

6! 6 5 4C 20

3! 3! 3 2

8! 8 7 6C 56

3! 5! 3 2

Total 20 56 1120

Resposta: D

4. Como existem cinco funcionários e, no mínimo, um

trabalha, temos cinco combinações variando de um a

cinco funcionários, logo:

5,1 5,2 5,3 5,4 5,5C C C C C

5! 5! 5! 5!

1!(5 1)! 2!(5 2)! 3!(5 3)! 4!(5 4)!

5!5 10 10 5 1 31

1!(5 5)!

Resposta: D

5. Considerando que as quatro vagas desocupadas são

objetos idênticos, segue que o resultado é dado por

(3, 2, 4)

10

10!P

3! 2! 4!

10 9 8 7 6 5

3 2 2

12600.

Resposta: A

6. Existem cinco modos de escolher o jogo que terá o

placar de zero a zero. Logo, como serão marcados

apenas quatro gols nos quatro jogos restantes e nenhum

poderá terminar em zero a zero, necessariamente todos

terão placar de um a zero. Em consequência, existem

duas maneiras de escolher o time vencedor em cada

jogo.

A resposta, pelo Princípio Multiplicativo, é dada por 5 2 2 2 2 80.

Resposta: C

7. Se todos os atletas se cumprimentassem, então o número

de apertos de mãos seria igual a 2n

.2

Mas, como

apenas adversários se cumprimentam, devemos

descontar desse total o número de apertos de mãos

trocados entre atletas de uma mesma dupla, qual seja n.

Portanto, segue que o resultado é tal que

2

2n (2n)!n 180 n 180

2 2!(2n 2)!

n n 90 0

n 10

Resposta: C

8. Sejam x, y e z, respectivamente, o número de moedas de

dez centavos, o número de moedas de cinquenta

centavos e o número de moedas de um real, de tal sorte

que x y z 12.

Queremos calcular o número de soluções inteiras não

negativas dessa equação. Tal resultado corresponde ao

número de combinações completas de 3 objetos

tomados 12 a 12, isto é,

12

3

3 12 1 14!CR 91.

12 12! 2!

9. O resultado corresponde ao número de arranjos simples

de 5 objetos tomados 3 a 3, ou seja, 5, 3

5!A 60.

2!

Resposta: B

10. Número de escolhas possíveis de 3 pontos:

8,3

8!C 56

3! 5!

Número de escolhas com 3 pontos alinhados:

4,3

4!2 C 8

3! 1!

Número de escolhas com 3 símbolos iguais:

4,3

4!2 C 8

3! 1!

Portanto, o número de triângulos formados com

símbolos diferentes será dado por: 56 – 8 – 8 = 40.

Resposta: E


21 002.858 – 128983/18

11.

figura ilustrativa – fora da escala

Permutando as mulheres nas cinco primeiras posições,

temos:

5P 5! 120

Calculando todas as sequências de três homens

possíveis, escolhidos em um total de 8, temos: 8 7 6 336.

Portanto, o número de formas possíveis de fila que

podem ser formadas e obedecendo a essas restrições

são: P 120 336 40.320

Resposta: C

12. Supondo que a sequência ACPR represente a opção na

qual todos os amigos retiram o próprio nome e sabendo

que o total de permutações para os quatro amigos é

24 (P4 = 4! = 24), pode-se contar o número de

permutações caóticas da sequência com a ajuda de um

diagrama de árvore:

Logo, de um total de 24 permutações, em 9 delas

nenhum participante retira seu próprio nome.

A probabilidade será de: 9 324 8

.

Resposta: D

13. É imediato que existem 6 6 = 36 resultados possíveis.

Dentre esses resultados, não são favoráveis:

(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 3), (4, 5), (4, 6), (5, 3) e (5, 6).

Portanto, a resposta é 17 19

1 .36 36

Resposta: C

14. Das cartas apresentadas temos apenas três números maiores

que 1.

Observe o esquema:

Portanto, a probabilidade pedida será: 3

P10

.

Resposta: B

15. Probabilidade do casal não ter filhos com os olhos

azuis: 2 2 2 2 16

3 3 3 3 81

Probabilidade do casal ter apenas um filho com os olhos

azuis:

34 1 2 32

1 3 3 81

Probabilidade do casal ter exatamente dois filhos com

os olhos azuis:

2 24 1 2 24

2 3 3 81

.

Portanto, a probabilidade pedida será dada por:

16 32 24 72 8

P .81 81 81 81 9

Resposta: C

16. Sendo p a probabilidade pedida e supondo que os eventos

são independentes, temos: 0,6 p = 0,7 p 86%.

Resposta: B

17. A probabilidade de se retirar uma bola branca da primeira

caixa e uma bola branca da segunda caixa é 3 2 6

.5 3 15

Logo, 1

6 9P 1

15 15 .

A probabilidade de se retirar uma bola preta da primeira

caixa e uma bola preta da segunda caixa é 2 1 2

.5 3 15

Logo, 2

6 2 8P

15 15 15

Portanto, 1 2

9 8 17P P

15 15 15

Resposta: E


22 002.858 – 128983/18

18. Seja a, b e v, respectivamente, o número de bolas

amarelas, o número de bolas brancas e o número de bolas

vermelhas na urna. Logo, de (I), concluímos que v = 2a.

Além disso, de (II), temos

v 1 2a 1

a 4 b v 2 3a b 4 2

a b 4.

Portanto, de (III), vem

b 1 b 1

a b v 12 2 b 4 b 2(b 4) 12 2

b 12.

A quantidade de bolas brancas na urna é 12.

Resposta: C

19. Sendo (4)

10

10!P

4! o número de anagramas possíveis

e 7P 7! o número de anagramas com as vogais juntas,

podemos concluir que a resposta é

7! 7! 4 3 2 1.

10! 10 9 8 7! 30

4!

Resposta: B

20. Se c denota cara, e k denota coroa, então

P(c) 2 P(k). Ademais, temos

P(c) P(k) 1 2 P(k) P(k) 1

1P(k) .

3

Logo, vem 2

P(c)3

e, portanto, a probabilidade

pedida é igual a 1 1 2 2 5

.3 3 3 3 9

Resposta: B

21. Alunos que atuam no mercado de trabalho em área

diferente do curso: 1

300 605

Alunos que não estão trabalhando: 3

300 60 908

Portanto, a probabilidade de ele estar trabalhando na

mesma área será de:

300 60 90P 0,5

300

Resposta: A

22. Existem 4

43

modos de escolher três estudantes de

modo que Carlos fique fora do grupo. Ademais,

é possível escolher três estudantes quaisquer de

5 5!10

3 3! 2!

maneiras.

Portanto, a resposta é dada por 4 2

.10 5

Resposta: A

23. A probabilidade de não sair um rei na primeira retirada

é 3

,5

enquanto que a probabilidade de sair um rei na

segunda retirada, dado que não saiu um rei na primeira

retirada, é 2 1

.4 2 Portanto, pelo Teorema do Produto,

segue que a probabilidade pedida é 3 1 3

.5 2 10

Resposta: D

24. Desde que que 0,6 160 96 dos funcionários são

graduados e 2

0,3 160 323 funcionários são

graduados e do sexo feminino, segue que existem

96 – 32 = 64 funcionários graduados do sexo masculino.

A resposta é 64 2

.160 5

Resposta: B

25. Sabendo que cada gabinete receberá pelo menos um dos

20 candidatos, vamos analisar cada uma das opções:

A hipótese de colocarmos apenas 1 candidato apenas

em 9 gabinetes, e 11 candidatos no gabinete restante já

descarta as opções A, B e C.

Se os candidatos forem divididos igualmente entre os

gabinetes, eliminamos a opção E.

Pelo Princípio da Casa dos Pombos (ou Princípio das

Gavetas), a pior hipótese possível seria colocar

2 candidatos em cada um dos 10 gabinetes. Assim, não

é possível deixar algum gabinete sem dois ou mais

candidatos.

Resposta: D


23 002.858 – 128983/18


1. Número de maneiras de se escolher três nadadores

medalhistas num total de 8.

8,3

8!C 56

3! 5!

Número de maneiras de se escolher três medalhistas de

modo que um deles seja o brasileiro.

7,2

7!C 21

2! 5!

Portanto, a probabilidade pedida será dada por:

21 3P 37,50%

56 8

Resposta: C

2. De acordo com o enunciado:

Sem

agasalho

(SA)

Com

agasalho

(CA)

Total

Oficiais Aviadores (x) 10 10 20

Oficiais Intendentes (y) 10 15 25

Total 20 25 45

Analisando as alternativas uma a uma:

a) 35 7

P(y CA)45 9

b) 15 3

P(y / CA)25 5

c) 10 2

P(x SA)45 9

d) 10 1

P(SA / x)20 2

Resposta: C

3. Existem

6 7 6! 7!525

2 3 2! 4! 3! 4!

modos de formar uma comissão com 2 vereadores da

situação e 3 da oposição. Dentre essas possibilidades,

5 6 6!5 75

1 2 2! 4!

apresentam os dois líderes. Logo, há 525 75 450

maneiras para esse caso.

Por outro lado, há

6 7 6! 7!420

3 2 3! 3! 2! 5!

maneiras de formar uma comissão com 3 vereadores da

situação e 2 da oposição. Porém, nessas comissões estão

incluídas

5 6 5!6 60

2 1 2! 3!

possibilidades nas quais os dois líderes figuram.

Em consequência, há 420 – 60 = 360 comissões possíveis.

Portanto, pelo Princípio Aditivo, segue que a resposta

é 450 + 360 = 810.

Resposta: D

4. O número de maneiras que esse aluno pode escrever

essa palavra é igual ao arranjo de 4, 3 a 3 ou seja,

3 3

4 4

4!A 4 3 2 A 24

(4 3)!

Resposta: B

5. Sabemos que 50 processos foram revistos por

6 estagiários. Como a questão diz que todos

trabalharam, podemos concluir que cada um deles reviu

pelo menos 1 processo.

O contraexemplo extremo, em que temos 5 estagiários

com apenas um processo e 1 estagiário com os

45 restantes, já elimina as opções A, B, C e D.

Podemos confirmar que a letra E é a opção correta

através do Princípio da Casa dos Pombos ou das

Gavetas.

Como 6 8 = 48, na pior das hipóteses, podemos

distribuir 48 processos entre os 6 estagiários, de modo

que cada um fique com 8, e ainda sobrarão 2 processos.

Assim, alguém terá que trabalhar com 9 processos ou

mais para completar o trabalho.

Resposta: E

6. Fazendo a relação entre as combinações de 2 e 3

sabores de cobertura, pode-se escrever:

3

y

2

y

y!

C (y 3)! 3!200

y!150C

(y 2)! 2!

(y 2)! 2!y!

(y 3)! 3! y!

(y 2) (y 3)! 2!

(y 3)! 3 2!

(y 2) (y 2) 200

3 3 150

y 2 200

3 150

y150y 30 600 150 900 y 6

Resposta: C


24 002.858 – 128983/18

7. Como cada um aperta a mão de outra pessoa somente

uma vez temos a seguinte combinação:

25,2

25! 25 . 24 . 23!C 300

(25 2)! 2! 23! 2!

Resposta: C

8. O número de interruptores será igual ao número de

combinações de 6 elementos (lâmpadas) tomados de 3 em 3.

6,3

6!C 20

3! 3!

Resposta: B

9. Uma pilha pode ter blocos de duas ou três cores

distintas. Para as pilhas de blocos de duas cores existem

2 escolhas para a cor repetida e 3 para a segunda cor.

Definidos os blocos, é possível dispô-los

de (2)

3

3!P 3

2! maneiras. Logo, pelo Princípio

Multiplicativo, segue que existem 2 3 3 = 18 pilhas

com blocos de duas cores.

Ademais, para as pilhas de blocos de três cores distintas,

sabemos que existem 4 modos de escolher a primeira

cor, 3 modos de escolher a segunda cor e 2 modos de

escolher a última cor. Portanto, pelo Princípio

Multiplicativo, segue que há 4 3 2 = 24 pilhas

possíveis.

Finalmente, pelo Princípio Aditivo, podemos concluir

que o resultado é 18 + 24 = 42.

Resposta: C

10. Considerando três folhas na mesma cor, temos

5 possibilidades.

Considerando duas com a mesma cor e a terceira com

cor diferente, temos 5 4 = 20 possibilidades. Portanto,

o número de escolhas possíveis destas folhas será dado

por 20 + 5 = 25.

Resposta: E

11. Considere a figura em que estão indicadas as possíveis

localizações do cliente.

A resposta é 12.

Resposta: C

12. Sendo 3 426 10 o número total de placas, e 263

o número de placas em que os algarismos são todos

iguais a zero, podemos afirmar que podem ser utilizadas 3 4 3 3 426 10 26 26 (10 1) placas.

Resposta: C

13. Para que a aula ocorra no domingo é necessário que

chova no sábado e não chova no domingo. Assim, pode-se

escrever:

sáb

dom

dom dom

sáb dom

P(chover ) 0,30

P(chover ) 0,25

P não chover 1 P chuva

1 0,25 0,75

P(chover ) P(não chover )

0,30 0,75 0,225 22,5%

Resposta: C

14. Sendo B o evento “consulta a Internet para se manter

informado” e o evento “homem”, queremos calcular

P(A/B). Logo, o resultado é igual a

375 125P(A | B)

150 375 125

500

650

76,92%

Resposta: D

15. Calculando:

5

5

5

5! 1 103 pares / 2 ímpares

3! 2! 2 32

5! 1 54 pares /1 ímpar

4! 1! 2 32

1 15 pares

2 32

10 5 1 16 1P(X)

32 32 32 32 2

Resposta: D 16. O número de resultados possíveis para o experimento

pode ser obtido da seguinte forma: 6 3 18, ou seja, para cada um dos 6 resultados da

primeira roleta teremos 3 multiplicadores.

Os pares ordenados (x, y) cujo produto x y é menor ou igual a 5 são os seguintes: (2, 0); (2; 1); (2, 2); (5, 0); (5, 1); (10, 0); (20,0) (50, 0) e (100, 0), ou seja, 9 produtos que são menores ou iguais a cinco.

Logo, a probabilidade P pedida será dada por:

9 1

P18 2

Resposta: C


25 002.858 – 128983/18

17. Calculando

P(perder) 1 P(ganhar)

1 1 1 1P(ganhar) 1 1 1 1 1

7 5 3 105

1 104P(perder) 1

105 105

Resposta: D 18. Observando que as letras P e A figuram apenas na urna 2,

e que as letras E e Z figuram apenas na urna 3, podemos concluir que serão necessárias pelo menos 6 extrações a fim de retirar tais letras. Além disso, como a letra R figura uma vez em cada urna, o primeiro R deverá ser retirado da urna 1, e o segundo da urna 2, totalizando 8 retiradas. Caso contrário, o número de letras retiradas será igual a 9.

Resposta: A 19. Existem 9 10 10 5 4 500 números naturais pares

de quatro algarismos distintos ou não. Portanto, como há 9 8 7 504 pares com algarismos

distintos que terminam em zero, e 8 8 7 4 1 792

pares com algarismos distintos que não terminam em zero, podemos concluir que a resposta é 4 500 504 1 792 2 204.

Resposta: A 20. Existem 26 2 24 ternas de letras consecutivas e

10 3 7 quadras de algarismos consecutivos. Assim,

pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 24 7 168.

Resposta: A

PROFESSOR LUCAS CARVALHO


1. Se a idade da pessoa, em dias terrestres, é igual a

45.365, então sua idade em Vênus é 45 365

73225

anos.

Resposta: A

2. Sejam v1 e v2, respectivamente, a velocidade do

corredor que partiu de A e a velocidade do corredor que

partiu de B. Logo, se é o comprimento da piscina, em

metros, então

1

2

v 800.

v 800

Por outro lado, do segundo encontro, temos

1

2

v 500.

v 2 500

Em consequência, vem

2

2

500 800300 400 000 1 600 400 000

2 500 800

1 900 0

( 1 900) 0

1 900 m.

Resposta: D

3. Admitindo que o preço de uma camisa seja 2x, logo o

preço de 2 camisas deveria ser 4x. Com a promoção o

comprador pagará por dois camisas o valor de

2x + x = 3x. Ocorrendo um desconto de x, ou seja,

1/4 do valor. Portanto, se o comprador levar 4 camisas

ela pagará apenas três.

Resposta: D

4. A sequência (1, 2, 3, ..., n) é uma progressão aritmética,

tal que S = 231 e n é o total de filas formadas com todos

os estudantes.

Daí,

2

2

1 n n231

2

2 231 n n

n n 462 0

21 1 4 1 462n

2 1

1 1849n

2

1 43n

2

Como n > 0,

1 43n

2

n 21

Assim, foram formadas 21 filas com todos os estudantes.

Resposta: B

5. Calculando:

0

2

2 2

2

C 15

8 dias n 2

C(1) 15 q

C(2) 15 q

15 q 15 q 15 195 q q 12 0

1 4 1 12 49

q 4 (não convém)1 49q

2 q 3

Resposta: B


26 002.858 – 128983/18

6. Desde que

12 6 2

12 0 12 0

6 12

0

C C (1,01) C C [(1,01) ]

C(1,01) ,

C

temos:

6

18 12

1212

0

012

12

0 0

1212 0

0

C C (1,01)

CC

C

CCC

C C

CC C .

C

Resposta: C

7. Considerando que a quantidade de medicamento se

reduz à metade a cada 3 horas, podemos elaborar a

seguinte tabela:

Horário Quantidade do fármaco

8h 60 mg

11h 30 mg

14h 15 mg

17h 7,5 mg

20h 3,75 mg

23h 1,875 mg

Resposta: B

8. Do enunciado, temos:

24,1 24

log E 11,8 1,5 8,2

log E 24,1

E 10 10

Resposta: D

9. Desde que log ab = log a + log b, a

log log a log bb

e blog a b a 10 , para quaisquer a e b reais positivos,

temos

3 3

3

11,19

2 E E8,9 log log 13,35

3 7 10 7 10

log E log7 10 13,35

log E 13,35 log7 3log10

log E 13,35 0,84 3

E 10 kWh.

Resposta: B

10. Calculando:

0 00

t t

t

t

10

0,5

10

20.000N N 1000

1 19 (0,5)

20.000N 5 1000

1 19 (0,5)

4 31 (0,5)

191 19 (0,5)

3log

3 log3 log1919t log

519 log5 1log

10

log19 log3t

1 log5

Resposta: E

11. Para A = 1000 m e f = 0,2 Hz, temos:

3

M log(1 000 0,2) 3,3

log10 log 0,2 3,3

3 0,7 3,3

5,6

E, portanto, podemos concluir que ele foi destrutivo,

com consequências significativas em edificações pouco

estruturadas.

Resposta: C

12.

0,45 t

0

0,45 t00

1 0,45 t

1 0,45 t

e e

e

Q(t) Q e

QQ e

2

2 e

log 2 log e

1 log 2 0,45 t

0,69 0,45t

t 1,5333... horas 1 hora e 32 minutos.

Resposta: C

13. Basta substituir o valor procurado na equação.

Primeiramente note o valor de 2015

Q(t) = 3,2 (1,2)t Q(0) = 3,2 (1,2)0 Q(0) = 3,2

Aplicando o valor procurado:

Q(t) = 3,2 (1,2)t 6,64 = 3,2 (1,2)t


27 002.858 – 128983/18

2,075 = (1,2)t log1,2 (2,075) = t

Aplicando todos os valores de t possíveis para as

alternativas, temos:

1

2

3

4

t 1 (1,2) 1,2

t 2 (1,2) 1,44

t 3 (1,2) 1,728

t 4 (1,2) 2,0736

Logo, como t = 0 corresponde ao ano de 2015, o ano

correto seria de 2019.

Resposta: A

14. Lembrando que loga bc = c loga b, com 1 a > 0 e

b > 0, temos

2t

2t

2t

1 QQ 15 10

10 15

Qlog10 log

15

Q2t log

15

1 Qt log

2 15

15t log .

Q

Resposta: A

15.

t t

0

2t t

V V 1 i 120 000 (1 0,7) 120 000 1 0,1

3 30,3 0,9 log 0,3 log 0,9 log t log

10 10

log3 log10 t 2 log3 log10

0,477 1 t 2 0,477 1 t 11,37 anos

Resposta: D

16. Lembrando que logb ac = c logb a e logb b = 1, com a, b,

c reais positivos e b 1, temos

2P 2P

2P

0,8 0,8

0,8

0,8

0,8

Q 1Q 1 4 (0,8) (0,8)

4

Q 1log log (0,8)

4

Q 12P log

4

1 Q 1P log

2 4

Q 1P log .

4

Resposta: A

17. Calculando:

Parcela = P

No ato da 6ª parcela:

2 2

P P 1 1P P 1

i ii i1 11 1100 100100 100

Resposta: A

18. Como se trata de juros simples, o valor devido V, após

n meses será igual a:

V = 80 + 80 30% n = 80 + 80 0,3 n

V = 80 + 24n

Resposta: B

19.

Preço com juros compostos: 2.000 (1,06)7 = R$ 2.837

Preço com juros simples: 2.000 (1 + 6 0,05) = R$ 2.600

Total de juros pagos: R$ 600,00

Total de desconto obtido: 2.837 – 2.600 = R$ 237.

Resposta: C

20. Aplicando a fórmula dos juros compostos, temos:

Y = X (1 + i)n y = 500 (1 + 10%)n

y = 500 (1 + 0,1)n y = 500 (1,1)n

Resposta: A

21. Como as parcelas crescem segundo uma progressão

geométrica de razão 1,1 e primeiro termo igual a 2.000,

segue que o montante pago foi de

5(1,1) 12.000 2.000 6,1051

1,1 1

R$12.210,20.

Logo, os juros cobrados correspondem a 12.210,2 – 10.000

= R$ 2.210,20 e, portanto, a taxa de juros simples na

transação é igual a

2.210,2100% 4,42%.

10.000 5

Resposta: E


28 002.858 – 128983/18

22. A intensidade da força de atração gravitacional é

inversamente proporcional ao quadrado da distância

entre a Terra e o satélite. Como as órbitas são circulares,

a distância para cada satélite é constante, sendo também

constante a intensidade da força gravitacional sobre

cada um. Como as massas são iguais, o satélite mais

distante sofre força de menor intensidade.

Assim: FA < FB < FC < FD < FE.

Resposta: B


1. Seja r, em mm, a medida do raio de uma esfera cujo

volume é 500 mm3.

Temos então:

3

3

33

3

4500 r

3

375r

3 5r

3r 5 mm

Sendo t, o tempo em segundos, que o balão leva para

atingir o volume 500 mm3 nas condições dadas,

3

3

35 mm

0,5 mm

1s t

3t 10 s

Resposta: E

2.

6 100 5 43 000x 24 000 x 8 dias

3 500 4 x

Resposta: E

3. Considere a proporção:

Convidados Salgados Horas

100 6000 3h

120 8000 x

Vendo que o número de convidados e o total de horas

são inversamente proporcionais, temos:

3 120 6 000 3 12 6x 3,3 3h20min.

x 100 8 000 x 10 8

Resposta: E

4. Calculando, inicialmente, a massa do saco de ração:

3,5 + 3 + 0,5 = 7 kg

Calculando a massa no nutriente A neste saco de ração (7 kg)

3,5 500 + 3 100 + 0,5 100= 2 100 g

Logo, a massa do nutriente A em 1 kg nessa mistura será:

2 100 7 = 300 g

Resposta: C

5. A cada volta do piloto mais rápido o piloto mais lento

dá 2 20

2,7 27 de uma volta. Logo, após (n *) voltas

do piloto mais rápido, o piloto mais lento terá dado

20 n

27

voltas.

Em consequência, desde que 20 e 27 são primos entre

si, podemos concluir que 27 é o menor valor de n para o

qual a condição do enunciado é satisfeita.

A resposta é, portanto, 20 2,7 = 54 km.

Resposta: B

6. Seja x e y os filhos. Pela regra das proporções, temos:

x y x 10 23x 2y

10 15 y 15 3

Sabendo que juntos receberão 800 reais:

3x 2y 3x 2y (I)

x y 800 x 800 y (II)

Substituindo (II) em (I):

3 (800 y) 2y

2400 3y 2y

y 480

Logo,

x y 800

x 480 800

x 320

Resposta: C


29 002.858 – 128983/18

7. A diferença entre os espaços percorridos pelo leão e

pela presa, a cada segundo, aumenta segundo uma

progressão aritmética de primeiro termo 0 e razão 0,2.

Portanto, sendo n um inteiro positivo, temos

(n 1) 0,2n 38 n (n 1) 380 n 20.

2

Resposta: C

8. Calculando:

4

5

PG 81 , 45 , 25

45 5q

81 9

5 625a 81

9 81

Resposta: A

9. Seja q a taxa de decrescimento. Logo, tem-se que

2 2 1632 000 50 000 q q

25

4q .

5

A resposta é 4

32 000 R$ 25.600,00.5

Resposta: A

10. Calculando:

b

b

b b

9 9

b b b b b

9

9 15

15

y 9x 1

x log (t)

y log (N)

log (N) 9 log (t) 1

log (N) log (t ) log (b) log (N) log (b t )

N b t

Mas

N t 10

Logo:

b 10

Resposta: E

11. Sabendo que a base deste logaritmo é dez e

desenvolvendo normalmente, temos:

5

10log [H ] 5 log [H ] 5 H 10

Resposta: B

12. Seja a função p : , dada por t

0p(t) p (1,02) ,

com p(t) sendo a população do país após t anos.

Logo, como queremos calcular t para o qual se tem

p(t) = 2 p0, vem

t t

0 02 p p (1,02) log(1,02) log 2

t log(1,02) log 2

log 2t

log1,02

0,301t

0,0086

t 35.

Resposta: E

13. Para 0,0625 (0)t 0 V(0) 1 000 2 1 000

Logo,

Para t ? V(t) 2 000

0,0625 (t)

0,0625 (t)

2 000 1 000 2

2 2

0,0625 (t) 1

t 16

Resposta: C

14.

15

15

5 5 5

M 1 000 000 1 8,5%

M 1 000 000 1,085

1 000 000 1,085 1,085 1,085

1 000 000 1,5 1,5 1,5

M 3 375 000 3,375 milhões

Resposta: C


30 002.858 – 128983/18

15. Seja 8 35, tem-se que

1

8 8log log 35 log log(7 5)

1log (log7 log5)

8

1log (0,845 0,699)

8

log 0,193

log log1,56

1,56.

Resposta: B

16. Sejam r0, e P0 respectivamente, a renda per capita,

o PIB e a população do país hoje. Assim, o PIB e a

população, daqui a 20 anos, são dados, respectivamente,

por (1 + i)20 PIB0 e (1,02)20 P0, em que i é a taxa

pedida.

Portanto,

20

0 00 20

00

20 20

2020

20

(1 i) PIB PIBr 2 r 2

P(1,02) P

(1 i) 2 (1,02)

i 2 (1,02) 1

i 1,02 2 1

i 1,02 1,035 1

i 5,6%

Resposta: B

17. Seja n o número de acertos do aluno.

A cada acerto, o aluno fica com seus pontos

multiplicados por 3

;2

e a cada erro, fica com seus

pontos multiplicados por 1

.2

Desse modo, sabendo que o aluno ficou devendo

13 pontos, temos que

n 8 n

n 53 1256 243 3 3 n 5.

2 2

Portanto, o aluno acertou 5 perguntas e errou 8 – 5 = 3.

Resposta: B

18. Calculando a quantidade inicial, temos: 0

112Q(0) 20 2 Q(0) 40

60% de 40 24.

Logo:

t t t1 1 1

12 12 12

t t1 1

212 12

24 1224 20 2 2 2

20 10

12log log 2 log 2 3 log10 log 2

10

t2 log 2 log3 log10 1 log 2

12

t t 0,082 0,3 0,48 1 1 0,30 1

12 12 030

t 4 t 111

12 15 12 15

44t t 8,8 horas t 8 h e 4

5

8 minutos

Portanto, o tempo necessário será de 8 horas e 48 minutos.

Resposta: D

19. Nota-se que os dois primeiros investimentos são da

forma de juros compostos, seguindo a fórmula:

tempoMontante Capital (1 taxa)

E que os dois últimos investimento são de juros simples,

isto é:

Montante Capital Juros

Montante Capital (Capital taxa tempo)

Aplicando ambos os tipos de juros nas opções de

investimento e calculando o melhor rendimento sobre

um capital C, temos:

tempo 2

2

tempo 3

3

Inv1 [C (1 taxa) ] (1 2%) C

(1 0,02) C 1,0404 C

Inv2 [C (1 taxa) ] (1 1,5%) C

(1 0,015) C 1,04567 C

Inv3 C (C taxa tempo) C (2% 4)C

C (0,02 4)C C 0,08 C 1,08 C

Inv4 C (C taxa tempo) C (1,5% 5)

C

C (0,015 5)C C 0,075 C 1,075 C

Logo, o melhor investimento é a terceira opção.

Resposta: C


31 002.858 – 128983/18

20. Seja C o capital aplicado, sabendo que o montante

resgatado foi de R$ 65.536,00, temos

8

4 4

4

8

8

465536 C (1,01) (1,02) C

1,0302

4C

1,0302

C 3,94 .

Por conseguinte, podemos afirmar que o capital

aplicado, em reais, foi aproximadamente igual a 3,968.

Resposta: E 21. Sendo 180 dias correspondentes a 6 meses, considerando

como sendo x o valor que Mariana pegou emprestado e

y o valor gasto com os pagamentos, pode-se escrever:

6x (1,1) 9.000 x 5.000

x y 1.250 5.000 y 1.250

y 3.750 reais

Resposta: D

22. Valor da dívida após 2 meses: 10.000 (1,03)2 = 10.609

Valor da primeira prestação: x

Valor da segunda prestação: (10.609 – x) 1,03

Como as prestações são iguais, podemos escrever:

x = (10609 – x) 1,03

Resolvendo a equação anterior concluímos que x é

aproximadamente R$ 5.383,00.

Resposta: B 23. O número de inscritos no canal de Dudu cresce em

progressão geométrica de razão 2.

Para solucionar a questão, devemos considerar a soma

dos dez primeiros termos da P.G.: (5, 10, 20, 40, 80,...)

10

10

5 2 1S 5115

2 1

inscritos.

Resposta: C

PROFESSOR TÁCITO VIEIRA

Exercício de Fixação

1. As variáveis quantitativas (números são idade e tempo

de serviço).

Resposta: C

2.

Pesos

(kg)

Nº

crianças

(fi)

fac Fi Fac

(ou Fr)

0 10 3 3 3 15

0,15 15%20 100

15%

10 20 6 9 6 30

0,30 30%20 100

45%

20 30 7 16 7 35

0,35 35%20 100

80%

30 40 4 20 4 20

0,20 20%20 100

100%

20 20 100

1 100%20 100

Da tabela tem-se fac da 3ª classe igual a 80%.

Resposta: C

3.

Classes de

salários

(em reais)

fi fac Fi Fac

(ou Fr)

[900, 1000[ 2 2 2 8

0,08 8%25 100

8%

[1000, 1500[ 3 5 3 12

0,12 12%25 100

20%

[1500, 2000[ 6 11 6 24

0,24 24%25 100

44%

[2000, 2500[ 6 17 6 24

0,24 24%25 100

68%

[2500, 3000[ 6 22 5 20

0,20 20%25 100

88%

[3000, 3500[ 3 25 3 12

0,12 12%25 100

100%

Como 20% dos funcionários recebem menos que 1.500

reais tem-se que 80% dos funcionários recebem 1.500

reais ou mais.

Resposta: C

4.

I. Total de mm = 100 + 100 + 300 + 100 + 50 + 50 = 700.

Isso nos diz que, em um metro quadrado de

superfície plana, haverá um acúmulo total de 700

litros de água das chuvas.

II. Área da casa (terreno plano) = (8 m) (10 m) = 80 m2.

Isso nos diz que caíram no telhado da casa 80 × 700

litros d’água.

III. Volume do reservatório = (4 2 p) m3 = 8 p m3


32 002.858 – 128983/18

Como 1 m3 corresponde a 1000 litros, devemos ter:

8p × 1000 = 80 × 7000 p = 7

Obs.: 100 mm em 1 m2

Equipe A = (100 mm) × (1 m) × (1 m)

= (1 dm) × (10 dm) × (10 dm)

= 100 dm3 = 100

Resposta: D

5. 9,8

250 000 24 500100

Resposta: A

6. Pela definição de histograma e polígono de frequências,

verifica-se que a opção E é a única correta.

Resposta: E

7. Completando a tabela tem-se:

Conceito Nº de cursos

(fi)

Fi

(ou Fr)

6 2 2 10

0,1 10% c20 100

5 3 3 15

0,15 15% d20 100

4 8 8 40

0,40 40% a20 100

3 6 6 30

0,30 30% e20 100

2 1 1 5

0,05 5% b20 100

TOTAL 20 20 100

1 100%20 100

a) = a% de 360º = 40

100 360º = 144º (Falso)

b) a = c + e 40 = 10 + 30 (Verdadeiro)

c) = d% de 360º = 15

100 360º = 54º (Falso)

d) d + c = e 15 + 10 = 30 25 = 30 (Falso)

e) b + c < d 5 + 10 < 15 15 < 15 (Falso)

Resposta: B

8. Escrevendo as taxas de cada região em ordem crescente,

podemos concluir que as medianas são MdA = 12;

MdB = 11,6; MdC = 11,9; MdD = 11,6 e MdE = 12,6.

Portanto, a região que deve receber a maior parte do

recurso é a opção E.

Resposta: E

9. Média = 4 1 1 2 2 4 2 5 1 6 30

310 10

Mediana = quinto termo + sexto termo 2 4

32 2

Moda = 1 (maior frequência)

Resposta: B

10. Calculando:

2 2

2 21003 9971.003 9972 2

A3 3 3 4

1.003 997 1.003 997

3 4

6 2.000 1 22 12.000 22.000A

3 4 3 7 4 7

Médias fiscais

3 3 4 2 4 5 21 7M

6 6 2

Pessoas na manifestação = 22.000 7

A.M7 2

= =

11.000 pessoas

Resposta: A

11.

11 1 2 1 3 2 4 5 5 3 6 6 7 3 8 1 9 1 10x

1 1 1 2 5 3 6 3 1 1

142x x 5,9

24

Mo = 7

Md = ?

12 12

1,2,3,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,10

Md =

6 66

2

Logo: ox 5,9; M 7; Md 6

Resposta: D

12. Colocando-se os dados do gráfico em uma tabela, tem-se

xi fi xi fi

200

400

600

800

1 000

5

10

30

20

5

1 000

4 000

18 000

16 000

5 000

= 70 xifi

44 000

1. i ix f 44 000

x 628n 70


33 002.858 – 128983/18

2. Md = ?

1º 5º 6º 15º 16º 35º 36º

Rol: 200, ..., 200, 400, ..., 400, 600, ..., 600, 600, ...

45º

600, ..., 100

Md = 600 600

6002

3. Mo = 600

Resposta: E

13. Observando-se os dados da tabela, tem-se que:

I. É imediato que a perda de peso modal do grupo 2 é

igual a 2. Logo Mo(2) = 2.

II. Ordenando as perdas de peso do grupo 3, obtemos:

3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6. Daí, segue que a perda de peso

mediana do grupo 3 é 5 5

5.2

Logo Md(3) = 5.

Assim, a perda de peso média do grupo 1 é dada por

(2) (3)Mo 3 4 4 Md 6 8 10

8

2 3 4 4 5 6 8 10 425,25

8 8

Resposta: D

14. Encontrando-se a mediana (Md)

Temos que n = 50 elementos. Logo, há duas posições

centrais:

1ª) n/2 = 25ª e

2ª) a vizinha posterior: 26ª

Os elementos que ocupam estas duas posições centrais

são: 9 e 9. Assim, fazendo a média desses dois valores

(o que não é, absolutamente, necessário), teremos: Md =

9,0.

Encontrando-se a moda (Mo)

Note que o elemento que mais aparece no rol é o

número 8, logo Mo = 8,0.

Logo Md > Mo assimetria à direita ou assimetria

positiva.

Resposta: D

15. Do gráfico, conclui-se:

Assim: Mo 3 x = n Md

60 3 8 = n 9

60 24 = n 9

36 = n 9

n = 4

Resposta: C

16. Temos:

I. Média: (3 4 6 9 5 7 8) chamadas

x7 dias

6 chamadas/dia

II. Variância:

2 2 2 2 2 2 2(3 6) (4 6) (6 6) (9 6) (5 6) (7 6) (8 6)

V7

V = 9 4 9 1 1 4

47

III. Desvio-padrão: DP = V 4 2

Resposta: D

17. O primeiro passo será o cálculo da média.

Teremos:

(0 0 0 2 2 2 4 4 6 10) 30

X 3,010 10

Na sequência, calcularemos os valores de (Xi X)

através da tabela seguinte:

Xi (Xi X)

0 3(= 0 3)

0 3(= 0 3)

0 3(= 0 3)

2 1(= 0 3)

2 1(= 2 3)

2 1(= 2 3)

4 1(= 4 3)

4 1(= 4 3)

6 3(= 6 3)

10 7(= 10 3)

Elevaremos ao quadrado os (Xi X) , e, ao final,

somaremos os resultados. Teremos:

Xi (X X) (Xi 2X)

0 3 9

0 3 9

0 3 9

2 1 1

2 1 1

2 1 1

4 1 1

4 1 1

6 3 9

10 7 49

90


34 002.858 – 128983/18

Assim,

102

i2 i 1

(X X)

S10

2 290S S 9

10

Resposta: B

18. A equipe mais regular é aquela que apresenta menor

desvio-padrão.

Resposta: C

19.

I. 2 3 3 4 1 6

x x 42 3 1

II.

2 2 2

2 2 3 4 3 4 4 1 6 4S

2 3 1

2 2 4S

6

S2 = 1 (variância)

III. S = 1 = 1 (desvio-padrão)

IV. Nova variância:

(S’)2 =

22 22 (3 4) (3 n) (4 4) 1 6 4

2 3 n 1

(S’)2 = 2 4

6 n

V. Novo desvio-padrão:

S’ = 6 1 6 1

1 n 186 n 2 6 n 4

Resposta: A

20. Como as variáveis são de espécies diferentes, a de

menor dispersão (variabilidade) não é obrigatoriamente a

de menor desvio-padrão, mas sim a de menor

coeficiente de variação (C.V.).

Calculando os respectivos CV = desvio-padrão

média, temos:

I. 15 0

80 0

3

16

II. 3 1

12 4

III. 1,5 15 1

4,5 45 3

IV. 9 1

72 8 (menor) massa

V. 1,5 15 3

2,5 25 5 (maior) Nº de banheiros

Resposta: D


1. Para o 5º dia tem-se que a

Frelativa

Resposta: C

2. Para a classe “27 polegadas” tem-se a seguinte

frequência relativa:

Resposta: A

3. Rol (21, 22, 25, 25, 26, 30, 40, 40)

Média Aritmética:

21 22 25 25 26 30 40 40

8

22928,625

8

Moda: 25 e 40 (espaço bimodal)

Mediana: 25 26

25,52

Resposta: A

4. Internet e Correios, respectivamente, por possuírem o

maior percentual em cada classe.

Resposta: B

5. 6,5 10 8 9,4 8 6,4 x 7,4

8,28

6,5 + 10 + 8 + 9,4 + 8 + 6,4 + x + 7,4 = 65,6 x = 9,9

Moda = 8

Mediana = 8 8

82

Média das outras 7 notas =

6,5 10 8 9,4 8 6,4 7,4

7,967

Assim a única alternativa correta é a opção C.

Resposta: C


35 002.858 – 128983/18

6. De acordo com o gráfico, tem-se que 200 · 0,25 = 50

hotéis cobram diárias de R$ 200,00; 200 · 0,25 = 50

hotéis cobram diárias de R$ 300,00; 200 · 0,4 = 80

hotéis cobram diárias de R$ 400,00 e 200 · 0,1 = 20

hotéis cobram diárias de R$ 600,00.

Considere a tabela abaixo, em que xi é o valor da diária,

em reais, para um quarto padrão de casal, fi é a

frequência simples absoluta e Fi é a frequência absoluta

acumulada.

xi fi Fi

200 50 50

300 50 100

400 80 180

600 20 200

in f 200

Portanto, como dM

n 200E 100,

2 2 segue-se que o

valor mediano da diária é:

d

300 400M R$ 350,00.

2

Resposta: C

7. Considere os possíveis róis (ordem crescente):

7; 8; x; 17; 21; 30

ou

7; 8; 17; x; 21; 30

Em qualquer deles, temos:

Média = 17 8 30 21 7 x 83 x

6 6

e

Mediana = x 17

2

Assim, devemos ter:

83 x x 17

1 x 136 2

Logo, a média será: (83 13)anos

6 funcionários

=

= 16 anos/ funcionário.

Resposta: A

8. 360º —— 100%

x —— 20%

Portanto, x = 72º.

Resposta: D

9. Sabendo que média da distribuição de “zeros” e “uns”

é igual a 0,45 < 0,50, podemos concluir que existem

mais sapatos na cor branca do que na cor preta.

Além disso, como a moda da numeração dos sapatos

com defeito é 38, segue que os sapatos na cor branca

de número 38 não serão mais encomendados.

Resposta: A

10. Sendo x a quantidade de alunos com 20 anos, devemos

ter:

I. Média = 19 13 20 x 21 3 22 10

20,2513 x 3 10

20,25 (26 + x) = 530 + 20x

526,5 + 20,25x = 530 + 20x

0,25x = 3,5

x = 14

Assim, a turma tem (3 + 10 + 13 + 14) = 40 alunos,

cujo rol das idades (ordem crescente) é

13 vezes 14 vezes 3 vezes 10 vezes

19;19;...;19; 20;20;...;20; 21;21;...;21; 22;22;...;22

II. Moda = 20 (maior frequência, aparece 14 vezes);

III. A sequência de dados tem um número par de termos

(40 termos), a mediana é a média aritmética dos dois

termos centrais, cujas posições são 40

2 = 20 (20ª

posição) e 21ª posição. Daí:

Mediana = 20 20

202

Resposta: E

11. Colocando os dados em ordem crescente, temos:

181419, 181796, 204804, 209425, 212952, 246875,

255415, 290415, 298041, 305088.

A mediana (Ma) é a média aritmética dos dois termos

centrais da sequência anterior.

212952 246875Ma 229 913,5.

2

Resposta: B

12. A distribuição tem assimetria positiva, portanto:

Mo < Md < x

Resposta: B

13. Considerando P o número estimado de pessoas na foto,

temos:

P = 500 · (1,5 · 2 + 2 · 4 + 3 · 5 + 2 · 4 + 1,5 · 3)

P = 500 · (3 + 8 + 15 + 8 + 4,5)

P = 500 · 38,5 = 19 250.

Resposta: A


36 002.858 – 128983/18

14.

Classe (nota) Frequência (nº de alunos)

4 30

5 80

6 90

8 40

9 10

Ft = 250

4 · 30 5 ·80 6 · 90 8 · 40 9 ·10

x 5,88250

Mo = 6, pois 6 é a nota de maior frequência.

Md = 6, pois 6 é a média aritmética entre os termos

a125 = 6 e a126 = 6 do rol formado pelas notas das

provas.

Assim, Mo = Md e x < Md.

Resposta: C

15. As notas mais regulares são aquelas que apresentam

menor desvio-padrão (menor dispersão em torno da

média)

Resposta: B

16. Como temos um total de 50 cenas selecionadas, o tempo

médio de corte por cena é:

40x min 0,8 min

50

Dividindo o tempo de corte, 40 min, em partes

diretamente proporcionais as 18 · 3, 11 · 4,5 · 6 e 16 · 2,

obtemos, respectivamente, 0,75 min, 1 min, 1,5 min e

0,5 min. Assim, construímos a tabela:

Número de cenas Corte por cena (min)

18 0,75

11 1

5 1,5

16 0,5

Logo, o desvio absoluto médio será:

| 0,75 0,8 | ·18 |1 0,8 | ·11 |1,5 0,8 | · 5 | 0,5 0,8 | ·16Dam

50

min 0,228 min

Resposta: B

17. I. Para o aluno A:

9,5 8 9 9,5

x 94

2 2 2

22 · 9,5 9 8 9 9 9

S4

2 0,50 1S

4

1,50S (desvio-padrão)

4

II. Para o aluno B:

8 10 10 8

x 94

2 2

22 · 8 9 2· 10 0

S4

2 4S

4

4S (desvio-padrão)

4

III. Para o aluno C:

10 7,5 9 9,5

x 94

2 9 2 2

2 10 9 7,5 9 9 9 9,5 9S

4

2 3,50S

4

3,50S desvio padrão

4

Resposta: C

18. Idades em P.A. de razão 2: x, (x + 2), (x + 4), (x + 6) e

(x + 8)

Média: x x 2 x 4 x 6 x 8

x x 4.5

Variância:

Desvio-padrão: DP V 8 2 2

Resposta: C

19. Indicando por o desvio-padrão, temos que:

2 2

90kg 90 kg 1,5 · 60kg

talhão 30.000 m 3 ·10.000 m

1,5saca/hectare 0,5 saca/hectare

3

Logo, a variância 2 é dada por:

2 = (0,5 saca/hectare)2 = 0,25 (saca/hectare)2

Resposta: E


37 002.858 – 128983/18

20.

Do gráfico anterior, tem-se que:

Me 72 3

76 72 12

Mr 72 3

4 12

(Me 72) 12

1

4 3 1

Mr 72 1

Mr 73

Resposta: C

SUPERVISOR(A)/DIRETOR(A): MARCELO PENA – AUTORES: ALEXANDRE MOURA,

FABRÍCIO MAIA, FILIPE SERPA, JORGE JÚNIOR, LUCAS CARVALHO E TÁCITO VIEIRA

DIGITADORES: VICENTINA, RÔMULO, JULIANA, EDNA,

REJANE E ESTEFÂNIA – REVISOR(A): KATIARY

COMENTÁRIO CURSO DE FÉRIAS MATEMÁTICA E SUAS … · Logo, a diferença entre o que o...

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