COMPONENTES SIMÉTRICAS

ET77J – Sistemas de Potência 1

COMPONENTES SIMÉTRICAS

Prof. Dr. Ulisses Chemin Netto


Objetivo da Aula

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Apresentar o uso do teorema das componentessimétricas para determinar os valores decorrente de curto-circuito monofásico e bifásicoem sistemas elétricos de potência.


Conteúdo Programático

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Componentes Simétricas


Construção de Conhecimento Esperado

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Desenvolver proficiência na aplicação doteorema das componentes simétricas paradeterminar os valores de corrente de curto-circuito monofásico e bifásico em sistemaselétricos de potência.


Premissas

Sistema trifásico equilibrado

– Tensões e correntes em simetria → cada grandeza écomposta por três fasores de módulos iguais edefasados entre si de 120°;

– Matrizes de impedância dos componentes da redeelétrica equilibrada são diagonais com todos oselementos iguais → representa o desacoplamentoentre fases;

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Premissas

Sistema trifásico equilibrado

– Portanto, todas as análises de um sistema trifásicoequilibrado podem ser feitas baseando-se emapenas uma fase desse;

– O conhecimento da corrente ou da tensão nestafase possibilita a determinação das variáveiscorrespondentes nas outras duas fases.

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Premissas

Porém, para um sistema desequilibrado não épossível tratar de forma independente cadauma de suas fases;

– Devido aos desequilíbrios as fases do sistemaelétrico continuam acopladas.

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Como Calcular um Curto-Circuito Desequilibrado ?

Fortescue, C. L., Method of Symmetrical Co-Ordinates Applied to the Solution of PolyphaseNetworks, American Institute of ElectricalEngineers, Transactions of the , vol.XXXVII, no.2,pp.1027-1140, July 1918 doi: 10.1109/T-AIEE.1918.4765570.

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Enunciado do Teorema de Fortescue

“Um sistema desequilibrado de n fasorescorrelacionados pode ser decomposto em nsistemas de fasores equilibrados. Os n fasoresde cada conjunto de componentes são iguaisem comprimento e os ângulos entre os fasoresadjascentes do conjunto são iguais.”

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Exemplificando para Sistema 3Ø

VA, VB e VC – Tensões do SEP

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VA

VB

VC


Exemplificando para Sistema Trifásico Sequencia positiva

11

Va1

Vc1

Vb1

W

��𝑉𝑎𝑎𝑎 = ��𝑉𝑎𝑎𝑎⌊0°

��𝑉𝑏𝑏𝑎 = 1 �240° × ��𝑉𝑎𝑎𝑎

��𝑉𝑐𝑐𝑎 = 1 �120° × ��𝑉𝑎𝑎𝑎

��𝑉𝑎𝑎𝑎 = ��𝑉𝑎𝑎𝑎⌊0°

��𝑉𝑏𝑏𝑎 = ��𝑎2 × ��𝑉𝑎𝑎𝑎

��𝑉𝑐𝑐𝑎 = 𝑎𝑎 × ��𝑉𝑎𝑎𝑎

Em módulo ��𝑉𝑎𝑎𝑎= ��𝑉𝑏𝑏𝑎= ��𝑉𝑐𝑐𝑎

��𝑎 = 1⌊120°; ��𝑎2 = 1⌊240°

Possui a mesma sequencia de fase dosistema original desbalanceado.

Operador rotacional


Exemplificando para Sistema Trifásico Sequencia negativa

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Vb2 Vc2

Va2

W

��𝑉𝑎𝑎2 = ��𝑉𝑎𝑎2⌊0°

��𝑉𝑏𝑏2 = ��𝑎 × ��𝑉𝑎𝑎2

��𝑉𝑐𝑐2 = ��𝑎2 × ��𝑉𝑎𝑎2

Para possibilitar as operações algébricas comfasores, os de sequencia negativa deverão girar nomesmo sentido da sequencia positiva logo W2=W1.Para fazer isso, troca-se a denominação dosfasores b e c.

��𝑉𝑎𝑎2 = ��𝑉𝑎𝑎2⌊0°

��𝑉𝑏𝑏2 = 1 �120° × ��𝑉𝑎𝑎𝑎

��𝑉𝑐𝑐2 = 1 �240° × ��𝑉𝑎𝑎𝑎

Em módulo ��𝑉𝑎𝑎2= ��𝑉𝑏𝑏2= ��𝑉𝑐𝑐2

��𝑎 = 1⌊120°; ��𝑎2 = 1⌊240°Operador rotacional


Exemplificando para Sistema Trifásico Sequencia zero

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��𝑉𝑎𝑎𝑎 = ��𝑉𝑏𝑏𝑎 = ��𝑉𝑐𝑐𝑎

Os fasores estão em fase, por isso apenas um foi representado.

W


Exemplificando para Sistema Trifásico O sistema desequilibrado é representado pela

combinação linear de V1, V2 e V0.

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Va1

Vc1

Vb1

W

Vb2 Vc2

Va2

W

SEQUENCIA + SEQUENCIA –

Va0=Vb0=Vc0

W

SEQÜÊNCIA 0


Exemplificando para Sistema Trifásico O sistema desequilibrado é representado pela combinação

linear de V1, V2 e V0.

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Va1

Va2 Vb1

Vb2

Va0

Vb0

Vc1

Vc2

Vc0

VA

VB

VC

Va1

Vc1

Vb1

W

Vb2 Vc2

Va2

W

SEQUENCIA + SEQUENCIA –Va0=Vb0=Vc0

W

SEQÜÊNCIA 0


Exemplificando para Sistema Trifásico

Portanto:

– “Um sistema trifásico de três fasoresdesbalanceados pode ser decomposto emtrês sistemas trifásicos de três fasoresbalanceados chamados de componentessimétricas de sequencia positiva, negativa ezero”.

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Expressão analítica do teorema de Fortescue:

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��𝑉𝑎𝑎 = ��𝑉𝑎𝑎𝑎 + ��𝑉𝑎𝑎𝑎 + ��𝑉𝑎𝑎2

��𝑉𝑏𝑏 = ��𝑉𝑏𝑏𝑎 + ��𝑉𝑏𝑏𝑎 + ��𝑉𝑏𝑏2

��𝑉𝑐𝑐 = ��𝑉𝑐𝑐𝑎 + ��𝑉𝑐𝑐𝑎 + ��𝑉𝑐𝑐2A B C D

A - Sistema trifásico desequilibrado;B – Sistema trifásico equilibrado de sequencia zero;C - Sistema trifásico equilibrado de sequencia positiva;D - Sistema trifásico equilibrado de sequencia negativa.



Expressão analítica do teorema de Fortescue:

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��𝑉𝑏𝑏 = ��𝑉𝑏𝑏𝑎 + ��𝑉𝑏𝑏𝑎 + ��𝑉𝑏𝑏2

��𝑉𝑐𝑐 = ��𝑉𝑐𝑐𝑎 + ��𝑉𝑐𝑐𝑎 + ��𝑉𝑐𝑐2


��𝑉𝑏𝑏 = ��𝑉𝑎𝑎𝑎 + ��𝑎2��𝑉𝑎𝑎𝑎 + ��𝑎��𝑉𝑎𝑎2

��𝑉𝑐𝑐 = ��𝑉𝑎𝑎𝑎 + ��𝑎𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎 + ��𝑎2��𝑉𝑎𝑎2

Exprimindo os componentesVb e Vc em função de a e Va: ��𝑉𝑎𝑎

��𝑉𝑏𝑏��𝑉𝑐𝑐

=1 1 11 ��𝑎2 ��𝑎1 ��𝑎 ��𝑎2

��𝑉𝑎𝑎𝑎��𝑉𝑎𝑎𝑎��𝑉𝑎𝑎2

Em forma matricial

A=matriz de transformação

(1)



Expressão analítica do teorema de Fortescue

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Invertendo [A] e multiplicando (1)em ambos os lados por [A]-1 :

��𝑉𝑎𝑎𝑎��𝑉𝑎𝑎𝑎��𝑉𝑎𝑎2

=13

1 1 11 ��𝑎 ��𝑎21 ��𝑎2 ��𝑎

��𝑉𝑎𝑎��𝑉𝑏𝑏��𝑉𝑐𝑐

Em forma algébrica:

��𝑉𝐴𝐴𝑎 =13��𝑉𝐴𝐴 + ��𝑉𝐵𝐵 + ��𝑉𝐶𝐶

��𝑉𝐴𝐴𝑎 =13

(��𝑉𝐴𝐴 + ��𝑎��𝑉𝐵𝐵 + ��𝑎2��𝑉𝐶𝐶)

��𝑉𝐴𝐴2 =13

(��𝑉𝐴𝐴 + ��𝑎2��𝑉𝐵𝐵 + ��𝑎��𝑉𝐶𝐶)



Expressão analítica do teorema de Fortescue– Para corrente

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𝐼𝐼𝑎𝑎𝑎𝐼𝐼𝑎𝑎𝑎𝐼𝐼𝑎𝑎2

=13

1 1 11 ��𝑎 ��𝑎21 ��𝑎2 ��𝑎

𝐼𝐼𝑎𝑎𝐼𝐼𝑏𝑏𝐼𝐼𝑐𝑐

Em forma matricial:

𝐼𝐼𝑎𝑎𝐼𝐼𝑏𝑏𝐼𝐼𝑐𝑐

=1 1 11 ��𝑎2 ��𝑎1 ��𝑎 ��𝑎2

𝐼𝐼𝑎𝑎𝑎𝐼𝐼𝑎𝑎𝑎𝐼𝐼𝑎𝑎2

Em forma algébrica:

𝐼𝐼𝐴𝐴𝑎 =13

𝐼𝐼𝐴𝐴 + 𝐼𝐼𝐵𝐵 + 𝐼𝐼𝐶𝐶

𝐼𝐼𝐴𝐴𝑎 =13

( 𝐼𝐼𝐴𝐴 + ��𝑎 𝐼𝐼𝐵𝐵 + ��𝑎2 𝐼𝐼𝐶𝐶)

𝐼𝐼𝐴𝐴2 =13

( 𝐼𝐼𝐴𝐴 + ��𝑎2 𝐼𝐼𝐵𝐵 + ��𝑎 𝐼𝐼𝐶𝐶)



Resumindo:

– Componente de sequencia positiva: constituída por trêsfasores de módulos iguais e defasados entre si de 120°,tendo a mesma sequencia de fases do sistema original (abc);

– Componente de sequencia negativa: constituída por trêsfasores de módulos iguais e defasados entre si de 120°,tendo a sequencia de fases inversa do sistema original (acb);

– Componente de sequencia zero: constituída por três fasoresde módulos iguais e em fase.

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Observações:

– A seqüência Zero só existe em sistemas aterrados oucom neutro;

– Num sistema trifásico com condutor neutro 𝐼𝐼𝑛𝑛 = 𝐼𝐼𝑎𝑎 +𝐼𝐼𝑏𝑏 + 𝐼𝐼𝑐𝑐 𝐼𝐼𝑎𝑎0

= ⁄1 3 𝐼𝐼𝑛𝑛 𝐼𝐼𝑛𝑛 = 3 𝐼𝐼𝑎𝑎0

– Quando não há retorno → 𝐼𝐼𝑛𝑛 = 0 → correntes deseqüência 0 são nulas (carga ligada em ∆ não temcorrente de seqüência nula).

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Observações:

– A seqüência Negativa só existe se houver umdesbalanço nas tensões ou correntes;

– A seqüência Positiva sempre está presente nosistema elétrico.

23



24

A potência em termos de componentessimétricas:

(2)



25


– Lembrando que:

(3)

(4)



26


– Substituindo (3) e (4) em (2):

(5)

(6)



27

A potência em termos de componentessimétricas:– Porém:

– Logo, substituindo (7) em (6):

(7)𝐴𝐴 𝑇𝑇 𝐴𝐴 ∗ = 31 0 00 1 00 0 1

(8)



28

A potência em termos de componentessimétricas:– Lembrando que:

– Por fim,

(9)


Componentes Simétricas -Impedância

29

Em termos de componentes simétricas:

(10)



30

Em termos de componentes simétricas:– Lembrando que e reordenando

(10)

(11)



31

Em termos de componentes simétricas:– Colocando (11) em forma matricial

(12)

(12a)



32

Em termos de componentes simétricas:– Matriz original do sistema

Objetivo: Determinar as componentes de sequencia para (12a)



33

Substituindo (3) e (4) em (12a)

Tem-se:

(3)

(13)

(4)



34

Multiplicando (13) por

(14)

(15)



35

Substituindo [A], [A]-1 e [Zabc] em (15)

(16)

O sistema está desacoplado!



36

Substituindo (16) em (14):

(17)

Tensões de uma sequenciaproduzirão correntes apenas dessasequencia → circuitos de sequenciadesacoplados.


Modelos de sequencia

37

Gerador Síncrono



38

Gerador Síncrono– Sequencia zero para o gerador aterrado

Os potenciais sãotomados em relaçãoa Terra.

��𝑉𝑁𝑁𝑎𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑎𝑎 = −3��𝑍𝑁𝑁 𝐼𝐼𝑎



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Gerador Síncrono– Sequencia zero para o gerador aterrado

• Analisando por fase, com a fase “a” como referência

Para manter a mesma queda depotencial entre o neutro e a terra.



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Exemplo Transformador de dois enrolamentos



41

Exemplo Transformador com três enrolamentos


Referências bibliográficas

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STEVENSON, W. D.. Elementos de análise de sistemas de potencia. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1978.347 p.

OLIVEIRA, C.C.B.; SCHMIDT, H.P.; KAGAN, N.; ROBBA, E.J. - Introdução a Sistemas Elétricos de Potência -Componentes Simétricos – 2ª ed. - Ed. Edgard Blücher, São Paulo, 2000.

KINDERMANN, G. Curto-circuito. 4. ed. Florianópolis, SC: UFSC, 2007. 233 p.

KOTHARI, D. P.; NAGRATH, I. J. Modern Power System Analysis. [s.l.] Tata McGraw-Hill Publishing Company,2003. 353p.

SATO, F.; FREITAS, W.. Análise de Curto-Circuito em Princípios de Proteção em Sistemas de Energia Elétrica –Fundamentos e Prática. Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda., 2015. 447p.

BENEDITO, R. A. S. ET77J – Sistemas de Potência 1. Notas de aula. UTFPR, 2015, Curitiba.

CASTRO, C. A. IT 720 - Sistemas de Energia Elétrica I. Notas de aula. Unicamp, 2019, Campinas.

BARBOSA, Daniel. Notas de Aula – Sistemas Elétricos de Potência. UFBA, 2017, Salvador.

ALMEIDA, Alvaro A. W. Notas de Aula em Sistemas Elétricos de Potência. UTFPR, 2017, Curitiba.


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