Conceitos_Basicos_Matematica_2013

Conceitos Básicos para Física Página 1

CONCEITOS BÁSICOS PARA FÍSICA

1- PITÁGORAS.

1)Sendo a,b e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo, indique, justificando, aqueles que são retângulos:

a) a = 6; b = 7 e c = 13;

b) a = 6; b = 10 e c = 8.

Resolução:

"Se num triângulo as medidas dos seus lados verificarem o Teorema de Pitágoras então pode-se concluir que o triângulo é retângulo".

Então teremos que verificar para cada alínea se as medidas dos lados dos triângulos satisfazem ou não o Teorema de Pitágoras.

a)

logo o triângulo não é retângulo porque não satisfaz o Teorema de Pitágoras.

b)

logo o triângulo é retângulo porque satisfaz o Teorema de Pitágoras.

Universidade São Judas Tadeu


2)Calcule o valor de x em cada um dos triângulos retângulos:

a)

b)

Resolução:

a) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

3)Calcule as áreas das seguintes figuras.

a)


b)

Resolução:

a)

b)

4) a) Qual era a altura do poste?


Resolução:

h = 4 + 5 = 9

Resposta: A altura do poste era de 9 m.

b) Qual é a distância percorrida pelo carro.

Resolução:

Resposta: A distância percorrida pelo carro é de: 265 cm = 2,65 m.

5) O Pedro e o João estão brincando de gangorra, como indica a figura:


A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm.

Qual o comprimento da gangorra?

Resolução:

Pode-se aplicar o Teorema de Pitágoras, pois a linha a tracejado forma um ângulo de 90 graus

com a "linha" do chão.

Então vem:

1,8 m = 180 cm

Resposta: O comprimento da gangorra é de aproximadamente 190 cm, isto é, 1,9 m.

6) A figura representa um barco à vela.

Determine, de acordo com os dados da figura, os valores de x e y.

Resolução:

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:


2- Notação Científica e Algarismos Significativos:

Chama-se de notação cientifica a maneira de escrevermos números muito pequenos ou muito grandes de forma a podermos operá-los rapidamente e precisamente, ou avaliarmos a ordem de grandeza de um resultado de cálculos numéricos sem dificuldades. O numero assim escrito fica dividido nas seguintes partes:

1) Passe os número abaixo para notação científica fazendo os arredondamentos necessários para duas casas após a vírgula: a) 8.240,004 b) 0,5806 c) 9.001 d) 0,00009008x103 e) 6980x10-6 2) Efetue as operações abaixo observando as regras de arredondamento: a) 5,42 + 3,2 b) 0,680 + 96,0000 c) 42,310 – 22,6 d) 10,5 x 3,072 e) 9,8012 / 0,94 f) 62,58 x 876,0002 3) Entre os números abaixo, responda qual a quantidade de algarismos significativos em cada um deles: a) 0,0025801 b) 568,000 c) 0,20004 d) 63,00014 e) 6548,0 4) Faça as devidas alterações para que os valores se apresentem em unidades do Sistema Internacional (S.I.) a) 50 g b) 230 cm c) 2 ml d) 3,6 h e) 4300 mm f) 4 cm2 g) 25 dm3 h) 45 min 5) Passe os valores abaixo para unidades do Sistema Internacional (S.I.) e utilize notação científica:


a) 518 km b) 2 g c) 5780 ml d) 40 cm e) 154,23 mm f) 0,048 dm g) 5 T h) 657 m 6) De acordo com o que foi visto em sala de aula efetue os cálculos abaixo: a) 90,004 + 2,01 – 6,206 b) (3,24 / 5,2) x 0,1738 7) Reescreva os tempos abaixo apresentando-os em horas, minutos e segundos. a) 5,15 h b) 0,75 h c) 3,45 h d) 32,50 min 8) Efetue as seguintes operações respeitando o (S.I.) e faça os devidos arredondamentos caso necessário: a) 92,8 m + 0,0036 km b) 24,43 kg / 312,040 g c) 105,87 cm – 0,5 m d) 45,92 dam x 2,152 m

GABARITO: 1) A) 8,24 x 103 B) 5,81 x 10-1 C) 9,00 x 103 D) 9,01 x 10-2 E) 6,98 x 10-3 2) A) 8,6 B) 96,680 C) 19,7 D) 32,3 E) 10,43 F) 54.820,09 3) A) 5 B) 6 C) 5 D) 7 E) 5 4) A) 0,05 kg B) 2,30 m C) 0,002 L D) 12.960 s E) 4,3 m F) 0,0004 m2 G) 0,025 m3 H) 2.700 s 5) A) 5,2 x 105 m B) 2,0 x 10-3 kg C) 5,8 L D) 4,0 x 10-1 m E) 1,5 x 10-1 m F) 4,8 x 10-3 m G) 5 x 103 kg H) 6,6 x 102 m 6) A) 85,8 B) 0,1 7) A) 5 h , 9 min , 0 s B) 0 h , 45 min , 0 s C) 3 h , 27 min , 0 s D) 0 h , 32 min , 30 s 8) A) 96,4 m B) 78,29 kg C) 0,6 m D) 988,2 m


OPERAÇÕES COM NOTAÇÃO CIENTÍFICA As regras básicas para operações com notação cientifica são as mesmas usadas para operações com potencias de mesma base, devendo somente ter o cuidado para que o coeficiente do resultado seja sempre maior que um e menor que dez. Se acontecer do coeficiente ser igual a um (1) então o coeficiente não é escrito. a) multiplicação bm . bn = bm + n Ou seja, produto de potencias de mesma base é igual à base tendo como expoente a soma dos expoentes envolvidos. Assim: 103 . 102 = 10 3 + 2 = 105 107 . 10-3 = 10 7 + ( -3) = 104 10-1 . 10-8 = 10 -1 + (-8) = 10-9 Os coeficientes são operados normalmente: 5,21 . 1013 . 8,33 .10-2 = 5,21 . 8,33 .10 13 + ( -2 ) = 4 . 1012 Simplificando para zero casa após a vírgula. 7,29 . 103 . 1,11 .10 -4 = 7,29 . 1,11 .10 3 + ( -4 ) = 8,1 . 10-1 Simplificando para uma casa após a vírgula. 4,25 . 10-6 . 3,92 .10-1 = 4,25 . 3,92 .10 -6 + ( -1 ) = 1,67 . 10-6 Simplificado para duas casas após a vírgula. Escrevendo-se os coeficientes de acordo com as regras temos dois casos quando da multiplicação de dois coeficientes: 1) o produto dos coeficientes é menor que dez; 2) o produto dos coeficientes é igual ou maior que dez. no primeiro caso o expoente de dez do resultado é somente a soma das potencias de dez envolvidas. Ex.: 2 . 107 x 4 .10-2 = 2 x 4 .10 7 + (-2 ) = 8 . 105 No segundo caso devemos considerar que “sobra um dez” no coeficiente e que, por conseguinte, temos que somar um (1) ao expoente da potência de dez final. Ex: 5 . 10-1 . 7 .10-2 = 5 . 7 .10 -1 + (-2 ) = 35 . 10-3 Que é um resultado onde o coeficiente não esta escrito corretamente e para tal devemos desmembrar o dez contido, assim: 35 . 10-3 = (3,5 .10) . 10-3 = 3,5 . 10-2 Com a prática tais arranjos se fazem automaticamente dispensando a forma como foi demonstrada.


Ex.: 5 . 104 . 2 .103 = 5 . 2.10 4 + 3 = 108 6 . 10-12 . 3 .10-1 = 6 . 3 .10 -12 + ( -1 ) = 1,8 . 10-12 b) divisão bm . bn = b m-n Ou seja, o cociente da divisão de potência de mesma base é igual à base tendo como expoente a diferença entre os expoentes envolvidos. Nota-se, que podemos transformar uma divisão de bases em produto somente trocando o sinal do expoente da base divisora. Assim: 108 . 105 = 10 8 – ( + 5 ) = 103 102 . 10-3 = 10 2 – ( -3 ) = 105 10-4 102 = 10 -4 – ( -2 ) = 10-6 ou: 105/104 = 105 . 10-4 = 10 5 – ( -4 ) = 10 107 / 10-6= 107 . 106 = 10 7 + (+ 6 ) = 1013 10-2/10-8 = 10-2 . 108 = 10 -2 +( +8 ) = 106 Exercícios: Resolver dando o resultado em notação cientifica: a)4.10-2 . 5.103 = b)7.104 . 3.10-3 = c)6.10-1 . 8.10-2 = d)2,4.10-2 . 9.10-10 = e)1,01.107 . 1,02 .106 = f)7,28.10-11 . 4,89.105 = g)4.10 . 4.10-7 = h)5.104 . 2.10-5 = i)4.10-2 ¸ 5.103 = j)7.104 ¸ 3.10-3 = k)6.10-1 ¸ 8.10-2 = l)2,4.10-2 ¸ 9.10-10 = m)1,01.107 ¸ 1,02 .106 = n)7,28.10-11 ¸ 4,89.105 = o)3,56.102 ¸ 3,33 .108 = p)1,602.10-19 ¸ 1,257.10-6 = c) Potenciação (bm )n = b m´n Ou seja, quando uma potência é elevada a um expoente a base fica elevada ao produto dos dois expoentes. Exemplos: ( 105 )2 = 1010 ( 10-4)3 = 10-12 Exercícios: a)( 10-4 )2 = b)( 103 )2 =


c)( 5.102 )3 = d)( 7,2.103 )2 = e)( 3,45.10-8 )3 = f)( 6,08.10-7 )2 = g)( 0,0000729 )3 = d) soma e subtração Para somar ou subtrair números sob a forma de potência de dez, deve-se posicionar os coeficientes no mesmo valor relativo. Ex.: 3,8.103 - 4.102 Notamos que o primeiro coeficiente é da classe dos milhares enquanto o segundo é das centenas. Posicionam-se os coeficientes sempre tomando por base o coeficiente com a menor ordem de grandeza e usando o procedimento visto em radiciação. No exemplo dado a menor ordem de grandeza é 102 e para que o coeficiente da primeira parcela tenha esta ordem de grandeza, basta posicioná-lo usando a regra já descrita, ou seja: ( 3,8 x 10 ) . (10 3/10) = 38.102 => Finalmente: 38.102 - 4.102 = 34.102 = 3,4.103 Exemplos: 4.105 + 5.104 = 40.104 + 5.104 = 45.104 = 4,5.105 5,3.10-3 + 6.10-2 = 5,3.10-3 + 60.10-3 = 65,3.10-3 = 6,53.10-2 7,2.10-8 + 9,7.10-7 = 7,2.10-8 + 97.10-8 = -89,8.10-8 = -8,98.10-7 Exercícios: 6,73.10-18 - 8,91.10-19 = 5,02.104 + 7,15.106 = 9,92.107 - 8,66.10-9 = 3,04.10-2 + 7,06.10-1 = 3- Algarismos significativos Qual é o comprimento de AB?

Coloca-se uma régua ao lado de AB, de forma que o zero da régua coincida com uma das extremidades do segmento, e verifica-se com qual divisão da régua a outra extremidade do segmento coincide. O mais provável é que a extremidade B caia entre 2 divisões da régua,sem coincidir com nenhuma! Dizer que AB = 1,7 cm não está correto... Que AB = 1,8 cm também não! Então, qual é o comprimento de AB?


Comprimento de AB – a solução! Para resolver a dificuldade foi convencionado que a pessoa que realiza a medição deve avaliar a posição em que a extremidade B caiu, e acrescentar mais um algarismo à medida. A pessoa que realiza a medição imagina o espaço entre 1,7 e1,8 subdividido em 10 partes iguais... ...e opina com qual subdivisão ela acha que a extremidade B coincide. Se ela acha que B coincide com a sexta subdivisão ela escreve...

Algarismos corretos e algarismo duvidoso (1 de 2)

É claro que os algarismos da medida 1,76 não merecem a mesma confiança. Qualquer pessoa que medir o comprimento AB irá concordar que o primeiro algarismo é 1, e que o segundo é 7 – eles foram mostrados pelo instrumento. Quando ao 6, uma outra pessoa poderia fazer uma avaliação diferente... Algarismos corretos e algarismo duvidoso (2 de 2) Por isso dizemos que em toda medida existem 2 tipos de algarismos: Algarismos corretos: são aqueles sobre os quais temos certeza, porque foram mostrados pelo aparelho de medida; Algarismo duvidoso: É aquele (único!) que foi avaliado. É sempre o último algarismo da medida.

Algarismos significativos Chamamos de algarismos significativos de uma medida ao conjunto constituído por todos os seus algarismos corretos, mais o (único) algarismo duvidoso.


Quantidade de significativos de uma medida Se a medida foi realizada corretamente: Os algarismos de 1 a 9, sempre que aparecem numa medida, são significativos; O zero: Antes de algarismo diferente de zero não é algarismo significativo Depois de algarismo diferente de zero é significativo. Quantos significativos tem cada uma das medidas abaixo?

Arredondamento Operação que permite reduzir a quantidade de significativos de uma medida. Corresponde a jogar informação fora. Por isso deve ser evitada sempre que possível. Como arredondar: Identificar o último algarismo que vai ser conservado. Observar o algarismo seguinte: Menor que 5: simplesmente desprezamos ele e todos que o seguem. 5 ou maior que 5: desprezamos ele e todos que o seguem, mas acrescentamos 1 unidade no último que vai ser conservado. Arredonde para 3 significativos

Operações com significativos Quando se realizam operações matemáticas com medidas de precisões diferentes, a pior medida determina a precisão do resultado. Se queremos um resultado mais preciso, precisamos melhorar as piores medidas. Exemplo: Somar 27,8 + 1,324 + 0,66 = 29,7

Arredondar todas as parcelas para a quantidade de casas decimais da parcela que tiver menor número de casas decimais.

Efetuar a operação. Todos os algarismos do resultado serão significativos.

Multiplicação:


Efetuar normalmente a operação

Arredondar o resultado para a quantidade de casas decimais da parcela que tiver menor número de casas decimais.

Divisão:

Efetuar a operação, continuando a divisão até obter uma casa decimal a mais do que a parcela que tem menor número de casas decimais.

Arredondar o resultado para o número de casas decimais da parcela que tem menor número de casas decimais.

Mudança de unidades:

A operação não pode alterar a precisão da medida!

3 cm = 0,03 m

3 km = 3 x 103 m (e não 3.000 m)

Relações trigonométricas no triângulo retângulo

A trigonometria é uma ferramenta matemática bastante utilizada no cálculo de distâncias envolvendo triângulos retângulos. Na antiguidade, matemáticos utilizavam o conhecimento adquirido em trigonometria para realizar cálculos ligados à astronomia, determinando a distância, quase que precisa, entre a Terra e os demais astros do sistema solar. Atualmente a trigonometria também é bastante utilizada e para compreender o seu uso é necessário assimilar alguns conceitos. Observe a figura abaixo que representa um triângulo retângulo.

Note que o maior lado é denominado de hipotenusa e os outros dois lados de catetos. A hipotenusa é o lado que fica oposto ao ângulo reto (ângulo de 90o). Além do ângulo reto, há dois ângulos agudos, α e β. A trigonometria estabelece relações entre os ângulos agudos do triângulo retângulo e as medidas de seus lados. Vejamos quais são essas relações.


O seno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.

O cosseno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

A tangente de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

Definidas as razões trigonométricas, obtemos as seguintes igualdades para o triângulo retângulo abaixo:


Exemplo 1. Determine os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos do triângulo abaixo.

Solução: Temos que


1. No triângulo retângulo determine as medidas x e y indicadas.

(Use: sen65º = 0,91; cos65º = 0,42 e tg65º = 2,14)

2. Determine no triângulo retângulo ABC as medidas a e c indicadas.

3. Sabendo que sen40º = 0,64; cos40º = 0,77 e tg40º = 0,84 calcule as medidas x e y indicadas no triângulo retângulo.

4. Considerando o triângulo retângulo ABC, determine as medidas a e b indicadas.

5. Em um triângulo retângulo isósceles, cada cateto mede 30cm. Determine a medida da hipotenusa desse triângulo.

6. A diagonal de um quadrado mede 26 cm, conforme nos mostra a figura.

Nessas condições, qual é o perímetro desse quadrado?


7. Uma pipa é presa a um fio esticado que forma um ângulo de 45º com o solo. O comprimento do fio é 80m. Determine a altura da pipa em relação ao solo.

Dado 2 = 1,41

8. Qual é o comprimento da sombra de uma árvore de 5 m de altura quando o

sol está 30º acima do horizonte? Dado 3= 1,73

9. Determine a altura do prédio da figura seguinte:

10. Para determinar a altura de um edifício, um observador coloca-se a 30m de distância e assim o observa segundo um ângulo de 30º, conforme mostra a figura. Calcule a altura do edifício medida a partir

do solo horizontal. Dado 3= 1,73

11. Observe a figura e determine:

a) Qual é o comprimento da rampa?

b) Qual é a distância do inicio da rampa ao barranco?

12. A uma distância de 40m, uma torre é vista sob um ângulo α , como mostra a figura. Determine a altura h da torre se α = 30º.


Referências Bibliográficas

• Ramalho, Francisco et al. Os Fundamentos da Física, Vol 3, 8a Ed. São Paulo: Moderna, 2003.

• Sistema Internacional de Unidades. 8a Ed. Rio de Janeiro: INMETRO, 2007.

Disponível em www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/Si.pdf

• Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundamentos de Física, Vol 2, 3 e 4. 6a. Ed. Rio de Janeiro: LTC,

1996. Notas de aulas do Professor Dulceval Andrade de Santana-‐ [email protected]

Universidade de Brasília (UnB) http://www.unb.br/portal

Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) http://www.unicamp.br

Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho" (Unesp) http://www.unesp.br

Universidade Estadual do Rio de Janeiro (UERJ) http://www.uerj.br

Universidade de São Paulo (USP) http://www.usp.br

Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) http://www.ufrj.br

Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN) http://www.ufrn.br

Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) http://www.ufrgs.br/ufrgs

Universidade Federal de São Carlos (UFSCar) http://www.ufscar.br Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) http://www.ufsm.br

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