Comparacao de Softwares de Calculo Estrutural

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 UNIVERSIDADE DO MINHO Departamento de Engenharia Civil EXEMPLOS DE REFERÊNCIA PARA O CÁLCULO DE ESTRUTURAS PORTICADAS EM BETÃO ARMADO António Francisco Monteiro Oliveira  Dissertação para obtenção de Grau de Mestre em Engenharia Civil  Especialização em Estrut uras, Fundações e Geotec nia Fevereiro de 2000

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UNIVERSIDADE DO MINHO

Departamento de Engenharia Civil

EXEMPLOS DE REFERÊNCIA PARA O CÁLCULO DE

ESTRUTURAS PORTICADAS EM BETÃO ARMADO

António Francisco Monteiro Oliveira

 Dissertação para obtenção de Grau de Mestre em Engenharia Civil 

 Especialização em Estruturas, Fundações e Geotecnia

Fevereiro de 2000

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UNIVERSIDADE DO MINHO

Departamento de Engenharia Civil

EXEMPLOS DE REFERÊNCIA PARA O CÁLCULO DE

ESTRUTURAS PORTICADAS EM BETÃO ARMADO

Orientador Científico

Paulo Barbosa Lourenço

 Dissertação apresentada à Universidade do Minho, para obtenção de Grau de Mestre

em Estruturas, Geotecnia e Fundações em Engenharia Civil 

António Francisco Monteiro Oliveira

Fevereiro de 2000

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Orientador Científico:

Doutor Paulo José Brandão Barbosa Lourenço

Júri das provas constituído por:

Presidente:

Professor Doutor Júlio Barreiros Martins

Vogais:

Doutor João Carlos Vinagre Nascimento dos Santos

Doutor Paulo José Brandão Barbosa Lourenço

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 Aos meus Avôs.

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 Agradecimentos

  No decorrer deste trabalho senti muitas mãos abertas a oferecer ajuda quando dela

 precisei. Conscientemente, seria impraticável agradecer a todos os que de uma forma oude outra me ajudaram. No entanto seria injusto não referir aqueles que de uma forma

mais intensa permitiram a sua concretização.

Ao Prof. Paulo Barbosa Lourenço, o orientador científico desta tese, apresento o meu

 profundo agradecimento pela interminável disponibilidade, apoio e incentivo.

A todas as empresas que gentilmente disponibilizaram os seus programas de cálculo para que fosse possível efectuar este trabalho e aos técnicos dessas mesmas empresas,

 pela ajuda possível na utilização desses mesmos programas.

A todo o grupo docente de estruturas da Universidade do Minho, sem qualquer 

distinção pelo incentivo e ajuda no decorrer da tese.

A todos os meus amigos, agradeço sobretudo a presença nos momentos mais difíceis.

Um agradecimento especial aos arquitecto José Loja e engenheiro Jorge Duarte pela

amizade demonstrada e apoio constante.

Para finalizar agradeço a toda a minha família, ao meu pai António Oliveira, à minha

mãe Rosa Augusta Monteiro e ao meu irmão Jorge. À Helena, pela compreensão e

carinho nas fases mais difíceis deste trabalho.

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Resumo

Desde a década de 80, a utilização de programas de cálculo automático tem-se revelado

cada vez mais importante para o projecto estrutural.

Constitui objectivo deste trabalho apresentar as variações de resultados possíveis e

  previsíveis através da utilização de programas de cálculo diferentes, bem como a

desmistificação da perfeição absoluta e irrefutável dos algorítmos de cálculo.

Para tal, foram utilizados três programas de cálculo automático de estruturas, fortemente

implantados no mercado português.

Deste modo, foram analisados exemplos de referência simples, permitindo uma

incursão sobre aspectos fundamentais do cálculo automático.

  Numa primeira fase, foram analisados os resultados provenientes do cálculo de uma

estrutura através dos programas comerciais, com o objectivo de tomar consciência do

nível de variação de resultados possível devido à utilização de programas diferentes.

 Numa segunda fase, e como consequência da primeira, foram analisadas, de uma forma

selectiva, as possíveis causas de tal variação de resultados. Foi assim efectuada uma

análise sobre as modelações reticulares estruturais utilizadas pelos vários programas.

De seguida, foram analisadas as variações de resultados impostas à estrutura reticulada

  pelo tipo de modelação das lajes, numa extensão tridimensional da análise de

modelação anterior.

Foi efectuada uma incursão pela análise dinâmica de estruturas proposta pelos

  programas em análise. Esta teve como causa a constatação de grandes variações de

resultados.

Os resultados de todas as análises foram aferidos com os resultados provenientes de

cálculos através de elementos finitos.

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Abstract

Since the 80's, the use of automatic calculation programs has become more and more important tothe structural calculation.

It is objective of this work to present the possible and foreseeable results variations through the use

of different calculation programs, as well as the destruction of the one myth: the absolute and

irrefutable perfection of calculation programs.

For such, three automatic structural calculation programs, strongly implanted in the Portuguese

market, were used.

Thus, some simple practical examples were analyzed, allowing an insight into some fundamental

issues of automatic calculation.

In a first stage, we analyzed the results obtained from the calculation of a structure using the

commercial programs, which aimed to bring conscience of the possible results variation gap due to

the use of different programs.

In a second stage, and as consequence of the first stage, we analyzed, selectively, the possible

causes of such variation on the results. For such, we analyzed the structural reticular modelations

used by the programs.

Then, we analyzed the results variation imposed by the kind of tile modelation to the reticulate

structure, in an three dimensional extension of the previous modelation analysis.

It was made an incursion through the structural dynamic analysis proposed by the programs in

study, because there were usual and significant variations on the results.

The results of each and every analysis were validated with the results reached through finite

elements analysis.

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Capítulo 1

Introdução

“...Com a evolução permanente e rápida dos meios informáticos, hoje o computador e os

  programas de cálculo constituem ferramentas indispensáveis no apoio ao projecto de

estruturas. A utilização de programas de cálculo é uma condição importante para a

obtenção de qualidade dos projectos de estruturas, mas não suficiente. Mais facilmente

 podem ser obtidas soluções inadequadas ou mesmo erros grosseiros. Só um projectista de

estruturas usando os seus conhecimentos e a sua sensibilidade estrutural pode possibilitar a

obtenção de um projecto estrutural...” 1 

 Domingos Ribas e Joaquim Figueiras 

1 Domingos Ribas e J. Figueiras, in Revista “Ingenium”, 2ª Série, n.º 42, Dezembro 99, págs. 66-70.  

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Capítulo 1

1.2

1.1. Introdução

O cálculo estrutural usufrui, hoje em dia, do exponencial desenvolvimento informático aodispor da sociedade. A capacidade de resolução de sistemas de equações é enorme,

 permitindo o uso de métodos de cálculo impraticáveis até há poucos anos.

Foram criadas empresas de “software” em vários campos e a engenharia estrutural não

constitui excepção. No entanto, fruto da competitividade e das exigências de mercado, as

empresas de “software” relegaram para segundo plano as metodologias de cálculo e

colocaram em primeiro plano a facilidade de utilização desses programas. As justificações

de cálculo estão ausentes ou são apenas referidas de um modo muito incipiente. Cada vez

mais os projectos estruturais são o resultado de programas de cálculo automático que não

são mais do que cadeias de montagem onde o “projectista” se limita a colocar o sistema em

movimento. Esta situação arrastou para o projecto estrutural técnicos que se encontravam

dissociados dessa prática de engenharia antes de tais ferramentas se encontrarem

disponíveis no mercado.

Como pode ser observado no trabalho de Ribas e Figueiras [ RIB99], a falta de desempenhodos edifícios tem como principal causa o comportamento estrutural; por outro lado a

origem principal da falta de desempenho das estruturas é a concepção e o projecto. A

qualidade dos projectos estruturais é, assim, uma causa fundamental para a falta de

qualidade na construção civil.

A qualidade do projecto de estruturas que se encontra nas Câmaras Municipais revela-se

muito aquém do que seria desejável, sendo mesmo insuficiente. É possível verificar que a

falta de qualidade dos projectos de superestruturas se encontra na avaliação das acções,

33%, sendo a avaliação das acções horizontais o factor que mais contribui para tal factor.

A segunda razão da falta de qualidade encontra-se ao nível do dimensionamento, 26%, a

terceira e quarta causas daquela são a concepção estrutural e a pormenorização,

respectivamente.

As consequências que poderão surgir do dimensionamento deficiente de uma estrutura de

 betão armado são particularmente gravosas, quer em termos de vidas humanas quer em

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 Introdução

1.3

termos meramente económicos, como sejam os associados à reparação de patologias

estruturais. É portanto discutível que qualquer técnico possa assumir a responsabilidade

 por um projecto de estabilidade e que qualquer programa de cálculo possa ser utilizado no

dimensionamento da estrutura. Daí a particular importância da análise dos programas

comerciais disponíveis no mercado português.

A génese deste trabalho surgiu numa primeira tentativa realizada em 1997 para analisar e

comparar a qualidade dos mais significativos programas de análise estrutural disponíveis

no mercado português. Neste trabalho, realizado por Lourenço et al  [LOU97], foram

fornecidas aos representantes dos vários programas as plantas estruturais bem como as

acções de dimensionamento de dois exemplos de referência.

Os resultados obtidos pelas várias empresas eram bastante variáveis chegando, em alguns

casos, a obter-se diferenças de um para três. Estas conclusões são limitadas pelo facto de

terem sido os representantes dos programas a introduzir os modelos, considerando

modelações díspares consoante o programa, em particular ao nível das paredes e núcleos.

De modo a harmonizar as modelações utilizadas, foi realizado um trabalho posterior por 

Lourenço e  Oliveira  [LOU98] onde foi analisada uma única estrutura. A estruturaconsiderada consistia num edifício de geometria regular, sem núcleos ou paredes, e sem

  pisos enterrados. Desta análise pode concluir-se que a dispersão dos resultados foi

semelhante à análise referida anteriormente, com a agravante de todas as modelações e

hipóteses de cálculo terem sido as mesmas para os vários programas. Face a isto, há

necessidade de se realizar um trabalho mais exaustivo, prestando particular atenção às

causas das diferenças detectadas. Este trabalho representa um esforço no sentido de

clarificar essas mesmas discrepâncias.

Foram considerados os resultados da análise dinâmica, do cálculo de esforços e do

dimensionamento do betão armado para vigas e pilares. Os aspectos de facilidade de

introdução de dados ou de apresentação geral dos programas foram relegados para segundo

  plano, em detrimento de aspectos relativos aos resultados, às hipóteses de cálculo, à

segurança e à qualidade do dimensionamento.

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Capítulo 1

1.4

A modelação e cálculo das estruturas obriga à adopção de hipóteses por parte dos

  programas e pelos utilizadores. Estas hipóteses, associadas às limitações dos próprios

 programas, conduziram a diferenças de esforços entre elementos. Dada a importância deste

factor, sempre que se considere oportuno, será feita referência a particularidades

  pertinentes que contemplem esta situação. Optou-se por apresentar o conjunto de

resultados relativos apenas a alguns elementos que se consideraram representativos.

1.2. Objectivos

Esta tese tem como finalidade fazer uma incursão sobre três programas comerciais

  portugueses com implantação relevante no mercado nacional. A confidencialidade impõe

que estes programas não sejam referidos pelos seus nomes, mas sim pela nomenclatura A,

B e C.

A incursão a efectuar nos programas em estudo permitirá constatar o nível de variação de

resultados de programa para programa.

Mediante a variação de resultados, será feita uma análise sobre pontos fundamentais num

  programa de cálculo automático, como sendo a análise dinâmica e o tipo de modelação

estrutural.

Serão objectivos específicos desta tese:

  – Demonstrar a subjectividade de um cálculo que, com uma única solução exacta,

apresenta uma grande variação de resultados.

  – Apelar ao bom senso das comunidades técnica e científica, no sentido de se exigir 

mais informação aos vendedores dos programas.

  – Dar os primeiros passos na justificação da necessidade de definir mecanismos de

controle de qualidade dos programas de cálculo automático.

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 Introdução

1.5

  – Contrariar a ideia generalizada segundo a qual a informática associada aos

 programas comerciais é suficientemente desenvolvida para compensar as falhas de

qualificação técnica dos utilizadores.

  – Valorizar as qualificações técnica e científica dos utilizadores dos programas de

cálculo.

1.3. Conteúdo da Tese de Dissertação

Após uma breve introdução, em que é feita uma resenha sobre a importância e osantecedentes deste trabalho, são descritos os objectivos deste mesmo trabalho. De seguida,

dá-se lugar ao corpo da tese em que são efectuadas comparações entre os vários

  programas. Finalizado o trabalho, são apresentadas as conclusões que se julguem

 pertinentes, apresentando-se algumas perspectivas futuras.

Este documento escrito está estruturado em seis capítulos com o conteúdo que a seguir se

descreve:

O Capítulo 1 consiste numa breve introdução ao trabalho realizado, e à sua motivação.

O Capítulo 2 é dedicado ao cálculo de uma estrutura através de três programas de cálculo

automático, realizando-se uma comparação de armaduras, de esforços, de representações

de armaduras e de medições de materiais. Este capítulo será o ponto de partida para a

análise dos programas de cálculo automático em estudo.

O Capítulo 3 faz uma análise da modelação estrutural utilizada pelos vários programas para a modelação da estrutura reticulada. São comparados os resultados provenientes das

várias modelações com a modelação através do Método de Elementos Finitos, quer para

solicitações horizontais, quer para solicitações verticais.

O Capítulo 4 apresenta o cálculo de duas estruturas simples de um só piso. O objectivo

consiste em aferir o efeito que o tipo de modelação das lajes possui no carregamento da

estrutura. Assim, a forma do diagrama de carregamento terá influência no diagrama de

esforço transverso e no momento máximo de uma dada viga.

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Capítulo 1

1.6

O Capítulo 5 é dedicado a uma análise sísmica pelos vários programas de cálculo

automático em análise.

O Capítulo 6 apresenta as conclusões inerentes a este estudo, bem como os futurosdesenvolvimentos.

Para apoiar e reforçar o desenvolvido nesta tese, introduziram-se dois Anexos localizados

no final do trabalho.

 No Anexo I apresentam-se os resultados numéricos do cálculo do pórtico 4 pertencente ao

capítulo 3.

 No Anexo II apresenta-se o cálculo das estruturas 1, 2 e 3 do capítulo 5, através do método

de Rayleigh e do médodo 3GL/Piso.

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Capítulo 2

Abordagem Preliminar dos Programas

em Estudo

2.1. Breve Introdução

Ao longo deste capítulo será feita uma análise sobre os vários tipos de resultados

fornecidos pelos programas em estudo.

A análise incidirá sobretudo na utilização dos programas comerciais com as suas hipóteses

de cálculo por defeito, permitindo fornecer ao leitor a ordem de variação dos resultados de

um programa para outro. Do mesmo modo far-se-á referência à influência que

determinados coeficientes possuem no comportamento dos programas a que pertencem.

A modelação e o cálculo das estruturas obriga à adopção de hipóteses por parte dos

  programas e dos utilizadores. Estas hipóteses, associadas às limitações dos próprios

  programas, conduzem certamente a diferenças de esforços entre elementos. Dada a

importância deste factor, o principal objectivo deste capítulo consiste em salientar essa

divergência sempre que se considere oportuno. Será feita referência a situações pertinentes

que contemplem essa situação.

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Capítulo 2

2.2

Optou-se por solicitar o conjunto de resultados relativos apenas a alguns elementos que

sejam considerados como os mais representativos.

2.2. Definição do exemplo de referência a analisar

Para estabelecer um exemplo de referência procurou-se um compromisso entre a

complexidade e a simplicidade. A consideração de paredes, núcleos ou caves introduz

dificuldades elevadas na análise dos resultados, pelo que foi evitada. O edifício proposto é

um edifício de habitação com seis pisos, com perspectiva e plantas representadas nas

figuras 2.1 e 2.2, respectivamente. O edifício possui uma malha regular de pilares com

afastamentos de 6m. As vigas têm secção [0.300.50 m2]  e as secções dos pilares

encontram-se representadas no quadro 2.1. As lajes são maciças e possuem 0.15 m de

altura.

Figura 2.1 – Perspectivas da estrutura.

P1

[cm2]P2

[cm2]P3

[cm2]P4

[cm2]P5

[cm2]P6

[cm2]P7

[cm2]P8

[cm2]P9

[cm2][5-6] - - - - 3030 3030 - 3030 3030[4-5] - - - - 3030 3030 - 3030 3030[3-4] - - - - 4040 4040 - 4040 4040[2-3] - - - - 4040 4040 - 4040 4040[1-2] 3030 3030 3030 3030 5050 4040 3030 4040 4040[0-1] 3030 3030 3030 3030 5050 4040 3030 4040 4040

Quadro 2.1 – Quadro de dimensões de pilares.

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.3

6.0 

P4 

P1 

P7 

6.0 

6.0 

FUNDAÇÃO [0.0m] 

6.0 

P2 

P5 

P3 

P6 

P8  P9 

6.0 

P4 

P1 

P7 

6.0 

6.0 

PISOS 1,2 [4.25m, 7.25m] 

6.0 

P2 

P5 

P3 

P6 

P8  P9 

LM LM 

LM  LM 

V1(1,2) 

V2(1,2) 

V3(1,2) 

      V      4      (      1 ,      2

      )

      V      5      (      1 ,      2

      )

      V      6      (      1 ,      2

      )

 

6.0 

6.0 

6.0 

PISOS 3,4 [10.25m, 13.25m] 

6.0 

P5  P6 

P8  P9 

LM 

V1(3,4) 

V2(3,4) 

      V      3      (      3 ,      4

      )

      V      4      (      3 ,      4

      )

 

6.0 

6.0 

6.0 

PISOS 5,6 [16.25m, 19.25m] 

6.0 

P5  P6 

P8  P9 

LM 

V1(5,6)       V      3      (      5 ,      6

      )

      V      4      (      5 ,      6

      )

V2(5,6) 

Figura 2.2 – Plantas estruturais do exemplo de referência.

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Capítulo 2

2.4

2.3. Comportamento da estrutura reticulada

2.3.1. Análise do comportamento estrutural para carregamento vertical

Todas as barras horizontais (vigas) foram solicitadas por uma carga uniformemente

distribuída de 10kN/m (peso próprio não considerado). A primeira comparação é relativa às

reacções nos diversos pilares (N, Rx, Ry) (quadro 2.2).

Confirma-se que os programas verificam o equilíbrio (os programas A e C apresentam um

erro muito ligeiro) na direcção vertical ( Σ N=2400). As diferenças encontradas entre as

reacções verticais dos diversos programas não são significativas (menores que 3% em

todos os valores). As reacções horizontais assumem valores pouco significativos.

 N[kN]

R  x [kN]

R  y [kN]

A B C A B C A B CP1 107.8 104.9 105.3 2.0 1.9 2.1 -2.0 -1.9 -2.1

P2 186.0 188.6 187.7 0.2 0.0 0.2 -1.8 -2.1 -2.0

P3 107.9 106.6 106.8 -1.8 -1.9 -1.8 -2.0 -2.2 -2.1

P4 186.0 188.6 187.7 1.8 2.1 2.0 -0.2 0.0 -0.2

P5 510.8 505.5 509.9 0.7 0.7 0.6 -0.7 -0.7 -0.6P6 420.5 425.2 422.0 -2.5 -2.7 -2.7 -0.4 -0.5 -0.4

P7 107.9 106.6 106.8 2.0 2.2 2.1 1.8 1.9 1.8

P8 420.5 425.2 422.0 0.4 0.5 0.4 2.5 2.7 2.7

P9 354.0 348.8 351.6 -2.8 -2.7 -2.9 2.8 2.7 2.9

Σ 2401.5 2400.0 2399.8 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Quadro 2.2 – Reacções nos apoios para carregamento vertical de 10kN/m nas vigas.

 No quadro 2.3 é apresentado o equilíbrio de momentos flectores no nó intercepção do pilar 

 P1, e as vigas V1(2) e V4(2).

É possível constatar que entre os programas B e C não existem diferenças significativas,

como seria de esperar para carregamento vertical, apesar da modelação do programa C ser 

uma modelação tridimensional e a modelação do programa B ser plana. Entre o programa

A e os outros dois programas a diferença é maior, estando relacionada com o tipo de

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.5

modelação da estrutura reticulada. O programa A utiliza nós rígidos na intercepção dos

elementos vigas e pilares. Este ponto será objecto de análise no capítulo 3.

A B C

P1[kNm]

V1(2)[kNm]

V4(2)[kNm]

TOTAL[kNm]

P1[kNm]

V1(2)[kNm]

V4(2)[kNm]

TOTAL[kNm]

P1[kNm]

V1(2)[kNm]

V4(2)[kNm]

TOTAL[kNm]

-16.6 16.6 0.0 0.0 -12.1 12.1 ------ 0.0 -12.2 12.3 -0.1 0.0

Quadro 2.3 – Equilíbrio de momentos flectores no nó P1, V1(2), V4(2)

De seguida são apresentados os diagramas de momentos flectores para as vigas V1(2),

V2(2) e V1(5) provenientes de todos os programas de cálculo automático, (A, B e C). De

igual forma, os momentos flectores nos apoios e nos vãos podem ser observados em

quadros anexos aos diagramas de momentos flectores.

 Na figura 2.3 é possível observar os diagramas de momentos flectores da viga V1(2).

V1(2) 

ABC

P1 P2 P3

Figura 2.3 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B e C na viga V1(2) para carregamento

vertical de 10kN/m. 

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Capítulo 2

2.6

 No quadro 2.4 encontram-se apresentados os valores máximos de momentos flectores da

viga V1(2).

P1[-]

Tramo P1-P2[+]

P2[-]

Tramo P2-P3[+]

P3[-]

Programa A -13.0 kNm 18.4 kNm -36.1 kNm 18.7 kNm -11.6 kNmPrograma B -12.1 kNm 20.9 kNm -37.6 kNm 20.9 kNm -12.1 kNmPrograma C -12.3 kNm 21.0 kNm -37.6 kNm 20.7 kNm -12.6 kNm

Quadro 2.4 – Momentos flectores na viga V1(2) para carregamento vertical de 10kN/m nas vigas.

Os diagramas de momentos flectores para a viga V2(2) encontram-se na figura 2.4.

V2(2) 

ABC 

P4 P5 P6

Figura 2.4 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B e C na viga V2(2) para carregamento

vertical de 10kN/m. 

O quadro 2.5 contempla os máximos momentos flectores na viga V2(2).

P4[-]

Tramo P4-P5[+]

P5[-]

Tramo P5-P6[+]

P6[-]

Programa A -12.1 kNm 18.4 kNm -36.3 kNm 13.8 kNm -17.2 kNmPrograma B -13.2 kNm 21.4 kNm -37.9 kNm 19.9 kNm -20.2 kNmPrograma C -12.5 kNm 21.6 kNm -39.2 kNm 16.5 kNm -18.9 kNm

Quadro 2.5 – Momentos Flectores na viga V2(2) para carregamento vertical de 10kN/m nas vigas.

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.7

Os diagramas de momentos flectores são visíveis na figura 2.5 para a viga V1(5).

V1(5) 

ABC

P4 P5

Figura 2.5 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B e C na viga V1(5) para carregamento

vertical de 10kN/m. 

 No quadro 2.6 enunciam-se os valores máximos dos diagramas de momentos flectores da

viga V1(5).

P4[-]

Tramo P4-P5[+]

P5[-]

Programa A -22.4 kNm 19.5 kNm -21.0 kNmPrograma B -22.0 kNm 23.0 kNm -22.0 kNmPrograma C -22.7 kNm 23.0 kNm -21.4 kNm

Quadro 2.6 – Momentos flectores na viga V1(5) para carregamento vertical de 10kN/m nas vigas. 

Do estudo apresentado para carregamento vertical, é fácil depreender que os resultados dos

 programas B e C são muito semelhantes, mesmo possuindo tipos de modelações diferentes

(o programa B é um programa de pórticos planos e o programa C é um pórtico com análise

tridimensional).

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Capítulo 2

2.8

A modelação do programa A afasta-se dos outros dois programas. Analisando a viga

V2(2), podemos observar desvios de 12% para momentos flectores positivos e de 8% para

momentos flectores negativos. O mesmo acontece com a viga V2(2), que para momentos

flectores positivos se observa um desvio de 31%,e para momentos flectores negativos de

9%.

Da análise da viga V1(5) podemos verificar que existe uma diferença significativa entre os

momentos flectores positivos do programa A e os momentos flectores positivos dos outros

dois programas de, aproximadamente, 15%. No entanto, os momentos flectores negativos

têm valor semelhante, sobretudo devido ao método de cálculo do momento máximo

negativo, que para este programa não é calculado ao eixo.

As diferenças encontradas serão objecto de análise cuidada no Capítulo 3, onde será

efectuada uma análise sobre o tipo de modelação utilizada pelos diferentes programas.

2.3.2. Análise do comportamento estrutural para carregamento horizontal

Todos os nós do alçado lateral direito (correspondendo aos pilares  P3,  P6  e  P9) foramsolicitados por uma carga concentrada horizontal de 10kN na direcção xx. Salienta-se que

no caso do programa C foram introduzidos conjuntos de bielas em cruz para simular as

lajes.

Este programa não considera o efeito da laje indeformável, a não ser que a laje seja

incluída na modelação (o que não se verificou). Este ponto sofreu contestação por parte

dos representantes do programa C, afirmando estes que a modelação da indeformabilidade

das lajes pode ser efectuada através da introdução de lajes aligeiradas sem carregamento.

 Na realidade essa hipótese existe no programa C, não sendo no entanto um procedimento

 perfeitamente explicito e obvio para o utilizador comum. Os programas A e B consideram

sempre a presença de uma laje indeformável no seu plano ainda que esta laje não seja

modelada. O efeito da laje é muito significativo no caso das acções horizontais. De novo, a

 primeira comparação diz respeito às reacções nos diversos pilares ( N ,  Rx e  Ry), (quadro

2.7).

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.9

É possível confirmar que os programas verificam o equilíbrio na direcção vertical ( Σ N=0),

na direcção  x  ( Σ Rx=-140) e na direcção  y  ( Σ Ry=0). As diferenças entre as reacções dos

diversos programas já são significativas (cerca de 17% para reacções verticais e de 6% 

  para reacções horizontais segundo xx). As reacções segundo  yy assumem valores pouco

significativos.

  N [kN] R  x [kN] R  y [kN]A B C A B C A B C

P1 9.4 10.9 11.0 -6.3 -6.2 -6.2 -1.0 -1.0 -1.0

P2 0.6 0.6 1.1 -7.9 -7.5 -7.4 -0.2 -0.2 -0.2

P3 -9.7 -11.1 -11.5 -6.3 -6.2 -6.3 0.8 0.8 0.8

P4 18.7 19.6 19.5 -8.2 -7.7 -7.7 -1.3 -1.3 -1.3

P5 53.7 48.7 48.6 -40.5 -41.4 -42.0 -0.7 -0.8 -0.5

P6 -73.1 -69.1 -69.4 -18.6 -19.0 -18.7 2.1 2.2 2.0

P7 16.7 17.5 17.2 -8.7 -8.3 -8.3 -1.0 -1.0 -0.9

P8 52.7 48.0 48.6 -23.9 -24.0 -23.7 -0.3 -0.3 -0.3

P9 -69.0 -65.2 -65.1 -19.8 -19.8 -19.7 1.7 1.6 1.4

Σ 0.0 0.0 0.0 -140.0 -140.0 -140.0 0.0 0.0 0.0

Quadro 2.7 – Reacções nos apoios para carregamento horizontal de 10kN/nó no alçado direito.

 No quadro 2.8 é possível observar o equilíbrio de esforços no nó em que concorrem o pilar  P1 e as vigas V1(2) e V4(2).

A B C C [com torção]

P1[kNm]

V1(2)[kNm]

V4(2)[kNm]

TOTAL[kNm]

P1[kNm]

V1(2)[kNm]

V4(2)[kNm]

TOTAL[kNm]

P1[kNm]

V1(2)[kNm]

V4(2)[kNm]

TOTAL[kNm]

P1[kNm]

V1(2)[kNm]

V4(2)[kNm]

TOTAL[kNm]

-6.2 6.2 0.0 0.0 -10.5 10.5 ------ 0.0 -10.0 10.0 0.0 0.0 -10.4 10.0 0.3 -0.1

Quadro 2.8 – Equilíbrio no nó P1 - V1(2) - V4(2)

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Capítulo 2

2.10

Apresenta-se, de igual modo, a comparação dos esforços nas três vigas seleccionadas

V1(2), V2(2) e V1(5). Os diagramas de momentos flectores estão representados nas figuras

2.6, 2.7 e 2.8. Os diagramas de esforço transverso para os diferentes programas são

 praticamente iguais, pelo que não são apresentados.

 Na figura 2.6 é possível observar os diagramas de momentos flectores na viga V1(2) para

carregamento horizontal.

V1(2) 

ABC

P1 P2 P3

Figura 2.6 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B e C na viga V1(2) para carregamento

horizontal de 10kN/nó em todos os nós do alçado direito. 

 No quadro 2.9 encontram-se representados os valores máximos dos momentos flectores da

viga V1(2).

P1[-]

P2[+]

P2[-]

P3[+]

Programa A -6.0 kNm 4.0 kNm -3.4 kNm 5.1 kNmPrograma B -10.5 kNm 7.6 kNm -7.8 kNm 10.8 kNmPrograma C -10.0 kNm 7.3 kNm -7.2 kNm 9.8 kNm

Quadro 2.9 – Momentos Flectores na viga V1(2) para carregamento horizontal de 10kN/nó no alçado direito.

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.11

 Na figura 2.7 são visíveis os diagramas de momentos flectores na viga V2(2) para

carregamento horizontal.

V2(2) 

ABC

P4 P5 P6

Figura 2.7 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B e C na viga V2(2) para carregamento

horizontal de 10kN/nó. 

 No quadro 2.10 são quantificados os valores máximos dos momentos flectores na viga

V2(2).

P4[-]

P5[+]

P5[-]

P6[+]

Programa A -9.5 kNm 25.1 kNm -35.2 kNm 43.2 kNmPrograma B -18.0 kNm 29.1 kNm -39.8 kNm 41.6 kNmPrograma C -17.4 kNm 28.2 kNm -38.6 kNm 40.6 kNm

Quadro 2.10   – Momentos Flectores na viga V2(2) para carregamento horizontal de 10kN/nó no alçado

direito.

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Capítulo 2

2.12

 Na figura 2.8 representam-se os diagramas de momentos flectores da viga V1(5) para

carregamento horizontal.

V1(5) 

ABC

P5 P6

Figura 2.8 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B e C na viga V1(5) para carregamento

horizontal de 10kN/nó. 

 No quadro 2.11 são visíveis os valores máximos dos momentos flectores na viga V1(5) 

 para carregamento horizontal.

P5[-]

P6[+]

Programa A -23.6 kNm 23.6 kNmPrograma B -22.7 kNm 22.6 kNmPrograma C -22.3 kNm 21.9 kNm

Quadro 2.11 –  Momentos Flectores na viga V1(5) para carregamento horizontal de 10kN/nó no alçado

direito.

Através da análise da estrutura mediante carregamento horizontal, podemos observar que a

modelação dos programas B e C geram resultados semelhantes, no entanto, a modelação

do programa A afasta-se de uma forma significativa dos resultados dos outros dois

 programas. A diferença acentua-se na viga V1(2), viga de extremidade, em que o desvio

 pode atingir os 36% no programa A. Esta situação justifica-se pelo uso de um coeficiente

de encastramento nos pilares na última planta – α – .

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.13

O coeficiente de encastramento dos pilares pertencentes à última planta,  – α – permite fazer 

uma interpolação linear para os termos da matriz de rigidez local do pilar que contêm o

coeficiente

 L

 EI 

. Assim sendo, qualquer termo da matriz de rigidez que possua o

coeficiente

 L

 EI toma a forma:

 K α = K  BIENCASTRADO + (1-α ) K  ENCASTRADO-ARTICULADO

Por defeito o programa A aconselha a utilização de um coeficiente α de 0.30. No decorrer 

desta tese, sempre que se fizer referência a este coeficiente, designar-se-á coeficiente α do

 programa A.

Importa referir que se estão a comparar momentos flectores de dimensionamento, que para

os programas B e C são a eixo do pilar, mas que para o programa A são à face do mesmo.

De seguida é apresentada no quadro 2.12 a comparação de reacções do programa C para

carregamento horizontal de 10kN/nó, com e sem pisos rígidos.

 NKN

R  x kN

R  yKN

Com pisosrígidos 

Só estruturareticulada 

Com pisosrígidos 

Só estruturareticulada 

Com pisosrígidos 

Só estruturareticulada 

P1 11.0 7.8 -6.2 -6.9 -1.0 -0.7

P2 1.1 1.0 -7.4 -7.9 -0.2 -0.1

P3 -11.5 -8.7 -6.3 -6.9 0.8 0.5

P4 19.5 20.4 -7.7 -7.2 -1.3 -0.8

P5 48.6 50.2 -42.0 -38.0 -0.5 -0.6

P6 -69.4 -70.6 -18.7 -17.2 2.0 1.4

P7 17.2 19.4 -8.3 -8.9 -0.9 -0.7

P8 48.6 47.1 -23.7 -25.6 -0.3 -0.3

P9 -65.1 -66.4 -19.7 -21.5 1.4 1.2

Σ 0.0 0.2 -140.0 -140.1 0.0 -0.1

Quadro 2.12 – Comparação de reacções da estrutura para solicitação horizontal com e sem bielas, para o

 programa C.

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Capítulo 2

2.14

Constata-se diferenças da ordem dos 10% para as reacções na direcção do carregamento

(Rx), e de 30% na reacção vertical. As reacções Ry não são significativas.

 Na figura 2.9 encontra-se representado o diagrama de momentos flectores na viga V1(2)  para uma estrutura modelada com e sem bielas, representando a rigidez das lajes para o

 programa C recorrendo a carregamento horizontal de 10kN/nó.

V1(2) 

C com bielas na laje C sem bielas na laje 

P1  P2  P3 

Figura 2.9 – Diagramas de momentos flectores do programa C na viga V1(2) para carregamento

horizontal de 10kN/nó em todos os nós do alçado direito considerando existência ou não

de bielas representativas da laje. 

 No quadro 2.13 enunciam-se os valores máximos dos momentos flectores para a viga

V1(2) para a modelação da estrutura com e sem bielas a simular a laje. Nesta viga podemosobservar uma variação máxima de 36% para o momento flector no pilar  P1.

P1[-]

P2[+]

P2[-]

P3[+]

Programa CCom bielas

-10.0 kNm 7.3 kNm -7.2 kNm 9.8 kNm

Programa CSem bielas

-6.4 kNm 5.4 kNm -6.1 kNm 8.0 kNm

Quadro 2.13 –  Momentos flectores na viga V1(2) para carregamento horizontal de 10kN/nó no alçado

direito.

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.15

2.4. Cálculo Global do exemplo em análise

Para proceder a uma análise global do edifício em estudo, foram definidas as acções

regulamentares bem como a modelação das lajes na estrutura, considerando tratar-se de umedifício de habitação.

A modelação das lajes é possível no programa A (recorrendo a elementos finitos) e no

 programa C (recorrendo a uma grelha), não sendo possível a sua inclusão no caso do

 programa B (onde a distribuição de cargas na laje para as vigas é feita de forma

automática).

As acções permanentes consideradas são as seguintes: 3.75kN/m2 (peso próprio da laje),3.0kN/m2 (divisórias revestimentos) e 6.5kN/m (paredes exteriores). De salientar que o peso

 próprio das vigas e pilares foi considerado. A sobrecarga de utilização é de 2.0kN/m2. Para

efeitos da quantificação da acção do vento, o edifício localiza-se na zona A e a rugosidade

aerodinâmica do solo é de tipo I . Para efeitos da quantificação da acção do sismo, o

edifício localiza-se na zona C e a natureza do terreno é do tipo I . As acções da temperatura

e da neve não foram consideradas. Por simplificação admitiu-se que a laje de cobertura é

idêntica às lajes do piso.

2.4.1. Acções Horizontais

2.4.1.1. Vento

O quadro 2.14 apresenta a acção total do vento gerada pelo programa (somatório das

reacções da estrutura), que é igual para a direcção xx e para a direcção  yy, uma vez que oedifício possui simetria diagonal.

Acção Global do Vento [kN]Programa A 104.2 kNPrograma B 102.1 kN

Programa C 99.0 kN

Quadro 2.14 – Acção Global do Vento no edifício gerada pelos programas em análise.

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Capítulo 2

2.16

O programa A não identifica a irregularidade em altura do edifício ao nível do piso 2

(figura 2.10), sendo necessário introduzir como dados a largura de cada planta e o

coeficiente de forma, sendo a pressão do vento calculada internamente. A acção é aplicada

ao nível dos pisos, mas a sua eventual correcção não é simples.

Área em excesso

PISO 1

PISO 0

PISO 2

PISO 3

PISO 4

PISO 5

PISO 6ω [kN/m2] 

F1 

F2 

F3 

F4 

F5 

F6 

F0 

[kN] 

Figura 2.10 – Área em excesso na quantificação da acção do vento por parte do programa A. 

O programa B é o único que gera toda a acção do vento automaticamente e a aplica aos

  pisos. A correcção dos valores é a mais versátil. É possível observar que este programa

identifica a largura real da planta com a inclusão das dimensões dos pilares.

O programa C tem como dados o coeficiente de forma e a pressão do vento. Isto permite a

introdução da acção do vento de uma forma rigorosa, piso a piso. Este programa permite

distribuir a pressão do vento numa área previamente definida pelo utilizador, quer pelas

vigas (distribuição de cargas por pisos), quer pelos pilares, como se pode observar na

figura 2.11.

A distribuição das cargas pelos pilares é bastante útil no cálculo de pavilhões industriais.

 Nesta estrutura foi adoptada a distribuição de cargas entre pisos.

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.17

PISO 1

PISO 0

PISO 2

PISO 3

PISO 4

PISO 5

PISO 6

(a) Distribuição entre Pisos  (b) Distribuição entre Pilares 

PISO 0

PISO 1

PISO 2

PISO 3

PISO 4

PISO 5

PISO 6 

Figura 2.11 – Distribuição da acção do vento entre pisos (a), ou entre pilares (b), para o programa C. 

Constata-se então que o programa considera que a fachada onde actua o vento se apoia

entre pisos consecutivos. Esta particularidade gera na estrutura em análise uma consola

entre os pisos 0 e 1, como se pode observar no corte xx, da figura 2.12 a). Para colmatar tal

situação foram introduzidas barras ao nível da fundação para “dar apoio” à acção do ventoe, após gerar essa mesma acção, foram apagadas, ver corte yy da figura 2.12 b).

PISO 1 

PISO 0 

PISO 2 

PISO 3 

PISO 4 

PISO 5 

PISO 6 

(a) Modelação utilizada pelo programa 

X W Piso 2 

W Piso 1 

(b) Modelação usada no cálculo deste exemplo 

W Piso 2 

W Piso 1 

PISO 0 

PISO 1 

PISO 2 

PISO 3 

PISO 4 

PISO 5 

PISO 6 

W Piso 0 [1]  [2] 

Figura 2.12 – Distribuição da acção do vento usada pelo programa C. (a)

Uso de barras adicionais no piso 0 para modelar correctamente a acção do vento (b).

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Capítulo 2

2.18

Importa referir que o programa A não apresenta equilíbrio na direcção  yy quando o

 programa solicita a estrutura na direcção xx como é possível observar no quadro 2.15.

Acção Vento  xx  Acção Vento  yy 

PILAR Reacção em  yy Reacção em  xx  

P 1 0.38 kN -0.35 kN

P 2 0.09 kN -0.84 kN

P 3 -0.06 kN -0.06 kN

P 4 0.53 kN 0.09 kN

P 5 0.27 kN 0.27 kN

P 6 -0.84 kN 0.09 kN

P 7 0.43 kN 0.43 kN

P 8 0.09 kN 0.53 kN

P 9 -0.35 kN 0.38 kN

Σ 0.54 kN 0.54 kN

Quadro 2.15 – Reacções na estrutura perpendicularmente

à acção do vento para o programa A.

2.4.1.2. Sismo

Todos os programas analisados efectuam uma análise dinâmica por sobreposição modal,

 para caracterizar a acção do sismo. A massa adoptada inclui o peso próprio das vigas e

 pilares, atingindo um total aproximado de 5050 kN .

O quadro 2.16 apresenta reacções não equilibradas na direcção normal à acção do sismo

 para o programa A. As diferenças encontradas entre os programas são significativas. O

 programa C não fornece resultados para os dois sismos regulamentares; ainda que omanual indique que os utiliza, os resultados fornecidos ao utilizador consistem numa

envolvente do sismo tipo I e tipo II .

Todos os programas em análise utilizam o método 3GL/piso.

O programa C apresenta como resultante da acção sísmica diferentes reacções segundo xx

e segundo  yy. Segundo xx, o somatório das forças sísmicas tem como resultado 127kN e

segundo yy, 138kN !

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.19

Analisando os resultados da acção sísmica podemos observar uma diferença de 38% entre

os programas B e C.

Σ Reacções em xx  Σ Reacções em yy Sismo Tipo I Sismo Tipo II Sismo Tipo I Sismo Tipo II

Programa A 142 kN 165 kN 35 KN 36 kNPrograma B 153 kN 206 kN 0 kN 0 kNPrograma C 127 kN 0 kN

Quadro 2.16   – Reacções nos pilares segundo as direcções xx e yy para uma

solicitação sísmica segundo xx.

O quadro 2.17 indica as frequências dos seis primeiros modos de vibração, claramente

distintos de um programa para outro, apresentando o programa C a maior discrepância de

valores.

Frequências de Vibração [Hz]Programa A Programa B Programa C 

1º Modo 1.150 0.983 1.4482º Modo 1.184 1.048 1.5433º Modo 1.718 1.098 2.3974º Modo 2.489 1.966 2.9525º Modo 2.511 2.232 3.210

6º Modo 2.981 2.528 3.576

Quadro 2.17 – Frequências de vibração dos vários programas.

O programa C usa uma matriz de rigidez para o cálculo das frequências de vibração

diferente da utilizada pelos programas A e B. Assim sendo utiliza a matriz de rigidez da

estrutura considerando que os pilares se encastram nos pisos, sendo estes infinitamente

rígidos à flexão. Estes tipos de análise serão objecto de estudo no capítulo 5. Por outro

lado, o programa A considera a matriz de rigidez da estrutura 3D com a modelação das

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Capítulo 2

2.20

  barras descrita no capítulo 3. Para finalizar, o programa B utiliza a matriz de rigidez

composição das matrizes de rigidez das estruturas reticuladas (Pórticos).

As frequências de vibração provenientes do programa A alteram-se com o coeficiente derigidez axial dos pilares, usado para minimizar a deformação axial que é minorada pelo

 processo construtivo. Por outro lado, o programa usa por defeito um coeficiente de rigidez

α de 0.30 nos pilares do último piso, para o pilar em questão.

 Na estrutura em análise esta situação pode ter como consequência a redução da torção do

edifício, uma vez que a rigidez do pórtico constituído pelos pilares  P1,  P2 e  P3 é

diminuída. O mesmo acontece para o pórtico constituído pelos pilares  P1,  P4 e  P7 . No

quadro 2.18 é possível comparar as frequências de vibração sem a utilização deste

coeficiente, ou com a utilização do mesmo por parte do programa A.

A influência do coeficiente de rigidez à flexão nos pilares do último piso  – α – no programa

A é diminuta em edifícios regulares altos, e significativamente importante em estruturas de

um só piso, como se poderá observar no capítulo 5.

Frequências de Vibração [Hz]Programa A com coeficiente derigidez de 0.30 nos pilares daúltima planta. ( por defeito)

Programa A sem coeficiente derigidez nos pilares da última

 planta. 

1º Modo 1.150 1.1882º Modo 1.184 1.2323º Modo 1.718 1.7994º Modo 2.489 2.5675º Modo 2.511 2.609

6º Modo 2.981 3.083

Quadro 2.18 – Frequências de vibração do programa A para diferentes valores do coeficiente de rigidez nos

 pilares da última planta.

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.21

2.4.2. Análise de envolventes de momentos flectores nas vigas V1(2), V2(2) e V1(6)

Uma vez que as envolventes de momentos flectores são de difícil apreciação, perdendo

quase todo o significado quando dissociadas dos diagramas das acções que as compõem,optou-se por apresentar os momentos flectores de dimensionamento por parte dos

diferentes programas em pontos significativos (apoios e vãos), para as combinações que os

  programas apresentam por defeito. Esta apresentação tem como objectivo a tomada de

consciência da variação de esforços antes de analisar as armaduras.

Assim sendo, os momentos flectores pertencentes à envolvente de momentos flectores

usados para o dimensionamento das armaduras longitudinais por parte dos programas A, B 

e C são apresentados em seguida nas figuras 2.13, 2.14 e 2.15.

 Na figura 2.13 encontram-se representados os momentos flectores de dimensionamento

 para a viga V1(2).

-125 -100 

-75

 -50 -25 

0 25 50 75 

100 

   M  o  m  e  n   t  o   F   l  e  c   t  o  r

A B C 

Programa 

P1  P1-P2  P2  P2-P3  P3 

M(-)  M(+)  M(-)  M(+)  M(-) 

Figura 2.13 – Comparação de momentos flectores negativos nos apoios e positivos nos vãos provenientes

da envolvente para a viga V1(2). 

 No quadro 2.19 podem ser consultados os valores dos momentos flectores máximos do

dimensionamento da viga V1(2).

Mom. Neg.[P1]kNm

Mom. Pos.[P1-P2]kNm

Mom. Neg.[P2]kNm

Mom. Pos.[P2-P3]kNm

Mom. Neg.[P3]kNm

A -14.5 70.0 -92.2 70.2 -11.2B -54.6 68.7 -115.7 68.7 -53.7C -38.7 56.1 -92.2 57.8 -31.1

Quadro 2.19 – Momentos Flectores máximos para a viga V1(2). 

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Capítulo 2

2.22

 Na figura 2.14 são apresentados os momentos flectores de dimensionamento da viga V2(2).

-275.0 -250.0 -225.0 -200.0 -175.0 -150.0 -125.0 -100.0 -75.0 -50.0 -25.0 

0.0 25.0 50.0 75.0 

100.0 125.0 150.0 175.0 

P4  P4-P5  P5  P5-P6  P6 

M(-)  M(+)  M(-)  M(+)  M(-) 

   M  o  m  e  n   t  o   F   l  e  c   t  o  r   (   k   N  m   )

A B C 

Programa 

Figura 2.14 – Comparação de momentos flectores negativos nos apoios e positivos nos vãos provenientes

da envolvente para a viga V2(2). 

 No quadro 2.20   podem ser consultados os valores dos momentos flectores de

dimensionamento da viga V2(2).

Mom. Neg.[P4]kNm

Mom. Pos.[P4-P5]kNm

Mom. Neg.[P5]kNm

Mom. Pos.[P5-P6]kNm

Mom. Neg.[P6]kNm

A -24.1 137.8 -215.4 123.1 -129.6B -79.9 129.5 -251.2 122.1 -173.6C -65.1 123.7 -252.2 112.7 -153.3

Quadro 2.20 – Momentos flectores máximos para a viga V2(2). 

 Na figura 2.15 encontram-se representados os momentos flectores de dimensionamento daviga V1(6).

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.23

-75.0 -50.0

 -25.0 0.0 

25.0 50.0 75.0 

100.0 125.0 

P5  P5-P6  P6 

M(-)  M(+)  M(-) 

   M  o  m  e  n   t  o   F   l  e  c   t  o  r   (   k   N  m   )

A B C 

Programa 

Figura 2.15 – Comparação de momentos flectores provenientes da envolvente negativos nos apoios e

 positivos nos vãos para a viga V1(6). 

 No quadro 2.21 apresentam-se os valores máximos dos diagramas de momentos flectores

 para a viga V1(6).

Mom. Neg.[P5]kNm

Mom. Pos.[P5-P6]kNm

Mom. Neg.[P6]kNm

A -17.7 116.3 -17.7

B -53.3 93.6 -53.2C -46.8 95.5 -44.9

Quadro 2.21 – Momentos flectores máximos para a viga V1(6). 

É perfeitamente visível que as diferenças de momentos flectores de dimensionamento são

significativas, e com origens diversas. No entanto, as mais significativas encontram-se

entre os momentos flectores negativos do programa A e os dos restantes programas para as

vigas V1(2) e V1(6), ambas pertencentes à última planta. De seguida, é apresentada uma

comparação de momentos flectores entre duas modelações do programa A, uma com

coeficiente de rigidez dos pilares na última planta (por defeito α = 0.30), e outra sem

coeficiente (α = 1.0).

 No quadro 2.22 apresentam-se os momentos flectores de dimensionamento da viga V1(2) 

do programa A com α=0.30 e com α=1.00

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Capítulo 2

2.24

Mom. Neg.[P1]kNm

Mom. Pos.[P1-P2]kNm

Mom. Neg.[P2]kNm

Mom. Pos.[P2-P3]kNm

Mom. Neg.[P3]kNm

A [α = 0.30] -14.5 70.0 -92.2 70.2 -11.2A [α = 1.00] -37.4 61.6 -83.6 62.7 -30.7

Quadro 2.22 – Momentos flectores máximos para a viga V1(2) para a modelação do programa A com

coeficiente de encastramento dos pilares na última planta α =0.30 , e com α = 1.00. 

 No quadro 2.23 encontram-se representados os momentos flectores de dimensionamento

da viga V2(2) do programa A com α=0.30 e com α=1.00

Mom. Neg.[P4]kNm

Mom. Pos.[P4-P5]kNm

Mom. Neg.[P5]kNm

Mom. Pos.[P5-P6]kNm

Mom. Neg.[P6]kNm

A [α = 0.30] -24.1 137.8 -215.4 123.1 -129.6A [α = 1.00] -65.1 123.6 -200.3 122.4 -132.9

Quadro 2.23 – Momentos flectores máximos para a viga V2(2) para a modelação do programa A com

coeficiente de encastramento dos pilares na última planta α = 0.30, e com α = 1.00. 

 No quadro 2.24 apresentam-se os momentos flectores de dimensionamento da viga V1(6) 

do programa A com α=0.30 e com α=1.00 

Mom. Neg.[P5]kNm

Mom. Pos.[P5-P6]kNm

Mom. Neg.[P6]kNm

A [α = 0.30] -17.7 116.3 -17.7A [α = 1.00] -41.9 91.1 -40.7

Quadro 2.24   – Momentos flectores máximos para a viga V1(6) para a modelação do

  programa A com coeficiente de encastramento dos pilares na última

 planta α = 0.30, e com α = 1.00. 

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.25

De seguida efectua-se a comparação entre os momentos flectores de dimensionamento do

 programa A com o coeficiente de encastramento dos pilares na última planta α = 0.30 (por 

defeito) e com α = 1.00 (modelação de ligação rígida). Os resultados são visíveis nas

figuras 2.16, 2.17 e 2.18.

 Na figura 2.16 estão representados os momentos flectores de dimensionamento para a viga

V1(2) para o programa A com α=0.30 e para os restantes programas em estudo.

-125.0 -100.0 -75.0 -50.0 -25.0 

0.0 25.0 50.0 75.0 

100.0 

P1  P1-P2  P2  P2-P3  P3 

M(-)  M(+)  M(-)  M(+)  M(-) 

   M  o  m  e  n   t  o   F   l  e  c   t  o  r   (   k   N  m   )

A1 A2 B C 

Programa 

Figura 2.16 – Influência do coeficiente α do programa A na envolvente de momentos flectores para a

viga V1(2). 

 Na figura 2.17 representam-se os momentos flectores de dimensionamento para a viga

V2(2) para o programa A com α=0.30 e para os restantes programas em estudo.

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Capítulo 2

2.26

-275.0 -250.0 -225.0 -200.0 -175.0 -150.0 -125.0 -100.0 -75.0 -50.0 -25.0 

0.0 25.0 50.0 75.0 

100.0 125.0 150.0 175.0 

P4  P4-P5  P5  P5-P6  P6 

M(-)  M(+)  M(-)  M(+)  M(-) 

   M  o  m  e  n   t  o   F   l  e  c   t  o  r   (   k   N  m   )

A1 A2 B C 

Programa 

Figura 2.17 – Influência do coeficiente α do programa A na envolvente de momentos flectores para a

viga V2(2). 

 Na figura 2.18 apresentam-se os momentos flectores de dimensionamento para a viga

V1(6) para o programa A com α=0.30 e para os restantes programas em estudo.

-75.0 

-50.0 

-25.0 

0.0 

25.0 

50.0 

75.0 

100.0 

125.0 

P5  P5-P6  P6 

M(-)  M(+)  M(-) 

   M  o

  m  e  n   t  o   F   l  e  c   t  o  r   (   k   N  m   )

A1 A2 B C 

Programa 

Figura 2.18 – Influência do coeficiente α do programa A na envolvente de momentos flectores para a

viga V1(6). 

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.27

É possível verificar através desta comparação variações significativas. Na viga V1(2) 

 podemos observar uma variação do momento negativo nos pilares de extremidade de 60%,

e uma variação do momento nos vãos de 12%.

Relativamente à viga V2(2) é possível constatar que o maior desvio se encontra no pilar 

 P4, atingindo os 60%.

 Na viga V1(6), a variação é de 58% para momentos flectores negativos nos apoios e de

21% no vão.

2.4.3. Armaduras nas vigas V1(2), V2(2) e V1(6)

A pormenorização das armaduras é um factor importante em projecto de estruturas de

  betão armado. É também bastante subjectiva, dada a multiplicidade de factores que nela

influem, desde o processo construtivo e capacidade tecnológica do empreiteiro, aos prazos

de execução e preços de materiais. No entanto, segundo   J. D’ Arga e Lima [ D’AR89]

  podemos dividir os desenhos em dois tipos, desenhos de projecto e desenhos de obra,

sendo os desenhos de projecto o resultado do cálculo estrutural, com a definição das

armaduras que permitem ao construtor ter toda a informação necessária para preparar os

desenhos de obra que, por sua vez, englobam toda a informação de cariz construtivo

necessária à preparação de armaduras e cofragens. Tal como  J. D’ Arga e Lima [ D’AR89]

afirma, nem sempre existe uma separação nítida entre os desenhos de projecto e os

desenhos de obra; muitas vezes só existe um tipo de desenho, sendo este o desenho de

 projecto.

Uma vez que os programas de cálculo automático em análise possuem vertentes que lhes

conferem a preocupação com a preparação da obra, como sendo a apresentação de

medições de betão, aço e cofragens, será feita uma resenha das características

fundamentais dos desenhos, de projecto e de obra.

Relativamente às características gerais dos desenhos podemos destacar:

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Capítulo 2

2.28

• Uso de convenções para o desenho das armaduras ( ISO 3766 ).

• Uso de espessura de traço que permita uma fácil leitura, recomendando para tal:

 –   Linhas de contorno de betão

 Nos desenhos gerais 0.60mm ou 0.40mm. 

 Nos desenhos de pormenor de dimensões 0.60mm ou 0.40mm. 

 Nos desenhos de armadura 0.40mm. 

  – Linhas de armaduras

 Nas principais 0.60mm. 

 Nas cintas e nos estribos 0.40mm. 

  – Linhas de cotas

 Na generalidade 0.20mm. 

• Conceber desenhos simples que permitam definir facilmente as armaduras e as

cofragens.

A representação proposta para as armaduras nas vigas num desenho de projecto deverá

contemplar:

- Escala 1/20. 

- Vistas longitudinais e cortes.

- Cotas.

- Tipo de aço, classe de betão e recobrimento.

A representação proposta para as armaduras nas vigas num desenho de obra deverá

contemplar:

- Armaduras individualmente pormenorizadas e cotadas.

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.29

- Suporte das armaduras e seu espaçamento. 

- Tipo de aço, classe de betão e recobrimento. 

Através das considerações supracitadas, será feita uma análise sobre as representações das

armaduras dos diversos programas.

 Nas figuras seguintes (2.19, 2.20 e 2.21) apresentam-se os resultados gráficos do programa

A para as vigas V1(6), V2(2) e V1(2).

P9 P6  P8 P5  P9 P8 

1eØ8a22 

600 2Ø10 

25 (675) 

2Ø12 (425) 23 3Ø16 (670) 23 

30 50 

CORTE A 

30x50 

ESC.1:20 P6 P5 

2Ø10 (170) 25 133 133 2Ø10 (170) 

25 

ESTRIBOS 

INFERIOR 

SUPERIOR 

ESC.1:20 PORTICO 4 PORTICO 3 PORTICO 2 PORTICO 1 

V1(6) - Programa A

25 

Figura 2.19 – Representação da armadura para o programa A, para a viga V1(6). 

P8 P5 P2 

1eØ8a22  1eØ8a21 84 

1eØ8a16 112 

600 

2Ø10 25 (660) 

2Ø16 (420) 25 3Ø16 (660) 

30x50 

P6 P5 

2Ø16 (185) 25 143 

2Ø16 (225) 25 183 

165 2Ø20  (285) 230 3Ø20  (450) 

1eØ8a22  1eØ8a19 95 

600 

2Ø10 (655) 25 

2Ø16 (495) 3Ø16 (655) 25 

30 50 

CORTE A 

30x50 

ESC.1:20 

P4 

120 220 133 2Ø10 (170) 

25 

ESTRIBOS 

INFERIOR 

SUPERIOR 

ESC.1:20 PORTICO 5 PORTICO 2 V2(2) - Programa A

Figura 2.20 – Representação da armadura para o programa A, para a viga V2(2). 

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Capítulo 2

2.30

P7 P4 P1 

1eØ8a22 

600 2Ø10  25 (650) 

1Ø12 (475) 25 2Ø16 (650) 

30x50 

P3 P2 

2Ø10 (170) 25 133

 180

 

3Ø16  (360) 

1eØ8a22 

600 2Ø10 (650) 25 

1Ø12 (455) 2Ø16 (650) 

30 50 

CORTE A 

30x50 

ESC.1:20 

P1 

180

 133

 

2Ø10 (170) 25 

ESTRIBOS 

INFERIOR 

SUPERIOR 

ESC.1:20 PORTICO 4 PORTICO 1 

V1(2) - Programa A

Figura 2.21 – Representação da armadura para o programa A, para a viga V2(2). 

Pode observar-se que o programa A não cumpre os comprimentos de amarração

  preconizados pelo REBAP [ REBAP86 ] para momentos flectores negativos. Nota-se

também que o algoritmo de escolha de estribos não parece ser muito eficiente (ver viga

V2(2) no 2º tramo em que é colocada uma zona de reforço de estribos fazendo variar o

espaçamento em 1cm!). Este programa calcula os estribos tendo sempre em atenção a

torção existente nas barras, mas não amarra os mesmos estribos para a torção [ REBAP86 ].

É importante referir que a utilização de diâmetros de varões de grande diversidade obriga à

utilização de duas camadas de armadura de reforço de momentos flectores negativos para a

viga V2(2), facto que era evitável se se utilizasse uma armadura de montagem de diâmetro

superior.

O programa cumpre as armaduras mínimas, os afastamentos mínimos, bem como a

armadura mínima longitudinal no apoio para nele assegurar o funcionamento do

mecanismo de treliça.

Uma vez que os cortes das vigas não fornecem informação sobre as dimensões das lajes

que nelas concorrem, bem como não possuem legenda da armadura transversal e

longitudinal utilizada, é de referir que o seu interesse é diminuto.

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.31

A facilidade de leitura das armaduras é um ponto forte da representação por parte do

 programa A, uma vez que coloca a armadura superior em cima da viga devidamente

cotada, e coloca a armadura inferior por baixo da viga, também esta cotada.

Em seguida são apresentadas as armaduras correspondentes ao programa B.

V1(6) - Programa B

0.50 

2Ø12+3Ø16 

2Ø10 

0.30  Ø6//0.15 6.00 

0.30 0.30 

0.30 0.30 

1.50 4Ø10 

1.50 4Ø10 2Ø10 

0.45 2Ø12+1Ø16 

0.45 2Ø12+1Ø16 2Ø12+3Ø16 

Ø6//.15 

Figura 2.22 – Representação da armadura para o programa A, para a viga V1(6). 

V2(2) - Programa B

0.30 0.30 

0.50 

0.50 0.40 

0.40 

1.05 3Ø20 

2.00 2Ø20+3Ø25 

0.50 2Ø20+1Ø25 2Ø20 

2Ø16+2Ø20 Ø6//.15 

2.25 

Ø8//.2 

0.50 

0.30 

2Ø20 

2Ø16+2Ø20 Ø6//.15 

2.25 2Ø20+3Ø25 

0.50 2Ø20+1Ø25 

2.15 4Ø20 2Ø20 

2Ø16+2Ø20 Ø6//.15 

1.90 

Ø8//.15 

1.85 

Ø6//.125 

0.50 

0.30 

2Ø20 

2Ø16+2Ø20 Ø6//.15 

0.40  0.40 

6.00  6.00 

Figura 2.23 – Representação da armadura para o programa B, para a viga V2(2). 

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Capítulo 2

2.32

V1(2) - Programa B

6.00  6.00 

0.30 0.30 

0.30 0.30 

0.30 0.30 

1.45

 3Ø12 1.80

 2Ø12+3Ø16 0.40

 2Ø12+1Ø16 2Ø12 

0.35 3Ø12 

1.10 3Ø12 5Ø12 

Ø6//.15 

0.50 

0.30 

2Ø12 

5Ø12 Ø6//.15 

1.80

 2Ø12+3Ø16 0.40

 2Ø12+1Ø16 1.45

 3Ø12 2Ø12 

1.10 3Ø12 

0.35 

 

3Ø12 5Ø12 Ø6//.15 

0.50 

0.30 

0.50 0.50 Ø6//.15 

5Ø12 

2Ø12 

Figura 2.24 – Representação da armadura para o programa B, para a viga V1(2). 

Analisando os desenhos das vigas do programa B pode observar-se um maior cuidado na

combinação dos diâmetros a utilizar para a armadura longitudinal, bem como um algoritmo

de cálculo de estribos que parece mais adequado.

 Neste programa as secções são importantes, uma vez que nelas são representadas as lajesque concorrem na viga, as armaduras longitudinais e transversais, sendo possível, antes de

gerar os desenhos, definir se o corte da laje existe, se é de uma laje aligeirada ou maciça, e

se se encontra na face inferior ou superior da viga (permitindo representar vigas rasas,

altas, invertidas e desníveis).

Os comprimentos de amarração parecem bem calculados, apesar da dificuldade em serem

executados dentro do pilar.

De salientar ainda que o desenho das armaduras dos pilares ainda que não absolutamente

necessário, permite a pormenorização da ligação destas armaduras à viga.

A cotagem das armaduras é insuficiente, uma vez que não é apresentado o comprimento

total dos varões das mesmas.

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.33

Em seguida são apresentadas as armaduras que resultam do programa C para as vigas

V1(6), V1(2) e V2(2).

2Ø12 1.95+0.41 2Ø12  0.41+1.95 

2Ø12 2.30 2.30 

2Ø12 2.80 2.80 

B25S-30x50-71 

1estØ6//0.16 6.00 

0.34+6.00+0.34 2Ø10 

0.13+6.00+0.13 2Ø12 

43 

B25S-30x30-34 

1estØ8//0.30 A/B: _ /2x1Ø16 

2x2Ø25 A 

42 

B25S-30x30-33 

1estØ8//0.24 A/B:2x3Ø12/2x2Ø12 

2x2Ø20 A 

V1(6) - Programa C 

Figura 2.25 – Representação da armadura para o programa C, para a viga V1(6). 

1Ø20 1.95+0.63(*0.69) 

2Ø20

  1.95 1.95 2Ø20 2.35 2.35 

2Ø20 6.00+0.63(*0.69) 3.35 1Ø20 

0.58(*0.69)+2.35 

1Ø12 1.80 1.00 

2Ø12  2.50 1.80 2Ø12 

1.30 2.30 

2Ø12 1.80 2.80 

2Ø12 3.00+0.29 0.20+3.00 3.00+0.20 0.29+3.00 

B25S-30x50-50 

1estØ6//0.12 0.66 

1estØ6//0.16 3.84 

1estØ6//0.08 1.50 

6.00+0.34 2Ø10 0.34 

6.00+0.18 2Ø12 0.28 

24 B25S-40x40-22 

B25S-40x40-15 

2estØ8//0.18 A/B:2x1Ø12/ _  

2x2Ø16 A 

B25S-30x50-48 

1estØ8//0.16 6.00 

0.34+6.00 2Ø10  0.34 

0.13+6.00 2Ø12  0.28 

23 B25S-40x40-21 

B25S-50x50-14 

2+1estØ8//0.14 A/B:2x1Ø12/2x4Ø12 

2x2Ø12 A 

22 

B25S-30x30-13 

1estØ8//0.18 A/B:2x6Ø12/ _  

2x2Ø16 A

 

V2(2) - Programa C 

Figura 2.26 – Representação da armadura para o programa C, para a viga V2(2). 

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Capítulo 2

2.34

0.34 

0.28 

B25S-30x30-17 

1estØ8//0.18 A/B:2x1Ø12/2x5Ø12 

2x2Ø16 A 

2Ø12 

B25S-30x30-16 

1estØ8//0.18 A/B:2x2Ø12/2x2Ø12 

A 2x2Ø16 

2.50 0.13+6.00 

2Ø12 1.80 

25 

1Ø12 0.41+2.05 

B25S-30x50-51 

1estØ6//0.16 6.00 

0.34+6.00

 

2Ø10 2Ø12 

1.55 2.65 

2Ø12 

1.80 2Ø12 0.28 

6.00+0.13 2Ø12 

2.80 

B25S-30x30-18 

1estØ8//0.24 A/B: _ /2x1Ø16 

2x2Ø20 A 

26 

B25S-30x50-52 

1estØ6//0.16 6.00 

1.65 

0.34 2.65 

6.00+0.34

 

2Ø10 1Ø12 

27 

2.05+0.41 

V1(2) - Programa C 

Figura 2.27 – Representação da armadura para o programa C, para a viga V1(2). 

Relativamente às armaduras do programa C podemos observar que este não cumpre as

amarrações para momentos flectores negativos, tal como as preconiza o REBAP

[ REBAP86 ].

A utilização de armaduras de diâmetro substancialmente diferentes, bem como um

algoritmo de estribos não muito consistente fazem com que as armaduras não sejam uma

 boa opção em obra. A exemplificar este facto podemos observar na figura 2.26 a utilização

de estribos φ6//0.08m, quando no tramo à direita da mesma viga são usados estribos φ 8.

Por outro lado, o uso de 8φ12mm em 30cm para a armadura de momentos flectores

 positivos e o uso de 6 φ12+2φ10 para momentos flectores negativos, revela inconsistênciano algoritmo de atribuição de armaduras perante o tão elevado n.º de diâmetros.

Apesar da maior ou menor facilidade em alterar, ou mesmo de personalizar as armaduras

encontra-se em questão a profundidade dos algoritmos de geração das armaduras. Assim,

verifica-se o mau desempenho do algoritmo de armaduras com o seu funcionamento

automático e por defeito.

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.35

Importa referir que as secções não fornecem informação sobre as lajes, ou armaduras

transversais e longitudinais, sendo absolutamente inúteis.

Os alçados e os cortes podem considerar-se bastante pobres.

2.4.4. Quantidades de armaduras nas vigas V1(2), V2(2) e V1(6)

De seguida são apresentadas as armaduras para os vários programas de cálculo automático

  para as vigas V1(2), V2(2) e V1(6) nas figuras 2.28, 2.29 e 2.30; os valores numéricosencontram-se nos quadros 2.25, 2.26 e 2.27.

 Na figura 2.28 estão representadas as armaduras longitudinais máximas para a viga V1(2).

10.0 

5.0 

0.0 

5.0 

10.0 

[M(-)]  [M(+)]  [M(-)]  [M(+)]  [M(-)] 

As  As  As  As  As 

   A  s   (  c  m

   )

A B C 

Programa 

Figura 2.28 – Armaduras para os vários programas para a viga V1(2). 

 No quadro 2.25 encontram-se os valores máximos das armaduras longitudinais para a viga

V1(2).

As-[P1]cm2 

As+[P1-P2]

cm2 

As-[P2]cm2 

Mom. Pos.[P2-P3]

cm2 

Mom. Neg.[P3]cm2 

A 3.14 5.15 7.60 5.15 3.14B 3.39 5.65 8.29 5.65 3.39C 2.70 4.52 6.09 4.52 2.70

Quadro 2.25 –Armaduras colocadas na viga V1(2). 

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Capítulo 2

2.36

 Na figura 2.29 estão representadas as armaduras longitudinais máximas para a viga V2(2).

25.0 20.0 15.0 10.0 

5.0 0.0 5.0 

10.0 15.0 

[M(-)]  [M(+)]  [M(-)]  [M(+)]  [M(-)] 

As  As  As  As  As 

   A  s   (  c  m

   2   ) A 

B C 

Programa 

Figura 2.29 – Armaduras para os vários programas para a viga V2(2). 

 No quadro 2.26 apresentam-se os valores máximos das armaduras longitudinais para a viga

V2(2).

As-[P4]cm2 

As+[P4-P5]

cm2 

As-[P5]cm2 

As+[P5-P6]

cm2 

As-[P6]cm2 

A 3.14 10.30 17.28 10.30 4.61B 9.42 10.30 21.01 10.30 12.56C 4.71 9.05 20.42 7.92 10.99

Quadro 2.26 – Armaduras colocadas na viga V2(2). 

 Na figura 2.30 pode observar-se as armaduras longitudinais máximas para a viga V1(6). 

5.0 

0.0 

5.0 

10.0 

[M(-)]  [M(+)]  [M(-)] 

As  As  As 

   A  s   (  c  m

   2   ) A 

B C 

Programa 

Figura 2.30 – Armaduras para os vários programas para a viga V1(6). 

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.37

 No quadro 2.27 analisam-se os valores máximos das armaduras longitudinais para a viga

V1(6).

As-[P5]cm2 

As+[P5-P6]

cm2 

As-[P6]cm2 

A 3.14 8.29 3.14B 3.14 8.29 3.14C 3.83 6.78 3.83

Quadro 2.27 – Armaduras colocadas na viga V1(6). 

Constata-se a existência de variações significativas nas armaduras longitudinais das vigas.

Para tal concorrem uma multiplicidade de factores que provocam tais variações. Desde a

acção sísmica, passando pelos coeficientes de rigidez ou de distribuição, é assim complexo

e delicado efectuar uma análise crítica aos resultados das armaduras. Com estas

comparações de armaduras pretende-se apenas tomar consciência das variações de

resultados para os diferentes programas.

De uma forma sumária é possível observar na viga V1(2) uma variação máxima de 26.5% 

entre os programas A e C. Na viga V2(2) a variação máxima de armadura encontra-se entre

os programas A e B e toma o valor de 172.5%! Por sua vez, a viga V1(6) apresenta uma

variação de 22% entre os programas A e B e o programa C.

2.4.5. Comparação de armaduras nos pilares

Sendo os pilares elementos importantes no dimensionamento estrutural, revela-se

importante aferir os resultados dos mesmos à luz dos diversos programas de cálculo

automático em análise.

Uma vez que existem vários factores a interferir no dimensionamento dos pilares, como o

estudo da encurvadura ou o método usado pelo algoritmo de cálculo para as várias

combinações, optou-se por comparar áreas de aço mínimas provenientes dos vários

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Capítulo 2

2.38

 programas, isto é, sem quaisquer opções de critérios de simetria de armaduras nas secções

ou continuidade de diâmetros de piso para piso.

Daí os resultados apresentados no quadro de pilares para os pilares  P1,  P5 e  P8 para osdiferentes programas, bem como as armaduras na figura 2.31.

0.30 0.30 

0.30

 

0.30 

0.30 

0.30  0.30 0.30 

0.30 0.30 

0.30 0.30 

0.30 0.30 

0.30 0.30 

0.30 0.30 

0.30 0.30 

0.30 0.30 

0.50 0.50 

0.50 0.50 

0.50

 0.50 

0.50 0.50 

4Ø20+ 4Ø12 

E Ø6//0.15  E Ø8//0.30 

4Ø25 E Ø8//0.24 

10Ø12 4Ø20+ E Ø8//0.30 

4Ø25 E Ø8//0.30 

2Ø16 4Ø25+ 

E Ø6//0.24 8Ø20 

E Ø8//0.30 2Ø16 4Ø25+ 

E Ø6//0.24 8Ø20 

E Ø8//0.30 2Ø12 4Ø25+ 

E Ø6//0.20 4Ø16 4Ø20+ 

E Ø6//0.24 8Ø20 

E Ø8//0.18 6Ø12 4Ø16+ 

E Ø6//0.24 8Ø20 

E Ø8//0.18 2Ø12 4Ø16+ 

E Ø8//0.24 

E Ø6//0.19 8Ø20 

E Ø6//0.20 4Ø16 4Ø20+ 

E Ø6//0.19 8Ø16 

E Ø8//0.14 14Ø12 

E Ø8//0.30 4Ø25  4Ø16+ 

E Ø8//0.18 4Ø12 

E Ø8//0.24 4Ø25  4Ø20+ 

E Ø8//0.24 16Ø12 

E Ø8//0.30 12Ø25 

PROGRAMA A  PROGRAMA 

B  C PROGRAMA PROGRAMA A  B PROGRAMA 

C PROGRAMA PROGRAMA A  B PROGRAMA 

C PROGRAMA Pilar P1  Pilar P5  Pilar P8 

E Ø6//0.20 8Ø16 

E Ø8//0.30 4Ø25 

E Ø8//0.18 8Ø12 4Ø16+ 

E Ø6//0.20 

0.30

 

8Ø16 

0.30 

E Ø6//0.20 

0.30 0.30 

4Ø16 4Ø20+ 

0.40 0.40 

E Ø6//0.20 

0.40 0.40

 4Ø20+ 4Ø16 

0.50

 

E Ø6//0.20 

0.50 4Ø16 4Ø20+ 

0.30 

E Ø6//0.20 4Ø20+ 4Ø16 

0.30 

0.30 

E Ø6//0.15 

4Ø12 

0.30 

4Ø20+ 

E Ø6//0.20 

0.40 4Ø16 

0.40 

4Ø20+ 

E Ø6//0.20 

0.40 4Ø16 

0.40

 4Ø20+ 

E Ø6//0.20 

0.40 

4Ø16 

0.40 

4Ø20+ 

0.40

 0.40 

E Ø6//0.20 4Ø20+ 4Ø16 

0.30

 0.30 

0.40 0.40 

0.40

 0.40 

E Ø8//0.14 

0.50 14Ø12 

0.50

 

0.30 0.30 

0.30 0.30 

0.40 

4Ø16+ 4Ø12 

0.40 

E Ø8//0.18 

2Ø12 E Ø6//0.18 

0.40

 4Ø16+ 0.40 

0.40 0.40 

E Ø8//0.18 2Ø12 4Ø16+ 

0.40

 0.40 

0.40 0.40 

0.40

 

E Ø6//0.24 

0.40 8Ø20 

0.40 0.40 

0.40

 0.40 

2Ø20 4Ø25+ 

0.40 0.40 

0.40

 0.40 

Figura 2.31 – Quadro de Pilares: P1, P5 e P8. 

Para proceder a uma análise crítica sobre as armaduras dos pilares, convém recordar que

segundo a regulamentação portuguesa, REBAP [ REBAP86 ]:

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.39

A secção deve possuir um varão por canto; os varões longitudinais não devem ser 

espaçados mais de 30cm (salvo quando a face é inferior a 40cm, em que podem ser 

utilizados somente 1 varão por canto).

O espaçamento das armaduras transversais (cintas) não devem exceder o menor valor 

entre; 12φlongitudinal , menor dimensão do pilar e 30cm.

O diâmetro mínimo será de 6mm para todos os varões, excepto para φ25 em que é

obrigatório o uso de φ8.

Considera-se que um varão longitudinal está cintado se por ele passar uma cinta com

um ângulo não superior a 135º , ou estando a menos de 15cm de um varão cintado.

Fazendo uma análise sobre a disposição dos varões longitudinais, podemos observar que

todos cumprem a regulamentação portuguesa, REBAP [ REBAP86 ].

De uma forma genérica, o programa que parece mais consistente na cintagem das

armaduras, bem como na escolha e colocação de diâmetros longitudinais nos pilares, é o

 programa B, uma vez que por defeito apresenta uniformidade de diâmetros de número de

ferros. Este ponto não deve ser penalizador para os programas A e C, uma vez que estes  possuem hipóteses de simetria e de continuidade em altura que permitem uma melhor 

uniformização da armadura em prejuízo das áreas de aço.

 No que diz respeito à manipulação pelo utilizador dos resultados do cálculo de pilares, o

 programa A é o mais eficiente. Este possui um ambiente gráfico interactivo que permite a

escolha de armaduras, fazendo a verificação da secção em flexão composta desviada em

função das armaduras colocadas nas várias faces dos pilares. Este ambiente avisa quando a

armadura manualmente colocada não é suficiente, quando foi ultrapassada a armadura

máxima ou a mínima, no entanto não o faz quando o espaçamento das armaduras é

superior a 30cm.

Relativamente ao programa C, este também possui uma tratamento interactivo das

armaduras dos pilares com o utilizador, no entanto subrotina de verificação da capacidade

resistente de uma armadura modificada pelo utilizador para a flexão composta desviada é

feita perante 4 trios de valores ( N, Mx, My) que o programa considera mais desfavoráveis.

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Capítulo 2

2.40

Como se trata de uma análise em flexão composta desviada, não é difícil depreender que, a

capacidade resistente varie em função da armadura alterada na secção associada os

esforços (  N, Mx, My), podendo assim, a combinação mais desfavorável não ser a pré-

definida para a armadura calculada por defeito.

Este método de cálculo de pilares é sem dúvida um ponto forte dos programas A e C 

resultando do tratamento de armaduras uma uniformização económica.

Em seguida efectua-se uma comparação gráfica das áreas de aço para os pilares  P1, P5 e

 P8  para os programas em análise.

PILAR P1 [Piso 1-2]

16.08

19.63

17.09

0

5

10

15

20

25

A B C

Programa

    Á  r  e  a   d  e   A  ç  o  e  m    [  c  m   2   ]

 

Figura 2.32 – Áreas de aço no pilar P1. 

PILAR P5 [Piso 1-2]

20.61

16.08 15.83

0

5

10

15

20

25

A B C

Programa

    Á  r  e  a   d  e   A  ç  o  e  m    [  c

  m   2   ]

 

PILAR P5 [Piso 3-4]

20.61

25.13

14.83

0

5

10

15

20

25

A B C

Programa

    Á  r  e  a   d  e   A  ç  o  e  m    [  c

  m   2   ]

 

PILAR P5 [Piso 5-6]

17.09

19.63

23.88

0

5

10

15

20

25

A B C

Programa

    Á  r  e  a   d  e   A  ç  o  e  m    [  c

  m   2   ]

 

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.41

Figura 2.33 – Áreas de aço no pilar P5. 

PILAR P8 [Piso 1-2]

20.61

39.3

30.66

0

5

10

15

20

25

30

35

40

A B C

Programa

    Á  r  e  a   d  e   A  ç  o  e  m    [  c

  m   2   ]

 

PILAR P8 [Piso 3-4]

20.61

25.13

12.57

0

5

10

15

20

25

30

35

A B C

Programa

    Á

  r  e  a   d  e   A  ç  o  e  m    [  c

  m   2   ]

 

PILAR P8 [Piso 5-6]

17.09

19.63

23.66

0

5

10

15

20

25

30

35

A B C

Programa

    Á

  r  e  a   d  e   A  ç  o  e  m    [  c

  m   2   ]

 

Figura 2.34 – Áreas de aço no pilar P8. 

Abordando o resultado das armaduras provenientes dos programas de cálculo automático, é

 possível observar variações injustificáveis.

Por exemplo, para o pilar  P8 entre os pisos 3 e 4 existe uma variação de 50% entre os

 programas B e C, o que é preocupante. Sem possibilidade de fazer uma análise profunda

acerca deste ponto, dada a forma fechada com que os programas usam os seus algoritmos

de cálculo, seria conveniente que os utilizadores exigissem um maior controle sobre estasferramentas.

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Capítulo 2

2.42

2.5. Quadro de sapatas

 No que concerne ao cálculo de sapatas foi adoptada uma tensão admissível para o solo de

fundação, σadm=200kPa. As sapatas podem ser consideradas rígidas.

P1 P5 P8

L[x]m

L[y]m

H

m

L[x]m

L[y]M

H

m

L[x]m

L[y]m

H

m

Programa A 1.40 1.40 0.50 3.20 3.20 0.70 2.60 2.60 0.60

Programa B 1.25 1.25 0.40 2.90 2.90 0.85 2.45 2.45 0.75

Programa C 1.25 1.25 0.30 3.00 3.00 0.70 2.40 2.40 0.55

Quadro 2.28 – Quadro de dimensões de sapatas.

Todos os programas calculam as sapatas como sapatas rígidas, e cumprem a condição de

sapata rígida (metade da altura ≥ aba da sapata). O programa A possui como mínimo da

altura de uma sapata 0.50m, o programa B utiliza como mínimo 0.40m e o programa C usa

 por defeito como mínimo para a altura da sapata 0.30m.

As diferenças encontradas entre as áreas das sapatas são de 20% para o pilar  P1, de 18% 

 para o pilar  P5 e de 15% para o pilar  P8. 

2.6. Medições fornecidas pelos programas

A título de exemplo ilustrativo das diferenças provenientes dos vários programas, são

apresentadas as medições de armaduras das vigas, dos pilares e das sapatas dos mesmos.

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.43

2.6.1. Medição de aço nas vigas

Aço Custo

Programa Kg 110$/Kg 

A1  Por Defeito 3335 366. 800$

A2A1 sem redistribuições de

momentos flectores3214 353. 500$

A3A1 + Armadura simétrica nas vigas

de um só tramo3323 365. 500$

A4A1 + Armadura de montagem

superior φ123362 369. 800$

B1 Por Defeito

Diâmetro 3798 417. 800$

B2 

Passo

3892 428. 100$C1 

Por Defeito2548 280. 300$

C2C1 + Simetria de estribosArm. Long. inf. simétrica.

2631 289. 400$

C3 C1 + Arm. de montagem sup. φ12 2530 278. 200$

C4C1 + Arm. de montagem sup. φ12

+ Arm. de montagem inf. φ162602 286. 200$

C5C1 + Arm. de montagem sup. φ16

+ Arm. de montagem inf. φ122718 299. 100$

Quadro 2.29 – Medição de aço nas vigas.

2.6.2. Medição de aço nos pilares

Aço CustoPrograma 

Kg 110$/Kg

A1 Por Defeito  1852.0 168. 300$

A2 Com critérios de continuidade 2229.0 245.200$

B1 Por Defeito  3356.0 369. 200$

C1 Por Defeito 1955.9 215. 100$

C2 Mínimo nº de Varões 2071.4 227. 900$

C3 4 Faces Iguais 2131.1 234. 400$

C4 Igual Diâmetro 2070.1 227. 700$

C5 C1+C2+C3+C4 2138.0  235. 200$

Quadro 2.30 – Medição de aço nos pilares.

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Capítulo 2

2.44

As diferenças na medição do aço dos pilares traduzem de uma forma global as

 preocupações já referidas a quando da comparação de áreas de aço para três pilares. Podem

observar-se variações na quantidade de aço para o dobro!

2.6.3. Medição de betão e aço nas Sapatas

Betão Aço $ Betão $ Aço

M3 Kg 15 .000$/m3 110$/kg$ Total

Programa A 47.1 276.2 706.500$ 30.382$ 736.880$

Programa B 24.2 531.9 363.000$ 58.509$ 421.510$

Programa C 21.0 564.9 315.000$ 62.139$ 377.140$

Quadro 2.31 – Medição de sapatas.

As diferenças encontradas entre resultados de sapatas são sobretudo consequência da

adopção de alturas mínimas diferentes. Como é possível verificar através do quadro 2.31, o

volume de betão diminui à medida que a altura mínima da sapata diminui. Por outro lado, e

em sentido inverso, a quantidade de aço aumenta quando a altura mínima diminui.

Uma vez que o programa B permite a adopção de um coeficiente de esbelteza k  na

definição da altura das sapatas, foi feita uma relação entre esse coeficiente de esbelteza e o

custos dos materiais das sapatas, ver quadro 2.32 e figura 2.35.

A altura da sapata será dada pelo quociente entre a diferença da maior dimensão da sapata

e a dimensão do pilar nessa direcção e o coeficiente de esbelteza, como pode ser observado

na equação 2.1.

 K 

 B B Hu  PILARSAPATA

)( −= (2.1)

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.45

Betão AçoAltura

Minima$ Betão $ Aço

M3 Kg m 15 .000$/m3 110$/kg$ Total

K = 1.0 87.7 472.5 1.00 1 .315 .500 $ 51 .975 $ 1 .367 .475 $

K = 1.5 53.1 431.5 0.70 796 .500 $ 47 .465 $ 843 .965 $

K = 2.0 38.6 447.1 0.55 579 .000 $ 49 .181 $ 628 .181 $

K = 2.5 31.4 497.6 0.45 471 .000 $ 54 .736 $ 525 .736 $

K = 3.0(Prog. por Defeito)

26.4 564.5 0.40 396 .000 $ 62 .095 $ 458 .095 $

K = 3.5 22.6 670.3 0.35 339 .000 $ 73 .733 $ 412 .733 $

K = 4.0 20.3 674.4 0.35 304 .500 $ 74 .184 $ 378 .684 $

K = 4.5 18.5 741.1 0.30 277 .500 $ 81 .521 $ 359 .021 $

K = 5.0 18.0 748.2 0.25 270 .000 $ 82 .302 $ 352 .302 $

K = 5.5 17.8 733.9 0.25 267 .000 $ 80 .729 $ 347 .729 $

K = 6.0 17.8 733.9 0.25 267 .000 $ 80 .729 $ 347 .729 $

Quadro 2.32 – Medição das sapatas para os vários coeficientes de esbelteza propostos pelo programa B.

.0 .000 $ 

.250 .000 $ 

.500 .000 $ 

.750 .000 $ 

1 .000 .000 $ 

1 .250 .000 $ 

1 .500 .000 $ 

1  1.5  2  2.5  3  3.5  4  4.5  5  5.5  6 

K - Coeficiente de esbelteza 

   P  r  e  ç  o

$ Betão 

$ Aço 

$ Total 

Figura 2.35 – Custo das sapatas em função do coeficiente de esbelteza adoptado para o programa B.

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Capítulo 2

2.46

Tal como seria de esperar, nas sapatas o preço do aço não tem influência significativa se

compararmos com o preço do betão. Assim, a altura mínima das sapatas a adoptar assume

importância significativa. Um bom compromisso económico não implica necessariamente

a adopção de sapatas extremamente flexíveis, podendo passar também pela adopção de

 betões de classe inferior e consequentemente extrair benefícios económicos.

2.7. Conclusões

  Neste capítulo não foi efectuado qualquer teste dos algoritmos de cálculo à flexão

composta, desviada e à encurvadura.

  No entanto, é fácil depreender duas situações distintas; por um lado podem encontrar-se

diferenças de resultados entre os programas em estudo e, por outro, entre as várias opções

de cálculo dentro de um mesmo programa. A primeira situação aponta para a necessidade

do conhecimento exaustivo dos processos de cálculo por parte do utilizador, em que este

deve possuir conhecimentos base suficientes para controlar os fundamentos dasferramentas que utiliza. Por sua vez, o utilizador deverá conhecer o programa de uma

forma exaustiva de modo a utilizar as várias hipóteses de cálculo disponíveis

adequadamente.

Ficou visível que o uso dos programas por defeito nem sempre é uma decisão sensata

quando não se conhecem as influências dos vários factores disponíveis.

A complexidade de uma análise de resultados provenientes dos vários programas decálculo automático justifica um estudo detalhado sobre várias temáticas basilares de

qualquer programa de cálculo automático. Assim, nesta tese, foram abordadas

separadamente as temáticas que passo, desde já, a enunciar:

 No capítulo três, dedicado aos tipos de modelação dos programas de cálculo automático,

foi feita uma comparação de resultados do cálculo de estruturas planas através dos

 programas em estudo, bem como através de uma modelação por elementos finitos.

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 Abordagem Preliminar dos Programas em Estudo

2.47

Dada a importância que a influência do tipo da modelação das lajes maciças possui na

distribuição de cargas nas vigas, tanto em esforços locais nestas, como nas próprias

armaduras, no capítulo quatro procedeu-se a um estudo sobre as formas de carregamento

de uma viga, bem como do momento isostático, utilizando como medida de comparação os

resultados provenientes de uma análise tridimensional por elementos finitos.

Para finalizar, no capítulo cinco será feita uma breve incursão sobre a análise dinâmica

disponível nos programas de cálculo em estudo. Paralelamente, será efectuado um cálculo

através do método “Três Graus de Liberdade por Piso (3GL/Piso)”, de modo a servir de

termo de comparação para os resultados obtidos nos exemplos de referência estudados.

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Capítulo 3

Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de

Estruturas Planas

3.1. Introdução

  Neste capítulo, pretende-se efectuar uma avaliação dos esforços resultantes nas vigas de

uma estrutura porticada plana quando esta é calculada recorrendo a diferentes modelações.

Para esse efeito, procede-se à comparação dos resultados que os programas comerciais de

cálculo automático fornecem, com a solução exacta do problema efectuando uma

modelação de elementos finitos planos.

Ao longo do capítulo, descrevem-se as modelações para cada programa de cálculo

comercial, bem como os modelos de cálculos adoptados.

3.2. Tipos de Modelação

Os programas em análise são programas de cálculo elástico linear, utilizados sem recurso a

qualquer análise de segunda ordem, apesar desta possibilidade estar disponível em alguns

deles.

Será importante referir que o tipo de modelação utilizada neste trabalho consiste na

modelação a que os programas recorrem por defeito, procedendo-se em seguida a uma

 breve descrição.

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Capítulo 3

3.2

3.2.1. Programa A

O Programa A permite a modelação da estrutura recorrendo a elementos que concorrem

em nós. Os elementos podem ser pilares, vigas, vigas inclinadas, lajes de vigotas pré-fabricadas, lajes maciças, lajes fungiformes aligeiradas e paredes. Na medida em que se

trata de uma análise de pórticos planos, apenas se procede à descrição do tipo de

discretização de vigas e pilares. As vigas, bem como os pilares, caracterizam-se por 

elementos de dois nós com matrizes de rigidez próprias que concorrem em corpos rígidos

(união entre vigas e pilares). Estes possuem um nó principal  (nó geral) e distintos nós

 secundários (tantos quantos os elementos que nele concorrem), como é exemplificado na

figura 3.1. Estes elementos rígidos compatibilizam os deslocamentos dos vários nóssecundários com o nó principal, através de deslocamentos do corpo rígido.

 Nó Geral 

 Nó Secundário 

Viga

Pilar 

 p(x)

M1 V1 V2 M2x 

L

Figura 3.1 – Modelação de um nó

como corpo rígido.

Figura 3.2  –   Equilíbrio de esforços

actuantes num nó.

Através do cálculo elástico da estrutura obtêm-se os esforços nas faces do corpo rígido

“nó”, nomeadamente (figura 3.2):

  – os momentos flectores M 1 e M 2 nas faces esquerda e direita do nó,

respectivamente;

  – esforços transversosV 1 e V 2 nas faces esquerda e direita do nó, respectivamente.

Admitindo uma variação linear da carga vertical uniformemente distribuída no nó “p(x)” 

obtêm-se as seguintes equações de equilíbrio:

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.3

dx

dM V = e

dx

dV  p = (3.1)

Uma vez que a equação de momentos flectores para uma carga linear é um polinómio de 3ºgrau, é possível escrever:

d cxbxaxM(x) +++= 23 (3.2)

e, de acordo com a equação 3.1, obtém-se

cbxaxV(x) ++= 23 2 (3.3)

Fazendo uso das condições de fronteira:

+++===

++===

===

===

d cl bl al M M  x

cbl al V V l  x

d M M  x

cV V  x

232

22

1

1

0

23

0

0

(3.4)

é possível resolver o sistema de quatro equações a quatro incógnitas e assim obter a

solução para a lei de variação de esforços no corpo rígido.

3.2.2. Programa B

O Programa B efectua a discretização das vigas e pilares como elementos de barra

convencionais (equação 3.5). Os eixos representativos dos vários elementos concorrem em

nós. Através do método matricial de resolução de estruturas, calculam-se os esforços nos

nós, assegurando a compatibilidade de deslocamentos nos mesmos. Posteriormente obtém-

se os diagramas de esforços ao longo dos elementos, tendo como ponto de partida os

esforços calculados nos nós e o tipo de carregamento.

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Capítulo 3

3.4

×

−−−−

+

=

6

5

4

3

2

1

22

2323

22

2323

60

50

40

30

20

10

6

5

4

3

2

460

260

6120

6120

0000

460

460

6120

6120

0000

1

d d 

 L

 EI 

 L

 EI 

 L

 EI 

 L

 EI  L

 EI 

 L

 EI 

 L

 EI 

 L

 EI  L

 EA

 L

 EA L

 EI 

 L

 EI 

 L

 EI 

 L

 EI   L

 EI 

 L

 EI 

 L

 EI 

 L

 EI  L

 EA

 L

 EA

 f 

 f 

 f 

 f  f 

 f 

 f 

 f 

 f 

 f  f 

 f 

(3.5)

3.2.3. Programa C

O programa C permite a utilização da modelação adoptada pelo programa A ou pelo

 programa B. Dado que a modelação sugerida por defeito tratar-se da modelação

convencional de barras, usada pelo programa C, para o efeito do desenvolvimento da

 presente Tese de Dissertação optou-se pelo uso desta mesma modelação na utilização deste

 programa.

3.2.4. Programa D

O programa D define-se como programa de elementos finitos, sendo denominado por 

DIANA, propriedade do TNO Building and Construction Research Division of 

Engineering Mechanics and Information Technology, Delft, The Netherlands. Os pórticos

a analisar foram modelados com elementos de estado plano de tensão de oito nós,

designados por  “CQ16M ”, com integração reduzida de Gauss 22. Com esta ferramenta

de análise obtém-se as tensões nos pontos de integração dos elementos e os deslocamentos

dos nós.

Recorrendo a um programa auxiliar elaborado para o efeito, descrito na   secção 3.4.1,. 

 procedeu-se à integração dos diagramas de tensões em secções ao longo das barras, com o

objectivo de obter diagramas de momentos flectores, de esforço transverso e de esforço

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.5

axial. Os resultados provenientes desta análise serão referenciados ao longo deste capítulo,

como os calculados pelo Método de Elementos Finitos MEF .

3.3. Regulamentação

Um aspecto importante na análise de estruturas porticadas consiste na definição do

comprimento efectivo das vigas. É contudo evidente que a consideração de um vão teórico

inferior à distância entre eixos de apoios consecutivos obriga à utilização de troços rígidos

sobre os apoios.

Apresentam-se de seguida excertos de alguma regulamentação que define o comprimento

efectivo de vigas.

REBAP – Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

[ REBAP86 ] 

Em termos regulamentares, os programas B e C cumprem o estabelecido no artigo 87º do

REBAP [ REBAP86 ], dado que seguem o explicito nesse regulamento ao assumirem que o

vão teórico das vigas contínuas é dado pela distância entre os eixos dos apoios (figura 3.3 e

o quadro 3.1). O programa A apoia-se no comentário deste mesmo artigo para justificar a

sua modelação (figura 3.4 e figura 3.5). No entanto este regulamento refere-se ao caso

específico de apoios de grande largura, e não à generalidade dos apoios como assume o

 programa A.

  No entanto, mesmo para apoios de grande largura, o comentário do artigo refere a

utilização do vão teórico para vigas encastradas ligadas a troços rígidos (figura 3.4),

enquanto que o programa A utiliza barras com o vão livre entre apoios, ligadas a troços

rígidos.

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Capítulo 3

3.6

VIGA1

VIGA2

Figura 3.3 – Vão teórico de vigas considerando distâncias entre eixos de pilares.

CAPÍTULO XI 

Disposições relativas a elementos estruturais

A - Vigas

Artigo 87.º - Vão teórico

O vão teórico a considerar no dimensionamento das vigas deve ser estabelecido tendo em

conta as condições efectivas de apoio. Nos casos correntes, o vão teórico será considerado

do modo seguinte:

 Nas vigas simplesmente apoiadas, o menor dos valores: o vão livre acrescido de 1/3 da

largura de cada apoio (dimensão do apoio na direcção do vão) ou o vão livre aumentado

da altura útil da viga;

 Nas vigas encastradas, o menor dos valores: a distância entre eixos dos apoios ou o vão

livre aumentado da altura útil da viga;

 Nas vigas contínuas: a distância entre eixos dos apoios.

As regras estabelecidas podem não traduzir convenientemente as condições efectivas de ligação,

 particularmente para apoios de grande largura de vigas contínuas. Neste caso, pode admitir-se que a

viga é constituída por tramos com vãos teóricos definidos segundo o critério indicado para as vigas

encastradas, ligados por troços rígidos sobre os apoios; este critério exige, pelo menos, uma largura

do apoio não inferior a 2 vezes a altura útil da viga.

  No caso de vigas em consola, as regras conduzirão a adoptar para vão teórico ou o balanço livre

aumentado de metade da altura útil da viga ou o balanço referido ao eixo do apoio, respectiva- mente

 para uma consola isolada e para uma consola pertencente a uma viga contínua.

Quadro 3.1- Vão teórico das vigas segundo o REBAP.

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.7

VIGA1 

VIGA2 

d  H 

x1 tr1 tr2 x2

As+ 

As- 

VIGA1 

VIGA2 

x1 = d /2

x2 = d /2 tr 2 = B/2 - d/2

tr 1 = B/2 - d/2

Se B > 2d

Figura 3.4 – Vão teórico segundo o REBAP para apoios de grande dimensão.

VIGA1 

VIGA2 

tr1  tr2 

VIGA1 

VIGA2 

Figura 3.5 – Vão adoptado pelo programa A.

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Capítulo 3

3.8

Tendo presente o explicitado no quadro 3.1, conclui-se que o REBAP define o vão teórico

das vigas contínuas como a distância entre eixos de apoios. Em comentário, sugere-se a

utilização de troços rígidos para vigas apoiadas em apoios de grandes dimensões (base do

apoio > 2 × altura útil da viga).

EC2 – Pré-Norma Europeia Eurocódigo 2 (Versão Portuguesa) [ EC291] 

 No normativa vigente a nível Europeu, o EC2, é possível observar o comentário relativo ao

vão efectivo a considerar, função das distintas condições de apoio, como mostra o quadro

3.2.

 No caso de elementos com continuidade, o vão efectivo é medido entre eixos dos apoios

(figura 3.6). Do quadro 3.2, depreende-se que não existe qualquer alusão ao tipo de

modelação do programa A. Salienta-se que os programas B e C seguem a modelação

sugerida por este regulamento.

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.9

2.5.2.2.2 Vão efectivo de vigas e lajes

O vão efectivo (leff ) de um elemento pode ser calculado do modo seguinte:

leff = ln + a1 + a2 (2.15)

em que:

ln é a distância livre entre as faces dos apoios

Os valores de a1 e a2, em cada extremidade do vão, podem ser determinados a

 partir dos valores correspondentes de ai indicados na Figura 3.2.4.

Figura 3.2.4: Determinação do vão efectivo (leff ) de acordo com a expressão (2.15), para diferentes

condições de apoio.

(a) Elementos sem continuidade (d) Consola isolada

(b) Elementos com continuidade (e) Consola com continuidade

(c) Apoios totalmente encastrados (f) Caso de aparelho de apoio

Quadro 3.2- Vão teórico das vigas segundo o EC2 ( Eurocódigo 2). 

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Capítulo 3

3.10

MC90 – Model Code 90 [MC90] 

5.2.3.2. Vão Efectivo 

 Normalmente, o vão L tem que ser introduzido como a distância entre eixos de

apoio adjacentes. Quando as reacções estão localizadas relativamente longe do

eixo de apoio, o vão efectivo tem que ser calculado tendo em conta a posição

real da reacção de apoio.

Quadro 3.3 - Vão teórico segundo o MC90. 

Segundo o Modelo Código MC90 (quadro 3.3), deve adoptar-se a modelação que é usada

 pelo programa B e pelo programa C, no entanto, quando a reacção de apoio está longe do

eixo (isto é, quando o apoio tem dimensões significativas) deve assumir-se para vão a

distância entre reacções, o que não é feito por nenhum dos programas.

3.4. Considerações Preliminares

3.4.1. Programa de Integração de Tensões

Já anteriormente referido, a Integração de Tensões processa-se com recurso a um programa

auxiliar, permitindo tratar os resultados fornecidos pelo programa de elementos finitos. São

gerados diagramas de esforços através das tensões fornecidas pelo programa. Fazendo uma

 breve resenha sobre o organigrama do programa auxiliar, pode-se de uma forma sucinta

nele destacar quatro fases distintas:

1- a leitura de um ficheiro de dados proveniente do programa de elementos finitos,

contendo coordenadas e tensões nos pontos de integração, pontos de Gauss;

2- a ordenação dos pontos de integração segundo a coordenada local do elemento

 x, e de seguida segundo a coordenada local  y do elemento (figura 3.6),  para

cada conjunto de elementos finitos constituindo um elemento estrutural (viga ou

 pilar);

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.11

1001 1011 1021 

1031 

1002 1012 1022 

1032 

1003 1013 1023 

1033 

1004 1014 1024 

1034 

1005 1015 1025 

1035 

1006 1016 1026 

1036 

1007 1017 1027 

1037 

1008 1018 1028 

1038 

1009 1019 1029 

1039 

1010 1020 1030 

1040 

VIGA1 

Figura 3.6 – Modelação de uma viga em MEF para o uso do programa auxiliar de integração de esforços.

3- a integração das tensões para cada secção após a ordenação dos pontos de

Gauss (figura 3.7); 

Através das coordenadas dos pontos de Gauss e as tensões σ xx e σ xy nos mesmos

 pontos, facilmente se pode depreender que:

∑−

=

×=1

1)(

n

iii Gaussde Ponto x b FnM  (3.6)

∑−

=

=1

1)(

n

ii Gaussde Ponto x  Fn N  (3.7)

∑−

=

=1

1)(

n

ii Gaussde Ponto x  Ft V  (3.8)

 sendo:

M   Momento Flector.

 N   Esforço Axial.

V   Esforço Transverso.

 Fni  Resultante do volume de tensões σ xx entre dois pontos de Gauss consecutivos.

n   Número de pontos de Gauss numa secção. 

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Capítulo 3

3.12

bi  Braço da força  f i em relação ao eixo da peça em questão. Distância entre o centro de

gravidade do prisma de tensões cuja resultante é f i e o eixo da peça em análise. 

 Ft i  Resultante do volume de tensões σ xy entre dois pontos de Gauss consecutivos. 

Corte A A

1031 

1021 

1011 

1001 

1032 

1022 

1012 

1002  1 2 

4 3 

7 8 

6 5 

Fn 2 Fn 1** Fn 3 

Fn 4 

Fn 8 

Fn 5* Fn 6* 

Fn 9 Y8 

Ft 9 Tensões σ xx  Tensões σ xy 

Ft 8 Ft 7 Ft 6 Ft 5 Ft 4

Ft 3 Ft 2 Ft 1 

Fn 10** 

* As forças Fn5 e Fn6 bem como os momentos por elas gerados possuem tratamento singular,devido ao eixo neutro se encontrar entre os pontos de gauss 4 e 5. O programa detecta quandoexiste mudança do sentido das tensões σxx entre pontos de gauss consecutivos e calcula o eixoneutro bem como a parcela de momentos provenientes desta singularidade.

Fn 7 

* * O diagrama de tensões trapezoidal que corresponde às 1ª e última forças, (Fn1 e Fn10), nãotem como limite os pontos de gauss 1 ou 8, mas sim o limite inferior ou superior do alçado.Esta transformação é feita através de uma extrapolação linear entre tensões de dois pontos degauss consecutivos, (entre os pontos de gauss 2 e 1 para obter a tensão σxx na face inferior  e entre os

 pontos de gauss 8 e 9 para obter a tensão σxx na face superior . 

Figura 3.7 – Modelação de uma viga em MEF para o uso do programa auxiliar de integração de esforços.

4- elaboração de uma tabela com quatro colunas, uma com as ordenadas no

referencial local da barra dos pontos de Gauss, outra com os momentos

flectores, outra com os esforços transversos, e uma outra com esforços axiais.

(exemplo do diagrama de momentos flectores na figura 3.8).

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.13

Mv 

Md* 

Me*

VIGA1 

* Os momentos Me e Md são calculados por extrapolação linear entre os momentosnos dois pontos de gauss consecutivos eantecedentes respectivamente. 

Figura 3.8 – Diagrama de momentos flectores resultante da integração das tensões σ xx ao longo de todas

as secções da viga.

3.4.2. Verificação da modelação adoptada pelo programa de elementos finitos

Pretendendo-se considerar o programa de elementos finitos com solução exacta no

domínio elástico, procedeu-se a um teste à modelação adoptada. Com esse propósito

  procurou-se, um refinamento da malha, de tal modo que a sua resposta fosse igual à

solução teórica do problema. Assim sendo, foi modelada uma viga simplesmente apoiada

(figura 3.9), com vários níveis de discretização (figura 3.10). Esta modelação permitiu

efectuar uma comparação da flecha máxima com a exacta (quadro 3.4).

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Capítulo 3

3.14

'81

3845 24

 AG L P 

 EI  L P 

TEÓRICO ××

+×××

=δ  A A65

'=  )1(2 υ+×

= E 

G  

L

P

Flecha da Viga

δ 

Para:

L=6.00m; E=30Gpa; ν=0.20; Secção=[0.300.60m2]

Delta=1.06610-2m

Figura 3.9 – Modelo teórico para o cálculo da flecha máxima da viga.

L

P

 Ndiv. x

 Ndiv. y

[A] [B]

[A] – Face esquerda plana.

[B] – Face direita plana.

Figura 3.10 – Modelação da viga em MEF.

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.15

Discretização A Discretização B Discretização C Discretização D

Ndiv. x Ndiv. y Ndiv. x Ndiv. y Ndiv. x Ndiv. y Ndiv. x Ndiv. Y

10 Ele. 2 Ele.  10 Ele.  3 Ele.  20 Ele.  3 Ele.  20 Ele.  4 Ele. 

1.06710-2m 1.06610-2m 1.06710-2m 1.06810-2m

 

Quadro 3.4 – Modelo teórico para o cálculo da flecha máxima da viga. 

Desta análise simples retira-se o nível de discretização da malha de elementos finitos

considerado satisfatório, para utilizar na modelação dos pórticos ao longo deste capítulo,

ou seja, optou-se por utilizar a discretização B.

3.5. Exemplos a Analisar

Para estudar o efeito de modelação sobre o valor dos esforços analisaram-se quatro

  pórticos, os primeiros três de um piso e um tramo, e o quarto de cinco pisos e quatro

tramos.

Pretendeu-se com os três pórticos simples avaliar a influência da relação da rigidez viga-

 pórtico, e com o pórtico mais complexo simular uma estrutura real de médio porte.

Os quatro exemplos adoptados definem-se do seguinte modo:

Exemplo 1 - Pórtico com um único tramo de dois pilares [0.30×0.30m2]  e uma viga

[0.30×0.60m2]. Com este pórtico pretendeu-se simular uma estrutura monolítica, na qual a

viga é mais rígida que os pilares que nela concorrem (figura 3.11).

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Capítulo 3

3.16

5.4 

   (   0 .   3

   0 

  x    0 .

   3   0   )

2.7 

0.3 

0.6 

   (   0 .   3

   0 

  x    0 .

   3   0   )

0.3 

(0.30 x 0.60)

Figura 3.11 – Geometria do pórtico 1.

Exemplo 2 – Pórtico de um único tramo com dois pilares [0.30×1.00m2] e com uma viga

[0.30×0.60m2], este pórtico pretende simular o comportamento de uma estrutura com

 pilares rígidos (figura 3.12).

   (   0 .

   3   0 

  x 

   1 .

   0   0   )

   (   0 .

   3   0 

  x 

   1 .

   0   0   )

(0.30 x 0.60) 

2.7 

0.6 

5.4 1.0  1.0 

Figura 3.12 – Geometria do pórtico 2.

Exemplo 3 – Pórtico de um único tramo com dois pilares, o da esquerda [0.30×1.00m2] e o

da direita [0.30×0.30m2], com uma viga [0.30×0.60m2] a unir os dois pilares, como é

exemplificado na figura 3.13. Com este pórtico pretendeu-se simular o comportamento de

uma estrutura monolítica não simétrica, em oposição aos Exemplos 1 e 2.

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.17

   (   0 .

   3   0   x    1 .

   0   0   )

   (   0 .

   3   0   x    0 .

   3   0   )

(0.30 x 0.60) 

1.0 

2.7 

5.4  0.3 

0.6 

Figura 3.13 – Geometria do pórtico 3.

Exemplo 4 – Pórtico de quatro tramos com quatro pilares e uma parede. Da esquerda para

a direita: o 1º pilar e o último com secção constante de [0.30×0.60m2]; o 2º pilar com

secção entre os pisos 0 e 3 de [0.30×1.00m2] e de [0.30×0.50m2] entre os pisos 3 e 5; o 3º

 pilar com uma secção entre os pisos 0 e 3 de [0.30×0.80m2] e nos últimos dois pisos com

[0.30×0.40m2]. A parede apresenta uma secção constante de [0.30×2.00m2] e as vigas uma

secção [0.30×0.60m2]. Com este pórtico pretendeu-se simular um pórtico de um edifício

corrente com uma parede e com variações de secções nos pilares (figura 3.14).

Figura 3.14 – Geometria do pórtico 4.

A modelação adoptada foi aquela que por defeito é proposta por cada programa de cálculo,

tendo sido usadas no caso do Exemplo 4 duas modelações diferentes, uma das quais com o

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Capítulo 3

3.18

uso de modelação da parede de [0.30×2.00m2] com elementos finitos (opção disponível no

 programa).

Uma vez que se pretende aferir a capacidade de resposta das várias modelações, optou-se

 por solicitar separadamente os pórticos a dois tipos de carregamento distintos:

  – Com uma carga100kN/m, uniformemente distribuída em todas as vigas (ver 

secção 3.5.1).

  – Com uma carga concentrada de 60kN , em todos os nós da parte esquerda do

 pórtico (ver secção 3.5.2).

A análise de resultados foi realizada comparando-se os diagramas de momentos flectores

obtidos. Os correspondentes diagramas de esforço transverso não são apresentados, dado

que as variações de resultados não se revelaram significativas.

Para a análise numérica dos resultados adoptaram-se três momentos flectores significativos

 para cargas verticais, e dois para cargas horizontais. Sendo assim, para cargas verticaisanalisaram-se os momentos flectores, máximo no vão, à face do apoio esquerdo e à face do

apoio direito. Para cargas horizontais, os momentos flectores à face dos apoios esquerdo e

direito, dado que o momento flector no vão não apresenta importância significativa.

Adoptou-se a comparação entre momentos flectores à face, devido à falta de significado

físico da integração de tensões segundo a horizontal e segundo a vertical, uma vez que as

tensões principais não têm essas direcções dentro do nó. No entanto, é importante referir 

que a modelação do nó do programa A (figura 3.15), leva a momentos flectores negativos

significativamente menores que os programas B e C (figura 3.16).

A redução de esforços considerados pelo programa A não é habitual, e não parece ser 

sugerida por nenhum dos regulamentos analisados.

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.19

Viga 

Pilar  

Reacção

Viga 

Pilar  

Figura 3.15   – Diagrama de momentos flectores

admitindo uma variação linear de

tensões dentro do nó.

Figura 3.16   – Momentos flectores calculados ao

eixo dos pilares.

3.6. Análise dos Resultados

3.6.1. Análise de Resultados para Solicitação Vertical

Para que se possa efectuar uma análise simultaneamente sucinta e consistente dos

resultados, apresentam-se os momentos flectores nos apoios e no vão da viga para os

distintos programas, bem como os resultados numéricos. Paralelamente, apresentam-se os

resultados provenientes das modelações com troços rígidos, nas vigas, nos pilares, e nas

vigas e pilares em simultâneo.

Uma vez que se pretende comparar resultados entre as diferentes modelações, realiza-seuma análise cruzada (Comparação de resultados com MEF ). Todos os termos

comparativos, são apresentados graficamente e numericamente, efectuando-se

 pormenorizadamente a sua análise.

Os quadros de comparação referem-se às seguintes grandezas:

MEF 

MEF e

M M  − 

Desvio de momentos flectores à esquerda, relativamente ao MEF para

um dado programa. (3.9)

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Capítulo 3

3.20

MEF 

MEF v

M M  − 

Desvio de momentos flectores a meio vão, relativamente ao

MEF para um dado programa.

(3.10)

MEF 

MEF d 

M M  − 

Desvio de momentos flectores à direita, relativamente ao

MEF para um dado programa.

(3.11)

××

∆∑

83

||2l  p

iM  

Desvio de momentos flectores médio em relação ao momento flector 

isostático obtido nos elementos finitos

MEF i M M iM  −=∆ (i=esquerda, meio vão e direita). 

(3.12)

Salienta-se que o desvio relativo dos resultados ao M.E.F é, simultaneamente, importante esensível ao denominador (quando este é zero o resultado é infinito). Desta forma, optou-se

  pela inclusão de uma medida mais estável, desvio médio de momentos flectores

relativamente ao flector isostático do MEF .

3.6.1.1. Exemplo 1

 Na figura 3.17 e quadro 3.5, apresentam-se respectivamente, os diagramas de momentos

flectores e respectivos valores nos pontos significativos (esquerda, direita e meio vão) para

os distintos programas de cálculo automático.

0.305.40

0.60

2.70

0.30 

Figura 3.17 – Comparação dos Diagramas de momentos flectores dos Programas A, B, C e MEF.

Msd E. Msd V. Msd D.Representação

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.21

KNm KNm KNm

a) Programa A -72.8 291.6 -72.8

  b) ProgramaB -45.3 319.4 -45.3

c) Programa C -45.4 319.1 -45.4

d) Programa D -61.4 302.6 -61.4

Quadro 3.5 – Quadro de Resultados dos programas A, B, C e MEF.

De seguida pode observar-se os diagramas de momentos flectores entre faces de apoios

 para a modelação dos vários programas, bem como para a modelação recorrendo ao uso de

troços rígidos. O quadro 3.5 fornece os resultados dos programas de cálculo, sendo

realizada uma comparação de resultados relativamente ao programa MEF , no quadro 3.6.

 Na figura 3.18 e no quadro 3.6 encontram-se representados os diagramas e os valores dos

momentos flectores nos apoios e no vão, respectivamente, para as modelações de troços

rígidos e MEF .

5.400.30

0.60

2.70

 

0.30

 

Figura 3.18 - Diagramas de Momentos flectores na viga para os programas A, B, C e MEF.

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNmRepresentação

d) MEF -61.4 302.6 -61.4

e) Troços Rígidos nas Vigas -48.1 316.4 -48.1

f) Troços Rígidos nos Pilares -71.7 292.9 -71.7

g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -75.1 289.4 -75.1

Quadro 3.6- Resultados da modelação com recurso a troços rígidos e MEF.

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Capítulo 3

3.22

 No quadro 3.7 efectua-se a análise de resultados em função da solução exacta MEF .

Me Mv Md  ∆M

MEF

MEFe

M

MM 

MEF

MEFe

M

MM 

MEF

MEFe

M

MM 

××

MEF

2

i

8

L p3

∆M 

Programa A 18.6% -3.6% 18.6% 3.1%

Programa B -26.2% 5.6% -26.2% 4.5%

Programa C -26.1% 5.5% -26.1% 4.4%

Troços rígidos nas Vigas -21.7% 4.6% -21.7% 3.7%

Troços rígidos nos Pilares 16.8% -3.2% 16.8% 2.8%

Troços rígidos Vigas + Pilares 22.3% -4.4% 22.3% 3.7%

Quadro 3.7 - Comparação de resultados com MEF. 

Como principais conclusões, pode-se retirar que a modelação efectuada pelo programa A é

a que mais se ajusta ao MEF . Constata-se que os programas B e C, ambos com a mesma

modelação, apresentam resultados idênticos, no entanto com uma variação relativamenteao MEF , ligeiramente superior à do programa A.

É de salientar que a distância entre os programas A, B e C relativamente ao MEF não é

muito significativa, mas a distância entre os resultados das modelações do programa A e os

resultados provenientes dos programas B e C, já o é. Isto verifica-se uma vez que os

desvios relativamente ao MEF  apresentam sentidos contrários. Pode depreender-se dos

resultados, que o programa A se revela mais rígido que o programa de elementos finitos, e

que os programas B e C se revelam mais flexíveis que o MEF .

Da análise do pórtico com recurso a troços rígidos, pode verificar-se que o resultado

tomado como referência MEF se encontra entre a colocação de troços rígidos nas vigas e a

colocação de troços rígidos nos pilares. A colocação de troços rígidos nas vigas aumenta

ligeiramente os momentos flectores negativos na viga junto às faces dos pilares, mas não

atingindo o valor obtido pelos elementos finitos. A colocação de troços rígidos nos pilares

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.23

aumenta substancialmente os momentos flectores negativos na viga, fazendo com que estes

ultrapassem em módulo os momentos flectores negativos do MEF .

A utilização de troços rígidos nas vigas em conjunto com os pilares agravam os resultadosdos troços rígidos nos pilares.

É também de manifesta importância referir a semelhança de modelações entre o programa

A e a modelação por troços rígidos (troços rígidos nas vigas e nos pilares) conforme se

verifica nos resultados.

3.6.1.2. Exemplo 2

Da análise dos resultados do pórtico com pilares mais rígidos resultam os diagramas de

momentos flectores na viga para os diferentes programas (figura 3.19).

1.005.40

0.60

2.70

1.00  

Figura 3.19 – Diagrama de Momentos flectores para os programas A, B, C e MEF na viga.

 No quadro 3.8 encontram-se representados os valores encontrados para os distintos

 programas de cálculo automático.

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Capítulo 3

3.24

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNmRepresentação

a) Programa A -224.5 139.9 -224.5

  b) Programa B -175.2 189.3 -175.2

c) Programa C -175.2 189.3 -175.2

d) MEF -201.3 163.2 -201.3

Quadro 3.8- Resultados dos programas A, B, C e MEF.

 Na figura 3.20 encontram-se representados os diagramas de momentos flectores na viga

correspondentes à análise por troços rígidos, apresentando-se os resultados numéricos no

quadro 3.9.

5.401.00

2.70

1.00

0.60

 

Figura 3.20 – Comparação dos diagramas de momentos flectores do MEF com a modelação de troçosrígidos.

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNmRepresentação

d) MEF -201.3 163.1 -201.3

e) Troços Rígidos nas Vigas -220.0 144.5 -220.0

f) Troços Rígidos nos Pilares -180.6 183.9 -180.6

g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -226.8 137.7 -226.8

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.25

Quadro 3.9 - Resultados da modelação com recurso a troços rígidos e MEF.

 No quadro 3.10 comparam-se os resultados entre as várias modelações e a modelação

exacta MEF .

Me Mv Md  ∆M

MEF

MEFe

M

MM 

MEF

MEFe

M

MM 

MEF

MEFe

M

MM 

××

MEF

2

i

8

L p3

∆M 

Programa A 11.5% -14.3% 11.5% 6.4%

Programa B -13.0% 16.0% -13.0% 7.2%

Programa C -13.0% 16.0% -13.0% 7.2%

Troços rígidos nas Vigas 9.3% -11.4% 9.3% 5.1%

Troços rígidos nos Pilares -10.3% 12.8% -10.3% 5.7%

Troços rígidos Vigas + Pilares 12.7% -15.6% 12.7% 7.0%

Quadro 3.10 - Comparação de resultados com MEF. 

 Neste exemplo, tal como no anterior, pode-se observar que o programa cujos resultados

mais se ajustam ao programa de elementos finitos, MEF , é o programa A. É importantereferir que os programas B e C apresentam um desvio nos resultados próximo do desvio do

 programa A.

  No entanto, o programa A revela-se mais rígido que o MEF , e de forma oposta os

 programas B e C revelam-se demasiados flexíveis nos apoios. Desta forma, a solução de

referência encontra-se no meio das duas modelações em análise.

Quanto à utilização de troços rígidos podemos observar que a que mais se aproxima doMEF  é a de troços rígidos nas vigas, com momentos flectores negativos na viga

ligeiramente superiores ao resultado que se obtém no programa de referência MEF . O uso

de troços rígidos nos pilares revela-se neste caso demasiado flexível, com momentos

flectores negativos inferiores aos momentos flectores do programa de referência.

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Capítulo 3

3.26

De notar ainda que a utilização dos troços rígidos nas vigas e nos pilares em simultâneo

revela um comportamento semelhante ao do uso de troços rígidos só nas vigas, com um

ligeiro acréscimo da rigidez nas extremidades da viga.

Importa também referir que a modelação de troços rígidos nos pilares associada a troços

rígidos nas vigas, revela resultados idênticos aos obtidos na modelação do programa A, o

que seria de esperar dada a semelhança de modelação.

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.27

3.6.1.3. Exemplo 3

Para o pórtico não simétrico de um tramo, apresentam-se os diagramas de momentosflectores na viga (figura 3.21), e os mesmos momentos flectores à esquerda, à direita e no

vão da viga, no quadro 3.11, para os programas A, B, C e MEF.

0.305.40

0.60

2.70

1.00  

Figura 3.21 – Diagrama de momentos flectores para os programas A, B, C e MEF na viga.

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNmRepresentação

a) Programa A -231.2 215.9 -73.4

  b) ProgramaB -173.2 254.3*  -48.5

c) Programa C -173.2 248.6**

  -48.8

d) M.E.F. -202.0 233.8 -64.0

Quadro 3.11 – Diagramas de momentos flectores na viga para os programas A, B, C e MEF.

 Na continuidade da análise-tipo efectuada para os exemplos anteriores, apresentam-se os

resultados das modelações com troços rígidos na figura 3.22 e no quadro 3.12.

* Valor correspondente ao seccionamento interno da viga, o nível de seccionamento não pode ser alterado pelo utilizador. (Valor exacto = 256.3kNm).**

Valor correspondente ao seccionamento da viga em três secções, valor por defeito no programa, podendoser alterado. (Valor (nº secções =30) = 256.2kNm).

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Capítulo 3

3.28

5.401.00

2.70

0.30

0.60

 

Figura 3.22 – Comparação dos Diagramas de Momentos flectores do MEF com a modelação de troços

rígidos.

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNmRepresentação

d) MEF -202.0 233.8 -64.0

e) Troços Rígidos nas Vigas -229.9 230.9 -48.5

f) Troços Rígidos nos Pilares -177.1 240.1 -75.1

g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -236.0 213.9 -74.3

Quadro 3.12- Resultados da modelação com recurso a troços rígidos e MEF. 

 No quadro 3.13 elabora-se uma comparação de resultados dos programas com o MEF .

Me Mv Md  ∆M

MEF

MEFe

M

MM 

MEF

MEFe

M

MM 

MEF

MEFe

M

MM 

××

MEF

2

i

8

L p3

∆M

 

Programa A 14.5% -7.6% 14.7% 5.2%

Programa B -14.3% 8.8% -24.1% 5.9%

Programa C -14.3% 6.3% -23.7% 5.5%

Troços rígidos nas Vigas 13.9% -1.2% -24.2% 4.2%

Troços rígidos nos Pilares -12.3% 2.7% 17.4% 3.9%

Troços rígidos Vigas + Pilares 16.9% -8.5% 16.1% 5.9%

Quadro 3.13 - Comparação de resultados com MEF. 

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.29

Este exemplo permite introduzir o efeito da não simetria quando esta é modelada com

modelaçãos diferentes. Pode-se observar que o comportamento das distintas modelações se

mantém em continuidade com os resultados dos exemplos 1 e 2. O resultado do programa

de referência continua entre o programa A e os programas B e C.

O uso de troços rígidos nos pilares melhora a modelação dos programas B e C, sendo esta

a utilização de troços rígidos mais adequada. O seu uso nas vigas já não se apresenta tão

eficiente. Por outro lado, o uso de troços rígidos nas vigas e nos pilares em simultâneo

coloca-nos perante os mesmos resultados que o programa A.

Importa referir que o momento flector positivo máximo para os programas em análise é o

máximo de entre os momentos flectores calculados para n secções da viga. Dependendo do

nível de seccionamento (valor de n), o momento flector máximo calculado é mais ou

menos exacto. Esta diferença é tanto maior quanto maior é o desvio entre os momentos

flectores negativos nos apoios.

3.6.1.4. Exemplo 4

Para o pórtico mais complexo, de cinco pisos e quatro tramos, apresentam-se de seguida os

diagramas de esforços resultantes nas vigas dos pisos cinco, três e um, para as modelações

dos programas, A, B, C e MEF (figuras 3.23, 3.24 e 3.25). Para se proceder a uma análise

de resultados, apresentam-se os quadros 3.14, 3.15 e 3.16. 

V5.1 V5.2 V5.3 V5.4

Figura 3.23 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B, C e MEF, no piso 5.

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Capítulo 3

3.30

V3.1 V3.2 V3.3 V3.4

Figura 3.24 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B, C e MEF, no piso 3.

0.6 

   3 .

   7 

5.2 

   0 .

   6 

V1.1

1.0  5.1  0.8  4.1 

V1.2 V1.3

2.0  4.7  0.6 

V1.4

Figura 3.25 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B, C e MEF, no piso 1.

Com o objectivo de analisar os resultados das várias modelações em análise, procede-se à

comparação de desvios médios em relação à modelação exacta para cada tramo, MEF  

(∆M i.), bem como à média destes desvios (∆M m.)

MEF 

il  p

ijM M 

×

×

∆=∆∑

83

||

i – Tramo.

 j – Esquerda , Vão e Direita. (3.13)

nt iM 

M m∑ ∆

=∆||  nt – nº de tramos. (3.14)

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.31

∆M1  ∆M2  ∆M3  ∆M4  ∆Mm  Representação

Programa A 5.9% 5.2% 7.8% 8.8% 6.9%

Programa B 2.7% 3.3% 14.5% 13.0% 8.4%

Programa C 2.7% 3.3% 14.5% 13.0% 8.4%

M.E.F. - - - - -

Quadro 3.14 - Comparação de resultados dos programas comerciais com MEF para a viga do piso 5.

∆M1  ∆M2  ∆M3  ∆M4  ∆Mm  Representação

Programa A 6.3% 6.3% 6.5% 5.4% 6.1 %

Programa B 6.4% 7.4% 13.9% 9.7% 9.4%

Programa C 6.4% 7.4% 13.9% 9.7% 9.4%

M.E.F. - - - - -

Quadro 3.15 - Comparação de resultados dos programas comerciais com MEF para a viga do piso 3.

∆M1  ∆M2  ∆M3  ∆M4  ∆Mm  Representação

Programa A 5.3% 4.6% 6.7% 6.0% 5.7%

Programa B 7.1% 8.7% 16.9% 2.6% 8.8%

Programa C 7.1% 8.7% 16.9% 2.6% 8.8%M.E.F. - - - - -

Quadro 3. 16 - Comparação de resultados dos programas comerciais com MEF para a viga do piso 1.

De seguida pode-se observar os diagramas de momentos flectores nas vigas dos pisos

cinco, três e um, para as modelações: troços rígidos nas vigas, troços rígidos nas vigas e

nos pilares, e parede em MEF 

1

 somente para o programa A.

1

No pórtico 4 a modelação de troços rígidos nos pilares foi substituída pela modelação da parede em MEFsomente para o programa A.

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Capítulo 3

3.32

V5.1 V5.2 V5.3 V5.4

Figura 3.26 – Diagramas de momentos flectores oriundos das modelações: troços rígidos nas vigas, nas

vigas e nos pilares e parede em MEF somente para o programa A, para o piso 5.

V3.1 V3.2 V3.3 V3.4

Figura 3.27 – Diagramas de momentos flectores oriundos das modelações: troços rígidos nas vigas, nas

vigas e nos pilares e parede em MEF somente para o programa A, para o piso 3.

0.6  5.2 

   3 .

   7 

   0 .

   6 

V1.1

1.0  5.1  0.8  4.1 

V1.2 V1.3

2.0  4.7  0.6 

V1.4

Figura 3.28 – Diagramas de momentos flectores oriundos das modelações: troços rígidos nas vigas, nas

vigas e nos pilares e parede em MEF somente para o programa A, para o piso 1.

∆M1  ∆M2  ∆M3  ∆M4  ∆Mm  Representação

Troços rígidos nas Vigas 2.9% 3.5% 12.2% 6.6% 6.3%

Programa A com Parede emMEF

5.7% 8.2% 41.3% 34.1% 22.3%

Troços rígidos Vigas + Pilares 5.5% 4.9% 8.7% 8.9% 7.0%

MEF - - - - -

Quadro 3.17 - Comparação de resultados da modelação com troços rígidos, e parede em MEF somente para

o programa A, para a viga do piso 5. 

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.33

∆M1  ∆M2  ∆M3  ∆M4  ∆Mm  Representação

Troços rígidos nas Vigas 3.9% 5.4% 7.9% 4.3% 5.4%

Programa A com Parede emMEF 5.6% 7.2% 46.6% 34.6% 23.5%

Troços rígidos Vigas + Pilares 5.7% 6.2% 6.3% 5.9% 6.0%

M.E.F. - - - - -

Quadro 3.18- Comparação de resultados da modelação com troços rígidos, e parede em MEF somente para o

 programa A, para a viga do piso 3. 

∆M1  ∆M2  ∆M3  ∆M4  ∆Mm  Representação

Troços rígidos nas Vigas 3.9% 4.5% 8.7% 2.8% 5.0%Programa A com Parede emMEF

4.9% 5.2% 31.3% 34.0% 18.9%

Troços rígidos Vigas + Pilares 4.9% 5.1% 8.5% 4.2% 5.7%

MEF - - - - -

Quadro 3.19 - Comparação de resultados da modelação com troços rígidos, e parede em MEF somente para

o programa A, para a viga do piso 1.

Da análise da viga do primeiro piso do pórtico quatro, pode verificar-se que o programa A 

apresenta desvios menores que os programas B e C.

Pode observar-se ainda que, de uma forma generalizada, o programa A, com a parede

modelada em elementos finitos, revela-se insatisfatório nos tramos que ligam a essa mesma

  parede, tendo como consequência um desvio médio relativamente ao programa de

referência MEF , bastante elevado.

A utilização de troços rígidos nas vigas melhora bastante os resultados dos programas B e

C.

Pode concluir-se que a utilização de troços rígidos nos pilares não se revela eficiente. Por 

outro lado, a utilização simultânea de troços de rigidez nas vigas e nos pilares não se afasta

muito da modelação de troços rígidos somente nas vigas. 

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Capítulo 3

3.34

Analisando os resultados da viga do último piso do pórtico 4, observa-se que o

comportamento geral dos resultados mantém-se em conformidade com o que sucede nos

 pisos 1 e 3.

Assim, o diagrama de momentos flectores do programa de referência MEF encontra-se

entre o resultado do progama A e os resultados dos programas B e C.

Pode observar-se também que a modelação do programa A é mais eficiente nos tramos que

não ligam à parede, do que nos tramos que a ela ligam. De forma inversa, os programas B 

e C oferecem melhores resultados quando se analisam tramos cuja rigidez dos elementos

verticais não é muito elevada.

Pode constatar-se que o uso de troços rígidos nas vigas e nos pilares em simultâneo

aproxima os resultados da modelação do programa A.

3.6.2. Análise de resultados para uma solicitação horizontal.

Os exemplos propostos foram solicitados nos correspondentes nós da esquerda em cada  piso, a uma força horizontal de 60kN  resultante da acção duma carga distribuída de

100kN/m numa viga de 0.60m de altura (figuras 3.29 a 3.31). Esta solicitação pretende

testar o comportamento dos vários tipos de modelações em comparação com os resultados

 provenientes do programa de elementos finitos- MEF .

100kN/m 

60kN 

0.60 

60kN 

Figura 3.29 – Carregamento horizontal para o MEF. Figura 3.30 –  Carregamento horizontal

  para os pórticos de barras

(programas B e C).

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.35

60kN 

Figura 3.31 –  Carregamento horizontal para o

 programa A.

3.6.2.1. Exemplo 1.

 Na figura 3.32 apresentam-se os diagramas de momentos flectores correspondentes ao

exemplo 1. No quadro 3.20 representam-se os momentos flectores à esquerda e à direita

 para o carregamento horizontal.

5.400.30

2.70

 

0.30

0.60

Figura 3.32 – Diagrama de momentos flectores na viga para os programas A, B, C e MEF.

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNmRepresentação

a) Programa A 45.1 - -45.1

  b) ProgramaB 41.1 - -40.8

c) Programa C 41.1 - -40.8

d) M.E.F. 41.8 - -41.8

Quadro 3.20 –  Momentos flectores na viga para os programas A, B, C e MEF. 

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Capítulo 3

3.36

 Na figura 3.33 e no quadro 3.21 observam-se os resultados correspondentes aos momentos

flectores que decorrem da modelação com troços rígidos.

2.70

5.400.30

 

0.30

0.60

Figura 3.33 – Comparação dos diagramas de momentos flectores do MEF com a modelação de troços

rígidos.

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNmRepresentação

d) M.E.F. 41.8 - -41.8

e) Troços Rígidos nas Vigas 41.4 - -41.1f) Troços Rígidos nos Pilares 45.1 - -44.7

g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares 45.3 - -45.0

Quadro 3.21 - Resultados da modelação com recurso a troços rígidos e MEF. 

Me Mv Md  ∆M

MEF

MEFe

M

MM 

MEF

MEFe

M

MM 

MEF

MEFe

M

MM 

+

+

MEFd

MEFe

de

MM

∆M∆M 

Programa A 7.9% - 7.9% 7.9%

Programa B -1.7% - -2.4% 2.0%

Programa C -1.7% - -2.4% 2.0%

Troços rígidos nas Vigas -1.0% - -1.7% 1.3%

Troços rígidos nos Pilares 7.9% - 6.9% 7.4%

Troços rígidos Vigas + Pilares 8.4% - 7.7% 8.0%

Quadro 3.22 - Comparação de resultados com MEF. 

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.37

Da análise do pórtico 1, sujeito a cargas horizontais, pode-se constatar que os programas B 

e C ajustam-se ao programa de referência MEF , enquanto que o programa A apresenta já

um desvio significativo. Conclui-se, também, que o uso de troços rígidos não é eficiente.

Pode observar-se neste exemplo que o programa A possui rigidez axial infinita na

modelação das barras horizontais, uma vez que, para pilares iguais, o momento flector à

direita na viga é simétrico ao momento flector à esquerda, não existindo qualquer 

diminuição de comprimento da viga por deformação axial da mesma quando esta é

solicitada de uma das extremidades por uma força horizontal.

3.6.2.2. Exemplo 2.

Apresentam-se, graficamente na figura 3.34 e numericamente no quadro 3.23, os

momentos flectores correspondentes à análise da viga do pórtico 3, para todos os

 programas de cálculo automático.

5.401.00

2.70

1.00

0.60

Figura 3.34 – Diagrama de momentos flectores na viga para os programas A, B, C e MEF.

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNmRepresentação

a) Programa A 19.5 - -19.5

  b) Programa B 14.7 - -13.9

c) Programa C 14.7 - -13.9

d) MEF 17.5 - -17.1

Quadro 3.23 - Diagramas de momentos flectores na viga para os programas A, B, C e MEF. 

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Capítulo 3

3.38

5.401.00

0.60

1.00

2.70

Figura 3.35 – Comparação dos diagramas de momentos flectores do MEF com a modelação de troços

rígidos.

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNmRepresentação

d) MEF 17.5 - -17.1

e) Troços Rígidos nas Vigas 19.4 - -18.6

f) Troços Rígidos nos Pilares 15.2 - -14.3

g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares 20.2 - -19.4

Quadro 3. 24 - Resultados da modelação com recurso a troços rígidos e MEF.

Me Mv Md  ∆M

MEF

MEFe

M

MM 

MEF

MEFe

M

MM 

MEF

MEFe

M

MM 

+

+

MEFdMEFe

de

MM

∆M∆M 

Programa A 11.4% - 14.0% 12.7%

Programa B -16.0% - -18.7% 17.1%

Programa C -16.0% - -18.7% 17.1%

Troços rígidos nas Vigas 10.9% - 8.8% 9.8%

Troços rígidos nos Pilares -13.1% - -16.4% 14.7%

Troços rígidos Vigas + Pilares 15.4% - 13.5% 14.5%

Quadro 3.25- Comparação de resultados com MEF. 

Da análise do pórtico 2, em que os pilares possuem uma rigidez significativa, constata-se

que a não utilização de troços rígidos, tanto nas vigas como nos pilares, como em

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.39

simultâneo nas vigas e nos pilares, não se justifica. Assim sendo, a modelação mais

correcta é a do programa A. 

3.6.2.3. Exemplo 3.

 Na figura 3.36 encontram-se representados os diagramas de momentos flectores na viga

dos programas A, B, C e MEF . No quadro 3.26 encontram-se representados

numericamente os valores encontrados.

5.401.00

2.70

0.30

0.60

Figura 3.36 – Diagrama de momentos flectores na viga para os programas A, B, C e MEF.

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNmRepresentação

a) Programa A 25.6 - -8.0

  b) ProgramaB 20.4 - -7.3

c) Programa C 20.4 - -7.3

d) M.E.F. 23.1 - -9.2

Quadro 3.26 - Diagramas de momentos flectores na viga para os programas A, B, C e MEF.

2.70

5.401.00

 

0.30

0.60

Figura 3.37 – Comparação dos diagramas de momentos flectores do MEF com a modelação de Troços

Rígidos.

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Capítulo 3

3.40

 Na figura 3.37 efectua-se uma comparação dos diagramas de momentos flectores segundo

o Método dos Elementos Finitos MEF  e a modelação por troços rígidos. Em termosnuméricos, apresentam-se os valores encontrados no quadro 3.27 para finalizar, no quadro

3.28 observa-se a comparação de resultados com os distintos programas de cálculo com o

MEF , analisando-se os distintos parâmetros de comparação, isto é, os desvios encontrados

nos momentos flectores.

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNmRepresentação

d) MEF 23.1 - -9.2

e) Troços Rígidos nas Vigas 24.8 - -7.5

f) Troços Rígidos nos Pilares 21.0 - -9.8

g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares 25.8 - -10.3

Quadro 3. 27 - Resultados da modelação com recurso a troços rígidos e MEF.

Me Mv Md  ∆M

MEF

MEFe

MMM  

MEF

MEFe

MMM  

MEF

MEFe

MMM  

++

MEFdMEFe

de

MM∆M∆M

 

Programa A 10.8% - -13.0% 11.5%

Programa B -11.7% - -20.7% 14.2%

Programa C -11.7% - -20.7% 14.2%

Troços rígidos nas Vigas 7.4% - -18.5% 10.5%

Troços rígidos nos Pilares -9.1% - 6.5% 8.4%

Troços rígidos Vigas + Pilares 11.7% - 12.0% 11.8%

Quadro 3.28 - Comparação de resultados com MEF. 

Analisando os resultados para o exemplo 3, constata-se que a diferença de rigidez entre o

 pilar da esquerda e o pilar da direita confirma as conclusões dos exemplos anteriores. A

modelação que melhor se ajusta ao MEF é a modelação do programa A, concluindo-se que

a modelação de troços rígidos não é aconselhável.

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.41

3.6.2.4. Exemplo 4.

 Neste último exemplo, pode-se observar que a deformabilidade axial das vigas não pode

ser desprezável. Por opção, a comparação numérica a apresentar será realizadacomparativamente com o programa de elementos finitos, dado este apresentar 

deformabilidade axial ou não, função da modelação do programa de comparação a adoptar.

A análise gráfica apresentada refere-se somente ao resultados obtidos pelo programa MEF  

com deformabilidade axial nas vigas, não sobrecarregando demasiado as figuras ilustradas.

Com o objectivo de analisar os resultados das várias modelações utilizadas procedeu-se à

comparação de desvios médios em relação à modelação exacta MEF para cada tramo (∆M i)

 bem como à média destes desvios (∆M m).

MEF  DiMEF  Ei

 Di Eii M M 

M M M 

+

∆+∆=∆  

 sendo:

i – Tramo.

 EsquerdaMEF ograma Ei M M M  −=∆ Pr   

 DireitaMEF ograma Di M M M  −=∆ Pr   

 Nas figuras 3.38, 3.39 e 3.40 apresentam-se os diagramas de momentos flectores para os

  programas comerciais correspondentes às vigas dos pisos cinco, três e um,

respectivamente.

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Capítulo 3

3.42

V5.1 V5.2 V5.3 V5.4

Figura 3.38 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B, C e MEF, no piso 5.

V3.1 V3.2 V3.3 V3.4

Figura 3.39 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B, C e MEF, no piso 3.

0.6 

   3 .

   7 

5.2 

   0 .

   6 

V1.1

1.0  5.1  0.8  4.1 

V1.2 V1.3

2.0  4.7  0.6 

V1.4

Figura 3.40 – Diagramas de momentos flectores dos programas A, B, C e MEF, no piso 1.

 Nos quadros 3.29, 3.30 e 3.31 visualizam-se as diferenças encontradas entre as modelações

comerciais e o MEF .

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.43

∆M1  ∆M2  ∆M3  ∆M4  ∆Mm  Representação

Programa A 2.0% 16.8% 4.2% 6.3% 7.3%

Programa B 27.6% 51.1% 21.9% 25.8% 31.6%

Programa C 27.6% 51.1% 21.9% 25.8% 31.6%

M.E.F. - - - - -

Quadro 3.29 - Comparação de resultados dos programas comerciais com MEF para a viga do piso 5.

∆M1  ∆M2  ∆M3  ∆M4  ∆Mm  Representação

Programa A 1.9% 0.0% 4.2% 1.3% 1.5%

Programa B 5.2% 15.1% 11.4% 10.4% 7.9%

Programa C 5.2% 15.1% 11.4% 10.4% 7.9%

M.E.F. - - - - -

Quadro 3.30 - Comparação de resultados dos programas comerciais com MEF para a viga do piso 3.

∆M1  ∆M2  ∆M3  ∆M4  ∆Mm  Representação

Programa A 5.3% 3.8% 7.5% 5.4% 5.5%

Programa B 6.0% 9.7% 9.2% 8.4% 8.3%

Programa C 6.0% 9.7% 9.2% 8.4% 8.3%M.E.F. - - - - -

Quadro 3.31- Comparação de resultados dos programas comerciais com MEF para a viga do piso 1.

  Nas figuras que se seguem (3.41, 3.42, 3.43) explicitam-se os diagramas de momentos

flectores nas vigas dos pisos cinco, três e um, para modelações de troços rígidos e do

 programa A com parede em MEF .

V5.1 V5.2 V5.3 V5.4

Figura 3.41 –  Diagramas de momentos flectores devidos às modelações; troços rígidos nas vigas, nas

vigas e nos pilares e parede em MEF no programa A, para o piso 5.

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Capítulo 3

3.44

V3.1 V3.2 V3.3 V3.4

Figura 3.42 –  Diagramas de momentos flectores devidos às modelações; troços rígidos nas vigas, nas

vigas e nos pilares e parede em MEF no programa A, para o piso 3.

0.6  5.2 

   3 .

   7 

   0 .

   6 

V1.1

1.0  5.1  0.8  4.1 

V1.2 V1.3

2.0  4.7  0.6 

V1.4

Figura 3.43 –  Diagramas de momentos flectores devidos às modelações; troços rígidos nas vigas, nas

vigas e nos pilares e parede em MEF no programa A, para o piso 1.

∆M1  ∆M2  ∆M3  ∆M4  ∆Mm  Representação

Troços rígidos nas Vigas 9.3% 33.5% 6.7% 5.7% 13.8%

Prog. A com Parede em MEF 51.6% 44.3% 37.0% 30.5% 40.8%

Troços rígidos Vigas + Pilares 3.6% 1.1% 2.5% 3.6% 2.7%

MEF - - - - -

Quadro 3.32 - Comparação de resultados da modelação com troços rígidos, e parede em MEF no programa

A para a viga do piso 5. 

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.45

∆M1  ∆M2  ∆M3  ∆M4  ∆Mm  Representação

Troços rígidos nas Vigas 1.7% 2.5% 6.6% 2.6% 2.7%

Prog. A com Parede em MEF 50.1% 54.3% 32.4% 28.2% 34.2%

Troços rígidos Vigas + Pilares 0.9% 5.5% 6.0% 1.0% 3.1%

MEF - - - - -

Quadro 3.33- Comparação de resultados da modelação com troços rígidos, e parede em MEF no programa A 

 para a viga do piso 3. 

∆M1  ∆M2  ∆M3  ∆M4  ∆Mm  Representação

Troços rígidos nas Vigas 2.0% 1.3% 8.6% 3.2% 3.8%

Prog. A com Parede em MEF 62.6% 62.9% 33.4% 32.9% 48.0%

Troços rígidos Vigas + Pilares 5.0% 3.5% 9.2% 4.5% 5.6%

MEF - - - - -

Quadro 3.34- Comparação de resultados da modelação com troços rígidos, e parede em MEF no programa A 

 para a viga do piso 1.

  Na presença de um pórtico mais complexo, exemplo 4, observa-se que o programa A fornece melhores resultados que os programas B e C. No entanto, as maiores diferenças

encontram-se no piso cinco (último piso).

Importa referir que a utilização de troços rígidos é aceitável nas vigas, assim como nas

vigas e pilares em simultâneo. No entanto, o uso da parede em elementos finitos por parte

do programa A revela-se bastante insuficiente.

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Capítulo 3

3.46

3.7. Conclusões

  – Para a solicitação vertical, a modelação do programa A é, de um modogeral, mais consistente que as restantes, ainda que o desvio relativamente

aos elementos finitos seja no sentido de momentos flectores negativos mais

elevados (rigidez excessiva dos pilares).

 – O uso de troços rígidos nas barras por parte dos programas B e C é bastante

sensível a problemas numéricos. Sobretudo quando o troço rígido é muito

curto, os erros numéricos podem ultrapassar os 10%, mantendo-se

superiores a 5% quando é utilizada a dupla precisão. Para modelar troços

rígidos recorreu-se à utilização de programas que possuam este tipo de

  barra, com a respectiva matriz de rigidez, e não a qualquer artifício que

recorra a valores fictícios para a geometria das barras.

  – O programaA usa paredes de elementos finitos que manifestaram um mau

comportamento. Após troca de informação com os representantes do

 programa A, a razão pela qual ocorre este fenómeno consiste na modelaçãode uma viga com 25cm de altura entre paredes de dois pisos consecutivos.

Assim, a viga do pórtico não se encontra ligada à parede, mas sim a esta

viga. Daí o grau de encastramento ficar reduzido. Esta situação surge como

consequência da necessidade de estabelecer uma metodologia de modelação

generalizada de diversas formas de paredes. Segundo os mesmos

representantes, a metodologia construtiva de paredes em betão armado, com

  betonagens interrompidas ao nível dos pisos, não confere às vigas

encastramentos, logo, a metodologia por eles adoptada gera armaduras

inferiores nas vigas com maior área de aço, estando assim a favor da

segurança.

  – Para solicitação horizontal, os programas B e C parecem demonstrar uma

melhor aproximação ao MEF , para pórticos de uma só viga. Mas, para o

 pórtico mais complexo, os resultados invertem-se, sendo o programa A o

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Planas

3.47

que melhor se comporta. Dada a complexidade do resultado encontrado,

optou-se por não apresentar qualquer género de explicação.

  – É visível na utilização do programa A, para solicitação horizontal, que estemodela as vigas como infinitamente rígidas axialmente. Esta situação é

apontada como hipótese de cálculo, pois segundo os representantes deste

  programa, a normal utilização de lajes em estruturas porticadas assim o

demonstra.

 – Os momentos flectores negativos máximos fornecidos pelos programas não

foram utilizados como medida de comparação, uma vez que o programa A 

não utiliza o mesmo critério que os programas B e C para a determinação

dos mesmos. Assim sendo, foram comparados os momentos flectores

negativos à face dos pilares, o que limita as conclusões deste estudo.

  – Os programasB e C não fornecem os momentos flectores positivos

máximos para carregamento vertical, fornecem sim o máximo momento

flector positivo para um dado nível de seccionamento da viga. Esta aspecto

deverá ser corrigido, uma vez que não apresenta qualquer complexidadetécnica.

3.1. Introdução.............................................................................................................. 1

3.2. Tipos de Modelação ..............................................................................................1

3.3. Regulamentação..................................................................................................... 5

3.4. Considerações Preliminares................................................................................. 10

3.5. Exemplos a Analisar............................................................................................ 15

3.6. Análise dos Resultados........................................................................................ 19

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CAPÍTULO 4

Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de

Estruturas Tridimensionais

4.1. Introdução

Os diferentes tipos de modelações utilizados para as lajes pelos vários programas

resultam em carregamentos diferentes para as vigas.

O método simplificado mais utilizado para a distribuição de cargas das lajes para as

vigas é o das “áreas de influência”. Este método pode ser justificado através da análise

de lajes pelo cálculo plástico por linhas de rotura. No entanto, nem sempre esta

 justificação está presente no utilizador; por um lado o método das linhas de rotura não é

universal na formação de todos os engenheiros civis, por outro, os projectistas não se

questionam no seu dia a dia sobre as simplificações inerentes à aplicação do método das

“áreas de influência”.

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Capítulo 4

4.2

  Neste contexto surgem programas comerciais que, permitindo uma modelação

tridimensional com as lajes incluídas, fazem uma discretização espacial da estrutura. É

então que surge uma questão que normalmente fica sem resposta:

“A modelação de lajes usando elementos planos ou de grelha conduz a esforços nas

vigas substancialmente menores que os obtidos pelo cálculo plano de estruturas. Serão

esses esforços fiáveis?”

A resposta a esta questão é o objectivo fundamental deste capítulo. Neste capítulo serão

analisadas duas estruturas simples, correntes e de um só piso, através dos programas

comerciais em estudo e através de uma modelação por  MEF  tridimensional com

elementos de volume.

  Neste contexto, descrevem-se em seguida as formas adoptadas por cada um dos

 programas para a modelação tridimensional. Todos os programas comerciais adoptam

elementos de viga para as peças lineares, no entanto as lajes são modeladas de forma

diferente.

O Programa A modela as lajes maciças com recurso a elementos finitos com geração

automática da malha.

Por seu lado, o programa B não modela as lajes, mas faz a distribuição automática das

cargas das lajes para as vigas através de áreas de influência, sem qualquer correcção de

continuidade.

Para concluir, o programa C utiliza elementos de grelha para modelar as lajes maciças.

Uma vez que as lajes são modeladas através de métodos diferentes nos diversos

 programas torna-se pertinente comparar as diferenças nos carregamentos nas vigas que

estas formas de abordagem das lajes impõem.

A comparação de resultados será efectuada através da apresentação da forma do

carregamento na viga, da forma do diagrama de esforço transverso, sem esquecer a

forma do diagrama de momentos flectores. Por outro lado, serão comparados os

esforços com importância fundamental no dimensionamento. Assim, podemos mesmo

considerar este capítulo como uma extensão tridimensional do Capítulo 3.

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais

4.3

4.2. Apresentação das estruturas a analisar

Como exemplos de referência foram utilizadas estruturas simples, simétricas e de um só

 piso. Para o cálculo das estruturas foi adoptado um módulo de elasticidade  E=29GPa e

um coeficiente de Poisson ν=0.15.

A estrutura 1, constituída apenas por um painel de laje maciça, é apresentada na Figura

4.1. Os pilares possuem secção [0.300.30m2], as vigas [0.300.60m2] e as lajes

 possuem espessura de 0.20m. Os pilares, para efeitos de cálculo, foram considerados

encastrados na fundação.

6.0 

P3 

P1 

6.0 

PISO 1 [4.00m] 

P2 

LM 

P4 

Figura 4.1 – Planta estrutural e perspectiva da estrutura 1. 

 No Quadro 4.1 enunciam-se as cargas adoptadas no cálculo da estrutura 1.

Revestimentos

KN/m2

Q

KN/m2

Paredes Ext.

KN/m

Piso 1 3.00 2.00 0.00

Quadro 4.1 – Carregamento da estrutura 1.

Para a estrutura 1, será analisada apenas uma viga V1, uma vez que as vigas desta

estrutura são todas iguais.

A estrutura 2 possui nove módulos de laje conforme se apresenta na Figura 4.2. Os

  pilares possuem secção [0.300.30m2], as vigas [0.300.60m

2] e as lajes possuem

espessura de 0.20m. Também neste caso para efeitos de cálculo, os pilares foram

considerados encastrados na fundação.

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Capítulo 4

4.4

 

6.0 

P5 

P1 

6.0 

P2 

LM 

P6 

P3 

LM 

P7 

P4 

LM 

P8 

6.0 5.4 

PISO 1 [4.00m] 

P9 

LM 

P10 

LM 

P11 

LM 

P12 

P13 

LM 

P14 

LM 

P15 

LM 

P16 

6.0 

5.4 

Figura 4.2 – Planta estrutural e perspectiva da estrutura 2.

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais

4.5

 No Quadro 4.2 estão enunciadas as cargas adoptadas no cálculo da estrutura 2.

Revestimentos

KN/m2

Q

KN/m2

Paredes Ext. 

KN/m

Piso 1 3.00 2.00 0.00

Quadro 4.2 – Carregamento da estrutura 2.

Da estrutura 2 serão analisadas duas vigas, uma exterior  V1 e uma interior  V2,

representativas de toda a estrutura.

4.3. Definição do tipo de modelação a utilizar pelo Método dos

Elementos Finitos (MEF)

Com o intuito de se obter um resultado que possa ser utilizado como objecto de

comparação entre os resultados provenientes dos vários programas, foi adoptado o

cálculo das estruturas em elementos finitos. As estruturas foram modeladas com recurso

a elementos tridimensionais, “bricks” de oito nós denominados  HX24L (Figura 4.3).

Atendendo ao fraco desempenho deste género de elementos, optou-se por um nível de

discretização elevado recorrendo a elementos de 10cm de aresta. Posteriormente

verificou-se a convergência dos resultados provenientes desta discretização. A

utilização de elementos lineares de oito nós, ao invés de elementos quadráticos de vinte

nós, deveu-se a uma maior facilidade de pós-processamento dos resultados na obtenção

de forças nodais. Os resultados provenientes da modelação em elementos finitos serão

designados por MEF .

5 7 

ζ 

η 

ξ 

Figura 4.3  – Elemento tridimensional de 8 nós do programa DIANA denominado HX24L.

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Capítulo 4

4.6

4.4. Cálculo de uma viga da estrutura 1

4.4.1. Diagramas de carregamento

 Nas Figuras 4.4, 4.5 e 4.6 apresentam-se os diagramas de carregamento da viga V1 para

os programas A, B e C respectivamente. Para que seja possível comparar os resultados

 provenientes dos vários programas com o cálculo em MEF , os resultados provenientes

desta análise também serão representados.

O diagrama de carregamento na viga foi obtido através das forças nodais ao longo dos

elementos comuns à viga e à laje. O programa de elementos finitos utilizado permite

determinar, para uma dada direcção (neste caso a vertical ), o carregamento que um

grupo de elementos finitos transporta para um outro grupo de elementos finitos. Assim,foram isolados os nós pertencentes simultaneamente à viga e à laje, e determinadas as

forças nodais que a laje descarrega na viga através dos nós comuns. Posteriormente, os

resultados foram condensados para todas as ordenadas locais ao longo da barra viga,

uma vez que existem vários nós para uma mesma ordenada. Tendo em atenção que as

forças assim determinadas são forças concentradas, foram transformadas em forças

distribuídas para uma largura de influência, largura essa função do tipo de elemento e da

discretização da malha de elementos finitos.

Em seguida é representada, na Figura 4.4, a comparação entre carregamentos para o

 programa A e para o MEF .

0.30 5.40 

0.60 

3.70 

0.30 

Prog. A MEF 

Figura 4.4 – Diagrama de carregamento da viga V1 – Estrutura 1 pelo programa A. 

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais

4.7

 Na Figura 4.5 encontra-se representada a comparação dos diagramas de carregamento

da viga V1, obtidos com o programa B, e o programa de referência de elementos finitos

 – MEF .

0.30 5.40 

0.60 

3.70 

0.30 

Prog. B MEF 

Figura 4.5 – Diagrama de carregamento da viga V1 – Estrutura 1 pelo programa B. 

 Na sequência das comparações de carregamentos, efectuadas entre os programas A e B 

supracitados com o MEF , cabe agora proceder à comparação de carregamentos na viga

V1 da estrutura 1 entre o programa C e o MEF . Esta comparação é apresentada na

Figura 4.6.

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Capítulo 4

4.8

0.30 5.40 

0.60 

3.70 

0.30 

Prog. C MEF 

Figura 4.6 – Diagrama de carregamento da viga V1 – Estrutura 1 pelo programa C. 

4.4.2. Diagramas de Esforço Transverso

  Nas Figuras 4.7, 4.8 e 4.9 são efectuadas comparações de diagramas de esforço

transverso para a modelação da estrutura 1, através dos vários programas de cálculo

automático em estudo, com os resultados provenientes de uma análise por elementos

finitos – MEF .

O diagrama de esforço transverso apresentado como diagrama de elementos finitos

MEF, foi obtido através da integração do diagrama de carregamento ao longo da barra,

anteriormente referido na secção 4.4.1. Quando existe simetria da estrutura não basta

  proceder àquela integração sabendo que os esforços transversos nos extremos sãosimétricos. Quando tal não acontece, o esforço transverso nas extremidades da viga é

obtido a partir do esforço axial dos pilares.

  Na Figura 4.7 encontra-se representada a comparação entre o diagrama de esforço

transverso para a viga V1 da estrutura 1, calculada pelo programa A e pelo programa de

elementos finitos – MEF .

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais

4.9

0.30 5.40 

0.60 

3.70 

0.30 

Prog. A MEF 

Figura 4.7 – Diagrama de esforço transverso da viga V1 – Estrutura 1 pelo programa A. 

 Na Figura 4.8 comparam-se os diagramas de esforço transverso calculados através do

 programa B e os obtidos a partir do MEF .

0.30 5.40 

0.60 

3.70 

0.30 

Prog. B MEF 

Figura 4.8 – Diagrama de esforço transverso da viga V1 – Estrutura 1 pelo programa B. 

Para terminar a comparação de esforços transversos da estrutura 1, apresentam-se na

Figura 4.9 os diagramas de esforço transverso do programa C e do programa de

elementos finitos – MEF .

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Capítulo 4

4.10

0.30 5.40 

0.60 

3.70 

0.30 

Prog. C MEF 

Figura 4.9 – Diagrama de esforço transverso da viga V1 – Estrutura 1 pelo programa C. 

4.4.3. Diagramas de Momentos Flectores

Tendo consciência da importância significativa dos diagramas de momentos flectores no

dimensionamento estrutural das vigas, a sua análise foi parte significativa deste estudo.

Assim, nas Figuras 4.10, 4.11 e 4.12 são feitas comparações entre os diagramas demomentos flectores dos programas em estudo com o diagrama de momentos flectores

resultante do MEF .

O diagrama de momentos flectores, proveniente do programa de elemento finitos MEF ,

foi obtido através da integração do diagrama de esforço transverso ao longo da barra

viga, já referida na secção 4.4.2. No entanto, foi necessário conhecer o momento flector 

num dado ponto do diagrama para que se levantasse a indeterminação da integração.

Para tal foi efectuada uma outra integração, mas agora do diagrama de tensões normais

na secção de meio vão, obtendo-se assim o momento flector nesse local.

 Na figura seguinte, Figura 4.10, é possível observar a influência que o carregamento

 produz no diagrama de momentos flectores da viga V1, quando este é calculado pelo

 programa A.

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais

4.11

0.30 5.40 

0.60 

3.70 

0.30 

Prog. A MEF 

Figura 4.10 – Diagrama de momentos flectores para a viga V1 – Estrutura 1 pelo programa A. 

Analisando a Figura 4.11 é possível observar a comparação do diagrama de momentos

flectores para o programa A e para o MEF .

0.30 5.40 

0.60 

3.70 

0.30 

Prog. B MEF 

Figura 4.11 – Diagrama de momentos flectores para a viga V1 – Estrutura 1 pelo programa B. 

Para terminar a comparação dos diagramas de momentos flectores da viga V1 da

estrutura 1, apresenta-se em seguida os diagramas de momentos flectores do programa

C e do MEF .

0.30 5.40 

0.60 

3.70 

0.30 

Prog. C MEF 

Figura 4.12 – Diagrama de momentos flectores para a viga V1 – Estrutura 1 pelo programa C. 

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Capítulo 4

4.12

4.4.4. Comparação de Resultados

Com o objectivo de se obter uma melhor percepção das diferenças de resultados

  provenientes dos vários programas em análise, optou-se por apresentar, em paralelo

com os resultados gráficos dos vários esforços nas vigas, os resultados numéricos nos pontos significativos dos diagramas, i.e., a meio vão e nos apoios para o diagrama de

momentos flectores, e nos apoios para os diagramas de esforço transverso.

 Nos Quadros 4.3, 4.4 e 4.5 apresentam-se as comparações entre os resultados dos vários

 programas e os resultados provenientes do MEF para os momentos flectores e para o

esforço transverso.

  No quadro seguinte, Quadro 4.3, efectua-se uma comparação de resultados entre o programa A e o programa de elementos finitos, para a viga V1 da estrutura 1.

Estrutura – Viga 1

Me

[kNm]

Mv

[kNm]

Md

[kNm]

Ve

[kN]

Vd

[kN]

Programa A 3.44 85.58 3.44 52.07 -52.07

MEF -24.32 47.00 -24.32 51.31 -51.31

Quadro 4.3 – Esforços para a viga V1 recorrendo ao cálculo no programa A. 

Através da análise do diagrama de momentos flectores podemos verificar duas vertentes

distintas; por um lado existe uma sub-avaliação da rigidez dos pilares por parte do

 programa A, e por outro, o andamento do diagrama de momentos flectores é maisgravoso no programa A que no MEF , pelo facto deste concentrar menos carregamento

no vão. Assim, é possível observar uma variação de 82.1% do momento flector no vão

 para o programa A relativamente ao MEF . Junto ao apoio, o momento flector sofre uma

variação de 114.14% relativamente ao MEF . De uma forma global, o momento flector 

isostático do MEF é 15.2% menor que o do programa A.

O quadro seguinte, Quadro 4.4, apresenta a comparação de resultados entre o MEF e o

 programa B.

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais

4.13

Estrutura – Viga 1

Me

[kNm]

Mv

[kNm]

Md

[kNm]

Ve

[kN]

Vd

[kN]

Programa B -8.81 78.67 -8.81 52.65 -52.65

MEF -24.32 47.00 -24.32 51.31 -51.31

Quadro 4.4 – Esforços para a viga V1 recorrendo ao cálculo no programa B. 

Podemos depreender da análise de resultados provenientes do programa B que, no que

diz respeito ao carregamento, este em nada se assemelha ao proveniente do programa de

referência em elementos finitos, MEF . Neste caso, o diagrama de carregamento do

 programa B consiste em dois trapézios para uma qualquer viga, independentemente da

sua rigidez no pórtico a que pertence. Analisando os resultados provenientes do MEF  

  podemos constatar que a carga em questão mais se aproxima de uma carga

uniformemente distribuída que de uma forma trapezoidal. Esta situação tem como

resultado uma forte variação no diagrama de momentos flectores, sendo o momento

flector isostático significativamente afectado. A forma do diagrama de esforço

transverso também sofre importante influência. O diagrama de esforço transverso

aproxima-se de uma dupla parábola enquanto que, através dos elementos finitos, o

diagrama é praticamente recto.

Assim, o momento flector isostático através do programa B é 22.7% superior ao do

MEF. Existe também uma translação do diagrama de momentos flectores resultantes do

 programa B relativamente ao MEF , no sentido dos momentos flectores positivos. Assim

sendo, o momento flector positivo calculado pelo programa B a meio vão é 67.4% 

superior ao momento flector do MEF .

 No Quadro 4.5 surgem representados os momentos flectores resultantes da análise de

uma viga da estrutura 1, através do programa C e dos elementos finitos MEF .

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Capítulo 4

4.14

Estrutura – Viga 1

Me

[kNm]

Mv

[kNm]

Md

[kNm]

Ve

[kN]

Vd

[kN]

Programa C 0.00* 78.60 0.00 51.60* -51.60

MEF -24.32 47.00 -24.32 51.31 -51.31

Quadro 4.5 – Esforços para a viga V1 recorrendo ao cálculo no programa C.

Analisando os resultados do programa C, podemos observar que, no que diz respeito ao

carregamento, a modelação adoptada por este programa para a laje, através de

elementos de grelha, fornece resultados similares aos do programa A.

A análise de resultados, tanto ao nível de esforço transverso como ao nível de

carregamento, evidencia a modelação por grelha da laje.

Pode observar-se que o momento flector isostático obtidos através do programa C é

10.21% superior ao momento flector isostático do MEF . A variação entre o momento

flector positivo máximo do MEF e do programa C é de 82.09%. 

4.5. Cálculo de uma viga exterior da estrutura 2

4.5.1. Diagramas de carregamento

 Nas Figuras 4.13, 4.14 e 4.15 apresentam-se os diagramas de carregamento da viga V1 

da estrutura 2 para os vários programas em análise, bem como para o programa de

elementos finitos MEF .

* Este resultado para o momento negativo do programa C resulta do cálculo do momento à face do pilar,que por coincidência assume o valor 0.00 kNm.

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais

4.15

4.00 

MEF Prog. A 

5.70 5.70 5.70 

Figura 4.13 – Diagrama de carregamento para a viga V1 – Estrutura 2 pelo programa A.

5.70 

4.00 

5.70  5.70 

Prog. B MEF 

Figura 4.14 – Diagrama de carregamento para a viga V1 – Estrutura 2 pelo programa B.

4.00 

MEF Prog. C 

5.70  5.70  5.70 

Figura 4.15 – Diagrama de carregamento para a viga V1 – Estrutura 2 pelo programa C.

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Capítulo 4

4.16

4.5.2. Diagramas de Esforço Transverso

 Nas Figuras 4.16, 4.17 e 4.18 estão representados os diagramas de esforço transverso da

viga V1 para o cálculo através dos vários programas em estudo, bem como para o

 programa de elementos finitos MEF .

5.70 

4.00 

5.70 5.70 

MEF Prog. A 

Figura 4.16 – Diagrama de esforço transverso para a viga V1 – Estrutura 2 pelo programa A.

4.00 

MEF Prog. B 

5.70 5.70  5.70 

Figura 4.17 – Diagrama de esforço transverso para a viga V1 – Estrutura 2 pelo programa B.

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais

4.17

4.00 

MEF Prog. C 

5.70 5.70 5.70 

Figura 4.18 – Diagrama de esforço transverso para a viga V1 – Estrutura 2 pelo programa C.

4.5.3. Diagramas de Momentos Flectores

Pode observar-se nas figuras que se seguem, Figuras 4.19, 4.20 e 4.21, a comparação

dos diagramas de momentos flectores resultantes do cálculo nos programas A, B e C e

os resultados nos elementos finitos –  MEF .

5.70 

4.00 

5.70 5.70 

MEF Prog. A 

Figura 4.19 – Diagrama de momentos flectores para a viga V1 – Estrutura 2 pelo programa A.

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Capítulo 4

4.18

 

4.00 

MEF Prog. B 

5.70 5.70  5.70 

Figura 4.20 – Diagrama de momentos flectores para a viga V1 – Estrutura 2 pelo programa B.

4.00 

MEF Prog. C 

5.70 5.70 5.70 

Figura 4.21 – Diagrama de momentos flectores para a viga V1 – Estrutura 2 pelo programa C.

4.5.4. Comparação de Resultados

 Nos Quadros 4.6, 4.7 e 4.8 representam-se os resultados dos esforços relativos à viga V1 

 para os vários programas em estudo, bem como para o programa de elementos finitos

MEF .

 No Quadro 4.6, apresentam-se os esforços representativos da viga exterior da estrutura

2.

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais

4.19

Estrutura 2 – Viga 1–1º Tramo Estrutura 2 – Viga 1–2º Tramo

Me Mv Md Ve Vd Me Mv Md Ve Vd

[kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN] [kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN]

Programa A 4.45 49.26 -55.50 34.28 -57.95 -56.89 12.99 -56.89 46.78 -46.78

MEF -4.84 -32.75 -64.42 36.46 -55.30 -46.79 12.38 -46.79 41.36 -41.36

Quadro 4.6 – Esforços para a viga V1 através do cálculo no programa A. 

  No que concerne ao carregamento, é visível uma ligeira sobreavaliação da carga no

tramo central, provavelmente devida a uma deficiente quantificação do efeito de

continuidade num tramo exterior de laje.

Os diagramas de esforço transverso nos tramos de extremidade sofrem uma ligeira

rotação. Pode também observar-se que o mesmo diagrama no tramo interior possui umaligeira sobreavaliação do esforço transverso.

  No 1º tramo é possível constatar um desvio do momento flector a meio vão

relativamente ao MEF  de 50.41%. Quanto ao momento flector positivo no 2º tramo,

observa-se um desvio praticamente insignificante.

 No que diz respeito ao esforço transverso, este experimenta desvios relativamente ao

MEF de 6.3% no 1º tramo e de 13.1% no segundo.

 No Quadro 4.7, apresentam-se os esforços representativos da viga exterior da estrutura

2.

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Capítulo 4

4.20

 

Estrutura 2 – Viga 1–1º Tramo Estrutura 2 – Viga 1–2º Tramo

Me Mv Md Ve Vd Me Mv Md Ve Vd

[kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN] [kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN]Programa B -5.10 55.70 -61.89 42.13 -63.17 -60.40 53.40 -60.40 52.65 -52.65

MEF -4.84 32.75 -64.42 36.46 -55.30 -46.79 12.38 -46.79 41.36 -41.36

Quadr o 4.7 – Esforços para a viga V1 através do cálculo no programa B. 

Analisando os diagramas de carregamento, pode observar-se uma inadequada

aproximação. Assim sendo, não é de estranhar a sobreavaliação que ocorre nos

diagramas de momentos flectores e de esforço transverso. É visível também uma

variação de 331.34% relativamente ao momento flector no meio vão do tramo interior.

 No que respeita ao esforço transverso, são visíveis desvios de 15.5% para o 1º tramo e

de 26.0% para o 2º.

Estrutura 2 – Viga 1–1º Tramo Estrutura 2 – Viga 1–2º Tramo

Me Mv Md Ve Vd Me Mv Md Ve Vd

[kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN] [kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN]

Programa C -10.87 50.13 -60.20 35.07 -65.20 -58.73 13.27 -58.73 51.07 -51.07

M.E.F. -4.84 32.75 -64.42 36.46 -55.30 -46.79 12.38 -46.79 41.36 -41.36

Quadro 4.8 – Esforços para a viga V1 através do cálculo no programa C. 

A modelação através do programa C apresenta resultados em tudo semelhantes aos do

 programa A, tanto na forma dos diagramas, como nos desvios relativamente ao MEF .

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais

4.21

4.6. Cálculo de uma viga interior da estrutura 2

4.6.1. Diagramas de Carregamento

 Nas Figuras 4.22, 4.23 e 4.24 apresentam-se os diagramas de carregamento da viga V2 

da estrutura 2 para os vários programas, em comparação com os resultados provenientes

do MEF .

5.70 

4.00 

5.70 5.70 

MEF Prog. A 

Figura 4.22 – Diagrama de carregamento para a viga V2 – Estrutura 2 pelo programa A.

4.00 

MEF Prog. B 

5.70 5.70  5.70 

Figura 4.23 – Diagrama de carregamento para a viga V2 – Estrutura 2 pelo programa B.

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Capítulo 4

4.22

 

4.00 

MEF Prog. C 

5.70 5.70  5.70 

Figura 4.24 – Diagrama de carregamento para a viga V2 – Estrutura 2 pelo programa C.

4.6.2. Diagramas de Esforço Transverso

 Nas Figuras 4.25, 4.26 e 4.27 representam-se os diagramas de esforço transverso na

viga V2 da estrutura 2 para os vários programas em estudo, bem como para o programa

de elementos finitos MEF .

5.70 

4.00 

5.70 5.70 

MEF Prog. A 

Figura 4.25 – Diagrama de esforço transverso para a viga V2 – Estrutura 2 pelo programa A.

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais

4.23

4.00 

MEF Prog. B 

5.70 5.70  5.70 

Figura 4.26 – Diagrama de esforço transverso para a viga V2 – Estrutura 2 pelo programa B.

5.70 

4.00 

Prog. C MEF 

5.70  5.70 

Figura 4.27 – Diagrama de esforço transverso para a viga V2 – Estrutura 2 pelo programa C.

4.6.3. Diagramas de Momentos Flectores

 Nas Figuras 4.28, 4.29 e 4.30 apresentam-se os diagramas de momentos flectores da

viga interior da estrutura 2 para os vários programas em análise, bem como para o

 programa de elementos finitos –  MEF .

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Capítulo 4

4.24

 

5.70 

4.00 

5.70 5.70 

MEF Prog. A 

Figura 4.28 – Diagrama de momentos flectores para a viga V2 – Estrutura 2 pelo programa A.

4.00 

MEF Prog. B 

5.70 5.70  5.70 

Figura 4.29 – Diagrama de momentos flectores para a viga V2 – Estrutura 2 pelo programa B.

4.00 

MEF Prog. C 

5.70 5.70 5.70 

Figura 4.30 – Diagrama de momentos flectores para a viga V2 – Estrutura 2 pelo programa C.

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais

4.25

4.6.4. Comparação de Resultados

 Nos Quadros 4.9, 4.10 e 4.11 apresentam-se os resultados do cálculo da viga 2, através

do programa de elementos finitos.

É visível nos resultados apresentados no Quadro 4.9, a comparação de esforços entre o

 programa A e o programa de elementos MEF .

Estrutura 2 – Viga 2–1º Tramo Estrutura 2 – Viga 2–2º Tramo

Me Mv Md Ve Vd Me Mv Md Ve Vd

[kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN] [kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN]

Programa A  4.94 85.18 -106.18 61.75 -110.49 -108.93 28.88 -108.93 93.23 -93.23

MEF -38.10 52.62 -115.97 78.45 -108.03 -103.04 25.58 -103.04 91.59 -91.59

Quadro 4.9 – Esforços para a viga V2 através do cálculo no programa A. 

Os resultados desta viga, pelo programa A, são muito semelhantes aos da viga exterior.

É no entanto possível observar desvios próximos aos do MEF . Por um lado, o momento

flector no vão do 1º tramo é 61.8% superior ao do MEF e, por outro, no vão do 2º tramo

é 12.9% superior ao do MEF .

Relativamente ao esforço transverso, podemos observar uma variação relativamente ao

MEF de 21.3% no 1º tramo, e de 18% no 2º. É de referir que o máximo desvio no 1º

tramo é contra a segurança.

 No Quadro 4.10, continua-se a análise de esforços da viga V2, agora para o programa

B.

Estrutura 2 – Viga 2–1º Tramo Estrutura 2 – Viga 2–2º Tramo

Me Mv Md Ve Vd Me Mv Md Ve Vd

[kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN] [kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN]

Programa B -9.43 75.13 -111.60 74.23 -112.07 -108.90 94.05 -108.90 93.15 -93.15

MEF -38.10 52.62 -115.97 78.45 -108.03 -103.04 25.58 -103.04 91.59 -91.59

Quadro 4.10 – Esforços para a viga V2 através do cálculo no programa B. 

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Capítulo 4

4.26

O programa B não identifica a continuidade da laje, nem possui qualquer efeito

correctivo. Assim, os desvios relativamente ao MEF  serão menores que os da viga

exterior. A título de exemplo podemos observar desvios do momento flector no vão

relativamente ao MEF de 42.8% e de 267.7%, nos 1º e 2º tramos respectivamente.

Analisando o esforço transverso, podemos observar que este apresenta desvios

relativamente ao MEF de 5.7% no 1º tramo e de 1.7% no 2º.

Para terminar, podemos observar no Quadro 4.11 a comparação de resultados entre o

 programa C e o programa de elementos finitos MEF .

Estrutura 2 – Viga 1–1º Tramo Estrutura 2 – Viga 1–2º Tramo

Me Mv Md Ve Vd Me Mv Md Ve Vd

[kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN] [kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN]

Programa C 1.80 85.20 -113.67 62.27 -118.53 -97.60 30.27 -97.60 97.73 -97.73

MEF -38.10 52.62 -115.97 78.45 -108.03 -103.04 25.58 -103.04 91.59 -91.59

Quadro 4.11 – Esforços para a viga V2 através do cálculo no programa C. 

O programa C, tal como o programa A, identifica a partir da sua modelação a

continuidade entre painéis de lajes adjacentes. Assim, podemos a título de exemplo

apresentar os desvios dos momentos flectores no vão entre o programa C e o MEF . No

1º tramo o momento flector é 61.9% superior ao do MEF , no 2º tramo esse desvio é de

18.3%.

Para finalizar, podemos observar, relativamente ao esforço transverso, um desvio de

20.62% no 1º tramo, contra a segurança, e de 6.7% no 2º tramo.

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais

4.27

4.7. Desvios de esforços das vigas relativamente ao MEF

 No Quadro 4.12 são apresentadas as variações dos esforços anteriormente citados naanálise de uma viga da estrutura 1.

Estrutura 1 – Viga 1–1º Tramo

∆Me ∆Mv ∆Md ∆Ve ∆Vd

Programa A -64% 67% -64% 3% 3%

Programa B -114% 82% -114% 2% 2%

Programa C -100% 67% -100% 1% 1%

Quadro 4.12 – Esforços para a viga V1 

 Nos Quadros 4.13 e 4.14 são apresentadas as variações dos esforços representativos das

vigas da estrutura 2, respectivamente viga V1 e viga V2.

Estrutura 2 – Viga 1–1º Tramo Estrutura 2 – Viga 1–2º Tramo

∆Me ∆Mv ∆Md ∆Ve ∆Vd ∆Me ∆Mv ∆Md ∆Ve ∆Vd

Programa A -192% -250% -14% -6% 5% 22% 5% 22% 13% 13%

Programa B 5% -270% -4% 16% 14% 29% 331% 29% 27% 27%

Programa C 125% -253% -7% -4% 18% 26% 7% 26% 23% 23%

Quadro 4.13 – Esforços para a viga V1 

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Capítulo 4

4.28

 

Estrutura 2 – Viga 2–1º Tramo Estrutura 2 – Viga 2–2º Tramo

∆Me ∆Mv ∆Md ∆Ve ∆Vd ∆Me ∆Mv ∆Md ∆Ve ∆Vd

Programa A -113% 62% -8% -21% 2% 6% 13% 6% 2% 2%

Programa B -75% 43% -4% -5% 4% 6% 268% 6% 2% 2%

Programa C -105% 62% -2% -21% 10% -5% 18% -5% 7% 7%

Quadro 4.14 – Esforços para a viga V2 

100)

Me ×=∆

MEFM

MEFM-e(M  Variação do momento flector à esquerda relativamente ao momento flector 

 proveniente do MEF , para um dado tramo. 

100)v

Mv ×=∆

MEFM

MEFM-(M   Variação do momento flector no vão relativamente ao momento flector  proveniente do MEF , para um dado tramo. 

100)d

Md ×=∆

MEFM

MEFM-(M   Variação do momento flector à direita relativamente ao momento flector  proveniente do MEF , para um dado tramo. 

100)Ve

Ve ×=∆

MEFV

MEFV-(  Variação do esforço transverso à esquerda relativamente ao esforço

transverso proveniente do MEF , para um dado tramo. 

100)V

Vd ×=∆

MEFV

MEFV-d(  Variação do esforço transverso à direita relativamente ao esforço transverso

 proveniente do MEF , para um dado tramo. 

4.8. Conclusões

Este capítulo não pretende colocar em questão se o carregamento de uma viga qualquer 

em análise é triangular, rectangular ou trapezoidal, ou sequer pretende questionar 

qualquer um dos métodos em análise. Do ponto de vista do equilíbrio estático, todos os

 programas parecem possuir um desempenho adequado (ver capítulo 2).

  No entanto, perante os resultados obtidos, é importante constatar que o método de

distribuição de cargas uniformemente distribuídas através de áreas de influência,

genericamente utilizado, é um método simplificado e, por esse facto, sujeito a desvios

dos esforços reais/presentes na estrutura. Este método não considera a influência da

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 Análise Comparativa de Diagramas de Esforços de Estruturas Tridimensionais

4.29

rigidez das vigas, da continuidade entre panos de laje ou o grau de encastramento das

vigas.

Por outro lado, a análise de uma estrutura através das modelações barras/MEF -lajes e

 barras/grelha apresentam melhores resultados que o método de análise simplificado. No

entanto, o desvio dos resultados destas modelações relativamente ao MEF  

tridimensional com elementos tridimensionais não pode ser considerado insignificante

nos tramos extremos de uma estrutura.

Fica, de qualquer forma, apresentado um nível de variação de carregamento numa viga

em função da modelação adoptada, que deve estar presente na mente dos projectistas,

tanto na concepção estrutural, como no dimensionamento, uma vez que não é

independente do modelo de cálculo dos esforços.

Pode, de uma forma genérica, concluir-se que os programas analisados produzem

melhores resultados na análise de tramos interiores do que de tramos exteriores.

Eventualmente, seria justificável efectuar uma análise mais aprofundada sobre esta

 problemática. No entanto, tal não foi possível no âmbito desta tese por condicionantes

que o limite de tempo impõe.

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CAPÍTULO 5

Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas

“Os sismos revelam sistematicamente os erros cometidos no projecto e na construção - até

mesmo os erros mais irrelevantes; é este aspecto da engenharia sísmica que a transforma

num desafio fascinante, e lhe confere um valor educacional muito para além dos seus

objectivos imediatos.”

 Newmark e Rosenblueth (adaptado)1 

1 Fundamentals of earthquake engineering, Prentice-Hall Inc.Englewood Cliffs, N. J., 1971.

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Capítulo 5

5.2

Breve Introdução

A concepção de estruturas económicas e atractivas que suportem sucessivamente forças

induzidas por movimentos severos dos solos é um desafio que exige o empenho da

engenharia estrutural, da arquitectura e da sísmica.

A filosofia geralmente aceite para o dimensionamento de estruturas sob acções sísmicas

apenas permite a ocorrência de danos secundários na estrutura quando esta é sujeita à

acção de um sismo moderado. Este nível de danos na estrutura está intimamente

relacionado com a necessidade de operacionalidade da estrutura a curto prazo após a acção

de um sismo. Esta operacionalidade é especialmente relevante em estruturas cuja utilizaçãoseja crítica imediatamente após a ocorrência de um sismo, nomeadamente em hospitais,

  bombeiros, protecção civil, entre outros, bem como em estruturas onde os danos sejam

 particularmente gravosos como sejam centrais nucleares, refinarias, barragens ou aterros

sanitários. O colapso da estrutura deve ser prevenido perante os sismos de intensidade com

 probabilidade de ocorrência significativa quando a rotura ponha em risco vidas humanas.

Está implícito nesta filosofia de dimensionamento que considerações económicas levam a

que se permita um certo nível de risco bem como de dano estrutural em regiões sísmicasaltas. A questão será a de minimizar os custos totais (custos iniciais, custos de reparação

depois do sismo, perdas de vidas humanas, etc.), permitindo dano.

Admitindo-se a nível do projecto algum dano no decurso do sismo numa estrutura, é

  possível obter-se no final danos inferiores aos que ocorreriam se não se permitisse

degradação estrutural alguma. A existência de dano permite a absorção de energia

limitando os níveis de máximo movimento oscilatório na estrutura. Sendo assim, a

estrutura resistente deve ser projectada de modo a que possua capacidade de absorção de

energia suficiente para que ocorra apenas dano limitado para condições sísmicas severas.

Em termos de projecto e concepção estrutural, estes meios de dissipação de energia têm

como exigências a ductilidade, a regularidade da estrutura e um bom compromisso entre a

massa e a rigidez.

A ductilidade dos diversos elementos de betão armado submetidos a elevadas

concentrações de tensões permite grandes deformações sem rotura frágil.

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 Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas

5.3

A regularidade tanto, em planta como em altura, é tanto mais importante quanto maior for 

a intensidade sísmica da zona em que se pretende construir, uma vez que permite a

distribuição de esforços de uma forma equilibrada por toda a estrutura.

A relação entre a massa e a rigidez da estrutura é influenciada pela escolha do esquema

estrutural a adoptar, para melhor responder à solicitação das forças de massa.

A análise sísmica é assim um ponto fundamental no cálculo estrutural de hoje. A não

consideração da acção sísmica no dimensionamento de estruturas é algo de impensável.

A regulamentação europeia afecta à acção sísmica,  Eurocódigo 8 [EC893], aborda-a num

  prisma mais abrangente que a regulamentação portuguesa. Podem destacar-se duas

vertentes da regulamentação existente de grande importância para os programas de cálculo

automático. Ao contrário do que acontece na regulamentação portuguesa o   Eurocódigo 8 

define:

- as modelações permitidas para uma dada estrutura em função da regularidade

desta. Assim a opção por uma modelação simplificada ou modal não pode ser 

feita através de critérios subjectivos inerentes ao projectista;

- disposições construtivas de armaduras definidas em regulamentação.

É, assim, necessário analisar os algoritmos que cada programa utiliza no cálculo de

esforços sob o efeito de acções sísmicas.

O recurso aos programas de cálculo automático necessita, por parte dos utilizadores, de

conhecimentos acerca do seu funcionamento, bem como dos métodos subjacentes à sua

 programação.

É importante referir que uma análise sísmica consciente de um dado projecto começa antes

do cálculo automático e não termina após esse mesmo cálculo. A concepção estrutural

assume particular relevância na fase anterior ao cálculo, com o recurso a análises

simplificadas. O processo só se concluí quando o projecto possui todos os detalhes

construtivos de ductilidade necessários ao funcionamento elasto-plástico previsto no

cálculo da estrutura, nomeadamente na adopção do coeficiente de comportamento. Sendo

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Capítulo 5

5.4

assim, o cálculo automático representa apenas um terço da análise sísmica de uma

estrutura.

5.1. Validação preliminar da rigidez adoptada

Uma vez que os manuais dos programas não são totalmente explícitos sobre a metodologia

utilizada no cálculo sísmico, decidiu-se efectuar uma análise prévia do tipo de modelação

incluída pelos programas nos seus algoritmos. Analisando cada programa será possível por 

um lado validar alguns dos pressupostos inerentes ao cálculo sísmico e por outro tentar 

corrigir qualquer situação que difira de programa para programa. Nesta secção pretende-severificar qual a rigidez e a massa adoptada pelos vários programas para o cálculo sísmico.

5.1.1. Análise do programa A

Uma vez que o programa A não refere o módulo de elasticidade do betão utilizado, nem o

 permite alterar directamente, foi efectuado um teste simples para a sua aferição.

Optou-se por introduzir no programa A uma estrutura simples, constituída por dois pilares

e uma viga (Figura 5.1). Cada pilar é solicitado por uma carga vertical concentrada de

500KN . Os pilares possuem uma secção transversal [0.30x0.60], (Figura 5.1.a e Figura

5.1.b).

3.4 

0.6 

0.6  5.0  0.6 

P2 

V1 [0.30 X 0.60] 

[0.30 X 0.60]  [0.30 X 0.60] 

P1 

500 kN 500 kN 

5.0 

[0.30 X 2.00] 

10.0 

0.6 [0.30 X 0.60] 

P1 

500 kN 

2.0 

V1 

[0.30 X 0.60] 

P2 

0.6 

500 kN 

a   b 

Figura 5.1 – Estrutura utilizada para aferir o módulo de elasticidade do programa A.

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 Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas

5.5

Pelo princípio de Saint-Venant:

 L

 L

 E  ×=∆

σ  (5.1)

sendo σ a tensão normal,  L o comprimento da barra, ∆ L a variação do comprimento da

 barra e E o módulo de elasticidade.

Uma vez calculadas as duas estruturas apresentadas na Figura 5.1, foram analisados os

deslocamentos verticais dos topos dos pilares. Os resultados obtidos levaram a que se

concluísse que o nó viga/pilar  (Figura 5.2) é considerado como axialmente indeformável.

Assim sendo, só a barra pilar é deformável.

0.6

Viga

Pilar 

500 kN

∆l

500 kN

Comprimentoinicial

 Nó Viga-Pilar (Indeformável) 

Figura 5.2 – Tipo de modelação de barra –  pilar utilizada pelo programa A.

Constata-se assim que o programa A adopta os módulos de elasticidade indicados pelo

REBAP [REBAP86] para cada tipo de betão.

Para aferir a resposta sísmica de uma estrutura, considera-se um pórtico com dois pilares e

uma viga (

Figura 5.4). Pela teoria clássica da análise sísmica seria de esperar que este pórtico se

comportasse, no seu plano, como um oscilador de um grau de liberdade. Assim é possível

conhecer qual a rigidez associada ao cálculo da frequência de vibração.

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Capítulo 5

5.6

5.1.1.1. Cálculo da massa e da frequência utilizando o programa A

Através da análise dos resultados obtidos a partir do programa de cálculo automático

obtém-se um valor para o período de vibração T  igual a 0.991830s. Introduzindo as

relações habituais, a frequência resulta:

T  f 

1= =1.0082Hz  (5.2)

A massa da estrutura é igual a 105.61 Ton como se apresenta na Figura 5.3.

P2

V1

P1

500kN  500kN 

P1

522.09

513.93

Massa =

[ ]105.61Ton.=9.81×2

522.09+513.93

×2  

522.09

P2

513.93 N (kN)   N (kN) 

Figura 5.3 – Cálculo da massa da estrutura.

5.1.1.2. Cálculo da rigidez

O pórtico da figura foi solicitado a uma carga de 500kN  com o propósito de aferir o

deslocamento ∆l que aquele sofreria para as várias hipóteses de cálculo no programa A.

3.4

0.6

0.3  6.0 0.3

P2

V1

[0.30 X 0.60]

[0.30 X 0.30] [0.30 X 0.30]

P1

500 kN

∆l

Figura 5.4 – Estrutura utilizada pelo programa A para aferir a rigidez e a frequência de um oscilador deum grau de liberdade. 

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 Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas

5.7

Os deslocamentos ∆l são apresentados no Quadro 5.1 para as várias hipóteses de cálculo

que o programa A permite efectuar e que se julgaram pertinentes apresentar:

 – coeficiente de rigidez axial dos pilares β;

 – coeficiente minorativo da rigidez de flexão dos pilares na última planta α;

 – redistribuição de momentos flectores nas vigas e nas lajes.

∆l

(1)

Programa por defeito

Coeficiente de redução de rigidez à flexão dos pilares na última planta α = 0.3Coeficiente de rigidez axial nos pilares β   = 2.0

0.11797 m

(2) Coeficiente de redução de rigidez à flexão dos pilares na última planta α = 1.0Coeficiente de rigidez axial nos pilares β = 1.0

0.061403 m

(3) Coeficiente de redução de rigidez à flexão dos pilares na última planta α = 0.3Coeficiente de rigidez axial nos pilares β = 1.0

0.11802 m

(4) Coeficiente de redução de rigidez à flexão dos pilares na última planta α = 1.0Coeficiente de rigidez axial nos pilares β = 2.0 0.061317 m

(5)

Programa por defeito considerando redistribuições de esforços

Coeficiente de redistribuição de momentos nas vigas = 0.15Coeficiente de redistribuição de momentos nas lajes = 0.25

0.11797 m

Quadro 5.1 – Deslocamentos horizontais máximos da estrutura para as várias hipóteses de cálculo propostas

 pelo programa A.

Depreende-se do Quadro 5.1 que o programa A apresenta o mesmo deslocamento para assituações (1) e (5), o que permite concluir que o programa não usa a redistribuição de

esforços no cálculo de deslocamentos. Sendo assim, o programa calcula os deslocamentos

nodais, os esforços nodais e, utilizar no dimensionamento, o que representa o

 procedimento habitual.

É importante salientar que a consideração de um coeficiente α=0.30, apesar de poder ser 

útil do ponto de vista construtivo, conduzindo, em geral, a menos armadura e secções

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Capítulo 5

5.8

menores tanto na viga como no pilar do último piso, se trata de uma redistribuição não

regulamentar.

Podemos observar que, entre o deslocamento correspondente à hipótese 3 (o maior deslocamento) e o deslocamento correspondente à hipótese 4 (menor deslocamento), existe

uma variação de 48%. Entre a hipótese 1 (hipótese por defeito) e a hipótese 2 (cálculo

elástico sem coeficientes) existe uma variação semelhante à anterior (48%).

Considerando os resultados apresentados no Quadro 5.1 é possível calcular a rigidez

utilizada por defeito pelo programa. Assim, através da equação (5.3), e considerando ∆l  

igual 0.11797m, obtém-se:

 /m4238.366kN =0.11797 

500=

 ∆l 

 F =k    (5.3)

Conhecendo o valor da massa e da rigidez é possível calcular a frequência de vibração da

estrutura.

5.1.1.3. Cálculo da frequência

Utilizando a equação (5.4), obtém-se um valor para a frequência de vibração dado por:

105.61

4238.366 =

k ×

2π 

1= f  =1.0082Hz   (5.4)

A frequência calculada em (5.2) é igual à calculada em (5.5). Daqui se observa que a

rigidez utilizada pelo programa A, para calcular a frequência própria da estrutura, é a

rigidez global do pórtico.

Importa referir que o uso do coeficiente majorador da rigidez axial dos pilares utilizado por 

este programa, com o objectivo de minorar os efeitos do faseamento da construção, tem

interferência no cálculo da acção sísmica, com excessiva rigidez dos pilares na avaliação

da matriz de rigidez.

Outro aspecto pertinente consiste na substancial influência que o coeficiente de rigidez dos

  pilares do último piso tem sobre a rigidez do edifício utilizada no cálculo sísmico. Este

efeito tem também implicações na torção de edifícios não regulares em altura, com a

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 Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas

5.9

diminuição da rigidez e variação da localização do centro de rigidez, como se pode

verificar na Figura 5.5.

Pórticos com arigidez usual àflexão 

Pilares com arigidez à flexãodiminuída. 

Pórticos com a

rigidez diminuída 

Figura 5.5 – Influência da rigidez à torção da estrutura mediante a utilização de um coeficiente de rigidezà flexão no pilar da última planta α = 0.30.

Decidiu-se efectuar ainda uma verificação da influência da rigidez da laje na matriz de

rigidez da estrutura. Para tal foram modeladas duas estruturas (Figura 5.6), uma em que se

considerou a existência da laje, e outra em que a laje não foi considerada, ambas calculadas

 pelo programa em questão.

MassaSa

 Figura 5.6 – Perspectiva do modelo utilizado.

A massa da estrutura sem laje foi corrigida de modo a perfazer uma massa semelhante à da

estrutura com laje. Admitiu-se que a carga é transmitida da laje para as vigas, o que não

exerce qualquer influência nos modos de translação.

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Capítulo 5

5.10

 No Quadro 5.2 é visível a pequena influência que a inclusão ou não da laje na modelação

da estrutura exerce na frequência de vibração.

F [Hz] Massa [Ton]

Estrutura com laje 4.10 24.65Estrutura sem laje 4.08 24.73

Quadro 5.2 – Frequências de vibração e massa da estrutura com e sem laje

Procedeu-se à verificação destes resultados calculando as duas estruturas submetidas a

duas forças de 500 kN aplicadas na intercepção das vigas com os pilares (Figura 5.7).

500 kN

500 kN

a

500 kN

500 kN

 b

Figura 5.7 – Estrutura utilizada no teste da rigidez da estrutura sem laje [a], e com laje [b].

 No Quadro 5.3 representam-se os deslocamentos que a estrutura sofre, modelando ou não a

laje, para as várias hipóteses de cálculo permitidas pelo programa.

∆lEstrutura sem

Laje

∆lEstrutura com

Laje

(1)

Programa por defeito

Coeficiente de rigidez axial nos pilares β = 2.0Coeficiente de redução de rigidez dos pilares na última planta α = 0.3

0.11797 m 0.11760 m

(2) Coeficiente de redução de rigidez dos pilares na última planta α =1.0Coeficiente de rigidez axial nos pilares β =1.0

0.061403 m 0.060616 m

(3) Coeficiente de rigidez axial nos pilares β =1.0Coeficiente de redução de rigidez dos pilares na última planta α =0.3

0.11802 m 0.11765 m

(4) Coeficiente de redução de rigidez dos pilares na última planta α =0.3Coeficiente de rigidez axial nos pilares β =1.0

0.061317 m 0.060529 m

Quadro 5.3 – Deslocamentos máximos da estrutura para as várias hipóteses do programa A para a estrutura

com e sem laje.

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 Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas

5.11

Através dos resultados expressos no Quadro 5.3 é possível observar a pequena influência

que a presença da laje exerce na flexibilidade da estrutura e, consequentemente, na rigidez

da mesma, o que acentua as conclusões apresentadas para as frequências de vibração.

5.1.2. Análise do programa B

Tal como para o programa A, foi efectuado um teste ao módulo de elasticidade  E  utilizado

 pelo programa na definição das características das secções das barras. Para tal foi utilizada

a mesma estrutura referida aquando da análise do programa A. A estrutura é constituída 

 por dois pilares e uma viga, como se pode observar na Figura 5.8. Tal como no programa

A, em cada pilar foi colocada uma carga vertical de 500kN . Os pilares e a viga possuem

uma secção transversal de [0.300.60].

3.4 

0.6 

0.6  5.0  0.6 

P2 

V1 [0.30 X 0.60] 

[0.30 X 0.60]  [0.30 X 0.60] 

P1 

500 kN 500 kN 

Figura 5.8 – Estrutura utilizada para aferir o módulo de elasticidade do programa B.

Dos resultados assim obtidos foi possível verificar que o programa B, recorrendo ao

cálculo elástico, assume o módulo de elasticidade introduzido pelo utilizador na definição

das secções. Por outro lado, foi possível constatar que, contrariamente ao que acontece

com o programa A, o nó (intercepção viga pilar) é deformável, como se pode observar na

Figura 5.9.

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Capítulo 5

5.12

0.6

Viga

Pilar 

500 kN

∆l

500 kN

Comprimentoinicial

 Nó Viga-Pilar (Deformável) 

Figura 5.9 – Tipo de modelação de barra- pilar utilizada pelo programa B.

Tal como no programa A, foi calculado um pórtico com dois pilares e uma viga, (Figura

5.10). Esse pórtico comporta-se como um oscilador de um grau de liberdade, sendo

 possível conhecer a rigidez associada ao cálculo da frequência de vibração de translação.

Este pórtico foi solicitado a uma carga horizontal de 500kN , com o propósito de aferir o

deslocamento ∆l que este sofreria quando calculado pelo programa B.

Para proceder a uma análise do tipo de cálculo efectuado por este programa, foi adoptada

uma metodologia semelhante à utilizada no programa A. Assim sendo, foram calculadas as

frequências de vibração da estrutura apresentada na Figura 5.10.

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 Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas

5.13

3.4

0.6

0.3  6.0 0.3

P2

V1

[0.30 X 0.60]

[0.30 X 0.30] [0.30 X 0.30]

P1

500 kN

∆l

Figura 5.10 – Estrutura utilizada pelo programa B para aferir a rigidez e a frequência de um oscilador de

um grau de liberdade.

Os deslocamentos ∆l são apresentados no Quadro 5.4. para as várias hipótese de cálculo

que o programa B permite efectuar:

∆l

(1)Programa por defeitoCoeficiente redistribuição de momentos nos tramos extremos 0.90Coeficiente redistribuição de momentos nos tramos internos 0.90

0.0596 m

(2) Coeficiente redistribuição de momentos nos tramos extremos 1.00Coeficiente redistribuição de momentos nos tramos internos 1.00 0.0596 m

Quadro 5.4   – Deslocamentos máximos da estrutura para as várias hipóteses de cálculo propostas pelo

 programa B.

Considerando os resultados apresentados no Quadro 5.4 verificar-se que o programa B apresenta iguais deslocamentos para o pórtico com e sem redistribuição de momentos.

Assim, e tal como acontece no programa A, o programa só utiliza a redistribuição de

momentos para o cálculo das armaduras.

É de referir que este programa possibilita a alteração da massa da estrutura, tanto em valor 

numérico como na sua localização, permitindo também a alteração do ponto de aplicação

da aceleração sísmica, facto que, apesar da aparente simplicidade e pequeno automatismo,

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Capítulo 5

5.14

 permite, através de utilizações cuidadas, um bom controlo sobre a análise sísmica de uma

estrutura.

a  b

Figura 5.11 – Estrutura utilizada para calcular a matriz de rigidez utilizada pelo programa B. A figura (a)representa a estrutura reticulada tridimensional, e a figura (b) representa a estrutura

reticulada modelada.

É possível validar a rigidez utilizada pelo programa B no cálculo da frequência de vibração

utilizando o processo que a seguir se descreve:

 – cálculo da frequência e da massa utilizando o programa de cálculo em análise;

 – cálculo analítico da frequência da estrutura utilizando a expressão da frequência

 própria de um oscilador de um grau de liberdade.

5.1.2.1. Cálculo da massa e da frequência utilizando o programa B

Calculando a estrutura através o programa B, foram analisadas as frequências de vibração

de translação e a massa da estrutura. Assim, a frequência assume o valor  f=3.8013Hz , e a

massa da estrutura .12.23 TonM  =  

Através da equação (5.5), que relaciona a massa com a frequência e a rigidez de umoscilador de um grau de liberdade, pode calcular-se a frequência de vibração de translação

da estrutura em análise:

 K  f 

π2

1=   (5.5)

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 Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas

5.15

5.1.2.2. Cálculo da rigidez

A rigidez da estrutura foi calculada através do carregamento horizontal de cada pórtico daestrutura, como é possível observar na Figura 5.12. Daí foi possível obter o deslocamento

que a estrutura sofre quando submetida a um carregamento de 500kN em dois nós distintos.

P2

V1

P1

500 kN 

∆l F

  P2

V1

P1

500 kN 

F

P4

V2

P3

500 kN 

F

Figura 5.12 – Medição da rigidez da estrutura em análise no programa B pelo método inverso.

Para esta solicitação obtém-se um deslocamento horizontal do topo dos pilares ∆l=0.419m.

A partir deste valor é possível calcular a rigidez horizontal do pórtico (5.6):

 /m12422.82kN =0.419

1000=

 ∆

 N = K    (5.6)

5.1.2.3. Cálculo da frequência

A frequência de vibração de translação da estrutura, obtida pela equação para um oscilador 

de um grau de liberdade resulta em:

8198226

8212422

2

1.

.

. f  ×=

π=3.6893Hz   (5.7)

Comprova-se deste modo que:

a) O programa utiliza a rigidez da estrutura reticulada na análise dinâmica.

  b) O módulo de elasticidade considerado no cálculo sísmico é o módulo de

elasticidade introduzido nas secções das barras.

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Capítulo 5

5.16

5.1.3. Análise do programa C

Tal como para os programas A e B, foi efectuado um teste de modo a conhecer o módulo

de elasticidade E  utilizado pelo programa na definição das características das secções das barras. Para tal foi utilizada a mesma estrutura referida para o programa B. A estrutura é

constituída por dois pilares e uma viga, como se pode observar na Figura 5.13. Em cada

  pilar foi colocada uma carga vertical de 500kN . Os pilares e a viga possuem secção

transversal de [0.300.60].

3.4 

0.6 

0.6  5.0  0.6 

P2 

V1 [0.30 X 0.60] 

[0.30 X 0.60]  [0.30 X 0.60] 

P1 

500 kN 500 kN 

Figura 5.13 – Estrutura utilizada para aferir o módulo de elasticidade utilizado pelo programa C.

Conhecendo os deslocamentos do topo dos pilares, utilizando a equação (5.1), conclui-seque o programa C assume, no cálculo elástico, o módulo de elasticidade introduzido pelo

utilizador na definição das secções. Por outro lado, foi possível constatar que,

contrariamente ao que acontece com o programa A, o nó (intercepção viga pilar) é

deformável, como se pode observar na Figura 5.14, situação comum ao programa B.

Um aspecto negativo deste programa consiste no facto de apenas assumir uma alteração no

módulo de elasticidade quando são introduzidas novas secções. Este aspecto é

extremamente enganador para o utilizador. Com efeito, o utilizador é levado a pensar que

ao alterar o módulo de elasticidade, este é actualizado para todos os elementos já

introduzidos, o que não se verifica.

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 Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas

5.17

0.6

Viga

Pilar 

500 kN

∆l

500 kN

Comprimentoinicial

 Nó Viga-Pilar 

(Deformável) 

Figura 5.14 – Tipo de modelação de barra- pilar utilizada pelo programa B.

Tal como no programa A,  foi calculado um pórtico com dois pilares e uma viga (Figura

5.15). Esse pórtico comporta-se como um oscilador de um grau de liberdade, sendo

 possível conhecer a rigidez associada ao cálculo da frequência de vibração de translação.

Àquele pórtico foi aplicada uma carga horizontal de 500kN com o propósito de calcular o

deslocamento ∆l que sofreria quando calculado pelo programa C.

3.4

0.6

0.3  6.0 0.3

P2

V1

[0.30 X 0.60]

[0.30 X 0.30] [0.30 X 0.30]

P1

500 kN

∆l

Figura 5.15 – Estrutura utilizada pelo programa C para aferir a rigidez e a frequência de um oscilador de

um grau de liberdade.

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Capítulo 5

5.18

 No Quadro 5.5 são apresentados os valores obtidos para os deslocamentos ∆l utilizando as

várias alternativas para o cálculo que este programa permite.

∆l

(1)Programa por defeito

Coeficiente de rigidez axial dos pilares 1.000.05971m

(2) Coeficiente de rigidez axial dos pilares 10.00 0.05961 m

Quadro 5.5   – Deslocamentos máximos da estrutura para as várias hipóteses de cálculo permitidas pelo programa C.

Para proceder a uma análise do tipo de cálculo efectuado pelo programa C, foi adoptada

uma metodologia semelhante à utilizada nos programas A e B.

5.1.3.1. Cálculo da massa e da frequência utilizando o programa C

Assim sendo, foram calculadas as frequências de vibração da estrutura apresentada na

Figura 5.16.

a  b

Figura 5.16 – Estrutura utilizada para calcular a matriz de rigidez utilizada pelo programa C. A figura (a)representa a estrutura reticulada tridimensional, e a figura (b) representa a estruturareticulada modelada.

Os valores da frequência fundamental de translação são, para o programa C e considerando

ou não a existência de laje, dados por:

F [Hz] Massa [Ton]

Estrutura com laje 1.517 203.87

Estrutura sem laje 1.518 203.87

Quadro 5.6 – Frequências de vibração e massa da estrutura com e sem laje

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 Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas

5.19

5.1.3.2. Cálculo da rigidez

A partir dos deslocamentos horizontais do pórtico é possível calcular a sua matriz derigidez de translação.

Com base na rigidez e na massa, calcular-se analiticamente a frequência de vibração de um

oscilador de um grau de liberdade equivalente. Essa frequência é dada por:

 K  f 

π2

1=   (5.8)

 No Quadro 5.7 são apresentadas as frequências próprias da estrutura, calculadas por este

método:

K [kN/m] F [Hz] Massa [Ton]

Estrutura com laje 8608.8 1.0342 203.87

Estrutura sem laje 9265.8 1.0730 203.87

Quadro 5.7 – Frequências de vibração calculadas analiticamente

Pode verificar-se que a frequência assim calculada é bastante inferior à frequência

calculada automaticamente pelo programa C. Como a massa da estrutura é a mesma

considera-se que a diferença apenas é justificável por uma possível discrepância na rigidez

da estrutura. Este resultado apenas pode ser justificado pela utilização, por parte do

  programa, de um algoritmo simplificado para o cálculo da rigidez da estrutura. Em

  particular, considerou-se relevante analisar se o programa utilizaria para a rigidez a

expressão dada para pilares bi-encastrados.

Considerando então os pilares como bi-encastrados, obtém-se para a rigidez da estrutura:

m / kN . L EI  K  879274124 3 =×=   (5.9)

donde:

1.073Hz M 

 K  f  ==

π2

1   (5.10)

Daqui se verifica que, aparentemente, é esta a simplificação que este programa considera.

 No entanto, isto não é de todo evidente da leitura dos manuais fornecidos com o programa,

situação com a qual o autor discorda.

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Capítulo 5

5.20

5.2. Comparação de resultados de uma análise sísmica de três

estruturas.

Após a verificação preliminar da rigidez e da massa utilizadas pelos programas em estudo,

optou-se por proceder ao estudo comparativo do comportamento de três estruturas quando

submetidas a acções sísmicas. As grandezas comparadas resumiram-se às frequências

  próprias de vibração sem amortecimento e ao corte basal. Para tal, as estruturas foram

calculadas nos programas comerciais em estudo.

Foi considerado pertinente proceder à comparação dos resultados assim obtidos com

valores de referência. Com esse objectivo consideraram-se dois métodos de utilizaçãocorrente: o método de Rayleigh e o método dos 3 graus de liberdade por piso (3G.L./Piso).

Por outro lado, foram comparados os resultados ao nível das frequências e modos de

vibração com os obtidos por um programa comercial de elementos finitos doravante

denominado MEF. A modelação das estruturas neste programa foi feita recorrendo a

elementos tridimensionais (brick’s).

O programa MEF tem sido utilizado com sucesso em várias instituições de investigação eensino em todo o Mundo, logo, os resultados obtidos a partir dele são considerados pelo

autor como correctos.

Foram analisadas três estruturas simples, simétricas e sem irregularidades, uma vez que o

 principal objectivo deste trabalho consiste em aferir a exactidão dos algoritmos utilizados

 por cada um dos programas de cálculo automático em estudo.

5.2.1. Definição dos modelos a utilizar

Tendo em mente que se considera importante a continuidade deste trabalho com outros

  programas de cálculo automático, ou novas versões dos programas aqui utilizados, os

dados referentes às estruturas analisadas serão apresentados de uma forma exaustiva.

Pretende-se assim que seja possível utilizar os mesmos exemplos de forma simples e

objectiva.

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 Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas

5.21

O material estrutural considerado para as três estruturas foi o betão  B25 [ E=29GPa;

ν=0.20].

Todos os pilares foram considerados como encastrados na base.

O cálculo das forças sísmicas a aplicar às estruturas obedece aos seguintes parâmetros:

  – Coeficiente de comportamentoα=2.5;

 – Zona sísmica A;

 – Terreno Tipo I;

  – Coeficiente de amortecimento ξ=0.05.

Estes parâmetros correspondem a estruturas em pórtico, de ductilidade normal [REBAP86]

localizadas em zonas de Portugal, onde a acção sísmica é mais significativa.

Estrutura 1

A estrutura 1 é uma estrutura constituída por uma laje maciça de 0.20m de espessura, vigas

com 0.300.60m2 e pilares com a dimensão 0.300.30m2. A planta estrutural, assim

como uma perspectiva da estrutura podem ser observadas na Figura 5.17.

6.0 

P3 

P1 

6.0 

PISO 1 [4.00m] 

P2 

LM 

P4 

Figura 5.17 – Planta estrutural e perspectiva da estrutura 1.

 No Quadro 5.8 são descritas as acções verticais adoptadas no cálculo da estrutura 1.

RevestimentosKN/m2 

QKN/m2

Paredes Ext.KN/m

Piso 1 1.00 0.00 0.00

Quadro 5.8 – Acções verticais da estrutura 1.

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Capítulo 5

5.22

Estrutura 2 

A estrutura 2 é uma estrutura constituída por lajes maciças de 0.20m de espessura, vigas

com 0.300.60m2 e pilares com a dimensão 0.300.30m2. A planta estrutural e a perspectiva encontram-se representadas na Figura 5.18.

6.0 

P5 

P1 

6.0 

P2 

LM 

P6 

P3 

LM 

P7 

P4 

LM 

P8 

6.0 5.4 

PISO 1 [4.00m] 

P9 

LM 

P10 

LM 

P11 

LM 

P12 

P13 

LM 

P14 

LM 

P15 

LM 

P16 

6.0 

5.4 

Figura 5.18 – Planta estrutural e perspectiva da estrutura 2.

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 Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas

5.23

 No Quadro 5.9 são apresentadas as acções verticais adoptadas no cálculo da estrutura 2.

RevestimentosKN/m2 

QKN/m2

Paredes Ext.KN/m

Piso 1 1.00 0.00 0.00

Quadro 5.9 – Acções verticais da estrutura 2.

Estrutura 3 

A estrutura 3 é constituída por lajes maciças com 0.20m de espessura, vigas com

0.300.60m2 e pilares com 0.300.30m

2. A planta estrutural e a perspectiva podem ser 

observadas na Figura 5.19.

6.0 

P3 

P1 

6.0 

PISOS 1, 2, 3 e 4

P2 

LM 

P4 

[4.00; 8.00; 12,00 e 16.00m] 

Figura 5.19 – Planta estrutural e perspectiva da estrutura 3.

 No Figura 5.10 encontram-se representadas as acções verticais adoptadas no cálculo da

estrutura 3.

RevestimentosKN/m2 

QKN/m2

Paredes Ext.KN/m

Pisos 1, 2, 3 1.50 2.00 (Ψ2=0.20) 10.00

Piso 4 1.50 2.00 (Ψ2=0.00) 0.00

Quadro 5.10 – Acções verticais da estrutura 3.

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Capítulo 5

5.24

5.2.2. Definição do tipo de modelação a usar pelos elementos finitos (M.E.F.)

 Na medida em que se pretende obter um resultado que possa ser utilizado como objecto de

comparação entre os resultados provenientes dos vários programas, foi adoptado o cálculodas estruturas em elementos finitos. Para esse efeito, recorreu-se à análise dinâmica do

 programa de elementos finitos DIANA, desenvolvido no TNO Building and Construction

Research Division of Engineering Mechanics and Information Technology, Delft,

  Netherlands. As estruturas foram modeladas com recurso a elementos tridimensionais,

“bricks” de 20 nós denominados CHX60, como se pode observar na Figura 5.20. De igual

forma, a discretização das malhas é apresentada nas Figuras 5.21 a 5.23.

1 2 

3  4 

η 

6  5 

11 

17 

13 

20 19  18 

16 15 14 

10 

12 

ζ 

ξ

 Figura 5.20 – Elemento tridimensional de 20 nós do programa DIANA denominado CHX60. 

Figura 5.21 – Discretização da estrutura 1. 

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 Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas

5.25

Figura 5.22 – Discretização da estrutura 2.

Figura 5.23 – Discretização da estrutura 3.

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Capítulo 5

5.26

5.3. Comparação das frequências de vibração

5.3.1. Estrutura 1

Uma vez que a matriz de rigidez da estrutura, modelada no programa A, apresenta

variações em função do coeficiente de encastramento dos pilares no último piso α, e em

função do coeficiente de rigidez axial dos pilares β  , são apresentadas as frequências para as

várias combinações no Quadro 5.11. É possível observar uma variação de 27% entre o

 programa por defeito e o programa com cálculo puramente elástico.

Prog. A

[1]Hz

Prog. A

[2]Hz

Prog. A

[3]Hz

Prog. A

[4]Hz

1 3.021 4.196 3.021 4.199

2 3.021 4.196 3.021 4.199

3 4.472 6.197 4.472 6.197

[1] Coef. de enc. pilares = 0.30Coef. de rigidez axial dos pilares = 2.00

[2] Coef. de enc. pilares = 1.00Coef. de rigidez axial dos pilares = 1.00

[3] Coef. de enc. pilares = 0.30Coef. de rigidez axial dos pilares = 1.00

[4] Coef. de enc. pilares = 1.00Coef. de rigidez axial dos pilares = 2.00

Quadro 5.11 – Comparação das frequências de vibração para o programa A, estrutura 1.

  No Quadro 5.12 estão representadas as frequências de vibração da estrutura, quer 

modelada nos vários programas em estudo, quer através do programa de elementos finitos

 –  MEF , quer através do cálculo orgânico. Os resultados do cálculo das estruturas em

questão constam no anexo II deste trabalho.

A modelação adoptada para os programas comerciais foi a modelação por defeito. Para o

MEF foram utilizadas três modelações, estrutura totalmente modelada com elementos 3D 

(MEF 3D), estrutura reticulada modelada em elementos 3D e a laje modelada em

elementos de laje (MEF Laje) e ainda a estrutura reticulada sem laje modelada com

elementos 3D (MEF Barras).

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 Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas

5.27

Prog.AHz

Prog.BHz

Prog.CHz

Prog.MEF3DHz

Prog.MEFLajeHz

Prog.MEF

BarrasHz

3GLEnc.Hz

3GLAp.

DuploHz

3GLBarras

HzRayleigh

1 3.02 3.76 3.93 4.13 4.10 4.10 3.94 1.97 3.77 3.772 3.02 3.76 3.93 4.13 4.10 4.10 3.94 1.97 3.77 3.77

3 4.45 6.51 5.65 6.26 6.23 6.23 6.82 3.41 6.52 – 

Quadro 5.12- Comparação das frequências de vibração.

Através da análise das frequências, pode constatar-se sobretudo duas situações

fundamentais: as frequências provenientes dos elementos finitos não apresentam variações

significativas e o resultado que melhor aproxima os resultados do MEF é o proveniente do

 programa C. Uma vez que o programa C considera a matriz de rigidez de barrasencastradas nos pisos, as suas frequências de translação são iguais às obtidas pelo método

3GL/Piso.

O programa A, por defeito, afasta-se bastante dos resultados do MEF . No entanto o cálculo

sem o uso do coeficiente – α – apresenta uma boa aproximação.

O programa B apresenta frequências iguais às da análise 3GL/Piso para a estrutura

reticulada.

Importa referir que existe uma variação de quase 50% entre o método 3GL para a estrutura

com apoios duplos e o método 3GL para a estrutura com os pilares encastrados no piso.

5.3.2. Estrutura 2

Uma vez que a matriz de rigidez da estrutura modelada no programa A apresenta variações

em função do coeficiente de encastramento dos pilares no último piso – α – e do coeficiente

de rigidez axial dos pilares β , são apresentadas as frequências para as várias hipóteses de

cálculo no Quadro 5.13. É possível observar uma variação de 29% entre o programa por 

defeito e o programa com cálculo puramente elástico.

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Capítulo 5

5.28

Prog. A[1]Hz

Prog. A[2]Hz

Prog. A[3]Hz

Prog. A[4]Hz

1 2.192 3.075 2.1938 3.077

2 2.192 3.075 2.1938 3.077

3 2.705 3.788 2.7044 3.789

[1] Coef. de enc. pilares = 0.30Coef. de rigidez axial dos pilares = 2.00

[2] Coef. de enc. pilares = 1.00Coef. de rigidez axial dos pilares = 1.00

[3] Coef. de enc. pilares = 0.30Coef. de rigidez axial dos pilares = 1.00

[4] Coef. de enc. pilares = 1.00Coef. de rigidez axial dos pilares = 2.00

Quadro 5.13- Comparação das frequências de vibração para o programa A, estrutura 2.

 No Quadro 5.14 estão representadas as frequências de vibração da estrutura modelada nos

vários programas, incluindo através do MEF e através do cálculo orgânico (os resultados

encontram-se no Anexo II). A modelação adoptada para os programas comerciais foi a

modelação por defeito.

Prog.A

Prog.B

Prog.C

Prog.MEF3D

3GLEnc.

3GLAp.

Duplo

3GLBarras

Rayleigh

Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz

1 2.19 2.74 2.85 2.81 2.84 1.42 2.74 2.74

2 2.19 2.74 2.85 2.81 2.84 1.42 2.74 2.74

3 2.71 3.54 3.19 3.47 3.67 1.84 3.54 – 

Quadro 5.14- Frequências de vibração para a estrutura 3 considerando a rigidez da estrutura reticulada sem

lajes.

A análise dos resultados obtidos para a estrutura 2 leva a conclusões semelhantes às

obtidas para a estrutura 1.

5.3.3. Estrutura 3

Uma vez que a estrutura possui 4 pisos, a diminuição de rigidez da estrutura não é tão

significativa como nos casos anteriores, pela presença do coeficiente de encastramento dos

 pilares no último piso – α – e do coeficiente de rigidez axial dos pilares – β –, como se pode

ver no Quadro 5.15.

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 Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas

5.29

   M  o   d  o   d  e

  v   i   b  r  a  ç   ã  o Prog. A

[1]Hz

Prog. A[2]Hz

Prog. A[3]Hz

Prog. A[4]Hz

Prog.AHz

Prog.BHz

Prog.CHz

Prog.MEF3DHz

3GLEnc.Hz

3GLBarras

HzRayleigh

1 1.067 1.070 1.079 1.058 1.067 0.907 1.030 1.037 1.04 0.91 0.912 1.067 1.070 1.079 1.058 1.067 0.907 1.030 1.037 1.04 0.91

3 1.500 1.513 1.513 1.500 1.500 1.572 1.410 1.503 1.80 1.57

4 2.852 3.152 3.179 2.836 2.852 2.642 2.901 3.014 2.93 2.65

5 2.852 3.152 3.174 2.836 2.852 2.642 2.902 3.014 2.93 2.65

6 4.061 4.450 4.450 4.061 4.061 4.074 3.970 4.387 4.29 4.07 – 

7 4.307 4.984 4.994 4.305 4.307 4.074 4.262 4.689 4.29 4.07

8 4.307 6.961 6.961 5.972 4.307 4.576 4.262 4.699 5.00 4.58

9 5.971 4.984 4.994 5.972 5.971 4.894 4.950 5.701 5.00 4.91

10 5.810 6.123 6.129 5.810 5.810 4.984 4.950 5.701 5.06 4.91

11 5.810 6.123 6.129 5.810 5.810 7.056 5.825 6.792 7.44 7.04

12 7.923 8.476 8.476 7.928 7.923 8.476 6.734 8.205 8.65 8.49

Quadro 5.15 – Comparação das frequências de vibração para a estrutura 3.

Através do Quadro 5.15 é possível verificar que as diferenças de frequências já não são

muito significativas. No entanto, facilmente se nota a proximidade entre a modelação do

 programa B e o método 3GL/Piso, para estrutura reticulada, e a proximidade entre os

 programas A e C e o método 3GL/Piso simplificado para os pilares encastrados nos pisos.

5.4. Comparação dos cortes basais

Em seguida, são apresentados os cortes basais para os diversos programas de cálculo

automático em análise.

5.4.1. Resultados do programa A

  No programa A, a estrutura foi analisada considerando ou não, a existência de um

coeficiente de encastramento dos pilares na última planta α = 0.30 (programa por defeito).

Assim sendo, os resultados das estruturas 1-A, 2-A e 3-A correspondem ao uso de α =

0.30, e os resultados 1-B, 2-B e 3-B correspondem ao uso de α = 1.0.

Os cortes basais para as diversas estruturas calculados no programa A são apresentados nos

quadros 5.16, 5.17 e 5.18.

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Capítulo 5

5.30

Estrutura 1–A (α=0.30) Estrutura 1–B (α=1.00)

Sismo   xx yy xx yy

I 44.72 kN 0.00 kN 53.48 kN 0.00 Kn

II 30.80 kN 0.00 kN 30.76 kN 0.00 kN

Quadro 5.16 – Cortes basais para a estrutura 1 calculada no programa A.

Estrutura 2–A(α=0.30) Estrutura 2–B(α=1.00)

Sismo   xx yy xx yy

I 269.0 kN 0.00 kN 346.0 kN 0.00 kN

II 234.0 kN 0.00 kN 235.3 kN 0.00 kN

Quadro 5.17 – Cortes basais para a estrutura 2 calculada no programa A.

Estrutura 3–A(α=0.30) Estrutura 3–B(α=1.00)Sismo   xx yy xx yy

I 128.5 kN 0.00 kN 133.4 kN 0.00 kN

II 149.3 kN 0.00 kN 152.5 kN 0.00 kN

Quadro 5.18 – Cortes basais para a estrutura 3 calculada no programa A.

É importante referir que, no caso de uma estrutura de um só piso, (um só grau de

liberdade) o programa A apresenta variações de acção sísmica de 16.4% para a estrutura 1

e de 22.3% para a estrutura 2, o que não é desprezável dada a influência que um

coeficiente α exerce, cuja utilização é apresentada nos manuais e no programa como boa

norma construtiva.

5.4.2. Resultados do programa B

Em seguida são apresentados os resultados do programa B. Para a estrutura 3 em

 particular, são apresentados os resultados da estrutura 3-A, estrutura 3 por defeito, com

modos de vibração de translação diagonal xy e estrutura 3-B em que uma das dimensões é

maior 0.005m que a outra para eliminar a simetria causadora da translação xy.

Uma vez que se observaram modos de vibração diagonais no programa B para uma

estrutura simétrica, foi adoptada a hipótese de um dos lados da planta possuir uma

dimensão superior à outra de um infinitésimo, para testar se o programa deixa de fornecer 

modos de vibração diagonais. 

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 Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas

5.31

Os cortes basais para as diversas estruturas calculados no programa B são apresentados nos

quadros 5.19, 5.20 e 5.21.

Estrutura 1

Sismo   xx yy

I 50.59 kN 0.00 kN

II 30.80 kN 0.00 kN

Quadro 5.19 – Cortes basais para a estrutura 1 calculada no programa B.

Estrutura 2

Sismo   xx yy

I 319.75 kN 0.00 kN

II 233.95 kN 0.00 kN

Quadro 5.20 – Cortes basais para a estrutura 2 calculada no programa B.

Estrutura 3–AModos de translação xy

Estrutura 3–BModos de translação em

 xx e em yy

Sismo   xx yy xx yy

I 123.05 kN 0.00 kN 89.87 kN 0.00 kN

II 168.22 kN 0.00 kN 120.17 kN 0.00 kN

Quadro 5.21 – Cortes basais para a estrutura 3 calculada no programa B.

Importa referir que a existência de modos de vibração com direcção  xy na estrutura 3 é

responsável por uma acção sísmica 28.6% superior à acção sísmica proveniente de modos

de vibração de translação em  xx e em  yy. Esta situação, apesar de invulgar, dada a

improbabilidade de existência de estruturas totalmente simétricas, deveria ser corrigida.

5.4.3. Resultados do programa C

Os cortes basais para as diversas estruturas calculados no programa C são apresentados nos

quadros 5.22, 5.23 e 5.24.

Estrutura 1

Sismo   xx yy

I

II60.0 kN 0.00 kN

Quadro 5.22 – Corte basal para a estrutura 1 calculada no programa C.

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Capítulo 5

5.32

Estrutura 2

Sismo   xx yy

III

403.2 kN 0.00 kN

Quadro 5.23 – Corte basal para a estrutura 2 calculada no programa C.

Estrutura 3

Sismo   xx yy

I

II167.2 kN 0.00 kN

Quadro 5.24 – Corte basal para a estrutura 3 calculada no programa C.

Importa referir que os cortes que o programa C apresenta, resumem-se a uma envolvente

dos cortes basais provenientes do sismo Tipo I e do sismo Tipo II .

5.4.4. Comparação dos cortes basais para a Estrutura 1

 No Quadro 5.25 encontram-se representados os cortes basais para todas as modelações em

análise.

3GL 1 3GL 2 3GL 3 A (defeito) A (elástico)

Rayleigh Estruturaencastrada nos

 pisos

Estruturaapoiada nos

 pisos

Estruturareticulada α=0.30 α=1.00

B C

Sismo I 65.2 kN 51.3 kN 31.3 kN 50.0 kN 44.7 kN 53.5 kN 50.6 kN

Sismo II 39.4 kN 30.3 kN 29.2 kN 30.2 kN 30.8 kN 30.8 kN 30.8 kN60.0 kN

Quadro 5.25- Comparação dos cortes basais para a estrutura 1.

Entre os programas A e C existe uma variação de 25.5%, uma vez que o programa A utiliza por defeito o coeficiente α = 0.30. No entanto, a variação diminui para valores

menos expressivos quando se calcula com a programa A sem o referido coeficiente.

Observa-se uma variação de 15.7% entre os programas B e C e de 10.8% entre os

 programas A e C.

Como as frequências que mais se aproximam da modelação elástica 3D são as frequências

do método 3GL/Piso com pilares encastrados nos pisos, em principio, serão os cortes

 basais desta modelação os mais realistas.

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 Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas

5.33

5.4.5. Comparação dos cortes basais para a Estrutura 2

3GL 1 3GL 2 3GL 3 A (defeito) A (elástico)

Rayleigh  Estrutura

encastrada

nos pisos

 Estrutura

apoiada nos

 pisos

 Estruturareticulada

α=0.30 α=1.00B C

Sismo I 375.4 kN 322.7 kN 178.9 kN 313.6 kN 269.0 kN 346.0 kN 319.8 kN

Sismo II 278.5 kN 233.1 kN 204.2 kN 232.6 kN 234.0 kN 235.3 kN 234.0 kN403.2 kN

Quadro 5.26- Comparação dos cortes basais para a estrutura 2.

Analisando a variação de cortes basais entre os programas A e C verifica-se uma diferença

de 33.3%, quando se recorre ao coeficiente α=0.30 do programa A. No entanto para

α=1.00, os resultados do programa A melhoram significativamente. A variação entre os

 programas B e C é de 20.7%. Entre os programas A e C, assume o valor de 14.2%.

Uma vez que as frequências que mais se aproximam da modelação elástica 3D são as

frequências do método 3GL/Piso com pilares encastrados nos pisos, em principio, serão os

cortes basais desta modelação os mais realistas. É possível verificar que a estrutura 2 com

modelação elástica pelo programa A possui um corte basal 6.7% superior ao corte basal

 proveniente da estrutura 2 modelada através do método 3GL/Piso com pilares encastrados

nos pisos.

 Não existem dados suficientes para justificar que o corte basal dado pelo programa C seja

superior ao corte basal através do método 3GL/Piso com pilares encastrados nos pisos,

 podendo essa diferença estar relacionada com as combinações quadráticas adoptadas ou

com a aceleração sísmica considerada.

5.4.6. Comparação dos cortes basais para a Estrutura 3

3GL 1 3GL 3A

(defeito)A

(elástico)B

(defeito)B

(corrigido)Rayleigh  Estrutura

encastrada

nos pisos

 Estrutura

reticuladaα=0.30 α=1.00

Modos de

translação xy

Modos de

translação em

 xx e yy

C

Sismo I 111.1 kN 103.1 kN 89.1 kN 128.5 kN 133.4 kN 123.1 kN 89.9 kN

Sismo II 148.4 kN 129.2 kN 113.8 kN 149.3 kN 152.5 kN 168.2 kN 120.2 kN167.2 kN

Quadro 5.27- Comparação dos cortes basais para a estrutura 3.

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Capítulo 5

5.34

Considerando os valores apresentados no Quadro 5.27, podemos verificar que a diferença

entre os resultados do programa A por defeito, e do programa A elástico não é

significativa, apenas de 3.7%. A influência da redução da rigidez dos pilares no último piso

não tem tanta interferência numa estrutura de 4 pisos como numa estrutura de 1 piso.

Existe uma variação de 46.2% entre o corte basal do programa C e o corte basal do

 programa B. Uma vez que as frequências de vibração dadas pelo MEF se aproximam das

 provenientes do método 3GL/piso com pilares encastrados nos pisos, pode constatar-se que

o programa A possui corte basal 15.6% superior ao cálculo 3GL/piso com pilares

encastrados nos pisos. Relativamente ao programa B por defeito (com modos de translação

diagonal), este possui corte basal 30.2% superior ao cálculo 3GL/piso com pilaresencastrados nos pisos. No entanto a variação do corte basal do programa B diminui para

7.0%, sendo o valor deste programa inferior ao 3GL. Para terminar a comparação com o

cálculo 3GL/piso com pilares encastrados nos pisos, o programa C possui um corte basal

29.4% superior.

5.5. Conclusões

De uma forma global, é importante verificar a ordem de variação de resultados entre os

vários programas, e para um dado programa entre as hipótese de cálculo possíveis.

Assim sendo, era importante que os programas apresentassem, de uma forma mais

explícita, as metodologias de cálculo adoptadas e que possuíssem mecanismos de controle

e de aviso por forma a que o utilizador tivesse ao alcance mais informação para além da

aceleração e da frequência modal.

5.5.1. Programa A

O programa A usa a rigidez da estrutura completa, logo, assume particular influência o

coeficiente de encastramento dos pilares na última planta α e o coeficiente de rigidez axial

dos pilares β. Foi possível verificar que o programa considera metade da massa dos pilares

entre pisos. Nota-se também que o programa possui uma boa aproximação de frequências

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 Análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas

5.35

de vibração ao MEF . O programa A apresenta um bom comportamento, exceptuando o

cálculo por defeito para estruturas de poucos pisos.

5.5.2. Programa B

É possível verificar que o programa B usa o módulo de elasticidade  E  correcto e usa a

rigidez da estrutura reticulada sem laje. Apesar das frequências de vibração provenientes

da modelação do programa B não serem próximas das provenientes do MEF , o programa B 

é aquele que melhor expõe os resultados do cálculo sísmico nas suas várias fases.

5.5.3. Programa C

O programa C utiliza a rigidez de uma viga bi-encastrada e utiliza o módulo de

elasticidade  E  correcto. A rigidez axial dos pilares não interfere na rigidez ao cálculo

sísmico. No entanto, apesar da proximidade das frequências de vibração entre a modelação

do programa C, a modelação com o MEF  e com o método 3GL/Piso com pilares

encastrados nos pisos, os cortes basais são superiores.

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CAPÍTULO 6

Conclusão

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Exemplos de referência para o cálculo de estruturas porticadas em betão armado

6.2

Como nota introdutória à conclusão deste trabalho, bem como justificação global às

afirmações que posteriormente serão produzidas, importa referir o comportamento dos

representantes, aos quais reafirmo os meus profundos agradecimentos pela disponibilidade

que mostraram em permitir a execução deste trabalho. No entanto é importante referir que

existiram comportamentos distintos da parte dos vários representantes em relação a este

trabalho. Assim, dos três programas em análise, foi encontrada uma posição pronta e aberta

 por parte de um programa, uma posição de manifesta indiferença por parte de outro e para

finalizar, uma posição relativamente pronta mas com certos contornos de hostilidade da

 parte do terceiro.

6.1. Conclusão

O trabalho efectuado pretendeu analisar os resultados obtidos com vários programas

comerciais de dimensionamento de estruturas de betão armado. Com base nesta análise foi

  possível tirar algumas conclusões que se consideram relevantes numa discussão sobre a

qualidade dos programas de cálculo automático mais utilizados em Portugal,

nomeadamente:

  – Os utilizadores dos programas fazem muitos “OK’s”, alguns dos quais sem

conhecimento das suas implicações. Com efeito as opções por defeito são em geral

mal explicadas, outras há a que é feita referência mas muito ténue e sem que os

utilizadores se apercebam das dimensões de tais opções.

  – Os programas possuem muitas caixas negras sem explicação científica; esta

situação só seria permitida se as subrotinas fossem 100% eficientes; ou se de uma

forma global os utilizadores o não exigissem. Como a primeira hipótese não é

válida, a segunda surge como mais pertinente.

 – Os manuais tratam apenas da utilização do programa sendo muito pouco explícitos

quanto aos métodos utilizados. Esta situação é tanto mais gravoso quando a

responsabilidade dos resultados obtidos através destes programas é da inteira

responsabilidade do eng.º dono da licença.

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Capítulo 6 – Conclusão e Futuros desenvolvimentos

6.3

  – Uma vez que atitudes de qualidade são esquecidas pela lei de mercado. Pensa-se

que em nome da qualidade do projecto e paralelamente a outras medidas deve

existir controle de qualidade ao nível dos programas.

6.2. Futuros desenvolvimentos

  – Tentar abrir algumas caixas negras responsáveis por resultados tão dispares

(pilares).

  – Definir exemplos de referência com possibilidades de certificação e de validação

dos programas de cálculo em estudo.

 – Fazer uma relação de todos as omissões e informações distorcidas dos programas.

 – Fazer comparação ao nível do cálculo de armaduras em vigas, pilares e lajes.

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO III)

AI.1

Momentos flectores das vigas V1 e V5 do Capítulo 3

I.1. Introdução

 Neste anexo são apresentados os valores numéricos dos momentos flectores para as vigas

V1 e V5, do pórtico 4 pertencente ao capítulo 3.

I.2. Momentos para carregamento vertical

I.2.1. Viga V1 1º Tramo

PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNm

a) Programa A -151.3 156.99 -210.49

  b) Programa B -166.17 165.17 -178.03

c) Programa C -166.19 165.2 -178.05

d) Programa D -180.39 142.12 -213.28

RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNm

d) Programa D -180.39 142.12 -213.28e) Troços Rígidos nas Vigas -167.04 132.79 -243.39

f) Programa A com Parede em FEM -153.13 157.05 -208.54

g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -185.75 127.79 -233.67

I.2.2. Viga V1 2º Tramo

PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNm

a) Programa A -189.84 142.37 -175.43

  b) Programa B -168.05 153.07 -175.98

c) Programa C -168.1 153.1 -175.96

d) Programa D -218.02 124.71 -181.78

RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNm

d) Programa D -218.02 124.71 -181.78

e) Troços Rígidos nas Vigas -221.87 114.24 -199.91

f) Programa A com Parede em FEM -190.75 140.72 -177.81

g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -220.51 113.59 -202.55

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 Anexo I 

AI.2

I.2.3. Viga V1 3º Tramo

PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNma) Programa A -107.43 88.38 -135.91

  b) Programa B -76.6 84.03 -181.71

c) Programa C -76.54 84 -181.7

d) Programa D -119.03 81.75 -139.5

RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNm

d) Programa D -119.03 81.75 -139.5

e) Troços Rígidos nas Vigas -110.42 68.57 -172.71

f) Programa A com Parede em FEM -169.19 117.55 -27.48

g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -109.26 69.7 -171.6

I.2.4. Viga V1 4º Tramo

PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNm

a) Programa A -182.01 128.69 -112.66

  b) Programa B -221.78 120.68 -94.96

c) Programa C -221.8 120.7 -95

d) Programa D -214.56 118.17 -106.43

RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNm

d) Programa D -214.56 118.17 -106.43

e) Troços Rígidos nas Vigas -223.03 108.88 -111.64

f) Programa A com Parede em FEM -49.91 167.14 -174.38

g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -215.37 104.93 -127.01

I.2.5. Viga V5 1º Tramo

PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO

Msd E. Msd V. Msd D.KNm KNm KNm

a) Programa A -147.25 177.68 -239.69

  b) Programa B -136.35 176.09 -255.07

c) Programa C -136.39 176.1 -255.1

d) Programa D -153.35 166.24 -258.57

RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNm

d) Programa D -153.35 166.24 -258.57

e) Troços Rígidos nas Vigas -147.36 154.82 -285.55

f) Programa A com Parede em FEM -153 178.35 -232.6

g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -175.36 146.97 -273.27

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO III)

AI.3

I.2.6. Viga V5 2º Tramo

PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNm

a) Programa A -237.5 177.71 -176.87

  b) Programa B -252.19 171.27 -171.27

c) Programa C -252.15 172.22 -171.22

d) Programa D -257.45 159.25 -188.77

RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNm

d) Programa D -257.45 159.25 -188.77

e) Troços Rígidos nas Vigas -147.36 154.82 -285.55

f) Programa A com Parede em FEM -231.28 167.82 -202.86g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -274.49 148.72 -198.14

I.2.7. Viga V5 3º Tramo

PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNm

a) Programa A -126.08 84.74 -166.54

  b) Programa B -114.35 60.43 -231.48

c) Programa C -114.34 60.4 -231.5

d) Programa D -127.65 77.31 -181.14

RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNm

d) Programa D -127.65 77.31 -181.14

e) Troços Rígidos nas Vigas -185.59 53.58 -179.33

f) Programa A com Parede em FEM -192.75 129.58 -24.74

g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -119.16 59.84 -226.37

I.2.8. Viga V5 4º Tramo

PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO

Msd E. Msd V. Msd D.KNm KNm KNm

a) Programa A -189.81 133.93 -96.45

  b) Programa B -238.03 127.1 -68.59

c) Programa C -238 127.1 -68.63

d) Programa D -195.71 133.45 -92.32

RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNm

d) Programa D -195.71 133.45 -92.32

e) Troços Rígidos nas Vigas -243.51 120.51 -78.6

f) Programa A com Parede em FEM -38.39 177.08 -166.54

g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares -235.85 112.71 -96.72

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 Anexo I 

AI.4

I.3. Momentos flectores para carregamento horizontal

I.3.1. Viga V1 1º Tramo

PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNm

a) Programa A 43.6 - -45.3

  b) Programa B 41.7 - -40.9

c) Programa C 41.7 - -40.9

d) Programa D 26.6 - -27.1

RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNmd) Programa D 26.6 - -27.1

e) Troços Rígidos nas Vigas 42.6 - -45.3

f) Programa A com Parede em FEM 68.9 - -71.6

g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares 44.5 - -46.2

I.3.2. Viga V1 2º Tramo

PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNm

a) Programa A 47.1 - -44.2

  b) Programa B 42 - -40.1c) Programa C 42 - -40.1

d) Programa D 28.2 - -25.8

RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNm

d) Programa D 28.2 - -25.9

e) Troços Rígidos nas Vigas 47.7 - -43

f) Programa A com Parede em FEM 75.4 - -72.7

g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares 48.7 - -45.4

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO III)

AI.5

I.3.3. Viga V1 3º Tramo

PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNma) Programa A 62.5 - -67.2

  b) Programa B 49.3 - -66.7

c) Programa C 49.3 - -66.7

d) Programa D 37.1 - -42.2

RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNm

d) Programa D 37.1 - -42.2

e) Troços Rígidos nas Vigas 62 - -69.9

f) Programa A com Parede em FEM 66.8 - -32.4

g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares 63.7 - -68.9

I.3.4. Viga V1 4º Tramo

PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNm

a) Programa A 37.6 - -37.8

b) Programa B 40.6 - -37.7

c) Programa C 40.6 - -37.7

d) Programa D 34.4 - -33

RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNm

d) Programa D 33.5 - -31.3

e) Troços Rígidos nas Vigas 36.7 - -36.4

f) Programa A com Parede em FEM 55.8 - -55.9

g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares 37.6 - -36.9

I.3.5. Viga V5 1º Tramo

PROGRAMAS DE CÁLCULO AUTOMÁTICO

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNm

a) Programa A 16.8 - -14.3b) Programa B 20.8 - -14.8

c) Programa C 20.8 - -14.8

d) Programa D 14.6 - -12.2

RECURSO A TROÇOS RÍGIDOS

Msd E. Msd V. Msd D.

KNm KNm KNm

d) Programa D 14.6 - -12.2

e) Troços Rígidos nas Vigas 14.3 - -11

f) Programa A com Parede em FEM 22.8 - -19.5

g) Troços Rígidos nas Vigas e nos Pilares 14.5 - -12.4

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.1

Cálculo das estruturas 1 2 e 3 do Capítulo 5 através do método de

Rayleigh e através do método Três graus de liberdade por piso

(3GL/Piso)

II.1. Introdução

Como os métodos mais utilizados na análise sísmica de edifícios, quer a nível de projecto,

quer ao nível da bibliografia específica do tema, são o método de Rayleigh e o método de

três graus de liberdade por piso, (3GL/Piso), parece importante fazer-se uma análise das

estruturas propostas através destas duas metodologias. Tendo em consideração que estes

métodos não são de conhecimento universal, é feita uma breve resenha sobre as

metodologias em questão, para que o leitor acompanhe mais facilmente os cálculos

efectuados relativamente às estruturas em apreço.

Estes resultados não foram incluídos pelo autor no corpo do Capítulo V para que as

comparações de resultados nele efectuadas não passassem desapercebidas ao leitor.

II.2. Método de Rayleigh [FEUP98] 

Este método considera a existência de um só modo de vibração para cada direcção

ortogonal da estrutura em análise. A forma desse modo consiste na deformada da estrutura

quando esta se encontra submetida ao peso [G+Ψ2Q]  aplicado na horizontal,

independentemente para cada direcção ( xx, yy).

A frequência dada pelo método de Rayleigh é igual à frequência de vibração de um

oscilador de um grau de liberdade, uma vez que a forma do modo de vibração é a forma da

estrutura solicitada na horizontal pelo seu peso.

Como exemplo da aplicação deste método apresenta-se o cálculo de uma estrutura não

simétrica, nas Figuras II.1 e II.2.

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 Anexo II 

AII.2

Figura II.1 – Perspectiva da estrutura adoptada para apresentar o método de Rayleigh.

Planta Tipo 

LM LM LM LM 

LM  LM  LM 

P1  P2  P3  P4 

P6 

Par 1  Par 2 

P7 

P9  P10 

P5 

P8 

P11 

6.0  4.7  6.0  6.0 

6.0 

6.0 

   P   ó  r   t   i  c  o

  y   1

   P   ó  r   t   i  c  o

  y   2

   P   ó  r   t   i  c  o

  y   3

   P   ó  r   t   i  c  o

  y   4

   P   ó  r   t   i  c  o

  y   5

Pórtico x1 

Pórtico x2 

Pórtico x3 

Figura II.2 – Planta tipo da estrutura adoptada para apresentar o método de Rayleigh.

A análise sísmica através do método de Rayleigh pressupõe as seguintes fases:

− Determinação do deslocamento dos vários pisos para a estrutura submetida ao

seu peso aplicado na direcção em análise.

Para tal é efectuada uma transformação da estrutura tridimensional  em

bidimensional , através de uma associação em comboio de todos os elementos

resistentes na direcção em análise. Na Figura II.3 encontra-se representada a

associação em comboio da estrutura apresentada segundo  yy, admitindo P  y1≡ 

 P  y4≡ P  y5 e P  y2≡ P  y3.

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.3

Piso 1

Piso 2

Piso 3

F1  d1

d2

d3

F2 

F3 

2Pórtico y2

Piso 2

Piso 3

3Pórtico y1

Piso 1

Figura II.3 – Determinação do deslocamento da estrutura segundo  yy para umcarregamento igual ao peso da estrutura por piso aplicado nahorizontal utilizando uma associação em comboio dos pórticosnessa direcção.

Atendendo a que as forças de massa assumem o valor:

 g m F  ii ×=   (II.1)

em que F i corresponde à força de massa do piso i e g é a aceleração da gravidade.

As forças aplicadas e os deslocamentos relacionam-se como se verifica na expressão (II.2):

[K]{d}={F} { }

=

n

2

1

...

d    (II.2) 

em que K é a matriz de rigidez, d o vector dos deslocamento e F o vector das forças.

Considerando ainda que a frequência angular é dada por:

1

121 M 

 K =ω   (II.3)

em que K 1 e M 1 são, respectivamente, a rigidez e a massa associadas ao modo de vibração

em análise, dadas por:

{ } [ ] { }d × K ×d = K  T 1   (II.4){ } [ ] { }d ×M ×d =M  T 

1   (II.5)

Através da equação (II.2):

{ } { } iiT 

1 d × F = F ×d = K  ∑   (II.6)

{ } { } { }

...3 F 2 F 1 F 

×...3d 2d 1d = F ×T d    (II.7)

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 Anexo II 

AII.4

Multiplicando ambos os termos da equação (II.5) pela constante g obtém-se:

{ } [ ] { } ∑ 2ii

T 1 d × F =d × g ×M ×d =M × g    (II.8)

Substituindo as equações (II.6) e (II.8) na equação (II.3), obtém-se a equação da frequênciade vibração do método de Rayleigh:

2ii

ii

2i

ii

d × F 

d × F × g 

2π 

1= f ;

d × F 

d × F × g =ω

∑∑

∑∑

  (II.9)

− Através do cálculo das frequências próprias da estrutura e com o recurso

a espectros de resposta da regulamentação portuguesa –  Regulamento de

  segurança e acções para estruturas de edifícios e pontes   RSA 

[RSA83] – são calculadas as acelerações sísmicas para um sismo tipo I e

 para um sismo tipo II , (SaI e SaII ).

− As forças sísmicas globais por piso numa dada direcção f i serão então:

di Fi××η

ω× g Sa= fi

2

2  (II.10)

em que:

S a   – Aceleração sísmica do RSA. [RSA83] função da frequência própria daestrutura; 

 g   – Aceleração da gravidade;

η   – Coeficiente de comportamento da estrutura REBAP [REBAP86];

 F i   – Massa do piso i;

d i   – Deslocamento do piso i quando a estrutura é submetida a um carregamento

horizontal igual com um valor igual ao peso de cada piso;

ω   – Frequência de vibração angular de Rayleigh dada pela equação (II.9).

A distribuição das forças sísmicas globais, segundo uma dada direcção pelos vários

 pórticos, pode dividir-se em duas fases:

 – Distribuição da acção horizontal considerando que só existe translação;

  – Distribuição horizontal considerando que só existe rotação.

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.5

Quando se considera apenas translação, a acção sísmica global por piso na estrutura é

distribuída pelos elementos planos resistentes  –  Pórticos–  proporcionalmente à rigidez

relativa destes. A rigidez relativa dos pórticos é calculada através da relação entre os cortes

 basais de uma estrutura em comboio, como a apresentada na Figura II.4.

Piso 1

Piso 2

Piso 3

 f 1 

 f 2 

 f 3 

Piso 2

Piso 3

R11

Piso 1

2Pórtico y23Pórtico y1

R12 R13 R21 R22

R1=R11+R12+R13 R2=R21+R22

αPórico 1 = R1/(3(R1+R2)) αPórico 2 = R2/(2(R1+R2))

 f1, f2, f3 – Forças sísmicas nos pisos 1, 2 e 3 respectivamente

Figura II.4 – Representação da estrutura mediante a solicitação do seu pesona horizontal.

Assim, a força sísmica a aplicar ao pórtico 1, considerando que só existe translação será:

1 Pórticoα×

n f 

...2 f 1 f 

=1 Pórtico f 

  (II.11)

em que f i é o vector das forças sísmicas globais por piso e α é a rigidez relativa do pórtico.

A consideração da rotação da estrutura é feita através da introdução de uma excentricidade

entre o centro de rigidez e o centro de massa da estrutura para cada direcção.

O RSA considera duas situações distintas conforme a simetria da estrutura:

  – Estruturas simétricas

Os efeitos sísmicos num dado pórtico devem ser agravados de um

factor ξ tal que:

a

 x×0.6 +1=ξ    (II.12)

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 Anexo II 

AII.6

em que x é a distância do centro de rigidez do piso ao plano de simetria e a a dimensão em

 planta na direcção perpendicular à actuação da acção sísmica.

  – Estruturas não simétricas

Para estruturas não simétricas deve ter-se em atenção a necessidade da

consideração de excentricidades adicionais conforme apresentado na

Figura II.5 e considerar para cada elemento a excentricidade que nele

 produza um efeito mais desfavorável.

e[-]  e[+] 

 bi 

e2i  e1i 

Cri 

Cgi 

e1i = 0.5bi + 0.05a e2i = 0.05a 

a = Dimensão do edifício segundo a direcção  perpendicular à força F 

Cgi = centro de massa do piso i 

Cri = centro de rigidez do piso i 

Figura II.5 – Excentricidades adicionais segundo o

R.S.A.

II.3. Método 3GL/Piso (Três graus de liberdade por piso) [FEUP98] 

Este método consiste numa análise simplificada em que um sistema tridimensional é

analisado como um sistema bidimensional multimodal. Os pisos são considerados

uniformemente rígidos, compatibilizando os deslocamentos horizontais dos vários

elementos verticais, nomeadamente pilares e paredes (Figura II.6).

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.7

Rigidez infinita no plano do piso

(3 GL/piso)

Vi 

Ui

θi

Figura II.6 – Modelação de uma estrutura através do método 3GL/Piso

Os deslocamentos da estrutura tridimensional resumem-se a duas translações e a uma

rotação por piso. Em cada piso existem três massas e três rigidezes associadas, uma em

cada direcção ( translação segundo xx e yy e rotação).

U1 

θ1 V1 

U2 

θ2 V2 

V3 

U3 

θ3 

U4 

V4 θ4 

[M4] 

[M3] 

[M2] 

[M1]  [M1]=[Mx1, My1, I01] 

[M2]=[Mx2, My2, I02] 

[M3]=[Mx3, My3, I03] 

[M4]=[Mx4, My4, I04] 

y

Figura II.7  – Representação do sistema multimodal para o método 3GL/Piso.

Fazendo uma breve análise sobre este método de cálculo podemos considerar as seguintes

variáveis:

U i – Deslocamento do andar i segundo xx.

V i – Deslocamento do andar i segundo yy. 

θi – Rotação do andar i.

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 Anexo II 

AII.8

O vector deslocamento e o vector força tomam a seguinte forma:

[U]T = [ U1 V1  θ1 U2 V2  θ2……………… Un Vn  θn ]

[F]T

= [ F x1 F y1 M1 F x2 F y2 M2……………… F xn F yn Mn ]

em que n é o número de pisos da estrutura.

Assim, a rigidez é traduzida por uma matriz de dimensão [3n3n]. 

A matriz de rigidez da estrutura pode ser construída basicamente por duas formas distintas:

  – directamente, impondo deslocamentos;

  – indirectamente, solicitando a estrutura.

 Na construção da matriz de rigidez deve ter-se em atenção a direcção do pórtico para aferir 

a participação que este toma na construção da matriz de rigidez global. A forma como se

calcula essa participação encontra-se representada na Figura II.8. 

Uma força f na direcção do portico é equivalente a:

 f cosα na direcção xx f  senα na direcção yy f ρ momento em torno de zz 

P4

P1

P7

ρ

α 

xx

Y

Z

ρ

α XZ

Ui

Vi 

dicosα 

θi 

di

Figura II.8 – Transformação das variáveis locais de um pórtico nas variáveis globais do piso.

As forças aplicadas em cada pórtico decompõem-se numa rotação e em duas translações,

sendo estas as projecções das forças nas direcções do referencial  xy e a rotação a

componente correspondente à possível não coincidência entre o eixo do pórtico e a origem

do sistema de eixos.

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.9

Logo, a mudança do referencial local para o referencial global é feita por multiplicação do

vector das forças por um vector transformação T dado por:

 ρ sinα

cosα

=T    (II.13)

Relativamente ao vector deslocamento de um piso, pode efectuar-se uma análise

semelhante para aferir as componentes do deslocamento do pórtico no sistema de eixos

global.

Fazendo a projecção das componentes dos deslocamentos no sistema de eixos  xy sobre a

direcção do pórtico obtém-se uma relação entre o deslocamento global do pórtico na sua

direcção e os deslocamentos nas direcções xy.

d i = dxi  cos α + dyi  sen α + ρ  θi  (II.14)

{d}i = {t}T  {a}i  (II.15)

 K  p  d = Q  (II.16)

Uma vez que d = t T {a} e multiplicando por {T} obtemos:

{T} K  p{T}T  {a} = {T}{Q}  (II.17)

[K  p ]G {a} = {F  p }  (II.18)

[K  p ]G

   – Contribuição para a matriz de rigidez global por parte do pórtico p. 

{F  p } – Contribuição para o vector solicitação do pórtico p.

 Na Figura II.9 encontra-se representada a definição da matriz de massa Mi

G

 xo

 p g  g 

 g 

 g 

i

 I  x×m y×m

 x×mm0

 y×m0m

=M   

Figura II.9 – Matriz de massa para o sistema 3GL/Piso.

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 Anexo II 

AII.10

A determinação das frequências de vibração transforma-se num problema de valores

 próprios que pode ser resolvido através da equação (II.19). A resolução desta equação pode

ser realizada por vários métodos quer directos quer iterativos. Neste trabalho os valores

 próprios foram calculados através dos zeros da equação (II.20). 

[K] {d}T = ω2[M]{d}  (II.19)

Assim:

ω0=M ×ω K det  2 ⇒

 -   (II.20)

Após o cálculo das frequências de vibração, associadas a um dado modo de vibração,

 procede-se ao cálculo das massas generalizadas associadas a esse modo de vibração:

M i = { φi }T [M]{ φi }  (II.21)

Em que φi são os modos de vibração.

Posteriormente, para cada modo de vibração, efectua-se o cálculo dos factores de

 participação modal.

Cálculo dos factores de participação modal

Considerando um vector Li dado:

Para um modo de translação em xx 

 Li = { φi }T [M]{1 0 0 1 0 0 1 0 0 .....}T   (II.22)

Para um modo de translação em yy 

 Li = { φi }T [M]{0 1 0 0 1 0 0 1 0 .....}T   (II.23)

Para um modo de rotação em θθ 

 Li = { φi }T [M]{0 0 1 0 0 1 0 0 1 .....}T   (II.24)

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.11

O cálculo dos deslocamentos modais é representado na equação (II.22):

{ } { }iiiaii

ii  ) ,( S 

 Ld  φξω

ωφ ××

×=

2  (II.25)

Em seguida procede-se ao cálculo da máxima participação modal através do método CQC

(Combinação quadrática completa) [Clou93]. Este método consiste em combinar 

quadraticamente os deslocamentos modais pertencentes a modos diferentes. Deste modo, é

  possível associar de modo coerente deslocamentos máximos que ocorrem em instantes

diferentes.

Após a obtenção dos deslocamentos máximos para cada direcção, é efectuada a

combinação dos resultados provenientes das várias direcções através do método CQS

(Combinação quadrática simples) [Clou93]. 

Com os deslocamentos calculados usando a combinação quadrática simples para as várias

direcções, determinam-se os deslocamentos dos vários elementos estruturais (pórticos)

através das relações descritas na Figura II.8.

Posteriormente os pórticos são calculados para os deslocamentos provenientes das várias

direcções, e os cortes basais daí obtidos são combinados através do método CQS

(Combinação quadrática simples). Com os cortes basais por pórtico são obtidas as forças

 por andar para o cálculo dos esforços de cada pórtico.

Segundo Arêde [Arê92] o método de combinação (CQC; CQS) é o mais consistente para

combinar os resultados dos modos provenientes das várias direcções.

II.4. Análise Sísmica das estruturas propostas

  Nesta subsecção apresentam-se os cálculos das estruturas 1, 2 e 3 recorrendo aos dois

métodos considerados: Método de Rayleigh e 3GL/Piso, para posterior comparação com os

resultados dos diferentes programas.

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 Anexo II 

AII.12

II.4.1. Cálculo da estrutura 1

II.4.1.1. Cálculo da massa da estrutura 1

Detalha-se em seguida o cálculo da massa da estrutura 1:

Peso dos pilares Gp = ÁreaComprimentonº de pilaresγBETÃO

= 0.300.304.00425

= 36.00 kN

Peso da laje GLAJE = ÁreaEspessuraγBETÃO

= 5.405.400.2025

= 145.80 kN

Peso das vigas GViga = ÁreaComprimentonº de VigasγBETÃO

= 0.300.605.4425

= 97.20 kN

Peso dos Revest.GReves.= ÁreaRev. 

= 6.006.001.00

= 36.00 kN

GTOTAL= 315kN

Massa do Piso =81.9

00.297

81.9

)00.1800.315(=

−=30.275 Ton.

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.13

II.4.1.2. Cálculo da estrutura 1 pelo Método de Rayleigh

A rigidez do pórtico determina-se recorrendo à inversa da matriz flexibilidade. A matriz de

flexibilidade por sua vez calcula-se num programa de pórticos como se apresenta na Figura

II.10.

P2

V1

P1

m2

0.03505l  =∆

297 kN

G+ψ2Q

Figura II.10 – Estrutura 1 solicitada à força de inércia as da estrutura na horizontal.

 K  Pórtico=8474.58 kN/m (II.26)

G + ψ2Q =297.00 kN  (II.27)

3.77Hz=0.01752×297 

0.01752×297 ×9.81

2π 

1=

d × F 

d × F × g 

2π 

1= f 

22ii

ii

 RAYLEIGH  ∑∑   (II.28)

A Figura II.11 apresenta o modelo simplificado referente ao cálculo de um oscilador de um

grau de liberdade.

 f  sismoMassa 

Figura II.11 – Cálculo das forças sísmicas para a estrutura 1.

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 Anexo II 

AII.14

Conhecendo-se a frequência de vibração determinam-se as acelerações sísmicas para o

  sismo Tipo I e para o  sismo Tipo II [ RSA83], que se encontram representadas no Quadro

II.1, para ambas direcções.

FrequênciasHz

SaSismo Tipo I

m/s2

SaSismo Tipo II

m/s2  xx–3.77Hz 4.14 2.50

 yy–3.77Hz 4.14 2.50

Quadro II.1 – Acelerações sísmicas regulamentares para a estrutura 1. 

A força sísmica numa dada direcção será fornecida equação (II.29). Os resultados das

forças sísmicas para o único piso apresentam-se no Quadro II.2, tanto para um sismo tipo I

como para um sismo tipo II.

2

2 sismoη× g 

ω×Sa= f    (II.29)

FrequênciasHz

Força SísmicaSismo Tipo I 

Força SísmicaSismo Tipo II

 xx–3.77Hz 50.15 kN 30.28 kN

 yy–3.77Hz 50.15 kN 30.28 kN

Quadro II.2 – Forças sísmicas globais na direcção xx e na direcção yy.

Sendo a estrutura simétrica, o centro de rigidez e o centro de massa são coincidentes, pelo

que não existe torção no edifício causada pelas forças sísmicas segundo  xx e segundo  yy.

  No entanto, a ausência de acção sísmica rotacional obriga à consideração de uma

excentricidade segundo o artº 32.2 do RSA, que agrava as forças dos pórticos da seguinte

forma, equação (II.30):

 F  Pórtico = f iξ  (II.30)

em que  f i consiste na força no pórtico, admitindo somente translação, ξ representa um

coeficiente que majora a força f i dado pela equação (II.31), x define a distância do pórtico

ao plano de simetria do piso, e a a dimensão da estrutura na direcção perpendicular à

direcção da força sísmica.

a

 x×0.6 1+=ξ    (II.31)

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.15

 No caso do efeito da resultante da equação anterior não se revelar suficientemente gravoso,

deve considerar-se: 

 F  Pórtico=f i+ f’ i  (II.32)

 f i´= 2 f i0.055.7/4 = 0.1425 f i  (II.33)

Através das equações (II.32)e (II.33), obtém-se F  Pórtico=1.30 F i /2. 

 Na Figura II.12 surgem representadas as solicitações de um  sismo  tipo I  e tipo II  num

 pórtico da estrutura.

Pórtico 32.60kN 

 fi  Pórtico 19.68 kN 

 fi 

Figura II.12 – Força sísmica de um pórtico para a acção sísmica tipo I e tipo II.

 No Quadro II.3 encontram-se os valores do corte basal em xx e em yy para a acção sísmica

tipo I e tipo II .

Solicitação xx Solicitação yy 

xx[kN] yy[kN] xx[kN] yy[kN]Sismo I 65.2 0.0 0.0 65.2

Sismo II 39.4 0.0 0.0 39.4

Quadro II.3 – Corte Basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 1.

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 Anexo II 

AII.16

II.4.1.3. Cálculo da estrutura 1 pelo Método 3GL/piso

Em seguida será apresentado o cálculo sísmico da estrutura 1 para três situações distintas:

que os pilares se encontram encastrados nos pisos, que aqueles se apoiam nos pisos eainda, a rigidez real da estrutura reticulada.

II.4.1.3.1. Estrutura 1 considerando os pilares encastrados no piso

Procede-se nesta subsecção ao cálculo da estrutura 1 assumindo a simplificação que reside

nos pilares se encontrarem encastrados ao nível do piso, Figura II.13.

.

∆lPiso Rígido

3.70 

297 kN

G+ψ2Q

Figura II.13 – Estrutura 1 solicitada ao seu peso considerando o piso infinitamente rígido.

 Na equação (II.34) são apresentadas as componentes da matriz de rigidez da estrutura 1.

[K]=

θ K 

 K 

 K 

 yy

 xx

  (II.34)

Sendo  K  xx, a componente da matriz de rigidez correspondente à direcção  xx,  K  yy a

componente da matriz de rigidez segundo  yy, Κ θ, a componente rotacional da matriz de

rigidez.

Considerando a simetria da estrutura, pode verificar-se que K  xx = K  yy :

 K  xx = K  yy = 3 L

 PILAR EI ×12×4 = 18549.74kN/m  (II.35)

A frequência de vibração assume o valor, equação (II.36):

3.94Hz=297 

18549.74×9.81

2π 

1=

 K 

2π 

1 yy f = xx f  =   (II.36)

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.17

A rigidez da estrutura à rotação pode ser observada na equação (II.37). [Clou93]

 K θ = 4 K  Pórtico 2

2

5.7  

  

 = 30130.53kNm  (II.37)

Considerando a massa uniformemente distribuída pelo piso, para um piso com a forma

rectangular, a massa rotacional I 0 assume o valor:

 I 0=12

2b+2a×M = 163.94 Ton.m2  (II.38)

Em que M é massa do piso, a e b são as dimensões do piso em planta.

Através da massa rotacional I 0 e da rigidez de rotação, pode determinar-se a frequência de

rotação, assim, equação (II.39):

6.82Hz=163.94

30130.53

2π 

1

0 I θ  K 

2π 

1=θ  f  =   (II.39)

  No Quadro II.4  encontram-se apresentadas as frequências de vibração da estrutura 1 

calculada através do método 3GL/Piso com os pilares encastrados nas lajes.

Modos devibração

1 2 3

FrequênciasHz 3.94  3.94  6.82

Quadro II.4 – Frequências de vibração para a estrutura 1 considerando os pilares encastrados no piso. 

Sendo a estrutura é um oscilador de um grau de liberdade, os vectores próprios assumem a

forma, equação (II.40):

=

0

0

1

1ϕ ;

=

0

1

0

2ϕ ;

=

1

0

0

3ϕ   (II.40)

  Não é necessário efectuar a combinação quadrática para determinar o máximo

deslocamento numa dada direcção, pois só existe um modo por direcção. Usar-se-á a

combinação quadrática simples (CQS) para combinar resultados de diferentes direcções.

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 Anexo II 

AII.18

 No Quadro II.5, apresentam-se as acelerações sísmicas regulamentares para as frequências

da estrutura, calculada pelo método 3GL/Piso com os pilares encastrados nas lajes.

Frequências

Hz

Sa

Sismo Tipo Im/s2

Sa

Sismo Tipo IIm/s2  xx–3.94Hz 4.24 2.50

 yy–3.94Hz 4.24 2.50

θ –6.82Hz 4.87 2.50

Quadro II.5 – Acelerações sísmicas regulamentares para a estrutura 1.

A partir destas acelerações sísmicas, é possível determinar o deslocamento máximo

segundo   xx, yy e θ do   piso 1. Os deslocamentos máximos dos pisos segundo as várias

direcções calculam-se através da equação (II.41), encontrando-se representados no QuadroII.6: 

α2Sa

1M 

1 L1u ××=

ω; α2

Sa

2M 

2 L2u ××=

ω; α2

Sa

3M 

3 L3u ××=

ω  (II.41)

u1 u2  uθ

0.006912 0.006912 0.0000402 –Sismo tipo I 0.000408 0.000408 0.0000206 –Sismo tipo II 

Quadro II.6 – Deslocamentos máximos do piso segundo x, y e θ

A determinação das forças sísmicas para um pórtico qualquer é feita a partir dos resultados

anteriores utilizando a equação (II.42) ou (II.43):

22

 final  x1 2

5.7 ×

2.5

0.0000402+

2.5

0.006912× K =u× K = F 

 

  

  

  

  =25.65kN Tipo  I   (II.42)

22

 final  x1 25.7 ×

2.50.0000206 +

2.50.00408× K =u× K = F 

  

  

  

   =15.14kN Tipo II   (II.43)

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.19

 Na Figura II.14 encontram-se representadas as forças sísmicas a aplicar aos pórticos para a

acção sísmica tipo I e para a acção sísmica tipo II .

Pórtico 

25.65kN  

fi   Pórtico 

15.14 kN 

 fi 

Figura II.14 – Força sísmica de um pórtico para a acção sísmica tipo I e tipo II.

  No Quadro II.7 encontram-se representados os cortes basais da estrutura 1 calculadaatravés do método 3GL/piso, considerando que os pilares da estrutura se encontram

encastrados no piso.

Solicitação xx Solicitação yy 

xx yy xx yy

Sismo I 51.3 kN 0.0 kN 0.0 kN 51.3 kN

Sismo II 30.3 kN 0.0 kN 0.0 kN 30.3 kN

Quadro II.7 – Corte basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 1.

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 Anexo II 

AII.20

II.4.1.3.2. Estrutura 1 considerando os pilares duplamente apoiados na laje

 Nesta subsecção ao cálculo da estrutura com os pilares duplamente apoiados ao nível dos

 pisos, Figura II.15.

∆ 

 Rótulas

3.70 

297 kN

G+Ψ2Q

Figura II.15 – Estrutura 1 solicitada ao seu peso próprio com rótulas nos pilares.

Considerando a simetria da estrutura, pode verificar-se que:

 K  xx = K  yy =3 PILAR

 L

 EI ×3×4 = 4637N/m  (II.44)

A frequência de vibração é dada pela equação (II.45):

1.97Hz=297 

4637.44×9.81

2π 

1=

 K 

2π 

1= f = f   yy xx   (II.45)

A rigidez da estrutura à rotação é calculada através da equação (II.46). [Clou93]

 K θ = 4 K  Pórtico 2

2

5.7  

  

 = 75335kNm/rad   (II.46)

A massa rotacional é dada por:

 I 0=( )12

22 baM  +×= 163.9 Ton.m2  (II.47)

Através da massa rotacional I 0 e da rigidez de rotação, pode determinar-se a frequência de

rotação:

 Hz..

.

 I  f 

 K 

41394163

1375335

2

1

2

1

0

===ππ

θθ   (II.48)

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.21

 No Quadro II.8 encontram-se as frequências de vibração da estrutura 1 calculada através

do método 3GL/Piso considerando os pilares como duplamente apoiados nos pisos.

Modos de

vibração1 2 3

FrequênciasHz

1.97  1.97  3.41

Quadro II.8 – Frequências de vibração para a estrutura 1 considerando os pilares duplamente apoiados no

 piso e encastrados na fundação.

 No Quadro II.9 apresentam-se as acelerações regulamentares para um sismo tipo I e tipo II  

em função das frequências de vibração da estrutura, calculada pelo método  3GL/Piso 

considerando os pilares apoiados no piso.Frequências

Hz

SaSismo Tipo I

m/s2

SaSismo Tipo II

m/s2  xx–1.97Hz 2.58 2.41

 yy–1.97Hz 2.58 2.41

θ –3.41Hz 3.91 2.50

Quadro II.9 – Acelerações sísmicas regulamentares para a estrutura 1.

A determinação do deslocamento máximo segundo xx, yy e θ do piso 1 é realizada através

da equação (II.41), encontrando-se aqueles representados no Quadro II.10

u1 u2  uθ

0.0168534 0.0168534 0.0000645 – Sismo tipo I 0.0015725 0.0015725 0.0000413 – Sismo tipo II 

Quadro II.10 – Deslocamentos máximos do piso segundo xx, yy e θ.

As forças sísmicas para um qualquer pórtico tomam o valor:

22

 final  x1 25.7 ×2.50.00006454+2.50.0168534× K =u× K = F           = 15.63kN Tipo  I   (II.49)

22

 final  x1 2

5.7 ×

2.5

0.00004125+

2.5

0.0015725× K =u× K = F 

 

  

  

  

  = 14.59kN Tipo  II   (II.50)

 Na Figura II.16 encontram-se representadas as forças sísmicas a aplicar aos pórticos para a

acção sísmica tipo I e para a acção sísmica tipo II .

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 Anexo II 

AII.22

Pórtico 15.63kN 

 fi  Pórtico 14.59 kN 

 fi 

Figura II.16 – Força sísmica de um pórtico para a acção sísmica tipo I e tipo II.

 No Quadro II.11 apresentam-se os cortes basais da estrutura 1 calculada através do método

3GL/piso considerando os pilares apoiados no piso.

Solicitação xx Solicitação yy 

xx yy yx yy

Sismo I 31.3 kN 0.0 kN 0.0 kN 31.3 kNSismo II 29.2 kN 0.0 kN 0.0 kN 29.2 kN

Quadro II.11 – Corte basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 1.

II.4.1.3.3. Estrutura 1 considerando apenas a estrutura reticulada (vigas e pilares)

Como já foi referido, o centro de massa é coincidente com o centro de rigidez, e a rigidez

da estrutura à translação xx é igual à rigidez em yy .

m2

0.03505=∆

297 kN

G+Ψ2Q

Figura II.17 – Estrutura 1 solicitada ao peso próprio com a rigidez da estrutura reticulada.

Assim sendo, as componentes da matriz da rigidez da estrutura 1 são as apresentadas na

equação (II.34).

Considerando a simetria da estrutura, podemos verificar que K  xx = K  yy:

 K  xx = K  yy = 16949.15N/m  (II.51)

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.23

A frequência de vibração é dada pela equação (II.52).

3.77Hz=297 

16949.15×9.81

2π 

1=

 K 

2π 

1 f = f   yy xx =   (II.52)

 K θ = 4 K  Pórtico 2

25.7 

  

   = 275338.98kNm/rad   (II.53)

A massa rotacional assume o valor, equação(II.54):

 I 0=( )12

22 baM  +×= 163.94 Ton.m  (II.54)

Através da massa rotacional I 0 e da rigidez de rotação, pode determinar-se a frequência de

rotação, equação (II.55):

 Hz..

. I  K  f  f   yy xx 526

9416398275338

21

21

0

====ππ

θ   (II.55)

 No Quadro II.12 são apresentadas as frequências de vibração da estrutura 1 considerando a

estrutura reticulada sem lajes.

Modos devibração

1 2 3

FrequênciasHz

3.77  3.77  6.52

Quadro II.12 – Frequências de vibração para a estrutura 1 considerando a rigidez da estrutura reticulada sem

lajes.

 No Quadro II.13 estão representadas as acelerações regulamentares para as frequências de

vibração da estrutura reticulada através do método 3GL/Piso.

FrequênciasHz

SaSismo Tipo I

m/s2

SaSismo Tipo II

m/s2  xx–3.77Hz 4.14 2.5

 yy–3.77Hz 4.14 2.5

θ –6.52Hz 4.85 2.5

Quadro II.13 – Acelerações sísmicas regulamentares para a estrutura 1.

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 Anexo II 

AII.24

A determinação do deslocamento máximo segundo xx, yy e θ do piso 1 realizada-se através

da equação (II.41), encontrando-se aqueles representados no Quadro II.14:

u1 u2  uθ

0.0073818 0.0073818 0.0000418 – Sismo tipo I 0.0044577 0.0044577 0.0000216 – Sismo tipo II 

Quadro II.14 –  Deslocamentos máximos do piso segundo x, y e θ

A determinação das forças sísmicas para um qualquer pórtico é feita usando:

2

2

5.7 ×

2.5

280.00004183+

2

2.5

0.007382× K = final u× K = x1 F 

 

  

  

  

  = 25.03kN Tipo I   (II.56)

2

2

5.7 ×2.5

7 0.00002157 +

2

2.5

0.0044577 × K = final u× K = x1 F   

  

  

  

 = 15.11kN Tipo II   (II.57)

 Na Figura II.18 encontram-se representadas as forças sísmicas a aplicar aos pórticos para a

acção sísmica tipo I e para a acção sísmica tipo II .

Pórtico 25.03kN 

 fi  Pórtico 15.11 kN 

 f i 

Figura II.18 – Força sísmica de um pórtico para a acção sísmica tipo I e tipo II.

Por sua vez os cortes basais da estrutura 1, calculada através do método 3GL/piso,

encontram-se representados no Quadro II.15:

Solicitação xx Solicitação yy 

xx yy xx yy

Sismo I 50.0 kN 0.0 kN 0.0 kN 50.0 kN

Sismo II 30.2 kN 0.0 kN 0.0 kN 30.2 kN

Quadro II.15 – Corte basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 1.

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.25

II.4.1.3.4. Comparação dos cortes basais para as várias modelações da Estrutura 1

com recurso ao método 3GL/Piso

 No Quadro II.16 encontram-se representados os cortes basais da estrutura 1 na direção  xx para as várias modelações através do método 3GL/Piso. 

Estrutura c/Pilares encastrados

Estrutura c/Pilares com rótulas

Estrutura Reticulada

Corte Basal Corte Basal Corte Basal

Sismo I 51.3 kN 31.3 kN 50.0 kN

Sismo II 30.3 kN 29.2 kN 30.2 kN

Quadro II.16 – Comparação dos vários cortes basais segundo xx para a estrutura 1.

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 Anexo II 

AII.26

II.4.2. Cálculo da estrutura 2

II.4.2.1. Calculo da massa da estrutura 2

O cálculo da massa da estrutura 2 apresenta-se em seguida:

Peso dos pilares Gp = ÁreaComprimentonº de pilaresγBETÃO

= 0.300.304.001625.00

= 144.00 kN 

Peso da Laje GLAJE  = ÁreaEspessuraγBETÃO

= 95.405.400.2025

= 1312.20 kN 

Peso das vigas GViga = ÁreaComprimentonº de VigasγBETÃO

= 0.300.605.42425

= 583.20 kN

Peso dos Reves.GReves.= ÁreaRev. 

= 17.4017.401.00

= 302.76 kN

GTOTAL=2342.16kN

Massa do Piso = (2342.16-72.00)/9.81=2270.16/9.81=231.41 Ton.

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.27

II.4.2.2. Cálculo da estrutura 2 pelo método de Rayleigh

A rigidez do pórtico f calculada do mesmo modo que na secção II.4.1.2

A rigidez de cada pórtico assume o valor:

 K  Pórtico= 68906.12 kN/m  (II.58)

Consequentemente, a rigidez de translacção da estrutura é igual a:

 K Total = 468906.12=275624.48 kN/m  (II.59)

Calculada a rigidez da estrutura 2, importa aferir a massa da mesma estrutura. A massa

mobilizada na análise sísmica pode ser obtida do seguinte modo:

G + Ψ2Q =2278.87 kN   (II.60)

 Na Figura II.19, encontra-se representado o método de determinação do deslocamento da

estrutura 2 submetida ao carregamento da sua massa na horizontal.

m03307.0=∆  

2278.87 kN

G+Ψ2Q ∆  ∆

 Figura II.19 – Deslocamento da estrutura quando submetida ao seu peso na horizontal.

 Hz...

...

d  F 

d  F  g 

 f  ii

ii

 RAYLEIGH  742033070872278

033070872278819

2

1

2

122 =×

××

××

= ∑∑

ππ   (II.61)

Tal como já foi anteriormente referido, a frequência dada pelo método de Rayleigh é igual

à frequência de vibração de um oscilador de um grau de liberdade, uma vez que a forma do

modo de vibração é a forma da estrutura solicitada na horizontal pela sua massa.

Através da frequência de vibração calculada pela equação (II.28) podem, fazendo uso do

 RSA [RSA83], determinar-se as acelerações sísmicas.

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 Anexo II 

AII.28

 No Quadro II.17 estão representadas as acelerações sísmicas para as frequências das duas

direcções.

Frequências

Hz

Sa

Sismo Tipo Im/s2

Sa

Sismo Tipo IIm/s2  xx–2.74Hz 3.37 2.50

 yy–2.74Hz 3.37 2.50

Quadro II.17 – Acelerações sísmicas regulamentares para a estrutura 2.

A força sísmica numa dada direcção será dada pela equação (II.29).

 No Quadro II.18 encontram-se representadas as forças sísmicas globais para o piso 1, para

um sismo tipo I e para um sismo tipo II .

FrequênciasHz

Força SísmicaSismo Tipo I 

Força SísmicaSismo Tipo II

 xx–2.74Hz 312.84 kN 232.10 kN

 yy–2.74Hz 312.84 kN 232.10 kN

Quadro II.18 – Forças sísmicas globais na direcção xx e na direcção yy.

Tal como acontece para a estrutura 1, o centro de rigidez e o centro de massa são

coincidentes, logo, não existe torção no edifício causada pelas forças sísmicas segundo xx e

segundo yy. No entanto, a ausência de acção sísmica rotacional impõe a consideração deuma excentricidade, segundo o   Artigo 32.2 do RSA [RSA83]. O cálculo desta força

adicional é realizado com base nas equações (II.30) a (II.32)

A força  f’ i  é determinada através de um momento M  gerado pela excentricidade

regulamentar  e = 0.05 a.

M = 4 f i0.0517.1  (II.62)

 f' i Pórtico interior = 0.00514 f i  (II.63)

 f' i Pórtico exterior = 0.01544 f i  (II.64)

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.29

Através das equações (II.62) a (II.64) obresva-se que  f   Pórtico interior =1.10 F i /4  e,  f  Pórtico

exterior =1.30 F i /4.

 Na Figura II.20 estão representadas as solicitações de um sismo tipo I e tipo II num pórticoexterior da estrutura.

Pórtico exterior  101.67 kN

 N  Sismo Tipo I 

Pórtico exterior  75.43 kN

 N  Sismo Tipo II 

Figura II.20 – Força sísmica de um pórtico exterior para a acção sísmica tipo I e tipo II.

 Na Figura II.21 estão representadas as solicitações de um sismo tipo I e tipo II , num pórtico

interior da estrutura.

Pórtico interior  

86.03 kN

 N  Sismo Tipo I 

Pórtico interior  63.83 kN

 N  Sismo Tipo II 

Figura II.21 – Força sísmica de um pórtico interior para a acção sísmica tipo I e tipo II.

 No Quadro II.19 estão representados os cortes basais em  xx e em  yy  para a acção sísmica

tipo I e tipo II .

Solicitação xx Solicitação yy 

xx yy xx yy

Sismo I 375.40 0.00 0.00 375.40

Sismo II 278.52 0.00 0.00 278.52

Quadro II.19 – Corte basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 2.

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 Anexo II 

AII.30

II.4.2.3. Cálculo da estrutura 2 pelo método 3GL/piso

Em seguida, serão apresentadas as frequências de vibração da estrutura 2 para três

situações diferentes, considerando que os pilares se encontram encastrados nos pisos,considerando que estes se apoiam nos pisos e ainda, considerando a rigidez da estrutura

reticulada.

II.4.2.3.1. Estrutura 2 considerando os pilares encastrados no piso

Como foi referido, a estrutura é simétrica, logo, a rigidez da estrutura à translação  xx  é

igual à rigidez segundo  yy.

 Na Figura II.22 está representada a estrutura 2 com os pilares encastrados no piso.

m2

0.03505=∆

2278.87 kN

G+Ψ2Q ∆  Piso Rígido 

3.70 

5.70  5.70  5.70 

∆   ∆  

Figura II.22 – Deslocamento da estrutura 2 quando submetida ao seu peso na horizontal considerando que o

 piso e as vigas são infinitamente rígidos.

A rigidez do pórtico é dada por:

 K  Pórtico =3

124

 L

 EI  PILAR×× = 18549.74kN/m  (II.65)

Como a estrutura possui 4 pórticos iguais em cada direcção, as rigidezes horizontal em xx e

em yy são iguais, assumindo o valor:

 K  xx = K  yy =3 PILAR

 L

 EI ×12×16 = 74198.96kN/m 

(II.66)

A frequência de vibração da estrutura é dada pela equação (II.67)

2.84Hz=2278.87 

74198.96 ×9.81

2π 

1=

 K 

2π 

1= yy f = xx f    (II.67)

A rigidez da estrutura à rotação pode ser calculada com base na equação (II.68), [Clou93]:

 K θ = 4 K  Pórtico 2

2

5.7  

  

 +4 K  Pórtico 

25.7 +

2

5.7  

  

 = 6026810.56 kNm/rad   (II.68)

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.31

A massa rotacional assume o valor de:

I0=( )12

22 baM  +×= 232.30((5.73)2

2)/12 = 11321.18 Ton.m2  (II.69)

A frequência de rotação é igual a:

 Hz..

.

 I 

 K  f  673

1811321

566026810

2

1

2

1

0

===ππ

θθ   (II.70)

 No Quadro II.20 estão representadas as frequências de vibração para as várias direcções

em análise.

Modos devibração 1 2 3

FrequênciasHz

2.84  2.84  3.67

Quadro II.20 – Frequências de vibração para a estrutura 2 considerando os pilares encastrados no piso. 

 Neste exemplo, não é necessário usar a combinação quadrática para determinar o máximo

deslocamento numa dada direcção, pois só existe um modo por direcção. Usar-se-á a

combinação quadrática simples (CQS) para combinar resultados de diferentes direcções.

 No Quadro II.21 encontram-se representadas as acelerações sísmicas regulamentares.

FrequênciasHz

SaSismo Tipo I

m/s2

SaSismo Tipo II

m/s2  xx–2.84Hz 2.84 2.50

 yy–2.84Hz 2.84 2.50

θ –3.67Hz 3.67 2.50

Quadro II.21 – Acelerações sísmicas regulamentares para a estrutura 2.

Os deslocamentos máximos segundo   xx, yy e θ do piso 1 são determinados usando a

equação (II.41), apresentando-se aqueles no Quadro II.22. 

u1 u2  uθ

0.010865 0.010865 0.0000626  –Sismo tipo I 0.007852 0.007852 0.0000383  –Sismo tipo II 

Quadro II.22 – Deslocamentos máximos do piso segundo x, y e θ

As forças sísmicas para um qualquer pórtico exterior são:

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 Anexo II 

AII.32

22

1 2

375

52

000062590

52

0108650 

  

  ××+

 

  

 ×=×=.

.

.

.

. K u K  F   final  x = 80.71kN Tipo I (II.71)

22

1

2

375

52

000038330

52

00785180 

  

  ××+

 

  

 ×=×=

.

.

.

.

. K u K  F   final  x = 58.31kN Tipo II (II.72)

A determinação das forças sísmicas para um qualquer pórtico interior é feita do mesmo

modo resultando em:

22

1 2

75

52

000062590

52

0108650 

  

 ×+

 

  

 ×=×=

.

.

.

.

. K u K  F   final  x = 80.62kN Tipo I (II.73)

22

1 2

75

52

000038330

52

00785180 

  

 ×+

 

  

 ×=×=

.

.

.

.

. K u K  F   final  x = 58.26kN Tipo II (II.74)

 Na Figura II.23, estão representadas as forças sísmicas a aplicar aos pórticos para a acção

 sísmica tipo I e para a acção sísmica tipo II  para um pórtico exterior. Para um pórtico

interior as forças estão representadas na Figura II.24.

Pórtico exterior  80.71 kN

 N  Sismo Tipo I 

Pórtico exterior  58.31kN

 N  Sismo Tipo II 

Figura II.23 – Força sísmica de um pórtico exterior para a acção sísmica tipo I e tipo II.

Pórtico interior  86.62 kN

 N  Sismo Tipo I 

Pórtico interior  58.26 kN

 N  Sismo Tipo II 

Figura II.24 – Força sísmica de um pórtico interior para a acção sísmica tipo I e tipo II.

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.33

 No Quadro II.23 estão representados os cortes basais da estrutura 2 calculada através do

método 3GL/piso, considerando que os pilares da estrutura se encontram encastrados no

 piso.

Solicitação xx Solicitação yy 

Xx yy Xx Yy

Sismo I 322.7 0.0 0.0 322.7

Sismo II 233.1 0.0 0.0 233.1

Quadro II.23 – Corte basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 2.

II.4.2.3.2. Estrutura 2 considerando os pilares duplamente apoiados na laje

Considerando a simetria da estrutura concluí-se que a rigidez da estrutura à translação em

 xx e yy é igual.

m2

0.03505=∆  

2278.87 kN

G+Ψ2Q ∆  

Rótulas 3.70 

5.70  5.70  5.70 

∆   ∆  

Figura II.25 – Deslocamento da estrutura 2 com rótulas nos pilares solicitada na horizontal pelo peso daestrutura.

A rigidez de cada pórtico é dada por:

 K  Pórtico =3

34

 L

 EI  PILAR×× = 4637.44N/m (II.75)

Considerando que a estrutura é simétrica, e que possui 4 pórticos em cada direcção:

 K  xx = K  yy = 3

316  L

 EI  PILAR

×× = 18549.76N/m  (II.76)

A frequência de vibração é dada pela equação (II.77):

 Hz..

..

 K  f  f   yy xx 421

872278

7618549819

2

1

2

1=

×===

ππ  (II.77)

A rigidez da estrutura à rotação pode ser obtida com base na equação (II.78): [Clou93]

 K θ = 4 K  Pórtico 2

2

75 

  

  .+4 K  Pórtico 

2

752

75 

  

 + .

.= 1506702.63 kNm/rad  (II.78)

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 Anexo II 

AII.34

A massa rotacional e a frequência rotacional são dadas por:

I0=( )12

22 baM  +×= 11321.18 Ton.m2  (II.79)

 Hz.. . I  K  f  8411811321 6315067022121 0=== ππ

θθ   (II.80)

 No Quadro II.24 são apresentadas as frequências de vibração da estrutura:

Modos devibração

1 2 3

FrequênciasHz

1.42  1.42  1.84

Quadro II.24 - Frequências de vibração para a estrutura 2 considerando os pilares duplamente apoiados no

 piso.

As acelerações regulamentares são apresentadas no Quadro II.25.

FrequênciasHz

SaSismo Tipo I

m/s2

SaSismo Tipo II

m/s2  Xx–1.97Hz 2.58 2.41

 yy–1.97Hz 2.58 2.41

θ –3.41Hz 3.91 2.50

Quadro II.25 – Acelerações sísmicas regulamentares para a estrutura 2.

Os deslocamentos máximos segundo   xx, yy e θ do piso 1 são determinados usando a

equação (II.41), encontrando-se aqueles no Quadro II.26. 

u1 u2  uθ

0.024112 0.024112 0.0000744  –Sismo tipo I 0.027521 0.027521 0.0000733  –Sismo tipo II 

Quadro II.26 – Deslocamentos máximos do piso segundo x, y e θ

A força sísmica para cada pórtico exterior é dada por:

22

1 2

375

52

00007440

52

0241120 

  

  ××+

 

  

 ×=×=

.

.

.

.

. K u K  F   final  x = 44.74kN Tipo I (II.81)

22

1 2

375

52

00007330

52

027520 

  

  ××+

 

  

 ×=×=

.

.

.

.

. K u K  F   final  x = 51.06kN Tipo II (II.82)

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.35

Do mesmo modo, para os pórticos interiores:

22

1 2

75

52

00007440

52

0241120 

  

 ×+

 

  

 ×=×=

.

.

.

.

. K u K  F   final  x = 44.73kN Tipo I (II.83)

22

1 2

75

52

00007330

52

027520 

  

 ×+

 

  

 ×=×=

.

.

.

.

. K u K  F   final  x = 44.73kN Tipo II (II.84)

 No Quadro II.27 estão representados os cortes basais da estrutura 2 calculada através do

método 3GL/piso considerando que os pilares da estrutura se encontram apoiados no piso.

Solicitação xx Solicitação yy 

xx yy xx yy

Sismo I 178.9 0.0 0.0 178.9

Sismo II 204.2 0.0 0.0 204.2

Quadro II.27 – Corte basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 2.

II.4.2.3.3. Estrutura 2 considerando somente a estrutura reticulada (vigas e pilares)

Encontra-se na Figura II.26 representada a deformada da estrutura devido à aplicação, ao

nível do piso, de uma força igual ao peso da estrutura com direcção horizontal. 

m1323.0=∆  

2278.87 kN

G+Ψ2Q ∆  ∆

 Figura II.26 – Deslocamento da estrutura 2 com a rigidez da estrutura reticulada para o peso da estrutura

solicitanda na horizontal.

A rigidez de cada pórtico assume o valor, K  Pórtico = 17226.53N/m-

Considerando a simetria da estrutura, podemos verificar que K xx = K yy :K  xx = K  yy = 68906.12N/m (II.85)

A frequência de vibração é dada na equação (II.86).

 Hz..

..

 K  f  f   yy xx 742

872278

53172264819

2

1

2

1=

××===

ππ  (II.86)

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 Anexo II 

AII.36

A rigidez da estrutura à rotação pode ser observada na equação (II.87). [Clou93]]

K θ = 4K  Pórtico 2

2

75 

  

  .+4 K  Pórtico 

2

752

75 

  

 + .

.= 5596899.60 kNm/rad (II.87)

A massa e a frequência rotacional são dadas por:

I0=( )12

22 baM  +×= 11321.18 Ton.m2  (II.88)

 Hz..

.

 I 

 K  f  543

1811321

605596899

2

1

2

1

0

===ππ

θθ   (II.89)

 No Quadro II.28 encontram-se representadas as frequências de vibração da estrutura 2.

Modos devibração

1 2 3

FrequênciasHz

2.74 2.74 3.54

Quadro II.28 – Frequências de vibração para a estrutura 2 considerando a rigidez da estrutura reticulada sem

lajes.

 No Quadro II.29 encontram-se apresentadas as acelerações regulamentares da estrutura 2.

FrequênciasHz

SaSismo Tipo I

m/s2

SaSismo Tipo II

m/s2 

 xx–2.74Hz 3.37 2.50 yy–2.74Hz 3.37 2.50

θ –3.54Hz 4.00 2.50

Quadro II.29 – Acelerações sísmicas regulamentares para a estrutura 2.

Os deslocamentos máximos segundo   xx, yy e θ do piso 1 são determinados usando a

equação (II.41), encontrando-se aqueles representados no Quadro II.30.

u1 u2  uθ

0.01137 0.01137 0.0000637  –Sismo tipo I 0.00844 0.00844 0.0000397  –Sismo tipo II 

Quadro II.30 – Deslocamentos máximos do piso segundo x, y e θ

A força sísmica para cada pórtico exterior é dada por:

22

1 2

375

52

00006370

52

011370 

  

  ××+

 

  

 ×=×=.

.

.

.

. K u K  F   final  x = 78.36kN Tipo I (II.90)

22

1 2

375

52

00003970

52

008440

 

 

 

  ××+

 

 

 

 ×=×=

.

.

.

.

. K u K  F 

 final  x= 58.13kN Tipo II

(II.91)

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.37

Do mesmo modo para os pórticos interiores:

22

1 2

75

52

00006370

52

011370 

  

 ×+

 

  

 ×=×=

.

.

.

.

. K u K  F   final  x = 78.44kN Tipo I (II.92)

22

1 2

75

52

00003970

52

008440 

  

 ×+

 

  

 ×=×=

.

.

.

.

. K u K  F   final  x = 58.17kN Tipo II (II.93)

As forças sísmicas a aplicar aos pórticos para a acção sísmica tipo I e para a acção sísmica

tipo II  para um pórtico exterior e interior são apresentadas, respectivamente, na Figura

II.27 e na Figura II.28.

Pórtico exterior  78.36 kN

 N  Sismo Tipo I 

Pórtico exterior  58.13 kN

 N  Sismo Tipo II 

Figura II.27 – Força sísmica de um pórtico exterior para a acção sísmica tipo I e tipo II.

Pórtico interior  78.44 kN

 N  Sismo Tipo I 

Pórtico interior  58.17 kN

 N  Sismo Tipo II 

Figura II.28 – Força sísmica de um pórtico interior para a acção sísmica tipo I e tipo II.

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 Anexo II 

AII.38

 No Quadro II.31 estão representados os cortes basais da estrutura 2 calculada através do

método 3GL/piso, considerando a rigidez da estrutura reticulada.

Solicitação xx Solicitação yy Modos de vibração

xx yy xx yySismo I 313.6 0.0 0.0 313.6

Sismo II 232.6 0.0 0.0 232.6

Quadro II.31 – Corte basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 2.

II.4.2.3.4. Comparação dos cortes basais para as várias modelações da Estrutura 2

com recurso ao método 3GL/Piso

 No Quadro II.32 encontram-se representados os cortes basais da estrutura 2 na direção  xx

 para as várias modelações através do método 3GL/Piso. 

Estrutura c/Pilares encastrados

Estrutura c/Pilares com rótulas

Estrutura Reticulada

Corte Basal Corte Basal Corte Basal

Sismo I 322.7 178.9 313.6

Sismo II 233.1 204.2 232.6

Quadro II.32 – Comparação dos vários cortes basais segundo xx para a estrutura 2.

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.39

II.4.3. Cálculo da estrutura 3

II.4.3.1. Cálculo da massa da estrutura 3

Em seguida é quantificada a massa da estrutura 3.

Piso [0]

Peso dos pilares Gp = ÁreaComprimentonº de pilaresγBETÃO

= 0.300.304.00/2425.00

= 18.00 kN

[G + Ψ2Q]Piso 0 = 18.00 kN

Pisos [1, 2, 3]

Peso dos pilares Gp = ÁreaComprimentonº de pilaresγBETÃO

= 0.300.304.00425.00

= 36.00 kN

Peso da Laje GLAJE = ÁreaEspessuraγBETÃO

= 5.405.400.2025

= 145.80 kN

Peso das vigas GViga = Área

Comprimento

nº de Vigas

γBETÃO

= 0.300.605.4425

= 97.20 kN 

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 Anexo II 

AII.40

Peso dos Reves.GReves.= ÁreaRev. 

= 5.405.401.50

= 43.74 kN

Paredes Ext. GReves  = PExtComprimento. 

= 10.005.404

= 216.00 kN

Sobrecarga Q = ÁreaQDistribuida

= 5.405.402.00

= 58.32 kN

[G + Ψ2Q]Piso 1, 2, 3 = 550.40 kN

Massa do Piso = (550.40)/9.81=56.11 Ton. 

Piso [4]

Peso dos pilares Gp = ÁreaComprimentonº de pilaresγBETÃO

= 0.300.304.00425.00

= 18.00 kN

Peso da Laje GLAJE = ÁreaEspessuraγBETÃO

= 5.405.400.2025

= 145.80 kN

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.41

Peso das vigas GViga = ÁreaComprimentonº de VigasγBETÃO

= 0.300.605.4425

= 97.20 kN

Peso dos Reves.GReves.= ÁreaRev. 

= 6.006.001.50

= 54.00 kN

Sobrecarga Q = ÁreaQDistribuida

= 5.405.402.00

= 58.32 kN

[G + Ψ2Q]Piso 1, 2, 3 = 315.00 kN

Massa do Piso = (315)/9.81=32.11 Ton.

Massa total da estrutura 3

[G + Ψ2Q]Estrutura 3= (18.00 + 550.403 + 315.00) = 1984.21 kN 

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 Anexo II 

AII.42

II.4.3.2. Cálculo da estrutura 3 pelo método de Rayleigh

 Na Figura II.29 encontra-se representada a deformada da estrutura 3 quando solicitada à

seu peso aplicado na horizontal.

P2 

V1 

P1 

V2 

V3 

V4 

550.40 kN

[G+Ψ2Q]1 1 

4  d4

d3

d2

d1

550.40 kN

[G+Ψ2Q]2 

550.40 kN

[G+Ψ2Q]3 

315.00 kN

[G+Ψ2Q]4  0.376m

0.341m

0.257m

0.125m

=

=

=

=

Figura II.29 – Deslocamentos da estrutura 3 submetida às massas por piso.

Podemos observar no Quadro II.33 os valores necessários à determinação da frequência de

Rayleigh através da equação (II.94).

Fi[G+Ψ2Q]

di Fidi Fidi2

Piso 4 315.00 0.376 118.44 44.53Piso 3 550.40 0.341 187.69 64.00Piso 2 550.40 0.257 141.18 36.21Piso 1 550.40 0.125 68.52 8.53

Σ  515.83 153.28

Quadro II.33 – Cálculos auxiliares à determinação da frequência pelo método de Rayleigh.

 Hz..

..

d  F 

d  F  f 

ii

ii RAYLEIGH  910

28153

83515819

2

1

2

12

×=

∑∑

ππ  (II.94)

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.43

 No Quadro II.34 apresentam-se as acelerações sísmicas da estrutura 3 para um sismo tipo I  

e para um sismo tipo II [RSA83].

Frequências

Hz

Sa

Sismo Tipo Im/s2

Sa

Sismo Tipo IIm/s2  xx–0.91Hz 1.22 1.62

 yy–0.91Hz 1.22 1.62

Quadro II.34 – Acelerações sísmicas regulamentares para a estrutura 3.

 No Quadro II.35 podem ser observadas as forças sísmicas globais por piso da estrutura 3

 para um sismo tipo I e para um sismo tipo II .

Fi

[G+Ψ2Q]

di Fidi Fidi2 fi (I)  fi (II) 

Piso 4 315.00 0.376 118.44 44.53 19.63 26.20

Piso 3 550.40 0.341 187.69 64.00 31.10 41.53

Piso 2 550.40 0.257 141.18 36.21 23.39 31.24

Piso 1 550.40 0.125 68.52 8.53 11.35 15.16

Σ  515.83 153.28 85.47 114.13

Quadro II.35 – Cálculo das forças sísmicas globais por piso.

Através das excentricidades regulamentares previstas no R.S.A. [RSA83] o corte basal da

estrutura será igual para ambas as direcções, assumindo os resultados na tabela QuadroII.36.

Solicitação xx Solicitação yy 

xx yy xx yy

Sismo I 111.11 0.0 0.0 111.11

Sismo II 148.36 0.0 0.0 148.36

Quadro II.36 – Corte basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 3.

II.4.3.3. Cálculo da estrutura 3 pelo método 3GL/piso

Em seguida, são apresentadas as frequências de vibração da estrutura 3 para duas situações

diferentes: considerando que os pilares se encontram encastrados nos pisos e considerando

a rigidez da estrutura reticulada.

 Neste exemplo não foi considerada a situação dos pilares duplamente apoiados no último

 piso, uma vez não se prevê que exista uma influência na rigidez global da estrutura.

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 Anexo II 

AII.44

II.4.3.3.1. Estrutura 3 considerando os pilares encastrados no piso

A metodologia de cálculo da matriz de rigidez da estrutura consistiu em fixar todos os

 pisos excepto um. Nesse piso é aplicado um deslocamento unitário aquele em que se forçaum deslocamento unitário, como se apresenta na Figura II.30.

K11  ∆=?m Piso Rígido 

3.70 

5.70 

4.00 

K21  Piso Rígido 

Piso Rígido 

Piso Rígido  Piso Rígido 

Piso Rígido 

Piso Rígido 

Piso Rígido 

5.70 

3.70 

K32 

4.00 

K22 ∆=1m 

4.00 

4.00 

K12 

3.70 

5.70 

4.00 

4.00 

K33 

4.00 

K23 

K43 

∆=1m 

Piso Ríg

 

ido 

Piso Rígido 

Piso Rígido 

Piso Rígido 

3.70 

5.70 

K34 

K44 

4.00 

∆=1m 

Piso Rígido 

4.00 

Piso Rígido 4.00 

Piso Rígido 

Piso Rígido 

4.00 

4.00 

Figura II.30 – Metodologia utilizada para calcular a matriz de rigidez da estrutura 3 considerando pisos e

vigas infinitamente rígidos.

As componentes da matriz de rigidez são determinadas com auxilio da matriz de rigidez de

uma barra bi-encastrada como é possível observar na Figura II.31.

3

1221

 L

 I  E  F  F 

××=−=  

12

3hb I  .rect 

×=  

F2 

F1 

∆=1m 

E=29GPa [B25]

Figura II.31 – Rigidez de uma barra bi-encastrada com um deslocamento diferencial de 1m.

m / kN . K m / kN . K  . L. L 3125367043514637 004703 == ==   (II.95)

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.45

Assim se obtêm os termos da matriz de rigidez da estrutura porticada, cujos termos são

apresentados no Quadro II.37.

K 11= 8307.748 K 21= -3670.313 K 31= 0.000 K 41= 0.000

K 12= -3670.313 K 22= 7340.625 K 32= -3670.313 K 42= 0.000K 13= 0.000 K 23= -3670.313 K 33= 7340.625 K 43= -3670.313

K 14= 0.000 K 24= 0.000 K 34= -3670.313 K 44= 3670.313

Quadro II.37 – Coeficientes da matriz de rigidez de um pórtico pertencente à estrutura 3.

A matriz de forças mássicas da estrutura é uma matriz diagonal com os coeficientes já

calculados anteriormente e representados de seguida no Quadro II.38.

[G+Ψ2Q]1 550.40kN

[G+Ψ2

Q]2 550.40kN

[G+Ψ2Q]3  550.40kN

[G+Ψ2Q]4  315.00kN

Quadro II.38 – Massa dos vários pisos.

Uma vez que a estrutura é simétrica, e possui carregamento simétrico, a rigidez à

translação, bem como a flexibilidade são iguais nas duas direcções, logo K  xx, K  yy são iguais

a K TRANS.

A matriz de rigidez global pode ser representada da seguinte forma:

=

×

4

4

3

3

2

2

1

1

4

4

3

3

2

2

1

1

8887868584838281

7877767574737271

6867666564636261

5857565554535251

4847464544434241

3837363534333231

2827262524232221

1817161514131211

 PISO

 PISO

 PISO

 PISO

 PISO

 PISO

 PISO

 PISO

 PISO

 PISO

 PISO

 PISO

 PISO

 PISO

 PISO

 PISO

 F 

 F 

 F 

 F 

 K  K  K  K  K  K  K  K 

 K  K  K  K  K  K  K  K 

 K  K  K  K  K  K  K  K 

 K  K  K  K  K  K  K  K 

 K  K  K  K  K  K  K  K 

 K  K  K  K  K  K  K  K 

 K  K  K  K  K  K  K  K 

 K  K  K  K  K  K  K  K 

θ

θ

θ

θ

 

(II.96)

Os coeficientes da matriz rigidez são, os seguintes:

k ij=

91238496

0002514681

9123849600081476993

00025146810005029362

0000009123849600081476993

00000000025146810005029362

0000000000009123849600044539837

00000000000000025146810009933320

.

...SIM 

...

....

.....

......

.......

........

 (II.97)

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 Anexo II 

AII.46

Da resolução do problema de valores próprios representado em 5.29 obtêm-se as

frequências de vibração do Quadro II.39.

Modos devibração

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

FrequênciasHz

1.04 1.04 2.93 2.93 4.29 4.29 5.00 5.00 1.80 5.06 7.44 8.65

Quadro II.39 – Frequências de vibração para a estrutura 3 considerando a rigidez da estrutura reticulada sem

lajes.

As análises de translação e de rotação da estrutura foram efectuadas independentemente

com o objectivo de simplificar o cálculo das forças sísmicas:

A análise de translação pode resumir-se no cálculo dos seguintes pontos:

- Matriz de Rigidez para translação de um só pórtico

A matriz de rigidez de um pórtico é a apresentada na matriz (II.98):

16615.5 -7340.5 0.0 0.0

-7340.5 14681.0 -7340.5 0.0kN/m (II.98)0.0 -7340.5 14681.0 -7340.5

0.0 0.0 -7340.5 7340.5

- Matriz de Rigidez para translação global

Uma vez que a estrutura possui dois pórticos, a matriz de translação toma a seguinte forma:

33231.0 -14681.0 0.0 0.0

-14681.0 29362.0 -14681.0 0.0 kN/m (II.99)0.0 -14681.0 29362.0 -14681.0

0.0 0.0 -14681.0 14681.0

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.47

- Matriz de Massa para translação global

A matriz de massa para os modos de translação consiste na massa dos vários pisos. Foi

considerada metade da massa dos pilares por piso.56.2 0.0 0.0 0.0

0.0 56.2 0.0 0.0 Ton. (II.100)0.0 0.0 56.2 0.0

0.0 0.0 0.0 32.1

- Frequências de vibração

Através da resolução de valores próprios da equação 5.33 são obtidas as frequências de

vibração do Quadro II.40. São também apresentadas as acelerações sísmicas modaisregulamentares função das frequências modais.

W2

(rad/s)2W

(rad/s)f 

(Hz)Sa I

(m/s2)Sa II(m/s2)

985.20 31.39 5.00 4.63 2.50

728.62 26.99 4.30 4.40 2.50

337.55 18.37 2.92 3.53 2.50

42.53 6.52 1.04 1.40 1.81

Quadro II.40 – Frequências de vibração e acelerações sísmicas para a estrutura 3.

- Modos de Vibração

A cada frequência pertencente ao Quadro II.41 (valor próprio) está associado um modo de

vibração, (vector próprio).

φ1 φ2 φ3 φ4

0.3513 0.6210 0.5373 -0.2061

-0.5290 -0.3254 0.5223 -0.4330

0.5845 -0.3648 -0.1672 -0.5895

-0.5051 0.6127 -0.6408 -0.6500

Quadro II.41 – Modos de vibração para a estrutura 3.

- Deslocamentos modais

Após determinados os modos de vibração, foram calculados os deslocamentos modais

minorados do coeficiente de comportamento (2.5) para posterior utilização no cálculo das

forças sísmicas por pórtico. Esses deslocamentos estão apresentados no Quadro II.42.

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 Anexo II 

AII.48

SISMO I SISMO II

D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m) D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m)

0.87×10-5 5.03×10-5 14.34×10-5 5.31×10-3 0.47×10-5 2.86×10-5 10.15×10-5 6.86×10-3 

-1.31×10-5 -2.60×10-5 13.94×10-5 11.16×10-3 -0.71×10-5 -1.50×10-5 9.87×10-5 14.42×10-3 

1.45×10-5 -3.00×10-5 -4.50×10-5 15.20×10-3 0.78×10-5 -1.70×10-5 -3.20×10-5 19.63×10-3 

-1.25×10-5 4.9×10-5 -17.10×10-5 16.76×10-3 -0.68×10-5 2.82×10-5 -12.10×10-5 21.65×10-3 

Quadro II.42- Deslocamentos modais de translação para a estrutura 3.

- Forças por modais máximas por pórtico

Através da matriz de rigidez de um pórtico, e dos deslocamentos modais apresentados noQuadro II.42, foram calculadas as forças sísmicas modais apresentadas no Quadro II.43.

SISMO I SISMO II

f1 (kN) f2 (kN) f3 (kN) f4 (kN) f1 (kN) f2 (kN) f3 (kN) f4 (kN)

2.414 10.300 13.596 6.346 1.304 5.849 9.621 8.198

-3.635 -5.397 13.217 13.333 -1.964 -3.065 9.353 17.224

4.017 -6.049 -4.230 18.149 2.170 -3.435 -2.994 23.446

-1.987 5.815 -9.280 11.454 -1.073 3.302 -6.567 14.796

Quadro II.43– Forças sísmicas modais para a estrutura 3.

- Cortes modais

Com as forças sísmicas modais calculadas no Quadro II.43 foram determinados os

cortes modais combinados através do método CQS [Cho95] e através do método CQC

[Cho95]. Os resultados são apresentados no Quadro II.44 para acção sísmica tipo I e no

Quadro II.45 para acção sísmica tipo II .

Cortes Modais I

V1 (kN) V2 (kN) V3 (kN) V4 (kN) CQS (kN) CQC (kN)

0.809 4.669 13.302 49.282 51.265 51.575

-1.605 -5.631 -0.293 42.936 43.334 43.373

2.030 -0.234 -13.510 29.603 32.604 32.400

-1.987 5.815 -9.280 11.454 15.971 15.484

Quadro II.44 – Combinação quadrática dos cortes modais para a acção sísmica tipo I.

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.49

Cortes Modais II

V1 (kN) V2 (kN) V3 (kN) V4 (kN) CQS (kN) CQC (kN)

0.437 2.651 9.414 63.664 64.413 64.592

-0.867 -3.198 -0.208 55.466 55.565 55.565

1.097 -0.133 -9.561 38.242 39.435 39.291

-1.073 3.302 -6.567 14.796 16.556 16.343

Quadro II.45  – Combinação quadrática dos cortes modais para a acção sísmica tipo II.

A análise de rotação pode resumir-se de uma forma idêntica ao cálculo dos seguintes

 pontos:

- Matriz de Rigidez para rotação global

539837.6 -238492.8 0.0 0.0

-238492.8 476985.7 -238492.8 0.0 kN/m (II.101)0.0 -238492.8 476985.7 -238492.8

0.0 0.0 -238492.8 238492.8

- Matriz de Massa Rotacional

304.1 0.0 0.0 0.0

0.0 304.1 0.0 0.0 Ton. (II.102)0.0 0.0 304.1 0.0

0.0 0.0 0.0 174.1

- Frequências de vibração

Através da resolução de valores próprios da equação 5.33 são obtidas as frequências de

vibração do Quadro II.46. São também apresentadas as acelerações sísmicas modais

regulamentares função das frequências modais.

W2

(rad/s)2 

W

(rad/s)

(Hz)

Sa I (Tran.)

(m/s2)

Sa II (Tran.)

(m/s2)

Sa I (Rot.)

(m/s2)

Sa II (Rot.)

(m/s2)

2955.60 54.37 8.65 4.10 2.50 0.063 0.038

2185.85 46.75 7.44 4.87 2.50 0.064 0.033

1012.66 31.82 5.06 4.64 2.50 0.042 0.023

127.59 11.30 1.80 2.38 2.36 0.008 0.008

Quadro II.46 – Frequências de vibração e acelerações sísmicas para a estrutura 3.

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 Anexo II 

AII.50

- Modos de Vibração

φ1 φ2 φ3 φ4

0.411174 0.626402 -0.498736 0.184748

-0.561425 -0.240134 -0.547465 0.4203610.561011 -0.419750 0.120047 0.589318

-0.44836 0.611364 0.661161 0.664732

Quadro II.47 – Modos de vibração de rotação para a estrutura 3.

- Deslocamentos modais de rotação 

SISMO I SISMO I (Translação Pórtico)

D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m) D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m)

-0.464×10-7 -2.500×10-7 5.250×10-7 8.620×10-7 -1.322×10-7 -7.053×10-7 14.964×10-7 24.559×10-7 

0.634×10-7 0.949×10-7 5.760×10-7 19.600×10-7 1.806×10-7 2.704×10-7 16.426×10-7 55.880×10-7 

-0.633×10-7 1.660×10-7 -1.300×10-7 27.500×10-7 -1.804×10-7 4.726×10-7 -3.602×10-7 78.340×10-7 

0.506×10-7 -2.400×10-7 -7.000×10-7 31.000×10-7 1.442×10-7 -6.884×10-7 -19.837×10-7 88.365×10-7 

SISMO II SISMO II (Translação Pórtico)

D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m) D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m)

-0.283×10-7 -1.300×10-7 2.830×10-7 8.540×10-7 -0.806×10-7 -3.622×10-7 8.056×10-7 24.353×10-7 

0.386×10-7 0.487×10-7 3.100×10-7 19.400×10-7 1.101×10-7 1.388×10-7 8.843×10-7 55.410×10-7 

-0.386×10-7 0.852×10-7 -0.680×10-7 27.300×10-7 -1.100×10-7 2.427×10-7 -1.939×10-7 77.681×10-7 

0.308×10-7 -1.200×10-7 -3.700×10-7 30.700×10-7 0.879×10-7 -3.535×10-7 -10.680×10-7 87.622×10-7 

Quadro II.48- Deslocamentos modais de translação para a estrutura 3.

- Forças modais máximas por pórtico

Através da matriz de rigidez de um pórtico, e dos deslocamentos modais apresentados no

Quadro II.48, foram calculadas as forças sísmicas modais apresentadas no Quadro II.49. 

SISMO I SISMO II

f1 (kN) f2 (kN) f3 (kN) f4 (kN) f1 (kN) f2 (kN) f3 (kN) f4 (kN)

-35.22×10-3 -137.04×10-3 128.06×10-3 -2.13×10-3 -21.47×10-3 -70.37×10-3 68.94×10-3 -2.11×10-3 

49.46×10-3 56.78×10-3 157.74×10-3 65.04×10-3 30.14×10-3 29.15×10-3 84.92×10-3 64.50×10-3 

-50.32×10-3 100.07×10-3 -27.84×10-3 91.28×10-3 -30.67×10-3 51.39×10-3 -14.98×10-3 90.51×10-3 

23.83×10-3 -85.23×10-3 -119.17×10-3 73.59×10-3 14.52×10-3 -43.76×10-3 -64.16×10-3 72.97×10-3 

Quadro II.49 – Forças modais para os modos de rotação.

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.51

- Cortes modais

Cortes Modais I

V1 (kN) V2 (kN) V3 (kN) V4 (kN) CQS (kN) CQC (kN)

-0.0123 -0.0654 0.1388 0.2278 0.2749 0.27510.0230 0.0716 0.0107 0.2299 0.2421 0.2448

-0.0265 0.0148 -0.1470 0.1649 0.2230 0.2207

0.0238 -0.0852 -0.1192 0.0736 0.1657 0.1643

Quadro II.50 – Combinação quadrática dos cortes modais para a acção sísmica tipo I.

Cortes Modais II

V1 (kN) V2 (kN) V3 (kN) V4 (kN) CQS (kN) CQC (kN)

-0.0075 -0.0336 0.0747 0.2259 0.2404 0.2409

0.0140 0.0368 0.0058 0.2280 0.2314 0.2324

-0.0162 0.0076 -0.0791 0.1635 0.1825 0.1813

0.0145 -0.0438 -0.0642 0.0730 0.1076 0.1064

Quadro II.51  – Combinação quadrática dos cortes modais para a acção sísmica tipo II.

A combinação de resultados provenientes das várias direcções é efectuada através do

método CQS 

- Combinação quadrática simples nas várias direcções

Cortes Modais Combinados Total

Acção Sísmica Tipo I Força por piso

Translação

(CQC)

Rotação

(CQC)

Cortes Basais

(CQC)

Força por

Pórtico (KN)

51.57 kN 0.28 kN 51.58 kN 8.20 kN

43.37 kN 0.24 kN 43.37 kN 10.97 kN

32.40 kN 0.22 kN 32.40 kN 16.92 kN

15.48 kN 0.16 kN 15.48 kN 15.48 kN

Σ 51.57 kN

Quadro II.52  – Determinação da acção sísmica tipo I para as várias direcção.

Cortes Modais Combinados Total

Acção Sísmica Tipo II Força por piso

Translação

(CQC)

Rotação

(CQC)

Cortes Basais

(CQC)

Força por

Pórtico (KN)

64.59 kN 0.24 kN 64.59 kN 9.03 kN

55.57 kN 0.23 kN 55.57 kN 16.27 kN

39.29 kN 0.18 kN 39.29 kN 22.95 kN

16.34 kN 0.11 kN 16.34 kN 16.34 kN

Σ 64.59 kN

Quadro II.53  – Determinação da acção sísmica tipo II para as várias direcção. 

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 Anexo II 

AII.52

 No Quadro II.54 apresenta-se os cortes basais da estrutura 3 calculada através do método

3GL/piso considerando que os pilares da estrutura se encontram encastrados no piso.

Solicitação xx Solicitação yy 

xx Yy xx YySismo I 103.1 0.0 0.0 103.1

Sismo II 129.2 0.0 0.0 129.2

Quadro II.54 – Corte basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 3.

II.4.3.3.2. Estrutura 3 considerando somente a estrutura reticulada (vigas e pilares)

Uma vez que a estrutura é simétrica e, portanto, possui o centro de massa coincidente com

o centro de rigidez, a rigidez da estrutura à translação xx é igual à rigidez segundo yy .

A metodologia de cálculo da matriz de rigidez da estrutura consistiu em solicitar todos os

  pisos de um pórtico a 1000kN na horizontal, Figura II.32, e assim determinar a matriz

flexibilidade no Quadro II.55.

P2 

V1 

P1 

1000 kN 

 N 

V2 

V3 

V4 

[1]  P1 

1000 kN 

 N 

V1 

V2 

V3 

V4 

P2 [2]  P1 

V1 

V2 

1000 kN 

 N  V3 

V4 

V2 

V1 

P1 P2 [3]  [4]  P2 

V4 

V3 

 N 1000 kN 

Figura II.32 – Metodologia usada para o cálculo da matriz flexibilidade de um pórtico da estrutura 3.

1000 kN 1000 kN 1000 kN 1000 kN

[1] [2] [3] [4]

[4] 0.131 m 0.321 m 0.515 m 0.699 m

[3] 0.130 m 0.318 m 0.496 m 0.515 m

[2] 0.129 m 0.303 m 0.318 m 0.321 m

[1] 0.118 m 0.129 m 0.130 m 0.131 m

Quadro II.55 – Deslocamentos de andar para o carregamento da Figura II.24. 

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.53

Através dos valores provenientes do Quadro II.55 é possível construir a matriz

flexibilidade [ f ] de um pórtico:

0.118 0.129 0.130 0.131

0.129 0.303 0.318 0.321 0.001 [m] (II.103) 

0.130 0.318 0.496 0.515

0.131 0.321 0.515 0.699

Uma vez que a matriz rigidez de um pórtico [K]=[ f ]-1:

15898 -7325 554 -24

-7325 13516 -7346 578 [kN/m] (II.104) 

554 -7346 13556 -6718

-24 578 -6718 6119

Assim a matriz de rigidez global tomará a forma:

k ij=

−−

−−

19880600012238

218268000440434

0001343600027112

18779000238672000439135

00011560001469200027032

78000017999000237989000516526

0004800011080001465000031796

..SIM 

.

..

..

...

...

....

[kN/m]  (II.105)

Da resolução do problema de valores próprios representado na equação 5.33 obtêm-se as

frequências de vibração do Quadro II.56.

Modos de vibração 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

FrequênciasHz

0.91 0.91 2.65 2.65 4.07 4.07 4.91 4.91 1.37 4.58 7.04 8.49

Quadro II.56 – Frequências de vibração para a estrutura 3 considerando a rigidez da estrutura reticulada sem

lajes.

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 Anexo II 

AII.54

A análise de translação e de rotação da estrutura foram de novo efectuadas

independentemente.

A análise de translação pode resumir-se ao cálculo dos seguintes pontos:

- Matriz de Rigidez para translação global

A matriz de translação global toma a forma:

31796 -14650 1108 -48

-14650 27032 -14692 1156 kN/m (II.106)1108 -14692 27112 -13436

-48 1156 -13436 12238

- Matriz de Massa para translação global

A matriz de massa para os modos de translação consiste na massa dos vários pisos. Foi

considerada metade da massa dos pilares por piso.

56.2 0.0 0.0 0.0

0.0 56.2 0.0 0.0 Ton. (II.107)

0.0 0.0 56.2 0.00.0 0.0 0.0 32.1

- Frequências de vibração

Através da resolução de valores próprios da equação 5.33 são obtidas as frequências de

vibração do Quadro II.57. São também apresentadas as acelerações sísmicas modais

regulamentares que são função das frequências modais W2

(rad/s)2W

(rad/s)f 

(Hz)Sa I (Tran.)

(m/s2)Sa II (Tran.)

(m/s2)

950.16 30.83 4.91 4.605 2.500

652.06 25.54 4.06 4.298 2.500

276.20 16.62 2.65 3.282 2.500

32.49 5.70 0.91 1.213 1.620

Quadro II.57 – Frequências de vibração e acelerações sísmicas para a estrutura 3.

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.55

- Modos de Vibração

A cada frequência pertencente ao Quadro II.58 (valor próprio) está associado um modo de

vibração (vector próprio).φ1 φ2 φ3 φ4

-0.411175 0.626391 -0.498732 0.184735

0.561418 -0.240115 -0.547484 0.420359

-0.560996 -0.419751 0.120055 0.589327

0.448362 0.611382 0.661146 0.664729

Quadro II.58- Modos de vibração para a estrutura 3.

- Deslocamentos modais

Após calculados os modos de vibração, foram calculados os deslocamentos modais

minorados do coeficiente de comportamento, igual a 2.5, para posterior utilização no

cálculo das forças sísmicas por pórtico. Esses deslocamentos estão apresentados no Quadro

II.59. 

SISMO I SISMO II

D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m) D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m)

0.09×10-3 0.50×10-3 1.43×10-3 5.313×10-3 0.05×10-3 0.29×10-3 1.02×10-3 6.86×10-3 

-0.13×10-3 -0.26×10-3 1.39×10-3 11.16×10-3 -0.07×10-3 -0.15×10-3 0.99×10-3 14.42×10-3 

0.15×10-3 -0.30×10-3 -0.45×10-3 15.20×10-3 0.08×10-3 -0.17×10-3 -0.32×10-3 19.63×10-3 

-0.13×10-3 0.50×10-3 -1.71×10-3 16.76×10-3 -0.07×10-3 0.28×10-3 -1.21×10-3 21.65×10-3 

Quadro II.59 – Deslocamentos modais de translação para a estrutura 3.

- Forças modais máximas por pórtico

Através da matriz de rigidez de um pórtico, e dos deslocamentos modais apresentados no

Quadro II.59, foram calculadas as forças sísmicas modais apresentadas no Quadro II.60. SISMO I SISMO II

f1 (kN) f2 (kN) f3 (kN) f4 (kN) f1 (kN) f2 (kN) f3 (kN) f4 (kN)

3.59 11.39 12.39 4.89 1.95 6.63 9.44 6.53

-4.90 -4.37 13.60 11.12 -2.66 -2.54 10.36 14.86

4.89 -7.63 -2.98 15.59 2.66 -4.44 -2.27 20.83

-2.24 6.36 -9.40 10.06 -1.22 3.70 -7.16 13.45

Quadro II.60– Forças modais

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 Anexo II 

AII.56

- Cortes modais

Com as forças sísmicas modais calculadas no Quadro II.60, foram determinados os cortes

modais combinados através do método CQS [Cho95] e através do método CQC [Cho95].Os resultados são apresentados no Quadro II.61 para acção sísmica tipo I  e no Quadro

II.62 para acção sísmica tipo II .

Cortes Modais I

V1 (kN) V2 (kN) V3 (kN) V4 (kN) CQS (kN) CQC (kN)

1.34 5.75 13.60 41.66 44.22 44.55

-2.24 -5.64 1.22 36.77 37.29 37.35

2.66 -1.27 -12.38 25.65 28.64 28.46

-2.24 6.36 -9.40 10.06 15.33 14.89

Quadro II.61 – Combinação quadrática dos cortes modais para a acção sísmica tipo I.

Cortes Modais II

V1 (kN) V2 (kN) V3 (kN) V4 (kN) CQS (kN) CQC (kN)

0.73 3.35 10.36 55.66 56.72 56.92

-1.22 -3.28 0.93 49.13 49.27 49.281.44 -0.74 -9.43 34.28 35.59 35.46

-1.22 3.70 -7.16 13.45 15.72 15.51

Quadro II.62  – Combinação quadrática dos cortes modais para a acção sísmica tipo II. 

A análise de rotação pode resumir-se de uma forma idêntica no cálculo dos seguintes

 pontos:

- Matriz de Rigidez para rotação global

516526.3 -237989.3 17999.5 -779.8

-237989.3 439134.8 -238671.5 18779.2 kN/m (II.108)17999.5 -238671.5 440434.4 -218267.8

-779.8 18779.2 -218267.8 198806.3

- Matriz de Massa Rotacional

304.1 0.0 0.0 0.0

0.0 304.1 0.0 0.0 Ton. (II.109)0.0 0.0 304.1 0.0

0.0 0.0 0.0 174.1

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

AII.57

- Frequências de vibração

Através da resolução de valores próprios da equação 5.33 são obtidas as frequências de

vibração do Quadro II.63. São também apresentadas as acelerações sísmicas modaisregulamentares que são função das frequências modais.

W2

(rad/s)2 

W

(rad/s)

(Hz)

Sa I

(m/s2)

Sa II

(m/s2)

Sa I (Rot.)

(m/s2)

Sa II (Rot.)

(m/s2)

2850.36 53.39 8.50 4.32 2.50 0.065 0.038

1956.12 44.23 7.04 4.88 2.50 0.061 0.031

828.51 28.78 4.58 4.51 2.50 0.037 0.020

97.43 9.87 1.57 2.11 2.28 0.006 0.006

Quadro II.63- Frequências de vibração e acelerações sísmicas para a estrutura 3. 

- Modos de Vibração

φ1 φ2 φ3 φ4

0.411147 0.626402 -0.498736 0.184748

-0.561425 -0.240134 -0.547465 0.420361

0.561011 -0.419750 0.120047 0.589318

-0.448360 0.611364 0.661161 0.664732

Quadro II.64- Modos de vibração de rotação para a estrutura 3.

- Deslocamentos modais de rotação

SISMO I SISMO I (Tranlação Pórtico)

D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m) D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m)

0.1×10-5 0.3×10-5 0.6×10-5 0.9×10-5 0.2×10-5 0.8×10-5 1.7×10-5 2.5×10-5 

-0.1×10-5 -0.1×10-5 0.7×10-5 2.0×10-5 -0.2×10-5 -0.3×10-5 1.9×10-5 5.6×10-5 

0.1×10-5 -0.2×10-5 -0.1×10-5 2.8×10-5 0.2×10-5 -0.6×10-5 -0.4×10-5 7.9×10-5 

-0.1×10-5 0.3×10-5 -0.8×10-5 3.1×10-5 -0.2×10-5 0.8×10-5 -2.3×10-5 8.9×10-5 

SISMO II SISMO II (Tranlação Pórtico)

D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m) D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m)

0.0×10-5 0.2×10-5 0.3×10-5 0.9×10-5 0.1×10-5 0.4×10-5 0.9×10-5 2.7×10-5 

-0.1×10-5 -0.1×10-5 0.4×10-5 2.1×10-5 -0.1×10-5 -0.2×10-5 1.0×10-5 6.1×10-5 

0.1×10-5 -0.1×10-5 -0.1×10-5 3.0×10-5 0.1×10-5 -0.3×10-5 -0.2×10-5 8.5×10-5 

0.0×10-5 0.1×10-5 -0.4×10-5 3.4×10-5 -0.1×10-5 0.4×10-5 -1.2×10-5 9.6×10-5 

Quadro II.65 – Deslocamentos modais de translação para a estrutura 3. 

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 Anexo II 

AII.58

- Forças por modais máximas por pórtico

Através da matriz de rigidez de um pórtico, e dos deslocamentos modais apresentados no

Quadro II.65, foram calculadas as forças sísmicas modais apresentadas no Quadro II.66. SISMO I SISMO II

f1 (kN) f2 (kN) f3 (kN) F4 (kN) f1 (kN) f2 (kN) f3 (kN) F4 (kN)

48.21×10-3 153.68×10-3 131.64×10-3 22.55×10-3 27.93×10-3 78.73×10-3 72.98×10-3 24.34×10-3 

-65.83×10-3 -58.91×10-3 144.51×10-3 51.31×10-3 -38.14×10-3 -30.18×10-3 80.11×10-3 55.38×10-3 

65.78×10-3 -102.98×10-3 -31.69×10-3 71.94×10-3 38.11×10-3 -52.76×10-3 -17.57×10-3 77.64×10-3 

-30.09×10-3 85.84×10-3 -99.88×10-3 46.44×10-3 -17.43×10-3 43.98×10-3 -55.37×10-3 50.12×10-3 

Quadro II.66 – Forças modais para os modos de rotação.

- Cortes modais

Cortes Modais I

V1 (kN) V2 (kN) V3 (kN) V4 (kN) CQS (kN) CQC (kN)

18.07×10-3 77.63×10-3 144.59×10-3 192.24×10-3 253.41×10-3 258.70×10-3 

-30.14×10-3 -76.05×10-3 12.94×10-3 169.69×10-3 188.83×10-3 191.07×10-3 

35.69×10-3 -17.14×10-3 -131.57×10-3 118.38×10-3 181.36×10-3 179.45×10-3 

-30.09×10-3 85.84×10-3 -99.88×10-3 46.44×10-3 142.85×10-3 135.86×10-3 

Quadro II.67 – Combinação quadrática dos cortes modais para a acção sísmica tipo I.

Cortes Modais II

V1 (kN) V2 (kN) V3 (kN) V4 (kN) CQS (kN) CQC (kN)

10.47×10-3 39.77×10-3 80.16×10-3 207.48×10-3 226.19×10-3 228.50×10-3 

-17.46×10-3 -38.96×10-3 7.18×10-3 183.14×10-3 188.18×10-3 188.84×10-3 

20.68×10-3 -8.78×10-3 -72.94×10-3 127.76×10-3 148.82×10-3 147.67×10-3 

-17.43×10-3 43.98×10-3 -55.37×10-3 50.12×10-3 88.41×10-3 84.96×10-3 

Quadro II.68  – Combinação quadrática dos cortes modais para a acção sísmica tipo II. 

A combinação de resultados provenientes das várias direcções é efectuada através do

método CQS.

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  Complementos da análise comparativa de cálculo dinâmico de estruturas (CAPÍTULO V)

Através dos cortes modais de um pórtico, provenientes das várias direcções, são

determinadas as forças sísmicas através da combinação quadrática simples. Os resultados

encontram-se nos Quadro II.69 e no Quadro II.70.

- Combinação quadrática simples nas várias direcções

Cortes Modais Combinados Total

Acção Sísmica Tipo I Força por piso

Translação

(CQC)

Rotação

(CQS)

Cortes Basais

(CQC)

Força por

Pórtico (KN)

44.55 kN 0.26 kN 44.55 kN 7.20 kN

37.35 kN 0.19 kN 37.35 kN 8.89 kN

28.46 kN 0.18 kN 28.46 kN 13.57 kN

14.89 kN 0.14 kN 14.89 kN 14.89 kN

Σ 44.55 kN

Quadro II.69  – Determinação da acção sísmica tipo I para as várias direcção.

Cortes Modais Combinados Total

Acção Sísmica Tipo II Força por piso

Translação

(CQC)

Rotação

(CQS)

Cortes Basais

(CQC)

Força por

Pórtico (KN)

56.92 kN 0.23 kN 56.92 kN 7.63 kN

49.28 kN 0.19 kN 49.28 kN 13.83 kN

35.46 kN 0.15 kN 35.46 kN 19.94 kN

15.51 kN 0.08 kN 15.51 kN 15.51 kN

Σ 56.91 kN

Quadro II.70  – Determinação da acção sísmica tipo II para as várias direcção.

 No Quadro II.71 estão representados os cortes basais da estrutura 3 calculada através do

método 3GL/piso, considerando a estrutura reticulada.Solicitação xx Solicitação yy 

xx yy xx yy

Sismo I 89.1 0.0 0.0 89.1

Sismo II 113.8 0.0 0.0 113.8

Quadro II.71 – Corte basal segundo xx e segundo yy para a estrutura 3.