Computer Vision Algumas Propriedades Importantes da Transformada de Fourier Paulo Sérgio Rodrigues...

ComputerVision

Algumas Propriedades Importantes da Transformada de Fourier

Paulo Sérgio RodriguesPEL205

ComputerVision Separabilidade

• Lembrando o par de Transformadas de Fourier

1

0

1

0

//2,1

,M

x

N

y

NvyMuxjeyxfMN

vuF

1

0

1

0

//2,,M

u

N

v

NvyMuxjevuFyxf


• Ou, considerando M = N para simplificar ainda mais:

1

0

1

0

/)(2,1

,N

x

N

y

NvyuxjeyxfN

vuF

1

0

1

0

/)(2,,N

u

N

v

NvyuxjevuFyxf


• Expandindo e arrumando:

1

0

1

0

/2/2,1

,N

x

N

y

NvyjNuxj eeyxfN

vuF

1

0

1

0

/)(2,1

,N

x

N

y

NvyuxjeyxfN

vuF

1

0

1

0

/2/2 ,1

,N

x

N

y

NvyjNuxj eyxfeN

vuF


• Da mesma forma, para a transformada inversa:

1

0

1

0

/2/2 ,1

,N

x

N

y

NvyjNuxj eyxfeN

vuF

1

0

1

0

/2/2 ,1

,N

u

N

v

NvyjNuxj evuFeN

yxf


• Pode-se ver cada parte como uma transformada 1D

1

0

1

0

/2/2 ,1

,N

x

N

y

NvyjNuxj eyxfeN

vuF

1

0

/2),(1

),(N

y

NvyjeyxfN

NvxF


• Pode-se ver cada parte como uma transformada 1D

1

0

/2),(1

),(N

y

NvyjeyxfN

NvxF

1

0

/2),(1

),(N

x

NuxjevxFN

vuF

ComputerVision Translação

Um “problema” para visualizar o espectro de Fourier deUma função f(x,y) é o fato do pico mais alto ocorrer no eixo x = 0


No caso de uma imagem f(x,y), a qualidade da visualizaçãoPode ficar comprometida

f(x,y) |F(u,v)|


),(),( 00/2 00 vvuuFeyxf Nyvxuj

No entanto, pode-se provar que, para constantes u0, v0, x0, y0:

NvyuxjevuFyyxxf /200

00),(),(

e


(1) /

222

/2 00 yxjNy

Nx

Nj

Nyvxuj eee

)2( 1 cos como jjy esenyjye

Mas, quando M = N e u0 = v0 = N/2 :

Substituindo (2) em (1), concluímos que:

yxNyvxuje )1(/)(2 00


),(),( 002 00 vvuuFeyxf yvxuj

Finalmente, baseado nos resultados dos slides 10 e 11:

)2/,2/()1)(,( NvNuFyxf yx

Conclusão: Para se deslocar o espectro de Fourier para o centro do sistema de coordenadas, basta multiplicar cada ponto (x,y) de sua inversa por -1 elevado a soma x + y

2/ se 00 Nvu


No caso de uma imagem f(x,y), a qualidade da visualizaçãoé melhor claramente melhor

f(x,y)|F(u,v)| sem Shift

yxf ,

|F(u,v)| com Shift yxyxf )1(,

ComputerVision Periodicidade e Simetria Conjugada

),(),(),(),( NvNuFNvuFvNuFvuF

A transformada de Fourier é periódica de período N; isto é:

1

0

1

0

/2),(1

),(

em e de direta

ãosubstituiç de através provadoser pode isso

N

x

N

y

NvyuxjeyxfN

vuF

NvNu

ComputerVision Rotação

senvursenyrx cos cos

),( e ),( : tornamse ),( e ),( FrfvuFyxf

Se introduzirmos coordenadas polares:

Substituindo diretamente em f(x,y) e F(u,v), temos:

),(),( 00 Frf

ComputerVision Rotação

Exemplo de Rotação

ComputerVision Distributividade

),(),(),(),( 2121 yxfyxfyxfyxf

Uma vez que:

A transformada de Fourier é DISTRIBUTIVA sobre ADIÇÃO

Mas ...

),(),(),(),( 2121 yxfyxfyxfyxf

A transformada de Fourier NÃO é DISTRIBUTIVA sobre MULTIPLICAÇÃO

ComputerVision Escala

Para dois escalares a e b

vuaFyxaf ,,

bvauFab

byaxf /,/1

ComputerVision Valor Médio

1

0

1

0

1 ,, 2

N

x

N

yN

yxfyxf

1

0

1

0

/2,1

,

em 0 fazendoN

x

N

y

NvyuxjeyxfN

vuF

vu

1

0

1

0

,1

0,0N

x

N

y

yxfN

F

ComputerVision Valor Médio

0,01

, FN

yxf

1

0

1

0

,1

0,0N

x

N

y

yxfN

F

1

0

1

0

1 ,, 2

N

x

N

yN

yxfyxf

ComputerVision

Resultados daTransformada de Fourier

ComputerVision Exemplo 1: Função caixa (box)

f(x)

x

]2,

20

2[

20

)( b

bxse

bxsea

bxse

xf

a

dxexfwF wxi 2)()(

2/

2/2

2

b

bwxie

wi

a

2/

2/

2b

b

wxi dxea

wbiwbi eewi

a

2

i

ee

w

a wbiwbi

2

)sin( wb

w

a

b

wb

wbabwF

)sin(

)(

ComputerVision Transformada da função box

bw

bwabwF

)sin(

)(

F(w)

0 1/b 2/b 3/b-1/b-2/b-3/b

ab

w

sinc(bw)

wb

wbabwF

)sin(

)( f(x)

x

a

b

ComputerVision Distribuição normal: Gaussiana

2

2

22

1)(

x

exGaus

:= ( )gaus x e( ) x

2

ComputerVision Exemplo 2: Gaussiana

-0,02

0,03

0,08

0,13

0,18

-0,02

0,03

0,08

0,13

0,18

2

2

2

2

1)(

x

exf

2

2

12)(

w

ewF

f(x)

x

|| F(w) ||

w

1

ComputerVision Transformada do Delta de Dirac

f(x)

x

1)()( 02

edxexwF wxi (x)

|| F(w) ||

w

1

ComputerVision Pares importantes

ComputerVision Propriedades da transformada

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