Complemento de Matemática Básica Financeira

8/14/2019 Complemento de Matemática Básica Financeira

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Professor: André Gustavo

Matemática Básica



Matemática Básica

Olá, graduandos:O Complemento de Matemática Básica tem o objetivo de oferecer, além

de uma revisão dos conteúdos principais que servem de suporte para a disciplina, uma breve apresentação das fórmulas mais importantes para esse primeiro momento.

É objetivo também desse compêndio levar a você, estudante, uma quantidade razoável de exercícios resolvidos, para que, assim, possa acompanhar passo a passo a resolução de cada um deles, tendo-os como referência para solução de problemas.

Nesse complemento, você também vai encontrar algumas dicas para o enfrentamento dos problemas e um pouco de teoria para facilitar a compreen- são de cada um deles.

Para um melhor acompanhamento dos exercícios resolvidos, tenha uma calculadora científica à mão. Saiba que a maioria das questões necessita de

conceitos básicos de matemática, portanto, é natural sentir dificuldades em um ou outro problema. A ideia é que, sempre que ocorrer tal dificuldade, você recorra aos fundamentos da matemática elementar ou aos conceitos que sus- tentam determinado assunto, ou, se preferir, entre em contato com os tutores virtuais.

Antes de acompanhar os exercícios resolvidos, tente realizar a revisão sugerida, pois a maioria dos exercícios tem como base o conteúdo dessa re- visão; caso não encontre aqui, recorra a outras fontes de pesquisa. Cuidado,este material não substitui o livro, portanto, o estudo programado nos encon- tros terá como principal referência o livro da disciplina.

Não deixe para organizar o material estudado na última hora, pois isso pode levar mais tempo do que você prevê, e esse tempo terá de ser subtraído das preciosas horas destinadas ao estudo. Separar com ante- cedência todo o material necessário, dirigir-se a bibliotecas, consultar co- legas, ler revistas e jornais, tirar dúvidas com os tutores virtuais e colher o máximo de material são as formas corretas de se preparar com antece- dência e de utilizar todo o tempo previsto somente para o estudo. Não en- gane a si mesmo, dizendo-se pouco inteligente ou que a matéria é difícil,isto é um truque da mente para se livrar da responsabilidade de estudar.

Enfrente as dificuldades e faça o que puder... Boa sorte e força, sempre.



4

Conjunto dos números naturaisChama-se conjunto dos números naturais – símbolo N – o seguinte conjunto:

N = {0, 1, 2, 3,...}

Conjunto dos números inteirosChama-se conjunto dos números inteiros – símbolo Z – o seguinte conjunto:

Z = {...,–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}

operações Com números inteiros

1) Adição de inteiros

A soma de dois ou mais números inteiros de mesmo sinal é obtida adicionando-se seus valores absolutos 1 e conservando-se o sinal comum.

A soma de dois ou mais números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se os seus valores absolutos e repetindo-se o sinal de maior valor absoluto.

Exemplos:

(+3) + (+6) = +9 a)

(–1) + (–4) = –5 b)

(+2) + (–7) = –5 c)(+4) + (–4) = 0 d)

2) Números inteiros opostos ou simétricos

Números com o mesmo valor absoluto e sinais contrários são opostos ou simétricos .Exemplos:

O valor absoluto de –1 é igual a 1, e o valor absoluto de +1 é igual a 1; logo, o oposto de –1 é +1.a)

O valor absoluto de +3 é igual a 3, e o valor absoluto de –3 é igual a 3; logo, o oposto de +3 é –3.b)

3) Subtração de números inteiros

Vejamos agora como efetuar uma subtração de dois números inteiros. Para isso, vamos considerar a subtração (+3) – (–2).

Note que – (–2) é o oposto de –2 e vale +2. Então, podemos perceber que (+3) – (–2) é o mesmo que (+3) + 2. Assim, podemos efetuar essa subtração da seguinte forma:

1 O valor absoluto (ou módulo) de um número pode ser entendido como a distância de um ponto de uma reta r à origem. Por exemplo: em uma reta cujo ponto O é a origem e o ponto B é igual a – 4, temos que a distância do ponto O ao ponto B é de 4 unidades. Portanto, o valor absoluto de –4 é igual a 4 (distância do ponto B à

origem O ).

(+3) – (–2) = +3 + 2 = +5



5

Matemática Básica

Observe que o que fizemos foi somar o primeiro número ao oposto do segundo.Exemplos:

(+5) – (–4) = (+5) + (+4) = + 9 = 9 a)

(–48) – (+50) = (–48) + (–50) = –98 b)

Assim, a subtração de dois números é calculada somando-se o primeiro número ao oposto do segundo.

4) Multiplicação de números inteiros

Lembre-se de que a multiplicação pode ser vista como uma adição de parcelas iguais.Exemplo:5 . 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 Agora, observe as seguintes multiplicações:

(+2) . (+4) = 2 . (+4) = (+4) + (+4) = +8 = 8 a)

Portanto, (+2) . (+4) = 8.Multiplicamos dois números positivos, e o resultado foi um número positivo.

(+2) . (–4) = 2 . (–4) = (–4) + (–4) = –8 b)

Portanto, (+2) . (–4) = –8.Multiplicamos um número positivo por um número negativo, e o resultado foi um número negativo.

O produto (–2) . (+4) pode ser representado por – (+2) . (+4)c)

Como (+2) . (+4) = 8, temos – [(+2) . (+4)] = –8 Portanto, (–2) . (+4) = –8.Multiplicamos um número negativo por um número positivo e o resultado foi um número negativo.

O produto (–2) . (–4) pode ser representado por – (+2) . (–4).d)

Como (+2) . (–4) = –8, temos – [(+2) . (–4)] = – (–8) = +8 = 8.Portanto, (–2) . (–4) = 8.Multiplicamos dois números negativos, e o resultado foi um número positivo.

Em qualquer multiplicação de números inteiros, temos que:

o produto de dois números de mesmo sinal é um número positivo ;o produto de dois números de sinais diferentes é um número negativo .

Em síntese, temos:(+) . (+) = +

(+) . (–) = –

(–) . (+) = –

(–) . (–) = +

5. Divisão de números inteiros

Lembre-se de que a divisão é a operação inversa da multiplicação.Assim, 18 : 3 = 6, porque 6 . 3 = 18.Exemplos:

(+60) : (–15) = –4, porque (–4) . (–15) = +60.a)

(–30) : (+10) = –3, porque (–3) . (+10) = –30.b)



6

(–65) : (–13) = +5, porque (+3) . (–13) = –65.c)

Em uma divisão entre dois números inteiros, com o divisor diferente de zero, temos:Quociente

2 positivo quando dividendo e divisor são números de mesmo sinal.1

Quociente negativo quando dividendo e divisor são números de sinais diferentes .

expressões numériCasVamos resolver inicialmente a expressão:

2 O quociente é o resultado da divisão entre o dividendo e o divisor.

Atenção: Observe que a expressão contém potenciação, radiciação, multiplicação, divisão, adição e subtração, além de chaves, colchetes e parênteses.

Para resolver uma expressão desse tipo, você deve recorrer às prioridades . Procure não se esquecer

das prioridades, pois falhar em uma delas significa errar o resultado final. Então, vamos a elas:

Prioridades nas operações

Potenciação ou radiciação. 1)

Multiplicação ou divisão.2)

Adição ou subtração.3)

(Na ordem em que aparecerem.)

Ordem dos sinais de associação:Parênteses ( ). 1)

Colchetes [ ].2)Chaves { }.3)

Vamos resolver a seguinte expressão:

Resolvendo as potências e as radiciações, temos:

13

1 5 100 5 112

81 12 3 3 + − −( ) − +

−

( ) . : . ( ) ( ) :

13

1 5 100 5 112

81 12 3 3 + − −( ) − +

−

( ) . : . ( ) ( ) :

13

1 5 10 5 112

9 1+ −( ) − +

−

. : . ( ) :

Eliminamos os parênteses, resolvendo as operações que aparecem dentro deles:

Agora, fazemos as operações de divisão ou de multiplicação na ordem em que aparecerem:

13

1 5 5 112

9 1+ − +

−

. : . ( ) :

13

1 1 112

9 + − +

−

. . ( )



7

Matemática Básica

Em seguida, realizamos as operações que estão dentro dos colchetes:

Assim, obtemos a seguinte expressão:

Ao realizar a operação dentro dos colchetes, você pode eliminá-lo, se preferir. Nesta expressão que estamos resolvendo, porém, é interessante mantê-lo por causa do sinal negativo. Dessa forma, multiplique o número que está na frente dos colchetes pelo número que está dentro, aplicando a regra dos sinais:

Estamos chegando ao final da nossa expressão. É hora de realizar a operação dentro das chaves.

Proceda da seguinte forma:Lembre-se de que todo número inteiro é um número racional; portanto, –9 = 1) 9

1.

Para fazer a adição entre duas frações com denominadores diferentes, devemos calcular o mínimo 2)

múltiplo comum (MMC) entre os denominadores. No caso, devemos calcular o MMC entre 2 e 1.Como o MMC (2,1) = 2, esse será o novo denominador.

Divida o MMC encontrado pelos denominadores das frações 3) 3 e multiplique o resultado pelos nume- radores das frações.

Registre os resultados da multiplicação e faça a operação indicada na parte de cima da fração.4) 1

3 Representa-se uma fração pelo símbolo a b , em que a e b são números inteiros, com b ≠ 0. Chamamos a de numerador e b de denominador.

13

1 112

9 + − +

−

. ( )

13

1 12

9 + −

−

.

13

12

9 + − −

13

12

9 1

13

1 18 2

13

19 2

+ − −

⇒ + − −

⇒ + −

Observe que 13

19 2

13

19 2

+ −

= − , pois + (– a ) = – a .

Daí, temos que 13

19 2

− = −55 6

.

Logo, o resultado de nossa expressão é −55 6

.

propriedades da potenCiaçãoDa definição de “potência”, temos que, dado um número natural n , com n ≥ 2, chama-se potência de

base a e expoente n o número a n que é o produto de n fatores iguais a a .

a = a . a . a... . a n

n fatores



8

Lembre-se de que 3 4 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81.Nota: É comum entre os estudantes confundir a operação de potenciação com a de multiplicação entre

dois números, por isso fique atento. Jamais faça: 3 4 = 3 . 4 = 12. Isto está errado . O expoente 4 indica quantas vezes você irá multiplicar a base da potência por ela mesma, no caso, multiplique 3 . 3 . 3 . 3 (quatro vezes).

1) Propriedade: Produto de potências de mesma base

Para calcularmos o produto de potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes:

a m . a n = a m + n

Exemplo:2 5 . 2 3 = 2 5 + 3 = 2 8

2) Propriedade: Quociente de potências de mesma basePara calcularmos o produto de potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os ex-

poentes:

a a a

a a m n

m

n

m n : = = −

Exemplo:

a a

a

a a a 5 2

5

2

5 2 3

: = = =−

3) Propriedade: Potência de um produto

( a . b )n = a n . a n

Exemplo:(2 . 5)3 = 2 3 . 5 3

4. Propriedade: Potência de um quociente

a

b

a

b b

n n

n

= ≠, 0

Exemplo:

2 5

2

5

3 3

3

=



9

Matemática Básica

5. Propriedade: Potência de uma potência

a a m n

m n ( ) = .

Exemplo:

2 2 2 3 5 3 5 15 ( ) = = .

potênCias Com expoentes negativosObserve que, pela segunda propriedade, temos a a a a 2 5 2 5 3 : = =− − .

Pela definição, temos a a a

a

a a

a

2 5 2

5 3

1: = = =

a . a . a . a . a

..

Portanto,a a

−

=

3

3

1.

De uma forma geral, temos a a

n

n

− =1

.

Exemplos:

5 1

5

125

2 2

− = =a)

Observe que o resultado de 5 –2 é o inverso multiplicativo de 5 2 , ou seja, 125

.

3

2

2

3

2

3

8

27

3 3 3

3

=

= =

−

b)

Aplicamos o inverso de 3 2

, que é

2 3

, depois aplicamos a propriedade 4.

Lembre-se de que quando invertemos a fração, o expoente negativo torna-se positivo.

potênCia Com expoente fraCionário Antes de falarmos sobre potência com expoente fracionário, vamos ver o que significa a b n = .O primeiro passo é reconhecer cada um dos elementos envolvidos na operação:

n = índice a = radicando ( a ∈ R, e a ≥ 0)b = raiz

= radical

Nota: Quando não aparecer o índice no radical, devemos considerar nesses casos que o índice é iguala dois.

Exemplos:

8 2 3 =a)



10

Lê-se: raiz cúbica de 8 é igual a 2.O índice é igual a 3.

O radicando é igual a 8.

A raiz é igual a 2.

81 9 =b)

Lê-se: raiz quadrada de 81 é igual a 9.O índice é igual a 2.

O radicando é igual a 81.

A raiz é igual a 9.

Agora, você já está pronto para entender o próximo assunto.

Dado um número racional n

m e um número real a, podemos dizer que a a

n

m n m = .

Exemplos:

2 2 8 3 5 3 5 5 = =a)

7 7 7 13 13 3 = =b)

3 3 2 187 7 2 7 2 = = .c)

9 9 81 9 2 2 2 = = =d)

números raCionaisTodo número que representa o quociente de dois números inteiros, sendo o segundo diferente de zero,

é chamado número racional.

a

b , a e b inteiros, b ≠ 0

Como o quociente de dois números inteiros, sendo o segundo diferente de zero, pode ser representado por uma fração, sempre que pudermos representar um número por fração ele será racional.

Exemplos:

–5 9

2 –0,75 −

1

3 3,2 −

20

5

7

10



11

Matemática Básica

números deCimaisToda fração cujo denominador é uma potência de 10 é chamada de fração decimal.Exemplos:

110

1100

11000 .

Observe que:10 = 10

1

100 = 10 2

1 000 = 10 3

Agora, veja os seguintes exemplos:

1

2

0 5 5

10

= =,a)

14

0 25 25

100 = =,b)

− = − = −14 2

7 70 10

c)

13

0 333 = , ...d) =3 333

10 , ...

O número decimal pode ser:um decimal exato;

um número inteiro;

uma dízima periódica.

Exemplos:

0 5 5

10 50

100 500

1000 , ,

.= = = etc a) . (decimal exato)

− = =−

=−

7 70 10

700 100

7000 1000

.

.,etc b) . (número inteiro)

0 3333 3 333

10

33 33

100 , ...

, ... , ..., .= = etc c) (dízima periódica)

razão e proporção

Razão

Dados dois números a e b , com b ≠ 0, chamamos de razão de a para b , ou razão entre a e b , nessa

ordem, ao quociente a

b , que também pode ser indicado por a : b .



12

O número a é chamado de antecedente , e o b é denominado consequente . Quando a e b forem me- didas de uma mesma grandeza, eles devem ser expressos na mesma unidade de medida.

Exemplo:A cada 500 leitores de jornais, 130 leem o Jornal Notícias de Hoje . A razão entre a quantidade total de

leitores de jornais e os que leem o Jornal Notícias de Hoje é de 500 para 130, ou seja,

500

130 . Simplifi-

cando, obtemos 50 13

. Podemos dizer, então, que a razão entre a quantidade de leitores de jornal e a de

leitores de Jornal Notícias de Hoje é de 50 13

(50 está para 13). Isso significa que para cada 50 jornais

lidos, 13 são do Jornal Notícias de Hoje .

Proporção

Proporção é a igualdade entre duas razões.

Exemplo:Suponha que, no ano de 2001, as vendas de uma empresa foram de R$ 300.000,00, e as do ano de 2002 foram de R$ 450.000,00. Suponha, ainda, que, nos anos de 2003 e de 2004, as vendas dessa empresa foram de R$ 600.000,00 e de R$ 900.000,00, respectivamente.Dessa forma, a razão das vendas do ano de 2004 para o ano de 2003 é 900.000 : 600.000 = 1,5. Como a razão de vendas do ano de 2002 para o ano de 2001 é igual (450.000 : 300.000 = 1,5), dizemos que as razões são equivalentes, assim, podemos representá-las da seguinte forma:

900 000 600 000

450 000 300 000

9 6

45 30

.

...

= ⇒ =

Essa igualdade de duas razões é chamada de proporção . Ela pode ser lida da seguinte forma:“45 está para 30, assim como 9 está para 6”.

De uma forma geral, dadas as razões a

b e c

d , chamamos de proporção a sentença de igualdade a

b = c

d .

Os valores a e d são chamados de extremos ; e os valores b e c , de meios .

Propriedade da proporção

Se a

b = c

d , então a . d = b . c . Isto é, em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao

produto dos meios .

Exemplo:Uma empresa pretende alocar 200 mil reais entre pesquisa e propaganda, de modo que a razão entre as quantias seja 2 : 3. Quais os valores alocados para pesquisa e propaganda? Solução:

Seja x o valor alocado para pesquisa. O valor alocado para propaganda será 200 – x . Portanto,

devemos ter x

x 200 2 3 −

= .



13

Matemática Básica

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, obtemos:

3 x = 2 (200 – x )

3 x = 400 – 2 x

3 x + 2 x = 400

5 x = 400

x = 400 5

x = 80

200 – x = 200 – 80 = 120

Portanto, o valor alocado para pesquisa é 80 mil reais; para a propaganda, 120 mil reais.

porCentagemDenomina-se razão centesimal ou percentual toda razão cujo consequente é igual a 100. Uma

razão comum, como, por exemplo, 3 4

pode ser transformada em uma razão percentual, procedendo-se

da seguinte forma: 3 4

3 4 0 75 75

100 75 = = = =: , % .

Exemplos:

Uma geladeira é vendida por R$ 1.200,00, se seu preço sofrer um acréscimo igual a 8% desse a)valor, quanto passará a custar?

Solução:

8 100

1 200 0 08 1 200 96 . , .. .= =

Dessa forma, o preço (em reais) após o acréscimo será de R$ 1.200,00 + R$ 96,00 = R$ 1.296,00.

Calcule 20% de 50%.b)

Solução:

Nesses casos, há um método fácil e rápido: desfaça a primeira porcentagem e multiplique pela segunda (conserve a segunda), da seguinte forma:

20 100

50 0 2 50 10 . % , . % = =



14

c) Calcule 10% de 30% de 70%.

Solução:

Nesses casos, desfaça a primeira e a segunda porcentagens e multiplique-as pela terceira (conserve a terceira), desse modo 4:1

10 100

30 100 70 0 1 0 3 70 2 1 . . % , . , . % , % = =

4 Observe que as primeiras porcentagens você sempre transforma em frações (ou em números decimais), mas a última porcentagem sempre é mantida.

equações exponenCiaisÀs vezes, encontramos equações cuja incógnita aparece no expoente de um número. A essas equa-

ções damos o nome de equações exponenciais .Vamos abordar o tipo mais comum que aparece em matemática financeira e mostraremos a técnica

necessária para resolvê-la.

Equações redutíveis a uma única base

Potências iguais e bases iguais ⇔ expoentes iguais:

a m = a n , se, e somente se, m = n ( a > 0 e a ≠ 0)

Exemplos:Resolver as seguintes equações exponenciais:

5 a) x = 25.

2 b) 2 x = 64 x – 2 .

Soluções:

Observe que 25 = 5 a) 2 , daí temos 5 x = 5 2 .Pela regra, temos que, se a m = a n então m = n . Logo, x = 2.

Como 64 = 2 b) 6 , substituindo na equação, temos:2 2 x = (2 6 )x – 2

2 2 x = 2 6 x – 12

Pela regra, temos que potências iguais e bases iguais ⇔ expoentes iguais.

Cancelamos, então, as bases da potência.Daí, 2 x = 6 x – 12 ⇒ 12 = 6 x – 2 x ⇒ 12 = 4 x ⇒ 12

4 = x ∴ 3 = x.

Nota: Nem sempre é possível resolver equações exponenciais reduzindo a mesma base, como no caso 2 x = 3. Sabemos que x assume um valor entre 1 e 2, pois 2 1 < 2 x = 3 < 2 2 . Até o momento,portanto, não sabemos qual é esse valor nem o processo para determiná-lo. A fim de que possamos resolver este e outros problemas semelhantes, vamos inserir no contexto deste complemento o estudo de logaritmos.



15

Matemática Básica

LogaritmosLogaritmo é um instrumento matemático utilizado para relacionar dois elementos ( a e b , por exemplo)

e obter um terceiro ( x ) pela combinação destes. Definimos o mesmo assim:Sendo a e b números reais positivos, com a ≠ 1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente que se

deve dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b .Em símbolos, temos:

log a b = x ⇔ a x = b

a = base

b = logaritmando

x = logaritmo

Exemplos:

log a) 2 8 = 3, pois 2 3 = 8.

log b) 5 5 = 1, pois 5 1 = 5.

log100 = 2, pois 10 c) 2 = 100.

Observação: Indica-se o logaritmo decimal por log 10 x ou, simplesmente log x . Em matemática financeira, a maioria dos logaritmos aparecem na forma log x .1 2

5 Ver conjunto dos números naturais no início deste material.

6 Resultado da multiplicação de dois números.

Considerações importantes

1) Para somar e subtrair números representados na forma decimal, procedemos assim:

Igualamos o número de casas decimais, acrescentando zeros.

Colocamos as unidades de mesma ordem em uma coluna, pondo vírgula debaixo de vírgula.

Efetuamos a operação indicada.

2) Para multiplicar números representados na forma decimal, procedemos assim:

Multiplicamos os números como se fossem naturais 5 e damos ao produto 6 um número de casas decimais igual à soma das casas decimais dos fatores.Para multiplicar números na forma decimal por 10, 100, 1000, 10 000, etc., ou vice-versa, basta

deslocar a vírgula para a direita, respectivamente, uma, duas, três, quatro, etc. casas decimais.Para dividir um número na forma decimal por 10, 100, 1 000, 10 000, etc., deslocamos a vírgula

para a esquerda, respectivamente, uma, duas, três, quatro, etc. casas decimais.



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Calculadora científica: ações importantes

Cálculo da raiz quadrada de um número:

Digite um número qualquer, por exemplo, 1 024.

Digite a tecla

.O resultado obtido (32) é a raiz quadrada de 1024.

Cálculo de potências:

Digite um número qualquer, por exemplo, 9 (base).

Digite a tecla 7 .

Digite outro número, por exemplo, 3.

Digite a tecla .O resultado obtido (729) é a potência desejada.

Cálculo de logaritmos:

Digite um número qualquer, por exemplo, 2.

Digite a tecla .O resultado obtido será o logaritmo de 2 na base

10.

probLemas resoLvidos de

matemátiCa finanCeira Porcentagem

Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão numa venda de R$ 3.600,00?

Solução:

3% de R$ 3.600,00 = 3/100 . 3600 = 0,03 . 3600 = 108 Logo, a comissão será de R$ 108,00.Taxa unitária: É a representação da taxa percentual em número decimal. No problema anterior, por

exemplo, 0,03 é a taxa unitária, 3% é a taxa percentual.

Vendas com lucros

Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preço de custo. Determine o preço de venda, sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500,00.

Solução:

O preço de custo de uma mercadoria compreende o preço de aquisição acrescido das despesas diretas sobre a compra e sobre a venda e, ainda, das despesas de administração e de funcionamento da empresa. 1

7 Algumas calculadoras podem apresentar o botão y x

para o cálculo de potências.

S h u t t e r s t o c k

/ A l e k s i M a r k k u



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Matemática Básica

Seja:V = preço de venda C = preço de custo L = lucro i = taxa

Vamos obter o preço de venda, usando a fórmula V = C (1 + i ) .V = 500 (1 + 0,08)V = 1,08 . 500 V = 540 Logo, o preço de venda é de R$ 540,00.Observação: Se no problema acima, as mercadorias fossem vendidas com prejuízo , usaríamos a fórmula

V = C (1 – i ).

Exemplo:Calcular o valor dos juros totais correspondentes à aplicação do principal de R$ 10.000,00 à taxa de

juros simples de 1,5% ao mês, no prazo de três meses.Solução:

Dados:J =? P = R$ 10.000 i = 1,5% n = 3 meses

Não esqueça: O mercado financeiro trabalha com base na taxa de juros percentual, porém é necessá- rio colocá-la na forma fracionária para realizar os cálculos financeiros. Portanto, 1,5% = 0,015.

J = P . i . n ⇒ J = 10000 . 0,015 . 3 ∴ J = R$ 450,00

Logo, o juro para esta aplicação é de R$ 450,00.

Taxas proporcionais (juros simples)

No regime de juros simples de cada período, os cálculos são feitos sempre sobre o mesmo principal. Fique atento, pois não existe capitalização de juros nesse regime. Os juros de cada período não são incorporados ao principal para que a soma sirva de base de cálculo dos juros do período seguinte. A aplicação de juros simples no mercado financeiro só tem algum sentido para aplicações de curtíssimo prazo.Para calcular os juros, usamos a seguinte fórmula: J = P . i . n ; em que P é o capital principal,i é a taxa e n é o período (tempo).

Juros simples

Algumas vezes, o período de investimento é somente uma fração do período expresso na alta de juros. Nestes casos em que as unidades de tempo da taxa de juros e do período de investimento são diferentes, é necessário homogeneizá-las por meio de um ajuste na taxa. Este ajuste é chamado de taxas proporcionais .



18

Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período,produzem o mesmo juro.

Exemplos:

Calcule a taxa quadrimestral equivalente à taxa 18% ao trimestre.a)

Solução:

Para responder a essa questão, vamos utilizar a fórmula I i taxa equivalente

Dias dados Dias desejados

= +( ) −

1 1 .

A relação de equivalência que queremos obter é: 18% ao trimestre ? ao quadrimestre.

Exemplos:

Um capital de R$ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses à taxa de 25% ao ano (a.a.), determine o a)

juro obtido.Solução:

Inicialmente, separamos as informações dadas no problema:

C

= 2.400 (capital)n = 10 meses (tempo)i = 25% (taxa percentual)

Como o tempo foi dado em meses e a taxa é dada ao ano, antes de aplicarmos a fórmula, devemos determinar a taxa mensal proporcional à dada.Observe que:

i = = =0 25 0 25 12 0 25 12

, ( , : ) .,

a.a. a.m a.m.

Logo, J J J J = ⇒ = ⇒ = ⇒ =2 400 0 25 12

10 600 12

10 50 10 500 . .,

. . .

O juro obtido, portanto é de R$ 500,00.

Uma pequena empresa aplica um capital de R$ 15.000,00 por um mês, a uma taxa simples de b) 36% ao mês (a.m.). Calcule o rendimento dessa aplicação, em 14 dias.Solução:

Inicialmente, separe as informações dadas no problema.C = 15.000 (capital)n = 14 dias (tempo)i = 36% a.m. (taxa percentual)

J = ?

Observe que a taxa dada foi expressa em meses e o tempo em dias; logo, temos que:

0 36 30 , ( )

( =

taxa percentual transformada em taxa unit ria

quantida

á

d de de dias do m s ê )

J J = ⇒ =15 000 0 36 30

14 2 520 00 . .,

. $ . ,R

Taxas equivalentes (juros simples)



19

Matemática Básica

= 118 14 3 , −

= 118 11333 , , ... − = 1 247 1 0 247 , ,−[ ] = ∴ I taxa equivalente = 24,7% (aproximadamente)

Observação: O resultado deve ser dado em taxa percentual, para isso, multiplique-o por 100.

b) Calcule a taxa para 63 dias equivalente à taxa anual de 280%.Solução: 280% ao ano 63 dias.Daí, temos que:

1 ano = 360 dias = dias dados;

63 dias = dias desejados.

Substituindo na fórmula, temos:

I = 1 280 1360 63

+( ) −

=% 1 2 8 130 63

+( ) −

=, 3 8 11

360

63

,

−

= 3 8 163

360 , −

= 3 8 10175 , , − =

= 1 263 1 0 263 26 3 , , , % −[ ] = [ ] =

O valor atual de um título é aquele efetivamente pago por este título na data do seu resgate, ou seja,o valor atual de um título é igual ao valor nominal menos o desconto.

Exemplo:Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada, antes de seu vencimento, por R$ 6.072,00. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês.

Solução:

O valor atual de um título é aquele efetivamente pago por este título na data do seu resgate, ou seja, o valor atual de um título é igual ao valor nominal menos o desconto.

A

= valor atualN = valor do título i = taxa n = período

Temos que:A = N (1 – i . n )6072 = 6900 (1 – 0,04 n )0,88 = 1 – 0,04 n – 0,12 = – 0,04 n

3 = n

Portanto, n = 3.

Sabemos que:o trimestre = 90 dias = dias dados;

o quadrimestre = 120 dias = dias desejados.

Substituindo na fórmula, temos:

I taxa equivalente =

1 18 190 120

+( ) −

=% 1 0 18 190

120

+( ) −

=, 118 1

190

120

,

−

=

118 1120 90 ,

−

=

Valor atual comercial ou valor descontado comercial (juros simples)

AN

i

n

=== →=

6 072 6 900 4 0 04

..% ,a.m. a.m.

?

⇒



20

Exemplo:

Quero substituir um título de R$ 5.000,00 vencível em 3 meses, por outro com vencimento em 5 meses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 3,5% ao mês, qual o valor nominalcomercial do novo título? Solução:

Nos problemas de equivalência de capitais, geralmente, deseja-se substituir um título (ou mais) por outro(s) com vencimento(s) diferente(s), ou saber se duas formas de pagamento são equivalentes. Por isso, consideremos:

N’ = capital equivalente N = valor nominaln = período inicial

n’ = período subsequente (posterior)i = taxa de juros

A fórmula que vamos usar para resolver problemas de equivalência de capitais é N N in

in ’

( )’

=−

−1

1.

N’ = ? N = 5000 n = 3 meses n’ = 5 meses i = 3,5% a.m.→ 0,035% a.m.

Portanto, o valor nominal comercial do novo título é de R$ 5.424,24.

O regime de juros compostos é o mais comum no dia a dia do sistema financeiro e do cálculo eco- nômico. Nesse regime, os juros de cada período são incorporados ao principal, para que a soma sirva de base de cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos de capitalização o processo de incorporação de juros ao capital. Para obter o montante de uma determinada aplicação nesse regime, vamos utilizar a fórmula M = C (1 + i )n , que nos dá o valor que se deseja obter no final do período. O fator (1 + i )n é chamado de fator de capitalização ou valor futuro. Para calcular o valor presente, usaremos a fórmula C = M (1 + i )– n , que nos permite realizar o cálculo do valor presente de um montante ou de pagamento único.

Exemplos:

Calcule qual o capital inicial que no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu o montante de a)

R$ 4.058,00.

Juros compostos

Dizemos que dois ou mais capitais diferidos (capitais cujos vencimentos têm datas diferentes) são equivalentes em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais.

Equivalência de capitais

N ’ . ( , . ), ..= −−5 000 1 0 035 3 1 0 035 5

N ’,

,.

.= =4 475 0 825

5 424 24



21

Matemática Básica

b) Durante quanto tempo um capital de R$ 2.000,00 deve ser aplicado, a juros compostos e à taxa de 1,5% ao mês, para gerar um montante de R$ 2.236,28? Solução:

M = 2236,28 C = 2000 i = 1,5% a.m.

Portanto, o capital deve ser aplicado durante 8 meses.

c) Um agiota empresta dinheiro com taxas diferenciadas por períodos. Carlos pediu R$ 500,00 para esse agiota por um período de 10 meses. Sabendo que as condições para esse empréstimo eram de 5% ao mês durante os 4 primeiros meses, de 12% ao mês durante os 5 meses seguintes e de 15% ao mês no último mês, calcule o montante e a taxa média paga por Carlos nesse empréstimo.Solução:

O montante pago por Carlos é dado por:

Para calcular a taxa média, substituímos o valor do montante:

Solução:

C = ? n = 5 M = 4058 i = 3% a.m.

Logo, o capital procurado é de R$ 3.500,47.

C C

C

C

= +===

−

−4 058 1 0 03 4 058 1 03

4 058 0 8626

3 50

5

5 ..

.

.

( , ). ( , )

. ,

0 0 47 ,

M C i n

n

n

= +

= +

=

=

( )

, ( , )

, ( , )

log ,

. .

1

2 236 28 2 000 1 0 015

1118 1 015

1118 llog ,

, log ,

, ,

1015

0 048 1 015

0 048 0 006 8

n

n

n n

=

= ∴ =

M C i i

M

M

m n = + +

= + + +=

( ) ( )

( , ) ( , ) ( , )

.

1 1

500 1 0 05 1 0 12 1 0 15

500

1 2

4 5 1

1 22 1 76 115

1 234 64

, . , . ,

. ,M =

1 275 500 1

2 55 1 2 55 1

2 55 1

0 098

10

10 10

110

. ( )

, ( ) ,

,

,

= +

= + = = +

− =

=

i

i i

i

i ∴∴ =9 8 , % i



22

Exemplo:Se quisermos ter R$ 2.000,00 daqui a 12 meses, quanto deveremos depositar mensalmente, sabendo que a taxa de juros é de 15% ao mês? Solução:

M = 2.000,00 n = 12 meses i = 15% a.m.R = ?

Portanto, devemos depositar mensalmente o valor de R$ 68,97.

Nas rendas imediatas, o primeiro pagamento ocorre no final do primeiro período; e, dos demais,no final dos seus respectivos períodos. Nas rendas antecipadas, o primeiro pagamento ocorre no instante zero (no ato) e os demais, no início de cada período.

Renda imediata 1)

Para calcular a renda imediata, usaremos a fórmula M R i

i i I

n

n =

+ −+

.

( )

( ) .

1 1

1

Exemplo:Qual o valor da prestação mensal de um financiamento de R$ 250.000,00 em 5 parcelas, a uma taxa de 5% ao mês?

Rendas imediata e rendas antecipadas

Nota: Caso o primeiro pagamento da série antecipada ocorresse ao final do primeiro período, automatica- mente, a série antecipada seria transformada em imediata (postecipada).

O montante de uma renda imediata corresponde à soma dos depósitos (termos) individuais, durante n períodos, a uma taxa i de juros.

Para obter o montante de uma renda imediata, use a fórmula M R i

i

n

=⋅ + −[( ) ]1 1 , em que R é a renda

ou prestação.

Montante de rendas imediatas

Nota: Quando usamos juros simples e juros compostos no cotidiano? Essa pergunta é feita pela maioria dos estudantes e a resposta é a seguinte: a maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas compras a médio e a longos prazos, compras com cartão de crédito; empréstimos bancários; aplicações financeiras usuais, como caderneta de poupança, e aplicações em fundos de renda fixa; etc. Raramente, encontramos uso para o regime de juros simples, exceto nos casos das operações

de curtíssimo prazo e em processo de desconto simples de duplicatas.

2000 1 0 15 1

0 15

300 4 350 68 97

12

.[( , ) ]

,

, ,

=⋅ + −

= ∴ =

R

R R



23

Matemática Básica

2) Renda antecipada

Para calcular a renda antecipada basta dividirmos a renda imediata por (1 + i ). Daí, temos que

R R

i Antecipada

Imediata =+( )1

.

Exemplo:

Um apartamento é vendido à vista por R$ 100.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 19 presta- ções mensais iguais, vencendo a primeira no ato da compra. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, qual o valor da prestação?

Solução:

Observe que, se vendido a prazo, o primeiro pagamento deve ser feito no ato da compra (instante zero). Logo, o problema é de renda antecipada.

Como, para calcular a renda antecipada, precisamos da fórmula R R

i Antecipada

Imediata =+( )1

, devemos cal-

cular inicialmente a renda imediata. A renda imediata será dada por:

M R i

i i I

n

n =

+ −+

.

( )

( ) .

1 1

1

M = 100.000,00 n = 19 meses i = 2% a.m.R

I = ?

Solução:

O valor atual (ou presente) de uma renda equivale ao valor de uma dívida (empréstimo, valor à vista de um bem) que será pago em prestações.

M = 250.000,00 n = 5 meses

i

= 5% a.m.R = ?

250 000 1 0 05 1

1 0 05 0 05

5

5 . .

( , )

( , ) . ,=

+ −+

R I

250000 1 276281 1

1 276281 0 05

250000 0

.

.

.,

, . ,

.

=−

=

R

R

I

I

,,,

,

. ,

.

2762810 06381405

250 000 4 329

57 750 06

=

=

R

R

I

I

Logo, o valor das prestações mensais será de R$ 57.750,00.



Anotações

100 000 1 0 02 1

1 0 02 0 02

19

19 . .

( , )

( , ) . ,=

+ −+

R I

100 000 0 4569 0 02914

. .,,

=

R I

100 000 15 679 6 377 96 . ., ,= ∴ =R R I I

Calculando a renda antecipada, temos:

R R

i

R

R

AI

A

A

=+

=+

=

= =

( )

,( , )

,

,,

..

..

1

6 377 96 1 0 2

6 252 90

6 377 96 1 02

6 252,,

. , .

90

6 252 90 Portanto, R A =

CRESPO, Antonio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil . 13. ed. São Paulo: Saraiva, 2002.

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANN JÚNIOR, José Ruy. A nova conquista da matemática . São Paulo: FTD, 2002.

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RODRIGUES, José Antonio do Amaral; MENDES, José de Melo. Manual de aplicação de matemática financeira:

temas básicos, questões-chave, formulário e glossários, problemas destacados. São Paulo: FGV, 2007.

SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira : aplicações à análise de investimentos. 4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.

Referências

Complemento de Matemática Básica Financeira

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