8/18/2019 Comprimento de Arco a Partir de t0

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arco se, e so se, ´ ka0(t)k = 1 para todo t ? I.Prova.(?) Se ka0(t)k = 1 para todo t ? I, entao  Zt t0 1 ka0(t)k dt = t1 - t0 para quaisquer t0, t1 ? I,t0 = t1.(?) Seja t0 ? I fixo e consideremos a func¸ao  s : I -? R comprimento de arco a partir de t0.Entao, s(t) = Zt t0 ka0(?)k d? = t - t0 , se t = t0 ,es(t) = Zt t0 ka0(?)k d? = - Zt t0 ka0(?)k d? = -(t0 - t) = t - t0 , se t0 = t ,ou seja, s(t) = t - t0 para todo t ? I. Logo, s0(t) = ka0(t)k = 1 para todo t ?I.  Exemplo 2.3 Seja a : R -? R2 a curva regular dada por a(s) =  r cos s r + a, r sen s r + b ,cujo trac¸o e o c ´ ´irculo de centro (a, b) e raio r > 0. Entao  a esta parametrizadapelo compri- ´mento de arco, pois ka0(s)k = 1, ja que ´ a0(s) =  - sen s r, cos s r .  Proposic¸ao 2.3  Toda curva regular a : I -? R2 admite uma reparametrizac¸ao  ß, tal  ßesta parametrizada pelo comprimento de arco. ´Prova.Seja t0 ? I fixo e consideremos s : I -? J, s(t) = Zt t0 ka0(?)k d?, a func¸ao comprimento

de arco a partir de t0. Pela observac¸ao 2.4,  h = s-1 : J -? I, e uma func¸ ´ ao de casse  C8 comh0(u) = 11, para todo u ? J.arco se, e so se, ´ ka0(t)k = 1 para todo t ? I.Prova.(?) Se ka0(t)k = 1 para todo t ? I, entao  Zt t0 1 ka0(t)k dt = t1 - t0 para quaisquer t0, t1 ? I,t0 = t1.(?) Seja t0 ? I fixo e consideremos a func¸ao  s : I -? R comprimento de arco a partir de t0.Entao, s(t) = Zt t0 ka0(?)k d? = t - t0 , se t = t0 ,

es(t) = Zt t0 ka0(?)k d? = - Zt t0 ka0(?)k d? = -(t0 - t) = t - t0 , se t0 = t ,ou seja, s(t) = t - t0 para todo t ? I. Logo, s0(t) = ka0(t)k = 1 para todo t ?I.  Exemplo 2.3 Seja a : R -? R2 a curva regular dada por a(s) =  r cos s r + a, r sen s r + b ,cujo trac¸o e o c ´ ´irculo de centro (a, b) e raio r > 0. Entao  a esta parametrizadapelo compri- ´mento de arco, pois ka0(s)k = 1, ja que ´ a0(s) =  - sen s r, cos s r .  Proposic¸ao 2.3  Toda curva regular a : I -? R2 admite uma reparametrizac¸ao  ß, tal  ßesta parametrizada pelo comprimento de arco. ´Prova.

Seja t0 ? I fixo e consideremos s : I -? J, s(t) = Zt t0 ka0(?)k d?, a func¸ao comprimento de arco a partir de t0. Pela observac¸ao 2.4,  h = s-1 : J -? I, e uma func¸ ´ ao de casse  C8 comh0(u) = 11, para todo u ? J.arco se, e so se, ´ ka0(t)k = 1 para todo t ? I.Prova.(?) Se ka0(t)k = 1 para todo t ? I, entao  Zt t0 1 ka0(t)k dt = t1 - t0 para quaisquer t0, t1 ? I,

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t0 = t1.(?) Seja t0 ? I fixo e consideremos a func¸ao  s : I -? R comprimento de arco a partir de t0.Entao, s(t) = Zt t0 ka0(?)k d? = t - t0 , se t = t0 ,es(t) = Zt t0 ka0(?)k d? = - Zt t0 ka0(?)k d? = -(t0 - t) = t - t0 , se t0 = t ,ou seja, s(t) = t - t0 para todo t ? I. Logo, s0(t) = ka0(t)k = 1 para todo t ?I.  Exemplo 2.3 Seja a : R -? R2 a curva regular dada por a(s) =  r cos s r + a, r sen s r + b ,cujo trac¸o e o c ´ ´irculo de centro (a, b) e raio r > 0. Entao  a esta parametrizadapelo compri- ´mento de arco, pois ka0(s)k = 1, ja que ´ a0(s) =  - sen s r, cos s r .  Proposic¸ao 2.3  Toda curva regular a : I -? R2 admite uma reparametrizac¸ao  ß, tal  ßesta parametrizada pelo comprimento de arco. ´Prova.Seja t0 ? I fixo e consideremos s : I -? J, s(t) = Zt t0 ka0(?)k d?, a func¸ao comprimento de arco a partir de t0. Pela observac¸ao 2.4,  h = s-1 : J -? I, e uma func¸ ´ ao de casse  C8 comh0(u) = 11

, para todo u ? J.arco se, e so se, ´ ka0(t)k = 1 para todo t ? I.Prova.(?) Se ka0(t)k = 1 para todo t ? I, entao  Zt t0 1 ka0(t)k dt = t1 - t0 para quaisquer t0, t1 ? I,t0 = t1.(?) Seja t0 ? I fixo e consideremos a func¸ao  s : I -? R comprimento de arco a partir de t0.Entao, s(t) = Zt t0 ka0(?)k d? = t - t0 , se t = t0 ,es(t) = Zt t0 ka0(?)k d? = - Zt t0 ka0(?)k d? = -(t0 - t) = t - t0 , se t0 = t ,ou seja, s(t) = t - t0 para todo t ? I. Logo, s0(t) = ka0(t)k = 1 para todo t ?I.  

Exemplo 2.3 Seja a : R -? R2 a curva regular dada por a(s) =  r cos s r + a, r sen s r + b ,cujo trac¸o e o c ´ ´irculo de centro (a, b) e raio r > 0. Entao  a esta parametrizadapelo compri- ´mento de arco, pois ka0(s)k = 1, ja que ´ a0(s) =  - sen s r, cos s r .  Proposic¸ao 2.3  Toda curva regular a : I -? R2 admite uma reparametrizac¸ao  ß, tal  ßesta parametrizada pelo comprimento de arco. ´Prova.Seja t0 ? I fixo e consideremos s : I -? J, s(t) = Zt t0 ka0(?)k d?, a func¸ao comprimento de arco a partir de t0. Pela observac¸ao 2.4,  h = s-1 : J -? I, e uma func¸ ´ ao de casse  C8 com

h0(u) = 11, para todo u ? J.arco se, e so se, ´ ka0(t)k = 1 para todo t ? I.Prova.(?) Se ka0(t)k = 1 para todo t ? I, entao  Zt t0 1 ka0(t)k dt = t1 - t0 para quaisquer t0, t1 ? I,t0 = t1.(?) Seja t0 ? I fixo e consideremos a func¸ao  s : I -? R comprimento de arco a partir de t0.Entao,

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s(t) = Zt t0 ka0(?)k d? = t - t0 , se t = t0 ,es(t) = Zt t0 ka0(?)k d? = - Zt t0 ka0(?)k d? = -(t0 - t) = t - t0 , se t0 = t ,ou seja, s(t) = t - t0 para todo t ? I. Logo, s0(t) = ka0(t)k = 1 para todo t ?I.  Exemplo 2.3 Seja a : R -? R2 a curva regular dada por a(s) =  r cos s r + a, r sen s r + b ,cujo trac¸o e o c ´ ´irculo de centro (a, b) e raio r > 0. Entao  a esta parametrizadapelo compri- ´mento de arco, pois ka0(s)k = 1, ja que ´ a0(s) =  - sen s r, cos s r .  Proposic¸ao 2.3  Toda curva regular a : I -? R2 admite uma reparametrizac¸ao  ß, tal  ßesta parametrizada pelo comprimento de arco. ´Prova.Seja t0 ? I fixo e consideremos s : I -? J, s(t) = Zt t0 ka0(?)k d?, a func¸ao comprimento de arco a partir de t0. Pela observac¸ao 2.4,  h = s-1 : J -? I, e uma func¸ ´ ao de casse  C8 comh0(u) = 11, para todo u ? J.arco se, e so se, ´ ka0(t)k = 1 para todo t ? I.Prova.(?) Se ka0(t)k = 1 para todo t ? I, entao  Zt t0 1 ka0(t)k dt = t1 - t0 para quaisquer t0, t1 ? I,

t0 = t1.(?) Seja t0 ? I fixo e consideremos a func¸ao  s : I -? R comprimento de arco a partir de t0.Entao, s(t) = Zt t0 ka0(?)k d? = t - t0 , se t = t0 ,es(t) = Zt t0 ka0(?)k d? = - Zt t0 ka0(?)k d? = -(t0 - t) = t - t0 , se t0 = t ,ou seja, s(t) = t - t0 para todo t ? I. Logo, s0(t) = ka0(t)k = 1 para todo t ?I.  Exemplo 2.3 Seja a : R -? R2 a curva regular dada por a(s) =  r cos s r + a, r sen s r + b ,cujo trac¸o e o c ´ ´irculo de centro (a, b) e raio r > 0. Entao  a esta parametrizadapelo compri- ´

mento de arco, pois ka0(s)k = 1, ja que ´ a0(s) =  - sen s r, cos s r .  Proposic¸ao 2.3  Toda curva regular a : I -? R2 admite uma reparametrizac¸ao  ß, tal  ßesta parametrizada pelo comprimento de arco. ´Prova.Seja t0 ? I fixo e consideremos s : I -? J, s(t) = Zt t0 ka0(?)k d?, a func¸ao comprimento de arco a partir de t0. Pela observac¸ao 2.4,  h = s-1 : J -? I, e uma func¸ ´ ao de casse  C8 comh0(u) = 11, para todo u ? J.arco se, e so se, ´ ka0(t)k = 1 para todo t ? I.Prova.

(?) Se ka0(t)k = 1 para todo t ? I, entao  Zt t0 1 ka0(t)k dt = t1 - t0 para quaisquer t0, t1 ? I,t0 = t1.(?) Seja t0 ? I fixo e consideremos a func¸ao  s : I -? R comprimento de arco a partir de t0.Entao, s(t) = Zt t0 ka0(?)k d? = t - t0 , se t = t0 ,es(t) = Zt t0 ka0(?)k d? = - Zt t0 ka0(?)k d? = -(t0 - t) = t - t0 , se t0 = t ,ou seja, s(t) = t - t0 para todo t ? I. Logo, s0(t) = ka0(t)k = 1 para todo t ?

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I.  Exemplo 2.3 Seja a : R -? R2 a curva regular dada por a(s) =  r cos s r + a, r sen s r + b ,cujo trac¸o e o c ´ ´irculo de centro (a, b) e raio r > 0. Entao  a esta parametrizadapelo compri- ´mento de arco, pois ka0(s)k = 1, ja que ´ a0(s) =  - sen s r, cos s r .  Proposic¸ao 2.3  Toda curva regular a : I -? R2 admite uma reparametrizac¸ao  ß, tal  ßesta parametrizada pelo comprimento de arco. ´Prova.Seja t0 ? I fixo e consideremos s : I -? J, s(t) = Zt t0 ka0(?)k d?, a func¸ao comprimento de arco a partir de t0. Pela observac¸ao 2.4,  h = s-1 : J -? I, e uma func¸ ´ ao de casse  C8 comh0(u) = 11, para todo u ? J.arco se, e so se, ´ ka0(t)k = 1 para todo t ? I.Prova.(?) Se ka0(t)k = 1 para todo t ? I, entao  Zt t0 1 ka0(t)k dt = t1 - t0 para quaisquer t0, t1 ? I,t0 = t1.(?) Seja t0 ? I fixo e consideremos a func¸ao  s : I -? R comprimento de arco a partir de t0.Entao,

s(t) = Zt t0 ka0(?)k d? = t - t0 , se t = t0 ,es(t) = Zt t0 ka0(?)k d? = - Zt t0 ka0(?)k d? = -(t0 - t) = t - t0 , se t0 = t ,ou seja, s(t) = t - t0 para todo t ? I. Logo, s0(t) = ka0(t)k = 1 para todo t ?I.  Exemplo 2.3 Seja a : R -? R2 a curva regular dada por a(s) =  r cos s r + a, r sen s r + b ,cujo trac¸o e o c ´ ´irculo de centro (a, b) e raio r > 0. Entao  a esta parametrizadapelo compri- ´mento de arco, pois ka0(s)k = 1, ja que ´ a0(s) =  - sen s r, cos s r .  Proposic¸ao 2.3  Toda curva regular a : I -? R2 admite uma reparametrizac¸ao  ß, tal  ßesta parametrizada pelo comprimento de arco. ´

Prova.Seja t0 ? I fixo e consideremos s : I -? J, s(t) = Zt t0 ka0(?)k d?, a func¸ao comprimento de arco a partir de t0. Pela observac¸ao 2.4,  h = s-1 : J -? I, e uma func¸ ´ ao de casse  C8 comh0(u) = 11, para todo u ? J.