Comportamento Dinâmico de Lajes Maciças de Concreto Leve...

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ARTUR LENZ SARTORTI

Comportamento Dinmico de Lajes Macias de Concreto

Leve com Prolas de EPS

VERSO CORRIGIDA

A verso original encontra-se na Escola de Engenharia de So Carlos

Tese apresentada ao Departamento de Engenharia

de Estruturas da Escola de Engenharia de So

Carlos da Universidade de So Paulo para a

obteno do ttulo de Doutor em Cincias,

Programa de Engenharia Civil (Estruturas).

rea de Concentrao:

Estruturas de Concreto e de Alvenaria.

Orientador: Prof. Dr. Libnio Miranda Pinheiro.

So Carlos

2015

AUTORIZO A REPRODUO E DIVULGAO TOTAL OU PARCIAL DESTE

TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRNICO, PARA

FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

minha esposa Cristiane pelo companheirismo,

pacincia e amor. Aos meus pais Orlando e

Marlene pela educao e incentivo.

AGRADECIMENTOS

A vida uma caminhada que no pode ser feita solitariamente. A companhia de outros

acaba sendo constante e essencial. Os favores que recebemos de outras pessoas valem muito

mais que um simples obrigado. Entretanto, lembrar-se de agradecer importante, pois quem

agradece recebe mais do que aquele a quem o agradecimento oferecido. Quero, em simples

linhas, dizer obrigado a algumas pessoas que me auxiliaram nessa caminhada.

Primeiramente agradeo a Deus, que meu Criador, pela vida, pela esperana e

companhia invisvel, mas perceptvel, em todos os momentos.

Ao meu orientador, Prof. Dr. Libnio Miranda Pinheiro. Seus conselhos e lies me

tornaram um profissional mais equilibrado e competente. Sua orientao foi de primeira linha.

Seu comprometimento com essa pesquisa foi integral. Obrigado!

Ao Prof. Dr. Ricardo Carrazedo que, com vasta experincia em dinmica das

estruturas, foi indispensvel para a realizao deste trabalho. Sou grato por sua dedicao,

esclarecimentos e colaborao nesta tese.

minha famlia, que suportou pacientemente as longas horas de dedicao pesquisa

e estudos. Ao meu filho, Artur Perassol Sartorti, e especialmente minha querida

companheira, Cristiane Perassol Sartorti, muito obrigado!

Aos meus pais, Marlene Lenz Sartorti e Orlando Sartorti, pelo incentivo, apoio e pela

educao. Serei eternamente grato por esse presente. minha sogra, Silvani Moreira, pelo

apoio.

Os companheiros de estudo e pesquisa Bianca Pereira Moreira Ozrio, Thiago Catoia,

Lara Kawai Marcos, Tiago Marrara Juliani, Gustavo de Miranda Saleme Gidro e

Hildebrando Jos Farkat Digenes, foram importantssimos na troca de informaes e no

apoio.

Um agradecimento especial deve ser feito aos funcionrios do Laboratrio de

Estruturas do SET. Luiz Vicente Vareda, Mario Botelho, Jorge Luis Rodrigues Brabo,

Fabiano Dorneles, Douglas Francisco Dutra Rompa e Romeu Bessan Neto no mediram

esforos em auxiliar de diversas formas o programa experimental deste trabalho.

Algumas pessoas, empresas e instituies contriburam para a realizao dos ensaios.

Ao Eng Jos Milton Kerbauy, detentor da patente do Concreto Ultraleve

, pelo fornecimento

dos materiais constituintes do CLEPE. empresa Otto Baumgart, na pessoa do Eng Ricardo

Faria, pelo fornecimento do graute. Jeruel Plsticos, na pessoa do Sr. Jos Fernando de

http://www.set.eesc.usp.br/portal/pt/funcionarios/175-mario-botelhohttp://www.set.eesc.usp.br/portal/pt/funcionarios/171-jorge-luis-rodrigues-brabohttp://www.set.eesc.usp.br/portal/pt/funcionarios/181-romeu-bessan-neto

Jesus, pelo fornecimento dos espaadores de armaduras. UNICAMP, pela autorizao de

utilizao do software SAP 2000.

Obrigado aos meus alunos e ex-alunos Andrews Magaieski Greep, Edwalter Stabenov

Junior, Raphael Morais, Tiago Guimares Csar, Samuel de Freitas Barboza, Denison de

Souza Hanelt e Murilo Aziz, que me auxiliaram na execuo dos ensaios.

Aos amigos Luciano Pereira Lopes e Jos Alves Martins, pelo auxlio na construo

das alvenarias de sustentao das lajes ensaiadas.

Agradeo tambm, aos conselhos e companheirismo profissional dos engenheiros

Itamar Vizotto e Leandro Dias Kster.

Com a cincia de que posso cometer erros e injustias, quero, na pessoa da secretria

da ps-graduao Rosi Aparecida Jordo Rodrigues, agradecer a todos os demais funcionrios

e professores do Departamento de Estruturas da Escola de Engenharia de So Carlos da

Universidade de So Paulo (SET/EESC/USP).

Agradeo ao Centro Universitrio Adventista de So Paulo, campus Engenheiro

Coelho (UNASP EC), o auxlio moral e financeiro que recebi ao longo desses anos.

Agradeo tambm ao UNASP EC pela formao profissional que ali recebi, em especial ao

Prof. Dr. Julio Soriano.

Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), na pessoa do Prof. Tit. Nilson

Tadeu Mascia, pela formao obtida no mestrado.

Finalmente, quero agradecer ao SET/EESC/USP pela oportunidade de concluso deste

sonho pessoal.

No to mandei eu? S forte e corajoso; no

temas, nem te espantes, porque o Senhor, teu

Deus, contigo por onde quer que andares.

Bblia Sagrada (Josu 1:9)

http://www.pensador.info/autor/Sabedoria_persa/

RESUMO

SARTORTI, A. L. Comportamento Dinmico de Lajes Macias de Concreto Leve com

Prolas de EPS. 2015. 251p. Tese (Doutorado) Departamento de Engenharia de Estruturas

da Escola de Engenharia de So Carlos da Universidade de So Paulo, So Carlos, 2015.

O Concreto Leve Estrutural com Prolas de EPS (CLEPE), ou simplesmente Concreto com

EPS, uma alternativa na execuo de lajes macias. Como possui uma reduo da ordem de

50% no peso prprio em relao ao Concreto Convencional (CC), suas caractersticas

dinmicas so diferentes. Neste trabalho descreve-se o comportamento dinmico de lajes de

CLEPE que so comparadas com as de CC por meio de ensaios dinmicos e uma anlise

paramtrica. Nos ensaios dinmicos focou-se a obteno de trs fatores imprescindveis em

uma anlise dinmica, que so as frequncias naturais, os modos de vibrao (deformadas

modais) e o amortecimento estrutural, valor determinado experimentalmente que constitui

dado de entrada em simulaes numricas. Os resultados experimentais indicam que o fator

de amortecimento do CLEPE ligeiramente maior que o do CC. J os resultados da anlise

paramtrica revelam que a diminuio da rigidez preponderante em relao diminuio da

massa do CLEPE, o que acarreta na diminuio das frequncias naturais das lajes com este

material. Mesmo com um amortecimento maior, as lajes de CLEPE apresentam maior

sensibilidade s vibraes. Esta constatao, entretanto, no exclui o CLEPE como um

material estrutural, apenas indica que, como no uso de qualquer material, as estruturas com

CLEPE tambm devem ser verificadas com relao ao comportamento dinmico.

Palavras-chave: Anlise Dinmica; Vibrao; Concreto com EPS; Lajes; Anlise Modal;

Frequncias Naturais; Amortecimento; Ressonncia.

ABSTRACT

SARTORTI, A. L. Dynamic Behavior of Massive Slabs of Lightweight Concrete with

EPS Beads. 2015. 251p. Thesis (PhD) Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola

de Engenharia de So Carlos da Universidade de So Paulo, So Carlos, 2015.

The Structural Lightweight Concrete with EPS Beads (SLCEB), or simply EPS concrete, is an

alternative in the execution of massive slabs. As it has a reduction in the order of 50% in self-

weight in relation to the Ordinary Concrete (OC), its dynamic characteristics are different. In

this work it is described the dynamic behavior of SLCEB slabs whose are compared with

those of OC by means of dynamic tests and a parametric analysis. The obtainment of three

essential factors in a dynamic analysis, which are natural frequencies, the ways of vibration

(deformed modal), and the structural damping, experimentally determinate value which

constitutes an input data in numerical simulations are focused in the dynamical tests. The

experimental results indicate that the damping factor of SLCEB is a little bigger than the OC

ones. Although, the results of the parametric analysis indicate that the decrease of stiffness is

preponderant in relation to the decrease of the SLCEB mass, which result in some decrease of

natural frequencies of slabs with this material. In despite of having a bigger damping, the

SLCEB slabs expose a bigger sensibility to vibrations. However, this observation does not

exclude the SLCEB as a structural material. It only means that as in use of any material, the

SLCEB structures must be also verified in relation to the dynamic behavior.

Keywords: Dynamic Analysis; Vibration; EPS Concrete; Modal Analysis; Natural

Frequencies; Damping; Resonance.

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ABNT Associao Brasileira de Normas Tcnicas;

ABRAPEX Associao Brasileira de Poliestireno Expandido;

ACI American Concrete Institute (Instituto Americano no Concreto);

ARI Alta Resistncia Inicial;

ASTM - American Society for Testing and Materials (Sociedade Americana para Ensaios e

Materiais);

BS British Standard (Norma Britnica);

CA Concreto Armado;

CC Concreto Convencional;

CLE Concreto Leve com EPS;

CLEPE Concreto Leve Estrutural com Prolas de EPS;

CLPE Concreto Leve com Prolas de EPS;

CP Cimento Portland;

CP Corpo de Prova;

DFT Discrete Fourier Transform (Transformada Discreta de Fourier);

ECD Ensaios de Caracterizao Dinmica;

ECE Ensaios de Caracterizao Esttica;

EESC Escola de Engenharia de So Carlos;

ELS-VE Estado Limite de Vibrao Excessiva;

ELU Estado Limite ltimo;

EPS Expanded Polystyrene (Poliestireno Expandido);

EVA Ethylene-vinyl Acetate (Etileno-acetato de Vinila);

FFT Fast Fourier Transform (Transformao Rpida de Fourier);

FRF Frequency Responce Function (Funo da Resposta em Frequncia);

ISO International Organization for Standardization (Organizao Internacional para

Normalizao);

LVDT Linear Variable Differential Transformer (Transformador Diferencial Varivel

Linear);

MDOF Multi Degree of Freedom (Mltiplos Graus de Liberdade);

MEF Mtodo dos Elementos Finitos;

NBR Norma Brasileira;

PIM Power Input Method (Mtodo da Entrada de Energia);

PS Polyestyrene (Poliestireno);

PSD Power Spectrum Density (Espectro de Densidade de Potncia);

RMS Root Mean Square (Mdia da Raiz Quadrada);

SDOF Single Degree of Freedon (Um Grau de Liberdade);

SET Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP;

UNASP - EC Centro Universitrio Adventista de So Paulo Campus Engenheiro Coelho;

UNICAMP Universidade Estadual de Campinas;

USP Universidade de So Paulo;

VDM Vibration Dose Value (Parmetro de vibrao).

LISTA DE SMBOLOS

Letras Minsculas

0a amplitude da frequncia fundamental;

ia coeficientes que determinam a rea de cada janela;

xcalsa ,, rea de ao calculada na direo x;

ycalsa ,, rea de ao calculada na direo y;

min,sa rea de ao mnima;

)(ta acelerao em funo do tempo t;

wb largura da pea fletida;

c coeficiente de amortecimento;

cc coeficiente de amortecimento crtico;

nomc cobrimento nominal da armadura;

d altura til;

xd altura til na direo x;

yd altura til na direo y;

dt variao do tempo;

d variao da deformao;

d variao da tenso;

f fora;

cf resistncia do concreto compresso;

cdf resistncia de clculo do concreto compresso;

cif resistncia compresso de um corpo de prova i de concreto;

ckf resistncia caracterstica do concreto compresso;

cmf resistncia mdia do concreto compresso;

Df fora de dissipao;

If fora de inrcia;

lf frequncia fundamental para a barra em modo longitudinal;

nf frequncia natural;

Sf fora de restaurao;

tf frequncia fundamental para a barra em modo torcional;

ydf resistncia de clculo de escoamento do ao;

pf frequncia da atividade desenvolvida;

)(tf funo da fora harmnica no tempo;

kg valor caracterstico da ao permanente adicional;

T

cig ][ i-sima linha da matriz de participao modal estocstica;

lajeh espessura da laje;

)(th amplitude;

i contador;

j contador ou nmero complexo 1j ;

k coeficiente de rigidez linear de mola ou uma constante;

ck e sk coeficientes para o clculo de armadura de flexo;

x menor vo da laje;

m massa ou um contador;

xdm momento fletor de clculo na direo x;

ydm momento fletor de clculo na direo y;

you x mq momento fletor na direo x ou na direo y;

p nmero de ciclos ou valor da carga uniformemente distribuda;

dp valor de clculo do carregamento para ELU;

kpp valor caracterstico do peso prprio;

kq valor caracterstico da ao varivel;

s desvio padro;

t tempo;

v velocidade;

x coordenada da direo do movimento vibratrio;

0x amplitude inicial;

px amplitude final;

}{x vetor de deslocamento;

}{x vetor de velocidade;

}{x vetor de acelerao;

ky sinais discretos no tempo;

kw janela de dados.

Letras Maisculas

sA rea de ao;

][C matriz e amortecimento;

D dimetro do corpo de prova;

E mdulo de elasticidade;

cE mdulo de elasticidade esttico do concreto;

dcE , mdulo de elasticidade dinmico do concreto;

nE representao da amplitude do n-simo harmnico;

}{F vetor de fora;

pF fator de pico da vibrao considerada;

)( exF fora harmnica em funo da frequncia de excitao ex ;

G mdulo de elasticidade transversal dinmico do concreto ou peso de uma pessoa;

)(ijH resposta da estrutura em FRF;

K fator de correo;

][K matriz de rigidez;

L comprimento do corpo de prova;

M fator de magnificao dinmica ou momento fletor em uma pea;

][M matriz de inrcia;

N nmero de graus de liberdade, unidade de fora Newton ou nmero de valores discretos

dos sinais;

yS matriz das funes de densidade espectral de resposta;

)( mmS estimativa da matriz de funes de densidade espectral;

T tempo de durao total dos sinais;

'

1T fator de correo;

nT perodo natural;

pT perodo constante ou perodo do passo humano;

0X deslocamento esttico da estrutura;

}{X vetor de constantes;

)( exX deslocamento em funo da frequncia de excitao ex ;

),( TY DFT de resposta discreta no tempo;

)]([ exZ matriz de rigidez dinmica.

Letras Gregas Minsculas

i coeficiente da srie de Fourier do i-simo harmnico;

)( ex funo da resposta em frequncia de deslocamento denominada de receptncia;

varincia ou valor do decremento logartmico;

taxa de variao da deformao no tempo;

dimetro da barra de ao;

i ngulo de diferena de fase;

ref dimetro de referncia para armadura longitudinal de trao;

massa especfica;

valor complexo;

i valores prprios do sistema;

ou coeficiente de Poisson;

][ ci i-sima linha da matriz de resposta modal;

x coeficiente adimensional para clculo de momento fletor na direo x;

y coeficiente adimensional para clculo de momento fletor na direo y;

n representao da fase do n-simo harmnico;

massa especfica;

1 taxa de armadura longitudinal;

min taxa mnima de armadura;

taxa de variao da tenso no tempo;

frequncia natural circular;

d frequncia natural amortecida;

ex frequncia excitadora;

m frequncia discreta arbitrria;

min taxa mecnica de armadura mnima;

n frequncia circular do sistema;

][ matriz de frequncias naturais;

fator de amortecimento ou razo de amortecimento.

Letras Gregas Maisculas

f inverso da durao total dos sinais;

t intervalo de tempo entre os valores discretos dos sinais;

][ matriz modal.

Unidades de Medida

dB decibel;

cm centmetro;

g grama;

G giga (109);

Hz Hertz;

k quilo (103);

K Kelvin;

m metro;

mm milmetro;

M mega (106);

N Newton;

Pa Pascal;

s segundo;

W Watt.

SUMRIO

1. INTRODUO .................................................................................................................. 27

1.1 Justificativa ............................................................................................................. 29

1.2 Objetivos .................................................................................................................. 30

1.2.1 Objetivo geral ............................................................................................................. 30

1.2.2 Objetivos especficos .................................................................................................. 30

1.3 Metodologia ............................................................................................................. 31

1.4 Contedo do trabalho ............................................................................................. 31

2. DINMICA DAS ESTRUTURAS .................................................................................... 33

2.1 Sistemas de um grau de liberdade ................................................................................ 35

2.1.1 Equao do movimento, frequncia natural e fator de amortecimento ...................... 35

2.1.2 Ressonncia e antirressonncia ................................................................................... 39

2.2 Sistemas de mltiplos graus de liberdade .................................................................... 40

2.3 Anlise modal ................................................................................................................. 43

2.3.1 Anlise modal clssica ................................................................................................ 48

2.3.2 Anlise modal estocstica ........................................................................................... 53

2.3.2.1 Funes de densidade espectral ........................................................................... 54

2.3.2.2 Estimativa das funes de densidade espectral da resposta ................................ 55

2.4 Tcnicas da anlise modal experimental ..................................................................... 57

2.4.1 Fixao da estrutura .................................................................................................... 57

2.4.2 Excitao da estrutura ................................................................................................. 58

2.4.3 Aquisio de sinais ..................................................................................................... 60

2.4.4 Processamento dos dados ............................................................................................ 62

2.4.5 Identificao dos parmetros modais .......................................................................... 68

2.4.6 Mensurao do amortecimento ................................................................................... 69

2.4.6.1 Decremento Logartmico ...................................................................................... 70

2.4.6.2 Largura de Banda ou Meia Potncia .................................................................... 71

2.5 Caracterizao dinmica do concreto .......................................................................... 73

2.5.1 Comparao entre o mdulo de elasticidade esttico e o dinmico ........................... 77

2.5.2 Amortecimento de estruturas de concreto .................................................................. 82

2.6 Aceitabilidade dos nveis vibratrios em estruturas de concreto .............................. 84

2.6.1 Foras dinmicas oriundas da atividade humana ....................................................... 85

2.6.2 Limites e recomendaes devidas ao desempenho estrutural .................................... 90

2.6.3 Limites e recomendaes devidas sensibilidade e ao conforto humano ................. 91

3. CONCRETO LEVE ESTRUTURAL COM PROLAS DE EPS ................................. 97

3.1 Materiais constituintes do CLEPE .............................................................................. 99

3.2 Comentrios gerais sobre o CLEPE .......................................................................... 103

3.3 CLEPE, concreto com agregados leves e concreto celular ...................................... 105

3.3.1 Trabalhabilidade ....................................................................................................... 106

3.3.2 Massa especfica ....................................................................................................... 107

3.3.3 Resistncia compresso ......................................................................................... 108

3.3.4 Resistncia trao .................................................................................................. 109

3.3.5 Mdulo de elasticidade ............................................................................................. 109

3.3.6 Retrao e fluncia ................................................................................................... 109

3.3.7 Durabilidade ............................................................................................................. 110

3.4 Aplicabilidade do CLEPE na construo civil ......................................................... 110

4. PROGRAMA EXPERIMENTAL DESCRIO E PREPARATIVOS .................. 113

4.1 Viso geral do programa experimental ..................................................................... 113

4.2 Modelos e configurao dos ensaios dinmicos sobre alvenaria ............................. 114

4.2.1 Construo dos apoios de alvenaria estrutural ......................................................... 115

4.2.2 Fabricao das lajes .................................................................................................. 117

4.2.2.1 Lajes de concreto convencional (CC) ................................................................ 121

4.2.2.2 Lajes de CLEPE ................................................................................................. 122

4.2.3 Configurao dos ensaios dinmicos das lajes ......................................................... 124

4.2.3.1 Configurao do 1 ensaio dinmico ................................................................. 127

4.2.3.2 Configurao do 2 ensaio dinmico ................................................................. 128

4.2.3.3 Configurao do 3 ensaio dinmico ................................................................. 129

4.2.3.4 Configurao do 4 ensaio dinmico ................................................................. 130

4.2.3.5 Configurao do 5 ensaio dinmico ................................................................. 131

4.2.3.6 Configurao do 6 ensaio dinmico ................................................................. 132

4.2.4 Graute de ligao das lajes ....................................................................................... 133

5. CARACTERIZAO DOS MATERIAIS DAS LAJES SOBRE ALVENARIA ...... 135

5.1 Ensaios de caracterizao dinmica ........................................................................... 135

5.1.1 Resultados dos ECD para as lajes de CC .................................................................. 136

5.1.2 Resultados dos ECD para as lajes de CLEPE ........................................................... 139

5.2 Ensaios de caracterizao esttica ............................................................................. 143

5.2.1 Resultados e anlise dos ECE para as lajes de CC ................................................... 144

5.2.2 Resultados e anlise dos ECE para as lajes de CLEPE ............................................ 145

6. RESULTADOS DOS ENSAIOS DINMICOS SOBRE ALVENARIA ..................... 147

6.1 Resultados do ensaio dinmico piloto com a laje 6 de CC ....................................... 147

6.2 Resultados dos ensaios dinmicos das lajes de CC ................................................... 158

6.2.1 Primeiro ensaio dinmico com lajes de CC .............................................................. 159

6.2.2 Segundo ensaio dinmico com lajes de CC .............................................................. 160

6.2.3 Terceiro ensaio dinmico com lajes de CC .............................................................. 162

6.2.4 Quarto ensaio dinmico com lajes de CC ................................................................. 164

6.2.5 Quinto ensaio dinmico com lajes de CC ................................................................. 166

6.2.6 Sexto ensaio dinmico com lajes de CC ................................................................... 168

6.3 Resultados dos ensaios dinmicos das lajes de CLEPE ........................................... 170

6.3.1 Primeiro ensaio dinmico com lajes de CLEPE ....................................................... 170

6.3.2 Segundo ensaio dinmico com lajes de CLEPE ....................................................... 171

6.3.3 Terceiro ensaio dinmico com lajes de CLEPE ........................................................ 173

6.3.4 Quarto ensaio dinmico com lajes de CLEPE .......................................................... 174

6.3.5 Quinto ensaio dinmico com lajes de CLEPE .......................................................... 176

6.3.6 Sexto ensaio dinmico com lajes de CLEPE ............................................................ 178

6.4 Observaes gerais dos ensaios dinmicos ................................................................ 179

7. ENSAIOS DINMICOS EM LAJES SOBRE MOLAS ............................................... 181

7.1 Resultados do ensaio dinmico da laje de CC ........................................................... 187

7.2 Resultados do ensaio dinmico da laje de CLEPE ................................................... 191

7.3 Caracterizao dinmica e esttica dos concretos das lajes sobre molas ............... 195

7.4 Comentrios sobre os ensaios dinmicos das lajes sobre molas .............................. 196

8. ANLISE PARAMTRICA EM LAJES DE CC E DE CLEPE ................................ 199

8.1 Resultados .................................................................................................................... 201

8.2 Anlise dos resultados ................................................................................................. 217

9. CONCLUSO .................................................................................................................. 219

9.1 Concluses gerais ........................................................................................................ 219

9.2 Concluses sobre as caractersticas dos materiais ................................................... 220

9.3 Concluses sobre o estudo paramtrico entre lajes de CC e de CLEPE ................ 222

9.4 Sugestes para trabalhos futuros ............................................................................... 223

9.5 Comentrios finais ...................................................................................................... 223

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ............................................................................... 225

APNDICE A DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DAS LAJES ................... 235

A.1 Lajes de concreto com densidade normal ................................................................ 235

A.2 Lajes de concreto com CLEPE ................................................................................. 238

APNDICE B TABELAS ................................................................................................ 241

27

1. Introduo

A demanda por moradias tem motivado e impulsionado o surgimento de novos

materiais de construo, com caractersticas ainda pouco conhecidas. Nesse contexto, o

concreto leve estrutural com prolas de EPS (poliestireno expandido), apesar de no ser

indito, ressurge como uma alternativa para a execuo de lajes em obras de interesse social e

em outras edificaes, inclusive de outros sistemas construtivos, como, por exemplo, paredes

portantes.

De fato, o concreto leve estrutural com prolas de EPS (peso especfico da ordem de

12 kN/m) mostra-se vantajoso por reduzir significativamente o peso prprio das peas em

que ele empregado. Essa reduo, da ordem de 50%, explicada pela baixa densidade do

EPS e pelo fato de no absorver gua.

Por outro lado, percebe-se que existe uma tendncia de fornecer maiores nveis de

conforto e segurana aos usurios das edificaes, garantindo implicitamente um adequado

desempenho estrutural. Essas exigncias esto sendo asseguradas aos usurios atravs da

aplicao de normas, regulamentos e leis cada vez mais rgidas e restritas, que

responsabilizam o projetista, o fabricante do material e o executor da obra, com detalhes aos

quais no era dada maior ateno, h alguns anos. Um exemplo claro a aplicao da ABNT

NBR 15575-2:2013, que trata do desempenho exigido dos sistemas estruturais.

Uma dessas exigncias o comportamento dinmico das estruturas. Estudos e

pesquisas recentes tm demonstrado que prejuzos sade humana tm sido gerados pela

exposio (por tempo considervel) a vibraes excessivas ou pela utilizao de estruturas

que no respeitam limites mximos para as vibraes. Tambm as vibraes excessivas tm

sido responsveis por grandes casos de manifestaes patolgicas estruturais.

A anlise dinmica desenvolvida nesta pesquisa busca a determinao de trs itens

imprescindveis em qualquer anlise desse tipo, que so as frequncias naturais, os modos de

vibrao (deformadas modais) e o amortecimento estrutural, valor determinado

experimentalmente e que constitui dado de entrada em simulaes numricas. Esses

parmetros so de extrema importncia quando desenvolvido um projeto estrutural.

28 Captulo 1 - Introduo

Em geral, as normas e os regulamentos definem um limite mnimo para a frequncia

natural da estrutura. A ideia inerente nesse conceito afastar o mximo possvel a frequncia

de excitao da frequncia natural, evitando a ressonncia.

As deformadas modais, alm de indicarem a forma de movimentao da estrutura em

uma determinada frequncia natural, auxiliam na determinao dos pontos em que devem ser

medidas as respostas da estrutura.

Em casos nos quais os efeitos dinmicos sobre a estrutura so excessivos, a elevao

do fator de amortecimento uma das possveis solues. Portanto, a determinao do

amortecimento da estrutura importante na anlise dinmica.

Essa anlise denominada anlise modal, que um processo para determinao das

caractersticas dinmicas inerentes de um sistema, em forma de frequncias naturais, fatores

de amortecimento e modos de vibrao, aplicando-os para formular um modelo matemtico

para o seu comportamento dinmico. Esse modelo matemtico referido como o modelo

modal do sistema, e suas caractersticas so conhecidas como os seus dados modais (HE e

FU, 2001).

Tanto a anlise terica (modelo em elementos finitos) quanto a anlise experimental

fazem parte da anlise modal. A vantagem da utilizao do modelo terico e do experimental

a retroalimentao. Em outras palavras, o modelo terico fornece dados iniciais para o

planejamento do modelo experimental, que por sua vez alimenta o modelo terico com dados

mais realistas, calibrando esse modelo terico e possibilitando futuras anlises com maior

domnio dos parmetros envolvidos.

Para que a anlise dinmica seja realizada com sucesso, o material precisa ter as

caractersticas fsicas (principalmente o mdulo de elasticidade) avaliadas de forma dinmica.

Sendo assim, a determinao do mdulo de elasticidade dinmico do concreto, nesta pesquisa,

feita atravs do Sonelastic, que um equipamento acoplado a um software que, ao captar o

som emitido pelo material, devido a um pequeno impacto, realiza uma transformada rpida de

Fourier (FFT) e mede a resposta do corpo de prova. Com essa resposta possvel a

determinao das frequncias naturais e do fator de amortecimento do material. Com a

frequncia natural, possvel obter o denominado mdulo de elasticidade dinmico,

imprescindvel para esse tipo de anlise. Destaca-se que esse ensaio no destrutivo, podendo

ser realizado inmeras vezes. Maiores detalhes so apresentados no Captulo 4 deste trabalho.

Popularmente, o termo concreto refere-se a algo slido e que possui peso

considervel. A associao do termo leve ao concreto pode causar certa perplexidade ao

pblico leigo, que no esperaria tal caracterstica em um concreto. Entretanto, a necessidade

Captulo 1 Introduo 29

de atender a especificaes precisas, como a reduo do peso prprio das estruturas, levou a

cincia do concreto a desenvolver solues especiais, entre elas o concreto leve.

A origem da aplicao dos concretos leves remonta a 1850 anos, no Panteo romano,

reconstrudo, aps um incndio, pelo imperador Adriano, com a utilizao de agregado

grado de cinza vulcnica muito porosa e leve (ATCIN, 2000).

Nesse contexto, com a aplicao de um material relativamente novo e pouco estudado,

como o concreto leve estrutural com prolas de EPS (CLEPE), torna-se imperativo o estudo

das propriedades fsicas, reolgicas e dinmicas do material. As propriedades fsicas e

reolgicas do CLEPE foram estudadas na pesquisa de Catoia (2012) e so brevemente

abordadas nesta pesquisa. Porm, no existe um trabalho sobre as propriedades dinmicas do

CLEPE, inclusive quando empregado em lajes macias.

A ausncia de pesquisas sobre o comportamento dinmico do CLEPE em lajes motiva

o desenvolvimento deste trabalho, pois se compreende que tal material tem grandes

possibilidades de aplicao, reduzindo o custo global da edificao e contribuindo como uma

alternativa sustentabilidade na construo civil.

1.1 Justificativa

Observando-se as aes em uma edificao, e destacando-se entre elas o peso prprio

da estrutura, nota-se que este representa boa parte do total de esforos que a estrutura deve

resistir. Fracionando-se em trs grupos principais os elementos da superestrutura de um

edifcio, tm-se os pilares, as vigas e as lajes.

Os pilares so elementos que, em geral, contribuem pouco para o peso total da

estrutura e resistem cargas da ordem de cem vezes maiores que seu peso prprio. Situao

semelhante acontece com as vigas, que resistem cargas dezenas de vezes maiores que seu

peso. Porm, isso no acontece nas lajes.

Estas, em grande parte dos casos, possuem baixos nveis de tenso em servio, mas,

por possurem pouca rigidez (devido inrcia reduzida), muitas vezes necessitam ter sua

espessura aumentada, o que acarreta uma grande elevao do seu peso prprio. Assim sendo,

a maior parte do peso prprio da estrutura de um edifcio dada pelas lajes, que possuem, via

de regra, as menores tenses.

Fica justificada ento a busca pela reduo do peso prprio das lajes, o que pode ser

conseguido com o uso de concretos de reduzido peso especfico. O CLEPE, portanto, uma

30 Captulo 1 - Introduo

possibilidade e uma alternativa, j que pode apresentar um peso especfico da ordem de

12 kN/m, metade do relativo ao concreto convencional (CC), que em mdia de 24 kN/m.

Porm, a reduo de massa da estrutura e a diferena no mdulo de elasticidade do

material alteram suas propriedades dinmicas e, como j foi comentado, o excesso de

vibraes em uma estrutura pode no apenas gerar danos a ela, mas tambm incmodos aos

usurios.

No existindo pesquisas sobre o comportamento dinmico do CLEPE, fica justificada

a importncia desta pesquisa para a correta compreenso do comportamento dinmico de lajes

com CLEPE e para o aperfeioamento da utilizao do material na construo civil.

1.2 Objetivos

Apresentam-se aqui os objetivos do trabalho, tanto o geral quanto os especficos.

1.2.1 Objetivo geral

O objetivo geral consiste em avaliar o comportamento dinmico de lajes macias feitas

com CLEPE, fazendo-se uma comparao com o comportamento dinmico de lajes com as

mesmas caractersticas, porm feitas com concreto convencional (CC).

1.2.2 Objetivos especficos

Destacam-se os seguintes objetivos especficos:

- Caracterizar experimentalmente as propriedades de mdulo de elasticidade, massa

especfica e amortecimento do CLEPE e compar-las com as do CC;

- Avaliar experimentalmente o comportamento dinmico de lajes produzidas com

CLEPE, comparando-o ao de lajes semelhantes de CC;

- Realizar um estudo paramtrico e comparativo do comportamento dinmico de lajes

de CLEPE e de concreto convencional.

Captulo 1 Introduo 31

1.3 Metodologia

O estudo desenvolvido nesta tese compreende as etapas de reviso bibliogrfica,

anlise experimental e anlise paramtrica.

A reviso bibliogrfica engloba conceitos sobre dinmica das estruturas, ensaios

dinmicos de caracterizao do material concreto, aceitabilidade de vibraes em estruturas e

conceitos relacionados ao CLEPE.

A parte experimental da tese engloba dois grupos de ensaios dinmicos. No primeiro

grupo foram analisadas lajes apoiadas sobre alvenarias. Em detrimento das condies de

contorno complexas com a alvenaria de apoio, o programa experimental prosseguiu com um

segundo grupo de ensaios dinmicos, com lajes apoiadas sobre molas.

Para a execuo da parte experimental, previamente foram realizadas anlises

numricas para a definio dos pontos de leitura e de excitao durante os ensaios dinmicos.

Os resultados foram processados em rotinas que contemplam a anlise modal estocstica.

Com os resultados processados, obtiveram-se as frequncias naturais e as deformadas modais.

Utilizando-se um filtro passa-banda, o sinal de uma determinada frequncia natural foi obtido,

e assim, estimou-se o amortecimento modal pelo mtodo do decremento logartmico.

Com os resultados dos ensaios dinmicos de caracterizao e os ensaios dinmicos nas

lajes, foi desenvolvida uma anlise paramtrica em lajes de concreto convencional e de

CLEPE. Para tanto, foram elaborados no software SAP 2000, modelos de lajes com

diferentes alturas e vos, aplicando-se a ao dinmica de caminhar de uma pessoa de 80 kg.

Os resultados foram avaliados com base em critrios de aceitabilidade das estruturas frente ao

conforto humano.

Finalmente, so apresentadas comparaes e concluses relativas s diferentes anlises

realizadas.

1.4 Contedo do trabalho

So dois os captulos destinados reviso bibliogrfica:

- O Captulo 2 apresenta os conceitos relativos dinmica das estruturas. Nele,

tambm, so discutidos os ensaios de caracterizao dinmica dos materiais e os critrios de

aceitabilidade das vibraes em estruturas;

- No Captulo 3 descrito com mais detalhes o CLEPE e sua relao com outros

concretos leves.

32 Captulo 1 - Introduo

O programa experimental est dividido em quatro captulos:

- No Captulo 4 apresenta-se um panorama geral do programa experimental, incluindo

os preparativos para os ensaios sobre alvenaria;

- O Captulo 5 descreve a metodologia dos ensaios de caracterizao dos materiais,

indicando tambm os resultados dessa caracterizao;

- Os ensaios dinmicos das lajes sobre alvenaria tm seus resultados e discusses

apresentados no Captulo 6;

- No Captulo 7 encontram-se os ensaios dinmicos de duas placas apoiadas sobre

molas; como nas lajes anteriores, nestas tambm foi usado o software SAP 2000.

Com a finalidade de observar o comportamento das lajes de CLEPE em relao s de

CC no quesito dinmico, foi realizada, no Captulo 8, uma anlise paramtrica frente ao

de caminhada de uma pessoa. Para essa anlise tambm foi utilizado o SAP 2000.

O Captulo 9 traz as principais concluses da tese, indicando valores recomendados

para uso na avaliao dinmica de estruturas com CLEPE, em situaes de projeto.

33

2. Dinmica das Estruturas

Neste captulo sero apresentados os conceitos bsicos de anlise dinmica,

caracterizao dinmica do concreto e aceitabilidade dos nveis vibratrios em estruturas.

O estudo dinmico em estruturas civis tem ganhado terreno no mercado brasileiro,

sendo que em alguns pases essa j uma prtica corrente. Nbrega (2004) e Almeida (2010)

destacam a necessidade desse estudo, tendo em vista: necessidade de economia dos recursos

energticos; tendncia arquitetnica de estruturas mais leves e esbeltas; desenvolvimento de

materiais mais resistentes; adoo de tcnicas construtivas mais rpidas, como a utilizao de

elementos pr-moldados; alto grau de degradao e srias patologias devidas a excessos

vibratrios em edificaes j existentes; mudana, forma e intensidade de algumas aes;

possibilidade da utilizao de tcnicas computacionais que refinem e agilizem a anlise.

Faisca (2003) aborda o assunto da anlise dinmica de estruturas como importante

quesito de aceitabilidade da construo, devida a excessos vibratrios que podem gerar

desconforto e at mesmo doenas aos usurios. Bachmann et al. (1997) comentam que o

corpo humano pode sentir deslocamentos vibratrios da ordem de 0,001 mm, sendo que as

pontas dos dedos so 20 vezes mais sensveis. Alguns efeitos deletrios s pessoas, pontuados

pelos citados autores, so: insegurana, tonturas e nuseas.

A dinmica das estruturas tem como grande objetivo a mensurao de deslocamentos,

velocidades e aceleraes nos elementos constituintes da estrutura que submetida a aes

dinmicas que provocam vibraes, conforme Lima e Santos (2008). De acordo com Almeida

(2005) e Digenes (2010), vibrao o movimento oscilatrio de uma estrutura ou objeto em

torno de um ponto fixo, que sua deformada esttica.

As aes dinmicas geram quatro tipos de vibrao, segundo Clough e Penzien (1995).

No primeiro grupo esto as aes harmnicas, que geralmente seguem uma funo seno ou

cosseno. As aes peridicas formam o segundo grupo e caracterizam-se por apresentar

repeties em intervalos peridicos de tempo (perodo). O terceiro grupo so as aes

transientes, que geralmente tm sua resposta estimada estatisticamente, como os tremores de

terra. No quarto e ltimo grupo tm-se as aes impulsivas, que tambm so transientes,

porm com um tempo de durao muito curto.

34 Captulo 2 Dinmica das Estruturas

Harris (2002) afirma ainda que a vibrao pode ser descrita como determinstica ou

aleatria. A determinstica segue um modelo estabelecido, de modo que o valor da vibrao

em qualquer momento futuro totalmente previsvel, a partir da histria do passado (vibrao

harmnica e peridica). J a vibrao aleatria quando o seu valor futuro imprevisvel,

exceto com base na probabilidade (vibrao transiente e impulsiva).

Conforme Almeida (2005) e Balachandran e Magrab (2011), os sistemas vibratrios

podem ser classificados em:

- Discretos, quando apresentam um nmero finito de graus de liberdade1. Exemplo:

massas discretas e corpos rgidos;

- Contnuos, quando no possvel determinar um nmero finito de graus de

liberdade. Exemplo: vigas, pilares e placas;

- De vibrao livre, quando no existe fora dinmica aplicada no sistema;

- De vibrao forada, quando a vibrao impelida por foras externas;

- Conservativos, quando no apresentam elementos dissipadores de energia

(amortecedores). tambm denominada vibrao no amortecida;

- No conservativos, quando apresentam elementos dissipadores de energia. Tambm

denominada vibrao amortecida;

- Lineares, quando as relaes caractersticas entre foras e velocidade (amortecedor) e

foras e deslocamentos (molas) podem ser expressas de forma linear, e os efeitos podem ser

sobrepostos;

- No lineares, quando as relaes caractersticas entre foras e velocidade

(amortecedor) e foras e deslocamentos (molas) so expressas de forma no linear, e os

efeitos no podem ser sobrepostos.

Entre as aplicaes e as vantagens do uso da anlise dinmica podem ser citados os

seguintes pontos:

- A anlise dinmica de estruturas um meio eficaz de identificar, quantificar e

localizar danos na estrutura. Desenvolvimento de danos locais ou globais (fissuras e vazios no

concreto) gera perda de rigidez ou de massa, modificando as frequncias naturais e os modos

de vibrao da estrutura [ALMEIDA (2010)];

1 Rao (2011), p.14, define graus de liberdade como o nmero mnimo de coordenadas independentes

necessrio para determinar completamente as posies de todas as partes de um sistema, em qualquer instante de

tempo.

Captulo 2 Dinmica das Estruturas 35

- Com os conceitos da dinmica foram desenvolvidos ensaios e tcnicas para a

investigao das propriedades do concreto, como observado em Malhotra (1986). Esses

ensaios so no destrutivos, tendo como principal caracterstica a possibilidade de serem

executados em estruturas reais, permitindo uma futura conferncia de resultados na mesma

amostra (reprodutividade do ensaio);

- A anlise modal, a determinao das frequncias naturais, a determinao de

velocidades e de aceleraes vibratrias e o monitoramento de estruturas so ainda outras

vantagens da anlise dinmica experimental e numrica, conforme Inman (2001).

2.1 Sistemas de um grau de liberdade

Os sistemas que podem ter o movimento vibratrio descrito por apenas uma

coordenada independente so chamados de sistemas de um grau de liberdade (single degree of

freedom SDOF). Apesar de terem uma aplicao limitada para estruturas civis, sua

abordagem justificada neste trabalho por apresentar conceitos importantes utilizados nos

sistemas de mltiplos graus de liberdade (multi degree of freedom MDOF) e na anlise

modal.

2.1.1 Equao do movimento, frequncia natural e fator de amortecimento

As equaes de movimento de um sistema vibratrio so diferenciais e baseadas nas

Leis de Newton. Balachandran e Magrab (2011) apresentam dois mtodos para a

determinao da equao governante do movimento. O primeiro consiste no equilbrio de

foras, e o segundo, na utilizao das equaes de Lagrange. A determinao da equao do

movimento pelo mtodo da somatria de foras ilustrada em seguida, com base no sistema

vibratrio SDOF mostrado na Figura 2.1.

Figura 2.1 Esquema de um sistema SDOF.

Fonte: Clough e Penzien (1995), p. 15.

x

f(t) f(t)

36 Captulo 2 Dinmica das Estruturas

Sendo:

x a coordenada independente na direo em que ocorre o movimento; o deslocamento que a

massa m efetua no eixo x denominado de amplitude de deslocamento;

m a massa do sistema vibratrio;

)(tv a velocidade com a qual a massa m se desloca;

c o valor do coeficiente de amortecimento viscoso2 linear;

k a constante de rigidez da mola linear;

)(tf a fora solicitante externa em funo do tempo t;

)(tfD a fora de dissipao (fora do amortecedor) em funo do tempo t;

)(tfS a fora de restaurao (fora da mola) em funo do tempo t;

)(tf I a fora de inrcia (fora da massa) em funo do tempo t3.

As foras individuais da mola, do amortecedor e da massa so expressas pelas

Equaes 2.1 a 2.3, respectivamente.

xktfS .)( (Equao 2.1)

xcdt

dxctvctfD ..)(.)( (Equao 2.2)

xmdt

xdmtamtf I ..)(.)( 2

2

(Equao 2.3)

Sendo:

)(ta a acelerao em funo do tempo t.

Fazendo a somatria das foras expressas no diagrama de corpo livre da Figura 2.2,

tem-se a equao do movimento para um sistema SDOF (Equao 2.4).

)(... tfxkxcxm (Equao 2.4)

A Equao 2.4 denominada equao do movimento para um sistema SDOF em

vibrao forada. Fazendo-se a parcela 0)( tf , obtm-se a Equao 2.5, que a equao do

movimento para um sistema SDOF em vibrao livre.

0... xkxcxm (Equao 2.5) 2 Existem trs formas bsicas de amortecimento: amortecimento viscoso (nesta situao existe um

coeficiente de proporcionalidade entre a fora e a velocidade ou coeficiente de amortecimento); amortecimento

de Coulomb ou atrito seco, no qual a energia dissipada pelo atrito entre superfcies secas; amortecimento

estrutural, slido ou histertico, que decorre do fato de que, quando os materiais so submetidos a tenses

cclicas, a relao tenso-deformao segue caminhos diferentes para carga e descarga. A rea contida no ciclo

de histerese numericamente igual energia dissipada [DIGENES (2010)]. O amortecimento viscoso o mais

comum [BALACHANDRAN E MAGRAB (2011)]. Ainda Franceschini e Gomes (2010) correlacionam tambm

o amortecimento eltrico causado pelo corte ou cruzamento de campos magnticos. 3 O princpio dAlembert afirma que o equilbrio dinmico de um sistema pode ser obtido pela adio

de uma fora fictcia, chamada fora inercial, que proporcional acelerao, com constante igual massa do

sistema e sentido contrrio ao do movimento [CLOUGH E PENZIEN (1995)].

Captulo 2 Dinmica das Estruturas 37

Quando o amortecimento desprezvel ou teoricamente inexistente, a Equao 2.6

expressa a equao do movimento para um sistema SDOF em vibrao livre no amortecida.

0.. xkxm (Equao 2.6)

As Equaes 2.4 a 2.6 so diferenciais ordinrias e sua soluo aqui discutida

brevemente. Para a soluo de equaes diferenciais ordinrias pode ser utilizado o mtodo

das Transformadas de Laplace.

Para condies inicias, 0)0( Xx e 0)0( Vx , segundo Lima e Santos (2008), a

soluo da Equao 2.6 dada por (Equao 2.7):

).(.).cos(.)( 00 tsenV

tXtx nn

n

(Equao 2.7)

Sendo:

n a frequncia circular do sistema dada pela Equao 2.8, em rad/s.

m

kfnn ..2 (Equao 2.8)

Sendo:

nf a frequncia natural do sistema dada pela Equao 2.9, em Hz.

n

nn

Tm

kf

1.

.2

1

.2

(Equao 2.9)

Sendo:

nT o perodo natural, expresso em segundos, e equivale ao tempo necessrio para que o

sistema complete um ciclo quando solicitado frequncia natural.

Retomando a Equao 2.5, para a qual existe o amortecimento do sistema, um

conceito importante o do fator de amortecimento ou razo de amortecimento , dado pela

Equao 2.10.

k

c

mk

c

m

c n

n .2

.

.2..2

(Equao 2.10)

O fator de amortecimento uma quantidade adimensional. O coeficiente de

amortecimento c pode ser comparado com um coeficiente de amortecimento crtico cc

(Equao 2.11). O coeficiente de amortecimento crtico possui o significado de que, quando o

amortecedor possui como constante ccc , a estabilizao do sistema vibratrio ser a mais

rpida possvel e no haver oscilao em torno do ponto de equilbrio esttico.

mkmc nc .2..2 (Equao 2.11)

38 Captulo 2 Dinmica das Estruturas

Quando ccc , ento 1 e o sistema dito criticamente amortecido. Se ccc ,

ento 1 e o sistema denominado superamortecido. Mesmo o amortecimento do sistema

superamortecido sendo maior que o crtico, a estabilizao do sistema ocorre em um tempo

maior que o do sistema criticamente amortecido, mas tambm no h oscilao em torno do

ponto de equilbrio esttico. Se ccc , ento 10 e o sistema denominado

subamortecido, apresentando oscilaes em torno do ponto de equilbrio esttico. A Figura

2.2 ilustra a resposta dos trs tipos de sistemas amortecidos.

0

x(t)

t

Subamortecido

Superamortecido

Criticamente

amortecido

t1 t2

t1 < t2

Figura 2.2 Resposta de um sistema SDOF com diferentes caractersticas de amortecimento.

Fonte: Adaptado de Tipler (2000).

Observa-se que a maior parte das estruturas civis so sistemas subamortecidos. A

resposta em deslocamentos dada pela Equao 2.12.

).(....

).cos(..)(.00.

0 tseneXV

teXtx dt

d

nd

t nn

(Equao 2.12)

Sendo:

d a frequncia natural amortecida expressa pela Equao 2.13.

21. nd (Equao 2.13)

No so indicadas neste trabalho as solues para sistemas criticamente amortecidos e

superamortecidos, bem como para a Equao 2.4, com foras harmnicas ou peridicas, que

podem ser encontradas nos trabalhos de Clough e Penzien (1995), Inman (2001),

Meirovitch (2001) e Chopra (2007), entre outros.

Captulo 2 Dinmica das Estruturas 39

2.1.2 Ressonncia e antirressonncia

O fenmeno da ressonncia observado quando a frequncia da fora excitadora

aproxima-se da frequncia natural da estrutura. A consequncia desse fenmeno um grande

aumento na amplitude do movimento mesmo que a excitao imposta seja mnima. A Figura

2.3 ilustra a amplificao do movimento (relativo ao deslocamento esttico) em funo da

razo frequncia excitadora pela frequncia natural. Observa-se que o fator de amortecimento

possui grande influncia na amplitude da resposta.

Figura 2.3 Variao da amplitude dinmica em funo da frequncia de excitao e do fator

de amortecimento.

Fonte: Clough e Penzien (1995), p. 38.

No caso de estruturas civis, quando ocorre a ressonncia, pequenas foras externas

provocam deslocamentos significativos, tornando o movimento perceptvel e desconfortvel

aos usurios. Como exemplo, pode citar-se a ponte norte-americana de Tacoma, que entrou

em ressonncia devido ao do vento ter uma frequncia prxima frequncia natural da

estrutura e tambm por sofrer autoexcitao. Uma maneira simples de prevenir a amplificao

excessiva projetar a estrutura de forma que a frequncia natural seja a mais alta possvel,

distanciando-se das frequncias excitadoras. Quanto maior o amortecimento ou mais alta a

frequncia natural da estrutura, menor a possibilidade de ocorrer a ressonncia.

As medidas possveis para a reduo dos efeitos vibratrios so descritas, entre outros

autores, por Bachmann et al (1997), Ebrahimpour e Sack (2005), Digenes et al (2009a) e

Digenes et al (2009b).

Frequncia de excitao/

Frequncia natural

Amplitude

40 Captulo 2 Dinmica das Estruturas

2.2 Sistemas de mltiplos graus de liberdade

Um sistema de mltiplos graus de liberdade (MDOF) tem o nmero de graus

determinado pela quantidade de elementos inerciais e vinculaes presentes. Quando o

sistema contnuo (viga, pilar, placa etc.), o nmero de graus de liberdade infinito. Porm

este grau infinito pode ser reduzido sendo definido pelo nmero de ns discretizados no

modelo. Quanto mais ns so inseridos, maior a preciso na resposta. Por esse motivo, a

utilizao computacional, particularmente valendo-se do Mtodo dos Elementos Finitos

(MEF), muito vivel e aconselhvel para a anlise terica de sistemas MDOF.

A anlise do sistema MDOF pode ser encarada com uma combinao de vrios

sistemas SDOF. Assim, o sistema MDOF apresenta um conjunto de massas, amortecimentos

e rigidezes, as quais se relacionam com aceleraes, velocidades e deslocamentos,

respectivamente. A Figura 2.4 ilustra um sistema MDOF.

Figura 2.4 (a) Representao de um sistema MDOF; (b) Diagrama de corpo livre de um

elemento de inrcia do sistema MDOF.

Fonte: Rao (2011), p. 558.

Assim sendo, uma representao adequada para a equao do movimento de um

sistema MDOF apresentar as massas, amortecimentos e rigidezes em matrizes, e as

aceleraes, velocidades e deslocamentos em vetores, como mostram as Equaes 2.14 a

2.16.

}{}].{[}].{[}].{[ FxKxCxM (Equao 2.14)

NNNN F

F

F

F

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2

1

2

1

2

1

2

1

}{,}{,}{,}{ (Equao 2.15)

Ponto 1 Ponto 2 Ponto i Ponto n Ponto j

Captulo 2 Dinmica das Estruturas 41

)(000

)(

000

0

00)(

000)(

][

)(000

)(

000

0

00)(

000)(

][

000

0

000

000

000

][

1

11

1

3

3322

221

1

11

1

3

3322

221

3

2

1

NNN

NNNN

N

NNN

NNNN

N

N

kkk

kkkk

k

k

kckk

kkk

K

ccc

cccc

c

c

cccc

ccc

C

m

m

m

m

M

(Equao 2.16)

Sendo:

][M a matriz de inrcia;

][C a matriz e amortecimento viscoso;

][K a matriz de rigidez;

}{x o vetor de acelerao;

}{x o vetor de velocidade;

}{x o vetor de deslocamento;

}{F o vetor de fora;

N o nmero de graus de liberdade.

Partindo de um caso de vibrao livre no amortecida, a Equao 2.14 escrita na

forma da Equao 2.17.

}0{}].{[}].{[ xKxM (Equao 2.17)

Sendo que o sistema definido pela Equao 2.17 um sistema linear de equaes

diferenciais ordinrias com coeficientes constantes, a soluo pode ser considerada na forma

da Equao 2.18.

teXtx .}.{)}({ (Equao 2.18)

42 Captulo 2 Dinmica das Estruturas

Sendo:

t o tempo;

um valor complexo;

)}({ tx o vetor deslocamento;

}{X o vetor de constantes.

Substituindo a Equao 2.18 na Equao 2.17, tem-se (Equao 2.19):

}0{}.]].{.[][[ .2 teXMK (Equao 2.19)

J que a Equao 2.19 deve ser satisfeita para todos os instantes de tempo, tem-se a

Equao 2.20:

}0{}]].{.[][[ 2 XMK (Equao 2.20)

O sistema de equaes algbricas lineares, representado pela Equao 2.20, possui

uma soluo trivial )0( iX . Entretanto, essa soluo no a esperada. Logo, existe um

problema de autovalor. Balachandran e Magrab (2011) afirmam que as incgnitas so

.,...,,, 212

NXXX Uma vez que h N equaes e 1N incgnitas, no mximo, o que pode

ser feito resolver para 2 as razes 11312 /,...,/,/ XXXXXX N . A grandeza 2 denominada

autovalor e o vetor }{X de autovetor. Os valores de 2 so definidos pelas razes da

Equao 2.21 caracterstica.

0]].[] det[[ 2 MK (Equao 2.21)

Visto que as matrizes de inrcia e rigidez so matrizes NN , a expanso da Equao

2.21 um polinmio de grau N2 em para um sistema de N graus de liberdade. Portanto,

possvel visualizar esse polinmio como um polinmio de N-sima ordem em 2 com N

razes ou autovalores 22

2

2

1 ,...,, N . Os autovetores associados so solues da Equao 2.22.

}0{}]].{.[][[ 2 jj XMK (Equao 2.22)

Os autovetores ficam estabelecidos pela Equao 2.23.

NNN

NN

NN

NN XX

XXXX

XX

XXXX

XX

XXXX

1

12

1

122

1222

122

111

1121

111

/

/

1

}{,...,

/

/

1

}{,

/

/

1

}{

(Equao 2.23)

Ao escrever a Equao 2.23, supe-se que 01 jX para Nj ,...,2,1 . Na Equao 2.23,

1}{X est associado ao autovalor 2

1 , e denominado primeiro autovetor ou primeiro modo

de vibrar, e assim por diante.

Captulo 2 Dinmica das Estruturas 43

Os autovetores jX}{ so independentes de uma constante de escala diferente de zero

devido natureza do problema de autovalor. Para evitar essa independncia, feita uma

normalizao 1,...,1,1 11211 NXXX .

Fisicamente, os autovetores fornecem informaes sobre as posies espaciais

relativas dos vrios elementos de inrcia do sistema MDOF. Dessa forma, para oscilao livre

em j , cada massa jm se move por uma distncia fixa em relao a km . Os modos resultantes

do processo de normalizao so chamados de modos normais.

Os modos de vibrar so colocados em uma matriz modal ][ , que a Equao 2.24:

NNNNN

NN

XXXXXX

XXXXXX

1122111

1212221121

///

///

111

][

(Equao 2.24)

Para as matrizes ][M e ][K , os autovalores 2 da Equao 2.20 so reais, e os

autovetores associados jX}{ tambm so reais. Assim sendo, comum escrever que

222 )( j , sendo uma grandeza positiva. A Equao 2.21 fica escrita como a

Equao 2.25, donde obtm as N frequncias naturais do sistema de N graus de liberdade.

0]].[]det[[ 2 MK (Equao 2.25)

Os autovetores (vetores modais) associados a cada frequncia natural so

determinados pela Equao 2.26.

}0{}]].{.[][[ 2 jj XMK (Equao 2.26)

comum colocar as frequncias naturais em ordem crescente, de modo que

N ...21 .

2.3 Anlise modal

Anlise modal o processo da determinao das caractersticas inerentes dinmicas de

um sistema em formas de frequncias naturais, fatores de amortecimento e modos de

vibrao, e us-los para formular um modelo matemtico para o seu comportamento

dinmico. O modelo matemtico formulado referido como o modelo modal do sistema, e a

informao para as caractersticas so conhecidas como os seus dados modais (HE e FU,

2001).

44 Captulo 2 Dinmica das Estruturas

De acordo com He e Fu (2001), ao contrrio da teoria clssica de vibrao, que

voltada somente resposta de um sistema dinmico, a anlise modal preocupa-se com as

propriedades intrnsecas desse sistema.

importante salientar os dois grandes ramos da anlise modal. Em primeiro lugar,

tem-se a anlise modal terica, que se baseia na descrio das propriedades fsicas de um

sistema para se obter o modelo modal. Tal descrio geralmente contm as matrizes de massa,

rigidez e amortecimento do sistema. Assim, um caminho de dados espaciais para modelar o

sistema modal. Em segundo lugar, a anlise modal experimental obtm o modelo modal a

partir de dados medidos em funo de resposta em frequncia (FRF) ou medidas de dados de

resposta livre de vibrao. Assim, um caminho de dados de resposta para modelar o sitema

modal. As Figuras 2.5 e 2.6 ilustram o que foi exposto neste pargrafo.

Figura 2.5 Esquema da anlise modal terica de um sistema vibratrio.

Fonte: Nbrega (2004), p. 82.

Figura 2.6 Esquema da anlise modal experimental de um sistema vibratrio.

Fonte: Nbrega (2004), p. 82.

Sendo:

][M a matriz de inrcia;

][C a matriz e amortecimento;

Captulo 2 Dinmica das Estruturas 45

][K a matriz de rigidez;

o fator de amortecimento;

][ a matriz de frequncias naturais;

][ a matriz modal;

)(ijH e )(th as respostas da estrutura em FRF e amplitudes.

Ambas as tcnicas terica e experimental so englobadas pela anlise modal. As

teorias modais tm sua base em um modelo fsico de um sistema dinmico que compreende a

massa, rigidez e propriedades de amortecimento. Essas propriedades podem ser administradas

em forma de equaes diferenciais parciais. A soluo das equaes fornece as frequncias

naturais e os modos de vibrao e suas respostas de vibrao forada. Um modelo matricial

tambm pode ser montado com matrizes de inrcia, rigidez e amortecimento. Essas matrizes

so incorporadas a um conjunto de equaes diferenciais normais de movimento. O princpio

da superposio de um sistema linear dinmico permite transformar essas equaes em um

problema de autovalor. A soluo fornece os dados modais do sistema.

A anlise terica pelo MEF permite a discretizao de quase todas as estruturas

lineares dinmicas, o que aumentou muito a capacidade e o alcance da anlise modal terica.

Por outro lado, o rpido desenvolvimento nas ltimas duas dcadas da capacidade de

aquisio de dados e processamento tem possibilitado grandes avanos no campo

experimental da anlise modal, o que se tornou conhecido como teste modal.

Segundo He e Fu (2001), o teste modal clssico uma tcnica experimental utilizada

para derivar o modelo modal de um sistema linear e invariante no tempo vibratrio. A base

terica da tcnica garantida aps o estabelecimento da relao entre a resposta de vibrao

em um local e a excitao, no mesmo local ou em outro, como uma funo da frequncia de

excitao. Essa relao, que muitas vezes uma funo matemtica complexa, conhecida

como funo de resposta em frequncia (FRF). Combinaes de excitao e de resposta, em

locais diferentes, levam a um conjunto completo de funes de resposta em frequncia, que

pode ser representado por uma matriz FRF do sistema. Essa matriz geralmente simtrica, o

que reflete a reciprocidade estrutural do sistema.

Resumindo, a anlise modal experimental envolve trs fases constituintes: preparao

para os testes, medies de resposta de frequncia e identificao de parmetros modais. A

preparao do teste envolve a seleo de uma estrutura de suporte e do tipo da fora de

excitao, o(s) local(is) de excitao, o hardware para medir a fora e as respostas, a

determinao de um modelo de geometria estrutural, que consiste em marcar os pontos onde a

46 Captulo 2 Dinmica das Estruturas

resposta deve ser medida; e identificao de mecanismos que podem conduzir a medies

incorretas. Durante o teste clssico, um conjunto de dados FRF medido e armazenado, que

ento analisado para identificar os parmetros modais da estrutura testada.

Algumas aplicaes da anlise modal, segundo Ewins (1984), McConnell (1995) e He

e Fu (2001), so descritas a seguir:

- Corrigir e atualizar com dados experimentais (principalmente o amortecimento) os

modelos de MEF;

- Modificar parmetros na estrutura, como massa, rigidez e amortecimento, visando

melhorar seu comportamento estrutural;

- Avaliar a sensibilidade vibrao, buscando reduzir efeitos danosos;

- O modelo matemtico de anlise estrutural pode ser reduzido quando a anlise modal

tem interesse em uma faixa de frequncias baixas;

- Prever o comportamento dinmico quando da aplicao de uma fora ou um

conjunto de foras;

- Identificar e mensurar foras que estejam excitando o sistema;

- Gerenciar problemas complexos de dinmica, isolando as partes de interesse;

- Determinar as respostas dinmicas da estrutura em conjunto com os elementos no

estruturais (paredes, divisrias, esquadrias etc.);

- Identificao de dano estrutural pelas alteraes da resposta dinmica da estrutura

danificada em relao estrutura s;

- O modelo modal pode gerar respostas a frequncias em uma determinada faixa, as

quais iro acionar atuadores de controle ativo de vibrao;

- Desenvolver e qualificar um produto;

- Monitorar as condies de funcionamento de uma estrutura.

Nem sempre a anlise modal experimental encarada como um passo importante para

determinao de parmetros de projeto. Neste contexto, Ewins (2000) comenta que a ideia de

que a anlise modal experimental pode desempenhar um papel importante no processo do

projeto de uma estrutura no evidente no meio tcnico. A experimentao pode

desempenhar um papel fundamental no projeto, especialmente quando existe uma devida

integrao com processos analticos computacionais.

Segundo Allemang e Brown (2002), a anlise modal experimental o processo de

determinao dos parmetros modais (frequncias naturais, fatores de amortecimento, vetores

modais e dimensionamento modal) de um sistema linear invariante no tempo. Os parmetros

modais so muitas vezes determinados por meio de anlise, tais como a de elementos finitos.

Captulo 2 Dinmica das Estruturas 47

Uma definio de anlise vibratria experimental, onde a anlise modal se encontra,

dada por McConnell (1995, p. 10):

Ensaios de vibrao so a arte da cincia de medio e compreenso da resposta da

estrutura, enquanto exposta a um ambiente dinmico especfico, e, se necessrio,

simular esse ambiente de uma forma satisfatria para assegurar que a estrutura

funcione adequadamente quando exposta a um ambiente dinmico em condies de

campo.

Especificamente para a anlise modal, Ewins (2000) apresenta a definio de que um

teste modal aquele que realizado a fim de construir um modelo matemtico da estrutura

inteiramente baseado em dados vibratrios medidos.

Esses testes modais podem ser executados laboratorialmente em ambiente controlado

ou ento em situao de funcionamento real da estrutura. A avaliao modal de uma estrutura

em condies reais de funcionamento particularmente interessante quando as excitaes

reais s quais a estrutura est sujeita no so possveis ou so de difcil reproduo em

laboratrio. Tambm utilizada quando as excitaes operacionais so estocsticas, medindo-

se ento somente a resposta do sistema (RODRIGUES, 2004).

A determinao dos parmetros modais em funo dos dados experimentais

apresentar sucesso caso ocorra a correta avaliao dos erros e precises de cada uma das

etapas do processo. Essas etapas so comentadas por Allemang e Brown (2002):

- Teoria da anlise modal, que se refere parte da teoria da vibrao clssica que

explica a existncia de frequncias naturais, fatores de amortecimento e modos de vibrao

para sistemas lineares. Essa teoria inclui tanto modelos discretos como modelos contnuos.

Tambm inclui modos reais normais, bem como os modos de vibrao complexos e as

solues possveis para os parmetros modais;

- Mtodos da anlise modal experimental, que envolvem a relao terica entre

quantidades medidas e a teoria clssica de vibrao, muitas vezes so representados como

equaes diferenciais matriciais;

- Aquisio dos dados modais, que engloba os aspectos prticos da aquisio dos

dados que so necessrios para servir como entrada para a fase de estimativa dos parmetros

modais. Muito cuidado deve ser tomado para assegurar que os dados correspondam aos

requisitos da teoria, bem como os requisitos do algoritmo numrico envolvido na estimao

dos parmetros modais. Os requisitos tericos envolvem preocupaes, tais como a

linearidade do sistema e a invarincia no tempo;

- Estimativa dos parmetros modais, que est relacionada com o problema prtico de

estimar os parmetros modais, com base em uma escolha de modelo matemtico que se

justifique a partir dos dados medidos;

48 Captulo 2 Dinmica das Estruturas

- Apresentao e validao dos dados modais, que o processo para fornecer uma

viso fsica ou interpretao dos parmetros modais. Por exemplo, esse processo pode ser

simplesmente o apuramento numrico da frequncia amortecida e dos vetores modais. Mais

frequentemente, a apresentao de dados modais envolve a impresso e a animao de tais

informaes.

Rodrigues (2004) classifica a anlise modal experimental em duas grandes reas. A

primeira compreende a anlise modal clssica, na qual possvel fazer o controle das foras

de entrada que solicitam dinamicamente o sistema e relacionar os dados de entrada com os de

sada (aceleraes, velocidades e deslocamentos), atravs de modelos matemticos que so

comumente as funes de resposta em frequncia (FRF). A segunda rea a da anlise modal

estocstica, na qual no existe controle das foras de entrada no sistema. As foras na anlise

modal estocstica podem ser oriundas da prpria utilizao da estrutura (aes operacionais),

e no possvel mensur-las, a no ser por anlise estatstica.

A anlise modal clssica muitas vezes no pode ser aplicada de forma econmica s

estruturas civis. Assim sendo, a anlise modal estocstica surge como uma opo importante

no campo da engenharia civil.

Nos itens 2.3.1 e 2.3.2 so apresentadas algumas particularidades das anlises modais

clssica e estocstica, respectivamente. Muitas tcnicas referidas a ensaios no domnio da

anlise modal clssica tambm so utilizadas na anlise modal estocstica, justificando a

apresentao dos principais pontos das duas tcnicas.

2.3.1 Anlise modal clssica

A forma mais eficaz de investigao para anlise modal clssica a utilizao da

funo de resposta em frequncia (FRF).

Seja um sistema SDOF conforme o apresentado na Figura 2.1. Imagina-se que esse

sistema SDOF possua um amortecimento viscoso e que ele seja solicitado por uma fora

harmnica, definida pela Equao 2.27.

tj

exexeFtf

..).()(

(Equao 2.27)

Sendo:

)(tf a funo da fora harmnica no tempo;

)( exF a fora harmnica em funo da frequncia de excitao ex ;

j o nmero complexo 1j ;

t o tempo.

Captulo 2 Dinmica das Estruturas 49

A resposta desse sistema ser outra funo harmnica dada pela Equao 2.28.

tj

exexeXtx

..).()(

(Equao 2.28)

Sendo:

)(tx a funo da resposta de deslocamento no tempo;

)( exX o deslocamento em funo da frequncia de excitao ex .

Substituindo as Equaes 2.27 e 2.28 na Equao 2.4, que a do movimento, e

rearranjando-se, obtm-se a razo do deslocamento pela fora, que a Funo de Resposta

em Frequncia, indicado na Equao 2.29.

cjmkj

m

F

X

exexexexex

exex

...

1

...2.

/1

)(

)()(

222

(Equao 2.29)

Sendo:

)( ex a funo da resposta em frequncia de deslocamento denominada de receptncia;

a frequncia natural circular;

o fator de amortecimento;

m a massa do sistema;

k a rigidez da mola;

c o coeficiente de amortecimento viscoso.

A FRF a principal funo da qual a anlise modal clssica depende. Existem ainda

duas outras FRFs. As FRFs de mobilidade e de acelerncia que relacionam a velocidade e a

acelerao com a fora excitadora respectivamente.

A exibio grfica de uma FRF desempenha um papel vital na anlise modal clssica.

Diferentes exposies grficas destacam informaes diferentes em cada FRF. Como a

anlise modal experimental muitas vezes depende de ajuste de curva de FRF, boa

compreenso da FRF em formas grficas imperativa. Uma tpica FRF de receptncia

representada na Figura 2.7.

He e Fu (2001) destacam que a apresentao tridimensional da FRF completa porque

mostra a sua verdadeira face. No entanto, difcil de ser usada, especialmente para a anlise

modal, onde as caractersticas, tais como as ressonncias, tm de ser distinguidas facilmente

pela visualizao. A partir da Figura 2.7, pode-se ver da forma 3-D que quando projetada para

o plano de frequncia versus real, observa-se o referido plano real da FRF. Da mesma forma,

a projeo para o plano de frequncia versus imaginria corresponde ao chamado plano

imaginrio da FRF, e que para o plano real versus imaginrio o plano de Nyquist. Essas

parcelas (e suas variaes) destacam aspectos diferentes da FRF.

50 Captulo 2 Dinmica das Estruturas

Figura 2.7 Esquema tridimensional (3-D) de uma FRF de receptncia.

Fonte: He e Fu (2001), p. 82.

O grfico de amplitude pode ser desenhado em um plano com a frequncia nas

abscissas e a amplitude nas ordenadas. A Figura 2.8 ilustra um grfico da FRF de receptncia.

Vale destacar que as formas dos grficos de mobilidade e acelerncia so muito prximas.

Figura 2.8 Exemplo de grfico de amplitude de uma FRF de receptncia.

Fonte: He e Fu (2001), p. 83.

O pico no grfico da Figura 2.8 indica o ponto de ressonncia. Outra forma de

apresentao dessa curva com a escala logartmica (log), ficando as amplitudes em decibis

(dB) e a frequncia em escala log. No grfico de escala logartmica, possvel ver

distintamente as regies dominadas pela rigidez (regio antes da ressonncia), amortecimento

(regio da ressonncia - pico) e massa (regio ps-ressonncia), fazendo-se estimativas da

rigidez e massa do sistema.

Em um sistema MDOF, para uma excitao harmnica, a matriz da FRF de

receptncia definida como o inverso da matriz de rigidez dinmica, conforme apresentado

por He e Fu (2001), e indicado na Equao 2.30.

121 ]).[]([)]([)]([ MKZ exexex (Equao 2.30)

Receptncia

Frequncia

Captulo 2 Dinmica das Estruturas 51

Sendo:

)]([ exZ a matriz de rigidez dinmica.

importante saber que, embora definida de uma vibrao forada, a matriz FRF de

receptncia reflete as propriedades de um sistema linear de vibrao, semelhante s

frequncias naturais e modos de vibrao do sistema. Por conseguinte, eles no dependem de

foras externas. A dependncia s pode ocorrer se o comportamento dinmico do sistema

no linear. A Figura 2.9 ilustra o grfico de amplitude contra frequncia de uma matriz FRF

de receptncia. Observa-se que cada pico superior do grfico indica uma ressonncia (onde

ocorre uma frequncia natural do sistema) e cada pico inferior uma antirressonncia.

Figura 2.9 Exemplo de grfico de amplitude de FRF de receptncia de um sistema MDOF.

Fonte: He e Fu (2001), p. 103.

A visualizao grfica de uma FRF em um sistema MDOF amortecido semelhante

mostrada para o sistema MDOF no amortecido na Figura 2.9.

Conforme He e Fu (2001), a anlise modal experimental clssica envolve a medio

da FRF em uma estrutura de teste. A abordagem tradicional fornecer estrutura uma entrada

conhecida, medir o resultado e prosseguir com a identificao. Para essa medio, usam-se

entradas de fora para que a FRF possa ser derivada diretamente da fora e de outras

informaes de resposta. A fora de excitao pode ser aleatria, sinusoidal, peridica ou por

impactos. Teoricamente, o tipo de fora no importa como a FRF definida. Na prtica,

usual ser utilizada uma fora que possua energia suficiente e componentes de frequncia tais

que possam excitar todos os modos de vibrao de interesse, para permitir que ocorra o

mnimo de erros de processamento de sinal. Existe ainda uma limitao quanto capacidade

do hardware disponvel para a anlise.

Allemang e Brown (2002) e Nbrega (2004) exemplificam um processo de anlise

modal experimental clssica. Para tanto, seja a Figura 2.10 onde ilustrada uma viga

discretizada em diversos pontos (ns) e onde esto apresentados os trs primeiros modos de

vibrao.

52 Captulo 2 Dinmica das Estruturas

Figura 2.10 Exemplo de anlise modal experimental utilizando a parte imaginria da FRF.

Fonte: Brel & Kjaer (1988), p. 27.

Aps o ensaio, obtm-se a FRF de cada ponto, em funo da frequncia de excitao e

da aplicao da fora em outro ponto. Constri-se ento a curva de amplitude da FRF, como

ilustrado na Figura 2.9. Os picos indicam as respectivas frequncias naturais de cada modo.

Para a obteno do modo de vibrao, considera-se apenas a parte imaginria, ou real,

da FRF, dependendo se a FRF de acelerncia ou de mobilidade respectivamente. Assim,

considerando-se uma FRF de acelerncia e fixando-se uma certa frequncia de excitao,

verifica-se o valor imaginrio medido para cada ponto onde foi fixado o sensor. Esse valor

corresponde coordenada do modo de vibrao nesse ponto, e a diferena de fase entre a

fora de excitao e a resposta (em fase ou em oposio) indica o sinal da coordenada (para

cima ou para baixo), montando a forma da deformada modal (modo de vibrao).

Os mtodos de anlise modal clssica podem ser de dois tipos. No primeiro, esto os

mtodos ditos modo a modo. Eles pressupem que cada modo, na regio da ressonncia,

possui influncia nica sobre ela, e que os demais modos no so significativos nessa regio

da FRF. Assim sendo, cada modo identificado separadamente. O segundo grupo

denominado de mtodos multimodo, onde os modos so identificados simultaneamente em

uma faixa de frequncia medida. A influncia de cada modo sobre o outro tambm

considerada.

Modo 3

Modo 2

Modo 1

Viso do domnio da

frequncia

Viso dos modos

Captulo 2 Dinmica das Estruturas 53

A anlise experimental clssica est fundamentada em quatro hipteses bsicas,

conforme Ewins (1984), McConnell (1995) e He e Fu (2001), que so:

- A estrutura linear, o que implica que a resposta de uma estrutura a um conjunto de

foras aplicadas a soma das respostas individuais de cada fora;

- A estrutura obedece ao teorema de reciprocidade de Maxwell, teorema que afirma

existir uma relao direta entre os deslocamentos generalizados da estrutura com as foras

generalizadas que provocam esses deslocamentos, atuantes em pontos distintos da estrutura,

independentemente da ordem de aplicao;

- A estrutura invariante no tempo, ou seja, durante o ensaio, a estrutura no deve

apresentar variaes na massa, na rigidez e no amortecimento;

- A estrutura observvel, o que significa que as medidas de entrada e de sada

contm dados suficientes para formar as FRF e definir os parmetros modais.

usual tambm que as foras aplicadas solicitem a estrutura em nveis nos quais possa

ser garantida a elasticidade do material.

2.3.2 Anlise modal estocstica

De acordo com Rodrigues (2004), a anlise modal estocstica de grande utilidade na

engenharia civil pelo fato de que as estruturas civis so de grandes dimenses e de difcil

excitao forada. Em outras palavras, mais economicamente conveniente analisar uma

edificao com as aes de ocupao ou outra ao transiente no mensurvel do que com

shakers e geradores mecnicos de vibrao com massa excntrica.

Apesar da grande vantagem da anlise modal experimental na aplicao em estruturas

civis, em relao anlise modal clssica, podem ser listadas as seguintes desvantagens,

enumeradas por Rodrigues (2004):

- Pelo fato das foras de excitao no serem controladas, a resposta estrutural medida

pode ter um nvel muito baixo, conduzindo a relaes sinal-rudo, que, em geral, so

inferiores s obtidas em ensaios com controle das foras de excitao. Esse problema pode ser

minimizado com a utilizao de equipamentos de grande preciso;

- Como a excitao aleatria, pode ocorrer que alguns modos no sejam excitados e,

portanto, no identificados. Isso pode ser amenizado atravs de uma anlise modal numrica

prvia, com uma discretizao de malha de pontos de medio e excitao convenientemente

adotada;

- Mesmo sendo identificadas as frequncias naturais, coeficientes de amortecimento e

deformadas modais, pelo fato de no se medirem as foras de excitao, no possvel

54 Captulo 2 Dinmica das Estruturas

identificar as componentes modais normalizadas pela massa da estrutura, sendo este um

aspecto que importante para a modificao de modelos numricos com base nas

caractersticas dinmicas experimentais;

- As caractersticas dinmicas so avaliadas para nveis de resposta que podem ser

muito baixas; isso tem grande influncia sobre os coeficientes de amortecimento.

Rodrigues (2004, p. 111) afirma que:

Podem-se considerar, fundamentalmente, dois grupos de mtodos de identificao

modal estocstica: o primeiro grupo compreende os mtodos de anlise de sinal,

tambm denominados mtodos no paramtricos; o segundo grupo corresponde aos

mtodos de ajuste de modelos, tambm designados por mtodos paramtricos. Nos

mtodos do primeiro grupo, as sries de resposta medidas em diferentes pontos dos

sistemas estruturais so analisadas e relacionadas entre si, tendo por base a sua

transformao para o domnio da frequncia, normalmente atravs do algoritmo da

FFT. Estes mtodos so por isso tambm designados por mtodos no domnio da

frequncia. No segundo grupo de mtodos, so utilizadas diferentes tcnicas para

ajustar modelos, ou com base nas funes de correlao da resposta dos sistemas

estruturais ou mesmo diretamente nas prprias sries temporais de resposta. Estes

mtodos so assim tambm designados por mtodos no domnio do tempo.

Dentre os mtodos de identificao modal estocstica no paramtricos, podem ser

citados os da estimativa das funes de densidade espectral, o mtodo bsico no domnio da

frequncia e o mtodo de decomposio no domnio da frequncia. J entre os mtodos

paramtricos, destacam-se os que estimam as funes de correlao da resposta (mtodo

direto, mtodo utilizando FFTs e mtodo do decremento aleatrio), os mtodos de ajuste s

funes de correlao da resposta (mtodo do multiple reference Ibrahim time domain,

mtodos least squares complex exponential e polyreference time domain e o mtodo de

identificao estocstica em subespaos baseado na anlise das funes de correlao da

resposta dos sistemas) e os mtodos de ajuste s sries de resposta no tempo (mtodo de

identificao estocstica em subespaos com ajuste direto s sries de resposta de um sistema,

modelos vetoriais autorregressivos com mdia mvel e modelos vetoriais autorregressivos).

Para maiores detalhes sobre esses mtodos, recomenda-se a leitura do texto de

Rodrigues (2004). No presente trabalho, foi utilizado o mtodo no paramtrico de estimativa

das funes de densidade espectral, em particular o da densidade espectral de potncia Power

Stectrum Density (PSD). Nos itens 2.3.2.1 e 2.3.2.2 descrevem-se os princpios desse mtodo.

2.3.2.1 Funes de densidade espectral

Este item pretende apresentar resumidamente a forma de uma matriz de funes de

densidade espectral da resposta de uma estrutura, conforme apresentado por Rodrigues

(2004).

Captulo 2 Dinmica das Estruturas 55

A Equao 2.31 apresenta a matriz das funes de densidade espectral de resposta

(yS ) de uma estrutura onde se deseja apenas observar as