concreto armado - apostila - pilares

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 3 a edição maio de 2000 PILARES DE CONCRETO ARMADO Henrique Innecco Longo e-mail: [email protected]

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo

3a ediçãomaio de 2000

PILARES DE CONCRETO ARMADO

Henrique Innecco Longo

e-mail: [email protected]

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 1

1 - A importância dos pilares na estrutura

Os pilares têm uma importância fundamental para a estrutura. Eles servem de apoio para asvigas, transmitem as cargas para as fundações e também participam do sistema estrutural decontraventamento. É preciso tomar bastante cuidado no projeto, no detalhamento das armaduras ena execução dos pilares, pois estes elementos podem romper por esmagamento do concreto deforma brusca e sem aviso prévio. Qualquer falha na execução ou mesmo um simples erro decálculo poderá provocar a queda de uma edificação.

O desabamento do Edifício Palace II na Barra da Tijuca (RJ), em fevereiro de 1998, mostroumais uma vez a importância dos pilares na estrutura. Segundo as investigações realizadas por peritos,a deficiência nas armaduras de alguns pilares e a utilização de materiais de baixa qualidade teriamcontribuído para a queda do edifício. É possível que este acidente não tivesse ocorrido se estasfalhas tivessem acontecido localmente em uma laje ou em uma viga, que teriam sido reforçadas semmaiores problemas para a estrutura.

Neste trabalho será feito o dimensionamento e a determinação das armaduras de um pilarpiloto, que servirá como modelo de cálculo para melhor compreensão da teoria. Ao longo do texto,foram elaboradas perguntas para os leitores. A idéia é incentivar a postura questionadora,fundamental para o engenheiro e cidadão.

2 - Modelos para o cálculo dos pilares de edifício

A escolha do modelo de cálculo para o pilar vai depender do tipo de edificação e doscarregamentos. Nas estruturas esbeltas e naquelas em que a ação do vento é considerável, o pilardever ser considerado como um elemento de um pórtico tridimensional ou bidimensional (fig.1a).Nos edifícios usuais em que a ação do vento é desprezível, pode-se usar um modelo de elementocontínuo vertical apoiado nas vigas do pavimento (fig.1b) ou de um elemento isolado (fig.1c).

fig.1 - Modelos estruturais de cálculo

(a) pórtico plano (b) elemento contínuo (c) elementos isolados

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Simplificações no cálculo de pilares de edifício

Nas edificações em que não seja necessário considerar a ação do vento, a norma NBR-6118permite as seguintes simplificações em pilares de edifícios, quando estes forem calculadosisoladamente:

a) os pilares intermediários poderão ser calculados sem a consideração de momentos fletorestransmitidos pelas vigas.

b) os momentos fletores nos nós dos pilares extremos, transmitidos pelas vigas, deverãoobrigatoriamente ser considerados.

3 - Classificação dos pilares de acordo com a sua função estrutural

• pilares de contraventamento - são elementos rígidos que garantem que os nós da estrutura doedifício fiquem praticamente indeslocáveis. Podem ser considerados de contraventamento, ospilares rígidos (e as paredes estruturais) em torno dos elevadores e escadas.

• pilares contraventados - são pilares pouco rígidos mas com suas extremidades praticamenteindeslocáveis devido ao efeito dos pilares de contraventamento. Estes pilares contraventadospodem ser calculados isoladamente no trecho entre dois pisos.

4 - Classificação dos pilares de acordo com a sua posição em planta

• pilares internos - localizados no interior do pavimento• pilares de extremidade - localizados nos contornos do pavimento• pilares de canto - localizados no canto do pavimento

Na fig.2, podemos observar um trecho de um pavimento de uma edificação. Neste caso, opilar P5 é considerado interno. Os pilares P2, P4, P6 e P8 são de extremidade e os pilares P1, P3, P7e P9 são de canto.

fig. 2 - Pilares de um pavimento

P1 P2 P3

P4 P5 P6

P8 P9P7

pilarinterno

pilar deextremidade

pilar decanto

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5 - Classificação dos pilares de acordo com o índice de esbeltez

• pilares curtos (λ ≤ 40) o efeito de segunda ordem pode ser desprezado

• pilares médios (40 < λ ≤ 80) o efeito de segunda ordem deve ser considerado A NBR-6118 permite calcular o pilar pelo Método do Pilar Padrão

• pilares esbeltos (80 < λ ≤ 140) o efeito de segunda ordem deve ser consideradoDe acordo com a NBR-6118, os pilares esbeltos podem ser calculado por um processo exato oupor um método aproximado devidamente justificado. O que é o efeito de segunda ordem? Comoeste efeito deve ser considerado nos cálculos?

• pilares muito esbeltos (140 < λ ≤ 200) o efeito de segunda ordem deve ser consideradoSegundo a NBR-6118, a segurança do pilar deve ser demostrada pelo processo exato e a carganormal de cálculo será determinada com o seguinte coeficiente de segurança:γf = 1,4 + (λ -140) / 100.Em nenhum caso, o índice de esbeltez poderá ultrapassar a 200. A NBR-6118 recomenda tambémque a deformação lenta deve ser considerada se λ > 80. O que significa deformação lenta? Comoela deve ser considerada?

Índice de esbeltez λ

le le - comprimento de flambagemλ = -------

i i - raio de giração em uma dada direção

Os comprimentos de flambagem dependem do tipo de apoio (fig.3). Pela NBR-6118, nasestruturas de edifício com nós considerados indeslocáveis, o comprimento de flambagem le de umpilar será igual à distância entre os eixos das vigas entre os quais ele se situa.

fig.3 - Comprimentos de flambagem para diversos tipos de apoios

O raio de giração é dado pela seguinte relação:

____ I - momento de inércia em relação a um determinado eixoi = √ I / S S - área da seção transversal do pilar

Pilar piloto

l

le = l le = 0,7 l le = 2 l

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O pilar piloto será o P4 (fig. 2) de extremidade de dimensões 20cm x 60cm com 3 metros dealtura e será considerado apoiado na base e no topo (fig.4). materiais : fck = 20 MPa aço CA-50

Os índices de esbeltez nas direções X e Y valem: _____________________eixo X ix = √ [ 20 . 603 / 12 ] / 20 . 60 = 17,32 cm λx = 300 / 17,32 = 17 (pilar curto) _____________________eixo Y iy = √ [ 60 . 203 / 12 ] / 60 . 20 = 5,77 cm λy = 300 / 5,77 = 52 (pilarmédio)

Desta maneira, podemos constatar que o pilar piloto é curto em relação ao eixo X e médioem relação ao eixo Y. Isto significa que o efeito de segunda ordem deve ser considerado apenas emuma direção.

fig.4 - Exemplo de um pilar curto em uma direção e médio em outra.

Se o pilar for retangular, o raio de giração pode ser escrito da seguinte maneira: _____ ______________ ___

i = √ I / S = √ (b. h3 /12) / b.h = h / √ 12

Neste caso, o índice de esbeltez será: ___λ = le / i = le √ 12 / h

Para que o efeito de segunda ordem não seja considerado em um pilar retangular de edifíciocom um comprimento de flambagem de 3m, é preciso que:

___λ = 300 √ 12 / h ≤ 40 ou seja h ≥ 26 cm

Assim sendo, os pilares retangulares de edifício com comprimento de flambagem igual a 3mdevem ter no mínimo 26cm de lado para que o efeito de segunda ordem possa ser desprezado.

60cm 3m 20cm

Y

X

20cm

N = 1.500 kN SeçãoTransversa

l

X

Z

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6 - Dimensões mínimas dos pilares de edifício

As dimensões dos pilares devem respeitar os valores mínimos dados pela NBR-6118 (fig.5)para os pilares usuais e para os que suportam lajes cogumelos. Nesta figura, l é a altura livre do pilare l1 é a distância entre os eixos dos pilares da laje cogumelo. Se a dimensão b for maior do que 5a, oelemento será considerado como parede estrutural.

fig.5 - Dimensões mínimas de pilares

Casos especiaisA NBR-6118, permite que se adote dimensões menores do que os valores mínimos anteriores

desde que o pilar não suporte laje cogumelo e o coeficiente de majoração das cargas aumente de 1,4para 1,8, nos seguintes casos (fig.6):a) No pilares de seção transversal com raio de giração maior do que 6cm (i ≥ 6cm), composta deretângulos (cantoneiras, zês, tês, duplos tês), cada um destes retângulos com largura não inferior a10cm nem a 1/15 do respectivo comprimento (fig.6a).b) Nos pilares de seção transversal retangular (fig.6b) com largura não inferior a 12cm ecomprimento não superior a 60cm, apoiados no elemento estrutural subjacente em toda a extensãode sua base, considerados no seu cálculo a flexão oriunda das ligações com lajes e vigas e aflambagem conjunta dos pilares superpostos.

fig.6 - Casos especiais de pilares

Vale a pena adotar no projeto pilares com dimensões menores do que 20cm? Não seriaarriscado adotar um pilar com apenas 12cm de lado?

a ≥ 12 cm

b ≤ 60 cm

(b )

t ≥ 10 cm a / 15

(a )

a i ≥ 6cm

(a) pilares usuais (b) pilares de lajes cogumelos

a ≥ 20 cm l / 25

b ≥ a ≤ 5a

a ≥ 30 cm l / 15 l1 / 20

b ≥ a ≤ 5a

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Paredes estruturais

Pela NBR-6118, a espessura das paredes estruturais não deve ser inferior a 12cm nem a 1/25da altura livre (fig.7). O comprimento da seção horizontal deve ser maior do que 5 vezes a espessurapara que a peça seja considerada como parede estrutural.

fig. 7 - Dimensões mínimas da parede estrutural

7 - Cargas nos pilares

As cargas verticais nos pilares de cada pavimento são calculadas através das reaçõesdas vigas, da grelha ou do pórtico, dependendo do modelo estrutural adotado.

Por exemplo, a carga vertical no pilar piloto P4 da figura 8 será a soma das reações nosapoios das vigas V2 e V4, ou seja:

NP4 = RA + RB

fig.8 - Carga nos pilares de um pavimento devido à reação das vigas

Como avaliar se as cargas em cada pilar foram corretamente calculadas?

a ≥ 12 cm l / 25

b ≥ 5 a

P1 P2 P3

P4 P5 P6

P8

P9P7

V2

V4

V1

V3

V5 V6

RB

RA

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 7

A carga vertical N em uma determinada seção do pilar será a soma das cargas de todosos pavimentos acima desta seção mais o peso próprio do pilar até o nível considerado:

N = Σ Ni + peso próprio do pilar

Os pilares também devem ser também projetados para resistir às cargas horizontais,provenientes da ação do vento (fig.9) ou de outras ações horizontais que atuam na estrutura.

fig.9 - Pilares considerados como elementos de um pórtico

8 - Momentos fletores de solidariedade nos pilares de extremidade

A norma NBR-6118 permite que os pilares de edifício sejam considerados como elementosisolados. No entanto, nos pilares de extremidade devem ser obrigatoriamente considerados osmomentos fletores de solidariedade (fig.10) transmitidos pelas vigas do pavimento.

fig.10 - Momentos fletores na ligação entre a viga e o pilar de extremidade

VENTO

MVIG

MINF

MSUP

VIGA

PILAR

MVIG = MSUP + MINF

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Estes momentos fletores na seção inferior e superior no pilar (em relação ao pavimentoconsiderado) podem ser calculados em função do momento de engastamento perfeito MENG da viga edo índice de rigidez de cada trecho:

rINF

MINF = MENG . ----------------------- momento fletor na seção inferior do pilar rVIG + rINF + rSUP

rSUP

MSUP = MENG . ------------------------ momento fletor na seção superior do pilar rVIG + rINF + rSUP

rINF + rSUP

MVIG = MENG . ------------------------ momento fletor na viga rVIG + rINF + rSUP

rINF = IINF / lINF - índice de rigidez do pilar na seção inferior

rSUP= ISUP / lSUP - índice de rigidez do pilar na seção superior

rVIG = IVIG/ lVIG - índice de rigidez da viga

MENG - momento de engastamento perfeito na viga

Pelo equilíbrio do nó (fig.10):

MVIG = MSUP + MINF

Casos particulares

a) No caso de pilares retangulares com o mesmo índice de rigidez na seção inferior e superior, ouseja, rINF = rSUP, os momentos no pilar serão iguais (MINF = MSUP).

Assim sendo, pelo equilíbrio de momentos no nó, o momento que vai para o pilar será igual ametade do momento atuante na viga:

MINF = MSUP = MVIG / 2

Substituindo o valor do momento MVIG , teremos: rINF

MINF = MSUP = MENG --------------------- rVIG + 2 rINF

b) Se o índice de rigidez da viga for igual ao do pilar (rVIG = rINF = rSUP):

MINF = MSUP = (1/3) MENG

MVIG = (2/3) MENG

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Influência da superposição dos efeitos

Considerando a superposição dos efeitos, o momento na extremidade MVIG de uma viga deum determinado pavimento transmite momentos para os pavimentos inferior e superior e assimsucessivamente. Para levar em conta este fato, FUSCO sugere que o momento de um pavimento ipropague 50% de seu valor para o pavimento i-1 e vice-versa (fig.11). Para esta aproximação, pode-se adotar os seguintes momentos no topo e na base do pilar:

MTOPO ≅ 1,5 Mi, INF MBASE ≅ 1,5 Mi-1, SUP

fig. 11 - Superposição dos efeitos na transmissão dos momentos no pilar

Propagação dos momentosA propagação destes momentos no pilar de extremidade pode também ser feita considerando

um modelo de uma estrutura linear contínua, apoiada nos pavimentos (fig.12).

fig.12 - Propagação dos momentos nos pilares de extremidade

PILAR

MBASE = Mi-1, SUP + 0,5Mi, INF

MTOPO = Mi, INF + 0,5Mi-1, SUP

pavimento i -1

pavimento i

MVIG

DM

VIGAMVIG

MSUP

MINF

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Momentos fletores no pilar piloto

A figura 13 está mostrando o pilar piloto P4 (20x60) e a viga V2 (12x40) de um pavimentodo edifício.

fig. 13 - Momentos fletores no pilar piloto

Neste caso o momento de engastamento perfeito na viga será:

MENG = 20 . 42 / 12 = 26,7 kNm

Considerando os momentos de inércia em relação ao eixo Y, os momentos fletores no pilarno pavimento i, na seção inferior e superior, (rINF = rSUP) serão:

(60. 203 /12) / 300MINF = MSUP = 26,7 . --------------------------------------------------

(12 .403 /12) / 400 + 2 .(60. 203 /12) / 300

MINF = MSUP = 26,7 . 0,31 = 8,3 kNm

MVIG = 2. MINF = 16,6 kNm

Considerando a superposição dos efeitos, os momentos no topo e na base do pilar valem:

MTOPO = MBASE ≅ 1,5 . MINF

MTOPO = MBASE = 1,5 . 8,3

MTOPO = MBASE = 12,4 kNm

MVIG

20kN/m 18kN/m

4m 4m

MSUP

MINF

pavimento i

pavimento i+1

pavimento i-1

DM VIGA V2 (12x40)

PILAR P4 (20X60)

3m

3m

60 cm

20 cm

Y

VIGA(12x40)

12 cm

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9 - Excentricidade acidental (ea)

Esta excentricidade deve ser considerada em todos os pilares para se levar em conta aincerteza da localização da força normal e um possível desvio do eixo da peça durante a construção,em relação à posição prevista no projeto. Esta excentricidade deve ser calculada da seguintemaneira:

ea = h / 30 ≥ 2cm h (cm) - maior dimensão da seção na direção em que se considera a excentricidade

Na fig. 14, por exemplo, a excentricidade acidental na direção X será:

eax = a / 30 ≥ 2cm.

fig. 14 - Excentricidade acidental na direção X

Como considerar a excentricidade acidental no cálculo dos pilares?

Excentricidade acidental no pilar piloto

A excentricidade acidental no pilar piloto (20x60) nas direções X e Y valem:

direção X eax = 20 / 30 = 0,7 cm donde eax = 2cm

direção Y eay = 60 / 30 = 2 cm

O momento fletor resultante desta excentricidade acidental será:

M = 1.500 . 0,02 = 30 kNm

b

Y

X

a

eax

ea

N

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10 - Excentricidade de segunda ordem pelo Método do Pilar Padrão (40 < λλ ≤≤ 80)

Quando o pilar se deforma (fig.15), aparece um momento de segunda ordem de cálculo iguala M2d = Nd . y. Como a carga normal é grande nas estruturas de edifícios, este momento de segundaordem pode ser elevado.

A NBR-6118 recomenda um método de cálculo simplificado denominado Método do PilarPadrão para se determinar a excentricidade de segunda ordem quando 40 < λ ≤ 80, considerando asseguintes hipóteses:

• barras retas com seção transversal simétrica constante (inclusive a armadura)• força normal constante ao longo do seu comprimento sob flexo-compressão• configuração fletida de forma senoidal

De acordo com o Método do Pilar Padrão, a configuração do pilar deformado, consideradacomo senoidal (fig.15), pode ser escrita de acordo com a seguinte equação: y = e2 . sen (π x / le)

fig.15 - Configuração do pilar deformado

A curvatura do eixo deste pilar deformado pode ser determinada por: y’’(1/ r ) = ----------------- ≅ y’’ ( 1 + y’2 ) 3/2

Considerando que a curvatura pode ser aproximada pela derivada segunda da curvadeformada, teremos:

(1/ r ) = ( π / le ) 2 e2 . sen (π x / le)

A curvatura máxima será no ponto x = le / 2:

(1/ r )max = ( π / le ) 2 e2

Desta equação podemos obter a excentricidade de segunda ordem:

e2 = ( le / π ) 2 (1/ r )max

l =

Y

X

e2 = yMAX

y

Nd

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 13

A NBR-6118 sugere que a excentricidade de segunda ordem seja igual a:

le 2

e2 = --------- (1/ r )max

10

A curvatura pode ser obtida em função da deformação do concreto εc e do aço εs: εc + εs (1/ r ) = --------------------------

dPela NBR-6118, a curvatura máxima pode ser calculada fazendo-se εc = 3,5 o/oo e εs = εyd e

introduzindo um fator de correção ν:

0,0035 + fyd / Es

(1/ r )max = -------------------------- h ( ν + 0,5)

Nd

sendo ν = ---------- sendo ν + 0,5 ≥ 1 Ac fcd

h - lado do retângulo circunscrito à seção paralelo à excentricidade acidentalEs - módulo de elasticidade do aço (21 x 107 kN/m2)

Excentricidade de segunda ordem para o pilar piloto

Como no pilar piloto o índice de esbeltez λ = 17 em relação ao eixo X e λ = 52 em relaçãoao eixo Y, haverá excentricidade de segunda ordem apenas na direção X.

Coeficiente ν:

1,4 .1.500ν = ------------------------------ = 1,2 donde ν + 0,5 ≥ 1 0,2 .0,6 . 20.000 / 1,4

Curvatura do eixo do pilar deformado:

0,0035 + (500.000/ 1,15) / 21. 107

(1/ r )max = ------------------------------------------------- = 0,016 m-1

0,2 ( 1,2 + 0,5)

A excentricidade de segunda ordem será:

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e2 = --------- 0,016 = 0,014m donde e2 = 1,4cm 10

11 - Diagrama de momentos fletores para os pilares

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 14

Nos pilares de edifício de nós considerados indeslocáveis, podemos ter momentos fletoresMA e MB nas extremidades dos pilares provocando excentricidades eA e eB no mesmo sentido(fig.16a) ou em sentidos opostos (fig.16b). Além disso, poderá haver também momentos fletores desegunda ordem (fig.16c).

fig.16 - Momentos de primeira ordem (a), (b), (c) e de segunda ordem (d)

Diagrama de momentos fletores para o pilar piloto

A fig.17 está mostrando o diagrama de momentos para o pilar piloto. Estes momentos são deprimeira ordem e são provenientes da solidariedade da viga com o pilar. Como as excentricidadesestão em sentidos opostos, corresponde ao 2o caso (fig.16b) do item anterior.

fig.17 - Diagrama de momentos fletores para o pilar piloto

MA =12,4 kNm

MB = 12,4 kNm

(b) (c)(a)

M2 = N . e2

N

2o caso

MA

MB

MC

MC

MA

MB

1o casoN

(d)

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 15

12 - Seções transversais a serem analisadas

A seção crítica do pilar deve ser escolhida a partir da análise das seções extremas A ou B ouda seção interna C, conforme a NBR-6118.

Seção extrema A ou B (a mais solicitada)

Nesta seção, atuam apenas os momentos de primeira ordem, tendo em vista que o efeito desegunda ordem não aparece nas extremidades do pilar. Neste caso, teremos que considerar asseguintes excentricidades:

• excentricidade inicial eA = MA / N ou eB = MB / N• excentricidade acidental ea = h / 30 ≥ 2cm• excentricidade de segunda ordem e2 = 0

Seção interna C

Nesta seção pode aparecer os efeitos de segunda ordem e de fluência. Se não houver cargatransversal aplicada ao longo da barra, a NBR-6118 permite considerar as seguintes excentricidades:

1o caso - excentricidades eA e eB no mesmo sentido (fig.16a)• excentricidade inicial eC = 0,6 eA + 0,4 eB ≥ 0,4 eA sendo eA > eB

• excentricidade acidental ea = h / 30 ≥ 2cm le

2

• excentricidade de segunda ordem e2 = --------- (1/ r )max se λ > 40 10

2o caso - excentricidades eA e eB em sentidos opostos (fig.16b)• excentricidade inicial eC = 0,6 eA - 0,4 eB ≥ 0,4 eA sendo eA > eB

• excentricidade acidental ea = h / 30 ≥ 2cm le

2

• excentricidade de segunda ordem e2 = --------- (1/ r )max se λ > 40 10

Excentricidades na direção X para o pilar piloto (2o caso)

SEÇÃO A = B (direção X)• excentricidade inicial eA = eB = MA / N = 12,4 / 1500 = 0,008 m = 0,8 cm• excentricidade acidental ea = 2cm• excentricidade de segunda ordem e2 = 0

SEÇÃO C (direção X)• excentricidade inicial ec = 0,6. eA - 0,4 eB = (0,6-0,4) 0,8 = 0,16 cm ≥ 0,4 eA = 0,4 . 0,8 = 0,32 cm (valor adotado)• excentricidade acidental ea = 2 cm• excentricidade de segunda ordem e2 = 1,4 cm

Neste caso, podemos considerar que a seção crítica do pilar é a C (direção X). Por quê?13 - Hipóteses de cálculo para pilares curtos e médios no estado limite último

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 16

Carga centrada (fig.18) - caso de pilares internos

Neste caso, o cálculo deverá ser feito separadamente nas duas direções principais da seçãogeométrica com as excentricidades nas direções X e Y, não se somando as armaduras.

Nestes duas hipóteses de cálculo, o pilar será calculado à flexão composta reta. Aexcentricidade de segunda ordem somente deve ser considerada se λ > 40 em uma dada direção.

fig. 18 - Hipóteses de cálculo para a carga normal centrada

Cálculo simplificado (carga centrada e λ < 40)

Neste caso da carga centrada e pilar curto, a NBR-6118 apresenta uma alternativasimplificada em que o pilar é calculado com a carga de compressão aumentada na proporção de:

γ = ( 1 + 6 /h) ≥ 1,1 sendo h (cm) - menor lado do retângulo mais estreito circunscrito à seção.

Assim, a carga de ruptura para um pilar de seção transversal Ac será dada por:

γ Nd = 0,85 fcd . Ac + As σSd

A seção de ferro longitudinal do pilar pode então ser obtida:

γ Nd - 0,85 fcd . Ac

As = ---------------------------- σSd

σSd - tensão no aço para uma deformação específica de 2o/oo , sendo σSd = 420 MPa (CA-50)

Como calcular a seção de ferro longitudinal para o caso de um pilar em que o efeito desegunda ordem for significativo?

Carga excêntrica agindo sobre um eixo principal (fig.19) - caso de pilares de extremidade

b

Y

X

Y

X

Y

X

a

Nd

1a hipótese 2a hipótese

eax e2x

eay

e2y

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 17

Neste caso, a excentricidade inicial ei pode ser proveniente da carga normal ou então oriundade um momento fletor atuando no pilar. O cálculo será feito separadamente em duas direçõesprincipais, acrescentando-se as excentricidade nas direções X e Y no sentido mais desfavorável paraum lado ou outro do eixo.

Na primeira hipótese o pilar será calculado à flexão composta reta e na segunda hipótese àflexão composta oblíqua. A excentricidade de segunda ordem somente deve ser levada em conta se λ> 40 em uma dada direção.

fig. 19 - Hipóteses de cálculo para a carga normal excêntrica agindo sobre um eixo principal

Este caso de uma carga excêntrica poderia também acontecer em um pilar interno?

Carga excêntrica agindo fora dos eixos principais (fig.20) - pilares de canto

O cálculo será feito separadamente para três hipóteses de cálculo. Na primeira hipótese, asexcentricidades acidental e de segunda ordem são consideradas na mesma direção da excentricidadeei e nas demais hipóteses, ela é considerada nas direções X e Y.

Em todas as três hipóteses, o pilar deve ser calculado à flexão composta oblíqua. Aexcentricidade de segunda ordem somente deve ser considerada se λ > 40 em uma dada direção.

fig. 20 - Hipóteses de cálculo para a carga normal excêntrica agindo fora dos eixos principais

a

b

Y

X

Y

X

eay

Y

X

Nd

ei ei

1a hipótese 2a hipótese

eax e2x ei

e2y

b

Y

X

a

Y

X

Nd

1a hipótese

Y

X

2a hipótese

Y

X

3a hipótese

ei ei ei

ea

ei

eax eay

e2

e2x

e2y

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 18

No cálculo da excentricidade acidental para a primeira hipótese da fig.20, o valor de h é amaior dimensão da seção na direção em que se considera a excentricidade, ou seja, neste caso h é olado de um retângulo circunscrito à seção e paralelo à excentricidade acidental.

Hipóteses de cálculo para o pilar pilotoO pilar piloto tem uma excentricidade inicial ei = 0,32cm em um dos eixos principais. As

hipóteses de cálculo na seção interna C estão mostradas na figura 21. Neste caso, podemos observarque a excentricidade de segunda ordem somente deve ser considerada na direção X, pois na direçãoY o índice de esbeltez é menor do que 40.

fig.21 - Hipóteses de cálculo para o pilar piloto

14 - Seções de ferro longitudinais para pilares curtos e médios

As seções de ferro longitudinais dos pilares são geralmente calculadas através de ábacoscom armaduras simétricas. Os ábacos de MONTOYA, por exemplo, calculam as seções de ferropara os casos de flexão composta reta (fig.22a) e oblíqua (fig.22b).

fig.22 - Exemplos de armaduras para os ábacos para flexão composta reta e oblíqua

O momento fletor Md é o momento de cálculo, considerando todas as excentricidadescalculadas em uma determinada direção:

Md = Nd (ei + ea + e2)

60 cm

Y

X

Y

X

eay

Y

X ei ei

1a hipótese 2a hipótese

eax e2x ei

20 cm

0,32 0,32 2 1,4 2

Md h

b

Mxd h

Myd

b

d'

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 19

Os parâmetros de entrada destes ábacos para flexão composta reta são os seguintes para aobtenção do valor de w:

Nd

ν = ----------- Ac . fcd ábaco Ac .fcd

w donde As total = w .------------ Md d'/ h fyd

µ = -------------- Ac . h. fcd

Para o caso de flexão composta oblíqua, devem ser considerados os parâmetros para osmomentos nas duas direções X e Y:

Nd

ν = ----------- Ac . fcd

Mxd ábaco Ac .fcd

µxd = -------------- w donde As total = w .---------- Ac . h. fcd d'/ h fyd

Myd

µyd = -------------- Ac . b. fcd

Seções de ferro longitudinais para o pilar pilotoOs momentos fletores correspondentes às hipóteses de cálculo para o cálculo das seções de

ferro estão mostradas na figura 23.

fig. 23 - Momentos fletores para as hipóteses de cálculo para o pilar piloto

Por que os valores de b e h foram considerados diferentes para cada uma destas hipótesesda figura 23?

MYd

b =60 cm

h = 20 cm

1a hipótese

MYd

h = 60 cm

b = 20 cm

2a hipótese

MXd

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 20

1a hipótese (fig.23a)

Parâmetros de entrada para o ábaco do MONTOYA com armadura simétrica e distriubuída nocontorno para flexão composta reta (aço CA-50): MY = 1.500 . (0,0032 + 0,02 + 0,014) = 55 kNm

1,4 . 1500ν = ---------------------------- = 1,2 0,2 . 0,6 . 20.000 / 1,4 ábaco w = 0,94

1,4 . 55 d'/ h = 0,1µyd = --------------------------------- = 0,2 0,2. 0,6 . 0,2 . 20.000 / 1,4

µxd = 0

2a hipótese (fig.23b)

Parâmetros de entrada para o mesmo ábaco para flexão composta oblíqua (aço CA-50):MX = 1.500 . 0,02 = 30 kNmMY = 1.500 . 0,0032 = 4,8 kNm

ν = 1,2 1,4 . 30µxd = ---------------------------------- = 0,04 ábaco 0,2 . 0,6 . 0,6 . 20.000 / 1,4 w = 0,5 d'/ h = 0,1

1,4 . 4,8µyd = ---------------------------------- = 0,02 0,2 . 0,6 . 0,2 . 20.000 / 1,4

Comparando os valores de w, podemos constatar que a 1a hipótese é mais desfavorável(w=0,94). Portanto, a seção de ferro longitudinal total será:

0.2. 0.6 . 20.000 / 1,4As total = 0,94 ------------------------------- = 0,0037 m2 = 37 cm2

500.000 / 1,15

A seção de ferro longitudinal em cada face será: As / face = 37 / 4 = 9,2 cm2 .

15 - Pilares esbeltos (80 < λ ≤ 140)

Pela NBR-6118, os pilares esbeltos devem ser calculados por um processo exato, conformemostrado por FUSCO, que leve em consideração a relação momento-curvatura, baseada nosdiagramas σ -ε do concreto e do aço, ou por um processo aproximado devidamente justificado.

FUSCO apresenta ábacos de interação para cálculo dos pilares esbeltos, calculados a partirdos diagramas momento fletor - força normal - curvatura. Estes ábacos foram elaborados parapilares esbeltos submetidos à composta reta e o aço empregado é o CA-50. Neste caso, não énecessário calcular a excentricidade de segunda ordem pois os parâmetros de entrada do ábacodependem da excentricidade de primeira ordem.16 - Cobrimento de concreto em pilares

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 21

O cobrimento de concreto, que é a distância entre a face externa do pilar e a face externa doestribo, tem uma importância fundamental para a durabilidade e para a segurança da obra. Umcobrimento deficiente pode deixar as barras expostas, causando a corrosão das armaduras. A NBR-6118 recomenda que qualquer barra da armadura deve ter um cobrimento de concreto (fig.24) pelomenos igual ao seu diâmetro ( c ≥ φ) , mas não menor que:

a) para concreto revestido com argamassa de espessura mínima de 1cm:• pilares no interior de edifícios c = 1,5 cm• pilares ao ar livre c = 2,0 cm

b) para concreto aparente• pilares no interior de edifícios c = 2,0 cm• pilares ao ar livre c = 2,5 cm

17- Armadura mínima longitudinal para os pilares

A armadura mínima longitudinal é calculada a partir da equação de equilíbrio no estado limiteúltimo entre a força normal centrada de cálculo Nd e a resultante das tensões no concreto e no aço:

Nd = 0,85 fcd Ac + As σSd

Considerando a seção de ferro As escrita em função da percentagem ρ de armadura: As = ρ Ac

Nd = 0,85 fcd Ac + ρ Ac σSd

Desta equação, obtemos a área de concreto necessária AC NEC para ρmin = 0,8%:

Nd

ACNEC = -------------------------- 0,85 fcd + 0,8% σSd

σSd - tensão no aço para uma deformação específica de 2 %o σSd = 420 MPa (CA-50)

De acordo com a NBR-6118, a armadura mínima para os pilares deve ser:

AS MIN ≥ 0,8% AC NEC

0,5% AC

Armadura mínima para o pilar pilotoA área de concreto necessária do pilar piloto será: 1,4 . 1500ACNEC = ------------------------------------------ = 0,1355 m2 = 1355 cm2

0,85. 20.000/1,4 + 0,8%. 420.000

AS MIN ≥ 0,8% . 1355 = 10,8 cm2

0,5% . 20. 60 = 6,0 cm2

18 - Percentagem máxima de armadura longitudinal

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 22

Pela NBR-6118, a percentagem máxima da armadura deve igual a 6%. No entanto, é precisoconsiderar que na região das emendas dos pilares, as barras são geralmente emendadas na mesmaseção, dobrando a quantidade de armadura neste trecho. Assim sendo, deve-se considerar na prática:

ρMAX = 3 %

Além da questão do trecho de emendas, é recomendável não usar percentagens altas nospilares para não sobrecarregar demasiadamente as armaduras. Se houver algum problema com asarmaduras, como por exemplo os efeitos nocivos da corrosão, o concreto poderia não resistir.

Percentagem de armadura do pilar piloto

ρ = 37 / 20.60 = 3,08 % > ρMAX = 3 %

O que o engenheiro deve fazer neste caso em que a percentagem de armadura é maior doque o valor máximo?

19- Espaçamento entre as barras longitudinais

O espaçamento entre as barras longitudinais (fig.24) em uma determinada face do pilar será:

e = ( b - 2c - 2 φt - n φ ) / (n -1)

b - largura da face do pilarc - cobrimento de concretoφt - diâmetro do estribon - número de barras longitudinais na faceφ - diâmetro da barra longitudinal

fig.24- Seção transversal do pilar com as barras longitudinais

De acordo com a NBR-6118, o espaçamento máximo entre as barras longitudinais das peçascomprimidas deve ser o seguinte:

pilares emax = 40 cm (na prática é melhor adotar 30 cm)

e

c ≥ φ

φt

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 23

paredes emax = 2 x espessura da parede ou 30 cm

O espaçamento mínimo entre as barras longitudinais será: 2cm

e ≥ φ 1,2 Dmax sendo Dmax dimensão máxima do agregado

20 - Barras longitudinais dos pilares

O número de barras da armadura longitudinal deve ser feita levando-se em consideração abitola φ e o espaçamento entre as barras. Por razões construtivas, a NBR-6118 recomenda adotaruma bitola mínima:

φ ≥ 10 mm.

A tabela 1 mostra os diâmetros φ das bitolas padronizadas em milímetros e em polegadas,bem como os valores nominais para cálculo das seções de ferro As (cm2) da norma EB-3/1980:

φ (mm) φ (pol) As(cm2)10 3/8 0,8

12,5 1/2 1,2516 5/8 2,020 3/4 3,1525 1 5,0

Tabela 1 - Seções de ferro (valores nominais) para as bitolas padronizadas

Escolha das barras longitudinais do pilar piloto

Como a seção de ferro longitudinal calculada em cada face do pilar piloto foi de 9,2 cm2,poderíamos ter 5 φ 16 ou 3 φ 20 por face. No entanto, não seria possível colocar 5 φ 16 na facemenor pois o espaçamento entre as barras seria menor do que o valor mínimo. Além disso, secolocássemos 3 φ 20 na face maior, o espaçamento entre as barras ficaria muito grande.

Assim sendo, serão colocadas bitolas diferentes em cada face (5 φ 16 na face maior e 3 φ 20na face menor) (fig.25). Se considerarmos um cobrimento c = 2cm e o diâmetro do estribo φt = 6,3mm, teríamos o seguinte espaçamento (fig.25):

face menor (3 φ 20) e = (20 - 2 .2,0 - 2 .0,63 - 3 . 2) / 2 = 4,3 cm

face maior (5 φ 16 + 2 φ 20) e = (60 - 2 .2,0 - 2 . 0,63 - 5. 1,6 - 2 . 2,0) / 6 = 7,1 cm

Como podemos observar, estes espaçamentos atendem aos valores mínimos e máximo. Éimportante frisar que o ideal seria colocar a mesma bitola em todo o contorno do pilar. O quedeveria ser feito se este espaçamento ficasse menor do que o valor mínimo?

φ

3 φ 20

φ

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 24

fig. 25 - Seção transversal com a armadura do pilar piloto

21 - Emendas das barras longitudinais

De acordo com a NBR-6118, as barras comprimidas podem ser emendadas na mesma seçãotransversal e não deverão ter ganchos. O comprimento do trecho de traspasse l1 das barrascomprimidas será igual ao comprimento de ancoragem lb com os valores mínimos:

0,6 lb1

l1 = lb ≥ 10 φ 15 cm

As barras do pilar de um determinado nível serão emendadas com as barras do trechosuperior (fig.26). No trecho das emendas, as barras inferiores devem ser ligeiramente dobradas paraabsorver os momentos fletores. Neste trecho, o esforço devido à mudança de direção das barrasdeve ser absorvido por estribos.

fig.26 - Emendas das barras longitudinaisO comprimento de ancoragem lb das barras comprimidas será calculado como no caso de

tração com os seguintes valores mínimos: Ascal 0,6 lb1

lb = lb1 -------- ≥ 10 φ

l1

VIGA

PILAR

l1 A A

barras nascendo

barras morrendo

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 25

Ase 15cmsendo φ fyd

lb1 = ------- . ---------- 4 τbu

Ascal - área da seção da armadura calculadaAse - área da seção da armadura existente

A tensão τbu de aderência última para as zonas de boa aderência (barras dos pilares) será: ____τbu = 0,28 √ fcd em MPa para ηb ≤ 1,0 (aços CA-25,32 e 40) 3 ____________

τbu = 0,42 √ fcd2 em MPa para ηb ≥ 1,5 (aços CA-50 e 60)

Para zonas de má aderência, os valores τbu devem ser divididos por 1,5. No entanto, asbarras (verticais) dos pilares estão em região de boa aderência. Na tabela 2 estão indicados osvalores de lb1 para a região de boa aderência em função do diâmetro φ para alguns valores de fck :

fck

(MPa) lb1

boa aderência15 54φ18 47φ20 44φ

Tabela 2 - Valores do comprimento de ancoragem reta por traspasse

Comprimento de emenda para as barras do pilar pilotoConsiderando a maior bitola temos: l1 = 44φ = 44 . 2,0 = 88 cm ≅ 90 cm

22 - Estribos dos pilares

Os estribos dos pilares são dimensionados para absorver os esforços cortantes, tais como osprovenientes da ação do vento. O diâmetro das barras dos estribos φt não deve ser inferior a 5 mm:

φt ≥ 5 mm

Os estribos devem ser colocados em toda a extensão da peça, cujo espaçamento s deverespeitar os seguintes limites (a categoria do aço é a da armadura longitudinal):

30 cms ≤ menor dimensão da seção da peça 21 φ e 340 φt

2 / φ para aço CA-25 e CA-32 12 φ e 190 φt

2 / φ para aço CA-40, CA-50 e CA-60

Os ganchos dos estribos (fig.27) podem ser semi-circulares, em ângulo de 45o e em ângulo reto.

5φ 10φ5φ

s

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 26

fig. 27 - Tipos de ganchos para os estribos

23 - Proteção contra a flambagem das barras longitudinais

A NBR-6118 recomenda que devem ser tomadas precauções para evitar a possibilidade deflambagem das barras da armaduras situadas junto à superfície da peça.

Os estribos garantem contra a flambagem das barras longitudinais situadas em suas quinas eas por eles abrangidas e situadas no máximo à distância de 20 φt da quina, se nesse trecho decomprimento 20 φt não houver mais de duas barras, não contando a da quina (fig.28). Quandohouver mais de duas barras neste trecho ou barra fora dele, deverá haver estribos suplementares,com diâmetro e espaçamento de acordo com o item anterior.

Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta, terminada em ganchos, eledeverá atravessar a seção da peça e o seu gancho envolverá a barra longitudinal. Esta barra éconhecida na prática como “gancho de açougueiro” (fig.28).

Se houver mais de uma barra longitudinal a ser protegida junto à mesma extremidade doestribo, o gancho deste envolverá um estribo principal em ponto junto a uma das barras. Elegarantirá contra a flambagem essa barra e mais duas para cada lado, não distantes dela mais do que20 φt.

fig. 28 - Proteção contra a flambagem das barras longitudinais

Em pilares mais largos, podem ser também empregados estribos duplos para proteçãocontra a flambagem das barras longitudinais, conforme mostrado na fig.29.

20 φt 20 φt

20 φt

gancho deaçougueiro

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 27

fig. 29 - Estribos duplos

24 - Detalhe das armaduras dos pilares

As armaduras dos pilares, sempre que possível, devem ser colocadas simetricamente paraevitar erros de posicionamento. Nas plantas das armaduras dos pilares, são mostradas as barraslongitudinais e os estribos em corte longitudinal e em corte transversal. São indicadas também nestaplanta as posições das emendas das barras, normalmente localizadas em uma seção acima de cadapavimento, de tal modo que fiquem as chamadas barras de espera para emendar as barras dopavimento superior.

Na figura 30, está sendo mostrado o detalhe das armaduras do pilar piloto, desde a fundaçãoaté o segundo pavimento. As barras das armaduras estão numeradas e com as respectivasquantidades e comprimentos.

Por que as barras longitudinais dos pilares ficam geralmente distribuídas na periferia daseção transversal? Seria possível colocá-las no interior da seção transversal?

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 28

PILAR PILOTO ( 20 X 60)

fig. 30- Armadura do pilar piloto

N1 - 6 φ 20 - 390

6 φ N1

N2 - 6 φ 20 - 200

5 φ 16

3 φ 20

3 φ 20

5 φ 16

CORTE AA

90

90

90

1o pavimento

2o pavimento

AA

N3 - 10 φ 16- 390

10 φ N3

N4 - 10 φ 16- 200

N5 - 30 φ 6,3- 150

15 φ N5 c 20

15 φ N5 c 20

55

15

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 29

25 - Pilares com mudança de seção transversal

Na prática, pode-se adotar dimensões maiores nos andares de baixo e menores para os decima, tendo em vista que a carga vertical é maior nos primeiros andares e menor nos últimos. Porexemplo, um pilar de um prédio com 12 andares pode ter 40cm x 60cm do 1o ao 4o pavimento, 30cmx 50cm do 5o ao 8o e 20cm x 40cm do 9o ao 12o pavimento.

Em alguns edifícios, o projeto arquitetônico impede que os pilares fiquem na mesma posiçãodo primeiro ao último andar. Certos pilares podem mudar de direção e outros ficam apoiados emvigas de transição.

A figura 31 está mostrando as armaduras de pilares que mudam de seção transversal de umnível para outro, conforme detalhe sugerido por LEONHARDT. Algumas barras “morrem”, outras“nascem” e outras “continuam”.

Nestes casos, além do cálculo do pilar propriamente dito, é preciso verificar a tensão parauma carga em uma área reduzida. No trecho de transição devem ser colocadas barras adicionais,além de estribos adicionais para absorver os esforços de tração oriundos da mudança da direção dastensões de compressão.

fig.31 - Armaduras de pilares com mudança de seção transversal

É importante observar que a mudança de eixo do pilar (fig. 31b) irá provocar umaexcentricidade da carga no andar inferior.

l1

l1

barraadicional

estribosadicionais

l1

l1

barraadicional

estribosadicionais

barras ‘morrendo’

barras ‘nascendo’

barras‘continuando’

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 30

A fig.32 está mostrando a seção transversal de um pilar com mudança de direção, masmantendo o mesmo eixo. Neste caso, deve ser feita uma verificação da seção estrangulada (áreahachurada da fig.32) e colocar barras adicionais neste trecho.

fig.32 - Seção transversal de um pilar com mudança de direção

O caso mais crítico é aquele em que o pilar se apoia em uma viga de transição (fig.33), tendoem vista que a carga do pilar costuma ser muito elevada. Neste caso, a viga de transição deve sermuito rígida para resistir a este carregamento e evitar deformações, que poderia comprometer asegurança da obra.

fig.33 - Pilar descarregando em uma viga de transição

Determine as dimensões de uma viga de transição de vão igual a 5m que estivessesuportando o pilar piloto (N = 1500 kN) aplicada no meio do vão, conforme mostrado na fig.33.

barras ‘morrendo’

barras ‘nascendo’

barras‘continuando’

viga de transição

P1

P2 P3

N

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Pilares de Concreto Armado - Henrique Longo 31

Bibliografia

[1] FUSCO Péricles B., "Estruturas de Concreto - Solicitações Normais", 1981, Ed. Guanabara.

[2] FUSCO Péricles B., "Técnicas de Armar as Estruturas de Concreto", 1994, Ed. Pini.

[3] FUSCO Péricles B., Martins A .R., Ishitani H., “Construções de Concreto”, 1990, apostila USP.

[4] SUSSEKIND, José Carlos, "Curso de Concreto", vol. 2, 1983, Ed. Globo

[5] MONTOYA, Jimenéz, Meseguer A., Cabré F.,“Hormigon Armado”,vols.1 e 2, Ed. GustavoGili.

[6] LEONHARDT F., Mönnig E., "Construções de Concreto", vol. 3, 1977, Ed. Interciência

[7] Norma NBR-6118/78 - "Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado", ABNT, 1978.

[8] CEB-FIP Model Code 1990, Bulletin d'Information no 203, Final Draft, jul. 1991.

[9] CEB/FIP Manual on Bending and Compression, 1982