Composição de movimentos

X

y

O x(t)

P(x,y)

y(t)

XO x(t)

Uma grande parte da discussão que segue visa o caso particular

em que temos um movimento numa direção X e outro na direção Y,

e no qual o que acontece na direçao X não depende do que acontece

na direção Y, e vice versa; a unica conexão acontece através do tempo.

Seguem muitos exemplos de movimento retilíneo uniforme em X e

movimento de queda com aceleração g em y

descoberta de Galileu

Composição de movimentos

h=0

queda da bola dentro do vagão h= -

porque mesmo? aceleração constante porque força da gravidade é constante

v=gt; a velocidade média depois de um tempo t é : e a distância

percorrida = v média x tempo= 2

0+v

22

2gt

tv

=

2

2gt

Na direção x o vagão se move com velocidade constante

x= ut ou t = x/u

h= -1/2 gt2 = 22

2)

2

1( axx

u−=− equação de uma parábola

y= ax2

Equação geral vamos agora colocar o eixo para cima

h= h0 + vht - ½ gt2

x = x0 + vx t

tem que tomar cuidado com a

direção escolhida para os eixos,

se o eixo Y ou h é para cima, g é negativo

dá para escrever t em função de x

e substituir na primeira equação

e obter uma equação do tipo

y=f(x)

equação da trajetória

Um canhão horizontal atira paralelamente ao solo. Não importa a carga de

pólvora (que afeta a velocidade da bala), que a bala chegue ao chão a 10m, 100m

ou 200m, o tempo vai ser o mesmo.

a velocidade Vx varia, mas o movimento em Y é sempre o mesmo ½ gt2

porque?

note que o espaçamento entre as

bolas é constante em X

filme com ∆t=cte

PRINCÍPIO�DA�INDEPENDÊNCIA�DOS�MOVIMENTOS�SIMULTÂNEOS

Quando um corpo está animado, simultaneamente, por dois

movimentos perpendiculares entre si, o deslocamento na direção de

um deles é determinado apenas pela velocidade naquela direção.

Goethe ou Baudelaire?

VB= velocidade do barco

VC= velocidade da correnteza

A notação vetorial ajuda a entendera composição de movimentos

Cartridge Bullet weight Muzzle velocity Muzzle energy Max pressure

.38 Short Colt 135 gr (8.7 g)777 ft/s

(237 m/s)181 ft·lbf (245 J) 7,500 CUP

apesar de seu nome, o .38

na realidade tem calibre de

.357 polegadas (9 mm). Esse é o diâmetro dos

cilindros de latão. Introduzido em 1899,

foi usado mais de 100 anos por policia e militares

amricanos

• 38

.38 Short Colt 135 gr (8.7 g)(237 m/s)

181 ft·lbf (245 J) 7,500 CUP

.38 Long Colt 150 gr (9.7 g)777 ft/s

(237 m/s)201 ft·lbf (273 J) 12,000 CUP

.38 S&W 158 gr (10.2 g)767 ft/s

(234 m/s)206 ft·lbf (279 J) 14,500 PSI

.38 S&W Special 158 gr (10.2 g)940 ft/s

(290 m/s)310 ft·lbf (420 J) 17,000 PSI

.38 Special +P 158 gr (10.2 g)1,000 ft/s

(300 m/s)351 ft·lbf (476 J) 20,000 PSI

exercício: uma pessoa atira com um 38, com o cano do revolver

perfeitamente horizontal a 1,20 m do solo. A que distância a bala

atinge o solo?

y=1/2 gt2 t= (2y/g)1/2 = (2x1.2/10)1/2 =0.49 s

d=vt= 237x0.49= 112.7 m

é bom lembrar: 1/2 gt2 , para t= 1s dá 5 m , t=2s dá 20m , t=3s dá 45m

velocidades: v=gt, dá v=10 m/s, 20 m/s, 30 m/s

Problema do macaco: ao ver o clarão do tiro,

ele se solta. Mas ele é acertado de qualquer forma.

Por que?

22|| yx uuu +=

||/ˆ uuur

= vetor unitário

yuxujuiuu ˆˆ +=+=rr

Ɵ

modulo de vetor, vetor unitário, componentes

yuxujuiuu yxyxˆˆ +=+=

θ

θ

senuu

uu

y

x

||

cos||

=

=

22

22cos

yx

y

yx

x

uu

usen

uu

u

+

=

+

=

θ

θ

y

x

u

utg =θ

soma de vetores

e soma dos componentes x e y

jvuivuvu yyxx

rrrr)()( +++=+

jvivv yx

rrrλλλ +=

multiplicação por uma cte

rotação em torno da origem

veja

o objetivo da discussão, no livro, é mostrar que

resolver um problema usando componentes dos vetores,

ou a trigonometria, dá resultados equivalentes

velocidade vetorial

velocidade vetorialvelocidade vetorial

aceleração vetorial

A figura ilustra uma trajetória com pontos P1, P2, etc, e velocidades

instantâneas V1, V2, etc. Transportando os vetores velocidade para uma origem

comum, a extremidade destes descreve uma curva chamada hodógrafo.

As acelerações são vetores tangenciais a esta curva

mesmo com módulo constante

de velocidade, existe variação

rƟ

sP

x

y

de velocidade, existe variação

de velocidade

arco S é dado por s= r Ɵ |v|=ds/dt

Periodo= tempo para dar uma volta = T = 2π r /|v|

Se o movimneto é circular uniforme, significa que Ɵ aumenta

(ou diminui) linearmente com o tempo:

Ɵ = Ɵ0 + ω ( t-to )|v|=ds/dt

ω= V / r, ou, ainda, ω= dƟ / dt velocidade angular

T = 2π r /|v| = 2π /ωângulo dividido por velocidade

v= ω r

T = 2π r /|v| = 2π /ωângulo dividido por velocidade

angular

velocidade angular se mede em rad/s ou simplesmente em 1/s

exemplo: velocidade angular do ponteiro de segundos

ω = 2π/60 =0.1 rad/s

vetor velocidade instantânea muda de direção também com taxa constante

de variação angular, pois sempre é perpendicular ao vetor r(t)

vetor aceleração instantânea, sempre perpendicular a V,

também muda de de direção com “velocidade angular” ω

por semelhança |a|= ω v = ω2 r |a|=ω2 r

v= ω r

tem a mesma direção, e o sentido?

r

v

a

a= -|a| r = - ω2 r = - v2/r r^ ^

Ɵ = ω t

x= r cos Ɵ = r cos (ω t )

dx/dt = vx (t) = r ω sen (ω t )

2

2

dt

xd=ax(t)= -r ω2 cos(ω t )

= - ω2 x(t)

maneira de deduzir a fórmulapara a aceleração de ummovimento circular uniformepor meio de derivadas

a mesma lógica vale para y

chega-se a |a|=ω2 r

problema 20

problema 24