Comparações intertemporais

Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 1

Texto para uso no curso de Contabilidade Social/UFRGS – Prof. Carlos Henrique Horn

COMPARAÇÕES INTERTEMPORAIS ENTRE AGREGADOS ECONÔMIC OS (Texto para uso exclusivo no curso de Contabilidade Social/UFRGS)

Carlos Henrique Horn Professor do Departamento de Ciências Econômicas/UFRGS

1 − Objeto e estrutura do texto

Um procedimento usual na análise do desempenho da atividade econômica é o da comparação de dados sobre esse desempenho em diferentes períodos de tempo, ou simplesmente comparação intertemporal de dados. Em Contabilidade Social, este problema refere-se basicamente à comparação intertemporal entre agregados econômicos, o que implica mensurar a variação nos agregados com o objetivo de aferir seu comportamento ao longo do tempo.

De modo elementar, procuramos identificar nesta mensuração:

a) se, entre um e outro período de tempo (ou, no caso geral, considerando uma sucessão de períodos), há variação positiva ou negativa, ou se o agregado se mantém constante, ou se apresenta variações irrelevantes; e

b) se, ao longo de sucessivos períodos de tempo, as variações no agregado apresentam tendência (para aumentar ou para diminuir), padrão cíclico, movimentos sazonais, ou são praticamente nulas.

O objetivo deste texto é justamente o de apresentar um instrumental básico que permita descrever o comportamento dos agregados econômicos ao longo do tempo. Assim, com este objetivo em mente, abordamos os seguintes pontos:

a) como descrever o comportamento dos agregados econômicos através de diferentes medidas de variação; e

b) como decompor as causas das variações intertemporais nos agregados econômicos a fim de se calcular a parcela dessas variações que não é explicada por alterações nos preços.

O texto compõe-se de sete seções. Nesta primeira seção, esclarecemos seu objeto e estrutura. A seção 2 inicia a apresentação do que denominamos ferramentas básicas, isto é, as medidas alternativas para se expressar a variação nos agregados econômicos ao longo do tempo, com ênfase para as medidas de variação relativa: variação percentual, fator de multiplicação e número-índice. Se na seção 2 estas medidas são apresentadas para o caso de dois períodos sucessivos de tempo, a partir da seção 3 tratamos de generalizar seu uso para séries temporais compostas de dois ou mais períodos. Também nesta seção passamos a dar maior ênfase aos números-índice. Assim, na seqüência, a seção 4 aborda a mudança da base de comparação em séries de números-índice e a seção 5 trata da propriedade dos números-índice conhecida como decomposição das causas. Na seção 6, concluímos a apresentação das ferramentas básicas, ao sistematizar diversas formas de se expressar a taxa de crescimento de indicadores de desempenho econômico cujo intervalo de mensuração é inferior ao ano civil e tratar de outros aspectos correlatos. As seções 2 a 6 correspondem ao objetivo ‘a’ listado acima. O texto conclui na seção 7 com a apresentação de procedimentos para a transformação de valores mensurados a preços correntes em valores mensurados a preços constantes. Esta seção corresponde ao objetivo ‘b’ acima.

Em inúmeras passagens do texto, ilustramos a exposição dos conteúdos através de exemplos com base em valores da produção, preços e quantidades produzidas de petróleo bruto, entre 1997 e 2001, extraídos de The Economist (2003). Na seção 7, utilizamos também exemplos com base em um agregado econômico propriamente dito, e não em um único produto. Propomos ainda sete exercícios numéricos, cujos resultados são mostrados ao final do texto.



2 – Ferramentas básicas: medidas de variação absolu ta e relativa

Sejam os dados do valor da produção de petróleo bruto nos países membros da OPEC, nos anos de 1998 e 1999, expostos na tabela 1.

Tabela 1: Valor da produção de petróleo bruto, OPEC, 1998-99

Ano

Valor da produção (US$ bilhões)

1998 143,6 1999 190,0

Fonte: The Economist (2003): p. 13.

O valor da produção (VP) resulta da multiplicação da quantidade produzida (Q) pelo preço (P) do petróleo em cada ano. É uma medida do volume ou quantidade física do produto avaliada aos preços médios de transação deste produto em cada ano. Salvo em virtude de tratamento contábil específico, as agregados econômicos consistem de medidas de valor , a exemplo do valor da produção, ou seja, são volumes avaliados por preços .

Digamos que nosso objetivo seja o de calcular a variação no valor da produção de petróleo entre 1998 e 1999. Podemos expressar essa variação de diferentes maneiras, sendo comum o uso das seguintes medidas:

a) variação absoluta;

b) variação relativa medida em percentagem ou variação percentual;

c) variação relativa medida em fator de multiplicação ou multiplicador; e

d) variação relativa medida em número-índice ou índice.

Para ilustrar os conceitos que apresentamos a seguir, os dados da tabela 1 e dados complementares sobre o valor da produção de petróleo serão utilizados.

Variação absoluta

Podemos expressar a variação absoluta no valor da produção de petróleo entre 1998 e 1999 da seguinte forma:

∆VP1998,1999 = VP1999 − VP1998

E calculá-la por simples diferença entre os dados de um e outro ano:

∆VP1998,1999 = US$ 190,0 bi – US$ 143,6 bi = US$ 46,4 bilhões

Ou seja, o valor da produção de petróleo em 1999 foi maior do que o valor da produção de petróleo em 1998 em US$ 46,4 bilhões. Na apresentação do resultado, é sempre fundamental indicar com clareza a unidade e a escala da medida.

Uma expressão geral para a variação absoluta no valor da produção entre um período t e um período posterior t+n é:

(1) ∆VPt,t+n = VPt+n − VPt

Onde:

∆ = notação ou símbolo da medida de variação absoluta VP = notação do valor da produção t = notação do ano inicial ou base de comparação t+n = notação do ano final

A medida da variação absoluta não informa se a magnitude desta variação pode ser considerada alta ou baixa em relação ao valor inicial do indicador. Para tanto, precisamos de medidas de variação relativa.



Variação percentual

A variação relativa medida em percentagem ou variação percentual no valor da produção de petróleo entre 1998 e 1999 é expressa por:

∆%VP1998,1999 = [(VP1999 − VP1998) / VP1998].100

Com base nos dados da tabela 1, a variação percentual no valor da produção entre 1998 e 1999 é igual a:

∆%VP1998,1999 = [(US$ 190,0 bi – US$ 143,6 bi) / US$ 143,6 bi].100 = 32,31%

Ou seja, o valor da produção de petróleo em 1999 é 32,31% maior do que o valor da produção de petróleo em 1998.

Uma expressão geral para a variação relativa medida em percentagem ou variação percentual no valor da produção entre um período t e um período posterior t+n é a seguinte:

(2) ∆%VPt,t+n = [(VPt+n − VPt) / VPt].100

Onde:

∆%= notação ou símbolo da medida de variação percentual

Box 1: Operações comuns com percentagem

Número como percentagem de outro número

Para encontrar X como % de Y, o procedimento geral é o seguinte:

(X / Y).100

Ou seja, a proporção (X/Y) multiplicada por 100 resulta em percentagem.

Seja X = 60 e Y = 40. O valor de X como percentagem de Y é:

(60 / 40). 100 = 1,5.100 = 150%

Montante equivalente à percentagem de outro montante

Para encontrar X% de Y, o procedimento geral é o seguinte:

(X% / 100).Y

Ou seja, a percentagem (X%) dividida por 100 resulta numa proporção, que multiplicada por um montante resulta em outro montante (proporcional).

Seja X = 50% e Y = 60. O montante X% de Y é:

(50 / 100).60 = 0,5.60 = 30

Montante que resulta de uma variação percentual sobre um montante inicial

Para encontrar o montante que resulta de uma variação percentual X% sobre Y, o procedimento geral é o seguinte:

[(X% / 100) + 1]. Y

Ou seja, a percentagem (X%) dividida por 100 resulta numa proporção, que somada a 1 resulta em fator de multiplicação (ver na seqüência deste texto), que multiplicado por um montante inicial resulta em outro montante (final).

Seja X = 10% e Y = 800. O montante final após o acréscimo de 10% é:

[(10 / 100) + 1].800 = (0,1 +1). 800 = 1,1.800 = 880



Box 2: Armadilhas comuns no uso da variação percent ual

Variação absoluta e variação percentual de uma variação percentual

A variação absoluta e a variação percentual de uma variação percentual são medidas diferentes.

Digamos que a variação percentual no valor da produção de petróleo tenha sido 35,31% entre 1999 e 2000. Assim, temos:

∆%VP1998,1999 = 32,31% ∆%VP1999,2000 = 35,31%

Perguntamos: qual a variação percentual na taxa de crescimento do valor da produção de petróleo (ou qual a variação percentual na variação percentual no valor da produção) entre 1999 e 2000?

A variação percentual no indicador da taxa de crescimento é dada pela fórmula da variação percentual:

∆%(∆%VP)1999,2000 = [(35,31% – 32,31%) / 32,31%].100 = 9,29% Já a variação absoluta na variação percentual no valor da produção de petróleo é dada por:

∆(∆%VP)1999,2000 = 35,31% – 32,31% = 3 pontos de percentagem (3 p.p.)

Variação positiva e variação negativa

Uma variação percentual positiva seguida de uma variação percentual negativa de igual magnitude não resulta no mesmo valor inicial do indicador.

Suponha que o valor da produção de petróleo em 1998 (US$ 143,6 bilhões) crescesse 50% em 1999 e diminuísse 50% em 2000. O resultado final no ano 2000 não seria US$ 143,6 bilhões. Vejamos o exemplo:

Um crescimento de 50% no VP de $143,6 resulta em (143,6 + 0,5.143,6) = US$ 215,40 bilhões

Uma redução de 50% no VP de $215,4 resulta em (215,4 – 0,5.215,4) = US$ 207,70 bilhões

Os resultados são diferentes porque as bases de cálculo são diferentes.

Variação percentual, variação absoluta e valor inicial

Variações percentuais de mesma magnitude correspondem a variações absolutas de magnitudes diferentes se os valores iniciais (base de incidência) forem diferentes.

Um acréscimo de 10% no salário de quem recebe R$ 10.000,00 resulta num montante de dinheiro maior do que o mesmo acréscimo percentual no salário de quem recebe R$ 800,00. Assim:

Um acréscimo de 10% em R$ 10.000,00 resulta em aumento de R$ 1.000,00 no salário nominal

Um acréscimo de 10% em R$ 800,00 resulta em aumento de R$ 80,00 no salário nominal

Fator de multiplicação

A variação relativa medida em multiplicador ou fator de multiplicação do valor da produção de petróleo entre 1998 e 1999 é expressa por:

fVP1998,1999 = VP1999 / VP1998

No exemplo da tabela 1, a variação no valor da produção de petróleo entre 1998 e 1999 é igual a:



fVP1998,1999 = US$ 190,0 bi / US$ 143,6 bi = 1,3231

Ou seja, o valor da produção de petróleo em 1999 equivale a 1,3231 vez o valor da produção de petróleo em 1998.

Uma expressão geral da variação relativa medida em multiplicador ou fator de multiplicação do valor da produção entre um período t e um período posterior t+n é a seguinte:

(3) fVPt,t+n = VPt+n / VPt

Onde:

f = notação ou símbolo do fator de multiplicação ou multiplicador

Se conhecemos o valor da produção em t e o fator de multiplicação entre t e t+n, podemos calcular o valor da produção em t+n. Seja o valor da produção de petróleo em 1998 (US$ 143,6 bilhões) e o fator de multiplicação deste valor entre 1998 e 1999 (1,3231). O valor da produção de petróleo em 1999 é igual a:

VP1999 = 143,6 . 1,3231 = US$ 190,0 bilhões

Genericamente:

(4) VPt+n = VPt . fVPt,t+n

Número-índice

A variação relativa no valor da produção de petróleo entre 1998 e 1999 medida em número-índice é expressa por:

IVP1998,1999 = (VP1999 / VP1998).100

No exemplo, a variação no valor da produção de petróleo entre 1998 e 1999 é igual a:

IVP1998,1999 = (US$ 190,0 bi / US$ 143,6 bi).100 = 132,31

Ou seja, o valor da produção de petróleo em 1999 equivale a 132,31 da produção-base 100 de petróleo em 1998.

Uma expressão geral para a variação relativa no valor da produção entre um período t e um período posterior t+n, medida em número-índice, é a seguinte:

(5) IVPt,t+n = (VPt+n / VPt).100

Onde:

I = notação ou símbolo do número-índice ou índice

Reproduzindo as palavras de Endo (1986), convém assinalar que:

No sentido mais simples do termo, podemos dizer que um número-índice é um quociente que expressa uma dada quantidade em comparação a uma quantidade base. Em outras palavras, são valores relativos. No entanto devemos considerar dois casos: de um lado, quando o objetivo da comparação refere-se a um único produto ou serviço e, de outro, quando se refere a um conjunto de produtos e serviços.

No primeiro caso, não temos propriamente um problema de números-índices, já que não envolve a questão da agregação de bens e serviços. Trata-se somente de uma forma alternativa de se fazer comparações em termos relativos.

(...)

No segundo caso, quando procuramos efetuar comparações, seja no tempo ou no espaço, de um conjunto de produtos e serviços, surge o problema do número-índice propriamente dito (Endo, 1986: p. 1-2).



Neste texto, o uso dos números-índice restringe-se ao primeiro caso, ou seja, o do número-índice como “uma forma alternativa de se fazer comparações em termos relativos”. Na continuidade do curso, quando abordamos a construção de índices gerais de preços, procuramos introduzir o segundo caso mencionado por Endo.

Box 3: Qual a unidade de medida do número-índice?

Na apresentação da medida de variação absoluta, enfatizamos a necessidade de se informar a unidade e a escala de medida. Perguntamos: qual a unidade de medida do número-índice?

O número-índice não tem unidade de medida. Ele é um número puro que expressa a variação relativa entre duas grandezas numéricas. A interpretação do resultado de um número-índice exige que se conheçam os vários aspectos de seu procedimento de cálculo: base de comparação, ano final, indicador de desempenho da economia.

Box 4: Números relativos

O multiplicador e o número-índice são números relativos. Eles expressam a variação relativa entre duas grandezas numéricas. Não obstante, um significado mais restrito é o de que o termo relativo se refere apenas a variações correspondentes a um único produto, sendo usado em lugar de número-índice. Temos, então, relativos de preços, relativos de volume, relativos de valor da produção, etc. de um produto qualquer.

Box 5: As medidas de variação relativa permitem tra nsformações entre si

As medidas de variação relativa (variação percentual, fator de multiplicação e número-índice) permitem transformações entre si. Ou seja, podemos calcular o número-índice com base no fator de multiplicação e assim por diante.

Fator de multiplicação para número-índice

IVPt,t+n = (VPt+n / VPt).100

Como (VPt+n / VPt) = fator de multiplicação, resulta que:

Índice = Fator de multiplicação . 100

Número-índice para fator de multiplicação

fVPt,t+n = VPt+n / VPt

e

IVPt,t+n = (VPt+n / VPt).100

Portanto:

Fator de multiplicação = Índice / 100

Fator de multiplicação para variação percentual

∆%VPt,t+n = [(VPt+n − VPt) / VPt].100

Manipulando algebricamente, temos

∆%VPt,t+n = [(VPt+n / VPt) − (VPt / VPt)].100

Como (VPt+n / VPt) = fator de multiplicação, resulta que:

Variação percentual = (Fator de multiplicação – 1).100

(continua)



Box 5: As medidas de variação relativa permitem tra nsformações entre si (conclusão)

Variação percentual para fator de multiplicação

Manipulando algebricamente a partir da expressão anterior, temos

(∆%VPt,t+n / 100) + (VPt / VPt) = (VPt+n / VPt)

Logo:

Fator de multiplicação = (Variação percentual / 100) + 1

Número-índice para variação percentual

∆%VPt,t+n = [(VPt+n − VPt) / VPt].100

Manipulando algebricamente, temos

∆%VPt,t+n = (VPt+n / VPt).100 − (VPt / VPt).100 = (VPt+n / VPt).100 − 100

Como (VPt+n / VPt).100 = número-índice, temos:

Variação percentual = Número-índice − 100

Variação percentual para número-índice

Do anterior, segue que:

Número-índice = Variação percentual + 100

3 − Medidas de variação em séries temporais

Raramente o interesse do analista recai tão somente sobre a variação entre dois períodos de tempo. O problema usual é o do desempenho dos agregados econômicos ao longo de vários períodos de tempo. Ou seja, o interesse recai sobre séries temporais com mais de dois períodos de tempo.

Chamamos de série temporal um conjunto de observações ordenadas no tempo (Morettin e Toloi, 1986: p.1).

Muitos dados econômicos são registrados de forma cronológica. Uma série de observações registradas desse modo constitui uma série temporal, como, por exemplo, a renda nacional australiana de 1946-47 a 1966-67, a produção de carvão de 1914 a 1967, etc. Os objetivos da análise das séries temporais são, em primeiro lugar, descrever o seu comportamento passado e, em segundo lugar, analisar esse comportamento (Karmel e Polasek, 1981: p. 287).

Assim, as observações quantitativas sobre a economia ordenadas no tempo constituem séries temporais de indicadores da atividade econômica. Para a descrição do comportamento desses indicadores, devemos retornar às medidas apresentadas na seção 2.

Retomemos o exemplo do valor da produção de petróleo a fim de expandir a série temporal para os anos de 1997 a 2001. Os dados estão expostos na tabela 2.

Tabela 2: Valor da produção de petróleo bruto, OPEC, 1997-2001

Ano

Valor da produção (US$ bilhões)

1997 202,6 1998 143,6 1999 190,0 2000 318,7 2001 265,0




Perguntamos: qual a medida da variação relativa no valor da produção de petróleo em 2001? Para respondermos à esta pergunta, precisamos saber em relação a que ano se deseja calcular a variação relativa. O ano escolhido é chamado de ano-base de comparação , período-base de comparação ou meramente base de comparação .

3.1 – Base de comparação fixa

Para responder à pergunta do parágrafo anterior, escolhemos, inicialmente, o ano de 1997 como base de comparação. E calculamos:


∆%VP1997,2001 = [(VP2001 / VP1997) – 1].100

∆%VP1997,2001 = [(265,0 / 202,6) – 1].100 = 30,80%


fVP1997,2001 = VP2001 / VP1997

fVP1997,2001 = 265,0 / 202,6 = 1,3080

Número-índice

IVP1997,2001 = (VP2001 / VP1997).100

IVP1997,2001 = (265,0 / 202,6).100 = 130,80

Cada uma destas medidas de variação relativa resulta em um número diferente, mas a interpretação dos resultados deve nos levar a uma percepção comum sobre a intensidade da variação relativa no valor da produção do petróleo entre 1997 e 2001.

Generalizando, podemos calcular medidas de variação para cada ano t da série temporal, com base de comparação em 1997. Diz-se aqui base de comparação fixa em 1997, porque os resultados de cada ano consistem de grandezas do valor da produção de petróleo nos diferentes anos em relação ao valor da produção registrado em 1997. Ainda que o ano de referência de cada medida de variação relativa se altere, variando de 1997 a 2001, a base de comparação de cada valor permanece fixa no ano de 1997. Para a base de comparação fixa em 1997, as expressões matemáticas são as seguintes:


fVP1997,t = VPt / VP1997

Número-índice

IVP1997,t = (VPt / VP1997).100


∆%VP1997,t = [(VPt / VP1997) − 1].100

A tabela 3 apresenta os resultados destes indicadores para cada ano da série temporal de 1997 a 2001.



Tabela 3: Fatores de multiplicação, números-índice e variações percentuais do valor da produção de petróleo bruto, OPEC, 1997-2001

Ano Valor da produção

(US$ bilhão)


Número-índice


1997 202,6 1,0000 100,00 - 1998 143,6 0,7088 70,88 -29,12 1999 190,0 0,9378 93,78 -6,22 2000 318,7 1,5731 157,31 57,31 2001 265,0 1,3080 130,80 30,80

Fonte dos dados primários: The Economist (2003): p. 13. Nota: Base de comparação fixa em 1997.

Até aqui, consideramos a base de comparação fixa no ano de 1997. Porém, esta base pode recair em qualquer ano da série, conforme a conveniência do analista. Pode mesmo recair em um número que resulta da transformação dos valores da série temporal, como, por exemplo, na média aritmética do intervalo de tempo analisado. No caso do exemplo do petróleo, uma base de comparação fixa possível seria a média aritmética dos valores da produção de petróleo entre 1997 e 2001. Insistimos: a escolha da base de comparação obedece basicamente à conveniência da análise. Uma vez escolhida a base de comparação, todavia, o analista não deve perder de vista que todas as grandezas relativas referem-se à base selecionada.

As expressões matemáticas gerais das medidas de variação relativa em um indicador em cada período de referência t, com base de comparação fixa num período escolhido f, são as seguintes:


(6) fVPf,t = VPt / VPf

Número-índice

(7) IVPf,t = (VPt / VPf).100


(8) ∆%VPf,t = [(VPt / VPf) − 1].100

Podemos, ainda, expressar uma série de números-índice correspondente a n períodos de tempo, com base de comparação fixa num período f qualquer, da seguinte maneira:

If,1; If,2; If,3; If,4 ... If,n, onde If,f =100

Exercício 1: calcule, a partir dos dados da tabela 2, os fatores de multiplicação, os números-índice e as variações percentuais em cada ano de referência (t) de 1997 a 2001, com bases de comparação fixas (f) em cada um dos anos de 1997 a 2001. Deverão ser encontradas cinco séries temporais diferentes. Use duas casas decimais para apresentar os números-índice e quatro casas decimais para os fatores de multiplicação e as variações percentuais.

3.2 – Base de comparação móvel

As séries temporais dos indicadores de variação relativa podem ser construídas com base de comparação móvel . Neste caso, a base de comparação se altera concomitantemente à mudança no período de referência, conforme um critério determinado. Uma situação típica é posicionar a base de comparação no período imediatamente anterior ao período de referência. Neste caso, para um ano de referência t qualquer, as expressões matemáticas das diferentes medidas de variação relativa passam a ser as seguintes:




(9) fVPt-1,t = VPt / VPt-1

Número-índice

(10) IVPt-1,t = (VPt / VPt-1).100


(11) ∆%VPt-1,t = [(VPt / VPt-1) − 1].100

O símbolo t-1 na posição da base de comparação indica exatamente que se trata de alterar essa base toda vez que se modifica o período de referência t. O critério para a definição da base de comparação móvel é o de posicioná-la no período imediatamente anterior (t-1) ao período de referência (t). A tabela 4 apresenta os números-índice do valor da produção de petróleo com base de comparação móvel no ano imediatamente anterior ao ano de referência.

Tabela 4: Valor da produção e número-índice do valor da produção de petróleo bruto, OPEC, 1997-2001


(US$ bilhão)

Número-índice

(base móvel) 1997 202,6 – 1998 143,6 70,88 1999 190,0 132,31 2000 318,7 167,74 2001 265,0 83,15

Fonte dos dados primários: The Economist (2003): p. 13. Nota: Base móvel de comparação no ano imediatamente anterior.

Uma série de números-índice correspondente a n períodos de tempo, com base de comparação móvel no período imediatamente anterior, pode ser expressa da seguinte maneira:

I1,2; I2,3; I3,4 ... In-1,n

Cada posição I é chamada de elo relativo da série.

De modo análogo às séries de números-índice com base de comparação fixa, a escolha do critério para definir a base de comparação móvel nas séries deste tipo deve obedecer à conveniência do analista, não sendo necessariamente o critério do “período imediatamente anterior” o único critério útil para fins de análise dos dados.

4 – Mudança da base de comparação em séries de núme ros-índice

No exemplo numérico da seção 3.1, utilizamos uma base de comparação fixa no ano de 1997, mas assinalamos também que qualquer outra base fixa de comparação é igualmente plausível conforme a conveniência do analista. Já na seção 3.2, mostramos uma série de números-índice com base de comparação móvel no período imediatamente anterior. Uma vez conhecida uma série de números-índice de um indicador de desempenho econômico qualquer, podemos modificar a base de comparação dos dados a partir desta mesma série inicial, sem necessariamente recorrer aos dados originais. No caso do exemplo do valor da produção de petróleo, isto corresponde a afirmar que, uma vez conhecida uma série de números-índice do valor de produção, podemos encontrar várias outras séries, com diferentes bases de comparação, sem recurso aos dados originais dos valores da produção. Observe que, se nosso objetivo é o de descrever as variações relativas no indicador de desempenho econômico, o que interessa não é a grandeza absoluta deste indicador em cada ano, mas sua grandeza relativa. E o número-índice é uma medida usual desta grandeza relativa. Podemos,



portanto, considerar exclusivamente as séries de números-índice para a análise do comportamento intertemporal dos indicadores de desempenho econômico.

A base de comparação pode ser modificada, preservan do-se, contudo, as relações entre os números nos diversos anos . Comecemos pela mudança da base de comparação entre bases fixas.

4.1 – Mudança da base de comparação: base fixa para base fixa

Seja uma série de números-índice para n períodos, com base de comparação fixa no período 1. Podemos escrevê-la assim:

I1,1 ; I1,2; I1,3; I1,4 ... I1,n, onde I1,1 = 100

Se, diferentemente, a base de comparação fixa é o período 3, escrevemos a série assim:

I3,1; I3,2; I3,3; I3,4 ... I3,n, onde I3,3 = 100

A mudança de base fixa de uma série de números-índice é uma operação simples de regra de três. Para encontrar a série de números-índice com base fixa em 3 a partir da série de números-índice com base fixa em 1, fazemos:

I3,1 = (I1,1 / I1,3).100 I3,2 = (I1,2 / I1,3).100 I3,3 = (I1,3 / I1,3).100 = 100 I3,4 = (I1,4 / I1,3).100 ……………………. I3,n = (I1,n / I1,3).100

Retornemos ao exemplo do petróleo. Na tabela 3, havíamos encontrado os números-índice do valor da produção com base de comparação fixa em 1997 (1997=100). Se este é o ano inicial 1 e desejamos encontrar uma série de números-índice com base de comparação fixa no ano 3, isto envolve uma mudança de base do ano de 1997 para o ano de 1999. Para encontrar os números-índice em cada ano de referência, com base de comparação fixa modificada para o ano de 1999, o procedimento é o seguinte:

Para 1997: IVP1999,1997 = (IVP1997,1997 / IVP1997,1999).100 = (100,00 / 93,78).100 = 106,63

Para 1998: IVP1999,1998 = (IVP1997,1998 / IVP1997,1999).100 = (70,88 / 93,78).100 = 75,58

Para 1999: IVP1999,1999 = (IVP1997,1999 / IVP1997,1999).100 = (93,78 / 93,78).100 = 100,00

Para 2000: IVP1999,2000 = (IVP1997,2000 / IVP1997,1999).100 = (157,31 / 93,78).100 = 167,74

Para 2001: IVP1999,2001 = (IVP1997,2001 / IVP1997,1999).100 = (130,80 / 93,78).100 = 139,48

Os resultados estão agrupados na tabela 5.

Tabela 5: Números-índice do valor da produção de petróleo bruto, OPEC, 1997-2001

Ano Base de comparação

1997

Base de comparação

1999 1997 100,00 106,63 1998 70,88 75,58 1999 93,78 100,00 2000 157,31 167,74 2001 130,80 139,48

Fonte dos dados primários: The Economist (2003): p. 13.



A expressão geral para modificar um número-índice num período de referência t com base de comparação fixa em f1 para outra base de comparação fixa f2 é a seguinte:

(12) If2,t = (If1,t / If1,f2).100

Exercício 2: calcule, a partir da série de números-índice do valor da produção de petróleo com base de comparação fixa em 1997, as séries com bases de comparação fixas em 1998, 2000 e 2001, respectivamente. Use duas casas decimais para apresentar os resultados.

4.2 – Mudança da base de comparação: base fixa para base móvel

Seja a seguinte série de números-índice I com base de comparação fixa no período inicial 1:

I1,1; I1,2; I1,3; I1,4 ... I1,n, onde I1,1 = 100

Queremos encontrar uma série correspondente de números-índice com base de comparação móvel no período imediatamente anterior:

I1,2; I2,3; I3,4 ... In-1,n

O procedimento é o seguinte:

I1,2 = (I1,2 / I1,1).100 I2,3 = (I1,3 / I1,2).100 I3,4 = (I1,4 / I1,3).100 .............................. In-1,n = (I1,n / I1,n-1).100

No exemplo do petróleo, podemos calcular uma série de números-índice com base de comparação móvel no ano imediatamente anterior a partir da série com base de comparação fixa em 1997. Como não conhecemos o índice referente ao ano de 1996, não é possível calcular um índice para 1997 com base em 1996. Assim, devemos iniciar a série com base móvel no ano de referência de 1998.

IVP1997,1998 = (IVP1997,1998 / IVP1997,1997).100 = (70,88 / 100,00).100 = 70,88

IVP1998,1999 = (IVP1997,1999 / IVP1997,1998).100 = (93,78 / 70,88).100 = 132,31

IVP1999,2000 = (IVP1997,2000 / IVP1997,1999).100 = (157,31 / 93,78).100 = 167,74

IVP2000,2001 = (IVP1997,2001 / IVP1997,2000).100 = (130,80 / 157,31).100 = 83,15

Os resultados estão agrupados na tabela 6.


Ano Número-índice

(base fixa)1

Número-índice

(base móvel)2 1997 100,00 – 1998 70,88 70,88 1999 93,78 132,31 2000 157,31 167,74 2001 130,80 83,15

Fonte dos dados primários: The Economist (2003): p. 13. 1 Base de comparação fixa em 1997. 2 Base de comparação móvel no ano imediatamente anterior.

A expressão geral para modificar um número-índice num período de referência t com base de comparação fixa em f para uma base de comparação móvel em t-1 é a seguinte:



(13) It-1,t = (If,t / If,t-1).100

Exercício 3: calcule, a partir das séries de números-índice do valor da produção de petróleo com bases de comparação fixas em 1998, 1999, 2000 e 2001, respectivamente, a série de números-índice com base de comparação móvel no ano imediatamente anterior. Use duas casas decimais para apresentar os resultados. Compare os resultados.

4.3 – Mudança da base de comparação: base móvel par a base fixa

Em séries temporais de números-índice com base de comparação móvel no período imediatamente anterior, cada posição é um elo relativo da série. Podemos encontrar séries com base de comparação fixa a partir do encadeamento dos elos relativos das séries com base de comparação móvel no período imediatamente anterior. Este procedimento é chamado de encadeamento da série . Ele é possível apenas quando o critério de escolha das séries de números-índice com base de comparação móvel é o período imediatamente anterior ao período de referência.

Seja a seguinte série de números-índice I com base de comparação móvel no período imediatamente anterior:

I1,2; I2,3; I3,4 ... In-1,n

Para encontrarmos o número-índice do período 3, por exemplo, com base de comparação fixa no período 1, o procedimento é o seguinte:

I1,3 = (I1,2 / 100).( I2,3 / 100).100

Ou seja, inicialmente, transformam-se os números-índice com base móvel em fatores de multiplicação com base móvel. Então, obtém-se o produto dos multiplicadores (encadeamento). Por fim, transforma-se o produto dos multiplicadores em índice (multiplicando-se por 100).

Calculemos uma série de números-índice do valor da produção de petróleo, com base de comparação fixa em 1997, a partir da série de números-índice com base móvel no ano imediatamente anterior. Os resultados dos cálculos abaixo estão sistematizados na tabela 7.

IVP1997,1997 = 100,00 (por definição, o índice na posição da base fixa é igual a 100)

IVP1997,1998 = (IVP1997,1998 / 100).100 = (70,88 / 100).100 = 0,7088.100 = 70,88

IVP1997,1999 = (IVP1997,1998 / 100).(IVP1998,1999 / 100).100 = (70,88 / 100).(132,31 / 100).100 = = 0,7088.1,3231.100 = 93,78

IVP1997,2000 = (IVP1997,1998 / 100).(IVP1998,1999 / 100). (IVP1999,2000 / 100) = (70,88 / 100).(132,31 / 100).(167,74 / 100).100 = 0,7088.1,3231.1,6774.100 = 157,31

IVP1997,2001 = (IVP1997,1998 / 100).(IVP1998,1999 / 100). (IVP1999,2000 / 100). (IVP2000,2001 / 100).100 = (70,88 / 100).(132,31 / 100).(167,74 / 100).(83,15 / 100).100 = 0,7088.1,3231.1,6774. 0,8315.100 = 130,80


Ano Número-índice

(base móvel)1

Número-índice

(base fixa)2 1997 – 100,00 1998 70,88 70,88 1999 132,31 93,78 2000 167,74 157,31 2001 83,15 130,80

Fonte dos dados primários: The Economist (2003): p. 13. 1 Base de comparação móvel no ano imediatamente anterior. 2 Base de comparação fixa em 1997.



Do exposto acima, observamos que o encadeamento de uma série com base de comparação móvel corresponde ao produto dos fatores de multiplicação (multiplicado, ao final, por 100). De modo genérico, para encadear uma série de números-índice com base de comparação móvel, entre um período inicial t e um período final t+n, encontrando, portanto, o número-índice no período de referência t+n qualquer, com base de comparação fixa no período t, o procedimento é o seguinte:

(14) It,t+n = (It,t+1 / 100).(It+1,t+2 / 100).(It+2,t+3 / 100) … (It+n-1,t+n / 100).100

Ou

(15) It,t+n = ft,t+1. ft+1,t+2. ft+2,t+3… ft+n-1,t+n.100

Isto permite enfatizarmos a lógica intuitiva do encadeamento da série. Como cada fator de multiplicação com base móvel no período imediatamente anterior (ft,t+1), multiplicado pelo número-índice do período-base (t), resulta no número-índice no período de referência (t+1), temos:

It,t = 100 It,t+1 = 100 . ft,t+1 It,t+2 = It,t+1 . ft+1,t+2 = 100 . ft,t+1 . ft+1,t+2 ………………………….. It,t+n = It+n-2,t+n-1 . ft+n-1,t+n = 100 . ft,t+1 . ft+1,t+2 ... ft+n-1,t+n.

Exercício 4: calcule, a partir da série de números-índice do valor da produção de petróleo com base de comparação móvel no ano imediatamente anterior, as séries de números-índice com bases de comparação fixas em 1998, 1999, 2000 e 2001, respectivamente. Use duas casas decimais para apresentar os resultados. Compare com os resultados do exercício 1.

Box 6: Cálculo de variações percentuais a partir de números-índice

No Box 5, mostramos que é possível transformar números-índice em variações percentuais. Naquele Box, o exemplo numérico referia-se a uma série com apenas dois anos subseqüentes. Quando se tem uma série de números-índice com base de comparação fixa composta de vários períodos, contudo, podemos calcular variações percentuais entre dois períodos quaisquer, e não necessariamente apenas entre os períodos subseqüentes.

Seja a série de números-índice com base de comparação fixa no período f:

If,1; If,2; If,3; If,4 ... If,n, onde If,f =100

A variação percentual entre os períodos 3 e 6, por exemplo, é igual a:

∆%I3,6 = [(If,6 / If,3) − 1].100

Ou, genericamente, a variação percentual entre dois períodos quaisquer t e t+z é dada por:

∆%It,t+z = [(If,t+z / If,t) − 1].100

No exemplo do petróleo, calculamos as variações percentuais no valor da produção a partir de números-índice com base fixa. Assim, a partir da série de números-índice com base de comparação fixa em 1997, temos:

∆%IVP1999,2000 = [(IVP1997,2000 / IVP1997,1999) − 1].100

∆%IVP1999,2000 = [(157,31 / 93,78) − 1].100 = 67,74%

(continua)



Box 6: Cálculo de variações percentuais a partir de números-índice (conclusão)

As séries de números-índice com base de comparação móvel no período imediatamente anterior permitem calcular diretamente as variações percentuais entre dois períodos sucessivos de tempo. Seja a série:

I1,2; I2,3; I3,4 ... In-1,n

A variação percentual entre os períodos 3 e 4, por exemplo, é igual a:

∆%I3,4 = I3,4 − 100

Ou, genericamente, a variação percentual entre dois períodos sucessivos t e t+1 é dada por:

∆%It,t+1 = It,,t+1 − 100

No exemplo do petróleo, calculamos as variações percentuais no valor da produção entre anos sucessivos a partir da série de números-índice com base de comparação móvel no ano imediatamente anterior. Para o ano de referência de 2000, por exemplo, o resultado é o seguinte:

∆%IVP1999,2000 = IVP1999,2000 − 100

∆%IVP1999,2000 = 167,74 − 100 = 67,74%

5 – Decomposição das causas de variações nos valore s

Na seção 2, vimos que o valor da produção é o resultado da multiplicação de volumes por preços, ou seja:

VP = Q . P

As variações no valor da produção decorrem, em conseqüência, de variações nos volumes e/ou nos preços:

Variação nos volumes → Variação no valor ← Variação nos preços

Ou, simbolicamente:

∆Q → ∆VP ← ∆P

Ou, ainda:

∆VP = f (∆Q; ∆P)

Se os dados de volumes e preços são conhecidos, podemos encontrar a variação no valor da produção diretamente das variações nos volumes e preços.

Seja o valor da produção em dois períodos t e t+n quaisquer:

VPt = Qt . Pt

VPt+n = Qt+n . Pt+n

A expressão da variação relativa no valor da produção entre t e t+n, em fator de multiplicação, é dada por:

fVPt,t+n = VPt+n / VPt

Substituindo, temos:

fVPt,t+n = Qt+n . Pt+n / Qt . Pt

Ou:

fVPt,t+n = (Qt+n / Qt) . (Pt+n / Pt)



As razões entre parênteses, no lado direito da expressão acima, são fatores de multiplicação de volumes e de preços, respectivamente. Portanto:

(16) fVPt,t+n = fQt,t+n . fPt,t+n

Quando os dados originais de valor, volume e preço não são conhecidos, mas se dispõe de uma medida de suas variações relativas na forma de números-índice, podemos igualmente encontrar a variação nos valores de produção com base nas séries de números-índice de volumes e preços. Isto porque:

fQt,t+n = IQf,t+n / IQf,,t

e

fPt,t+n = IPf,t+n / IPf,t

Logo:

fVPt,t+n = (IQf,t+n / IQf,,t) . (IPf,t+n / IPf,,t)

Esta propriedade dos números-índice chama-se decomposição das causas .

Retornemos ao exemplo do petróleo. A tabela 8 apresenta os dados originais de volumes e preços, além dos já conhecidos valores da produção.

Tabela 8: Quantidade produzida, preço e valor da produção de petróleo bruto, OPEC, 1997-2001

Ano Volume (milhões de

barris)

Preço (US$/barril)

Valor da produção

(US$ bilhão) 1997 10.495 19,30 202,6 1998 10.950 13,11 143,6 1999 10.412 18,25 190,0 2000 10.996 28,98 318,7 2001 10.700 24,77 265,0


Já a tabela 9 mostra os números-índice do volume, preço e valor da produção, com base de comparação fixa em 1997.

Tabela 9: Números-índice da quantidade produzida, preço e valor da produção de petróleo bruto, OPEC, 1997-2001

Ano Volume Preço Valor da produção

1997 100,00 100,00 100,00 1998 104,34 67,93 70,88 1999 99,21 94,56 93,78 2000 104,77 150,16 157,31 2001 101,95 128,30 130,80

Fonte dos dados primários: The Economist (2003): p. 13. Nota: base de comparação fixa em 1997.

Obviamente, se dispuséssemos dos dados da tabela 8, poderíamos calcular as variações relativas nos volumes, preços e valores da produção diretamente a partir das grandezas absolutas de cada variável. Se, ao contrário, não conhecêssemos os dados originais, mas possuíssemos informações sobre a variação relativa nos volumes e preços a exemplo dos números-índice das colunas intermediárias da tabela 9, seria perfeitamente



possível calcular as variações relativas nos valores da produção de petróleo. Por exemplo, para a variação no valor da produção entre 1999 e 2000, fazemos:

fVP1999,2000 = fQ1999,2000 . fP1999,2000

fVP1999,2000 = (104,77 / 99,21).(150,16 / 94,56) = 1,0560 . 1,5880 = 1,6769

ou: IVP1999,2000 = 167,69

ou: ∆%VP1999,2000 = 67,69%

Calculando-se diretamente do número-índice do valor da produção, o resultado é o mesmo:

fVP1999,2000 = (157,31 / 93,78) = 1,6774 (diferença de arredondamento)

De modo análogo, podemos obter medidas da variação relativa nos volumes com base em números-índice de preços e valores da produção e medidas da variação relativa nos preços com base em números-índice de volumes e valores da produção.

Vejamos o cálculo da variação relativa nos volumes com base em números-índice de preços. Uma simples manipulação algébrica na expressão (16) resulta em:

fQt,t+n = fVPt,t+n / fPt,t+n

No exemplo do petróleo, para encontrar a variação relativa nas quantidades produzidas entre 1999 e 2000 a partir das variações nos valores e nos preços, fazemos:

fQ1999,2000 = fVP1999,2000 / fP1999,2000

O que é o mesmo que:

fQ1999,2000 = (IVPf,2000 / IVPf,1999) / (IPf,2000 / IPf,1999)

Com base nos dados da tabela 9, em que a base fixa f está posicionada no ano de 1997, calculamos:

fQ1999,2000 = (157,31/93,78) / (150,16/94,56) = 1,6774/1,5880 = 1,0563

Quando tratarmos da transformação de valores a preços correntes em valores a preços constantes na seção 7, retornaremos aos procedimentos da decomposição de causas.

6 – Taxas de crescimento

6.1 – Taxa de crescimento média

Nas seções anteriores, apresentamos três formas costumeiras de se expressar a variação nos indicadores de desempenho econômico entre dois períodos de tempo: a variação percentual, o fator de multiplicação e o número-índice. No exemplo do petróleo, a variação no valor da produção entre um ano e outro, ou sua variação anual, dá origem ao que também se denomina taxa de crescimento , que no caso é uma taxa de crescimento anual em vista dos intervalos de tempo anuais a que se referem os dados originais. Apesar do uso da palavra “crescimento”, esta taxa tanto pode ser positiva, descrevendo um aumento na grandeza absoluta da variável, quanto negativa, mostrando uma redução na grandeza absoluta da variável. A tabela 10 expõe as taxas de crescimento anuais, em percentagem, do valor da produção de petróleo.



Tabela 10: Valor da produção e variação anual no valor da produção de petróleo bruto, OPEC, 1997-2001


(US$ bilhão)

Taxa de crescimento anual (%)

1997 202,6 - 1998 143,6 -29,12 1999 190,0 32,31 2000 318,7 67,74 2001 265,0 -16,85


Um procedimento bastante comum na análise dos indicadores do desempenho da economia é o de se encontrar a taxa de crescimento média correspondente a um período composto por vários subperíodos de tempo. Na tabela 10, por exemplo, o período entre 1997 e 2001 é formado por cinco anos, que dão origem a quatro variações anuais no valor da produção. O valor da produção no ano final (2001 = US$ 265,0 bilhões) é o resultado de taxas de crescimento anuais que incidem sobre o ano imediatamente anterior, desde o ano inicial (1997 = US$ 202,6 bilhões). Ou seja, −29,12% incide sobre US$ 202,6 bilhões para resultar em US$ 143,6 bilhões; 32,31% incide sobre US$ 143,6 bilhões para resultar em US$ 190,0 bilhões, e assim por diante. Podemos escrever que:

US$ 265,0 bilhões = 202,6 . (1−29,12/100) . (1+32,31/100) . (1+67,74/100) . (1−16,85/100)

Ou

VP2001 = VP1997 . (1+∆%VP1997,1998/100) . (1+∆%VP1998,1999/100) . (1+∆%VP1999,2000/100) . (1+∆%VP2000,2001/100)

Ou

VP2001 = VP1997 . fVP1997,1998 . fVP1998,1999 . fVP1999,2000 . fVP2000,2001

Nosso objetivo, todavia, é conhecer a taxa de crescimento anual média do valor da produção de petróleo entre 1997 e 2001. Dito de outra maneira, queremos saber a que taxa de crescimento anual média um valor da produção de US$ 202,6 bilhões resultou em US$ 265,0 bilhões.

Uma solução por meio da média aritmética simples das taxas de crescimento anuais resultaria em:

∆%VP1997,2001 (média anual) = (− 29,12 + 32,31 + 67,74 − 16,85) / 4 = 13,52% a.a.

Partindo do valor da produção no ano inicial (1997 = US$ 202,6 bilhões) e aplicando a taxa de crescimento média de 13,52% a.a., chegamos a:

202,6 . (1+13,52/100).(1+13,52/100).(1+13,52/100).(1+13,52/100) =

202,6 . (1,1352).(1,1352).(1,1352).(1,1352) = 202,6 . (1,1352)4 = US$ 336,5 bilhões

O resultado final obtido com base na taxa de crescimento anual média calculada por média aritmética simples não está correto. O valor de US$ 336,5 bilhões, maior do que o valor da produção final dos dados originais (2001 = US$ 265,0 bilhões), indica que a média aritmética simples é superior à efetiva taxa de crescimento anual média.

Para encontrar a forma correta de se calcular a taxa de crescimento anual média, retomemos uma expressão anterior:

VP2001 = VP1997 . fVP1997,1998 . fVP1998,1999 . fVP1999,2000 . fVP2000,2001

Substituindo as variações anuais observadas pela notação da taxa de crescimento anual média, escrevemos:



VP2001 = VP1997 . fVP1997,2001(média) . fVP1997,2001(média) . fVP1997,2001(média) . fVP1997,2001(média)

Ou

VP2001 = VP1997 . [fVP1997,2001(média)]4

Para encontrar a taxa de crescimento anual média, em fator de multiplicação, fazemos:

VP2001 / VP1997 = [fVP1997,2001(média)]4

(VP2001 / VP1997)1/4 = fVP1997,2001(média)

Substituindo pelos valores da tabela 10:

265,0 / 202,6 = [fVP1997,2001(média)]4

(1,3080)1/4 = fVP1997,2001(média)

Logo:

fVP1997,2001(média) = 1,0694

Para transformar em percentagem, fazemos:

∆%VP1997,2001(média) = (1,0694 – 1).100 = 6,94% a.a.

Portanto, a taxa de crescimento anual média do valor da produção de petróleo, entre 1997 e 2001, foi de 6,94% a.a. Partindo do valor da produção no ano inicial (1997 = US$ 202,6 bilhões) e aplicando a taxa de crescimento média de 6,94% a.a., chegamos a:

202,6 . (1,0694)4 = US$ 265,0 bilhões.

Generalizando: a taxa de crescimento média entre dois valores distantes entre si por n períodos de tempo é uma média geométrica simples . Seja o indicador de desempenho econômico α, com valores conhecidos nos períodos t e t+n. A expressão da taxa de crescimento média de um indicador α, em fator de multiplicação, é a seguinte:

(17) fαt,t+n(média) = (αt+n / αt)1/n

Em percentagem:

(18) ∆%αt,t+n(média) = [(αt+n / αt)1/n – 1].100

O número α pode ser tanto o valor original do indicador quanto um número-índice com base de comparação fixa. Os resultados para fαt,t+n(média) e ∆%αt,t+n(média) serão iguais, quer se utilizem os dados originais, quer se utilizem os números-índice.

6.2 – Taxa de crescimento acumulada com base na tax a de crescimento média

Podemos calcular a taxa de crescimento de um indicador de desempenho econômico α, acumulada num intervalo de n períodos, com base na taxa de crescimento média. As expressões são as seguintes.

Em fator de multiplicação:

(19) fαt,t+n(acumulada) = [fαt,t+n(média)]n

Como a taxa de crescimento acumulada corresponde à variação relativa total no indicador α entre t e t+n (ou seja, αt+n / αt), sua obtenção é relativamente direta da expressão acima para o cálculo da média.

Em variação percentual:

(20) ∆%αt,t+n(acumulada) = {[1 + (∆%αt,t+n(média) / 100)n] – 1}.100

No exemplo do petróleo, em que a taxa de crescimento anual média do valor da produção foi de 6,94% entre 1997 e 2001, a taxa de crescimento acumulada neste mesmo período (ano de referência em 2001 e base de comparação em 1997) pode ser obtida com base nesta média:



fVP1997,2001(acumulada) = 1,06944 = 1,3079

Ou

∆%VP1997,2001(acumulada) = {[1 + (6,94 / 100)4] – 1}.100 = 30,79%

6.3 – Séries temporais mensais ou de períodos infer iores a um ano e taxas de crescimento

No caso do petróleo, os dados da série temporal referem-se a intervalos anuais. Os indicadores de desempenho da economia podem, contudo, ser apresentados em intervalos menores ou maiores do que o ano. Consideremos, agora, as séries temporais com intervalo mensal dos dados a fim de apresentar medidas de variação relativa na forma de diferentes taxas de crescimento e sua interpretação.

A tabela 11 mostra o Índice Geral de Preços – Disponibilidade Interna, calculado pela Fundação Getulio Vargas (IGP-DI), entre dezembro de 2001 e dezembro de 2003. Trata-se de um número-índice que mensura o comportamento dos preços em geral. Se, entre um mês e outro, o IGP-DI aumenta, dizemos que houve um aumento nos preços em geral; se diminui, dizemos que houve uma redução nos preços em geral.1 A tabela 11 inclui, ainda, colunas com diversas medidas de variação relativa do IGP-DI, que tratamos de comentar nos parágrafos seguintes.

A variação percentual no IGP-DI é uma taxa de inflação, ou seja, uma taxa de crescimento dos preços em geral. Pode-se calcular diferentes taxas de inflação com base no IGP-DI, modificando-se a base de comparação e o período de referência. Cada uma destas taxas requer cuidados em sua interpretação. As expressões de cálculo destas taxas são as seguintes.

Variação percentual mensal (taxa de inflação mensal )

A variação percentual mensal resulta da comparação entre os índices de preços em meses sucessivos. Para quaisquer meses m e m+1 quaisquer, a expressão desta taxa de crescimento dos preços é a seguinte:

∆%IGPm,m+1 = [(IGPm+1 / IGPm) – 1].100

Em janeiro de 2002, por exemplo, a taxa de inflação mensal foi a seguinte:

∆%IGPdez2001,jan2002 = [(214,535 / 214,137) – 1].100 = 0,19%

A taxa de inflação mensal, como o próprio nome indica, mostra a variação nos preços em geral ocorrida entre dois meses sucessivos. O mês m+1 é o mês de referência e o mês m é a base de comparação. Quando a taxa é negativa, como ocorreu de maio a julho de 2003, melhor falar em deflação (taxa de inflação negativa).

Variação percentual anual (taxa de inflação anual)

A variação percentual anual resulta da comparação entre as médias anuais dos índices de preços (médias aritméticas simples). Para dois anos y e y+1 quaisquer, a expressão desta taxa de crescimento dos preços é a seguinte:

∆%IGPy,y+1 = [(∑IGPm(y+1)/12 / ∑IGPm(y)/12) – 1].100 = = [(∑IGPm(y+1) / ∑IGPm(y)) – 1].100

Ou seja:

∆%IGPy,y+1 = [(média mensal do IGP em y+1 / média mensal do IGP em y) – 1].100 1 Os métodos de cálculo de índices de preços, inclusive os do IGP-DI, não são objeto deste texto, devendo ser apresentados, de forma introdutória, no ponto específico do curso de Contabilidade Social. Assim, neste texto, tomamos os índices de preços como dados e abordamos alguns procedimentos elementares para descrever sua variação ao longo do tempo. Para uma referência básica, ler Endo (1986).



Em 2003, por exemplo, a taxa de inflação anual foi a seguinte:

∆%IGP2002,2003 = [(285,074 / 232,183) – 1].100 = 22,78%

Esta taxa compara o nível de preços de um ano inteiro (ano de referência) com o nível de preços do ano imediatamente anterior (base de comparação). Chamamo-la de medida “ao longo” para diferenciá-la das medidas “ponta a ponta”, tal como a taxa que apresentamos a seguir.

Tabela 11: Índice Geral de Preços – Disponibilidade Interna, Dez./2001-Dez./2003

Mês IGP-DI1 ∆% mensal

∆% anual

∆% no ano

∆% acumulada

no ano

∆% em 12 Meses

∆% mensal

anualizada 2001 Dez 214,137

Média 204,569 2002

Jan 214,535 0,19 0,19 2,25 Fev 214,927 0,18 0,37 2,21 Mar 215,570 0,30 0,67 3,65 Abr 216,673 0,51 1,18 6,32

Maio 219,070 1,11 2,30 14,11 Jun 222,872 1,74 4,08 22,93 Jul 227,441 2,05 6,21 27,57

Ago 232,818 2,36 8,72 32,37 Set 238,973 2,64 11,60 36,77 Out 249,042 4,21 16,30 64,09 Nov 263,580 5,84 23,09 97,55 Dez 270,692 2,70 26,41 26,41 26,41 37,64

Média 232,183 13,52 2003

Jan 276,578 2,17 2,17 28,92 29,45 Fev 280,984 1,59 3,80 30,73 20,88 Mar 285,640 1,66 5,52 32,50 21,80 Abr 286,815 0,41 5,96 32,37 5,05

Maio 284,900 -0,67 5,25 30,05 -7,72 Jun 282,913 -0,70 4,51 26,94 -8,06 Jul 282,349 -0,20 4,31 24,14 -2,37

Ago 284,105 0,62 4,96 22,03 7,72 Set 287,081 1,05 6,05 20,13 13,32 Out 288,337 0,44 6,52 15,78 5,38 Nov 289,718 0,48 7,03 9,92 5,90 Dez 291,462 0,60 7,67 7,67 7,67 7,47

Média 285,074 22,78 Fonte dos dados primários: Conjuntura Econômica, vol. 57, n° 10, p. II, e vo l. 58, n° 3, p. II. 1 Base de comparação fixa 100 = Ago./1994.

Variação percentual no ano (taxa de inflação no ano )

A variação percentual no ano resulta da comparação entre os índices de preços em dezembro de cada ano. Para dois anos y e y+1 quaisquer, a expressão desta taxa de crescimento dos preços é a seguinte:

∆%IGPdez(y),dez(y+1) = [(IGPdez(y+1) / IGPdez(y)) – 1].100

Em 2003, por exemplo, a taxa de inflação no ano medida pelo IGP foi a seguinte:

∆%IGPdez2002,dez2003 = [(291,462 / 270,692) – 1].100 = 7,67%



Esta taxa compara o nível de preços no final de um ano (ano de referência) com o nível de preços no final do ano imediatamente anterior (base de comparação). O que interessa são apenas os valores ao final de cada ano, daí chamá-la de medida “ponto a ponto”.

Variação percentual acumulada no ano (taxa de infla ção acumulada no ano)

A variação percentual acumulada no ano resulta da comparação entre o índice de preços de cada mês em determinado ano e o índice de preços em dezembro do ano anterior. Para um ano y+1 qualquer, a expressão da taxa de crescimento dos preços acumulada no ano é a seguinte:

∆%IGPdez(y),m(y+1) = [(IGPm(y+1) / IGPdez(y)) – 1].100

Por exemplo, a taxa de inflação acumulada até março de 2002 foi a seguinte:

∆%IGPdez2001,mar2002 = [(215,570 / 214,137) – 1].100 = 0,67%

Esta taxa compara o nível de preços em um mês de determinado ano com o nível de preços em dezembro do ano imediatamente anterior. É também, portanto, uma medida “ponto a ponto”. No mês de dezembro, a variação percentual acumulada no ano iguala-se à medida da variação percentual no ano.

Variação percentual em 12 meses (taxa de inflação e m 12 meses)

A variação percentual em doze meses é também uma variação percentual acumulada. Porém, em vez de restringir o intervalo ao ano civil, posicionando a base de comparação em dezembro do ano imediatamente anterior, esta taxa de inflação leva em conta todas as variações mensais dos doze meses anteriores até o mês de referência. O último mês a ser computado é o próprio mês de referência. Para um mês de referência m qualquer num ano y+1 qualquer, a expressão da taxa de crescimento dos preços acumulada em doze meses é a seguinte:

∆%IGPm(y),m(y+1) = [(IGPm(y+1) / IGPm(y)) – 1].100

Em março de 2003, por exemplo, a taxa de inflação em doze meses foi a seguinte:

∆%IGPmar2002,mar2003 = [(285,640 / 215,570) – 1].100 = 32,50%

Esta taxa compara o nível de preços em um mês de determinado ano com o nível de preços no mesmo mês do ano imediatamente anterior. É uma medida “ponto a ponto”. No mês de dezembro, a variação percentual acumulada em doze meses iguala-se à medida da variação percentual no ano.

Variação percentual mensal anualizada (taxa de infl ação mensal anualizada)

A variação percentual mensal anualizada é a taxa de inflação em doze meses que resultaria do fato de a variação nos preços em determinado mês repetir-se nos onze meses seguintes. Matematicamente, encontra-se a taxa de inflação mensal anualizada através da elevação do fator de multiplicação da variação mensal à potência 12, como na expressão abaixo para um mês m+1 qualquer:

∆%IGPm,m+1(anualizada) = [(IGPm+1 / IGPm)12 – 1].100

Em abril de 2003, por exemplo, a taxa de inflação mensal anualizada foi a seguinte:

∆%IGPmar2003,abr2003(anualizada) = [(286,815 / 285,640)12 – 1].100 = 5,05%

A taxa de 5,05% indica a taxa de inflação em doze meses se o ritmo mensal de variação no nível de preços se mantiver inalterado. Analogamente, pode-se calcular taxas trimestrais anualizadas (taxas de doze meses se a inflação de um trimestre qualquer se mantiver inalterada nos três trimestres seguintes), taxas quadrimestrais anualizadas (taxas de doze meses se a inflação de um quadrimestre qualquer se mantiver inalterada nos dois quadrimestres seguintes) e para quaisquer outros intervalos menores do que doze meses.



6.4 – Tempo necessário para duplicar o valor de um indicador de desempenho econômico

Uma vez conhecida uma taxa de crescimento de um indicador de desempenho econômico em um período de tempo, podemos adotá-la como referência para se conhecer o tempo necessário para a duplicação do valor deste indicador, sob o pressuposto de que sua variação no futuro será igual à sua variação no passado. Por exemplo, a taxa de crescimento anual média do PIB per capita brasileiro no período após-Real foi de mero 0,7% a.a., com variação acumulada de 6,37% entre 1994 (base de comparação) e 2003 (ano de referência). Em 2003, o PIB per capita atingiu R$ 8.565. Considerando que continue a crescer neste ritmo nos próximos anos, queremos saber em que ano o PIB per capita alcançará o dobro do observado em 2003?

O fator de multiplicação do PIB per capita correspondente à taxa de crescimento anual média de 0,7% é dada por:

fPIBpercapita1994,2003(média) = 1,007

A taxa acumulada em n anos, mensurada em fator de multiplicação, é igual a:

fPIBpercapitat,t+n = 1,007n

Já a taxa acumulada em n anos, mensurada em fator de multiplicação, que equivale a duplicar o PIB per capital é igual a:

fPIBpercapitat,t+n = 2 (duplicação)

Nosso problema é saber quantos anos n são necessários para que o PIB per capita duplique (fPIBpercapita = 2), com base em uma taxa de crescimento anual média de 1,007. Ou seja, queremos encontrar o valor de n que satisfaça:

1,007n = 2

Usando logaritmos:

log 1,007n = log 2

Portanto:

n . log 1,007 = log 2

Isolando n:

n = log 2 / log 1,007

n = 0,3010 / 0,0030

n =100,33

Ou seja, a persistir no futuro o baixo crescimento da economia observado a partir de 1994, o PIB per capita brasileiro precisará de mais 100 anos para duplicar. Assim, apenas em 2104, os brasileiros terão renda média de R$ 17.130 (a preços de 2003).

Generalizando, o tempo necessário n para duplicar o valor de um indicador econômico que cresce a uma taxa de i% é igual a:

(21) n = log 2 / log (1+i/100)



7 – Valores a preços correntes e valores a preços c onstantes

7.1 – Colocação do problema

Os agregados econômicos são medidas de valor, expressas em unidades monetárias. São o resultado da multiplicação de volumes por preços. No caso do agregado econômico valor da produção, temos:

VP = Q.P

Sabemos, também, que a variação no valor da produção entre dois períodos de tempo pode ser causada por uma variação nos volumes e/ou uma variação nos preços:

Variação nos volumes → Variação no valor ← Variação nos preços

Ou, simbolicamente:

∆Q → ∆VP ← ∆P

Ou, ainda:

∆VP = f (∆Q; ∆P)

A mensuração do valor da produção em cada período de tempo com base nos preços e volumes que lhe correspondem dá origem a valores a preços correntes . São os preços correntemente observados ou imputados, mas referentes ao período de tempo respectivo, que são utilizados para avaliar as quantidades físicas em cada período. A variação nos valores da produção mensurados a preços correntes é uma variação a preços correntes ou variação nominal .

Quando se comparam os agregados econômicos ao longo do tempo, todavia, o interesse está em verificar qual a parcela da variação num agregado qualquer que é causada exclusivamente por variações nos volumes. No caso do valor da produção, a lógica desta comparação está em calcular sua variação sob o pressuposto de que os valores, num e noutro período de tempo, sejam aferidos com base em preços iguais. Estes valores são ditos valores a preços constantes . E a variação nos valores da produção mensurados a preços constantes é uma variação a preços constantes ou variação real .

O problema fundamental da comparação intertemporal entre agregados econômicos reside justamente no cálculo da variação nos valores a preços constantes . Ao se manterem constantes os preços com que são avaliados os volumes, as variações nos agregados econômicos (variações de medidas em valor) podem ser consideradas variações nas quantidades físicas. Assim, por exemplo, uma variação no PIB a preços constantes é uma estimativa da variação no produto físico total da economia. A variação em uma variável de valor (PIB), quando os preços desta variável são mantidos inalterados, é um indicador da variação em uma variável de volume (produto físico).

O objetivo desta seção 7 é o de apresentar os procedimentos para transformar valores a preços correntes em valores a preços constantes. Para apresentar a metodologia de cálculo dos valores a preços constantes, partiremos do caso de um único produto do qual se conhecem os volumes e preços até chegarmos ao caso geral dos agregados econômicos. A seqüência da exposição, que mostramos a seguir, tem a finalidade de reforçar os conceitos de valores a preços correntes e valores a preços constantes:

a) Caso 1: Um único produto. Mensuração com base direta em volumes;

b) Caso 2: Um único produto. Mensuração com base em valores e preços;

c) Caso 3: Um único produto. Mensuração com base em valores e índices de preço; e

d) Caso 4: Agregados econômicos. Mensuração com base em valores e índices de preços.



Para ilustrar os casos 1 a 3, retornaremos ao conhecido exemplo do petróleo. No caso 4, apresentaremos um novo exemplo.

7.2 – Caso 1: Um único produto. Mensuração com base direta em volumes

A tabela 8, que reproduzimos novamente abaixo, apresenta os dados das quantidades produzidas de petróleo entre 1997 e 2001.

Tabela 8: Quantidade produzida, preço e valor da produção de petróleo bruto, OPEC, 1997-2001

Ano Volume (milhões de

barris)

Preço (US$/barril)

Valor da produção

(US$ bilhão) 1997 10.495 19,30 202,6 1998 10.950 13,11 143,6 1999 10.412 18,25 190,0 2000 10.996 28,98 318,7 2001 10.700 24,77 265,0


Conhecidos os dados de volume, a comparação intertemporal entre as quantidades físicas da produção não oferece maiores dificuldades do que a da escolha e cômputo das medidas de variação relativa nestes volumes. Assim, por exemplo, se quisermos comparar o volume da produção de petróleo em 1998 com este mesmo volume em 1997, podemos adotar uma das seguintes medidas:

Fator de multiplicação do volume da produção

fQ1997,1998 = 10.950 / 10.495 = 1,0434

Índice do volume da produção

IQ1997,1998 = (10.950 / 10.495).100 = 104,34

Variação percentual no volume da produção

∆%Q1997,1998 = [(10.950 / 10.495) – 1].100 = 4,34%

7.3 – Caso 2: Um único produto. Mensuração com base em valores e preços

Pode ocorrer, contudo, que os dados de volume não estejam disponíveis, mas que os dados de valor da produção e preço do produto estejam disponíveis. Neste caso, podemos calcular a variação no volume produzido de petróleo exclusivamente com base nos dados de valor da produção e preço.2

Vamos dar um passo atrás e insistir com um ponto. As variações nos valores da produção são causadas por variações nos volumes e/ou por variações nos preços:

∆Q → ∆V ← ∆P

Quando se busca medir as variações em qualquer agregado econômico, o interesse recai nas variações causadas exclusivamente por variações nos volumes. Vale dizer, estamos interessados nas variações reais ou a preços constantes e não nas variações nominais ou a preços correntes.

2 Obviamente, se os dados de valor e preço estão disponíveis, é perfeitamente possível calcular o volume através da simples divisão do valor da produção pelo preço. O problema da comparação intertemporal estaria novamente cingido ao caso 1. Não obstante, e este é nosso objetivo aqui, sem recorrer ao expediente de calcular os volumes da produção de petróleo em cada ano, o caso 2 servirá para evidenciar a lógica intuitiva do cálculo dos agregados econômicos a preços constantes.



Como resolver o problema de encontrar as variações nos volumes a partir das variações nos valores da produção, isolando-se as variações nos preços?

Utilizando-se o exemplo do petróleo (que não é um agregado), e sem que os dados de volume sejam conhecidos, podemos recalcular os valores da produção com base no preço de um ano determinado . Ou seja, podemos transformar os valores a preços correntes (preços em que o produto foi efetivamente transacionado ou avaliado em cada ano) em valores a preços constantes (preço arbitrado de um ano qualquer).

Genericamente, calculamos o valor da produção em um ano t qualquer com base no preço de um ano-base arbitrado b a partir da seguinte expressão3:

VPt(p=b) = ( VPt(p=t) / Pt ) . Pb

Ou, por simples manipulação algébrica:

(22) VPt(p=b) = VPt(p=t) . ( Pb / Pt )

Onde:

VPt(p=b) = valor da produção no ano t a preços do ano b. Isto é uma medida do volume de produção no ano t avaliado com base nos preços do ano-base b. Se os valores da produção de cada ano t são transformados com base nos preços do ano b, o resultado é uma série de valores da produção a preços constantes do ano b. VPt(p=t) = valor da produção no ano t a preços do ano t. Isto é uma medida do volume de produção no ano t avaliado com base nos preços do próprio ano corrente t. Uma série de valores anuais da produção calculados com base nos preços de cada ano respectivo é uma série de valores da produção a preços correntes. Pt = preço do ano t. Pb = preço do ano-base b.

O relativo (Pb / Pt) é denominado fator de atualização .

Por exemplo, o valor da produção de petróleo em 1997, ao preço corrente de US$ 19,30 por barril, é de US$ 202,6 bilhões. Em outras palavras, a quantidade de petróleo produzida naquele ano avaliada ao preço de US$ 19,30 por barril, resultou num valor da produção de US$ 202,6 bilhões.4 Podemos recalcular o valor da produção de petróleo em 1997 considerando o preço observado em 2001:

VP1997(p=2001) = VP1997(p=1997) . ( P2001 / P1997 )

Substituindo pelos dados dos valores da produção e dos preços disponíveis na tabela 8, encontramos:

VP1997(p=2001) = 202,6 . ( 24,77 / 19,30 )

VP1997(p=2001) = 260,0 bilhões

O valor da produção de petróleo em 1997, mensurado ao preço de 2001, restou maior do que aquele mensurado ao preço de 1997 pelo simples fato de que o preço de 2001 é maior do que o preço de 1997. Procedendo de forma análoga para os demais anos, o resultado será uma série de valores da produção a preços constantes de 2001 (ano-base escolhido). A tabela 12 apresenta esta série de valores, além das séries de valores da produção a preços correntes e dos preços do petróleo.

3 Note que a razão ( VPt(p=t) / Pt ) é o volume produzido no ano t, que, ao ser multiplicado por Pb, passará a ser avaliado ao preço do ano b. 4 Dividindo-se o valor da produção (US$ 202,6 bilhões) pelo preço do barril (US$ 19,30), encontramos a quantidade de petróleo produzida em 1997 (10.495 milhões de barris).



Tabela 12: Valor da produção e preço do petróleo bruto, OPEC, 1997-2001

Preço ($/barril)

Valor da produção a preços correntes

($ bilhão)

Valor da produção a preços constantes de

2001 ($ bilhão) 1997 19,30 202,6 260,0 1998 13,11 143,6 271,3 1999 18,25 190,0 257,9 2000 28,98 318,7 272,4 2001 24,77 265,0 265,0


Uma vez encontrada uma série de valores da produção a preços constantes, a variação no valor da produção entre dois anos quaisquer corresponde à variação no volume da produção entre estes mesmos anos. Por exemplo, a variação no valor da produção a preços constantes de 2001, entre os anos de 1997 e 1998, medida em fator de multiplicação, é dada por:

fVP1997,1998(b=2001) = 271,3 / 260,0 = 1,0434

Ora, esta é exatamente a variação no volume da produção entre 1997 e 1998. Tomando de empréstimo os dados de volume da tabela 8, podemos calcular:

fQ1997,1998 = 10950 / 10495 = 1,0434

Box 7: Demonstração da igualdade entre a variação n o valor da produção a preços constantes e a variação no volume

Sejam, respectivamente, os valores da produção do ano t a preços correntes e a preços constantes do ano b:

VPt = Qt . Pt (VP do ano t a preços do ano t ou VP a preços correntes)

e

VPt(p=b) = VPt . ( Pb / Pt ) = Qt . Pt . ( Pb / Pt ) = Qt . Pb (VP do ano t a preços do ano-base b ou VP do ano t a preços constantes do ano b)

Sejam agora, respectivamente, os valores da produção do ano t+n a preços correntes e a preços constantes do ano b:

VPt+n = Qt+n . Pt+n (VP do ano t+n a preços do ano t+n ou VP a preços correntes)

e

VPt+n(p=b) = VPt+n . ( Pb / Pt+n ) = Qt+n . Pt+n . ( Pb / Pt+n ) = Qt+n . Pb (VP do ano t+n a preços do ano-base b ou VP do ano t+n a preços constantes do ano b)

Comparando-se VPt(p=b) e VPt+n(p=b), por meio do fator de multiplicação, temos:

fVPt,t+n(p=b) = VPt+n(p=b) / VPt(p=b)

Substituindo:

Vt+n(p=b) / Vt(p=b) = Qt+n.Pb / Qt.Pb

Cancelando Pb, resulta a igualdade a ser demonstrada:

VPt+n(p=b) / VPt(p=b) = Qt+n / Qt



Box 8: Comparação entre a variação no valor da prod ução a preços constantes e a variação no valor da produção a preços correntes

A variação no valor da produção a preços constantes, entre 1997 e 1998, foi calculada acima:

fVP1997,1998(b=1997) = 211,4 / 202,6 = 1,0434 ou 4,34%

Já a variação no valor da produção a preços correntes é negativa:

fVP1997,1998 = 143,6 / 202,6 = 0,7088 ou –29,12%

A variação negativa no valor da produção a preços correntes foi causada exclusivamente por uma redução nos preços do petróleo, já que a variação positiva no valor da produção a preços constantes indica um aumento no volume produzido.

Exercício 5: (a) calcule os valores da produção de petróleo entre 1997 e 2001 a preços constantes de cada um dos anos da série temporal. Encontre cinco séries de valores, cada uma delas correspondendo ao preço de um ano-base diferente. Use uma casa decimal para apresentar os resultados; (b) calcule os fatores de multiplicação das variações anuais nos valores da produção de cada uma das cinco séries. Use quatro casas decimais para apresentar os resultados. Responda às seguintes perguntas: (i) a variação anual no valor da produção a preços constantes depende do ano-base escolhido para o preço? Por que?; (ii) A variação anual no valor da produção a preços constantes em cada uma das séries temporais é igual à variação anual no volume produzido?

7.4 – Caso 3: Um único produto. Mensuração com base em valores e índices de preços

Consideremos agora o caso em que os dados de volumes e de preços não estão disponíveis, mas os índices de preços e os valores da produção a preços correntes são conhecidos. Com base nestas informações, podemos calcular os valores da produção a preços constantes. Os dados para o caso do petróleo estão expostos na tabela 13.

Tabela 13: Valor da produção e índice de preço do petróleo bruto, OPEC, 1997-2001

Índice de preço (base=1997)

Valor de produção ($ bilhão)

1997 100,00 202,6 1998 67,93 143,6 1999 94,56 190,0 2000 150,16 318,7 2001 128,34 265,0


Com base nos índices de preço, podemos transformar os valores da produção a preços correntes em valores da produção a preços constantes de um ano-base b conforme a seguinte expressão:

(23) VPt(p=b) = VPt(p=t) . ( IPa,b / IPa,t )

Onde:

VPt(p=b) = valor da produção a preços constantes do ano b VPt(p=t) = valor da produção a preços correntes IPa,b = índice de preço no ano b, com base de comparação fixa no índice do ano a IPa,t = índice de preço no ano t, com base de comparação fixa do índice no ano a IPa,b / IPa,t = fator de atualização dos valores de cada ano t para preços do ano b



Box 9: Cálculo de números-índice de preços com base de comparação fixa

Para calcular uma série de números-índice de preços com base de comparação fixa, é necessário arbitrar um período-base de comparação (período a). O procedimento para cálculo de uma série de índices de preços a partir dos dados de preço de um produto é análogo ao do cálculo de uma série de números-índice de quantidades. Os resultados são medidas da variação nos preços, com referência ao período-base a escolhido. Assim, para um ano t qualquer:

IPa,t = ( Pt / Pa ) . 100

No exemplo do petróleo, temos os preços de $19,30 em 1997 e $13,11 em 1998. O índice de preço no ano de referência 1998, com base de comparação fixa no ano de 1997, é dado por:

IP1997,1998 = ( 13,11 / 19,30 ) . 100 = 67,93

A tabela abaixo apresenta os dados anuais de preço e os índices de preço do petróleo com ano-base em 1997.

Tabela: Preços e índices de preço do petróleo bruto, OPEC, 1997-2001

Preço ($/barril)

Índice de preço

(base=1997) 1997 19,30 100,00 1998 13,11 67,93 1999 18,25 94,56 2000 28,98 150,16 2001 24,77 128,34


A tabela 14 apresenta os valores da produção de petróleo a preços correntes, os fatores

de atualização para o ano-base de 1997 e os valores da produção de petróleo a preços constantes de 1997.

Tabela 14: Valor da produção do petróleo bruto a preços correntes, índices de preço, fatores de atualização para o ano-base de 1997 e valor da produção do petróleo bruto a preços constantes de 1997, OPEC, 1997-2001

Valor da produção a preços correntes

($ bilhão)

Índice de preço

(a=1997)

Fator de atualização (b=1997)

Valor da produção a preços constantes de

1997 ($ bilhão) 1997 202,6 100,00 (100,00/100,00) =

1,00 202,6

1998 143,6 67,93 (100,00/67,93) = 1,4721

211,4

1999 190,0 94,56 (100,00/94,56) = 1,0575

200,9

2000 318,7 150,16 (100,00/150,16) = 0,6660

212,2

2001 265,0 128,34 (100,00/128,34) = 0,7792

206,5


Com base nos resultados da tabela 14, podemos concluir, por exemplo, que:

a) a redução no valor da produção a preços correntes, entre 1997 e 1998 (-29,1%), deveu-se exclusivamente à uma redução no preço do petróleo. Calculado a preços



constantes, o valor da produção mostrou uma variação positiva (4,34%), ou seja, houve aumento nas quantidades produzidas; e

b) o aumento no valor da produção a preços correntes, entre 1999 e 2000 (67,7%), deveu-se sobretudo a um aumento nos preços do petróleo. Calculado a preços constantes, o valor da produção cresceu apenas 5,6%.

O procedimento para a atualização de valores a preços correntes com base em índices de preço requer duas observações adicionais.

Em primeiro lugar, não devemos confundir a base de comparação fixa do índice de preço (ano a=100) com o ano-base para a atualização dos valores a preços constantes (ano b). Ainda que na tabela 14 tenhamos definido o ano de 1997 tanto como base de comparação fixa do índice de preço quanto como ano-base para a atualização dos valores a preços constantes, os anos a e b não são necessariamente os mesmos. Podemos imaginar, por exemplo, que a base de comparação fixa do índice de preço esteja posicionada no ano de 1997 e a atualização dos valores ser calculada para o preço do ano de 2001. A comparação intertemporal do valores a preços constantes neste caso deve chegar aos mesmos resultados obtidos no caso em que ambas as bases se situam no ano de 1997.

Em segundo lugar, dado um mesmo período-base para a atualização de valores (b), tem-se que os valores da produção a preços constantes calculados a partir dos índices de preço são iguais aos valores da produção a preços constantes calculados diretamente a partir dos preços. Isto porque os fatores de atualização são iguais, ou seja:

IPa,b / IPa,t = Pb / Pt

Demonstramos. Dado que:

IPa,b = (Pb / Pa).100

e

IPa,t = (Pt / Pa).100

O fator de atualização com base nos índices de preço é:

[(Pb / Pa).100] / [(Pt / Pa).100]

Cancelando Pa e 100, chegamos a:

IPa,b / IPa,t = Pb / Pt

Exercício 6: Calcule, a partir dos números-índice de preço, os valores da produção de petróleo a preços constantes entre 1997 e 2001. Para tanto, siga os seguintes passos: (a) a partir dos preços do petróleo, encontre cinco séries de índices de preço, cada uma delas com a base de comparação fixa num ano diferente (diferentes anos a). Use duas casas decimais par apresentar os resultados; (b) para cada série de índices de preço, calcule os valores da produção a preços constantes correspondentes a cada um dos possíveis anos-base de comparação (diferentes anos b). No final dos cálculos, deverá haver 25 séries de valores da produção a preços constantes. Use uma casa decimal para apresentar os resultados; (c) calcule os fatores de multiplicação das variações anuais nos valores da produção a preços constantes. Use quatro casas decimais para apresentar os resultados. Compare os resultados entre si e com os resultados do exercício 5. Responda às seguintes perguntas: (i) a variação anual nos valores da produção a preços constantes se modifica conforme se modificam as bases de comparação fixas dos índices de preço? Por que?; (ii) a variação anual nos valores da produção a preços constantes se modifica conforme se modificam os anos-base de comparação escolhidos para a atualização dos valores? Por que?



7.5 – Caso 4: Agregados econômicos. Mensuração com base em valores e índices de preços

Nas comparações intertemporais entre agregados econômicos, os procedimentos para encontrar os valores a preços constantes são análogos aos do caso 3. As informações disponíveis são normalmente as seguintes:

a) Agregados econômicos mensurados em valor a preços c orrentes . Por exemplo: produto total da economia, consumo total, arrecadação tributária, etc.;

b) Índices de preços que refletem o nível geral de pre ços da economia , e não apenas os preços de um ou outro produto individual.

A transformação de um agregado econômico a preços correntes de um período t (Vt(p=t)) para um agregado a preços constantes de um período-base b (Vt(p=b)), a partir de índices de preços com base de comparação fixa em a, é dada pela seguinte expressão:

(24) Vt(p=b) = Vt(p=t) . ( IPa,b / IPa,t )

Que é a mesma expressão geral já mostrada no caso 3.

Vejamos um exemplo numérico. A tabela 15 apresenta o consumo das famílias a preços correntes e a média do Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), mensurados pelo IBGE, entre 1999 e 2003.

Tabela 15: Consumo das famílias e IPCA, Brasil, 1999-2003

Consumo das famílias (preços correntes) IPCA Valor (R$ milhão) Índice1 ∆% (média)2 1999 606.701 100,00 - 1.528,43 2000 670.702 110,55 10,55 1.636,10 2001 727.095 119,84 8,40 1.748,01 2002 781.174 128,76 7,44 1.895,72 2003 862.447 142,15 10,40 2.174,68

Fonte dos dados primários: IBGE. Sistema de contas nacionais: Brasil: 1999-2001. Rio de Janeiro: IBGE, 2002; IBGE; Contas nacionais trimestrais. Notas à imprensa, 27/03/2003 e 31/03/2004; Conjuntura Econômica, vol. 58, n° 07, jul./2004. 1 Base 100 = 1999. 2 Base 100 = dez./1993.

O número-índice associado ao desempenho do consumo das famílias mostra que o valor nominal deste agregado aumentou em todos os anos entre 1999 e 2003, com as taxas de crescimento anual variando entre 7,44% e 10,55%. Mas esta comparação nada informa sobre o desempenho do consumo das famílias em termos reais. A variação real do consumo em cada ano pode ter sido positiva, negativa ou nula. Uma variação real positiva significa que a variação nominal no consumo é maior do que a variação nos preços dos bens e serviços destinados à venda às famílias. Já uma variação real negativa significa que a variação nominal é menor do que a variação nos preços. Para sabermos o que aconteceu com o consumo das famílias entre 1999 e 2003 no Brasil, devemos comparar as variações nominais do consumo com as variações nos preços, medidas pelo IPCA. Alternativamente, podemos encontrar os valores do consumo das famílias a preços constantes através da aplicação da expressão (24) aos dados disponíveis. Assim vamos proceder. Para tanto, definimos o ano de 2003 como a base para a atualização dos valores. O consumo das famílias em 1999 a preços constantes de 2003 é o seguinte:

C1999(p=2003) = C1999(p=1999) . ( IPCAdez1993,2003 / IPCAdez1993,1999 )

Onde:

C = consumo das famílias



IPCA = Índice de Preços ao Consumidor Amplo

Substituindo pelos dados da tabela 15, temos:

C1999(p=2003) = 606701 . (2174,68 / 1528,43 )

C1999(p=2003) = R$ 863.226 milhões

Ou seja, o conjunto de bens e serviços consumidos pelas famílias no ano de 1999, quando avaliados aos preços do ano de 2003, atingem o valor de R$ 863.226 milhões. Este resultado é maior do que o consumo a preços correntes de 1999 simplesmente porque, entre 1999 e 2003, aumentaram os preços dos bens e serviços destinados ao consumidor familiar.

Os resultados para os demais anos estão na tabela 16.

Tabela 16: Consumo das famílias a preços constantes, Brasil, 1999-2003

Consumo a preços

IPCA (média)1

Fatores de atualização2

Consumo a preços constantes de 2003

correntes (R$ milhão)

(R$ milhão)

Índice3 ∆% anual

1999 606.701 1.528,43 (2.174,68/1.528,43) = 1,4228

863.226 100,00 -

2000 670.702 1.636,10 (2.174,68/1.636,10) = 1,3292

891.487 103,27 3,27

2001 727.095 1.748,01 (2.174,68/1.748,01) = 1,2441

904.571 104,79 1,47

2002 781.174 1.895,72 (2.174,68/1.895,72) = 1,1472

896.126 103,81 -0,93

2003 862.447 2.174,68 (2.174,68/2.174,68) = 1,000

862.447 99,91 -3,76

Fonte dos dados primários: IBGE. Sistema de contas nacionais: Brasil: 1999-2001. Rio de Janeiro: IBGE, 2002; IBGE; Contas nacionais trimestrais. Notas à imprensa, 27/03/2003 e 31/03/2004; Conjuntura Econômica, vol. 58, n° 07, jul./2004. 1 Base 100 = dez./1993. 2 Base = 2003. 3 Base 100 = 1999.

Os resultados da tabela 16 mostram um desempenho do consumo das famílias bastante diferente do que aquele descrito pelos valores a preços correntes. Em lugar de crescimento anual contínuo, com taxa superior a 7%, o consumo real alternou dois anos de variação positiva com dois anos de variação negativa entre 1999 e 2003. No último ano do período, o agregado a preços constantes ficou abaixo do seu valor no primeiro ano do período.

Exercício 7: (a) calcule o consumo das famílias a preços constantes de cada um dos anos de 1999 a 2003. Os resultados para o ano-base de comparação de 2003 já constam da tabela 16. No final dos cálculos, deverá haver cinco séries de valores do consumo a preços constantes, uma para cada ano-base de comparação entre 1999 e 2003; (b) calcule os fatores de multiplicação das variações anuais no consumo a preços constantes para cada uma das séries. Responda à seguinte pergunta: as variações anuais no consumo das famílias a preços constantes se modificam conforme se altere o ano-base de comparação escolhido para a atualização dos valores? Por que?

7.6 – Síntese

Nesta seção 7, os seguintes procedimentos para comparações intertemporais:

Cálculo direto a partir de volumes (um único produt o)

→ Comparar: fQt,t+n = Qt+n / Qt



Cálculo a partir de valores a preços correntes e pr eços (um único produto)

→ Transformar valores (de t e de t+n) a preços correntes (de t e de t+n) em valores (de t e de t+n) a preços constantes (de b): Vt(p=b) = Vt(p=t) . (Pb / Pt) e Vt+n(p=b) = Vt+n(p=t+n) . (Pb / Pt+n)

→ Comparar: fVt,t+n(p=b) = Vt+n(p=b) / Vt(p=b)

Cálculo a partir de valores a preços correntes e ín dices de preço com base de comparação fixa (um único produto)

→ Transformar valores (de t e de t+n) a preços correntes (de t e de t+n) em valores (de t e de t+n) a preços constantes (de b), com base em índice de preços com base de comparação fixa (em a): Vt(p=b) = Vt(p=t) . (IPa,b / IPa,t) e Vt(p=b) = Vt+n(p=t+n) . (IPa,b / IPa,t+n)

→ Comparar: fVt,t+n(p=b) = Vt+n(p=b) / Vt(p=b)

Cálculo a partir de valores a preços correntes e ín dices de preços com base de comparação fixa (agregados econômicos)

→ Transformar valores (de t e de t+n) a preços correntes (de t e de t+n) em valores (de t e de t+n) a preços constantes (de b), com base em índice de preços com base de comparação fixa (em a): Vt(p=b) = Vt(p=t) . (IPa,b / IPa,t) e Vt(p=b) = Vt+n(p=t+n) . (IPa,b / IPa,t+n)

→ Comparar: fVt,t+n(p=b) = Vt+n(p=b) / Vt(p=b).

Referências bibliográficas

BÊRNI, Duílio de A. (s.d.). Comparações intertemporais e internacionais entre agregados econômicos. Números índices: conceitos e aplicações. Texto Didático, PUC/RS.

ENDO, Seiti K. (1986). Números índices. São Paulo: Atual.

FEIJÓ, Carmem A. et al. (2003). Contabilidade social: o novo sistema de contas nacionais do Brasil. 2ª ed. Rio de Janeiro: Campus.

KARMEL, P. H. e POLASEK, M. (1981). Estatística geral e aplicada à economia. 2ª ed. São Paulo: Atlas.

MORETTIN, Pedro A. e TOLOI, Clélia M. (1986). Séries temporais. São Paulo: Atual.

THE ECONOMIST (2003). Guide to economic indicators; making sense of Economics. 5ª ed. Londres.



Resultados dos exercícios

Exercício 1

Fatores de multiplicação do valor da produção, 1997-2001 Diferentes bases fixas de comparação

Ano Valor Base Base Base Base Base (US$ bilhão) 1997 1998 1999 2000 2001 1997 202,6 1,0000 1,4109 1,0663 0,6357 0,7645 1998 143,6 0,7088 1,0000 0,7558 0,4506 0,5419 1999 190,0 0,9378 1,3231 1,0000 0,5962 0,7170 2000 318,7 1,5731 2,2194 1,6774 1,0000 1,2026 2001 265,0 1,3080 1,8454 1,3947 0,8315 1,0000 Números-índice do valor da produção, 1997-2001 Diferentes bases fixas de comparação

Ano Valor Base Base Base Base Base (US$ bilhão) 1997 1998 1999 2000 2001 1997 202,6 100,00 141,09 106,63 63,57 76,45 1998 143,6 70,88 100,00 75,58 45,06 54,19 1999 190,0 93,78 132,31 100,00 59,62 71,70 2000 318,7 157,31 221,94 167,74 100,00 120,26 2001 265,0 130,80 184,54 139,47 83,15 100,00 Variação percentual do valor da produção, 1997-2001 Diferentes bases fixas de comparação

Ano Valor Base Base Base Base Base (US$ bilhão) 1997 1998 1999 2000 2001 1997 202,6 - 1998 143,6 -29,12 - 1999 190,0 -6,22 32,31 - 2000 318,7 57,31 121,94 67,74 - 2001 265,0 30,80 84,54 39,47 -16,85 -

Exercício 2

Números-índice do valor da produção, 1997-2001 Diferentes bases fixas de comparação

Ano Base Base Base 1998 2000 2001 1997 141,09 63,57 76,45 1998 100,00 45,06 54,19 1999 132,31 59,62 71,70 2000 221,94 100,00 120,26 2001 184,54 83,15 100,00



Exercício 3

Números-índice do valor da produção, 1997-2001 Base de comparação móvel no ano anterior (calculados a partir de números-índice com diferentes bases de comparação fixas)

Ano a partir da a partir da a partir da a partir da a partir da base 1997 base 1998 base 1999 base 2000 base 2001 1997 - - - - - 1998 70,88 70,88 70,88 70,88 70,88 1999 132,31 132,31 132,31 132,31 132,31 2000 167,74 167,74 167,74 167,74 167,74 2001 83,15 83,15 83,15 83,15 83,15

Exercício 4

Números-índice do valor da produção, 1997-2001 Diferentes bases fixas de comparação (calculados a partir dos números-índice com base de comparação móvel no ano anterior)

Ano Base Base Base Base Base 1997 1998 1999 2000 2001 1997 100,00 141,09 106,63 63,57 76,45 1998 70,88 100,00 75,58 45,06 54,19 1999 93,78 132,31 100,00 59,62 71,70 2000 157,31 221,94 167,74 100,00 120,26 2001 130,80 184,54 139,47 83,15 100,00

Exercício 5

Valor da produção a preços constantes de diferentes anos, 1997-2001

Ano preços preços preços preços preços de 1997 de 1998 de 1999 de 2000 de 2001 1997 202,6 137,6 191,6 304,2 260,0 1998 211,4 143,6 199,9 317,4 271,3 1999 200,9 136,5 190,0 301,7 257,9 2000 212,2 144,2 200,7 318,7 272,4 2001 206,5 140,3 195,2 310,0 265,0 Fatores de multiplicação da variação anual do valor da produção a preços constantes de diferentes anos, 1997-2001

Ano preços preços preços preços preços de 1997 de 1998 de 1999 de 2000 de 2001 1997 - - - - - 1998 1,0434 1,0434 1,0434 1,0434 1,0434 1999 0,9505 0,9505 0,9505 0,9505 0,9505 2000 1,0563 1,0563 1,0563 1,0563 1,0563 2001 0,9728 0,9728 0,9728 0,9728 0,9728



Exercício 6

(a)

Números-índice do preço do petróleo bruto, 1997-2001 Diferentes bases fixas de comparação

Ano base base base base base 1997 1998 1999 2000 2001 1997 100,00 147,22 105,75 66,60 77,92 1998 67,93 100,00 71,84 45,24 52,93 1999 94,56 139,21 100,00 62,97 73,68 2000 150,16 221,05 158,79 100,00 117,00 2001 128,34 188,94 135,73 85,47 100,00

(b)

Valores da produção a preços constantes, 1997-2001 (US$ bilhão) Calculados a partir de números-índice de preço com base em 1997

Ano b=1997 b=1998 b=1999 b=2000 b=2001 1997 202,6 137,6 191,6 304,2 260,0 1998 211,4 143,6 199,9 317,4 271,3 1999 200,9 136,5 190,0 301,7 257,9 2000 212,2 144,2 200,7 318,7 272,4 2001 206,5 140,3 195,2 310,0 265,0 Valores da produção a preços constantes, 1997-2001 (US$ bilhão) Calculados a partir de números-índice de preço com base em 1998



Ano b=1997 b=1998 b=1999 b=2000 b=2001 1997 202,6 137,6 191,6 304,2 260,0 1998 211,4 143,6 199,9 317,4 271,3 1999 200,9 136,5 190,0 301,7 257,9 2000 212,2 144,2 200,7 318,7 272,4 2001 206,5 140,3 195,2 310,0 265,0



Valores da produção a preços constantes, 1997-2001 (US$ bilhão) Calculados a partir de números-índice de preço com base em 2001

Ano b=1997 b=1998 b=1999 b=2000 b=2001 1997 202,6 137,6 191,6 304,2 260,0 1998 211,4 143,6 199,9 317,4 271,3 1999 200,9 136,5 190,0 301,7 257,9 2000 212,2 144,2 200,7 318,7 272,4 2001 206,5 140,3 195,2 310,0 265,0

(c)

Fatores de multiplicação da variação anual do valor da produção a preços constantes de diferentes anos, 1997-2001


Exercício 7

Consumo das famílias a preços constantes de diferentes anos, 1999-2003

Ano preços preços preços preços preços de 1999 de 2000 de 2001 de 2002 de 2003 1999 606.701 649.440 693.862 752.495 863.226 2000 626.564 670.702 716.578 777.130 891.487 2001 635.759 680.545 727.095 788.536 904.571 2002 629.824 674.192 720.307 781.174 896.126 2003 606.153 648.854 693.236 751.815 862.447 Fatores de multiplicação da variação anual no consumo a preços constantes, 1999-2003


30/08/2004

Comparações intertemporais

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