Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado

Decanato de Agronomía

Programa de Ingeniería Agroindustrial

Núcleo Obelisco

Integrante:

Torbello P. José L. C.I. 17942406

Perez Carolina C.I. 19591408

Silva Ricardo C.I. 18261981

Barquisimeto, Abril del 2011

INTRODUCCIÓN

MATLAB

MATLAB es el nombre abreviado de “MATriz LABoratory”. Es un programa

para realizar cálculos numéricos con vectores y matrices, y por tanto se puede

trabajar también con números escalares (tanto reales como complejos), con

cadenas de caracteres y con otras estructuras de información más complejas.

Matlab es un lenguaje de alto rendimiento para cálculos técnicos, es al

mismo tiempo un entorno y un lenguaje de programación. Uno de sus puntos

fuertes es que permite construir nuestras propias herramientas reutilizables.

Podemos crear fácilmente nuestras propias funciones y programas especiales

(conocidos como M-archivos) en código Matlab, los podemos agrupar en Toolbox

(también llamadas librerías): colección especializada de M-archivos para trabajar

en clases particulares de problemas.

Matlab, a parte del cálculo matricial y álgebra lineal, también puede manejar

polinomios, funciones, ecuaciones diferenciales ordinarias y gráficos.

MATLAB: (ABREVIATURA DE MATRIX LABORATORY ,

"LABORATORIO DE MATRICES")

Es un software matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado

(IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M). Está disponible para

las plataformas Unix, Windows y Apple Mac OS X.

Entre sus prestaciones básicas se hallan: la manipulación de matrices, la

representación de datos y funciones, la implementación de algoritmos, la creación

de interfaces de usuario (GUI) y la comunicación con programas en otros

lenguajes y con otros dispositivos hardware. El paquete MATLAB dispone de dos

herramientas adicionales que expanden sus prestaciones, a saber, Simulink

(plataforma de simulación multidominio) y GUIDE (editor de interfaces de usuario -

GUI). Además, se pueden ampliar las capacidades de MATLAB con las cajas de

herramientas (toolboxes); y las de Simulink con los paquetes de bloques

(blocksets).

Es un software muy usado en universidades y centros de investigación y

desarrollo. En los últimos años ha aumentado el número de prestaciones, como la

de programar directamente procesadores digitales de señal o crear código VHDL.

Funcionalidad del Matlab

MATLAB puede almacenar información en variables tales como:

a = 100 " <Ctrl> <ENTER> para evaluar la celda”

Cada vez que capturamos información en MATLAB y presionamos <ENTER> ésta

es desplegada inmediatamente ( letras en color azul ), pero si ponemos un punto y

coma al final de la instrucción MATLAB omite el desplegado de información.

Por ejemplo:

b = 50;

Si se quiere saber el valor de alguna variable capturada sólo se tiene que poner el

nombre de la variable y <ENTER> y MATLAB lo despliega. Estas variables residen

en el espacio de trabajo de MATLAB.

b

Las variables son sensibles a las mayúsculas, por lo que las siguientes variables

son diferentes:

Variable = 1

variable = 1

Las variables pueden contener hasta 19 caracteres. Éstas deben empezar

con una letra, seguida por cualquier número de letras, dígitos o guiones de

subrayado.

Los caracteres de puntuación no son permitidos en las variables.

Cuando se trabaja con muchas variables estas son difícil de recodar.

El comando who muestra un desplegado de todas aquellas variables que se

han estado utilizando.

who

whos Muestra las variables con información adicional.

Caracteres especiales

[ ] Son usados para formar vectores y matrices [ 1 2 3 ; 4 5 6 ]

( ) Usados para expresiones matemáticas. sqrt(2)

= Usado para hacer asignaciones. x = 5

' Transpuesta de una matriz A'

Usado para separar texto 'texto'

. Punto decimal 3.1415

... Al final de una línea indican que continua 2,3,4,5,6 ....

en el siguiente renglón. 7,8,9,10 ]

, Para separar elementos [1,2,3,4]

; Para separar filas en las matrices. [ 1 2; 3 4]

Para evitar que se despliegue la información capturada. [3] ;

% Para hacer comentarios % este programa,etc.

! Para ejecutar un comando del Ms-dos !dir

Operaciones matemáticas lógicas y relacionadas en matlab

SUMA

C = a + b

RESTA

d = a - b

MULTIPLICACION

e = a * b

DIVISION

F = a / b

F = a \ b

POTENCIA

a ^ 2

Como este último cálculo no tenía variable asignada, la respuesta se guarda en la

variable ans (answer ).

Borrado de variables.

Para borrar el valor de una variable simplemente ponemos

clear a Borra la variable " a "

a Checar que este borrada.

clear a b c Borra las variables " a ", " b " y " c "

" CLEAR " Borra todas las variables y no se pueden recuperar.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

sin ( 0.5) Seno de (0.5)

Así mismo

COS ( X ) TAN ( X )

ASIN ( X ) ACOS ( X ) ATAN ( X ) Inversa

SINH ( X ) COSH ( X ) TANH ( X ) Hiperbólica

ASINH ( X ) ACOSH ( X ) ATANH ( X ) Inversa- Hiperbólica

ATAN2 ( X,Y ) Inversa de la tangente en los cuatro cuadrantes.

LOGARITMOS

log (0.5) Logaritmo natural

LOG10 ( X ) Logaritmo decimal.

FUNCIONES MATEMÁTICAS ESPECIALES.

abs ( -3) Valor absoluto o magnitud de un número complejo

ceil ( 123.123123) Redondea hacia más infinito

FLOOR ( X ) Redondea hacia menos infinito

FIX ( X ) Redondea hacia cero

ROUND ( X ) Redondea hacia el entero más próximo

imag ( 30 - 5j ) Parte imaginaria de un número complejo

REAL ( X ) Parte real de un número complejo

ANGLE ( X ) Angulo de un número complejo

CONJ ( X ) Complejo conjugado

sign ( -5) Función signo : Devuelve el signo del argumento

(1 si es positivo, -1 si es negativo)

exp ( 1 ) Exponencial : e ( x )

REM ( X,Y ) Resto después de la división ( x / y)

sqrt (2) Raíz cuadrada

Operaciones Lógicas

En MATLAB se pueden hacer operaciones lógicas, por ejemplo.

1 < 2

Como 1 es menor que 2, la respuesta es cierta por lo que obtenemos un 1.

1 < 1

Obtenemos un 0, porque 1 no es menor que 1.

Como se puede observar las únicas respuestas posibles con las operaciones

lógicas son:

Cierto = 1 y Falso = 0.

Operadores relaciónales:

> Mayor que

< Menor que

>= Mayor o igual a

<= Menor o igual a

== Igual a

~= No igual a

Existen tres operadores lógicos :

AND

OR |

NOT ~

Para que la operación AND sea verdadera las dos relaciones deben ser

verdaderas.

Recordemos AND = 0 0 | 0 Falso

0 1 | 0 Falso

1 0 | 0 Falso

1 1 | 1 Verdadero

( 1 < 2 ) & ( 2 < 3) Verdadero.

( 1 < 2) & ( 2 < 1 ) Falso.

Para la operación OR : 0 0 | 0

0 1 | 1

1 0 | 1

1 1 | 1

( 1 < 2 ) | ( 2 < 1 ) Verdadero.

Para la operación NOT : ~ 0 | 1

~ 1 | 0

~ ( 2 < 1) Verdadero.

Ingresar matriz

Para introducir una matriz en Matlab se procede de la forma siguiente. Si

por ejemplo tenemos la matriz

A = _1 2 3 4

5 6 7 8_

se introduce como:

>>A=[1 2 3 4; 5 6 7 8]

A =

1 2 3 4

5 6 7 8

O bien,

>>A=[1,2,3,4;5,6,7,8];

Observemos que unas matrices especiales son los vectores, de esta forma, el

vector _la v = (1.0, 1.1,1.2,1.3, : : : ,

1.9,2.0), se escribe en Matlab como

>>v=[1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 2.0]

Operaciones con matrices

Definamos las siguientes matrices ' g ' y ' h '.

g = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

h = [ 1 0 2 ; 11 2 3 ; 3 5 12 ]

La suma de las matrices g y h se muestra enseguida :

k = g + h

k = g * h Multiplicación de dos matrices.

[L, U ] = lu (k) Calcula la factorización LU de la matriz cuadrada k

[d,e]= qr (k) Calcula la factorización QR de la matriz k.

Calcula la descomposición en valores singulares de la matriz k.

rank(k) Devuelve el rango de la matriz k.

cond(k) Devuelve el número de condición de la matriz k.

Modificación de las matrices.

A = [ 1 2 3; 4 5 7; 7 8 9 ]

Si nos equivocamos al capturar la matriz, por ejemplo si el número 7 del

segundo renglón, tercera columna debió ser 6 en vez de 7, tendríamos que

capturar de nuevo la matriz.

Pero con MATLAB es posible modificarla de la siguiente manera:

A(2,3)= 6 Variable ( renglón, columna)= nuevo valor

Si tenemos la matriz identidad de 4 x 4 :

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

A = [ 1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]

Pero por algún error la matriz identidad debió de haber sido de 5 x 5.

¿ Hay que capturar de nuevo la matriz ?. La respuesta es no.

A(5,5) = 1

Agregamos un 1 en el renglón 5 columna 5, y como este no existían

previamente, las columnas y renglones se completan agregando ceros.

¿Que pasa ahora si queremos sólo una matriz identidad de 3 x 3 y tenemos

capturada una de 5 x 5?

Podemos utilizar:

Matriz ("Renglón" inicio: Fin, "Columna" inicio: Fin)

B = A ( 1 : 3, 1: 3)

Ahora si queremos que la matriz identidad sea: 0 0 1

0 1 0

1 0 0

C = B ( 3 : -1 : 1 , 1 : 3 )

Poner dos puntos ( : ) indica que se deben tomar todas las columnas

(1 : 5). Esto es válido también para los renglones.

C = A ( : , [ 1 3 5 ] )

Toma todos los renglones, pero sólo toma las columnas 1, 3 y 5.

Si creamos las siguientes matrices A y B:

A = [ 1 2 3 4 5; 1 2 3 4 5; 1 2 3 4 5; 1 2 3 4 5 ]

B = [ 6 7 8; 6 7 8; 6 7 8; 6 7 8 ]

Podemos construir una matriz C uniendo las dos anteriores

c = [ A B ]

A partir de la matriz A queremos tomar las columnas 1, 2 y 5, y de la matriz

B queremos tomar las columnas 1 y 3, para formar una matriz D.

D = [ A(:,[ 1 2 5]) B(:, [ 1 3])]

D( :,1)=[] Elimina la columna número uno.

Matrices especiales

ones(2) Hace una matriz de unos, de 2 x 2.

zeros(5,4) Hace una matriz de ceros, de 5 x 4.

rand(3) Hace una matriz de 3 x 3,

eye(4) Hace una matriz identidad de 4 x 4.

Como en casi todos los lenguajes de programación, en MATLAB las

matrices y vectores son variables que tienen nombres. Ya se verá luego con más

detalle las reglas que deben cumplir estos nombres. Por el momento se sugiere

que se utilicen letras mayúsculas para matrices y minúsculas para vectores y

escalares (MATLAB no exige esto, pero puede resultar útil).

Para definir una matriz no hace falta establecer de antemano su tamaño (de

hecho, se puede definir un tamaño y cambiarlo posteriormente). MATLAB

determina el número de filas y de columnas en función del número de elementos

que se proporcionan (o se utilizan). Las matrices se definen por filas; los

elementos de una misma fila están separados por blancos o comas, mientras que

las filas están separadas por pulsaciones intro o por caracteres punto y coma (;).

Por ejemplo, el siguiente comando define una matriz A de dimensión (3x3):

» A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

La respuesta del programa es la siguiente:

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

A partir de este momento la matriz A está disponible para hacer cualquier

tipo de operación con ella (además de valores numéricos, en la definición de una

matriz o vector se pueden utilizar expresiones y funciones matemáticas). Por

ejemplo, una sencilla operación con A es hallar su matriz traspuesta. En

MATLAB el apóstrofo (') es el símbolo de trasposición matricial. Para calcular A’

(traspuesta de A) basta teclear lo siguiente (se añade a continuación la respuesta

del programa):

» A'

ans =

1 4 7

2 5 8

3 6 9

14

Como el resultado de la operación no ha sido asignado a ninguna otra

matriz, MATLAB utiliza un nombre de variable por defecto (ans, de answer), que

contiene el resultado de la última operación. La variable ans puede ser utilizada

como operando en la siguiente expresión que se introduzca. También podría

haberse asignado el resultado a otra matriz llamada B:

» B=A'

B =

1 4 7

2 5 8

3 6 9

Ahora ya están definidas las matrices A y B, y es posible seguir operando

con ellas. Por ejemplo, se puede hacer el producto B*A (deberá resultar una

matriz simétrica):

» B*A

ans =

66 78 90

78 93 108

90 108 126

En MATLAB se accede a los elementos de un vector poniendo el índice

entre paréntesis (por ejemplo x(5) ó x(i) ). Los elementos de las matrices se

acceden poniendo los dos índices entre paréntesis, separados por una coma (por

ejemplo A(1,2) ó A(i,j)). Las matrices se almacenan por columnas (aunque se

introduzcan por filas, como se ha dicho antes), y teniendo en cuenta esto puede

accederse a cualquier elemento de una matriz con un sólo subíndice. Por ejemplo,

si A es una matriz (3x3) se obtiene el mismo valor escribiendo A(1,2) que

escribiendo A(4).

Invertir una matriz es casi tan fácil como trasponerla. A continuación se va a

definir una nueva matriz A -no singular- en la forma:

» A=[1 4 -3; 2 1 5; -2 5 3]

A =

1 4 -3

2 1 5

-2 5 3

Ahora se va a calcular la inversa de A y el resultado se asignará a B. Para

ello basta hacer uso de la función inv( ) (la precisión o número de cifras con que

se muestra el resultado se puede cambiar con el menú

File/Preferences/General):

» B=inv(A)

B =

0.1803 0.2213 -0.1885

0.1311 0.0246 0.0902

-0.0984 0.1066 0.0574

Para comprobar que este resultado es correcto basta multiplicar A por B;

» A*B

ans =

1.0000 0.0000 0.0000

15

0.0000 1.0000 0.0000

0.0000 0.0000 1.0000

De forma análoga a las matrices, es posible definir un vector fila x en la

forma siguiente (si los tres números están separados por blancos o comas, el

resultado será un vector fila):

» x=[10 20 30] % vector fila

x =

10 20 30

MATLAB considera comentarios todo lo que va desde el carácter tanto

por ciento (%) hasta el final de la línea.

Por el contrario, si los números están separados por intros o puntos y coma (;) se

obtendrá un vector columna:

» y=[11; 12; 13] % vector columna

y =

11

12

13

MATLAB tiene en cuenta la diferencia entre vectores fila y vectores

columna. Por ejemplo, si se intenta sumar los vectores x e y se obtendrá el

siguiente mensaje de error:

» x+y

??? Error using ==> +

Matrix dimensions must agree.

Estas dificultades desaparecen si se suma x con el vector traspuesto de y:

» x+y'

ans =

21 32 43

Aunque ya se ha visto en los ejemplos anteriores el estilo sencillo e intuitivo

con el que

MATLAB opera con matrices y vectores, a continuación se va a estudiar

este tema con un poco más de detenimiento.

Acceder a una posición de la matriz

La dirección de un elemento en una matriz es su posición definida a partir del

número de fila y de columna, dentro de la propia matriz. Si tenemos la matriz ma el

elemento ma (k,p) se refiere al que se ocupa en la fila k, columna p.

- Ejemplo 1:

Si la matriz es ma:

Entonces, ma(1,1)= 3 y ma (2,3)= 10

- Ejemplo 2:

Para posicionarse en el valor 6 de la variable Matriz determinada en el ejemplo

anterior y que corresponde a la segunda fila con tercera columna tres, se indica

entre paréntesis la posición. En el siguiente ejemplo se asigna el valor de la

posición indicada a la variable posición.

>>posicion=Matriz(2,3) 

ans = 6

Si se deseara asignar toda la tercera fila como un solo vector entonces se

cambiaría el parámetro correspondiente a la columna por el caracter : con lo cual

se indica que corresponde a todas las columnas.

>> fila=Matriz(3,:) 

ans = 7 8 9

Similar al caso anterior, si se desea la tercera columna en su totalidad entonces se

reemplaza el parámetro de la fila por el caracter : con lo cual se indica que

corresponde a todas las filas.

Cambiar un valor de una posición especifica en una matriz.

Al igual que sucede con los vectores, es posible cambiar el valor de un solo

elemento de la matriz asignándole un nuevo valor. Así mismo, los elementos se

pueden utilizar individualmente como variables en expresiones matemáticas y

funciones. He aquí algunos ejemplos

3 11 6 5

Por ejemplo, si la matriz es: ma = 4 7 10 2

13 9 0 8

Entonces, ma(1,1) = 3 y ma= (2,3) = 10

Al igual que sucede con los vectores, es posible cambiar el valos de un solo

elemento de la matriza asignándole un nuevo valor. Asi mismo, los elementos se

pueden utilizar individualmente como variables en expresiones matemáticas y

funciones. He aquí algunos ejemplos:

MAT = 3 11 6 5; 4 7 10 2; 13 9 0 8

MAT =

3 11 6 5

4 7 10 2

Crea una matriz 3 * 4

13 9 0 8

MAT (3.1) = 20

MAT =

3 11 6 5

4 7 10 2

20 9 0 8

MAT (2.4) – MAT (1.2)

Ans =-9

Multiplicación de matrices

En matemática, la multiplicación o producto de matrices es

la operación de multiplicación que se efectúa entre dos matrices, o bien entre una

matriz y un escalar.

Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir,

viene dada por un algoritmo capaz de resolverla. El algoritmo que resuelve la

multiplicación matricial es diferente del que resuelve la multiplicación de dos

números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no cumple

con la propiedad de conmutatividad.

Para poder multiplicar debemos revisar primero el numero de filas y columnas.

Es necesario que el número de hileras de la primera matriz Q corresponda al

número de columnas de la segunda matriz W. Los elementos del producto P= QW

corresponden al producto de hileras por columnas.

Asigna un nuevo valor al elemento (3.1)

Utilización de los elementos de la matriz en expresiones matemáticas

En este ejemplo, el elemento (2,3)= 5 corresponde al producto de la hilera dos de

Q y columna tres de W. En general, no es lo mismo AB que BA.

Otro ejemplo podría ser:

Ejemplo:

|0 1 23 4 5

| × |6 7 89 10 1112 13 14

|=[33 ]

Se opera así:

(0×6 )+(1×9 )+(2×12 )=0+9+24=33

Y así sucesivamente.

Hasta completar la matriz final.

1) Reviso el tamaño de la matrizA = 2 x 3 B = 3 x 3

Como son iguales se puede multiplicar.

El tamaño de la matriz de la respuesta es 2 x 3.

2) Siempre se toma la primera matriz con la fila 1 (horizontal) con la 1 columna (vertical) marcada en la matriz.

Multiplicación de una matriz por un escalar

Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el

escalar por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ).

Ejemplo:

Propiedades:

Sean A y B matrices y c y d escalares.

Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.

Asociatividad: (cd)A = c(dA)

Elemento Neutro: 1·A = A

Distributividad:

De escalar: c(A+B) = cA+cB

De matriz: (c+d)A = cA+dA

Multiplicación de una matriz por una matriz.

El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la

matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es

una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la

matriz m×p (m filas, p columnas) dada por:

para cada par i y j.

Por ejemplo:

Propiedades

Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el

producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC).

Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC.

Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB.

En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si

A.B = 0 , No necesariamente A ó B son matrices nulas

El producto de matrices no verifica la propiedad de

simplificación: Si A.B = A.C, No necesariamente B=C

El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA.

La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el

cociente A/B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz

inversa, sólo aplicable a las matrices invertibles.

Matriz transpuesta.

Se llama matriz transpuesta de una matriz A de dimensión m*n, a la matriz que se

obtiene al cambiar en la matriz las filas por columnas o las columnas por filas se

representa por At . Si la matriz es cuadrada, su traspuesta tiene el mismo orden.

Ejemplos:

Propiedades

Para toda matriz A

Sean A y B matrices con elementos pertenecen a un anillo   y sea  :

Si el producto de las matrices A y B está definido,

Si A es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces es

semidefinida positiva.

Definiciones asociadas

Una matriz cuadrada A es simétrica si coincide con su transpuesta, esto es si

Es antisimétrica si coincide con su negativa.

Si los elementos de la matriz A son números complejos y su transpuesta coincide

con su conjugada, se dice que la matriz es hermitica.

y antihermítica si

Vale la pena observar que si una matriz es hermética (la matrices simétricas son

un caso particular) entonces es diagonalizable y sus autovalores   son reales. (El

recíproco es falso).

Operaciones con matrices

1) Suma de matrices:

A + B = B +A

A + (B + C) = (A + B ) + C

Existe una matriz 0 de m x n tal que : A + 0 = A

Ejemplos:

a) A + (-A) = 0

b)

2) Multiplicación con matrices:

Si A, B Y C son matrices de los tamaños apropiados:

A(BC) = (AB)C

A (B + C) = AB + AC

(A + B)C= AC + BC

Ejemplos:

a)

Entonces:

b) Sean

3) Matriz identidad:

La matriz identidad I2 de orden 2 es:

Conclusión

Esta investigación se ha realizado con la finalidad de entender términos y

operaciones matemáticas que faciliten el estudio de la computación aplicada,

específicamente se evalúa lo que representa una matriz y las diversas

operaciones que se pueden realizar a partir de estas. De esta manera se puede

entender la amplitud de este término y hacer más fácil su aplicación en las

operaciones con computadoras, a partir de la utilización de diversos programas y

software.

Cabe destacar que debido a sus importantes funciones como sofward optimo para

procesar matrices, tiene múltiples usos, en los que se pueden mencionar el

análisis de imagines digitalizadas, tiene su aplicación en la segmentación de

imágenes medicas con una gran rapidez, así mismo Algunas herramientas en

Matlab son utilizadas en la reducción de diagramas de bloques.

La simulación digital es un poderoso recurso para la solución de ecuaciones que

describan los sistemas de ingeniería, estos lenguajes de simulación relevan al

ingeniero del conocimiento acerca de la integración numérica, facilitando el

establecimiento y la solución de los problemas

Otro factor importante estudiado, en el uso de matlab y su funcionalidad como un

instrumento que nos permite desarrollar la complejidad matemática de los

procesos para el control de los sistemas dinámicos, permitiendo de esta manera

ofrecer una respuesta adecuada en base a el proceso aplicado y que todo esto se

desarrolle ahorrando tiempo y esfuerzo.

Referencias Bibliográficas

- GIL RODRIGUEZ, Manuel, Introducción rápida a matlab y simulink para ciencia e

ingeniería.

- Amos Gilat, 2006. Matlab: una introducción con ejemplos prácticos, editor

Reverte

- Bernad Kolman, David R. Hill, 2006. Algebra lineal. Editor Pearson Education.

Páginas web consultadas:

- http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB

- http://www.sisoft.ucm.es/Manuales/MATLAB_r2006b.pdf

- http://www.mat.ucm.es/~jair/matlab/notas.htm

-http://antiguo.itson.mx/die/aambrosi/Agosto--

-Diciembre%202004/SEP%20II/curso_matlab_pdf/Cap02MatLab.pdf