Competições URSS

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Problemas das provas finais das competições de matemática da URSS para alunos do ensino secundário entre 1961 e 1987

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Problemas

das provas finais das competições de matemática da URSS

para alunos do ensino secundário

entre 1961 e 1987

Traduzidos a partir da versão em língua inglesa por Vladimir A. Pertsel

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001

A figura ao lado é formada por 16 segmentos. Provar que não existe nenhuma curva que intersecte cada um dos segmentos exactamente uma vez. A curva pode não ser fechada, pode intersectar-se a si mesma, mas não pode tocar os segmentos nem passar pelos vértices.

002

Quatro circunferências com centros nos vértices A1A2A3A4 de um rectângulo têm raios r1, r2, r3, r4, tais que r1 + r3 = r2 + r4 < d, sendo d a diagonal do rectângulo. Os pares de tangentes exteriores comuns às circunferências de centros A1 e A3 e às circunferências de centros A2 e A4 definem um quadrilátero. Provar que se pode inscrever uma circunferência nesse quadrilátero.

003Provar que em qualquer conjunto de 39 números naturais consecutivos há pelo menos um para o qual a soma dos seus algarismos é um múltiplo de 11.

004a) Coloque, num quadro 4 4, sete cruzes de tal modo que, se eliminar quaisquer duas

linhas e quaisquer duas colunas, restará no quadro pelo menos uma cruz. b) Prove que se as cruzes forem menos de sete, é sempre possivel eliminar duas linhas e duas

colunas de modo que não fique nenhuma cruz no quadro.

005a) O quarteto de números positivos (a,b,c,d) trasforma-se num novo quarteto segundo a

regra : a'=ab; b' =bc; c'=cd; d'=da. O segundo quarteto transforma-se num terceiro de acordo com a mesma regra, e assim sucessivamente. Provar que, se pelo menos um dos números iniciais não for 1, não é possível obter o quarteto inicial.

b) Um conjunto de 2K números que podem ser ou 1 ou -1 é transformado segundo uma regra semelhante à da alínea a), multiplicando cada número pelo seguinte e o último pelo

A1 A2

A3A4

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primeiro. Provar que é sempre possível obter um conjunto cujos elementos são todos iguais a 1.

006a) Os pontos A e B movem-se uniformemente e com velocidade angular e sentido de rotação

iguais sobre as circunferências de centros Oa e Ob , respectivamente. Provar que o vértice C do triângulo equilátero ABC se move também uniformemente sobre uma circunferência.

b) Seja P um ponto tal que |AP|=2, |BP|=3. Determinar o valor máximo de |CP| .007Um quadro m n contém nas suas células números quaisquer. Prove que pode obter um quadro cujas linhas e colunas têm somas não negativas, mudando simultaneamente os sinais dos elementos de uma linha e de uma coluna.

008Conectam-se n pontos por segmentos que não se intersectam, de tal modo que a partir de cada ponto se pode atingir qualquer outro caminhando ao longo dos segmentos e que não há dois caminhos diferentes entre nenhum par de pontos. Prove que o número de segmentos é n-1.

009Prove que para quaisquer inteiros a, b e p existem inteiros k e l, primos entre si, tais que ak+bl é um múltiplo de p.

010Nicolau e Pedro preparam-se para dividir entre si 2n+1 nozes. Cada um quer ficar com o maior número possível. Para isso foram sugeridas três maneiras, consistindo cada uma em três etapas em que só a terceira é diferente.1a etapa : Pedro divide as nozes em dois montes, nenhum com menos de 2 nozes ;2a etapa : Nicolau divide cada um dos montes em dois, cada um com pelo menos uma noz ;3a etapa : 1. Nicolau fica com o maior e o menor dos montes ; 2. Nicolau fica com os dois montes do meio ; 3. Nicolau pode escolher entre 1. e 2. mas dá uma noz ao Pedro pelo direito de escolha. Determinar o melhor e o pior método para Nicolau.

011Prove que, para três séries infinitas quaisquer de números naturais a1, a2, ... , an ; b1, b2, ..., bn ; c1, c2, ..., cn, existem números p e q tais que ap aq, bp bq e cp cq.

012Num rectângulo com as dimensões de 2025 unidades, dispõem-se arbitrariamente 120 quadrados de área igual à unidade. Prove que se pode traçar, dentro do rectângulo, uma circunferência de diâmetro também igual à unidade que não intersecta nenhum dos quadrados.

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013Marcam-se os pontos A’, B’, C’ e D’ na continuação dos lados DA, AB, BC e CD de um quadrilátero convexo, de tal maneira que AB BB BC CC CD DD AA ; ; ; DA

Prove que o quadrilátero A’B’C’D’ tem uma área cinco vezes maior que a do quadrilátero ABCD.

014

Dada uma circunferência s de centro O e uma linha recta l que passa por O, considere as circunferências s’ com centro em l e que passam por O ; Descreva o conjunto de pontos M onde as tangentes comuns às circunferências s e s’ tocam as circunferências s’.

015Dados os números positivos a1, a2, ..., a99, a100, é sabido que a1 > a0 ; a2 = 3a1 2a0 ; a3

= 3a2 2a1 ; ... ; a100 = 3a99 2a98. Prove que a100 > 299.

016Para o polinómio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d, prove que não existem inteiros a, b, c e d tais que P(19) = 1 e P(62) = 2.

017As casas de um quadro mn, em que n ímpar, contêm os valores +1 ou 1. Por baixo de cada coluna escreve-se o produto dos valores dessa coluna e à direita de cada linha escreve-se o produto dos valores dessa linha. Prove que a soma dos 2n produtos não pode ser nula.

A

B

B’

CC’

D

D’

A’

s s’

O

M

l

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018Dados dois lados de um triângulo, construí-lo, sabendo que as medianas correspondentes a esses lados são perpendiculares.

019Os números a, b, c e d são positivos tais que abcd = 1. Prove quea2 + b2 + c2 + ab + ac + ad + bc + bd + cd 10.

020Seja M um ponto interior ou da fronteira dum pentágono regular e ri (i = 1, 2, ..., 5) a distância de M a cada um dos vértices, de tal maneira que r1 r2 r3 r4 r5. Determinar todas as posições do ponto M tais que : a) r3 tem o valor mínimo possível ; b) r3 tem o valor máximo possível.

021Um número com 1962 algarismos é divisível por 9. Seja x a soma dos seus algarismos, y a soma dos algarismos de x e z a soma dos algarismos de y. Determine z.

022M é o ponto médio da base AC do triângulo isosceles ABC ; MH é perpendicular ao lado BC e P é o ponto médio do segmento MH. Prove que AH é perpendicular a BP.

023Qual é a área máxima de um triângulo de lados a, b e c, cujos comprimentos satisfazem a desigualdade 0 a 1 b 2 c 3 ?

024Para x, y e z inteiros diferentes, prove que (xy)5 + (yz)5 + (zx)5 é divisível por 5(xy)(yz)(zx).

025Dos n+1 números a0, a1, ..., an, sabe-se que a0 = an = 0 e que ak1 2ak + ak+1 0 para k = 1, 2, ..., n1. Prove que nenhum dos números ai é negativo.

B

A M C

HP

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026São dados os dois conjuntos de números positivos a1, a2, ..., am e b1, b2, ..., bn tais que a1 + a2 + ... + am = b1 + b2 + ... + bn. Prove que pode preencher um quadro com m linhas e n colunas com não mais de m + n 1 números positivos de tal modo que quaisquer que sejam i e j, a soma dos números da linha i é igual a ai e a soma dos números da coluna j é igual a bj.

027Dadas cinco circunferências, sabe-se que quaisquer quatro circunferências têm um ponto comum. Prove que existe um ponto comum às cinco circunferências.

028Oito jogadores participaram num torneio de xadrez, jogando cada um contra todos os outros. Em cada jogo, a vitória deu 1 ponto ao vencedor e o empate ½ ponto a cada jogador. No final, todos tiveram um número diferente de pontos ; o segundo classificado teve tantos pontos como a soma dos pontos dos quatro últimos. Qual foi o resultado do jogo entre os jogadores que ficaram em terceiro e em sétimo lugares ?

029a) Prove que, se cada diagonal de um quadrilátero o dividir em duas partes com a mesma

área, o quadrilátero é um paralelogramo.b) Prove que, se cada uma das três diagonais principais de um hexágono o dividirem em duas

partes com a mesma área, elas têm ponto comum.

030Os números naturais a e b são primos entre si. Prove que o máximo divisor comum a a + b e a a2 + b2 é 1 ou 2.

031

A e B são dois pontos fixos e M um ponto corrente sobre uma circunferência que contém A e B. K é o ponto médio do segmento MB e KP é perpendicular a MA. a) Prove que todas as linhas KP têm um ponto comum ; b) determine o conjunto de todos os possíveis pontos P.

032.

A

B

M

KP

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Dado um triângulo equilátero de lado 1, qual é a largura mínima de uma trincha que, sempre encostada a um lado, permite pintar todo o triângulo ?

033Dezoito dominós são agrupados num quadrado 66. Prove que esse quadrado pode ser dividido em duas partes por uma linha recta que não intersecta nenhum dos dominós.

034Dados n números positivos diferentes, fazem-se todas as somas possíveis de 1 até n parcelas.

Prove que pelo menos n(n 1)

2

dessas somas são diferentes.

035No triângulo ABC traçamos as bissectrizes dos ângulos A e B e, pelo ponto C fazemos passar rectas paralelas a cada uma das bissectrizes. D e E são os pontos de intersecção de cada uma destas rectas com a outra bissectriz. Traçando o segmento DE, prove que, se ele for paralelo a AB, o triângulo é isósceles.

036Prove que, se um dos termos de uma sucessão aritmética de números positivos for um quadrado perfeito, então entre os termos da progressão há um número infinito de quadrados perfeitos.

037Será possível marcar com os algarismos de 0 a 9 os vértices de um polígono regular de 45 lados de modo que, para qualquer par de algarismos, haja um lado do polígono que una dois vértices marcados  com cada um deles?

038Determinar todos os números reais p, q, a e b tais que a seguinte igualdade é verdadeira, qualquer que seja x : (2x 1)20 (ax + b)20 = (x2 + px + q)10

039Numa circunferência, escreve-se o número 1 em dois pontos diametralmente opostos ; cada uma das semi-circunferências assim definidas é dividida em dois arcos iguais por pontos em que se escreve a soma dos números inscritos nos extremos, ou seja, 2. Repete-se o processo, dividindo cada arco ao meio e marcando o ponto médio com a soma dos números contidos nos extremos ; determinar a soma total dos números escritos em torno da circunferência, depois de n passos.

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040Num triângulo isósceles, determinar o lugar geométrico dos pontos interiores ao triângulo que estão a uma distância da base igual à média geométrica das distâncias a cada um dos lados.

041Determinar os ângulos de um triângulo em que duas das alturas não são inferiores ao comprimento dos lados respectivos.

042Prove que não existe nenhum número natural m tal que m(m + 1) seja uma potência de base natural.

043Para os primeiros 1 000 000 000 de números naturais, substituimos cada número pela soma dos seus algarismos e repetimos o processo até obter 1 000 000 000 números de um só algarismo. No final, há mais algarismos 1 ou mais algarismos 2 ?

044A partir de um conjunto arbitrário de 2k + 1 inteiros a1, a2, ..., a2k + 1, construímos um novo

conjunto a a a a a a a ak k k1 2 2 3 2 2 1 2 1 1

2 2 2 2

, , . . . , . A partir deste, construimos novos

conjuntos, seguindo sempre a mesma regra. Prove que, se se obtiverem sempre conjuntos só com números inteiros, todos os elementos do conjunto inicial eram iguais.

045Prove que num hexágono convexo ABCDEF em que todos os ângulos são iguais se tem :

AB DE EF BC CD FA Reciprocamente, prove que é possível construir um hexágono convexo de ângulos iguais com seis segmentos a1, a2, ... a6, cujos comprimentos satisfazem a condição :

a1 a4 = a5 a2 = a3 a6

046Determine soluções inteiras x, y para a equação x x x y . . . (1964 símbolos de raiz quadrada).

047Dos vértices de um quadrilátero convexo tiram-se quatro perpendiculares às diagonais. Prove que os quatro pontos de intersecção das perpendiculares com as diagonais definem um quadrilátero semelhante ao primeiro.

048

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Determine todos os naturais n tais que n! não é divisível por n2.

049Uma larva de abelha deslocou-se ao longo do bordo das células hexagonais do favo, de um nó A até um nó B pelo caminho mais curto possível. Prove que durante metade do percurso a larva moveu-se na mesma direcção.

050Um círculo de centro O está inscrito no quadrilátero ABCD. Prove que a soma dos ângulos AOB e COD é igual a 180°.

051Dos naturais a, b e n sabe-se que para qualquer natural k b o número a kn é divisível por b k. Prove que a = bn.

052Dada a expressão x1  x2  ...  xn , quantas expressões diferentes podemos obter a partir dela colocando parêntesis ?053Qual é o número mínimo de tetraedros em que se pode dividir um cubo ?

054Qual é o primeiro quadrado perfeito que não termina em zero e do qual se pode obter um novo quadrado perfeito eliminando os dois últimos algarismos ?

055No trapézio ABCD, seja E o ponto de intersecção das diagonais e r1, r2, r3 e r4 os raios dos círculos inscritos nos triângulos ABE, BCE, CDE e DAE, respectivamente. Prove que 1 1 1 1

1 3 2 4r r r r .

056

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Cada um dos números x1, x2, ..., xn pode ser 1, 0 ou 1 ; qual é a mínima soma possível de todos os produtos de pares destes números ? Se agora os números forem tais que |xi| < 1, qual é o valor mínimo da soma dos produtos?

057Dois jogadores alternam-se a colocar num tabuleiro 3 3 nove fichas com números que ambos conhecem. O primeiro a jogar ganha se a soma dos números da primeira e da terceira linhas for maior que a soma dos números da primeira e da terceira colunas. Prove que, independentemente dos números contidos nas fichas, se o primeiro jogador seguir a melhor estratégia, o segundo não pode ganhar.

058Na circunferência circunscrita ao triângulo ABC, traçam-se cordas do ponto médio do arco AC para os pontos médios dos arcos AB e BC que intersectam os lados AB e BC nos pontos D e E, respectivamente. Prove que DE é paralelo a AC e passa pelo centro do círculo inscrito.

059Os bilhetes de autocarro na Rússia têm números de 6 algarismos e acredita-se que dão sorte aqueles em que a soma dos três primeiros algarismos é igual à soma dos três últimos. Prove que a soma de todos os números que dão sorte é divisível por 13.

060Um farol numa pequena ilha ilumina uma estreita faixa de mar (assimilável a um segmento) até à distância a. A luz roda uniformemente e o extremo do segmento move-se com uma velocidade v. Prove que um barco, cuja velocidade não excede v/8, não pode atingir a ilha sem ser iluminado pelo farol.

061Um grupo de voluntários para vigilância nocturna de um bairro tem exactamente 100 homens ; cada noite estão três de serviço. Prove que não pode organizar as rondas de tal maneira que qualquer par de homens se encontrem de serviço ao mesmo tempo exactamente uma vez.

062

AC

B

D E

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Qual é o comprimento máximo do segmento delimitado pelos lados dum triângulo na tangente ao círculo inscrito, paralela à base, se o perímetro do triângulo for 2p ?

063Os n2 números xi,j (i,j = 1,2, ..., n) satisfazem o sistema de n3 equações xi,j + xj,k + xk,i = 0 (i,j,k = 1,2, ..., n). Prove que existem números a1, a2, ..., an tais que, quaisquer que sejam i,j = 1,2, ..., n, se tem xi,j = ai aj .

064Será possível colocar 1965 pontos dentro de um quadrado unitário de modo que qualquer rectângulo contido no quadrado, de área 0,005 e de lados paralelos aos lados do quadrado contenha pelo menos um ponto ?

065Quase-arredondamento é a substituição de um número por um dos dois inteiros mais próximos. Dados n números, prove que pode quase-arredondá-los de tal maneira que a soma de qualquer subconjunto de números quase-arredondados não difere da soma do mesmo

subconjunto de números iniciais de mais de n 1

4.

066Um turista chegou a Moscovo de comboio. Durante todo o dia passeou a pé pelas ruas e à noite, depois de ter ceado numa praça, decidiu voltar à estação caminhando pelas ruas onde só tinha passado um número ímpar de vezes. Prove que é sempre possível fazê-lo.

067Um certo comité reuniu-se 40 vezes ; em cada reunião estiveram presentes 10 membros e nenhum par de membros se encontrou nas reuniões mais de uma vez. Prove que o comité tinha pelo menos 60 membros.Prove que não pode criar mais de 30 sub-comités de 5 membros a partir de um comité de 25 membros, de maneira que nenhum par de subcomités tenha mais de um membro comum.

068Dados dois inteiros primos entre si, p > 0 e q > 0, um inteiro é chamado «bom» se o pudermos representar como n = px + qy, sendo x e y inteiros não negativos, e «mau» no caso contrário. Prove que existe um inteiro c tal que no par (n, c n) há sempre um inteiro «bom» e um inteiro «mau». Quantos números «maus» existem ?

069Um avião-espião voa ao longo de uma circunferência de centro A e de raio 10 Km à velocidade de 1000 Km/h. Um míssil com a mesma velocidade é lançado a partir do ponto A e move-se de modo a estar sempre na recta que liga A ao avião. Quanto tempo demora a atingir o avião ?

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070Prove que a soma dos comprimentos das arestas de um poliedro é maior que o triplo do seu diâmetro (maior distância entre vértices).

071Na superfície de um planeta vive um habitante que se pode mover com velocidade não superior a u ; uma nave espacial aproxima-se do planeta à velocidade v. Prove que se v/u > 10, a nave pode sempre encontrar o habitante, mesmo que ele tente esconder-se.

072Em cada planeta de um certo sistema há um e um só astrónomo, que observa o planeta mais próximo. O número de planetas é ímpar e todas as distâncias são diferentes. Prove que há um planeta que não está a ser observado.

073B e C são pontos do segmento AD tais que AB CD . Prove que para todos os pontos P do plano é válida a desigualdade PA PD PB PC . Prove, reciprocamente, que se A, B, C e D forem pontos do plano tais que, para todos os pontos P, PA PD PB PC , então B e C pertencem ao segmento AD e AB CD .

074Sendo x e y números naturais, x2 + y e y2 + x podem ser ambos quadrados perfeitos ?

075a) Alinham-se os alunos do oitavo ano numa fila ; cada um tem à sua frente um aluno do

sétimo, mais baixo do que ele. Prove que se reordenar os alunos de cada uma das filas por alturas, cada aluno do oitavo ano será ainda mais alto que o aluno do sétimo que ficar à sua frente.

b) Um destacamento de infantaria está formado em rectângulo, com os soldados ordenados por alturas em cada coluna . Prove que se os reordenar por alturas em cada linha, eles não deixarão de estar ordenados por alturas em cada coluna.

076Desenha-se numa folha de papel quadriculado um rectângulo ABCD, cujos lados coincidem com linhas da quadrícula e tal que AD k AB (k inteiro). Consideremos todos os caminhos mais curtos de A para C ao longo das linhas da quadrícula ; prove que o número de caminhos com o primeiro troço em AD é k vezes maior que o número daqueles que têm o primeiro troço em AB.

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077Dados os números a1, a2, ..., an tais que 0 a1 a2 2a1, a2 a3 2a2, ..., an1 an 2an1, prove que na soma s = a1 a2 ... an pode sempre fazer uma escolha apropriada dos sinais + e de maneira que 0 s a1.

078Prove que pode sempre traçar uma circunferência de raio S/P no interior de um polígono convexo de perímetro P e de área S.

079Numa cidade, entre quaisquer três cruzamentos A, B e C, há um caminho de A para B que não passa por C. Prove que entre qualquer par de cruzamentos há pelo menos dois caminhos que não de intersectam.

080Dado um triângulo ABC, considere todos os tetraedros PABC em que PH é a menor das alturas do tetraedro. Descreva o conjunto de todos os possíveis pontos H.

081Prove que pode cobrir 100 pontos do plano com uma família de círculos tal que a soma dos seus diâmetros é menor que 100 e a distância entre quaisquer dois círculos é maior que 1.

082A distância de A até B é de d quilómetros. Um avião, que voa com velocidade e direcção constantes sobre a linha AB, está a ser observado a partir de cada um desses pontos. Os observadores notaram que o ângulo de observação do avião a partir do ponto A variou de graus num segundo e, a partir de B, de graus num segundo. Qual pode ser a velocidade mínima do avião ?

083Escrevem-se num quadro os números de 1 a 20. Dois jogadores colocam alternadamente, antes de cada número, os sinais + ou  ; o primeiro tenta obter para a soma o mínimo valor absoluto possível. Qual é valor absoluto máximo que o segundo jogador pode conseguir ?

084a) A maior altura AH do triângulo acutângulo ABC, mede tanto como a mediana BM. Prove

que o ângulo ABC não mede mais de 60 graus. b) A maior altura AH do triângulo acutângulo ABC, mede tanto como a mediana BM e como

a bissectriz CD. Prove que os lados adjacentes ao ângulo ABC são iguais.

085

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a) Foi trocada a ordem dos algarismos de um número natural ; prove que a soma do novo número com o número inicial não pode ser 9999...999 (1967 algarismos 9).

b) Foi trocada a ordem dos algarismos de um número natural ; prove que se a soma do novo número com o número inicial for 1010, então o número inicial era um múltiplo de 10.

086a) Um farol ilumina um ângulo de 90 graus ; prove que é possível orientar quatro faróis,

arbitrariamente situados, de modo a iluminar todo o plano.b) Há oito faróis em oito pontos do espaço e cada farol pode iluminar um octante ; prove que

é possível orientá-los de modo a iluminar todo o espaço.

087a) Será possível dispor em círculo os números de 0 a 9 de modo que a diferença entre dois

números contíguos seja 3, 4 ou 5 ?b) A mesma pergunta, mas para os números de 0 a 13.

088Prove que existe um número divisível por 51000, cuja representação decimal não contém nenhum zero.

089Determine todos os inteiros x e y que satisfazem a equação x2 + x = y4 + y3 + y2 + y.

090Numa série de números naturais, cada termo, a partir do terceiro, é igual ao valor absoluto da diferença dos dois que o precedem ; qual pode ser o número máximo de termos da série se nenhum termo é maior que 1967 ?

091O «rei suicida» : Num tabuleiro de xadrês 10001000 estão colocadas 499 torres brancas e um rei preto ; prove que, qualquer que seja a posição inicial e qualquer que seja o modo como as brancas joguem, o rei preto pode sempre mover-se e evitar o cheque-mate.

092

Os vértices K, L e M do losango KLMN pertencem aos lados AB, BC e CD, respectivamente, de um quadrado de área 1. Determine a área da superfície que a que pertencem todos os possíveis vértices N.

CL

A

B

D

K

MN

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093O número natural k tem a seguinte propriedade : se n é divisível por k, então o número que se obtém invertendo a ordem dos algarismos de n também é divisível por k. Prove que k é um divisor de 99.

094Num octógono de ângulos todos iguais, o comprimento de qualquer dos lados é um número inteiro. Prove que os lados opostos são iguais dois a dois.

095Qual é maior, 3111 ou 1714 ? (A resposta deve ser dada sem recurso a calculadora !)

096Numa folha de papel quadriculado traça-se uma circunferência cujo raio é igual a 100 vezes o lado de cada quadrado ; a circunferência não passa pelas intersecções nem é tangente às linhas da quadrícula. Por quantos quadrados pode passar ?

097Alguns estudantes da faculdade falam várias línguas e outros apenas russo. As línguas inglesa, francesa e espanhola são faladas por 50 estudantes cada uma. Prove que é possível dividir os estudantes em cinco grupos, não necessariamente iguais, de modo que em cada grupo haja 10 estudantes que falem inglês, 10 que falem francês e 10 que falem espanhol.

098Prove a igualdade :

2

1

4

4

6

9

20

10011

1

1 10

1

2 9

1

10 12 2 2 2x x x x x x x x x x

. . . . . .

099Num polígono regular de n lados (n>5), a diferença entre a maior e a menor das diagonais é igual ao lado do polígono. Determine n.

100

A série a1, a2, a3, ... é construída segundo a regra : aa

aan n

n1 2

111 1

1 1 ; ; a . . . ; a . Prove

que a100 > 14.

101

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Os pontos O e O’ são pontos interiores dos triângulos acutângulos ABC e A’B’C’, respectivamente. Traçam-se as perpendiculares OA1 ao lado BC, O’A’1 ao lado B’C’, OB1 ao lado AC, O’B’1 ao lado A’C’, OC1 ao lado AB e O’C’1 ao lado A’B’. Sabe-se que OA1 é paralela a O’A’, OB1 é paralela a O’B’ e OC1 é paralela a O’C’ ; sabe-se ainda que OA O A OB O B OC O C1 1 1 ' ' ' ' ' ' . Prove que O’A’1 é paralela a OA, que O’B’1 é paralela a OB, que O’C’1 é paralela a OC e que O A OA O B OB O C OC' ' ' ' ' ' .1 1 1

102Prove que pode representar qualquer número não superior a n! (n! = 123...n) como a soma de k números diferentes (kn), todos divisores de n!.

103

No triângulo ABC, os pontos D e E pertencem aos lados AB e AC, respectivamente. Os segmentos AD, DE e AC têm o mesmo comprimento, assim como os segmentos BD e AE ; DE é paralelo a BC. Prove que o segmento BD tem o mesmo comprimento que o lado de um decágono regular inscrito num círculo cujo raio é igual ao comrimento de AC.

104Três esferas têm como diâmetros as arestas AB, BC e AD do tetraedro ABCD. Prove que as três esferas recobrem totalmente o tetraedro.

105a) As casas de um quadro 44 podem conter os sinais + ou . É permitido

trocar simultaneamente todos os sinais numa linha, numa coluna ou numa diagonal. Isto significa, por exemplo, que se pode trocar o sinal numa casa de canto, porque ela constitui, por si só, uma diagonal. Prove que, a partir da situação apresentada, não é possível obter um quadro apenas com sinais +.

b) As casas de um quadro 88 estão preenchidas com sinais +, exceptuando uma casa, não de canto, que contém o sinal . É permitido trocar simultaneamente todos os sinais numa linha, numa coluna ou numa diagonal. Isto significa, por exemplo, que se pode trocar o sinal numa casa de canto, porque ela constitui, por si só, uma diagonal. Prove que não é possível obter um quadro apenas com sinais +.

106As medianas dividem o triângulo em seis triângulos mais pequenos. Prove que, se os círculos inscritos em quatro destes triângulos forem iguais, o triângulo é equilátero.

+ + ++ + + ++ + + ++ + + +

A

B

C

D

E

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107Prove que a equação x2 + x + 1 = py tem solução (x, y), para infinitos valores não compostos de p.

108Cada um dos nove juizes de um campeonato de patinagem artística classifica a exibição de cada um de 20 patinadores atribuindo-lhe um lugar de 1 a 20. O vencedor é determinado somando esses números : quanto menor for a soma, melhor é o lugar obtido na classificação final. Para cada patinador, a diferença de pontuação entre os árbitros não foi nunca superior a 3. Qual pode ser a soma máxima do vencedor ?

109Duas séries finitas a1, a2, ..., an e b1, b2, ..., bn são obtidas por reordenação dos termos da série

11

2

1, , . . . ,

n e são tais que a1 + b1 a2 + b2 ... an + bn. Prove que, para todos os valores

de m tais que 1 m n, se tem a amm n 4

.

110Em cima da secretária do professor está uma balança de pratos iguais ; na balança há um conjunto de pesos, em cada um dos quais está escrito o nome de um ou mais alunos. Quando um aluno entra na sala, muda os pesos que têm o seu nome de um prato para o outro. Prove que se pode deixar entrar na sala um subconjunto de alunos tal que os pratos da balança mudam de posição.

111Uma cidade tem a forma de um rectângulo dividido em quarteirões quadrados por m ruas na direcção Este-Oeste e por n ruas na direcção Norte-Sul. Há polícias nas ruas, mas não nos cruzamentos ; eles observam um automóvel que faz um percurso que terminará no ponto de partida, tomando nota da hora e da direcção do seu movimento. O percurso não é conhecido com antecedência, mas sabe-se que não passará duas vezes pelo mesmo troço de rua. Qual é o número mínimo de polícias que permite, pela da análise dos seus relatórios, reconstituir o percurso do automóvel ?

112

O círculo inscrito no triângulo ABC é tangente ao lado AC no ponto K. Prove que a recta definida pelo ponto médio de AC e pelo centro do círculo intersecta o segmento BK no seu ponto médio.

A

B

CK

Page 18: Competições URSS

113A série a1, a2, ..., an satisfaz as seguintes condições : a1=0 ; |a2| = |a1 + 1| ; ... ; |an| = |an-1 + 1|.

Prove que a a a

nn1 2 1

2

. . . .

114No quadrilátero ABCD o comprimento dos lados e o das diagonais são expressos por números racionais. Sendo O o ponto de intersecção das diagonais, prove que o comprimento de AO também é expresso por um número racional.

115O ponto E pertence à base AD do trapézio ABCD. Os triângulos ABE, BCE e CDE têm

perímetros iguais. Prove que BCAD

2

.

116Está um lobo no centro de um campo quadrado e um cão em cada um dos quatro cantos. O lobo pode matar facilmente um cão, mas dois cães podem matar o lobo. O lobo pode deslocar-se dentro de todo o campo, mas os cães somente ao longo do seu perímetro. Prove que se a velocidade dos cães for 1,5 vezes maior que a do lobo, eles podem impedir que este se escape.

117Uma série finita de símbolos 0 e 1 tem as seguintes propriedades : 1) um conjunto de 5 símbolos seguidos representa um número binário, mas qualquer outro conjunto de 5 símbolos seguidos representa um número binário diferente ; 2) se se juntar um 0 ou um 1 quer à esquerda, quer à direita, a propriedade anterior já não se verifica. Prove que os primeiros quatro símbolos da série são os mesmos que os quatro últimos.

118Sendo a, b, c e d números positivos, prove que pelo menos uma das desigualdades seguintes é falsa :1. a + b < c + d2. (a + b)(c + d) < ab + cd3. (a + b)cd < ab(c + d)

119Qual é o mínimo número natural a para o qual o polinómio ax2 + bx + c, com b e c inteiros, tem duas raízes positivas diferentes, ambas menores que 1 ?

Page 19: Competições URSS

120

Dado um número natural n, considere todas as fracções 1

pq, em que p e q são primos entre si,

0 < p < q n e p + q > n. Prove que a soma de todas essas fracções é 1

2.

121Um conjunto de n pontos do espaço tridimensional é tal que qualquer triângulo com três desses pontos como vértices tem um ângulo de mais de 120 graus. Prove que pode unir esses pontos com uma linha poligonal aberta tal que o ângulo entre quaisquer dois segmentos consecutivos mede mais que 120 graus.

122Determine quatro números diferentes de três algarismos decimais, com o mesmo algarismo das centenas, tais que a sua soma é divisível por três deles.

123Num certo país, cada cidade está ligada por uma linha aérea a não mais de três outras, mas pode ir-se de qualquer cidade para qualquer outra, ou directamente, ou mudando de avião apenas uma vez. No máximo, quantas cidades há nesse país ?

124Num pentágono de lados iguais,a) Prove que sobre a diagonal maior existe um ponto a partir do qual cada lado é visto sob

um angulo igual ou menor que um ângulo recto.b) Prove que os círculos que têm os seus lados como diâmetros não o cobrem inteiramente.

125Joga-se com a equação x3 + x2 + x + = 0. O primeiro jogador substitui um dos quadrados por um inteiro ; o segundo faz o mesmo a um dos dois quadrados restantes ; finalmente, o primeiro jogador substitui o quadrado que resta também por um inteiro. Como é que o primeiro jogador pode assegurar a existência de três raízes inteiras, não obrigatoriamente diferentes, para a equação que se obtém  no fim do jogo?

126Num campeonato participam 20 equipas de futebol. Qual é o número mínimo de jogos para que seja certo que, tomando ao acaso três equipas, pelo menos duas delas já tenham jogado uma com a outra ?

127

Page 20: Competições URSS

Seja hk o apótema de um polígono regular de k lados inscrito num círculo de raio r. Prove que (n + 1)hn+1 nhn > r.

128Prove que para quaisquer números positivos a1, a2, ..., an é válida a desigualdade :

a

a a

a

a a

a

a a

a

a a

nn

n

n1

2 3

2

3 4

1

1 1 2 4

. . .

129São dados um círculo, um seu diâmetro AB e um ponto C pertencente ao diâmetro. Com régua e compasso, determine dois pontos X e Y, simétricos em relação a AB e tais que YC é perpendicular a XA.

130O produto de três números positivos é igual a 1 e a sua soma é maior que a soma dos seus inversos. Prove que um, e apenas um, dos três números é maior que 1.

131Quantos lados de um polígono convexo podem ser iguais à maior das diagonais ?

132Soma-se um número de 17 algarismos com o número que a partir dele se obtém invertendo a ordem dos algarismos. Prove que a soma contém pelo menos um algarismo par.

133a) Um castelo tem a forma de um triângulo equilátero de 100 metros de lado e está dividido

em 100 câmaras triangulares ; cada parede de separação das câmaras, com 10 metros de comprimento, tem uma porta. Um visitante, que já está no interior do castelo, pode passear à vontade, apenas com a condição de não atravessar nenhuma porta mais de uma vez. Prove que, sem sair do castelo, ele não pode visitar mais do que 91 câmaras.

b) Linhas paralelas aos lados de um triângulo dividem cada um dos seus lados em k partes e o triângulo em k2 triângulos mais pequenos. Chamemos «cadeia» a uma sequência de triângulos tal que dois triângulos consecutivos têm um lado comum e cada triângulo faz parte da sequência uma única vez. Qual é o maior número possível de triângulos na «cadeia» ?

134São dados cinco segmentos de recta tais que quaisquer três deles podem ser os lados de um triângulo. Prove que pelo menos um desses triângulos é acutângulo.

Page 21: Competições URSS

135A bissectriz AD, a mediana BM e a altura CH do triângulo acutângulo ABC intersectam-se num ponto. Prove que o ângulo BAC mede mais qo que 45 graus.

136Cinco número binários de n algarismos são tais que os algarismos de qualquer par deles são coincidentes em m posições e nenhuma posição contém o mesmo algarismo para os cinco

números. Prove que 2

5

3

5

m

n.

137Prove que de qualquer conjunto de 200 inteiros se pode extrair um subconjunto de 100 inteiros cuja soma é divisível por 100.

138No triângulo ABC, M é o ponto médio do lado BC e O o centro co círculo inscrito ; a linha MO intersecta a altura AH no ponto E. Prove que AE é igual ao raio do círculo inscrito.

139Prove que para qualquer número natural k existe um conjunto infinito de números naturais t tais que a notação decimal de t não contém zeros e as somas dos algarismos dos números t e kt são iguais.

140Dois rectângulos iguais intersectam-se em oito pontos. Prove que a área da intersecção dos dois rectângulos é maior que metade da área de um rectângulo.

141Escreve-se cada um dos números de cinco algarismos de 11111 até 99999 num cartão ; dispõem-se depois os cartões em fila numa ordem arbitrária, formando assim um número de 444445 algarismos. Prove que esse número não é uma potência de 2.

142Dividem-se em dois grupos todos os números naturais de não mais de n algarismos : o primeiro contém os números para os quais a soma dos algarismos é par ; o segundo, os números para os quais a soma dos algarismos é ímpar. Prove que se 0 < k < n a soma das potências de expoente k dos números do primeiro grupo é igual à soma das potências de expoente k dos números do segundo grupo.

Page 22: Competições URSS

143Marcam-se com cores os vértices de um polígono regular de n lados, correspondendo a cada vértice uma só côr, e de maneira que os vértices marcados com uma mesma côr definem um polígono regular. Prove que entre os polígonos assim definidos há dois iguais.

144Prove que para qualquer número natural n existe um número, contendo na sua notação decimal apenas os algarismos 1 e 2, que é divisível por 2n.

145a) São dados o triângulo A1A2A3 e os pontos B1 e D2 pertencentes ao lado A1A2, B2 e D3

pertencentes ao lado A2A3 e B3 e D1 pertencentes ao lado A3A1. Construindo os paralelogramos A1B1C1D1, A2B2C2D2 e A3B3C3D3, as linhas A1C1, A2C2 e A3C3

intersectam-se num ponto O. Prove que se A B A D1 1 2 2 e A B A D2 2 3 3 , então A B A D3 3 1 1 .

b) São dados um polígono convexo A1A2...An e os pontos B1 e D2 pertencentes ao lado A1A2, B2 e D3 pertencentes ao lado A2A3, ..., Bn e D1 pertencentes ao lado AnA1. Construindo os paralelogramos A1B1C1D1, A2B2C2D2, ..., AnBnCnDn, as linhas A1C1, A2C2, ..., AnCn

intersectam-se num ponto O. Prove que. A B A B A B A D A D A Dn n n n1 1 2 2 1 1 2 2

. . . . . .

146a) Um jogo para dois : o primeiro jogador escreve duas linhas de 10 números, uma por baixo

da outra, de tal maneira que se o número b está sob o número a e o número d sob o número c, então a + d = b + c ; o segundo jogador deve determinar todos os números, fazendo perguntas do tipo «que número está no lugar x da linha y?». Qual é o número mínimo de perguntas que permite ao segundo jogador conhecer todos os números ?

b) Um quadro de mn casas, contendo números, tem a seguinte propriedade : se se tomarem arbitrariamente duas linhas e duas colunas, as somas dos números colocados nos vértices opostos do rectângulo formado por essas linhas e colunas são iguais. Algumas casas do quadro foram apagadas mas ainda é possível reconstituir o quadro. Qual é o número mínimo de casas que devem estar intactas ?

147Um quadrado de área 1 contém alguns círculos no seu interior ; o raio de cada círculo é menor que 0,001 e nenhum par de pontos pertencentes a círculos diferentes está separado pela distância exacta de 0,001. Prove que a área coberta pelos círculos não é maior que 0,34.

148Os volumes de água contidos em cada um de três recipientes suficientemente grandes são representados por números inteiros. Cada recipiente pode receber, vinda de outro recipiente,

Page 23: Competições URSS

uma quantidade de água igual àquela que já contém. Prove que pode assim esvaziar um dos recipientes.

149Prove que se p1, p2, q1, q2 satisfazem a condição (q1 q2)2 + (p1 p2)(p1q2 + p2q1) < 0, então os polinómios do segundo grau x2 + p1x + q1 e x2 + p2x + q2 têm raízes reais e entre as raízes de cada um deles está uma raiz do outro.

150As projecções de um sólido em dois planos são círculos ; prove que eles têm o mesmo raio.

151Dispõem-se alguns números em círculo. Se se verificar a desigualdade (a d)(b c) < 0 para uma sequência arbitrária de números a, b, c, d, deve inverter-se a posição dos números b e c. Prove que esta operação só tem que ser feita um número finito de vezes.

152a) Prove que a recta que divide um triângulo em dois polígonos de área e perímetro iguais

passa pelo centro do círculo inscrito.b) Prove a mesma afirmação para qualquer polígono em que esteja inscrito um círculo.c) Prove que todas as rectas que dividem ao meio a sua área e o seu perímetro se intersectam

num ponto.

153Dados 25 números positivos diferentes, prove que pode escolher dois deles de maneira que nenhum dos outros seja igual nem à sua soma nem à sua diferença.

154a) O vértice A1 de um dodecágono regular A1A2 ... A12 é marcado com o sinal e todos os

outros com o sinal +. Prove que, por trocas sucessivas do sinal simultâneamente em seis vértices consecutivos, não é possível obter-se uma situação em que se tenha o vértice A2

marcado com o sinal e todos os outros com o sinal +.b) Prove a mesma afirmação para trocas simultâneas de sinal em quatro vértices

consecutivos.c) Prove ainda a mesma afirmação para trocas simultâneas de sinal em três vértices

consecutivos.

155Numa folha infinita de papel quadriculado pintam-se de preto n quadrículas. Prove que pode recortar nessa folha um número finito de quadrados de modo a satisfazer as condições : 1) todas as quadrículas pintadas de preto estão contidas nesses quadrados ; 2) as quadrículas

Page 24: Competições URSS

pintadas de preto ocupam uma área que não é menos que 1

5 nem mais que

4

5 da área de cada

quadrado.

156Um cubo com n unidades de aresta é dividido en n3 cubos unitários. Pelos centros de alguns deles fazemos passar três rectas paralelas às arestas. Qual é o número mínimo destes cubos para que todos os outros cubos sejam intersectados por uma recta ?a) Determine esse número para valores pequenos de n ;b) Tente encontrar a resposta para n = 10 ;c) Se não conseguir resolver o problema geral, tente obter um intervalo em que se encontre o

número de cubos ;d) Note que o problema pode ser reformulado da seguinte maneira : considere todos os ternos

ordenados (x1, x2, x3) em que xi pode ser qualquer natural 1, 2, ..., n. ; escolhe-se um subconjunto desses ternos tal que qualquer terno difira de um terno desse subconjunto apenas por uma coordenada. Qual é o número mínimo de ternos desse subconjunto ? Tente encontrar a resposta para mais de três coordenadas, por exemplo, quatro.

157a) Considere a função f(x, y) = x2 + xy + y2. Prove que para cada ponto (x, y) existem inteiros

m e n tais que f m nx y 1

2.

b) Seja g(x, y) o menor valor possível para a função f m nx y para todos os valores de

m e de n. A afirmação da alínea a) é equivalente a g x y, 1

2. Prove que, de facto,

g x y, 1

3. Determine todos os pontos (x, y) em que g x y,

1

3.

c) Considere a função fa(x, y) = x2 + axy + y2 (0 a 2). Determine um valor de c tal que ga(x, y) c ; tente obter o valor mais pequeno possível.

158

O comutador representado na figura a) tem duas entradas e duas saídas e pode estar em duas posições diferentes ; na parte esquerda da figura a primeira entrada está ligada à segunda

saída e a segunda entrada à primeira saída, posição que é representada por 2

1

1

2  ; a posição da

parte direita é representada por1

1

2

2 .

1 2 1 2

21Fig. a)

21

Page 25: Competições URSS

A montagem da figura b) é universal no sentido de que mudando o estado dos comutadores podem obter-se todas as seis possíveis combinações de saída :

1

1

2

2

3

3

1

1

3

2

2

3

2

1

1

2

3

3

2

1

3

2

1

3

3

1

1

2

2

3

3

1

2

2

1

3

(Verifique ; note que o número total de estados é 23 = 8, porque cada elemento pode estar em duas posições.)

a) Tente construir uma montagem universal para quatro entradas e quatro saídas, que dê todas as 24 combinações de saída.

b) Qual é o número mínimo de comutadores para tal montagem ?

Chamemos uma montagem com n entradas e n saídas n-universal se ela permitir obter todas as n! combinações de saída.

c) A montagem da figura c) tem 8 entradas e 8 saídas e dela fazem parte as montagens A e B que são 4-universais. Prove que essa montagem é 8-universal.

d) Dê uma estimativa para os limites mínimo e máximo do número de comutadores necessários para a montagem n-universal.

1 2 3

1 2 3Fig. b)

A B

4321 8765

4321 8765Fig. c)

Page 26: Competições URSS

159Num rectângulo ABCD, seja M o ponto médio do lado AD e N o ponto médio do lado BC. Marquemos um ponto P pertencente à continuação do segmento CD do lado de D. Seja Q o ponto de intersecção das linhas PM e AC. Prove que os ângulos QNM e MNP são iguais.

160Para 50 segmentos da mesma recta, prove que uma das afirmações seguintes é verdadeira : 1. Há 8 segmentos que têm um ponto comum.2. Há 8 segmentos que não se intersectam.

161Determine o valor máximo de x para o qual a expressão 427 + 41000 + 4x representa um quadrado perfeito.

162Sejam a, n e m números naturais e a > 1. Prove que se am + 1 for divisível por an + 1 então m é divisível por n.Sejam a, b, n e m números naturais, a > 1 e a e b primos entre si. Prove que se am + bm for divisível por an + bn, então m é divisível por n.

163

Constrói-se um triângulo numérico de acordo com a seguinte regra : o vértice é um número natural a > 1 ; em cada linha seguinte, escreve-se por baixo e à esquerda do número k o número k2 e por baixo e à direita o número k + 1. Por exemplo, se a = 2, obtém-se o triângulo iniciado à esquerda. Prove que, em qualquer linha, todos os números são diferentes.

164Prove que pode colocar um número qualquer de quadrados de área total 1 no interior de um quadrado de área 2 sem que eles se intersectem.

2

4 3

16 5 9 4

A B

CDP

M NQ

Page 27: Competições URSS

165Seja O o ponto de intersecção das diagonais do quadrilátero convexo ABCD. Prove que a recta definida pelos pontos de interseção das medianas dos triângulos AOB e COD é perpendicular à recta definida pelos pontos de intersecção das alturas dos triângulos BOC e AOD.

166Cada uma de 9 rectas divide um quadrado em dois quadriláteros cujas áreas estão na razão 2:3. Prove que três dessas rectas se intersectam num ponto.

167Um polígono de 7 lados A1A2A3A4A5A6A7 está inscrito num círculo. Prove que se o centro do círculo estiver dentro do polígono, então a soma das medidas dos ângulos A1, A2 e A3 é menor que 450 graus.

168Um jogo para dois : o primeiro jogador indica um algarismo e o segundo coloca-o no lugar de um quadrado na subtracção = ; o primeiro jogador volta a indicar um algarismo que o segundo põe no lugar de outro quadrado e assim sucessivamente, até os 8 quadrados estarem substituídos por algarismos. O primeiro jogador pretende obter a maior diferença possível, enquanto o segundo pretende obter a menor possível. Prove que :1. O primeiro jogador pode proceder de maneira que a diferença não seja inferior a 4000,

independentemente do comportamento do segundo ;2. O segundo jogador pode proceder de maneira que a diferença não seja superior a 4000,

independentemente do comportamento do primeiro. 

169

Sejam x e y números positivos e s o mínimo de x yx

, , 1

y

1. Qual é o maior valor possível

para s ? A que valores de x e de y corresponde ?

170O ponto O no interior de um polígono convexo define um triângulo isósceles com qualquer par de vértices do polígono. Prove que o ponto O é o centro do círculo circunscrito ao polígono.

171Será possível colocar os algarismos 0, 1 ou 2 nas quadrículas de um quadrado de papel quadriculado de 100 100, de modo que qualquer rectângulo 3 4 ( ou 4 3) contenha três algarismos 0, quatro algarismos 1 e cinco algarismos 2 ?

Page 28: Competições URSS

172Os números x1, x2, ..., xn são todos positivos e a sua soma é 1. Seja s o maior dos números

x

x

x

x

x

xn

n

1

1

2

21 ,

1 + x, . . . ,

1 + x . . . 1 1

. Qual é o valor mínimo possível para s ? A que valor

xi corresponde ?

173Terminou um torneio de hockey de uma só volta : cada equipa jogou uma só vez com todas as outras ; a vitória valeu 2 pontos, o empate 1 e a derrota 0. Verificou-se que para qualquer subgrupo de equipas participantes havia uma equipa, eventualmente pertencente a esse subgrupo, que obteve um número ímpar de pontos nos jogos com as equipas do subgrupo. Prove que o número de equipas participantes é par.

174Catorze moedas são apresentadas como prova num tribunal. Um perito sabe que as moedas numeradas de 1 a 7 são falsas e que as moedas de 8 a 14 são verdadeiras. O juiz apenas sabe que as moedas verdadeiras têm todas o mesmo peso, maior que o peso das falsas, também igual para todas. O perito dispõe de uma balança de pratos iguais, sem pesos. a) O perito quer provar que as moedas numeradas de 1 a 7 são falsas ; como pode fazê-lo

com três pesagens ?b) Também com três pesagens, como é que ele pode provar que as moedas de 1 a 7 são falsas

e as moedas de 8 a 14 são verdadeiras ?

175Prove que um número de 9 algarismos, que contém todos os algarismos, excepto o zero e que não termina em 5, não pode ser um quadrado perfeito.

176Prove que pode ligar n pontos (n > 4) com segmentos orientados de maneira a poder atingir, a partir de qualquer ponto, qualquer outro ponto, passando apenas pour um ou dois segmentos orientados. (Cada par de pontos pode ser ligado por um único segmento, permitindo a pasagem num só sentido).

177

Os lados de um ângulo de vértice O são tangentes a uma circunferência nos pontos A e B. Pelo ponto A traça-se uma recta paralela a OB que intersecta a circunferência no ponto C. A

A

B

OC

E

K

Page 29: Competições URSS

recta OC intersecta a circunferência no ponto E e as rectas AE e OB intersectam-se no ponto K. Prove que os comprimentos dos segmentos OK e KB são iguais.

178Os números reais a, b e c satisfazem a condição : qualquer que seja x tal que 1 x 1, é válida a desigualdade ax2 + bx + c 1. Prove que para os mesmos valores de x é válida a desigialdade |cx2 + bx + a| 2.

179A federação de ténis atribuiu números de posição aos 1024 desportistas que participam no torneio, de acordo com o seu nível de jogo. A federação usa o sistema olímpico de eliminatórias : num par, o derrotado é imediatamente eliminado, enquanto que o vencedor joga com o vencedor de outro par ; assim, na segunda eliminatória restam 512 participantes, na terceira 256, etc. O vencedor é determinado na décima eliminatória. Verificou-se que nos jogos em que participaram desportistas cuja classificação diferia de mais de 2 pontos o vencedor foi sempre o que tinha melhor classificação, ou seja, um número menor. Qual é o maior número de posição possível para o vencedor ?

180O polinómio quadrático f(x) = a x2+ bx + c é tal que a equação f(x) = x não tem raizes reais. Prove que a equação f(f(x)) = 0 também não tem raizes reais.

181Numa folha de papel quadriculado infinita pintaram-se de preto n quadrículas. Consideremos agora um processo iterativo, em que em cada iteração a cor das quadrículas é mudada de acordo com a seguint regra : a côr de cada quadrícula passa a ser a côr da maioria de três quadrículas : ela própria, a vizinha da direita e a vizinha de cima.a) Prove que, após um número finito de iterações, todas as quadrículas pretas desaparecerão.b) Prove que isso acontecerá, o mais tardar, na iteração n.

182Traçam-se três triângulos acutângulos semelhantes, AC1B, BA1C e CB1A, no exterior do triângulo acutângulo ABC (são iguais entre si os ângulos AB1C, ABC1 e A1BC e os ângulos BA1C, BAC1 e B1AC).a) Prove que as circunferências circunscritas a cada um desses três triângulos se intersectam

num ponto.b) Prove que as rectas AA1, BB1 e CC1 se intersectam no mesmo ponto.

183

Page 30: Competições URSS

Num grupo há n homens que não se conhecem uns aos outros. Alguns deles vão ser apresentados a outros de maneira a que cada um tenha no grupo um número diferente de conhecidos. Prove que isso é possível para todos os valores de n.

184O rei passou revista ao tabuleiro de xadrez visitando todas as casas uma só vez e voltando à casa de partida. Quando se desenhou a sua trajectória, unindo por segmentos de recta os centros dos quadrados pela ordem de visita, apareceu uma linha quebrada que se não intersecta a ela mesma.a) Dê um exemplo, em que o rei faça apenas 28 movimentos paralelos aos lados do tabuleiro.b) Prove que ele não poderia fazer menos de 28 movimentos paralelos aos lados do tabuleiro.c) Qual é o comprimento máximo e o comprimento mínimo da linha quebrada, se o lado de

cada casa for 1 ?

185Um triângulo de lados a, b e c tem área 1 e a b c. Prove que b2 2.

186Considere um ponto do interior dum polígono convexo de n lados, nenhum deles paralelo a outro. Prove que não pode haver mais de n linhas rectas que passem por esse ponto e dividam a área do polígono ao meio.

187Prove que para quaisquer números positivos x1, x2, x3, x4 e x5, é verdadeira a desigualdade seguinte : (x1 + x2 + x3 + x4 + x5)2 4(x1x2 + x3x4 + x5 x1 + x2x3 + x4x5)

188Quatro pontos do espaço tridimensional não pertencem ao mesmo plano. Sendo todos vértices de um mesmo paralelipípedo, de quantos paralelipípedos diferentes podem esses pontos ser vértices ?

189Considere um certo número de fichas no verso das quais está escrito o número +1 ou o número 1. Se escolher quaisquer três fichas, ser-lhe-á dito qual o produto dos números que elas contêm. Qual é o menor número de perguntas que lhe permite conhecer todos os números contidos ema) 30 fichasb) 31 fichasc) 32 fichas(Deve provar que não é possível fazê-lo com menos perguntas).d) Cinquenta fichas como as anteriores são dispostas em círculo ; poderá perguntar qual o

produto dos números de três fichas consecutivas. Qual é o número mínimo de perguntas que lhe permitirá conhecer os números das 50 fichas ?

Page 31: Competições URSS

190Determine o menor número que se pode representar na forma 36k - 5l (k e l são números naturais). Prove que é realmente o menor.

191a) Cada um dos lados de um hexágono convexo mede mais de 1 ; alguma das diagonais mede

necessariamente mais de 2 ?b) Cada uma das diagonais principais de um hexágono convexo mede 2 ; algum dos lados

mede necessariamente mais de 1 ?

192

Duas circunferências de raios R e r são tangentes exteriores. Considere todos os trapézios em que os lados não paralelos são tangentes a ambas as circunferências e as bases são tangentes, cada uma, a uma circunferência diferente. Determine o comprimento mínimo para um dos lados não paralelos.

193O comprimento da soma de n vectores do plano, de comprimento unitário, é menor que 1. Prove que pode ordená-los de maneira a verificar-se a seguinte propriedade : qualquer que seja k n, o comprimento da soma dos primeiros k vectores é menor que 2.

194Determine todos os reais a, b e c tais que seja válida para todos os reais x, y e z a igualdade |ax + by + cz| + |bx + cy + az| + |cx + ay + bz| = |x| + |y| + |z|

195No quadrado ABCD os pontos P e Q pertencem aos lados AB e BC, respectivamente, e o comprimento de BP é igual ao comprimento de BQ. Seja H o pé da perpendicular tirada do ponto B ao segmento PC. Prove que o ângulo DHQ é recto.

196Considere um certo número de pontos azuis e vermelhos, alguns deles ligados por segmentos. Chamemos «exclusivo» um ponto cuja côr é diferente da de mais de metade dos pontos a que está ligado. Num processo iterativo, em cada iteração um ponto «exclusivo» qualquer troca de côr. Prove que, após um número finito de iterações, não haverá mais pontos «exclusivos».

Rr

Page 32: Competições URSS

197Determine todos os naturais n e k tais que nn tenha k algarismos e kk tenha n algarismos.

198Os pontos D e E pertencem aos catetos CA e CB, respectivamente, dum triângulo rectângulo isósceles e o comprimento de CD é igual ao comprimento de CE. Os prolongamentos das perpendiculares à recta AE, tiradas pelos pontos D e C, intersectam a hipotenusa AB nos pontos K e L, respectivamente. Prove que KL LB .

199O jogo dos gatos e dos ratos joga-se a dois num tabuleiro normal de xadrez. O primeiro jogador joga com uma peça, um «rato» e o segundo com várias : os «gatos». Cada uma das peças tem quatro movimentos possíveis : uma casa para cima, para baixo, para a esquerda e para a direita ; mas o rato pode escapar-se do tabuleiro se estiver numa casa da periferia. Se um gato e o rato se encontram na mesma casa, o gato come o rato. Os jogadores jogam à vez, mas o que tem os gatos pode movê-los todos em direcções independentes.a) Suponhamos que há dois gatos ; o rato está no meio do tabuleiro. É possível cologar os

gatos em casas da periferia do tabuleiro de tal modo que eles possam apanhar o rato ?b) Suponhamos agora que há três gatos e que o rato se pode mover duas vezes durante a

primeira jogada. Prove que o rato se pode escapar.

200a) Prove que pode reordenar os números 1, 2, ..., 32 de tal modo que, para qualquer par de

números, nenhum dos números situados entre eles é igual à sua média aritmética.b) Será possível fazer o mesmo para os números 1, 2, ..., 100 ?

201Determine todos os números de três algarismos iguais à média aritmética dos seis números obtidos por permutação dos seus algarismos.

202Um dado polígono convexo não pode conter nenhum triângulo de área 1. Prove que pode colocar esse polígono no interior de um triângulo de área 4.

203Define-se uma função f(x) no intervalo 0 x 1 tal que, qualquer que seja x, f(x) 0 e f(1) = 1. Para qualquer par x1, x2 tal que x1 + x2 pertença ao domínio, tem-se f(x1 + x2) f(x1) + f(x2).a) Prove que para todo o x se tem f(x) 2xb) É válida para todo o x a desigualdade f(x) 1,9x ?

Page 33: Competições URSS

204

O triângulo ABC tem área 1. A’, B’ e C’ são os pontos médios dos lados BC, CA e AB, respectivamente. Qual é a mínima área possível para a intersecção dos triângulos A’B’C’ e KLM, em que os pontos K, L e M pertencem aos segmentos AB’, CA’ e BC’, respectivamente.

205a) O triângulo ABC foi rodado em torno do centro do círculo circunscrito de um ângulo

menor que 180 graus, dando origem ao triângulo A1B1C1. Os segmentos correspondentes AB e A1B1 intersectam-se no ponto C2, BC e B1C1 no ponto A2 e AC e A1C1 no ponto B2.

Prove que o triângulo A2B2C2 é semelhante ao triângulo ABC.b) O quadrilátero ABCD foi rodado em torno do centro do círculo circunscrito de um ângulo

inferior a 180 graus originando o quadrilátero A1B1C1D1. Prove que os pontos de intersecção das rectas correspondentes AB e A1B1, BC e B1C1, CD e C1D1, DA e D1A1 são os vértices de um paralelogramo.

206Joga-se com um triângulo ABC, de área 1 : o primeiro jogador escolhe um ponto X no lado AB, o segundo escolhe um ponto Y no lado BC e o primeiro, de novo, escolhe um ponto Z no lado AC. O objectivo do primeiro jogador é obter um triângulo XYZ com a maior área possível e o objectivo do segundo é exactamente o oposto : obter um triângulo com a menor área possível. Qual é a área que o primeiro jogador pode, seguramente, obter e como deve jogar ?

207Desenha-se um polígono convexo de 32 lados numa folha de papel quadriculado, cuja quadrícula tem de lado 1. Qual é o menor perímetro possível para tal polígono se os seus vértices coincidirem com pontos em que se cruzam as linhas do papel quadriculado ?

208a) Um quadrado é constituído por 7 7 quadrados mais pequenos ; marcam-se os centros de

k destes quadrados de modo que nenhum conjunto de quatro pontos marcados possam ser os vértices de um rectângulo de lados paralelos aos lados do quadrado. Qual é o maior valor de k para o qual o problema tem solução ?

b) O mesmo problema para um quadrado 13 13.

209No hexágono convexo A1A2A3A4A5A6, sejam B1, B2, B3, B4, B5 e B6 os pontos médios das diagonais A6A2, A1A3, A2A4, A3A5, A4A6 e A5A1, respectivamente. Prove que o hexágono B1B2B3B4B5B6 é convexo e que a sua área é a quarta parte da área do hexágono inicial.

A

B

C

A’

B’

C’

K

L

M

Page 34: Competições URSS

210Prove que é possível encontrar 2n+1 números de 2n algarismos, que apenas podem ser 1 ou 2, tais que quaisquer dois deles se distinguem um do outro pelo menos em 2n1 algarismos.

211Num conjunto finito de polígonos no plano, quaisquer dois deles têm um ponto comum. Prove que existe uma linha recta que intersecta todos os polígonos.

212Prove que a desigualdade a3 + b3 + c3 + 3abc > ab(a + b) + bc( b + c) + ac (a + c) é válida para quaisquer números positivos a, b e c.

213Três formigas caminham ao longo do perímetro do triângulo ABC de tal modo que o centro de gravidade das três é um ponto fixo ; uma das formigas já deu uma volta completa. Prove que o centro de gravidade das formigas coincide com o centro de gravidade do triângulo ABC (o centro de gravidade do triângulo é o ponto de intersecção das medianas).

214Vários algarismos 0, 1 e 2 estavam escritos num quadro ; alguém passou e divertiu-se a apagar pares de algarismos diferentes e a substituí-los pelo algarismo que faltava a esse par, ou seja 0 em vez do par (1,2), 1 em vez do par (0,2) e 2 em vez do par (0,1). Prove que, se no fim ficou no quadro apenas um algarismo, ele não depende da ordem pela qual os algarismos foram apagados e substituídos.

215Considere uma faixa horizontal do plano, limitada por rectas paralelas. Essa faixa é atravessada por n linhas rectas, das quais cada par se intersecta no interior da faixa, mas de maneira que três rectas não têm nunca um ponto comum. Considere agora todos os caminhos, formados por segmentos dessas rectas, que começam do lado de baixo da faixa, continuam no lado de cima e têm as seguintes propriedades : o percurso ao longo de tais caminhos é sempre a subir e cada vez que se encontra uma intersecção é obrigatório mudar de recta. Prove que :

a) há pelo menos n

2desses caminhos sem pontos comuns ;

b) há um caminho constituído por n segmentos, pelo menos;

c) há um caminho que que não passa por mais de n

2 + 1 linhas ;

d) há um caminho que passa por todas as n linhas.

216

Page 35: Competições URSS

Para que valores de k é possível construir um cubo k k k a partir de cubos 1 1 1 pretos e brancos, de maneira que cada um dos cubos pequenos tenha exactamente dois vizinhos (dois cubos são vizinhos se se tocarem por uma face) da mesma côr ?

217Considere um polinómio P(x) coma) coeficientes naturaisb) coeficientes inteirosSeja an a soma dos algarismos do valor de P(n). Prove que há um número que se encontra um número infinito de vezes na sequência a1, a2, ..., an.218Os campeões mundial e europeu são determinados no mesmo campeonato de uma só mão. Há 20 equipas das quais k europeias. O campeão europeu é determinado só a partir dos resultados dos jogos entre essas k equipas. Qual é o máximo valor de k para o qual é possível que o único campeão europeu seja também o único campeão mundial, no caso dea) jogos de hockey (possibilidade de empate) ?b) jogos de volleyball (sem empates) ?

219a) Os números a1, a2, b1 e b2 são reais quaisquer e p1, p2, q1 e q2 são números positivos.

Prove que no quadro 2 2a b

p q

a b

p qa b

p q

a b

p q

1 1

1

1 2

1 2

2 1

2 1

2 2

2 2

há um elemento que não é menor que outro na mesma linha nem maior que outro na mesma coluna.

b) Os números a1, a2, ..., an e b1, b2, ..., bn são reais quaisquer e os números p1, p2, ..., pn e q1, q2, ..., qn são positivos. Constrói-se o quadro n n em que o elemento da linha

i (i = 1, ..., n) e da coluna j (j = 1, ..., n) é a b

p qi j

i j

. Prove que há um elemento que não é

menor que qualquer outro na mesma linha nem maior que qualquer outro na mesma coluna.

220Sobre uma mesa há 50 relógios de ponteiros que dão a hora certa. Prove que há um momento em que a soma das distâncias do centro da mesa aos extremos dos ponteiros dos minutos é maior que a soma das distâncias do centro da mesa aos centros dos relógios.

221Escreve-se num quadro uma fila de 1000 números. Por baixo dessa fila escreve-se uma outra segundo a regra : debaixo do numero a escreve-se um número natural indicando quantas vezes o número a aparece na primeira fila. Escreve-se uma terceira fila, de modo que debaixo

Page 36: Competições URSS

do número b da segunda fila se escreve o número de vezes que o número b aparece na segunda fila, e assim sucessivamente.a) Prove que há uma fila que coincide com a precedente.b) Prove que a décima primeira fila coincide com a décima segunda.c) Dé um exemplo de primeira fila tal que a décima fila difere da décima primeira.

222

Três circunferências num plano têm o mesmo raio.a) As três intersectam-se num ponto K. Considere os três arcos AK, CK e EK, em que A, C

e E são os outros pontos de intersecção das circunferências e os arcos são tomados no sentido dos ponteiros do relógio. (Cada arco está no interior dum círculo, fora de outro e na circunferência do terceiro). Prove que a soma dos arcos é de 180 graus.

b) Considere o caso em que a intersecção dos três círculos é o triângulo curvilíneo BDF, em vez do ponto K. Prove que a soma dos arcos AB, CD e EF é de 180 graus. (Os arcos são tomados no sentido dos ponteiros do relógio ; cada arco está no interior dum círculo, fora de outro e na circunferência do terceiro).

223Os números naturais x1 e x2 são ambos menores que 1000. Constrói-se a série :

x3 = |x1 x2|x4 = min {|x1 - x2|, |x1 - x3|, |x2 - x3|}...................................xk = min {|xi - xj| ; 0 < i < j < k}...................................

Prove que x21 = 0.

224É possível marcar os vértices de um cubo com números de três algarismos binários de modo que os números de dois vértices adjacentes difiram em pelo menos dois algarismos ?

A

C

EK

B D

FA

C

E

Page 37: Competições URSS

225Quatro vectores complanares

a, b, c, d são tais que

a b c d 0 . Prove que é válida

a desigualdade a b c d a d b d c d .

226Num polígono regular de 1976 lados marcam-se os pontos médios de todos os lados e de todas as diagonais. De todos os pontos marcados, qual é o número máximo dos que pertencem a uma circunferência ?

227Numa folha de papel rectangular estão desenhados n rectângulos de lados paralelos aos lados da folha ; os rectângulos não têm pontos interiores comuns. Prove que depois de recortar todos os rectângulos o resto da folha não se separa em mais de n + 1 bocados.

228Três peões caminham ao longo de três estradas em linha recta. No momento inicial, eles não estão alinhados sobre uma recta. Prove que não estarão alinhados mais de duas vezes.

229Num tabuleiro de xadrez 99 99 há um conjunto C de casas especialmente marcadas, cada uma das quais ocupada por uma joaninha. De repente todas as joaninhas levantam voo e pousam noutras casas do mesmo conjunto C. As joaninhas de casas vizinhas pousaram ou na mesma casa ou numa casa vizinha (duas casas são vizinhas se têm pelo menos um vértice comum). Considere a afirmação : « Há uma joaninha que ou ficou na mesma casa ou saltou para uma casa vizinha ». É ela sempre válida, se o conjunto C é :a) A cruz central, ou seja, a reunião da 50a linha com a 50a coluna ?b) Um «caixilho de janela», ou seja, a reunião da 1a, 50a e 99a linhas e da 1a, 50a e 99a

colunas ?c) Todo o tabuleiro ?

230Chamemos «grande» um triângulo cujos lados medem todos mais de 1. Dado um triângulo equilátero de lado 5, prove que :a) Pode recortar nele 100 triângulos «grandes» ;b) Pode dividí-lo em 100 triângulos «grandes» que não se intersectam e que o cobrem

totalmente ;c) O mesmo que b), mas os triângulos ou não têm pontos comuns, ou têm um lado comum ou

têm um vértice comum ;d) O mesmo que c), mas o triângulo equilátero inicial tem lado 3.

Page 38: Competições URSS

231Para um número natural n, chamaremos «universal» uma sucessão finita de números naturais a1, a2, ..., ak, k n, se ela contiver como sub-sucessões todas as permutações dos primeiros n números naturais (Exemplo : {1, 2, 3, 1, 2, 1, 3} é universal para n = 3 mas {1, 2, 3, 2, 1, 3, 1} não o é, pois não inclui a permutação {3, 1, 2}). O objectivo é estimar o número de termos da mais curta sucessão universal para um dado n.a) Dê um exemplo de sucessão universal com n2 termos.b) Dê um exemplo de sucessão universal com n2 n + 1 termos.

c) Prove que nenhuma sucessão universal contém menos de n n( )1

2termos.

d) Prove que a mais curta sucessão universal para n = 4 contém 12 termos.e) Obtenha uma sucessão universal tão curta quanto puder. O Comité de Organização

conhece o método para obter uma sucessão com n2 2n + 4 termos.

232Dispõem-se em círculo n números cuja soma é zero e um dos quais é 1.

a) Prove que há dois números adjacentes cuja diferença não é menor que n

4.

b) Prove que um dos números difere da média aritmética dos seu dois vizinhos de pelo menos 8

2n.

c) Tente melhorar a estimativa precedente, substituindo 8 por outro número.d) Prove que, para n = 30, há um número que difere da média aritmética dos seus dois

vizinhos de pelo menos 2

113 ; dê um exemplo de 30 números, dispostos em círculo, tais

que nenhum difira da média aritmética dos seus dois vizinhos de mais de 2

113.

233Todos os vértices de um polígono regular de n lados e centro O são marcados com um dos números +1 ou 1. Podem mudar-se simultaneamente todos os sinais correspondentes aos vértices de um polígono regular de k lados (2 k n) com o mesmo centro O (considera-se polígono de 2 lados um segmento que tem O como ponto médio). Prove que nos casos a), b) e c) existe um conjunto de números +1 e 1 a partir do qual não é possível obter um conjunto apenas com números +1.a) n = 15b) n = 30c) n > 2d) Notemos por K(n) o número máximo de conjuntos de n números +1 e 1 tais que é

impossível obter um a partir de outro. Prove, por exemplo, que K(200) = 280

234Consideremos uma esfera de raio 1 e um seu círculo máximo a que chamaremos «equador» ; as palavras «pólo», «paralelo» e «meridiano» serão usadas do mesmo modo, com o sentido que têm em relação ao globo terrestre.

Page 39: Competições URSS

a) Seja g(x) a distância do ponto x, sobre a esfera, ao plano do equador. Prove que g(x) tem a seguinte propriedade : se x1, x2 e x3 são os extremos de raios perpendiculares dois a dois, então [g(x1)]2 + [g(x2)] 2 + [g(x3)] 2 = 1.

Seja f(x) uma função não negativa que goza da propriedade anterior.b) Os pontos x1 e x2 são pontos do mesmo meridiano entre o pólo norte e o equador, com x1

mais perto do pólo que x2. Prove que f(x1) > f(x2).c) O ponto y1 está mais perto do pólo que o ponto y2. Prove que f(y1) > f(y2).d) Os pontos z1 e z2 estão sobre o mesmo paralelo. Prove que f(z1) = f(z2).e) Prove que para todo o x, f(x) = g(x).

235Uma linha quebrada, fachada, num plano, não se intersecta a si mesma e não tem três vértices em linha recta. Chamemos «especial» um par de segmentos se o prolongamento de um intersectar o outro. Prove que há um número par de pares especiais.

236Atribuiram-se números a vários pontos que não pertencem todos à mesma recta. Sabe-se que se uma linha recta contém dois ou mais desses pontos, então a soma dos números atribuídos a esses pontos é nula. Prove que todos os números são zero.

237a) Um círculo tem inscritos os triângulos T1 e T2. Os vértices de T1 são os pontos médios dos

arcos com extremos nos vértices de T2. Considere o haxágono que resulta da intersecção de T1 e de T2. Prove que as suas diagonais principais são paralelas aos lados de T1 e intersectam-se num ponto.

b) O segmento que une os pontos médios dos arcos AB e AC do círculo de centro O, circunscrito ao triângulo ABC, intersecta os lados AB e AC do triângulo nos pontos D e K, respectivamente. Prove que os pontos A, D, K e O são os vértices de um losango.

238Várias pedras do jogo das damas, pretas e brancas, estão dispostas em círculo. Cada um na sua vez, dois homens retiram pedras : o primeiro retira todas as pretas que têm pelo menos uma vizinha branca e o segundo retira todas as brancas que têm pelo menos uma vizinha preta. Páram quando todas as pedras forem da mesma côr.a) Suponhamos que no início havia 40 pedras. É possível que, depois de duas intervenções de

cada um dos homens, reste só uma pedra ?b) Suponhamos que no início há 1000 pedras. Qual é o menor número possível de

intervenções para chegar à situação em que fica uma só pedra ?

239

Sabe-se que o limite de b aa

n nn 1 2

, em que an é uma sucessão infinita, é zero. Prove que o

limite de an é zero.

Page 40: Competições URSS

240Num determinado país, cada cidade dispõe de transporte directo para cada uma das outras. Dois turistas, que não partem necessariamente da mesma cidade, nem voltam à cidade de partida, decidiram visitar todas as cidades. O primeiro escolhe sempre, em cada cidade, o bilhete mais barato que lhe permita ir a uma cidade ainda não visitada, enquanto o segundo faz o contrário : escolhe o trajecto mais caro ; em caso de igualdade de preços, a escolha é arbitrária. Prove que o primeiro não gasta, em bilhetes de transporte, mais dinheiro que o segundo.

241Cada vértice de um poliedro convexo pertence a três faces. Cada uma das faces pode ser inscrita num círculo. Prove que o poliedro pode ser inscrito numa esfera.

242Joga-se com o polinómio x10 + x9 + x8 + ... + x + 1. Dois jogadores, cada um na sua vez, substituem os quadrados por números reais (9 jogadas no total). O primeiro ganha se o polinómio não tiver raizes reais. Quem ganha ?

243Os sete anões estão sentados à volta de uma mesa. Cada anão tem uma caneca e algumas canecas contêm leite. À vez, e no sentido dos ponteiros do relógio, cada anão divide todo o leite que tem na sua caneca pelas outras seis. Depois de o sétimo fazer isso, cada caneca continha o mesmo leite que no início. Se no total havia três litros de leite, quanto leite havia em cada caneca ?

244Chamemos «fino» um número de 2n algarismos se ele é um quadrado perfeito e se os dois números representados pelos n primeiros algarismos (o primeiro não pode ser zero) e pelos últimos n algarismos (o primeiro algarismo deste número pode ser zero, mas não o próprio número) forem também quadrados perfeitos.a) Determine todos os números «finos» de 2 e de 4 algarismos.b) Há algum número «fino» com 6 algarismos ?c) Prove que existe um número «fino» com 20 algarismos.d) Prove que existem pelo menos 10 números «finos» com 100 algarismos.e) Prove que existe um número «fino» com 30 algarismos.

245Dado um conjunto de n números positivos, considere as somas dos números pertencentes a cada um dos seus subconjuntos não vazios. Prove que pode repartir essas somas em n grupos, de tal forma que, em qualquer grupo, a menor soma é pelo menos metade da maior .

246

Page 41: Competições URSS

1000 bilhetes numerados de 000 a 999 devem ser arrumados em 100 caixas numeradas de 00 a 99. Um bilhete só pode ir para uma caixa cujo número se possa obter a partir do do bilhete por apagamento de um algarismo. Prove que :a) Pode pôr todos os bilhetes em 50 caixas ;b) caixas não são suficientes ;c) É impossível utilizar menos de 50 caixas ;d) caixas são suficientes para 10000 bilhetes de 4 algarismos, dos quais se apagam 2 .e) Qual é o número mínimo de caixas, no caso de bilhetes de k algarismos ?

247Numa folha de papel quadriculado está desenhado um quadrado 100100, no interior do qual estão desenhadas várias linhas quebradas ; os segmentos que formam estas linhas são lados das quadrículas ; as linhas não se intersectam a si próprias nem umas às outras ; os seus extremos estão sobre o perímetro do quadrado e os vértices no interior. Prove que existe, para além dos ângulos do quadrado, um nó da quadrícula, no interior do quadrado ou no seu perímetro, pelo qual não passa nenhuma das linhas quebradas.

248Para os números naturais x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., ym sabe-se que é válida a seguinte condição : (x1 + x2 + ... + xn) = (y1 + y2 + ... + ym) < mn. Prove que nesta expressão é possível suprimir alguns termos (não todos, mas pelo menos um), de modo a obter outra condição válida.

2491000 quadrados no plano têm os lados paralelos aos eixos coordenados. Seja M o conjunto dos centros desses quadrados. Prove que pode marcar alguns quadrados de tal modo que qualquer ponto de M pertence no mínimo a um e no máximo a quatro dos quadrados marcados.

250Dispomos de uma balança de pratos iguais e de um conjunto de n pesos diferentes. Colocamos os pesos um a um nos pratos da balança. Notemos por «E» o estado da balança em que o prato esquerdo está mais baixo e por «D» o estado em que é o prato direito o mais pesado.a) Prove que pode dispor os pesos de modo a obter a sequência de estados EDEDEDED..., ou

seja, de modo a que o estado da balança mude cada vez que é colocado um peso.b) Prove que para qualquer «palavra» de n letras contendo apenas as letras E e D pode dispor

os pesos de modo a obter a sequência de estados descrita por essa «palavra».

251Consideremos os polinómios de uma variável com o coeficiente do termo de maior grau igual a 1. Diremos que os polinómios P(x) e Q(x) comutam se P[Q(x)] Q[P(x)].a) Para todos os valores de a, determine todos os polinómios Q, de grau não superior a 3, que

comutam com x2 a.

Page 42: Competições URSS

b) Seja P um polinómio quadrático e k um número natural. Prove que não existe mais de um polinómio de grau k que comuta com P.

c) Determine os polinómios de 4o e 8 o graus que comutam com o polinómio P quadrático.d) R e Q comutam com o mesmo polinómio quadrático P. Prove que Q e R comutam.e) Prove que existe uma sucessão infinita P2, P3, ..., Pn, ... (Pk é um polinómio de grau k), na

qual P2(x) = x2 2 e todos os polinómios comutam dois a dois.

252

Seja an o inteiro mais próximo de n . Determine a soma 1 1 1

1 2 1980a a a . . .

253No quadrilátero ABCD, M é um ponto interior tal que ABMD é um paralelogramo e o ângulo CBM é igual ao ângulo CDM. Prove que o ângulo ACD é igual ao ângulo BCM.254Prove que não existe nenhum m tal que 1978m 1 seja divisível por 1000 m 1.

255A partir de um conjunto K0 de pontos, no plano ou no espaço, constrói-se a sucessão de conjuntos K1, K2, ..., Kn, ... de acordo com a seguinte regra : o conjunto Ki + 1 obtém-se do conjunto Ki, juntando-lhe os simétricos de todos os seus pontos em relação a todos os seus pontos.a) Seja K0 um conjunto de dois pontos A e B distanciados de uma unidade. Para que valor de

n contém Kn um ponto à distância de 1000 unidades de A ?b) Seja K0 um conjunto de três pontos, vértices de um triângulo equilátero de área 1.

Determinar a área do mais pequeno polígono convexo que contém Kn .No que segue, K0 é o conjunto dos vértices de um tetraedro de volume 1.c) Quantas faces tem o menor poliedro convexo que contém K1 ?d) Qual é o volume desse poliedro ?e) Qual é o volume do menor poliedro convexo que contém Kn ?

256Dois montes de pedras do jogo das damas contêm, respectivamente, m e n pedras (m > n). Dois jogadores retiram, à vez, pedras de um dos montes. Do monte que escolheram, apenas podem retirar um número de pedras, diferente de zero, divisível pelo número de pedras do outro monte. Ganha o jogador que retira a última pedra.a) Prove que, se m > 2n, o primeiro jogador pode ganhar sempre.b) Determine todos os valores de x tais que, se m > xn, o primeiro jogador pode ganhar

sempre.

257Prove que existe uma sucessão infinita x i tal que, para todos os valores de m e de k (k m),

se tem x xm km k

1

.

Page 43: Competições URSS

258Seja f(x) = x2 + x + 1. Prove que, para qualquer natural m > 1, os números m, f(m), f(f(m)),... são primos entre si.

259Prove que existe um número A tal que se podem inscrever 1978 quadrados de tamanhos diferentes no gráfico da função y = A sen x. O quadrado está inscrito se todos os seus vértices pertencerem ao gráfico.

260Três autómatos processam cartões contendo pares ordenados de números naturais. O primeiro, a partir de um cartão contendo o par (a, b) produz um novo cartão com o par (a + 1, b + 1) ; o segundo, a partir do mesmo cartão, produz um cartão com o par (a/2, b/2), se a e b forem ambos pares, e não faz nada no caso contrário ; o terceiro, a partir de um par de cartões contendo um o par (a, b) e o outro o par (c, d), produz um novo cartão com o par (a, c). Todos os autómatos devolvem os cartões que processam. Suponha que inicialmente havia um cartão com o par (5, 19) ; é possível obtera) (1, 50) ?b) (1, 100) ?c) Suponha que inicialmente se tinha um cartão com o par (a, b), com a < b ; queremos obter

um cartão com o par (1, n). Para que valores de n é isso possível ?

261Num círculo de raio R está inscrito um polígono de n lados de área S. Marcamos um ponto em cada lado do polígono. Prove que o perímetro do polígono cujos vértices são os pontos marcados não é menor que 2S/R

262No início do jogo, uma pedra do jogo das damas está numa casa de canto dum tabuleiro n n. Cada jogada consiste em movê-la para uma casa vizinha, isto é, uma casa que tem um lado comum com aquela em que se encontra a pedra. É proibido mover para uma casa onde a pedra já tenha estado ; aquele, de dois jogadores, que não puder fazer um movimento legal, perde.a) Prove que se n for par o primeiro jogador pode sempre ganhar e que se n for ímpar é o

segundo que pode sempre ganhar.b) Quem ganha se, no início, a pedra estiver numa casa vizinha de uma casa de canto ?

263No plano estão traçados n segmentos de recta que não se intersectam ; nenhum par desses segmentos pertence à mesma recta. Pretendemos acrescentar novos segmentos que unam os

Page 44: Competições URSS

extremos daqueles, de maneira a obter uma única linha quebrada que não se intersecta a si própria. É isso sempre possível ?

264Sabendo que 0 < a x1 x2 ... xn b, prove que

x x x

x x x

a b

abnn

n1 2

1 2

2

21 1 1

4

. . . . . .

265Dado um número primo p > 3, considere o conjunto M dos pontos (x, y) do plano, de coordenadas inteiras, tais que 0 x < p e 0 y < p. Prove que é possível marcar p pontos de M de modo que nunca três deles pertençam à mesma recta, nem exista nenhum paralelogramo com vértices nesses pontos.

266Prove que, para qualquer tetraedro, existem dois planos tais que a relação de projeção das áreas nesses planos não é inferior a 2 .

267

A partir da sucessão a1, a2, ..., an, definimos a sucessão ba a a

kkk

1 2 . . ., para 1 k n.

Se C = (a1 b1)2 + (a2 b2)2 + ... + (an bn)2 e D = (a1 bn)2 + (a2 bn)2 + ... + (an bn)2, prove que C D 2C.

268Dada a sucessão xn

n 1 2 3 , pode representar-se cada um dos seus termos pela

expressão x q r s tn n n n n 2 3 6 , onde qn, rn, sn e tn são inteiros. Determine os limites

das fracções r

q

s

q

t

qn

n

n

n

n

n

, e .

269Qual é a menor razão possível entre as áreas de dois triângulos isósceles, se os três vértices do primeiro pertencerem a lados diferentes do segundo ?

270Um gafanhoto anda aos saltos no plano, limitado ao ângulo x 0, y 0, o que quer dizer que não poderá aterrar nunca num ponto em que pelo menos uma das coordenadas seja negativa. A partir do ponto (x, y) o gafanhoto pode saltar ou para o ponto (x+1, y1) ou para o ponto (x5, y+7). Determine um conjunto de pontos iniciais (x, y), a partir dos quais o

Page 45: Competições URSS

gafanhoto não possa nunca atingir um ponto situado a uma distância do ponto (0, 0) superior a 1000. Calcule a respectiva área.

271Num certo parlamento, cada deputado não tem mais de três inimigos ( A é inimigo de B se e só se B é inimigo de A). Prove que é possível dividir o parlamento em duas câmaras, de maneira que nenhum deputado tenha mais de um inimigo na câmara a que pertence.

272Num bloco-notas está uma lista de números. Podemos acrescentar a essa lista a média aritmética de alguns deles, se ela for diferente de qualquer número da lista. Comecemos com dois números, 0 e 1. Prove que é possível obter :a) 1/5 ;b) qualquer número racional entre 0 e 1.

273

Para todo n, a sucessão decrescente xk satisfaz a condição xx x x

nn

14 9

2 31

2

. . . . Prove que

também satisfaz, para todo n, a condição xx x x

nn

12 3

2 33 . . . .

274Dado um conjunto finito de pontos do plano, traça-se para alguns pares A, B, o vector AB

,

mas de maneira que em cada ponto o número de vectores com origem nesse ponto é igual ao número de vectores com extremo nesse ponto. Prove que a soma de todos esses vectores é o vector nulo.

275Qual é o número mínimo de pedras necessário para que cada fila de casas, paralela a um lado do tabuleiro de damas ou a uma das suas diagonais, seja ocupada pelo menos por uma pedra, a) num tabuleiro de 8 8 ?b) num tabuleiro n n ?

276

Sendo a e b parâmetros, determine x e y : x y x y

x y

y x x y

x y

2 2

2 2

1 ; a b

2 2

2 21.

Page 46: Competições URSS

277Prove que, com um conjunto de tapetes quadrados de área total 4, pode cobrir totalmente um quadrado de área 1.

278Prove que, para quaisquer números x1, x2, ..., xn, pertencentes ao intervalo [0, 1], se tem

x x x x x xn n1 2

2

12

22 24 ... ... .

279Os números naturais p e q são primos entre si. O segmento [0, 1] é dividido em p + q segmentos iguais. Prove que cada segmento, excepto os dois dos extremos, contém

exactamente um dos p + q 2 números 1 1 1 2 1

p p

p

p q q

q-

q

, , , , , 2

... , ... , .

280No espaço tridimensional, 1979 linhas rectas l1, l2, ..., l1979 passam pelo mesmo ponto O. Nenhum par dessas linhas é perpendicular. Dado um ponto A1 pertencente a l1 que não coincide com O, prove que é possível escolher pontos Ai pertencentes a li (i = 2, 3, ..., 1979) de modo que os 1979 pares de rectas seguintes são perpendiculares :

A1A2 e l2

A2A4 e l3

................Ai1Ai+1 e li

................A1977A1979 e l1978

A1978A1 e l1979

A1979A2 e l1

281Uma sucessão finita de números 0 e 1 deverá satisfazer a condição : para todos os valores de k, de 0 a n1, a soma a1ak1 + a2ak2 + ... + ankan é ímpar.a) Construa a sucessão para n = 25.b) Prove que existe uma tal sucessão para algum n > 1000.

282Um quadrilátero convexo é dividido pelas suas diagonais em quatro triângulos ; os círculos circunscritos a estes triângulos são iguais. Prove que o quadrilátero é um losango.

283Sobre uma recta, situam-se n pontos A1, A2, ..., An, uns a seguir aos outros. Todos os segmentos A1A2, A2A3, ..., An1An têm comprimento menor que 1. Pretendemos marcar k1

Page 47: Competições URSS

desses pontos de modo que a diferença de comprimentos de quaisquer dois segmentos com extremos nesses pontos seja menor que 1. Prove que isso é possívela) para k=3 ;b) para qualquer valor de k menor que n1.

284Todos os números de dois algarismos desde 19 até 80 estão escritos uns a seguir aos outros, sem espaços. O número obtido, 192021.....787980, é divisível por 1980 ?

285Divide-se o lado vertical de um quadrado em n segmentos tais que a soma dos comprimentos dos segmentos com número par é igual à soma dos comprimentos dos segmentos com número ímpar. Passando pelos extremos desses segmentos, traçam-se n1 linhas rectas, paralelas aos lados horizontais, que delimitam, no interior do quadrado, n bandas. Traça-se agora uma diagonal do quadrado, do canto inferior esquerdo até ao canto superior direito, que divide cada banda em duas partes, esquerda e direita. Prove que a soma das áreas das partes esquerdas das bandas ímpares é igual à soma das áreas das partes direitas das bandas pares.

286A carga para a estação espacial Saliut é disposta em contentores. Há mais de 35 contentores, com um peso total de 18 toneladas. Dispõe-se de sete veículos de transporte Progress, cada um capaz de transportar 3 toneladas de carga até à estação, e sabe-se que cada um é capaz de carregar qualquer subconjunto de 35 contentores. Prove que eles podem transportar toda a carga.

287M e P são os pontos médios dos lados BC e CD do quadrilátero convexo ABCD. Sabe-se que

. Prove que a área de ABCD é menor que a 2

2.

288Haverá três números não compostos x, y e z, tais que x2 + y3 = z4 ?

289Por um ponto E sobre o diâmetro AC de um círculo, trace uma corda BD tal que seja máxima a área do quadrilátero ABCD.

290Há várias povoações nas margens do Grande Lago Redondo. Barcos fazem travessias directas entre algumas delas. Duas povoações estão directamente ligadas por barco se e só se as duas que as seguem no sentido contrário aos ponteiros do relógio não estiverem. Prove que pode ir de qualquer povoação a qualquer outra utilizando, no máximo, três barcos.

Page 48: Competições URSS

291Um número de 6 algarismos decimais diferentes de zero é divisível por 37. Prove que, por permutação dos algarismos, pode obter pelo menos mais 23 números divisíveis por 37.

292Determine soluções reais para o sistema :

sen + 2sen( ) = 0

sen + 3sen( ) = 0

sen + 4sen( ) = 0

x x+y+z

x x+y+z

x x+y+z

293No plano há 1980 vectores, alguns dos quais não colineares, tais que a soma de quaisquer 1979 vectores é colinear com o vector não incluído na soma. Prove que a soma de todos os vectores é o vector nulo.

294Seja S(n) a soma de todos os algarismos de n.a) Haverá algum n tal que n + S(n) = 1980 ?b) Prove que pelo menos um de dois números naturais consecutivos se pode representar na

forma n + S(n), sendo n um terceiro número.

295Algumas quadrículas de uma folha de papel quadriculado infinita estão pintadas de vermelho, de maneira que qualquer rectângulo 23 contém exactamente duas quadrículas vermelhas. Quantas quadrículas vermelhas pode haver entre as 99 de um rectângulo 911 ?

296Grassa uma epidemia de gripe na floresta dos anões. Apenas no primeiro dia, quando alguns deles foram infectados, a infecção foi de origem externa. Depois, cada anão é infectado quando visita um amigo doente. Apesar da situação, cada anão visita diariamente todos os seus amigos doentes. A doença dura exactamente um dia e a imunidade adquire-se pelo menos no dia seguinte. Supondo que a população não varia, prove que :a) Se, no primeiro dia, alguns anões já estavam imunes, a epidemia pode continuar por tempo

indefinido.b) Se ninguém estava imune no primeiro dia, então a epidemia terá fim um dia.

297

Page 49: Competições URSS

Seja P(n) o produto de todos os algarismos de n. Consideremos a sucessão nk+1 = nk + P(nk). Poderá ela ser ilimitada para algum valor n1 ?

298

No triângulo equilátero ABC, uma recta paralela a AC intersecta AB e BC nos pontos M e P, respectivamente. Seja D o centro do triângulo PMB e E o ponto médio do segmento AP. Determine os ângulos do triângulo DEC.299Sejam x, y e z (x < y < z) as arestas de um paralelipípedo rectangular, e p = 4(x + y + z), s=2(xy + yz + zx) e d x y z 2 2 2 , respectivamente o perímetro, a superfície e o comprimento da diagonal do mesmo paralelipípedo. Prove que :

xp

ds

1

3 4 22  ; z

pd

s

1

3 4 22 .

300Os elementos do conjunto A são inteiros ; o seu elemento mínimo é 1 e o máximo é 100. Qualquer elemento de A, excepto 1, é a soma de dois números, eventualmente iguais, pertencentes a A. Qual é o menor número possível de elementos de A ?

301

Prove que existem infinitos números B tais que a equação x y3

2

3

2

B tem pelo menos

1980 soluções inteiras (x, y). ( [z] representa o maior inteiro não superior a z).

302A aresta AC do tetraedro ABCD é perpendicular a BC e AD é perpendicular a BD. Prove que

o co-seno do ângulo entre as rectas AC e BD é menor que CD

AB.

303O número x pertencente ao intervalo [0, 1] é escrito na forma de uma fracção decimal infinita. Permutando os primeiros 5 algarismos depois da vírgula, obtém-se outra fracção que corresponde ao número x1 ; de maneira geral, permutando os cinco algarismos de xk, desde a posição k+1 até à posição k+5 a seguir à vírgula, obtém-se o número xk+1.a) Prove que a sucessão xi tem limite.b) Pode esse limite ser irracional se o número de que se parte for racional ?c) Indique um número a partir do qual se obtenham sempre números irracionais, sejam quais

forem os algarismos permutados.

A

B

C

M PD

E

Page 50: Competições URSS

304Dois tabuleiros de xadrez (88) iguais têm o mesmo centro, mas um deles está rodado de um ângulo de 45 graus em relação ao outro. Tomando para unidade o comprimento o lado de cada casa, determine a área da intersecção das casas pretas.

305Os pontos A, B, M e N pertencem à mesma circunferência. As cordas MA1 e MA2 são perpendiculares às rectas NA e NB, respectivamente. Prove que as rectas AA1 e BB1 são paralelas.

306Digamos que um número natural tem a propriedade P(k) se puder ser representado como o produto de k números naturais consecutivos maiores que 1.a) Determine um número k tal que existe um número n que tem simultaneamente as

propriedades P(k) e P(k+2).b) Prove que nenhum número tem simultaneamente as propriedades P(2) e P(4).

307Uma matriz rectangular tem quatro linhas. A primeira contém números naturais quaisquer ; as seguintes são construídas segundo a regra : debaixo de cada número da linha precedente, escreve-se o número de vezes que esse número já foi encontrado nessa linha, a partir da esquerda. Prove que a segunda linha coincide com a quarta.

308Dado um número real a, determine a menor área possível do rectângulo de lados paralelos aos eixos coordenados que contém a figura determinada pelo sistema de inequações

y x

y x x

2

2 2 a

309Três triângulos equiláteros, ABC, CDE e EHK (vértices indicados em sentido anti-horário) estão contidos no mesmo plano e os vectores AD DK

e são iguais. Prove que o triângulo BHD também é equilátero.

310Uma povoação tem 1000 habitantes. Ao fim de cada dia, cada um dos habitantes conta aos seus amigos as novidades de que teve conhecimento durante esse dia ; assim, cada uma das novidades chega finalmente ao conhecimento de todos os habitantes. Prove que é possível escolher 90 habitantes por forma a que, se lhes der simultaneamente conhecimento de uma novidade, todos os habitantes estarão ao corrente dentro de 10 dias.

Page 51: Competições URSS

311Dos números reais a e b sabe-se que a inequação acosx + bcos(3x) > 1 não tem soluções reais. Prove que |b| 1.

312K e M são os pontos médios dos lados AB e CD, respectivamente, do quadrilátero convexo ABCD. Os pontos L e M pertencem aos outros dois lados e KLMN é um rectângulo. Prove que a área de KLMN é metade da área de ABCD.

313Determine todas as sucessões de números naturais kn com as duas propriedades seguintes : para todo n, k n nn  ; para m > n, kn km é divisível por m n.

314Será possível pintar as casas de um quadro rectangular com as cores preta e branca, exclusivamente, de modo que o número de casas pretas seja igual ao número de casas brancas e que cada linha e cada coluna tenha mais de 75% de casas da mesma côr ?

315Os quadriláteros AMBE, AHBT, BKXM e CKXP são paralelogramos. Prove que o quadrilátero ABTE também é um paralelogramo. (Os vértices são indicados em sentido anti-horário).

316Determine números naturais que sejam solução da equação x3 - y3 = xy + 61.

317Dezoito equipas de futebol jogaram 8 jornadas da primeira mão do campeonato. Prove que há três equipas que ainda não jogaram umas com as outras.

318No triângulo ABC, os pontos C1, A1 e B1 pertencem aos lados AB, BC e CA,

respectivamente. Sabe-se que AC

C B

BA

A C

CB

B A1

1

1

1

1

1

1

3 . Prove que o perímetro P do traiângulo

ABC e o perímetro p do triângulo A1B1C1 satisfazem a inequação P

pP

2

3

4 .

319Os números positivos x e y satisfazem a equação x3 + y3 = x y. Prove que x2 + y2 < 1.

Page 52: Competições URSS

320Um estudante tentou copiar um polígono convexo inscrito num círculo unitário. Traçou um lado a seguir ao outro mas, quando chegou ao fim, verificou que o extremo do último lado que desenhou não coincidia com o início do primeiro, ficando separado de uma distância d. O estudante traçou os ângulos com precisão mas cometeu um erro relativo menor que p nos comprimentos dos lados. Prove que d < 4p.

321Em cada vértice de um cubo está escrito um número. Pode adicionar-se 1 aos dois números situados nos extremos de uma aresta. Para os números iniciais atribuídos aos vértices dos cubos representados nas figuras seguintes, diga se é possível, em cada um dos casos, obter cubos com números iguais em todos os vértices.

322Determine n tal que cada um dos números n, n+1, n+2, ..., n+20 tem um divisor comum, maior que 1, com o número 30030 = 23571113.

323Escrevem-se os números de 100 a 999 cada um num cartão. Baralham-se todos os cartões que se dispõem depois numa pilha, com os números voltados para baixo. Repartimos agora essa pilha em dez pilhas, de acordo com o algarismo menos significativo do número de cada cartão : os que terminam em 0 vão para a primeira pilha, os que terminam em 1 vão para a segunda pilha, e assim sucessivamente, até aos que terminam em 9, que constituem a décima pilha. Juntam-se todos os cartões, pondo as pilhas uma em cima de outra, começando na primeira e acabando na décima, e repete-se o processo duas vezes, mas com base no algarismo das dezenas e das centenas, respectivamente. Qual será a ordem dos cartões na última pilha obtida ?

324Marcam-se seis pontos no interior de um rectângulo 3 4. Prove que um par desses pontos não está separado por uma distância superior a 5 .

0 0

0 0

0

0

0

1

7 4

6 5

1

2

4

3

0 1

1 0

0

0

0

0

Fig. a Fig. b Fig. c

Page 53: Competições URSS

325a) Determine o valor mínimo do polinómio P(x,y) = 4 + x2y4 + x4y2 3x2y2

b) Prove que P(x,y) não pode ser representado como uma soma de quadrados de polinómios em x e y.

326Os segmentos AD, BE e CF são as arestas laterais dum prisma triangular, cujas bases são triângulos equiláteros. Determine todos os pontos da base ABC situados a igual distância das rectas AE, BF e CD.

327Os pontos M e K pertencem à circunferência de centro O1 e raio r1 . Uma circunferência de centro O2 e raio r2 está inscrita no ângulo MO1K. Determine a área do quadrilátero MO1KO2.

328Cada termo, a começar do terceiro, das duas sucessões an e bn é igual à soma dos dois que o precedem. Tem-se a1 = 1, a2 = 2, b1 = 2 e b2 = 1. Quantos números naturais se encontram em ambas as sucessões (eventualmente em diferentes posições) ?

329a) Sendo m e n números naturais, para os inteiros não negativos k1, k2, ..., kn, o número

2 2 21 2k k kn ... é divisível por 2m1. Prove que n m.b) Poderá encontrar um número divisível por 111...11 (m algarismos 1), tal que a soma dos

seus algarismos seja menor que m ?

330A cada vértice de um cubo atribui-se um número real não negativo. A soma de todos esses números é igual a 1. Dois jogadores escolhem faces do cubo, mas não podem escolher uma face paralela a uma já escolhida (o primeiro jogador joga duas vezes e o segundo só uma). Prove que o primeiro jogador pode fazer com que o número correspondente ao vértice comum às três faces escolhidas não seja maior que 1/6.

331Há tempos, três estudantes visitaram a biblioteca pela primeira vez. O primeiro decidiu que voltaria de dois em dois dias, o segundo de três em três e o terceiro, de quatro em quatro. O bibliotecário chamou-lhes a atenção para o facto de a biblioteca encerrar às quartas-feiras e os estudantes resolveram que se o dia das suas visitas calhasse numa quarta-feira viriam à quinta e daí recomeçariam a contagem dos dias. Sabe-se que obedeceram escrupulosamente ao

Page 54: Competições URSS

combinado e, na segunda-feira passada, encontraram-se todos na biblioteca. Em que dia da semana visitaram a biblioteca pela primeira vez ?

332

O paralelogramo ABCD não é um losango. A razão entre os comprimentos das diagonais AC e BD é k. A semi-recta AM é simétrica da semi-recta AD em relação à recta AC ; a semi-recta BM é simétrica da semi-recta BC em relação à recta BD. M é o ponto de intersecção das duas semi-rectas. Determine a razão entre os comprimentos de AM e de BM.

333Uma circunferência é dividida em 3k arcos por 3k pontos. Desses arcos, k têm comprimento 1, outros k têm comprimento 2 e os restantes k têm comprimento 3. Prove que dois daqueles pontos são extremos de um diâmetro.

334Prove que de um ponto M no interior de um tetraedro regular, pelo menos uma das arestas é vista segundo um ângulo cujo co-seno não é maior que 1/3.

335

Os números a, b e c pertencem ao intervalo 02

,

. Tem-se cos a = a ; sen(cos b) = b ;

cos(sen c) = c. Disponha esses números por ordem crescente.

336A linha poligonal fechada M tem um número ímpar de vértices A1, A2, ..., A2n+1, por esta ordem. Chamemos S(M) uma nova linha poligonal fechada com os vértices B1, B2, ..., B2n+1, pontos médios dos segmentos de M : B1 é o ponto médio do segmento A1A2 e assim sucessivamente até B2n+1, que é o ponto médio do segmento A2n+1 A1. Prove que na sucessão M1 = S(M), ..., Mk = S(Mk1) existe uma linha poligonal homotética de M.

337Um programa de computador trabalha sobre os números naturais de 1 até 1982 que foram introduzidos na sua memória, numa ordem aleatória. Compara os números aos pares : primeiro e segundo, segundo e terceiro, etc. e se o número em posição mais baixa for maior que o outro, troca-os de posição ; depois o processo repete-se, mas começando do fim para o princípio. O número que inicialmente ocupava a centésima posição permaneceu lá. Determine esse número.

A B

CD

M

Page 55: Competições URSS

338O rio Pepino atravessa a Cidade das Flores do país dos anões ; as suas margens são paralelas e estão à distância de um metro uma da outra. No meio há algumas ilhas com um perímetro total de oito metros. O senhor Sabe-Tudo afirma que é possível atravessar o rio de barco, a partir de quelquer ponto, fazendo uma travessia de comprimento não superior a três metros. Tem razão ?

339Traça-se a parábola y = x2 no plano e depois apagam-se os eixos coordenados. Será possível traçar de novo os eixos com a ajuda da régua e do compasso ?

340Um quadro n n está prrenchido com números inteiros. Se duas casas tiverem um lado comum, a diferença dos números que contêm não é superior a 1. Prove que cada número é repetido um número de vezes igual, pelo menos,a) à parte inteira de [n/2].b) a n.

341

Prove que a seguinte desigualdade é válida para valores positivos de x : 2 2 21

12

1

4

1

61x x x .

342Qual é o número mínimo de elementos que se devem eliminar do conjunto {1, 2, ..., 1982} para que nenhum dos elementos restantes seja igual ao produto de outros dois ?

343Cada quadrícula de uma folha infinita de papel quadriculado contém um número real. Prove que uma quadrícula contém um número que não é maior do que pelo menos quatro dos números contidos em quadrículas adjacentes.

344Prove que de uma sucessão finita de números reais a1, a2, ..., an é possível escolher um certo número de termos respeitando as seguintes condições :1) Nunca se escolhem três termos consecutivos ;2) De cada três termos consecutivos, pelo menos um é escolhido ;3) O valor absoluto da soma dos termos escolhidos é pelo menos igual à sexta parte do valor

absoluto da soma de todos os termos da sucessão.

345

Page 56: Competições URSS

Marcam-se n1 casas de um quadro n n. Prove que é possível passar todas as casas marcadas para o lado de baixo da diagonal, movendo linhas e colunas inteiras.

346Prove a seguinte desigualdade para quaisquer a real e n natural, sendo F(a) a distância de a

ao inteiro mais próximo : a a a nn

F an 12

. . .!

( )

347Diga se é possível encontrar três polinómios P, Q e R, nas variáveis x, y e z, que satisfaçam, para quaisquer x, y e z a condição :a) P(x y + z)3 + Q(y z 1)3 + R(z 2x + 1)3 = 1b) P(x y + z)3 + Q(y z 1)3 + R(z x + 1)3 = 1

348Os vértices do tetraedro KLMN estão situados ou no interior ou sobre as faces ou sobre as arestas do tetraedro ABCD. Prove que o perímetro de KLMN é menor que 4/3 do perímetro de ABCD.

349

Cada célula quadrada da rede representada ao lado tem 1 unidade de lado. Diga se é possível representar esta rede como a união dos conjuntos seguintes :a) Oito linhas poligonais de comprimento 5 cada uma.b) Cinco linhas poligonais de comprimento 8 cada uma.

350Escreveram-se três números no quadro. Repetiu-se depois várias vezes a operação seguinte : apaga-se um dos números e no seu lugar escreve-se a soma dos outros dois, diminuída de 1. Ficaram  no fim os números 17, 1967, 1983. É possível que, no início, os números fossema) 2, 2, 2 ?b) 3, 3, 3 ?

351

Page 57: Competições URSS

Três discos tocam-se dois a dois nos pontos X, Y e Z. Mantendo os centros, os raios dos

discos foram aumentados 2

3 vezes. Prove que os discos ampliados recobrem totalmente o

triângulo XYZ.

353

Determine todas as soluções do sistema y x x x

x y y y

2 3 2

2 3 2

3 2

3 2

354O número natural k tem n dígitos na sua notação decimal. Foi arredondado para a dezena mais próxima, depois para a centena e assim sucessivamente, n 1 vezes (exemplos de arredondamento : 191 190 200 ; 135 140 100). Prove que o número finalmente

obtido m satisfaz a desigualdade mk

18

13

355D é o ponto médio do lado AB do triângulo ABC. Os pontos E e F pertencem a AC e BC, respectivamente. Prove que a área do triângulo DEF não é maior que a soma das áreas dos triângulos ADE e BDF.

356Os termos das sucessões an e bn são os algarismos das unidades de 10 2

n n e ,

respectivamente, em que [] representa a parte inteira. Serão estas sucessões periódicas ?

357Os ângulos agudos a e b satisfazem a condição : sen2a + sen2b = sen (a + b). Prove que

a b 2

358Os pontos A1, B1, C1 e D1 e os pontos A2, B2, C2 e D2 são as projecções ortogonais do tetraedro ABCD em dois planos. Prove que é possível deslocar um dos planos de modo que sejam paralelas as rectas A1A2, B1B2, C1C2 e D1D2.

359Um estudante está a praticar a resolução de equações do segundo grau. Depois de ter resolvido uma equação, pára, se não obteve duas raizes distintas ; em caso contrário, resolve uma nova equação em que o termo independente de x é a maior das raizes, o coeficiente de x é a menor das raizes e o coeficiente de x2 é 1. Prove que o processo não pode prolongar-se indefinidamente. Qual é o número máximo de equações que terá de resolver ?

Page 58: Competições URSS

360Dos números naturais n, m e k sabe-se que mn é divisível por nm e nk por kn. Prove que mk é divisível por km.

361O alfabeto da língua da tribu Abba só tem duas letras. Nenhuma palavra desta língua é o começo de outra palavra. Pode o vocabulário dessa tribu ter 3 palavras de 4 letras, 10 palavras de 5 letras, 30 palavras de 6 letras e 5 palavras de 7 letras ?

362Será possível preencher com inteiros as quadrículas de uma folha infinita de papel quadriculadode maneira que a soma dos números contidos em qualquer rectângulo 4 x 6 sejaa) 10 ?b) 1?

363

Os pontos A1, B1 e C1 pertencem aos lados BC, CA e AB do triângulo ABC, respectivamente. Os segmentos AA1, BB1 e CC1 dividem o triângulo em quatro triângulos mais pequenos e três quadriláteros. Sabe-se que os triângulos pequenos têm todos a mesma área ; prove que os quadriláteros têm áreas iguais. Qual é área do quadrilátero se a área do triângulo pequeno for a unidade ?

364Um grupo de crianças dum jardim de infância foi disposto em pares, uns atrás dos outros. O número de rapazes é igual ao números das raparigas em cada uma das colunas ; o número de pares mistos, rapaz e rapariga, é igual ao número dos outros pares. Prove que o número total de crianças no grupo é divisível por 8.

365Um dos lados dum rectângulo mede 1 cm. Sabe-se que ele pode ser dividido por duas rectas perpendiculares em quatro rectângulos mais pequenos, cada um dos quais têm uma área de pelo menos 1 cm2 e que um deles tem uma área de pelo menos 2 cm2. Qual é o menor comprimento possível do outro lado do rectângulo grande ?

A

B

C

A1

B1

C1

Page 59: Competições URSS

366O é um ponto interior do triângulo ABC. Representando SA, SB e SC as áreas dos triângulos

BOC, COA e AOB, respectivamente, prove que S OA S OB S OCA B C

0 .

367Têm-se 2m + 1 inteiros diferentes, cada um dos quais não é superior a 2m-1, em valor absoluto. Prove que é possível escolher entre eles três números cuja soma é zero.

368Os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e CA, do triângulo ABC, respectivamente, mas não são vértices. Sejam d0, d1, d2 e d3 os comprimentos dos lados maiores dos triângulos

DEF, DEA, DBF e CEF, respectivamente. Prove que d d d d0 1 2 3

3

2 min , , . Quando é que

se verifica a igualdade ?

369O conjunto M é constituído por k segmentos disjuntos da mesma recta. Os extremos de qualquer segmento dessa recta, de comprimento inferior a 1 cm, pertencem a M. Prove que a soma dos comprimentos dos segmentos de M não é inferior a 1/k cm.

370A notação decimal infinita do número real x contém todos os algarismos. Seja vn o número de segmentos diferentes de n algarismos existentes na notação de x. Prove que, se para algum n se tiver vn n + 8, então x é um número racional.

371a) O produto de n inteiros é n e a sua soma é zero. Prove que n é divisível por 4.b) Suponhamos n divisível por 4. Prove que existem n inteiros cujo produto é n e cuja soma é

zero.

372

Prove que a inequação a b a b

a b b a

2

2 4 é satisfeita por quaisquer números positivos

a e b.

373

Page 60: Competições URSS

A1B1C1 e A2B2C2 são dois triângulos equiláteros no mesmo plano (os vértices são dados no

sentido anti-horário). Traçam-se os vectores OA OB OC

, e , com origem num ponto O

qualquer, respectivamente iguais aos vectores A A B B C C1 2 1 2 1 2

, e . Prove que o triângulo

ABC é equilátero.

374Dispomos de tintas de quatro cores e de um número suficiente de ladrilhos quadrados 1 1. Os quatro lados desses ladrilhos devem ser pintados com cores diferentes e, na montagem, os lados que se tocam devem ter a mesma côr. Descreva todos os pares (m, n) para os quais os ladrilhos podem formar um rectângulo m n tal que cada um dos seus lados tem uma só côr e os quatro têm cores diferentes.375Prove que quaisquer números positivos x e y satisfazem a inequação x y x ysen cos2 2a a , em que a é um número real arbitrário.

376Dois jogadores, cada um com a sua côr, jogam pintando as arestas de um cubo, três de cada vez. Só podem pintar as arestas ainda não pintadas, de modo que cada jogador só joga duas vezes. O primeiro ganha se conseguir pintar com a sua côr todas as arestas de uma face qualquer. Será que pode ganhar sempre ?

377Dispõem-se em círculo n números naturais (n > 3). A fracção cujo denominador é um desses números e cujo numerador é a soma dos dois números adjacentes representa sempre um inteiro. Prove que a soma dessas fracções éa) igual ou maior que 2n ;b) menor que 3n.

378No triângulo ABC está inscrito o círculo de centro O. Os pontos de tangência nos lados [BC], [CA] e [AB] são A1, B1 e C1, respectivamente. Os segmentos [AO], [BO] e [CO] intersectam a circunferência nos pontos A2, B2 e C2, respectivamente. Prove que as rectas A1A2, B1B2 e C1C2 se intersectam num ponto.

379Determine inteiros m e n tais que 5 3 2 3 5 2

m n

.

380Escrevem-se numa linha n números reais por ordem crescente. Os mesmos números escrevem-se numa segunda linha, por baixo da primeira, numa ordem desconhecida. A terceira linha contém, em cada posição, a soma dos números das duas primeiras linhas na

Page 61: Competições URSS

mesma posição. Verifica-se que os números da terceira linha estão ordenados por ordem crescente. Prove que a segunda linha coincide com a primeira.

381Por um ponto P, traçam-se as rectas PA, PB e PC, passando pelos vértices do triângulo ABC. Essas rectas intersectam a circunferência circunscrita nos pontos A1, B1 e C1, respectivamente. Verifica-se que o triângulo A1B1C1 é igual ao triângulo ABC. Prove que o número de tais pontos P no plano não é superior a oito.

382Os números positivos (a, b, c) satisfazem o sistema em (x, y, z) :

x xyy

yz

z zx x

22

22

2 2

325

39

16

Determine o valor da expressão (ab + 2bc + 3ca).

383O professor escreveu no quadro o polinómio x2 + 10x + 20. Então cada um dos alunos da aula foi ao quadro e aumentou ou diminui de uma unidade o coeficiente independente de x ou o coeficiente de x, mas não ambos. Finalmente, obteve-se o polinómio x2 + 20x + 10. Será verdade que, durante o processo, se obteve em algum momento um polinómio com raizes inteiras ?

384O centro de uma moeda de raio r desloca-se ao longo de um polígono de perímetro P, no qual está inscrito um círculo de raio R (R > r), voltando ao ponto de partida. Determine a área varrida pela moeda.

385Dispomos de uma balança de pratos iguais e de n+1 pesos com a massa total de 2n, sendo a massa de cada peso um número inteiro. Pomos os pesos na balança um a um, no prato mais leve, começando pelo peso maior ; em caso de equilíbrio, põe-se o peso no prato esquerdo. Prove que, depois de ter colocado todos os pesos, a balança está em equilíbrio.

386Chamemos «primo absoluto» um número primo tal que qualquer número obtido por permutação dos seus algarismos também é primo. Prove que um tal número não pode ter mais de três algarismos diferentes.

387

Page 62: Competições URSS

Os algarismos x e y satisfazem a condição : para qualquer n 1 o número xx x yy y. . . . . .n n vezes vezes

6 4

é um quadrado perfeito. Determine todos os possíveis x e y.

388Os pontos A, B, C e D pertencem, por esta ordem, à mesma recta. Prove que qualquer ponto E não pertencente à recta satisfaz |AE| + |ED| + ||AB| |CD|| > |BE| + |CE|.

389

Considere a sucessão xn tal que x1 = x2 = 1 e x xx

n nn

2 12

2. Prove que a sucessão tem limite

e determine-o.

390As casas brancas de um tabuleiro de xadrez 1983 1984 são preenchidas com os números +1 ou 1. O produto dos números que rodeiam cada casa preta é +1. Prove que todos os números são +1.

391As casas brancas de um tabuleiro de xadrez 3 3 são preenchidas com os números +1 ou 1. Calculamos para cada casa o produto dos números que a rodeiam ; depois, substituimos cada número pelo produto obtido. Prove que se obtêm só números +1, depois de repetir a operação um número finito de vezes.

392

Qual é maior 2

201 ou ln

101

100 ?

393

Os três círculos c1, c2 e c3, de raios r1, r2 e r3, respectivamente, não se intersectam. As tangentes exteriores comuns a c1 e c2 intersectam-se no ponto A, exterior a c3 ; as tangentes exteriores comuns a c1 e a c3 intersectam-se no ponto B, exterior a c2. Por A tira-se um par de

r1 r2

r3

c1

c2

c3

A

B

Page 63: Competições URSS

tangentes a c3 e, por B, um par de tangentes a c2. Prove que o quadrilátero que estas tangentes delimitam se pode circunscrever a um círculo e determine o seu raio.

394Prove que a área de qualquer secção do cubo que passe pelo centro não é inferior à área de uma face.

395Pelos pontos médios dos lados de um triângulo acutângulo tiram-se perpendiculares aos outros lados. As seis perpendiculares delimitam um hexágono. Prove que a área desse hexágono é metade da área do triângulo.

396Haverá algum número natural n tal que a soma dos seus algarismos em notação decimal seja 1000 e a soma dos quadrados dos valores dos seus algarismos seja 1000000 ?

397Num tabuleiro do jogo das damas 8 8, qual é o número máximo de damas que se podem colocar, de modo que cada dama seja ameaçada pelo menos por outra dama ?

398Devem pintar-se todos os lados e todas as diagonais de um polígono regular de n lados e qualquer par de segmentos que tenha um ponto comum deverá ter cores diferentes. Quantas cores serão necessárias ?

399Dada uma recta r e um ponto O exterior a ela, prove que é possível deslocar qualquer ponto A do mesmo plano até coincidir com O, apenas através de rotações com centro em O e simetrias em relação a r.

400O coeficiente a do termo de segundo grau no polinómio P(x) = ax2 + bx +c é maior que 100. Qual é o número máximo de valores inteiros de x tais que |P(x)| < 50 ?

k

ih

gfe

dcba

Page 64: Competições URSS

401No diagrama representado ao lado, colocam-se os números naturais diferentes a, b, ..., k. Um número para o qual apontam flechas é igual à soma dos números na origem dessas flechas. Qual é o menor valor possível para d ?

402A sucessão de números positivos a1, a2, ..., an é ilimitada e estritamente crescente. Prove que : a) Existe um número k0 tal que qualquer que seja k > k0 é válida a seguinte desigualdade :

a

a

a

a

a

akk

k

1

2

2

3 1

1

...

b) Na desigualdade anterior pode substituir o segundo membro por k 1985.

403Determine todos os pares (x, y) tais que |sen x - sen y| + sen x sen y 0.

404Os pontos A, B, C, D e E eram os vértices de um pentágono regular que entretanto foi apagado ; Têm-se agora os pontos A1, B1, C1, D1 e E1 e sabe-se que :

B1 era simétrico de B em relação a C ; A1 era simétrico de A em relação a B ; C1 era simétrico de C em relação a D ; D1 era simétrico de D em relação a E ; E1 era simétrico de E em relação a A ;

Como é que é possível redesenhar o pentágono inicial, apenas com régua e compasso, conhecendo os pontos A1, B1, C1, D1 e E1 ?

405A sucessão a1, a2, ..., ak, ... é construída segundo as regras : a2n = an ; a4n+1 = 1 ; a4n+3 = 0. Prove que se trata de uma sucessão não periódica.

406O plano está dividido em várias regiões por n linhas. Algumas dessas regiões estão pintadas, mas nenhum par de regiões pintadas tem uma fronteira comum de comprimento não nulo.

Prove que o número de regiões pintadas não é superior a n n2

3

.

407Um cubo e uma caixa, com tampa, em que ele se ajusta perfeitamente vão ser pintados, utilizando seis cores. Um homem pinta cada uma das faces do cubo com uma côr diferente ; um segundo homem faz o mesmo às faces interiores da caixa. Prove que um terceiro homem pode colocar o cubo na caixa de modo que nenhuma das faces do cubo toque numa face da caixa com a mesma côr.

Page 65: Competições URSS

408Uma circunferência de centro O é dividida em duas semi-circunferências pelo diâmetro A0A5. Uma delas é dividida em cinco arcos iguais pelos pontos A1, A2, A3 e A4. A recta A1A4

intersecta as rectas OA2 e OA3 nos pontos M e N, respectivamente. Prove que |A2A3| + |MN| é igual ao raio da circunferência.

409Carregando num certo botão, os números a, b, c e d ,contidos em quatro registos de uma calculadora, convertem-se em ab, bc, cd e da, respectivamente. Prove que, se os números iniciais não forem todos iguais, depois de um certo número de operações obtém-se pelo menos um número maior que 1985.

410Os números 1, 2, 3, ..., 2n repartem-se em dois grupos com o mesmo número de elementos. Seja a1, a2, ..., an o primeiro grupo de números, por ordem crescente e b1, b2, ..., bn o segundo grupo, este por ordem decrescente. Prove que |a1 b1| + |a2 b2| + ... + |an bn| = n2.

411Juntaram-se um certo número de cubos iguais para formar um paralelipípedo e pintaram-se três das suas faces com um vértice comum. Exactamente metade dos cubos que formam o paralelipípedo ficaram com pelo menos uma face pintada. Qual era o número total de cubos ?

412

Uma de duas circunferências de raio r passa pelos vértices A e B do paralelogramo ABCD. A outra passa por B e D. Seja M o outro ponto de intersecção das circunferências Prove que o círculo circunscrito ao triângulo AMD tem também raio r.

MB

D C

A

A0

A1

A2 A3

A4

A5O

M N

Page 66: Competições URSS

413

Traçam-se num hexágono regular rectas paralelas aos lados passando por todos os vértices e pelos pontos médios de todos os lados. Os lados do hexágono e a partes dessas rectas no interior do hexágono definem 24 triângulos e 19 nós. Escrevem-se 19 números diferentes nesses nós. Prove que pelo menos 7 dos 24 triângulos têm nos seus vértices números que crescem do menor ao maior no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.

414

Resolva a equação

xx

xx

x

22

21 1

1

(O algarismo 2 aparece 1985 vezes).415Determine área da figura que resta de um pentágono regular com 1 cm de lado, quando se lhe retiram todos os pontos que estão a menos de 1 cm de todos os vértices.

416De uma folha de papel quadriculado suficientemente grande, com o lado da quadrícula igual à unidade, podemos recortar figuras apenas ao longo das linhas. Prove que, para qualquer m > 12, podemos recortar um rectângulo de área superior a m, do qual é impossível recortar um rectângulo de área m.

417As arestas do cubo ABCDA1B1C1D1 têm comprimento igual à unidade. Determine a distância entre duas circunferências, sendo uma a inscrita na face ABCD e a outra a que passa pelos pontos A, C e B1.

418O polinómio quadrático x2 + ax + b + 1 tem raizes naturais. Prove que a2 + b2 é um número composto.

419Dois quadrados iguais, um com lados vermelhos e o outro com os lados azuis, sobrepõem-se, dando a sua intersecção um octógono. Prove que a soma dos comprimentos dos lados vermelhos do octógono é igual à soma dos comprimentos dos lados azuis.

Page 67: Competições URSS

420O ponto M pertence ao lado [AC] do triângulo acutângulo ABC. Dois círculos estão circunscritos aos triângulos ABM e BCM. Para que posição de M é mínima a área da intersecção desses círculos ?

421Um certo rei pretende construir no seu reino n cidades ligadas por n1 estradas ; estas não devem instersectar-se, cada uma liga duas cidades sem passar por outra cidade e, no seu conjunto, permitem ir de qualquer cidade a qualquer outra. O rei quer também que as

distâncias mais curtas, por estrada, entre as cidades, sejam 1, 2, 3, ..., n n 1

2 Km. Será isso

possível paraa) n = 6 ?b) n = 1986 ?

422Prove que, no plano cartesiano, é impossível desenhar um quadrilátero convexo, cujas diagonais façam entre si um ângulo de 45 graus e o comprimento duma seja o dobro do comprimento da outra, e tal que todos os seus vértices tenham coordenadas inteiras.

423Prove que as casas de um quadro rectangular m n podem ser preenchidas com quadrados perfeitos de modo que as somas de cada linha e de cada coluna sejam também quadrados perfeitos.

424

Duas circunferências, cujos centros estão à distância d, intersectam-se nos pontos P e Q. Por um ponto A, sobre a primeira circunferência (P A Q), tiram-se as rectas AP e AQ que intersectam a segunda circunferência nos pontos B e C.a) Prove que o raio do círculo circunscrito ao triângulo ABC é igual a d.b) Descreva o conjunto de pontos ocupados pelo centro do círculo circunscrito ao triângulo

ABC quando A se move sobre a primeira circunferência.

d

P

Q

A

B

C

Page 68: Competições URSS

425Dividiu-se cada um dos lados de um hexágono regular em 1000 segmentos iguais. Uniram-se depois todos os pontos da divisão por segmentos paralelos aos lados do hexágono. Pintaram-se, ao acaso, os nós da rede obtida, três a três, só com a condição de que fossem vértices de um triângulo equilátero, qualquer que fosse o seu tamanho ou orientação. Suponha que se conseguiu assim pintar todos os nós, excepto um. Prove que o nó não pintado não é um vértice do hexágono.

426Determine todos os números naturais iguais ao quadrado do número dos seus divisores.

427

Prove que a desigualdade 1 2

41 1

1 1 2 1 1a a a

n

a a a an n

...

... ... é válida para todos ai

positivos.

428Pelo vértice A do triângulo ABC, em que |AB| |AC| faz-se passar uma recta. Prove que essa recta não pode ter mais de um ponto M, que não seja um vértice do triângulo, tal que os triângulos ABM e ACM sejam iguais. Quais são as rectas que passam por A e não contêm um tal ponto M ?

429Um cubo com aresta de comprimento n (n 3) é composto de n3 cubos com aresta de comprimento 1. Prove que é possível colocar nesses cubos n3 inteiros diferentes de modo que seja nula a soma dos números de qualquer fila paralela a uma aresta do cubo maior.

430Três números naturais, a, b e c, têm, em notação decimal, os algarismos todos iguais : a escreve-se com n algarismos x , b com n algarismos y e c com 2n algarismos z. Para todo n > 1, determine todos os ternos de algarismos (x, y, z) tais que a2 + b = c.

431Dois pontos no interior de um dodecágono convexo estão à distância de 10 cm um do outro. Prove que a diferença entre as somas das distâncias de cada um dos pontos a todos os vértices é inferior a 1 metro.

432

Page 69: Competições URSS

Um anão tem à sua frente 30 xávenas iguais com leite e tenta deixar em cada uma uma quantidade igual. Para isso, toma as xávenas duas a duas e passa leite de uma para a outra até obter o mesmo nível nas duas. Haverá uma distribuição inicial do leite nas xávenas tal que o anão seja incapaz de atingir o seu objectivo num número finito de operações ?

433Determine a relação entre os comprimentos da parte preta e da parte branca da diagonal principal de um tabuleiro de xadreza) com 100 99 casas ;b) com 101 99 casas.

434Dado um polígono regular de n lados A1A2...An, prove que :a) Se n for um número par, então, para um ponto M qualquer do plano, é possível escolher os

sinais na expressão

MA MA MA n1 2 ... de modo que o seu valor seja igual ao vector

nulo.b) Se n for um número ímpar, então a mesma expressão só poderá ter um valor igual ao

vector nulo para um conjunto finito de pontos M.

435Todas as casas de um quadro n n (n > 2) são preenchidas com os números +1 ou 1 de acordo com as regras : em todas as casas periféricas põe-se o número 1 ; as outras casas são preenchidas por ordem aleatória e põe-se em cada uma o produto dos números das casas já preenchidas mais próximas, da cada um dos lados, ou na mesma linha, ou na mesma coluna. Do número de casas que contêm o número +1 no quadro finalmente obtido, a) Qual é o mínimo possível ?b) Qual é o máximo possível ?

436

Prove que a desigualdade |sen 1| + |sen 2| + ... + |sen (3n 1)| + |sen 3n| > 8

5

né válida para

qualquer natural n.

437

Prove que a soma de todos os números que se podem representar sob a forma 1

mn, em que

m e n são números naturais tais que 1 m < n 1986, não é um inteiro.

438

Page 70: Competições URSS

Um triângulo e um quadrado são circunscritos a um círculo unitário. Prove que a área de intersecção dos dois é maior que 3,4. Poderá dizer-se que é maior que 3,5 ?

439Chamemos «admissível» a um polinómio se todos os seus coeficientes forem 0, 1, 2 ou 3. Para um dado n, determine o número total de polinómios «admissíveis» P tais que P(2) = n.

440Considere todos os tetraedros AXBY circunscritos a uma esfera. Sejam A e B pontos fixos. Prove que a soma dos ângulos do quadrilátero não plano AXBY não depende dos pontos X e Y.

441Dez desportistas participaram num campeonato de ping-pong ; cada par jogou uma partida e não houve empates. Seja xi o números de vitórias do jogador i e yi o número de derrotas. Prove que x x y y1

2102

12

102 ... ... .

442Sabe-se que, com 6 pesos, é possível pesar, numa balança de pratos iguais, cargas cujos valores sejam números naturais desde 1 até 63. Determine todos os conjuntos de tais pesos.443Prove que, num heptágono regular A1...A7, se tem

.

444a) No jogo da «batalha naval» está a tentar localizar o «navio» de 4 casas, um rectângulo 1

4, situado no quadro de jogo 7 7. Permitem-lhe perguntar se uma determinada casa está ou não ocupada pelo «navio». Quantas perguntas é necessário fazer para ter a certeza de o localizar ?

b) A mesma pergunta, mas agora o «navio» é um conjunto conexo (casas com lados comuns) de 4 casas.

445Prove que 11987 + 21987 + ... + n1987 é divisível por n+2.

446

a) Quantas figuras como esta pode colocar num quadro 8 8 sem intersecções ?

Page 71: Competições URSS

b) Uma casa qualquer é retirada do quadro 1987 1987. Prove que a parte restante pode ser pavimentada com tais figuras.

447

Traça-se uma recta paralela a cada um dos lados de um triângulo, do lado oposto ao vértice que lhe não pertence e a uma distância do lado igual ao seu comprimento.

Prove que os seis pontos de intersecção destas três rectas com as três rectas que contêm os lados do triângulo estão sobre a mesma circunferência.

448Duas linhas poligonais fechadas no mesmo plano têm ambas um número ímpar de segmentos. As rectas que contêm estes segmentos são todas diferentes e nunca três delas se intersectam num ponto. Prove que é possível escolher um segmento em cada uma das linhas poligonais, de modo que os dois possam ser os lados opostos de um quadrilátero convexo.

449Obtenha um conjunto de cinco números naturais diferentes e primos entre si, tal que a soma dos números de qualquer um dos seus subconjuntos seja um número composto.

450Num pentágono convexo, os ângulos ABC e ADE são iguais, assim como os ângulos AEC e ADB. Prove que os ângulos BAC e DAE também são iguais.

451Prove que existe um número a tal que todos os números cos a, cos 2a, cos 4a, ..., cos 2na são negativos.

452Os números positivos a, b, c, A, B e C satisfazem a condição a + A = b + B = c + C = k. Prove que aB + bC + cA k2.

453Cada casa de um quadro 1987 1987 contém um número cujo valor absoluto não é maior que 1. A soma dos números em qualquer quadrado 2 2 é nula. Prove que a soma de todos os números não é maior que 1987.

Page 72: Competições URSS

454

O vértice B do ângulo ABC está no exterior dum círculo que os lados BA e BC intersectam. O ponto K é um dos pontos da intersecção do lado BA do ângulo com a circunferência. A corda KP é perpendicular à bissectriz do ângulo ABC. A recta KP intersecta o lado BC no ponto M. Prove que o comprimento do segmento [PM] é duas vezes maior que a distância do centro do círculo à bissectriz do ângulo ABC.

455Dois jogadores escrevem, à vez, números naturais não superiores a p. As regras prooibem escrever números que sejam divisores de outros já escritos. Aquele que não puder jogar, perde.a) Quem ganha e de que modo, se p = 10 ?b) Quem ganha se p = 1000 ?

456Cada noite o Tio Chernomor (personagem dos contos de Pushkin) escala para a ronda nocturna 9 ou 10 dos seus 33 cavaleiros. Quando é que pode acontecer pela primeira vez que todos os cavaleiros tenham estado de serviço o mesmo número de vezes ?

457Marcaram-se pontos de coordenadas inteiras no plano cartesiano. Dado um conjunto de vectores não nulos, sabe-se que se se aplicarem todos num ponto qualquer marcado, então entre os seus extremos são mais os que coincidem com pontos marcados do que os que coincidem com pontos não marcados. Prove que há um número infinito de pontos marcados.

458Um polígono convexo de n lados (n 5) é recortado ao longo de todas as suas diagonais. Prove que pelo menos duas das partes obtidas têm áreas diferentes.

459O conjunto T0 é constituído por todos os números que se podem representar na forma 2k! (k = 0, 1, 2, ..., n, ...). O conjunto Tm é obtido a partir de Tm1 juntando-lhe todas as somas finitas de números diferentes que pertencem a T m1. Prove que existe um número natural que não pertence a T 1987.

460

AB

C

P1

M1

K2

P2

M2

K1

Page 73: Competições URSS

O gráfico da função y = f(x) não muda se for rodado de um ângulo recto em torno da origem dos eixos (0, 0).a) Prove que a equação f(x) = x tem uma única solução.b) Dê um exemplo de tal função.

461Todas as faces de um poliedro convexo são triângulos. Prove que é possível pintar todas as suas arestas de vermelho e de azul de tal modo que seja possível ir de um vértice a qualquer outro passando só por arestas vermelhas ou só por arestas azuis.

462Prove que é válida para qualquer natural n a desigualdade (2n + 1)n (2n) n + (2n 1) n.

Page 74: Competições URSS

Nota final

Estes problemas foram apresentados em competições matemáticas na URSS. Foram publicados, em russo, em VASILIEV, N. B; EGOROV, A. A. – The problems of the All-Soviet-Union mathematical competitions. Moscow, Nauka, 1988 (ISBN 5-02-013730-8).

As competições eram dirigidas separadamente às classes 8, 9 e 10 e duravam 4 horas. Os problemas não envolviam noções avançadas e não podiam exigir conhecimentos fora dos programas oficiais, de modo a poderem ser resolvidos por estudantes do ensino secundário. Os estudantes russos começam a escolaridade por volta dos 6 ou 7 anos; assim, os alunos da classe 8 têm cerca de 14.

As competições desenrolavam-se em três ou quatro fases:1a fase : na própria escola, se havia muitos candidatos;2a fase : a nível sub-regional, no caso de regiões suficientement grandes;3a fase : a nível regional; em algumas regiões, como as de Moscovo, Leningrado,

Sverdlovsk ou Novosibirsk as competições são mesmo mais difíceis e interessantes;

4a fase : competição final, donde são retirados os problemas precedentes.

Os vencedores (de 2 a 5) davam geralmente a solução de todos os problemas, embora com algumas imprecisões. A minha experiência pessoal é do tempo em que a competição final se desenrolava em dois dias. Em média, os vencedores resolviam nos dois dias todos os problemas, menos um.

É difícil falar do nível médio, variável de região para região, mas a maior parte dos participantes desse tempo resolvia pelo menos um problema. À dificuldade dos problemas juntava-se o pouco tempo concedido para os resolver. Os participantes resolviam todos os problemas antes da apresentação oficial da solução, dois dias mais tarde.

Na sua maior parte os problemas são originais; o livro dá todas as referências necessárias, assim como as soluções.

Outros livros interessantes sobre o mesmo tema, não traduzidos, são, por exemplo:

GALPERIN, G. A.; TOLPYGO, A.K. (compil.) – Problems of the Moscow mathematical competitions. Moscow, Prosveshchenie, 1986.

LEMAN, A. A. – Collection of Moscow mathematical competitions problems. Moscow, Prosveshchenie, 1965.

Page 75: Competições URSS

Competições e problemas

1a Competição – Moscovo, 1961Classe Problemas

8 001 002 003 004 005a9 006a 007 008 009 01010 011 012 007 006b 005b

2a Competição – Moscovo, 1962Classe Problemas

8 013 014 015 016 0179 018 019 020 021 01710 022 023 024 025 026

3a Competição – Moscovo, 1963Classe Problemas

8 027 028 029a 030 031a9 032 033 034 031b 02810 035 036 037 029b 02811 038 028 039 040 029b

4a Competição – Moscovo, 1964

Classe Problemas8 041 042 043 044 045a9 041 046 047 048 04910 050 051 045ab 052 05311 054 055 052 053 054

5a Competição – Moscovo, 1965

Classe Problemas8 056a 057 058 059 0609 061 062 063 064 06510 056b 066 067a 068a 06911 063 067b 070 068b 071

6a Competição – Voronezh, 1965Classe Problemas

8 072 073a 074 075a 0769 077 073b 075b 078 079

10 e 11 075b 080 081 082 083

O nome da competição foi mudado e a numeração recomeçou:

Page 76: Competições URSS

1a Competição – Tbilisi, 1967Classe Problemas

8 084a 085a 086a 087 0889 087b 086a 085b 084b 08810 090 086b 091 092 093

2a Competição – Leningrad, 1968Classe Problemas – 1° dia Problemas – 2° dia

8 094 095 096 097 098 105a 106 107 108 1099 099 100 101 097 102 110 111 105a 108 10910 103 095 104 097 096 105b 112 113 114 109

3a Competição – Kiev, 1969Classe Problemas – 1° dia Problemas – 2° dia

8 115 116 117 122 123 124a9 118 119 115 124 125 12610 119 120 121 125 126 128

4a Competição – Simferopol, 1970Classe Problemas – 1° dia Problemas – 2° dia

8 129 130 131 132 133a — — —9 134 135 133b 136 137 — — —10 138 139 133b 136 140 141 142 143

5a Competição – Riga, 1971Classe Problemas – 1° dia Problemas – 2° dia

8 144 145a 146a 147 — 152ab 153 1549 144 145a 148 147 146b 156abc 152c 15510 149 145b 150 147 151b 156 157 158

Observação relativa aos problemas 156, 157, 158:A tarefa proposta para a classe 10 foi a seguinte: « São-lhe apresentados três problemas sérios; tente investigar pelo menos um, de modo a obter o máximo de resultados que puder. No fim do trabalho, faça uma espécie de resumo mostrando os principais factos demonstrados, exemplos e as hipóteses que lhe parecerem verdadeiras...»Este tipo de questões não voltou a ser usado: tinha exigido demasiado esforço daqueles que corrigiram as provas.

6a Competição – Chelyabinsk, 1972Classe Problemas – 1° dia Problemas – 2° dia

Page 77: Competições URSS

8 159 160 161 — 166 167 1689 162a 163 161 164 169 170 17110 162b 163 165 164 166 172 173

Nota relativa ao problema 172 :As derivadas não faziam ainda parte do programa escolar. A solução devia utilizar outro método.

7a Competição – Kishenew, 1973Classe Problemas – 1° dia Problemas – 2° dia

8 174a 175 176 182 183 184ab —9 174b 177 178 179 185 186 184c10 180 177 181 187 188 184c —

8a Competição – Erevan, 1974Classe Problemas – 1° dia Problemas – 2° dia

8 189abc 190 191 — 197 198 199 200a9 190 192 189d 193 201 202 200b —10 194 195 196 193 203 204 200b —

9a Competição – Saratov, 1975Classe Problemas – 1° dia Problemas – 2° dia

8 205a 206 207 208a 213 214 2159 209 206 210 208b 216 215 21710 211 212 205b 208 214 218 219

Problema 218:Dúvidas sobre a compreensão do enunciado. Versão inglesa, traduzida do russo: The world and the european champion are determined in the same tournament carried in one round. There are 20 teams and k of them are european. The european champion is determined according to the results of the games only between those k teams. What is the greatest k such that the situation, when the single european champion is the single world outsider, is possible if:a) it is hockey (draws allowed)?b) it is volleyball (no draws)?

Page 78: Competições URSS

10a Competição – Dushanbe, 1976Classe Problemas – 1° dia Problemas – 2° dia

8 220 221 222ab 223 — 229 230 2319 222b 224 223 225 — 230 232 23110 223 226 227 228 225 233 234 231

11a Competição – Tallinn, 1977Classe Problemas – 1° dia Problemas – 2° dia

8 235 236 237b 238 — 243 244ab 245 2469 237a 239 235 240 — 247 248 249 25010 237a 239 241 242 235 251 244 246 —

Nota ao problema 240, de Vladimir A. Pertsel:O facto parece evidente mas a prova não é fácil.

12a Competição – Tashkent, 1978Classe Problemas – 1° dia Problemas – 2° dia

8 252 253 254 255ab 260 261 262 2639 252 253 256 257 260 261 264 26510 258 259 255cde 257 260 266 267 268

13a Competição – Tbilisi, 1979Classe Problemas – 1° dia Problemas – 2° dia

8 269 270 271 274 275 276 2779 269 272 271 278 279 280 28110 273 272 271 276 275 282 283

14a Competição – Saratov, 1980Classe Problemas – 1° dia Problemas – 2° dia

8 284 285 286 287 293 294 295 2969 288 289 286 290 295 297 298 29910 291 289 292 290 300 301 302 303

Nota sobre o problema 289 : Versão inglesa, traduzida do russo: Given a point E on the diameter AC of the certain circle. Draw a chord BD to maximise the area of the quadrangle ABCD. Tal como está redigido, o ponto E não intervém no problema !

Page 79: Competições URSS

15a Competição – Alma-Ata, 1981Classe Problemas – 1° dia Problemas – 2° dia

8 304 305 306 307 315 316 317 3189 308 309 310 311 319 320 321 32210 311 312 312 314 323 324 325 326

Nota sobre o problema 308 :Como as derivadas não fazem parte do programa da classe 9, os participantes tinham que usar as propriedades da parábola.

Problema 315 : Parece haver um problema com o enunciado : The quadrangles AMBE, AHBT, BKXM, and CKXP are parallelograms. Prove that the quadrangle ABTE is also parallelogram. (the vertices are mentioned counterclockwise)

Nota relativa ao problema 325 :Não é permitido o uso de derivadas, que não constam do programa escolar.

16a Competição – Odessa, 1982Classe Problemas – 1° dia Problemas – 2° dia

8 327 328 329a 330 337 338 339 3409 331 332 333 334 341 342 343 34410 335 332 329b 336 345 346 347 348

17a Competição – Kishenew, 1983Classe Problemas – 1° dia Problemas – 2° dia

8 349 350 351 352 360 361 362 3639 353 354 355 356 364 365 366 36710 357 354 358 359 360 368 369 370

18a Competição – Ashkhabad, 1984Classe Problemas – 1° dia Problemas – 2° dia

8 371 372 373 374 383 384 385 3869 375 376 377 378 387 388 389 39010 379 380 381 382 391 392 393 394

19a Competição – Mogilev, 1985Classe Problemas – 1° dia Problemas – 2° dia

8 395 396 397 398 407 408 409 4109 399 400 401 402 411 410 412 41310 403 404 405 406 414 415 416 417

20a Competição – Ulyanovsk, 1986

Page 80: Competições URSS

Classe Problemas – 1° dia Problemas – 2° dia8 418 419 420 421 430 431 432 4339 422 423 424 425 434 433b 435 43610 426 427 428 429 437 438 439 440

Problema 436 Na versão inglesa, traduzida do russo, há seguramente um problema: Prove that for every natural n the following inequality is valid: |sin 1| + |sin 2| + |sin(3n-1)| + |sin(3n)| > 8n/5.

21a Competição – Frunze, 1987Classe Problemas – 1° dia Problemas – 2° dia

8 441 442 443 444 452 453 454 4559 445 446a 447 448 456 457 458 45910 449 450 451 446b 455 460 461 462

Problema 451A tradução aqui também não é fácil : Prove such a, that all the numbers cos a, cos 2a, cos 4a, ... , cos((2^n)a) are negative.