COMINUIÇÃO SELETIVA DE MINERAIS DE DIFERENTES …‡ÃO... · Quando o processo de fragmentação...

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO

Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Engenharia de Minas

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral – PPGEM

COMINUIÇÃO SELETIVA DE MINERAIS DE DIFERENTES

MOABILIDADES

Autora: FLÁVIA EMERY PEREIRA SUDÁRIO

Orientador: Prof. Dr. JOSÉ AURÉLIO MEDEIROS DA LUZ

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-

Graduação do Departamento de Engenharia de

Minas da Escola de Minas da Universidade

Federal de Ouro Preto, como parte integrante

dos requisitos para obtenção do título de

Mestre em Engenharia de Minas.

Área de concentração:

Tratamento de Minérios

OURO PRETO

Agosto/2010

Catalogação: [email protected]

S943c Sudário, Flávia Emery Pereira. Cominuição seletiva de minerais de diferentes moabilidades [manuscrito] /

Flávia Emery Pereira Sudário – 2010. 189f.: il. color; grafs., tabs. Orientador: Prof. Dr. José Aurélio Medeiros da Luz. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de

Minas. Departamento de Engenharia de Minas. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral.

Área de concentração: Tratamento de Minérios.

1. Tratamento de minérios - Teses. 2. Cominuição (Beneficiamento de minério) - Teses. 3. Moagem (Beneficiamento de minério) - Teses. 4. Modelos matemáticos - Teses. I. Universidade Federal de Ouro Preto. II. Título.

CDU: 622.73:004.94

4

4

Aos meus pais e familiares

pelo incentivo, paciência e

amor incondicional..

AGRADECIMENTOS

Aos meus pais, pela dedicação de uma vida, por me ensinar a ter determinação.

Ao meu orientador, Prof. Dr José Aurélio Medeiros da Luz, pela orientação, amizade e acima de tudo, pelo respeito e ensinamentos de um verdadeiro mestre.

Á Prof. Dra. Rosa Malena Fernandes Lima, pelas oportunidades de crescimento e descobertas profissionais.

Aos meus amigos, que estão sempre torcendo pelas minhas conquistas e me ajudaram neste momento.

A Deus, por tudo.

“A mente que se abre a uma nova idéia jamais voltará ao seu tamanho original”

Albert Einstein

RESUMO

O presente trabalho visa à melhoria da separação entre a calcita e o quartzo, explorando as diferenças na moabilidade através de um modelo matemático. O presente trabalho, através da clássica equação de Rosin-Rammler, mostra as mudanças no comportamento do minério quando submetido à operação de moagem. O estudo do parâmetro de agudez de Rosin-Rammler permitiu a construção de um modelo matemático simples. A base teórica para o trabalho foi otimização de processo, realizada por Ray e Szekely (1973), através de um modelo estatístico baseado na distribuição log-normal das partículas após moagem. Este trabalho é parte de um escopo maior no qual engloba um modelo de otimização para o processo de cominuição através da relação da energia gasta e classificação. PALAVRAS-CHAVE: moabilidade; Rosin-Rammler; agudez.

ABSTRACT

This work treats on the quartz and calcite grindability differences to achieve a preliminary grinding classification in order to improve further sorting operation. The present work, through classical mathematical equation of Rosin-Rammler, shows the changes in mineral behavior when submit to grinding operation. The knowledge of the Rosin-Rammler´s sharpness parameter allows the building of a simple mathematical model. The theoretical base of this work was inspired by the study of the optimization process carried out by Ray and Szekely (1973) through a statistical model based on log-normal distribution of particle diameter after grinding. This work is part of a greater scope which encompasses an optimization model for comminution process as far as energetic consumption and mineral sorting are simultaneously concerned. KEY-WORDS: grindability; Rosin-Rammler; sharpness.

Sumário

1. INTRODUÇÃO.................................................................................................................... 11 2. OBJETIVOS......................................................................................................................... 14

3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA............................................................................................. 15

3.1. Modelo de Ray e Szekely .............................................................................................. 30

3.2 Exemplo de Cominuição Seletiva. ................................................................................. 35

4. METODOLOGIA................................................................................................................. 38

4.1. Amostras........................................................................................................................ 38

4.2. Modelagem do Processo................................................................................................ 40

4.2.1. Generalidades .........................................................................................................40 4.2.2 Modelo de cominuição seletiva ...............................................................................41

4.3. Ensaios de Validação do Modelo .................................................................................. 44

4.3.1. Britagem do material ..............................................................................................44 4.3.2. Massa mínima da amostra pelo método de Gy.......................................................45

4.3.2.1 Método de Gy.......................................................................................................45 4.3.2.2. Amostragem pelo método de Gy. ........................................................................45

4.3.3. Cálculo do tamanho de bola ....................................................................................... 47

4.3.3.1 Fórmula de Bond ..................................................................................................47 4.3.3.2 Cálculo do corpo moedor .....................................................................................47

4.3.4. Ensaios de Moagem.................................................................................................... 49

4.3.5. Análise granulométrica............................................................................................... 49

4.4. O Scilab......................................................................................................................... 54

4.5. FindGraph...................................................................................................................... 55

4.6. EasyPlot ......................................................................................................................... 55

4.7. Mathematica 7............................................................................................................... 56

4.8. Delphi 7 ......................................................................................................................... 56

4.9. Ajuste da Evolução dos Parâmetros Estatísticos........................................................... 57

5. RESULTADOS E DISCUSSÃO ......................................................................................... 59

5.1. Discussão dos Resultados.............................................................................................. 59

5.2 Evolução dos Parâmetros Estatísticos ............................................................................ 77

5.3 Modelagem da Moagem Binária .................................................................................... 87

5.3.1 Aspectos conceituais ...............................................................................................87

10

10

5.3.2 Modelo matemático para otimização.......................................................................91 5.3.2.2 Construção do modelo..........................................................................................93

6. CONCLUSÕES.................................................................................................................. 107 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................... 109 8. ADENDO ........................................................................................................................... 113

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1. INTRODUÇÃO

O objetivo usual do processo de moagem é a separação por espécie das partículas para

liberação do mineral de interesse. A fragmentação de sólidos não está restrita apenas a liberar

duas partículas sólidas de propriedades físico-químicas distintas como objetivado no setor

mineiro, é também utilizada com outras finalidades e em vários outros setores.

Em hidrometalurgia, a cominuição é utilizada para facilitar a reação química e a

velocidade de reação através do ajuste das propriedades físico-químicas do sólido, que ao ser

fragmentado aumenta este poder de reação do mineral a ser lixiviado, em relação ao agente

lixiviante.

Na indústria química, a cominuição também é utilizada para o aumento da velocidade

de reação entre o sólido e o agente químico não sendo utilizada com o objetivo de liberar as

partículas.

No setor de construção civil, a cominuição é utilizada apenas com o objetivo de

diminuir a granulação das partículas sólidas que servem como produtos agregados para uso

em concreto.

Atualmente, além da cominuição apenas para liberação do mineral útil, desponta como

nova proposta promissora para o setor mineiro a cominuição seletiva. A cominuição seletiva

visa principalmente o preparo da alimentação do circuito de concentração de minérios, de

forma a otimizar o contraste das características físico-químicas de cada um dos componentes,

facilitando o beneficiamento.

A cominuição seletiva dentro da mineração irá facilitar o uso do processo de

classificação, promovendo uma distinção prévia através da diferença na granulação do

material.

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12

Independentemente do tipo de cominuição é importante se consciencializar de que em

qualquer caso deve-se evitar a formação excessiva de finos (sobremoagem), em virtude de

serem, por excelência, refratários aos processos de concentração.

Sabendo que os fundamentos do processo de cominuição se baseiam em condições de

granulação e forma de fragmentação, é importante salientar cada um dos tópicos que

determinam estes fundamentos.

Existem muitas variáveis no processo de moagem que levam a diversos valores de

granulação e qualidade do produto. Entre essas variáveis podem ser citadas: dureza do

material, tipo de equipamento utilizado, vazão do material, tipo de corpo moedor utilizado no

processo, função quebra, função seleção, granulação de saída e granulação de entrada do

material. Essa evolução granulométrica, por vezes é descrita por funções matemáticas que

levam em conta a probabilidade de as partículas serem submetidas a eventos de quebra

(função seleção) e, uma vez fragmentadas, a distribuição granulométrica das ditas partículas

“filhas” (descrita pela chamada função de quebra).

Quando o processo de fragmentação de partículas através da moagem é realizado com

duas substâncias minerais de moabilidades substancialmente diferentes, além da preocupação

com a quebra de partículas, visando sua liberação, a adequação para o processo subsequente

de concentração por espécie se torna um fator extremamente importante, nessa instância, a

seletividade da cominuição pode vir a favorecer a seletividade do processo de concentração.

Este trabalho visou ao estudo da cominuição seletiva, de modo a melhorar o

desempenho de sistema de concentração a jusante, sendo realizado através de campanha

experimental em laboratório.

Além da campanha experimental em laboratório chegou-se a um resultado com

variáveis que determinaram um valor de separação no processo entre duas espécies minerais,

usando a metodologia algébrica incorporada a um programa computacional, o Scilab.

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O trabalho apresenta inicialmente uma revisão bibliográfica do problema da

cominuição com ênfase na cominuição seletiva. A seguir é apresentada a proposta da criação

de um modelo matemático para otimização da cominuição seletiva. Uma vez determinado o

modelo teórico, foi feita a validação de algumas variáveis do modelo a partir de ensaios

controlados de moagem em laboratório, tais tópicos serão a seguir detalhados.

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2. OBJETIVOS

• Modelar algebricamente o processo de cominuição seletiva de sistema binário

previamente liberado, a partir da reformulação do modelo matemático descrito por

Ray e Szekely (1973).

• Validar o modelo matemático através dos resultados empíricos.

• Demonstrar um estudo de viabilidade de separação prévia ao processo subseqüente de

moagem aproveitando as diferenças físico-químicas dos minerais.

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3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Uma partícula após entrar no moinho, sofre algumas transformações devido ao

processo de cominuição. Entre elas podem ser citadas: quebra de ligação química,

transformação química e mecânica, quebra da partícula por impacto, por compressão e por

abrasão, seleção da partícula para a quebra e formação de nova superfície de contato.

Segundo Ale e Figueira (2002), o comportamento das partículas minerais em um

moinho de bolas é determinado pelo tipo de regime de moagem:

“Tem-se dois regimes de moagem: Na moagem em catarata, a velocidade do moinho carrega as bolas até uma posição bem elevada e elas caem sobre as outras bolas e sobre a polpa causando fragmentação por impacto. Na moagem em cascata, a velocidade baixa do moinho e o alto fator de enchimento faz com que as bolas ao alcançarem uma certa altura rolem sobre as outras não havendo quase impacto e a moagem se dá por abrasão ou atrito”.

O tipo de fragmentação determina o gasto energético em consequência da liberação de

energia durante a quebra, e a transformação desta energia é um componente dependente do

tipo de material a ser moído. Os principais parâmetros operacionais que definem a energia

consumida são: o diâmetro do moinho, o comprimento do moinho, o volume da carga, a

velocidade e o tipo de moinho.

Baseando-se nos parâmetros operacionais, Datta e Rajamani (2002), formularam um

modelo no qual definem que a distribuição do tamanho das bolas, velocidade angular do

moinho e os diferentes tamanhos de moinhos, afetam diretamente o movimento da carga e,

portanto, a distribuição da energia de colisão. No modelo citado, a ação de queda no moinho

de bolas em cada colisão, afeta certa quantidade de material de uma classe granulométrica em

particular e ocasiona a quebra deste material. O material selecionado para a quebra é

16

16

redistribuído em granulometrias inferiores e esta distribuição depende da energia de colisão

entre as bolas e uma quantidade específica de massa de partículas.

Todos os trabalhos realizados definem a importância do aumento da eficiência do

moinho, considerando aspectos químicos, mecânicos e cinéticos. Através destes estudos,

observa-se a importância de determinar todas as variáveis que irão mudar valores de

eficiência de moagem e custo de operação, como: o diâmetro do corpo moedor, revestimento,

diâmetro do moinho e fatores no cálculo do custo de equipamento que deve ser reduzido

alcançando um resultado ótimo com a máxima liberação e/ou separação das espécies

envolvidas.

Fuerstenau e Abozeid (2002) estudaram a energia do moinho de bolas na cominuição,

definindo que a energia é dada pela razão de energia da nova superfície criada durante a

redução granulométrica pela energia mecânica fornecida para realizar a redução

granulométrica na máquina. Os resultados mostraram que em relação à energia associada com

a nova superfície produzida, o moinho de bolas é de certa forma ineficiente. Neste mesmo

artigo foram apresentados os valores plotados da cominuição do quartzo, todos os resultados

mostraram que a quantidade da nova superfície produzida é diretamente proporcional à

energia despendida, que obedece a lei de Rittinger.

A Lei de Rittinger (Beraldo, 1987), desenvolvida em 1867, sugere que a energia

consumida na cominuição é proporcional à nova superfície produzida. Rittinger utiliza a

relação entre energia consumida, granulometria de produto e da alimentação, estando

evidenciado na expressão:

−=

12

11

xxKE

(3.1)

Onde:

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x2 – diâmetro das partículas do produto;

x1 – diâmetro das partículas da alimentação.

A Lei de Kick (Beraldo, 1987), desenvolvida em 1885, estabelece que a energia

consumida na cominuição é dependente apenas da relação de redução, sendo independente da

granulometria original. É representada pela expressão:

=

2

1lnx

xKE

(3.2)

Onde:

x2 – diâmetro das partículas do produto.

x1 – diâmetro das partículas da alimentação.

A Lei de Bond (Beraldo, 1987) foi desenvolvida em 1952 após uma intensa campanha

de ensaios laboratoriais e correlações industriais. É uma lei empírica, à qual Bond preconizou

que a energia consumida na cominuição é proporcional ao comprimento das fissuras iniciais

que se desenvolvem no fraturamento. Atualmente, a Lei de Bond é amplamente utilizada em

escala industrial com vários fatores de correção.

Bond, em sua equação relaciona o consumo de potência com o grau de redução na

moagem, a qual pode ser expressa por:

F

Wi

P

WiW

1010 −=

(3.3)

18

18

Onde:

W – Consumo específico de energia em [J/kg-1];

Wi – Índice de trabalho (work index) [J/kg-1];

P – Abertura da peneira na qual passam 80% do produto final moído [µm];

F – Abertura da peneira na qual passam 80% de alimentação do moinho [µm].

A partir dos estudos realizados por Bond (1952), Rittinger (1867) e Kick (1885),

Morrell (2004) estudou uma nova relação para a energia específica requerida com a finalidade

de otimizar o circuito de moagem. Neste estudo, Morrell relata a dificuldade que Bond

encontrou quando passou da planta piloto à escala industrial na determinação do índice de

trabalho. Por esta razão houve a inserção dos fatores de correção. O índice de trabalho (Wi)

estudado por Bond é o principal parâmetro que diferencia a Lei de Bond das expressões

anteriormente propostas. O índice de trabalho (Wi) é uma constante do material (e, a rigor,

também do processo específico) representando a energia necessária para cominuir de uma

granulometria representada por um diâmetro infinito a uma representada por 80% passante em

100 mícrômetros.

Na verdade, o mesmo material pode exibir Wi diferente, dependendo das condições da

operação de cominuição, pois está implícito que o mecanismo de quebra do tamanho infinito

para até 100 µm seria o mesmo. Portanto é um valor de uma operação virtual, pois até certa

granulação o mecanismo pode ser essencialmente de destacamento de grânulos (fratura

interparticular), sendo que a partir dela, diminuindo-se o tamanho, o mecanismo de

fragmentação será nitidamente intraparticular.

Ora, nesses casos acima citados, naturalmente é de esperar diferenças na energia

específica consumida, mostrando que, na verdade o Wi não é necessariamente uma constante

intrínseca do material e sim depende da faixa de trabalho considerada.

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Realizando testes em escala piloto nos moinhos autógenos/semi-autógenos, Morrell

verificou que o índice de Bond (Wi) diminui com a diminuição da granulação do produto,

através desta conclusão é interessante relembrar que a definição do índice de Bond é:

“parâmetro de cominuição no qual expressa a resistência do material à britagem e à moagem”.

Sabe-se que a resistência da rocha aumenta com o decréscimo de tamanho devido às falhas

pré-existentes que reduzem com a diminuição do tamanho da rocha, constituindo a afirmação

supracitada uma indeterminação, sendo considerada perigosa tal conclusão. A descrição mais

completa proposta por Morrell para a equação de cominuição é:

( )( )

f x

dxdE Cg x

x= − (3.4)

Onde:

E – energia requerida por unidade de massa (energia específica) em kWh/t;

g(x) – função que descreve a variação das propriedades do material na quebra em

relação à granulação da partícula;

C – Constante descrita pela propriedade de quebra do material.

A variação das propriedades do material na quebra não acontece da mesma forma para

todas as rochas, mas é conhecido que determinadas rochas comportam-se de maneira similar.

Por esta conclusão a equação proposta se torna:

2 1( ) ( )2 1( )f x f x

iW M K x x= − (3.5)

Onde:

W – energia específica (KWh/t);

K – constante escolhida para balanço de unidades na equação;

20

20

Mi – índice relatado para a propriedade de quebra de um minério (KWh/t);

x2 – 80% do tamanho passante no produto;

x1 – 80% do tamanho passante na alimentação.

A equação para a função f(x) com melhores resultados é:

( ) ( )bf x a x= − + (3.6)

Onde:

a,b – constantes;

x – 80% da granulometria passante.

Morrell concluiu que atualmente é mais eficiente usar o expoente de granulação da

partícula sendo variável como proposto por Hukki, e não fixar o expoente de granulação da

partícula em – 0.5, como proposto por Bond, apresentando este último uma deficiência na

equação se não for utilizado os fatores de correção, acarretando um erro de 115% em circuitos

de moagem de autógenos e semi-autógenos.

O consumo de energia envolvido na moagem de moinho de bolas é um dos fatores

mais relevantes para otimização do processo de cominuição. O processo de cominuição é o

que envolve maior dispêndio de energia, e como consequência é uma das maiores

preocupações dentro beneficiamento de minerais. Como pequeno exemplo para análise, tem-

se o estudo de Ribeiro e Abrantes (2001) sobre otimização energética do processo de

moagem.

Alvarado e colaboradores (1998) estudaram o consumo de energia na moagem usando

a correlação de Bond, incluindo todos os fatores de correção. Esse estudo relaciona a

otimização do processo de cominuição a partir da segunda lei da termodinâmica. A parte mais

relevante como auxílio teórico deste trabalho está no fato da criação de uma função objetivo

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custo. A função objetivo relaciona a energia útil do processo de moagem somada à energia

útil da britagem. De acordo com este trabalho, a função objetivo depende apenas da

granulometria de alimentação.

Para maior compreensão do gasto de energia no processo de cominuição, é

interessante apresentar um trabalho recente de Silva e Luz (2007), no qual foi analisada a

relação anteriormente estudada por Thomas e Filippov (1999) entre o gasto energético no

processo de cominuição e a perda de energia térmica do sistema para o ambiente ao seu redor.

O estudo utiliza a Lei de Hukki que relaciona a energia consumida por unidade de

massa para reduzir o tamanho médio de partícula do material quebrado, e conclui a

dependência do consumo energético em função da distribuição granulométrica do produto.

O estudo proposto por Thomas e Filippov (1999) reconhece que trabalhos atuais sobre

energia despendida pelo processo de cominuição, necessitam de uma análise detalhada sobre

os parâmetros morfológicos das partículas minerais. Em relação ao consumo de energia, eles

afirmam que a ruptura mineral envolve muitos processos diferentes. Tais processos ocorrem

juntos ou sucessivamente e não devem ser desconsiderados nas relações de gasto energético.

De acordo com o trabalho realizado, é necessária uma descrição precisa de

propriedades geométricas do conjunto de descontinuidades naturais ou produzidas que

ocorrem na partícula mineral durante a fragmentação.

Thomas e Filippov (1999) ressaltam a importância de estimar o gasto de energia

térmica na criação de nova superfície da partícula para o balanço de energia do processo.

Nesse trabalho são sugeridas duas hipóteses como base teórica: a primeira fala que a

distribuição inicial da fratura é governada por uma lei fractal proposta por Turcotte (1986) e a

segunda é que há uma lei de escala para descrever a forma da fratura nas partículas.

22

22

Thomas e Filippov (1999) relacionam o modelo de gasto energético proposto por

Hukki e o modelo de estrutura fractal. Em conclusão ao trabalho, eles afirmam que o processo

de fragmentação é altamente dependente das propriedades estruturais do mineral original.

Em um estudo sobre a eficiência energética, Tromans (2008) fala sobre o alto custo do

processo de cominuição, descrevendo a natureza do processo que ele considerou como sendo

ineficiente por estar baseado na energia mecânica (tensão) relativa à área superficial da fratura

gerada (energia). Tromans destaca alguns estudos para aproveitar melhor o conceito de

energia de superfície e cita o trabalho de Stamboliadis (2007) no qual conclui que a energia de

superfície é uma propriedade que pode ser usada para definir a moabilidade do material. Neste

trabalho, foi estudada a quebra da partícula por compressão para conhecer um limite máximo

teórico de energia de eficiência dentro das condições de fratura ideal na cominuição

(compressão).

O estudo da fratura nos minerais, realizado por Tromans (2007), inicialmente foi feito

através do estudo de tensão uniaxial. Esse estudo sobre fratura nos minerais está relacionado à

energia requerida para criar uma nova fratura, sendo o limite ideal máximo de eficiência (que

ele denominou por Elimite) baseado na energia requerida para a criação de uma fratura. Entre

os resultados obtidos por ele, 66 % é o limite ideal máximo de eficiência considerando uma

carga de tensão uniaxial. Através da carga de compressão sobre a partícula, Tromans conclui

sobre a necessidade de se produzir tensão para a propagação de uma falha pré-existente.

Conclui também como a razão de Poisson e a tensão triaxial influenciam no limite máximo de

energia de eficiência.

Stamboliadis (2007) em seu estudo teórico relaciona granulometria e energia, estudo

no qual ele denomina de “teoria da distribuição da energia na cominuição”. Nesse estudo, ele

relembra as três pricipais teorias da cominuição que foram propostas por Kick (1885),

Rittinger (1867) e Bond (1952).

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Stamboliadis (2007) denomina “índice de moabilidade” a energia requerida para

cominuir certa quantidade de material de granulometria inicialmente grossa para uma

granulometria fina. Esse estudo faz referência às principais equações utilizadas para

determinar uma distribuição granulométrica, que são a de Rosin – Ramler (R-R) e a de Gates-

Gaudin-Schuhmann (G-G-S), que calculam com aceitável exatidão os tamanhos d50 e d80,

utilizados normalmente para descrever o produto de granulometria mais fina da moagem.

O autor acima citado ressalta, porém, que nenhuma destas equações podem ser

utilizadas para calcular a área superficial específica. De acordo com ele, a área superficial

tende ao infinito quando a granulometria se aproxima de zero, desta forma, conhecendo a área

superficial de uma amostra é possível calcular a granulometria de outra amostra com mesma

área superficial específica. Entre algumas outras conclusões, Stamboliadis (2007) fala que a

tensão superficial (medida em J/m2) é a propriedade física dos materiais que pode ser usada

para definir sua moabilidade.

Em mais um estudo sobre energia, porém em relação à cinética do moinho de bolas,

Kheifets e Lin (1998) propôs uma relação que utiliza energia em lugar de tempo. O modelo é

similar ao modelo clássico da cinética química, porém o tempo é substituído pela energia e a

temperatura substituída pela relação de força. Como conclusão, a dependência entre a força e

a eficiência energética foi confirmada experimentalmente. A substituição do tempo pela

energia, e da temperatura pela força através do aparato matemático clássico da cinética

química, possibilitou descrever o processo de redução granulométrica quantitativamente com

a unificação de técnicas para escala industrial de moagem.

Entre os esforços para otimizar o processo de cominuição, encontra-se o estudo de

Mishra (2003) que utiliza o método de elementos discretos (DEM) para otimizar o processo

de moagem através da simulação computacional. Ele analisa o movimento da carga dentro do

24

24

moinho de bolas, considerando que este movimento tem grande influência na cominuição

juntamente com a distribuição de energia.

O estudo de Mishra (2003) aborda a importância das mudanças físicas e químicas na

partícula através da compreensão da quebra de uma única partícula, do movimento da carga

no moinho e da medida das forças que atuam dentro do moinho. Para analisar a energia

utilizada no processo de moagem, ele relaciona a corrente de energia e a eficiência de

moagem ao movimento da carga e à colisão resultante das bolas que utilizam a energia para

fraturar as partículas. Através das observações supracitadas, a energia é dada por:

TNP π2= (3.7)

O torque é dado por:

(3.8)

Onde:

T – torque;

Mb – massa das bolas;

rg – distância do centro do moinho ao centro de gravidade da carga;

α – ângulo de repouso da carga de bolas;

N – velocidade do moinho em rpm.

Mishra (2003) admitiu que o movimento da carga acontece em função do tipo de

revestimento usado. O desgaste do moinho também é importante no processo de cominuição,

porém é resultado de vários processos complexos, que devem ser detalhados para melhorar o

desempenho da moagem. Ele utiliza argumentos que podem validar o modelo de balanço

populacional a ser usado no modelamento em mircroescala, porque o modelo faz um

prognóstico sobre a distribuição granulométrica das partículas na moagem. O modelamento

αsenrMT gb=

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em microescala envolve a quebra de uma única partícula e a energia de impacto para que

ocorra a distribuição granulométrica das partículas. O espectro da energia de impacto pode ser

obtido através da simulação com DEM (Métodos de Elementos Discretos).

Além dos estudos desenvolvidos por Mishra (2003), Dong e Moys (2002) também

utilizaram o DEM para simular e analisar a trajetória de uma bola no processo de moagem.

Eles plotaram a trajetória de entrada de uma bola, antes e depois do impacto sobre a

carcaça do moinho, sob diversas velocidades. Através deste estudo, Dong e Moys (2002)

conseguiram determinar um coeficiente entre a bola e a carcaça do moinho, para determinar a

posição da carga no moinho e a velocidade da bola após o impacto.

Partículas minerais fragmentadas podem ser incorporadas na simulação do processo de

moagem, que é baseado nas dinâmicas de uma partícula individual (DEM), porém, quando

devem ser consideradas partículas de granulometria muito fina o método pode se tornar

limitado. Este conhecimento foi reafirmado por Gates e Westcott (2000) ao estudar

probabilidade de distribuição granulométrica após a fragmentação. Eles estudaram um

processo de quebra baseado na estatística de Poisson e disponibilizaram um exemplo de

população de fragmentos.

Um ótimo estudo para observar com maior detalhe a precisão do DEM em relação aos

dados experimentais é o de Makokha e colaboradores (2007). O objetivo do trabalho foi

otimizar o desempenho do moinho. Os resultados simulados em relação à posição de carga

dentro do moinho expressam bem a realidade da campanha experimental realizada.

Está bastante clara a importância de usar o DEM (Método do Elemento Discreto) na

simulação do processo de cominuição. É possível também simular o fluxo de sólido

particulado dentro dos moinhos pelo método DEM. Este estudo foi realizado por Cleary

(2006) e analisa o transporte axial das partículas dentro do moinho. É um trabalho recente

sobre o movimento de fluxo de minério.

26

26

O modelo de balanço populacional (King, 2001), analisa as propriedades das

partículas através de suas coordenadas internas e externas. A idéia é que as partículas

modificam suas coordenadas quando se movem pelo ambiente, processando e modificando a

estrutura física e suas características internas.

Através do reconhecimento das coordenadas externas e internas de uma partícula, é

possível conhecer sua posição no espaço, sendo extremamente importante em determinados

modelos matemáticos. O tamanho da partícula, assim como a energia específica de

superfície, possivelmente um dos principais parâmetros na otimização de um circuito de

moagem, são considerados um exemplo de coordenada interna.

Para máquinas de cominuição, o uso da equação geral de balanço populacional é

gerado dentro das seguintes condições: tem-se apenas uma coordenada interna que é a

granulação da partícula, o processo de desgaste e de quebra da partícula não é dependente da

posição da partícula no moinho e as coordenadas externas são muito relevantes.

A equação de balanço populacional para um sistema de partículas na fragmentação é:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, , ,

v

n tu u n u t du n t

t

υφ ω υ φ υ υ

∞∂= −

∂ ∫ (3.9)

Onde:

( ),n t dυ υ - concentração de um número de partículas em determinada granulometria

( ), dυ υ υ+ , #/cm3.

( )φ υ - razão de quebra para partículas de granulometria υ, s-1.

( ),u dω υ υ - número provável de partículas formadas em determinada granulometria (υ, υ + d

υ) pela quebra de uma única partícula de granulometria υ, adimensional.

,u υ - Volume de partícula, µm3.

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Através das análises de Frandrich e colaboradores (1997) para desenvolvimento do

modelo de liberação mineral, tem-se novamente o auxílio da equação de balanço

populacional. A equação de balanço populacional é uma boa ferramenta para previsão da

granulometria do produto no processo de cominuição, e foi utilizada nesse estudo onde se

descreve o desenvolvimento de um modelo de liberação mineral para o leito de fragmentação

de partícula de um minério binário de óxido de ferro. Entre os resultados obtidos, as medidas

de liberação realizadas nos produtos do leito de fragmentação de partícula do minério binário

de óxido de ferro mostraram um lugar de quebra preferencial nas partículas.

Khumalo e colaboradores (2007) também utilizaram o modelo de balanço

populacional em suas análises sobre energia específica no processo de cominuição. Eles

modelaram o produto experimental do processo de moagem e apresentaram os resultados

geometricamente no espaço bi-dimensional.

Outro trabalho interessante que utiliza um modelo matemático para simular o processo

de moagem com moinho de bolas é o de Carrisso e Possa (1993). Eles utilizaram um modelo

cinético a partir do modelo de balanço populacional. As variáveis utilizadas na simulação

foram: função distribuição de tempo de residência (h(t)), função de quebra (B) e função de

seleção (S).

Para ressaltar a importância do detalhamento da cinética de fragmentação no processo

de cominuição, é interessante comentar sobre um estudo que também utiliza a cinética da

quebra durante a carga de compressão sobre a granulometria de alimentação confinada em um

leito de partícula. Este estudo foi realizado por Gutsche e Fuerstenau (1999). Eles afirmam

que a evolução do espectro granulométrico com a energia gasta é um processo assintótico.

Foi observado que para simular o processo de cominuição, normalmente é utilizado o modelo

de balanço populacional. Kwade (2004) direcionou seus estudos a partir de um modelo físico

com o objetivo de otimizar o processo de cominuição.A análise para a otimização foi baseada

28

28

na ação da energia de tensão que ocorre no processo de cominuição. A partir dos resultados

analisados, Kwade oferece algumas mudanças futuras para o processo de moagem pelo

modelo de tensão.

Um estudo proposto por Teke e colaboradores (2002) estuda a cinética do moinho de

bolas conduzindo moagem a úmido nos minerais de calcita e barita. Eles utilizam o Si (função

seleção) e o Bij (função de quebra) para obter resultados de distribuição granulométrica

através de simulação e comparar com experimentos realizados. O estudo relata o aumento ou

diminuição dos valores de Si em função da granulometria de alimentação e do tamanho da

bola como corpo moedor.

Teke e colaboradores (2002) observaram que, com longo tempo de moagem, Si

decresce com o acúmulo de material fino no moinho. Na simulação, usaram-se valores de Bij

e Si obtidos em laboratório. Através da opção de circuito aberto no simulador eles utilizaram

Bij e Si para gerar valores da distribuição granulométrica da alimentação.

Pela comparação de valores obtidos na moagem da calcita e da barita, eles observaram

que com o aumento da granulometria de alimentação, o valor de Si aumenta

proporcionalmente para ambos minerais. Para granulometrias finas, o efeito que ele

denominou como abaixamento da taxa de quebra começa a acontecer primeiro na moagem da

barita em relação à calcita. Foi observado que os valores de γ (constante característica

denominada fator de finura) da barita são menores do que os valores da calcita, indicando que

mais finos são produzido na moagem da barita.

O trabalho realizado por Teke e colaboradores (2002) determinou os seguintes

resultados:

1. Para a calcita, os valores de Si aumentam com o aumento da granulometria da

alimentação. Em relação ao corpo moedor, bolas menores aumentam os valores de Si.

29

2. Por um fator de 1,15, os valores de Si da barita são maiores que os da calcita

considerando condições normais de moagem.

3. O decréscimo de eficiência de moagem pode ser causado pelas partículas finas que são

difíceis de quebrar.

4. A razão para o efeito de abaixamento da taxa de quebra acontecer primeiro para a

barita é devido a seu fator γ, chamado de fator de finura, que é menor em relação à

calcita.

Bearman, Briggs e Kojovic (1997) estudaram através de testes específicos, o processo

de cominuição em relação à resistência das rochas. Nesse estudo, são utilizados testes dentro

da mecânica de rochas para medida de fragmentação. Neste trabalho foi investigada a relação

dos parâmetros de tensão na fragmentação das rochas. Os resultados obtidos são utilizados

com sucesso para a simulação e otimização de circuitos de moagem.

Para otimizar o processo de moagem em relação a parâmetros operacionais, Schnatz

(2004) estudou como a variação da razão L/D, a razão de adição de carga de bolas e o tempo

de residência afetam na demanda de energia específica. Entre os resultados, tem-se um

abaixamento na demanda de energia específica utilizando bolas menores. Foi observado que o

tempo de residência otimizado depende não apenas do material da alimentação, mas também

da razão de adição de carga de bolas e da razão L/D.

Em trabalho mais recente de otimização de circuito de moagem, é interessante apenas

comentar sobre o sistema de simulação dinâmica desenvolvido recentemente pela CSIRO

Minerais. É um programa de ambiente gráfico chamado Matlab/Simulink usado para construir

um conjunto de comandos de modelos matemáticos dinâmicos. O estudo foi realizado por Liu

e Spencer (2004).

30

30

Como mostra a revisão bibliográfica realizada, o processo de cominuição tem sido

destacado em vários estudos visando à obtenção de uma melhor qualidade de produto. Foram

estudados vários modelos matemáticos visando o aumento de eficiência no moinho de bolas.

Cada vez mais em busca de modelos simplificados e eficientes, encontram-se

propostas que são baseadas na física, na química e na matemática, que compõe o trabalho

realizado.

Para exemplificar, será mostrado a seguir o modelo matemático de otimização em

sistema de estrutura decomposta para duas espécies minerais.

3.1. Modelo de Ray e Szekely

Ray e Szekely (1973) utilizaram o princípio máximo discreto para formular o modelo

matemático de otimização em sistemas de estrutura decomposta.

O modelo utilizando o princípio máximo discreto (Ray e Szekely, 1973) é eficiente

apesar das simplificações adotadas nas suas premissas. A base do modelo se baseia no estudo

de população de partículas sólidas obedecendo à distribuição log normal, e ignorando os

fenômenos que ocorrem na cominuição pela análise de uma única partícula.

A distribuição granulométrica através do modelo log normal adotada por Ray é

calculada por:

(3.10)

( ) ( )

−−=σπσ 2

2

log2

loglogexp

2log

1 dddy

31

Onde:

d – diâmetro médio da partícula.

σ2 – variância do material.

y(d) – fração do material com diâmetro entre d e d + ∆d.

O desvio padrão dos materiais depende da granulometria de cada um, de forma que irá

modificar ao longo do processo de cominuição com a mudança na granulação dos materiais.

O desvio padrão será diferente para cada material, sendo a constante de moabilidade

também diferente. Ray e Szekely (1973) expressaram esta evolução do desvio padrão de uma

das espécies de forma simplificada:

(3.11)

Onde k é um parâmetro dependente do material utilizado na moagem, sendo que em

seu exemplo de aplicação para o último estágio de moagem os autores adotaram os seguintes

valores de k:

K = 0,9 para o material A.

K = 0,85 para o material B.

Pelo modelo proposto por Ray e Szekely, a função-objetivo relaciona a granulação

final em cada estágio de moagem e o custo de equipamento que é proporcional ao tempo de

residência. Quanto menor o tempo de residência, menor o desgaste do equipamento e menor o

seu custo operacional.

Como função-objetivo, tem-se então:

k

in

outinout d

d

= σσ

32

32

(3.12)

A função objetivo está submetida aos vínculos representados pela granulação de saída

de cada material. Sem considerar os modelos mais comuns de balanço populacional

(utilizando conceitos como funções de seleção e de quebra), Ray e Szekely (1973) adotaram

as seguintes equações vinculantes:

(3.13)

(3.14)

Onde:

dA∞ – tamanho limite da espécie para um tempo de moagem infinito [m];

x1N – tamanho de saída do material A no enésimo estágio de moagem [m];

x2N – tamanho de saída do material B no enésimo estágio de moagem;

x(x-1) – tamanho de entrada do material A no enésimo estágio de moagem;

x2(x-1) – tamanho de entrada do material B no enésimo estágio de moagem;

τn – tempo de residência considerando no enésimo estágio de cominuição [s];

CAn – constante de moabilidade do material A no enésimo estágio de moagem;

CBn – constante de moabilidade do material B no enésimo estágio de moagem;

α – constante ponderadora relacionada ao custo do equipamento.

∑=

−

−−

−

=3

11

85,0

22

9,0

11 5,2

7,222

22

nn

N

NN

NN

x

xx

xx

I τα

∞

−

++

= A

nAnn

n dC

x

xτ

)1(1

1 11

∞

−

++

= B

nBnn

n dC

x

xτ

)1(2

2 11

33

Para tornar as variáveis da função objetivo independentes, esses autores aplicaram a

técnica dos multiplicadores de Lagrange, necessidade imposta para utilizar o Princípio

Máximo Discreto, que coloca a função-objetivo como:

(3.15)

No caso do exemplo dado por Ray e Szekely, G(XN) será:

( )13

85,0

2323

9,0

1313

3

5.27.22

222

x

xx

xx

xG

+−

−=

(3.16)

Sendo Fn:

nn uF α−= n = 1, 2, 3 (3.17)

Deste modo a função objetivo será:

(3.18)

Aplicando a condição estacionária de Kuhn-Tucker para um valor ótimo, tem-se:

(3.19)

O valor de Hn pode ser interpretado como resultado da função lagrangeana para o

enésimo estágio. Pela instância supracitada, o valor de Hn para o exemplo dado será:

( ) ( ) ( )Nnn

N

nnnn xGuxFuuuxxxI += −

=∑ ,,...,,,,..., 1

12121

( )3321 xGFFFI +++=

( ) ( )nnnT

nnnn uxfuxFH ,, 11 −− +≡ λ

34

34

(3.20)

Onde

=

n

n

2

1

λλ

λ é um vetor dos multiplicadores de Lagrange para o enésimo

estágio, que é dado pela derivada parcial em relação à Hn e G(x). Pelo teorema do princípio

máximo discreto esta derivada é calculada da seguinte forma:

n

nTn x

H

∂∂

= +1λ (3.21)

N

TN x

G

∂∂=λ (3.22)

Sendo que o resultado desta derivação para o problema proposto é:

(3.23)

(3.24)

++

+

++

+−= ∞

−

∞

−

B

nBnn

nA

nAnn

nnn duC

x

duC

x

uH

12

2

11

1 11

11 λλα

2

1

2

111

111

11

1

+=

++

+n

nAnn

nn xuCx

λλ

2

2

2

112122

11

+=

+++

nnBnnnn xuCx

λλ

35

e

(3.25)

(3.26)

3.2 Exemplo de Cominuição Seletiva.

Foi realizado, no laboratório de tratamento mineral da UFOP, o processo de separação

entre gibsita e quartzo por atrição seguida de corte granulométrico (Luz, 2006). O processo de

atrição pode ser considerado um processo de cominuição por abrasão, como, por vezes, na

moagem autógena. Devido à moabilidade maior da gibbsita, esta fase mineralógica fica

granulometricamente mais fina que o quartzo (para uma alimentação com os constituintes

com a mesma granulação). O resultado nesse caso específico, porém, está relacionado com o

processo de separação (concentração com enriquecimento de dada fase com a fase de

interesse) e não propriamente de liberação de partícula mineral. A título de ilustração, os

resultados, após peneiramento, são apresentados nas figuras 3.1, 3.2 e 3.3, a seguir (Luz,

2006):

( )13

3

13

1.0

13

13

229.01

x

xG

x

x

−

−=

−

λ

13

15.0

23

23

5.22

5.2

7.11

x

x

+−

=

−

λ

36

36

Figura 3.1 – Alimentação do sistema de atrição. Material: gibbsita e quartzo.

Figura 3.2 – Avaliação visual do sistema de atrição. Material, da esquerda para a direita: alimentação, produto grosso (quartzoso) após separação por peneira e produto fino (gibbsítico) após separação por peneira.

37

Figura 3.3 – Avaliação visual do produto grosso (quartzoso) empobrecido de gibbsita, após corte granulométrico subsequente à atrição.

Como podem ser observadas, as partículas de quartzo estão concentradas no material

de granulometria grosseira, obtendo desta forma uma comparação real para o processo em

estudo que é a separação por diferentes granulometrias.

38

38

4. METODOLOGIA

Primeiramente fez-se um estudo sobre um possível modelo matemático algébrico para

posteriormente fazer o trabalho experimental. Para tanto, previu-se os seguintes itens: o

modelo de Ray e Szekely que foi tomado como referência para a formulação de um modelo

com novas propostas, o Scilab que auxiliou na execução do processo empírico, amostras,

ensaios de moagem e determinação do teor nas amostras.

O material que foi utilizado estava liberado para que a fragmentação pudesse

promover as condições que permitissem facilitar a subsequente separação de duas espécies de

diferentes moabilidades.

4.1. Amostras

Os minerais utilizados para o trabalho foram o quartzo e a calcita, que já estavam

liberados em consequência do principal motivo ser a separação da mistura pelas diferenças de

moabilidades entre os mesmos. Optou-se por estudar uma mistura binária já liberada para

simplificação do modelo. Futuramente os resultados servirão para balizar modelos

matemáticos mais complexos.

O quartzo, proveniente da pedreira Taquaral, cidade de Ouro Preto – M.G., possui

estrutura cristalina composta por sílica (dióxido de silício, SiO2).

39

Figura 4.1. Cristais do quartzo utilizado no presente trabalho (pedreira Taquaral).

Figura 4.2 Quartzo da pedreira Taquaral pronto para ser britado.

A calcita foi cedida pela Lage Minérios Limitada – Lamil, oriunda de sua cava em

Pará de Minas (MG). A Lamil é uma empresa cujo produto principal é o agalmatolito, que

possui aplicação em vários segmentos da indústria química. A calcita é um mineral com

composição química CaCO3 e com a notável característica de apresentar clivagem

romboédrica pefeita.

As amostras foram preparadas da seguinte forma:

40

40

As amostras foram britadas e bitoladas em faixa granulométrica abaixo de 3,35 mm,

pois, devido a indisponibilidade de amostra ilimitada deve-se procurar bitolar o material em

faixa mais ampla para que se possa ter o maior coeficiente de aproveitamento das amostras

disponíveis. Em virtude de o objetivo ser o modelamento do processo, foram usadas amostras

de minérios sintéticos com dois minerais de diferenças de moabilidades bem acentuadas, para

facilitar a formulação e a posterior calibração do modelo.

4.2. Modelagem do Processo

Para a modelagem do processo, previu-se primeiramente o tempo de residência e em

último momento incorporou-se o custo de cominuição.

4.2.1. Generalidades

Para a modelagem do processo foram estudadas as seguintes variáveis:

� Tempo de residência.

� Granulometrias da alimentação e produto para cada tipo de mineral.

� Agudez e diâmetro mediano da calcita e do quartzo.

� Teor de calcita.

41

4.2.2 Modelo de cominuição seletiva

Para o novo modelo apresentado, a granulometria de entrada e saída não foi descrita

pela distribuição log normal e sim pela distribuição de Rosin-Rammler, ao contrário do

modelo de Ray e Szekely, isto porque a distribuição Log Normal apresenta dificuldades de

manipulação algébrica (por exemplo, não é Rieman-integrável), além de estar atualmente em

desuso, visto que as distribuições como Rosin-Rammler, Gates-Gaudin-Schuman, Gaudin-

Meloy são muito mais utilizadas.

Essa distribuição é expressa por:

(4.1)

Onde:

Y i – Fração granulométrica passante acumulada de material na classe granulométrica i;

di – tamanho (diâmetro) da classe i [m];

d50c – tamanho nominal de corte (d50) [m];

m – parâmetro de agudez (ou módulo da distribuição) [-].

A representação gráfica idealizada da evolução das equações de Rosin-Rammler

descritoras da granulação de saída dos dois materiais considerando hipoteticamente uma

mesma alimentação de entrada, após um tempo t de moagem, pode ser vista na figura 4.3.

( )

−−=

m

c

ii d

dY

50

5,0lnexp1

42

42

Figura 4.3 – Evolução da granulação das espécies mineralógicas com o progresso da cominuição.

A área a ser minimizada estará sujeita as restrições econômicas (como o tamanho do

moinho, por exemplo) e também às restrições técnicas do processo (como a variável

tratabilidade dos produtos a processos subsequentes, como por exemplo, concentração

densitária). Isso realça a importância de se estabelecer uma função penalidade vinculada a

este conflito técnico-econômico, como quando se tem produção de muito fino no processo de

moagem.

Para valores típicos experimentais em função do diâmetro do moinho (Machado, 1985.)

em princípio, o modelo adotou como valores “default”, os segmentos:

43

• Porosidade do leito Є ≈ 20%

• h ≈ 0,45 x D

• L ≈ 1,3 x D

O custo do equipamento pela expressão proposta por Parkinson e Mular (1972) foi dado

por:

(4.2)

a – custo do equipamento de referência no presente histórico [$];

b – parâmetro igual a 0,54 para moinho de bolas com revestimento [-];

P – potência do equipamento [W].

Para o cálculo da potência:

(4.3)

L – comprimento do moinho de bolas.

D – diâmetro do moinho de bolas.

Para todos os valores citados anteriormente, tem-se um custo de equipamento para

moinho de bolas de acordo com o seguinte modelo matemático:

54,00 )(6,304 PC ×= (4.4)

Onde:

P – potência do moinho de bolas [W].

( )bcusto a P=

5,29540 DLP ××=

44

44

Para auxiliar na validação do modelo e na análise dos resultados do processo de

cominuição seletiva, utilizou-se o Scilab, um software com as características, descritas no

sub-item 4.4.

4.3. Ensaios de Validação do Modelo

Os ensaios para validação do modelo foram ensaios de moagem para determinação de

tempo de residência, gasto de energia e volume da carga de bolas a ser utilizado, ensaio de

peneiramento para determinar a granulometria de entrada e saída do material no moinho de

bolas e a separação das espécies minerais anteriormente misturadas.

4.3.1. Britagem do material

Todo o material foi britado para atingir a granulometria abaixo de 3,35 mm.

Foi feita a britagem inicialmente em britador de mandíbula e posteriormente, quando

necessário, o material que ficou retido na peneira de 3,35 mm, foi britado em britador de rolo.

Todo o material britado foi peneirado, o passante foi amostrado e moído em variados

tempos de moagem. A amostragem do material a ser moído foi feita através do método de Gy.

45

4.3.2. Massa mínima da amostra pelo método de Gy

4.3.2.1 Método de Gy

A representação verdadeira de um grande corpo mineral por uma pequena amostra a

ser tratada em laboratório é uma tarefa difícil. As dificuldades são principalmente em apurar

uma adequada granulometria de amostra e determinar a quantidade exata no qual a amostra

representa a amostra total.

Em cada caso a exatidão da amostra final dependerá da probabilidade matemática na

qual a amostra representa o material total. Vários métodos têm sido apresentados para

aumentar a probabilidade representativa do mineral como um todo. Foi desenvolvido por Gy

um método extensamente utilizado, de mesmo modo, envolvendo ambos, granulometria e

precisão de análise da amostra. Gy introduziu um modelo baseado em equiprobabilidade de

espaços amostrais (Gupta e Yan, 2006).

4.3.2.2. Amostragem pelo método de Gy.

Inicialmente, todo material de quartzo e calcita foi britado (separadamente) até atingir

uma granulometria abaixo de 3,35 mm. Após a britagem calculou-se o peso da amostra

representativa para os ensaios de moagem com o auxílio do método de Gy (Wills e Napier-

Munn, 2006).

46

46

Os cálculos realizados para a amostragem do material de peso aproximado inicial

equivalente a 5.000 g foi:

3

2MAX

MIN

KdM

σ= (4.5)

dMAX = granulometria da maior partícula.

MMIN = massa mínima requerida da amostra.

σ2 = variância do erro amostral permitido na análise (no caso de uma distribuição normal é

igual ao desvio padrão).

K é usualmente referido como constante de amostragem (kg/m3)

K = PS PD PL. m

Onde PS = fator de forma da partícula (usualmente tomada como sendo 0,5 para partículas

esféricas, 0,2 para minério de ouro).

PD = fator de distribuição de partícula (usualmente entre 0,20 – 0,75 com valores maiores para

distribuições granulométricas curtas, usualmente entre 0,25 e 0,50 quando o material é de um

determinado tamanho)

m = fator mineralógico.

Desta forma, para o cálculo de massa mínima, dMAX = 3,35 mm, PS = 0,5, PD = 0,25, PL = 1,0,

m = 4.664 kg/m3, K = 583, σ = 0,30 % :

3

2

3,35583

10002,43 2,5 kg

0,30MINM

⋅ = = ≅

(4.6)

47

4.3.3. Cálculo do tamanho de bola

4.3.3.1 Fórmula de Bond

A teoria de Bond para o qual a partícula de maior granulometria na alimentação

determina o tamanho de bola de maior diâmetro para a quebra de partículas é bastante

conhecida. Bond (1961) declarou em sua teoria da cominuição, “O princípio geral de seleção

é que o tamanho adequado para a constituição granulométrica média na moagem é justamente

o tamanho no qual irá quebrar a maior partícula da alimentação.” É melhor determinada para

cada situação específica por teste de comparação (Partyka e Yan, Fine Grinding in a

horizontal Ball Mill).

Foi realizado o cálculo do corpo moedor também pelo método de Azzaroni (Gupta e

Yan, 2006), porém o resultado não foi tão satisfatório como pelo método de Bond.

4.3.3.2 Cálculo do corpo moedor

Para o cálculo do tamanho de corpo moedor, foi utilizada a fórmula de Bond, sendo a

equação aplicável em escala industrial. Bond encontrou que para uma dada granulometria de

alimentação, o maior tamanho de bola requerido pode ser determinado utilizando a seguinte

equação:

48

48

3SG x WF

B 25.4K (% Cs) 3.281D

i= (4.7)

B = diâmetro da bola (mm),

F = 80% passante da alimentação (µm),

K = uma constante empírica = 350 para moagem a úmido,

= 335 para moagem a seco,

SG = densidade específica do material,

Wi = Índice de trabalho de Bond,

%Cs = fração da velocidade crítica,

D = Diâmetro interno do moinho (m).

De posse dos valores, F=3350 µm, Wi=14,4 KWh/t curta, K=335, SG=2.65, %Cs=

70% (Considerando 70% da velocidade crítica de acordo com o artigo “Fine Grinding in a

horizontal Ball Mill”), D=0.206 m, foi calculado o tamanho do corpo moedor:

33350 2.65 x 14.4

B 25.4 70.0419534 70335 (70) 3.281 0.206

mmx

= = ≅ (4.8)

Resultando em 70 mm para escala industrial, houve necessidade de adequação para

escala de laboratório, utilizando-se um corpo moedor de 40 mm.

49

4.3.4. Ensaios de Moagem.

Foi utilizado inicialmente e finalmente apenas um moinho de bolas. O dimensionamento

do moinho para maximizar o resultado de separação entre espécies minerais e minimizar o

custo de equipamento possuiu a seguinte proposta:

� O tempo de residência é proporcional ao tamanho do moinho.

� O gasto energético é uma variável da função penalidade.

A moagem de todo material foi feita em moinho de ferro de 20,6 cm de diâmetro e 20,4

cm de comprimento, sendo o corpo moedor também de ferro.

Após moagem e análise granulométrica de todo material, foram plotados os valores da

porcentagem passante com ajuste de Rosin-Rammler em um único gráfico para comparação.

4.3.5. Análise granulométrica

Para determinação no número de bateladas de peneiramento das amostras estudadas

realizou-se preliminarmente o cálculo de capacidade máxima das peneiras, a partir da equação

seguinte:

2

22 4

i sd d Dm

π ρ+= × × × (4.9)

50

50

m=massa máxima (g),

di=abertura das peneiras em questão (cm),

ds=abertura da peneira imediatamente acima da escala (cm),

D=diâmetro da peneira (cm),

Ρ=massa específica (g/cm3) da amostra a ser ensaiada.

O diâmetro das peneiras utilizadas foi 20 cm e o cálculo da massa inicial das amostras

para análise resultou em aproximadamente 300 g.

As análises granulométricas foram realizadas a seco em duplicata e algumas em

triplicata, antes e após moagem do material nos tempos de 0, 300, 900, 1800, 3600 e 7200

segundos. Foram feitas análises granulométricas de 40 % de quartzo, 40 % de calcita, 20 % de

quartzo e 20 % de calcita. Também foi realizada a moagem do quartzo, calcita e da mistura

binária de 40 % de quartzo, 40 % de calcita, 20 % de quartzo e 20 % de calcita. O tempo de

peneiramento para a análise granulométrica do material foi de 20 minutos para duas séries de

peneiras, sendo a primeira série composta pelas frações de 8#, 10#, 12#, 14#,16#, 20#, 28# e

35#, a segunda por 48#, 65#, 100#, 140#, 200#, 270#, 325#, 400# e – 400#.

Através da análise de gráfico no Easyplot pela porcentagem passante e tamanho da

abertura da peneira (em micrômetro), foi retirado o valor da agudez do material, do diâmetro

mediano e do coeficiente de correção R2.

A moagem do quartzo bitolado foi realizada na granulometria entre 3,35 e 4,75 mm,

para a análise do possível comportamento refratário de finos durante a moagem que modifica

o valor da agudez. Os tempos de moagem para o material bitolado também foram de 0, 300,

900, 1800, 3600 e 7200 segundos. Análises granulométricas foram realizadas após moagem

para encontrar valores da agudez e diâmetro mediano do quartzo bitolado.

51

4.3.6. Determinação de teor

Para análise do teor de um minério, contendo gibbsita e quartzo, Luz (2006) utilizou o

método de termogavimetria simplificada, no qual a composição era determinada por análise

térmica, ou seja, por desidroxilação parcial da gibbsita.

O processo utilizado para a análise de teor da Calcita e do Quartzo, de modo análogo

será a Calcinação.

A calcinação é um processo de aquecimento de um sólido até a liberação de

constituintes voláteis, utilizada principalmente para obtenção de óxidos. Consiste na remoção

da água, do CO2 e outros gases presentes ligados quimicamente à substância que se deseja

calcinar.

Para a calcita, obtém-se o óxido de cálcio pela queima acima de 900 ºC do carbonato

de cálcio (CaCO3) com liberação de gás carbônico. Portanto haverá decréscimo de massa da

amostra, contendo calcita, após sua calcinação.

O quartzo possui estrutura cristalina composta por sílica (dióxido de silício, SiO2),

portanto sem transformação química de acréscimo ou decréscimo de massa durante a

calcinação.

Desta forma, a equação será:

(4.10)

Assim, a partir da perda de massa por calcinação é possível quantificar (por mera

estequiometria) os teores de calcita e quartzo em cada uma das granulometrias estudadas.

As etapas para efetuar a calcinação foram realizadas da seguinte forma:

23 COCaOCaCO +→∆

52

52

1º - Moagem do material.

2º - Peneiramento.

3º - Seleção do material a ser calcinado, devidamente separado em granulometrias de 8#, 10#,

12#, 14#, 16#, 20#, 28#, 35#, 48#, 65#, 100#, 140#, 200#, 270#, 325# e 400# resultante do

peneiramento após todo o processo de moagem a seco. Para obtenção de uma quantidade

satisfatória de material a ser calcinado, foi necessário muitas vezes fazer 3 ensaios de

peneiramento porque para algumas misturas, o material peneirado não atingiu 5 g.

4º - O material foi aquecido na estufa a uma temperatura de 120º durante 1 hora.

5º - Pesagem (massa seca = ms).

6º - Aquecimento da amostra em mufla à 950ºC durante 1 hora.

7º - Resfriamento em dessecador.

8º - Pesagem (massa calcinada = mc).

Desta forma, para cálculo do teor tem-se:

(4.11)

(4.12)

Onde:

2calcinadaseca CO de massa mm m =−=∆ (4.13)

g/mol 44,0 CaOg/mol 100,1

g/mol 162 g/mol 12 CaO g/mol 163 g/mol 12 40,1

COCaOCaCO 23

+→

×++→×+++→

∆

∆

∆

m100,1g

44g calcita da Massa ∆×=

53

(4.14)

Após todo o processo de calcinação de amostras de composição previamente

conhecidas, foi feita a curva de calibração, através da linha de tendência linear para os pontos

de teor de calcita em relação à perda de massa, obtendo-se a partir desta linha a equação para

cálculo de teor, sendo do tipo:

y ax b= + (4.15)

A necessidade de duas curvas de calibração foi proveniente da falta de quantidade

suficiente de amostra para os tamanhos de 325# a 400#.

Os teores de calcita foram obtidos através da curva de calibração:

Curva de calibração para a massa de 30g

y = 0,0791x - 0,0005

R2 = 0,9999

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00

Perda de massa

Teo

r de

calc

ita

Figura 4.5 – Curva de calibração para cálculo de teor a partir de 30 g de mistura.

s

ccalcita m

m t calcita da teor ==

54

54

Curva de calibração para a massa de 5g

y = 0,4833x - 0,0053

R2 = 0,9985

-20%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50

Perda de massa

Teo

r de

cal

cita

Figura 4.6 – Curva de calibração para cálculo de teor a partir de 5 g de mistura.

4.4. O Scilab

Para o desenvolvimento do modelo utilizou-se o Scilab, um software para

processamento matemático dos dados que diminui a quantidade de análises em laboratório

ajudando na validação do modelo matemático em desenvolvimento.

O Scilab é um software científico de distribuição gratuita para computação numérica e

simbólica que auxilia no estudo de engenharia e aplicações de base científica. Este software

possui centenas de funções matemáticas, sendo possível a adição interativa de programas em

várias línguas (como a linguagem C e Fortran).

55

4.5. FindGraph

É um software desenvolvido pela UniPhiz Lab, para montagem de gráficos, curvas e

digitalização. São 12 ferramentas de montagem, incluindo regressão linear, funções logísticas,

aproximações de Fourier, redes neurais, curvas paramétricas com aproximações quadráticas e

uma biblioteca de mais de 300 fórmulas bidimensionais. O programa permite que haja

suavização, interpolação, seja aplicado filtros de Wavelet, subtração, integração e

transformação de dados e curvas. Além disso, o programa suporta automação OLE (Open

Labory Exchange) e pode ser incorporado a outros aplicativos.

4.6. EasyPlot

Programa computacional de análise estatística desenvolvido por S. Karon, da Spiral

Software (www.spiralsoftware.com). É uma ferramenta científica para análise matemática de

dados e análise gráfica, com leitura para arquivos de extensão txt. Possui ferramenta para a

transformada de Fourier, leitura de coordenadas, ferramentas para dados e gráficos em 2-D e

3-D e interação com algumas linguagens de programação (como a linguagem C, por

exemplo).

56

56

4.7. Mathematica 7

Programa computacional para programação, modelagem matemática, simulação,

manipulação de dados, visualização gráfica, com suporte para diversas áreas de pesquisa,

desenvolvido por Stephen Wolfram, da Wolfram (www.wolfram.com). Foi inicialmente

criado para atender exigências de pesquisa em física, engenharia e matemática. Atualmente é

utilizado nas ciências físicas, biológicas, sociais e diversas outras áreas. Seu inventor, Stephen

Wolfram, também lançou um site de buscas, http://www.wolframalpha.com/, para auxiliar em

pesquisas nas diversas áreas.

4.8. Delphi 7

Uma ferramenta de programação de interface gráfica que alia a facilidade do visual

basic ao poder da linguagem object pascal. O Delphi apresenta uma biblioteca de

componentes desenvolvida em Object Pascal – a VCL (Visual Component Library) -, na qual

cada componente é representado por uma classe. Além disso, a linguagem Object Pascal

suporta os requisitos básicos de programação orientada a objetos. A Borland disponibilizou o

código-fonte dos componentes da VCL, o que permite aos desenvolvedores compreender sua

estrutura hierárquica e codificação, facilitando a expansão dessa biblioteca mediante a criação

de novos componentes.

57

4.9. Ajuste da Evolução dos Parâmetros Estatísticos

Para os resultados das análises de laboratório foram feitos ajustes pela curva Rosin-

Rammler e através da sigmóide de Hill, em relação ao passante acumulado de todo o material

britado abaixo de 3,35 mm. A equação da sigmóide de Hill é:

50

m

i m mc

xY

x d=

+ (4.16)

O ajuste pela sigmóide de Hill foi incentivado pela facilidade que a equação oferece

em sua integração e/ou derivação, porém o melhor ajuste apresentado foi por Rosin-Rammler,

sendo a única utilizada para obtenção dos resultados.

As curvas de ajuste do diâmetro mediano e a agudez em relação ao tempo foram

encontradas com o emprego do FindGraph (sub-item 4.5), utilizado com êxito para o

diâmetro mediano, já que mesmo a versão demo permite uma quantidade bem variada de

equações para ajuste de pontos. A forma da equação encontrada para o diâmetro mediano em

relação ao tempo de 0 a 7200 segundos foi:

expt

y a cb

= × − +

(4.17)

Onde:

t = tempo (segundos)

a, b e c = constantes.

58

58

Para a agudez, foram feitas várias tentativas de ajuste por equações mais complexas do

que os polinômios de terceiro grau, porém não houve resultados adequados, portanto a agudez

em relação ao tempo foi ajustada para:

3 2y a t b t c t d= × + × + × + (4.18)

Onde:

a, b, c e d = constantes.

59

5. RESULTADOS E DISCUSSÃO

5.1. Discussão dos Resultados

Aqui são apresentados os valores da porcentagem passante com ajuste da curva de

Rosin-Rammler após moagem e análise granulométrica de todo material.

Todos os valores de agudez e diâmetro mediano foram encontrados através de uma

curva regressional por Rosin-Rammler utilizando o EasyPlot.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10 100 1000 10000Tamanho [µm]

Pas

sant

e ac

umul

ado

[%]

Figura 5.1 - Evolução temporal da distribuição granulométrica do quartzo isolado com regressão por Rosin-Rammler.

É possível observar pelas figuras de 5.1 à 5.6 que a curva de Rosin-Rammler

apresentou um ajuste adequado a todos os valores de passante acumulado em todos os

tempos de moagem, o que não ocorreu com todos os valores utilizando a sigmoide de Hill.

As curvas e os pontos plotados no gráfico 5.1 são mostrados na tabela 5.1.

60

60

Tabela 5.1: Evolução da distribuição granulométrica do quartzo e curva Rosin-

Rammler.

Tempo de moagem [s] Agudez Diâmetro mediano [µm] R2 Símbolo na Figura 5.1 0 1,40 1568 0,999

300 1,40 1084 0,999 900 1,35 658 0,998 1800 1,33 463 0,997 3600 1,31 319 0,996 7200 1,51 281 0,999

É visualmente perceptível pelos valores de R2 o ajuste adequado da curva de Rosin-

Rammler.

Pode-se concluir que ao menos para o caso da calcita e do quartzo, uma mistura

binária criada justamente não só pela diferença na moabilidade, mas também por diferenças

físico-químicas que facilitaram no processo de calcinação, que a equação mais adequada para

representar uma população de partículas em diferentes granulometrias é a de Rosin-Rammler.

A conclusão do ajuste da curva de Rosin-Rammler se torna pertinente não apenas

pelos resultados gráficos, mas por comparação aos resultados analisados pelo ajuste de curva

através da sigmóide de Hill.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10 100 1000 10000Tamanho [µm]

Pas

sant

e ac

umul

ado

[%]

Figura 5.2 - Evolução temporal da distribuição granulométrica da calcita isolada com regressão por Rosin-Rammler.

61


Tabela 5.2: Evolução da distribuição granulométrica da calcita e curva Rosin-Rammler.


300 1,13 830 0,998 900 1,10 458 0,998 1800 1,26 312 0,997 3600 2,00 223 0,999 7200 2,85 162 1,000

Podem ser observadas diferenças físico-químicas entre o quartzo e a calcita também

através do aumento dos valores para a agudez da calcita isolada quando comparados ao

quartzo isolado, que tem diminuição de valores até o tempo de 3600 segundos, mostrando

uma diferença na moabilidade quando em condições parecidas de distribuição granulométrica

e mesmo tempo de moagem.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10 100 1000 10000Tamanho [µm]

Pas

sant

e ac

umul

ado

[%]

Figura 5.3 - Evolução temporal da granulometria global da mistura de 60% de calcita com 40% de quartzo com regressão por Rosin-Rammler.


62

62

Tabela 5.3: Evolução da distribuição da calcita (60%) e do quartzo (40%) e curva

Rosin-Rammler.

Tempo de moagem [s]

Agudez Diâmetro mediano [µm]

R2 Símbolo na Figura 5.3

0 1,14 1659 0,998 300 1,24 858 0,999 900 1,37 565 0,999 1800 1,49 440 0,995 3600 1,57 310 0,997 7200 1,64 174 0,994

A evolução temporal da agudez e do diâmetro mediano para o quartzo e calcita como

mostra os resultados do gráfico 5.3 pela tabela 5.3 na condição de 60% para 40% foi como

esperado, o decréscimo para os valores do diâmetro mediano acusa diminuição da

granulometria e o aumento da agudez indica amplitude de faixa de bitolamento

aproximadamente constante.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10 100 1000 10000Tamanho [µm]

Pas

sant

e ac

umul

ado

[%]

Figura 5.4 - Evolução temporal da granulação global da mistura de 40% de calcita com 60% de quartzo com regressão por Rosin-Rammler.


63


Rosin-Rammler.


300 1,32 1033 0,999 900 1,35 679 0,999 1800 1,45 468 0,998 3600 1,49 364 0,997 7200 1,45 215 0,996

Para o teor de 40% calcita é observada uma similaridade com a situação anteriormente

descrita para 60% de calcita.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10 100 1000 10000Tamanho [µm]

Pas

sant

e ac

umul

ado

[%]



64

64


Rosin-Rammler.


300 1,36 1093 0,997 900 1,32 619 0,998 1800 1,25 418 0,998 3600 1,44 323 0,997 7200 1,63 270 0,999

Para os valores representados pela figura 5.5 através da tabela 5.5, não houve mudança

significativa nos valores da agudez e diâmetro mediano.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10 100 1000 10000Tamanho [µm]

Pas

sant

e ac

umul

ado

[%]




Rosin-Rammler.


300 1,14 896 0,998 900 1,27 549 0,997 1800 1,37 379 0,997 3600 1,99 260 0,999 7200 1,66 179 0,995

65

Para o valor da agudez no tempo 7200 segundos de moagem na tabela 5.6 houve um

decréscimo que pode indicar erro experimental ou algum fenômeno indicativo de interferência

entre os dois minerais.

Com o intuito de melhorar a detecção de efeito da composição na moabilidade das

misturas binárias, os valores regressionais correspondentes ao tamanho mediano (d50) e à

agudez da distribuição de cada mistura (m) foram plotados nas Figuras 5.7 a 5.13.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Tempo [s]

Diâ

met

ro m

edia

no [µ

m]

100% quartzo 100% calcita 40% calcita / 60% quartzo 60% calcita / 40% quartzo

Figura 5.7 - Evolução temporal do diâmetro mediano em função do tempo de moagem referente à mistura 40% calcita / 60% quartzo, 60% calcita / 40% quartzo e ao quartzo e calcita isolados.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Tempo [s]

Diâ

met

ro m

edia

no [µ

m]

100% quartzo 100% calcita 20% calcita / 80% quartzo 80% calcita / 20% quartzo

Figura 5.8 - Evolução temporal do diâmetro mediano em função do tempo de moagem referente à mistura 20% calcita / 80% quartzo, 80% calcita / 20% quartzo e ao quartzo e calcita isolados.

66

66

O diâmetro mediano para todas as misturas binárias comportaram-se de forma similar,

indicando decréscimo de granulometria com a evolução no tempo de moagem, como esperado

Para um estudo mais detalhado sobre a possibilidade de uma faixa granulométrica com

maior quantidade de finos atrapalhar os resultados das análises pelo bitolamento do material,

durante a moagem ou no produto, foi realizado experimentos com material já bitolado.

Foi realizada a moagem do quartzo bitolado (peneirado para estar com o tamanho

entre 3,35 e 4,75 mm), para comprovar como a quantidade de finos sendo refratária ao

processo de moagem influi nos resultados da cominuição. O gráfico referente ao quartzo

bitolado mostra uma diferença esperada em relação ao quartzo com granulometria abaixo de

3,35 mm. É esperado que para pequenos tempos de moagem o diâmetro mediano seja maior

para o quartzo bitolado.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Tempo [s]

Diâ

met

ro m

edia

no [µ

m]

100% quartzo quartzo bitolado

Figura 5.9 - Evolução temporal do diâmetro mediano em função do tempo de moagem referente ao quartzo bitolado entre 3,35 e 4,75 mm e quartzo isolado.

A evolução da agudez com o tempo de moagem é exibido nos gráficos 5.10 e 5.11.

67

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000Tempo [s]

Agu

dez

[-]

100 % quartzo 100 % calcita 40% calcita / 60% quartzo 60% calcita / 40% quartzo

Figura 5.10 - Evolução temporal da agudez com 60% e 40% de calcita.

Através do gráfico 5.10 observa-se que os valores da agudez para a mistura 60% de

calcita com 40% de quartzo, 100% de quartzo e 100% de calcita permanecem

aproximadamente constantes após o tempo de moagem de 900 segundos, porém, os valores da

agudez para a calcita pura sofrem uma variação e um aumento considerável após o tempo de

1800 segundos de moagem.

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Tempo [s]

Agu

dez

[-]

20% calcita:80% quartzo 80% calcita:20% quartzo 100% Quartzo 100% calcita

Figura 5.11 - Evolução temporal da agudez com 80% e 20% de calcita.

Pelo gráfico da figura 5.11 observou-se que quanto maior valor de calcita na mistura, maior o

valor da agudez, porém o valor mostrado em decréscimo para a agudez de 80% de calcita

68

68

analisado pela tabela 5.6 e relatado pode indicar erro experimental ou algum fenômeno

indicativo de interferência entre os dois minerais.

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Tempo [s]

Agu

dez

[-]

Média ponderda da agudez: 40%:60% Média ponderada da agudez: 60%:40% 40%:60% 60%:40%

Figura 5.12 - Evolução temporal da agudez da mistura simulada (reta tracejada) e da mistura real para 60% e

40% de calcita.

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Tempo [s]

Agu

dez

[-]

80% calcita:20% quartzo 20% calcita:80% quartzoMédia ponderada da agudez: 80%:20% Média ponderada da agudez: 20%:80%

Figura 5.13 - Evolução temporal da agudez da mistura simulada (reta tracejada) e da mistura real para 80% e 20% de calcita.

As tabelas 5.7 e 5.8 apresentam os desvios entre os valores empíricos e os hipotéticos

(média ponderada) da agudez para as misturas estudadas. Vê-se claramente que há

interferência, pois os desvios são apreciáveis para maiores tempos de moagem. O último

ponto (7200 s) discrepou da tendência geral, talvez indicando erro experimental. De qualquer

69

modo, como os desvios relativos são apreciáveis a hipótese de não interferência pode ser

descartada. Os efeitos de interferência mútua na cominuição das duas espécies mineralógicas

em mistura ficam mais representativos, plotando-se a evolução granulométrica das duas

espécies em separado. Naturalmente, para levantamento das curvas em separado, é necessária

a determinação dos teores em cada ponto. Os valores da granulometria da calcita

(virtualmente isolada) e do quartzo (virtualmente isolado) em função de tempo de moagem

são mostrados nas Figuras – 5.18, 5.19, 5.20 e 5.21.

Tabela 5.7: Desvio relativo da agudez da distribuição da mistura 40% e 60% calcita.

Mistura 40 % de calcita e 60 % de quartzo Mistura 60 % de calcita e 40 % de quartzo

Tempo [s]

Experimental Ponderado Desvio relativo


0 1,21 1,24 -2,81% 1,14 1,17 -2,28% 300 1,32 1,29 2,12% 1,24 1,24 0,16% 900 1,35 1,25 7,41% 1,37 1,20 12,41% 1800 1,45 1,30 10,21% 1,49 1,29 13,56% 3600 1,49 1,59 -6,44% 1,57 1,72 -9,81% 7200 1,45 2,05 -41,10% 1,64 2,31 -41,10%

Tabela 5.8: Desvio relativo da agudez da distribuição da mistura 20% e 80% calcita.

Mistura 20 % de calcita e 80 % de quartzo Mistura 80 % de calcita e 20 % de quartzo

Tempo [s]



0 1,20 1,32 -9,47% 1,09 1,09 0,18% 300 1,36 1,35 1,03% 1,14 1,18 -3,86% 900 1,32 1,30 1,52% 1,27 1,15 9,45% 1800 1,25 1,32 -5,28 1,37 1,27 7,01% 3600 1,44 1,45 -0,56% 1,99 1,86 6,43% 7200 1,63 1,78 -9,08% 1,66 2,58 -55,54%

70

70

Para os tempos de moagem 0, 300, 900, 1800, 3600 e 7200 segundos foi plotado o teor de

calcita na mistura:

Teor em diferentes tempos de moagem80% de Calcita

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

10 100 1000 10000Abertura [micrômetro]

Teo

r de

calc

ita

5 minutos 80% calcita 15 minutos 80% calcita 30 minutos 80% calcita60 minutos 80% calcita 120 minutos 80% calcita

Figura 5.14 – Teor de calcita para a mistura 80% calcita / 20% quartzo.

Teor em diferentes tempos de moagem60 % de Calcita

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%


Teo

r de

calc

ita



71

Teor em diferentes tempos de moagem40 % de Calcita

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%


Teo

r de

calc

ita



Teor em diferentes tempos de moagem20% de Calcita

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%


Teo

r de

calc

ita



Para o teor de calcita, houve comportamento esperado, o ponto a menos de 10% de

teor de calcita para 5 minutos de moagem da mistura binária contendo 20% de calcita pela

figura 5.17 indica erro experimental.

72

72

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

10 100 1000 10000

Pas

sant

e ac

umul

ado

[%]

Abertura [µm]

Figura 5.18 – Evolução granulométrica da calcita quando em mistura calcita/quartzo na proporção 40 % para

60 %.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

Pas

sant

e ac

umul

ado

[%]

Abertura [µm]

Figura 5.19 – Evolução granulométrica da calcita quando em mistura calcita/quartzo na proporção 60 % para 40 %.

73

Tabela 5.9: Efeito da mistura na evolução temporal do diâmetro mediano dos minerais

Efeito da mistura na evolução do diâmetro mediano da calcita

Efeito da mistura na evolução do diâmetro mediano do quartzo

Símbolo nas Figuras 5.18 e 5.19

tempo [s]

100 % (pura) 60 % 40 % 100 % (puro)

60 % 40 %

0 1754 µm 1769 µm 1769 µm 1568 µm 1570 µm 1570 µm 300 830 µm 748 µm 858 µm 1084 µm 1154 µm 1041 µm 900 458 µm 456 µm 467 µm 658 µm 849 µm 727 µm 1800 312 µm 346 µm 315 µm 463 µm 594 µm 614 µm 3600 223 µm 242 µm 243 µm 319 µm 471 µm 447 µm 7200 162 µm 150 µm 137µm 278 µm 286 µm 253 µm

Tabela 5.10: Efeito da mistura na evolução temporal da agudez da distribuição dos

minerais

Efeito da mistura na evolução da agudez na parcela calcítica

Efeito da mistura na evolução da agudez na fração quartzosa

Símbolo nas Figuras 5.18 e

5.19 tempo [s] 100 % (pura) 60 % 40 % 100 % (puro) 60 % 40 %

0 1,01 1,04 1,04 1,40 1,43 1,04 300 1,13 1,18 1,20 1,40 1,45 1,20 900 1,10 1,39 1,30 1,35 1,54 1,30 1800 1,26 1,71 1,60 1,33 1,64 1,60 3600 2,00 1,79 1,77 1,31 1,65 1,77 7200 2,85 1,95 1,66 1,51 1,66 1,84

O aumento da agudez apresentado na tabela 5.10 mostra a interferência entre os minerais

presentes na mistura binária.

74

74

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

10 100 1000 10000

Pas

sant

e ac

umul

ado

[%]

Abertura [µm]


0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

10 100 1000 10000

Pas

sant

e ac

umul

ado

[%]

Abertura [µm]


A interdependência do comportamento dos dois minerais pode ser observada pelos gráficos

das figuras 5.18 a 5.21. A presença de quartzo durante a moagem da calcita acarretou

aumento do parâmetro de agudez da distribuição granulométrica da calcita na maioria dos

tempos de moagem, levando o produto com faixa menos ampla de variação (isto é: aumento

do bitolamento). Esse comportamento está compatível com o fato de a calcita apresentar

clivagem romboédrica perfeita, além de menor dureza e resistência mecânica, quando

comparada ao quartzo.

75

Tabela 5.11: Efeito da mistura na evolução temporal do diâmetro mediano dos minerais

Efeito da mistura na evolução do diâmetro mediano

da calcita

Efeito da mistura na evolução do diâmetro mediano do quartzo

Símbolo nas Figuras 5.20 e 5.21

tempo [s]

100 % (pura) 20 % 80 % 100 % (puro) 20 % 80 %

0 1754 µm 1769 µm 1769 µm 1568 µm 1570 µm 1570 µm 300 830 µm 747 µm 826 µm 1084 µm 993 µm 1106 µm 900 458µm 377 µm 499 µm 568 µm 768 µm 766 µm 1800 312 µm 270 µm 394 µm 463 µm 611 µm 521 µm 3600 223 µm 186 µm 252 µm 319µm 521 µm 411 µm 7200 162 µm 139 µm 143µm 278µm 285 µm 251 µm

Tabela 5.12: Efeito da mistura na evolução temporal da agudez da distribuição dos

minerais

Efeito da mistura na evolução da agudez na parcela calcítica

Efeito da mistura na evolução da agudez na fração quartzosa

Símbolo nas Figuras 5.20 e

5.21 tempo [s] 100 % (pura) 20 % 80 % 100 % (pura) 20 % 80 %

0 1,01 1,04 1,04 1,40 1,43 1,43 300 1,13 1,29 1,21 1,40 1,33 1,37 900 1,10 1,26 1,38 1,35 1,36 1,47 1800 1,26 1,51 1,60 1,33 1,43 1,53 3600 2,00 1,85 1,88 1,31 1,79 1,61 7200 2,85 1,72 1,92 1,51 2,01 1,54

Para compreender melhor e avaliar a interferência de finos no processo de moagem

com a evolução temporal, foram feitas análises granulométricas para o produto de moagem do

quartzo bitolado na granulometria entre 3,35 e 4,75 mm nos tempos 300, 900, 1800, 3600 e

7200 segundos, sendo que através das análises obteve-se a agudez e o diâmetro mediano do

material.

76

76

0102030405060708090

100

10 100 1000 10000

Tamanho [µm]

Pas

sant

e ac

umul

ado

[%]

Figura 5.22 - Evolução temporal da distribuição granulométrica do quartzo isolado bitolado entre 3,35 e 4,75 mm com regressão por Rosin-Rammler.

Tabela 5.13: Evolução da distribuição granulométrica do quartzo isolado bitolado e

curva Rosin-Rammler:

Tempo de moagem [s] Agudez Diâmetro mediano [µm] R2 Símbolo na Figura 5.22 0 90,70 4050 µm 1,000

300 2,14 2566 µm 0,939 900 1,17 1030 µm 0,997 1800 1,29 694 µm 0,995 3600 1,29 373 µm 0,997 7200 1,54 292 µm 0,997

O material bitolado no tempo de moagem 0 certamente tem que apresentar um

diâmetro mediano sendo a média entre os valores 3,35 e 4,75 mm, contudo, justamente pelo

fato de o material estar em uma granulometria com pequena taxa de variação, o valor da

agudez é alto, não devendo ser plotado.

77

5.2 Evolução dos Parâmetros Estatísticos

Para relacionar o tempo t com a distribuição granulométrica dada pela equação de

Rosin-Rammler, foi necessário encontrar equações através da análise do diâmetro mediano e

agudez em relação à evolução temporal na moagem. As equações encontradas e introduzidas

na equação de Rosin-Rammler foram:

Figura 5.23 Curva de ajuste do diâmetro mediano em relação a 20% de calcita:

1544 exp 216300

ty

= × − +

20 % de Calcita

0

500

1000

1500

2000

0 2000 4000 6000 8000 10000

Tempo [s]

Diâ

met

ro m

edia

no [µ

m]

78

78

20 % de Quartzo

0

500

1000

1500

2000

0 2000 4000 6000 8000 10000

Tempo [s]

Diâ

met

ro m

edia

no [µ

m]

Figura 5.24 Curva de ajuste do diâmetro mediano em relação a 20% de quartzo:

1067 exp 441669

ty

= × − +

40 % de Calcita

0

500

1000

1500

2000

0 2000 4000 6000 8000 10000

Tempo [s]

Diâ

met

ro m

edia

no [µ

m]


1504 exp 248370

ty

= × − +

79

40 % de Quartzo

0

500

1000

1500

2000

0 2000 4000 6000 8000 10000

Tempo [s]

Diâ

met

ro m

edia

no [µ

m]


1128 exp 380777

ty

= × − +

60 % de Calcita

0

500

1000

1500

2000

0 2000 4000 6000 8000 10000

Tempo [s]

Diâ

met

ro m

edia

no [µ

m]


1488 exp 269289

ty

= × − +

80

80

60 % de Quartzo

0

500

1000

1500

2000

0 2000 4000 6000 8000 10000

Tempo [s]

Diâ

met

ro m

edia

no [µ

m]


1160 exp 3611037

ty

= × − +

80 % de Calcita

0

500

1000

1500

2000

0 2000 4000 6000 8000 10000

Tempo [s]

Diâ

met

ro m

edia

no [µ

m]


1468 exp 282341

ty

= × − +

81

80 % de Quartzo

0

500

1000

1500

2000

0 2000 4000 6000 8000 10000

Tempo [s]

Diâ

met

ro m

edia

no [µ

m]


1197 exp 331870

ty

= × − +

20 % de Calcita

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

0 2000 4000 6000 8000 10000

Tempo [s]

Agu

dez

[-]

Figura 5.31 Curva de ajuste da agudez em relação a 20% de calcita:

12 3 8 2 44,17 1,18 2,16 1,11y e t e t e t− − −= − + + +

82

82

20 % de Quartzo

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

0 2000 4000 6000 8000 10000

Tempo [s]

Agu

dez

[-]

Figura 5.32 Curva de ajuste da agudez em relação a 20% de quartzo:

11 3 7 2 41,11 1,14 1,58 1,41y e t e t e t− − −= − + + +

40 % de Calcita

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

0 2000 4000 6000 8000 10000

Tempo [s]

Agu

dez

[-]


12 3 8 2 42,80 6,28 3,91 1,01y e t e t e t− − −= + − + +

83

40 % de Quartzo

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

0 2000 4000 6000 8000 10000

Tempo [s]

Agu

dez

[-]


12 3 8 2 52,47 1,90 5,12 1,41y e t e t e t− − −= − + + +

60 % de Calcita

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

0 2000 4000 6000 8000 10000

Tempo [s]

Agu

dez

[-]


11 3 7 2 41,03 1,35 5,70 1,02y e t e t e t− − −= + − + +

84

84

60 % de Quartzo

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

0 2000 4000 6000 8000 10000

Tempo [s]

Agu

dez

[-]


12 3 8 2 43,49 4,68 1,90 1,41y e t e t e t− − −= + − + +

80 % de Calcita

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

0 2000 4000 6000 8000 10000

Tempo [s]

Agu

dez

[-]


12 3 8 2 42,70 5,88 4,02 1,06y e t e t e t− − −= + − + +

85

80 % de Quartzo

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

0 2000 4000 6000 8000 10000

Tempo [s]

Agu

dez

[-]


12 3 9 2 51,28 2,57 6,74 1,40y e t e t e t− − −= − + + +

Os valores da agudez e do diâmetro mediano calculados pelas equações da agudez e

do diâmetro mediano em função do tempo de moagem (figuras 5.23 a 5.38) são mostrados

pelas tabelas 5.14 a 5.17:

Tabela 5.14: Evolução dos valores da agudez e do diâmetro mediano para 20% de

calcita e 80% de quartzo com o tempo de moagem

Valores da agudez [-] Valores do diâmetro mediano [µm]

20% : 80% 20% : 80% tempo [s] calcita quartzo tempo [s] calcita quartzo

0 1,11 1,40 0 1760,00 1528,00 300 1,18 1,42 300 784,01 1178,89 900 1,31 1,46 900 292,87 756,43 1800 1,51 1,52 1800 219,83 482,20 3600 1,85 1,62 3600 216,01 350,10 7200 1,72 1,54 7200 216,00 331,30

86

86

O decaimento do valor da agudez apresentado na tabela 5.14 para o quartzo na mistura com

teor de 20% de calcita é decorrente da interferência entre os minerais ou erro experimental.


calcita e 20% de quartzo com o tempo de moagem.


80% : 20% 80% : 20 % tempo [s] calcita quartzo tempo [s] calcita quartzo

0 1,06 1,41 0 1750,00 1508,00 300 1,18 1,47 300 891,04 1122,42 900 1,38 1,64 900 386,83 718,91 1800 1,61 2,00 1800 289,49 513,39 3600 1,87 2,94 3600 282,04 445,91 7200 1,91 4,31 7200 282,00 480,13




40 %:60 % 40 % :60 % tempo [s] calcita quartzo tempo [s] calcita quartzo

0 1,01 1,41 0 1752,00 1521,00 300 1,12 1,46 300 916,52 1229,60 900 1,31 1,55 900 380,09 848,01 1800 1,53 1,62 1800 259,60 565,47 3600 1,73 1,65 3600 248,09 397,04 7200 1,61 1,65 7200 248,00 362,12

87




60 %:40 % 60 %:40 % tempo [s] calcita quartzo tempo [s] calcita quartzo

0 1,02 1,41 0 1757,00 1508,00 300 1,18 1,43 300 795,96 1146,70 900 1,43 1,47 900 335,09 734,21 1800 1,67 1,55 1800 271,94 491,23 3600 1,80 1,73 3600 269,01 390,97 7200 1,97 1,84 7200 269,00 380,11

Quando comparados os valores de agudez e diâmetro mediano retirados das análises

de laboratório aos calculados, pode ser observada uma coerência entre estes valores,

indicando que não houve erro na escolha das equações 4.17 e 4.18.

5.3 Modelagem da Moagem Binária

5.3.1 Aspectos conceituais

Para a formulação do modelo matemático, foi idealizada a intersecção (denominada

por I) entre as curvas ajustadas por Rosin-Rammler de calcita e quartzo (Figura 5.39) em cada

valor de tempo. Os valores da agudez e do diâmetro mediano em relação ao tempo foram

encontrados através da curva de ajuste apresentados nas equações 4.17 e 4.18.

88

88

Figura 5.39 – Intersecção entre a curva do material A (calcita) e B (quartzo).

O cálculo da intersecção depende da curva de ajuste para os valores da agudez e do

diâmetro mediano em relação ao tempo, de forma que através dos resultados obtidos em

laboratório, encontrou-se a equação da agudez e do diâmetro mediano com a variável tempo.

Foi feito a priori, um algoritmo para encontrar uma única intersecção como no modelo base,

através da raiz dada pela equação de Rosin-Rammler do quartzo e da calcita. Porém,

analisando-se as distribuições granulométricas dos componentes dos produtos da moagem,

precebeu-se que pode haver mais de uma raiz após o ponto 0 do gráfico, pois as curvas

poderão se interceptar em mais de um ponto.

O diâmetro mediano e a agudez podem ser explicitados a partir das equações 4.17 e

4.18 a serem incorporados à equação de Rosin-Rammler densidade de probabilidade:

1

0 0 0

expm m

m x xf

x x x

− = × × −

(5.1)

89

Como o parâmetro de escala (x0) é de menor uso na engenharia mineral,

convencionou-se utilizar apenas o diâmetro mediano (d50), medido através:

1

50 0

1ln

2

m

x x = − ×

(5.2)

Considerando a curva fA da figura 5.39 como sendo da calcita e a curva fB o quartzo,

tem-se na intersecção:

( )Intersecção: encontra: ,A B I If f I x y= ⇒ ≡ (5.3)

Ou seja, para cada tempo de moagem, tem-se a equação ( ); 0AB A BI x y f f≡ − = que

representa a intersecção. As raízes dessa equação fornecem, naturalmente os pontos de

intersecção das curvas dos dois componentes na mistura em cominuição, de coordenadas xI e

yI.

1

0 0 0

1

0 0 0

exp

exp

A A

B B

m m

A I I

A A A

m m

B I I

B B B

m x xI

x x x

m x x

x x x

−

−

= × × − =

× × −

(5.4)

Esse modelo com um ponto de intersecção foi adotado por Ray e Szekely (1973),

assim foi observado, através da plotagem dos valores da agudez e diâmetro mediano na

equação de Rosin-Rammler densidade de probabilidade que as curvas do sistema em estudo

se interceptam em mais de um lugar, havendo no mínimo duas raízes.

90

90

Entretanto, pelo método de aproximações sucessivas, foi observada a convergência

dos valores para a primeira raiz, o zero na intersecção de x e y, considerando o tempo zero de

moagem.

Uma das raízes é a solução trivial: (xI, yI)=(0; 0)

O método de aproximações sucessivas é um método iterativo que se baseia na

aplicação de uma fórmula de recorrência que, sendo satisfeitas determinadas condições de

convergência, gera a partir de um valor inicial uma sucessão de valores numéricos cujo limite

é a raiz procurada. O valor inicial foi dado de acordo com o intervalo mais próximo da

segunda raiz, sendo em função do diâmetro mediano:

( )50 500 50 2

A BA

d dx d

+= + (5.5)

Porém, mesmo colocando um valor inicial aproximado da segunda raiz, o valor

convergiu para zero.

Um maior estudo foi feito para encontrar uma forma de determinar um valor inicial a

fim de gerar convergência para a segunda raiz, como mostra a figura 5.39. Conhecendo-se que

raízes são determinadas nas curvas quando há mudança de sinal, houve direcionamento de

esforços para um algoritmo que reconheça a mudança, porém, sem sucesso.

Para auxiliar no reconhecimento da raiz pela intersecção entre os gráficos de quartzo e

calcita, foram plotados todas as curvas Rosin-Rammler densidade de probabilidade referentes

ao quartzo e a calcita no EasyPlot e retirado o valor da intersecção.

91

5.3.2 Modelo matemático para otimização

Inicialmente optou-se pelo método das aproximações sucessivas a fim de encontrar a

raiz das equações densidade probabilidade de Rosin Rammler do quartzo em relação à calcita,

porém, devido ao insucesso dos resultados obtidos pelo método através de um programa feito

no Scilab, da qual houve convergência para o ponto zero do gráfico, foi utilizado o método de

Newton Raphson para a determinação da citada intersecção.

Este método é uma particularidade do método de aproximações sucessivas. O método

consiste em fazer a iteração

1

( )

'( )k

k kk

f xx x

f x+ = −

(5.6)

a partir de uma condição inicial bem escolhida x0, e assim obter aproximações sucessivas de

alguma raiz x* de f.

Figura 5.41: Representação gráfica da procura por um ponto de intersecção através de Newton Raphson.

92

92

A maneira de achar x1 em função de x0, e igualmente depois achar xk+1 em função de

xk, tem uma forte inspiração geométrica: olha-se para a reta tangente ao gráfico de f no ponto

(xk, f(xk)) e defini-se xk+1 como sendo o ponto de encontro dessa reta com a abscissa.

(Hidroforme e Colli, 2008).

Para o caso do algoritmo criado em Scilab, os dados foram apresentados da seguinte

forma:

Dados de Entrada: Aproximação inicial x0 = 360 e tolerância (ε= 0.00000002).

Saída: tempo em segundos, o valor de x da intersecção, a área total (somatório de A1 + A2),

energia gasta para a moagem da calcita e do quartzo (Ea, Eb) e a função objetivo.

Algoritmo do método de Newton Raphson é mostrado na figura 5.42.

Para encontrar uma solução para f(x) = 0, dada a derivada de f(x) e uma aproximação

inicial x0. (Galvão e Nunes)

93

Dados de Entrada: Aproximação inicial x0 e tolerância (ε).

Saída: Solução aproximada x ou mensagem de “solução não encontrada”.

início

xk = Aproximação inicial

(xk+1- xk)/ xk) > ε ? True Saída de resultado

False

xk=xk+1

xk+1 = xk - f(xk)/f’(x k)

Figura 5.42: Algoritmo do método de Newton Raphson para a construção do modelo.

5.3.2.2 Construção do modelo

Para a construção do modelo, foi feito o algoritmo de Newton Raphson inicialmente

em Delphi, nos tempos de 0 a 7200 segundos com espaçamento de 10 segundos. Foram

94

94

encontrados, através deste algoritmo, os valores da intersecção entre as equações Rosin-

Rammler densidade probabilidade de quartzo e calcita.

Sendo a função Rosin-Rammler densidade probabilidade do quartzo em relação à

calcita:

1

1

( ) exp

exp

ma ma

mb mb

ma x xf x

xa xa xa

mb x x

xb xb xb

−

−

= × × −

− × × −

(5.7)

Como o método de Newton Raphson necessita de derivação (equação 5.8), foi feita a

derivada da função através do programa Mathematica 7:

( )

( )

2

2

2 22

2

2

2

2 22

2

1'( )

1

ma

ma

mb

mb

x ma

xa

x ma

xa

x mb

xb

x mb

xb

xe ma ma

xaf x

xa

xe ma

xaxa

xe mb mb

xbxb

xe mb

xbxb

− + −

− + × −

− + −

− + × −

× − + × × =

× × −

× − + × × −

× × +

(5.8)

Através da plotagem das curvas Rosin-Rammler densidade probabilidade do quartzo e

calcita, confirmou-se os valores da intersecção em diversos tempos calculados pelo algoritmo:

95

Figura 5.43: Valor aproximado de xI e yI no tempo de 900 segundos para calcita (20%) e quartzo (80%)

Onde, para todos os gráficos:

Após encontrar o valor ( ),I II x y≡ , o cálculo das áreas A1 e A2 da figura 5.39 foram

efetuados empregando-se a distribuição acumulada de Rosin-Rammler (integral). Ou seja:

( )10

Área A 1 1 expAm

IA i

A

xY x x

x

= − = = − −

(5.9)

( )20

Área A expBm

IB i

B

xY x x

x

= = = −

(5.10)

96

96

Os valores do xI estudados na intersecção das curvas de quartzo e calcita nos seis

tempos de moagem são mostrados na tabela 5.18.

Tabela 5.18: Evolução dos valores do x na intersecção entre as curvas de quartzo e

calcita com valores de agudez e diâmetro mediano dos resultados experimentais.

Misturas 80 %:20 % 20%:80% 60%:40% 40%:60% Tempo de moagem

[s]

quartzo : calcita xI

quartzo:calcita xI

quartzo:calcita xI

quartzo:calcita xI

0 362,12 378,77 403,75 391,26 300 932,36 724,25 774,19 882,41 900 561,91 587,93 655,57 650,36 1800 399,58 412,07 455,77 468,26 3600 351,2 343,39 398,02 413,63 7200 359 327,78 374,61 405,83

Os valores da tabela 5.18 foram retirados pela intersecção das curvas de quartzo e

calcita plotadas no EasyPlot usando o leitor de coordenadas cartesianas do cursor (“x-hair”),

são valores que foram considerados na montagem do algoritmo para otimização do modelo.

Os valores das áreas na intersecção entre as curvas de quartzo e calcita foram

calculados a partir da tabela 5.18 e das equações 5.9 e 5.10. Os valores de área estão

apresentados nas tabelas 5.19 e 5.20.

97

Tabela 5.19: Evolução dos valores das áreas nas curvas de calcita e quartzo.

Misturas 20 %:80 % 80 %:20 %

Tempo de moagem [s] Área A2= 1- yA

Calcita yB

Quartzo Área A2= 1- yA

Calcita yB

Quartzo 0 0,1129452 0,91178415 0,1279095 0,9059172

300 0,5725002 0,60853018 0,4191636 0,6945794 900 0,803787 0,6383584 0,7086235 0,6072922 1800 0,8194275 0,59411083 0,7057393 0,6397652 3600 0,8173362 0,49824006 0,6327716 0,7249225 7200 0,8100954 0,45638609 0,6032408 0,8247576

Tabela 5.20: Evolução dos valores das áreas nas curvas de calcita e quartzo.

Misturas 40 %:60 % 60 %:40 %

Tempo de moagem [s] Área A2= 1- yA

Calcita yB

Quartzo Área A2= 1- yA

Calcita yB

Quartzo

0 0,1456455 0,8986898 0,14 0,9017371 300 0,4365053 0,7030706 0,54 0,6206826 900 0,7578044 0,6277332 0,83 0,5599044 1800 0,8054035 0,6134331 0,82 0,5254075 3600 0,7926926 0,4985888 0,78 0,465839 7200 0,7405476 0,4803941 0,79 0,4574954

Estes valores retirados pela plotagem das curvas de quartzo e calcita servem como

valores base para a construção de um algoritmo, por comparação, que devem ser valores

próximos no tempo de moagem acima especificado.

Após o cálculo de área na intersecção das curvas de quartzo e calcita, o último

procedimento é formular uma função objetivo que minimize a área desta intersecção de forma

a gerar o melhor valor de área com o menor tempo possível, já que o tempo de residência é

diretamente proporcional ao custo de moagem.

98

98

Para a montagem de uma função objetivo é necessário relacionar a área a ser

minimizada com o tempo de moagem.

Na função objetivo têm-se equações de diâmetro mediano e agudez em relação ao

tempo, com valores entre 10 a 7200 segundos. A necessidade de considerar vários valores

para o tempo de moagem é facilitar na determinação do melhor tempo. As equações do

diâmetro mediano e agudez em relação ao tempo são inseridas na equação de cálculo de área,

obtendo-se nova equação. Como exemplo pode ser citado a equação com 20% de calcita:

( ) 12 3 8 2 44,17 1,18 2,16 1,11

0

exp e t e t e tIA i

mA

xY x x

x

− − −− + + + = = −

�� (5.11)

Sendo:

50

12 3 8 2 4

0 1

4,17 1,18 2,16 1,11

1544 exp 216300

1ln

2

d

A

e t e t e t

m

t

x− − −− + + +

× − + =

−

��

��

(5.12)

Através da inclusão da variável tempo ao cálculo da área, pode-se verificar após obter

o valor da intersecção das curvas da figura 5.42, como as áreas A1 e A2 do gráfico se

comportam com a evolução do tempo de moagem.

Pela facilidade de linguagem de programação, inicialmente foi feito o método de

Newton-Raphson através do Delphi. Pela figura 5.44 pode-se fazer a comparação com o

resultado da figura 5.43:

99

Figura 5.44: Valor da intersecção das curvas de calcita e quartzo da figura 5.43. O programa nos dá o valor do x

da intersecção entre duas curvas que seguem o modelo de Rosin-Rammler.

Pelo gráfico obteve-se o valor de x = 566, sendo que o Delphi nos fornece um valor de

x = 562. Através da plotagem de um valor inicial de x adequado, os resultados obtidos pelo

algoritmo foram satisfatórios, como mostram os gráficos das Figuras de 5.45 à 5.57.

Outros exemplos de gráficos que ajudaram na formulação do modelo, feitos no

Mathematica 7:

100

100

Figura 5.45: Valor aproximado de xI e yI (intersecção entre as curvas de calcita e quartzo) no tempo de 0

segundos para calcita (20%) e quartzo (80%)



Figura 5.47: Valor aproximado de xI e yI (intersecção entre as curvas de calcita e quartzo)no tempo de 150


101







102

102







103







104

104



Após avaliar a precisão do programa feito em Delphi, foi utilizado o scilab para

concluir a parte de programação, por ser um programa gratuito, foi escolhido para finalizar o

algoritmo com a função objetivo.

A função objetivo é então a soma das áreas do gráfico mais uma constante formada

pelo ponderador que multiplica uma função penalidade dependente inicialmente apenas do

custo de operação. Estas áreas ficarão em função do tempo, ficando a função objetivo escrita

como se segue:

( )( )1 2[( ) ]j

obf Minimizar S S f cλ= + + ×

(5.13)

Onde λ é o ponderador e f(c) é uma função penalidade, sendo o custo, obviamente

dependente também do tempo de moagem, já que com o aumento do tempo de moagem, há

aumento da energia gasta. O parâmetro λ também depende dos benefícios econômicos

decorrentes das operações de classificação subsequente. Em cada caso concreto e real, este

impacto positivo deve ser quantificado normalmente através de testes em escala piloto.

Para o tempo de moagem t, tem-se após inclusão da equação clássica de cominuição

de Bond:

105

( )80 80

1 1( ) ,$ 10 tf c f E q Q Wi

P F

= = × × × × − ×

(5.14)

Onde:

Q- vazão mássica [kg/seg.].

Wi – Índice de trabalho da calcita (A) e do quartzo (B) (work index) [J/kg-1];

P – Abertura da peneira na qual passam 80% do produto final moído da calcita (A) e

do quartzo (B) [µm];

F – Abertura da peneira na qual passam 80% de alimentação do moinho da calcita (A)

e do quartzo (B) [µm].

Sendo que q leva em conta outros gastos operacionais como o meio moedor e

consumo de revestimento do moinho (q>1).

Foi feito todo o cálculo da função objetivo no scilab e, o ponderador, foi chamado de

lambda (λ). O Editor de texto do scilab é simples, e o design gráfico para o resultado não é

como no Delphi, porém, o scilab exibe recursos matemáticos que ajudam na programação,

como a função “derivative”, que calcula automaticamente a derivada de qualquer função.

O valor para Lambda (λ) foi calculado através do Excel, mas serão necessárias

maiores pesquisas para avaliar ao certo este valor, a partir deste trabalho é lançada uma

proposta para uma nova pesquisa, encontrar o valor de Lambda (λ) e também avaliar todos os

custos possíveis gerados pela moagem da mistura binária de quartzo e calcita.

Ao fazer a busca para um valor de Lambda (λ) no Excel, ocorreram os seguintes

resultados, que posteriormente, através de mais pesquisas, deverão ser avaliados:

1°) Considerando a moagem grátis, custo 0, λ = 0 , o mínimo da função objetivo foi em 1160

segundos (19 minutos).

106

106

2°) Considerando a moagem com λ = 1, o mínimo da função objetivo cai para 10 segundos.

3°) Considerando a moagem com λ = 0,05, o mínimo da função objetivo cai para 860


4°) Somando o custo de energia gasta ao custo de equipamento que se encontra nas equações

4,7 e 4,8, considerando um valor para λ = 0, ainda assim, o mínimo da função objetivo é 1160


5°) Considerando a moagem com λ = 1, sendo o custo total igual ao custo de energia mais o

custo de equipamento, o mínimo da função também é 10 segundos.

6°) Nas mesmas condições do comentário anterior, considerando λ =0,05, o mínimo da função

objetivo também é 860 segundos (14 minutos).

O valor do índice de trabalho foi conseguido através de ensaios de moagem a seco e

pela fórmula de Bond para work índex. O valor do índice de trabalho para o quartzo resultou

em 15,12 kwh/t e para a calcita resultou em 11,52 kwh/t. Os valores se encontram de acordo

com a literatura, pois, de acordo com Lowrison (1975), através de ensaios de moagem a seco,

o valor do índice de trabalho para o quartzo é, 15 kwh/t. Hassan & Boulos (2009) mediram o

índice de trabalho de duas amostras de quartzo resultando em: amostra (A), mostrando a

cristalinidade imperfeita possui índice de trabalho de 17,9 Kwh / t, em comparação com 24,03

Kwh / t para a amostra (B) que possui cristais de quartzo mais fechados, anédricos e mais

grossos. Varela, Petter & Wotruba (2006) encontraram valores de índice de trabalho para três

tipos de amostras de mármores, que tem como principal constituinte a calcita, que são:

amostra (A) 13.2 kwh/t, (B) 11.6 kwh/t e (C) 10.7 kwh/t. Kotake, Kuboki, Kiya & Kanda

(2011) encontraram o valor de 13.3 kwh/t para o índice de trabalho do quartzo.

107

6. CONCLUSÕES

Por todo o exposto no presente trabalho concluiu-se que os valores para o parâmetro

regressional da curva de Rosin-Rammler foram bons, indicando ótimo ajuste e confirmando

que pode ser uma curva a representar uma população de partículas minerais.

A calcita e o quartzo foram minerais representativos para o experimento, de forma que

ficou muito clara a diferença entre ambos, em termos de moabilidade e diferenças físico-

químicas.

A aplicação da distribuição de Rosin-Rammler nos resultados granulométricos obtidos

pela campanha experimental de moagem em mistura binária permite observar a diferença do

comportamento do quartzo e da calcita com o tempo de moagem. O diâmetro mediano

evolui, para as duas espécies, segundo uma lei exponencial negativa, embora não haja

sensível impacto da composição da mistura sobre esse parâmetro, quando se consideram as

curvas granulométricas das duas espécies em separado (isto é: como se virtualmente

estivessem isoladas, mesmo que, fisicamente, mescladas). O progresso da moagem não afetou

sensivelmente o valor regressional do parâmetro de agudez para o quartzo, ou seja: embora o

diâmetro mediano vá diminuindo com o tempo a amplitude da faixa de bitolamento fica

aproximadamente constante para esse mineral. O comportamento da calcita, entretanto,

mostra que o progresso da moagem leva a aumento na amplitude da distribuição

granulométrica.

A moagem com o material bitolado mostrou que uma maior homogeneidade na

distribuição granulométrica auxilia para uma diminuição uniforme no diâmetro mediano, já

esperado, porém não houve mudança significativa para o valor do parâmtero de agudez como

previsto.

108

108

A adequação de um programa para os valores gerados graficamente da mistura binária

utilizando Newton Raphson, a fim de encontrar a intersecção entre as curvas de calcita e

quartzo, ajudou gerar valores de aproximação de um tempo ótimo do qual irá determinar um

produto de moagem um pouco mais adequado para processos posteriores de separação.

Os valores finais da programação demonstraram de forma simplificada, ser possível

através de estudos mais detalhados, uma separação prévia dentro do processo de moagem.

A análise do estudo mostrou-se promissora para auxiliar na diminuição de custo de

moagem e melhor aproveitamento das diferenças dos minerais no tratamento de minérios.

109

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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113

8. ADENDO

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Programação – Scilab

0001 // Metodo de Newton Raphson 0002 deff("y=f(x)","y=(((mA/x0A)*((x/x0A)^(mA-1))*exp(-(x/x0A)^mA))-(mB/x0B)*((x/ x0B)^(mB-1))*exp(-(x/x0B)^mB))"); // funcao original (ver valor de m e d50) 0003 deff("y=g(x)","y=x-f(x)/derivative(f,x)"); // esquema de Newton 0004 for t=0:10:7200; 0005 mA=(-4.17e-12)*t^3+(1.18e-8)*t^2+(2.16e-4)*t+1.11; 0006 d50A=1544*exp(-t/300)+216; 0007 x0A=d50A/(-log(0.5))^(1/mA); 0008 mB=(-1.28e-12)*t^3+(2.57e-9)*t^2+(6.74e-5)*t+1.40; 0009 d50B=1197*exp(-t/870)+331; 0010 x0B=d50B/(-log(0.5))^(1/mB); 0011 lambdaa=0.00005; 0012 lambdab=0.00005; 0013 iter=0; 0014 x0=360; 0015 x1=g(x0); 0016 while abs((x1-x0)/x0)>0.00000002, 0017 x0=x1; 0018 x1=g(x0); 0019 iter=iter+1; 0020 end; 0021 S1=exp(-(x1/x0A)^mA); 0022 S2=1-exp(-(x1/x0B)^mB); 0023 S=S1+S2; 0024 Ea=10*11.52*((1/sqrt(d50A*(2.3219)^(1/mA)))-(1/sqrt(3759.25))); 0025 Eb=10*15.12*((1/sqrt(d50B*(2.3219)^(1/mB)))-(1/sqrt(2788.95))); 0026 FO=S+lambdaa*Ea+lambdab*Eb; 0027 printf('t = %g x1 = %g S = %g Ea = %g Eb = %g FO = %g\n',t, x1, S, Ea, Eb, FO) 0028 end;

Função objetivo para 20% de Calcita e 80% de Quartzo no tempo 0 s a 7200 s. Tempo[s] Intersecção[µm] Área Energia [a] Energia [b] Função objetivo t = 0 x1 = 363.371 S = 0.97527 Ea = -4.51116e-007Eb = 1.91233e-006 FO = 0.97527 t = 10 x1 = 384.255 S = 0.973064 Ea = 0.0290218 Eb = 0.0133214 FO = 0.973067 t = 20 x1 = 406.157 S = 0.970667 Ea = 0.0583696 Eb = 0.0266701 FO = 0.970672 t = 30 x1 = 429.056 S = 0.968067 Ea = 0.0880411 Eb = 0.0400477 FO = 0.968074 t = 40 x1 = 452.917 S = 0.965252 Ea = 0.118034 Eb = 0.0534538 FO = 0.965261 t = 50 x1 = 477.68 S = 0.962211 Ea = 0.148347 Eb = 0.066888 FO = 0.962222 t = 60 x1 = 503.266 S = 0.958934 Ea = 0.178976 Eb = 0.0803499 FO = 0.958947 t = 70 x1 = 529.567 S = 0.955412 Ea = 0.209919 Eb = 0.0938391 FO = 0.955427 t = 80 x1 = 556.449 S = 0.951637 Ea = 0.241172 Eb = 0.107355 FO = 0.951655 t = 90 x1 = 583.748 S = 0.947606 Ea = 0.272733 Eb = 0.120898 FO = 0.947626 t = 100 x1 = 611.275 S = 0.943315 Ea = 0.304597 Eb = 0.134466 FO = 0.943337 t = 110 x1 = 638.813 S = 0.938764 Ea = 0.336759 Eb = 0.148061 FO = 0.938788 t = 120 x1 = 666.127 S = 0.933957 Ea = 0.369217 Eb = 0.16168 FO = 0.933983 t = 130 x1 = 692.968 S = 0.928899 Ea = 0.401964 Eb = 0.175324 FO = 0.928928 t = 140 x1 = 719.08 S = 0.923598 Ea = 0.434995 Eb = 0.188993 FO = 0.92363 t = 150 x1 = 744.214 S = 0.918068 Ea = 0.468306 Eb = 0.202685 FO = 0.918101 t = 160 x1 = 768.135 S = 0.91232 Ea = 0.50189 Eb = 0.2164 FO = 0.912356 t = 170 x1 = 790.632 S = 0.906372 Ea = 0.535741 Eb = 0.230139 FO = 0.90641 t = 180 x1 = 811.527 S = 0.90024 Ea = 0.569852 Eb = 0.2439 FO = 0.900281 t = 190 x1 = 830.681 S = 0.893944 Ea = 0.604216 Eb = 0.257683 FO = 0.893987 t = 200 x1 = 847.996 S = 0.887502 Ea = 0.638827 Eb = 0.271488 FO = 0.887547 t = 210 x1 = 863.417 S = 0.880933 Ea = 0.673676 Eb = 0.285313 FO = 0.880981 t = 220 x1 = 876.929 S = 0.874257 Ea = 0.708756 Eb = 0.29916 FO = 0.874307 t = 230 x1 = 888.552 S = 0.867491 Ea = 0.744058 Eb = 0.313026 FO = 0.867544 t = 240 x1 = 898.334 S = 0.860653 Ea = 0.779573 Eb = 0.326912 FO = 0.860709 t = 250 x1 = 906.351 S = 0.85376 Ea = 0.815292 Eb = 0.340816 FO = 0.853818 t = 260 x1 = 912.694 S = 0.846827 Ea = 0.851206 Eb = 0.35474 FO = 0.846887 t = 270 x1 = 917.466 S = 0.839867 Ea = 0.887306 Eb = 0.368681 FO = 0.83993 t = 280 x1 = 920.78 S = 0.832895 Ea = 0.92358 Eb = 0.38264 FO = 0.83296 t = 290 x1 = 922.749 S = 0.825922 Ea = 0.960019 Eb = 0.396616 FO = 0.82599 t = 300 x1 = 923.489 S = 0.818959 Ea = 0.996612 Eb = 0.410608 FO = 0.819029 t = 310 x1 = 923.11 S = 0.812016 Ea = 1.03335 Eb = 0.424617 FO = 0.812089 t = 320 x1 = 921.721 S = 0.805103 Ea = 1.07021 Eb = 0.438641 FO = 0.805178 t = 330 x1 = 919.424 S = 0.798227 Ea = 1.1072 Eb = 0.452679 FO = 0.798305 t = 340 x1 = 916.314 S = 0.791396 Ea = 1.14429 Eb = 0.466732 FO = 0.791476 t = 350 x1 = 912.482 S = 0.784617 Ea = 1.18148 Eb = 0.480799 FO = 0.7847 t = 360 x1 = 908.009 S = 0.777896 Ea = 1.21876 Eb = 0.494879 FO = 0.777981 t = 370 x1 = 902.971 S = 0.771238 Ea = 1.2561 Eb = 0.508972 FO = 0.771327 t = 380 x1 = 897.439 S = 0.76465 Ea = 1.2935 Eb = 0.523076 FO = 0.764741 t = 390 x1 = 891.476 S = 0.758135 Ea = 1.33094 Eb = 0.537193 FO = 0.758228 t = 400 x1 = 885.139 S = 0.751697 Ea = 1.36842 Eb = 0.55132 FO = 0.751793 t = 410 x1 = 878.482 S = 0.745342 Ea = 1.40591 Eb = 0.565458 FO = 0.74544 t = 420 x1 = 871.551 S = 0.739071 Ea = 1.44341 Eb = 0.579605 FO = 0.739172 t = 430 x1 = 864.39 S = 0.732889 Ea = 1.4809 Eb = 0.593762 FO = 0.732992 t = 440 x1 = 857.037 S = 0.726797 Ea = 1.51836 Eb = 0.607927 FO = 0.726904 t = 450 x1 = 849.528 S = 0.7208 Ea = 1.55578 Eb = 0.622101 FO = 0.720909 t = 460 x1 = 841.894 S = 0.714898 Ea = 1.59316 Eb = 0.636282 FO = 0.71501 t = 470 x1 = 834.164 S = 0.709095 Ea = 1.63047 Eb = 0.65047 FO = 0.709209 t = 480 x1 = 826.363 S = 0.703392 Ea = 1.66769 Eb = 0.664664 FO = 0.703508 t = 490 x1 = 818.514 S = 0.69779 Ea = 1.70483 Eb = 0.678864 FO = 0.697909 t = 500 x1 = 810.637 S = 0.692291 Ea = 1.74186 Eb = 0.693069 FO = 0.692413 t = 510 x1 = 802.752 S = 0.686897 Ea = 1.77876 Eb = 0.707278 FO = 0.687021 t = 520 x1 = 794.873 S = 0.681608 Ea = 1.81553 Eb = 0.721491 FO = 0.681735 t = 530 x1 = 787.017 S = 0.676426 Ea = 1.85215 Eb = 0.735708 FO = 0.676555 t = 540 x1 = 779.196 S = 0.671351 Ea = 1.88861 Eb = 0.749927 FO = 0.671483 t = 550 x1 = 771.422 S = 0.666384 Ea = 1.92489 Eb = 0.764148 FO = 0.666518 t = 560 x1 = 763.706 S = 0.661525 Ea = 1.96098 Eb = 0.778371 FO = 0.661662 t = 570 x1 = 756.055 S = 0.656775 Ea = 1.99687 Eb = 0.792594 FO = 0.656914 t = 580 x1 = 748.479 S = 0.652134 Ea = 2.03255 Eb = 0.806817 FO = 0.652275 t = 590 x1 = 740.984 S = 0.647601 Ea = 2.068 Eb = 0.82104 FO = 0.647746 t = 600 x1 = 733.577 S = 0.643178 Ea = 2.10321 Eb = 0.835262 FO = 0.643325 t = 610 x1 = 726.263 S = 0.638864 Ea = 2.13816 Eb = 0.849482 FO = 0.639013 t = 620 x1 = 719.047 S = 0.634659 Ea = 2.17285 Eb = 0.8637 FO = 0.63481 t = 630 x1 = 711.932 S = 0.630562 Ea = 2.20727 Eb = 0.877915 FO = 0.630716 t = 640 x1 = 704.922 S = 0.626573 Ea = 2.24141 Eb = 0.892126 FO = 0.626729

174

174

Tempo[s] Intersecção[µm] Área Energia [a] Energia [b] Função objetivo t = 650 x1 = 698.02 S = 0.622691 Ea = 2.27524 Eb = 0.906333 FO = 0.62285 t = 660 x1 = 691.228 S = 0.618916 Ea = 2.30877 Eb = 0.920535 FO = 0.619078 t = 670 x1 = 684.549 S = 0.615248 Ea = 2.34199 Eb = 0.934732 FO = 0.615412 t = 680 x1 = 677.982 S = 0.611686 Ea = 2.37487 Eb = 0.948922 FO = 0.611852 t = 690 x1 = 671.53 S = 0.608228 Ea = 2.40743 Eb = 0.963105 FO = 0.608396 t = 700 x1 = 665.194 S = 0.604874 Ea = 2.43964 Eb = 0.977281 FO = 0.605044 t = 710 x1 = 658.973 S = 0.601623 Ea = 2.4715 Eb = 0.991449 FO = 0.601796 t = 720 x1 = 652.868 S = 0.598474 Ea = 2.503 Eb = 1.00561 FO = 0.598649 t = 730 x1 = 646.88 S = 0.595425 Ea = 2.53414 Eb = 1.01976 FO = 0.595603 t = 740 x1 = 641.006 S = 0.592477 Ea = 2.5649 Eb = 1.0339 FO = 0.592657 t = 750 x1 = 635.248 S = 0.589628 Ea = 2.59529 Eb = 1.04803 FO = 0.58981 t = 760 x1 = 629.605 S = 0.586876 Ea = 2.62529 Eb = 1.06214 FO = 0.58706 t = 770 x1 = 624.075 S = 0.58422 Ea = 2.6549 Eb = 1.07625 FO = 0.584407 t = 780 x1 = 618.657 S = 0.58166 Ea = 2.68412 Eb = 1.09034 FO = 0.581848 t = 790 x1 = 613.351 S = 0.579193 Ea = 2.71294 Eb = 1.10442 FO = 0.579384 t = 800 x1 = 608.156 S = 0.576819 Ea = 2.74136 Eb = 1.11849 FO = 0.577012 t = 810 x1 = 603.07 S = 0.574536 Ea = 2.76937 Eb = 1.13254 FO = 0.574731 t = 820 x1 = 598.091 S = 0.572342 Ea = 2.79697 Eb = 1.14657 FO = 0.572539 t = 830 x1 = 593.218 S = 0.570237 Ea = 2.82416 Eb = 1.16059 FO = 0.570436 t = 840 x1 = 588.45 S = 0.568219 Ea = 2.85094 Eb = 1.1746 FO = 0.56842 t = 850 x1 = 583.785 S = 0.566286 Ea = 2.8773 Eb = 1.18858 FO = 0.56649 t = 860 x1 = 579.221 S = 0.564438 Ea = 2.90325 Eb = 1.20255 FO = 0.564643 t = 870 x1 = 574.757 S = 0.562672 Ea = 2.92878 Eb = 1.2165 FO = 0.562879 t = 880 x1 = 570.391 S = 0.560987 Ea = 2.9539 Eb = 1.23044 FO = 0.561196 t = 890 x1 = 566.121 S = 0.559382 Ea = 2.97859 Eb = 1.24435 FO = 0.559593 t = 900 x1 = 561.945 S = 0.557855 Ea = 3.00287 Eb = 1.25824 FO = 0.558068 t = 910 x1 = 557.862 S = 0.556404 Ea = 3.02674 Eb = 1.27211 FO = 0.556619 t = 920 x1 = 553.87 S = 0.555029 Ea = 3.05019 Eb = 1.28596 FO = 0.555246 t = 930 x1 = 549.966 S = 0.553727 Ea = 3.07323 Eb = 1.29978 FO = 0.553946 t = 940 x1 = 546.15 S = 0.552498 Ea = 3.09586 Eb = 1.31359 FO = 0.552718 t = 950 x1 = 542.42 S = 0.551339 Ea = 3.11807 Eb = 1.32737 FO = 0.551561 t = 960 x1 = 538.773 S = 0.550249 Ea = 3.13989 Eb = 1.34113 FO = 0.550473 t = 970 x1 = 535.207 S = 0.549227 Ea = 3.16129 Eb = 1.35486 FO = 0.549453 t = 980 x1 = 531.722 S = 0.548272 Ea = 3.1823 Eb = 1.36856 FO = 0.548499 t = 990 x1 = 528.315 S = 0.547381 Ea = 3.20291 Eb = 1.38224 FO = 0.54761 t = 1000 x1 = 524.984 S = 0.546553 Ea = 3.22313 Eb = 1.3959 FO = 0.546784 t = 1010 x1 = 521.728 S = 0.545787 Ea = 3.24296 Eb = 1.40953 FO = 0.54602 t = 1020 x1 = 518.545 S = 0.545082 Ea = 3.2624 Eb = 1.42313 FO = 0.545316 t = 1030 x1 = 515.434 S = 0.544436 Ea = 3.28146 Eb = 1.4367 FO = 0.544672 t = 1040 x1 = 512.392 S = 0.543847 Ea = 3.30014 Eb = 1.45024 FO = 0.544084 t = 1050 x1 = 509.418 S = 0.543314 Ea = 3.31845 Eb = 1.46375 FO = 0.543553 t = 1060 x1 = 506.511 S = 0.542837 Ea = 3.33639 Eb = 1.47724 FO = 0.543077 t = 1070 x1 = 503.668 S = 0.542412 Ea = 3.35397 Eb = 1.49069 FO = 0.542654 t = 1080 x1 = 500.889 S = 0.54204 Ea = 3.37119 Eb = 1.50411 FO = 0.542284 t = 1090 x1 = 498.171 S = 0.541718 Ea = 3.38806 Eb = 1.5175 FO = 0.541964 t = 1100 x1 = 495.514 S = 0.541446 Ea = 3.40458 Eb = 1.53086 FO = 0.541693 t = 1110 x1 = 492.916 S = 0.541222 Ea = 3.42076 Eb = 1.54418 FO = 0.54147 t = 1120 x1 = 490.374 S = 0.541045 Ea = 3.4366 Eb = 1.55747 FO = 0.541295 t = 1130 x1 = 487.889 S = 0.540913 Ea = 3.45211 Eb = 1.57073 FO = 0.541164 t = 1140 x1 = 485.458 S = 0.540826 Ea = 3.46729 Eb = 1.58395 FO = 0.541078 t = 1150 x1 = 483.08 S = 0.540782 Ea = 3.48215 Eb = 1.59714 FO = 0.541036 t = 1160 x1 = 480.754 S = 0.540779 Ea = 3.4967 Eb = 1.61029 FO = 0.541035 t = 1170 x1 = 478.478 S = 0.540817 Ea = 3.51094 Eb = 1.6234 FO = 0.541074 t = 1180 x1 = 476.252 S = 0.540895 Ea = 3.52487 Eb = 1.63648 FO = 0.541153 t = 1190 x1 = 474.074 S = 0.541011 Ea = 3.53851 Eb = 1.64952 FO = 0.541271 t = 1200 x1 = 471.942 S = 0.541165 Ea = 3.55186 Eb = 1.66253 FO = 0.541425 t = 1210 x1 = 469.856 S = 0.541354 Ea = 3.56491 Eb = 1.67549 FO = 0.541616 t = 1220 x1 = 467.814 S = 0.541578 Ea = 3.57769 Eb = 1.68842 FO = 0.541842 t = 1230 x1 = 465.816 S = 0.541837 Ea = 3.59019 Eb = 1.70131 FO = 0.542101 t = 1240 x1 = 463.86 S = 0.542128 Ea = 3.60243 Eb = 1.71416 FO = 0.542394 t = 1250 x1 = 461.945 S = 0.542451 Ea = 3.6144 Eb = 1.72697 FO = 0.542718 t = 1260 x1 = 458.234 S = 0.543189 Ea = 3.63756 Eb = 1.75246 FO = 0.543458 t = 1280 x1 = 456.436 S = 0.543601 Ea = 3.64877 Eb = 1.76514 FO = 0.543872 t = 1290 x1 = 454.676 S = 0.544042 Ea = 3.65974 Eb = 1.77779 FO = 0.544313 t = 1300 x1 = 452.951 S = 0.544509 Ea = 3.67048 Eb = 1.79039 FO = 0.544782

Tempo[s] Intersecção[µm] Área Energia [a] Energia [b] Função objetivo t = 1310 x1 = 451.262 S = 0.545002 Ea = 3.68098 Eb = 1.80294 FO = 0.545276 t = 1320 x1 = 449.607 S = 0.545521 Ea = 3.69125 Eb = 1.81546 FO = 0.545796 t = 1330 x1 = 447.985 S = 0.546064 Ea = 3.70131 Eb = 1.82793 FO = 0.54634 t = 1340 x1 = 446.396 S = 0.54663 Ea = 3.71115 Eb = 1.84035 FO = 0.546907 t = 1350 x1 = 444.84 S = 0.547218 Ea = 3.72077 Eb = 1.85273 FO = 0.547497 t = 1360 x1 = 443.314 S = 0.547829 Ea = 3.7302 Eb = 1.86507 FO = 0.548108 t = 1370 x1 = 441.818 S = 0.54846 Ea = 3.73942 Eb = 1.87736 FO = 0.548741 t = 1380 x1 = 440.352 S = 0.549111 Ea = 3.74845 Eb = 1.8896 FO = 0.549393 t = 1390 x1 = 438.914 S = 0.549782 Ea = 3.75728 Eb = 1.9018 FO = 0.550065 t = 1400 x1 = 437.505 S = 0.550471 Ea = 3.76593 Eb = 1.91395 FO = 0.550755 t = 1410 x1 = 436.123 S = 0.551178 Ea = 3.7744 Eb = 1.92605 FO = 0.551463 t = 1420 x1 = 434.768 S = 0.551902 Ea = 3.78269 Eb = 1.93811 FO = 0.552188 t = 1430 x1 = 433.439 S = 0.552643 Ea = 3.79081 Eb = 1.95012 FO = 0.55293 t = 1440 x1 = 432.135 S = 0.553399 Ea = 3.79876 Eb = 1.96208 FO = 0.553687 t = 1450 x1 = 430.856 S = 0.554171 Ea = 3.80654 Eb = 1.97399 FO = 0.55446 t = 1460 x1 = 429.601 S = 0.554956 Ea = 3.81417 Eb = 1.98585 FO = 0.555246 t = 1470 x1 = 428.37 S = 0.555756 Ea = 3.82164 Eb = 1.99766 FO = 0.556047 t = 1480 x1 = 427.162 S = 0.556568 Ea = 3.82895 Eb = 2.00943 FO = 0.55686 t = 1490 x1 = 425.976 S = 0.557393 Ea = 3.83612 Eb = 2.02114 FO = 0.557686 t = 1500 x1 = 424.812 S = 0.55823 Ea = 3.84315 Eb = 2.03281 FO = 0.558524 t = 1510 x1 = 423.67 S = 0.559078 Ea = 3.85003 Eb = 2.04442 FO = 0.559373 t = 1520 x1 = 422.549 S = 0.559938 Ea = 3.85678 Eb = 2.05598 FO = 0.560233 t = 1530 x1 = 421.448 S = 0.560807 Ea = 3.86339 Eb = 2.06749 FO = 0.561103 t = 1540 x1 = 420.367 S = 0.561686 Ea = 3.86988 Eb = 2.07895 FO = 0.561983 t = 1550 x1 = 419.306 S = 0.562574 Ea = 3.87623 Eb = 2.09036 FO = 0.562872 t = 1560 x1 = 418.264 S = 0.56347 Ea = 3.88247 Eb = 2.10172 FO = 0.56377 t = 1570 x1 = 417.24 S = 0.564375 Ea = 3.88859 Eb = 2.11302 FO = 0.564675 t = 1580 x1 = 416.235 S = 0.565287 Ea = 3.89458 Eb = 2.12427 FO = 0.565588 t = 1590 x1 = 415.247 S = 0.566207 Ea = 3.90047 Eb = 2.13547 FO = 0.566509 t = 1600 x1 = 414.277 S = 0.567133 Ea = 3.90625 Eb = 2.14662 FO = 0.567436 t = 1610 x1 = 413.324 S = 0.568066 Ea = 3.91191 Eb = 2.15771 FO = 0.568369 t = 1620 x1 = 412.387 S = 0.569004 Ea = 3.91748 Eb = 2.16875 FO = 0.569308 t = 1630 x1 = 411.467 S = 0.569948 Ea = 3.92294 Eb = 2.17973 FO = 0.570253 t = 1640 x1 = 410.562 S = 0.570897 Ea = 3.9283 Eb = 2.19066 FO = 0.571203 t = 1650 x1 = 409.674 S = 0.57185 Ea = 3.93357 Eb = 2.20154 FO = 0.572157 t = 1660 x1 = 408.8 S = 0.572807 Ea = 3.93874 Eb = 2.21236 FO = 0.573115 t = 1670 x1 = 407.941 S = 0.573769 Ea = 3.94382 Eb = 2.22313 FO = 0.574077 t = 1680 x1 = 407.097 S = 0.574733 Ea = 3.94881 Eb = 2.23385 FO = 0.575042 t = 1690 x1 = 406.267 S = 0.575701 Ea = 3.95372 Eb = 2.24451 FO = 0.576011 t = 1700 x1 = 405.451 S = 0.576671 Ea = 3.95854 Eb = 2.25511 FO = 0.576982 t = 1710 x1 = 404.649 S = 0.577644 Ea = 3.96328 Eb = 2.26566 FO = 0.577956 t = 1720 x1 = 403.861 S = 0.578619 Ea = 3.96794 Eb = 2.27615 FO = 0.578931 t = 1730 x1 = 403.085 S = 0.579596 Ea = 3.97253 Eb = 2.28659 FO = 0.579909 t = 1740 x1 = 402.322 S = 0.580574 Ea = 3.97704 Eb = 2.29697 FO = 0.580887 t = 1750 x1 = 401.572 S = 0.581553 Ea = 3.98147 Eb = 2.3073 FO = 0.581867 t = 1760 x1 = 400.834 S = 0.582533 Ea = 3.98584 Eb = 2.31757 FO = 0.582848 t = 1770 x1 = 400.108 S = 0.583513 Ea = 3.99013 Eb = 2.32779 FO = 0.583829 t = 1780 x1 = 399.394 S = 0.584494 Ea = 3.99436 Eb = 2.33795 FO = 0.584811 t = 1790 x1 = 398.692 S = 0.585475 Ea = 3.99852 Eb = 2.34805 FO = 0.585792 t = 1800 x1 = 398.001 S = 0.586455 Ea = 4.00262 Eb = 2.35809 FO = 0.586773 t = 1810 x1 = 397.321 S = 0.587435 Ea = 4.00665 Eb = 2.36808 FO = 0.587754 t = 1820 x1 = 396.652 S = 0.588414 Ea = 4.01063 Eb = 2.37802 FO = 0.588733 t = 1830 x1 = 395.994 S = 0.589392 Ea = 4.01454 Eb = 2.3879 FO = 0.589712 t = 1840 x1 = 395.347 S = 0.590369 Ea = 4.0184 Eb = 2.39772 FO = 0.59069 t = 1850 x1 = 394.709 S = 0.591344 Ea = 4.0222 Eb = 2.40748 FO = 0.591666 t = 1860 x1 = 394.082 S = 0.592318 Ea = 4.02595 Eb = 2.41719 FO = 0.59264 t = 1870 x1 = 393.465 S = 0.59329 Ea = 4.02965 Eb = 2.42684 FO = 0.593613 t = 1880 x1 = 392.857 S = 0.59426 Ea = 4.03329 Eb = 2.43643 FO = 0.594583 t = 1890 x1 = 392.26 S = 0.595227 Ea = 4.03688 Eb = 2.44597 FO = 0.595551 t = 1900 x1 = 391.671 S = 0.596192 Ea = 4.04043 Eb = 2.45545 FO = 0.596517 t = 1910 x1 = 391.092 S = 0.597154 Ea = 4.04393 Eb = 2.46487 FO = 0.59748 t = 1920 x1 = 390.522 S = 0.598114 Ea = 4.04738 Eb = 2.47424 FO = 0.59844 t = 1930 x1 = 389.96 S = 0.59907 Ea = 4.05078 Eb = 2.48355 FO = 0.599397 t = 1940 x1 = 389.408 S = 0.600023 Ea = 4.05414 Eb = 2.4928 FO = 0.600351 t = 1950 x1 = 388.864 S = 0.600973 Ea = 4.05746 Eb = 2.502 FO = 0.601301 t = 1960 x1 = 388.328 S = 0.60192 Ea = 4.06074 Eb = 2.51114 FO = 0.602249

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182

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Tempo[s] Intersecção[µm] Área Energia [a] Energia [b] Função objetivo t = 5930 x1 = 352.959 S = 0.700711 Ea = 4.42711 Eb = 3.5355 FO = 0.701109 t = 5940 x1 = 352.98 S = 0.700853 Ea = 4.42651 Eb = 3.53526 FO = 0.701251 t = 5950 x1 = 353 S = 0.700996 Ea = 4.4259 Eb = 3.53502 FO = 0.701394 t = 5960 x1 = 353.021 S = 0.701141 Ea = 4.42528 Eb = 3.53477 FO = 0.701539 t = 5970 x1 = 353.042 S = 0.701288 Ea = 4.42466 Eb = 3.53451 FO = 0.701686 t = 5980 x1 = 353.063 S = 0.701435 Ea = 4.42402 Eb = 3.53425 FO = 0.701833 t = 5990 x1 = 353.084 S = 0.701585 Ea = 4.42337 Eb = 3.53398 FO = 0.701983 t = 6000 x1 = 353.106 S = 0.701736 Ea = 4.42272 Eb = 3.53371 FO = 0.702134 t = 6010 x1 = 353.127 S = 0.701888 Ea = 4.42205 Eb = 3.53343 FO = 0.702286 t = 6020 x1 = 353.149 S = 0.702042 Ea = 4.42138 Eb = 3.53314 FO = 0.70244 t = 6030 x1 = 353.171 S = 0.702198 Ea = 4.42069 Eb = 3.53285 FO = 0.702596 t = 6040 x1 = 353.193 S = 0.702355 Ea = 4.42 Eb = 3.53256 FO = 0.702753 t = 6050 x1 = 353.215 S = 0.702514 Ea = 4.41929 Eb = 3.53225 FO = 0.702911 t = 6060 x1 = 353.238 S = 0.702674 Ea = 4.41858 Eb = 3.53194 FO = 0.703072 t = 6070 x1 = 353.26 S = 0.702836 Ea = 4.41785 Eb = 3.53163 FO = 0.703233 t = 6080 x1 = 353.283 S = 0.702999 Ea = 4.41712 Eb = 3.53131 FO = 0.703397 t = 6090 x1 = 353.306 S = 0.703164 Ea = 4.41637 Eb = 3.53098 FO = 0.703562 t = 6100 x1 = 353.329 S = 0.703331 Ea = 4.41562 Eb = 3.53065 FO = 0.703728 t = 6110 x1 = 353.352 S = 0.703499 Ea = 4.41486 Eb = 3.53031 FO = 0.703897 t = 6120 x1 = 353.375 S = 0.703669 Ea = 4.41408 Eb = 3.52997 FO = 0.704066 t = 6130 x1 = 353.398 S = 0.703841 Ea = 4.4133 Eb = 3.52962 FO = 0.704238 t = 6140 x1 = 353.422 S = 0.704014 Ea = 4.4125 Eb = 3.52926 FO = 0.704411 t = 6150 x1 = 353.445 S = 0.704189 Ea = 4.4117 Eb = 3.5289 FO = 0.704586 t = 6160 x1 = 353.469 S = 0.704365 Ea = 4.41089 Eb = 3.52853 FO = 0.704762 t = 6170 x1 = 353.493 S = 0.704543 Ea = 4.41006 Eb = 3.52816 FO = 0.70494 t = 6180 x1 = 353.517 S = 0.704723 Ea = 4.40923 Eb = 3.52778 FO = 0.70512 t = 6190 x1 = 353.541 S = 0.704904 Ea = 4.40838 Eb = 3.52739 FO = 0.705301 t = 6200 x1 = 353.565 S = 0.705087 Ea = 4.40752 Eb = 3.527 FO = 0.705484 t = 6210 x1 = 353.589 S = 0.705272 Ea = 4.40666 Eb = 3.5266 FO = 0.705669 t = 6220 x1 = 353.613 S = 0.705459 Ea = 4.40578 Eb = 3.5262 FO = 0.705855 t = 6230 x1 = 353.637 S = 0.705647 Ea = 4.40489 Eb = 3.52579 FO = 0.706043 t = 6240 x1 = 353.662 S = 0.705837 Ea = 4.40399 Eb = 3.52537 FO = 0.706233 t = 6250 x1 = 353.686 S = 0.706029 Ea = 4.40308 Eb = 3.52495 FO = 0.706425 t = 6260 x1 = 353.711 S = 0.706222 Ea = 4.40216 Eb = 3.52452 FO = 0.706618 t = 6270 x1 = 353.736 S = 0.706417 Ea = 4.40123 Eb = 3.52409 FO = 0.706814 t = 6280 x1 = 353.76 S = 0.706614 Ea = 4.40029 Eb = 3.52365 FO = 0.70701 t = 6290 x1 = 353.785 S = 0.706813 Ea = 4.39934 Eb = 3.52321 FO = 0.707209 t = 6300 x1 = 353.81 S = 0.707013 Ea = 4.39837 Eb = 3.52276 FO = 0.70741 t = 6310 x1 = 353.835 S = 0.707216 Ea = 4.3974 Eb = 3.5223 FO = 0.707612 t = 6320 x1 = 353.86 S = 0.70742 Ea = 4.39641 Eb = 3.52184 FO = 0.707816 t = 6330 x1 = 353.885 S = 0.707626 Ea = 4.39542 Eb = 3.52137 FO = 0.708022 t = 6340 x1 = 353.91 S = 0.707833 Ea = 4.39441 Eb = 3.5209 FO = 0.708229 t = 6350 x1 = 353.935 S = 0.708043 Ea = 4.39339 Eb = 3.52042 FO = 0.708439 t = 6360 x1 = 353.96 S = 0.708254 Ea = 4.39236 Eb = 3.51993 FO = 0.70865 t = 6370 x1 = 353.984 S = 0.708467 Ea = 4.39132 Eb = 3.51944 FO = 0.708863 t = 6380 x1 = 354.009 S = 0.708682 Ea = 4.39026 Eb = 3.51894 FO = 0.709078 t = 6390 x1 = 354.034 S = 0.708899 Ea = 4.3892 Eb = 3.51844 FO = 0.709295 t = 6400 x1 = 354.059 S = 0.709118 Ea = 4.38812 Eb = 3.51793 FO = 0.709513 t = 6410 x1 = 354.084 S = 0.709339 Ea = 4.38703 Eb = 3.51741 FO = 0.709734 t = 6420 x1 = 354.109 S = 0.709561 Ea = 4.38593 Eb = 3.51689 FO = 0.709956 t = 6430 x1 = 354.134 S = 0.709786 Ea = 4.38482 Eb = 3.51636 FO = 0.710181 t = 6440 x1 = 354.159 S = 0.710012 Ea = 4.3837 Eb = 3.51583 FO = 0.710407 t = 6450 x1 = 354.184 S = 0.71024 Ea = 4.38256 Eb = 3.51529 FO = 0.710635 t = 6460 x1 = 354.209 S = 0.71047 Ea = 4.38141 Eb = 3.51474 FO = 0.710865 t = 6470 x1 = 354.233 S = 0.710702 Ea = 4.38025 Eb = 3.51419 FO = 0.711097 t = 6480 x1 = 354.258 S = 0.710936 Ea = 4.37908 Eb = 3.51363 FO = 0.711331 t = 6490 x1 = 354.283 S = 0.711172 Ea = 4.3779 Eb = 3.51307 FO = 0.711567 t = 6500 x1 = 354.307 S = 0.71141 Ea = 4.3767 Eb = 3.5125 FO = 0.711804 t = 6510 x1 = 354.332 S = 0.71165 Ea = 4.37549 Eb = 3.51192 FO = 0.712044 t = 6520 x1 = 354.356 S = 0.711892 Ea = 4.37427 Eb = 3.51134 FO = 0.712286 t = 6530 x1 = 354.38 S = 0.712135 Ea = 4.37304 Eb = 3.51075 FO = 0.712529 t = 6540 x1 = 354.404 S = 0.712381 Ea = 4.37179 Eb = 3.51015 FO = 0.712775 t = 6550 x1 = 354.428 S = 0.712629 Ea = 4.37053 Eb = 3.50955 FO = 0.713023 t = 6560 x1 = 354.452 S = 0.712879 Ea = 4.36926 Eb = 3.50895 FO = 0.713273 t = 6570 x1 = 354.475 S = 0.71313 Ea = 4.36798 Eb = 3.50834 FO = 0.713524 t = 6580 x1 = 354.499 S = 0.713384 Ea = 4.36668 Eb = 3.50772 FO = 0.713778

Tempo[s] Intersecção[µm] Área Energia [a] Energia [b] Função objetivo t = 6590 x1 = 354.522 S = 0.71364 Ea = 4.36537 Eb = 3.50709 FO = 0.714034 t = 6600 x1 = 354.545 S = 0.713898 Ea = 4.36405 Eb = 3.50646 FO = 0.714291 t = 6610 x1 = 354.568 S = 0.714158 Ea = 4.36271 Eb = 3.50583 FO = 0.714551 t = 6620 x1 = 354.591 S = 0.71442 Ea = 4.36136 Eb = 3.50518 FO = 0.714813 t = 6630 x1 = 354.614 S = 0.714684 Ea = 4.36 Eb = 3.50453 FO = 0.715077 t = 6640 x1 = 354.636 S = 0.71495 Ea = 4.35862 Eb = 3.50388 FO = 0.715343 t = 6650 x1 = 354.658 S = 0.715218 Ea = 4.35723 Eb = 3.50322 FO = 0.715611 t = 6660 x1 = 354.68 S = 0.715489 Ea = 4.35583 Eb = 3.50255 FO = 0.715882 t = 6670 x1 = 354.702 S = 0.715761 Ea = 4.35442 Eb = 3.50187 FO = 0.716154 t = 6680 x1 = 354.723 S = 0.716036 Ea = 4.35299 Eb = 3.50119 FO = 0.716429 t = 6690 x1 = 354.744 S = 0.716313 Ea = 4.35154 Eb = 3.50051 FO = 0.716705 t = 6700 x1 = 354.765 S = 0.716591 Ea = 4.35008 Eb = 3.49982 FO = 0.716984 t = 6710 x1 = 354.785 S = 0.716872 Ea = 4.34861 Eb = 3.49912 FO = 0.717265 t = 6720 x1 = 354.805 S = 0.717156 Ea = 4.34713 Eb = 3.49841 FO = 0.717548 t = 6730 x1 = 354.825 S = 0.717441 Ea = 4.34563 Eb = 3.4977 FO = 0.717833 t = 6740 x1 = 354.844 S = 0.717728 Ea = 4.34412 Eb = 3.49698 FO = 0.71812 t = 6750 x1 = 354.864 S = 0.718018 Ea = 4.34259 Eb = 3.49626 FO = 0.71841 t = 6760 x1 = 354.882 S = 0.71831 Ea = 4.34105 Eb = 3.49553 FO = 0.718702 t = 6770 x1 = 354.901 S = 0.718604 Ea = 4.33949 Eb = 3.49479 FO = 0.718996 t = 6780 x1 = 354.918 S = 0.7189 Ea = 4.33792 Eb = 3.49405 FO = 0.719292 t = 6790 x1 = 354.936 S = 0.719199 Ea = 4.33633 Eb = 3.4933 FO = 0.71959 t = 6800 x1 = 354.953 S = 0.719499 Ea = 4.33473 Eb = 3.49254 FO = 0.719891 t = 6810 x1 = 354.97 S = 0.719802 Ea = 4.33312 Eb = 3.49178 FO = 0.720194 t = 6820 x1 = 354.986 S = 0.720108 Ea = 4.33149 Eb = 3.49101 FO = 0.720499 t = 6830 x1 = 355.001 S = 0.720415 Ea = 4.32984 Eb = 3.49024 FO = 0.720806 t = 6840 x1 = 355.017 S = 0.720725 Ea = 4.32818 Eb = 3.48946 FO = 0.721116 t = 6850 x1 = 355.031 S = 0.721037 Ea = 4.32651 Eb = 3.48867 FO = 0.721428 t = 6860 x1 = 355.045 S = 0.721351 Ea = 4.32482 Eb = 3.48788 FO = 0.721742 t = 6870 x1 = 355.059 S = 0.721668 Ea = 4.32311 Eb = 3.48708 FO = 0.722058 t = 6880 x1 = 355.072 S = 0.721987 Ea = 4.32139 Eb = 3.48627 FO = 0.722377 t = 6890 x1 = 355.084 S = 0.722308 Ea = 4.31965 Eb = 3.48546 FO = 0.722698 t = 6900 x1 = 355.096 S = 0.722632 Ea = 4.3179 Eb = 3.48464 FO = 0.723022 t = 6910 x1 = 355.107 S = 0.722958 Ea = 4.31613 Eb = 3.48381 FO = 0.723348 t = 6920 x1 = 355.117 S = 0.723286 Ea = 4.31434 Eb = 3.48298 FO = 0.723676 t = 6930 x1 = 355.127 S = 0.723616 Ea = 4.31254 Eb = 3.48214 FO = 0.724006 t = 6940 x1 = 355.136 S = 0.723949 Ea = 4.31072 Eb = 3.48129 FO = 0.724339 t = 6950 x1 = 355.144 S = 0.724285 Ea = 4.30889 Eb = 3.48044 FO = 0.724674 t = 6960 x1 = 355.152 S = 0.724623 Ea = 4.30704 Eb = 3.47958 FO = 0.725012 t = 6970 x1 = 355.159 S = 0.724963 Ea = 4.30517 Eb = 3.47871 FO = 0.725352 t = 6980 x1 = 355.165 S = 0.725305 Ea = 4.30329 Eb = 3.47784 FO = 0.725694 t = 6990 x1 = 355.17 S = 0.72565 Ea = 4.30139 Eb = 3.47696 FO = 0.726039 t = 7000 x1 = 355.174 S = 0.725998 Ea = 4.29947 Eb = 3.47607 FO = 0.726386 t = 7010 x1 = 355.178 S = 0.726347 Ea = 4.29754 Eb = 3.47518 FO = 0.726736 t = 7020 x1 = 355.18 S = 0.7267 Ea = 4.29559 Eb = 3.47428 FO = 0.727088 t = 7030 x1 = 355.182 S = 0.727054 Ea = 4.29362 Eb = 3.47337 FO = 0.727443 t = 7040 x1 = 355.183 S = 0.727412 Ea = 4.29163 Eb = 3.47246 FO = 0.7278 t = 7050 x1 = 355.182 S = 0.727771 Ea = 4.28963 Eb = 3.47154 FO = 0.728159 t = 7060 x1 = 355.181 S = 0.728133 Ea = 4.28761 Eb = 3.47061 FO = 0.728521 t = 7070 x1 = 355.179 S = 0.728498 Ea = 4.28557 Eb = 3.46968 FO = 0.728886 t = 7080 x1 = 355.175 S = 0.728865 Ea = 4.28351 Eb = 3.46874 FO = 0.729253 t = 7090 x1 = 355.171 S = 0.729235 Ea = 4.28144 Eb = 3.46779 FO = 0.729622 t = 7100 x1 = 355.165 S = 0.729607 Ea = 4.27934 Eb = 3.46684 FO = 0.729994 t = 7110 x1 = 355.159 S = 0.729982 Ea = 4.27723 Eb = 3.46588 FO = 0.730369 t = 7120 x1 = 355.151 S = 0.730359 Ea = 4.2751 Eb = 3.46491 FO = 0.730746 t = 7130 x1 = 355.142 S = 0.730739 Ea = 4.27295 Eb = 3.46393 FO = 0.731126 t = 7140 x1 = 355.131 S = 0.731121 Ea = 4.27079 Eb = 3.46295 FO = 0.731508 t = 7150 x1 = 355.119 S = 0.731506 Ea = 4.2686 Eb = 3.46196 FO = 0.731893 t = 7160 x1 = 355.106 S = 0.731894 Ea = 4.2664 Eb = 3.46097 FO = 0.73228 t = 7170 x1 = 355.092 S = 0.732284 Ea = 4.26417 Eb = 3.45996 FO = 0.73267 t = 7180 x1 = 355.076 S = 0.732676 Ea = 4.26193 Eb = 3.45895 FO = 0.733063 t = 7190 x1 = 355.059 S = 0.733072 Ea = 4.25966 Eb = 3.45794 FO = 0.733458 t = 7200 x1 = 355.04 S = 0.73347 Ea = 4.25738 Eb = 3.45691 FO = 0.733855

184

184

Work index

Quartzo

Massa da alimentação do moinho:

1 Proveta

2 Proveta 1.025 Kg

3 Proveta

a

a

a

Média

Análise Granulométrica da Alimentação:

Massa: 217,17

Peneiras PESO RS RA PASSANTE

8 # 68,93 31,89 31,89 68,11310 # 41,71 19,29 51,18 48,81812 # 17,22 7,97 59,15 40,85214 # 19,64 9,09 68,23 31,76716 # 9,34 4,32 72,55 27,44620 # 13,7 6,34 78,89 21,10828 # 13,58 6,28 85,17 14,82635 # 10,17 4,70 89,88 10,12248 # 11,35 5,25 95,13 4,87165 # 4,85 2,24 97,37 2,628100 # 3,35 1,55 98,92 1,078150 # 2,2 1,02 99,94 0,060200 # 0,08 0,04 99,98 0,023270 # 0,05 0,02 100,00 0,000325 # 0,00 0,00 100,00 0,000400 # 0,00 0,00 100,00 0,000Total 216,17

Alimentação

0

20

40

60

80

100

120

10 100 1000 10000

abertura [µm]

pass

ante

[%}

Tabela

M = 1025,0 Kg

AAR = 293,0 Kg

1 2 3 4 5 6 7 8PRODUTOS

CICLOS NR MA MAR MAP MAL DESVIO MOB.+ 100 # - 100 g

1 200 2,33 865,94 159,06 156,73 -133,94 0,782 372 2,36 669,28 355,72 353,36 62,72 0,953 304 3,44 695,58 329,42 325,98 36,42 1,074 270 3,31 697,37 327,63 324,32 34,63 1,25 241 2,78 711,21 313,79 311,01 20,79 1,296 224 3,65 741,74 283,26 279,61 -9,74 1,247 234 3,15 730,6 294,4 291,25 1,4 1,24

Análise Granulométrica do Produto Final

Massa: 195,82 Kg


150 # 56,71 35,81 35,81 64,19200 # 33,99 21,46 57,27 42,73270 # 32,5 20,52 77,79 22,21325 # 19,82 12,51 90,31 9,69400 # 12,47 7,87 98,18 1,82

- 400 # 2,88 1,82 100,00 0,00Total 158,37

186

186

Produto

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

10,00 100,00 1000,00

Abertura [µm]

Pas

sant

e [%

]

O valor do índice de treabalho, WI, em tonelada é:

0,23 0,82

40,361515,12 kwh/t

1 1150 1,26 10

124,4 2564

WI

= = × × × −

Calcita

Massa da alimentação do moinho:

1 Proveta

2 Proveta 1.177 Kg

3 Proveta

a

a

a

Média

Análise Granulométrica da Alimentação:

Massa: 215,83


8 # 35,08 16,29 16,29 83,70910 # 36,75 17,07 33,36 66,64312 # 20,30 9,43 42,78 57,21614 # 25,10 11,66 54,44 45,56116 # 13,41 6,23 60,67 39,33320 # 17,30 8,03 68,70 31,29928 # 17,56 8,15 76,86 23,14535 # 13,18 6,12 82,98 17,02448 # 15,44 7,17 90,15 9,85465 # 8,49 3,94 94,09 5,912

100 # 6,83 3,17 97,26 2,740150 # 4,70 2,18 99,44 0,557200 # 0,56 0,26 99,70 0,297270 # 0,34 0,16 99,86 0,139325 # 0,20 0,09 99,95 0,046400 # 0,10 0,05 100,00 0,000Total 215,34

Alimentação

0

20

40

60

80

100

120

10 100 1000 10000

abertura [µm]

pass

ante

[%]

Tabela

M = 1.177,00 Kg

AAR = 336,30 Kg

188

188

1 2 3 4 5 6 7 8PRODUTOS

CICLOS NR MA MAR MAP MAL DESVIO MOB.+ 100 # - 100 g

1 200 5,9 913,15 263,85 257,95 -72,45 1,32 254 8,3 779,66 397,34 389,04 61,04 1,533 214 10,33 844,28 332,72 322,39 -3,58 1,514 215 8,1 805,59 371,41 363,31 35,11 1,685 195 12,17 803,73 373,27 361,1 36,97 1,85

Análise Granulométrica do Produto Final

Massa: 195,82 Kg


150 # 50,64 25,96 25,96 74,04200 # 38,78 19,88 45,84 54,16270 # 60,26 30,89 76,74 23,26325 # 32,38 16,60 93,34 6,66400 # 10,72 5,50 98,83 1,17

- 400 # 2,28 1,17 100,00 0,00Total 195,06

Produto

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

10,00 100,00 1000,00

Abertura [µm]

Pas

sant

e [%

]

O valor do índice de treabalho, WI, em tonelada é:

0,23 0,82

40,361511,52 kwh/t

1 1150 1,68 10

114,7 2253,7

WI

= = × × × −

COMINUIÇÃO SELETIVA DE MINERAIS DE DIFERENTES …‡ÃO... · Quando o processo de fragmentação...

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