PISA 2003PROGRAMME FOR INTERNATIONAL

STUDENT ASSESSMENT

ORGANIZAÇÃO PARA A COOPERAÇÃO

E DESENVOLVIMENTO ECONÓMICO

CONCEITOS FUNDAMENTAISEM JOGO

NA AVALIAÇÃO DE

LiteraciaMatemática

MAIO 2004

PISA 2003PROGRAMME FOR INTERNATIONAL

STUDENT ASSESSMENT

ORGANIZAÇÃO PARA A COOPERAÇÃO E DESENVOLVIMENTO ECONÓMICO

CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM JOGONA AVALIAÇÃO DE

LiteraciaMatemática

LiteraciaMatemática

MAIO 2004MAIO 2004

PISA 2003

343-04-CapaContra-Pisa 01.06.04 14:58 Página 1

MAIO 2004

Conceitos Fundamentais em Jogo na Avaliação da

Literacia Matemática

ORGANIZAÇÃO PARA

A COOPERAÇÃO E DESENVOLVIMENTO ECONÓMICO

PISA 2003PROGRAMME FOR INTERNATIONAL STUDENT ASSESSMENT

2

PISA 2003 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM JOGO NA AVALIAÇÃODE LITERACIA MATEMÁTICA

Gabinete de Avaliação Educacionaldo Ministério da EducaçãoAv. Defensores de Chaves, 95, 7.o 1000-116 LISBOAInternet: www.gave.ptDirectora do GAVE: Glória Ramalho1.a Edição: Maio 2004Tiragem: 500 exemplaresISBN: 972-8866-10-0Depósito legal: 211 360/04Impressão:

Estrada de Mem Martins, 4, S. CarlosApartado 1132726-901 MEM MARTINSTel.: 219 266 600 Fax: 219 202 765Internet: www.eme.ptE-mail: geral@eme.pt

Publicado originalmente pela OCDE em inglês e francês, sob os títulos: The PISA 2003 AssessmentFramework: Mathematics, Reading, Science and Problem Solving Knowledge e Skills-Cadre d’évaluation dePISA 2003, pages 23-102: Connaissances et compétences en mathématiques, lecture, science et résolutionde problèmes, pages 23-102 2003, Organisation for Economic Co-operation and Development (OCDE),Paris. Todos os direitos reservados. Edição portuguesa publicada pelo Ministério da Educação/Gabinete deAvaliação Educacional 2004, em colaboração com a OCDE, Paris. A qualidade da tradução portuguesa ea sua fidelidade ao texto original é da responsabilidade do Ministério da Educação/Gabinete de AvaliaçãoEducacional.

ÍNDICE

LITERACIA MATEMÁTICA NO PISA 2003 ..................................................

PARTE I – ENQUADRAMENTO CONCEPTUAL .........................................

PARTE II – EXEMPLOS ADICIONAIS E DE RESPOSTAS DE ALUNOS ...

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..............................................................

5

7

43

105

3

Literacia Matemática no PISA 2003

No ano de 2000, teve lugar a primeira recolha de informação do estudo PISA,patrocinado pela OCDE, com a colaboração de 32 países industrializados, entre os quaisPortugal. Nesse ano, a literacia em contexto de leitura foi avaliada através de um númerode questões mais elevado do que a literacia científica e a literacia matemática.

Em 2003, teve lugar a segunda recolha de informação ao nível internacional, desta vezcom preponderância do domínio da literacia matemática.

Julgámos útil divulgar no nosso país o enquadramento conceptual que presidiu a estarecolha. Assim, procedemos à tradução e à adaptação da edição, da OCDE, intituladaThe PISA 2003 Assessment Framework (OECD, 2003) no que se refere à literaciamatemática. O enquadramento conceptual que a seguir apresentamos teve por base oesquema teórico adoptado em 2000, no qual foram introduzidas algumastransformações.

Esta publicação está dividida em duas partes: a primeira parte apresenta oenquadramento teórico que presidiu à elaboração dos itens de Matemática incluídos noPISA 2003 (OECD, 2003); a segunda parte inclui itens ilustrativos da aplicação desteenquadramento, em conjunto com o esquema de codificação das respostas adoptado e,ainda, exemplos de respostas dadas por alunos portugueses a alguns dos itens deresposta aberta incluídos no teste-piloto, que teve lugar em 2002.

5

PARTE I

ENQUADRAMENTO CONCEPTUAL

Definição do Domínio

O domínio da literacia matemática no PISA diz respeito à capacidade de analisar,raciocinar e comunicar ideias com eficiência quando se colocam, formulam, resolvem einterpretam problemas matemáticos numa variedade de situações. A avaliação PISAcentra-se em problemas da vida real, indo para além dos tipos de situação encontradostipicamente em sala de aula. Na vida real, os cidadãos enfrentam diversas situações(quando fazem compras, viajam, cozinham, lidam com as suas próprias finanças, julgamquestões políticas, etc.) em que o uso de raciocínio quantitativo ou espacial, ou ainda deoutras competências matemáticas, ajuda a clarificar, a formular ou a resolver umproblema. Estas utilizações da matemática são baseadas nas competências aprendidas epraticadas em tipos de problemas muitas vezes propostos em manuais e na sala de aula.No entanto, elas requerem a capacidade para aplicar essas competências em contextosmenos estruturados, em que as indicações não são tão claras, e em que o estudante temde tomar decisões sobre qual o conhecimento relevante num dado contexto e como elepode ser aplicado com utilidade.

A literacia matemática no PISA trata de avaliar até que ponto os indivíduos de15 anos de idade podem ser considerados cidadãos informados e reflexivos e consumidoresesclarecidos. Os cidadãos são cada vez mais confrontados com uma miríade de tarefas queenvolvem conceitos quantitativos, espaciais, probabilísticos, etc. Os jornais, as revistas, atelevisão e a Internet estão cheios de informação sob a forma de tabelas, figuras e gráficos,sobre o tempo, a economia, a medicina e os desportos, para citar alguns exemplos. Oscidadãos são bombardeados com informação sobre matérias como «o aquecimento globale o efeito de estufa», «o crescimento da população», «os derramamentos de petróleo e osmares», «o desaparecimento do mundo rural». Os cidadãos são também confrontados coma necessidade de ler formulários, de interpretar horários de camionetas e de comboios, deconseguir efectuar transacções que envolvem dinheiro, de determinar a melhor compra nummercado, etc. A literacia matemática no PISA centra-se na capacidade de alunos de 15 anos(idade em que muitos deles estão a finalizar a educação matemática obrigatória) utilizaremo conhecimento e a compreensão matemáticos para os ajudarem a perceber estas questõese a levar a cabo as tarefas que delas resultam.

A literacia matemática no PISA é definida como a capacidade de um indivíduoidentificar e compreender o papel que a matemática desempenha no mundo, de fazerjulgamentos bem fundamentados e de usar e se envolver na resolução matemática dasnecessidades da sua vida, enquanto cidadão construtivo, preocupado e reflexivo.

7

Uma capacidade crucial implicada nesta noção de literacia matemática é a de colocar,formular, resolver e interpretar problemas que utilizam a matemática numa variedade desituações e de contextos. Esses contextos variam entre os que são puramentematemáticos e outros em que, à partida, a estrutura matemática está presente ou éaparente – quem coloca o problema ou quem o resolve deve introduzir a estruturamatemática. É importante salientar que a definição não diz apenas respeito ao nívelmínimo aceitável de conhecimento matemático; tem também a ver com a utilização damatemática em situações que podem ir do quotidiano ao invulgar, do simples aocomplexo.As atitudes e as emoções relacionadas com a matemática, tais como a autoconfiança, acuriosidade, os sentimentos de interesse e de relevância, e a vontade de realizar ou decompreender, não são componentes da definição de literacia matemática, mas, noentanto, contribuem para ela de uma forma importante.

Base Teórica do Enquadramento Conceptual do PISA

A definição de literacia matemática no PISA é consistente com a teoria sobre a estruturae o uso da língua, reflectida em estudos socioculturais recentes sobre literacia. Na obrade James Lee, Preamble to a Literacy Program, de 1998, o termo «literacia» refere ouso humano da linguagem. A capacidade de ler, escrever, ouvir e falar uma língua é oinstrumento mais importante na mediação de qualquer actividade social humana. Defacto, cada linguagem tem uma concepção intrincada que está ligada, de formacomplexa, a uma variedade de funções e de situações de uso. Para que uma pessoa sejaletrada numa língua é necessário que a pessoa conheça muitos dos recursos da língua eque seja capaz de os utilizar em funções e situações sociais muito diversas. De umaforma análoga, considerar a matemática como uma linguagem implica que os estudantesdevam aprender as características dos conceitos envolvidos no discurso matemático (ostermos, os factos, os sinais e os símbolos, os procedimentos e as competências nodesempenho de certas operações em subdomínios matemáticos específicos, e a estruturadessas ideias em cada subdomínio) e que devam, também, aprender a utilizar estas ideiaspara resolver problemas não rotineiros, numa variedade de situações definidas emtermos de funções sociais. Infelizmente, pode saber-se muito acerca das característicasdos designs da matemática sem conhecer quer a sua estrutura, quer como são usadasessas características na resolução de problemas. Estas noções escolares, que envolvemo jogo entre as «características dos designs» e as «funções» que estão por detrás doenquadramento matemático, para o PISA, podem ser ilustradas através do exemplo quesegue.

8

Exemplo 1: ILUMINAÇÃO DE RUA

A Câmara Municipal decidiu colocar um candeeiro num pequeno parque triangular deforma que todo o parque ficasse iluminado. Onde deveria ser colocado o candeeiro?

Este problema social pode ser resolvido seguindo a estratégia geral usada pelosmatemáticos, que o enquadramento conceptual refere como matematização. Amatematização pode ser caracterizada por cinco aspectos:

1. Partir de um problema situado na realidade;Localizar onde deve ser localizado o candeeiro no parque.

2. Organizar o problema de acordo com conceitos matemáticos;O parque pode ser representado como um triângulo, e a iluminação a partir da fontede luz, como um círculo centrado nessa fonte.

3. Clarificar gradualmente aspectos da realidade, através de processos tais como pressu-por quais as características do problema que são importantes, generalizar e formalizar;O problema é transformado na localização do centro de um círculo que circunscreveo triângulo.

4. Resolver o problema matemático;Usando o facto de o centro de um círculo que circunscreve um triângulo se situarno ponto de intersecção das perpendiculares aos lados do triângulo, construir essasperpendiculares para dois dos lados do triângulo. O ponto de intersecção é o centrodo círculo.

5. Validar a solução matemática em termos da situação real;Relacionar esta solução com o parque real. Reflectir nesta solução e reconhecer,por exemplo, que se um dos três cantos do parque fosse um ângulo obtuso, estasituação não seria razoável, uma vez que a localização da luz ficaria fora doparque. Reconhecer que a localização e a dimensão das árvores no parque sãooutros factores que afectam a utilidade da solução matemática.

Exemplo 2: JOGO DE FEIRA COM TABULEIRO DE XADREZNuma feira, os jogadores atiram moedas para um tabuleiro de xadrez. Se a moeda tocaqualquer das linhas dos quadrados, é considerada perdida. Se vai fora do tabuleiro, édevolvida. Mas se a moeda fica totalmente dentro de um dos quadrados, o jogadorrecupera a moeda e ganha um prémio. Qual é a probabilidade de ganhar este jogo?

9

Este exercício está claramente situado na realidade. Os estudantes a quem foi solicitadaa sua resolução começaram por reconhecer que a probabilidade de ganhar dependia dotamanho relativo dos quadrados e das moedas (identificando as variáveis importantes).Depois, para transformar o problema real num problema matemático, constataram quepoderia ser melhor examinar a relação entre um quadrado e um círculo menor (limitandoa realidade). Decidiram, então, construir um exemplo específico (usando uma heurísticade resolução de problemas – «se não consegues resolver o problema, resolve umsemelhante que consigas»). De notar que todo o trabalho que se seguiu foi realizadotendo por base este exemplo específico, não o tabuleiro, o prémio, etc. No exemplo, oraio da moeda tinha 3 cm, e o lado do quadrado 10 cm. Eles perceberam que, paraganhar, o centro da moeda tinha de estar pelo menos a 3 cm de cada lado; de outraforma, a borda da moeda atravessaria o quadrado. O espaço de possibilidades era oquadrado com 10 cm de lado, e o espaço do acontecimento favorável era um quadradode 4 cm de lado. As relações estão ilustradas no diagrama que segue (Figura 1).

Figura 1. Lançamento vencedor (win) e lançamento perdedor (lose) (à esquerda),espaço de possibilidades e espaço de acontecimento favorável (à direita).

10

A probabilidade de ganhar foi obtida a partir da razão das áreas dos espaços depossibilidades e do acontecimento favorável (por exemplo p=16/100). Os estudantesconsideraram moedas de outras dimensões e generalizaram o problema, exprimindo asua solução em termos algébricos. Finalmente, os estudantes generalizaram estaobservação, trabalhando as dimensões relativas das moedas e dos quadrados numadiversidade de situações práticas; construíram tabuleiros e obtiveram resultados testadosempiricamente (validando a solução matemática em termos da situação real).

Cada um dos cinco aspectos de matematização está evidente nesta solução. Apesar dacomplexidade do problema, todos os estudantes de 15 anos deveriam compreender ascaracterísticas matemáticas necessárias para a sua resolução. No entanto, os estudantesdesta turma trabalharam juntos neste exercício durante três dias.

Idealmente, para avaliar se os alunos de 15 anos conseguem fazer uso do conhecimentomatemático que acumularam, para resolverem os problemas matemáticos queencontram no seu mundo quotidiano, dever-se-ia recolher informação sobre a suacapacidade para matematizar situações complexas como esta. Isto é claramenteimpraticável.

Em vez disto, o PISA preparou itens destinados a avaliar diferentes partes desteprocesso. A secção seguinte descreve a estratégia utilizada para criar um conjunto deitens de uma maneira equilibrada, de forma que uma amostra desses itens cobrisse oscinco aspectos de matematização. O objectivo é, a partir das respostas a esses itens,localizar cada um dos alunos numa escala de proficiência matemática criada pelo PISA.

Organização do Domínio

Para descrever mais claramente o domínio avaliado, devem ser distinguidas três com-ponentes:

• situações ou contextos nos quais os problemas estão localizados,

• conteúdo matemático que tem de ser utilizado para resolver os problemas organizadospor algumas ideias abrangentes e, mais importante,

• competências que têm de ser activadas de forma a estabelecer a relação entre omundo real, no qual os problemas são gerados, e a matemática, e assim resolver osproblemas.

Estas componentes estão representadas na Figura 2.

11

Figura 2. Componentes do domínio da matemática.

A medida da literacia matemática de um indivíduo é determinada através da forma comousa o seu conhecimento e as suas capacidades na resolução de problemas. Os problemas(e a sua solução) podem ocorrer numa variedade de «situações ou contextos», dentro doslimites da experiência de cada indivíduo. Os problemas abordados no PISA conectamcom o mundo real de duas formas. Em primeiro lugar, os problemas existem emsituações que são relevantes para a vida do estudante. As situações são parte do mundoreal e estão indicadas por um rectângulo no canto superior esquerdo da Figura 2. Poroutro lado, em cada situação, os problemas têm um contexto mais específico, que érepresentado por um rectângulo mais pequeno incluso no maior.

Nos exemplos que facultámos, a situação é a comunidade local, e oscontextos são a iluminação do parque (Exemplo 1) e o jogo de feira(Exemplo 2).

Uma segunda componente do mundo real que tem de ser considerada quando se pensaem literacia matemática é o conteúdo matemático que se tem de evocar aquando daresolução do problema. O conteúdo matemático pode ser ilustrado por quatro categoriasque englobam os tipos de problemas que surgem na interacção com fenómenosquotidianos, baseados numa concepção das formas em que o conteúdo matemático seapresenta a cada indivíduo. Chamamos-lhes aqui «ideias abrangentes»: quantidade,espaço e forma, mudança e relações, e incerteza. Esta abordagem é distinta de umacentrada nas linhas curriculares tipicamente ensinadas nas escolas. No entanto, as ideiasabrangentes, no seu conjunto, englobam um conjunto de tópicos matemáticos que se

12

Situações

CONTEXTO

Formatodo Problema

Ideias abrangentes

CONTEÚDO

Processo

Competências

CONSTELAÇÕESDE COMPETÊNCIAS

PROBLEMAE

SOLUÇÃO

espera que os alunos tenham já apreendido. As ideias abrangentes estão representadaspelo rectângulo grande no canto superior direito da Figura 2. A partir destas ideias éextraído o conteúdo usado na resolução do problema, que se encontra representado norectângulo mais pequeno, incluso no primeiro.

As setas que ligam o «contexto» e o «conteúdo» ao «problema» mostram como o mundoreal (incluindo a matemática) dá origem a um problema.

O problema da iluminação do parque (Exemplo 1) envolve conhe-cimento geométrico relacionado com as ideias de espaço e forma, e oproblema do jogo de feira (Exemplo 2) envolve (pelo menos nas suasfases iniciais) incerteza e a aplicação de conhecimentos sobre proba-bilidades.

Os processos matemáticos que os estudantes aplicam na resolução de problemas sãoreferidos como competências matemáticas. Três constelações de competências englo-bam os diferentes processos cognitivos necessários à resolução de vários tipos deproblemas. Estas constelações reflectem a forma como os processos matemáticos sãousados tipicamente quando os estudantes resolvem problemas decorrentes da suainteracção com o mundo.

A componente de processos deste enquadramento está representado na Figura 2 por umrectângulo grande, que representa as competências matemáticas gerais, e por umrectângulo mais pequeno, que representa as três constelações de competências. Ascompetências particulares necessárias à resolução do problema estarão relacionadascom a natureza do problema, e as competências utilizadas estarão reflectidas na soluçãoencontrada. Esta interacção está representada pela seta entre as constelações decompetências e o problema e respectiva solução.

A última seta liga as constelações de competências ao formato do problema. Ascompetências utilizadas na resolução do problema estão relacionadas com a sua formae com os pedidos definidos.

Deve ser enfatizado que as três componentes descritas têm naturezas diferentes.Enquanto as situações ou contextos definem áreas de problemas do mundo real, e asideias abrangentes reflectem a forma como olhamos para o mundo com «óculosmatemáticos», as competências são o núcleo da literacia matemática. Só quando certascompetências estão disponíveis nos estudantes é que eles estão em posição de resolverproblemas com sucesso. Avaliar a literacia matemática inclui avaliar em que medida osestudantes possuem competências matemáticas que podem aplicar com êxito nassituações problemáticas.

13

Situações ou contextos

Um aspecto importante da literacia matemática é o envolvimento com a matemática:usar e fazer matemática numa variedade de situações. Tem sido reconhecido que, aolidar com questões que são passíveis de tratamento matemático, a escolha dos métodose das representações matemáticas está muitas vezes dependente das situações em que osproblemas são apresentados.

A situação é a parte do mundo do estudante em que as tarefas estão localizadas. Para oPISA, a situação mais próxima é a da vida pessoal do aluno; logo depois, a sua vidaescolar, de trabalho e de lazer, seguida da vida da comunidade local e da sociedade, talcomo são encontradas na vida real. As situações científicas são as mais distantes.Definimos aqui as quatro situações-tipo que são usadas para as questões que se colocam:vida privada, vida escolar e de lazer, vida pública e científica.

O contexto de um item é o seu enquadramento específico dentro de cada situação.Contém todos os elementos usados na formulação do problema.

Vejamos o exemplo que se segue.

Exemplo 3: CONTA POUPANÇA

Foram postos 1000 zeds numa conta poupança de um banco. Há duas opções: pode--se ter uma taxa anual de 4% OU pode-se obter do banco um bónus imediato de 10 zedse uma taxa anual de 3%. Qual é a melhor opção um ano depois? E dois anos depois?

A situação deste item é «finanças e bancos», que é uma situação da comunidade local eda sociedade e que o PISA classificaria como «vida pública». O contexto do item dizrespeito a dinheiro (zeds) e a juros numa conta bancária.

Note-se que este tipo de problema poderia fazer parte de uma vivência ou prática de umindivíduo no mundo real. Ele fornece um contexto autêntico para o uso da matemática,uma vez que a aplicação da matemática neste exemplo estaria genuinamente dirigidapara a resolução do problema (não sendo o problema um mero veículo para se exercitara matemática). Este exemplo pode ser posto em contraste com os problemas encontradosmuito frequentemente em textos dos manuais escolares de matemática.

Deve-se também fazer notar que existem elementos fictícios neste item – a unidademonetária envolvida é fictícia. Este elemento fictício é introduzido para assegurar queaos estudantes de alguns países não sejam dadas condições vantajosas, mas injustas.

14

Também podemos abordar a situação e o contexto de um problema em termos dadistância entre o problema e a matemática envolvida. Se uma actividade se refere apenasa objectos, estruturas ou símbolos matemáticos e não faz qualquer referência a questõesexteriores ao mundo matemático, o contexto da tarefa é considerado intramatemático, ea tarefa será classificada como situação-tipo «científica». O estudo PISA incluirá umnúmero limitado deste tipo de tarefas, em que a ligação entre o problema e a matemáticasubjacente é tornada explícita no contexto do problema. Geralmente, os problemasbaseados na experiência quotidiana do estudante não são apresentados em termosmatematicamente explícitos. Referem-se a objectos do mundo real. Estes contextos dastarefas são denominados de «extramatemáticos», e o estudante tem de traduzir oscontextos dos problemas para uma forma matemática. De um modo geral, o estudoPISA dá ênfase a tarefas com as quais nos podemos deparar em situações reais e quepossuem um contexto autêntico para o uso da matemática, que influencia a solução e ainterpretação da solução. Note-se que este facto não impede a inclusão de tarefas nasquais o contexto é hipotético, desde que o contexto apresente alguns elementos reais enão se distancie demasiado de uma situação do mundo real; e que esse mesmo contexto(que recorre à matemática para a resolução do problema) seja autêntico. O Exemplo 4apresenta um problema com um contexto hipotético «extramatemático».

________________________________________________________________

Exemplo 4: SISTEMA DE CUNHAGEM DE MOEDA

Seria possível estabelecer um sistema de cunhagem de moeda baseado exclusiva-mente nas denominações 3 e 5? Mais especificamente, que montantes poderiam serobtidos nessa base? Seria desejável um tal sistema?________________________________________________________________

A qualidade deste problema deriva não só da sua proximidade ao mundo real, mas,essencialmente, de ser matematicamente interessante e de chamar a si competênciasrelacionadas com a literacia matemática. O recurso à matemática para explicar cenárioshipotéticos e explorar potenciais sistemas ou situações, mesmo que sejam poucoprováveis, é uma das suas características mais fortes. Um problema deste tipo seriaclassificado como situação «científica».Em resumo, o estudo PISA valoriza especialmente tarefas que possam ser encontradasnuma variedade de situações do mundo real e que tenham um contexto, no qual orecurso à matemática para a resolução do problema seja autêntico. O estudo dápreferência a problemas com contextos extramatemáticos que influenciam a solução e ainterpretação do mesmo, na sua qualidade de veículo de avaliação da literaciamatemática, uma vez que, na sua maior parte, estes problemas são semelhantes aos davida quotidiana.

15

Conteúdo matemático – as quatro ideias abrangentes

Os conceitos, estruturas e ideias matemáticas foram inventados como instrumentospara organizar os fenómenos do mundo natural, social e mental. Nas escolas, ocurrículo matemático tem sido organizado logicamente à volta de linhas deconteúdo (por exemplo, aritmética, álgebra, geometria) e dos seus tópicos maisdetalhados, que reflectem historicamente ramos bem estabelecidos do pensamentomatemático e que facilitam o desenvolvimento estruturado de syllabus de ensino.No entanto, no mundo real, os fenómenos passíveis de tratamento matemático nãoaparecem organizados de forma tão lógica. Só raramente surgem problemas sobformas e em contextos que permitem a respectiva compreensão e resolução, atravésda aplicação do conhecimento de uma única linha de conteúdo. O problema dotabuleiro de xadrez é um exemplo que mobiliza áreas da matemática muitodiferentes.

Tendo em conta que o objectivo do estudo PISA é avaliar a capacidade de osestudantes resolverem problemas reais, a estratégia tem sido definir o âmbito doconteúdo a ser avaliado, recorrendo a uma abordagem fenomenológica na descriçãodas estruturas, ideias e conceitos matemáticos. Isto significa descrever o conteúdo emrelação aos fenómenos e aos tipos de problemas para os quais foi criado. Estaabordagem assegura um enfoque na avaliação que é consistente com a definição dedomínio e, contudo, cobre um âmbito de conteúdo que inclui o que habitualmenteencontramos noutras avaliações e no currículo nacional da disciplina.

A organização fenomenológica do conteúdo matemático não é uma abordagem nova.Duas publicações bem conhecidas, On the shoulders of giants: New approaches tonumeracy (Steen, 1990) e Mathematics: The Science of Patterns (Devlin, 1994),introduziram a descrição da matemática desta forma. No entanto, os autoresrecorreram a várias maneiras de catalogar a abordagem e utilizaram diferentesdenominações para as categorias fenomenológicas. Entre as sugestões apresentadaspara designar a abordagem em questão, podemos encontrar «temas profundos»,«grandes temas» ou «temas fundamentais»; «conceitos abrangentes», «ideiasabrangentes», «conceitos subjacentes» ou «grandes domínios»; até mesmo«problemática». No enquadramento conceptual do estudo PISA 2003, utilizar-se-á adesignação «ideias abrangentes».

Há muitas possibilidades de encontrar ideias abrangentes ao nível da matemática. Aspublicações supracitadas, por si só, referem as seguintes: modelo, dimensão,quantidade, incerteza, forma, câmbio, cálculo, raciocínio e comunicação, movimentoe mudança, simetria e regularidade, posição. Quais destas ideias deveriam serutilizadas no enquadramento conceptual da matemática, no estudo PISA? Se oobjectivo é focar o domínio da literacia matemática, é importante fazer uma selecçãode áreas de problemas que vá além dos desenvolvimentos históricos na matemática,

16

que englobe variedade e profundidade suficientes, de modo que revele o essencial damatemática e que também represente ou inclua, de um modo aceitável, as linhas deorientação convencionais do currículo da matemática.

Durante séculos, a matemática foi predominantemente a ciência dos números, a par dageometria relativamente concreta. No período até 500 a.C., a Mesopotâmia, o Egipto ea China assistiram à origem do conceito de número. Foram desenvolvidas as operaçõescom números e quantidades, incluindo quantidades resultantes de mediçõesgeométricas. O período que decorreu entre 500 a.C. e 300 d.C. foi a era da matemáticagrega, que focava essencialmente o estudo da geometria como teoria axiomática. OsGregos foram os responsáveis pela redefinição da matemática como uma ciênciaunificada de número e forma. A alteração de relevo seguinte deu-se entre 500 e 1300d.C., no mundo islâmico, na Índia e na China, quando se estabeleceu a álgebra como umramo da matemática. Deste modo, deu-se início ao estudo das relações. No século XVII,com a invenção do cálculo (o estudo da mudança, do crescimento e dos limites) porNewton e Leibniz, a matemática tornou-se um estudo integrado do número, da forma,de mudanças e de relações.

Os séculos XIX e XX assistiram a explosões do conhecimento matemático e de umagrande variedade de fenómenos e de problemas que permitiam uma abordagem atravésda matemática. Entre eles incluem-se aspectos relacionados com o aleatório e oindeterminado. Estes desenvolvimentos tornaram cada vez mais difícil dar respostaslineares à questão «O que é a matemática?» No novo milénio, muitos vêem amatemática como a ciência de modelos (em sentido lato). Assim, podemos proceder auma selecção de ideias abrangentes que reflictam estes desenvolvimentos. Quantidade,espaço e forma, mudança e relações formam conceitos centrais e essenciais a qualquerdescrição de matemática e constituem o âmago de qualquer currículo, seja no ensinosecundário ou no ensino universitário. Mas a literacia matemática tem um significadomais abrangente: é essencial lidar com a incerteza numa perspectiva matemática ecientífica. Por esta razão, os elementos da teoria das probabilidades e da estatísticaderam origem à quarta ideia abrangente: a incerteza.

As ideias abrangentes, adoptadas para o PISA 2003, que preenchem as exigências dodesenvolvimento histórico da cobertura do domínio e que reflectem as grandes linhas decurriculo escolar são as seguintes:

• Quantidade;

• Espaço e forma;

• Mudança e relações;

• Incerteza.

17

Com estas quatro ideias abrangentes, o conteúdo matemático está organizado em funçãode um número suficiente de áreas, assegurando, deste modo, uma amplitude de itenstransversal a todo o currículo, em número suficientemente pequeno que permita evitaruma divisão demasiado apertada, o que impediria a focalização em problemas baseadosem situações reais.

A concepção básica de uma ideia abrangente é um conjunto envolvente de fenómenos ede conceitos que fazem sentido e que podem ser encontrados no âmbito de muitassituações diferentes, transversalmente a todas elas. Pela sua própria natureza, cada ideiaabrangente pode ser entendida como uma espécie de noção geral, que lida com umadimensão de conteúdo algo generalizada. Isto implica que as ideias abrangentes nãopossam ser linearmente demarcadas umas em relação às outras.2 Aliás, cada uma delasrepresenta uma certa perspectiva, ou ponto de vista, concebível como se tivesse umnúcleo, um centro de gravidade, e delimitações esbatidas que permitem a intersecçãocom outras ideias abrangentes. Em princípio, qualquer uma das ideias abrangentesintersecta todas as outras. Na secção que se segue, faz-se um resumo das quatro ideiasabrangentes e, mais à frente, procede-se a uma abordagem mais profunda das mesmas.

Quantidade

Esta ideia abrangente foca a necessidade de quantificação para organizar o mundo. Entreos aspectos importantes incluem-se a compreensão da dimensão relativa, oreconhecimento de padrões numéricos e o recurso aos números para representarquantidades e atributos quantitativos de objectos do mundo real (cálculos e medidas). Apar disto, a quantidade lida com o processamento e a compreensão de números, que sãorepresentados de várias maneiras.

Um aspecto importante para se lidar com a quantidade é o raciocínio quantitativo. Ascomponentes essenciais do raciocínio quantitativo são a percepção do número, arepresentação variada dos números, a compreensão do significado das operações, asensibilidade à magnitude dos números, os cálculos matematicamente elegantes, aaritmética mental e a estimativa.

Espaço e forma

Podemos encontrar padrões em todo o lado: na oralidade, na música, no vídeo, notrânsito, na construção de edifícios ou na arte. As formas podem ser consideradasmodelos: casas, edifícios de escritórios, pontes, estrelas-do-mar, flocos de neve, mapasde cidades, folhas de trevos, cristais e sombras. Os padrões geométricos podem servircomo modelos relativamente simples de muitos tipos de fenómenos, e o seu estudo épossível e desejável a todos os níveis (Grünbaum, 1985).

18

____________________2 Como é evidente, as linhas de orientação do currículo tradicional também não.

Para compreenderem o espaço e as construções, os estudantes precisam de procurarsimilitudes e diferenças quando analisam as componentes das figuras e reconhecem asformas em representações e dimensões diferentes. O estudo das formas estáintimamente relacionado com o conceito de «apreender o espaço». Isto significaaprender a saber, explorar e conquistar, de modo a vivermos, respirarmos e movermo--nos com maior noção do espaço em que vivemos (Freudenthal, 1973).

Os estudantes devem, assim, estar aptos a compreender as propriedades dos objectos ea sua posição relativa. Devem estar cientes da forma como vêem as coisas e da razão porque as vêem dessa forma. Devem aprender a conceptualizar o espaço através deconstruções e de formas. Isto significa compreender a relação entre as formas e as suasimagens ou representações visuais, como entre uma cidade real e a sua fotografia ou oseu mapa. É igualmente necessária a compreensão de como objectos tridimensionaispodem ser representados a duas dimensões, de como são formadas as sombras e decomo devem ser interpretadas, do que é a perspectiva e de como ela funciona.

Mudança e relações

Qualquer fenómeno natural é uma manifestação de mudança; e o mundo à nossa voltaexibe uma miríade de relações temporárias e permanentes entre os fenómenos. Temos,como exemplos, os organismos que mudam à medida que crescem, o ciclo das estaçõesdo ano, o ritmo e a periodicidade das marés, os ciclos do desemprego, as alteraçõesclimáticas e os índices da bolsa de valores. Alguns destes processos de mudançaimplicam e podem ser descritos ou modelados por funções matemáticas simples: funçãolinear, exponencial, periódica ou logística, seja discreta ou contínua. Porém, muitas dasrelações recaem em categorias diferentes e muitas vezes é essencial proceder-se a umaanálise dos dados, para determinar o tipo de relação que está presente. É frequente asrelações matemáticas tomarem a forma de equações ou de desigualdades, mas tambémpodem surgir relações de natureza mais geral (por exemplo de equivalência,divisibilidade, inclusão, entre muitas outras).

O pensamento funcional, isto é, o pensamento em termos de relações, é um dosobjectivos fundamentais do ensino da disciplina de matemática (MAA, 1923). Asrelações podem ter uma variedade de representações, incluindo as simbólicas, asalgébricas, as gráficas, as tabulares e as geométricas. As diferentes representaçõespodem servir fins distintos e terem propriedades diferentes. Daí que a tradução dasvárias representações seja muitas vezes de importância chave quando se lida comsituações e com tarefas.

Incerteza

A actual «sociedade da informação» brinda-nos com uma grande abundância deinformação, frequentemente apresentada como exacta, científica e com alto grau decerteza. Contudo, na vida quotidiana, somos confrontados com resultados incertos deactos eleitorais, pontes a desmoronarem-se, quedas das bolsas de valores, previsões

19

meteorológicas pouco fiáveis, fracas previsões para o crescimento da população,modelos económicos que não funcionam e muitas outras demonstrações da incerteza nonosso mundo.

A incerteza destina-se a sugerir dois tópicos relacionados: os dados e o acaso. Estesfenómenos são, respectivamente, o sujeito do estudo matemático, em estatística e emprobabilidade. Recomendações relativamente recentes, no âmbito dos currículosescolares, são unânimes em sugerir que a estatística e a probabilidade devem ocupar umlugar muito mais proeminente do que até agora (Committee of Inquiry into the Teachingof Mathematics in Schools, 1982; LOGSE, 1990; MSEB, 1990; NCTM, 1989; NCTM,2000).

As actividades e os conceitos matemáticos específicos que são importantes nesta áreasão: recolha de dados, análise e visualização de dados, probabilidade e inferência.

Passemos agora ao aspecto mais importante do enquadramento conceptual damatemática: as competências que os estudantes usam quando tentam resolverproblemas. Este debate desenrola-se no âmbito de um título bastante abrangente:processos matemáticos.

Processos matemáticos

Introdução – matematização

O estudo PISA examina as capacidades dos estudantes no que respeita a análise,raciocínio e comunicação de ideias matemáticas de forma tão eficaz como quandocolocam, formulam, resolvem e interpretam problemas matemáticos em váriassituações. A resolução de problemas requer que os estudantes utilizem as capacidades eas competências que foram adquirindo ao longo da escolaridade e através das suasexperiências de vida. O processo fundamental que os estudantes aplicam para resolverproblemas da vida real é referido no estudo PISA como «matematização».

É provável que Newton estivesse a descrever a matematização, na sua obra--prima Princípios Matemáticos da Filosofia Natural, quando escreveu: «Mas o nossoobjectivo é apenas captar a quantidade e as propriedades desta força a partir dosfenómenos e aplicar o que descobrirmos a alguns casos simples, como princípiosmediante os quais, de uma maneira matemática, poderemos estimar os efeitos em outroscasos complicados.» (Newton, 1687)

20

O debate anterior em torno da base teórica para o enquadramento conceptual damatemática no PISA traçou um perfil da matematização, descrito em cinco passos.Podemos ver estes cinco passos na Figura 3.

Figura 3 – O ciclo da matematização

(1) Partir de um problema situado na realidade;

(2) Organizá-lo de acordo com conceitos matemáticos e identificar a matemáticarelevante;

(3) Clarificar gradualmente a realidade, através de processos tais como colocarhipóteses, generalizar e formalizar, os quais põem em evidência as característicasmatemáticas da situação e transformam o problema do mundo real num problemamatemático que representa fielmente a situação;

(4) Resolver o problema matemático;

(5) Validar a solução matemática em termos da situação real, incluindo a identificaçãodas limitações da solução.

Tal como é sugerido no diagrama da figura 3, os cinco aspectos serão aqui abordadosem três etapas.

O primeiro passo da matematização implica a tradução do problema, da realidade paraa matemática. Este processo inclui actividades como:

• identificar a matemática relevante no que respeita a um problema situado na realidade;

• representar o problema de uma maneira diferente, ou seja, organizá-lo de acordo comconceitos matemáticos e colocar as hipóteses apropriadas;

21

• compreender as relações entre a linguagem do problema e a linguagem simbólica eformal necessária à sua compreensão matemática;

• encontrar regularidades, relações e padrões;

• reconhecer aspectos isomorfos de problemas conhecidos;

• traduzir o problema para matemática, isto é, para um modelo matemático (de Lange,1987, p. 43).

A partir do momento em que o estudante traduziu o problema para a forma matemática,todo o processo poderá prosseguir no âmbito da matemática até ao fim. Os estudantescolocarão questões como: «Existe/Há...?», «Se sim, quantos(as)?» ou «Comoencontro...?», recorrendo a competências e conceitos matemáticos. Tentarão trabalharno seu modelo da situação do problema, ajustá-lo, estabelecer regularidades, identificarconexões e criar um bom argumento matemático. Esta etapa do processo dematematização chama-se geralmente a fase dedutiva do ciclo de modelação (Blum,1996; Schupp, 1988). Contudo, outros processos, para além dos estritamente dedutivos,também poderão desempenhar um papel. Esta etapa do processo de matematizaçãoinclui:

• usar diferentes representações, alternando esse uso;

• usar linguagens e operações simbólicas, formais e técnicas;

• redefinir e ajustar modelos matemáticos; combinar e integrar modelos;

• argumentar;

• generalizar.

Os últimos passos no processo de resolução de um problema implicam reflectir sobretodo o processo de matematização e sobre os resultados. Aqui, os estudantes têm deinterpretar os resultados com uma atitude crítica e validar todo o processo. Tal reflexãodá-se em todas as etapas, mas é especialmente importante na fase da conclusão. Osaspectos deste processo de reflexão e validação são:

• compreender a extensão e os limites dos conceitos matemáticos;

• reflectir sobre os argumentos matemáticos, bem como explicar e justificar osresultados;

• comunicar o processo e a solução;

• apreciar criticamente o modelo e os seus limites.

Este estádio está indicado como «5» na Figura 3, onde o processo de matematizaçãopassa de uma solução matemática para uma solução real, e em que esta é relacionadacom o problema original.

22

As competências

Falámos já dos principais conceitos e processos envolvidos na matematização. Para queum indivíduo se empenhe numa bem sucedida matematização de uma variedade desituações, precisa de possuir um conjunto de competências matemáticas. Cada umadestas competências pode ser assumida com níveis de domínio diferentes. O PISA fazuso de oito competências matemáticas características, seguindo o trabalho de Niss(1999) e dos seus colegas dinamarqueses.

1. Pensamento e raciocínio, que inclui:

– a colocação de questões características da matemática («Haverá...?», «Se há,quantos?», «Como encontramos...?»);

– o conhecimento de tipos de respostas que a matemática oferece a estas questões;– a distinção entre diferentes tipos de afirmações (definições, teoremas, conjecturas,

hipóteses, exemplos, proposições condicionadas);– a compreensão e a utilização dos limites dos conceitos matemáticos.

2. Argumentação, que inclui:– O conhecimento do que são demonstrações matemáticas e de como é que diferem

de outros tipos de raciocínio matemático;– o seguimento e a avaliação de cadeias de argumentos matemáticos de tipos

diferentes;– a existência de um sentido heurístico (o que pode e o que não pode acontecer, e

porquê);– a criação de argumentos matemáticos.

3. Comunicação, que inclui:

– a expressão do sujeito numa variedade de modos, em assuntos com conteúdomatemático, sob forma oral e escrita;

– a compreensão de afirmações escritas ou orais de outros sujeitos acerca dessesassuntos.

4. Modelação, que inclui:

– a estruturação do campo ou da situação a serem modelados;– a tradução da «realidade» em estruturas matemáticas;– a interpretação de modelos matemáticos em termos da «realidade»;– o trabalho com um modelo matemático;– a validação do modelo;– a reflexão, a análise e a crítica de um modelo e dos seus resultados;– a comunicação acerca do modelo e dos seus resultados (incluindo as limitações

desses resultados);– a monitorização e o controlo do processo de modelação.

23

5. Colocação e resolução de problemas, que inclui:

– a colocação, a formulação e a definição de diferentes tipos de problemas matemá-ticos (por exemplo, de matemática pura, de matemática aplicada, de respostaaberta e fechada);

– a resolução de diferentes espécies de problemas matemáticos, numa variedade demodos.

6. Representação, que inclui:

– a descodificação e a codificação, a tradução, a interpretação e a distinção entreformas diferentes de representação de objectos e de situações matemáticas, e dasrelações entre as várias representações;

– a escolha e a mudança de formas distintas de representação, de acordo com asituação e a intenção.

7. Uso da linguagem e de operações simbólicas, formais e técnicas, que inclui:

– a descodificação e a interpretação de linguagem simbólica e formal, e a compreen-são da sua relação com a linguagem natural;

– a tradução da linguagem natural para a linguagem simbólica/formal;– a utilização de afirmações e de expressões que contêm símbolos e fórmulas; – o uso de variáveis, a resolução de equações e o cálculo.

8. Uso de auxiliares e de instrumentos, que inclui:

– conhecer e ser capaz de usar vários materiais de apoio e instrumentos (incluindotecnologias de informação) que podem ajudar a actividade matemática;

– o conhecimento das limitações desses materiais de apoio e instrumentos.

As tarefas propostas no PISA não avaliam estas competências isoladamente, antesmobilizam em simultâneo muitas dessas capacidades. As competências particularesreveladas por cada um dos estudantes serão muito diferentes. Isto é verdade, em parte,porque a aprendizagem ocorre através da experiência, «a construção individual doconhecimento ocorre através de processos de interacção, negociação e colaboração» (deCorte, Greer & Verschaffel, 1996, p. 510). O PISA pressupõe que muito do sabermatemático dos alunos é aprendido na escola. A literacia matemática é tambémadquirida através da interacção noutras situações sociais, noutros contextos.

Para a descrição de níveis de competência matemática, o PISA organizou três classes decompetências, de acordo com o tipo de exigências cognitivas necessárias para resolverproblemas matemáticos diferentes.

24

Constelações de competências

O PISA optou por estruturar as actividades cognitivas incluídas nestas competênciascom base em três constelações de competências: reprodução, conexão e reflexão. Nassecções que se seguem, procede-se à descrição das três constelações e à discussão daforma como cada uma das competências é representada em cada constelação.

A constelação reprodução

Nesta constelação, as competências envolvem essencialmente a reprodução deconhecimentos familiares e já utilizados, entre os quais se incluem os conhecimentosmais frequentemente testados em avaliações estandardizadas e em testes na sala de aula.São elas o conhecimento de factos e de representações de problemas comuns, oreconhecimento de equivalentes, a evocação de propriedades e objectos matemáticos, odesempenho de procedimentos de rotina, a aplicação de algoritmos estandardizados e odesenvolvimento de aptidões técnicas, a operacionalização de expressões que contêmsímbolos e fórmulas convencionais, bem como o cálculo.

1. Pensamento e raciocínio, que implica colocar questões na expressão mais básica(«Quantos...?», «Quanto é...?») e compreender os tipos de resposta correspondentes(«São tantos...», «É tanto...»); fazer a distinção entre definições e afirmações;compreender e utilizar os conceitos matemáticos nos diversos contextos em que sãoapresentados inicialmente ou naqueles em que tenham, subsequentemente, sidoaplicados.

2. Argumentação, que implica a utilização e a justificação de processos quantitativosestandardizados, incluindo cálculos, afirmações e resultados de cálculos.

3. Comunicação, que implica a compreensão e a expressão, sob forma oral e escrita, dequestões matemáticas simples, tais como reproduzir os nomes e as propriedadesbásicas de objectos familiares, referir cálculos e os seus resultados, regra geral, deuma única maneira.

4. Modelação, que implica reconhecer, recordar, activar e explorar modelos familiaresbem estruturados; a interpretação de tais modelos (e dos seus resultados), em termosda «realidade» e vice-versa, bem como a comunicação elementar sobre os resultadosdo modelo.

5. Colocação e resolução de problemas, que implica a colocação e a formulação deproblemas, reconhecendo e reproduzindo problemas, estandardizados e já aplicados,de matemática pura e aplicada, e a resolução dos mesmos, invocando e recorrendo aabordagens e procedimentos estandardizados, regra geral, de uma única maneira.

25

6. Representação, que implica a descodificação, a codificação e a interpretação derepresentações familiares, estandardizadas e já aplicadas, de objectos matemáticosconhecidos. Alternar entre as representações apenas se aplica quando o próprio actode alternar se considera parte integrante das representações envolvidas.

7. Uso da linguagem e de operações simbólicas, formais e técnicas, que implica desco-dificar e interpretar a linguagem de rotina básica, simbólica e formal, utilizada emsituações e contextos familiares, operacionalizar afirmações e expressões simplesque contêm símbolos e fórmulas, incluindo o uso de variáveis, a resolução deequações e o cálculo, recorrendo a procedimentos de rotina.

8. Uso de meios auxiliares e instrumentos, que implica conhecer e ser capaz de usarmeios auxiliares e instrumentos familiares, em contextos, situações e em formassemelhantes aos que foram inicialmente apresentados e praticados.

Os itens que avaliam as competências da constelação reprodução podem ser descritospor meio dos seguintes descritores-chave: reproduzir material já praticado e fazeroperações de rotina.

Exemplos de itens da constelação reprodução_______________________________________________________________________________________________

Exemplo 5Resolva a equação 7x - 3 = 13x + 15._______________________________________________________________________________________________

Exemplo 6Qual é a média aritmética de 7, 12, 8, 14, 15 e 9?_______________________________________________________________________________________________

Exemplo 7Escreva a fracção que representa 69%._______________________________________________________________________________________________

Exemplo 8À linha m chama-se ________________________ do círculo._______________________________________________________________________________________________

Exemplo 9Aplicam-se 1 000 zeds numa conta poupança de um banco, com uma taxa de juro de4%. Quantos zeds terá a conta ao fim de um ano?_______________________________________________________________________________________________

m

26

Para ilustrar os limites dos itens inseridos na constelação reprodução, um exemplo queNÃO faz parte desta constelação é precisamente o problema Conta Poupança, descritono Exemplo 3. Este problema obrigará a maior parte dos estudantes a ir além da simplesaplicação de um procedimento de rotina e proceder à aplicação de uma cadeia deraciocínio e de uma sequência de cálculos que não são característicos das competênciasinerentes à constelação reprodução.

A constelação conexão

As competências da constelação conexão baseiam-se nas competências da constelaçãoreprodução, levando a resolução de problemas, em ordem crescente de dificuldade, parasituações não rotineiras, mas que, ainda assim, implicam cenários familiares ou quasefamiliares.

Além das competências descritas na constelação reprodução, a constelação conexão inclui:

1. Pensamento e raciocínio, que implica colocar questões («Como encontramos...?»,«Em termos matemáticos, o que implica...?») e compreender os tipos de respostacorrespondentes (apresentados através de tabelas, gráficos, números, etc.); adistinção entre definições e afirmações e entre diferentes tipos de afirmações; acompreensão e a operacionalização de conceitos matemáticos em contextosligeiramente diferentes dos contextos em que foram inicialmente apresentados e,subsequentemente, treinados.

2. Argumentação, que implica o raciocínio matemático simples, sem distinção entredemonstrações e formas mais amplas/abrangentes de argumentação e de raciocínio;o seguimento e a avaliação de cadeias de argumentos matemáticos de tipos diferentese a existência de um sentido heurístico (por exemplo, «O que pode ou nãoacontecer?», «Ser o caso de e porquê?», «O que sabemos e o que queremos obter?»).

3. Comunicação, que implica a compreensão e a expressão, sob forma oral ou escrita,de assuntos de conteúdo matemático, que podem ir desde a reprodução de nomes ede propriedades básicas de objectos familiares e a explicação de cálculos e dos seusresultados (regra geral, de várias maneiras) à explicação de assuntos que incluemrelações. Também implica compreender afirmações escritas ou orais de outrossujeitos sobre os mesmos assuntos.

4. Modelação, que implica estruturar o campo/domínio ou a situação a seremmodelados; traduzir a «realidade» para estruturas matemáticas, em contextos nãodemasiado complexos, mas que, não obstante, sejam diferentes dos contextosfamiliares aos estudantes. Também implica a movimentação entre modelos (e os seusresultados) e a «realidade» e vice-versa, incluindo aspectos de comunicação sobre osresultados do modelo.

27

5. Colocação e resolução de problemas, que implica a colocação e a formulação deproblemas que vão além da reprodução de problemas estandardizados e anterior-mente praticados, de matemática pura e aplicada; a resolução desses mesmosproblemas, invocando e utilizando não só abordagens e procedimentos estandar-dizados, mas também processos mais independentes de resolução de problemas, nosquais as conexões são estabelecidas entre diferentes áreas da matemática e diferentesmodos de representação e comunicação (esquemas, tabelas, gráficos, palavras,desenhos).

6. Representação, que implica a descodificação, a codificação e a interpretação derepresentações familiares e menos familiares de objectos matemáticos; escolher ealternar entre diferentes formas de representação de situações e de objectosmatemáticos, bem como traduzir e distinguir entre diferentes formas derepresentação.

7. Uso da linguagem e de operações simbólicas, formais e técnicas, que implica adescodificação e a interpretação de linguagem básica, simbólica e formal, emsituações e contextos menos conhecidos, e a operacionalização de afirmações e deexpressões que contêm símbolos e fórmulas, incluindo o uso de variáveis, aresolução de equações e o cálculo por meio de procedimentos familiares.

8. Uso de meios auxiliares e de instrumentos, que implica conhecer e ser capaz de usarmeios auxiliares e instrumentos familiares em contextos, situações e de maneiras quediferem daqueles em que a sua utilização foi inicialmente apresentada e praticada.

Os itens associados a esta constelação requerem habitualmente alguma prova da inte-gração e da conexão do material dos vários temas abrangentes ou das diferentes linhasde orientação do currículo da Matemática, ou ainda a junção de diferentesrepresentações de um problema.

Os itens que avaliam a constelação de competências conexão podem ser descritos combase nos seguintes descritores-chave: integração, conexão e extensão moderada domaterial praticado.

Exemplos de itens da constelação conexão

No problema «conta poupança», descrito no Exemplo 3, foi apresentado um primeiroexemplo de um item da constelação conexão. Seguem-se outros exemplos de itens damesma constelação.

28

Exemplo 10: DISTÂNCIAA Maria vive a dois quilómetros da escola; o Martim, a cinco. A que distância vivem umdo outro?

Quando este exemplo foi apresentado aos professores pela primeira vez, muitosrejeitaram-no, alegando que era fácil de mais – facilmente se vê que a resposta é 3.Outro grupo de professores argumentou que não era um bom item, pois não haviaresposta – quer dizer, não há uma resposta numérica única. Uma terceira reacção foi quenão era um bom item, pois permitia muitas possibilidades de resposta, uma vez que, seminformação adicional, o máximo que se pode concluir é que os dois alunos vivem a umadistância que pode variar entre 3 e 7 quilómetros, o que não é uma resposta desejávelpara um item. Não obstante, um pequeno grupo de professores considerou este itemexcelente, pois requer a interpretação da pergunta; trata-se de um item real de resoluçãode problemas, porque o aluno não conhece nenhuma estratégia de resolução; trata-se dematemática na sua forma mais bela, apesar de, segundo as suas próprias palavras, nãofazermos a mínima ideia de como os estudantes irão resolver o problema. É esta últimainterpretação que associa o problema em questão à constelação de competênciasconexão.

Exemplo 11: O ALUGUER DO ESCRITÓRIOOs dois anúncios que se seguem apareceram num jornal diário de um país, cujaunidade monetária é o zed.

Se uma empresa está interessada em alugar um escritório de 110 metros quadradosnesse país, durante um ano, em qual dos edifícios, A ou B, deve a empresa alugar oescritório, de modo a obter o preço mais baixo? Mostre como chegou à sua resposta.[©IEA/TIMSS]

EDIFÍCIO A

Área disponível para escritórios58-95 metros quadrados

475 zeds/mês

100-120 metros quadrados800 zeds/mês

EDIFÍCIO B

Área disponível para escritórios35-260 metros quadrados

90 zeds por metro quadrado/ano

29

Exemplo 12: A PIZAUma pizaria serve duas pizas da mesma espessura, em tamanhos diferentes. A maispequena tem um diâmetro de 30 cm e custa 30 zeds. A maior tem um diâmetro de 40cm e custa 40 zeds. [©PRIM, Instituto de Educação de Estocolmo]

Qual das pizas apresenta a melhor relação preço/quantidade? Mostre como chegou àsua resposta.

Em ambos os problemas pretende-se que os alunos traduzam uma situação real paralinguagem matemática, que desenvolvam um modelo matemático que lhes permita fazeruma comparação adequada, que verifiquem se a solução se enquadra no contexto inicialda pergunta e que comuniquem o resultado. Todas estas actividades estão associadas àconstelação conexão.

A constelação reflexãoAs competências desta constelação integram um elemento de reflexão, por parte doestudante, sobre o processo necessário à resolução do problema ou efectivamenteutilizado. Referem-se às capacidades dos estudantes de planearem estratégias deresolução e de as implementarem em cenários de problemas que contêm mais elementosdo que os problemas da constelação conexão e que podem ser mais «originais» (ou nãofamiliares). Além das competências descritas para a constelação conexão, ascompetências integradas na constelação reflexão incluem ainda:

1. Pensamento e raciocínio matemático, que implica a colocação de questões («Comoencontramos...?, «Em termos matemáticos, o que implica...?, «Quais são os aspectosessenciais do problema ou situação...?) e a compreensão dos tipos de respostacorrespondentes (proporcionados através de tabelas, gráficos, números, especificaçãode pontos-chave, etc.); a distinção entre definições, teoremas, conjecturas, hipótesese afirmações sobre casos especiais, bem como a reflexão sobre essas distinções ou asua dedução; compreender e utilizar os conceitos matemáticos em contextos novosou mais complexos; compreender e utilizar a extensão e os limites de determinadosconceitos matemáticos e generalizar os resultados.

2. Argumentação, que implica o raciocínio matemático simples, incluindo a distinçãoentre prova e demonstração e formas mais abrangentes de argumentação e deraciocínio; o seguimento, a avaliação e a construção de cadeias de argumentosmatemáticos de tipos diferentes; a utilização da heurística (por exemplo, «O quepode ou não acontecer, ou ser o caso de, e porquê?», «O que sabemos e o quequeremos obter?», «Quais as propriedades essenciais?», «Qual a relação entre osobjectos?»).

30

3. Comunicação, que implica a compreensão e a expressão demonstradas por umsujeito, sob forma oral ou escrita, de assuntos de conteúdo matemático, que podemabranger desde a reprodução de nomes e de propriedades básicas de objectosfamiliares e a explicação de cálculos e dos seus resultados (regra geral, de váriasmaneiras) à explicação de assuntos que incluem relações complexas, nomeadamenterelações lógicas. Também implica compreender as afirmações escritas ou orais deoutros sujeitos sobre os mesmos assuntos.

4. Modelação, que implica estruturar o campo ou a situação a ser modelada; traduzir a«realidade» em estruturas matemáticas, no âmbito de contextos que podem sercomplexos ou bastante diferentes dos contextos familiares aos estudantes; interpretara movimentação entre modelos (e os seus resultados) e a «realidade» e vice-versa,incluindo aspectos de comunicação acerca dos resultados do modelo: juntarinformação e dados, monitorizar o processo de modelação e validar o modeloresultante. Também inclui a reflexão através da análise e da crítica e umacomunicação mais complexa, relativamente aos modelos e à modelação.

5. Colocação e resolução de problemas, que implica a colocação e a formulação deproblemas que transcendem amplamente a reprodução de problemas estan-dardizados e anteriormente praticados, de matemática pura e aplicada; a resoluçãodesses mesmos problemas, invocando e utilizando não só abordagens eprocedimentos estandardizados, mas também processos de resolução de problemasmais originais, nos quais as conexões são estabelecidas entre diferentes áreas damatemática e diferentes modos de representação e comunicação (esquemas, tabelas,gráficos, palavras, desenhos). Também implica a reflexão sobre estratégias eresoluções.

6. Representação, que implica a descodificação, a codificação e a interpretação derepresentações familiares e menos familiares de objectos matemáticos; escolherdiferentes formas de representação de situações e de objectos matemáticos, e alternarentre essas formas, bem como traduzir e distinguir diferentes formas derepresentação. Implica, ainda, a combinação criativa de representações e a invençãode representações não estandardizadas.

7. Uso da linguagem e de operações simbólicas, formais e técnicas, que implica adescodificação e a interpretação de linguagem simbólica e formal, praticada emsituações e contextos desconhecidos, e a utilização de afirmações e de expressões quecontêm símbolos e fórmulas, incluindo o uso de variáveis, a resolução de equações ecálculos. Também implica a capacidade de lidar com afirmações e expressõescomplexas e com linguagem não familiar, simbólica ou formal, percebendo etraduzindo essa linguagem para a linguagem natural e vice-versa.

31

8. Uso de meios auxiliares e de instrumentos, que implica conhecer e ser capaz de usarmeios auxiliares e instrumentos, familiares ou não, em contextos, situações e modosque diferem daqueles em que a sua utilização foi inicialmente apresentada epraticada. Também implica conhecer as limitações dos meios auxiliares e dosinstrumentos.

Os itens de avaliação que medem a constelação de competências reflexão podem serdescritos por meio dos seguintes descritores-chave: raciocínio avançado, argu-mentação, abstracção, generalização e modelação aplicada a novos contextos.

Exemplo 13: CRESCIMENTO DOS PEIXESIntroduziram-se peixes num curso de água. Este gráfico mostra um modelo docrescimento do peso total dos peixes nesse meio.

Imagine que um pescador planeia esperar um determinado número de anos e sódepois começar a pescar no curso de água. Quantos anos deve esperar o pescador sepretender maximizar o número de peixes que pode pescar anualmente, a partir desseano? Apresente um argumento que justifique a sua resposta.

32

Exemplo 14: ORÇAMENTONum determinado país, o orçamento da defesa nacional para o ano de 1980 foi de $30milhões. O orçamento total para esse ano era de $500 milhões. No ano seguinte, oorçamento da defesa foi de $35 milhões, ao passo que o orçamento total era de $605milhões. Durante o período abrangido por esses dois orçamentos, a inflação foi de 10por cento.

A. Convidam-no/a a fazer uma conferência numa associação de pacifistas. Pretendeexplicar que o orçamento da defesa decresceu durante esse período. Explique comoo faria.

B. Convidam-no/a a fazer uma conferência numa academia militar. Pretende explicarque o orçamento da defesa aumentou durante esse período. Explique como o faria.

Fonte: de Lange and Verhage (1992). Uso autorizado.

É evidente que o Exemplo 13 se enquadra na definição de resolução de problemasmatemáticos num contexto real. Os estudantes terão de desenvolver as suas própriasestratégias e os seus próprios argumentos no âmbito de um problema algo complexo enão familiar. A complexidade reside, em parte, na necessidade de combinar,ponderadamente, a informação apresentada graficamente e a dada sob forma de texto.Além disso, não há uma resposta que salte imediatamente à vista dos estudantes.Precisam de interpretar o gráfico e de chegar à conclusão que, por exemplo, a taxa decrescimento atinge o seu ponto máximo ao fim de mais ou menos cinco anos. Para serembem sucedidos, os estudantes precisam de reflectir na sua própria resolução, à medidaque ela vai sendo feita, e de pensar no sucesso da sua estratégia. Além do mais, oproblema pede um argumento e uma «prova». Uma possibilidade é recorrer ao métodode tentativa e erro: ver o que acontece, por exemplo, quando esperamos apenas 3 anos edesenvolver a partir daí. Se esperarmos até ao final do quinto ano, poderemos obter umgrande volume de pesca todos os anos – 20 000kg de peixe. Se não pudermos esperartanto tempo e começarmos a pescar mais cedo, só conseguiremos pescar 17 000kg; seesperarmos tempo de mais (seis anos), só conseguiremos pescar 18 000kg por ano.Obteremos o melhor resultado se começarmos a pescar ao fim de cinco anos.

O Exemplo 14 foi alvo de um estudo minucioso com estudantes de 16 anos de idade (deLange, 1987, pp. 87-90). O problema ilustra muito bem a constelação de competênciasreflexão: os estudantes reconheceram imediatamente o aspecto da literacia econseguiram, geralmente, fazer algum tipo de generalização, uma vez que o âmago dasolução reside no reconhecimento de que os conceitos matemáticos chave desteproblema são o crescimento absoluto e o crescimento relativo. É claro que podemos nãoincluir a informação sobre a inflação para tornar o problema mais acessível a estudantes

33

mais jovens, sem perder as ideias conceptuais chave a ele subjacentes; contudo, perde--se em complexidade e, por inerência, na matematização requerida. Outra maneira detornar «mais fácil este item é apresentar os dados numa tabela ou num esquema. Nessecaso, estes aspectos relacionados com a matematização já não seriam necessários – osestudantes poderiam partir logo do cerne do problema.

Literacia matemática

Figura 4. Representação das constelações de competências

Resumo dos processos matemáticos na matemática do PISA

A figura 4 fornece uma representação das constelações de competências e resume asdiferenças entre elas.

É perfeitamente possível recorrer às descrições de competências apresentadasanteriormente para classificar itens de matemática e, deste modo, inserir cada um delesnuma das constelações de competências. Uma das maneiras é analisar as exigências doitem; em seguida, avaliar esse item em função de cada uma das oito competências everificar qual das três constelações apresenta a descrição mais adequada às exigênciasdesse item. Se alguma das competências estiver incluída na descrição da constelaçãoreflexão, o item será inserido na constelação de competências reflexão. Se tal nãoacontecer, mas uma ou mais competências estiverem na descrição da constelaçãoconexão, esse item será inserido nessa constelação. De outro modo, o item será incluídona constelação reprodução, uma vez que a classificação de todas as suas competênciasestará adequada a esta constelação.

34

Constelação Reprodução

• Representações e definiçõesestandardizadas

• Cálculos de rotina

• Procedimentos de rotina

• Resolução de problemas derotina

Constelação Conexão

• Modelação

• Tradução e interpretação da resolução de problemasestandardizados

• Múltiplos métodos bemdefinidos

Constelação Reflexão

• Colocação e resolução deproblemas complexos

• Reflexão e perspicáciainsight)

• Abordagem matemáticaoriginal

• Múltiplos métodoscomplexos

• Generalização

Avaliação de Literacia Matemática

Características das tarefas

Nas secções anteriores, definimos o âmbito da literacia matemática no estudo PISA edescrevemos a estrutura do enquadramento conceptual da avaliação. Nesta secçãoprocede-se a uma caracterização mais pormenorizada das tarefas de avaliação que serãoutilizadas para avaliar os estudantes. Descreve-se, em seguida, a natureza das tarefas eos tipos de formato dos itens.

A natureza das tarefas de literacia matemática do estudo PISA

O PISA é um estudo internacional sobre as competências em literacia de alunos de 15anos. Todos os itens usados nos testes devem ser adequados à população estudantil de15 anos dos países da OCDE.

Regra geral, os itens incluem algum material de estímulo ou informação, umaintrodução, a questão em si e a solução que se pretende. A par disso, para os itens cujasrespostas não podem ser codificadas automaticamente, apresenta-se um esquemapormenorizado de codificação, para permitir que, em todos os países participantes, oscodificadores codifiquem as respostas dos estudantes de uma forma consistente e fiável.Numa secção anterior deste enquadramento conceptual, descrevemos com algumpormenor as situações em que se inserem os itens de matemática do estudo PISA. Nesteestudo, em 2003, cada um dos itens está enquadrado num dos quatro tipos de situações:vida privada, vida escolar e lazer, vida pública e vida científica. Os itens seleccionadospara os instrumentos do PISA 2003, ao nível da matemática, representam transversal-mente os quatro tipos de situações.

A par desse facto, no que respeita aos contextos em que se enquadram os itens, sãopreferidos contextos autênticos. Isto é, o estudo PISA valoriza tarefas com as quais nospoderemos deparar em situações da vida real e cujo contexto, no âmbito do qual serecorre à matemática para resolver o problema, seja autêntico. Como meio de avaliaçãode literacia matemática, são preferidos problemas inseridos em contextos exteriores àmatemática e que influenciam a resolução e a interpretação do problema.

Os itens devem estar predominantemente relacionados com as ideias abrangentes (ascategorias fenomenológicas dos problemas) descritas no enquadramento conceptual. Aselecção dos itens de matemática a incluir nos testes do estudo PISA assegura umarepresentação consistente das quatro ideias abrangentes.

Os itens devem incorporar um ou mais do que um dos processos matemáticos descritosno enquadramento conceptual e devem ser predominantemente identificados com umadas três constelações de competências apresentadas.

35

O nível de literacia requerido para que um aluno consiga ocupar-se com êxito de cadaitem é cuidadosamente considerado no desenvolvimento e selecção dos itens incluídosno PISA 2003. A linguagem do enunciado é a mais simples e directa possível. Tambémtentamos evitar questões inseridas em contextos que possam criar algum tipo dedesequilíbrio cultural.

Os itens seleccionados para inclusão nos instrumentos de teste do estudo PISArepresentam vários níveis de dificuldade, para corresponderem ao vasto leque decompetências que se espera encontrar nos estudantes que participam nesta avaliação.Adicionalmente, as grandes categorias do enquadramento conceptual (nomeadamente,as constelações de competências e as ideias abrangentes) devem estar equilibradamentedistribuídas por itens de vários níveis de dificuldade. A dificuldade do item éestabelecida através de um extenso estudo-piloto, anterior à selecção dos itens para oestudo PISA principal.

Tipos de itens

Quando os instrumentos de avaliação são concebidos, é essencial ter em consideração oimpacto do tipo de item no desempenho do aluno e, por consequência, na definição doconceito que está a ser avaliado. Este assunto é particularmente pertinente num projectocomo o estudo PISA, cujo contexto de aplicação, por se tratar de um contextointernacional e em grande escala, impõe sérios constrangimentos aos tipos de formatopraticáveis.

O estudo PISA avaliará a literacia matemática através de uma combinação de itens comrespostas abertas, fechadas ou de escolha múltipla. Na construção dos instrumentos deteste para o estudo PISA 2003, utilizar-se-á sensivelmente o mesmo número de cada umdestes tipos de formato de itens.

Com base na experiência adquirida no desenvolvimento e na aplicação dos itens de testedo estudo PISA 2000, o tipo escolha múltipla é geralmente considerado como o maisadequado para avaliar itens associados às constelações de competências reprodução econexão. Como exemplo deste tipo de item, veja-se o Exemplo 15, que apresenta umitem predominantemente associado à constelação de competências conexão, definindoum número limitado de opções de resposta. Para resolver este problema, os estudantestêm de traduzir o problema para termos matemáticos, imaginar um modelo querepresente a natureza periódica do contexto descrito e proceder à extensão do modelo,por forma a corresponder ao resultado de uma das opções fornecidas.

36

Exemplo 15: FOCAUma foca tem de respirar, mesmo quando está a dormir. O Martim esteve a observaruma foca durante uma hora. No início da sua observação, a foca mergulhou até aofundo do mar e começou a dormir. Oito minutos depois, a foca emergiu lentamente atéà superfície e respirou.

Três minutos depois já se encontrava outra vez no fundo do mar, e o processorecomeçou, de forma muito regular.

Uma hora depois a foca estava:A. no fundo do marB. a caminho da superfícieC. a respirarD. caminho do fundo do mar

Quando se pretende atingir objectivos de nível mais avançado e processos maiscomplexos, dá-se preferência a outros tipos de itens. Os itens de resposta fechadalevantam questões semelhantes às dos itens de escolha múltipla; porém, pede-se aosestudantes que produzam uma resposta que facilmente será identificada como correcta ouincorrecta. Para os itens deste tipo, não é provável que possíveis conjecturas sejam motivode preocupação e não é necessário providenciar distractores (que exercem influênciasobre a construção que está a ser avaliada). Por exemplo, para o problema do Exemplo 16,há uma única resposta correcta e muitas possibilidades de resposta incorrectas.

Exemplo 16: MARATONA DE ROTERDÃOTegla Loroupe ganhou a maratona de Roterdão, de 1998. «É fácil», disse ela, «a pistaera bastante uniforme.» Em baixo pode ver-se um gráfico das diferenças de elevaçãoda pista da maratona de Roterdão:

Qual a diferença entre os pontos mais altos e os pontos mais baixos da pista?________________ m

37

Os itens de resposta aberta requerem uma resposta mais extensa por parte do estudante,e o processo de produção da resposta envolve frequentemente actividades cognitivas deum nível mais avançado. Muitas vezes estes itens não só pedem ao estudante queproduza uma resposta, mas também requerem que este apresente os passos que deu ouque explique como chegou à resposta. A característica chave dos itens de resposta abertaé que eles permitem ao estudante demonstrar as suas capacidades, na medida em queproporcionam soluções que abrangem vários níveis de complexidade matemática, comomostra o Exemplo 17.

Exemplo 17: INDONÉSIAA Indonésia está localizada entre a Malásia e a Austrália. Na tabela abaixo figuramalguns dados sobre a população da Indonésia e a sua distribuição pelas ilhas:

Um dos principais desafios que se colocam à Indonésia é a distribuição desigual dapopulação pelas ilhas. Pela tabela podemos ver que quase 62% da população vive emJava, que tem menos de 7% da área total.

Desenhe um gráfico (ou gráficos) que mostre(m) a desigualdade da distribuição dapopulação indonésia.

Fonte: de Lange and Verhage (1992). Uso autorizado.

No estudo PISA, cerca de um terço dos itens de Matemática são itens de resposta aberta.As respostas a estes itens requerem que a sua codificação seja efectuada por pessoascom formação, dado que essa codificação pode requerer uma opinião profissional.Devido às potenciais discrepâncias entre os codificadores destes itens, o estudo PISA

38

Região

Java/Madura

Sumatra

Kalimantan (Bornéu)

Sulawesi (Celebes)

Bali

Irian Jaya

TOTAL

Área de superfície(Km2)

132 187

473 606

539 460

189 216

5 561

421 981

1 905 569

Percentagem em relação à área total

6,95

24,86

28,32

9,93

0.30

22,16

100,00

População em 1980

(em milhões)

91 281

27 981

6 721

10 377

2 470

1 145

147 384

Percentagem em relação ao total

da população

61,87

18,99

4,56

7,04

1,68

5,02

100,00

vai implementar estudos de fiabilidade de codificadores, para verificar a dimensão dasdiscrepâncias. A experiência neste tipo de estudos revela que é possível desenvolvercritérios de codificação claros e obter codificações fiáveis.

O estudo PISA irá recorrer a um formato de unidade, na qual vários itens estão ligadosa um estímulo comum. As tarefas no quadro deste formato proporcionam ao estudantea oportunidade de se envolver num contexto ou problema, através de uma série dequestões de nível de complexidade crescente. As primeiras questões são, tipicamente, deescolha múltipla ou de resposta fechada, ao passo que as seguintes apresentam itens deresposta aberta. Este formato pode ser usado para avaliar cada uma das constelações decompetências.

Um argumento a favor da utilização do formato de tarefas de estímulo comum é o factode permitir a concepção de tarefas realistas e de reflectir nas mesmas a complexidadedas situações da vida real. Outro argumento está relacionado com o uso eficiente dotempo de realização do teste, reduzindo o tempo de «envolvimento» com o assuntoexposto na situação. A necessidade de tornar cada um dos itens independente, no âmbitoda tarefa, é tida em consideração aquando do desenvolvimento das tarefas e dacodificação da respostas previstas. É igualmente tida em conta a importância deminimizar o desequilíbrio que possa resultar do recurso a menos situações.

Estrutura da avaliação

Os instrumentos de teste do estudo PISA 2003 compreendem um total de 210 minutos.Os itens de teste seleccionados estão dispostos em sete grupos de itens, cada qualrepresentando um total de 30 minutos de tempo de teste. Os grupos de itens sãodispostos em cadernos de teste, segundo um desenho rotativo.

O total de tempo de teste para a Matemática está distribuído o mais equilibradamentepossível pelas quatro ideias abrangentes (quantidade, espaço e forma, mudança erelações e incerteza) e pelas quatro situações descritas no enquadramento conceptual(vida privada, vida escolar e lazer, vida pública ou científica).

Considerar-se-á o desenvolvimento de algumas escalas distintas para o relatório. Comoé evidente, estas subescalas poderão ser baseadas nas três constelações de competênciasou nas quatro ideias abrangentes. As decisões relativas ao desenvolvimento de escalasseparadas serão tomadas, incluindo considerações psicométricas, na sequência daanálise dos dados do estudo PISA. Para facilitar estas possibilidades, será necessárioassegurar que um número suficiente de itens de cada uma das potenciais categorias sejaseleccionado para inclusão no instrumento de teste do estudo PISA. Além disso, os itensinseridos em cada uma dessas categorias terão de estar distribuídos por vários níveis dedificuldade.

39

As constelações de competências anteriormente descritas neste enquadramentoconceptual reflectem categorias conceptuais de ordem crescente, em termos deexigência cognitiva e de complexidade; porém, não reflectem com rigor uma hierarquiado desempenho dos estudantes baseada na dificuldade dos itens. A complexidadeconceptual é apenas uma das componentes da dificuldade do item que influencia osníveis de desempenho. Outras serão a familiaridade, a oportunidade recente de aprendere praticar, etc. Deste modo, um item que integre competências da constelaçãoreprodução (por exemplo, «Qual destes objectos é um paralelepípedo rectangular?»,seguido de imagens de uma bola, uma lata, uma caixa e um quadrado) pode ser muitofácil para estudantes que aprenderam o significado destes termos, mas muito difícil paraoutros que não estejam familiarizados com a terminologia utilizada. Embora sejapossível imaginar itens da constelação reprodução relativamente difíceis e itens daconstelação reflexão relativamente fáceis e admitir que, tanto quanto possível, devem serincluídos itens com vários níveis de dificuldade em cada tipo de constelação, espera-seuma relação positiva, de uma forma geral, entre as constelações de competências e onível de dificuldade dos itens.

Os factores que estarão na base dos crescentes níveis de dificuldade dos itens e daproficiência matemática são os seguintes:

• O tipo e o grau de interpretação e reflexão necessárias: isto inclui a natureza dasexigências que surgem a partir do contexto do problema; até que ponto as exigênciasmatemáticas do problema são aparentes ou até que ponto os estudantes têm deestabelecer a sua própria construção matemática para o problema; até que ponto sãorequeridos a sua perspicácia (insight), raciocínio complexo e generalização.

• O tipo de competências de representação necessárias: desde problemas em que seutiliza um único modo de representação a problemas em que os estudantes têm dealternar entre diferentes modos de representação ou de encontrar, por eles próprios,os modos de representação apropriados.

• O tipo e o nível de competência matemática exigido: desde problemas de uma únicaetapa, que requerem que os estudantes reproduzam factos matemáticos básicos e queapliquem processos de cálculo simples, a problemas de múltiplas etapas, queimplicam um conhecimento matemático mais avançado, tomadas de decisãocomplexas, processamento de informação e competências de resolução deproblemas, bem como de modelação.

• O tipo e o grau de argumentação matemática que é exigido: desde problemas em quenão é necessário qualquer tipo de argumentação, passando por problemas em que osestudantes podem aplicar argumentos bem apreendidos, até problemas em que osestudantes têm de criar argumentos matemáticos ou de perceber a argumentação deoutros, ou mesmo de julgar a correcção de determinados argumentos ou provas.

40

No nível de proficiência mais baixo, os estudantes desenvolvem processos que exigemapenas uma única etapa e que implicam reconhecer contextos familiares e problemascom uma formulação matemática clara, reproduzindo factos ou processos matemáticosbem apreendidos e aplicando competências simples de cálculo.

Em níveis de proficiência mais elevados [intermédios], os estudantes realizam tarefasmais complexas, que implicam mais do que uma única etapa de processamento.Também combinam diferentes pedaços de informação ou interpretam representaçõesdiferentes de conceitos matemáticos ou de informação, reconhecendo os elementosrelevantes e importantes e como estes se relacionam entre si. Trabalham tipicamentecom determinadas formulações e modelos matemáticos, em geral sob forma algébrica,para identificarem soluções, ou realizam uma pequena sequência de etapas deprocessamento ou de cálculo, para obterem uma solução.

No nível de proficiência mais elevado, os estudantes assumem um papel mais criativo eactivo na sua abordagem dos problemas matemáticos. Interpretam tipicamenteinformação mais complexa e gerem uma série de etapas de processamento. Formulamum problema e, frequentemente, desenvolvem um modelo adequado, que facilita a suaresolução. Os estudantes deste nível identificam e aplicam instrumentos e conheci-mentos relevantes em contextos de problemas tipicamente não familiares. Tambémdemonstram perspicácia (insight) ao nível da identificação de uma estratégia deresolução adequada e revelam outros processos cognitivos mais avançados, tais como ageneralização, o raciocínio e a argumentação, para explicarem ou comunicaremresultados.

Meios auxiliares e instrumentos

A política do estudo PISA, relativamente ao uso de calculadoras e de outros instru-mentos, é a de que os estudantes devem ter a liberdade de recorrer aos mesmos, tal comoo fazem normalmente na escola.

A sua utilização representa uma avaliação mais autêntica dos resultados efectivos doestudante e providenciará uma comparação rica em informação sobre o funcionamentodos próprios sistemas de educação. A opção de um sistema, ao permitir que os alunostenham acesso a calculadoras e as utilizem, não é diferente, em princípio, de outraspolíticas institucionais seguidas pelo mesmo sistema e que não são controladas peloPISA.

Caso este recurso lhes seja vedado, os estudantes, habituados a ter uma calculadoradisponível, ficarão em desvantagem.

41

PARTE II

EXEMPLOS ADICIONAIS E DE RESPOSTAS DE ALUNOS

Nesta secção são apresentados alguns exemplos adicionais de forma a ilustrar o enqua-dramento do PISA 2003 no que concerne a literacia matemática. As 13 unidades queaqui se incluem, num total de 27 itens, foram testados no estudo piloto levado a cabo em2002, como parte do processo de desenvolvimento do PISA 2003. Por várias razões,estes itens não foram incluídos no estudo de 2003. Eles são, no entanto, úteis para finsilustrativos e, possivelmente, para utilização em sala de aula.

No estudo piloto as amostras não são seleccionadas para serem representativas daspopulações dos alunos de 15 anos dos vários países. Por isso, não faz sentido reportaraqui as percentagens de respostas total ou parcialmente correctas aos itens que seapresentam. Fazemos apenas uma ilustração dos tipos de respostas dos alunosportugueses a alguns dos itens de resposta aberta incluídos. Todos os itens exempli-ficativos vêm acompanhados dos critérios de codificação que foram estabelecidos eadoptados.

43

FAROL

Os faróis são torres, com um sinal luminoso no topo, que ajudam os naviosa descobrirem a sua rota à noite, quando navegam próximo da costa.

O sinal de um farol emite feixes luminosos, de acordo com umasequência regular. Cada farol tem a sua própria sequência.

No diagrama seguinte, vê-se a sequência de feixes de um certofarol. Os feixes luminosos alternam com períodos de escuridão.

Trata-se de uma sequência regular. Ao fim de um certo tempo, a sequência repete-se.A duração de uma sequência completa, até ao instante imediatamente antes de sevoltar a repetir, chama-se período. Quando se descobre o período de uma sequência,é fácil continuar o diagrama pelos segundos, minutos ou até mesmo horas seguintes.

_______________________________________________________________________________________

Questão 1: FAROL M523 Q01

Qual dos seguintes períodos pode corresponder à sequência deste farol?

A. 2 segundos

B. 3 segundos

C. 5 segundos

D. 12 segundos

luz

escuridão

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

tempo (s)

13

44

FAROL: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 1: C. 5 segundos.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Escolha múltiplaConstelação de competências: ConexãoIdeia abrangente: Mudança e relaçõesSituação: Vida pública

_______________________________________________________________________________________

Questão 2: FAROL M523 Q02

Ao longo de um minuto, durante quantos segundos é que o farol emite feixes luminosos?

A. 4B. 12C. 20D. 24

FAROL: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 1: D. 24.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Escolha múltiplaConstelação de competências: ConexãoIdeia abrangente: Mudança e relaçõesSituação: Vida pública

45

_______________________________________________________________________________________

Questão 3: FAROL M523 Q03 – 0 1 2 9

No quadriculado seguinte, desenhe o gráfico de uma possível sequência de feixesluminosos de um farol que emita feixes luminosos durante 30 segundos, em cadaminuto. O período desta sequência deve ser igual a 6 segundos.

FAROL: CRITÉRIO DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 2: No gráfico está representada uma sequência de luz e escuridão com feixesluminosos de 3 segundos em cada 6 segundos, e com um período de 6segundos. O que pode ser feito das seguintes maneiras:

– 1 feixe luminoso de um segundo e um l feixe de dois segundos (o que podeser representado de diversos modos), ou

– 1 feixe luminoso de três segundos (que pode ser representado de quatromaneiras diferentes).

Se estiverem representados dois períodos, a sequência deve ser idêntica paracada período.

luz

escuridão

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

tempo (s)

46

Cotação parcial

Código 1: O gráfico mostra uma sequência de luz e escuridão com feixes luminosos de3 segundos em cada 6 segundos, mas o período não é de 6 segundos. Seestiverem representados dois períodos, a sequência deve ser idêntica paracada período.• Três feixes luminosos, alternando com períodos de escuridão de um segundo.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Resposta abertaConstelação de competências: ReflexãoIdeia abrangente: Mudança e relaçõesSituação: Vida pública

47

TARIFAS POSTAIS

As tarifas postais na Zedelândia dependem do peso dos artigos a enviar (arredondadoao grama mais próximo), como indica o quadro seguinte.

_______________________________________________________________________________________

Questão 1: TARIFAS POSTAIS M836Q01

Qual dos gráficos seguintes representa de forma mais adequada as tarifas postaiszedelandesas? (O eixo horizontal representa o peso em gramas, e o eixo verticalrepresenta o preço em zedes)

0

1

2

3

4

5

6

0 1000 2000 3000 4000

0

1

2

3

4

5

6

0 1000 2000 3000 4000

0

1

2

3

4

5

6

20 50 100 200 350 500 1000 2000 30000

1

2

3

4

5

6

0 1000 2000 3000 4000

A

C D

B

48

Peso dos artigos a enviar (arredondado ao grama mais próximo) Tarifa

Até 20 g 0,46 zedes

21 g – 50 g 0,69 zedes

51 g – 100 g 1,02 zedes

101 g – 200 g 1,75 zedes

201 g – 350 g 2,13 zedes

351 g – 500 g 2,44 zedes

501 g – 1 000 g 3,20 zedes

1 001 g – 2 000 g 4,27 zedes

2 001 g – 3 000 g 5,03 zedes

TARIFAS POSTAIS: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 1: C.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Escolha múltiplaConstelação de competências: ConexãoIdeia abrangente: IncertezaSituação: Vida pública

_______________________________________________________________________________________

Questão 2: TARIFAS POSTAIS M836Q02 – 0 1 9

O João quer enviar a um amigo dois artigos, que pesam respectivamente 40 gramas e80 gramas.

De acordo com as tarifas postais zedelandesas, determine se é mais barato enviar osdois artigos sob a forma de um envio único ou de dois envios separados. Apresente oscálculos do preço para cada caso.

TARIFAS POSTAIS: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 1: É mais barato mandar os dois artigos separadamente. O preço será de1,71 zedes para dois envios separados e de 1,75 zedes para um envio único,contendo os dois artigos.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Resposta abertaConstelação de competências: ConexãoIdeia abrangente: QuantidadeSituação: Vida pública

49

Entre as produções que encontrámos começamos por exemplificar uma respostacorrecta.

Exemplo 1

Entre as respostas erradas verificámos vários tipos de incorrecções.

Num primeiro caso, a utilização de dados falsos, isto é, erradamente extraídos a partirda tabela disponibilizada.

50

Exemplo 2

A não compreensão do significado de «envio único» ou da sua implicação na utilizaçãoda tabela está aparente na resolução que se expõe no Exemplo 3.

Exemplo 3

51

No Exemplo 4 vê-se, pelo contrário, a não compreensão do significado de «dois enviosseparados». Aparentemente, este conceito foi identificado com o desmembramento dosartigos nas fracções mínimas previstas na tabela.

Exemplo 4

52

No Exemplo 5 torna-se claro o não entendimento do que é uma tabela. Na prática, oaluno limita-se a retirar a informação existente na primeira linha, e não faz uso do restoda informação.

Exemplo 5

53

Argumentação sem fundamentação pode ser observada nos dois exemplos que seseguem.

Exemplo 6

Exemplo 7

54

PULSAÇÕES CARDÍACAS

Por razões de saúde, as pessoas deveriam limitar os seus esforços, por exemplo,durante as suas actividades desportivas, a fim de não ultrapassarem um certo ritmocardíaco.

Durante muito tempo, a relação entre a frequência cardíaca máxima recomendada e aidade da pessoa era descrita pela fórmula seguinte:

Frequência cardíaca máxima recomendada = 220 – idade.

Investigações recentes mostraram que esta fórmula deveria ser ligeiramente modi-ficada. A nova fórmula é:

Frequência cardíaca máxima recomendada = 208 – (0,7 × idade).

_______________________________________________________________________________________

Questão 1: PULSAÇÕES CARDÍACAS M537Q01 – 0 1 9

Num artigo de jornal afirmava-se que: «Uma das consequências da utilização da novafórmula, em vez da antiga, é que o número máximo recomendado de pulsaçõescardíacas por minuto diminui ligeiramente para os jovens e aumenta ligeiramente paraas pessoas de idade.»

De acordo com a nova fórmula, a partir de que idade é que a frequência cardíacamáxima recomendada começa a aumentar? Mostre como chegou à sua resposta.

PULSAÇÕES CARDÍACAS: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 1: Aceitar 41 ou 40.• 220 – idade = 208 – 0,7 × idade, o que dá idade = 40, pelo que, de acordo com a

nova fórmula, as pessoas com mais do que 40 anos terão uma frequência cardíacamáxima recomendada mais alta.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Resposta abertaConstelação de competências: ConexãoIdeia abrangente: Mudança e relaçõesSituação: Vida pública/Privada

55

Os exemplos 8 a 11 revelam respostas totalmente correctas. No caso 8 é utilizada umainequação.

Exemplo 8

Na resposta 9 é usada a calculadora gráfica.

Exemplo 9

56

Os exemplos 10 e 11 revelam resoluções por tentativa e erro.

Exemplo 10

Exemplo 11

57

O Exemplo 12 ilustra a utilização de simbolizações erradas.

Exemplo 12

No exemplo 13 verifica-se a existência de um erro de cálculo.

Exemplo 13

58

No Exemplo 14 o respondente, embora tenha construído correctamente uma tabela dasfrequências cardíacas, não retirou a ilação certa dessa tabela.

Exemplo 14

No caso 15 houve apenas recurso a uma tentativa, o que levou a uma conclusãoincorrecta.

Exemplo 15

59

Nos exemplos 16 e 17 os alunos recorrem a considerações que estão para além dosdados fornecidos e que nada no enunciado do item lhes permitia considerar comorelevantes.

Exemplo 16

Exemplo 17

_______________________________________________________________________________________

Questão 2: PULSAÇÕES CARDÍACAS M537Q01 – 0 1 9

A fórmula frequência cardíaca máxima recomendada = 208 – (0,7 × idade) também éutilizada para determinar quando é que o exercício físico é mais eficaz. Algumasinvestigações demonstraram que o exercício físico é mais eficaz no momento em queas pulsações cardíacas atingem 80% da frequência cardíaca máxima recomendada.

Escreva uma fórmula que dê a frequência cardíaca recomendada para que o exercíciofísico seja o mais eficaz, expressa em função da idade.

PULSAÇÕES CARDÍACAS: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 1: Qualquer fórmula que seja equivalente a multiplicar por 80% a fórmula dafrequência cardíaca máxima recomendada.• Frequência cardíaca = 166 – 0,56 × idade.• Frequência cardíaca = 166 – 0,6 × idade.• fc = 166 – 0,56 × i.• fc = 166 – 0,6 × i.• Frequência cardíaca = (208 – 0,7 × idade) × 0,8.

60

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Resposta abertaConstelação de competências: ConexãoIdeia abrangente: Mudança e relaçõesSituação: Vida pública/Privada

O Exemplo 18 ilustra uma resposta correcta a este item.

Exemplo 18

No Exemplo 19 a percentagem de 80% está mal representada na fórmula e a expressãocarece de um outro parêntesis.

Exemplo 19

No Exemplo 20 a relação da percentagem com o valor da frequência cardíaca máximaé incorrecta.

Exemplo 20

No Exemplo 21 é o valor da percentagem que está incorrecto.

Exemplo 21

61

PAGAMENTO POR ÁREA

Os moradores de um prédio de apartamentos decidiram comprar esse prédio. Juntaramo dinheiro de tal modo que cada um contribuísse com uma quantia proporcional aotamanho do seu apartamento.

Por exemplo, uma pessoa que more num apartamento que ocupe um quinto da áreatotal de todos os apartamentos deverá pagar um quinto do preço total do prédio.

_______________________________________________________________________________________

Questão 1: PAGAMENTO POR ÁREA M480Q01

Faça um círculo em torno de «Correcto» ou «Incorrecto» para cada uma das afirma-ções seguintes.

PAGAMENTO POR ÁREA: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 1: Nesta ordem: Incorrecto, Correcto, Incorrecto, Correcto.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Resposta abertaConstelação de competências: ConexãoIdeia abrangente: Mudança e relaçõesSituação: Vida pública/Privada

62

Afirmação

A pessoa que mora no apartamento maior pagará mais por cadametro quadrado do seu apartamento que a pessoa que mora noapartamento mais pequeno.

Se soubermos as áreas de dois apartamentos e o preço de umdeles, podemos calcular o preço do segundo.

Se soubermos o preço do prédio e a quantia que cada um dosproprietários tem de pagar, podemos calcular a área total de todosos apartamentos.

Se o preço total do prédio baixar de 10%, cada proprietário pagarámenos 10%.

Correcto / Incorrecto

Correcto / Incorrecto

Correcto / Incorrecto

Correcto / Incorrecto

Correcto / Incorrecto

_______________________________________________________________________________________

Questão 2: PAGAMENTO POR ÁREA M480Q02 – 0 1 2 9

O prédio tem três apartamentos. O maior, o apartamento 1, tem uma área total de95 m2. Os apartamentos 2 e 3 têm áreas de 85 m2 e de 70 m2, respectivamente. Opreço de venda do prédio é de 300 000 zedes.

Quanto terá de pagar o proprietário do apartamento 2? Mostre como chegou à suaresposta.

PAGAMENTO POR ÁREA: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 2: 102 000 zedes, com ou sem apresentação dos cálculos. A unidade não éexigida.

• Apartamento 2: 102 000 zedes.

• Ap 2: × 300 000 = 102 000 zedes.

• = 1200 zedes por metro quadrado, logo o apartamento 2custa 102 000.

Cotação parcial

Código 1: Método correcto, mas erro(s) de cálculo menor(es).

• Ap 2: × 300 000 = 10 200 zedes.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Escolha múltipla complexaConstelação de competências: ConexãoIdeia abrangente: Mudança e relaçõesSituação: Vida pública

Os exemplos 22 a 25 mostram diferentes resoluções em que o item foi respondidocorrectamente: através do cálculo do preço do metro quadrado (Exemplo 22), doestabelecimento da percentagem da área total ocupada pelo apartamento em causa

85———250

300 000—————250

85———250

63

(Exemplo 23), da utilização de uma regra de três simples relacionando área e preço(Exemplo 24), ou da utilização de uma proporção (Exemplo 25).

Exemplo 22

Exemplo 23

64

Exemplo 24

Exemplo 25

65

Cálculos errados estiveram na origem das respostas incorrectas ilustradas nos exemplos26 e 27.

Exemplo 26

Exemplo 27

66

A utilização incorrecta dos dados, tomando uma parte pelo todo, também foi verificada.

Exemplo 28

Exemplo 29

A condição enunciada da proporcionalidade entre a área do apartamento e o seu preçofoi erradamente considerada por alguns alunos, como adiante se exemplifica.

Exemplo 30

67

ALTURA DOS ALUNOS

Questão 1: A ALTURA DOS ALUNOS M479Q01

Certo dia, numa aula de Matemática, foi medida a altura de todos os alunos. A alturamédia dos rapazes era de 160 cm, e a altura média das raparigas era de 150 cm. AAlice era a mais alta: media 180 cm. O Zé era o mais baixo: media 130 cm.

Naquele dia, tinham faltado dois alunos, mas, no dia seguinte, esses alunos vieram àaula. Então, mediram-se as suas alturas e as médias foram calculadas novamente. Parasurpresa geral, nem a altura média das raparigas nem a dos rapazes mudou.

Quais das conclusões seguintes podemos tirar com base nesta informação?

Para cada conclusão, faça um círculo em torno de «Sim» ou de «Não».

ALTURA DE ALUNOS: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 1: «Não» para todas as conclusões.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Escolha múltipla complexaConstelação de competências: ReflexãoIdeia abrangente: IncertezaSituação: Educacional

68

Conclusão

Os dois alunos eram raparigas.

Um dos alunos era um rapaz e o outro era uma rapariga.

Os dois alunos têm a mesma altura.

A média das alturas de todos os alunos não mudou.

O Zé continua a ser o mais baixo.

Pode tirar-se esta conclusão?

Sim / Não

Sim / Não

Sim / Não

Sim / Não

Sim / Não

BALOIÇO

Questão 1: BALOIÇO M472Q01

Mohammed está sentado num baloiço. Começa a baloiçar-se e tenta chegar o mais altopossível.

Qual dos gráficos representa, de forma mais correcta, a altura dos seus pés em relaçãoao chão, enquanto baloiça?

D

Altura dos pés

Tempo

C

Altura dos pés

Tempo

B

Tempo

Altura dos pés

Altura dos pés

A

Tempo

69

BALOIÇO: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 1: A.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Escolha múltiplaConstelação de competências: ConexãoIdeia abrangente: Mudança e relaçõesSituação: Vida privada

70

RESERVATÓRIO DE ÁGUA

Questão 1: RESERVATÓRIO DE ÁGUA M465Q01

65Q01

Um reservatório de água tem a forma e as dimensões indi-cadas na figura.

No início, o reservatório está vazio. Depois, enche-se deágua, à razão de um litro por segundo.

Reservatório de água

Qual dos gráficos seguintes representa o modo como varia a altura da água no reser-vatório, com o decorrer do tempo?

Altura

Tempo

Altura

Tempo

D

Altura

E

Altura

TempoTempo

Altura

Tempo

A B C

1,5 m

1,0 m

1,5 m

71

RESERVATÓRIO DE ÁGUA: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO Q1

Cotação total

Código 1: B.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Escolha múltiplaConstelação de competências: ConexãoIdeia abrangente: Mudança e relaçõesSituação: Científica

72

TEMPO DE REACÇÃO

Numa corrida de velocidade, chama-se «tempo de reacção» aointervalo entre o tiro de partida e o momento em que o atleta sai dosblocos de partida. O «tempo final» inclui este tempo de reacção e otempo de corrida.

A tabela seguinte apresenta o tempo de reacção e o tempo final de8 corredores numa corrida de 100 m.

_______________________________________________________________________________________

Questão 1: TEMPO DE REACÇÃO M432Q01 – 0 1 9

Identifique os corredores que ganharam as medalhas de ouro, de prata e de bronzenesta corrida. Complete a tabela seguinte com os números da pista, os tempos dereacção e o tempo final dos corredores medalhados.

73

Pista

1

2

3

4

5

6

7

8

Tempo de reacção(segundos)

0,147

0,136

0,197

0,180

0,210

0,216

0,174

0,193

Tempo final(segundos)

10,09

9,99

9,87

Não terminou a corrida

10,17

10,04

10,08

10,13

Medalha

OURO

PRATA

BRONZE

PistaTempo de reacção

(segundos)Tempo final(segundos)

TEMPO DE REACÇÃO: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 1:

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Resposta abertaConstelação de competências: ConexãoIdeia abrangente: QuantidadeSituação: Científica

_______________________________________________________________________________________

Questão 2: TEMPO DE REACÇÃO M432Q02 – 0 1 9

Até hoje, nenhum ser humano foi capaz de reagir ao tiro de partida em menos de0,110 segundos.

Se o tempo de reacção de um corredor for inferior a 0,110 segundos, considera-se quehouve uma falsa partida, porque, de certeza, o corredor partiu antes de ter ouvido o tiro.

Se o corredor que ganhou a medalha de bronze tivesse tido um tempo de reacção maiscurto, teria tido hipóteses de ganhar a medalha de prata? Dê uma explicação quejustifique a sua resposta.

74

Medalha

OURO

PRATA

BRONZE

Pista

3

2

6

Tempo de reacção(segundos)

0,197

0,136

0,216

Tempo final(segundos)

9,87

9,99

10,04

TEMPO DE REACÇÃO: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 1: Sim, seguido de uma explicação adequada.• Sim. Se o seu tempo de reacção fosse de menos 0,05 segundos, ele teria tido o

mesmo tempo que o segundo classificado.• Sim, ele tinha hipótese de ganhar a medalha de prata se o seu tempo de reacção

tivesse sido inferior ou igual a 0,166 s. • Sim, com o tempo de reacção o mais rápido possível, ele teria obtido um tempo

final de 9,93 s, o que lhe permitiria ganhar a medalha de prata.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas, incluindo as respostas afirmativas sem uma explicação adequada.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Resposta abertaConstelação de competências: ReproduçãoIdeia abrangente: Espaço e formaSituação: Vida privada

Os alunos que responderam correctamente fizeram-no de várias formas: Comparando asdiferenças de tempo de reacção e de tempo final entre os dois corredores em causa(Exemplo 31), calculando o tempo de corrida no caso do tempo de reacção ser o mínimopossível (Exemplo 32) ou exemplificando com um valor de tempo de reacção nascondições requeridas (Exemplo 33).

Exemplo 31

75

Exemplo 32

Exemplo 33

76

Nos exemplos 34 e 35 a importância atribuída ao tempo final é decisiva para ojulgamento do aluno.

Exemplo 34

Exemplo 35

Exemplo 36

77

Exemplo 37

Os alunos responsáveis pelas respostas correspondentes aos exemplos 38 a 41 parecemfazer depender o resultado final de condições diferentes das mencionadas, nopressuposto de que a corrida teria de se efectuar de novo.

Exemplo 38

Exemplo 39

Exemplo 40

78

Exemplo 41

Nos exemplos 42 e 43 a explicação dada não faz utilização dos dados fornecidos.

Exemplo 42

Exemplo 43

79

Exemplo 44

No Exemplo 45, a aluno parece inferir, a partir dos dados, um padrão justificativo daresposta.

Exemplo 45

80

CONSTRUINDO BLOCOS

A Susana gosta de construir blocos, utilizando pequenos cubos iguais aos da figuraseguinte.

Pequeno cubo

A Susana tem uma grande quantidade de pequenos cubos iguais a este. Usa cola parajuntar os pequenos cubos uns aos outros, de modo a construir blocos de vários tipos.

Para começar, a Susana cola oito desses cubos para construir o bloco representado naFigura A.

Figura A

A seguir a Susana constrói os blocos macicços representados nas Figuras B e Cseguintes.

Figura B Figura C

81

_______________________________________________________________________________________

Questão 1: CONSTRUINDO BLOCOS M309Q01

De quantos pequenos cubos precisa a Susana para construir o bloco representado naFigura B?

Resposta: ......................................................................................................... cubos.

CONSTRUINDO BLOCOS: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 1: 12 cubos.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Resposta abertaConstelação de competências: ReproduçãoIdeia abrangente: Espaço e formaSituação: Vida privada

_______________________________________________________________________________________

Questão 2: CONSTRUINDO BLOCOS M309Q02

De quantos pequenos cubos vai a Susana precisar para construir o bloco maciçorepresentado na Figura C?

Resposta: ......................................................................................................... cubos.

CONSTRUINDO BLOCOS: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 1: 27 cubos

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Resposta abertaConstelação de competências: ReproduçãoIdeia abrangente: Espaço e formaSituação: Vida privada

82

_______________________________________________________________________________________

Questão 3: CONSTRUINDO BLOCOS M309Q03

A Susana toma consciência de que utilizou mais cubos do que os necessários paraconstruir um bloco como o que se apresenta na Figura C. Percebe que podia ter coladoos pequenos cubos de modo a ficarem com a aparência da Figura C, mas que o blocopodia ser oco por dentro.

Qual é o número mínimo de pequenos cubos de que ela precisa para construir um blococom um aspecto igual ao da Figura C, mas oco por dentro?

Resposta: ......................................................................................................... cubos.

CONSTRUINDO BLOCOS: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 1: 26 cubos.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Resposta abertaConstelação de competências: ConexãoIdeia abrangente: Espaço e formaSituação: Vida privada

_______________________________________________________________________________________

Questão 4: CONSTRUINDO BLOCOS M309Q04

Agora a Susana quer construir um bloco com o aspecto de um bloco maciço com6 pequenos cubos de comprimento, 5 pequenos cubos de largura e 4 pequenos cubosde altura. Quer utilizar o menor número possível de cubos, deixando o máximo deespaço vazio no interior do bloco.

Qual é o número mínimo de pequenos cubos de que a Susana precisa para construireste bloco?

Resposta: ......................................................................................................... cubos.

83

CONSTRUINDO BLOCOS: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 1: 96 cubos.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Resposta abertaConstelação de competências: ReflexãoIdeia abrangente: Espaço e formaSituação: Vida privada

84

CONCENTRAÇÃO DE UM MEDICAMENTO NO SANGUE

Questão 1: CONCENTRAÇÃO DE UM MEDICAMENTO NO SANGUE M307Q01 – 0 1 2 9

Num hospital uma doente toma uma injecção de penicilina. A penicilina desfaz-seprogressivamente de tal modo que, uma hora depois da injecção, apenas 60% dapenicilina permanece activa.

Este processo continua com o mesmo ritmo: ao fim de cada hora, apenas 60% dapenicilina presente no fim da hora anterior permanece activa.

Suponha que injectaram uma dose de 300 miligramas de penicilina a esta doente, às 8horas da manhã.

Complete a tabela seguinte, escrevendo a quantidade de penicilina que permaneceactiva no sangue, em intervalos de uma hora, desde as 8h 00min às 11h 00min.

CONCENTRAÇÃO DE UM MEDICAMENTO NO SANGUE:CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 2: As três casas da tabela estão correctamente preenchidas.

Cotação parcial

Código 1: Só uma ou duas casas da tabela está/estão correctamente preenchida(s) .

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Resposta abertaConstelação de competências: ConexãoIdeia abrangente: Mudança e relaçõesSituação: Científica

85

Horas

Penicilina (mg)

8h 00min

300

9h 00min 10h 00min 11h 00min

Horas

Penicilina (mg)

8h 00min

300

9h 00min

180

10h 00min

108

11h 00min

64,8 ou 65

_______________________________________________________________________________________

Questão 2: CONCENTRAÇÃO DE UM MEDICAMENTO NO SANGUE M307Q02

O Pedro tem de tomar 80 mg de um medicamento para controlar a sua tensão arterial.

O gráfico seguinte indica a quantidade inicial de medicamento e a quantidade quepermanece activa no sangue do Pedro depois de um, dois, três e quatro dias.

Que quantidade de medicamento permanece activa no fim do primeiro dia?

A. 6 mgB. 12 mgC. 26 mgD. 32 mg

CONCENTRAÇÃO DE UM MEDICAMENTO NO SANGUE:CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 1: D. 32 mg.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Escolha múltiplaConstelação de competências: ReproduçãoIdeia abrangente: Mudança e relaçõesSituação: Científica

80

60

440

20

0

Qua

ntid

ade

de m

edic

amen

to a

ctiv

o (m

g)

0 1 2 3 4 5

Tempo (dias) depois da absorção do medicamento

86

_______________________________________________________________________________________

Questão 3: CONCENTRAÇÃO DE UM MEDICAMENTO NO SANGUE M307Q03

O gráfico da questão anterior permite constatar que a proporção de medicamentoactivo no sangue do Pedro, em relação à do dia anterior, é quase a mesma todos osdias.

De entre as percentagens seguintes, qual é a que corresponde, de forma maisadequada, à percentagem de medicamento que permanece activo no fim de cada dia,em relação ao dia anterior?

A. 20%B. 30%C. 40%D. 80%

CONCENTRAÇÃO DE UM MEDICAMENTO NO SANGUE: CRITÉRIOS DECODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 1: C. 40%.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Escolha múltiplaConstelação de competências: ConexãoIdeia abrangente: Mudança e relaçõesSituação: Científica

87

PRÉDIO TORCIDO

Na arquitectura moderna, os prédios têm frequentemente formas pouco usuais. Aimagem abaixo é a da maqueta de um «prédio torcido», feita por computador, e umaplanta do respectivo rés-do-chão. Os pontos cardeais indicam a orientação do prédio.

No rés-do-chão do prédio encontram-se a entrada principal e um espaço comercial.Acima do rés-do-chão, há mais 20 andares de apartamentos.

A planta de cada andar é semelhante à planta do rés-do-chão, mas a orientação éligeiramente diferente da do andar situado imediatamente abaixo. O cilindro centralcontém a caixa do elevador e um patamar em cada andar.

88

N

S

E

O

N

S

EO

_______________________________________________________________________________________

Questão 1: PRÉDIO TORCIDO M535Q01 – 0 1 2 9

Apresente uma estimativa, em metros, da altura total do prédio. Explique como chegouà sua resposta.

PRÉDIO TORCIDO: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 2: Aceitar respostas de 50 a 90 metros, se for dada uma explicação adequada. • Um andar mede cerca de 2,50 metros de altura. Como há algum espaço entre dois

andares, podemos estimar que tem 21 × 3 = 63 metros.• Contam-se 4 m por andar, por isso, 20 andares dão 80; se juntarmos 10 m para o

rés-do-chão, dá-nos um total de 90 m.

Cotação parcial

Código 1: O método de cálculo e a explicação estão correctos, mas só considera 20 andares emvez de 21.• Cada apartamento poderia ter 3,5 metros de altura, pelo que 20 andares, com 3,5

metros cada, dão uma altura total de 70 m.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas, incluindo as que não têm explicação, respostas em que o númerode andares esteja incorrecto (excepto as que refiram 20) e respostas em que aestimativa da altura de um andar seja pouco plausível (devem considerar-se 4 mcomo sendo o limite superior da altura de um andar).• Cada andar tem cerca de 5 m de altura, donde 5 × 21 = 105 metros de altura total.• 60 m.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Resposta abertaConstelação de competências: ConexãoIdeia abrangente: Espaço e formaSituação: Vida pública

89

Apareceram respostas totalmente correctas com a explicitação do raciocínio utilizado,embora com estimativas diferentes da altura de cada andar.

Exemplo 46

Exemplo 47

Exemplo 48

Outros exemplos revelam estimativas de altura por cima (Exemplo 49) ou por defeito(Exemplo 50) dos valores considerados como aceitáveis.

Exemplo 49

90

Exemplo 50

Um outro erro frequente foi o de se considerar apenas 20 andares, não incluindo o rés--do-chão (exemplos 51 e 52).

Exemplo 51

Exemplo 52

Houve também quem não explicitasse o raciocínio (Exemplo 53) e quem não fizessequalquer estimativa da altura de cada um dos andares (Exemplo 54).

Exemplo 53

Exemplo 54

91

Cálculos errados estão na origem do Exemplo 55.

Exemplo 55

A confusão entre número de andares e altura do prédio é revelada na resposta incluídacomo exemplo 56.

Exemplo 56

A utilização, aparentemente sem sentido, dos dados fornecidos é ilustrada no Exemplo57.

Exemplo 57

92

As imagens seguintes são vistas laterais do prédio torcido.

_______________________________________________________________________________________

Questão 2: PRÉDIO TORCIDO M535Q02

Vista lateral 1 Vista lateral 2

A partir de que direcção foi desenhada a vista lateral 1?

A. A partir do Norte

B. A partir de Oeste

C. A partir de Este

D. A partir do Sul

PRÉDIO TORCIDO: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 1: C. A partir de Este.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Escolha múltiplaConstelação de competências: ConexãoIdeia abrangente: Espaço e formaSituação: Vida pública

93

_______________________________________________________________________________________

Questão 3: PRÉDIO TORCIDO M535Q03

A partir de que direcção foi desenhada a vista lateral 2?

A. A partir do Noroeste

B. A partir de Nordeste

C. A partir de Sudoeste

D. A partir do Sudeste

PRÉDIO TORCIDO: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 1: D. A partir do Sudeste.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Resposta abertaConstelação de competências: ConexãoIdeia abrangente: Espaço e formaSituação: Vida pública

94

_______________________________________________________________________________________

Questão 4: PRÉDIO TORCIDO M535Q04 – 0 1 2 9

Cada andar de apartamentos apresenta uma certa «torção» em relação ao rés-do-chão.O último andar (o 20.o andar acima do rés-do-chão) faz um ângulo recto com o rés-do-chão.

O desenho abaixo representa o rés-do-chão.

Por cima desta figura, desenhe a planta do 10.o andar, mostrando como é que esteandar está situado em relação ao rés-do-chão.

PRÉDIO TORCIDO: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 2: Um desenho correcto, ou seja, que apresente um centro de rotação correcto e umarotação no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Aceitar ângulos de 40º a 50º.

95

Cotação parcial

Código 1: Um dos três elementos seguintes está incorrecto: o ângulo de rotação, o centro derotação ou o sentido da rotação.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Resposta abertaConstelação de competências: ConexãoIdeia abrangente: Espaço e formaSituação: Vida pública

Respostas totalmente correctas estão ilustradas nos exemplos 58 e 59.

Exemplo 58

96

Exemplo 59

Os exemplos 60 e 61 ilustram a utilização de centros de rotação errados.

Exemplo 60

97

Exemplo 61

No exemplo 62 o centro de rotação também está errado; o desenho indica a existênciade uma falta de relação entre o rés do chão e os restantes andares.

Exemplo 62

98

O exemplo 63 mostra uma resposta em que o ângulo de rotação não está certo.Aparentemente, o aluno considerou a rotação em sentido contrário ao indicado nosesquemas fornecidos.

Exemplo 63

O ângulo de rotação de 90º, também incorrecto, foi o utilizado na resposta do Exemplo 64.

Exemplo 64

99

O recurso a uma regra de relacionamento linear está indiciado no Exemplo 65, emborasem ter qualquer continuidade.

Exemplo 65

100

CONCERTO DE ROCK

Questão 1: CONCERTO DE ROCK M552Q01

Um terreno rectangular, medindo 100 m por 50 m, foi reservado para o público de umconcerto de rock. Os lugares para o concerto esgotaram, e o terreno estava cheio defãs, todos de pé.

Qual dos números abaixo é, provavelmente, a melhor estimativa para o número totaldas pessoas que assistiram ao concerto?

A. 2 000

B. 5 000

C. 20 000

D. 50 000

E. 100 000

CONCERTO DE ROCK: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 1: C. 20 000.

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Escolha múltiplaConstelação de competências: ConexãoIdeia abrangente: QuantidadeSituação: Vida pública

101

PASSADEIRA ROLANTE

Questão 1: PASSADEIRA ROLANTE M703Q01 – 0 1 9

A fotografia, ao lado, é de passadeirasrolantes.O gráfico distância-tempo, apresentadoem baixo, permite comparar a «marchaem cima da passadeira rolante» com a«marcha ao lado da passadeira rolante».

Supondo que, no gráfico acima, a velocidade a que duas pessoas andam é aproxima-damente a mesma, acrescente ao gráfico uma recta que corresponda a uma pessoaque permaneça imóvel na passadeira rolante.

PASSADEIRA ROLANTE: CRITÉRIOS DE CODIFICAÇÃO

Cotação total

Código 1: Aceitar a resposta se a recta se encontrar por baixo das duas rectas existentes, nacondição de estar mais próxima da recta «Uma pessoa que anda ao lado dapassadeira rolante» do que do eixo do tempo.

102

tempo

Distância a partir do ponto de partida da passadeira rolante

Uma pessoa que anda ao lado da passadeira rolante

Uma pessoa que anda em cima da passadeira rolante

Tempo

Distância a partir do ponto de partida da passadeira rolante

Uma pessoa que anda ao lado da passadeira rolante

Uma pessoa que anda em cima da passadeira rolante

Uma pessoa que permanece imóvel na passadeira rolante

Cotação nula

Código 0: Outras respostas.

Código 9: Sem resposta.

Tipo de item: Resposta abertaConstelação de competências: ReflexãoIdeia abrangente: Mudança e relaçõesSituação: Científica

103

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Blum, W. (1996), “Anwendungsorientierter Mathematikunterricht – Trends undPerspektiven”, in G. Kadunz et al. (eds), Trends und Perspektiven. SchriftenreiheDidaktik der Mathematik, vol. 23, Hoelder–Pichler-Tempsky, Wien, Austria, pp. 15-38.

Commmittee of Inquiry into the Teaching of Mathematics in Schools (1982),Mathematics Counts (the Cockcroft report), Her Majesty’s Stationery Office, London,United Kingdom.

de Corte, E., B. Greer and L. Verschaffel (1996) “Mathematics Teaching andLearning”, in D. C. Berliner and R. C. Calfee (eds.), Handbook of EducationalPsychology, Macmillan, New York, NY, pp. 491-549.

de Lange, J. (1987) Mathematics, Insight and Meaning, OW and OC, UtrechtUniversity, Utrecht, Netherlands.

de Lange, J. (1995), “Assessment : No Change Without Problems”, in T. A. Romberg(ed.), Reform in School Mathematics and Authentic Assessment, Suny Press, Albany,NY.

Devlin, K. (1994, 1997), Mathematics, the Science of Patterns, Scientific AmericanLibrary, New York, NY.

Freudenthal, H, (1973), Mathematics as an Educational Task, D. Reidel, Dordrecht,Netherlands.

GrÜnbaum, B. (1985), “Geometry Strikes Again”, Mathematics Magazine, 58 (1) pp12 -18.

LOGSE (1990), Ley de Ordenacion General del Sistema Educativo, Madrid, Spain.

Mathematical Association of America (MAA) (1923), The Reorganization ofMathematics in Secondary Education; A Report of National Committee onMathematical Requirements, The Mathematical Association of America, inc, Oberlin,OH.

Mathematical Sciences Education Board (MSEB) (1990), Reshaping SchoolMathematics: A Philosophy and Framework of Curriculum, National Academy Press,Washington, D.C..

Masters, G., R. Adams and M. Wilson (1999), “Charting Student Progress” in G.Masters and J. Keeves (eds.), Advances in Measurement in Educational ResearchAssessment, Elsevier Science, Amsterdam, Netherlands.

105

Masters G. and M. Forster (1996), Progress Maps, Australian Council for EducationalResearch, Melbourne, AustraliaOrganisation for Economic Co-operation and Development (2003). The PISA 2003Assessment Framework. Paris: OECD Publications

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (1989), Curriculum andEvaluation Standards for School Mathematics, NCTM, Reston, VA.

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (2000), Principles andStandards for Mathematics, NCTM, Reston, VA.

Newton, I. (1687), Philosophiae, naturalis principia mathematica Auctore Is. Newton,Trin. Coll. Cantab. Soc. Matheseos Professore Lucasiano, & Societatis Regalis Sodali.Imprimatur. S. Pepys, Reg. Soc. Praeses. Julii 5. 1686. Londoni, Jussu Societatis Regiaeac Typis Josephi Streater. Prostat apud plures Bibliopolas. Anno MDDCLXXXVII.(English Translation: Mathematical Principles of Natural Philosophy, published byUniversity of California Press, Berkeley, 1934).

Niss, M. (1999), “Kompetencer og Uddannelsesbeskrivelse” (Competencies and subjectdescription), Uddanneise, 9, pp. 21-29.

Schupp, H. (1998), “Anwendungsorientierter Mathematikunterrricht in derSekundarstufe I Zwischen Tradition und Neuen Impulsen” (Application – orientedmathematics lessons in the lower secondary between traditional and new impulses), DerMathematikunterricht, 34 (6), pp. 5-16.

Steen, L. A. (1990), On the Shoulders of Giants: New Approaches to Numeracy,National Academy Press, Washington, D.C.

106

PISA 2003PROGRAMME FOR INTERNATIONAL

STUDENT ASSESSMENT

ORGANIZAÇÃO PARA A COOPERAÇÃO

E DESENVOLVIMENTO ECONÓMICO

CONCEITOS FUNDAMENTAISEM JOGO

NA AVALIAÇÃO DE

LiteraciaMatemática

MAIO 2004

PISA 2003PROGRAMME FOR INTERNATIONAL

STUDENT ASSESSMENT

ORGANIZAÇÃO PARA A COOPERAÇÃO E DESENVOLVIMENTO ECONÓMICO

CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM JOGONA AVALIAÇÃO DE

LiteraciaMatemática

LiteraciaMatemática

MAIO 2004MAIO 2004

PISA 2003

343-04-CapaContra-Pisa 01.06.04 14:58 Página 1