Comparacao de Softwares de Calculo Estrutural
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UNIVERSIDADE DO MINHO
Departamento de Engenharia Civil
EXEMPLOS DE REFERÊNCIA PARA O CÁLCULO DE
ESTRUTURAS PORTICADAS EM BETÃO ARMADO
António Francisco Monteiro Oliveira
Dissertação para obtenção de Grau de Mestre em Engenharia Civil
Especialização em Estruturas, Fundações e Geotecnia
Fevereiro de 2000
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UNIVERSIDADE DO MINHO
Departamento de Engenharia Civil
EXEMPLOS DE REFERÊNCIA PARA O CÁLCULO DE
ESTRUTURAS PORTICADAS EM BETÃO ARMADO
Orientador Científico
Paulo Barbosa Lourenço
Dissertação apresentada à Universidade do Minho, para obtenção de Grau de Mestre
em Estruturas, Geotecnia e Fundações em Engenharia Civil
António Francisco Monteiro Oliveira
Fevereiro de 2000
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Orientador Científico:
Doutor Paulo José Brandão Barbosa Lourenço
Júri das provas constituído por:
Presidente:
Professor Doutor Júlio Barreiros Martins
Vogais:
Doutor João Carlos Vinagre Nascimento dos Santos
Doutor Paulo José Brandão Barbosa Lourenço
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Aos meus Avôs.
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Agradecimentos
No decorrer deste trabalho senti muitas mãos abertas a oferecer ajuda quando dela
precisei. Conscientemente, seria impraticável agradecer a todos os que de uma forma oude outra me ajudaram. No entanto seria injusto não referir aqueles que de uma forma
mais intensa permitiram a sua concretização.
Ao Prof. Paulo Barbosa Lourenço, o orientador científico desta tese, apresento o meu
profundo agradecimento pela interminável disponibilidade, apoio e incentivo.
A todas as empresas que gentilmente disponibilizaram os seus programas de cálculo para que fosse possível efectuar este trabalho e aos técnicos dessas mesmas empresas,
pela ajuda possível na utilização desses mesmos programas.
A todo o grupo docente de estruturas da Universidade do Minho, sem qualquer
distinção pelo incentivo e ajuda no decorrer da tese.
A todos os meus amigos, agradeço sobretudo a presença nos momentos mais difíceis.
Um agradecimento especial aos arquitecto José Loja e engenheiro Jorge Duarte pela
amizade demonstrada e apoio constante.
Para finalizar agradeço a toda a minha família, ao meu pai António Oliveira, à minha
mãe Rosa Augusta Monteiro e ao meu irmão Jorge. À Helena, pela compreensão e
carinho nas fases mais difíceis deste trabalho.
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Resumo
Desde a década de 80, a utilização de programas de cálculo automático tem-se revelado
cada vez mais importante para o projecto estrutural.
Constitui objectivo deste trabalho apresentar as variações de resultados possíveis e
previsíveis através da utilização de programas de cálculo diferentes, bem como a
desmistificação da perfeição absoluta e irrefutável dos algorítmos de cálculo.
Para tal, foram utilizados três programas de cálculo automático de estruturas, fortemente
implantados no mercado português.
Deste modo, foram analisados exemplos de referência simples, permitindo uma
incursão sobre aspectos fundamentais do cálculo automático.
Numa primeira fase, foram analisados os resultados provenientes do cálculo de uma
estrutura através dos programas comerciais, com o objectivo de tomar consciência do
nível de variação de resultados possível devido à utilização de programas diferentes.
Numa segunda fase, e como consequência da primeira, foram analisadas, de uma forma
selectiva, as possíveis causas de tal variação de resultados. Foi assim efectuada uma
análise sobre as modelações reticulares estruturais utilizadas pelos vários programas.
De seguida, foram analisadas as variações de resultados impostas à estrutura reticulada
pelo tipo de modelação das lajes, numa extensão tridimensional da análise de
modelação anterior.
Foi efectuada uma incursão pela análise dinâmica de estruturas proposta pelos
programas em análise. Esta teve como causa a constatação de grandes variações de
resultados.
Os resultados de todas as análises foram aferidos com os resultados provenientes de
cálculos através de elementos finitos.
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Abstract
Since the 80's, the use of automatic calculation programs has become more and more important tothe structural calculation.
It is objective of this work to present the possible and foreseeable results variations through the use
of different calculation programs, as well as the destruction of the one myth: the absolute and
irrefutable perfection of calculation programs.
For such, three automatic structural calculation programs, strongly implanted in the Portuguese
market, were used.
Thus, some simple practical examples were analyzed, allowing an insight into some fundamental
issues of automatic calculation.
In a first stage, we analyzed the results obtained from the calculation of a structure using the
commercial programs, which aimed to bring conscience of the possible results variation gap due to
the use of different programs.
In a second stage, and as consequence of the first stage, we analyzed, selectively, the possible
causes of such variation on the results. For such, we analyzed the structural reticular modelations
used by the programs.
Then, we analyzed the results variation imposed by the kind of tile modelation to the reticulate
structure, in an three dimensional extension of the previous modelation analysis.
It was made an incursion through the structural dynamic analysis proposed by the programs in
study, because there were usual and significant variations on the results.
The results of each and every analysis were validated with the results reached through finite
elements analysis.
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Capítulo 1
Introdução
“...Com a evolução permanente e rápida dos meios informáticos, hoje o computador e os
programas de cálculo constituem ferramentas indispensáveis no apoio ao projecto de
estruturas. A utilização de programas de cálculo é uma condição importante para a
obtenção de qualidade dos projectos de estruturas, mas não suficiente. Mais facilmente
podem ser obtidas soluções inadequadas ou mesmo erros grosseiros. Só um projectista de
estruturas usando os seus conhecimentos e a sua sensibilidade estrutural pode possibilitar a
obtenção de um projecto estrutural...” 1
Domingos Ribas e Joaquim Figueiras
1 Domingos Ribas e J. Figueiras, in Revista “Ingenium”, 2ª Série, n.º 42, Dezembro 99, págs. 66-70.
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Capítulo 1
1.2
1.1. Introdução
O cálculo estrutural usufrui, hoje em dia, do exponencial desenvolvimento informático aodispor da sociedade. A capacidade de resolução de sistemas de equações é enorme,
permitindo o uso de métodos de cálculo impraticáveis até há poucos anos.
Foram criadas empresas de “software” em vários campos e a engenharia estrutural não
constitui excepção. No entanto, fruto da competitividade e das exigências de mercado, as
empresas de “software” relegaram para segundo plano as metodologias de cálculo e
colocaram em primeiro plano a facilidade de utilização desses programas. As justificações
de cálculo estão ausentes ou são apenas referidas de um modo muito incipiente. Cada vez
mais os projectos estruturais são o resultado de programas de cálculo automático que não
são mais do que cadeias de montagem onde o “projectista” se limita a colocar o sistema em
movimento. Esta situação arrastou para o projecto estrutural técnicos que se encontravam
dissociados dessa prática de engenharia antes de tais ferramentas se encontrarem
disponíveis no mercado.
Como pode ser observado no trabalho de Ribas e Figueiras [ RIB99], a falta de desempenhodos edifícios tem como principal causa o comportamento estrutural; por outro lado a
origem principal da falta de desempenho das estruturas é a concepção e o projecto. A
qualidade dos projectos estruturais é, assim, uma causa fundamental para a falta de
qualidade na construção civil.
A qualidade do projecto de estruturas que se encontra nas Câmaras Municipais revela-se
muito aquém do que seria desejável, sendo mesmo insuficiente. É possível verificar que a
falta de qualidade dos projectos de superestruturas se encontra na avaliação das acções,
33%, sendo a avaliação das acções horizontais o factor que mais contribui para tal factor.
A segunda razão da falta de qualidade encontra-se ao nível do dimensionamento, 26%, a
terceira e quarta causas daquela são a concepção estrutural e a pormenorização,
respectivamente.
As consequências que poderão surgir do dimensionamento deficiente de uma estrutura de
betão armado são particularmente gravosas, quer em termos de vidas humanas quer em
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Introdução
1.3
termos meramente económicos, como sejam os associados à reparação de patologias
estruturais. É portanto discutível que qualquer técnico possa assumir a responsabilidade
por um projecto de estabilidade e que qualquer programa de cálculo possa ser utilizado no
dimensionamento da estrutura. Daí a particular importância da análise dos programas
comerciais disponíveis no mercado português.
A génese deste trabalho surgiu numa primeira tentativa realizada em 1997 para analisar e
comparar a qualidade dos mais significativos programas de análise estrutural disponíveis
no mercado português. Neste trabalho, realizado por Lourenço et al [LOU97], foram
fornecidas aos representantes dos vários programas as plantas estruturais bem como as
acções de dimensionamento de dois exemplos de referência.
Os resultados obtidos pelas várias empresas eram bastante variáveis chegando, em alguns
casos, a obter-se diferenças de um para três. Estas conclusões são limitadas pelo facto de
terem sido os representantes dos programas a introduzir os modelos, considerando
modelações díspares consoante o programa, em particular ao nível das paredes e núcleos.
De modo a harmonizar as modelações utilizadas, foi realizado um trabalho posterior por
Lourenço e Oliveira [LOU98] onde foi analisada uma única estrutura. A estruturaconsiderada consistia num edifício de geometria regular, sem núcleos ou paredes, e sem
pisos enterrados. Desta análise pode concluir-se que a dispersão dos resultados foi
semelhante à análise referida anteriormente, com a agravante de todas as modelações e
hipóteses de cálculo terem sido as mesmas para os vários programas. Face a isto, há
necessidade de se realizar um trabalho mais exaustivo, prestando particular atenção às
causas das diferenças detectadas. Este trabalho representa um esforço no sentido de
clarificar essas mesmas discrepâncias.
Foram considerados os resultados da análise dinâmica, do cálculo de esforços e do
dimensionamento do betão armado para vigas e pilares. Os aspectos de facilidade de
introdução de dados ou de apresentação geral dos programas foram relegados para segundo
plano, em detrimento de aspectos relativos aos resultados, às hipóteses de cálculo, à
segurança e à qualidade do dimensionamento.
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Capítulo 1
1.4
A modelação e cálculo das estruturas obriga à adopção de hipóteses por parte dos
programas e pelos utilizadores. Estas hipóteses, associadas às limitações dos próprios
programas, conduziram a diferenças de esforços entre elementos. Dada a importância deste
factor, sempre que se considere oportuno, será feita referência a particularidades
pertinentes que contemplem esta situação. Optou-se por apresentar o conjunto de
resultados relativos apenas a alguns elementos que se consideraram representativos.
1.2. Objectivos
Esta tese tem como finalidade fazer uma incursão sobre três programas comerciais
portugueses com implantação relevante no mercado nacional. A confidencialidade impõe
que estes programas não sejam referidos pelos seus nomes, mas sim pela nomenclatura A,
B e C.
A incursão a efectuar nos programas em estudo permitirá constatar o nível de variação de
resultados de programa para programa.
Mediante a variação de resultados, será feita uma análise sobre pontos fundamentais num
programa de cálculo automático, como sendo a análise dinâmica e o tipo de modelação
estrutural.
Serão objectivos específicos desta tese:
– Demonstrar a subjectividade de um cálculo que, com uma única solução exacta,
apresenta uma grande variação de resultados.
– Apelar ao bom senso das comunidades técnica e científica, no sentido de se exigir
mais informação aos vendedores dos programas.
– Dar os primeiros passos na justificação da necessidade de definir mecanismos de
controle de qualidade dos programas de cálculo automático.
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Introdução
1.5
– Contrariar a ideia generalizada segundo a qual a informática associada aos
programas comerciais é suficientemente desenvolvida para compensar as falhas de
qualificação técnica dos utilizadores.
– Valorizar as qualificações técnica e científica dos utilizadores dos programas de
cálculo.
1.3. Conteúdo da Tese de Dissertação
Após uma breve introdução, em que é feita uma resenha sobre a importância e osantecedentes deste trabalho, são descritos os objectivos deste mesmo trabalho. De seguida,
dá-se lugar ao corpo da tese em que são efectuadas comparações entre os vários
programas. Finalizado o trabalho, são apresentadas as conclusões que se julguem
pertinentes, apresentando-se algumas perspectivas futuras.
Este documento escrito está estruturado em seis capítulos com o conteúdo que a seguir se
descreve:
O Capítulo 1 consiste numa breve introdução ao trabalho realizado, e à sua motivação.
O Capítulo 2 é dedicado ao cálculo de uma estrutura através de três programas de cálculo
automático, realizando-se uma comparação de armaduras, de esforços, de representações
de armaduras e de medições de materiais. Este capítulo será o ponto de partida para a
análise dos programas de cálculo automático em estudo.
O Capítulo 3 faz uma análise da modelação estrutural utilizada pelos vários programas para a modelação da estrutura reticulada. São comparados os resultados provenientes das
várias modelações com a modelação através do Método de Elementos Finitos, quer para
solicitações horizontais, quer para solicitações verticais.
O Capítulo 4 apresenta o cálculo de duas estruturas simples de um só piso. O objectivo
consiste em aferir o efeito que o tipo de modelação das lajes possui no carregamento da
estrutura. Assim, a forma do diagrama de carregamento terá influência no diagrama de
esforço transverso e no momento máximo de uma dada viga.
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Capítulo 1
1.6
O Capítulo 5 é dedicado a uma análise sísmica pelos vários programas de cálculo
automático em análise.
O Capítulo 6 apresenta as conclusões inerentes a este estudo, bem como os futurosdesenvolvimentos.
Para apoiar e reforçar o desenvolvido nesta tese, introduziram-se dois Anexos localizados
no final do trabalho.
No Anexo I apresentam-se os resultados numéricos do cálculo do pórtico 4 pertencente ao
capítulo 3.
No Anexo II apresenta-se o cálculo das estruturas 1, 2 e 3 do capítulo 5, através do método
de Rayleigh e do médodo 3GL/Piso.
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Capítulo 2
Abordagem Preliminar dos Programas
em Estudo
2.1. Breve Introdução
Ao longo deste capítulo será feita uma análise sobre os vários tipos de resultados
fornecidos pelos programas em estudo.
A análise incidirá sobretudo na utilização dos programas comerciais com as suas hipóteses
de cálculo por defeito, permitindo fornecer ao leitor a ordem de variação dos resultados de
um programa para outro. Do mesmo modo far-se-á referência à influência que
determinados coeficientes possuem no comportamento dos programas a que pertencem.
A modelação e o cálculo das estruturas obriga à adopção de hipóteses por parte dos
programas e dos utilizadores. Estas hipóteses, associadas às limitações dos próprios
programas, conduzem certamente a diferenças de esforços entre elementos. Dada a
importância deste factor, o principal objectivo deste capítulo consiste em salientar essa
divergência sempre que se considere oportuno. Será feita referência a situações pertinentes
que contemplem essa situação.
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Capítulo 2
2.2
Optou-se por solicitar o conjunto de resultados relativos apenas a alguns elementos que
sejam considerados como os mais representativos.
2.2. Definição do exemplo de referência a analisar
Para estabelecer um exemplo de referência procurou-se um compromisso entre a
complexidade e a simplicidade. A consideração de paredes, núcleos ou caves introduz
dificuldades elevadas na análise dos resultados, pelo que foi evitada. O edifício proposto é
um edifício de habitação com seis pisos, com perspectiva e plantas representadas nas
figuras 2.1 e 2.2, respectivamente. O edifício possui uma malha regular de pilares com
afastamentos de 6m. As vigas têm secção [0.300.50 m2] e as secções dos pilares
encontram-se representadas no quadro 2.1. As lajes são maciças e possuem 0.15 m de
altura.
Figura 2.1 – Perspectivas da estrutura.
P1
[cm2]P2
[cm2]P3
[cm2]P4
[cm2]P5
[cm2]P6
[cm2]P7
[cm2]P8
[cm2]P9
[cm2][5-6] - - - - 3030 3030 - 3030 3030[4-5] - - - - 3030 3030 - 3030 3030[3-4] - - - - 4040 4040 - 4040 4040[2-3] - - - - 4040 4040 - 4040 4040[1-2] 3030 3030 3030 3030 5050 4040 3030 4040 4040[0-1] 3030 3030 3030 3030 5050 4040 3030 4040 4040
Quadro 2.1 – Quadro de dimensões de pilares.
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.3
6.0
P4
P1
P7
6.0
6.0
FUNDAÇÃO [0.0m]
6.0
P2
P5
P3
P6
P8 P9
6.0
P4
P1
P7
6.0
6.0
PISOS 1,2 [4.25m, 7.25m]
6.0
P2
P5
P3
P6
P8 P9
LM LM
LM LM
V1(1,2)
V2(1,2)
V3(1,2)
V 4 ( 1 , 2
)
V 5 ( 1 , 2
)
V 6 ( 1 , 2
)
6.0
6.0
6.0
PISOS 3,4 [10.25m, 13.25m]
6.0
P5 P6
P8 P9
LM
V1(3,4)
V2(3,4)
V 3 ( 3 , 4
)
V 4 ( 3 , 4
)
6.0
6.0
6.0
PISOS 5,6 [16.25m, 19.25m]
6.0
P5 P6
P8 P9
LM
V1(5,6) V 3 ( 5 , 6
)
V 4 ( 5 , 6
)
V2(5,6)
Figura 2.2 – Plantas estruturais do exemplo de referência.
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Capítulo 2
2.4
2.3. Comportamento da estrutura reticulada
2.3.1. Análise do comportamento estrutural para carregamento vertical
Todas as barras horizontais (vigas) foram solicitadas por uma carga uniformemente
distribuída de 10kN/m (peso próprio não considerado). A primeira comparação é relativa às
reacções nos diversos pilares (N, Rx, Ry) (quadro 2.2).
Confirma-se que os programas verificam o equilíbrio (os programas A e C apresentam um
erro muito ligeiro) na direcção vertical ( Σ N=2400). As diferenças encontradas entre as
reacções verticais dos diversos programas não são significativas (menores que 3% em
todos os valores). As reacções horizontais assumem valores pouco significativos.
N[kN]
R x [kN]
R y [kN]
A B C A B C A B CP1 107.8 104.9 105.3 2.0 1.9 2.1 -2.0 -1.9 -2.1
P2 186.0 188.6 187.7 0.2 0.0 0.2 -1.8 -2.1 -2.0
P3 107.9 106.6 106.8 -1.8 -1.9 -1.8 -2.0 -2.2 -2.1
P4 186.0 188.6 187.7 1.8 2.1 2.0 -0.2 0.0 -0.2
P5 510.8 505.5 509.9 0.7 0.7 0.6 -0.7 -0.7 -0.6P6 420.5 425.2 422.0 -2.5 -2.7 -2.7 -0.4 -0.5 -0.4
P7 107.9 106.6 106.8 2.0 2.2 2.1 1.8 1.9 1.8
P8 420.5 425.2 422.0 0.4 0.5 0.4 2.5 2.7 2.7
P9 354.0 348.8 351.6 -2.8 -2.7 -2.9 2.8 2.7 2.9
Σ 2401.5 2400.0 2399.8 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Quadro 2.2 – Reacções nos apoios para carregamento vertical de 10kN/m nas vigas.
No quadro 2.3 é apresentado o equilíbrio de momentos flectores no nó intercepção do pilar
P1, e as vigas V1(2) e V4(2).
É possível constatar que entre os programas B e C não existem diferenças significativas,
como seria de esperar para carregamento vertical, apesar da modelação do programa C ser
uma modelação tridimensional e a modelação do programa B ser plana. Entre o programa
A e os outros dois programas a diferença é maior, estando relacionada com o tipo de
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.5
modelação da estrutura reticulada. O programa A utiliza nós rígidos na intercepção dos
elementos vigas e pilares. Este ponto será objecto de análise no capítulo 3.
A B C
P1[kNm]
V1(2)[kNm]
V4(2)[kNm]
TOTAL[kNm]
P1[kNm]
V1(2)[kNm]
V4(2)[kNm]
TOTAL[kNm]
P1[kNm]
V1(2)[kNm]
V4(2)[kNm]
TOTAL[kNm]
-16.6 16.6 0.0 0.0 -12.1 12.1 ------ 0.0 -12.2 12.3 -0.1 0.0
Quadro 2.3 – Equilíbrio de momentos flectores no nó P1, V1(2), V4(2)
De seguida são apresentados os diagramas de momentos flectores para as vigas V1(2),
V2(2) e V1(5) provenientes de todos os programas de cálculo automático, (A, B e C). De
igual forma, os momentos flectores nos apoios e nos vãos podem ser observados em
quadros anexos aos diagramas de momentos flectores.
Na figura 2.3 é possível observar os diagramas de momentos flectores da viga V1(2).
V1(2)
ABC
P1 P2 P3
Figura 2.3 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B e C na viga V1(2) para carregamento
vertical de 10kN/m.
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Capítulo 2
2.6
No quadro 2.4 encontram-se apresentados os valores máximos de momentos flectores da
viga V1(2).
P1[-]
Tramo P1-P2[+]
P2[-]
Tramo P2-P3[+]
P3[-]
Programa A -13.0 kNm 18.4 kNm -36.1 kNm 18.7 kNm -11.6 kNmPrograma B -12.1 kNm 20.9 kNm -37.6 kNm 20.9 kNm -12.1 kNmPrograma C -12.3 kNm 21.0 kNm -37.6 kNm 20.7 kNm -12.6 kNm
Quadro 2.4 – Momentos flectores na viga V1(2) para carregamento vertical de 10kN/m nas vigas.
Os diagramas de momentos flectores para a viga V2(2) encontram-se na figura 2.4.
V2(2)
ABC
P4 P5 P6
Figura 2.4 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B e C na viga V2(2) para carregamento
vertical de 10kN/m.
O quadro 2.5 contempla os máximos momentos flectores na viga V2(2).
P4[-]
Tramo P4-P5[+]
P5[-]
Tramo P5-P6[+]
P6[-]
Programa A -12.1 kNm 18.4 kNm -36.3 kNm 13.8 kNm -17.2 kNmPrograma B -13.2 kNm 21.4 kNm -37.9 kNm 19.9 kNm -20.2 kNmPrograma C -12.5 kNm 21.6 kNm -39.2 kNm 16.5 kNm -18.9 kNm
Quadro 2.5 – Momentos Flectores na viga V2(2) para carregamento vertical de 10kN/m nas vigas.
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.7
Os diagramas de momentos flectores são visíveis na figura 2.5 para a viga V1(5).
V1(5)
ABC
P4 P5
Figura 2.5 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B e C na viga V1(5) para carregamento
vertical de 10kN/m.
No quadro 2.6 enunciam-se os valores máximos dos diagramas de momentos flectores da
viga V1(5).
P4[-]
Tramo P4-P5[+]
P5[-]
Programa A -22.4 kNm 19.5 kNm -21.0 kNmPrograma B -22.0 kNm 23.0 kNm -22.0 kNmPrograma C -22.7 kNm 23.0 kNm -21.4 kNm
Quadro 2.6 – Momentos flectores na viga V1(5) para carregamento vertical de 10kN/m nas vigas.
Do estudo apresentado para carregamento vertical, é fácil depreender que os resultados dos
programas B e C são muito semelhantes, mesmo possuindo tipos de modelações diferentes
(o programa B é um programa de pórticos planos e o programa C é um pórtico com análise
tridimensional).
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Capítulo 2
2.8
A modelação do programa A afasta-se dos outros dois programas. Analisando a viga
V2(2), podemos observar desvios de 12% para momentos flectores positivos e de 8% para
momentos flectores negativos. O mesmo acontece com a viga V2(2), que para momentos
flectores positivos se observa um desvio de 31%,e para momentos flectores negativos de
9%.
Da análise da viga V1(5) podemos verificar que existe uma diferença significativa entre os
momentos flectores positivos do programa A e os momentos flectores positivos dos outros
dois programas de, aproximadamente, 15%. No entanto, os momentos flectores negativos
têm valor semelhante, sobretudo devido ao método de cálculo do momento máximo
negativo, que para este programa não é calculado ao eixo.
As diferenças encontradas serão objecto de análise cuidada no Capítulo 3, onde será
efectuada uma análise sobre o tipo de modelação utilizada pelos diferentes programas.
2.3.2. Análise do comportamento estrutural para carregamento horizontal
Todos os nós do alçado lateral direito (correspondendo aos pilares P3, P6 e P9) foramsolicitados por uma carga concentrada horizontal de 10kN na direcção xx. Salienta-se que
no caso do programa C foram introduzidos conjuntos de bielas em cruz para simular as
lajes.
Este programa não considera o efeito da laje indeformável, a não ser que a laje seja
incluída na modelação (o que não se verificou). Este ponto sofreu contestação por parte
dos representantes do programa C, afirmando estes que a modelação da indeformabilidade
das lajes pode ser efectuada através da introdução de lajes aligeiradas sem carregamento.
Na realidade essa hipótese existe no programa C, não sendo no entanto um procedimento
perfeitamente explicito e obvio para o utilizador comum. Os programas A e B consideram
sempre a presença de uma laje indeformável no seu plano ainda que esta laje não seja
modelada. O efeito da laje é muito significativo no caso das acções horizontais. De novo, a
primeira comparação diz respeito às reacções nos diversos pilares ( N , Rx e Ry), (quadro
2.7).
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.9
É possível confirmar que os programas verificam o equilíbrio na direcção vertical ( Σ N=0),
na direcção x ( Σ Rx=-140) e na direcção y ( Σ Ry=0). As diferenças entre as reacções dos
diversos programas já são significativas (cerca de 17% para reacções verticais e de 6%
para reacções horizontais segundo xx). As reacções segundo yy assumem valores pouco
significativos.
N [kN] R x [kN] R y [kN]A B C A B C A B C
P1 9.4 10.9 11.0 -6.3 -6.2 -6.2 -1.0 -1.0 -1.0
P2 0.6 0.6 1.1 -7.9 -7.5 -7.4 -0.2 -0.2 -0.2
P3 -9.7 -11.1 -11.5 -6.3 -6.2 -6.3 0.8 0.8 0.8
P4 18.7 19.6 19.5 -8.2 -7.7 -7.7 -1.3 -1.3 -1.3
P5 53.7 48.7 48.6 -40.5 -41.4 -42.0 -0.7 -0.8 -0.5
P6 -73.1 -69.1 -69.4 -18.6 -19.0 -18.7 2.1 2.2 2.0
P7 16.7 17.5 17.2 -8.7 -8.3 -8.3 -1.0 -1.0 -0.9
P8 52.7 48.0 48.6 -23.9 -24.0 -23.7 -0.3 -0.3 -0.3
P9 -69.0 -65.2 -65.1 -19.8 -19.8 -19.7 1.7 1.6 1.4
Σ 0.0 0.0 0.0 -140.0 -140.0 -140.0 0.0 0.0 0.0
Quadro 2.7 – Reacções nos apoios para carregamento horizontal de 10kN/nó no alçado direito.
No quadro 2.8 é possível observar o equilíbrio de esforços no nó em que concorrem o pilar P1 e as vigas V1(2) e V4(2).
A B C C [com torção]
P1[kNm]
V1(2)[kNm]
V4(2)[kNm]
TOTAL[kNm]
P1[kNm]
V1(2)[kNm]
V4(2)[kNm]
TOTAL[kNm]
P1[kNm]
V1(2)[kNm]
V4(2)[kNm]
TOTAL[kNm]
P1[kNm]
V1(2)[kNm]
V4(2)[kNm]
TOTAL[kNm]
-6.2 6.2 0.0 0.0 -10.5 10.5 ------ 0.0 -10.0 10.0 0.0 0.0 -10.4 10.0 0.3 -0.1
Quadro 2.8 – Equilíbrio no nó P1 - V1(2) - V4(2)
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Capítulo 2
2.10
Apresenta-se, de igual modo, a comparação dos esforços nas três vigas seleccionadas
V1(2), V2(2) e V1(5). Os diagramas de momentos flectores estão representados nas figuras
2.6, 2.7 e 2.8. Os diagramas de esforço transverso para os diferentes programas são
praticamente iguais, pelo que não são apresentados.
Na figura 2.6 é possível observar os diagramas de momentos flectores na viga V1(2) para
carregamento horizontal.
V1(2)
ABC
P1 P2 P3
Figura 2.6 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B e C na viga V1(2) para carregamento
horizontal de 10kN/nó em todos os nós do alçado direito.
No quadro 2.9 encontram-se representados os valores máximos dos momentos flectores da
viga V1(2).
P1[-]
P2[+]
P2[-]
P3[+]
Programa A -6.0 kNm 4.0 kNm -3.4 kNm 5.1 kNmPrograma B -10.5 kNm 7.6 kNm -7.8 kNm 10.8 kNmPrograma C -10.0 kNm 7.3 kNm -7.2 kNm 9.8 kNm
Quadro 2.9 – Momentos Flectores na viga V1(2) para carregamento horizontal de 10kN/nó no alçado direito.
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.11
Na figura 2.7 são visíveis os diagramas de momentos flectores na viga V2(2) para
carregamento horizontal.
V2(2)
ABC
P4 P5 P6
Figura 2.7 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B e C na viga V2(2) para carregamento
horizontal de 10kN/nó.
No quadro 2.10 são quantificados os valores máximos dos momentos flectores na viga
V2(2).
P4[-]
P5[+]
P5[-]
P6[+]
Programa A -9.5 kNm 25.1 kNm -35.2 kNm 43.2 kNmPrograma B -18.0 kNm 29.1 kNm -39.8 kNm 41.6 kNmPrograma C -17.4 kNm 28.2 kNm -38.6 kNm 40.6 kNm
Quadro 2.10 – Momentos Flectores na viga V2(2) para carregamento horizontal de 10kN/nó no alçado
direito.
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Capítulo 2
2.12
Na figura 2.8 representam-se os diagramas de momentos flectores da viga V1(5) para
carregamento horizontal.
V1(5)
ABC
P5 P6
Figura 2.8 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B e C na viga V1(5) para carregamento
horizontal de 10kN/nó.
No quadro 2.11 são visíveis os valores máximos dos momentos flectores na viga V1(5)
para carregamento horizontal.
P5[-]
P6[+]
Programa A -23.6 kNm 23.6 kNmPrograma B -22.7 kNm 22.6 kNmPrograma C -22.3 kNm 21.9 kNm
Quadro 2.11 – Momentos Flectores na viga V1(5) para carregamento horizontal de 10kN/nó no alçado
direito.
Através da análise da estrutura mediante carregamento horizontal, podemos observar que a
modelação dos programas B e C geram resultados semelhantes, no entanto, a modelação
do programa A afasta-se de uma forma significativa dos resultados dos outros dois
programas. A diferença acentua-se na viga V1(2), viga de extremidade, em que o desvio
pode atingir os 36% no programa A. Esta situação justifica-se pelo uso de um coeficiente
de encastramento nos pilares na última planta – α – .
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.13
O coeficiente de encastramento dos pilares pertencentes à última planta, – α – permite fazer
uma interpolação linear para os termos da matriz de rigidez local do pilar que contêm o
coeficiente
L
EI
. Assim sendo, qualquer termo da matriz de rigidez que possua o
coeficiente
L
EI toma a forma:
K α = K BIENCASTRADO + (1-α ) K ENCASTRADO-ARTICULADO
Por defeito o programa A aconselha a utilização de um coeficiente α de 0.30. No decorrer
desta tese, sempre que se fizer referência a este coeficiente, designar-se-á coeficiente α do
programa A.
Importa referir que se estão a comparar momentos flectores de dimensionamento, que para
os programas B e C são a eixo do pilar, mas que para o programa A são à face do mesmo.
De seguida é apresentada no quadro 2.12 a comparação de reacções do programa C para
carregamento horizontal de 10kN/nó, com e sem pisos rígidos.
NKN
R x kN
R yKN
Com pisosrígidos
Só estruturareticulada
Com pisosrígidos
Só estruturareticulada
Com pisosrígidos
Só estruturareticulada
P1 11.0 7.8 -6.2 -6.9 -1.0 -0.7
P2 1.1 1.0 -7.4 -7.9 -0.2 -0.1
P3 -11.5 -8.7 -6.3 -6.9 0.8 0.5
P4 19.5 20.4 -7.7 -7.2 -1.3 -0.8
P5 48.6 50.2 -42.0 -38.0 -0.5 -0.6
P6 -69.4 -70.6 -18.7 -17.2 2.0 1.4
P7 17.2 19.4 -8.3 -8.9 -0.9 -0.7
P8 48.6 47.1 -23.7 -25.6 -0.3 -0.3
P9 -65.1 -66.4 -19.7 -21.5 1.4 1.2
Σ 0.0 0.2 -140.0 -140.1 0.0 -0.1
Quadro 2.12 – Comparação de reacções da estrutura para solicitação horizontal com e sem bielas, para o
programa C.
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Capítulo 2
2.14
Constata-se diferenças da ordem dos 10% para as reacções na direcção do carregamento
(Rx), e de 30% na reacção vertical. As reacções Ry não são significativas.
Na figura 2.9 encontra-se representado o diagrama de momentos flectores na viga V1(2) para uma estrutura modelada com e sem bielas, representando a rigidez das lajes para o
programa C recorrendo a carregamento horizontal de 10kN/nó.
V1(2)
C com bielas na laje C sem bielas na laje
P1 P2 P3
Figura 2.9 – Diagramas de momentos flectores do programa C na viga V1(2) para carregamento
horizontal de 10kN/nó em todos os nós do alçado direito considerando existência ou não
de bielas representativas da laje.
No quadro 2.13 enunciam-se os valores máximos dos momentos flectores para a viga
V1(2) para a modelação da estrutura com e sem bielas a simular a laje. Nesta viga podemosobservar uma variação máxima de 36% para o momento flector no pilar P1.
P1[-]
P2[+]
P2[-]
P3[+]
Programa CCom bielas
-10.0 kNm 7.3 kNm -7.2 kNm 9.8 kNm
Programa CSem bielas
-6.4 kNm 5.4 kNm -6.1 kNm 8.0 kNm
Quadro 2.13 – Momentos flectores na viga V1(2) para carregamento horizontal de 10kN/nó no alçado
direito.
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.15
2.4. Cálculo Global do exemplo em análise
Para proceder a uma análise global do edifício em estudo, foram definidas as acções
regulamentares bem como a modelação das lajes na estrutura, considerando tratar-se de umedifício de habitação.
A modelação das lajes é possível no programa A (recorrendo a elementos finitos) e no
programa C (recorrendo a uma grelha), não sendo possível a sua inclusão no caso do
programa B (onde a distribuição de cargas na laje para as vigas é feita de forma
automática).
As acções permanentes consideradas são as seguintes: 3.75kN/m2 (peso próprio da laje),3.0kN/m2 (divisórias revestimentos) e 6.5kN/m (paredes exteriores). De salientar que o peso
próprio das vigas e pilares foi considerado. A sobrecarga de utilização é de 2.0kN/m2. Para
efeitos da quantificação da acção do vento, o edifício localiza-se na zona A e a rugosidade
aerodinâmica do solo é de tipo I . Para efeitos da quantificação da acção do sismo, o
edifício localiza-se na zona C e a natureza do terreno é do tipo I . As acções da temperatura
e da neve não foram consideradas. Por simplificação admitiu-se que a laje de cobertura é
idêntica às lajes do piso.
2.4.1. Acções Horizontais
2.4.1.1. Vento
O quadro 2.14 apresenta a acção total do vento gerada pelo programa (somatório das
reacções da estrutura), que é igual para a direcção xx e para a direcção yy, uma vez que oedifício possui simetria diagonal.
Acção Global do Vento [kN]Programa A 104.2 kNPrograma B 102.1 kN
Programa C 99.0 kN
Quadro 2.14 – Acção Global do Vento no edifício gerada pelos programas em análise.
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Capítulo 2
2.16
O programa A não identifica a irregularidade em altura do edifício ao nível do piso 2
(figura 2.10), sendo necessário introduzir como dados a largura de cada planta e o
coeficiente de forma, sendo a pressão do vento calculada internamente. A acção é aplicada
ao nível dos pisos, mas a sua eventual correcção não é simples.
Área em excesso
PISO 1
PISO 0
PISO 2
PISO 3
PISO 4
PISO 5
PISO 6ω [kN/m2]
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F0
[kN]
Figura 2.10 – Área em excesso na quantificação da acção do vento por parte do programa A.
O programa B é o único que gera toda a acção do vento automaticamente e a aplica aos
pisos. A correcção dos valores é a mais versátil. É possível observar que este programa
identifica a largura real da planta com a inclusão das dimensões dos pilares.
O programa C tem como dados o coeficiente de forma e a pressão do vento. Isto permite a
introdução da acção do vento de uma forma rigorosa, piso a piso. Este programa permite
distribuir a pressão do vento numa área previamente definida pelo utilizador, quer pelas
vigas (distribuição de cargas por pisos), quer pelos pilares, como se pode observar na
figura 2.11.
A distribuição das cargas pelos pilares é bastante útil no cálculo de pavilhões industriais.
Nesta estrutura foi adoptada a distribuição de cargas entre pisos.
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.17
PISO 1
PISO 0
PISO 2
PISO 3
PISO 4
PISO 5
PISO 6
(a) Distribuição entre Pisos (b) Distribuição entre Pilares
PISO 0
PISO 1
PISO 2
PISO 3
PISO 4
PISO 5
PISO 6
Figura 2.11 – Distribuição da acção do vento entre pisos (a), ou entre pilares (b), para o programa C.
Constata-se então que o programa considera que a fachada onde actua o vento se apoia
entre pisos consecutivos. Esta particularidade gera na estrutura em análise uma consola
entre os pisos 0 e 1, como se pode observar no corte xx, da figura 2.12 a). Para colmatar tal
situação foram introduzidas barras ao nível da fundação para “dar apoio” à acção do ventoe, após gerar essa mesma acção, foram apagadas, ver corte yy da figura 2.12 b).
PISO 1
PISO 0
PISO 2
PISO 3
PISO 4
PISO 5
PISO 6
(a) Modelação utilizada pelo programa
X W Piso 2
W Piso 1
(b) Modelação usada no cálculo deste exemplo
W Piso 2
W Piso 1
Y
PISO 0
PISO 1
PISO 2
PISO 3
PISO 4
PISO 5
PISO 6
W Piso 0 [1] [2]
Figura 2.12 – Distribuição da acção do vento usada pelo programa C. (a)
Uso de barras adicionais no piso 0 para modelar correctamente a acção do vento (b).
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Capítulo 2
2.18
Importa referir que o programa A não apresenta equilíbrio na direcção yy quando o
programa solicita a estrutura na direcção xx como é possível observar no quadro 2.15.
Acção Vento xx Acção Vento yy
PILAR Reacção em yy Reacção em xx
P 1 0.38 kN -0.35 kN
P 2 0.09 kN -0.84 kN
P 3 -0.06 kN -0.06 kN
P 4 0.53 kN 0.09 kN
P 5 0.27 kN 0.27 kN
P 6 -0.84 kN 0.09 kN
P 7 0.43 kN 0.43 kN
P 8 0.09 kN 0.53 kN
P 9 -0.35 kN 0.38 kN
Σ 0.54 kN 0.54 kN
Quadro 2.15 – Reacções na estrutura perpendicularmente
à acção do vento para o programa A.
2.4.1.2. Sismo
Todos os programas analisados efectuam uma análise dinâmica por sobreposição modal,
para caracterizar a acção do sismo. A massa adoptada inclui o peso próprio das vigas e
pilares, atingindo um total aproximado de 5050 kN .
O quadro 2.16 apresenta reacções não equilibradas na direcção normal à acção do sismo
para o programa A. As diferenças encontradas entre os programas são significativas. O
programa C não fornece resultados para os dois sismos regulamentares; ainda que omanual indique que os utiliza, os resultados fornecidos ao utilizador consistem numa
envolvente do sismo tipo I e tipo II .
Todos os programas em análise utilizam o método 3GL/piso.
O programa C apresenta como resultante da acção sísmica diferentes reacções segundo xx
e segundo yy. Segundo xx, o somatório das forças sísmicas tem como resultado 127kN e
segundo yy, 138kN !
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.19
Analisando os resultados da acção sísmica podemos observar uma diferença de 38% entre
os programas B e C.
Σ Reacções em xx Σ Reacções em yy Sismo Tipo I Sismo Tipo II Sismo Tipo I Sismo Tipo II
Programa A 142 kN 165 kN 35 KN 36 kNPrograma B 153 kN 206 kN 0 kN 0 kNPrograma C 127 kN 0 kN
Quadro 2.16 – Reacções nos pilares segundo as direcções xx e yy para uma
solicitação sísmica segundo xx.
O quadro 2.17 indica as frequências dos seis primeiros modos de vibração, claramente
distintos de um programa para outro, apresentando o programa C a maior discrepância de
valores.
Frequências de Vibração [Hz]Programa A Programa B Programa C
1º Modo 1.150 0.983 1.4482º Modo 1.184 1.048 1.5433º Modo 1.718 1.098 2.3974º Modo 2.489 1.966 2.9525º Modo 2.511 2.232 3.210
6º Modo 2.981 2.528 3.576
Quadro 2.17 – Frequências de vibração dos vários programas.
O programa C usa uma matriz de rigidez para o cálculo das frequências de vibração
diferente da utilizada pelos programas A e B. Assim sendo utiliza a matriz de rigidez da
estrutura considerando que os pilares se encastram nos pisos, sendo estes infinitamente
rígidos à flexão. Estes tipos de análise serão objecto de estudo no capítulo 5. Por outro
lado, o programa A considera a matriz de rigidez da estrutura 3D com a modelação das
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Capítulo 2
2.20
barras descrita no capítulo 3. Para finalizar, o programa B utiliza a matriz de rigidez
composição das matrizes de rigidez das estruturas reticuladas (Pórticos).
As frequências de vibração provenientes do programa A alteram-se com o coeficiente derigidez axial dos pilares, usado para minimizar a deformação axial que é minorada pelo
processo construtivo. Por outro lado, o programa usa por defeito um coeficiente de rigidez
α de 0.30 nos pilares do último piso, para o pilar em questão.
Na estrutura em análise esta situação pode ter como consequência a redução da torção do
edifício, uma vez que a rigidez do pórtico constituído pelos pilares P1, P2 e P3 é
diminuída. O mesmo acontece para o pórtico constituído pelos pilares P1, P4 e P7 . No
quadro 2.18 é possível comparar as frequências de vibração sem a utilização deste
coeficiente, ou com a utilização do mesmo por parte do programa A.
A influência do coeficiente de rigidez à flexão nos pilares do último piso – α – no programa
A é diminuta em edifícios regulares altos, e significativamente importante em estruturas de
um só piso, como se poderá observar no capítulo 5.
Frequências de Vibração [Hz]Programa A com coeficiente derigidez de 0.30 nos pilares daúltima planta. ( por defeito)
Programa A sem coeficiente derigidez nos pilares da última
planta.
1º Modo 1.150 1.1882º Modo 1.184 1.2323º Modo 1.718 1.7994º Modo 2.489 2.5675º Modo 2.511 2.609
6º Modo 2.981 3.083
Quadro 2.18 – Frequências de vibração do programa A para diferentes valores do coeficiente de rigidez nos
pilares da última planta.
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.21
2.4.2. Análise de envolventes de momentos flectores nas vigas V1(2), V2(2) e V1(6)
Uma vez que as envolventes de momentos flectores são de difícil apreciação, perdendo
quase todo o significado quando dissociadas dos diagramas das acções que as compõem,optou-se por apresentar os momentos flectores de dimensionamento por parte dos
diferentes programas em pontos significativos (apoios e vãos), para as combinações que os
programas apresentam por defeito. Esta apresentação tem como objectivo a tomada de
consciência da variação de esforços antes de analisar as armaduras.
Assim sendo, os momentos flectores pertencentes à envolvente de momentos flectores
usados para o dimensionamento das armaduras longitudinais por parte dos programas A, B
e C são apresentados em seguida nas figuras 2.13, 2.14 e 2.15.
Na figura 2.13 encontram-se representados os momentos flectores de dimensionamento
para a viga V1(2).
-125 -100
-75
-50 -25
0 25 50 75
100
M o m e n t o F l e c t o r
A B C
Programa
P1 P1-P2 P2 P2-P3 P3
M(-) M(+) M(-) M(+) M(-)
Figura 2.13 – Comparação de momentos flectores negativos nos apoios e positivos nos vãos provenientes
da envolvente para a viga V1(2).
No quadro 2.19 podem ser consultados os valores dos momentos flectores máximos do
dimensionamento da viga V1(2).
Mom. Neg.[P1]kNm
Mom. Pos.[P1-P2]kNm
Mom. Neg.[P2]kNm
Mom. Pos.[P2-P3]kNm
Mom. Neg.[P3]kNm
A -14.5 70.0 -92.2 70.2 -11.2B -54.6 68.7 -115.7 68.7 -53.7C -38.7 56.1 -92.2 57.8 -31.1
Quadro 2.19 – Momentos Flectores máximos para a viga V1(2).
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Capítulo 2
2.22
Na figura 2.14 são apresentados os momentos flectores de dimensionamento da viga V2(2).
-275.0 -250.0 -225.0 -200.0 -175.0 -150.0 -125.0 -100.0 -75.0 -50.0 -25.0
0.0 25.0 50.0 75.0
100.0 125.0 150.0 175.0
P4 P4-P5 P5 P5-P6 P6
M(-) M(+) M(-) M(+) M(-)
M o m e n t o F l e c t o r ( k N m )
A B C
Programa
Figura 2.14 – Comparação de momentos flectores negativos nos apoios e positivos nos vãos provenientes
da envolvente para a viga V2(2).
No quadro 2.20 podem ser consultados os valores dos momentos flectores de
dimensionamento da viga V2(2).
Mom. Neg.[P4]kNm
Mom. Pos.[P4-P5]kNm
Mom. Neg.[P5]kNm
Mom. Pos.[P5-P6]kNm
Mom. Neg.[P6]kNm
A -24.1 137.8 -215.4 123.1 -129.6B -79.9 129.5 -251.2 122.1 -173.6C -65.1 123.7 -252.2 112.7 -153.3
Quadro 2.20 – Momentos flectores máximos para a viga V2(2).
Na figura 2.15 encontram-se representados os momentos flectores de dimensionamento daviga V1(6).
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.23
-75.0 -50.0
-25.0 0.0
25.0 50.0 75.0
100.0 125.0
P5 P5-P6 P6
M(-) M(+) M(-)
M o m e n t o F l e c t o r ( k N m )
A B C
Programa
Figura 2.15 – Comparação de momentos flectores provenientes da envolvente negativos nos apoios e
positivos nos vãos para a viga V1(6).
No quadro 2.21 apresentam-se os valores máximos dos diagramas de momentos flectores
para a viga V1(6).
Mom. Neg.[P5]kNm
Mom. Pos.[P5-P6]kNm
Mom. Neg.[P6]kNm
A -17.7 116.3 -17.7
B -53.3 93.6 -53.2C -46.8 95.5 -44.9
Quadro 2.21 – Momentos flectores máximos para a viga V1(6).
É perfeitamente visível que as diferenças de momentos flectores de dimensionamento são
significativas, e com origens diversas. No entanto, as mais significativas encontram-se
entre os momentos flectores negativos do programa A e os dos restantes programas para as
vigas V1(2) e V1(6), ambas pertencentes à última planta. De seguida, é apresentada uma
comparação de momentos flectores entre duas modelações do programa A, uma com
coeficiente de rigidez dos pilares na última planta (por defeito α = 0.30), e outra sem
coeficiente (α = 1.0).
No quadro 2.22 apresentam-se os momentos flectores de dimensionamento da viga V1(2)
do programa A com α=0.30 e com α=1.00
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Capítulo 2
2.24
Mom. Neg.[P1]kNm
Mom. Pos.[P1-P2]kNm
Mom. Neg.[P2]kNm
Mom. Pos.[P2-P3]kNm
Mom. Neg.[P3]kNm
A [α = 0.30] -14.5 70.0 -92.2 70.2 -11.2A [α = 1.00] -37.4 61.6 -83.6 62.7 -30.7
Quadro 2.22 – Momentos flectores máximos para a viga V1(2) para a modelação do programa A com
coeficiente de encastramento dos pilares na última planta α =0.30 , e com α = 1.00.
No quadro 2.23 encontram-se representados os momentos flectores de dimensionamento
da viga V2(2) do programa A com α=0.30 e com α=1.00
Mom. Neg.[P4]kNm
Mom. Pos.[P4-P5]kNm
Mom. Neg.[P5]kNm
Mom. Pos.[P5-P6]kNm
Mom. Neg.[P6]kNm
A [α = 0.30] -24.1 137.8 -215.4 123.1 -129.6A [α = 1.00] -65.1 123.6 -200.3 122.4 -132.9
Quadro 2.23 – Momentos flectores máximos para a viga V2(2) para a modelação do programa A com
coeficiente de encastramento dos pilares na última planta α = 0.30, e com α = 1.00.
No quadro 2.24 apresentam-se os momentos flectores de dimensionamento da viga V1(6)
do programa A com α=0.30 e com α=1.00
Mom. Neg.[P5]kNm
Mom. Pos.[P5-P6]kNm
Mom. Neg.[P6]kNm
A [α = 0.30] -17.7 116.3 -17.7A [α = 1.00] -41.9 91.1 -40.7
Quadro 2.24 – Momentos flectores máximos para a viga V1(6) para a modelação do
programa A com coeficiente de encastramento dos pilares na última
planta α = 0.30, e com α = 1.00.
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.25
De seguida efectua-se a comparação entre os momentos flectores de dimensionamento do
programa A com o coeficiente de encastramento dos pilares na última planta α = 0.30 (por
defeito) e com α = 1.00 (modelação de ligação rígida). Os resultados são visíveis nas
figuras 2.16, 2.17 e 2.18.
Na figura 2.16 estão representados os momentos flectores de dimensionamento para a viga
V1(2) para o programa A com α=0.30 e para os restantes programas em estudo.
-125.0 -100.0 -75.0 -50.0 -25.0
0.0 25.0 50.0 75.0
100.0
P1 P1-P2 P2 P2-P3 P3
M(-) M(+) M(-) M(+) M(-)
M o m e n t o F l e c t o r ( k N m )
A1 A2 B C
Programa
Figura 2.16 – Influência do coeficiente α do programa A na envolvente de momentos flectores para a
viga V1(2).
Na figura 2.17 representam-se os momentos flectores de dimensionamento para a viga
V2(2) para o programa A com α=0.30 e para os restantes programas em estudo.
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Capítulo 2
2.26
-275.0 -250.0 -225.0 -200.0 -175.0 -150.0 -125.0 -100.0 -75.0 -50.0 -25.0
0.0 25.0 50.0 75.0
100.0 125.0 150.0 175.0
P4 P4-P5 P5 P5-P6 P6
M(-) M(+) M(-) M(+) M(-)
M o m e n t o F l e c t o r ( k N m )
A1 A2 B C
Programa
Figura 2.17 – Influência do coeficiente α do programa A na envolvente de momentos flectores para a
viga V2(2).
Na figura 2.18 apresentam-se os momentos flectores de dimensionamento para a viga
V1(6) para o programa A com α=0.30 e para os restantes programas em estudo.
-75.0
-50.0
-25.0
0.0
25.0
50.0
75.0
100.0
125.0
P5 P5-P6 P6
M(-) M(+) M(-)
M o
m e n t o F l e c t o r ( k N m )
A1 A2 B C
Programa
Figura 2.18 – Influência do coeficiente α do programa A na envolvente de momentos flectores para a
viga V1(6).
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.27
É possível verificar através desta comparação variações significativas. Na viga V1(2)
podemos observar uma variação do momento negativo nos pilares de extremidade de 60%,
e uma variação do momento nos vãos de 12%.
Relativamente à viga V2(2) é possível constatar que o maior desvio se encontra no pilar
P4, atingindo os 60%.
Na viga V1(6), a variação é de 58% para momentos flectores negativos nos apoios e de
21% no vão.
2.4.3. Armaduras nas vigas V1(2), V2(2) e V1(6)
A pormenorização das armaduras é um factor importante em projecto de estruturas de
betão armado. É também bastante subjectiva, dada a multiplicidade de factores que nela
influem, desde o processo construtivo e capacidade tecnológica do empreiteiro, aos prazos
de execução e preços de materiais. No entanto, segundo J. D’ Arga e Lima [ D’AR89]
podemos dividir os desenhos em dois tipos, desenhos de projecto e desenhos de obra,
sendo os desenhos de projecto o resultado do cálculo estrutural, com a definição das
armaduras que permitem ao construtor ter toda a informação necessária para preparar os
desenhos de obra que, por sua vez, englobam toda a informação de cariz construtivo
necessária à preparação de armaduras e cofragens. Tal como J. D’ Arga e Lima [ D’AR89]
afirma, nem sempre existe uma separação nítida entre os desenhos de projecto e os
desenhos de obra; muitas vezes só existe um tipo de desenho, sendo este o desenho de
projecto.
Uma vez que os programas de cálculo automático em análise possuem vertentes que lhes
conferem a preocupação com a preparação da obra, como sendo a apresentação de
medições de betão, aço e cofragens, será feita uma resenha das características
fundamentais dos desenhos, de projecto e de obra.
Relativamente às características gerais dos desenhos podemos destacar:
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Capítulo 2
2.28
• Uso de convenções para o desenho das armaduras ( ISO 3766 ).
• Uso de espessura de traço que permita uma fácil leitura, recomendando para tal:
– Linhas de contorno de betão
Nos desenhos gerais 0.60mm ou 0.40mm.
Nos desenhos de pormenor de dimensões 0.60mm ou 0.40mm.
Nos desenhos de armadura 0.40mm.
– Linhas de armaduras
Nas principais 0.60mm.
Nas cintas e nos estribos 0.40mm.
– Linhas de cotas
Na generalidade 0.20mm.
• Conceber desenhos simples que permitam definir facilmente as armaduras e as
cofragens.
A representação proposta para as armaduras nas vigas num desenho de projecto deverá
contemplar:
- Escala 1/20.
- Vistas longitudinais e cortes.
- Cotas.
- Tipo de aço, classe de betão e recobrimento.
A representação proposta para as armaduras nas vigas num desenho de obra deverá
contemplar:
- Armaduras individualmente pormenorizadas e cotadas.
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.29
- Suporte das armaduras e seu espaçamento.
- Tipo de aço, classe de betão e recobrimento.
Através das considerações supracitadas, será feita uma análise sobre as representações das
armaduras dos diversos programas.
Nas figuras seguintes (2.19, 2.20 e 2.21) apresentam-se os resultados gráficos do programa
A para as vigas V1(6), V2(2) e V1(2).
P9 P6 P8 P5 P9 P8
1eØ8a22
600 2Ø10
25 (675)
2Ø12 (425) 23 3Ø16 (670) 23
A
30 50
CORTE A
30x50
ESC.1:20 P6 P5
2Ø10 (170) 25 133 133 2Ø10 (170)
25
ESTRIBOS
INFERIOR
SUPERIOR
ESC.1:20 PORTICO 4 PORTICO 3 PORTICO 2 PORTICO 1
V1(6) - Programa A
25
Figura 2.19 – Representação da armadura para o programa A, para a viga V1(6).
P8 P5 P2
1eØ8a22 1eØ8a21 84
1eØ8a16 112
600
2Ø10 25 (660)
2Ø16 (420) 25 3Ø16 (660)
30x50
P6 P5
2Ø16 (185) 25 143
2Ø16 (225) 25 183
165 2Ø20 (285) 230 3Ø20 (450)
1eØ8a22 1eØ8a19 95
600
2Ø10 (655) 25
2Ø16 (495) 3Ø16 (655) 25
A
30 50
CORTE A
30x50
ESC.1:20
P4
120 220 133 2Ø10 (170)
25
ESTRIBOS
INFERIOR
SUPERIOR
ESC.1:20 PORTICO 5 PORTICO 2 V2(2) - Programa A
Figura 2.20 – Representação da armadura para o programa A, para a viga V2(2).
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Capítulo 2
2.30
P7 P4 P1
1eØ8a22
600 2Ø10 25 (650)
1Ø12 (475) 25 2Ø16 (650)
30x50
P3 P2
2Ø10 (170) 25 133
180
3Ø16 (360)
1eØ8a22
600 2Ø10 (650) 25
1Ø12 (455) 2Ø16 (650)
A
30 50
CORTE A
30x50
ESC.1:20
P1
180
133
2Ø10 (170) 25
ESTRIBOS
INFERIOR
SUPERIOR
ESC.1:20 PORTICO 4 PORTICO 1
V1(2) - Programa A
Figura 2.21 – Representação da armadura para o programa A, para a viga V2(2).
Pode observar-se que o programa A não cumpre os comprimentos de amarração
preconizados pelo REBAP [ REBAP86 ] para momentos flectores negativos. Nota-se
também que o algoritmo de escolha de estribos não parece ser muito eficiente (ver viga
V2(2) no 2º tramo em que é colocada uma zona de reforço de estribos fazendo variar o
espaçamento em 1cm!). Este programa calcula os estribos tendo sempre em atenção a
torção existente nas barras, mas não amarra os mesmos estribos para a torção [ REBAP86 ].
É importante referir que a utilização de diâmetros de varões de grande diversidade obriga à
utilização de duas camadas de armadura de reforço de momentos flectores negativos para a
viga V2(2), facto que era evitável se se utilizasse uma armadura de montagem de diâmetro
superior.
O programa cumpre as armaduras mínimas, os afastamentos mínimos, bem como a
armadura mínima longitudinal no apoio para nele assegurar o funcionamento do
mecanismo de treliça.
Uma vez que os cortes das vigas não fornecem informação sobre as dimensões das lajes
que nelas concorrem, bem como não possuem legenda da armadura transversal e
longitudinal utilizada, é de referir que o seu interesse é diminuto.
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.31
A facilidade de leitura das armaduras é um ponto forte da representação por parte do
programa A, uma vez que coloca a armadura superior em cima da viga devidamente
cotada, e coloca a armadura inferior por baixo da viga, também esta cotada.
Em seguida são apresentadas as armaduras correspondentes ao programa B.
V1(6) - Programa B
0.50
2Ø12+3Ø16
2Ø10
0.30 Ø6//0.15 6.00
0.30 0.30
0.30 0.30
1.50 4Ø10
1.50 4Ø10 2Ø10
0.45 2Ø12+1Ø16
0.45 2Ø12+1Ø16 2Ø12+3Ø16
Ø6//.15
Figura 2.22 – Representação da armadura para o programa A, para a viga V1(6).
V2(2) - Programa B
0.30 0.30
0.50
0.50 0.40
0.40
1.05 3Ø20
2.00 2Ø20+3Ø25
0.50 2Ø20+1Ø25 2Ø20
2Ø16+2Ø20 Ø6//.15
2.25
Ø8//.2
0.50
0.30
2Ø20
2Ø16+2Ø20 Ø6//.15
2.25 2Ø20+3Ø25
0.50 2Ø20+1Ø25
2.15 4Ø20 2Ø20
2Ø16+2Ø20 Ø6//.15
1.90
Ø8//.15
1.85
Ø6//.125
0.50
0.30
2Ø20
2Ø16+2Ø20 Ø6//.15
0.40 0.40
6.00 6.00
Figura 2.23 – Representação da armadura para o programa B, para a viga V2(2).
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Capítulo 2
2.32
V1(2) - Programa B
6.00 6.00
0.30 0.30
0.30 0.30
0.30 0.30
1.45
3Ø12 1.80
2Ø12+3Ø16 0.40
2Ø12+1Ø16 2Ø12
0.35 3Ø12
1.10 3Ø12 5Ø12
Ø6//.15
0.50
0.30
2Ø12
5Ø12 Ø6//.15
1.80
2Ø12+3Ø16 0.40
2Ø12+1Ø16 1.45
3Ø12 2Ø12
1.10 3Ø12
0.35
3Ø12 5Ø12 Ø6//.15
0.50
0.30
0.50 0.50 Ø6//.15
5Ø12
2Ø12
Figura 2.24 – Representação da armadura para o programa B, para a viga V1(2).
Analisando os desenhos das vigas do programa B pode observar-se um maior cuidado na
combinação dos diâmetros a utilizar para a armadura longitudinal, bem como um algoritmo
de cálculo de estribos que parece mais adequado.
Neste programa as secções são importantes, uma vez que nelas são representadas as lajesque concorrem na viga, as armaduras longitudinais e transversais, sendo possível, antes de
gerar os desenhos, definir se o corte da laje existe, se é de uma laje aligeirada ou maciça, e
se se encontra na face inferior ou superior da viga (permitindo representar vigas rasas,
altas, invertidas e desníveis).
Os comprimentos de amarração parecem bem calculados, apesar da dificuldade em serem
executados dentro do pilar.
De salientar ainda que o desenho das armaduras dos pilares ainda que não absolutamente
necessário, permite a pormenorização da ligação destas armaduras à viga.
A cotagem das armaduras é insuficiente, uma vez que não é apresentado o comprimento
total dos varões das mesmas.
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.33
Em seguida são apresentadas as armaduras que resultam do programa C para as vigas
V1(6), V1(2) e V2(2).
2Ø12 1.95+0.41 2Ø12 0.41+1.95
2Ø12 2.30 2.30
2Ø12 2.80 2.80
B25S-30x50-71
1estØ6//0.16 6.00
0.34+6.00+0.34 2Ø10
0.13+6.00+0.13 2Ø12
43
B25S-30x30-34
1estØ8//0.30 A/B: _ /2x1Ø16
2x2Ø25 A
B
42
B25S-30x30-33
1estØ8//0.24 A/B:2x3Ø12/2x2Ø12
2x2Ø20 A
B
V1(6) - Programa C
Figura 2.25 – Representação da armadura para o programa C, para a viga V1(6).
1Ø20 1.95+0.63(*0.69)
2Ø20
1.95 1.95 2Ø20 2.35 2.35
2Ø20 6.00+0.63(*0.69) 3.35 1Ø20
0.58(*0.69)+2.35
1Ø12 1.80 1.00
2Ø12 2.50 1.80 2Ø12
1.30 2.30
2Ø12 1.80 2.80
2Ø12 3.00+0.29 0.20+3.00 3.00+0.20 0.29+3.00
B25S-30x50-50
1estØ6//0.12 0.66
1estØ6//0.16 3.84
1estØ6//0.08 1.50
6.00+0.34 2Ø10 0.34
6.00+0.18 2Ø12 0.28
24 B25S-40x40-22
B25S-40x40-15
2estØ8//0.18 A/B:2x1Ø12/ _
2x2Ø16 A
B
B25S-30x50-48
1estØ8//0.16 6.00
0.34+6.00 2Ø10 0.34
0.13+6.00 2Ø12 0.28
23 B25S-40x40-21
B25S-50x50-14
2+1estØ8//0.14 A/B:2x1Ø12/2x4Ø12
2x2Ø12 A
B
22
B25S-30x30-13
1estØ8//0.18 A/B:2x6Ø12/ _
2x2Ø16 A
B
V2(2) - Programa C
Figura 2.26 – Representação da armadura para o programa C, para a viga V2(2).
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Capítulo 2
2.34
0.34
0.28
B25S-30x30-17
1estØ8//0.18 A/B:2x1Ø12/2x5Ø12
2x2Ø16 A
2Ø12
B25S-30x30-16
1estØ8//0.18 A/B:2x2Ø12/2x2Ø12
A 2x2Ø16
B
2.50 0.13+6.00
2Ø12 1.80
25
1Ø12 0.41+2.05
B25S-30x50-51
1estØ6//0.16 6.00
0.34+6.00
2Ø10 2Ø12
1.55 2.65
2Ø12
1.80 2Ø12 0.28
6.00+0.13 2Ø12
B
2.80
B25S-30x30-18
1estØ8//0.24 A/B: _ /2x1Ø16
2x2Ø20 A
B
26
B25S-30x50-52
1estØ6//0.16 6.00
1.65
0.34 2.65
6.00+0.34
2Ø10 1Ø12
27
2.05+0.41
V1(2) - Programa C
Figura 2.27 – Representação da armadura para o programa C, para a viga V1(2).
Relativamente às armaduras do programa C podemos observar que este não cumpre as
amarrações para momentos flectores negativos, tal como as preconiza o REBAP
[ REBAP86 ].
A utilização de armaduras de diâmetro substancialmente diferentes, bem como um
algoritmo de estribos não muito consistente fazem com que as armaduras não sejam uma
boa opção em obra. A exemplificar este facto podemos observar na figura 2.26 a utilização
de estribos φ6//0.08m, quando no tramo à direita da mesma viga são usados estribos φ 8.
Por outro lado, o uso de 8φ12mm em 30cm para a armadura de momentos flectores
positivos e o uso de 6 φ12+2φ10 para momentos flectores negativos, revela inconsistênciano algoritmo de atribuição de armaduras perante o tão elevado n.º de diâmetros.
Apesar da maior ou menor facilidade em alterar, ou mesmo de personalizar as armaduras
encontra-se em questão a profundidade dos algoritmos de geração das armaduras. Assim,
verifica-se o mau desempenho do algoritmo de armaduras com o seu funcionamento
automático e por defeito.
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.35
Importa referir que as secções não fornecem informação sobre as lajes, ou armaduras
transversais e longitudinais, sendo absolutamente inúteis.
Os alçados e os cortes podem considerar-se bastante pobres.
2.4.4. Quantidades de armaduras nas vigas V1(2), V2(2) e V1(6)
De seguida são apresentadas as armaduras para os vários programas de cálculo automático
para as vigas V1(2), V2(2) e V1(6) nas figuras 2.28, 2.29 e 2.30; os valores numéricosencontram-se nos quadros 2.25, 2.26 e 2.27.
Na figura 2.28 estão representadas as armaduras longitudinais máximas para a viga V1(2).
10.0
5.0
0.0
5.0
10.0
[M(-)] [M(+)] [M(-)] [M(+)] [M(-)]
As As As As As
A s ( c m
)
A B C
Programa
Figura 2.28 – Armaduras para os vários programas para a viga V1(2).
No quadro 2.25 encontram-se os valores máximos das armaduras longitudinais para a viga
V1(2).
As-[P1]cm2
As+[P1-P2]
cm2
As-[P2]cm2
Mom. Pos.[P2-P3]
cm2
Mom. Neg.[P3]cm2
A 3.14 5.15 7.60 5.15 3.14B 3.39 5.65 8.29 5.65 3.39C 2.70 4.52 6.09 4.52 2.70
Quadro 2.25 –Armaduras colocadas na viga V1(2).
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Capítulo 2
2.36
Na figura 2.29 estão representadas as armaduras longitudinais máximas para a viga V2(2).
25.0 20.0 15.0 10.0
5.0 0.0 5.0
10.0 15.0
[M(-)] [M(+)] [M(-)] [M(+)] [M(-)]
As As As As As
A s ( c m
2 ) A
B C
Programa
Figura 2.29 – Armaduras para os vários programas para a viga V2(2).
No quadro 2.26 apresentam-se os valores máximos das armaduras longitudinais para a viga
V2(2).
As-[P4]cm2
As+[P4-P5]
cm2
As-[P5]cm2
As+[P5-P6]
cm2
As-[P6]cm2
A 3.14 10.30 17.28 10.30 4.61B 9.42 10.30 21.01 10.30 12.56C 4.71 9.05 20.42 7.92 10.99
Quadro 2.26 – Armaduras colocadas na viga V2(2).
Na figura 2.30 pode observar-se as armaduras longitudinais máximas para a viga V1(6).
5.0
0.0
5.0
10.0
[M(-)] [M(+)] [M(-)]
As As As
A s ( c m
2 ) A
B C
Programa
Figura 2.30 – Armaduras para os vários programas para a viga V1(6).
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.37
No quadro 2.27 analisam-se os valores máximos das armaduras longitudinais para a viga
V1(6).
As-[P5]cm2
As+[P5-P6]
cm2
As-[P6]cm2
A 3.14 8.29 3.14B 3.14 8.29 3.14C 3.83 6.78 3.83
Quadro 2.27 – Armaduras colocadas na viga V1(6).
Constata-se a existência de variações significativas nas armaduras longitudinais das vigas.
Para tal concorrem uma multiplicidade de factores que provocam tais variações. Desde a
acção sísmica, passando pelos coeficientes de rigidez ou de distribuição, é assim complexo
e delicado efectuar uma análise crítica aos resultados das armaduras. Com estas
comparações de armaduras pretende-se apenas tomar consciência das variações de
resultados para os diferentes programas.
De uma forma sumária é possível observar na viga V1(2) uma variação máxima de 26.5%
entre os programas A e C. Na viga V2(2) a variação máxima de armadura encontra-se entre
os programas A e B e toma o valor de 172.5%! Por sua vez, a viga V1(6) apresenta uma
variação de 22% entre os programas A e B e o programa C.
2.4.5. Comparação de armaduras nos pilares
Sendo os pilares elementos importantes no dimensionamento estrutural, revela-se
importante aferir os resultados dos mesmos à luz dos diversos programas de cálculo
automático em análise.
Uma vez que existem vários factores a interferir no dimensionamento dos pilares, como o
estudo da encurvadura ou o método usado pelo algoritmo de cálculo para as várias
combinações, optou-se por comparar áreas de aço mínimas provenientes dos vários
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Capítulo 2
2.38
programas, isto é, sem quaisquer opções de critérios de simetria de armaduras nas secções
ou continuidade de diâmetros de piso para piso.
Daí os resultados apresentados no quadro de pilares para os pilares P1, P5 e P8 para osdiferentes programas, bem como as armaduras na figura 2.31.
0.30 0.30
0.30
0.30
0.30
0.30 0.30 0.30
0.30 0.30
0.30 0.30
0.30 0.30
0.30 0.30
0.30 0.30
0.30 0.30
0.30 0.30
0.50 0.50
0.50 0.50
0.50
0.50
0.50 0.50
4Ø20+ 4Ø12
E Ø6//0.15 E Ø8//0.30
4Ø25 E Ø8//0.24
10Ø12 4Ø20+ E Ø8//0.30
4Ø25 E Ø8//0.30
2Ø16 4Ø25+
E Ø6//0.24 8Ø20
E Ø8//0.30 2Ø16 4Ø25+
E Ø6//0.24 8Ø20
E Ø8//0.30 2Ø12 4Ø25+
E Ø6//0.20 4Ø16 4Ø20+
E Ø6//0.24 8Ø20
E Ø8//0.18 6Ø12 4Ø16+
E Ø6//0.24 8Ø20
E Ø8//0.18 2Ø12 4Ø16+
E Ø8//0.24
E Ø6//0.19 8Ø20
E Ø6//0.20 4Ø16 4Ø20+
E Ø6//0.19 8Ø16
E Ø8//0.14 14Ø12
E Ø8//0.30 4Ø25 4Ø16+
E Ø8//0.18 4Ø12
E Ø8//0.24 4Ø25 4Ø20+
E Ø8//0.24 16Ø12
E Ø8//0.30 12Ø25
PROGRAMA A PROGRAMA
B C PROGRAMA PROGRAMA A B PROGRAMA
C PROGRAMA PROGRAMA A B PROGRAMA
C PROGRAMA Pilar P1 Pilar P5 Pilar P8
E Ø6//0.20 8Ø16
E Ø8//0.30 4Ø25
E Ø8//0.18 8Ø12 4Ø16+
E Ø6//0.20
0.30
8Ø16
0.30
E Ø6//0.20
0.30 0.30
4Ø16 4Ø20+
0.40 0.40
E Ø6//0.20
0.40 0.40
4Ø20+ 4Ø16
0.50
E Ø6//0.20
0.50 4Ø16 4Ø20+
0.30
E Ø6//0.20 4Ø20+ 4Ø16
0.30
0.30
E Ø6//0.15
4Ø12
0.30
4Ø20+
E Ø6//0.20
0.40 4Ø16
0.40
4Ø20+
E Ø6//0.20
0.40 4Ø16
0.40
4Ø20+
E Ø6//0.20
0.40
4Ø16
0.40
4Ø20+
0.40
0.40
E Ø6//0.20 4Ø20+ 4Ø16
0.30
0.30
0.40 0.40
0.40
0.40
E Ø8//0.14
0.50 14Ø12
0.50
0.30 0.30
0.30 0.30
0.40
4Ø16+ 4Ø12
0.40
E Ø8//0.18
2Ø12 E Ø6//0.18
0.40
4Ø16+ 0.40
0.40 0.40
E Ø8//0.18 2Ø12 4Ø16+
0.40
0.40
0.40 0.40
0.40
E Ø6//0.24
0.40 8Ø20
0.40 0.40
0.40
0.40
2Ø20 4Ø25+
0.40 0.40
0.40
0.40
Figura 2.31 – Quadro de Pilares: P1, P5 e P8.
Para proceder a uma análise crítica sobre as armaduras dos pilares, convém recordar que
segundo a regulamentação portuguesa, REBAP [ REBAP86 ]:
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.39
A secção deve possuir um varão por canto; os varões longitudinais não devem ser
espaçados mais de 30cm (salvo quando a face é inferior a 40cm, em que podem ser
utilizados somente 1 varão por canto).
O espaçamento das armaduras transversais (cintas) não devem exceder o menor valor
entre; 12φlongitudinal , menor dimensão do pilar e 30cm.
O diâmetro mínimo será de 6mm para todos os varões, excepto para φ25 em que é
obrigatório o uso de φ8.
Considera-se que um varão longitudinal está cintado se por ele passar uma cinta com
um ângulo não superior a 135º , ou estando a menos de 15cm de um varão cintado.
Fazendo uma análise sobre a disposição dos varões longitudinais, podemos observar que
todos cumprem a regulamentação portuguesa, REBAP [ REBAP86 ].
De uma forma genérica, o programa que parece mais consistente na cintagem das
armaduras, bem como na escolha e colocação de diâmetros longitudinais nos pilares, é o
programa B, uma vez que por defeito apresenta uniformidade de diâmetros de número de
ferros. Este ponto não deve ser penalizador para os programas A e C, uma vez que estes possuem hipóteses de simetria e de continuidade em altura que permitem uma melhor
uniformização da armadura em prejuízo das áreas de aço.
No que diz respeito à manipulação pelo utilizador dos resultados do cálculo de pilares, o
programa A é o mais eficiente. Este possui um ambiente gráfico interactivo que permite a
escolha de armaduras, fazendo a verificação da secção em flexão composta desviada em
função das armaduras colocadas nas várias faces dos pilares. Este ambiente avisa quando a
armadura manualmente colocada não é suficiente, quando foi ultrapassada a armadura
máxima ou a mínima, no entanto não o faz quando o espaçamento das armaduras é
superior a 30cm.
Relativamente ao programa C, este também possui uma tratamento interactivo das
armaduras dos pilares com o utilizador, no entanto subrotina de verificação da capacidade
resistente de uma armadura modificada pelo utilizador para a flexão composta desviada é
feita perante 4 trios de valores ( N, Mx, My) que o programa considera mais desfavoráveis.
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Capítulo 2
2.40
Como se trata de uma análise em flexão composta desviada, não é difícil depreender que, a
capacidade resistente varie em função da armadura alterada na secção associada os
esforços ( N, Mx, My), podendo assim, a combinação mais desfavorável não ser a pré-
definida para a armadura calculada por defeito.
Este método de cálculo de pilares é sem dúvida um ponto forte dos programas A e C
resultando do tratamento de armaduras uma uniformização económica.
Em seguida efectua-se uma comparação gráfica das áreas de aço para os pilares P1, P5 e
P8 para os programas em análise.
PILAR P1 [Piso 1-2]
16.08
19.63
17.09
0
5
10
15
20
25
A B C
Programa
Á r e a d e A ç o e m [ c m 2 ]
Figura 2.32 – Áreas de aço no pilar P1.
PILAR P5 [Piso 1-2]
20.61
16.08 15.83
0
5
10
15
20
25
A B C
Programa
Á r e a d e A ç o e m [ c
m 2 ]
PILAR P5 [Piso 3-4]
20.61
25.13
14.83
0
5
10
15
20
25
A B C
Programa
Á r e a d e A ç o e m [ c
m 2 ]
PILAR P5 [Piso 5-6]
17.09
19.63
23.88
0
5
10
15
20
25
A B C
Programa
Á r e a d e A ç o e m [ c
m 2 ]
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.41
Figura 2.33 – Áreas de aço no pilar P5.
PILAR P8 [Piso 1-2]
20.61
39.3
30.66
0
5
10
15
20
25
30
35
40
A B C
Programa
Á r e a d e A ç o e m [ c
m 2 ]
PILAR P8 [Piso 3-4]
20.61
25.13
12.57
0
5
10
15
20
25
30
35
A B C
Programa
Á
r e a d e A ç o e m [ c
m 2 ]
PILAR P8 [Piso 5-6]
17.09
19.63
23.66
0
5
10
15
20
25
30
35
A B C
Programa
Á
r e a d e A ç o e m [ c
m 2 ]
Figura 2.34 – Áreas de aço no pilar P8.
Abordando o resultado das armaduras provenientes dos programas de cálculo automático, é
possível observar variações injustificáveis.
Por exemplo, para o pilar P8 entre os pisos 3 e 4 existe uma variação de 50% entre os
programas B e C, o que é preocupante. Sem possibilidade de fazer uma análise profunda
acerca deste ponto, dada a forma fechada com que os programas usam os seus algoritmos
de cálculo, seria conveniente que os utilizadores exigissem um maior controle sobre estasferramentas.
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Capítulo 2
2.42
2.5. Quadro de sapatas
No que concerne ao cálculo de sapatas foi adoptada uma tensão admissível para o solo de
fundação, σadm=200kPa. As sapatas podem ser consideradas rígidas.
P1 P5 P8
L[x]m
L[y]m
H
m
L[x]m
L[y]M
H
m
L[x]m
L[y]m
H
m
Programa A 1.40 1.40 0.50 3.20 3.20 0.70 2.60 2.60 0.60
Programa B 1.25 1.25 0.40 2.90 2.90 0.85 2.45 2.45 0.75
Programa C 1.25 1.25 0.30 3.00 3.00 0.70 2.40 2.40 0.55
Quadro 2.28 – Quadro de dimensões de sapatas.
Todos os programas calculam as sapatas como sapatas rígidas, e cumprem a condição de
sapata rígida (metade da altura ≥ aba da sapata). O programa A possui como mínimo da
altura de uma sapata 0.50m, o programa B utiliza como mínimo 0.40m e o programa C usa
por defeito como mínimo para a altura da sapata 0.30m.
As diferenças encontradas entre as áreas das sapatas são de 20% para o pilar P1, de 18%
para o pilar P5 e de 15% para o pilar P8.
2.6. Medições fornecidas pelos programas
A título de exemplo ilustrativo das diferenças provenientes dos vários programas, são
apresentadas as medições de armaduras das vigas, dos pilares e das sapatas dos mesmos.
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.43
2.6.1. Medição de aço nas vigas
Aço Custo
Programa Kg 110$/Kg
A1 Por Defeito 3335 366. 800$
A2A1 sem redistribuições de
momentos flectores3214 353. 500$
A3A1 + Armadura simétrica nas vigas
de um só tramo3323 365. 500$
A4A1 + Armadura de montagem
superior φ123362 369. 800$
B1 Por Defeito
Diâmetro 3798 417. 800$
B2
Passo
3892 428. 100$C1
Por Defeito2548 280. 300$
C2C1 + Simetria de estribosArm. Long. inf. simétrica.
2631 289. 400$
C3 C1 + Arm. de montagem sup. φ12 2530 278. 200$
C4C1 + Arm. de montagem sup. φ12
+ Arm. de montagem inf. φ162602 286. 200$
C5C1 + Arm. de montagem sup. φ16
+ Arm. de montagem inf. φ122718 299. 100$
Quadro 2.29 – Medição de aço nas vigas.
2.6.2. Medição de aço nos pilares
Aço CustoPrograma
Kg 110$/Kg
A1 Por Defeito 1852.0 168. 300$
A2 Com critérios de continuidade 2229.0 245.200$
B1 Por Defeito 3356.0 369. 200$
C1 Por Defeito 1955.9 215. 100$
C2 Mínimo nº de Varões 2071.4 227. 900$
C3 4 Faces Iguais 2131.1 234. 400$
C4 Igual Diâmetro 2070.1 227. 700$
C5 C1+C2+C3+C4 2138.0 235. 200$
Quadro 2.30 – Medição de aço nos pilares.
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Capítulo 2
2.44
As diferenças na medição do aço dos pilares traduzem de uma forma global as
preocupações já referidas a quando da comparação de áreas de aço para três pilares. Podem
observar-se variações na quantidade de aço para o dobro!
2.6.3. Medição de betão e aço nas Sapatas
Betão Aço $ Betão $ Aço
M3 Kg 15 .000$/m3 110$/kg$ Total
Programa A 47.1 276.2 706.500$ 30.382$ 736.880$
Programa B 24.2 531.9 363.000$ 58.509$ 421.510$
Programa C 21.0 564.9 315.000$ 62.139$ 377.140$
Quadro 2.31 – Medição de sapatas.
As diferenças encontradas entre resultados de sapatas são sobretudo consequência da
adopção de alturas mínimas diferentes. Como é possível verificar através do quadro 2.31, o
volume de betão diminui à medida que a altura mínima da sapata diminui. Por outro lado, e
em sentido inverso, a quantidade de aço aumenta quando a altura mínima diminui.
Uma vez que o programa B permite a adopção de um coeficiente de esbelteza k na
definição da altura das sapatas, foi feita uma relação entre esse coeficiente de esbelteza e o
custos dos materiais das sapatas, ver quadro 2.32 e figura 2.35.
A altura da sapata será dada pelo quociente entre a diferença da maior dimensão da sapata
e a dimensão do pilar nessa direcção e o coeficiente de esbelteza, como pode ser observado
na equação 2.1.
K
B B Hu PILARSAPATA
)( −= (2.1)
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.45
Betão AçoAltura
Minima$ Betão $ Aço
M3 Kg m 15 .000$/m3 110$/kg$ Total
K = 1.0 87.7 472.5 1.00 1 .315 .500 $ 51 .975 $ 1 .367 .475 $
K = 1.5 53.1 431.5 0.70 796 .500 $ 47 .465 $ 843 .965 $
K = 2.0 38.6 447.1 0.55 579 .000 $ 49 .181 $ 628 .181 $
K = 2.5 31.4 497.6 0.45 471 .000 $ 54 .736 $ 525 .736 $
K = 3.0(Prog. por Defeito)
26.4 564.5 0.40 396 .000 $ 62 .095 $ 458 .095 $
K = 3.5 22.6 670.3 0.35 339 .000 $ 73 .733 $ 412 .733 $
K = 4.0 20.3 674.4 0.35 304 .500 $ 74 .184 $ 378 .684 $
K = 4.5 18.5 741.1 0.30 277 .500 $ 81 .521 $ 359 .021 $
K = 5.0 18.0 748.2 0.25 270 .000 $ 82 .302 $ 352 .302 $
K = 5.5 17.8 733.9 0.25 267 .000 $ 80 .729 $ 347 .729 $
K = 6.0 17.8 733.9 0.25 267 .000 $ 80 .729 $ 347 .729 $
Quadro 2.32 – Medição das sapatas para os vários coeficientes de esbelteza propostos pelo programa B.
.0 .000 $
.250 .000 $
.500 .000 $
.750 .000 $
1 .000 .000 $
1 .250 .000 $
1 .500 .000 $
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
K - Coeficiente de esbelteza
P r e ç o
$ Betão
$ Aço
$ Total
Figura 2.35 – Custo das sapatas em função do coeficiente de esbelteza adoptado para o programa B.
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Capítulo 2
2.46
Tal como seria de esperar, nas sapatas o preço do aço não tem influência significativa se
compararmos com o preço do betão. Assim, a altura mínima das sapatas a adoptar assume
importância significativa. Um bom compromisso económico não implica necessariamente
a adopção de sapatas extremamente flexíveis, podendo passar também pela adopção de
betões de classe inferior e consequentemente extrair benefícios económicos.
2.7. Conclusões
Neste capítulo não foi efectuado qualquer teste dos algoritmos de cálculo à flexão
composta, desviada e à encurvadura.
No entanto, é fácil depreender duas situações distintas; por um lado podem encontrar-se
diferenças de resultados entre os programas em estudo e, por outro, entre as várias opções
de cálculo dentro de um mesmo programa. A primeira situação aponta para a necessidade
do conhecimento exaustivo dos processos de cálculo por parte do utilizador, em que este
deve possuir conhecimentos base suficientes para controlar os fundamentos dasferramentas que utiliza. Por sua vez, o utilizador deverá conhecer o programa de uma
forma exaustiva de modo a utilizar as várias hipóteses de cálculo disponíveis
adequadamente.
Ficou visível que o uso dos programas por defeito nem sempre é uma decisão sensata
quando não se conhecem as influências dos vários factores disponíveis.
A complexidade de uma análise de resultados provenientes dos vários programas decálculo automático justifica um estudo detalhado sobre várias temáticas basilares de
qualquer programa de cálculo automático. Assim, nesta tese, foram abordadas
separadamente as temáticas que passo, desde já, a enunciar:
No capítulo três, dedicado aos tipos de modelação dos programas de cálculo automático,
foi feita uma comparação de resultados do cálculo de estruturas planas através dos
programas em estudo, bem como através de uma modelação por elementos finitos.
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Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo
2.47
Dada a importância que a influência do tipo da modelação das lajes maciças possui na
distribuição de cargas nas vigas, tanto em esforços locais nestas, como nas próprias
armaduras, no capítulo quatro procedeu-se a um estudo sobre as formas de carregamento
de uma viga, bem como do momento isostático, utilizando como medida de comparação os
resultados provenientes de uma análise tridimensional por elementos finitos.
Para finalizar, no capítulo cinco será feita uma breve incursão sobre a análise dinâmica
disponível nos programas de cálculo em estudo. Paralelamente, será efectuado um cálculo
através do método “Três Graus de Liberdade por Piso (3GL/Piso)”, de modo a servir de
termo de comparação para os resultados obtidos nos exemplos de referência estudados.
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Capítulo 3
Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de
Estruturas Planas
3.1. Introdução
Neste capítulo, pretende-se efectuar uma avaliação dos esforços resultantes nas vigas de
uma estrutura porticada plana quando esta é calculada recorrendo a diferentes modelações.
Para esse efeito, procede-se à comparação dos resultados que os programas comerciais de
cálculo automático fornecem, com a solução exacta do problema efectuando uma
modelação de elementos finitos planos.
Ao longo do capítulo, descrevem-se as modelações para cada programa de cálculo
comercial, bem como os modelos de cálculos adoptados.
3.2. Tipos de Modelação
Os programas em análise são programas de cálculo elástico linear, utilizados sem recurso a
qualquer análise de segunda ordem, apesar desta possibilidade estar disponível em alguns
deles.
Será importante referir que o tipo de modelação utilizada neste trabalho consiste na
modelação a que os programas recorrem por defeito, procedendo-se em seguida a uma
breve descrição.
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Capítulo 3
3.2
3.2.1. Programa A
O Programa A permite a modelação da estrutura recorrendo a elementos que concorrem
em nós. Os elementos podem ser pilares, vigas, vigas inclinadas, lajes de vigotas pré-fabricadas, lajes maciças, lajes fungiformes aligeiradas e paredes. Na medida em que se
trata de uma análise de pórticos planos, apenas se procede à descrição do tipo de
discretização de vigas e pilares. As vigas, bem como os pilares, caracterizam-se por
elementos de dois nós com matrizes de rigidez próprias que concorrem em corpos rígidos
(união entre vigas e pilares). Estes possuem um nó principal (nó geral) e distintos nós
secundários (tantos quantos os elementos que nele concorrem), como é exemplificado na
figura 3.1. Estes elementos rígidos compatibilizam os deslocamentos dos vários nóssecundários com o nó principal, através de deslocamentos do corpo rígido.
Nó Geral
Nó Secundário
Viga
Pilar
p(x)
M1 V1 V2 M2x
L
Figura 3.1 – Modelação de um nó
como corpo rígido.
Figura 3.2 – Equilíbrio de esforços
actuantes num nó.
Através do cálculo elástico da estrutura obtêm-se os esforços nas faces do corpo rígido
“nó”, nomeadamente (figura 3.2):
– os momentos flectores M 1 e M 2 nas faces esquerda e direita do nó,
respectivamente;
– esforços transversosV 1 e V 2 nas faces esquerda e direita do nó, respectivamente.
Admitindo uma variação linear da carga vertical uniformemente distribuída no nó “p(x)”
obtêm-se as seguintes equações de equilíbrio:
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.3
dx
dM V = e
dx
dV p = (3.1)
Uma vez que a equação de momentos flectores para uma carga linear é um polinómio de 3ºgrau, é possível escrever:
d cxbxaxM(x) +++= 23 (3.2)
e, de acordo com a equação 3.1, obtém-se
cbxaxV(x) ++= 23 2 (3.3)
Fazendo uso das condições de fronteira:
+++===
++===
===
===
d cl bl al M M x
cbl al V V l x
d M M x
cV V x
232
22
1
1
0
23
0
0
(3.4)
é possível resolver o sistema de quatro equações a quatro incógnitas e assim obter a
solução para a lei de variação de esforços no corpo rígido.
3.2.2. Programa B
O Programa B efectua a discretização das vigas e pilares como elementos de barra
convencionais (equação 3.5). Os eixos representativos dos vários elementos concorrem em
nós. Através do método matricial de resolução de estruturas, calculam-se os esforços nos
nós, assegurando a compatibilidade de deslocamentos nos mesmos. Posteriormente obtém-
se os diagramas de esforços ao longo dos elementos, tendo como ponto de partida os
esforços calculados nos nós e o tipo de carregamento.
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Capítulo 3
3.4
×
−
−−−−
−
−
−
−
+
=
6
5
4
3
2
1
22
2323
22
2323
60
50
40
30
20
10
6
5
4
3
2
460
260
6120
6120
0000
460
460
6120
6120
0000
1
d
d
d
d d
d
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI L
EI
L
EI
L
EI
L
EI L
EA
L
EA L
EI
L
EI
L
EI
L
EI L
EI
L
EI
L
EI
L
EI L
EA
L
EA
f
f
f
f f
f
f
f
f
f f
f
(3.5)
3.2.3. Programa C
O programa C permite a utilização da modelação adoptada pelo programa A ou pelo
programa B. Dado que a modelação sugerida por defeito tratar-se da modelação
convencional de barras, usada pelo programa C, para o efeito do desenvolvimento da
presente Tese de Dissertação optou-se pelo uso desta mesma modelação na utilização deste
programa.
3.2.4. Programa D
O programa D define-se como programa de elementos finitos, sendo denominado por
DIANA, propriedade do TNO Building and Construction Research Division of
Engineering Mechanics and Information Technology, Delft, The Netherlands. Os pórticos
a analisar foram modelados com elementos de estado plano de tensão de oito nós,
designados por “CQ16M ”, com integração reduzida de Gauss 22. Com esta ferramenta
de análise obtém-se as tensões nos pontos de integração dos elementos e os deslocamentos
dos nós.
Recorrendo a um programa auxiliar elaborado para o efeito, descrito na secção 3.4.1,.
procedeu-se à integração dos diagramas de tensões em secções ao longo das barras, com o
objectivo de obter diagramas de momentos flectores, de esforço transverso e de esforço
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.5
axial. Os resultados provenientes desta análise serão referenciados ao longo deste capítulo,
como os calculados pelo Método de Elementos Finitos MEF .
3.3. Regulamentação
Um aspecto importante na análise de estruturas porticadas consiste na definição do
comprimento efectivo das vigas. É contudo evidente que a consideração de um vão teórico
inferior à distância entre eixos de apoios consecutivos obriga à utilização de troços rígidos
sobre os apoios.
Apresentam-se de seguida excertos de alguma regulamentação que define o comprimento
efectivo de vigas.
REBAP – Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado
[ REBAP86 ]
Em termos regulamentares, os programas B e C cumprem o estabelecido no artigo 87º do
REBAP [ REBAP86 ], dado que seguem o explicito nesse regulamento ao assumirem que o
vão teórico das vigas contínuas é dado pela distância entre os eixos dos apoios (figura 3.3 e
o quadro 3.1). O programa A apoia-se no comentário deste mesmo artigo para justificar a
sua modelação (figura 3.4 e figura 3.5). No entanto este regulamento refere-se ao caso
específico de apoios de grande largura, e não à generalidade dos apoios como assume o
programa A.
No entanto, mesmo para apoios de grande largura, o comentário do artigo refere a
utilização do vão teórico para vigas encastradas ligadas a troços rígidos (figura 3.4),
enquanto que o programa A utiliza barras com o vão livre entre apoios, ligadas a troços
rígidos.
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Capítulo 3
3.6
VIGA1
VIGA2
Figura 3.3 – Vão teórico de vigas considerando distâncias entre eixos de pilares.
CAPÍTULO XI
Disposições relativas a elementos estruturais
A - Vigas
Artigo 87.º - Vão teórico
O vão teórico a considerar no dimensionamento das vigas deve ser estabelecido tendo em
conta as condições efectivas de apoio. Nos casos correntes, o vão teórico será considerado
do modo seguinte:
Nas vigas simplesmente apoiadas, o menor dos valores: o vão livre acrescido de 1/3 da
largura de cada apoio (dimensão do apoio na direcção do vão) ou o vão livre aumentado
da altura útil da viga;
Nas vigas encastradas, o menor dos valores: a distância entre eixos dos apoios ou o vão
livre aumentado da altura útil da viga;
Nas vigas contínuas: a distância entre eixos dos apoios.
As regras estabelecidas podem não traduzir convenientemente as condições efectivas de ligação,
particularmente para apoios de grande largura de vigas contínuas. Neste caso, pode admitir-se que a
viga é constituída por tramos com vãos teóricos definidos segundo o critério indicado para as vigas
encastradas, ligados por troços rígidos sobre os apoios; este critério exige, pelo menos, uma largura
do apoio não inferior a 2 vezes a altura útil da viga.
No caso de vigas em consola, as regras conduzirão a adoptar para vão teórico ou o balanço livre
aumentado de metade da altura útil da viga ou o balanço referido ao eixo do apoio, respectiva- mente
para uma consola isolada e para uma consola pertencente a uma viga contínua.
Quadro 3.1- Vão teórico das vigas segundo o REBAP.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.7
VIGA1
VIGA2
B
d H
x1 tr1 tr2 x2
As+
As-
VIGA1
VIGA2
x1 = d /2
x2 = d /2 tr 2 = B/2 - d/2
tr 1 = B/2 - d/2
Se B > 2d
Figura 3.4 – Vão teórico segundo o REBAP para apoios de grande dimensão.
VIGA1
VIGA2
tr1 tr2
VIGA1
VIGA2
Figura 3.5 – Vão adoptado pelo programa A.
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Capítulo 3
3.8
Tendo presente o explicitado no quadro 3.1, conclui-se que o REBAP define o vão teórico
das vigas contínuas como a distância entre eixos de apoios. Em comentário, sugere-se a
utilização de troços rígidos para vigas apoiadas em apoios de grandes dimensões (base do
apoio > 2 × altura útil da viga).
EC2 – Pré-Norma Europeia Eurocódigo 2 (Versão Portuguesa) [ EC291]
No normativa vigente a nível Europeu, o EC2, é possível observar o comentário relativo ao
vão efectivo a considerar, função das distintas condições de apoio, como mostra o quadro
3.2.
No caso de elementos com continuidade, o vão efectivo é medido entre eixos dos apoios
(figura 3.6). Do quadro 3.2, depreende-se que não existe qualquer alusão ao tipo de
modelação do programa A. Salienta-se que os programas B e C seguem a modelação
sugerida por este regulamento.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.9
2.5.2.2.2 Vão efectivo de vigas e lajes
O vão efectivo (leff ) de um elemento pode ser calculado do modo seguinte:
leff = ln + a1 + a2 (2.15)
em que:
ln é a distância livre entre as faces dos apoios
Os valores de a1 e a2, em cada extremidade do vão, podem ser determinados a
partir dos valores correspondentes de ai indicados na Figura 3.2.4.
Figura 3.2.4: Determinação do vão efectivo (leff ) de acordo com a expressão (2.15), para diferentes
condições de apoio.
(a) Elementos sem continuidade (d) Consola isolada
(b) Elementos com continuidade (e) Consola com continuidade
(c) Apoios totalmente encastrados (f) Caso de aparelho de apoio
Quadro 3.2- Vão teórico das vigas segundo o EC2 ( Eurocódigo 2).
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Capítulo 3
3.10
MC90 – Model Code 90 [MC90]
5.2.3.2. Vão Efectivo
Normalmente, o vão L tem que ser introduzido como a distância entre eixos de
apoio adjacentes. Quando as reacções estão localizadas relativamente longe do
eixo de apoio, o vão efectivo tem que ser calculado tendo em conta a posição
real da reacção de apoio.
Quadro 3.3 - Vão teórico segundo o MC90.
Segundo o Modelo Código MC90 (quadro 3.3), deve adoptar-se a modelação que é usada
pelo programa B e pelo programa C, no entanto, quando a reacção de apoio está longe do
eixo (isto é, quando o apoio tem dimensões significativas) deve assumir-se para vão a
distância entre reacções, o que não é feito por nenhum dos programas.
3.4. Considerações Preliminares
3.4.1. Programa de Integração de Tensões
Já anteriormente referido, a Integração de Tensões processa-se com recurso a um programa
auxiliar, permitindo tratar os resultados fornecidos pelo programa de elementos finitos. São
gerados diagramas de esforços através das tensões fornecidas pelo programa. Fazendo uma
breve resenha sobre o organigrama do programa auxiliar, pode-se de uma forma sucinta
nele destacar quatro fases distintas:
1- a leitura de um ficheiro de dados proveniente do programa de elementos finitos,
contendo coordenadas e tensões nos pontos de integração, pontos de Gauss;
2- a ordenação dos pontos de integração segundo a coordenada local do elemento
x, e de seguida segundo a coordenada local y do elemento (figura 3.6), para
cada conjunto de elementos finitos constituindo um elemento estrutural (viga ou
pilar);
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.11
1001 1011 1021
1031
1002 1012 1022
1032
1003 1013 1023
1033
1004 1014 1024
1034
1005 1015 1025
1035
1006 1016 1026
1036
1007 1017 1027
1037
1008 1018 1028
1038
1009 1019 1029
1039
1010 1020 1030
1040
A
A
VIGA1
Figura 3.6 – Modelação de uma viga em MEF para o uso do programa auxiliar de integração de esforços.
3- a integração das tensões para cada secção após a ordenação dos pontos de
Gauss (figura 3.7);
Através das coordenadas dos pontos de Gauss e as tensões σ xx e σ xy nos mesmos
pontos, facilmente se pode depreender que:
∑−
=
×=1
1)(
n
iii Gaussde Ponto x b FnM (3.6)
∑−
=
=1
1)(
n
ii Gaussde Ponto x Fn N (3.7)
∑−
=
=1
1)(
n
ii Gaussde Ponto x Ft V (3.8)
sendo:
M Momento Flector.
N Esforço Axial.
V Esforço Transverso.
Fni Resultante do volume de tensões σ xx entre dois pontos de Gauss consecutivos.
n Número de pontos de Gauss numa secção.
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Capítulo 3
3.12
bi Braço da força f i em relação ao eixo da peça em questão. Distância entre o centro de
gravidade do prisma de tensões cuja resultante é f i e o eixo da peça em análise.
Ft i Resultante do volume de tensões σ xy entre dois pontos de Gauss consecutivos.
Corte A A
1031
1021
1011
1001
1032
1022
1012
1002 1 2
4 3
7 8
6 5
Fn 2 Fn 1** Fn 3
Fn 4
Fn 8
Fn 5* Fn 6*
Fn 9 Y8
Ft 9 Tensões σ xx Tensões σ xy
Ft 8 Ft 7 Ft 6 Ft 5 Ft 4
Ft 3 Ft 2 Ft 1
Fn 10**
* As forças Fn5 e Fn6 bem como os momentos por elas gerados possuem tratamento singular,devido ao eixo neutro se encontrar entre os pontos de gauss 4 e 5. O programa detecta quandoexiste mudança do sentido das tensões σxx entre pontos de gauss consecutivos e calcula o eixoneutro bem como a parcela de momentos provenientes desta singularidade.
Fn 7
* * O diagrama de tensões trapezoidal que corresponde às 1ª e última forças, (Fn1 e Fn10), nãotem como limite os pontos de gauss 1 ou 8, mas sim o limite inferior ou superior do alçado.Esta transformação é feita através de uma extrapolação linear entre tensões de dois pontos degauss consecutivos, (entre os pontos de gauss 2 e 1 para obter a tensão σxx na face inferior e entre os
pontos de gauss 8 e 9 para obter a tensão σxx na face superior .
Figura 3.7 – Modelação de uma viga em MEF para o uso do programa auxiliar de integração de esforços.
4- elaboração de uma tabela com quatro colunas, uma com as ordenadas no
referencial local da barra dos pontos de Gauss, outra com os momentos
flectores, outra com os esforços transversos, e uma outra com esforços axiais.
(exemplo do diagrama de momentos flectores na figura 3.8).
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.13
Mv
Md*
Me*
VIGA1
* Os momentos Me e Md são calculados por extrapolação linear entre os momentosnos dois pontos de gauss consecutivos eantecedentes respectivamente.
Figura 3.8 – Diagrama de momentos flectores resultante da integração das tensões σ xx ao longo de todas
as secções da viga.
3.4.2. Verificação da modelação adoptada pelo programa de elementos finitos
Pretendendo-se considerar o programa de elementos finitos com solução exacta no
domínio elástico, procedeu-se a um teste à modelação adoptada. Com esse propósito
procurou-se, um refinamento da malha, de tal modo que a sua resposta fosse igual à
solução teórica do problema. Assim sendo, foi modelada uma viga simplesmente apoiada
(figura 3.9), com vários níveis de discretização (figura 3.10). Esta modelação permitiu
efectuar uma comparação da flecha máxima com a exacta (quadro 3.4).
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Capítulo 3
3.14
'81
3845 24
AG L P
EI L P
TEÓRICO ××
+×××
=δ A A65
'= )1(2 υ+×
= E
G
L
P
Flecha da Viga
δ
Para:
L=6.00m; E=30Gpa; ν=0.20; Secção=[0.300.60m2]
Delta=1.06610-2m
Figura 3.9 – Modelo teórico para o cálculo da flecha máxima da viga.
L
P
Ndiv. x
Ndiv. y
[A] [B]
[A] – Face esquerda plana.
[B] – Face direita plana.
Figura 3.10 – Modelação da viga em MEF.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.15
Discretização A Discretização B Discretização C Discretização D
Ndiv. x Ndiv. y Ndiv. x Ndiv. y Ndiv. x Ndiv. y Ndiv. x Ndiv. Y
10 Ele. 2 Ele. 10 Ele. 3 Ele. 20 Ele. 3 Ele. 20 Ele. 4 Ele.
1.06710-2m 1.06610-2m 1.06710-2m 1.06810-2m
Quadro 3.4 – Modelo teórico para o cálculo da flecha máxima da viga.
Desta análise simples retira-se o nível de discretização da malha de elementos finitos
considerado satisfatório, para utilizar na modelação dos pórticos ao longo deste capítulo,
ou seja, optou-se por utilizar a discretização B.
3.5. Exemplos a Analisar
Para estudar o efeito de modelação sobre o valor dos esforços analisaram-se quatro
pórticos, os primeiros três de um piso e um tramo, e o quarto de cinco pisos e quatro
tramos.
Pretendeu-se com os três pórticos simples avaliar a influência da relação da rigidez viga-
pórtico, e com o pórtico mais complexo simular uma estrutura real de médio porte.
Os quatro exemplos adoptados definem-se do seguinte modo:
Exemplo 1 - Pórtico com um único tramo de dois pilares [0.30×0.30m2] e uma viga
[0.30×0.60m2]. Com este pórtico pretendeu-se simular uma estrutura monolítica, na qual a
viga é mais rígida que os pilares que nela concorrem (figura 3.11).
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Capítulo 3
3.16
5.4
( 0 . 3
0
x 0 .
3 0 )
2.7
0.3
0.6
( 0 . 3
0
x 0 .
3 0 )
0.3
(0.30 x 0.60)
Figura 3.11 – Geometria do pórtico 1.
Exemplo 2 – Pórtico de um único tramo com dois pilares [0.30×1.00m2] e com uma viga
[0.30×0.60m2], este pórtico pretende simular o comportamento de uma estrutura com
pilares rígidos (figura 3.12).
( 0 .
3 0
x
1 .
0 0 )
( 0 .
3 0
x
1 .
0 0 )
(0.30 x 0.60)
2.7
0.6
5.4 1.0 1.0
Figura 3.12 – Geometria do pórtico 2.
Exemplo 3 – Pórtico de um único tramo com dois pilares, o da esquerda [0.30×1.00m2] e o
da direita [0.30×0.30m2], com uma viga [0.30×0.60m2] a unir os dois pilares, como é
exemplificado na figura 3.13. Com este pórtico pretendeu-se simular o comportamento de
uma estrutura monolítica não simétrica, em oposição aos Exemplos 1 e 2.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.17
( 0 .
3 0 x 1 .
0 0 )
( 0 .
3 0 x 0 .
3 0 )
(0.30 x 0.60)
1.0
2.7
5.4 0.3
0.6
Figura 3.13 – Geometria do pórtico 3.
Exemplo 4 – Pórtico de quatro tramos com quatro pilares e uma parede. Da esquerda para
a direita: o 1º pilar e o último com secção constante de [0.30×0.60m2]; o 2º pilar com
secção entre os pisos 0 e 3 de [0.30×1.00m2] e de [0.30×0.50m2] entre os pisos 3 e 5; o 3º
pilar com uma secção entre os pisos 0 e 3 de [0.30×0.80m2] e nos últimos dois pisos com
[0.30×0.40m2]. A parede apresenta uma secção constante de [0.30×2.00m2] e as vigas uma
secção [0.30×0.60m2]. Com este pórtico pretendeu-se simular um pórtico de um edifício
corrente com uma parede e com variações de secções nos pilares (figura 3.14).
Figura 3.14 – Geometria do pórtico 4.
A modelação adoptada foi aquela que por defeito é proposta por cada programa de cálculo,
tendo sido usadas no caso do Exemplo 4 duas modelações diferentes, uma das quais com o
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Capítulo 3
3.18
uso de modelação da parede de [0.30×2.00m2] com elementos finitos (opção disponível no
programa).
Uma vez que se pretende aferir a capacidade de resposta das várias modelações, optou-se
por solicitar separadamente os pórticos a dois tipos de carregamento distintos:
– Com uma carga100kN/m, uniformemente distribuída em todas as vigas (ver
secção 3.5.1).
– Com uma carga concentrada de 60kN , em todos os nós da parte esquerda do
pórtico (ver secção 3.5.2).
A análise de resultados foi realizada comparando-se os diagramas de momentos flectores
obtidos. Os correspondentes diagramas de esforço transverso não são apresentados, dado
que as variações de resultados não se revelaram significativas.
Para a análise numérica dos resultados adoptaram-se três momentos flectores significativos
para cargas verticais, e dois para cargas horizontais. Sendo assim, para cargas verticaisanalisaram-se os momentos flectores, máximo no vão, à face do apoio esquerdo e à face do
apoio direito. Para cargas horizontais, os momentos flectores à face dos apoios esquerdo e
direito, dado que o momento flector no vão não apresenta importância significativa.
Adoptou-se a comparação entre momentos flectores à face, devido à falta de significado
físico da integração de tensões segundo a horizontal e segundo a vertical, uma vez que as
tensões principais não têm essas direcções dentro do nó. No entanto, é importante referir
que a modelação do nó do programa A (figura 3.15), leva a momentos flectores negativos
significativamente menores que os programas B e C (figura 3.16).
A redução de esforços considerados pelo programa A não é habitual, e não parece ser
sugerida por nenhum dos regulamentos analisados.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.19
Viga
Pilar
Reacção
Viga
Pilar
Figura 3.15 – Diagrama de momentos flectores
admitindo uma variação linear de
tensões dentro do nó.
Figura 3.16 – Momentos flectores calculados ao
eixo dos pilares.
3.6. Análise dos Resultados
3.6.1. Análise de Resultados para Solicitação Vertical
Para que se possa efectuar uma análise simultaneamente sucinta e consistente dos
resultados, apresentam-se os momentos flectores nos apoios e no vão da viga para os
distintos programas, bem como os resultados numéricos. Paralelamente, apresentam-se os
resultados provenientes das modelações com troços rígidos, nas vigas, nos pilares, e nas
vigas e pilares em simultâneo.
Uma vez que se pretende comparar resultados entre as diferentes modelações, realiza-seuma análise cruzada (Comparação de resultados com MEF ). Todos os termos
comparativos, são apresentados graficamente e numericamente, efectuando-se
pormenorizadamente a sua análise.
Os quadros de comparação referem-se às seguintes grandezas:
MEF
MEF e
M
M M −
Desvio de momentos flectores à esquerda, relativamente ao MEF para
um dado programa. (3.9)
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Capítulo 3
3.20
MEF
MEF v
M
M M −
Desvio de momentos flectores a meio vão, relativamente ao
MEF para um dado programa.
(3.10)
MEF
MEF d
M
M M −
Desvio de momentos flectores à direita, relativamente ao
MEF para um dado programa.
(3.11)
××
∆∑
83
||2l p
iM
Desvio de momentos flectores médio em relação ao momento flector
isostático obtido nos elementos finitos
MEF i M M iM −=∆ (i=esquerda, meio vão e direita).
(3.12)
Salienta-se que o desvio relativo dos resultados ao M.E.F é, simultaneamente, importante esensível ao denominador (quando este é zero o resultado é infinito). Desta forma, optou-se
pela inclusão de uma medida mais estável, desvio médio de momentos flectores
relativamente ao flector isostático do MEF .
3.6.1.1. Exemplo 1
Na figura 3.17 e quadro 3.5, apresentam-se respectivamente, os diagramas de momentos
flectores e respectivos valores nos pontos significativos (esquerda, direita e meio vão) para
os distintos programas de cálculo automático.
0.305.40
0.60
2.70
0.30
Figura 3.17 – Comparação dos Diagramas de momentos flectores dos Programas A, B, C e MEF.
Msd E. Msd V. Msd D.Representação
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.21
KNm KNm KNm
a) Programa A -72.8 291.6 -72.8
b) ProgramaB -45.3 319.4 -45.3
c) Programa C -45.4 319.1 -45.4
d) Programa D -61.4 302.6 -61.4
Quadro 3.5 – Quadro de Resultados dos programas A, B, C e MEF.
De seguida pode observar-se os diagramas de momentos flectores entre faces de apoios
para a modelação dos vários programas, bem como para a modelação recorrendo ao uso de
troços rígidos. O quadro 3.5 fornece os resultados dos programas de cálculo, sendo
realizada uma comparação de resultados relativamente ao programa MEF , no quadro 3.6.
Na figura 3.18 e no quadro 3.6 encontram-se representados os diagramas e os valores dos
momentos flectores nos apoios e no vão, respectivamente, para as modelações de troços
rígidos e MEF .
5.400.30
0.60
2.70
0.30
Figura 3.18 - Diagramas de Momentos flectores na viga para os programas A, B, C e MEF.
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNmRepresentação
d) MEF -61.4 302.6 -61.4
e) Troços Rígidos nas Vigas -48.1 316.4 -48.1
f) Troços Rígidos nos Pilares -71.7 292.9 -71.7
g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -75.1 289.4 -75.1
Quadro 3.6- Resultados da modelação com recurso a troços rígidos e MEF.
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Capítulo 3
3.22
No quadro 3.7 efectua-se a análise de resultados em função da solução exacta MEF .
Me Mv Md ∆M
−
MEF
MEFe
M
MM
−
MEF
MEFe
M
MM
−
MEF
MEFe
M
MM
××
∑
MEF
2
i
8
L p3
∆M
Programa A 18.6% -3.6% 18.6% 3.1%
Programa B -26.2% 5.6% -26.2% 4.5%
Programa C -26.1% 5.5% -26.1% 4.4%
Troços rígidos nas Vigas -21.7% 4.6% -21.7% 3.7%
Troços rígidos nos Pilares 16.8% -3.2% 16.8% 2.8%
Troços rígidos Vigas + Pilares 22.3% -4.4% 22.3% 3.7%
Quadro 3.7 - Comparação de resultados com MEF.
Como principais conclusões, pode-se retirar que a modelação efectuada pelo programa A é
a que mais se ajusta ao MEF . Constata-se que os programas B e C, ambos com a mesma
modelação, apresentam resultados idênticos, no entanto com uma variação relativamenteao MEF , ligeiramente superior à do programa A.
É de salientar que a distância entre os programas A, B e C relativamente ao MEF não é
muito significativa, mas a distância entre os resultados das modelações do programa A e os
resultados provenientes dos programas B e C, já o é. Isto verifica-se uma vez que os
desvios relativamente ao MEF apresentam sentidos contrários. Pode depreender-se dos
resultados, que o programa A se revela mais rígido que o programa de elementos finitos, e
que os programas B e C se revelam mais flexíveis que o MEF .
Da análise do pórtico com recurso a troços rígidos, pode verificar-se que o resultado
tomado como referência MEF se encontra entre a colocação de troços rígidos nas vigas e a
colocação de troços rígidos nos pilares. A colocação de troços rígidos nas vigas aumenta
ligeiramente os momentos flectores negativos na viga junto às faces dos pilares, mas não
atingindo o valor obtido pelos elementos finitos. A colocação de troços rígidos nos pilares
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.23
aumenta substancialmente os momentos flectores negativos na viga, fazendo com que estes
ultrapassem em módulo os momentos flectores negativos do MEF .
A utilização de troços rígidos nas vigas em conjunto com os pilares agravam os resultadosdos troços rígidos nos pilares.
É também de manifesta importância referir a semelhança de modelações entre o programa
A e a modelação por troços rígidos (troços rígidos nas vigas e nos pilares) conforme se
verifica nos resultados.
3.6.1.2. Exemplo 2
Da análise dos resultados do pórtico com pilares mais rígidos resultam os diagramas de
momentos flectores na viga para os diferentes programas (figura 3.19).
1.005.40
0.60
2.70
1.00
Figura 3.19 – Diagrama de Momentos flectores para os programas A, B, C e MEF na viga.
No quadro 3.8 encontram-se representados os valores encontrados para os distintos
programas de cálculo automático.
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Capítulo 3
3.24
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNmRepresentação
a) Programa A -224.5 139.9 -224.5
b) Programa B -175.2 189.3 -175.2
c) Programa C -175.2 189.3 -175.2
d) MEF -201.3 163.2 -201.3
Quadro 3.8- Resultados dos programas A, B, C e MEF.
Na figura 3.20 encontram-se representados os diagramas de momentos flectores na viga
correspondentes à análise por troços rígidos, apresentando-se os resultados numéricos no
quadro 3.9.
5.401.00
2.70
1.00
0.60
Figura 3.20 – Comparação dos diagramas de momentos flectores do MEF com a modelação de troçosrígidos.
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNmRepresentação
d) MEF -201.3 163.1 -201.3
e) Troços Rígidos nas Vigas -220.0 144.5 -220.0
f) Troços Rígidos nos Pilares -180.6 183.9 -180.6
g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -226.8 137.7 -226.8
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.25
Quadro 3.9 - Resultados da modelação com recurso a troços rígidos e MEF.
No quadro 3.10 comparam-se os resultados entre as várias modelações e a modelação
exacta MEF .
Me Mv Md ∆M
−
MEF
MEFe
M
MM
−
MEF
MEFe
M
MM
−
MEF
MEFe
M
MM
××
∑
MEF
2
i
8
L p3
∆M
Programa A 11.5% -14.3% 11.5% 6.4%
Programa B -13.0% 16.0% -13.0% 7.2%
Programa C -13.0% 16.0% -13.0% 7.2%
Troços rígidos nas Vigas 9.3% -11.4% 9.3% 5.1%
Troços rígidos nos Pilares -10.3% 12.8% -10.3% 5.7%
Troços rígidos Vigas + Pilares 12.7% -15.6% 12.7% 7.0%
Quadro 3.10 - Comparação de resultados com MEF.
Neste exemplo, tal como no anterior, pode-se observar que o programa cujos resultados
mais se ajustam ao programa de elementos finitos, MEF , é o programa A. É importantereferir que os programas B e C apresentam um desvio nos resultados próximo do desvio do
programa A.
No entanto, o programa A revela-se mais rígido que o MEF , e de forma oposta os
programas B e C revelam-se demasiados flexíveis nos apoios. Desta forma, a solução de
referência encontra-se no meio das duas modelações em análise.
Quanto à utilização de troços rígidos podemos observar que a que mais se aproxima doMEF é a de troços rígidos nas vigas, com momentos flectores negativos na viga
ligeiramente superiores ao resultado que se obtém no programa de referência MEF . O uso
de troços rígidos nos pilares revela-se neste caso demasiado flexível, com momentos
flectores negativos inferiores aos momentos flectores do programa de referência.
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Capítulo 3
3.26
De notar ainda que a utilização dos troços rígidos nas vigas e nos pilares em simultâneo
revela um comportamento semelhante ao do uso de troços rígidos só nas vigas, com um
ligeiro acréscimo da rigidez nas extremidades da viga.
Importa também referir que a modelação de troços rígidos nos pilares associada a troços
rígidos nas vigas, revela resultados idênticos aos obtidos na modelação do programa A, o
que seria de esperar dada a semelhança de modelação.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.27
3.6.1.3. Exemplo 3
Para o pórtico não simétrico de um tramo, apresentam-se os diagramas de momentosflectores na viga (figura 3.21), e os mesmos momentos flectores à esquerda, à direita e no
vão da viga, no quadro 3.11, para os programas A, B, C e MEF.
0.305.40
0.60
2.70
1.00
Figura 3.21 – Diagrama de momentos flectores para os programas A, B, C e MEF na viga.
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNmRepresentação
a) Programa A -231.2 215.9 -73.4
b) ProgramaB -173.2 254.3* -48.5
c) Programa C -173.2 248.6**
-48.8
d) M.E.F. -202.0 233.8 -64.0
Quadro 3.11 – Diagramas de momentos flectores na viga para os programas A, B, C e MEF.
Na continuidade da análise-tipo efectuada para os exemplos anteriores, apresentam-se os
resultados das modelações com troços rígidos na figura 3.22 e no quadro 3.12.
* Valor correspondente ao seccionamento interno da viga, o nível de seccionamento não pode ser alterado pelo utilizador. (Valor exacto = 256.3kNm).**
Valor correspondente ao seccionamento da viga em três secções, valor por defeito no programa, podendoser alterado. (Valor (nº secções =30) = 256.2kNm).
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Capítulo 3
3.28
5.401.00
2.70
0.30
0.60
Figura 3.22 – Comparação dos Diagramas de Momentos flectores do MEF com a modelação de troços
rígidos.
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNmRepresentação
d) MEF -202.0 233.8 -64.0
e) Troços Rígidos nas Vigas -229.9 230.9 -48.5
f) Troços Rígidos nos Pilares -177.1 240.1 -75.1
g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -236.0 213.9 -74.3
Quadro 3.12- Resultados da modelação com recurso a troços rígidos e MEF.
No quadro 3.13 elabora-se uma comparação de resultados dos programas com o MEF .
Me Mv Md ∆M
−
MEF
MEFe
M
MM
−
MEF
MEFe
M
MM
−
MEF
MEFe
M
MM
××
∑
MEF
2
i
8
L p3
∆M
Programa A 14.5% -7.6% 14.7% 5.2%
Programa B -14.3% 8.8% -24.1% 5.9%
Programa C -14.3% 6.3% -23.7% 5.5%
Troços rígidos nas Vigas 13.9% -1.2% -24.2% 4.2%
Troços rígidos nos Pilares -12.3% 2.7% 17.4% 3.9%
Troços rígidos Vigas + Pilares 16.9% -8.5% 16.1% 5.9%
Quadro 3.13 - Comparação de resultados com MEF.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.29
Este exemplo permite introduzir o efeito da não simetria quando esta é modelada com
modelaçãos diferentes. Pode-se observar que o comportamento das distintas modelações se
mantém em continuidade com os resultados dos exemplos 1 e 2. O resultado do programa
de referência continua entre o programa A e os programas B e C.
O uso de troços rígidos nos pilares melhora a modelação dos programas B e C, sendo esta
a utilização de troços rígidos mais adequada. O seu uso nas vigas já não se apresenta tão
eficiente. Por outro lado, o uso de troços rígidos nas vigas e nos pilares em simultâneo
coloca-nos perante os mesmos resultados que o programa A.
Importa referir que o momento flector positivo máximo para os programas em análise é o
máximo de entre os momentos flectores calculados para n secções da viga. Dependendo do
nível de seccionamento (valor de n), o momento flector máximo calculado é mais ou
menos exacto. Esta diferença é tanto maior quanto maior é o desvio entre os momentos
flectores negativos nos apoios.
3.6.1.4. Exemplo 4
Para o pórtico mais complexo, de cinco pisos e quatro tramos, apresentam-se de seguida os
diagramas de esforços resultantes nas vigas dos pisos cinco, três e um, para as modelações
dos programas, A, B, C e MEF (figuras 3.23, 3.24 e 3.25). Para se proceder a uma análise
de resultados, apresentam-se os quadros 3.14, 3.15 e 3.16.
V5.1 V5.2 V5.3 V5.4
Figura 3.23 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B, C e MEF, no piso 5.
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Capítulo 3
3.30
V3.1 V3.2 V3.3 V3.4
Figura 3.24 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B, C e MEF, no piso 3.
0.6
3 .
7
5.2
0 .
6
V1.1
1.0 5.1 0.8 4.1
V1.2 V1.3
2.0 4.7 0.6
V1.4
Figura 3.25 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B, C e MEF, no piso 1.
Com o objectivo de analisar os resultados das várias modelações em análise, procede-se à
comparação de desvios médios em relação à modelação exacta para cada tramo, MEF
(∆M i.), bem como à média destes desvios (∆M m.)
MEF
il p
ijM M
×
×
∆=∆∑
83
||
2
i – Tramo.
j – Esquerda , Vão e Direita. (3.13)
nt iM
M m∑ ∆
=∆|| nt – nº de tramos. (3.14)
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.31
∆M1 ∆M2 ∆M3 ∆M4 ∆Mm Representação
Programa A 5.9% 5.2% 7.8% 8.8% 6.9%
Programa B 2.7% 3.3% 14.5% 13.0% 8.4%
Programa C 2.7% 3.3% 14.5% 13.0% 8.4%
M.E.F. - - - - -
Quadro 3.14 - Comparação de resultados dos programas comerciais com MEF para a viga do piso 5.
∆M1 ∆M2 ∆M3 ∆M4 ∆Mm Representação
Programa A 6.3% 6.3% 6.5% 5.4% 6.1 %
Programa B 6.4% 7.4% 13.9% 9.7% 9.4%
Programa C 6.4% 7.4% 13.9% 9.7% 9.4%
M.E.F. - - - - -
Quadro 3.15 - Comparação de resultados dos programas comerciais com MEF para a viga do piso 3.
∆M1 ∆M2 ∆M3 ∆M4 ∆Mm Representação
Programa A 5.3% 4.6% 6.7% 6.0% 5.7%
Programa B 7.1% 8.7% 16.9% 2.6% 8.8%
Programa C 7.1% 8.7% 16.9% 2.6% 8.8%M.E.F. - - - - -
Quadro 3. 16 - Comparação de resultados dos programas comerciais com MEF para a viga do piso 1.
De seguida pode-se observar os diagramas de momentos flectores nas vigas dos pisos
cinco, três e um, para as modelações: troços rígidos nas vigas, troços rígidos nas vigas e
nos pilares, e parede em MEF
1
somente para o programa A.
1
No pórtico 4 a modelação de troços rígidos nos pilares foi substituída pela modelação da parede em MEFsomente para o programa A.
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Capítulo 3
3.32
V5.1 V5.2 V5.3 V5.4
Figura 3.26 – Diagramas de momentos flectores oriundos das modelações: troços rígidos nas vigas, nas
vigas e nos pilares e parede em MEF somente para o programa A, para o piso 5.
V3.1 V3.2 V3.3 V3.4
Figura 3.27 – Diagramas de momentos flectores oriundos das modelações: troços rígidos nas vigas, nas
vigas e nos pilares e parede em MEF somente para o programa A, para o piso 3.
0.6 5.2
3 .
7
0 .
6
V1.1
1.0 5.1 0.8 4.1
V1.2 V1.3
2.0 4.7 0.6
V1.4
Figura 3.28 – Diagramas de momentos flectores oriundos das modelações: troços rígidos nas vigas, nas
vigas e nos pilares e parede em MEF somente para o programa A, para o piso 1.
∆M1 ∆M2 ∆M3 ∆M4 ∆Mm Representação
Troços rígidos nas Vigas 2.9% 3.5% 12.2% 6.6% 6.3%
Programa A com Parede emMEF
5.7% 8.2% 41.3% 34.1% 22.3%
Troços rígidos Vigas + Pilares 5.5% 4.9% 8.7% 8.9% 7.0%
MEF - - - - -
Quadro 3.17 - Comparação de resultados da modelação com troços rígidos, e parede em MEF somente para
o programa A, para a viga do piso 5.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.33
∆M1 ∆M2 ∆M3 ∆M4 ∆Mm Representação
Troços rígidos nas Vigas 3.9% 5.4% 7.9% 4.3% 5.4%
Programa A com Parede emMEF 5.6% 7.2% 46.6% 34.6% 23.5%
Troços rígidos Vigas + Pilares 5.7% 6.2% 6.3% 5.9% 6.0%
M.E.F. - - - - -
Quadro 3.18- Comparação de resultados da modelação com troços rígidos, e parede em MEF somente para o
programa A, para a viga do piso 3.
∆M1 ∆M2 ∆M3 ∆M4 ∆Mm Representação
Troços rígidos nas Vigas 3.9% 4.5% 8.7% 2.8% 5.0%Programa A com Parede emMEF
4.9% 5.2% 31.3% 34.0% 18.9%
Troços rígidos Vigas + Pilares 4.9% 5.1% 8.5% 4.2% 5.7%
MEF - - - - -
Quadro 3.19 - Comparação de resultados da modelação com troços rígidos, e parede em MEF somente para
o programa A, para a viga do piso 1.
Da análise da viga do primeiro piso do pórtico quatro, pode verificar-se que o programa A
apresenta desvios menores que os programas B e C.
Pode observar-se ainda que, de uma forma generalizada, o programa A, com a parede
modelada em elementos finitos, revela-se insatisfatório nos tramos que ligam a essa mesma
parede, tendo como consequência um desvio médio relativamente ao programa de
referência MEF , bastante elevado.
A utilização de troços rígidos nas vigas melhora bastante os resultados dos programas B e
C.
Pode concluir-se que a utilização de troços rígidos nos pilares não se revela eficiente. Por
outro lado, a utilização simultânea de troços de rigidez nas vigas e nos pilares não se afasta
muito da modelação de troços rígidos somente nas vigas.
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Capítulo 3
3.34
Analisando os resultados da viga do último piso do pórtico 4, observa-se que o
comportamento geral dos resultados mantém-se em conformidade com o que sucede nos
pisos 1 e 3.
Assim, o diagrama de momentos flectores do programa de referência MEF encontra-se
entre o resultado do progama A e os resultados dos programas B e C.
Pode observar-se também que a modelação do programa A é mais eficiente nos tramos que
não ligam à parede, do que nos tramos que a ela ligam. De forma inversa, os programas B
e C oferecem melhores resultados quando se analisam tramos cuja rigidez dos elementos
verticais não é muito elevada.
Pode constatar-se que o uso de troços rígidos nas vigas e nos pilares em simultâneo
aproxima os resultados da modelação do programa A.
3.6.2. Análise de resultados para uma solicitação horizontal.
Os exemplos propostos foram solicitados nos correspondentes nós da esquerda em cada piso, a uma força horizontal de 60kN resultante da acção duma carga distribuída de
100kN/m numa viga de 0.60m de altura (figuras 3.29 a 3.31). Esta solicitação pretende
testar o comportamento dos vários tipos de modelações em comparação com os resultados
provenientes do programa de elementos finitos- MEF .
100kN/m
60kN
0.60
60kN
Figura 3.29 – Carregamento horizontal para o MEF. Figura 3.30 – Carregamento horizontal
para os pórticos de barras
(programas B e C).
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.35
60kN
Figura 3.31 – Carregamento horizontal para o
programa A.
3.6.2.1. Exemplo 1.
Na figura 3.32 apresentam-se os diagramas de momentos flectores correspondentes ao
exemplo 1. No quadro 3.20 representam-se os momentos flectores à esquerda e à direita
para o carregamento horizontal.
5.400.30
2.70
0.30
0.60
Figura 3.32 – Diagrama de momentos flectores na viga para os programas A, B, C e MEF.
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNmRepresentação
a) Programa A 45.1 - -45.1
b) ProgramaB 41.1 - -40.8
c) Programa C 41.1 - -40.8
d) M.E.F. 41.8 - -41.8
Quadro 3.20 – Momentos flectores na viga para os programas A, B, C e MEF.
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Capítulo 3
3.36
Na figura 3.33 e no quadro 3.21 observam-se os resultados correspondentes aos momentos
flectores que decorrem da modelação com troços rígidos.
2.70
5.400.30
0.30
0.60
Figura 3.33 – Comparação dos diagramas de momentos flectores do MEF com a modelação de troços
rígidos.
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNmRepresentação
d) M.E.F. 41.8 - -41.8
e) Troços Rígidos nas Vigas 41.4 - -41.1f) Troços Rígidos nos Pilares 45.1 - -44.7
g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares 45.3 - -45.0
Quadro 3.21 - Resultados da modelação com recurso a troços rígidos e MEF.
Me Mv Md ∆M
−
MEF
MEFe
M
MM
−
MEF
MEFe
M
MM
−
MEF
MEFe
M
MM
+
+
MEFd
MEFe
de
MM
∆M∆M
Programa A 7.9% - 7.9% 7.9%
Programa B -1.7% - -2.4% 2.0%
Programa C -1.7% - -2.4% 2.0%
Troços rígidos nas Vigas -1.0% - -1.7% 1.3%
Troços rígidos nos Pilares 7.9% - 6.9% 7.4%
Troços rígidos Vigas + Pilares 8.4% - 7.7% 8.0%
Quadro 3.22 - Comparação de resultados com MEF.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.37
Da análise do pórtico 1, sujeito a cargas horizontais, pode-se constatar que os programas B
e C ajustam-se ao programa de referência MEF , enquanto que o programa A apresenta já
um desvio significativo. Conclui-se, também, que o uso de troços rígidos não é eficiente.
Pode observar-se neste exemplo que o programa A possui rigidez axial infinita na
modelação das barras horizontais, uma vez que, para pilares iguais, o momento flector à
direita na viga é simétrico ao momento flector à esquerda, não existindo qualquer
diminuição de comprimento da viga por deformação axial da mesma quando esta é
solicitada de uma das extremidades por uma força horizontal.
3.6.2.2. Exemplo 2.
Apresentam-se, graficamente na figura 3.34 e numericamente no quadro 3.23, os
momentos flectores correspondentes à análise da viga do pórtico 3, para todos os
programas de cálculo automático.
5.401.00
2.70
1.00
0.60
Figura 3.34 – Diagrama de momentos flectores na viga para os programas A, B, C e MEF.
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNmRepresentação
a) Programa A 19.5 - -19.5
b) Programa B 14.7 - -13.9
c) Programa C 14.7 - -13.9
d) MEF 17.5 - -17.1
Quadro 3.23 - Diagramas de momentos flectores na viga para os programas A, B, C e MEF.
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Capítulo 3
3.38
5.401.00
0.60
1.00
2.70
Figura 3.35 – Comparação dos diagramas de momentos flectores do MEF com a modelação de troços
rígidos.
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNmRepresentação
d) MEF 17.5 - -17.1
e) Troços Rígidos nas Vigas 19.4 - -18.6
f) Troços Rígidos nos Pilares 15.2 - -14.3
g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares 20.2 - -19.4
Quadro 3. 24 - Resultados da modelação com recurso a troços rígidos e MEF.
Me Mv Md ∆M
−
MEF
MEFe
M
MM
−
MEF
MEFe
M
MM
−
MEF
MEFe
M
MM
+
+
MEFdMEFe
de
MM
∆M∆M
Programa A 11.4% - 14.0% 12.7%
Programa B -16.0% - -18.7% 17.1%
Programa C -16.0% - -18.7% 17.1%
Troços rígidos nas Vigas 10.9% - 8.8% 9.8%
Troços rígidos nos Pilares -13.1% - -16.4% 14.7%
Troços rígidos Vigas + Pilares 15.4% - 13.5% 14.5%
Quadro 3.25- Comparação de resultados com MEF.
Da análise do pórtico 2, em que os pilares possuem uma rigidez significativa, constata-se
que a não utilização de troços rígidos, tanto nas vigas como nos pilares, como em
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.39
simultâneo nas vigas e nos pilares, não se justifica. Assim sendo, a modelação mais
correcta é a do programa A.
3.6.2.3. Exemplo 3.
Na figura 3.36 encontram-se representados os diagramas de momentos flectores na viga
dos programas A, B, C e MEF . No quadro 3.26 encontram-se representados
numericamente os valores encontrados.
5.401.00
2.70
0.30
0.60
Figura 3.36 – Diagrama de momentos flectores na viga para os programas A, B, C e MEF.
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNmRepresentação
a) Programa A 25.6 - -8.0
b) ProgramaB 20.4 - -7.3
c) Programa C 20.4 - -7.3
d) M.E.F. 23.1 - -9.2
Quadro 3.26 - Diagramas de momentos flectores na viga para os programas A, B, C e MEF.
2.70
5.401.00
0.30
0.60
Figura 3.37 – Comparação dos diagramas de momentos flectores do MEF com a modelação de Troços
Rígidos.
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Capítulo 3
3.40
Na figura 3.37 efectua-se uma comparação dos diagramas de momentos flectores segundo
o Método dos Elementos Finitos MEF e a modelação por troços rígidos. Em termosnuméricos, apresentam-se os valores encontrados no quadro 3.27 para finalizar, no quadro
3.28 observa-se a comparação de resultados com os distintos programas de cálculo com o
MEF , analisando-se os distintos parâmetros de comparação, isto é, os desvios encontrados
nos momentos flectores.
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNmRepresentação
d) MEF 23.1 - -9.2
e) Troços Rígidos nas Vigas 24.8 - -7.5
f) Troços Rígidos nos Pilares 21.0 - -9.8
g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares 25.8 - -10.3
Quadro 3. 27 - Resultados da modelação com recurso a troços rígidos e MEF.
Me Mv Md ∆M
−
MEF
MEFe
MMM
−
MEF
MEFe
MMM
−
MEF
MEFe
MMM
++
MEFdMEFe
de
MM∆M∆M
Programa A 10.8% - -13.0% 11.5%
Programa B -11.7% - -20.7% 14.2%
Programa C -11.7% - -20.7% 14.2%
Troços rígidos nas Vigas 7.4% - -18.5% 10.5%
Troços rígidos nos Pilares -9.1% - 6.5% 8.4%
Troços rígidos Vigas + Pilares 11.7% - 12.0% 11.8%
Quadro 3.28 - Comparação de resultados com MEF.
Analisando os resultados para o exemplo 3, constata-se que a diferença de rigidez entre o
pilar da esquerda e o pilar da direita confirma as conclusões dos exemplos anteriores. A
modelação que melhor se ajusta ao MEF é a modelação do programa A, concluindo-se que
a modelação de troços rígidos não é aconselhável.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.41
3.6.2.4. Exemplo 4.
Neste último exemplo, pode-se observar que a deformabilidade axial das vigas não pode
ser desprezável. Por opção, a comparação numérica a apresentar será realizadacomparativamente com o programa de elementos finitos, dado este apresentar
deformabilidade axial ou não, função da modelação do programa de comparação a adoptar.
A análise gráfica apresentada refere-se somente ao resultados obtidos pelo programa MEF
com deformabilidade axial nas vigas, não sobrecarregando demasiado as figuras ilustradas.
Com o objectivo de analisar os resultados das várias modelações utilizadas procedeu-se à
comparação de desvios médios em relação à modelação exacta MEF para cada tramo (∆M i)
bem como à média destes desvios (∆M m).
MEF DiMEF Ei
Di Eii M M
M M M
+
∆+∆=∆
sendo:
i – Tramo.
EsquerdaMEF ograma Ei M M M −=∆ Pr
DireitaMEF ograma Di M M M −=∆ Pr
Nas figuras 3.38, 3.39 e 3.40 apresentam-se os diagramas de momentos flectores para os
programas comerciais correspondentes às vigas dos pisos cinco, três e um,
respectivamente.
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Capítulo 3
3.42
V5.1 V5.2 V5.3 V5.4
Figura 3.38 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B, C e MEF, no piso 5.
V3.1 V3.2 V3.3 V3.4
Figura 3.39 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B, C e MEF, no piso 3.
0.6
3 .
7
5.2
0 .
6
V1.1
1.0 5.1 0.8 4.1
V1.2 V1.3
2.0 4.7 0.6
V1.4
Figura 3.40 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B, C e MEF, no piso 1.
Nos quadros 3.29, 3.30 e 3.31 visualizam-se as diferenças encontradas entre as modelações
comerciais e o MEF .
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.43
∆M1 ∆M2 ∆M3 ∆M4 ∆Mm Representação
Programa A 2.0% 16.8% 4.2% 6.3% 7.3%
Programa B 27.6% 51.1% 21.9% 25.8% 31.6%
Programa C 27.6% 51.1% 21.9% 25.8% 31.6%
M.E.F. - - - - -
Quadro 3.29 - Comparação de resultados dos programas comerciais com MEF para a viga do piso 5.
∆M1 ∆M2 ∆M3 ∆M4 ∆Mm Representação
Programa A 1.9% 0.0% 4.2% 1.3% 1.5%
Programa B 5.2% 15.1% 11.4% 10.4% 7.9%
Programa C 5.2% 15.1% 11.4% 10.4% 7.9%
M.E.F. - - - - -
Quadro 3.30 - Comparação de resultados dos programas comerciais com MEF para a viga do piso 3.
∆M1 ∆M2 ∆M3 ∆M4 ∆Mm Representação
Programa A 5.3% 3.8% 7.5% 5.4% 5.5%
Programa B 6.0% 9.7% 9.2% 8.4% 8.3%
Programa C 6.0% 9.7% 9.2% 8.4% 8.3%M.E.F. - - - - -
Quadro 3.31- Comparação de resultados dos programas comerciais com MEF para a viga do piso 1.
Nas figuras que se seguem (3.41, 3.42, 3.43) explicitam-se os diagramas de momentos
flectores nas vigas dos pisos cinco, três e um, para modelações de troços rígidos e do
programa A com parede em MEF .
V5.1 V5.2 V5.3 V5.4
Figura 3.41 – Diagramas de momentos flectores devidos às modelações; troços rígidos nas vigas, nas
vigas e nos pilares e parede em MEF no programa A, para o piso 5.
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Capítulo 3
3.44
V3.1 V3.2 V3.3 V3.4
Figura 3.42 – Diagramas de momentos flectores devidos às modelações; troços rígidos nas vigas, nas
vigas e nos pilares e parede em MEF no programa A, para o piso 3.
0.6 5.2
3 .
7
0 .
6
V1.1
1.0 5.1 0.8 4.1
V1.2 V1.3
2.0 4.7 0.6
V1.4
Figura 3.43 – Diagramas de momentos flectores devidos às modelações; troços rígidos nas vigas, nas
vigas e nos pilares e parede em MEF no programa A, para o piso 1.
∆M1 ∆M2 ∆M3 ∆M4 ∆Mm Representação
Troços rígidos nas Vigas 9.3% 33.5% 6.7% 5.7% 13.8%
Prog. A com Parede em MEF 51.6% 44.3% 37.0% 30.5% 40.8%
Troços rígidos Vigas + Pilares 3.6% 1.1% 2.5% 3.6% 2.7%
MEF - - - - -
Quadro 3.32 - Comparação de resultados da modelação com troços rígidos, e parede em MEF no programa
A para a viga do piso 5.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.45
∆M1 ∆M2 ∆M3 ∆M4 ∆Mm Representação
Troços rígidos nas Vigas 1.7% 2.5% 6.6% 2.6% 2.7%
Prog. A com Parede em MEF 50.1% 54.3% 32.4% 28.2% 34.2%
Troços rígidos Vigas + Pilares 0.9% 5.5% 6.0% 1.0% 3.1%
MEF - - - - -
Quadro 3.33- Comparação de resultados da modelação com troços rígidos, e parede em MEF no programa A
para a viga do piso 3.
∆M1 ∆M2 ∆M3 ∆M4 ∆Mm Representação
Troços rígidos nas Vigas 2.0% 1.3% 8.6% 3.2% 3.8%
Prog. A com Parede em MEF 62.6% 62.9% 33.4% 32.9% 48.0%
Troços rígidos Vigas + Pilares 5.0% 3.5% 9.2% 4.5% 5.6%
MEF - - - - -
Quadro 3.34- Comparação de resultados da modelação com troços rígidos, e parede em MEF no programa A
para a viga do piso 1.
Na presença de um pórtico mais complexo, exemplo 4, observa-se que o programa A fornece melhores resultados que os programas B e C. No entanto, as maiores diferenças
encontram-se no piso cinco (último piso).
Importa referir que a utilização de troços rígidos é aceitável nas vigas, assim como nas
vigas e pilares em simultâneo. No entanto, o uso da parede em elementos finitos por parte
do programa A revela-se bastante insuficiente.
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Capítulo 3
3.46
3.7. Conclusões
– Para a solicitação vertical, a modelação do programa A é, de um modogeral, mais consistente que as restantes, ainda que o desvio relativamente
aos elementos finitos seja no sentido de momentos flectores negativos mais
elevados (rigidez excessiva dos pilares).
– O uso de troços rígidos nas barras por parte dos programas B e C é bastante
sensível a problemas numéricos. Sobretudo quando o troço rígido é muito
curto, os erros numéricos podem ultrapassar os 10%, mantendo-se
superiores a 5% quando é utilizada a dupla precisão. Para modelar troços
rígidos recorreu-se à utilização de programas que possuam este tipo de
barra, com a respectiva matriz de rigidez, e não a qualquer artifício que
recorra a valores fictícios para a geometria das barras.
– O programaA usa paredes de elementos finitos que manifestaram um mau
comportamento. Após troca de informação com os representantes do
programa A, a razão pela qual ocorre este fenómeno consiste na modelaçãode uma viga com 25cm de altura entre paredes de dois pisos consecutivos.
Assim, a viga do pórtico não se encontra ligada à parede, mas sim a esta
viga. Daí o grau de encastramento ficar reduzido. Esta situação surge como
consequência da necessidade de estabelecer uma metodologia de modelação
generalizada de diversas formas de paredes. Segundo os mesmos
representantes, a metodologia construtiva de paredes em betão armado, com
betonagens interrompidas ao nível dos pisos, não confere às vigas
encastramentos, logo, a metodologia por eles adoptada gera armaduras
inferiores nas vigas com maior área de aço, estando assim a favor da
segurança.
– Para solicitação horizontal, os programas B e C parecem demonstrar uma
melhor aproximação ao MEF , para pórticos de uma só viga. Mas, para o
pórtico mais complexo, os resultados invertem-se, sendo o programa A o
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas
3.47
que melhor se comporta. Dada a complexidade do resultado encontrado,
optou-se por não apresentar qualquer género de explicação.
– É visível na utilização do programa A, para solicitação horizontal, que estemodela as vigas como infinitamente rígidas axialmente. Esta situação é
apontada como hipótese de cálculo, pois segundo os representantes deste
programa, a normal utilização de lajes em estruturas porticadas assim o
demonstra.
– Os momentos flectores negativos máximos fornecidos pelos programas não
foram utilizados como medida de comparação, uma vez que o programa A
não utiliza o mesmo critério que os programas B e C para a determinação
dos mesmos. Assim sendo, foram comparados os momentos flectores
negativos à face dos pilares, o que limita as conclusões deste estudo.
– Os programasB e C não fornecem os momentos flectores positivos
máximos para carregamento vertical, fornecem sim o máximo momento
flector positivo para um dado nível de seccionamento da viga. Esta aspecto
deverá ser corrigido, uma vez que não apresenta qualquer complexidadetécnica.
3.1. Introdução.............................................................................................................. 1
3.2. Tipos de Modelação ..............................................................................................1
3.3. Regulamentação..................................................................................................... 5
3.4. Considerações Preliminares................................................................................. 10
3.5. Exemplos a Analisar............................................................................................ 15
3.6. Análise dos Resultados........................................................................................ 19
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CAPÍTULO 4
Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de
Estruturas Tridimensionais
4.1. Introdução
Os diferentes tipos de modelações utilizados para as lajes pelos vários programas
resultam em carregamentos diferentes para as vigas.
O método simplificado mais utilizado para a distribuição de cargas das lajes para as
vigas é o das “áreas de influência”. Este método pode ser justificado através da análise
de lajes pelo cálculo plástico por linhas de rotura. No entanto, nem sempre esta
justificação está presente no utilizador; por um lado o método das linhas de rotura não é
universal na formação de todos os engenheiros civis, por outro, os projectistas não se
questionam no seu dia a dia sobre as simplificações inerentes à aplicação do método das
“áreas de influência”.
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Capítulo 4
4.2
Neste contexto surgem programas comerciais que, permitindo uma modelação
tridimensional com as lajes incluídas, fazem uma discretização espacial da estrutura. É
então que surge uma questão que normalmente fica sem resposta:
“A modelação de lajes usando elementos planos ou de grelha conduz a esforços nas
vigas substancialmente menores que os obtidos pelo cálculo plano de estruturas. Serão
esses esforços fiáveis?”
A resposta a esta questão é o objectivo fundamental deste capítulo. Neste capítulo serão
analisadas duas estruturas simples, correntes e de um só piso, através dos programas
comerciais em estudo e através de uma modelação por MEF tridimensional com
elementos de volume.
Neste contexto, descrevem-se em seguida as formas adoptadas por cada um dos
programas para a modelação tridimensional. Todos os programas comerciais adoptam
elementos de viga para as peças lineares, no entanto as lajes são modeladas de forma
diferente.
O Programa A modela as lajes maciças com recurso a elementos finitos com geração
automática da malha.
Por seu lado, o programa B não modela as lajes, mas faz a distribuição automática das
cargas das lajes para as vigas através de áreas de influência, sem qualquer correcção de
continuidade.
Para concluir, o programa C utiliza elementos de grelha para modelar as lajes maciças.
Uma vez que as lajes são modeladas através de métodos diferentes nos diversos
programas torna-se pertinente comparar as diferenças nos carregamentos nas vigas que
estas formas de abordagem das lajes impõem.
A comparação de resultados será efectuada através da apresentação da forma do
carregamento na viga, da forma do diagrama de esforço transverso, sem esquecer a
forma do diagrama de momentos flectores. Por outro lado, serão comparados os
esforços com importância fundamental no dimensionamento. Assim, podemos mesmo
considerar este capítulo como uma extensão tridimensional do Capítulo 3.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais
4.3
4.2. Apresentação das estruturas a analisar
Como exemplos de referência foram utilizadas estruturas simples, simétricas e de um só
piso. Para o cálculo das estruturas foi adoptado um módulo de elasticidade E=29GPa e
um coeficiente de Poisson ν=0.15.
A estrutura 1, constituída apenas por um painel de laje maciça, é apresentada na Figura
4.1. Os pilares possuem secção [0.300.30m2], as vigas [0.300.60m2] e as lajes
possuem espessura de 0.20m. Os pilares, para efeitos de cálculo, foram considerados
encastrados na fundação.
6.0
P3
P1
6.0
PISO 1 [4.00m]
P2
LM
P4
Figura 4.1 – Planta estrutural e perspectiva da estrutura 1.
No Quadro 4.1 enunciam-se as cargas adoptadas no cálculo da estrutura 1.
Revestimentos
KN/m2
Q
KN/m2
Paredes Ext.
KN/m
Piso 1 3.00 2.00 0.00
Quadro 4.1 – Carregamento da estrutura 1.
Para a estrutura 1, será analisada apenas uma viga V1, uma vez que as vigas desta
estrutura são todas iguais.
A estrutura 2 possui nove módulos de laje conforme se apresenta na Figura 4.2. Os
pilares possuem secção [0.300.30m2], as vigas [0.300.60m
2] e as lajes possuem
espessura de 0.20m. Também neste caso para efeitos de cálculo, os pilares foram
considerados encastrados na fundação.
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Capítulo 4
4.4
6.0
P5
P1
6.0
P2
LM
P6
P3
LM
P7
P4
LM
P8
6.0 5.4
PISO 1 [4.00m]
P9
LM
P10
LM
P11
LM
P12
P13
LM
P14
LM
P15
LM
P16
6.0
5.4
Figura 4.2 – Planta estrutural e perspectiva da estrutura 2.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais
4.5
No Quadro 4.2 estão enunciadas as cargas adoptadas no cálculo da estrutura 2.
Revestimentos
KN/m2
Q
KN/m2
Paredes Ext.
KN/m
Piso 1 3.00 2.00 0.00
Quadro 4.2 – Carregamento da estrutura 2.
Da estrutura 2 serão analisadas duas vigas, uma exterior V1 e uma interior V2,
representativas de toda a estrutura.
4.3. Definição do tipo de modelação a utilizar pelo Método dos
Elementos Finitos (MEF)
Com o intuito de se obter um resultado que possa ser utilizado como objecto de
comparação entre os resultados provenientes dos vários programas, foi adoptado o
cálculo das estruturas em elementos finitos. As estruturas foram modeladas com recurso
a elementos tridimensionais, “bricks” de oito nós denominados HX24L (Figura 4.3).
Atendendo ao fraco desempenho deste género de elementos, optou-se por um nível de
discretização elevado recorrendo a elementos de 10cm de aresta. Posteriormente
verificou-se a convergência dos resultados provenientes desta discretização. A
utilização de elementos lineares de oito nós, ao invés de elementos quadráticos de vinte
nós, deveu-se a uma maior facilidade de pós-processamento dos resultados na obtenção
de forças nodais. Os resultados provenientes da modelação em elementos finitos serão
designados por MEF .
1
2
3
4
8
6
5 7
ζ
η
ξ
Figura 4.3 – Elemento tridimensional de 8 nós do programa DIANA denominado HX24L.
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Capítulo 4
4.6
4.4. Cálculo de uma viga da estrutura 1
4.4.1. Diagramas de carregamento
Nas Figuras 4.4, 4.5 e 4.6 apresentam-se os diagramas de carregamento da viga V1 para
os programas A, B e C respectivamente. Para que seja possível comparar os resultados
provenientes dos vários programas com o cálculo em MEF , os resultados provenientes
desta análise também serão representados.
O diagrama de carregamento na viga foi obtido através das forças nodais ao longo dos
elementos comuns à viga e à laje. O programa de elementos finitos utilizado permite
determinar, para uma dada direcção (neste caso a vertical ), o carregamento que um
grupo de elementos finitos transporta para um outro grupo de elementos finitos. Assim,foram isolados os nós pertencentes simultaneamente à viga e à laje, e determinadas as
forças nodais que a laje descarrega na viga através dos nós comuns. Posteriormente, os
resultados foram condensados para todas as ordenadas locais ao longo da barra viga,
uma vez que existem vários nós para uma mesma ordenada. Tendo em atenção que as
forças assim determinadas são forças concentradas, foram transformadas em forças
distribuídas para uma largura de influência, largura essa função do tipo de elemento e da
discretização da malha de elementos finitos.
Em seguida é representada, na Figura 4.4, a comparação entre carregamentos para o
programa A e para o MEF .
0.30 5.40
0.60
3.70
0.30
Prog. A MEF
Figura 4.4 – Diagrama de carregamento da viga V1 – Estrutura 1 pelo programa A.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais
4.7
Na Figura 4.5 encontra-se representada a comparação dos diagramas de carregamento
da viga V1, obtidos com o programa B, e o programa de referência de elementos finitos
– MEF .
0.30 5.40
0.60
3.70
0.30
Prog. B MEF
Figura 4.5 – Diagrama de carregamento da viga V1 – Estrutura 1 pelo programa B.
Na sequência das comparações de carregamentos, efectuadas entre os programas A e B
supracitados com o MEF , cabe agora proceder à comparação de carregamentos na viga
V1 da estrutura 1 entre o programa C e o MEF . Esta comparação é apresentada na
Figura 4.6.
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Capítulo 4
4.8
0.30 5.40
0.60
3.70
0.30
Prog. C MEF
Figura 4.6 – Diagrama de carregamento da viga V1 – Estrutura 1 pelo programa C.
4.4.2. Diagramas de Esforço Transverso
Nas Figuras 4.7, 4.8 e 4.9 são efectuadas comparações de diagramas de esforço
transverso para a modelação da estrutura 1, através dos vários programas de cálculo
automático em estudo, com os resultados provenientes de uma análise por elementos
finitos – MEF .
O diagrama de esforço transverso apresentado como diagrama de elementos finitos
MEF, foi obtido através da integração do diagrama de carregamento ao longo da barra,
anteriormente referido na secção 4.4.1. Quando existe simetria da estrutura não basta
proceder àquela integração sabendo que os esforços transversos nos extremos sãosimétricos. Quando tal não acontece, o esforço transverso nas extremidades da viga é
obtido a partir do esforço axial dos pilares.
Na Figura 4.7 encontra-se representada a comparação entre o diagrama de esforço
transverso para a viga V1 da estrutura 1, calculada pelo programa A e pelo programa de
elementos finitos – MEF .
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais
4.9
0.30 5.40
0.60
3.70
0.30
Prog. A MEF
Figura 4.7 – Diagrama de esforço transverso da viga V1 – Estrutura 1 pelo programa A.
Na Figura 4.8 comparam-se os diagramas de esforço transverso calculados através do
programa B e os obtidos a partir do MEF .
0.30 5.40
0.60
3.70
0.30
Prog. B MEF
Figura 4.8 – Diagrama de esforço transverso da viga V1 – Estrutura 1 pelo programa B.
Para terminar a comparação de esforços transversos da estrutura 1, apresentam-se na
Figura 4.9 os diagramas de esforço transverso do programa C e do programa de
elementos finitos – MEF .
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Capítulo 4
4.10
0.30 5.40
0.60
3.70
0.30
Prog. C MEF
Figura 4.9 – Diagrama de esforço transverso da viga V1 – Estrutura 1 pelo programa C.
4.4.3. Diagramas de Momentos Flectores
Tendo consciência da importância significativa dos diagramas de momentos flectores no
dimensionamento estrutural das vigas, a sua análise foi parte significativa deste estudo.
Assim, nas Figuras 4.10, 4.11 e 4.12 são feitas comparações entre os diagramas demomentos flectores dos programas em estudo com o diagrama de momentos flectores
resultante do MEF .
O diagrama de momentos flectores, proveniente do programa de elemento finitos MEF ,
foi obtido através da integração do diagrama de esforço transverso ao longo da barra
viga, já referida na secção 4.4.2. No entanto, foi necessário conhecer o momento flector
num dado ponto do diagrama para que se levantasse a indeterminação da integração.
Para tal foi efectuada uma outra integração, mas agora do diagrama de tensões normais
na secção de meio vão, obtendo-se assim o momento flector nesse local.
Na figura seguinte, Figura 4.10, é possível observar a influência que o carregamento
produz no diagrama de momentos flectores da viga V1, quando este é calculado pelo
programa A.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais
4.11
0.30 5.40
0.60
3.70
0.30
Prog. A MEF
Figura 4.10 – Diagrama de momentos flectores para a viga V1 – Estrutura 1 pelo programa A.
Analisando a Figura 4.11 é possível observar a comparação do diagrama de momentos
flectores para o programa A e para o MEF .
0.30 5.40
0.60
3.70
0.30
Prog. B MEF
Figura 4.11 – Diagrama de momentos flectores para a viga V1 – Estrutura 1 pelo programa B.
Para terminar a comparação dos diagramas de momentos flectores da viga V1 da
estrutura 1, apresenta-se em seguida os diagramas de momentos flectores do programa
C e do MEF .
0.30 5.40
0.60
3.70
0.30
Prog. C MEF
Figura 4.12 – Diagrama de momentos flectores para a viga V1 – Estrutura 1 pelo programa C.
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Capítulo 4
4.12
4.4.4. Comparação de Resultados
Com o objectivo de se obter uma melhor percepção das diferenças de resultados
provenientes dos vários programas em análise, optou-se por apresentar, em paralelo
com os resultados gráficos dos vários esforços nas vigas, os resultados numéricos nos pontos significativos dos diagramas, i.e., a meio vão e nos apoios para o diagrama de
momentos flectores, e nos apoios para os diagramas de esforço transverso.
Nos Quadros 4.3, 4.4 e 4.5 apresentam-se as comparações entre os resultados dos vários
programas e os resultados provenientes do MEF para os momentos flectores e para o
esforço transverso.
No quadro seguinte, Quadro 4.3, efectua-se uma comparação de resultados entre o programa A e o programa de elementos finitos, para a viga V1 da estrutura 1.
Estrutura – Viga 1
Me
[kNm]
Mv
[kNm]
Md
[kNm]
Ve
[kN]
Vd
[kN]
Programa A 3.44 85.58 3.44 52.07 -52.07
MEF -24.32 47.00 -24.32 51.31 -51.31
Quadro 4.3 – Esforços para a viga V1 recorrendo ao cálculo no programa A.
Através da análise do diagrama de momentos flectores podemos verificar duas vertentes
distintas; por um lado existe uma sub-avaliação da rigidez dos pilares por parte do
programa A, e por outro, o andamento do diagrama de momentos flectores é maisgravoso no programa A que no MEF , pelo facto deste concentrar menos carregamento
no vão. Assim, é possível observar uma variação de 82.1% do momento flector no vão
para o programa A relativamente ao MEF . Junto ao apoio, o momento flector sofre uma
variação de 114.14% relativamente ao MEF . De uma forma global, o momento flector
isostático do MEF é 15.2% menor que o do programa A.
O quadro seguinte, Quadro 4.4, apresenta a comparação de resultados entre o MEF e o
programa B.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais
4.13
Estrutura – Viga 1
Me
[kNm]
Mv
[kNm]
Md
[kNm]
Ve
[kN]
Vd
[kN]
Programa B -8.81 78.67 -8.81 52.65 -52.65
MEF -24.32 47.00 -24.32 51.31 -51.31
Quadro 4.4 – Esforços para a viga V1 recorrendo ao cálculo no programa B.
Podemos depreender da análise de resultados provenientes do programa B que, no que
diz respeito ao carregamento, este em nada se assemelha ao proveniente do programa de
referência em elementos finitos, MEF . Neste caso, o diagrama de carregamento do
programa B consiste em dois trapézios para uma qualquer viga, independentemente da
sua rigidez no pórtico a que pertence. Analisando os resultados provenientes do MEF
podemos constatar que a carga em questão mais se aproxima de uma carga
uniformemente distribuída que de uma forma trapezoidal. Esta situação tem como
resultado uma forte variação no diagrama de momentos flectores, sendo o momento
flector isostático significativamente afectado. A forma do diagrama de esforço
transverso também sofre importante influência. O diagrama de esforço transverso
aproxima-se de uma dupla parábola enquanto que, através dos elementos finitos, o
diagrama é praticamente recto.
Assim, o momento flector isostático através do programa B é 22.7% superior ao do
MEF. Existe também uma translação do diagrama de momentos flectores resultantes do
programa B relativamente ao MEF , no sentido dos momentos flectores positivos. Assim
sendo, o momento flector positivo calculado pelo programa B a meio vão é 67.4%
superior ao momento flector do MEF .
No Quadro 4.5 surgem representados os momentos flectores resultantes da análise de
uma viga da estrutura 1, através do programa C e dos elementos finitos MEF .
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Capítulo 4
4.14
Estrutura – Viga 1
Me
[kNm]
Mv
[kNm]
Md
[kNm]
Ve
[kN]
Vd
[kN]
Programa C 0.00* 78.60 0.00 51.60* -51.60
MEF -24.32 47.00 -24.32 51.31 -51.31
Quadro 4.5 – Esforços para a viga V1 recorrendo ao cálculo no programa C.
Analisando os resultados do programa C, podemos observar que, no que diz respeito ao
carregamento, a modelação adoptada por este programa para a laje, através de
elementos de grelha, fornece resultados similares aos do programa A.
A análise de resultados, tanto ao nível de esforço transverso como ao nível de
carregamento, evidencia a modelação por grelha da laje.
Pode observar-se que o momento flector isostático obtidos através do programa C é
10.21% superior ao momento flector isostático do MEF . A variação entre o momento
flector positivo máximo do MEF e do programa C é de 82.09%.
4.5. Cálculo de uma viga exterior da estrutura 2
4.5.1. Diagramas de carregamento
Nas Figuras 4.13, 4.14 e 4.15 apresentam-se os diagramas de carregamento da viga V1
da estrutura 2 para os vários programas em análise, bem como para o programa de
elementos finitos MEF .
* Este resultado para o momento negativo do programa C resulta do cálculo do momento à face do pilar,que por coincidência assume o valor 0.00 kNm.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais
4.15
4.00
MEF Prog. A
5.70 5.70 5.70
Figura 4.13 – Diagrama de carregamento para a viga V1 – Estrutura 2 pelo programa A.
5.70
4.00
5.70 5.70
Prog. B MEF
Figura 4.14 – Diagrama de carregamento para a viga V1 – Estrutura 2 pelo programa B.
4.00
MEF Prog. C
5.70 5.70 5.70
Figura 4.15 – Diagrama de carregamento para a viga V1 – Estrutura 2 pelo programa C.
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Capítulo 4
4.16
4.5.2. Diagramas de Esforço Transverso
Nas Figuras 4.16, 4.17 e 4.18 estão representados os diagramas de esforço transverso da
viga V1 para o cálculo através dos vários programas em estudo, bem como para o
programa de elementos finitos MEF .
5.70
4.00
5.70 5.70
MEF Prog. A
Figura 4.16 – Diagrama de esforço transverso para a viga V1 – Estrutura 2 pelo programa A.
4.00
MEF Prog. B
5.70 5.70 5.70
Figura 4.17 – Diagrama de esforço transverso para a viga V1 – Estrutura 2 pelo programa B.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais
4.17
4.00
MEF Prog. C
5.70 5.70 5.70
Figura 4.18 – Diagrama de esforço transverso para a viga V1 – Estrutura 2 pelo programa C.
4.5.3. Diagramas de Momentos Flectores
Pode observar-se nas figuras que se seguem, Figuras 4.19, 4.20 e 4.21, a comparação
dos diagramas de momentos flectores resultantes do cálculo nos programas A, B e C e
os resultados nos elementos finitos – MEF .
5.70
4.00
5.70 5.70
MEF Prog. A
Figura 4.19 – Diagrama de momentos flectores para a viga V1 – Estrutura 2 pelo programa A.
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Capítulo 4
4.18
4.00
MEF Prog. B
5.70 5.70 5.70
Figura 4.20 – Diagrama de momentos flectores para a viga V1 – Estrutura 2 pelo programa B.
4.00
MEF Prog. C
5.70 5.70 5.70
Figura 4.21 – Diagrama de momentos flectores para a viga V1 – Estrutura 2 pelo programa C.
4.5.4. Comparação de Resultados
Nos Quadros 4.6, 4.7 e 4.8 representam-se os resultados dos esforços relativos à viga V1
para os vários programas em estudo, bem como para o programa de elementos finitos
MEF .
No Quadro 4.6, apresentam-se os esforços representativos da viga exterior da estrutura
2.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais
4.19
Estrutura 2 – Viga 1–1º Tramo Estrutura 2 – Viga 1–2º Tramo
Me Mv Md Ve Vd Me Mv Md Ve Vd
[kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN] [kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN]
Programa A 4.45 49.26 -55.50 34.28 -57.95 -56.89 12.99 -56.89 46.78 -46.78
MEF -4.84 -32.75 -64.42 36.46 -55.30 -46.79 12.38 -46.79 41.36 -41.36
Quadro 4.6 – Esforços para a viga V1 através do cálculo no programa A.
No que concerne ao carregamento, é visível uma ligeira sobreavaliação da carga no
tramo central, provavelmente devida a uma deficiente quantificação do efeito de
continuidade num tramo exterior de laje.
Os diagramas de esforço transverso nos tramos de extremidade sofrem uma ligeira
rotação. Pode também observar-se que o mesmo diagrama no tramo interior possui umaligeira sobreavaliação do esforço transverso.
No 1º tramo é possível constatar um desvio do momento flector a meio vão
relativamente ao MEF de 50.41%. Quanto ao momento flector positivo no 2º tramo,
observa-se um desvio praticamente insignificante.
No que diz respeito ao esforço transverso, este experimenta desvios relativamente ao
MEF de 6.3% no 1º tramo e de 13.1% no segundo.
No Quadro 4.7, apresentam-se os esforços representativos da viga exterior da estrutura
2.
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Capítulo 4
4.20
Estrutura 2 – Viga 1–1º Tramo Estrutura 2 – Viga 1–2º Tramo
Me Mv Md Ve Vd Me Mv Md Ve Vd
[kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN] [kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN]Programa B -5.10 55.70 -61.89 42.13 -63.17 -60.40 53.40 -60.40 52.65 -52.65
MEF -4.84 32.75 -64.42 36.46 -55.30 -46.79 12.38 -46.79 41.36 -41.36
Quadr o 4.7 – Esforços para a viga V1 através do cálculo no programa B.
Analisando os diagramas de carregamento, pode observar-se uma inadequada
aproximação. Assim sendo, não é de estranhar a sobreavaliação que ocorre nos
diagramas de momentos flectores e de esforço transverso. É visível também uma
variação de 331.34% relativamente ao momento flector no meio vão do tramo interior.
No que respeita ao esforço transverso, são visíveis desvios de 15.5% para o 1º tramo e
de 26.0% para o 2º.
Estrutura 2 – Viga 1–1º Tramo Estrutura 2 – Viga 1–2º Tramo
Me Mv Md Ve Vd Me Mv Md Ve Vd
[kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN] [kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN]
Programa C -10.87 50.13 -60.20 35.07 -65.20 -58.73 13.27 -58.73 51.07 -51.07
M.E.F. -4.84 32.75 -64.42 36.46 -55.30 -46.79 12.38 -46.79 41.36 -41.36
Quadro 4.8 – Esforços para a viga V1 através do cálculo no programa C.
A modelação através do programa C apresenta resultados em tudo semelhantes aos do
programa A, tanto na forma dos diagramas, como nos desvios relativamente ao MEF .
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais
4.21
4.6. Cálculo de uma viga interior da estrutura 2
4.6.1. Diagramas de Carregamento
Nas Figuras 4.22, 4.23 e 4.24 apresentam-se os diagramas de carregamento da viga V2
da estrutura 2 para os vários programas, em comparação com os resultados provenientes
do MEF .
5.70
4.00
5.70 5.70
MEF Prog. A
Figura 4.22 – Diagrama de carregamento para a viga V2 – Estrutura 2 pelo programa A.
4.00
MEF Prog. B
5.70 5.70 5.70
Figura 4.23 – Diagrama de carregamento para a viga V2 – Estrutura 2 pelo programa B.
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Capítulo 4
4.22
4.00
MEF Prog. C
5.70 5.70 5.70
Figura 4.24 – Diagrama de carregamento para a viga V2 – Estrutura 2 pelo programa C.
4.6.2. Diagramas de Esforço Transverso
Nas Figuras 4.25, 4.26 e 4.27 representam-se os diagramas de esforço transverso na
viga V2 da estrutura 2 para os vários programas em estudo, bem como para o programa
de elementos finitos MEF .
5.70
4.00
5.70 5.70
MEF Prog. A
Figura 4.25 – Diagrama de esforço transverso para a viga V2 – Estrutura 2 pelo programa A.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais
4.23
4.00
MEF Prog. B
5.70 5.70 5.70
Figura 4.26 – Diagrama de esforço transverso para a viga V2 – Estrutura 2 pelo programa B.
5.70
4.00
Prog. C MEF
5.70 5.70
Figura 4.27 – Diagrama de esforço transverso para a viga V2 – Estrutura 2 pelo programa C.
4.6.3. Diagramas de Momentos Flectores
Nas Figuras 4.28, 4.29 e 4.30 apresentam-se os diagramas de momentos flectores da
viga interior da estrutura 2 para os vários programas em análise, bem como para o
programa de elementos finitos – MEF .
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Capítulo 4
4.24
5.70
4.00
5.70 5.70
MEF Prog. A
Figura 4.28 – Diagrama de momentos flectores para a viga V2 – Estrutura 2 pelo programa A.
4.00
MEF Prog. B
5.70 5.70 5.70
Figura 4.29 – Diagrama de momentos flectores para a viga V2 – Estrutura 2 pelo programa B.
4.00
MEF Prog. C
5.70 5.70 5.70
Figura 4.30 – Diagrama de momentos flectores para a viga V2 – Estrutura 2 pelo programa C.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais
4.25
4.6.4. Comparação de Resultados
Nos Quadros 4.9, 4.10 e 4.11 apresentam-se os resultados do cálculo da viga 2, através
do programa de elementos finitos.
É visível nos resultados apresentados no Quadro 4.9, a comparação de esforços entre o
programa A e o programa de elementos MEF .
Estrutura 2 – Viga 2–1º Tramo Estrutura 2 – Viga 2–2º Tramo
Me Mv Md Ve Vd Me Mv Md Ve Vd
[kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN] [kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN]
Programa A 4.94 85.18 -106.18 61.75 -110.49 -108.93 28.88 -108.93 93.23 -93.23
MEF -38.10 52.62 -115.97 78.45 -108.03 -103.04 25.58 -103.04 91.59 -91.59
Quadro 4.9 – Esforços para a viga V2 através do cálculo no programa A.
Os resultados desta viga, pelo programa A, são muito semelhantes aos da viga exterior.
É no entanto possível observar desvios próximos aos do MEF . Por um lado, o momento
flector no vão do 1º tramo é 61.8% superior ao do MEF e, por outro, no vão do 2º tramo
é 12.9% superior ao do MEF .
Relativamente ao esforço transverso, podemos observar uma variação relativamente ao
MEF de 21.3% no 1º tramo, e de 18% no 2º. É de referir que o máximo desvio no 1º
tramo é contra a segurança.
No Quadro 4.10, continua-se a análise de esforços da viga V2, agora para o programa
B.
Estrutura 2 – Viga 2–1º Tramo Estrutura 2 – Viga 2–2º Tramo
Me Mv Md Ve Vd Me Mv Md Ve Vd
[kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN] [kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN]
Programa B -9.43 75.13 -111.60 74.23 -112.07 -108.90 94.05 -108.90 93.15 -93.15
MEF -38.10 52.62 -115.97 78.45 -108.03 -103.04 25.58 -103.04 91.59 -91.59
Quadro 4.10 – Esforços para a viga V2 através do cálculo no programa B.
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Capítulo 4
4.26
O programa B não identifica a continuidade da laje, nem possui qualquer efeito
correctivo. Assim, os desvios relativamente ao MEF serão menores que os da viga
exterior. A título de exemplo podemos observar desvios do momento flector no vão
relativamente ao MEF de 42.8% e de 267.7%, nos 1º e 2º tramos respectivamente.
Analisando o esforço transverso, podemos observar que este apresenta desvios
relativamente ao MEF de 5.7% no 1º tramo e de 1.7% no 2º.
Para terminar, podemos observar no Quadro 4.11 a comparação de resultados entre o
programa C e o programa de elementos finitos MEF .
Estrutura 2 – Viga 1–1º Tramo Estrutura 2 – Viga 1–2º Tramo
Me Mv Md Ve Vd Me Mv Md Ve Vd
[kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN] [kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN]
Programa C 1.80 85.20 -113.67 62.27 -118.53 -97.60 30.27 -97.60 97.73 -97.73
MEF -38.10 52.62 -115.97 78.45 -108.03 -103.04 25.58 -103.04 91.59 -91.59
Quadro 4.11 – Esforços para a viga V2 através do cálculo no programa C.
O programa C, tal como o programa A, identifica a partir da sua modelação a
continuidade entre painéis de lajes adjacentes. Assim, podemos a título de exemplo
apresentar os desvios dos momentos flectores no vão entre o programa C e o MEF . No
1º tramo o momento flector é 61.9% superior ao do MEF , no 2º tramo esse desvio é de
18.3%.
Para finalizar, podemos observar, relativamente ao esforço transverso, um desvio de
20.62% no 1º tramo, contra a segurança, e de 6.7% no 2º tramo.
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais
4.27
4.7. Desvios de esforços das vigas relativamente ao MEF
No Quadro 4.12 são apresentadas as variações dos esforços anteriormente citados naanálise de uma viga da estrutura 1.
Estrutura 1 – Viga 1–1º Tramo
∆Me ∆Mv ∆Md ∆Ve ∆Vd
Programa A -64% 67% -64% 3% 3%
Programa B -114% 82% -114% 2% 2%
Programa C -100% 67% -100% 1% 1%
Quadro 4.12 – Esforços para a viga V1
Nos Quadros 4.13 e 4.14 são apresentadas as variações dos esforços representativos das
vigas da estrutura 2, respectivamente viga V1 e viga V2.
Estrutura 2 – Viga 1–1º Tramo Estrutura 2 – Viga 1–2º Tramo
∆Me ∆Mv ∆Md ∆Ve ∆Vd ∆Me ∆Mv ∆Md ∆Ve ∆Vd
Programa A -192% -250% -14% -6% 5% 22% 5% 22% 13% 13%
Programa B 5% -270% -4% 16% 14% 29% 331% 29% 27% 27%
Programa C 125% -253% -7% -4% 18% 26% 7% 26% 23% 23%
Quadro 4.13 – Esforços para a viga V1
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Capítulo 4
4.28
Estrutura 2 – Viga 2–1º Tramo Estrutura 2 – Viga 2–2º Tramo
∆Me ∆Mv ∆Md ∆Ve ∆Vd ∆Me ∆Mv ∆Md ∆Ve ∆Vd
Programa A -113% 62% -8% -21% 2% 6% 13% 6% 2% 2%
Programa B -75% 43% -4% -5% 4% 6% 268% 6% 2% 2%
Programa C -105% 62% -2% -21% 10% -5% 18% -5% 7% 7%
Quadro 4.14 – Esforços para a viga V2
100)
Me ×=∆
MEFM
MEFM-e(M Variação do momento flector à esquerda relativamente ao momento flector
proveniente do MEF , para um dado tramo.
100)v
Mv ×=∆
MEFM
MEFM-(M Variação do momento flector no vão relativamente ao momento flector proveniente do MEF , para um dado tramo.
100)d
Md ×=∆
MEFM
MEFM-(M Variação do momento flector à direita relativamente ao momento flector proveniente do MEF , para um dado tramo.
100)Ve
Ve ×=∆
MEFV
MEFV-( Variação do esforço transverso à esquerda relativamente ao esforço
transverso proveniente do MEF , para um dado tramo.
100)V
Vd ×=∆
MEFV
MEFV-d( Variação do esforço transverso à direita relativamente ao esforço transverso
proveniente do MEF , para um dado tramo.
4.8. Conclusões
Este capítulo não pretende colocar em questão se o carregamento de uma viga qualquer
em análise é triangular, rectangular ou trapezoidal, ou sequer pretende questionar
qualquer um dos métodos em análise. Do ponto de vista do equilíbrio estático, todos os
programas parecem possuir um desempenho adequado (ver capítulo 2).
No entanto, perante os resultados obtidos, é importante constatar que o método de
distribuição de cargas uniformemente distribuídas através de áreas de influência,
genericamente utilizado, é um método simplificado e, por esse facto, sujeito a desvios
dos esforços reais/presentes na estrutura. Este método não considera a influência da
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Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais
4.29
rigidez das vigas, da continuidade entre panos de laje ou o grau de encastramento das
vigas.
Por outro lado, a análise de uma estrutura através das modelações barras/MEF -lajes e
barras/grelha apresentam melhores resultados que o método de análise simplificado. No
entanto, o desvio dos resultados destas modelações relativamente ao MEF
tridimensional com elementos tridimensionais não pode ser considerado insignificante
nos tramos extremos de uma estrutura.
Fica, de qualquer forma, apresentado um nível de variação de carregamento numa viga
em função da modelação adoptada, que deve estar presente na mente dos projectistas,
tanto na concepção estrutural, como no dimensionamento, uma vez que não é
independente do modelo de cálculo dos esforços.
Pode, de uma forma genérica, concluir-se que os programas analisados produzem
melhores resultados na análise de tramos interiores do que de tramos exteriores.
Eventualmente, seria justificável efectuar uma análise mais aprofundada sobre esta
problemática. No entanto, tal não foi possível no âmbito desta tese por condicionantes
que o limite de tempo impõe.
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CAPÍTULO 5
Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas
“Os sismos revelam sistematicamente os erros cometidos no projecto e na construção - até
mesmo os erros mais irrelevantes; é este aspecto da engenharia sísmica que a transforma
num desafio fascinante, e lhe confere um valor educacional muito para além dos seus
objectivos imediatos.”
Newmark e Rosenblueth (adaptado)1
1 Fundamentals of earthquake engineering, Prentice-Hall Inc.Englewood Cliffs, N. J., 1971.
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Capítulo 5
5.2
Breve Introdução
A concepção de estruturas económicas e atractivas que suportem sucessivamente forças
induzidas por movimentos severos dos solos é um desafio que exige o empenho da
engenharia estrutural, da arquitectura e da sísmica.
A filosofia geralmente aceite para o dimensionamento de estruturas sob acções sísmicas
apenas permite a ocorrência de danos secundários na estrutura quando esta é sujeita à
acção de um sismo moderado. Este nível de danos na estrutura está intimamente
relacionado com a necessidade de operacionalidade da estrutura a curto prazo após a acção
de um sismo. Esta operacionalidade é especialmente relevante em estruturas cuja utilizaçãoseja crítica imediatamente após a ocorrência de um sismo, nomeadamente em hospitais,
bombeiros, protecção civil, entre outros, bem como em estruturas onde os danos sejam
particularmente gravosos como sejam centrais nucleares, refinarias, barragens ou aterros
sanitários. O colapso da estrutura deve ser prevenido perante os sismos de intensidade com
probabilidade de ocorrência significativa quando a rotura ponha em risco vidas humanas.
Está implícito nesta filosofia de dimensionamento que considerações económicas levam a
que se permita um certo nível de risco bem como de dano estrutural em regiões sísmicasaltas. A questão será a de minimizar os custos totais (custos iniciais, custos de reparação
depois do sismo, perdas de vidas humanas, etc.), permitindo dano.
Admitindo-se a nível do projecto algum dano no decurso do sismo numa estrutura, é
possível obter-se no final danos inferiores aos que ocorreriam se não se permitisse
degradação estrutural alguma. A existência de dano permite a absorção de energia
limitando os níveis de máximo movimento oscilatório na estrutura. Sendo assim, a
estrutura resistente deve ser projectada de modo a que possua capacidade de absorção de
energia suficiente para que ocorra apenas dano limitado para condições sísmicas severas.
Em termos de projecto e concepção estrutural, estes meios de dissipação de energia têm
como exigências a ductilidade, a regularidade da estrutura e um bom compromisso entre a
massa e a rigidez.
A ductilidade dos diversos elementos de betão armado submetidos a elevadas
concentrações de tensões permite grandes deformações sem rotura frágil.
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Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas
5.3
A regularidade tanto, em planta como em altura, é tanto mais importante quanto maior for
a intensidade sísmica da zona em que se pretende construir, uma vez que permite a
distribuição de esforços de uma forma equilibrada por toda a estrutura.
A relação entre a massa e a rigidez da estrutura é influenciada pela escolha do esquema
estrutural a adoptar, para melhor responder à solicitação das forças de massa.
A análise sísmica é assim um ponto fundamental no cálculo estrutural de hoje. A não
consideração da acção sísmica no dimensionamento de estruturas é algo de impensável.
A regulamentação europeia afecta à acção sísmica, Eurocódigo 8 [EC893], aborda-a num
prisma mais abrangente que a regulamentação portuguesa. Podem destacar-se duas
vertentes da regulamentação existente de grande importância para os programas de cálculo
automático. Ao contrário do que acontece na regulamentação portuguesa o Eurocódigo 8
define:
- as modelações permitidas para uma dada estrutura em função da regularidade
desta. Assim a opção por uma modelação simplificada ou modal não pode ser
feita através de critérios subjectivos inerentes ao projectista;
- disposições construtivas de armaduras definidas em regulamentação.
É, assim, necessário analisar os algoritmos que cada programa utiliza no cálculo de
esforços sob o efeito de acções sísmicas.
O recurso aos programas de cálculo automático necessita, por parte dos utilizadores, de
conhecimentos acerca do seu funcionamento, bem como dos métodos subjacentes à sua
programação.
É importante referir que uma análise sísmica consciente de um dado projecto começa antes
do cálculo automático e não termina após esse mesmo cálculo. A concepção estrutural
assume particular relevância na fase anterior ao cálculo, com o recurso a análises
simplificadas. O processo só se concluí quando o projecto possui todos os detalhes
construtivos de ductilidade necessários ao funcionamento elasto-plástico previsto no
cálculo da estrutura, nomeadamente na adopção do coeficiente de comportamento. Sendo
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Capítulo 5
5.4
assim, o cálculo automático representa apenas um terço da análise sísmica de uma
estrutura.
5.1. Validação preliminar da rigidez adoptada
Uma vez que os manuais dos programas não são totalmente explícitos sobre a metodologia
utilizada no cálculo sísmico, decidiu-se efectuar uma análise prévia do tipo de modelação
incluída pelos programas nos seus algoritmos. Analisando cada programa será possível por
um lado validar alguns dos pressupostos inerentes ao cálculo sísmico e por outro tentar
corrigir qualquer situação que difira de programa para programa. Nesta secção pretende-severificar qual a rigidez e a massa adoptada pelos vários programas para o cálculo sísmico.
5.1.1. Análise do programa A
Uma vez que o programa A não refere o módulo de elasticidade do betão utilizado, nem o
permite alterar directamente, foi efectuado um teste simples para a sua aferição.
Optou-se por introduzir no programa A uma estrutura simples, constituída por dois pilares
e uma viga (Figura 5.1). Cada pilar é solicitado por uma carga vertical concentrada de
500KN . Os pilares possuem uma secção transversal [0.30x0.60], (Figura 5.1.a e Figura
5.1.b).
3.4
0.6
0.6 5.0 0.6
P2
V1 [0.30 X 0.60]
[0.30 X 0.60] [0.30 X 0.60]
P1
500 kN 500 kN
5.0
[0.30 X 2.00]
10.0
0.6 [0.30 X 0.60]
P1
500 kN
2.0
V1
[0.30 X 0.60]
P2
0.6
500 kN
a b
Figura 5.1 – Estrutura utilizada para aferir o módulo de elasticidade do programa A.
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Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas
5.5
Pelo princípio de Saint-Venant:
L
L
E ×=∆
σ (5.1)
sendo σ a tensão normal, L o comprimento da barra, ∆ L a variação do comprimento da
barra e E o módulo de elasticidade.
Uma vez calculadas as duas estruturas apresentadas na Figura 5.1, foram analisados os
deslocamentos verticais dos topos dos pilares. Os resultados obtidos levaram a que se
concluísse que o nó viga/pilar (Figura 5.2) é considerado como axialmente indeformável.
Assim sendo, só a barra pilar é deformável.
0.6
Viga
Pilar
500 kN
∆l
500 kN
Comprimentoinicial
Nó Viga-Pilar (Indeformável)
Figura 5.2 – Tipo de modelação de barra – pilar utilizada pelo programa A.
Constata-se assim que o programa A adopta os módulos de elasticidade indicados pelo
REBAP [REBAP86] para cada tipo de betão.
Para aferir a resposta sísmica de uma estrutura, considera-se um pórtico com dois pilares e
uma viga (
Figura 5.4). Pela teoria clássica da análise sísmica seria de esperar que este pórtico se
comportasse, no seu plano, como um oscilador de um grau de liberdade. Assim é possível
conhecer qual a rigidez associada ao cálculo da frequência de vibração.
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Capítulo 5
5.6
5.1.1.1. Cálculo da massa e da frequência utilizando o programa A
Através da análise dos resultados obtidos a partir do programa de cálculo automático
obtém-se um valor para o período de vibração T igual a 0.991830s. Introduzindo as
relações habituais, a frequência resulta:
T f
1= =1.0082Hz (5.2)
A massa da estrutura é igual a 105.61 Ton como se apresenta na Figura 5.3.
P2
V1
P1
500kN 500kN
P1
522.09
513.93
Massa =
[ ]105.61Ton.=9.81×2
522.09+513.93
×2
522.09
P2
513.93 N (kN) N (kN)
Figura 5.3 – Cálculo da massa da estrutura.
5.1.1.2. Cálculo da rigidez
O pórtico da figura foi solicitado a uma carga de 500kN com o propósito de aferir o
deslocamento ∆l que aquele sofreria para as várias hipóteses de cálculo no programa A.
3.4
0.6
0.3 6.0 0.3
P2
V1
[0.30 X 0.60]
[0.30 X 0.30] [0.30 X 0.30]
P1
500 kN
∆l
Figura 5.4 – Estrutura utilizada pelo programa A para aferir a rigidez e a frequência de um oscilador deum grau de liberdade.
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Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas
5.7
Os deslocamentos ∆l são apresentados no Quadro 5.1 para as várias hipóteses de cálculo
que o programa A permite efectuar e que se julgaram pertinentes apresentar:
– coeficiente de rigidez axial dos pilares β;
– coeficiente minorativo da rigidez de flexão dos pilares na última planta α;
– redistribuição de momentos flectores nas vigas e nas lajes.
∆l
(1)
Programa por defeito
Coeficiente de redução de rigidez à flexão dos pilares na última planta α = 0.3Coeficiente de rigidez axial nos pilares β = 2.0
0.11797 m
(2) Coeficiente de redução de rigidez à flexão dos pilares na última planta α = 1.0Coeficiente de rigidez axial nos pilares β = 1.0
0.061403 m
(3) Coeficiente de redução de rigidez à flexão dos pilares na última planta α = 0.3Coeficiente de rigidez axial nos pilares β = 1.0
0.11802 m
(4) Coeficiente de redução de rigidez à flexão dos pilares na última planta α = 1.0Coeficiente de rigidez axial nos pilares β = 2.0 0.061317 m
(5)
Programa por defeito considerando redistribuições de esforços
Coeficiente de redistribuição de momentos nas vigas = 0.15Coeficiente de redistribuição de momentos nas lajes = 0.25
0.11797 m
Quadro 5.1 – Deslocamentos horizontais máximos da estrutura para as várias hipóteses de cálculo propostas
pelo programa A.
Depreende-se do Quadro 5.1 que o programa A apresenta o mesmo deslocamento para assituações (1) e (5), o que permite concluir que o programa não usa a redistribuição de
esforços no cálculo de deslocamentos. Sendo assim, o programa calcula os deslocamentos
nodais, os esforços nodais e, utilizar no dimensionamento, o que representa o
procedimento habitual.
É importante salientar que a consideração de um coeficiente α=0.30, apesar de poder ser
útil do ponto de vista construtivo, conduzindo, em geral, a menos armadura e secções
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Capítulo 5
5.8
menores tanto na viga como no pilar do último piso, se trata de uma redistribuição não
regulamentar.
Podemos observar que, entre o deslocamento correspondente à hipótese 3 (o maior deslocamento) e o deslocamento correspondente à hipótese 4 (menor deslocamento), existe
uma variação de 48%. Entre a hipótese 1 (hipótese por defeito) e a hipótese 2 (cálculo
elástico sem coeficientes) existe uma variação semelhante à anterior (48%).
Considerando os resultados apresentados no Quadro 5.1 é possível calcular a rigidez
utilizada por defeito pelo programa. Assim, através da equação (5.3), e considerando ∆l
igual 0.11797m, obtém-se:
/m4238.366kN =0.11797
500=
∆l
F =k (5.3)
Conhecendo o valor da massa e da rigidez é possível calcular a frequência de vibração da
estrutura.
5.1.1.3. Cálculo da frequência
Utilizando a equação (5.4), obtém-se um valor para a frequência de vibração dado por:
105.61
4238.366 =
M
k ×
2π
1= f =1.0082Hz (5.4)
A frequência calculada em (5.2) é igual à calculada em (5.5). Daqui se observa que a
rigidez utilizada pelo programa A, para calcular a frequência própria da estrutura, é a
rigidez global do pórtico.
Importa referir que o uso do coeficiente majorador da rigidez axial dos pilares utilizado por
este programa, com o objectivo de minorar os efeitos do faseamento da construção, tem
interferência no cálculo da acção sísmica, com excessiva rigidez dos pilares na avaliação
da matriz de rigidez.
Outro aspecto pertinente consiste na substancial influência que o coeficiente de rigidez dos
pilares do último piso tem sobre a rigidez do edifício utilizada no cálculo sísmico. Este
efeito tem também implicações na torção de edifícios não regulares em altura, com a
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Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas
5.9
diminuição da rigidez e variação da localização do centro de rigidez, como se pode
verificar na Figura 5.5.
Pórticos com arigidez usual àflexão
Pilares com arigidez à flexãodiminuída.
Pórticos com a
rigidez diminuída
Figura 5.5 – Influência da rigidez à torção da estrutura mediante a utilização de um coeficiente de rigidezà flexão no pilar da última planta α = 0.30.
Decidiu-se efectuar ainda uma verificação da influência da rigidez da laje na matriz de
rigidez da estrutura. Para tal foram modeladas duas estruturas (Figura 5.6), uma em que se
considerou a existência da laje, e outra em que a laje não foi considerada, ambas calculadas
pelo programa em questão.
MassaSa
Figura 5.6 – Perspectiva do modelo utilizado.
A massa da estrutura sem laje foi corrigida de modo a perfazer uma massa semelhante à da
estrutura com laje. Admitiu-se que a carga é transmitida da laje para as vigas, o que não
exerce qualquer influência nos modos de translação.
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Capítulo 5
5.10
No Quadro 5.2 é visível a pequena influência que a inclusão ou não da laje na modelação
da estrutura exerce na frequência de vibração.
F [Hz] Massa [Ton]
Estrutura com laje 4.10 24.65Estrutura sem laje 4.08 24.73
Quadro 5.2 – Frequências de vibração e massa da estrutura com e sem laje
Procedeu-se à verificação destes resultados calculando as duas estruturas submetidas a
duas forças de 500 kN aplicadas na intercepção das vigas com os pilares (Figura 5.7).
500 kN
500 kN
a
500 kN
500 kN
b
Figura 5.7 – Estrutura utilizada no teste da rigidez da estrutura sem laje [a], e com laje [b].
No Quadro 5.3 representam-se os deslocamentos que a estrutura sofre, modelando ou não a
laje, para as várias hipóteses de cálculo permitidas pelo programa.
∆lEstrutura sem
Laje
∆lEstrutura com
Laje
(1)
Programa por defeito
Coeficiente de rigidez axial nos pilares β = 2.0Coeficiente de redução de rigidez dos pilares na última planta α = 0.3
0.11797 m 0.11760 m
(2) Coeficiente de redução de rigidez dos pilares na última planta α =1.0Coeficiente de rigidez axial nos pilares β =1.0
0.061403 m 0.060616 m
(3) Coeficiente de rigidez axial nos pilares β =1.0Coeficiente de redução de rigidez dos pilares na última planta α =0.3
0.11802 m 0.11765 m
(4) Coeficiente de redução de rigidez dos pilares na última planta α =0.3Coeficiente de rigidez axial nos pilares β =1.0
0.061317 m 0.060529 m
Quadro 5.3 – Deslocamentos máximos da estrutura para as várias hipóteses do programa A para a estrutura
com e sem laje.
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Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas
5.11
Através dos resultados expressos no Quadro 5.3 é possível observar a pequena influência
que a presença da laje exerce na flexibilidade da estrutura e, consequentemente, na rigidez
da mesma, o que acentua as conclusões apresentadas para as frequências de vibração.
5.1.2. Análise do programa B
Tal como para o programa A, foi efectuado um teste ao módulo de elasticidade E utilizado
pelo programa na definição das características das secções das barras. Para tal foi utilizada
a mesma estrutura referida aquando da análise do programa A. A estrutura é constituída
por dois pilares e uma viga, como se pode observar na Figura 5.8. Tal como no programa
A, em cada pilar foi colocada uma carga vertical de 500kN . Os pilares e a viga possuem
uma secção transversal de [0.300.60].
3.4
0.6
0.6 5.0 0.6
P2
V1 [0.30 X 0.60]
[0.30 X 0.60] [0.30 X 0.60]
P1
500 kN 500 kN
Figura 5.8 – Estrutura utilizada para aferir o módulo de elasticidade do programa B.
Dos resultados assim obtidos foi possível verificar que o programa B, recorrendo ao
cálculo elástico, assume o módulo de elasticidade introduzido pelo utilizador na definição
das secções. Por outro lado, foi possível constatar que, contrariamente ao que acontece
com o programa A, o nó (intercepção viga pilar) é deformável, como se pode observar na
Figura 5.9.
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Capítulo 5
5.12
0.6
Viga
Pilar
500 kN
∆l
500 kN
Comprimentoinicial
Nó Viga-Pilar (Deformável)
Figura 5.9 – Tipo de modelação de barra- pilar utilizada pelo programa B.
Tal como no programa A, foi calculado um pórtico com dois pilares e uma viga, (Figura
5.10). Esse pórtico comporta-se como um oscilador de um grau de liberdade, sendo
possível conhecer a rigidez associada ao cálculo da frequência de vibração de translação.
Este pórtico foi solicitado a uma carga horizontal de 500kN , com o propósito de aferir o
deslocamento ∆l que este sofreria quando calculado pelo programa B.
Para proceder a uma análise do tipo de cálculo efectuado por este programa, foi adoptada
uma metodologia semelhante à utilizada no programa A. Assim sendo, foram calculadas as
frequências de vibração da estrutura apresentada na Figura 5.10.
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Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas
5.13
3.4
0.6
0.3 6.0 0.3
P2
V1
[0.30 X 0.60]
[0.30 X 0.30] [0.30 X 0.30]
P1
500 kN
∆l
Figura 5.10 – Estrutura utilizada pelo programa B para aferir a rigidez e a frequência de um oscilador de
um grau de liberdade.
Os deslocamentos ∆l são apresentados no Quadro 5.4. para as várias hipótese de cálculo
que o programa B permite efectuar:
∆l
(1)Programa por defeitoCoeficiente redistribuição de momentos nos tramos extremos 0.90Coeficiente redistribuição de momentos nos tramos internos 0.90
0.0596 m
(2) Coeficiente redistribuição de momentos nos tramos extremos 1.00Coeficiente redistribuição de momentos nos tramos internos 1.00 0.0596 m
Quadro 5.4 – Deslocamentos máximos da estrutura para as várias hipóteses de cálculo propostas pelo
programa B.
Considerando os resultados apresentados no Quadro 5.4 verificar-se que o programa B apresenta iguais deslocamentos para o pórtico com e sem redistribuição de momentos.
Assim, e tal como acontece no programa A, o programa só utiliza a redistribuição de
momentos para o cálculo das armaduras.
É de referir que este programa possibilita a alteração da massa da estrutura, tanto em valor
numérico como na sua localização, permitindo também a alteração do ponto de aplicação
da aceleração sísmica, facto que, apesar da aparente simplicidade e pequeno automatismo,
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Capítulo 5
5.14
permite, através de utilizações cuidadas, um bom controlo sobre a análise sísmica de uma
estrutura.
a b
Figura 5.11 – Estrutura utilizada para calcular a matriz de rigidez utilizada pelo programa B. A figura (a)representa a estrutura reticulada tridimensional, e a figura (b) representa a estrutura
reticulada modelada.
É possível validar a rigidez utilizada pelo programa B no cálculo da frequência de vibração
utilizando o processo que a seguir se descreve:
– cálculo da frequência e da massa utilizando o programa de cálculo em análise;
– cálculo analítico da frequência da estrutura utilizando a expressão da frequência
própria de um oscilador de um grau de liberdade.
5.1.2.1. Cálculo da massa e da frequência utilizando o programa B
Calculando a estrutura através o programa B, foram analisadas as frequências de vibração
de translação e a massa da estrutura. Assim, a frequência assume o valor f=3.8013Hz , e a
massa da estrutura .12.23 TonM =
Através da equação (5.5), que relaciona a massa com a frequência e a rigidez de umoscilador de um grau de liberdade, pode calcular-se a frequência de vibração de translação
da estrutura em análise:
M
K f
π2
1= (5.5)
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Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas
5.15
5.1.2.2. Cálculo da rigidez
A rigidez da estrutura foi calculada através do carregamento horizontal de cada pórtico daestrutura, como é possível observar na Figura 5.12. Daí foi possível obter o deslocamento
que a estrutura sofre quando submetida a um carregamento de 500kN em dois nós distintos.
P2
V1
P1
500 kN
∆l F
P2
V1
P1
500 kN
F
P4
V2
P3
500 kN
F
Figura 5.12 – Medição da rigidez da estrutura em análise no programa B pelo método inverso.
Para esta solicitação obtém-se um deslocamento horizontal do topo dos pilares ∆l=0.419m.
A partir deste valor é possível calcular a rigidez horizontal do pórtico (5.6):
/m12422.82kN =0.419
1000=
∆
N = K (5.6)
5.1.2.3. Cálculo da frequência
A frequência de vibração de translação da estrutura, obtida pela equação para um oscilador
de um grau de liberdade resulta em:
8198226
8212422
2
1.
.
. f ×=
π=3.6893Hz (5.7)
Comprova-se deste modo que:
a) O programa utiliza a rigidez da estrutura reticulada na análise dinâmica.
b) O módulo de elasticidade considerado no cálculo sísmico é o módulo de
elasticidade introduzido nas secções das barras.
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Capítulo 5
5.16
5.1.3. Análise do programa C
Tal como para os programas A e B, foi efectuado um teste de modo a conhecer o módulo
de elasticidade E utilizado pelo programa na definição das características das secções das barras. Para tal foi utilizada a mesma estrutura referida para o programa B. A estrutura é
constituída por dois pilares e uma viga, como se pode observar na Figura 5.13. Em cada
pilar foi colocada uma carga vertical de 500kN . Os pilares e a viga possuem secção
transversal de [0.300.60].
3.4
0.6
0.6 5.0 0.6
P2
V1 [0.30 X 0.60]
[0.30 X 0.60] [0.30 X 0.60]
P1
500 kN 500 kN
Figura 5.13 – Estrutura utilizada para aferir o módulo de elasticidade utilizado pelo programa C.
Conhecendo os deslocamentos do topo dos pilares, utilizando a equação (5.1), conclui-seque o programa C assume, no cálculo elástico, o módulo de elasticidade introduzido pelo
utilizador na definição das secções. Por outro lado, foi possível constatar que,
contrariamente ao que acontece com o programa A, o nó (intercepção viga pilar) é
deformável, como se pode observar na Figura 5.14, situação comum ao programa B.
Um aspecto negativo deste programa consiste no facto de apenas assumir uma alteração no
módulo de elasticidade quando são introduzidas novas secções. Este aspecto é
extremamente enganador para o utilizador. Com efeito, o utilizador é levado a pensar que
ao alterar o módulo de elasticidade, este é actualizado para todos os elementos já
introduzidos, o que não se verifica.
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Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas
5.17
0.6
Viga
Pilar
500 kN
∆l
500 kN
Comprimentoinicial
Nó Viga-Pilar
(Deformável)
Figura 5.14 – Tipo de modelação de barra- pilar utilizada pelo programa B.
Tal como no programa A, foi calculado um pórtico com dois pilares e uma viga (Figura
5.15). Esse pórtico comporta-se como um oscilador de um grau de liberdade, sendo
possível conhecer a rigidez associada ao cálculo da frequência de vibração de translação.
Àquele pórtico foi aplicada uma carga horizontal de 500kN com o propósito de calcular o
deslocamento ∆l que sofreria quando calculado pelo programa C.
3.4
0.6
0.3 6.0 0.3
P2
V1
[0.30 X 0.60]
[0.30 X 0.30] [0.30 X 0.30]
P1
500 kN
∆l
Figura 5.15 – Estrutura utilizada pelo programa C para aferir a rigidez e a frequência de um oscilador de
um grau de liberdade.
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Capítulo 5
5.18
No Quadro 5.5 são apresentados os valores obtidos para os deslocamentos ∆l utilizando as
várias alternativas para o cálculo que este programa permite.
∆l
(1)Programa por defeito
Coeficiente de rigidez axial dos pilares 1.000.05971m
(2) Coeficiente de rigidez axial dos pilares 10.00 0.05961 m
Quadro 5.5 – Deslocamentos máximos da estrutura para as várias hipóteses de cálculo permitidas pelo programa C.
Para proceder a uma análise do tipo de cálculo efectuado pelo programa C, foi adoptada
uma metodologia semelhante à utilizada nos programas A e B.
5.1.3.1. Cálculo da massa e da frequência utilizando o programa C
Assim sendo, foram calculadas as frequências de vibração da estrutura apresentada na
Figura 5.16.
a b
Figura 5.16 – Estrutura utilizada para calcular a matriz de rigidez utilizada pelo programa C. A figura (a)representa a estrutura reticulada tridimensional, e a figura (b) representa a estruturareticulada modelada.
Os valores da frequência fundamental de translação são, para o programa C e considerando
ou não a existência de laje, dados por:
F [Hz] Massa [Ton]
Estrutura com laje 1.517 203.87
Estrutura sem laje 1.518 203.87
Quadro 5.6 – Frequências de vibração e massa da estrutura com e sem laje
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Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas
5.19
5.1.3.2. Cálculo da rigidez
A partir dos deslocamentos horizontais do pórtico é possível calcular a sua matriz derigidez de translação.
Com base na rigidez e na massa, calcular-se analiticamente a frequência de vibração de um
oscilador de um grau de liberdade equivalente. Essa frequência é dada por:
M
K f
π2
1= (5.8)
No Quadro 5.7 são apresentadas as frequências próprias da estrutura, calculadas por este
método:
K [kN/m] F [Hz] Massa [Ton]
Estrutura com laje 8608.8 1.0342 203.87
Estrutura sem laje 9265.8 1.0730 203.87
Quadro 5.7 – Frequências de vibração calculadas analiticamente
Pode verificar-se que a frequência assim calculada é bastante inferior à frequência
calculada automaticamente pelo programa C. Como a massa da estrutura é a mesma
considera-se que a diferença apenas é justificável por uma possível discrepância na rigidez
da estrutura. Este resultado apenas pode ser justificado pela utilização, por parte do
programa, de um algoritmo simplificado para o cálculo da rigidez da estrutura. Em
particular, considerou-se relevante analisar se o programa utilizaria para a rigidez a
expressão dada para pilares bi-encastrados.
Considerando então os pilares como bi-encastrados, obtém-se para a rigidez da estrutura:
m / kN . L EI K 879274124 3 =×= (5.9)
donde:
1.073Hz M
K f ==
π2
1 (5.10)
Daqui se verifica que, aparentemente, é esta a simplificação que este programa considera.
No entanto, isto não é de todo evidente da leitura dos manuais fornecidos com o programa,
situação com a qual o autor discorda.
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Capítulo 5
5.20
5.2. Comparação de resultados de uma análise sísmica de três
estruturas.
Após a verificação preliminar da rigidez e da massa utilizadas pelos programas em estudo,
optou-se por proceder ao estudo comparativo do comportamento de três estruturas quando
submetidas a acções sísmicas. As grandezas comparadas resumiram-se às frequências
próprias de vibração sem amortecimento e ao corte basal. Para tal, as estruturas foram
calculadas nos programas comerciais em estudo.
Foi considerado pertinente proceder à comparação dos resultados assim obtidos com
valores de referência. Com esse objectivo consideraram-se dois métodos de utilizaçãocorrente: o método de Rayleigh e o método dos 3 graus de liberdade por piso (3G.L./Piso).
Por outro lado, foram comparados os resultados ao nível das frequências e modos de
vibração com os obtidos por um programa comercial de elementos finitos doravante
denominado MEF. A modelação das estruturas neste programa foi feita recorrendo a
elementos tridimensionais (brick’s).
O programa MEF tem sido utilizado com sucesso em várias instituições de investigação eensino em todo o Mundo, logo, os resultados obtidos a partir dele são considerados pelo
autor como correctos.
Foram analisadas três estruturas simples, simétricas e sem irregularidades, uma vez que o
principal objectivo deste trabalho consiste em aferir a exactidão dos algoritmos utilizados
por cada um dos programas de cálculo automático em estudo.
5.2.1. Definição dos modelos a utilizar
Tendo em mente que se considera importante a continuidade deste trabalho com outros
programas de cálculo automático, ou novas versões dos programas aqui utilizados, os
dados referentes às estruturas analisadas serão apresentados de uma forma exaustiva.
Pretende-se assim que seja possível utilizar os mesmos exemplos de forma simples e
objectiva.
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Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas
5.21
O material estrutural considerado para as três estruturas foi o betão B25 [ E=29GPa;
ν=0.20].
Todos os pilares foram considerados como encastrados na base.
O cálculo das forças sísmicas a aplicar às estruturas obedece aos seguintes parâmetros:
– Coeficiente de comportamentoα=2.5;
– Zona sísmica A;
– Terreno Tipo I;
– Coeficiente de amortecimento ξ=0.05.
Estes parâmetros correspondem a estruturas em pórtico, de ductilidade normal [REBAP86]
localizadas em zonas de Portugal, onde a acção sísmica é mais significativa.
Estrutura 1
A estrutura 1 é uma estrutura constituída por uma laje maciça de 0.20m de espessura, vigas
com 0.300.60m2 e pilares com a dimensão 0.300.30m2. A planta estrutural, assim
como uma perspectiva da estrutura podem ser observadas na Figura 5.17.
6.0
P3
P1
6.0
PISO 1 [4.00m]
P2
LM
P4
Figura 5.17 – Planta estrutural e perspectiva da estrutura 1.
No Quadro 5.8 são descritas as acções verticais adoptadas no cálculo da estrutura 1.
RevestimentosKN/m2
QKN/m2
Paredes Ext.KN/m
Piso 1 1.00 0.00 0.00
Quadro 5.8 – Acções verticais da estrutura 1.
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Capítulo 5
5.22
Estrutura 2
A estrutura 2 é uma estrutura constituída por lajes maciças de 0.20m de espessura, vigas
com 0.300.60m2 e pilares com a dimensão 0.300.30m2. A planta estrutural e a perspectiva encontram-se representadas na Figura 5.18.
6.0
P5
P1
6.0
P2
LM
P6
P3
LM
P7
P4
LM
P8
6.0 5.4
PISO 1 [4.00m]
P9
LM
P10
LM
P11
LM
P12
P13
LM
P14
LM
P15
LM
P16
6.0
5.4
Figura 5.18 – Planta estrutural e perspectiva da estrutura 2.
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Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas
5.23
No Quadro 5.9 são apresentadas as acções verticais adoptadas no cálculo da estrutura 2.
RevestimentosKN/m2
QKN/m2
Paredes Ext.KN/m
Piso 1 1.00 0.00 0.00
Quadro 5.9 – Acções verticais da estrutura 2.
Estrutura 3
A estrutura 3 é constituída por lajes maciças com 0.20m de espessura, vigas com
0.300.60m2 e pilares com 0.300.30m
2. A planta estrutural e a perspectiva podem ser
observadas na Figura 5.19.
6.0
P3
P1
6.0
PISOS 1, 2, 3 e 4
P2
LM
P4
[4.00; 8.00; 12,00 e 16.00m]
Figura 5.19 – Planta estrutural e perspectiva da estrutura 3.
No Figura 5.10 encontram-se representadas as acções verticais adoptadas no cálculo da
estrutura 3.
RevestimentosKN/m2
QKN/m2
Paredes Ext.KN/m
Pisos 1, 2, 3 1.50 2.00 (Ψ2=0.20) 10.00
Piso 4 1.50 2.00 (Ψ2=0.00) 0.00
Quadro 5.10 – Acções verticais da estrutura 3.
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Capítulo 5
5.24
5.2.2. Definição do tipo de modelação a usar pelos elementos finitos (M.E.F.)
Na medida em que se pretende obter um resultado que possa ser utilizado como objecto de
comparação entre os resultados provenientes dos vários programas, foi adoptado o cálculodas estruturas em elementos finitos. Para esse efeito, recorreu-se à análise dinâmica do
programa de elementos finitos DIANA, desenvolvido no TNO Building and Construction
Research Division of Engineering Mechanics and Information Technology, Delft,
Netherlands. As estruturas foram modeladas com recurso a elementos tridimensionais,
“bricks” de 20 nós denominados CHX60, como se pode observar na Figura 5.20. De igual
forma, a discretização das malhas é apresentada nas Figuras 5.21 a 5.23.
1 2
3 4
8
η
6 5
11
17
9
13
20 19 18
16 15 14
10
12
7
ζ
ξ
Figura 5.20 – Elemento tridimensional de 20 nós do programa DIANA denominado CHX60.
Figura 5.21 – Discretização da estrutura 1.
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Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas
5.25
Figura 5.22 – Discretização da estrutura 2.
Figura 5.23 – Discretização da estrutura 3.
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Capítulo 5
5.26
5.3. Comparação das frequências de vibração
5.3.1. Estrutura 1
Uma vez que a matriz de rigidez da estrutura, modelada no programa A, apresenta
variações em função do coeficiente de encastramento dos pilares no último piso α, e em
função do coeficiente de rigidez axial dos pilares β , são apresentadas as frequências para as
várias combinações no Quadro 5.11. É possível observar uma variação de 27% entre o
programa por defeito e o programa com cálculo puramente elástico.
Prog. A
[1]Hz
Prog. A
[2]Hz
Prog. A
[3]Hz
Prog. A
[4]Hz
1 3.021 4.196 3.021 4.199
2 3.021 4.196 3.021 4.199
3 4.472 6.197 4.472 6.197
[1] Coef. de enc. pilares = 0.30Coef. de rigidez axial dos pilares = 2.00
[2] Coef. de enc. pilares = 1.00Coef. de rigidez axial dos pilares = 1.00
[3] Coef. de enc. pilares = 0.30Coef. de rigidez axial dos pilares = 1.00
[4] Coef. de enc. pilares = 1.00Coef. de rigidez axial dos pilares = 2.00
Quadro 5.11 – Comparação das frequências de vibração para o programa A, estrutura 1.
No Quadro 5.12 estão representadas as frequências de vibração da estrutura, quer
modelada nos vários programas em estudo, quer através do programa de elementos finitos
– MEF , quer através do cálculo orgânico. Os resultados do cálculo das estruturas em
questão constam no anexo II deste trabalho.
A modelação adoptada para os programas comerciais foi a modelação por defeito. Para o
MEF foram utilizadas três modelações, estrutura totalmente modelada com elementos 3D
(MEF 3D), estrutura reticulada modelada em elementos 3D e a laje modelada em
elementos de laje (MEF Laje) e ainda a estrutura reticulada sem laje modelada com
elementos 3D (MEF Barras).
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Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas
5.27
Prog.AHz
Prog.BHz
Prog.CHz
Prog.MEF3DHz
Prog.MEFLajeHz
Prog.MEF
BarrasHz
3GLEnc.Hz
3GLAp.
DuploHz
3GLBarras
HzRayleigh
1 3.02 3.76 3.93 4.13 4.10 4.10 3.94 1.97 3.77 3.772 3.02 3.76 3.93 4.13 4.10 4.10 3.94 1.97 3.77 3.77
3 4.45 6.51 5.65 6.26 6.23 6.23 6.82 3.41 6.52 –
Quadro 5.12- Comparação das frequências de vibração.
Através da análise das frequências, pode constatar-se sobretudo duas situações
fundamentais: as frequências provenientes dos elementos finitos não apresentam variações
significativas e o resultado que melhor aproxima os resultados do MEF é o proveniente do
programa C. Uma vez que o programa C considera a matriz de rigidez de barrasencastradas nos pisos, as suas frequências de translação são iguais às obtidas pelo método
3GL/Piso.
O programa A, por defeito, afasta-se bastante dos resultados do MEF . No entanto o cálculo
sem o uso do coeficiente – α – apresenta uma boa aproximação.
O programa B apresenta frequências iguais às da análise 3GL/Piso para a estrutura
reticulada.
Importa referir que existe uma variação de quase 50% entre o método 3GL para a estrutura
com apoios duplos e o método 3GL para a estrutura com os pilares encastrados no piso.
5.3.2. Estrutura 2
Uma vez que a matriz de rigidez da estrutura modelada no programa A apresenta variações
em função do coeficiente de encastramento dos pilares no último piso – α – e do coeficiente
de rigidez axial dos pilares β , são apresentadas as frequências para as várias hipóteses de
cálculo no Quadro 5.13. É possível observar uma variação de 29% entre o programa por
defeito e o programa com cálculo puramente elástico.
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Capítulo 5
5.28
Prog. A[1]Hz
Prog. A[2]Hz
Prog. A[3]Hz
Prog. A[4]Hz
1 2.192 3.075 2.1938 3.077
2 2.192 3.075 2.1938 3.077
3 2.705 3.788 2.7044 3.789
[1] Coef. de enc. pilares = 0.30Coef. de rigidez axial dos pilares = 2.00
[2] Coef. de enc. pilares = 1.00Coef. de rigidez axial dos pilares = 1.00
[3] Coef. de enc. pilares = 0.30Coef. de rigidez axial dos pilares = 1.00
[4] Coef. de enc. pilares = 1.00Coef. de rigidez axial dos pilares = 2.00
Quadro 5.13- Comparação das frequências de vibração para o programa A, estrutura 2.
No Quadro 5.14 estão representadas as frequências de vibração da estrutura modelada nos
vários programas, incluindo através do MEF e através do cálculo orgânico (os resultados
encontram-se no Anexo II). A modelação adoptada para os programas comerciais foi a
modelação por defeito.
Prog.A
Prog.B
Prog.C
Prog.MEF3D
3GLEnc.
3GLAp.
Duplo
3GLBarras
Rayleigh
Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz
1 2.19 2.74 2.85 2.81 2.84 1.42 2.74 2.74
2 2.19 2.74 2.85 2.81 2.84 1.42 2.74 2.74
3 2.71 3.54 3.19 3.47 3.67 1.84 3.54 –
Quadro 5.14- Frequências de vibração para a estrutura 3 considerando a rigidez da estrutura reticulada sem
lajes.
A análise dos resultados obtidos para a estrutura 2 leva a conclusões semelhantes às
obtidas para a estrutura 1.
5.3.3. Estrutura 3
Uma vez que a estrutura possui 4 pisos, a diminuição de rigidez da estrutura não é tão
significativa como nos casos anteriores, pela presença do coeficiente de encastramento dos
pilares no último piso – α – e do coeficiente de rigidez axial dos pilares – β –, como se pode
ver no Quadro 5.15.
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Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas
5.29
M o d o d e
v i b r a ç ã o Prog. A
[1]Hz
Prog. A[2]Hz
Prog. A[3]Hz
Prog. A[4]Hz
Prog.AHz
Prog.BHz
Prog.CHz
Prog.MEF3DHz
3GLEnc.Hz
3GLBarras
HzRayleigh
1 1.067 1.070 1.079 1.058 1.067 0.907 1.030 1.037 1.04 0.91 0.912 1.067 1.070 1.079 1.058 1.067 0.907 1.030 1.037 1.04 0.91
3 1.500 1.513 1.513 1.500 1.500 1.572 1.410 1.503 1.80 1.57
4 2.852 3.152 3.179 2.836 2.852 2.642 2.901 3.014 2.93 2.65
5 2.852 3.152 3.174 2.836 2.852 2.642 2.902 3.014 2.93 2.65
6 4.061 4.450 4.450 4.061 4.061 4.074 3.970 4.387 4.29 4.07 –
7 4.307 4.984 4.994 4.305 4.307 4.074 4.262 4.689 4.29 4.07
8 4.307 6.961 6.961 5.972 4.307 4.576 4.262 4.699 5.00 4.58
9 5.971 4.984 4.994 5.972 5.971 4.894 4.950 5.701 5.00 4.91
10 5.810 6.123 6.129 5.810 5.810 4.984 4.950 5.701 5.06 4.91
11 5.810 6.123 6.129 5.810 5.810 7.056 5.825 6.792 7.44 7.04
12 7.923 8.476 8.476 7.928 7.923 8.476 6.734 8.205 8.65 8.49
Quadro 5.15 – Comparação das frequências de vibração para a estrutura 3.
Através do Quadro 5.15 é possível verificar que as diferenças de frequências já não são
muito significativas. No entanto, facilmente se nota a proximidade entre a modelação do
programa B e o método 3GL/Piso, para estrutura reticulada, e a proximidade entre os
programas A e C e o método 3GL/Piso simplificado para os pilares encastrados nos pisos.
5.4. Comparação dos cortes basais
Em seguida, são apresentados os cortes basais para os diversos programas de cálculo
automático em análise.
5.4.1. Resultados do programa A
No programa A, a estrutura foi analisada considerando ou não, a existência de um
coeficiente de encastramento dos pilares na última planta α = 0.30 (programa por defeito).
Assim sendo, os resultados das estruturas 1-A, 2-A e 3-A correspondem ao uso de α =
0.30, e os resultados 1-B, 2-B e 3-B correspondem ao uso de α = 1.0.
Os cortes basais para as diversas estruturas calculados no programa A são apresentados nos
quadros 5.16, 5.17 e 5.18.
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Capítulo 5
5.30
Estrutura 1–A (α=0.30) Estrutura 1–B (α=1.00)
Sismo xx yy xx yy
I 44.72 kN 0.00 kN 53.48 kN 0.00 Kn
II 30.80 kN 0.00 kN 30.76 kN 0.00 kN
Quadro 5.16 – Cortes basais para a estrutura 1 calculada no programa A.
Estrutura 2–A(α=0.30) Estrutura 2–B(α=1.00)
Sismo xx yy xx yy
I 269.0 kN 0.00 kN 346.0 kN 0.00 kN
II 234.0 kN 0.00 kN 235.3 kN 0.00 kN
Quadro 5.17 – Cortes basais para a estrutura 2 calculada no programa A.
Estrutura 3–A(α=0.30) Estrutura 3–B(α=1.00)Sismo xx yy xx yy
I 128.5 kN 0.00 kN 133.4 kN 0.00 kN
II 149.3 kN 0.00 kN 152.5 kN 0.00 kN
Quadro 5.18 – Cortes basais para a estrutura 3 calculada no programa A.
É importante referir que, no caso de uma estrutura de um só piso, (um só grau de
liberdade) o programa A apresenta variações de acção sísmica de 16.4% para a estrutura 1
e de 22.3% para a estrutura 2, o que não é desprezável dada a influência que um
coeficiente α exerce, cuja utilização é apresentada nos manuais e no programa como boa
norma construtiva.
5.4.2. Resultados do programa B
Em seguida são apresentados os resultados do programa B. Para a estrutura 3 em
particular, são apresentados os resultados da estrutura 3-A, estrutura 3 por defeito, com
modos de vibração de translação diagonal xy e estrutura 3-B em que uma das dimensões é
maior 0.005m que a outra para eliminar a simetria causadora da translação xy.
Uma vez que se observaram modos de vibração diagonais no programa B para uma
estrutura simétrica, foi adoptada a hipótese de um dos lados da planta possuir uma
dimensão superior à outra de um infinitésimo, para testar se o programa deixa de fornecer
modos de vibração diagonais.
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Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas
5.31
Os cortes basais para as diversas estruturas calculados no programa B são apresentados nos
quadros 5.19, 5.20 e 5.21.
Estrutura 1
Sismo xx yy
I 50.59 kN 0.00 kN
II 30.80 kN 0.00 kN
Quadro 5.19 – Cortes basais para a estrutura 1 calculada no programa B.
Estrutura 2
Sismo xx yy
I 319.75 kN 0.00 kN
II 233.95 kN 0.00 kN
Quadro 5.20 – Cortes basais para a estrutura 2 calculada no programa B.
Estrutura 3–AModos de translação xy
Estrutura 3–BModos de translação em
xx e em yy
Sismo xx yy xx yy
I 123.05 kN 0.00 kN 89.87 kN 0.00 kN
II 168.22 kN 0.00 kN 120.17 kN 0.00 kN
Quadro 5.21 – Cortes basais para a estrutura 3 calculada no programa B.
Importa referir que a existência de modos de vibração com direcção xy na estrutura 3 é
responsável por uma acção sísmica 28.6% superior à acção sísmica proveniente de modos
de vibração de translação em xx e em yy. Esta situação, apesar de invulgar, dada a
improbabilidade de existência de estruturas totalmente simétricas, deveria ser corrigida.
5.4.3. Resultados do programa C
Os cortes basais para as diversas estruturas calculados no programa C são apresentados nos
quadros 5.22, 5.23 e 5.24.
Estrutura 1
Sismo xx yy
I
II60.0 kN 0.00 kN
Quadro 5.22 – Corte basal para a estrutura 1 calculada no programa C.
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Capítulo 5
5.32
Estrutura 2
Sismo xx yy
III
403.2 kN 0.00 kN
Quadro 5.23 – Corte basal para a estrutura 2 calculada no programa C.
Estrutura 3
Sismo xx yy
I
II167.2 kN 0.00 kN
Quadro 5.24 – Corte basal para a estrutura 3 calculada no programa C.
Importa referir que os cortes que o programa C apresenta, resumem-se a uma envolvente
dos cortes basais provenientes do sismo Tipo I e do sismo Tipo II .
5.4.4. Comparação dos cortes basais para a Estrutura 1
No Quadro 5.25 encontram-se representados os cortes basais para todas as modelações em
análise.
3GL 1 3GL 2 3GL 3 A (defeito) A (elástico)
Rayleigh Estruturaencastrada nos
pisos
Estruturaapoiada nos
pisos
Estruturareticulada α=0.30 α=1.00
B C
Sismo I 65.2 kN 51.3 kN 31.3 kN 50.0 kN 44.7 kN 53.5 kN 50.6 kN
Sismo II 39.4 kN 30.3 kN 29.2 kN 30.2 kN 30.8 kN 30.8 kN 30.8 kN60.0 kN
Quadro 5.25- Comparação dos cortes basais para a estrutura 1.
Entre os programas A e C existe uma variação de 25.5%, uma vez que o programa A utiliza por defeito o coeficiente α = 0.30. No entanto, a variação diminui para valores
menos expressivos quando se calcula com a programa A sem o referido coeficiente.
Observa-se uma variação de 15.7% entre os programas B e C e de 10.8% entre os
programas A e C.
Como as frequências que mais se aproximam da modelação elástica 3D são as frequências
do método 3GL/Piso com pilares encastrados nos pisos, em principio, serão os cortes
basais desta modelação os mais realistas.
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Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas
5.33
5.4.5. Comparação dos cortes basais para a Estrutura 2
3GL 1 3GL 2 3GL 3 A (defeito) A (elástico)
Rayleigh Estrutura
encastrada
nos pisos
Estrutura
apoiada nos
pisos
Estruturareticulada
α=0.30 α=1.00B C
Sismo I 375.4 kN 322.7 kN 178.9 kN 313.6 kN 269.0 kN 346.0 kN 319.8 kN
Sismo II 278.5 kN 233.1 kN 204.2 kN 232.6 kN 234.0 kN 235.3 kN 234.0 kN403.2 kN
Quadro 5.26- Comparação dos cortes basais para a estrutura 2.
Analisando a variação de cortes basais entre os programas A e C verifica-se uma diferença
de 33.3%, quando se recorre ao coeficiente α=0.30 do programa A. No entanto para
α=1.00, os resultados do programa A melhoram significativamente. A variação entre os
programas B e C é de 20.7%. Entre os programas A e C, assume o valor de 14.2%.
Uma vez que as frequências que mais se aproximam da modelação elástica 3D são as
frequências do método 3GL/Piso com pilares encastrados nos pisos, em principio, serão os
cortes basais desta modelação os mais realistas. É possível verificar que a estrutura 2 com
modelação elástica pelo programa A possui um corte basal 6.7% superior ao corte basal
proveniente da estrutura 2 modelada através do método 3GL/Piso com pilares encastrados
nos pisos.
Não existem dados suficientes para justificar que o corte basal dado pelo programa C seja
superior ao corte basal através do método 3GL/Piso com pilares encastrados nos pisos,
podendo essa diferença estar relacionada com as combinações quadráticas adoptadas ou
com a aceleração sísmica considerada.
5.4.6. Comparação dos cortes basais para a Estrutura 3
3GL 1 3GL 3A
(defeito)A
(elástico)B
(defeito)B
(corrigido)Rayleigh Estrutura
encastrada
nos pisos
Estrutura
reticuladaα=0.30 α=1.00
Modos de
translação xy
Modos de
translação em
xx e yy
C
Sismo I 111.1 kN 103.1 kN 89.1 kN 128.5 kN 133.4 kN 123.1 kN 89.9 kN
Sismo II 148.4 kN 129.2 kN 113.8 kN 149.3 kN 152.5 kN 168.2 kN 120.2 kN167.2 kN
Quadro 5.27- Comparação dos cortes basais para a estrutura 3.
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Capítulo 5
5.34
Considerando os valores apresentados no Quadro 5.27, podemos verificar que a diferença
entre os resultados do programa A por defeito, e do programa A elástico não é
significativa, apenas de 3.7%. A influência da redução da rigidez dos pilares no último piso
não tem tanta interferência numa estrutura de 4 pisos como numa estrutura de 1 piso.
Existe uma variação de 46.2% entre o corte basal do programa C e o corte basal do
programa B. Uma vez que as frequências de vibração dadas pelo MEF se aproximam das
provenientes do método 3GL/piso com pilares encastrados nos pisos, pode constatar-se que
o programa A possui corte basal 15.6% superior ao cálculo 3GL/piso com pilares
encastrados nos pisos. Relativamente ao programa B por defeito (com modos de translação
diagonal), este possui corte basal 30.2% superior ao cálculo 3GL/piso com pilaresencastrados nos pisos. No entanto a variação do corte basal do programa B diminui para
7.0%, sendo o valor deste programa inferior ao 3GL. Para terminar a comparação com o
cálculo 3GL/piso com pilares encastrados nos pisos, o programa C possui um corte basal
29.4% superior.
5.5. Conclusões
De uma forma global, é importante verificar a ordem de variação de resultados entre os
vários programas, e para um dado programa entre as hipótese de cálculo possíveis.
Assim sendo, era importante que os programas apresentassem, de uma forma mais
explícita, as metodologias de cálculo adoptadas e que possuíssem mecanismos de controle
e de aviso por forma a que o utilizador tivesse ao alcance mais informação para além da
aceleração e da frequência modal.
5.5.1. Programa A
O programa A usa a rigidez da estrutura completa, logo, assume particular influência o
coeficiente de encastramento dos pilares na última planta α e o coeficiente de rigidez axial
dos pilares β. Foi possível verificar que o programa considera metade da massa dos pilares
entre pisos. Nota-se também que o programa possui uma boa aproximação de frequências
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Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas
5.35
de vibração ao MEF . O programa A apresenta um bom comportamento, exceptuando o
cálculo por defeito para estruturas de poucos pisos.
5.5.2. Programa B
É possível verificar que o programa B usa o módulo de elasticidade E correcto e usa a
rigidez da estrutura reticulada sem laje. Apesar das frequências de vibração provenientes
da modelação do programa B não serem próximas das provenientes do MEF , o programa B
é aquele que melhor expõe os resultados do cálculo sísmico nas suas várias fases.
5.5.3. Programa C
O programa C utiliza a rigidez de uma viga bi-encastrada e utiliza o módulo de
elasticidade E correcto. A rigidez axial dos pilares não interfere na rigidez ao cálculo
sísmico. No entanto, apesar da proximidade das frequências de vibração entre a modelação
do programa C, a modelação com o MEF e com o método 3GL/Piso com pilares
encastrados nos pisos, os cortes basais são superiores.
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CAPÍTULO 6
Conclusão
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Exemplos de referência para o cálculo de estruturas porticadas em betão armado
6.2
Como nota introdutória à conclusão deste trabalho, bem como justificação global às
afirmações que posteriormente serão produzidas, importa referir o comportamento dos
representantes, aos quais reafirmo os meus profundos agradecimentos pela disponibilidade
que mostraram em permitir a execução deste trabalho. No entanto é importante referir que
existiram comportamentos distintos da parte dos vários representantes em relação a este
trabalho. Assim, dos três programas em análise, foi encontrada uma posição pronta e aberta
por parte de um programa, uma posição de manifesta indiferença por parte de outro e para
finalizar, uma posição relativamente pronta mas com certos contornos de hostilidade da
parte do terceiro.
6.1. Conclusão
O trabalho efectuado pretendeu analisar os resultados obtidos com vários programas
comerciais de dimensionamento de estruturas de betão armado. Com base nesta análise foi
possível tirar algumas conclusões que se consideram relevantes numa discussão sobre a
qualidade dos programas de cálculo automático mais utilizados em Portugal,
nomeadamente:
– Os utilizadores dos programas fazem muitos “OK’s”, alguns dos quais sem
conhecimento das suas implicações. Com efeito as opções por defeito são em geral
mal explicadas, outras há a que é feita referência mas muito ténue e sem que os
utilizadores se apercebam das dimensões de tais opções.
– Os programas possuem muitas caixas negras sem explicação científica; esta
situação só seria permitida se as subrotinas fossem 100% eficientes; ou se de uma
forma global os utilizadores o não exigissem. Como a primeira hipótese não é
válida, a segunda surge como mais pertinente.
– Os manuais tratam apenas da utilização do programa sendo muito pouco explícitos
quanto aos métodos utilizados. Esta situação é tanto mais gravoso quando a
responsabilidade dos resultados obtidos através destes programas é da inteira
responsabilidade do eng.º dono da licença.
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Capítulo 6 – Conclusão e Futuros desenvolvimentos
6.3
– Uma vez que atitudes de qualidade são esquecidas pela lei de mercado. Pensa-se
que em nome da qualidade do projecto e paralelamente a outras medidas deve
existir controle de qualidade ao nível dos programas.
6.2. Futuros desenvolvimentos
– Tentar abrir algumas caixas negras responsáveis por resultados tão dispares
(pilares).
– Definir exemplos de referência com possibilidades de certificação e de validação
dos programas de cálculo em estudo.
– Fazer uma relação de todos as omissões e informações distorcidas dos programas.
– Fazer comparação ao nível do cálculo de armaduras em vigas, pilares e lajes.
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO III)
AI.1
Momentos flectores das vigas V1 e V5 do Capítulo 3
I.1. Introdução
Neste anexo são apresentados os valores numéricos dos momentos flectores para as vigas
V1 e V5, do pórtico 4 pertencente ao capítulo 3.
I.2. Momentos para carregamento vertical
I.2.1. Viga V1 1º Tramo
PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNm
a) Programa A -151.3 156.99 -210.49
b) Programa B -166.17 165.17 -178.03
c) Programa C -166.19 165.2 -178.05
d) Programa D -180.39 142.12 -213.28
RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNm
d) Programa D -180.39 142.12 -213.28e) Troços Rígidos nas Vigas -167.04 132.79 -243.39
f) Programa A com Parede em FEM -153.13 157.05 -208.54
g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -185.75 127.79 -233.67
I.2.2. Viga V1 2º Tramo
PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNm
a) Programa A -189.84 142.37 -175.43
b) Programa B -168.05 153.07 -175.98
c) Programa C -168.1 153.1 -175.96
d) Programa D -218.02 124.71 -181.78
RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNm
d) Programa D -218.02 124.71 -181.78
e) Troços Rígidos nas Vigas -221.87 114.24 -199.91
f) Programa A com Parede em FEM -190.75 140.72 -177.81
g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -220.51 113.59 -202.55
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Anexo I
AI.2
I.2.3. Viga V1 3º Tramo
PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNma) Programa A -107.43 88.38 -135.91
b) Programa B -76.6 84.03 -181.71
c) Programa C -76.54 84 -181.7
d) Programa D -119.03 81.75 -139.5
RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNm
d) Programa D -119.03 81.75 -139.5
e) Troços Rígidos nas Vigas -110.42 68.57 -172.71
f) Programa A com Parede em FEM -169.19 117.55 -27.48
g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -109.26 69.7 -171.6
I.2.4. Viga V1 4º Tramo
PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNm
a) Programa A -182.01 128.69 -112.66
b) Programa B -221.78 120.68 -94.96
c) Programa C -221.8 120.7 -95
d) Programa D -214.56 118.17 -106.43
RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNm
d) Programa D -214.56 118.17 -106.43
e) Troços Rígidos nas Vigas -223.03 108.88 -111.64
f) Programa A com Parede em FEM -49.91 167.14 -174.38
g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -215.37 104.93 -127.01
I.2.5. Viga V5 1º Tramo
PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO
Msd E. Msd V. Msd D.KNm KNm KNm
a) Programa A -147.25 177.68 -239.69
b) Programa B -136.35 176.09 -255.07
c) Programa C -136.39 176.1 -255.1
d) Programa D -153.35 166.24 -258.57
RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNm
d) Programa D -153.35 166.24 -258.57
e) Troços Rígidos nas Vigas -147.36 154.82 -285.55
f) Programa A com Parede em FEM -153 178.35 -232.6
g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -175.36 146.97 -273.27
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO III)
AI.3
I.2.6. Viga V5 2º Tramo
PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNm
a) Programa A -237.5 177.71 -176.87
b) Programa B -252.19 171.27 -171.27
c) Programa C -252.15 172.22 -171.22
d) Programa D -257.45 159.25 -188.77
RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNm
d) Programa D -257.45 159.25 -188.77
e) Troços Rígidos nas Vigas -147.36 154.82 -285.55
f) Programa A com Parede em FEM -231.28 167.82 -202.86g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -274.49 148.72 -198.14
I.2.7. Viga V5 3º Tramo
PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNm
a) Programa A -126.08 84.74 -166.54
b) Programa B -114.35 60.43 -231.48
c) Programa C -114.34 60.4 -231.5
d) Programa D -127.65 77.31 -181.14
RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNm
d) Programa D -127.65 77.31 -181.14
e) Troços Rígidos nas Vigas -185.59 53.58 -179.33
f) Programa A com Parede em FEM -192.75 129.58 -24.74
g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -119.16 59.84 -226.37
I.2.8. Viga V5 4º Tramo
PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO
Msd E. Msd V. Msd D.KNm KNm KNm
a) Programa A -189.81 133.93 -96.45
b) Programa B -238.03 127.1 -68.59
c) Programa C -238 127.1 -68.63
d) Programa D -195.71 133.45 -92.32
RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNm
d) Programa D -195.71 133.45 -92.32
e) Troços Rígidos nas Vigas -243.51 120.51 -78.6
f) Programa A com Parede em FEM -38.39 177.08 -166.54
g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -235.85 112.71 -96.72
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Anexo I
AI.4
I.3. Momentos flectores para carregamento horizontal
I.3.1. Viga V1 1º Tramo
PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNm
a) Programa A 43.6 - -45.3
b) Programa B 41.7 - -40.9
c) Programa C 41.7 - -40.9
d) Programa D 26.6 - -27.1
RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNmd) Programa D 26.6 - -27.1
e) Troços Rígidos nas Vigas 42.6 - -45.3
f) Programa A com Parede em FEM 68.9 - -71.6
g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares 44.5 - -46.2
I.3.2. Viga V1 2º Tramo
PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNm
a) Programa A 47.1 - -44.2
b) Programa B 42 - -40.1c) Programa C 42 - -40.1
d) Programa D 28.2 - -25.8
RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNm
d) Programa D 28.2 - -25.9
e) Troços Rígidos nas Vigas 47.7 - -43
f) Programa A com Parede em FEM 75.4 - -72.7
g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares 48.7 - -45.4
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO III)
AI.5
I.3.3. Viga V1 3º Tramo
PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNma) Programa A 62.5 - -67.2
b) Programa B 49.3 - -66.7
c) Programa C 49.3 - -66.7
d) Programa D 37.1 - -42.2
RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNm
d) Programa D 37.1 - -42.2
e) Troços Rígidos nas Vigas 62 - -69.9
f) Programa A com Parede em FEM 66.8 - -32.4
g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares 63.7 - -68.9
I.3.4. Viga V1 4º Tramo
PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNm
a) Programa A 37.6 - -37.8
b) Programa B 40.6 - -37.7
c) Programa C 40.6 - -37.7
d) Programa D 34.4 - -33
RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNm
d) Programa D 33.5 - -31.3
e) Troços Rígidos nas Vigas 36.7 - -36.4
f) Programa A com Parede em FEM 55.8 - -55.9
g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares 37.6 - -36.9
I.3.5. Viga V5 1º Tramo
PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNm
a) Programa A 16.8 - -14.3b) Programa B 20.8 - -14.8
c) Programa C 20.8 - -14.8
d) Programa D 14.6 - -12.2
RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS
Msd E. Msd V. Msd D.
KNm KNm KNm
d) Programa D 14.6 - -12.2
e) Troços Rígidos nas Vigas 14.3 - -11
f) Programa A com Parede em FEM 22.8 - -19.5
g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares 14.5 - -12.4
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.1
Cálculo das estruturas 1 2 e 3 do Capítulo 5 através do método de
Rayleigh e através do método Três graus de liberdade por piso
(3GL/Piso)
II.1. Introdução
Como os métodos mais utilizados na análise sísmica de edifícios, quer a nível de projecto,
quer ao nível da bibliografia específica do tema, são o método de Rayleigh e o método de
três graus de liberdade por piso, (3GL/Piso), parece importante fazer-se uma análise das
estruturas propostas através destas duas metodologias. Tendo em consideração que estes
métodos não são de conhecimento universal, é feita uma breve resenha sobre as
metodologias em questão, para que o leitor acompanhe mais facilmente os cálculos
efectuados relativamente às estruturas em apreço.
Estes resultados não foram incluídos pelo autor no corpo do Capítulo V para que as
comparações de resultados nele efectuadas não passassem desapercebidas ao leitor.
II.2. Método de Rayleigh [FEUP98]
Este método considera a existência de um só modo de vibração para cada direcção
ortogonal da estrutura em análise. A forma desse modo consiste na deformada da estrutura
quando esta se encontra submetida ao peso [G+Ψ2Q] aplicado na horizontal,
independentemente para cada direcção ( xx, yy).
A frequência dada pelo método de Rayleigh é igual à frequência de vibração de um
oscilador de um grau de liberdade, uma vez que a forma do modo de vibração é a forma da
estrutura solicitada na horizontal pelo seu peso.
Como exemplo da aplicação deste método apresenta-se o cálculo de uma estrutura não
simétrica, nas Figuras II.1 e II.2.
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Anexo II
AII.2
Figura II.1 – Perspectiva da estrutura adoptada para apresentar o método de Rayleigh.
Planta Tipo
LM LM LM LM
LM LM LM
P1 P2 P3 P4
P6
Par 1 Par 2
P7
P9 P10
P5
P8
P11
6.0 4.7 6.0 6.0
6.0
6.0
P ó r t i c o
y 1
P ó r t i c o
y 2
P ó r t i c o
y 3
P ó r t i c o
y 4
P ó r t i c o
y 5
Pórtico x1
Pórtico x2
Pórtico x3
Figura II.2 – Planta tipo da estrutura adoptada para apresentar o método de Rayleigh.
A análise sísmica através do método de Rayleigh pressupõe as seguintes fases:
− Determinação do deslocamento dos vários pisos para a estrutura submetida ao
seu peso aplicado na direcção em análise.
Para tal é efectuada uma transformação da estrutura tridimensional em
bidimensional , através de uma associação em comboio de todos os elementos
resistentes na direcção em análise. Na Figura II.3 encontra-se representada a
associação em comboio da estrutura apresentada segundo yy, admitindo P y1≡
P y4≡ P y5 e P y2≡ P y3.
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.3
Piso 1
Piso 2
Piso 3
F1 d1
d2
d3
F2
F3
2Pórtico y2
Piso 2
Piso 3
3Pórtico y1
Piso 1
Figura II.3 – Determinação do deslocamento da estrutura segundo yy para umcarregamento igual ao peso da estrutura por piso aplicado nahorizontal utilizando uma associação em comboio dos pórticosnessa direcção.
Atendendo a que as forças de massa assumem o valor:
g m F ii ×= (II.1)
em que F i corresponde à força de massa do piso i e g é a aceleração da gravidade.
As forças aplicadas e os deslocamentos relacionam-se como se verifica na expressão (II.2):
[K]{d}={F} { }
=
n
2
1
d
...
d
d
d (II.2)
em que K é a matriz de rigidez, d o vector dos deslocamento e F o vector das forças.
Considerando ainda que a frequência angular é dada por:
1
121 M
K =ω (II.3)
em que K 1 e M 1 são, respectivamente, a rigidez e a massa associadas ao modo de vibração
em análise, dadas por:
{ } [ ] { }d × K ×d = K T 1 (II.4){ } [ ] { }d ×M ×d =M T
1 (II.5)
Através da equação (II.2):
{ } { } iiT
1 d × F = F ×d = K ∑ (II.6)
{ } { } { }
...3 F 2 F 1 F
×...3d 2d 1d = F ×T d (II.7)
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Anexo II
AII.4
Multiplicando ambos os termos da equação (II.5) pela constante g obtém-se:
{ } [ ] { } ∑ 2ii
T 1 d × F =d × g ×M ×d =M × g (II.8)
Substituindo as equações (II.6) e (II.8) na equação (II.3), obtém-se a equação da frequênciade vibração do método de Rayleigh:
2ii
ii
2i
ii
d × F
d × F × g
2π
1= f ;
d × F
d × F × g =ω
∑∑
∑∑
(II.9)
− Através do cálculo das frequências próprias da estrutura e com o recurso
a espectros de resposta da regulamentação portuguesa – Regulamento de
segurança e acções para estruturas de edifícios e pontes RSA
[RSA83] – são calculadas as acelerações sísmicas para um sismo tipo I e
para um sismo tipo II , (SaI e SaII ).
− As forças sísmicas globais por piso numa dada direcção f i serão então:
di Fi××η
ω× g Sa= fi
2
2 (II.10)
em que:
S a – Aceleração sísmica do RSA. [RSA83] função da frequência própria daestrutura;
g – Aceleração da gravidade;
η – Coeficiente de comportamento da estrutura REBAP [REBAP86];
F i – Massa do piso i;
d i – Deslocamento do piso i quando a estrutura é submetida a um carregamento
horizontal igual com um valor igual ao peso de cada piso;
ω – Frequência de vibração angular de Rayleigh dada pela equação (II.9).
A distribuição das forças sísmicas globais, segundo uma dada direcção pelos vários
pórticos, pode dividir-se em duas fases:
– Distribuição da acção horizontal considerando que só existe translação;
– Distribuição horizontal considerando que só existe rotação.
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.5
Quando se considera apenas translação, a acção sísmica global por piso na estrutura é
distribuída pelos elementos planos resistentes – Pórticos– proporcionalmente à rigidez
relativa destes. A rigidez relativa dos pórticos é calculada através da relação entre os cortes
basais de uma estrutura em comboio, como a apresentada na Figura II.4.
Piso 1
Piso 2
Piso 3
f 1
f 2
f 3
Piso 2
Piso 3
R11
Piso 1
2Pórtico y23Pórtico y1
R12 R13 R21 R22
R1=R11+R12+R13 R2=R21+R22
αPórico 1 = R1/(3(R1+R2)) αPórico 2 = R2/(2(R1+R2))
f1, f2, f3 – Forças sísmicas nos pisos 1, 2 e 3 respectivamente
Figura II.4 – Representação da estrutura mediante a solicitação do seu pesona horizontal.
Assim, a força sísmica a aplicar ao pórtico 1, considerando que só existe translação será:
1 Pórticoα×
n f
...2 f 1 f
=1 Pórtico f
(II.11)
em que f i é o vector das forças sísmicas globais por piso e α é a rigidez relativa do pórtico.
A consideração da rotação da estrutura é feita através da introdução de uma excentricidade
entre o centro de rigidez e o centro de massa da estrutura para cada direcção.
O RSA considera duas situações distintas conforme a simetria da estrutura:
– Estruturas simétricas
Os efeitos sísmicos num dado pórtico devem ser agravados de um
factor ξ tal que:
a
x×0.6 +1=ξ (II.12)
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Anexo II
AII.6
em que x é a distância do centro de rigidez do piso ao plano de simetria e a a dimensão em
planta na direcção perpendicular à actuação da acção sísmica.
– Estruturas não simétricas
Para estruturas não simétricas deve ter-se em atenção a necessidade da
consideração de excentricidades adicionais conforme apresentado na
Figura II.5 e considerar para cada elemento a excentricidade que nele
produza um efeito mais desfavorável.
e[-] e[+]
bi
e2i e1i
a
Cri
Cgi
e1i = 0.5bi + 0.05a e2i = 0.05a
a = Dimensão do edifício segundo a direcção perpendicular à força F
Cgi = centro de massa do piso i
Cri = centro de rigidez do piso i
Figura II.5 – Excentricidades adicionais segundo o
R.S.A.
II.3. Método 3GL/Piso (Três graus de liberdade por piso) [FEUP98]
Este método consiste numa análise simplificada em que um sistema tridimensional é
analisado como um sistema bidimensional multimodal. Os pisos são considerados
uniformemente rígidos, compatibilizando os deslocamentos horizontais dos vários
elementos verticais, nomeadamente pilares e paredes (Figura II.6).
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.7
Rigidez infinita no plano do piso
(3 GL/piso)
Vi
Ui
θi
Figura II.6 – Modelação de uma estrutura através do método 3GL/Piso
Os deslocamentos da estrutura tridimensional resumem-se a duas translações e a uma
rotação por piso. Em cada piso existem três massas e três rigidezes associadas, uma em
cada direcção ( translação segundo xx e yy e rotação).
U1
θ1 V1
U2
θ2 V2
V3
U3
θ3
U4
V4 θ4
[M4]
[M3]
[M2]
[M1] [M1]=[Mx1, My1, I01]
[M2]=[Mx2, My2, I02]
[M3]=[Mx3, My3, I03]
[M4]=[Mx4, My4, I04]
x
y
Figura II.7 – Representação do sistema multimodal para o método 3GL/Piso.
Fazendo uma breve análise sobre este método de cálculo podemos considerar as seguintes
variáveis:
U i – Deslocamento do andar i segundo xx.
V i – Deslocamento do andar i segundo yy.
θi – Rotação do andar i.
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Anexo II
AII.8
O vector deslocamento e o vector força tomam a seguinte forma:
[U]T = [ U1 V1 θ1 U2 V2 θ2……………… Un Vn θn ]
[F]T
= [ F x1 F y1 M1 F x2 F y2 M2……………… F xn F yn Mn ]
em que n é o número de pisos da estrutura.
Assim, a rigidez é traduzida por uma matriz de dimensão [3n3n].
A matriz de rigidez da estrutura pode ser construída basicamente por duas formas distintas:
– directamente, impondo deslocamentos;
– indirectamente, solicitando a estrutura.
Na construção da matriz de rigidez deve ter-se em atenção a direcção do pórtico para aferir
a participação que este toma na construção da matriz de rigidez global. A forma como se
calcula essa participação encontra-se representada na Figura II.8.
Uma força f na direcção do portico é equivalente a:
f cosα na direcção xx f senα na direcção yy f ρ momento em torno de zz
P4
P1
P7
ρ
α
xx
Y
Z
ρ
α XZ
Ui
Vi
dicosα
θi
di
Figura II.8 – Transformação das variáveis locais de um pórtico nas variáveis globais do piso.
As forças aplicadas em cada pórtico decompõem-se numa rotação e em duas translações,
sendo estas as projecções das forças nas direcções do referencial xy e a rotação a
componente correspondente à possível não coincidência entre o eixo do pórtico e a origem
do sistema de eixos.
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.9
Logo, a mudança do referencial local para o referencial global é feita por multiplicação do
vector das forças por um vector transformação T dado por:
ρ sinα
cosα
=T (II.13)
Relativamente ao vector deslocamento de um piso, pode efectuar-se uma análise
semelhante para aferir as componentes do deslocamento do pórtico no sistema de eixos
global.
Fazendo a projecção das componentes dos deslocamentos no sistema de eixos xy sobre a
direcção do pórtico obtém-se uma relação entre o deslocamento global do pórtico na sua
direcção e os deslocamentos nas direcções xy.
d i = dxi cos α + dyi sen α + ρ θi (II.14)
{d}i = {t}T {a}i (II.15)
K p d = Q (II.16)
Uma vez que d = t T {a} e multiplicando por {T} obtemos:
{T} K p{T}T {a} = {T}{Q} (II.17)
[K p ]G {a} = {F p } (II.18)
[K p ]G
– Contribuição para a matriz de rigidez global por parte do pórtico p.
{F p } – Contribuição para o vector solicitação do pórtico p.
Na Figura II.9 encontra-se representada a definição da matriz de massa Mi
G
xo
p g g
g
g
i
I x×m y×m
x×mm0
y×m0m
=M
Figura II.9 – Matriz de massa para o sistema 3GL/Piso.
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Anexo II
AII.10
A determinação das frequências de vibração transforma-se num problema de valores
próprios que pode ser resolvido através da equação (II.19). A resolução desta equação pode
ser realizada por vários métodos quer directos quer iterativos. Neste trabalho os valores
próprios foram calculados através dos zeros da equação (II.20).
[K] {d}T = ω2[M]{d} (II.19)
Assim:
ω0=M ×ω K det 2 ⇒
- (II.20)
Após o cálculo das frequências de vibração, associadas a um dado modo de vibração,
procede-se ao cálculo das massas generalizadas associadas a esse modo de vibração:
M i = { φi }T [M]{ φi } (II.21)
Em que φi são os modos de vibração.
Posteriormente, para cada modo de vibração, efectua-se o cálculo dos factores de
participação modal.
Cálculo dos factores de participação modal
Considerando um vector Li dado:
Para um modo de translação em xx
Li = { φi }T [M]{1 0 0 1 0 0 1 0 0 .....}T (II.22)
Para um modo de translação em yy
Li = { φi }T [M]{0 1 0 0 1 0 0 1 0 .....}T (II.23)
Para um modo de rotação em θθ
Li = { φi }T [M]{0 0 1 0 0 1 0 0 1 .....}T (II.24)
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.11
O cálculo dos deslocamentos modais é representado na equação (II.22):
{ } { }iiiaii
ii ) ,( S
M
Ld φξω
ωφ ××
×=
2 (II.25)
Em seguida procede-se ao cálculo da máxima participação modal através do método CQC
(Combinação quadrática completa) [Clou93]. Este método consiste em combinar
quadraticamente os deslocamentos modais pertencentes a modos diferentes. Deste modo, é
possível associar de modo coerente deslocamentos máximos que ocorrem em instantes
diferentes.
Após a obtenção dos deslocamentos máximos para cada direcção, é efectuada a
combinação dos resultados provenientes das várias direcções através do método CQS
(Combinação quadrática simples) [Clou93].
Com os deslocamentos calculados usando a combinação quadrática simples para as várias
direcções, determinam-se os deslocamentos dos vários elementos estruturais (pórticos)
através das relações descritas na Figura II.8.
Posteriormente os pórticos são calculados para os deslocamentos provenientes das várias
direcções, e os cortes basais daí obtidos são combinados através do método CQS
(Combinação quadrática simples). Com os cortes basais por pórtico são obtidas as forças
por andar para o cálculo dos esforços de cada pórtico.
Segundo Arêde [Arê92] o método de combinação (CQC; CQS) é o mais consistente para
combinar os resultados dos modos provenientes das várias direcções.
II.4. Análise Sísmica das estruturas propostas
Nesta subsecção apresentam-se os cálculos das estruturas 1, 2 e 3 recorrendo aos dois
métodos considerados: Método de Rayleigh e 3GL/Piso, para posterior comparação com os
resultados dos diferentes programas.
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Anexo II
AII.12
II.4.1. Cálculo da estrutura 1
II.4.1.1. Cálculo da massa da estrutura 1
Detalha-se em seguida o cálculo da massa da estrutura 1:
Peso dos pilares Gp = ÁreaComprimentonº de pilaresγBETÃO
= 0.300.304.00425
= 36.00 kN
Peso da laje GLAJE = ÁreaEspessuraγBETÃO
= 5.405.400.2025
= 145.80 kN
Peso das vigas GViga = ÁreaComprimentonº de VigasγBETÃO
= 0.300.605.4425
= 97.20 kN
Peso dos Revest.GReves.= ÁreaRev.
= 6.006.001.00
= 36.00 kN
GTOTAL= 315kN
Massa do Piso =81.9
00.297
81.9
)00.1800.315(=
−=30.275 Ton.
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.13
II.4.1.2. Cálculo da estrutura 1 pelo Método de Rayleigh
A rigidez do pórtico determina-se recorrendo à inversa da matriz flexibilidade. A matriz de
flexibilidade por sua vez calcula-se num programa de pórticos como se apresenta na Figura
II.10.
P2
V1
P1
m2
0.03505l =∆
297 kN
G+ψ2Q
Figura II.10 – Estrutura 1 solicitada à força de inércia as da estrutura na horizontal.
K Pórtico=8474.58 kN/m (II.26)
G + ψ2Q =297.00 kN (II.27)
3.77Hz=0.01752×297
0.01752×297 ×9.81
2π
1=
d × F
d × F × g
2π
1= f
22ii
ii
RAYLEIGH ∑∑ (II.28)
A Figura II.11 apresenta o modelo simplificado referente ao cálculo de um oscilador de um
grau de liberdade.
f sismoMassa
Figura II.11 – Cálculo das forças sísmicas para a estrutura 1.
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Anexo II
AII.14
Conhecendo-se a frequência de vibração determinam-se as acelerações sísmicas para o
sismo Tipo I e para o sismo Tipo II [ RSA83], que se encontram representadas no Quadro
II.1, para ambas direcções.
FrequênciasHz
SaSismo Tipo I
m/s2
SaSismo Tipo II
m/s2 xx–3.77Hz 4.14 2.50
yy–3.77Hz 4.14 2.50
Quadro II.1 – Acelerações sísmicas regulamentares para a estrutura 1.
A força sísmica numa dada direcção será fornecida equação (II.29). Os resultados das
forças sísmicas para o único piso apresentam-se no Quadro II.2, tanto para um sismo tipo I
como para um sismo tipo II.
2
2 sismoη× g
ω×Sa= f (II.29)
FrequênciasHz
Força SísmicaSismo Tipo I
Força SísmicaSismo Tipo II
xx–3.77Hz 50.15 kN 30.28 kN
yy–3.77Hz 50.15 kN 30.28 kN
Quadro II.2 – Forças sísmicas globais na direcção xx e na direcção yy.
Sendo a estrutura simétrica, o centro de rigidez e o centro de massa são coincidentes, pelo
que não existe torção no edifício causada pelas forças sísmicas segundo xx e segundo yy.
No entanto, a ausência de acção sísmica rotacional obriga à consideração de uma
excentricidade segundo o artº 32.2 do RSA, que agrava as forças dos pórticos da seguinte
forma, equação (II.30):
F Pórtico = f iξ (II.30)
em que f i consiste na força no pórtico, admitindo somente translação, ξ representa um
coeficiente que majora a força f i dado pela equação (II.31), x define a distância do pórtico
ao plano de simetria do piso, e a a dimensão da estrutura na direcção perpendicular à
direcção da força sísmica.
a
x×0.6 1+=ξ (II.31)
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.15
No caso do efeito da resultante da equação anterior não se revelar suficientemente gravoso,
deve considerar-se:
F Pórtico=f i+ f’ i (II.32)
f i´= 2 f i0.055.7/4 = 0.1425 f i (II.33)
Através das equações (II.32)e (II.33), obtém-se F Pórtico=1.30 F i /2.
Na Figura II.12 surgem representadas as solicitações de um sismo tipo I e tipo II num
pórtico da estrutura.
Pórtico 32.60kN
fi Pórtico 19.68 kN
fi
Figura II.12 – Força sísmica de um pórtico para a acção sísmica tipo I e tipo II.
No Quadro II.3 encontram-se os valores do corte basal em xx e em yy para a acção sísmica
tipo I e tipo II .
Solicitação xx Solicitação yy
xx[kN] yy[kN] xx[kN] yy[kN]Sismo I 65.2 0.0 0.0 65.2
Sismo II 39.4 0.0 0.0 39.4
Quadro II.3 – Corte Basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 1.
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Anexo II
AII.16
II.4.1.3. Cálculo da estrutura 1 pelo Método 3GL/piso
Em seguida será apresentado o cálculo sísmico da estrutura 1 para três situações distintas:
que os pilares se encontram encastrados nos pisos, que aqueles se apoiam nos pisos eainda, a rigidez real da estrutura reticulada.
II.4.1.3.1. Estrutura 1 considerando os pilares encastrados no piso
Procede-se nesta subsecção ao cálculo da estrutura 1 assumindo a simplificação que reside
nos pilares se encontrarem encastrados ao nível do piso, Figura II.13.
.
∆lPiso Rígido
3.70
297 kN
G+ψ2Q
Figura II.13 – Estrutura 1 solicitada ao seu peso considerando o piso infinitamente rígido.
Na equação (II.34) são apresentadas as componentes da matriz de rigidez da estrutura 1.
[K]=
θ K
K
K
yy
xx
(II.34)
Sendo K xx, a componente da matriz de rigidez correspondente à direcção xx, K yy a
componente da matriz de rigidez segundo yy, Κ θ, a componente rotacional da matriz de
rigidez.
Considerando a simetria da estrutura, pode verificar-se que K xx = K yy :
K xx = K yy = 3 L
PILAR EI ×12×4 = 18549.74kN/m (II.35)
A frequência de vibração assume o valor, equação (II.36):
3.94Hz=297
18549.74×9.81
2π
1=
M
K
2π
1 yy f = xx f = (II.36)
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.17
A rigidez da estrutura à rotação pode ser observada na equação (II.37). [Clou93]
K θ = 4 K Pórtico 2
2
5.7
= 30130.53kNm (II.37)
Considerando a massa uniformemente distribuída pelo piso, para um piso com a forma
rectangular, a massa rotacional I 0 assume o valor:
I 0=12
2b+2a×M = 163.94 Ton.m2 (II.38)
Em que M é massa do piso, a e b são as dimensões do piso em planta.
Através da massa rotacional I 0 e da rigidez de rotação, pode determinar-se a frequência de
rotação, assim, equação (II.39):
6.82Hz=163.94
30130.53
2π
1
0 I θ K
2π
1=θ f = (II.39)
No Quadro II.4 encontram-se apresentadas as frequências de vibração da estrutura 1
calculada através do método 3GL/Piso com os pilares encastrados nas lajes.
Modos devibração
1 2 3
FrequênciasHz 3.94 3.94 6.82
Quadro II.4 – Frequências de vibração para a estrutura 1 considerando os pilares encastrados no piso.
Sendo a estrutura é um oscilador de um grau de liberdade, os vectores próprios assumem a
forma, equação (II.40):
=
0
0
1
1ϕ ;
=
0
1
0
2ϕ ;
=
1
0
0
3ϕ (II.40)
Não é necessário efectuar a combinação quadrática para determinar o máximo
deslocamento numa dada direcção, pois só existe um modo por direcção. Usar-se-á a
combinação quadrática simples (CQS) para combinar resultados de diferentes direcções.
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Anexo II
AII.18
No Quadro II.5, apresentam-se as acelerações sísmicas regulamentares para as frequências
da estrutura, calculada pelo método 3GL/Piso com os pilares encastrados nas lajes.
Frequências
Hz
Sa
Sismo Tipo Im/s2
Sa
Sismo Tipo IIm/s2 xx–3.94Hz 4.24 2.50
yy–3.94Hz 4.24 2.50
θ –6.82Hz 4.87 2.50
Quadro II.5 – Acelerações sísmicas regulamentares para a estrutura 1.
A partir destas acelerações sísmicas, é possível determinar o deslocamento máximo
segundo xx, yy e θ do piso 1. Os deslocamentos máximos dos pisos segundo as várias
direcções calculam-se através da equação (II.41), encontrando-se representados no QuadroII.6:
α2Sa
1M
1 L1u ××=
ω; α2
Sa
2M
2 L2u ××=
ω; α2
Sa
3M
3 L3u ××=
ω (II.41)
u1 u2 uθ
0.006912 0.006912 0.0000402 –Sismo tipo I 0.000408 0.000408 0.0000206 –Sismo tipo II
Quadro II.6 – Deslocamentos máximos do piso segundo x, y e θ
A determinação das forças sísmicas para um pórtico qualquer é feita a partir dos resultados
anteriores utilizando a equação (II.42) ou (II.43):
22
final x1 2
5.7 ×
2.5
0.0000402+
2.5
0.006912× K =u× K = F
=25.65kN Tipo I (II.42)
22
final x1 25.7 ×
2.50.0000206 +
2.50.00408× K =u× K = F
=15.14kN Tipo II (II.43)
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.19
Na Figura II.14 encontram-se representadas as forças sísmicas a aplicar aos pórticos para a
acção sísmica tipo I e para a acção sísmica tipo II .
Pórtico
25.65kN
fi Pórtico
15.14 kN
fi
Figura II.14 – Força sísmica de um pórtico para a acção sísmica tipo I e tipo II.
No Quadro II.7 encontram-se representados os cortes basais da estrutura 1 calculadaatravés do método 3GL/piso, considerando que os pilares da estrutura se encontram
encastrados no piso.
Solicitação xx Solicitação yy
xx yy xx yy
Sismo I 51.3 kN 0.0 kN 0.0 kN 51.3 kN
Sismo II 30.3 kN 0.0 kN 0.0 kN 30.3 kN
Quadro II.7 – Corte basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 1.
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Anexo II
AII.20
II.4.1.3.2. Estrutura 1 considerando os pilares duplamente apoiados na laje
Nesta subsecção ao cálculo da estrutura com os pilares duplamente apoiados ao nível dos
pisos, Figura II.15.
∆
Rótulas
3.70
297 kN
G+Ψ2Q
Figura II.15 – Estrutura 1 solicitada ao seu peso próprio com rótulas nos pilares.
Considerando a simetria da estrutura, pode verificar-se que:
K xx = K yy =3 PILAR
L
EI ×3×4 = 4637N/m (II.44)
A frequência de vibração é dada pela equação (II.45):
1.97Hz=297
4637.44×9.81
2π
1=
M
K
2π
1= f = f yy xx (II.45)
A rigidez da estrutura à rotação é calculada através da equação (II.46). [Clou93]
K θ = 4 K Pórtico 2
2
5.7
= 75335kNm/rad (II.46)
A massa rotacional é dada por:
I 0=( )12
22 baM +×= 163.9 Ton.m2 (II.47)
Através da massa rotacional I 0 e da rigidez de rotação, pode determinar-se a frequência de
rotação:
Hz..
.
I f
K
41394163
1375335
2
1
2
1
0
===ππ
θθ (II.48)
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.21
No Quadro II.8 encontram-se as frequências de vibração da estrutura 1 calculada através
do método 3GL/Piso considerando os pilares como duplamente apoiados nos pisos.
Modos de
vibração1 2 3
FrequênciasHz
1.97 1.97 3.41
Quadro II.8 – Frequências de vibração para a estrutura 1 considerando os pilares duplamente apoiados no
piso e encastrados na fundação.
No Quadro II.9 apresentam-se as acelerações regulamentares para um sismo tipo I e tipo II
em função das frequências de vibração da estrutura, calculada pelo método 3GL/Piso
considerando os pilares apoiados no piso.Frequências
Hz
SaSismo Tipo I
m/s2
SaSismo Tipo II
m/s2 xx–1.97Hz 2.58 2.41
yy–1.97Hz 2.58 2.41
θ –3.41Hz 3.91 2.50
Quadro II.9 – Acelerações sísmicas regulamentares para a estrutura 1.
A determinação do deslocamento máximo segundo xx, yy e θ do piso 1 é realizada através
da equação (II.41), encontrando-se aqueles representados no Quadro II.10
u1 u2 uθ
0.0168534 0.0168534 0.0000645 – Sismo tipo I 0.0015725 0.0015725 0.0000413 – Sismo tipo II
Quadro II.10 – Deslocamentos máximos do piso segundo xx, yy e θ.
As forças sísmicas para um qualquer pórtico tomam o valor:
22
final x1 25.7 ×2.50.00006454+2.50.0168534× K =u× K = F = 15.63kN Tipo I (II.49)
22
final x1 2
5.7 ×
2.5
0.00004125+
2.5
0.0015725× K =u× K = F
= 14.59kN Tipo II (II.50)
Na Figura II.16 encontram-se representadas as forças sísmicas a aplicar aos pórticos para a
acção sísmica tipo I e para a acção sísmica tipo II .
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Anexo II
AII.22
Pórtico 15.63kN
fi Pórtico 14.59 kN
fi
Figura II.16 – Força sísmica de um pórtico para a acção sísmica tipo I e tipo II.
No Quadro II.11 apresentam-se os cortes basais da estrutura 1 calculada através do método
3GL/piso considerando os pilares apoiados no piso.
Solicitação xx Solicitação yy
xx yy yx yy
Sismo I 31.3 kN 0.0 kN 0.0 kN 31.3 kNSismo II 29.2 kN 0.0 kN 0.0 kN 29.2 kN
Quadro II.11 – Corte basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 1.
II.4.1.3.3. Estrutura 1 considerando apenas a estrutura reticulada (vigas e pilares)
Como já foi referido, o centro de massa é coincidente com o centro de rigidez, e a rigidez
da estrutura à translação xx é igual à rigidez em yy .
m2
0.03505=∆
297 kN
G+Ψ2Q
Figura II.17 – Estrutura 1 solicitada ao peso próprio com a rigidez da estrutura reticulada.
Assim sendo, as componentes da matriz da rigidez da estrutura 1 são as apresentadas na
equação (II.34).
Considerando a simetria da estrutura, podemos verificar que K xx = K yy:
K xx = K yy = 16949.15N/m (II.51)
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.23
A frequência de vibração é dada pela equação (II.52).
3.77Hz=297
16949.15×9.81
2π
1=
M
K
2π
1 f = f yy xx = (II.52)
K θ = 4 K Pórtico 2
25.7
= 275338.98kNm/rad (II.53)
A massa rotacional assume o valor, equação(II.54):
I 0=( )12
22 baM +×= 163.94 Ton.m (II.54)
Através da massa rotacional I 0 e da rigidez de rotação, pode determinar-se a frequência de
rotação, equação (II.55):
Hz..
. I K f f yy xx 526
9416398275338
21
21
0
====ππ
θ (II.55)
No Quadro II.12 são apresentadas as frequências de vibração da estrutura 1 considerando a
estrutura reticulada sem lajes.
Modos devibração
1 2 3
FrequênciasHz
3.77 3.77 6.52
Quadro II.12 – Frequências de vibração para a estrutura 1 considerando a rigidez da estrutura reticulada sem
lajes.
No Quadro II.13 estão representadas as acelerações regulamentares para as frequências de
vibração da estrutura reticulada através do método 3GL/Piso.
FrequênciasHz
SaSismo Tipo I
m/s2
SaSismo Tipo II
m/s2 xx–3.77Hz 4.14 2.5
yy–3.77Hz 4.14 2.5
θ –6.52Hz 4.85 2.5
Quadro II.13 – Acelerações sísmicas regulamentares para a estrutura 1.
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Anexo II
AII.24
A determinação do deslocamento máximo segundo xx, yy e θ do piso 1 realizada-se através
da equação (II.41), encontrando-se aqueles representados no Quadro II.14:
u1 u2 uθ
0.0073818 0.0073818 0.0000418 – Sismo tipo I 0.0044577 0.0044577 0.0000216 – Sismo tipo II
Quadro II.14 – Deslocamentos máximos do piso segundo x, y e θ
A determinação das forças sísmicas para um qualquer pórtico é feita usando:
2
2
5.7 ×
2.5
280.00004183+
2
2.5
0.007382× K = final u× K = x1 F
= 25.03kN Tipo I (II.56)
2
2
5.7 ×2.5
7 0.00002157 +
2
2.5
0.0044577 × K = final u× K = x1 F
= 15.11kN Tipo II (II.57)
Na Figura II.18 encontram-se representadas as forças sísmicas a aplicar aos pórticos para a
acção sísmica tipo I e para a acção sísmica tipo II .
Pórtico 25.03kN
fi Pórtico 15.11 kN
f i
Figura II.18 – Força sísmica de um pórtico para a acção sísmica tipo I e tipo II.
Por sua vez os cortes basais da estrutura 1, calculada através do método 3GL/piso,
encontram-se representados no Quadro II.15:
Solicitação xx Solicitação yy
xx yy xx yy
Sismo I 50.0 kN 0.0 kN 0.0 kN 50.0 kN
Sismo II 30.2 kN 0.0 kN 0.0 kN 30.2 kN
Quadro II.15 – Corte basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 1.
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.25
II.4.1.3.4. Comparação dos cortes basais para as várias modelações da Estrutura 1
com recurso ao método 3GL/Piso
No Quadro II.16 encontram-se representados os cortes basais da estrutura 1 na direção xx para as várias modelações através do método 3GL/Piso.
Estrutura c/Pilares encastrados
Estrutura c/Pilares com rótulas
Estrutura Reticulada
Corte Basal Corte Basal Corte Basal
Sismo I 51.3 kN 31.3 kN 50.0 kN
Sismo II 30.3 kN 29.2 kN 30.2 kN
Quadro II.16 – Comparação dos vários cortes basais segundo xx para a estrutura 1.
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Anexo II
AII.26
II.4.2. Cálculo da estrutura 2
II.4.2.1. Calculo da massa da estrutura 2
O cálculo da massa da estrutura 2 apresenta-se em seguida:
Peso dos pilares Gp = ÁreaComprimentonº de pilaresγBETÃO
= 0.300.304.001625.00
= 144.00 kN
Peso da Laje GLAJE = ÁreaEspessuraγBETÃO
= 95.405.400.2025
= 1312.20 kN
Peso das vigas GViga = ÁreaComprimentonº de VigasγBETÃO
= 0.300.605.42425
= 583.20 kN
Peso dos Reves.GReves.= ÁreaRev.
= 17.4017.401.00
= 302.76 kN
GTOTAL=2342.16kN
Massa do Piso = (2342.16-72.00)/9.81=2270.16/9.81=231.41 Ton.
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.27
II.4.2.2. Cálculo da estrutura 2 pelo método de Rayleigh
A rigidez do pórtico f calculada do mesmo modo que na secção II.4.1.2
A rigidez de cada pórtico assume o valor:
K Pórtico= 68906.12 kN/m (II.58)
Consequentemente, a rigidez de translacção da estrutura é igual a:
K Total = 468906.12=275624.48 kN/m (II.59)
Calculada a rigidez da estrutura 2, importa aferir a massa da mesma estrutura. A massa
mobilizada na análise sísmica pode ser obtida do seguinte modo:
G + Ψ2Q =2278.87 kN (II.60)
Na Figura II.19, encontra-se representado o método de determinação do deslocamento da
estrutura 2 submetida ao carregamento da sua massa na horizontal.
m03307.0=∆
2278.87 kN
G+Ψ2Q ∆ ∆
Figura II.19 – Deslocamento da estrutura quando submetida ao seu peso na horizontal.
Hz...
...
d F
d F g
f ii
ii
RAYLEIGH 742033070872278
033070872278819
2
1
2
122 =×
××
=×
××
= ∑∑
ππ (II.61)
Tal como já foi anteriormente referido, a frequência dada pelo método de Rayleigh é igual
à frequência de vibração de um oscilador de um grau de liberdade, uma vez que a forma do
modo de vibração é a forma da estrutura solicitada na horizontal pela sua massa.
Através da frequência de vibração calculada pela equação (II.28) podem, fazendo uso do
RSA [RSA83], determinar-se as acelerações sísmicas.
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Anexo II
AII.28
No Quadro II.17 estão representadas as acelerações sísmicas para as frequências das duas
direcções.
Frequências
Hz
Sa
Sismo Tipo Im/s2
Sa
Sismo Tipo IIm/s2 xx–2.74Hz 3.37 2.50
yy–2.74Hz 3.37 2.50
Quadro II.17 – Acelerações sísmicas regulamentares para a estrutura 2.
A força sísmica numa dada direcção será dada pela equação (II.29).
No Quadro II.18 encontram-se representadas as forças sísmicas globais para o piso 1, para
um sismo tipo I e para um sismo tipo II .
FrequênciasHz
Força SísmicaSismo Tipo I
Força SísmicaSismo Tipo II
xx–2.74Hz 312.84 kN 232.10 kN
yy–2.74Hz 312.84 kN 232.10 kN
Quadro II.18 – Forças sísmicas globais na direcção xx e na direcção yy.
Tal como acontece para a estrutura 1, o centro de rigidez e o centro de massa são
coincidentes, logo, não existe torção no edifício causada pelas forças sísmicas segundo xx e
segundo yy. No entanto, a ausência de acção sísmica rotacional impõe a consideração deuma excentricidade, segundo o Artigo 32.2 do RSA [RSA83]. O cálculo desta força
adicional é realizado com base nas equações (II.30) a (II.32)
A força f’ i é determinada através de um momento M gerado pela excentricidade
regulamentar e = 0.05 a.
M = 4 f i0.0517.1 (II.62)
f' i Pórtico interior = 0.00514 f i (II.63)
f' i Pórtico exterior = 0.01544 f i (II.64)
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.29
Através das equações (II.62) a (II.64) obresva-se que f Pórtico interior =1.10 F i /4 e, f Pórtico
exterior =1.30 F i /4.
Na Figura II.20 estão representadas as solicitações de um sismo tipo I e tipo II num pórticoexterior da estrutura.
Pórtico exterior 101.67 kN
N Sismo Tipo I
Pórtico exterior 75.43 kN
N Sismo Tipo II
Figura II.20 – Força sísmica de um pórtico exterior para a acção sísmica tipo I e tipo II.
Na Figura II.21 estão representadas as solicitações de um sismo tipo I e tipo II , num pórtico
interior da estrutura.
Pórtico interior
86.03 kN
N Sismo Tipo I
Pórtico interior 63.83 kN
N Sismo Tipo II
Figura II.21 – Força sísmica de um pórtico interior para a acção sísmica tipo I e tipo II.
No Quadro II.19 estão representados os cortes basais em xx e em yy para a acção sísmica
tipo I e tipo II .
Solicitação xx Solicitação yy
xx yy xx yy
Sismo I 375.40 0.00 0.00 375.40
Sismo II 278.52 0.00 0.00 278.52
Quadro II.19 – Corte basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 2.
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Anexo II
AII.30
II.4.2.3. Cálculo da estrutura 2 pelo método 3GL/piso
Em seguida, serão apresentadas as frequências de vibração da estrutura 2 para três
situações diferentes, considerando que os pilares se encontram encastrados nos pisos,considerando que estes se apoiam nos pisos e ainda, considerando a rigidez da estrutura
reticulada.
II.4.2.3.1. Estrutura 2 considerando os pilares encastrados no piso
Como foi referido, a estrutura é simétrica, logo, a rigidez da estrutura à translação xx é
igual à rigidez segundo yy.
Na Figura II.22 está representada a estrutura 2 com os pilares encastrados no piso.
m2
0.03505=∆
2278.87 kN
G+Ψ2Q ∆ Piso Rígido
3.70
5.70 5.70 5.70
∆ ∆
Figura II.22 – Deslocamento da estrutura 2 quando submetida ao seu peso na horizontal considerando que o
piso e as vigas são infinitamente rígidos.
A rigidez do pórtico é dada por:
K Pórtico =3
124
L
EI PILAR×× = 18549.74kN/m (II.65)
Como a estrutura possui 4 pórticos iguais em cada direcção, as rigidezes horizontal em xx e
em yy são iguais, assumindo o valor:
K xx = K yy =3 PILAR
L
EI ×12×16 = 74198.96kN/m
(II.66)
A frequência de vibração da estrutura é dada pela equação (II.67)
2.84Hz=2278.87
74198.96 ×9.81
2π
1=
M
K
2π
1= yy f = xx f (II.67)
A rigidez da estrutura à rotação pode ser calculada com base na equação (II.68), [Clou93]:
K θ = 4 K Pórtico 2
2
5.7
+4 K Pórtico
25.7 +
2
5.7
= 6026810.56 kNm/rad (II.68)
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.31
A massa rotacional assume o valor de:
I0=( )12
22 baM +×= 232.30((5.73)2
2)/12 = 11321.18 Ton.m2 (II.69)
A frequência de rotação é igual a:
Hz..
.
I
K f 673
1811321
566026810
2
1
2
1
0
===ππ
θθ (II.70)
No Quadro II.20 estão representadas as frequências de vibração para as várias direcções
em análise.
Modos devibração 1 2 3
FrequênciasHz
2.84 2.84 3.67
Quadro II.20 – Frequências de vibração para a estrutura 2 considerando os pilares encastrados no piso.
Neste exemplo, não é necessário usar a combinação quadrática para determinar o máximo
deslocamento numa dada direcção, pois só existe um modo por direcção. Usar-se-á a
combinação quadrática simples (CQS) para combinar resultados de diferentes direcções.
No Quadro II.21 encontram-se representadas as acelerações sísmicas regulamentares.
FrequênciasHz
SaSismo Tipo I
m/s2
SaSismo Tipo II
m/s2 xx–2.84Hz 2.84 2.50
yy–2.84Hz 2.84 2.50
θ –3.67Hz 3.67 2.50
Quadro II.21 – Acelerações sísmicas regulamentares para a estrutura 2.
Os deslocamentos máximos segundo xx, yy e θ do piso 1 são determinados usando a
equação (II.41), apresentando-se aqueles no Quadro II.22.
u1 u2 uθ
0.010865 0.010865 0.0000626 –Sismo tipo I 0.007852 0.007852 0.0000383 –Sismo tipo II
Quadro II.22 – Deslocamentos máximos do piso segundo x, y e θ
As forças sísmicas para um qualquer pórtico exterior são:
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Anexo II
AII.32
22
1 2
375
52
000062590
52
0108650
××+
×=×=.
.
.
.
. K u K F final x = 80.71kN Tipo I (II.71)
22
1
2
375
52
000038330
52
00785180
××+
×=×=
.
.
.
.
. K u K F final x = 58.31kN Tipo II (II.72)
A determinação das forças sísmicas para um qualquer pórtico interior é feita do mesmo
modo resultando em:
22
1 2
75
52
000062590
52
0108650
×+
×=×=
.
.
.
.
. K u K F final x = 80.62kN Tipo I (II.73)
22
1 2
75
52
000038330
52
00785180
×+
×=×=
.
.
.
.
. K u K F final x = 58.26kN Tipo II (II.74)
Na Figura II.23, estão representadas as forças sísmicas a aplicar aos pórticos para a acção
sísmica tipo I e para a acção sísmica tipo II para um pórtico exterior. Para um pórtico
interior as forças estão representadas na Figura II.24.
Pórtico exterior 80.71 kN
N Sismo Tipo I
Pórtico exterior 58.31kN
N Sismo Tipo II
Figura II.23 – Força sísmica de um pórtico exterior para a acção sísmica tipo I e tipo II.
Pórtico interior 86.62 kN
N Sismo Tipo I
Pórtico interior 58.26 kN
N Sismo Tipo II
Figura II.24 – Força sísmica de um pórtico interior para a acção sísmica tipo I e tipo II.
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.33
No Quadro II.23 estão representados os cortes basais da estrutura 2 calculada através do
método 3GL/piso, considerando que os pilares da estrutura se encontram encastrados no
piso.
Solicitação xx Solicitação yy
Xx yy Xx Yy
Sismo I 322.7 0.0 0.0 322.7
Sismo II 233.1 0.0 0.0 233.1
Quadro II.23 – Corte basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 2.
II.4.2.3.2. Estrutura 2 considerando os pilares duplamente apoiados na laje
Considerando a simetria da estrutura concluí-se que a rigidez da estrutura à translação em
xx e yy é igual.
m2
0.03505=∆
2278.87 kN
G+Ψ2Q ∆
Rótulas 3.70
5.70 5.70 5.70
∆ ∆
Figura II.25 – Deslocamento da estrutura 2 com rótulas nos pilares solicitada na horizontal pelo peso daestrutura.
A rigidez de cada pórtico é dada por:
K Pórtico =3
34
L
EI PILAR×× = 4637.44N/m (II.75)
Considerando que a estrutura é simétrica, e que possui 4 pórticos em cada direcção:
K xx = K yy = 3
316 L
EI PILAR
×× = 18549.76N/m (II.76)
A frequência de vibração é dada pela equação (II.77):
Hz..
..
M
K f f yy xx 421
872278
7618549819
2
1
2
1=
×===
ππ (II.77)
A rigidez da estrutura à rotação pode ser obtida com base na equação (II.78): [Clou93]
K θ = 4 K Pórtico 2
2
75
.+4 K Pórtico
2
752
75
+ .
.= 1506702.63 kNm/rad (II.78)
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Anexo II
AII.34
A massa rotacional e a frequência rotacional são dadas por:
I0=( )12
22 baM +×= 11321.18 Ton.m2 (II.79)
Hz.. . I K f 8411811321 6315067022121 0=== ππ
θθ (II.80)
No Quadro II.24 são apresentadas as frequências de vibração da estrutura:
Modos devibração
1 2 3
FrequênciasHz
1.42 1.42 1.84
Quadro II.24 - Frequências de vibração para a estrutura 2 considerando os pilares duplamente apoiados no
piso.
As acelerações regulamentares são apresentadas no Quadro II.25.
FrequênciasHz
SaSismo Tipo I
m/s2
SaSismo Tipo II
m/s2 Xx–1.97Hz 2.58 2.41
yy–1.97Hz 2.58 2.41
θ –3.41Hz 3.91 2.50
Quadro II.25 – Acelerações sísmicas regulamentares para a estrutura 2.
Os deslocamentos máximos segundo xx, yy e θ do piso 1 são determinados usando a
equação (II.41), encontrando-se aqueles no Quadro II.26.
u1 u2 uθ
0.024112 0.024112 0.0000744 –Sismo tipo I 0.027521 0.027521 0.0000733 –Sismo tipo II
Quadro II.26 – Deslocamentos máximos do piso segundo x, y e θ
A força sísmica para cada pórtico exterior é dada por:
22
1 2
375
52
00007440
52
0241120
××+
×=×=
.
.
.
.
. K u K F final x = 44.74kN Tipo I (II.81)
22
1 2
375
52
00007330
52
027520
××+
×=×=
.
.
.
.
. K u K F final x = 51.06kN Tipo II (II.82)
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.35
Do mesmo modo, para os pórticos interiores:
22
1 2
75
52
00007440
52
0241120
×+
×=×=
.
.
.
.
. K u K F final x = 44.73kN Tipo I (II.83)
22
1 2
75
52
00007330
52
027520
×+
×=×=
.
.
.
.
. K u K F final x = 44.73kN Tipo II (II.84)
No Quadro II.27 estão representados os cortes basais da estrutura 2 calculada através do
método 3GL/piso considerando que os pilares da estrutura se encontram apoiados no piso.
Solicitação xx Solicitação yy
xx yy xx yy
Sismo I 178.9 0.0 0.0 178.9
Sismo II 204.2 0.0 0.0 204.2
Quadro II.27 – Corte basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 2.
II.4.2.3.3. Estrutura 2 considerando somente a estrutura reticulada (vigas e pilares)
Encontra-se na Figura II.26 representada a deformada da estrutura devido à aplicação, ao
nível do piso, de uma força igual ao peso da estrutura com direcção horizontal.
m1323.0=∆
2278.87 kN
G+Ψ2Q ∆ ∆
Figura II.26 – Deslocamento da estrutura 2 com a rigidez da estrutura reticulada para o peso da estrutura
solicitanda na horizontal.
A rigidez de cada pórtico assume o valor, K Pórtico = 17226.53N/m-
Considerando a simetria da estrutura, podemos verificar que K xx = K yy :K xx = K yy = 68906.12N/m (II.85)
A frequência de vibração é dada na equação (II.86).
Hz..
..
M
K f f yy xx 742
872278
53172264819
2
1
2
1=
××===
ππ (II.86)
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Anexo II
AII.36
A rigidez da estrutura à rotação pode ser observada na equação (II.87). [Clou93]]
K θ = 4K Pórtico 2
2
75
.+4 K Pórtico
2
752
75
+ .
.= 5596899.60 kNm/rad (II.87)
A massa e a frequência rotacional são dadas por:
I0=( )12
22 baM +×= 11321.18 Ton.m2 (II.88)
Hz..
.
I
K f 543
1811321
605596899
2
1
2
1
0
===ππ
θθ (II.89)
No Quadro II.28 encontram-se representadas as frequências de vibração da estrutura 2.
Modos devibração
1 2 3
FrequênciasHz
2.74 2.74 3.54
Quadro II.28 – Frequências de vibração para a estrutura 2 considerando a rigidez da estrutura reticulada sem
lajes.
No Quadro II.29 encontram-se apresentadas as acelerações regulamentares da estrutura 2.
FrequênciasHz
SaSismo Tipo I
m/s2
SaSismo Tipo II
m/s2
xx–2.74Hz 3.37 2.50 yy–2.74Hz 3.37 2.50
θ –3.54Hz 4.00 2.50
Quadro II.29 – Acelerações sísmicas regulamentares para a estrutura 2.
Os deslocamentos máximos segundo xx, yy e θ do piso 1 são determinados usando a
equação (II.41), encontrando-se aqueles representados no Quadro II.30.
u1 u2 uθ
0.01137 0.01137 0.0000637 –Sismo tipo I 0.00844 0.00844 0.0000397 –Sismo tipo II
Quadro II.30 – Deslocamentos máximos do piso segundo x, y e θ
A força sísmica para cada pórtico exterior é dada por:
22
1 2
375
52
00006370
52
011370
××+
×=×=.
.
.
.
. K u K F final x = 78.36kN Tipo I (II.90)
22
1 2
375
52
00003970
52
008440
××+
×=×=
.
.
.
.
. K u K F
final x= 58.13kN Tipo II
(II.91)
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.37
Do mesmo modo para os pórticos interiores:
22
1 2
75
52
00006370
52
011370
×+
×=×=
.
.
.
.
. K u K F final x = 78.44kN Tipo I (II.92)
22
1 2
75
52
00003970
52
008440
×+
×=×=
.
.
.
.
. K u K F final x = 58.17kN Tipo II (II.93)
As forças sísmicas a aplicar aos pórticos para a acção sísmica tipo I e para a acção sísmica
tipo II para um pórtico exterior e interior são apresentadas, respectivamente, na Figura
II.27 e na Figura II.28.
Pórtico exterior 78.36 kN
N Sismo Tipo I
Pórtico exterior 58.13 kN
N Sismo Tipo II
Figura II.27 – Força sísmica de um pórtico exterior para a acção sísmica tipo I e tipo II.
Pórtico interior 78.44 kN
N Sismo Tipo I
Pórtico interior 58.17 kN
N Sismo Tipo II
Figura II.28 – Força sísmica de um pórtico interior para a acção sísmica tipo I e tipo II.
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Anexo II
AII.38
No Quadro II.31 estão representados os cortes basais da estrutura 2 calculada através do
método 3GL/piso, considerando a rigidez da estrutura reticulada.
Solicitação xx Solicitação yy Modos de vibração
xx yy xx yySismo I 313.6 0.0 0.0 313.6
Sismo II 232.6 0.0 0.0 232.6
Quadro II.31 – Corte basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 2.
II.4.2.3.4. Comparação dos cortes basais para as várias modelações da Estrutura 2
com recurso ao método 3GL/Piso
No Quadro II.32 encontram-se representados os cortes basais da estrutura 2 na direção xx
para as várias modelações através do método 3GL/Piso.
Estrutura c/Pilares encastrados
Estrutura c/Pilares com rótulas
Estrutura Reticulada
Corte Basal Corte Basal Corte Basal
Sismo I 322.7 178.9 313.6
Sismo II 233.1 204.2 232.6
Quadro II.32 – Comparação dos vários cortes basais segundo xx para a estrutura 2.
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.39
II.4.3. Cálculo da estrutura 3
II.4.3.1. Cálculo da massa da estrutura 3
Em seguida é quantificada a massa da estrutura 3.
Piso [0]
Peso dos pilares Gp = ÁreaComprimentonº de pilaresγBETÃO
= 0.300.304.00/2425.00
= 18.00 kN
[G + Ψ2Q]Piso 0 = 18.00 kN
Pisos [1, 2, 3]
Peso dos pilares Gp = ÁreaComprimentonº de pilaresγBETÃO
= 0.300.304.00425.00
= 36.00 kN
Peso da Laje GLAJE = ÁreaEspessuraγBETÃO
= 5.405.400.2025
= 145.80 kN
Peso das vigas GViga = Área
Comprimento
nº de Vigas
γBETÃO
= 0.300.605.4425
= 97.20 kN
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Anexo II
AII.40
Peso dos Reves.GReves.= ÁreaRev.
= 5.405.401.50
= 43.74 kN
Paredes Ext. GReves = PExtComprimento.
= 10.005.404
= 216.00 kN
Sobrecarga Q = ÁreaQDistribuida
= 5.405.402.00
= 58.32 kN
[G + Ψ2Q]Piso 1, 2, 3 = 550.40 kN
Massa do Piso = (550.40)/9.81=56.11 Ton.
Piso [4]
Peso dos pilares Gp = ÁreaComprimentonº de pilaresγBETÃO
= 0.300.304.00425.00
= 18.00 kN
Peso da Laje GLAJE = ÁreaEspessuraγBETÃO
= 5.405.400.2025
= 145.80 kN
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.41
Peso das vigas GViga = ÁreaComprimentonº de VigasγBETÃO
= 0.300.605.4425
= 97.20 kN
Peso dos Reves.GReves.= ÁreaRev.
= 6.006.001.50
= 54.00 kN
Sobrecarga Q = ÁreaQDistribuida
= 5.405.402.00
= 58.32 kN
[G + Ψ2Q]Piso 1, 2, 3 = 315.00 kN
Massa do Piso = (315)/9.81=32.11 Ton.
Massa total da estrutura 3
[G + Ψ2Q]Estrutura 3= (18.00 + 550.403 + 315.00) = 1984.21 kN
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Anexo II
AII.42
II.4.3.2. Cálculo da estrutura 3 pelo método de Rayleigh
Na Figura II.29 encontra-se representada a deformada da estrutura 3 quando solicitada à
seu peso aplicado na horizontal.
P2
V1
P1
V2
V3
V4
550.40 kN
[G+Ψ2Q]1 1
2
3
4 d4
d3
d2
d1
550.40 kN
[G+Ψ2Q]2
550.40 kN
[G+Ψ2Q]3
315.00 kN
[G+Ψ2Q]4 0.376m
0.341m
0.257m
0.125m
=
=
=
=
Figura II.29 – Deslocamentos da estrutura 3 submetida às massas por piso.
Podemos observar no Quadro II.33 os valores necessários à determinação da frequência de
Rayleigh através da equação (II.94).
Fi[G+Ψ2Q]
di Fidi Fidi2
Piso 4 315.00 0.376 118.44 44.53Piso 3 550.40 0.341 187.69 64.00Piso 2 550.40 0.257 141.18 36.21Piso 1 550.40 0.125 68.52 8.53
Σ 515.83 153.28
Quadro II.33 – Cálculos auxiliares à determinação da frequência pelo método de Rayleigh.
Hz..
..
d F
d F f
ii
ii RAYLEIGH 910
28153
83515819
2
1
2
12
=×
=×
×=
∑∑
ππ (II.94)
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.43
No Quadro II.34 apresentam-se as acelerações sísmicas da estrutura 3 para um sismo tipo I
e para um sismo tipo II [RSA83].
Frequências
Hz
Sa
Sismo Tipo Im/s2
Sa
Sismo Tipo IIm/s2 xx–0.91Hz 1.22 1.62
yy–0.91Hz 1.22 1.62
Quadro II.34 – Acelerações sísmicas regulamentares para a estrutura 3.
No Quadro II.35 podem ser observadas as forças sísmicas globais por piso da estrutura 3
para um sismo tipo I e para um sismo tipo II .
Fi
[G+Ψ2Q]
di Fidi Fidi2 fi (I) fi (II)
Piso 4 315.00 0.376 118.44 44.53 19.63 26.20
Piso 3 550.40 0.341 187.69 64.00 31.10 41.53
Piso 2 550.40 0.257 141.18 36.21 23.39 31.24
Piso 1 550.40 0.125 68.52 8.53 11.35 15.16
Σ 515.83 153.28 85.47 114.13
Quadro II.35 – Cálculo das forças sísmicas globais por piso.
Através das excentricidades regulamentares previstas no R.S.A. [RSA83] o corte basal da
estrutura será igual para ambas as direcções, assumindo os resultados na tabela QuadroII.36.
Solicitação xx Solicitação yy
xx yy xx yy
Sismo I 111.11 0.0 0.0 111.11
Sismo II 148.36 0.0 0.0 148.36
Quadro II.36 – Corte basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 3.
II.4.3.3. Cálculo da estrutura 3 pelo método 3GL/piso
Em seguida, são apresentadas as frequências de vibração da estrutura 3 para duas situações
diferentes: considerando que os pilares se encontram encastrados nos pisos e considerando
a rigidez da estrutura reticulada.
Neste exemplo não foi considerada a situação dos pilares duplamente apoiados no último
piso, uma vez não se prevê que exista uma influência na rigidez global da estrutura.
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Anexo II
AII.44
II.4.3.3.1. Estrutura 3 considerando os pilares encastrados no piso
A metodologia de cálculo da matriz de rigidez da estrutura consistiu em fixar todos os
pisos excepto um. Nesse piso é aplicado um deslocamento unitário aquele em que se forçaum deslocamento unitário, como se apresenta na Figura II.30.
K11 ∆=?m Piso Rígido
3.70
5.70
4.00
K21 Piso Rígido
Piso Rígido
Piso Rígido Piso Rígido
Piso Rígido
Piso Rígido
Piso Rígido
5.70
3.70
K32
4.00
K22 ∆=1m
4.00
4.00
K12
3.70
5.70
4.00
4.00
K33
4.00
K23
K43
∆=1m
Piso Ríg
ido
Piso Rígido
Piso Rígido
Piso Rígido
3.70
5.70
K34
K44
4.00
∆=1m
Piso Rígido
4.00
Piso Rígido 4.00
Piso Rígido
Piso Rígido
4.00
4.00
Figura II.30 – Metodologia utilizada para calcular a matriz de rigidez da estrutura 3 considerando pisos e
vigas infinitamente rígidos.
As componentes da matriz de rigidez são determinadas com auxilio da matriz de rigidez de
uma barra bi-encastrada como é possível observar na Figura II.31.
3
1221
L
I E F F
××=−=
12
3hb I .rect
×=
F2
F1
L
∆=1m
E=29GPa [B25]
Figura II.31 – Rigidez de uma barra bi-encastrada com um deslocamento diferencial de 1m.
m / kN . K m / kN . K . L. L 3125367043514637 004703 == == (II.95)
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.45
Assim se obtêm os termos da matriz de rigidez da estrutura porticada, cujos termos são
apresentados no Quadro II.37.
K 11= 8307.748 K 21= -3670.313 K 31= 0.000 K 41= 0.000
K 12= -3670.313 K 22= 7340.625 K 32= -3670.313 K 42= 0.000K 13= 0.000 K 23= -3670.313 K 33= 7340.625 K 43= -3670.313
K 14= 0.000 K 24= 0.000 K 34= -3670.313 K 44= 3670.313
Quadro II.37 – Coeficientes da matriz de rigidez de um pórtico pertencente à estrutura 3.
A matriz de forças mássicas da estrutura é uma matriz diagonal com os coeficientes já
calculados anteriormente e representados de seguida no Quadro II.38.
[G+Ψ2Q]1 550.40kN
[G+Ψ2
Q]2 550.40kN
[G+Ψ2Q]3 550.40kN
[G+Ψ2Q]4 315.00kN
Quadro II.38 – Massa dos vários pisos.
Uma vez que a estrutura é simétrica, e possui carregamento simétrico, a rigidez à
translação, bem como a flexibilidade são iguais nas duas direcções, logo K xx, K yy são iguais
a K TRANS.
A matriz de rigidez global pode ser representada da seguinte forma:
=
×
4
4
3
3
2
2
1
1
4
4
3
3
2
2
1
1
8887868584838281
7877767574737271
6867666564636261
5857565554535251
4847464544434241
3837363534333231
2827262524232221
1817161514131211
PISO
PISO
PISO
PISO
PISO
PISO
PISO
PISO
PISO
PISO
PISO
PISO
PISO
PISO
PISO
PISO
M
F
M
F
M
F
M
F
U
U
U
U
K K K K K K K K
K K K K K K K K
K K K K K K K K
K K K K K K K K
K K K K K K K K
K K K K K K K K
K K K K K K K K
K K K K K K K K
θ
θ
θ
θ
(II.96)
Os coeficientes da matriz rigidez são, os seguintes:
k ij=
−
−
−
−
−
−
91238496
0002514681
9123849600081476993
00025146810005029362
0000009123849600081476993
00000000025146810005029362
0000000000009123849600044539837
00000000000000025146810009933320
.
...SIM
...
....
.....
......
.......
........
(II.97)
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Anexo II
AII.46
Da resolução do problema de valores próprios representado em 5.29 obtêm-se as
frequências de vibração do Quadro II.39.
Modos devibração
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
FrequênciasHz
1.04 1.04 2.93 2.93 4.29 4.29 5.00 5.00 1.80 5.06 7.44 8.65
Quadro II.39 – Frequências de vibração para a estrutura 3 considerando a rigidez da estrutura reticulada sem
lajes.
As análises de translação e de rotação da estrutura foram efectuadas independentemente
com o objectivo de simplificar o cálculo das forças sísmicas:
A análise de translação pode resumir-se no cálculo dos seguintes pontos:
- Matriz de Rigidez para translação de um só pórtico
A matriz de rigidez de um pórtico é a apresentada na matriz (II.98):
16615.5 -7340.5 0.0 0.0
-7340.5 14681.0 -7340.5 0.0kN/m (II.98)0.0 -7340.5 14681.0 -7340.5
0.0 0.0 -7340.5 7340.5
- Matriz de Rigidez para translação global
Uma vez que a estrutura possui dois pórticos, a matriz de translação toma a seguinte forma:
33231.0 -14681.0 0.0 0.0
-14681.0 29362.0 -14681.0 0.0 kN/m (II.99)0.0 -14681.0 29362.0 -14681.0
0.0 0.0 -14681.0 14681.0
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.47
- Matriz de Massa para translação global
A matriz de massa para os modos de translação consiste na massa dos vários pisos. Foi
considerada metade da massa dos pilares por piso.56.2 0.0 0.0 0.0
0.0 56.2 0.0 0.0 Ton. (II.100)0.0 0.0 56.2 0.0
0.0 0.0 0.0 32.1
- Frequências de vibração
Através da resolução de valores próprios da equação 5.33 são obtidas as frequências de
vibração do Quadro II.40. São também apresentadas as acelerações sísmicas modaisregulamentares função das frequências modais.
W2
(rad/s)2W
(rad/s)f
(Hz)Sa I
(m/s2)Sa II(m/s2)
985.20 31.39 5.00 4.63 2.50
728.62 26.99 4.30 4.40 2.50
337.55 18.37 2.92 3.53 2.50
42.53 6.52 1.04 1.40 1.81
Quadro II.40 – Frequências de vibração e acelerações sísmicas para a estrutura 3.
- Modos de Vibração
A cada frequência pertencente ao Quadro II.41 (valor próprio) está associado um modo de
vibração, (vector próprio).
φ1 φ2 φ3 φ4
0.3513 0.6210 0.5373 -0.2061
-0.5290 -0.3254 0.5223 -0.4330
0.5845 -0.3648 -0.1672 -0.5895
-0.5051 0.6127 -0.6408 -0.6500
Quadro II.41 – Modos de vibração para a estrutura 3.
- Deslocamentos modais
Após determinados os modos de vibração, foram calculados os deslocamentos modais
minorados do coeficiente de comportamento (2.5) para posterior utilização no cálculo das
forças sísmicas por pórtico. Esses deslocamentos estão apresentados no Quadro II.42.
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Anexo II
AII.48
SISMO I SISMO II
D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m) D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m)
0.87×10-5 5.03×10-5 14.34×10-5 5.31×10-3 0.47×10-5 2.86×10-5 10.15×10-5 6.86×10-3
-1.31×10-5 -2.60×10-5 13.94×10-5 11.16×10-3 -0.71×10-5 -1.50×10-5 9.87×10-5 14.42×10-3
1.45×10-5 -3.00×10-5 -4.50×10-5 15.20×10-3 0.78×10-5 -1.70×10-5 -3.20×10-5 19.63×10-3
-1.25×10-5 4.9×10-5 -17.10×10-5 16.76×10-3 -0.68×10-5 2.82×10-5 -12.10×10-5 21.65×10-3
Quadro II.42- Deslocamentos modais de translação para a estrutura 3.
- Forças por modais máximas por pórtico
Através da matriz de rigidez de um pórtico, e dos deslocamentos modais apresentados noQuadro II.42, foram calculadas as forças sísmicas modais apresentadas no Quadro II.43.
SISMO I SISMO II
f1 (kN) f2 (kN) f3 (kN) f4 (kN) f1 (kN) f2 (kN) f3 (kN) f4 (kN)
2.414 10.300 13.596 6.346 1.304 5.849 9.621 8.198
-3.635 -5.397 13.217 13.333 -1.964 -3.065 9.353 17.224
4.017 -6.049 -4.230 18.149 2.170 -3.435 -2.994 23.446
-1.987 5.815 -9.280 11.454 -1.073 3.302 -6.567 14.796
Quadro II.43– Forças sísmicas modais para a estrutura 3.
- Cortes modais
Com as forças sísmicas modais calculadas no Quadro II.43 foram determinados os
cortes modais combinados através do método CQS [Cho95] e através do método CQC
[Cho95]. Os resultados são apresentados no Quadro II.44 para acção sísmica tipo I e no
Quadro II.45 para acção sísmica tipo II .
Cortes Modais I
V1 (kN) V2 (kN) V3 (kN) V4 (kN) CQS (kN) CQC (kN)
0.809 4.669 13.302 49.282 51.265 51.575
-1.605 -5.631 -0.293 42.936 43.334 43.373
2.030 -0.234 -13.510 29.603 32.604 32.400
-1.987 5.815 -9.280 11.454 15.971 15.484
Quadro II.44 – Combinação quadrática dos cortes modais para a acção sísmica tipo I.
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.49
Cortes Modais II
V1 (kN) V2 (kN) V3 (kN) V4 (kN) CQS (kN) CQC (kN)
0.437 2.651 9.414 63.664 64.413 64.592
-0.867 -3.198 -0.208 55.466 55.565 55.565
1.097 -0.133 -9.561 38.242 39.435 39.291
-1.073 3.302 -6.567 14.796 16.556 16.343
Quadro II.45 – Combinação quadrática dos cortes modais para a acção sísmica tipo II.
A análise de rotação pode resumir-se de uma forma idêntica ao cálculo dos seguintes
pontos:
- Matriz de Rigidez para rotação global
539837.6 -238492.8 0.0 0.0
-238492.8 476985.7 -238492.8 0.0 kN/m (II.101)0.0 -238492.8 476985.7 -238492.8
0.0 0.0 -238492.8 238492.8
- Matriz de Massa Rotacional
304.1 0.0 0.0 0.0
0.0 304.1 0.0 0.0 Ton. (II.102)0.0 0.0 304.1 0.0
0.0 0.0 0.0 174.1
- Frequências de vibração
Através da resolução de valores próprios da equação 5.33 são obtidas as frequências de
vibração do Quadro II.46. São também apresentadas as acelerações sísmicas modais
regulamentares função das frequências modais.
W2
(rad/s)2
W
(rad/s)
f
(Hz)
Sa I (Tran.)
(m/s2)
Sa II (Tran.)
(m/s2)
Sa I (Rot.)
(m/s2)
Sa II (Rot.)
(m/s2)
2955.60 54.37 8.65 4.10 2.50 0.063 0.038
2185.85 46.75 7.44 4.87 2.50 0.064 0.033
1012.66 31.82 5.06 4.64 2.50 0.042 0.023
127.59 11.30 1.80 2.38 2.36 0.008 0.008
Quadro II.46 – Frequências de vibração e acelerações sísmicas para a estrutura 3.
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Anexo II
AII.50
- Modos de Vibração
φ1 φ2 φ3 φ4
0.411174 0.626402 -0.498736 0.184748
-0.561425 -0.240134 -0.547465 0.4203610.561011 -0.419750 0.120047 0.589318
-0.44836 0.611364 0.661161 0.664732
Quadro II.47 – Modos de vibração de rotação para a estrutura 3.
- Deslocamentos modais de rotação
SISMO I SISMO I (Translação Pórtico)
D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m) D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m)
-0.464×10-7 -2.500×10-7 5.250×10-7 8.620×10-7 -1.322×10-7 -7.053×10-7 14.964×10-7 24.559×10-7
0.634×10-7 0.949×10-7 5.760×10-7 19.600×10-7 1.806×10-7 2.704×10-7 16.426×10-7 55.880×10-7
-0.633×10-7 1.660×10-7 -1.300×10-7 27.500×10-7 -1.804×10-7 4.726×10-7 -3.602×10-7 78.340×10-7
0.506×10-7 -2.400×10-7 -7.000×10-7 31.000×10-7 1.442×10-7 -6.884×10-7 -19.837×10-7 88.365×10-7
SISMO II SISMO II (Translação Pórtico)
D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m) D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m)
-0.283×10-7 -1.300×10-7 2.830×10-7 8.540×10-7 -0.806×10-7 -3.622×10-7 8.056×10-7 24.353×10-7
0.386×10-7 0.487×10-7 3.100×10-7 19.400×10-7 1.101×10-7 1.388×10-7 8.843×10-7 55.410×10-7
-0.386×10-7 0.852×10-7 -0.680×10-7 27.300×10-7 -1.100×10-7 2.427×10-7 -1.939×10-7 77.681×10-7
0.308×10-7 -1.200×10-7 -3.700×10-7 30.700×10-7 0.879×10-7 -3.535×10-7 -10.680×10-7 87.622×10-7
Quadro II.48- Deslocamentos modais de translação para a estrutura 3.
- Forças modais máximas por pórtico
Através da matriz de rigidez de um pórtico, e dos deslocamentos modais apresentados no
Quadro II.48, foram calculadas as forças sísmicas modais apresentadas no Quadro II.49.
SISMO I SISMO II
f1 (kN) f2 (kN) f3 (kN) f4 (kN) f1 (kN) f2 (kN) f3 (kN) f4 (kN)
-35.22×10-3 -137.04×10-3 128.06×10-3 -2.13×10-3 -21.47×10-3 -70.37×10-3 68.94×10-3 -2.11×10-3
49.46×10-3 56.78×10-3 157.74×10-3 65.04×10-3 30.14×10-3 29.15×10-3 84.92×10-3 64.50×10-3
-50.32×10-3 100.07×10-3 -27.84×10-3 91.28×10-3 -30.67×10-3 51.39×10-3 -14.98×10-3 90.51×10-3
23.83×10-3 -85.23×10-3 -119.17×10-3 73.59×10-3 14.52×10-3 -43.76×10-3 -64.16×10-3 72.97×10-3
Quadro II.49 – Forças modais para os modos de rotação.
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.51
- Cortes modais
Cortes Modais I
V1 (kN) V2 (kN) V3 (kN) V4 (kN) CQS (kN) CQC (kN)
-0.0123 -0.0654 0.1388 0.2278 0.2749 0.27510.0230 0.0716 0.0107 0.2299 0.2421 0.2448
-0.0265 0.0148 -0.1470 0.1649 0.2230 0.2207
0.0238 -0.0852 -0.1192 0.0736 0.1657 0.1643
Quadro II.50 – Combinação quadrática dos cortes modais para a acção sísmica tipo I.
Cortes Modais II
V1 (kN) V2 (kN) V3 (kN) V4 (kN) CQS (kN) CQC (kN)
-0.0075 -0.0336 0.0747 0.2259 0.2404 0.2409
0.0140 0.0368 0.0058 0.2280 0.2314 0.2324
-0.0162 0.0076 -0.0791 0.1635 0.1825 0.1813
0.0145 -0.0438 -0.0642 0.0730 0.1076 0.1064
Quadro II.51 – Combinação quadrática dos cortes modais para a acção sísmica tipo II.
A combinação de resultados provenientes das várias direcções é efectuada através do
método CQS
- Combinação quadrática simples nas várias direcções
Cortes Modais Combinados Total
Acção Sísmica Tipo I Força por piso
Translação
(CQC)
Rotação
(CQC)
Cortes Basais
(CQC)
Força por
Pórtico (KN)
51.57 kN 0.28 kN 51.58 kN 8.20 kN
43.37 kN 0.24 kN 43.37 kN 10.97 kN
32.40 kN 0.22 kN 32.40 kN 16.92 kN
15.48 kN 0.16 kN 15.48 kN 15.48 kN
Σ 51.57 kN
Quadro II.52 – Determinação da acção sísmica tipo I para as várias direcção.
Cortes Modais Combinados Total
Acção Sísmica Tipo II Força por piso
Translação
(CQC)
Rotação
(CQC)
Cortes Basais
(CQC)
Força por
Pórtico (KN)
64.59 kN 0.24 kN 64.59 kN 9.03 kN
55.57 kN 0.23 kN 55.57 kN 16.27 kN
39.29 kN 0.18 kN 39.29 kN 22.95 kN
16.34 kN 0.11 kN 16.34 kN 16.34 kN
Σ 64.59 kN
Quadro II.53 – Determinação da acção sísmica tipo II para as várias direcção.
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Anexo II
AII.52
No Quadro II.54 apresenta-se os cortes basais da estrutura 3 calculada através do método
3GL/piso considerando que os pilares da estrutura se encontram encastrados no piso.
Solicitação xx Solicitação yy
xx Yy xx YySismo I 103.1 0.0 0.0 103.1
Sismo II 129.2 0.0 0.0 129.2
Quadro II.54 – Corte basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 3.
II.4.3.3.2. Estrutura 3 considerando somente a estrutura reticulada (vigas e pilares)
Uma vez que a estrutura é simétrica e, portanto, possui o centro de massa coincidente com
o centro de rigidez, a rigidez da estrutura à translação xx é igual à rigidez segundo yy .
A metodologia de cálculo da matriz de rigidez da estrutura consistiu em solicitar todos os
pisos de um pórtico a 1000kN na horizontal, Figura II.32, e assim determinar a matriz
flexibilidade no Quadro II.55.
P2
V1
P1
1000 kN
N
V2
V3
V4
[1] P1
1000 kN
N
V1
V2
V3
V4
P2 [2] P1
V1
V2
1000 kN
N V3
V4
V2
V1
P1 P2 [3] [4] P2
V4
V3
N 1000 kN
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
Figura II.32 – Metodologia usada para o cálculo da matriz flexibilidade de um pórtico da estrutura 3.
1000 kN 1000 kN 1000 kN 1000 kN
[1] [2] [3] [4]
[4] 0.131 m 0.321 m 0.515 m 0.699 m
[3] 0.130 m 0.318 m 0.496 m 0.515 m
[2] 0.129 m 0.303 m 0.318 m 0.321 m
[1] 0.118 m 0.129 m 0.130 m 0.131 m
Quadro II.55 – Deslocamentos de andar para o carregamento da Figura II.24.
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.53
Através dos valores provenientes do Quadro II.55 é possível construir a matriz
flexibilidade [ f ] de um pórtico:
0.118 0.129 0.130 0.131
0.129 0.303 0.318 0.321 0.001 [m] (II.103)
0.130 0.318 0.496 0.515
0.131 0.321 0.515 0.699
Uma vez que a matriz rigidez de um pórtico [K]=[ f ]-1:
15898 -7325 554 -24
-7325 13516 -7346 578 [kN/m] (II.104)
554 -7346 13556 -6718
-24 578 -6718 6119
Assim a matriz de rigidez global tomará a forma:
k ij=
−
−
−
−
−−
−−
19880600012238
218268000440434
0001343600027112
18779000238672000439135
00011560001469200027032
78000017999000237989000516526
0004800011080001465000031796
..SIM
.
..
..
...
...
....
[kN/m] (II.105)
Da resolução do problema de valores próprios representado na equação 5.33 obtêm-se as
frequências de vibração do Quadro II.56.
Modos de vibração 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
FrequênciasHz
0.91 0.91 2.65 2.65 4.07 4.07 4.91 4.91 1.37 4.58 7.04 8.49
Quadro II.56 – Frequências de vibração para a estrutura 3 considerando a rigidez da estrutura reticulada sem
lajes.
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Anexo II
AII.54
A análise de translação e de rotação da estrutura foram de novo efectuadas
independentemente.
A análise de translação pode resumir-se ao cálculo dos seguintes pontos:
- Matriz de Rigidez para translação global
A matriz de translação global toma a forma:
31796 -14650 1108 -48
-14650 27032 -14692 1156 kN/m (II.106)1108 -14692 27112 -13436
-48 1156 -13436 12238
- Matriz de Massa para translação global
A matriz de massa para os modos de translação consiste na massa dos vários pisos. Foi
considerada metade da massa dos pilares por piso.
56.2 0.0 0.0 0.0
0.0 56.2 0.0 0.0 Ton. (II.107)
0.0 0.0 56.2 0.00.0 0.0 0.0 32.1
- Frequências de vibração
Através da resolução de valores próprios da equação 5.33 são obtidas as frequências de
vibração do Quadro II.57. São também apresentadas as acelerações sísmicas modais
regulamentares que são função das frequências modais W2
(rad/s)2W
(rad/s)f
(Hz)Sa I (Tran.)
(m/s2)Sa II (Tran.)
(m/s2)
950.16 30.83 4.91 4.605 2.500
652.06 25.54 4.06 4.298 2.500
276.20 16.62 2.65 3.282 2.500
32.49 5.70 0.91 1.213 1.620
Quadro II.57 – Frequências de vibração e acelerações sísmicas para a estrutura 3.
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.55
- Modos de Vibração
A cada frequência pertencente ao Quadro II.58 (valor próprio) está associado um modo de
vibração (vector próprio).φ1 φ2 φ3 φ4
-0.411175 0.626391 -0.498732 0.184735
0.561418 -0.240115 -0.547484 0.420359
-0.560996 -0.419751 0.120055 0.589327
0.448362 0.611382 0.661146 0.664729
Quadro II.58- Modos de vibração para a estrutura 3.
- Deslocamentos modais
Após calculados os modos de vibração, foram calculados os deslocamentos modais
minorados do coeficiente de comportamento, igual a 2.5, para posterior utilização no
cálculo das forças sísmicas por pórtico. Esses deslocamentos estão apresentados no Quadro
II.59.
SISMO I SISMO II
D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m) D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m)
0.09×10-3 0.50×10-3 1.43×10-3 5.313×10-3 0.05×10-3 0.29×10-3 1.02×10-3 6.86×10-3
-0.13×10-3 -0.26×10-3 1.39×10-3 11.16×10-3 -0.07×10-3 -0.15×10-3 0.99×10-3 14.42×10-3
0.15×10-3 -0.30×10-3 -0.45×10-3 15.20×10-3 0.08×10-3 -0.17×10-3 -0.32×10-3 19.63×10-3
-0.13×10-3 0.50×10-3 -1.71×10-3 16.76×10-3 -0.07×10-3 0.28×10-3 -1.21×10-3 21.65×10-3
Quadro II.59 – Deslocamentos modais de translação para a estrutura 3.
- Forças modais máximas por pórtico
Através da matriz de rigidez de um pórtico, e dos deslocamentos modais apresentados no
Quadro II.59, foram calculadas as forças sísmicas modais apresentadas no Quadro II.60. SISMO I SISMO II
f1 (kN) f2 (kN) f3 (kN) f4 (kN) f1 (kN) f2 (kN) f3 (kN) f4 (kN)
3.59 11.39 12.39 4.89 1.95 6.63 9.44 6.53
-4.90 -4.37 13.60 11.12 -2.66 -2.54 10.36 14.86
4.89 -7.63 -2.98 15.59 2.66 -4.44 -2.27 20.83
-2.24 6.36 -9.40 10.06 -1.22 3.70 -7.16 13.45
Quadro II.60– Forças modais
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Anexo II
AII.56
- Cortes modais
Com as forças sísmicas modais calculadas no Quadro II.60, foram determinados os cortes
modais combinados através do método CQS [Cho95] e através do método CQC [Cho95].Os resultados são apresentados no Quadro II.61 para acção sísmica tipo I e no Quadro
II.62 para acção sísmica tipo II .
Cortes Modais I
V1 (kN) V2 (kN) V3 (kN) V4 (kN) CQS (kN) CQC (kN)
1.34 5.75 13.60 41.66 44.22 44.55
-2.24 -5.64 1.22 36.77 37.29 37.35
2.66 -1.27 -12.38 25.65 28.64 28.46
-2.24 6.36 -9.40 10.06 15.33 14.89
Quadro II.61 – Combinação quadrática dos cortes modais para a acção sísmica tipo I.
Cortes Modais II
V1 (kN) V2 (kN) V3 (kN) V4 (kN) CQS (kN) CQC (kN)
0.73 3.35 10.36 55.66 56.72 56.92
-1.22 -3.28 0.93 49.13 49.27 49.281.44 -0.74 -9.43 34.28 35.59 35.46
-1.22 3.70 -7.16 13.45 15.72 15.51
Quadro II.62 – Combinação quadrática dos cortes modais para a acção sísmica tipo II.
A análise de rotação pode resumir-se de uma forma idêntica no cálculo dos seguintes
pontos:
- Matriz de Rigidez para rotação global
516526.3 -237989.3 17999.5 -779.8
-237989.3 439134.8 -238671.5 18779.2 kN/m (II.108)17999.5 -238671.5 440434.4 -218267.8
-779.8 18779.2 -218267.8 198806.3
- Matriz de Massa Rotacional
304.1 0.0 0.0 0.0
0.0 304.1 0.0 0.0 Ton. (II.109)0.0 0.0 304.1 0.0
0.0 0.0 0.0 174.1
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
AII.57
- Frequências de vibração
Através da resolução de valores próprios da equação 5.33 são obtidas as frequências de
vibração do Quadro II.63. São também apresentadas as acelerações sísmicas modaisregulamentares que são função das frequências modais.
W2
(rad/s)2
W
(rad/s)
f
(Hz)
Sa I
(m/s2)
Sa II
(m/s2)
Sa I (Rot.)
(m/s2)
Sa II (Rot.)
(m/s2)
2850.36 53.39 8.50 4.32 2.50 0.065 0.038
1956.12 44.23 7.04 4.88 2.50 0.061 0.031
828.51 28.78 4.58 4.51 2.50 0.037 0.020
97.43 9.87 1.57 2.11 2.28 0.006 0.006
Quadro II.63- Frequências de vibração e acelerações sísmicas para a estrutura 3.
- Modos de Vibração
φ1 φ2 φ3 φ4
0.411147 0.626402 -0.498736 0.184748
-0.561425 -0.240134 -0.547465 0.420361
0.561011 -0.419750 0.120047 0.589318
-0.448360 0.611364 0.661161 0.664732
Quadro II.64- Modos de vibração de rotação para a estrutura 3.
- Deslocamentos modais de rotação
SISMO I SISMO I (Tranlação Pórtico)
D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m) D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m)
0.1×10-5 0.3×10-5 0.6×10-5 0.9×10-5 0.2×10-5 0.8×10-5 1.7×10-5 2.5×10-5
-0.1×10-5 -0.1×10-5 0.7×10-5 2.0×10-5 -0.2×10-5 -0.3×10-5 1.9×10-5 5.6×10-5
0.1×10-5 -0.2×10-5 -0.1×10-5 2.8×10-5 0.2×10-5 -0.6×10-5 -0.4×10-5 7.9×10-5
-0.1×10-5 0.3×10-5 -0.8×10-5 3.1×10-5 -0.2×10-5 0.8×10-5 -2.3×10-5 8.9×10-5
SISMO II SISMO II (Tranlação Pórtico)
D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m) D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m)
0.0×10-5 0.2×10-5 0.3×10-5 0.9×10-5 0.1×10-5 0.4×10-5 0.9×10-5 2.7×10-5
-0.1×10-5 -0.1×10-5 0.4×10-5 2.1×10-5 -0.1×10-5 -0.2×10-5 1.0×10-5 6.1×10-5
0.1×10-5 -0.1×10-5 -0.1×10-5 3.0×10-5 0.1×10-5 -0.3×10-5 -0.2×10-5 8.5×10-5
0.0×10-5 0.1×10-5 -0.4×10-5 3.4×10-5 -0.1×10-5 0.4×10-5 -1.2×10-5 9.6×10-5
Quadro II.65 – Deslocamentos modais de translação para a estrutura 3.
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Anexo II
AII.58
- Forças por modais máximas por pórtico
Através da matriz de rigidez de um pórtico, e dos deslocamentos modais apresentados no
Quadro II.65, foram calculadas as forças sísmicas modais apresentadas no Quadro II.66. SISMO I SISMO II
f1 (kN) f2 (kN) f3 (kN) F4 (kN) f1 (kN) f2 (kN) f3 (kN) F4 (kN)
48.21×10-3 153.68×10-3 131.64×10-3 22.55×10-3 27.93×10-3 78.73×10-3 72.98×10-3 24.34×10-3
-65.83×10-3 -58.91×10-3 144.51×10-3 51.31×10-3 -38.14×10-3 -30.18×10-3 80.11×10-3 55.38×10-3
65.78×10-3 -102.98×10-3 -31.69×10-3 71.94×10-3 38.11×10-3 -52.76×10-3 -17.57×10-3 77.64×10-3
-30.09×10-3 85.84×10-3 -99.88×10-3 46.44×10-3 -17.43×10-3 43.98×10-3 -55.37×10-3 50.12×10-3
Quadro II.66 – Forças modais para os modos de rotação.
- Cortes modais
Cortes Modais I
V1 (kN) V2 (kN) V3 (kN) V4 (kN) CQS (kN) CQC (kN)
18.07×10-3 77.63×10-3 144.59×10-3 192.24×10-3 253.41×10-3 258.70×10-3
-30.14×10-3 -76.05×10-3 12.94×10-3 169.69×10-3 188.83×10-3 191.07×10-3
35.69×10-3 -17.14×10-3 -131.57×10-3 118.38×10-3 181.36×10-3 179.45×10-3
-30.09×10-3 85.84×10-3 -99.88×10-3 46.44×10-3 142.85×10-3 135.86×10-3
Quadro II.67 – Combinação quadrática dos cortes modais para a acção sísmica tipo I.
Cortes Modais II
V1 (kN) V2 (kN) V3 (kN) V4 (kN) CQS (kN) CQC (kN)
10.47×10-3 39.77×10-3 80.16×10-3 207.48×10-3 226.19×10-3 228.50×10-3
-17.46×10-3 -38.96×10-3 7.18×10-3 183.14×10-3 188.18×10-3 188.84×10-3
20.68×10-3 -8.78×10-3 -72.94×10-3 127.76×10-3 148.82×10-3 147.67×10-3
-17.43×10-3 43.98×10-3 -55.37×10-3 50.12×10-3 88.41×10-3 84.96×10-3
Quadro II.68 – Combinação quadrática dos cortes modais para a acção sísmica tipo II.
A combinação de resultados provenientes das várias direcções é efectuada através do
método CQS.
5/7/2018 Comparacao de Softwares de Calculo Estrutural - slidepdf.com
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Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)
Através dos cortes modais de um pórtico, provenientes das várias direcções, são
determinadas as forças sísmicas através da combinação quadrática simples. Os resultados
encontram-se nos Quadro II.69 e no Quadro II.70.
- Combinação quadrática simples nas várias direcções
Cortes Modais Combinados Total
Acção Sísmica Tipo I Força por piso
Translação
(CQC)
Rotação
(CQS)
Cortes Basais
(CQC)
Força por
Pórtico (KN)
44.55 kN 0.26 kN 44.55 kN 7.20 kN
37.35 kN 0.19 kN 37.35 kN 8.89 kN
28.46 kN 0.18 kN 28.46 kN 13.57 kN
14.89 kN 0.14 kN 14.89 kN 14.89 kN
Σ 44.55 kN
Quadro II.69 – Determinação da acção sísmica tipo I para as várias direcção.
Cortes Modais Combinados Total
Acção Sísmica Tipo II Força por piso
Translação
(CQC)
Rotação
(CQS)
Cortes Basais
(CQC)
Força por
Pórtico (KN)
56.92 kN 0.23 kN 56.92 kN 7.63 kN
49.28 kN 0.19 kN 49.28 kN 13.83 kN
35.46 kN 0.15 kN 35.46 kN 19.94 kN
15.51 kN 0.08 kN 15.51 kN 15.51 kN
Σ 56.91 kN
Quadro II.70 – Determinação da acção sísmica tipo II para as várias direcção.
No Quadro II.71 estão representados os cortes basais da estrutura 3 calculada através do
método 3GL/piso, considerando a estrutura reticulada.Solicitação xx Solicitação yy
xx yy xx yy
Sismo I 89.1 0.0 0.0 89.1
Sismo II 113.8 0.0 0.0 113.8
Quadro II.71 – Corte basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 3.