Concreto armado Reforçado

5/14/2018 Concreto armado Reforçado - slidepdf.com

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Betão Armado e Pré-esforçado

Fundamentos de betão pré-esforçado

série ESTRUTURAS

álvaro santos

joão guerra martins 1ª edição / 2006



Apresentação

Este texto resulta, genericamente, o repositório da Monografia da Eng.º Álvaro Santos.

Pretende, contudo, o seu teor evoluir permanentemente, no sentido de responder quer à

especificidade dos cursos da UFP, como contrair-se ainda mais ao que se julga pertinente e

alargar-se ao que se pensa omitido.

Embora o texto tenha sido revisto, esta versão não é considerada definitiva, sendo de supor a

existência de erros e imprecisões. Conta-se não só com uma crítica atenta, como com todos os

contributos técnicos que possam ser endereçados. Ambos se aceitam e agradecem.

João Guerra Martins




I

Sumário

Este trabalho tem por objectivo principal apresentar os fundamentos do betão pré-esforçado,

presente em enumeras obras por todo o mundo.

Procura-se uma abordagem, tão actual quanto possível, do pré-esforço por pós-tensão com

aderência, seu dimensionamento e execução em vigas pré-esforçadas.

Porque apenas se vão abordar os seus princípios básicos o texto será limitado à sua mecânica

em estruturas isostáticas, situação de emprego que vigorou, de qualquer modo e mesmo para

pontes e viadutos, até aos anos 60 e 70. Contudo, será de salientar que o seu uso limitado a

estruturas isostáticas esteve fortemente relacionado com a ausência de meios computacionais

de cálculo, que tornassem acessível um estudo fiável e conclusivo para condições de

hiperestaticidade.




II

Índice Geral

SUMÁRIO ................................................... ........................................................... ................................................ I

ÍNDICE GERAL............................................................ ............................................................. ......................... II

ÍNDICE DE FIGURAS.......................................................................................................................................IV

ÍNDICE DE QUADROS..................................................................................................................................VIII

INTRODUÇÃO.............. ................................................................ ................................................................ ....... 1

1. PRÉ-ESFORÇO APLICADO AO BETÃO.............................................................. ...................................... 4

1.1. CONCEITO DE PRÉ-ESFORÇO............................................. ........................................................... ................. 4

1.2. BREVE REFERÊNCIA HISTÓRICA. ........................................................... ........................................................ 7

1.3. ALGUMAS OBRAS COM PRÉ-ESFORÇO................................................... ........................................................ 8

1.4. PARTICULARIDADES DO BETÃO PRÉ-ESFORÇADO EM RELAÇÃO AO BETÃO ARMADO ................................ 12

1.5. PRINCÍPIOS DO PRÉ-ESFORÇO. .................................................... ........................................................... ..... 16

1.6. TÉCNICAS E SISTEMAS DE PRÉ-ESFORÇO....... ........................................................... ................................... 17

1.7. FUNCIONAMENTO ESTRUTURAL DO BETÃO PRÉ-ESFORÇADO....................................................... ............... 21

1.8. TRAÇADO DOS CABOS....................................................... ........................................................... ............... 26

1.8.1. Fundamento físico do traçado dos cabos ................................................................ .......................... 26 1.8.2. Influência de aspectos construtivos no traçado dos cabos................................................................ 30

1.8.3. Método das cargas equivalentes........................................................................................................ 31

2. MATERIAIS E EQUIPAMENTO DE PRÉ-ESFORÇO............................................................................. 33

2.1. BETÃO.......................................................... ........................................................... ................................... 35

2.2. AÇO DE PRÉ-ESFORÇO ...................................................... ........................................................... ............... 36

2.3. PRINCIPAIS PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS AÇOS .................................................. ................................... 38

2.4. CORROSÃO DOS AÇOS DE PRÉ-ESFORÇO ......................................................... ............................................ 39

2.5. BAINHAS ...................................................... ........................................................... ................................... 40 2.6. CALDA DE CIMENTO PARA A INJECÇÃO........................................................... ............................................ 41

2.7. EQUIPAMENTOS DE APLICAÇÃO DE PRÉ-ESFORÇO ................................................... ................................... 42

3. PERDAS DE TENSÃO...................... ................................................................ ............................................. 43

3.1. PERDAS INICIAIS DE PRÉ-ESFORÇO........................................................ ...................................................... 45

3.2. PERDAS INSTANTÂNEAS DE PRÉ-ESFORÇO ...................................................... ............................................ 46

3.2.2. Perdas por atrito ............................................................................................................................... 48

3.2.3. Perdas por reentrada de cabos.......................................................................................................... 50

3.3. PERDAS DIFERIDAS ........................................................... ........................................................... ............... 52




III

3.3.1. Fluência............................................................................................................................................. 52

3.3.2. Retracção........................................................................................................................................... 53

3.3.3. Relaxação do aço............................................................................................................................... 53

3.4. PROCESSO SIMPLIFICADO PARA O CASO DE FASES ÚNICAS DE OPERAÇÃO ................................................... 55

3.5. DETERMINAÇÃO DO ALONGAMENTO TEÓRICO DOS CABOS .......................................................... ............... 56

4. ANÁLISE DE SECÇÕES............................ ................................................................ ................................... 59

4.1. HIPÓTESES BÁSICAS......................................................... ........................................................... ............... 59

4.2. A NÁLISE ELÁSTICA EM FASE NÃO FENDILHADA....................................................... ................................... 60

4.3. A NÁLISE ELÁSTICA EM FASE FENDILHADA .................................................... ............................................ 61

4.4. Resistência última da secção em análise não linear. ........................................................................... 63

5. DIMENSIONAMENTO DO PRÉ-ESFORÇO EM VIGAS ISOSTÁTICAS ............................................ 65 5.1. EQUAÇÕES LIMITES DE TENSÃO ........................................................... ...................................................... 66

5.2. DIMENSIONAMENTO DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO ................................................... ................................... 70

5.3. DIAGRAMA DE MAGNEL................................................... ........................................................... ............... 71

5.4. FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO MÍNIMA ........................................................ ...................................................... 73

5.6. FUSO LIMITE .......................................................... ........................................................... ......................... 76

5.7. DIMENSIONAMENTO DA R ESISTÊNCIA ÚLTIMA ....................................................... ................................... 78

5.8. ESCOLHA DO NÚMERO DE CABOS ........................................................ ...................................................... 78

5.9. ESCOLHA DA SECÇÃO....................................................... ........................................................... ............... 78 5.10. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS................................................... ........................................................... ..... 79

6. ESTADOS-LIMITES ÚLTIMOS............ ................................................................ ...................................... 82

6.1. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE FLEXÃO ................................................... ...................................................... 82

6.2. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ESFORÇO TRANSVERSO ........................................................ ......................... 90

6.3. R ESUMO DOS PASSOS DE DIMENSIONAMENTO ......................................................... ................................... 93

CONCLUSÃO...................................................... ....................................................... ........................................ 96

BIBLIOGRAFIA...................................................................... ............................................................ ............... 99

ANEXO A – LÉXICO (NÃO REVISTO) ........................................................... ............................................ 100

ARMADURA DE PRÉ-ESFORÇO ........................................................... ........................................................... ... 101




IV

Índice de Figuras

Figura 1.1 - Introdução de um estado prévio de tensões numa fila de livros ou num conjunto de blocos [1].......................... ... 4

Figura 1.2 A - Sistema de construção em avanços sucessivos [1]. ..................... ...................... ...................... ...................... ...... 6

Figura 1.2 B - Sistema de construção por pré-fabricação [1]. ................... ....................... ....................... ..................... .............. 6

Figura 1.3 - Utilização de tirantes em estruturas de contenção de maciços terrosos ou rochosos. a) Muro vertical com tirantes

pré-esforçados. B) Tirantes pré-esforçados com placas individuais de apoio. c) Tirantes pré-esforçados, ancorados no maciço

de fundação, usados como ancoragem de uma barragem [1] ....................................... ....................... ...................... ................. 9

Figura 1.4 - Ponte pré-esforçada com cabos de estabilidade da estrutura (Portugal) [6].. ....................... ..................... .............. 9

Figura 1.5 - Edifício com lajes pré-esforçadas (Hong Kong) [6]. ................... ...................... ...................... ..................... ........ 10

Figura 1.6 - Interior de uma viga caixão pré-esforçada, cabos de pós-tensão externos (Suiça) [6]. ..................... .................... 10

Figura 1.7 - Pré-esforço em 30.000m2 de laje térrea (Chile) [6].................... ....................... ....................... ...................... ....... 10

Figura 1.8 - Supressão de 70% dos pilares e aumento da extensão de 6.30m para 12.60m (Espanha) [6]. ...................... ........ 11

Figura 1.9 - Instalação de ancoragens de 900 escoras à terra provisórias, até de funcionamento 2.200KN e 2.400 m 2 dos

painéis de betão pulverizados para a retenção de níveis superiores da rocha e das argilas do maciço terroso (Austrália) [6].. 11

Figura 1.10 - Ponte pré-esforçada com uma extensão de 120m de comprimento e uma altura de 15m, primeira no mundo

(Coreia do Sul) [6]........................ ...................... ..................... ...................... ..................... ...................... ...................... .......... 11

Figura 1.11 - Estrutura Pré-esforçada, Museu nacional Arte Contemporânea (Brasil)..................... ........................ ................ 12

Figura 1.12 - Reservatório de água em Betão Pré-esforçado (em Naples, Florida, USA) e silo................ ....................... ........ 12

Figura 1.13 - Exemplo de uma secção flectida, com armadura convencional [a] e com armadura pré-esforçada [b]. Para amesma tensão (σc) a viga pré-esforçada apresenta uma resistência em serviço aproximadamente igual ao dobro da viga de

betão armado [1]. .................... ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... ...................... .............. 13

Figura 1.14 - Sistema de Pré-tensão [3] ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... ...................... 18

Figura 1.15 - Esquema de uma viga pós-tensionada, com aderência da VSL [6]. .................... ....................... ...................... ... 19

Figura 1.16 - Pormenor da ancoragem/bainha e o tracção dos cabos (aplicação do pré-esforço) [6]. ...................... ................ 19

Figura 1.16.A - Pormenor da ancoragem/bainha e o tracção dos cabos (aplicação do pré-esforço) [6]. ....................... ........... 20




V

Figura 1.17 - Tensões devidas ao pré-esforço centrado e o peso próprio a meio vão................ ........................ ....................... 23

Figura 1.18 - Convenção de sinais [4]..................... ....................... ...................... ....................... .................... ....................... .. 24

Figura 1.19 - Tensões devido ao pré-esforço com excentricidade e ao peso próprio a meio vão [4].................... .................... 24

Figura 1.20 - Efeito do pré-esforçado aplicado por um cabo curvo [2]........................ ....................... ...................... ............... 25

Figura 1.21 - Variação das tensões numa viga simplesmente apoiada [1]........ ....................... ....................... ....................... ... 26

Figura 1.22 - Efeito do pré-esforço centrado numa viga simplesmente apoiada sujeita a um carregamento uniforme [1]....... 27

Figura 1.23 - Distribuição de tensões na secção em função do ponto de aplicação da força de pré-esforço: a) P aplicado no

eixo neutro da secção; b) P aplicado fora do eixo neutro e dentro do perímetro do núcleo central de inércia; c) P aplicado no

perímetro do núcleo central; d) P aplicado fora do núcleo central de inércia [1]. ....................... ...................... ....................... 28

Figura 1.24 - Perfil dos cabos e do diagrama flector (peça hiperestática) [1, adaptado]................................ ........................ ... 29

Figura 1.25 - Demonstração gráfica e matemática de MP = P×e [1] .................... ...................... ...................... ...................... ... 29

Figura 1.26 - Tipos de pré-esforço utilizados em vigas simplesmente apoiadas: 1) cabo rectilíneo ancorado nas faces laterais

da viga; 2) cabo parabólico ancorado nas faces laterais da viga; 3) ancoragens activas nas faces laterais da viga; 4) cabo

parabólico ancorado na face superior da viga; 5) ancoragem activa, na face superior da viga [1] ....................... .................... 31

Figura 1.27 - Equilíbrio de uma força concentrada através de um traçado composto por dois troços recto [4]........................ 32

Figura 1.28 - Equilíbrio de uma força uniformemente distribuída através de um traçado composto por um cabo parabólico [4].

...................... ..................... ...................... ..................... ...................... .................... ...................... ...................... ..................... 33

Figura 1.29 - Tipos de cabos de pré-esforço utilizados em vigas continuas: a) Viga continua de dois tramos; b) viga continua

de três tramos; 1) cabo parabólico ancorado nas faces laterais da viga; 2) Cabo parabólico ancorado na face superior da viga;

3) cabo parabólico ancorado dentro da viga através de uma ancoragem passiva; 4) cabo parabólico, com uma extremidade

ancorado na face inferior (pormenor de difícil execução); 5) ancoragem activa na face lateral; 6) ancoragem activa na face

superior; 7) ancoragem passiva na face lateral; 8) ancoragem activa na face inferior. Os eixos dos cabos são geralmente

projectados como associações de parábolas e trechos rectilíneos [Pfeil, 1984, segundo referência 1 da bibliografia]............. 34

Figura 2.1 - Diagrama característico de vários tipos de aço [2, 4, 15]......................... ...................... ..................... .................. 38

Figura 2.2 - Pormenor de uma bainha [1]........ ....................... ...................... ....................... .................... ....................... .......... 41

Figura 2.1 - Diagrama de limites de tensão/extensão [3].................................. ...................... ..................... ...................... ....... 45

Figura 2.2 - Ângulo de desvio [3] .................... ...................... ....................... ...................... ..................... ...................... .......... 50

Figura 2.3 - Perda de carga devida a reentrada de cabos [3] ....................... ...................... ....................... ..................... ........... 51

Figura 2.4. Variação do valor da relaxação com a tensão instalada [3].......... ...................... ....................... ...................... ....... 54




VI

Figura 2.5 - Variação da força de pré-esforço ao longo de uma peça após perdas por atrito [3] ....................... ....................... 57

Figura 2.6 - Perdas de tensão no sistema de pós-tensão com aderência [3]....... ....................... ...................... ....................... ... 57

Figura 2.7 - Perdas de tensão no sistema de pré-tensão [3].. ...................... ....................... ...................... ...................... ........... 58

Figura 4.1 - Nomenclatura para a secção [4] ...................... ....................... ...................... ..................... ...................... .............. 60

Figura 4.2 - Secção em fase fendilhada [4] ..................... ...................... ...................... ..................... ...................... .................. 61

Figura 4.2 - Momento ao nível das armaduras [4]............................... ....................... ....................... ..................... .................. 63

Figura 4.5 - Diagrama rectangular correspondente ao diagrama parábola-rectângulo............. ........................ ..................... .... 64

Figura 5.1 Convenções aplicadas ..................... ...................... ...................... ...................... ..................... ...................... ........... 66

Figura 5.2.- Representação gráfica dos limites de tensões [4]..................... ...................... ....................... ..................... ........... 67

Figura 5.3 - Variação das tensões em secção de momentos positivos e excentricidade máxima da armadura de pré-esforço [4].

...................... ..................... ...................... ..................... ...................... .................... ...................... ...................... ..................... 68

Figura 5.4 - Diagrama de Magnel [4, adaptado]. ...................... ....................... ...................... ..................... ....................... ...... 73

Figura 5.5 - Determinação gráfica do pré-esforço mínimo e excentricidade máxima.[4]........................... ...................... ........ 74

Figura 5.6 - Excentricidade admissível [4] .................... ...................... ...................... ...................... ...................... ................... 75

Figura 5.7 - Pré-esforço mínimo para eA > eadm [4] .................... ...................... ...................... ...................... ...................... ... 75

Figura 5.8 - Fuso limite numa viga simplesmente apoiada [4] ..................... ...................... ...................... ..................... ........... 77

Figura 5.12 - Exemplos de secções pré-esforçadas [2]... ...................... ...................... ...................... ...................... .................. 80

Figura 6.1 - Diagrama de Estado Limite Ultimo de Flexão [3] ...................... ....................... ...................... ...................... ....... 83

Figura 6.2 - Diagrama Tensões Extensões [3].. ...................... ...................... ...................... ..................... ...................... ........... 84 Figura 6.3 - 1ª iteração para Estado limite ultimo de flexão [4] ..................... ....................... ...................... ...................... ....... 85

Figura 6.4 - Diagramas para Estado limite ultimo de flexão, tipo A e B [4] ..................... ...................... ...................... ........... 86

Figura 6.5 - Determinação da linha neutra (xu), por interpolação [3] ...................... ...................... ...................... ..................... 86

Figura 6.6 - Diagrama Estado Limite Ultimo. Método Geral [3] .................... ...................... ...................... ..................... ........ 87

Figura 6.7 - Diagrama Estado Limite Ultimo. Método Simplificado [4]...................... ........................ ..................... ............... 88

Figura 6.8 - Definição da secção equivalente .................... ....................... ...................... ...................... ...................... .............. 89




VII

Figura 6.9 - Estado Limite último de esforço transverso [2] ................... ...................... ...................... ...................... ............... 90

Figura 6.10 - Momento de descompressão [3] ..................... ...................... ....................... ...................... ....................... .......... 91

Figura 5.11 - Vectores de forças................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... .............. 92

Figura 6.12 - Definição das larguras da alma, bω, e da bainha Ø [4] .................... ...................... ..................... ...................... ... 93

Figura 6.13 - Fluxograma de dimensionamento de peça em betão pré-esforçado [4]......................................... ...................... 95




VIII

Índice de Quadros

Quadro I.1. - Relações entre resistência e o preço unitário dos materiais utilizados em betão armado (BA) e betão pré-

esforçado (BP) [1]. .................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... .............. 14

Quadro 2.1- Valores máximos do pré-esforço na origem [11]. ................... ....................... ...................... ..................... ........... 45

Quadro 2.2- Coeficientes de atrito em curva e recta.............. ...................... ....................... ..................... ....................... .......... 49

Quadro 4.1 - Equações fundamentais em análise elástica para Fase Fendilhada [2, 4]. ....................... ..................... ............... 62

Quadro 6.1 - Largura das almas ....................... ...................... ....................... ...................... ..................... ...................... .......... 93




1

Introdução

O pré-esforço continua hoje, muito embora, como uma solução pouco usada na actividade da

construção civil, vicissitude em que também cai a pré-fabricação (com excepção das vigotas

pré-esforçadas para pavimentos, profusamente usadas no Norte do país). Por razões de vária

ordem, hipoteticamente também relacionada com opções de projecto arquitectónico e de

estabilidade, as empresas de construção não tem usufruído de uma eventual redução dos

custos e de um aumento da produtividade para diversas situações de solução estrutural. Sendo

certo que não se quer com isto insinuar que o betão armado devia ser liminarmente

substituído pelo betão pré-esforçado, a verdade é que mesmo para edifícios o seu emprego

pode ser competitivo, designadamente em áreas comerciais, industriais e de parqueamento.

Tendo em conta a diversidade e a complexidade das situações de trabalho, estes

conhecimentos têm de ser adaptados ao projecto a que diz respeito. Constituem, no entanto,

orientações e pontos de chamada de atenção, necessários para desenvolver uma boa

integração das medidas de pré-esforço na concepção dos projectos da especialidade. Não

dispensam o recurso a conhecimentos mais aprofundados, especialmente no caso de se estar em presença de projectos mais específicos, nem a consulta da regulamentação aplicável.

A política de produtividade nas empresas é muito importante e surge no sentido de procurar

realizar os trabalhos de pré-esforço com qualidade e alto rendimento para todos os

intervenientes, porque estamos convencidos que só com qualidade de vida se conseguirá

qualidade no trabalho. Com a escassez de obras que se tem feito sentir nos últimos tempos e

com os reduzidos prazos para a sua execução, quando surgem, de facto só com organização se

poderá atingir o objectivo a aumentar os índices de produtividade e procurando sempre obter máximo rendimento.

Em termos da organização deste texto, no primeiro capítulo vai ser dada especial atenção ao

conceito de Pré-esforço. Torna-se necessário referir vários aspectos importantes, como por

exemplo, as suas aplicações, técnicas e legislação indispensável para se cumprir durante à

execução do mesmo. Nesta linha de pensamento, faz-se uma súmula das operações que estão

directamente envolvidas na construção deste tipo de estruturas, ilustrando conjuntamentequais os equipamentos que intrinsecamente estão relacionados com o pré-esforço de




2

estruturas isostáticas, mais especificamente vigas pré-esforçadas, em cada uma das fases de

execução.

Uma vez enquadrados na essência do tema escolhido, é feita, no segundo capitulo uma

análise detalhada dos materiais e equipamentos utilizados em estruturas de betão pré-

esforçado.

No terceiro capítulo, são apresentados os tipos de perdas de tensão no pré-esforço, sendo

também indicado o processo comum do cálculo dessas perdas ao longo de uma peça, tais

como perdas instantâneas e perdas diferidas.

O quarto capítulo é apresentado a análise de secções, neste capítulo são estudados apenas os

casos do Betão pré - tensionado e pós - tensionado com aderência, enunciando as hipóteses

básicas de análise: Analise Linear Elástica em fase não Fendilhada; Analise Linear Elástica em

fase Fendilhada e por último, a Analise Não Linear, Resistência Ultima de Secção.

O quinto capitulo retrata os aspectos mais importantes do dimensionamento de vigas

isostáticas de betão pré-esforçado de forma resumida todos os passos do dimensionamento. O

objectivo do dimensionamento consiste em garantir que os limites de tensões vão ser

cumpridos, as peças apresentam características de resistência e de durabilidade adequadas.

No sexto capítulo, são apresentados os Estados Limites Últimos, intrinsecamente conjugados

no dimensionamento das estruturas. È efectuada analise ao Estado Limite Ultimo de Flexão

com base em um quatro métodos: Método Geral Iterativo; Método Geral; Método

Simplificado; Método Simplificado para secções em T. Neste capítulo a verificação de

segurança ainda abrange o Estado Limite Último de Esforço Transverso.

Por ultimo o sétimo capitulo, apresenta as Zonas de Elementos Sujeitas a Forças

Concentradas, a zona de ancoragem a estudar, corresponde à parte do elemento (viga) situada

entre a face de aplicação da carga localizada e a secção a partir da qual (princípio de Saint

Venant) se desenvolve uma distribuição linear de tensões característica das peças lineares.




3

Finalmente, em prol dos conhecimentos adquiridos, são apresentadas as principais conclusões

decorrentes dos capítulos antecedentes, realçando-se as principais problemáticas associadas à

concepção e analise deste tipo de estruturas e pré-esforço em estruturas isostáticas.

Refira-se que é indispensável para a compreensão do conteúdo deste trabalho que o leitor já

tenha sólidos conhecimentos prévios em Betão Armado, pois a sua elaboração parte desse

princípio.

Diga-se, ainda, que o Anexo A dispõe de um pequeno léxico dos termos mais usados neste

trabalho, que poderá ser consultado em caso de desconhecimento ou dúvida no significado de

algum termo aqui utilizado.




4

1. Pré-esforço aplicado ao betão

Neste capítulo vai ser dada especial atenção ao conceito de pré-esforço, já que se torna

necessário referir vários aspectos importantes, como por exemplo, as suas aplicações, técnicas

e legislação indispensável para se cumprir durante a concepção e execução do mesmo.

Devido à sua natureza muito fragmentada, o sector da construção não investe suficientemente

na formação, na pesquisa e na comercialização. As pequenas empresas são muitas vezes mal

geridas e algumas delas não possuem as competências técnicas necessárias. Um número

muito grande de pequenas e médias empresas não tem conhecimento de causa e por isso nãousufrui das enumeras vantagens desta técnica.

1.1. Conceito de Pré-esforço.

“Pré-esforço é um artifício que consiste em introduzir, numa estrutura, um estado prévio de

tensões, de modo a melhorar a sua resistência ou comportamento, sob acção de diversas

condições de carga”, citando Pfeil, 1984 [1].

Um exemplo muito simples e bastante significativo de pré-esforço é, por exemplo, a situação

em que uma pessoa carrega um conjunto de livros de uma fila horizontal (fig. 1.1). Para que

os livros sejam levantados sem caírem, é necessária a aplicação de uma força horizontal que

os comprima uns contra os outros, produzindo assim forças de atrito capazes de superar o

peso próprio do conjunto.

Figura 1.1 - Introdução de um estado prévio de tensões numa fila de livros ou num conjunto de blocos [1]

Igual situação se pode pôr num conjunto de blocos que se pretenda fixar (fig. 1.1).




5

A aplicação da desta força normal pode ser entendida como uma forma de pré-esforçar um

conjunto de elementos estruturais, no caso uma fila de livros, com o objectivo de se criar

tensões prévias contrárias aquelas que podem inviabilizar ou prejudicar a operação ou o uso

desejado [1].

Um barril é também um exemplo de estrutura pré-esforçada. O barril é composto por gomos

de madeira apertados por aros metálicos. A compressão produzida pelos aros opõe-se as

tensões causadas pela pressão interna do líquido dentro do barril, que geram tracções nessas

aduelas.

Contudo, neste caso não se trata apenas da prévia tensão de compressão, aplicada nos aros,

contrariar a tensões de tracção que o impulso do líquido lhes vai induzir, pois estes aros

metálicos podiam ter o seu material em repouso (tensão quase nula) até que a solicitação da

pressão hidrostática do fluido tende-se a abrir dos gomos e lhes mobilizasse a sua resistência.

Na verdade, o mais importante será não deixar o líquido refluir entre os gomos, pelo que os

mesmos devem permanecer justos antes e depois da solicitação do fluido, ou seja: as tensões

nos aros devem ser sempre de compressão, mesmo já antes da acção solicitante.

Se a questão fosse apenas a resistência, e o equilíbrio directo de forças, tal pré-compressãonão seria necessária, bastando que as aduelas tivessem a resistência mecânica suficiente

aquando do enchimento do barril. Aqui trata-se de não permitir qualquer folga entre os

gomos, assim, por semelhança, se o material de fabrico fosse betão armado esse propósito

dificilmente seria conseguido, dada provável de abertura de fendas (ainda que pequenas) por

ausência de pré-compressão (as armaduras passivas - varões correntes - só começariam a

trabalhar quando o liquido estabelecesse uma solicitação, sucedendo que com a sua natural

deformação, conjunta com a do betão, este último rapidamente fissuraria, dada a sua fraca

resistência à tracção).

Pelo exposto se conclui da conveniência do uso de betão pré-esforçado numa situação destas,

pois o betão estaria em compressão antecipada à solicitação, e se as tensões de tracção

solicitantes não ultrapassassem estas de compressão prévia, o betão nunca poderia fissurar

(por insuficiência de resistência à tracção, apenas haveria que acautelar que a compressão

inicial não seria superior à da resistência do betão à compressão, esmagando-o). Óbvio será

que no caso de armazenamento de material granular este problema não tem a mesma premência.




6

A situação atrás traduzida tem algumas semelhanças com a construção de pontes por avanços

sucessivos, designadamente até ao fecho da mesma (fig. 1.2 A), sendo certo que a presença do

pré-esforço também visa permitir a redução do peso próprio e o aproveitamento optimizados

da resistência dos materiais (betão e aço).

Figura 1.2 A - Sistema de construção em avanços sucessivos [1].

Também, e ainda no que pontes trata, idêntica situação se coloca num sistema de construção

pré-fabricada (fig. 1.2 B).

Figura 1.2 B - Sistema de construção por pré-fabricação [1].

Pode-se citar, ainda, o caso de uma roda de bicicleta como uma estrutura tensionada. O aro

externo é ligado a um anel interno por meios de fios de aço sob tensão. As tensões de tracção




7

previamente aplicadas aos raios garantem a estabilidade do aro externo, que fica em

compressão tangencial, verificada a resistência do material e os fenómenos de encurvadura.

A palavra pré-esforço (prestressing em inglês, précontrainte em francês) é, deste modo, aintenção de criar um estado permanente de tensões em estruturas, e materiais de construção,

de forma a melhorar o seu comportamento em serviço e aumentar a sua capacidade de

resistência, as cargas sobre elas aplicadas [1]. Diríamos, complementarmente, e tendo em

conta o caminhar dos tempos, que se poderá tornar uma forma alternativa ao betão armado,

mesmo em estruturas relativamente correntes, dado superior desempenho mecânico e o

abaixamento progressivo do custo de aço de pré-esforço.

1.2. Breve referência histórica.

O desenvolvimento do betão armado e pré-esforçado deu-se a partir da criação do cimento

Portland, na Inglaterra, em 1824. Nos anos que se seguiram, os franceses e os alemães

também começaram a produzir cimento e a criar as várias formas de melhorar a capacidade de

esforço do betão. Foi em 1877 que o americano Hyat reconheceu claramente o efeito da

aderência entre o betão e a armadura. Após vários ensaios com construções de betão, passou-se a colocar a armadura apenas do lado traccionado das peças [1].

A primeira intensão de pré-tensionar o betão foi anunciada em 1886, por P. H. Jackson, de

São Francisco (EUA). No final do século XIX seguiram-se várias patentes de métodos de pré-

esforço e ensaios, sem êxito, pois o pré-esforço perdia-se devido a retracção e fluência do

betão, desconhecidas naquela época. Só por volta de 1912, Koeman e Mörsch reconheceram

que o efeito de um pré-esforço reduzido era perdido no decorrer do tempo, devido à retracção

e deformação lenta do betão [1].

Em 1919, K.Wettein fabricou, na Alemanha, painéis de concreto pré-esforçado com cordas de

aço para piano (cordas de alta resistência). Tal facto foi associado ao desenvolvimento de aços

de alta resistência (1923), quando R. H. Dill, dos EUA, reconheceu que se deveriam usar fios

de alta resistência sob elevadas tensões para superar as perdas de pré-esforço [1].

Em 1928 é foi apresentado e patenteado o primeiro trabalho consistente de pré-esforço pelo

engenheiro francês Eugène Freyssinet, tornando-se o pré-esforço uma realidade. A Freyssinet




8

se deve os grandes desenvolvimentos no domínio da concepção das ancoragens e do sistema

dos macacos hidráulicos de aplicação do pré-esforço, sendo ainda referir que lhe é também

atribuída a aplicação da técnica de vibração mecânica do betão (que antes era aplicado a

maço). Foi ainda Freyssinet que utilizou pela primeira vez o pré-esforço por aderência (sem

ancoragens nas extremidades), mas foi E. Hoyer (Alemanha) que primeiro desenvolveu este

processo em aplicações práticas [1].

A aplicação mais generalizada do betão pré-esforçado não foi possível até ao

desenvolvimento de processos fiáveis e económicos de tracção e ancoragem das armaduras.

Contribuíram, decisivamente, para o desenvolvimento de novas técnicas de pré-esforço,

Freyssinet (França) e G. Magnel (Bélgica).

Em Portugal a primeira ponte realizada em betão pré-esforçado foi a nova ponte da Vala

Nova, na E.N. 118, entre Benavente e Salvaterra de Magos, construída em 1953-1954. Trata-

se de uma estrutura formada por três tramos isostáticos simplesmente apoiados com vãos de

33.80m.

Devido ao grande desenvolvimento das aplicações do betão pré-esforçado foi também

acompanhado pela criação das primeiras Associações neste domínio:

⇒ FIP - Fédération de la Précontrainte, de origem europeia;

⇒ PCI - Prestressed Concrete Institute, criado em 1954 nos EUA.

Hoje o betão armado pré-esforçado apresenta crescentes e numerosas aplicações em pontes,

edifícios, coberturas, reservatórios e silos, ancoragens (no solo e em rocha), estacas, condutas,

barragens e túneis.

1.3. Algumas obras com Pré-esforço

O pré-esforço de betão pode ser usado em diversas aplicações, sendo mesmo quase infinitas,

dado que é sempre possível inventar um modo diferente de utilizar o pré-esforço, como se viu

em 1.1.




9

Vale ainda a pena citar as estruturas de grande porte, tais como plataformas marítimas

(offshore) de exploração de petróleo ou gás, invólucros de protecção de centrais atómicas, etc.

É comum, também, a utilização de tirantes de ancoragem pré-esforçados em obras de terra,

tais como estruturas de contenção lateral de solos e barragens.

Figura 1.3 - Utilização de tirantes em estruturas de contenção de maciços terrosos ou rochosos. a) Muro vertical

com tirantes pré-esforçados. B) Tirantes pré-esforçados com placas individuais de apoio. c) Tirantes pré-

esforçados, ancorados no maciço de fundação, usados como ancoragem de uma barragem [1] .

Figura 1.4 - Ponte pré-esforçada com cabos de estabilidade da estrutura (Portugal) [6].




10

Figura 1.5 - Edifício com lajes pré-esforçadas (Hong Kong) [6].

Figura 1.6 - Interior de uma viga caixão pré-esforçada, cabos de pós-tensão externos (Suiça) [6].

Figura 1.7 - Pré-esforço em 30.000m2 de laje térrea (Chile) [6].




11

Figura 1.8 - Supressão de 70% dos pilares e aumento da extensão de 6.30m para 12.60m (Espanha) [6].

Figura 1.9 - Instalação de ancoragens de 900 escoras à terra provisórias, até de funcionamento 2.200KN e 2.400

m2 dos painéis de betão pulverizados para a retenção de níveis superiores da rocha e das argilas do maciço

terroso (Austrália) [6].

Figura 1.10 - Ponte pré-esforçada com uma extensão de 120m de comprimento e uma altura de 15m, primeira no

mundo (Coreia do Sul) [6].




12

Figura 1.11 - Estrutura Pré-esforçada, Museu nacional Arte Contemporânea (Brasil).

Figura 1.12 - Reservatório de água em Betão Pré-esforçado (em Naples, Florida, USA) e silo.

1.4. Particularidades do Betão Pré-esforçado em relação ao Betão Armado

O betão tem boa resistência à compressão e baixa resistência à tracção. A resistência à

tracção, cerca de 10% da resistência à compressão, além de pequena é imprecisa, pois o

material comporta-se de forma aleatória quando traccionado.

Quando o betão não é bem executado, a retracção acentuada pode provocar fissuras na região

traccionada da peça, eliminando completamente a resistência à tracção, mesmo antes de

actuar qualquer solicitação. Devido à sua natureza incerta, a resistência à tracção do betão é

geralmente desprezada nos cálculos. O artifício do pré-esforço consiste em introduzir esforços

prévios na peça de betão, que reduzam ou anulem as tensões de tracção provocadas pelas

solicitações em serviço. Nestas condições, a fissuração deixa de ser um factor determinante no

dimensionamento da peça [1, 3].




13

A Figura 1.13. (a) representa uma secção de betão armado, com a tensão no bordo superior da

peça com um valor de σc e variação linear ao longo da sua altura, até . O momento-flector em

serviço na secção vale:

2158,088,036,02

1bd d bd Braço Area BraçoForça M ccc σ σ σ =×××××=××=×=

A Figura I.13. (b) representa a mesma secção com armadura pré-esforçada. Sob acção da

força de pré-esforço, e do momento devido às cargas, pode-se chegar ao diagrama de tensões

mostrado nessa figura, com o valor σc no bordo superior igual ao da Figura I.13. (a). Neste

caso, consegue-se que o diagrama se estenda até á fibra mais inferior, fixando-se aqui o eixo

neutro, para que não exista tracção nesta fibra (pois poderiam aparecer fissurações) e o

momento-flector de serviço na secção vale:

233,03

2

2

1bd d bh M cc σ σ ≅××≅

Verifica-se que, para a mesma secção de betão, é possível dobrar o momento resistente

utilizando o pré-esforço. Assim, pode-se concluir que, usando betões pré-esforçados com

resistências características, f ck , iguais ao dobro dos valores usuais em betão armado, é possívelobter secções pré-esforçadas capazes de resistir a momentos flectores em serviço quatro vezes

maiores que as suas similares em betão armado.

Figura 1.13 - Exemplo de uma secção flectida, com armadura convencional [a] e com armadura pré-esforçada

[b]. Para a mesma tensão (σc) a viga pré-esforçada apresenta uma resistência em serviço aproximadamente igual

ao dobro da viga de betão armado [1].

Do ponto de vista económico, o betão pré-esforçado possui características que podem ser

determinantes numa analise de custo global, quando comparando com o betão armado. As




14

resistências de betão pré-esforçado, são duas a três vezes maiores que as utilizadas em betão

armado. Os aços utilizados nos cabos de pré-esforço têm resistência três a cinco vezes

superiores às dos aços usuais de betão armado.

Os aumentos percentuais de preço podem ser muito inferiores aos acréscimos de resistência

obtidos, tanto para o betão como para o aço. O Quadro I.1. apresenta um exemplo

comparativo de relações de resistência e preços unitários para betão armado (BA) e betão pré-

esforçado (BP) [Pfeil (1983), segundo referência 1 da bibliografia].

De referir que este quadro tem já mais de 2 décadas, sendo hoje a diferença de preço entre o

aço corrente e o de pré-esforço significativamente menor.

Quadro I.1. - Relações entre resistência e o preço unitário dos materiais utilizados em betão armado (BA)

e betão pré-esforçado (BP) [1].

O pré-esforço das armaduras em estruturas de betão proporciona uma série de vantagens [1],

como por exemplo:

⇒ Permite projectar secções mais esbeltas do que no betão armado convencional, sobretudo

se o comportamento em serviço é um factor predominante, uma vez que toda a secção de

Parâmetros comparativos BA BP BP/BA

Resistência media (MPa) 20 40 2,0

Preço m3 de betão --- --- 1,3

Tensão média de dimensionamento do aço (MPa) 250 1250 5,0

Relação do preço por unidade de peso entre aços --- --- 2,0 a 3,0




15

betão pode trabalhar à compressão. Assim, normalmente as peças de betão pré-esforçado

possuem menor peso próprio, em relação as peças equivalentes de betão armado, o que

viabiliza economicamente o projecto de estruturas de grandes vãos.

⇒ Permite controlar a deformação elástica e limita-la a valores menores que os que seriam

obtidos para estruturas similares em aço ou betão armado

⇒ Proporciona melhores condições de durabilidade, pois anula totalmente, ou quase

totalmente, as tensões de tracção, principais responsáveis pela fissuração. As armaduras

ficam mais protegidas.

⇒ Permite que a estrutura se recomponha após a actuação de uma sobrecarga eventual não prevista. Cessada a causa, as fissuras abertas, fecham-se devido a acção da força do pré-

esforço.

⇒ A estrutura normalmente possui maior resistência à fadiga, pois a variação de tensão no

aço, proveniente de cargas moveis, é muito pequena quando comparada com o valor da

sua resistência característica.

A operação de pré-esforço funciona como uma verdadeira prova de carga, pois as tensõesintroduzidas nessa fase são muito maiores que as correspondentes à situação da peça em

serviço. A estrutura é testada antes de entrar em operação, propriamente dita.

Em contrapartida, podem ser relacionadas algumas desvantagens do betão pré-esforçado:

⇒ O betão de maior resistência exige melhor controle de execução.

⇒ Os aços de alta resistência exigem cuidados especiais de protecção contra a corrosão.

⇒ A colocação dos cabos de pré-esforço deve ser feita com a maior precisão de modo a

garantir as posições admitidas nos cálculos. Como a força de pré-esforço possui, em geral,

um valor muito alto, um pequeno desvio do cabo da posição de projecto pode produzir

esforços não previstos, levando ao comportamento inadequado da peça e mesmo até ao

colapso.

⇒ As operações de pré-esforço exigem equipamento e pessoal especializados, com ocontrole permanente e dos esforços aplicados e dos alongamentos dos cabos.




16

⇒ De um modo geral, as construções pré-esforçadas exigem atenção e controle superiores

aos necessários para o betão armado.

1.5. Princípios do Pré-esforço.

Três diferentes conceitos [2] podem ser utilizados para explicar e analisar o comportamento

básico do betão pré-esforçado.

Pré-esforçar para transformar o betão num material elástico

O betão, que é fraco em tracção e forte em compressão, é comprimido (por varões de altaresistência) para que o betão frágil possa ser submetido a tensões de tracção. Se não houver

tensões de tracção no betão, não existirão fendas e toda a secção de betão é activa

comportando-se como um material elástico. Sob este ponto de vista o betão está sujeito a dois

sistemas de forças:

⇒ Pré-esforço interno;

⇒ Acções exteriores.

Em que as tensões de tracção devidas às acções exteriores são contrabalançadas pelas tensões

de compressão devidas ao pré-esforço.

Pré-esforçar para combinar aço de alta resistência com o betão

O betão pré-esforçado é encarado, de forma idêntica ao betão armado, como uma combinação

de dois materiais: aço e betão. Também aqui o aço a receber as tracções e o betão a receber as

compressões, em geral.

Para tirar partido do aço de alta resistência é necessário submetê-lo a grandes deformações.

Por isso, se simplesmente este aço fosse colocado no betão como armadura passiva, o betão

envolvente sofreria enorme fendilhação antes que se desenvolvesse as tensões a que a

armadura resiste. Assim sendo, é necessário esticar previamente o aço de alta resistência e

ancorá-lo contra o betão de forma a desenvolver um efeito favorável nos dois materiais

(compressão no betão e tracção no aço) antes de aplicar as cargas exteriores.




17

Pré-esforçar para alcançar a carga equivalente

Segundo este conceito o pré-esforço é, basicamente, interpretado como uma tentativa para

equilibrar as cargas actuantes sobre o elemento. No projecto de uma estrutura pré-esforçada oefeito do pré-esforço é visto como uma carga equivalente às acções permanentes, de tal forma

que os elementos sujeitos à flexão (lajes, vigas) não ficarão sujeitos ao momento-flector para

um dado carregamento (acções permanentes e/ou acções quase-permanentes).

1.6. Técnicas e sistemas de pré-esforço.

A presente monografia retrata a técnica de pós-tensão com aderência, ainda que se faça uma breve referencia a outras tecnologias de pré-esforço. As principais técnicas [1] de pré-esforço

nas estruturas de betão podem classificar-se em:

Pré-tensão

As armaduras (normalmente são usados fios) são tensionadas antes da colocação do betão,

fig. 1.14 a), sendo a transferência realizada por aderência, quando o betão adquire a necessária

resistência, fig. 1.14 b), e se libertam as armaduras das ancoragens iniciais, fig. 1.14 c).

Envolve, em geral, grandes perdas de pré-esforço, porque a transferência do pré-esforço se faz

usualmente para um betão com poucos dias de cura. Este processo é característico da

produção fabril de elementos pré-fabricados.

Pós-tensão

As armaduras são tensionadas depois do betão ter adquirido a resistência necessária, sendo a

transferência garantida nas ancoragens existentes nas extremidades da peça de betão (sendo

esta uma zona sensível da peça de betão, sujeita a um possível esmagamento, devido as

elevadas compressões).

Betão Pré-esforçado

Pré-tensão

Pós-tensão

Com aderência

Sem aderência




18

Sapatadereacção

AncoragemArmaduras pré-tracionadas

Figura 1.14 - Sistema de Pré-tensão [3]

A sequência da pós-tensão, essencialmente, é a seguinte:

⇒ 1º - Execução da estrutura com as armaduras passivas, betonagem e cura (incluindo a

colocação das bainhas dos cabos);

⇒ 2º - Inserção dos cabos e seu traccionamento (aplicação do pré-esforço);

⇒ 3º - Montagem dos aparelhos de ancoragem com transmissão do pré-esforço por fixação

dos cabos nas cunhas.

No sistema de pós-tensão distinguem-se os sistemas com e sem aderência:

⇒ No betão pós-tensionado com aderência, os cabos de pré-esforço ficam aderentes à secção

de betão mediante a injecção de calda de cimento nas bainhas, após ganhar presa.

⇒ No betão pós-tensionado sem aderência, na construção definitiva, as armaduras mantêm-

se desligadas da peça de betão, uma vez que continuam a poder deslizar no interior da

bainha, normalmente usa-se um tipo de graxa que reduz o atrito, para melhor protecção

das armaduras. O betão pós-tensionado é característico da aplicação in-situ, emconstruções de médio e grande vão.




19

Figura 1.15 - Esquema de uma viga pós-tensionada, com aderência da VSL [6].

Os sistemas de pré-esforço estão patenteados, sendo diversas as designações comerciais,

muito embora actualmente sejam pequenas as diferenças entre as várias marcas. A opção por um dado sistema é, em geral, função dos custos e do apoio técnico prestado pelas respectivas

empresas.

Figura 1.16 - Pormenor da ancoragem/bainha e o tracção dos cabos (aplicação do pré-esforço) [6].

Existem vários sistemas de pré-esforço por pós-tensão, sendo os mais comercializados na

Europa: Freyssinet; VSL/Stronghold; Dividag; BBRV; CCL.




20

Figura 1.16.A - Pormenor da ancoragem/bainha e o tracção dos cabos (aplicação do pré-esforço) [6].




21

Ainda sobre este assunto será oportuno referir que [4]:

⇒ Pré-tensão com ausência de aderência não faz sentido, embora teoricamente não a

possamos excluir, também o uso de cabos com trajectórias outras que não rectas écomplicado, embora o recurso a desviadores seja um processo.

⇒ O pré-esforço não aderente poderá parecer menos seguro, dado que o rebentamento da

ancoragem poderá determinar, mais facilemente, o colapso da estrutura. Contudo, no pré-

esforço não aderente há cabos complementares de segurança, podendo até existir bainhas

em vazio para substituição em processo de manutenção;

⇒ O pré-esforço por pós-tensão e aderente tem o problema da calda, que poderá não preencher com totalidade o vazio das bainhas (muito embora muitos avanços tenham sido

efectuados);

1.7. Funcionamento estrutural do betão pré-esforçado

Basicamente, sob este ponto de vista, o betão está sujeito a dois sistemas de forças: pré-

esforço interno e acções exteriores. Em que as tensões de tracção devidas às acções exteriores

são contrabalançadas pelas tensões de compressão devidas ao pré-esforço [3].

Consideremos uma viga de secção rectangular com um cabo localizado no seu eixo e sujeita a

duas cargas (fig. 1.17):

1. Uma exterior, uniformemente distribuída descendentemente no seu plano (q);

2. Outra interna, por extensão do cabo e sua fixação as secções extremas (P).

Na verdade, para se obter a força P o fio é esticado usando, por exemplo, um macaco, sendo

em seguida seguro a umas placas metálicas rígidas, situadas nas extremidades da peça, este

procedimento corresponde ao pré-esforço por pós-tensão.

Seja P a força do pré-esforço que origina uma tensão de compressão uniforme no betão, com

a excepção das secções nas extremidades, em que devido as cargas concentradas as tensões

não são uniformes. Contudo, o princípio de St.Venant é tido para secções suficientementeafastadas das extremidades, vindo, para compressão negativa:




22

c A

P−=σ

Sendo M o momento numa secção da viga devido ao peso próprio e às cargas exteriores, atensão numa fibra qualquer dessa secção devida a M será, em regime elástico:

W

M

I

y±=

×Μ±=σ

Com:

P - valor da compressão dada pelo pré-esforço;

y - distância da fibra ao Centro de Gravidade da secção (que coincide com linha neutra em flexão pura);

I - momento de inércia da secção;

W - módulo de flexão (I/y).

O sinal ± justifica-se pois se uma fibra extrema está em compressão a outra terá que estar em

tracção.

A tensão resultante pode ser obtida pelo princípio da sobreposição de efeitos, considerando

que o comportamento da viga se mantém dentro do regime elástico, como se pode observar na

Figura 1.17, pelo que:

W

M

A

P

I

y

cc

±−=×Μ

±ΑΡ

−=σ

Quando o cabo é colocado excentricamente em relação ao centro de gravidade da secção, a

peça de betão pré-esforçado é acrescida de novas tensões, como se pode observar na figura

1.19, de acordo com a convenção de sinais da figura 1.18.

De facto, actuando o cabo com uma excentricidade (e) a secção é solicitada pela força de

compressão P de forma também excêntrica. Ora, esta excentricidade não é mais que um braço

actuado por uma força, logo um mecanismo produtor de um momento, P×e.




23

eixo neutro

W - módulo de flexão

c

c

A - área de betão

e - excentricidade do cabo ao Cg da viga

I - inércia da seccção

c

PA W

M

b

t

MWA

Pc

PP

f = - + b

tf = - -

WM(+)

b

W

M(-)

t

c(-)

PA =

+

-+-

A

y

y - distância da fibra em consideração ao Cg da secção

W =Iy

y

e = 0

t

b

W =Iy

W = Iy

b b

tt

t - fibra superior de topo (top) b - fibra inferior de base (bottom)

q

q - carga uniformemente distribuida descendente

compressão

compressão

compressão

tracção

Figura 1.17 - Tensões devidas ao pré-esforço centrado e o peso próprio a meio vão.

As tensões produzidas por este momento, P×e, são:

W

e×Ρ=σ

a distribuição de tensões resultantes é dado por:

W W

e

c

c

Μ±

×Ρ±

ΑΡ

−=σ

Quando os cabos são curvos (Figura 1.20), normalmente toma-se o equilíbrio da parte

esquerda ou da parte direita em relação à secção em análise. Será de salientar que a resultante

das compressões no betão, devidas apenas ao pré-esforço, é igual e de sinal contrário à força P

do cabo, actuando com uma excentricidade (e).

As tensões no betão devidas ao pré-esforço excêntrico também aqui são dadas por:




24

W

e

c

.Ρ±

ΑΡ

−=σ

Sendo apenas de notar que o valor da excentricidade varia ao longo da peça e, como tal,também o momento induzido pelo pré-esforço em cada uma das suas secções.

G

x

y (+)

Figura 1.18 - Convenção de sinais [4]

eixo da peça

W - modulo de inercia c

c

A - área de betão

e - excentricidade

I - inercia seccção

cPA b

PeW W

M

b

t

MWW

Pe

tAP

c

PP

f = - - + b

tf = - + -

W

M

(+) b

WM

(+)tt

(+)PeW

c(-)

PA

W

Pe

(-) b

=+

-+

+

-

+-

A

y

e

y - distancia ao eixo neutro

W =Iy

y

Figura 1.19 - Tensões devido ao pré-esforço com excentricidade e ao peso próprio a meio vão [4].




25

Conclui-se, assim, que as tensões no betão devidas ao pré-esforço são apenas dependentes da

grandeza e localização de P na secção, ou seja, do seu valor e da sua excentricidade,

independentemente do traçado do cabo ao longo da viga (isto em peças isostáticas).

C o m p r e s s ã o N = Pe

P r é - e s fo r ç o PA '

A

Figura 1.20 - Efeito do pré-esforçado aplicado por um cabo curvo [2]

Por vezes, em função do valor do pré-esforço e da sua excentricidade para baixo do Centro de

Gravidade da secção, a tensão σt (tensão no topo da secção) é positiva (tracção) e há perigo

desta (em valor absoluto) ser maior que a tensão resistente do betão a tracção.

Consequentemente, poderá provocar fendilhação na face superior da viga, sobretudo numa

situação de pouca carga, como aquando da aplicação do pré-esforço, em que apenas aconstrução se encontra com a estrutura fabricada e, eventualmente, nem toda esta.

Certo é que no caso da peça já se encontrar em serviço, em que toda a carga permanente e

parte da sobrecarga já se encontra aplicada, é natural que a fendilhação principal seja na zona

superior da viga, mas na zona dos apoios e não ao meio vão, motivada pelos momentos

negativos. Contudo, tal asserção, embora genericamente válida, depende muito da situação de

continuidade e rigidez dos apoios e do traçado do próprio cabo, obviamente.

É de realçar o facto da transferência do pré-esforço se dar, em geral, quando o betão é novo, a

que corresponde a uma resistência à tracção inferior àquela que terá quando for mais velho,

ou seja, quando a estrutura entrar em serviço [4].




26

1.8. Traçado dos cabos

O traçado dos cabos é de fundamental importância para a configuração final de esforços numa

peça de betão pré-esforçado, diremos, mesmo, que será um dos maiores segredo do sucesso

de uma estrutura pré-esforçada.

Uma vez que o objectivo primário do pré-esforço numa peça é actuar em sentido oposto aos

esforços produzidos pelo carregamento externo, o traçado dos cabos deve ser projectado em

função das cargas actuantes na peça e posteriormente ajustado, de forma a satisfazer os

requisitos peculiares construtivos de cada situação de projecto.

1.8.1. Fundamento físico do traçado dos cabos

Considere-se, por exemplo, uma viga simplesmente apoiada e submetida a um carregamento

uniforme (figura 1.21). A introdução de um cabo rectilíneo na posição correspondente ao eixo

neutro da viga, caracteriza o pré-esforço centrado, produzindo tensões uniformes de

compressão ao longo de toda a viga. Da sobreposição dos efeitos do carregamento externo e

do pré-esforço resulta a distribuição de tensões mostrada na figura 1.22 Na região dos apoios

o momento-flector é praticamente nulo e, consequentemente, não produz tensões na secção,nem de tracção nem de compressão.

Mma x

diagrama de mom ento flector

variação das tensões normais de tracção nafibra externa na face traccionada

t maxσ

Figura 1.21 - Variação das tensões numa viga simplesmente apoiada [1].




27

O pré-esforço centrado produz tensões normais de compressão nessa região (Figura 1.22.a) e

o betão fica, então, sujeito a tensões normais e de corte combinadas. Por outro lado, no centro

do vão as tensões de compressão nas fibras comprimidas da viga, produzidas respectivamente

pelo carregamento e pelo pré-esforço, somam-se aumentando a solicitação do betão nessa

região (Figura 1.22.b). É possível melhorar a configuração de esforços na viga alternando o

traçado do cabo de pré-esforço [1].

Ainda considerando um cabo de pré-esforço rectilíneo, pode-se perceber que deslocando a

linha de actuação da força de pré-esforço do eixo neutro da viga, a distribuição de tensões

numa secção genérica deixa de ser uniforme (Figura 1.23).

a

+

=

configuração finaldas tensões

variação das tensões normais na fibra externa na face traccionada

b

configuração final das

tensões

+

=

variação das tensões normais na fibra externa na face comprimida

σ p

σc max

σ + p σc max

t max

σ p

σ p

σ

tensões normais de compressão produzidas pelo pré-esforço

tensões normais de tracção produzidas pelo carregamento externo

tensões normais de compressão produzidas pelo carregamento externo

tensões normais de compressão produzidas pelo pré-esforço

o acréscimo de compressões no centro pode ser prejudicial para o betão

Figura 1.22 - Efeito do pré-esforço centrado numa viga simplesmente apoiada sujeita a um carregamento

uniforme [1].

Na verdade, à medida que a linha de actuação da força de pré-esforço se afasta do eixo neutro

e se aproxima do perímetro do núcleo central de inércia da secção, as tensões de compressão,




28

decorrentes do pré-esforço, aumentam numa das faces da viga e diminuem na outra (Figura

1.23.b). Se a força de pré-esforço for aplicada fora do perímetro do núcleo central de inércia,

as tensões sofrem uma mudança de sinal ao longo da secção, surgindo tensões de tracção na

face mais distante da linha de actuação da força de pré-esforço (Figura 1.23.d).

Pd

c P

P

P

b

a

diagramasde tensão

Nucleocentral deinercia

Figura 1.23 - Distribuição de tensões na secção em função do ponto de aplicação da força de pré-esforço: a) P

aplicado no eixo neutro da secção; b) P aplicado fora do eixo neutro e dentro do perímetro do núcleo central de

inércia; c) P aplicado no perímetro do núcleo central; d) P aplicado fora do núcleo central de inércia [1].

A situação é semelhante à da distribuição de tensões debaixo de uma sapata em função da

colocação de um pilar sujeito a esforço de compressão isolado, muito embora não possam

surgir tensões de tracção insuportáveis pelo solo.

De um modo geral, o ideal é que as tensões de pré-esforço variem proporcionalmente às

induzidas pelos esforços externos. Isso pode ser conseguido se o traçado dos cabos

acompanhar o diagrama de momentos-flectores produzidos pelo carregamento externo (figura

1.24).




29

Traçado do cabo absorve a quase totalidade domomento provocado pela carga distribuida

Diagrama de momento flector provocado pela carga distribuida

Carga distribuida

Figura 1.24 - Perfil dos cabos e do diagrama flector (peça hiperestática) [1, adaptado]

M = P.eM = F = 2P α = P.eL4 4

L

momento devido a uma cargaconcentrada a meio vão4F.L

diagrama de momento flector

para ângulos muito pequenos pode-se trocar oseno com a tangente

F = 2 Psen α = 2P αP

α

F

P

2eLL/2

etgα = = = α

diagrama de momento flector

P.e

P PF

eα

L/2L/2

Figura 1.25 - Demonstração gráfica e matemática de MP = P×e [1]




30

Com essa configuração, o pré-esforço actua na posição óptima para anular as tensões

provocadas pela solicitação externa (e pelo peso próprio da peça) e, de forma associada,

contra a fissuração do betão.

Reparar que, propositadamente, na figura 1.24 o traçado do cabo não absorveu completamente

a flexão provocada pela carga, isto porque tendo sempre que existir armadura passiva

construtiva, será de a rentabilizarmos para ajudar à resistência mecânica necessária a fazer

face à solicitação global (incluindo o peso próprio que aqui foi desprezado).

Durante a definição do traçado dos cabos, o projectista deve sempre tentar trabalhar com as

menores curvaturas possíveis, bem como o menor número de curvas possível, com o

objectivo de minimizar as perdas por atrito devido a esses factores.

Como se afirmou, num dado ponto da viga, o momento produzido pela força de pré-esforço P

é MP = P×e, onde “e” é a excentricidade da força de pré-esforço no ponto considerado. A

demonstração gráfica e matemática pode ser verificada na figura 1.25.

1.8.2. Influência de aspectos construtivos no traçado dos cabos

Além do efeito do carregamento outros factores influenciam o projecto do traçado dos cabos,como:

⇒ A geometria da peça (ex: esbelteza da alma);

⇒ Particularidades dos processos construtivos (ex: quando e onde se aplica o pré-esforço);

⇒ Comportamento de estrutura (ex: alteração dos esforços internos e sua redistribuição na

aplicação do pré-esforço).

No caso de peças de betão com cabos pós-tensionados, dentro de bainhas flexíveis, o traçado

dos cabos é definido propondo-se uma associação de tramos parabólicos e rectilíneos (figura

1.26 e 1.27) [1]. Em vigas pré-esforçadas de grande porte, muitas vezes é necessário utilizar

vários cabos para conseguir o pré-esforço necessário e, frequentemente, a área da face externa

da viga não proporciona espaço necessário para a colocação das peças de ancoragem para

todos os cabos. Quando essa situação ocorre, o traçado dos cabos é projectado de tal forma

que alguns deles são ancorados na face superiores da viga e outros são ancorados na faceinferior ou, ainda, nas faces laterais da peça (figura 1.26 e 1.27) [1].




31

12

5

4

3

Figura 1.26 - Tipos de pré-esforço utilizados em vigas simplesmente apoiadas: 1) cabo rectilíneo ancorado nas

faces laterais da viga; 2) cabo parabólico ancorado nas faces laterais da viga; 3) ancoragens activas nas faces

laterais da viga; 4) cabo parabólico ancorado na face superior da viga; 5) ancoragem activa, na face superior da

viga [1]

1.8.3. Método das cargas equivalentes

Numa estrutura isostática o efeito do pré-esforço pode ser calculado, aproximadamente,

através do conceito das cargas equivalentes. Este conceito é uma tentativa de equilibrar uma

determinada quantidade de carga sobre a estrutura [3].

O método consiste em transformar o efeito do pré-esforço e considerar um carregamento

externo equivalente a esse efeito. Para as estruturas isostáticas, este método não é

especialmente indicado, sendo especialmente vantajoso para estruturas hiperestáticas, planas e

espaciais [4].

Em projecto esta técnica pode ser adoptada como uma forma muito simples de obter uma

ordem de grandeza do pré-esforço e, portanto, dos cabos requeridos, o que é fundamental para

o dimensionamento da forma e proporções da secção [2].

Reparar que para ângulos Ø pequenos, 1cos ≈φ e, por conseguinte, PP ≈φ cos . Assim, para

a figura 1.27, as tensões a uma distancia x do apoio esquerdo, e até meio vão )2/( l x = , numa

dada secção da viga, são dadas por:

W

M M

AP prim

c

++−=σ




32

φ tg xPeP M prim −== . e φ φ

sin2

sin2

21 xP xP

xF

x R M ====

Onde M prim é o momento devido ao pré-esforço e M é o momento devido às cargas exteriores.

Também para ângulos pequenos φ φ tg≈sin e as tensões numa dada secção, são dadas por:

A

Pc −=σ

Como se a peça estivesse sujeita a compressão simples.

L/2L/2

V = 2Psinφ

P

F = V

Psinφ

PcosφφφP

c.g.

Figura 1.27 - Equilíbrio de uma força concentrada através de um traçado composto por dois troços recto [4]

Assim, a carga P = V equilibra o pré-esforço introduzido pelo traçado do cabo. A carga

equivalente a um traçado do cabo é uma carga que só por si provoca um diagrama de

momentos flectores de efeito igual ao cabo, que terá de ser, em proporção, determinado

através da igualdade M prim com M.

Para um traçado parabólico do cabo (fig. 1.28) a carga equivalente será uma carga

uniformemente distribuída, sendo, assim, o valor dessa mesma carga dado por:

2max8

L

Pe=ω

Onde emax representa a excentricidade máxima a meio vão e “L” a distância entre apoios.




33

Deformada

Diagrama de momentos flectores

-Pe

+

-

M

M

+e

-e

L

ω

Psinφ=4Pe /L

Pcosφφ

P

c.g.

cabo parabólico

max

emax

Figura 1.28 - Equilíbrio de uma força uniformemente distribuída através de um traçado composto por um cabo

parabólico [4].

A título de curiosidade e informação genérica serão apresentados seguidamente alguns

exemplos de traçados de cabos em vigas hiperestáticas (fig.1.29).

2. Materiais e equipamento de pré-esforço

Este capítulo refere-se aos materiais e equipamentos utilizados em estruturas de betão pré-esforçado. Para bem do sector da construção, e consequente aumento da qualidade das

estruturas, todos os materiais usados devem ser devidamente homologados e com experiência

de aplicação largamente verificada e reconhecida, pois a qualidade e segurança de uma

estrutura de betão pré-esforçado passa pelos materiais e pela sua boa utilização, respeitando

suas capacidades técnicas, disposições construtivas e legislação aplicável. De referir que estar

homologado não significa que o material é bom ou adequado para todas as situações, apenas

nos diz que o está na sua ficha técnica corresponde ao que realmente estamos a usar/comprar,independentemente dessas características serem boas ou más.




34

5

1

62

3

7

84

5

3

7

84

5

Figura 1.29 - Tipos de cabos de pré-esforço utilizados em vigas continuas: a) Viga continua de dois tramos; b)viga continua de três tramos; 1) cabo parabólico ancorado nas faces laterais da viga; 2) Cabo parabólico

ancorado na face superior da viga; 3) cabo parabólico ancorado dentro da viga através de uma ancoragem

passiva; 4) cabo parabólico, com uma extremidade ancorado na face inferior (pormenor de difícil execução); 5)

ancoragem activa na face lateral; 6) ancoragem activa na face superior; 7) ancoragem passiva na face lateral; 8)

ancoragem activa na face inferior. Os eixos dos cabos são geralmente projectados como associações de parábolas

e trechos rectilíneos [Pfeil, 1984, segundo referência 1 da bibliografia].




35

2.1. Betão

A construção de estruturas pré-esforçadas requer um controle de qualidade do betão muitorigoroso. Deve-se exigir a realização de ensaios prévios, o controle contínuo do cimento e dos

inertes utilizados, bem como a fiscalização constante durante a elaboração do betão.

Normalmente, os betões utilizados em peças pré-esforçadas possuem resistência superior

àquelas das peças de betão armado. Para o betão pré-esforçado, o REBAP, segundo o Artigo

13º, paragrafo 4º, não permite utilização de betões de classe inferior a B30, ou seja os betões

B15, B20 e B25 não podem ser usados. As características gerais do betão estão indicadas no

REBAP (artigos 12º a 20º) [15], muito embora a ENV206 seja a norma em vigor no que aos

betões concerne.

De uma forma simplista, podemos dizer que, normalmente, as resistências à compressão do

betão (1) e (2) usado em estruturas tipo são:

⇒ Moradias de betão armado: 16MPa < f ck < 20Mpa

⇒ Edifícios de betão armado: 20Mpa < f ck < 25Mpa

⇒ Pontões e estruturas especiais em betão armado: 30Mpa < f ck < 35Mpa

⇒ Pontes e estruturas em betão pré-esforçado: 35Mpa < f ck < 40Mpa

Nota: (1) - provetes cúbicos; (2) - provetes cilíndricos

Factores que justificam resistências elevadas [1]:

⇒ A introdução da força de pré-esforço pode causar solicitações prévias muito elevadas,

frequentemente mais elevadas que as correspondentes a uma situação de serviço, inclusive

junto aos pontos de amarração provocando elevadas compressões nas peças com sistemas

das ancoragens;

⇒ O emprego de betão e de aços de alta resistência permite a redução das dimensões das

peças, diminuindo o seu peso próprio e, por conseguinte, viabilizando técnica e

economicamente a execução de estruturas de grande vão;




36

⇒ Os betões de alta resistência possuem, em geral, módulo de elasticidade mais elevado, o

que diminui tanto as deformações imediatas como as que ocorrem ao longo do tempo. Isso

reduz os efeitos da perda de pré-esforço oriundos da retracção e fluência do betão.

Segundo o artigo 17º do REBAP, temos: 3,5,9 jCmCJ f =Ε

E, de facto, através do anexo 1 vem: ( )( )

28,, '

,,

c

ct ccc

t t t t

Ε= Ο

Ο Ο

ϕ σ ε

⇒ Nas peças pré-tensionadas (pré-esforço por aderência) a utilização de betões de alta

resistência permite o desenvolvimento de maiores tensões de aderência. Esta conclusão é

imediata se analisarem as equações do artigo 80.º do REBAP (ver também art. 16.º):

f bd = 0.3 cd f ⇔ aderência normal (f cd em MPa)

f bd = 2.25 f ctd ⇔ alta aderência (f ctd em MPa)

Além de boa resistência, é importante que o betão tenha boas características de compacidade e

baixa permeabilidade, para que tenha protecção suficiente contra a corrosão das armaduras.

Por outro lado, um bom recobrimento das armaduras garante uma boa aderência entre as

mesmas e o betão, sendo que um betão de alta resistência (f ck > 30Mpa), no local das tracções

serve como protector à fixação mecânica. O recobrimento deve ser no mínimo igual a dois

diâmetros (2Ø) do elemento a proteger. Estudos recentes, aconselham a que se aumente o

recobrimento para quatro diâmetros (4Ø), pois garantem um melhor desempenho,

estabilizando as tensões [1,4].

2.2. Aço de pré-esforço

A variedade dos aços é, genericamente, ditada pela sua quantidade em percentagem de

carbono, associada aos elementos de liga que contém e às suas quantidades relativas. Assim,

os tipos de aço são, basicamente:

⇒ O aço macio, cuja percentagem de carbono está entre 0.2% e o 0.3%;

⇒ O aço duro, cujo teor de carbono vai até 1.5%;




37

⇒ O ferro fundido, com percentagens acima desse valor.

As propriedades das armaduras ordinárias são apresentadas no REBAP, nos Artigos 21º a 25º.

O teor de carbono nas armaduras de pré-esforço varia de 0,7 a 0,9% [15].

Os aços usados no betão pré-esforçado caracterizam-se por elevada resistência e pela ausência

de patamar de cedência. Tornam-se, proporcionalmente, sensivelmente mais económicos que

os aços normalmente empregados na construção com betão armado, já que a sua resistência

pode ser, aproximadamente, até três vezes maior. Os aços de alta resistência podem ser

fornecidos também na forma de fios e cabos, evitando-se assim os problemas relacionados

com as emendas da armadura em peças estruturais de grandes vãos. Na construção com betão

armado, estado de tensão inicial nulo no aço, o emprego dos aços de alta resistência é

desaconselhado, pois os alongamentos excessivos provocariam fendas muito abertas. Já no

betão pré-esforçado este problema é evitado através do alongamento prévio da armadura [1],

estado de tensão não nulo das armaduras.

Segundo o REBAP, artigo 26º, os aços de pré-esforço são encontrados nas seguintes formas:

⇒ Fios e associação de fios;

⇒ Varões ou cordões e cordões paralelos (cabos em feixe);

⇒ Associações de cordões dispostos em hélice em torno de um eixo horizontal comum

(cabos ou cordões).

A distinção entre fio e varão esta ligada a possibilidade de fornecimento em rolos e é feita

habitualmente pelo diâmetro de 12 mm [15].

No betão pós-tensionado tem-se optado por usar 7 cordões de Ø 12,7 mm. O cordão de 7

arames de Ø 15,4 mm é menos utilizado, apesar de apresentar grandes vantagens no que diz

respeito ao alojamento dos cabos em peças cujas dimensões não podem ser aumentadas [1].

Quanto às modalidades de tratamento do aço de pré-esforço podem ser:

⇒ Endurecimento a frio por trefilagem ou estiragem;

⇒ Tratamentos térmicos;




38

⇒ Tratamentos mecânicos.

Estes tipos diferentes de tratamento podem ser aplicados num mesmo aço, destinados a

melhorar as suas características elásticas e reduzir as perdas de tensão por relaxação [1].

2.3. Principais propriedades mecânicas dos aços

O módulo de elasticidade médio do aço é, aproximadamente, idêntico para todos os seus tipos

e, em regra, invariável com o tratamento (E p = Es = 200 GPa), para casos sem grande rigor.

Muito embora, deverá ser baseado em determinações experimentais cuidadas, variando de

fornecedor para de fornecedor (com variações entre 165 Gpa e 210 Gpa) [15].

f suk

f syk

f 0 = 0,7 f syk

+10º/oo+2º/oo

E p

Extensões no aço (εs)

Tensões (σs)

aço macio

aço endurecimento a frio

aço de pré-esforço

0

Figura 2.1 - Diagrama característico de vários tipos de aço [2, 4, 15]

A relaxação, que é uma perda de tensão (∆σ pt,r ) no tempo para um estado deformado do aço.

Também para casos sem grande rigor, na ausência de resultados experimentais e para uma

tensão inicial igual a 0,7 da tensão de rotura, os seguintes valores de relaxação a tempo

infinito podem ser usados, em geral [2,15]:




39

⇒ Aços de relaxação normal (15% da tensão inicial);

⇒ Aços de baixa relaxação (6% da tensão inicial);

⇒ Aços de muito baixa relaxação (3% da tensão inicial).

No que trata às relações tensões-extensões de cálculo, estas podem ser caracterizadas pela

figura 2.1.

No Anexo B são incluídos vários tipos de aço à disposição no mercado.

2.4. Corrosão dos aços de pré-esforço

Os factos preocupantes na corrosão dos aços de pré-esforço são, pelo menos, dois:

⇒ Em primeiro lugar, em virtude do diâmetro dos fios ser pequeno;

⇒ Em segundo lugar, porque o aço quando sujeito a elevadas tensões fica mais susceptível á

própria corrosão.

Para os fios de pré-esforço com pequena secção transversal, as depressões causadas pela

corrosão funcionam como mossas, fazendo surgir perigosos picos de tensão em cabos

tensionados.

A chamada corrosão intercristalina sob tensão (stress corrosion), associada ao fenómeno da

fragilidade sob acção do hidrogénio, também conhecido como corrosão catódica sob tensão,

são mais perigosos que a corrosão ordinária.

Estes fenómenos podem ocorrer devido a existência simultânea de humidade, tensões de

tracção e certos produtos químicos, como cloretos, nitratos, sulfetos, sulfatos e alguns ácidos.

Este tipo de corrosão, que não é detectada exteriormente, dá origem a fissuras iniciais de

pequena abertura e pode, depois de um certo tempo, conduzir a uma ruptura frágil, podendo

levar um cabo de pré-esforço ao colapso [1].

Devido à sua sensibilidade à corrosão, os aços de pré-esforço devem ser protegidos contra

esta no fabrico e na fábrica, durante o transporte e na obra, devendo ser armazenados e




40

instalados em lugares cobertos, aquecidos, secos e arejados, para não serem afectados pela

água de condensação. É preciso sempre evitar que os fios fiquem em contacto com o solo ou

com os agentes químicos já mencionados. Também, por ocasião da montagem dos cabos as

bainhas devem estar bem impermeabilizadas [1].

2.5. Bainhas

São normalmente denominados bainhas os tubos dentro dos quais armadura de pré-esforço,

por pós-tensão, deve ser colocada, de forma a deslizar sem atrito e a ficar protegida.

Obviamente que estas bainhas também são indispensáveis para a criação dos ductos a

salvaguardar durante a betonagem, por onde, após o betão endurecido, possam ser inseridos

os cabos com a trajectória de projecto.

As bainhas também são utilizadas no caso do pré-esforço com aderência posterior. Via de

regra, são fabricadas chapas de aço laminadas a frio, com espessura de 0,1 a 0,35 mm ,com

costura helicoidal e ondulações transversais em hélice. Essas ondulações apresentam algumas

vantagens, tais como: [1]

⇒ Conferem rigidez à secção da bainha sem prejudicar a flexibilidade longitudinal,

permitindo curvaturas com raios relativamente pequenos, o que possibilita enrolar cabos

de grande comprimento, que podem ser transportados em rolos.

⇒ Facilitam a utilização de luvas rosqueadas nas emendas.

⇒ Melhoram a aderência entre o betão e a calda de injecção, devido as saliências e

reentrâncias.

Para o pré-esforço sem aderência utilizam-se também as bainhas plásticas lisas. Para que a

injecção da calda de cimento seja bem sucedida são instalados, em pontos estratégicos, tubos

de ar, chamados de respiradouros (ver figura 2.2). Normalmente são utilizados para esse fim

tubos de plástico de polivinil [1].

Para a injecção das bainhas, com calda de cimento, devem ser estabelecidos os locais de

injecção e os respectivos respiradouros. Deve-se dispor os pontos de injecção nos locais mais

baixos e os respiradouros nos pontos mais altos do cabo.




41

Figura 2.2 - Pormenor de uma bainha [1]

2.6. Calda de cimento para a injecção

A calda de cimento para injecção tem como função proporcionar a aderência posterior da

armadura de pré-esforço com o betão e a protecção da armadura contra a corrosão. Ela é umimportante componente de todas as estruturas de betão pré-esforçado com aderência à

posterior.

De acordo com a norma alemã DIN 4227, para betão pré-esforçado, as caldas de injecção de

cimento devem satisfazer as seguintes exigências [1]:

⇒ Dentro do possível, a sedimentação e a retracção devem ser pequenas, devendo ser a

contracção volumétrica no máximo de 2%;

⇒ Deve ter boa fluidez, até a conclusão da injecção;

⇒ Resistência a compressão da ordem de 20 MPa, aos 7 dias, e 30 Mpa, aos 28 dias,

determinada a partir de provetes cilíndricos com Ø = 10cm e h = 12cm;

⇒ Não devem ter aumento de volume devido a temperaturas negativas. Podem-se usar

aditivos para garantir fluidez, desde que obedecidas as normas dos produtos químicos,




42

mas em caso algum usar o cloro, devido à corrosão sob tensão, nem no cimento nem no

aditivo;

⇒ A quantidade de água deve ser tão pequena quanto o possível, definido pela fluidezmínima necessária, usando uma relação de água/cimento = 0,35 a 0,44.

2.7. Equipamentos de aplicação de pré-esforço

Os equipamentos necessários a aplicação são, basicamente, as ancoragens e os macacos

hidráulicos. No Anexo B estarão alguns tipos de ancoragem, assim como alguns tipos de

macacos hidráulicos [6]




43

3. Perdas de tensão

Neste capítulo serão estudados os tipos de perdas de tensão no pré-esforço, sendo também

indicado o processo comum do cálculo dessas perdas ao longo de uma peça. Será ainda

apresentado um exemplo de aplicação no Anexo C.

As perdas de pré-esforços são, de forma quantitativamente importante, fundamentalmente

duas:

⇒ Perdas instantâneas: quando da aplicação do pré-esforço (tempo = 0; t = 0);

⇒ Perdas diferidas: decorrentes do tempo (tempo = infinito; t = ∞).

Contudo, o projecto deve prever, de forma mais completa:

⇒ As perdas da força de pré-esforço em relação ao valor inicial aplicado pelo macaco

hidráulico, ou qualquer outro aparelho tensor, ocorridas antes da transferência do pré-

esforço ao betão (perdas iniciais - durante a aplicação do pré-esforço no tensionamento

dos cabos);

⇒ As perdas durante essa transferência (perdas instantâneas - imediatamente após o

traccionamento dos cabos e com a entrega destas à peça estrutural);

⇒ Ao longo do tempo de vida da estrutura (perdas diferidas - durante a vida da estrutura).

Por simplicidade, as perdas iniciais e as instantâneas muitas vezes surgem contabilizadas em

conjunto, adquirindo a designação das segundas: instantâneas.

De uma forma geral, ainda que sucinta e resumida, nas armaduras de pré-esforço ocorrem as

seguintes perdas de tensão [3]:

⇒ Perdas Iniciais - antes da aplicação do pré-esforço à estrutura de betão, traccionamento

dos cabos, nos sistemas de pré-esforço por pré-tensão, e devidas principalmente a:

→ Atrito nas zonas de ancoragem ou pontos de inflexão de cabos não unidireccionais;




44

→ Relaxação das armaduras desde a idade de aplicação da tensão no aço até à idade da transferência do

pré-esforço para a peça estrutural.

⇒ Quando da aplicação do pré-esforço - Perdas instantâneas

Nos sistemas de pré-tensão:

→ Deformação elástica instantânea do betão;

→ Escorregamento dos cabos ou fios na zona da amarração.

Nos sistemas de pós-tensão:

→ Atrito entre as armaduras e as bainhas;

→ Deformação elástica instantânea do betão;

→ Reentrada de cabos (escorregamento nos dispositivos de amarração- ancoragens).

⇒ Após a aplicação do pré-esforço - Perdas diferidas

Nos dois sistemas de pré-esforço:

→ Fluência do betão;

→ Retracção do betão;

→ Relaxação das armaduras de pré-esforço.

O modelo de cálculo das perdas de pré-esforço é o consignado no Capitulo VI do

Regulamento de Estruturas de Betão Armado, artigos 37º a 43º.

O valor máximo do pré-esforço na origem P0’, não deve ser superior a 0,75 do valor característico da tensão de rotura, f puk , nem exceder 0,85 do valor característico da tensão

limite convencional de proporcionalidade a 0,1%, f p 0,1k , tal como o artigo 36º do REBAP

recomenda para a correspondente tensão na armadura σ po’. A FIP recomenda as seguintes

expressões do Quadro 2.1 [11].

O pré-esforço inicial σ po(x) será obtido da tensão na origem, σ’ po, subtraindo o somatório das

perdas instantâneas )(, xi

i po

∑∆σ , que serão mencionadas em 2.1.2., de acordo com os artigos

de 37º a 39º do REBAP. Sendo assim, vem:




45

)()( , x xi

i poo p po ∑∆−= ′ σ σ σ

Quadro 2.1- Valores máximos do pré-esforço na origem [11].

Transferências de tensão Tensão na armadura

Durante aplicação do pré-esforço

k po p

puk o p

f

f

1,090,0

80,0

≤

≤

′

′

σ

σ

Depois aplicação do pré-esforço

k po p

puk o p

f

f

1,085,0

75,0

≤

≤

′

′

σ

σ

σ pf puk

f po.1k

0.1% = 1*10-3 ε p

= 200 GPa

Figura 2.1 - Diagrama de limites de tensão/extensão [3]

No Anexo C ilustra-se um exemplo da variação de tensão na secção de origem e numa secção

a uma distância x da origem para um sistema de pós-tensão.

3.1. Perdas iniciais de pré-esforço

Mais especificamente, consideram-se iniciais as perdas ocorridas durante o puxe dos cabos de

pré-esforço, antes da libertação do dispositivo de tracção, decorrentes de:




46

⇒ Atrito nos pontos de desvio da armadura poligonal, cuja avaliação deve ser feita

experimentalmente, em função do tipo de aparelho de desvio empregado;

⇒ Escorregamento dos fios na ancoragem, cuja determinação deve ser experimental oudevem ser adoptados os valores indicados pelo fabricante dos dispositivos de ancoragem;

⇒ Por relaxação inicial da armadura, função do tempo decorrido entre o alongamento da

armadura e a libertação do dispositivo de tracção;

⇒ Por retracção inicial do betão, considerado o tempo decorrido entre a betonagem do

elemento estrutural e a liberação do dispositivo de tracção.

A avaliação das perdas iniciais deve considerar os efeitos provocados pela temperatura,

quando o betão for curado termicamente [1].

3.2. Perdas instantâneas de pré-esforço

Caso de Pré-Tensão

A variação da força de pré-esforço em elementos estruturais com pré-tensão, por ocasião da

aplicação do pré-esforço ao betão, e em razão do seu encurtamento, deve ser calculada em

regime elástico, considerando-se a deformação da secção homogeneizada. O módulo de

elasticidade do betão a considerar é o correspondente à data de pré-esforço, corrigido, se

houver cura térmica.

Caso de Pós-Tensão

Para os sistemas usuais de pré-esforço, as perdas instantâneas são as devidas a deformação

(contracção) instantânea do betão, ao atrito entre as armaduras e as bainhas ou o betão, a

reentrada de cabos (escorregamento da armadura junto à ancoragem e à acomodação dos

dispositivos de ancoragem), como detalhado de 2.2.1 a 2.2.3.

3.2.1. Perdas por deformação instantânea do betão

O processo de quantificação das perdas por contracção elástica, para cada uma das técnicas de

pré-esforço, tem muitas semelhanças.




47

Betão pré-tensionado

A equação que quantifica as perdas de pré-esforço causadas pela contracção elástica do betão

obtém-se directamente pela lei de Hooke (ε = σ / E), do que:

∆σ po,e (x) = ( ) xc

jc

σ ,Ε

Ε− Ρ

Sendo:

∆σ po,e(x) - perdas de tensão nas armaduras devidas à deformação instantânea do betão na secção x.

E p - módulo de elasticidade da armadura de pré-esforço (E p ≈ Es).

Ec,j - módulo de elasticidade do betão na idade em que é aplicado o pré-esforço.

σc(x) - tensões de compressão (negativa) no betão, na secção x, calculado ao nível do centro mecânico

da armadura de pré-esforço, resultante do pré-esforço aplicado e de outras acções permanentes

actuantes.

Esta equação é apresentada no Art.38º do REBAP.

Betão pós-tensionado

Nos elementos estruturais com pós-tensão o pré-esforço sucessivo de cada um dos “n” cabos

provoca uma deformação imediata do betão e, consequentemente, afrouxamento dos cabos

anteriormente pré-esforçados. As perdas de tensão em cada armadura que resultam das

deformações instantâneas do betão devidas à aplicação do pré-esforço nas armaduras vizinhas

pode estimar-se considerando uma perda média, afectando cada uma das armaduras, a perda

média de pré-esforço, por cabo, pode ser calculada pela expressão [15]:

)(1

2

1)(

,, x

E

n

n x c

jc

p

e po σ σ Ε

−−=∆

Em que:

n - representa o número de cabos, para 1 cabo não há perdas deste tipo, uma vez que o pré-esforço já se

encontra na secção de betão e a leitura do valor de carga de pré-esforço já inclui o encurtamento da peça

de betão.




48

E p - em GPa representa o módulo de elasticidade da armadura de pré-esforço;

Ec,j - representa o módulo de elasticidade do betão à data da aplicação do pré-esforço;

σc(x) - representa a tensão de compressão no betão, na secção x, calculada ao nível do centro mecânico

(na secção x) da armadura de pré-esforço, resultante do pré-esforço aplicado e de outras acções

permanentes actuantes;

O cálculo do módulo de elasticidade do betão, à data de aplicação do pré-esforço, de acordo

com o artigo 17º do REBAP, é o valor médio do modulo de elasticidade do betão aos j dias de

idade (Ec,j), podendo ser estimado a partir do valor médio da tensão de rotura à mesma idade

(f cm,j), pela expressão:

3,5,9 jCmCJ f =Ε

Cujos valores são referidos a provetes cilíndricos. A variação da tensão de rotura com a idade

do betão, relativamente a tensão de rotura aos 28 dias, pode ser determinada tendo em conta

os valores do coeficiente de endurecimento indicado no artigo 15º do mesmo regulamento

[15].

3.2.2. Perdas por atrito

Nos elementos estruturais existe atrito entre as paredes das bainhas e os cabos de pré-esforço

durante a sua aplicação. A força instalada num cabo de pré-esforço após perdas de atrito ao

longo do cabo, é dada pela expressão:

)(0)( xk e xP xP +−′= β µ

Onde:

x - representa a distancia da secção considerada à extremidade de aplicação do pré-esforço;

P0’ - representa o valor da força de pré-esforço aplicada (força de puxe);

µ - representa o coeficiente de atrito em curva entre o cabo de pré-esforço e a bainha.

β - representa a soma dos valores absolutos, em radianos, dos ângulos de desvio do traçado do cabo ao

longo da distancia x;




49

K - representa o coeficiente de atrito em recta (produto do desvio angular parasita pelo coeficiente de

atrito em curva), sendo adoptado segundo o REBAP o valor de k = 0,01 m -1 (na falta de dados

experimentais pode ser adoptado esse valor).

Podem ser adoptados os parâmetros propostos pelo REBAP, art.º 37, isto se não houver dados

experimentais, que são os seguintes:

Quadro 2.2- Coeficientes de atrito em curva e recta.

Determinação do ângulo de desvio

Para a determinação dos sucessivos ângulos de desvio do cabo temos que conhecer o seu

traçado.

Siga-se, a título de exemplo, o esquema apresentado na fig. 2.2. A soma dos sucessivos

ângulos será, no caso:

∑ +⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =∆+∆==

2

2

1

1 22221

l

f

l

f Bc α α α

Sabendo que β = ∑ | αi |, e reformulado as expressão da força de pré-esforço P(x) para as

perdas totais de tensão por atrito, já adicionando o desvio angular parasita (k), função linear da distancia a origem (x), devido à imperfeição no posicionamento das bainhas.

K = 0,01

µ = 0,5 Armaduras colocadas em condutas de betão (sem bainha)

µ = 0,3 Cabos em feixe (constituídos por fios ou cordões) em bainhas metálicas

µ = 0,25 Para cordões ou fios isolados em bainhas metálicas

µ = µ ×0,9 Para o caso de as bainhas serem lubrificadas com óleo




50

No caso de µ (β + kx) ≤ 0.2 vem:

( ){ } ( )[ ]kxe x po

xk

po fr po +≅−=∆ +− β µ σ σ σ β µ

'', 1)(

f 2

2f

2

2∆αB

∆α

l 2

C

1l

1f

1l

1

1f ∆α

A

parábola do 2º

grau

Figura 2.2 - Ângulo de desvio [3]

Ainda, se o cabo apresentar dois desvios angulares, α em planta e θ em alçado, o desvio total

é:

β = α + θ

Quando as perdas por atrito são muito grandes a FIP recomenda a utilização de ancoragens

activas nas duas extremidades.

3.2.3. Perdas por reentrada de cabos

Segundo o artigo 39º do REBAP, estas perdas devem ser determinadas experimentalmente ou

adoptados os valores indicados pelos fabricantes dos dispositivos de ancoragem. O cálculo

destas perdas de tensão deve, em princípio, ser realizado para cada cabo individualmente [15].

Por exemplo, durante a fixação dos cordões de pré-esforço à ancoragem, as cunhas reentram 1

a 12 mm dando origem a uma perda de tensão que é máxima na extremidade do puxe do cabo

e decresce, devido ao atrito, para o interior do elemento, podendo mesmo anular-se a partir de

uma determinada distancia da extremidade, conforme ilustra a figura 2.3. É razoável admitir

uma perda de atrito por unidade de comprimento igual nas duas direcções [3].




51

W

∆P

P

α

simetria devido a perda de atrito ser no sentidoinverso (hipotese simplificativa)x

α

Figura 2.3 - Perda de carga devida a reentrada de cabos [3]

Considerando ρ uma perda de atrito linear por unidade de comprimento, calculada no troço w,

esta será dada por:

x

PP x−= ′0 ρ

Pelo que a perda na ancoragem é dada por:

∆P = 2ρ w

A distância da extremidade (w) a partir da qual as perdas por reentrada de cabos se anulam

pode obter-se pela expressão:

ρ

pspc E lw

×∆×∆=

O comprimento no qual se vai sentir o efeito desta perda vai depender do traçado do cabo e do

valor da reentrada de cabos ∆lc. Este valor é fornecido pelo fabricante do sistema (usualmente

≈ 6mm) e verificado posteriormente em obra.

spssps

w

sps

w

sp

pw

cwwdx

w x

edxdxl

ΑΕ=

ΑΕ∆Ρ=×

Α∆Ρ=

Ε∆=∆=∆ ∫∫∫

2

000 2 ρ σ ε




52

3.3. Perdas diferidas

Os valores parciais e totais das perdas progressivas de pré-esforço (decorrentes da retracção,

da fluência do betão e da relaxação do aço de pré-esforço) devem ser determinados

considerando-se a interacção dessas causas, podendo ser utilizados os processos indicados de

2.31 a 2.3.3. Nesses processos admite-se que exista aderência entre a armadura e o betão e

que o elemento estrutural permaneça no estado em serviço.

3.3.1. Fluência

O betão, ao nível dos cabos de pré-esforço, está sujeito a compressão para as acções quase

permanentes. O efeito da fluência provoca um encurtamento diferido da peça comprimida,

produzindo uma perda de tensão na armadura. Assim, devido aos efeitos de fluência ter-se-á

um aumento de deformação dado por [4]:

ccε ( )ot t , =0,t cσ

( )

28,

,

c

tot c

Ε

ϕ

No Anexo 1 do REBAP estão indicados os significados dos parâmetros envolvidos e a sua

quantificação para a determinação dos valores ccε ( )tot , e σ c ( )ot c, , representando, este

último, a tensão do betão ao nível da armadura de pré-esforço devida à acção do pré-esforço

(após perdas instantâneas) e a acção das cargas permanentes. Nesta equação a tensão 0, t cσ é

supostamente constante (no mesmo anexo do REBAP é também considerado o caso de tensão

cσ ser variável). Na hipótese de se considerar constante a tensão no betão ao nível das

armaduras, a variação de deformação do betão (encurtamento) devido à fluência produz uma

perda de tensão na armadura de pré-esforço dada por:

∆σ c pt , = - E sp ccε = -28,c

ocsp t

Ε

Ε σ ϕ ( )ot t , = - αϕ ( )ot t , σ

0,t c

Ou, mais simplesmente:

28,

,c

ccsp

c pt

E

E ϕ σ σ

××=∆




53

Os parâmetros que definem são quantificados no anexo I do REBAP.

Onde representa ϕ ( )ot t , (ou φc) representa o coeficiente de fluência do betão e pode ser

obtido no Anexo 1 do REBAP.

No Anexo C também se encontram quadros com os coeficientes de fluência do betão, a

expressão para fluência sob tensão variável, assim como os significados dos parâmetros

envolvidos.

3.3.2. Retracção

A retracção do betão é um fenómeno de encurtamento que se dá ao longo do tempo e érepresentada por csε ( )ot t , [4]. Este fenómeno traduz-se por um diminuição do comprimento

da peça que provocará uma perda de tensão nos cabos de pré-esforço, dada por:

),( 0, t t E cssps pt ε σ ×−=∆

Onde csε ( )ot t , representa a extensão devida à retracção livre do betão.

O REBAP, no seu ANEXO I, indica o procedimento a ter na determinação do valor csε ( )ot t ,

que faz depender da idade, humidade relativa a espessura equivalente.

3.3.3. Relaxação do aço

As armaduras de pré-esforço, quando tensionadas a níveis superiores a 0,5 de tensão de

rotura, exibem um fenómeno diferido caracterizado pela perda de tensão (sob deformaçãoaproximadamente constante), designado por relaxação.

De acordo com o REBAP, e como se viu, os aços são classificados em:

⇒ Aços de relaxação normal, se para uma tensão inicial de σ’ po = 0,7 f puk a perda de tensão

a tempo infinito ∆ σ pt r .

não excede 15%.




54

⇒ Aços de baixa relaxação, se para uma tensão inicial de σ’ po = 0,7 f puk a perda de tensão a

tempo infinito não excede 6%.

A obtenção de valores experimentais faz-se, em geral, em ensaios de relaxação às 1000 horas

(t 1 ). Para obter o valor da relaxação ao fim de outro intervalo de tempo (t 2 ) pode admitir-se

a relação:

0.70.5

pt,r (∆σ )

Perdas de tensão

σ´ poσ´ po

Τensãoinicial

obtido exper.

Figura 2.4. Variação do valor da relaxação com a tensão instalada [3]

horast comt

t se

r t p

r t p 1002,0 22

1

,2,

,1, > ⎯→ ⎯ ≅⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

∆

∆ β

σ

σ β

Para ter em conta que a tensão no cabo de pré-esforço não é constante ao longo do tempo

devido às perdas diferidas (fluência, retracção e relaxação), o REBAP indica que esta perda

deve ser calculada para uma tensão inicial dada por:

)(3,0)()( , x x x r cs pt g po p +++ ∆−= σ σ σ

Em que:

)( xg po+σ - representa a tensão ao nível da armadura de pré-esforço na secção χ

devida ao pré-esforço inicial e às acções permanentes;

)(, xr cs pt ++σ - é o valor da perda diferida total (aproximado).




55

Uma vez que )(, xr cs pt ++σ não é conhecido, a equação só pode ser resolvida de forma exacta

por um processo iterativo. Começando por atribuir, normalmente um valor de ± 10%.

No Anexo C será exemplificado a aplicação deste procedimento.

3.4. Processo simplificado para o caso de fases únicas de operação

Este caso é aplicável quando são satisfeitas as condições seguintes [15]:

a) A betonagem do elemento estrutural, bem como a pré-esforço, são executadas, cada uma delas, em

fases suficientemente próximas para que se desprezem os efeitos recíprocos de uma fase sobre a outra;

b) Os cabos possuem entre si afastamentos suficientemente pequenos em relação à altura da secção do

elemento estrutural, de modo que seus efeitos possam ser supostos equivalentes ao de um único cabo,

com secção transversal de área igual à soma das áreas das secções dos cabos componentes, situado na

posição da resultante dos esforços neles actuantes (cabo resultante).

Nesse caso, admite-se que no tempo t as perdas diferidas do betão e do aço de pré-esforço, na

posição do cabo resultante, sejam dadas, segundo o artigo 42º do REBAP, pela seguinte

expressão:

[ ]

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

∆−++=∆ −

++

2

),(1

)(

)(1

)()()(),(),()(

0,

,,,,00,

t t

x

x

x x xt t E t t x

c

po

poc

r tot p pocgcc pcs

r cs pt ϕ

σ

σ α

σ σ σ αϕ ε σ

Onde:

t0 - representa a idade do betão à data do pré-esforço;

t - representa a data do betão em que se pretende determinar as perdas de pré-esforço;

),( 0t t csε - representa a extensão devida à retracção livre do betão entre as idades t0,t (sinal negativo

para encurtamento);

α - representa o coeficiente de homogeneização aço/betão, considerando os valores do módulo de

elasticidade do betão aos 28 dias.

φc(t,t0) - representa o coeficiente de fluência na idade t, correspondente à aplicação da tensão na idade t0




56

σc,po+g(x) - representa a tensão (sinal negativo para a compressão) no betão ao nível do centro mecânico

(na secção x) da armadura de pré-esforço devida ao pré-esforço inicial e as cargas permanentes;

σ po(x) - representa a tensão na armadura de pré-esforço na secção x, devida ao pré-esforço inicial;

∆σ p,t-to,r (x) - representa a perda de tensão na armadura de pré-esforço ao nível do centro mecânico (na

secção x), devida à relaxação.

Os termos presentes no numerador são os anteriormente indicados para o cálculo das perdas

mencionadas. O denominador tem em conta a influência da área da armadura de pré-esforço

no comportamento ao longo do tempo da secção. Este efeito é, em geral, de uma reduzida

importância [3].

Os valores, tendo em conta o ambiente e humidade do betão, para a extensão de retracção do

betão e coeficientes de fluência, estão os indicados no quadro 1 do Anexo C, referentes ao

artigo 42º do REBAP.

Concluindo o périplo iniciado em 2.2.1. o pré-esforço final, é (segundo o artigo 43º do

REBAP) obtido pela tensão devida ao pré-esforço inicial )( xo pσ , subtraindo-lhe as perdas

diferidas a tempo infinito, acima calculadas, e de acordo com o artigo 42º do REBAP. Sendo

assim a expressão é:

)()()( , x x x r cs po p p ++∞∞ ∆−= σ σ σ

3.5. Determinação do alongamento teórico dos cabos

O alongamento teórico dos cabos de pré-esforço determina-se tendo por base o diagrama de

tensões do mesmo, após perdas por atrito, que se indica esquematicamente (fig. 2.5), visto

que:

dx E

dx L

L L

p ∫∫ ==∆00

σ ε , ou: ∆

ΡΕ Α

ΡΕ Α

L dx L

s sp

L

m

s sp

= =⋅

∫0

Deste modo o alongamento teórico dos cabos é: p

atritoapós

E

L L

2/)(0 σ σ +≈∆




57

(MPa)

(m)0

L

L

σ'0

o

x

σ(x)dx

σaa(L)

Figura 2.5 - Variação da força de pré-esforço ao longo de uma peça após perdas por atrito [3]

O controlo do alongamento do cabo é fundamental porquanto constituí a única forma (nas

situações correntes) de verificar em obra o nível de perdas de tensão instaladas, ou seja, a

variação de tensão nos cabos ao longo da viga.

Ilustra-se, esquematicamente e para efeitos comparativos, os efeitos das perdas de tensão em

pré-esforço pré e pós-tensão com aderência [3] (fig. 2.6 e 2.7).

po 1∆σ

ptσ (x = 0)

∆σ

po 2∆σ

po 2∆σ

secção x = 0(ancoragem)

( Deformação instantãnea do betão)

(Escorregamento na ancoragem)

(fluência, retracçãoe relaxação)

Tempo

secção x(x)

ptσ

t

atrito(x)∆σ

o∆P

(x)

(x = 0)

oo

t = 0Aplicação do pré-esforço

nos restantes cabos

(x)∆ P

o

moP

oP ∆- P

oP

o(x)P

(x)mo

P

p

P

oo

Figura 2.6 - Perdas de tensão no sistema de pós-tensão com aderência [3]




58

to

σ po, max

<= 0.75 f

o∆P (x)

< = 0.85 f po,1k

po ptk

σ

t = t

oP

Pmo

Tempo

(x)

oo

t = 0

(x)∆P

(transferência do pré-esforço para a peça estrutural)

(colocação emtensão daarmadura)

Betonagem e endurecimento do betão

pt∆ σ (fluência, retracção e relaxação

∆σ (deformação instantânea do betão)

Transferência do pré-esforço para a estrutura

∆ (relaxação das armaduras)

∆σ (atrito nas ancoragens) po 1

po 2

pt 1

Pmo

(x)

po,1k

ptk <= 0.80 f

< = 0.90 f

Figura 2.7 - Perdas de tensão no sistema de pré-tensão [3]




59

4. ANÁLISE DE SECÇÕES

4.1. Hipóteses Básicas

Neste capítulo serão estudados apenas os casos do betão pré - tensionado e pós - tensionado

com aderência. Por conseguinte, uma das hipóteses básicas a admitir é a hipótese de uma

ligação perfeita entre os materiais (betão, aço corrente e aço de pré - esforço), isto é,

considera-se uma aderência total, ao betão, tanto do aço normal como do aço de pré-esforço.

Admite-se que as deformações das secções são planas. Para a pós-tensão, esta hipótese só éválida após a operação de pré-esforço e consequente injecção da calda de cimento ter sido

feita e, além disso, essa calda de cimento ter resistência necessária para garantir a aderência

entre o aço de pré-esforço e o betão. Após essa aderência ter sido garantida, pode

simplificadamente considera-se que secções planas se mantêm planas quando são aplicadas

acções à estrutura [2, 4].

A operação de pré-esforço faz introduzir extensões nos cabos de pré-esforço que são

diferentes das extensões no betão ao mesmo nível. Após a aderência, as diferenças de tensão

desenvolvidas pela operação de pré-esforço entre o aço e o betão ao mesmo nível

permanecem constantes, por força da hipótese anterior que considera a deformação plana das

secções.

As relações tensões-extensões dos materiais são as consideradas no REBAP. No caso de

cálculo linear elástico, considera-se que o betão se comporta segundo a lei de Hooke. No

cálculo em fase fendilhada, ou no cálculo não-linear material, despreza-se a resistência do

betão à tracção.

Em qualquer secção deve existir equilíbrio estático entre as resultantes das tensões internas

(no aço e no betão) e os esforços de flexão e axiais aplicados externamente à secção [4].




60

4.2. Análise elástica em fase não fendilhada

A análise linear elástica de uma secção de betão pré-esforçado, em fase não fendilhada, pode

ser feita em casos de tensões baixas (por exemplo, para a viga sujeita ao peso próprio). No

Capítulo I foi já descrito este tipo de análise. As tensões no betão são dadas por:

b+y

t-y

cg

e

A - Área

I - Momento inercia W - Módulo de flexão

Figura 4.1 - Nomenclatura para a secção [4]

t t

ct t ct t c

t V I

M V

I

eP

A

P

V I

M

V I

eP

A

P

W

M

W

eP

A

P f +

×−−=+

×−−=+

×−−=

//

bbc

bW

M

W

eP

A

P f +

×−−=

Onde “P” é a força de pré-esforço, “e” é a excentricidade (positiva para baixo do eixo neutro),

“M” é o momento exterior aplicado à secção, “Wt” e “W b” são os módulos de flexão para a

fibra do topo (superior) e da fibra da base (inferior) da secção, respectivamente, e f t e f b são as

tensões no betão na fibra de topo (superior) e na fibra da base (inferior) da secção,

respectivamente. Mantendo a orientação de eixos já definida nos capítulos anteriores, o valor de Wi é positivo e o valor de Ws é negativo. As equações 4.1 e 4.2 consideram as

compressões negativas. A área de betão, “Ac”, pode ser considerada, simplificadamente, como

a área de toda a secção transversal (sem descontar a área de aço).

De reparar que:

t t c

t W

M

W

eP

A

P f −

×+−=




61

bbc

bW

M

W

eP

A

P f +

×−−=

Ou seja, se não tivéssemos em conta a convenção de sinais para o sentido positivo e negativode y b e yt (distância do Centro de Gravidade da secção à sua fibra extrema de topo e de base,

ou seja, superior e inferior da secção) ficaria mais claro a contribuição de cada efeito (pré-

esforço, excentricidade e carga) tem na resultante em compressão ou tracção nessas fibras da

secção.

4.3. Análise elástica em Fase Fendilhada

Neste caso as tensões (σ) e extensões (ε) podem ser representadas, esquematicamente,

conforme a figura 4.2. [4].

sAAp

e.n.

σσ

s

p

G

b

dpdh

y

ε

ctε

X=Kd

0dp

= fctσ t

d h

Figura 4.2 - Secção em fase fendilhada [4]

As equações de equilíbrio para a análise elástica em Fase Fendilhada estão apresentadas no

quadro 4.1.

Note-se que as equações do Quadro 4.1 definem um sistema não linear a duas incógnitas (por

exemplo, “1/r” e “x”). O problema pode ser resolvido iterativamente arbitrando um valor

“1/r”, calculando posteriormente “x” pela Equação a) e M pela equação b). Sendo o valor de

M incorrecto, arbitra-se um novo valor para “1/r” e repete-se o ciclo. Quando se obtiver um

valor de M aproximadamente correcto a solução é a correspondente aos últimos valores de“1/r” e “x” [4].




62

Quadro 4.1 - Equações fundamentais em análise elástica para Fase Fendilhada [2, 4].

Considerando-se a armadura de pré-esforço ao mesmo nível da armadura ordinária, o cálculo

das tensões pode ser expresso na forma:

2bd

M C Scc −=σ

Equações para Fase Fendilhada Eq.

N= ∫Ασ da = bxct 22

1σ + SS Ασ + ΡΡ Ασ a)

Condições de

equilíbrio

( ) =Α= ∫Αd y M

nene

..,.. σ

( ) ( ) xd xd xbx M SSct ne −Α+−Α+×−= ΡΡΡσ σ σ 3

2

2

1.

b)

xr

ct ε −=

1 c)

Equações

Compatibilida

de ( )G y xr

−−= 10ε d)

000 ≥ ⎯→ ⎯ =∀< ⎯→ ⎯ Ε= c

se

cc

se

ccc ε σ ε ε σ e)

sys

quando

ssS ε ε ε σ < ⎯ ⎯ → ⎯ Ε= f)Relações

constitutivas

py p

quando p p p ε ε ε σ < ⎯ ⎯ → ⎯ Ε= g)




63

2bd

M C S

ss α σ =

Onde C C e SC são os coeficientes e S M é o momento ao nível das armaduras. (figura 4.2).

yg

b N

A + A psA p

As

d cg

N Md

es

N M = N.e ss

Figura 4.2 - Momento ao nível das armaduras [4]

( )GSS yd N M Ne M −+==

( )GS yd N

M e −+=

Os valores de C C e SC podem ser obtidos de tabelas para esse fim (Appleton, Câmara,

Augusto Soares, I.S.T). Podem também ser determinados através de pequenos programas de

cálculo automático, à semelhança do que se passa para a flexão composta.

4.4. Resistência última da secção em análise não linear.

Para o cálculo da resistência última da secção devem utilizar-se os diagramas descritos acima.

Em geral, a simplificação do diagrama parábola-rectângulo, representado na figura 4.5,

conduz a resultados muito semelhantes e traduz a uma simplificação de cálculo [4].

Na verdade, quando os níveis de tensão nas secções são elevados, o cálculo elástico não é

correcto, dado os materiais não terem um comportamento elástico perfeito: o aço entra em

cedência e o betão apresenta um comportamento não linear que é modelado no REBAP por

um diagrama parábola-rectângulo. O cálculo das tensões na secção deve, pois, ser feito

considerando os diagramas tensões-extensões apresentadas no REBAP para os diferentes

tipos de materiais que compõe essa secção [10].




64

As equações a obedecer são as equações a) a d) descritas atrás em “4.2. Análise linear em fase

fendilhada”.

x x0.8 x

0.85f cd 0.85f cd

1 - Diagrama parábola-rectângulo

2 - Diagramarectângular

Figura 4.5 - Diagrama rectangular correspondente ao diagrama parábola-rectângulo.




65

5. Dimensionamento do pré-esforço em vigas isostáticas

Neste capítulo serão tratados de forma sucinta os aspectos mais importantes do

dimensionamento de vigas isostáticas de betão pré-esforçado, apresentando de forma

resumida todos os passos do dimensionamento.

No processo de dimensionamento é comum usar uma abordagem iterativa até se certificar que

as tensões em todas as secções da estrutura são satisfatórias sob as combinações de acções

possíveis.

Para projectar uma viga de betão pré-esforçado é necessário definir as propriedades dos

materiais e determinar as dimensões da secção transversal, o traçado do cabo, a força de pré-

esforço, a quantidade de armadura a ser utilizada e os detalhes sobre a sua colocação no

elemento. O objectivo do dimensionamento consiste em garantir que os limites de tensões vão

ser cumpridos, as peças apresentam características de resistência e de durabilidade adequadas.

É prática corrente proceder ao dimensionamento com base nas cargas de serviço (E.L. de

Utilização) analisando as tensões na secção em fase elástica [2]. A lógica parte da ideia de que

a função principal do pré-esforço consiste em melhorar o comportamento em serviço dos

elementos estruturais.

No desenvolvimento das equações para a distribuição de tensões na secção em fase elástica,

os efeitos [2]:

⇒ Da força de pré-esforço, P0;

⇒ Do momento devido ao peso próprio (e outras acções permanentes mobilizáveis aquando

do tensionamento dos cabos), Mg;

⇒ E do momento das outras acções a aplicar, Mq.

Serão calculados em separado e as tensões resultantes serão sobrepostas.




66

5.1. Equações Limites de Tensão

A distribuição de tensões numa secção de betão pré-esforçado, ao longo da altura da secção é

dada por:

W

M

W

eP

A

P y

I

M y

I

eP

A

Pc +

×−−=+

×−−=σ (5.1)

.

A - área da secção

I - inercia da secção

fibrasuperior

fibrainferior

e>0y(+)

x

y1

y2

G

Figura 5.1 Convenções aplicadas

Onde P é a força de pré-esforço e M o momento aplicado, os sinais usados servem para

indicar que (+) corresponde à tracção e (-) corresponde à compressão, conforme convenção da

figura 5.1.

Os limites de tensões máximas, para compressão nas fibras inferiores e para tracção nas fibras

superiores, são:

⇒ a) Verificar as inequações para t = t0 (instante de aplicação do pré-esforço)

000000

0 cd

g

ct f y I

M y

I

eP

A

P f ≥+

××−

×−≥

η η (5.2)

Com:

f cto - corresponde ao valor máximo da tensão de tracção a que o betão resiste no instante t0;

f cdo - corresponde ao valor máximo de tensão de compressão (negativa) a que o betão resiste no instante

t0 ( valor de cálculo);




67

P0 - corresponde ao valor de pré-esforço na origem (sem perdas);

η0 - corresponde ao coeficiente de perdas instantâneas (η0 P0 define o valor do pré-esforço útil

instantâneo na secção em estudo);

Mgo - corresponde ao valor do momento associado às cargas existentes na altura da aplicação do pré-

esforço.

Os valores de y devem tomar os valores de y1 e y2 correspondentes às fibras inferiores e

superiores da secção, respectivamente.

As inequações 5.2 dividem-se em 4 inequações simples, correspondentes a limitar as fibras

inferior e superiormente de modo a estarem compreendidas entre os valores extremos detensões, f cto e f cdo (ver fig. 5.2).

⇒ b) Verificar as inequações para: t = t∞ (a longo prazo)

cd

q

ct f y I

M y

I

eP

A

P f ≥+−−≥

.00η η

(5.3)

Onde:

f ct e f cd - correspondem as tensões aos 28 dias de idade (Nota: f ct = 0 segundo o REBAP - Artigo 69º).

η - coeficiente de perdas totais, incluindo perdas instantâneas (ηP0 define o valor do pré-esforço útil da

secção a tempo infinito);

Mq - valor do momento flector associado às combinações de acções regulamentares (por exemplo,

acções quase permanentes). Nota: ⎜Mq ⎜≥ ⎜Mgo ⎜.

f c t o ( + ) f c d o ( - )

σ

Figura 5.2.- Representação gráfica dos limites de tensões [4]




68

As inequações, 5.3 dividem-se em 4 inequações simples, correspondentes a limitar as fibras

inferior e superiormente de modo a estarem compreendidas entre os valores extremos de

tensões, f ct e f cd, agora para tempo infinito [4].

Atendendo à variação do diagrama de tensões (Figura 5.3) as 8 condições, para t = t 0 e para t

= t∞, função de f ct e f cd, podem ser reduzidas a 4 condições. Sabendo que P = η0×P0 e M =

Mgo, então vem:

Diagrama 1 - representa as tensões no betão pré-esforçado, segundo a equação 5.1.

W

M

W

eP

A

Pc +

×−−=σ

Diagrama 2 - representa o novo valor das tensões, mantendo o momento constante e

considerando perdas diferidas o valor de P diminuía (P = η×P0), segundo as inequações 5.2.

Diagrama 3 - representa o valor final das tensões para (t = t∞), dado que o valor do momento

considerado aumenta (M = Mg > Mgo), segundo as inequações 5.3.

fibra superior

fibra inferior

0

centro de gravidadeda secção

compressões (-)tracções (+)

3 2 1

Figura 5.3 - Variação das tensões em secção de momentos positivos e excentricidade máxima da armadura de

pré-esforço [4].

Do diagrama de tensões da Figura 5.3, conclui-se que [4]:

⇒ Algumas das 8 condições resultantes da aplicação das inequações 5.2 e 5.3, para as fibras

externas, não são imprescindíveis.




69

⇒ Para a situação representada por 1 (t = t0) as tensões na fibra superior (y2) devem ser

inferiores à tensão máxima de tracção do betão. As tensões na fibra inferior (y1) devem ser

superiores à tensão máxima negativa de compressão do betão.

⇒ Para a situação representada por 3 (t = t∞) as tensões na fibra superior (y2) devem ser

superiores à tensão máxima negativa de compressão do betão. As tensões na fibra inferior

(y1) devem ser inferiores à tensão máxima de tracção do betão.

As limitações impostas às secções de betão pré-esforçado serão definidas pelas seguintes

inequações [4]:

⇒ 020

20000 .

t c

g f y

I

M y

I

eP

A

P≥+−− η η

(5.4)

⇒ 011000 .

d c

q f y

I

M y

I

eP

A

P≥+−−

η η (5.5)

⇒ ScGrarasscombinaçõe f y I

M y

I

eP

A

Pd c

g + ⎯→ ⎯ ≥+−− 20

200 .η η

(5.6)

⇒ ScG freqquasecomb f y I

M y

I

eP

A

Pt c

q

21100 ...

ψ η η

+ ⎯→ ⎯ ≥+−− (5.7)

Sejam:

⇒ 10 < ⎯ ⎯ → ⎯ = R R paraη η (5.8)

E os módulos de flexão definidos de forma:

⇒ 2 y

I W t = (nas fibras superiores) (5.9)

⇒ 1 y

I W b = (nas fibras inferiores) (5.10)

Multiplicando a inequação 5.4 por -R (embora primeiro tenhamos que a colocar em condição

de poder ser somada de ≤ para ≥, ou seja multiplicá-la por -1 ) e somando à inequação 5.6obtemos:




70

⇒ 000000

0 t ccdt

t

q

t t

g

t

f R f W

M

W

eP

A

P

W

M R

W

eP R

A

P R −≥+−−++

η η

η η (5.11)

Simplificando e resolvida em ordem a Wt, vem:

⇒ cd ct

gq

t f f R

M R M W

−

−−≤

0

0 (5.12)

Um tratamento análogo às inequações 5.5 e 5.7 conduziria a:

⇒ 0

0

cd ct

gq

b f R f

M R M W

−−−+≥ (5.13)

5.2. Dimensionamento da força de Pré-esforço

Reescrevendo as inequações 5.4 a 5.7 em ordem a força de pré-esforço, e supondo que a

geometria da secção está perfeitamente definida e que a excentricidade é conhecida, a

inequação 5.4 fornece as seguintes condições:

⇒ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ≥+

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

+−≤ 0

0

000 e

A

W quando

e A

W

M f W P t

t

gct t

η

(5.14.a)

⇒ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ≤+

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

+−≥ 0

0

000 e

A

W quando

e A

W

M f W P t

t

gcd t

η

(5.14.b)

Nota: a inequação 5.14 b) é sempre verificada uma vez que, depois de substituídos os

símbolos pelos seus valores, se obtém, sempre, a condição: Po ≥ (número negativo).

A inequação 5.5 resulta em:

⇒

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +

+−≤

e AW

M f W P

b

gcd b

0

000

η

(5.15)




71

A inequação 5.6 resulta em:

⇒ ⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ≥+

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +

+−≥ 00 e

A

W quando

e AW

M f W P t

t

qcd t

η

(5.16.a)

⇒ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ≤+

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

+−≥ 00 e

A

W quando

e A

W

M f W P t

t

qcd t

η

(5.16.b)

Finalmente a inequação 5.7 conduz a:

⇒

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

+−≥

e A

W

M f W P

b

qct b

0

0

η

(5.17)

O pré-esforço mínimo é condicionante na medida em que o factor económico está sempre

presente em qualquer estrutura, pois deve-se dimensionar as secções das estruturas de forma

que os custos e quantidades do aço utilizado no pré-esforço sejam reduzidos. As inequações

5.14 a 5.17 definem as limitações superiores e inferiores ao valor de pré-esforço na origem,

P0. As inequações 5.14 a 5.17 foram reduzidas considerando momentos positivos, Wt <0 ; Wb

> 0; fcd, fcdo < 0 ;fct , fcto ≥ 0 ; e > 0 de acordo com as convenções definidas atrás. Quando

estas condições não se verificarem, devem ser utilizadas as oito inequações gerais [4].

De notar o modo de apresentação das inequações e nomenclatura pode variar na bibliografia

[2, 3], mas os princípios mecânicos mantém-se, como seria expectável.

5.3. Diagrama de Magnel

O diagrama de Magnel é uma ferramenta gráfica que fornece a região de valores “Po“ e “e”

possíveis no jogo da colocação dos cabos e sua força de pré-esforço, de forma a colocar estes

na posição correcta, permitindo o bom funcionamento da estrutura.

Assim, não será necessário partir para a técnica de tentativa-erro, arbitrando “e”. Na verdade,

para um valor fixo de “e”, as inequações 5.14 a 5.17 podem conduzir a uma situaçãoimpossível, caracterizada por inequações em que o valor mínimo de P0 (obtido a partir das




72

inequações 5.16 e 5.17) pode ser superior ao valor máximo definido pelas outras inequações

desse conjunto, 5.14 e 5.15). Neste caso, ter-se-ia que arbitrar um novo valor de “e” que

conduzisse a uma solução possível numa técnica de tentativa-erro [4]. Para determinar essa

mesma região de valores as inequações 5.4 e 5.5 serão reescritas, assim vem [2, 4]:

⇒ gct t

t

M f W

e A

W

P +−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

≥0

0

0

1η

(5.18)

⇒ 00

0

0

1

gcd b

b

M f W

e A

W

P +−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

≥η

(5.19)

⇒ ( )01

0

≥+−+−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

≤ qcd t

qcd b

t

M f W quando M f W

e A

W

P

η

(5.20)

Reparar que “Po“ ≈ y e “e” ≈ x, como função linear representável (tipo equação da recta:

y=mx):

⇒ ( )01

0

<+−+−

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

≥ qcd t

qcd t

t

M f W quando M f W

e A

W

P

η

(5.20.b)

⇒ ( )01

0

≥+−+−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

≥ qct b

qct b

b

M f W quando M f W

e A

W

P

η

(5.21)

⇒ ( )01

0

<+−+−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

≥ qct b

qct b

b

M f W quando M f W

e A

W

P

η

(5.21.b)

A região de soluções possíveis é identificada, no diagrama de Magnel da figura seguinte,

pelas rectas definidas pelas inequações atrás escritas.

Na Figura 5.4 estão indicadas as inequações sobre as rectas e o sentido correspondente aosinal ≤ ou ≥ . A intersecção das 4 rectas em conjunto com o semi-plano de soluções associado




73

a cada recta define uma região de soluções válidas. Note-se que o valor (1/P 0) corresponde ao

valor de Pmin que é o que normalmente interessa para o dimensionamento, dado ser a situação

mais económica e satisfatória.

No diagrama de Magnel (Figura 5.4) a limitação das tensões de tracção é realizada pelas

rectas correspondentes às inequações 5.18 e 5.21.

e adm,quandotemoslimitaçõesgeometricascom orecobrimento

para se

aumentar (i)tera de seaumentar a propriasecção

cg i

1P0

(máx)1P0

P0

1

-WiA

A

excentricidade, e-Ws

e maxe min

(min)

Figura 5.4 - Diagrama de Magnel [4, adaptado]

5.4. Força de Pré-esforço Mínima

O dimensionamento de peças de betão pré-esforçado é condicionado pelo valor mínimo de

pré-esforço e pela verificação das tensões de tracção. Para minimizar o valor de pré-esforço,

obtém-se o valor de P associado ao ponto A da intersecção das Equações 5.18 e 5.21 (ver

Figura 5.5). Este valor vem dado por:




74

⇒ ( ) adma

com

si

t cst cigq A ee

A

W W

f W R f W M R M PP ≤ ⎯→ ⎯

−

−−−==

η

000 min (5.22)

Onde R é definido pela Equação 5.8 e Wt é negativo pois y2 <0.

A

e adme (P0 , min) = eA= emáx

excentricidade, e

AA

P0

1(máx) = (P0) min

P0

1

e adm

V.18 V.21

-W b

-Wt

Figura 5.5 - Determinação gráfica do pré-esforço mínimo e excentricidade máxima.[4]

Quando se considera o pré-esforço efectivo na secção a tempo infinito, P∞, a equação 5.22

pode ser escrita da seguinte forma:

⇒ ( )

A

W W

f W R f W M R M P

t b

t ct t cbgq

−

−−−=∞

00min (5.23)

Arbitrando 85,0= R à partida (perdas nas casa dos 15%).

Recorde-se que P∞ = η Po

De notar que temor que impor que o valor da excentricidade “e a“ não pode ser superior ao

admissível, eadm, que é determinado pela geometria da secção, tendo também em conta o

recobrimento mínimo, (c) (Figura 5.6). Portanto, para determinar a região de valores “Po,e”

deve-se obedecer as condições definidas por 5.18 , 5.21 e 5.24.




75

⇒ adma ee ≤ (5.24)

ac

y1

e adm

fibrasuperior

fibrainferior

G

x

y(+)

a - distancia

entre o centrode gravidadedas armadurasde pré-esforçoe a face inferior da bainha

e adm = y1 - c -a

Figura 5.6 - Excentricidade admissível [4]

Se o valor de eA, resultante do gráfico da Figura 5.5 for inferior a eadm a inequação 5.22 é

válida. No caso de tal não acontecer, o valor de (1/P0)máx é definido pela intersecção das rectas

5.21 e a recta e = eadm (ver Figura 5.7). Neste caso a intersecção das duas rectas é definida

pela igualdade:

⇒ ( )

admi

ct iqi

e A

W

f W M PP

+

−=∞ min (5.25)

e A

1P0 B

=máx

1P0

BP0

1

B

A

1P0

A Aexcentricidade, e

e adm = e máx

V . 1 8

V. 2 1

V . 2

4

-W b -Wt

Figura 5.7 - Pré-esforço mínimo para eA > eadm [4]




76

5.6. Fuso Limite

A partir do conhecimento do valor de força de pré-esforço na origem, P 0, é possível

determinar os limites máximos e mínimo da excentricidade numa secção. Esse cálculo é,

obviamente, aplicável a todas as outras secções da viga. Podemos, pois, determinar os limites

máximos e mínimo da excentricidade do cabo para um número razoável de secções da viga.

Deste modo, ficamos com um conjunto de pontos, ao longo da peça, correspondentes à

excentricidade mínima e outro conjunto de pontos definindo a excentricidade máxima. Esses

dois conjuntos de pontos podem ser unidos por duas curvas contínuas ao longo da viga entre

as quais há uma região onde a solução é válida. O traçado do cabo ou dos cabos do pré-esforço deve ser tal que o centro de gravidade passe dentro da região definida pelas duas

linhas contínuas. Esta região é normalmente designada por fuso limite [2, 3, 4].

Para a determinação dos valores limites das excentricidades devemos explicitar “e” das

inequações 5.4 a 5.7, o que conduz a:

⇒ ( )00

00

1t csg

s f W M

P A

W e −+−≤

η

(5.26)

⇒ ( )0000

1d cbg

b f W M P A

W e −+−≤

η (5.27)

⇒ ( )d ct gt f W M

P A

W e −+−≥ 0

0

1

η (5.28)

⇒ ( )t cbgb f W M P A

W e −+−≥ 0

0

1

η (5.29)

Reescrevendo a inequação 5.24, vem:

⇒ admee ≤ (5.30)

O fuso limite típico (região a cores) de uma viga simplesmente apoiada é representado na

figura seguinte. A região a verde é, portanto, o domínio possível onde o centro da gravidade




77

das armaduras de pré-esforço deve passar de modo a verificar as equações limites de tensão

5.4 a 5.7 e a condição de recobrimento mínimo implícita na inequação 5.30.

Note-se que se a secção da viga for constante, e se por simplificação se considerar η0P0 e ηP0 constantes ao longo da viga, as equações e = e(x) correspondente a cada uma das equações

5.26 a 5.29 vão ser iguais às equações dos momentos Mgo ou Mg, que aparecem nessas

equações a menos de constantes ou factores de escala (as inequações 5.26 a 5.29 foram

simplificadamente designadas por equações assumindo sinais de igual onde aparece ≤ ou ≥ ).

Isto significa que, se os momentos forem representados por equações do 2º grau contínuas, as

equações e = e(x) também o serão.

Portanto, numa viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída, escolhendo

um traçado parabólico contínuo para o cabo de pré-esforço, bastará verificar as

excentricidades limites para 3 secções diferentes (por exemplo nos apoios e a meio vão). Se aí

a posição do cabo estiver correcta também estará em toda a viga (nota: como se sabe, uma

parábola do 2º grau é perfeitamente definida por 3 pontos) [4].

e < eadm

Equações V.28 e V.29

Equações V.26 e V.27

Figura 5.8 - Fuso limite numa viga simplesmente apoiada [4]

A variação de η0Po e ηP ao longo da viga pode conduzir a ligeiras correcções no traçado do

cabo, que serão tanto menores quanto mais afastado dos limites do fuso limite estiver o cabo,

na hipótese simplificada anterior de η0Po e ηP serem constantes ao longo da viga (i.e. o cabo

deve situar-se sensivelmente no centro do fuso limite para esta hipótese simplificada).




78

5.7. Dimensionamento da Resistência Última

A verificação ao estado limite ultimo será feita depois de se determinar a força de pré-esforço

e o traçado das armaduras de pré-esforço. Quando a resistência última não é suficiente, deve

aumentar à armadura ordinária, para que, conjuntamente com a armadura de pré-esforço,

resista aos esforços actuantes [4]. A armadura passiva, sendo sempre obrigatória por motivos

construtivos, é uma óptima forma de acertar a quantidade de força de tracção necessária na

secção, sendo, por outro lado, um modo indirecto de controlo de fissuração.

5.8. Escolha do Número de Cabos

A escolha do número de cabos está associado a opções de concepção e depende das

dimensões da peça e do valor do pré-esforço necessário. Em geral, deverão adoptar-se 2 ou

mais cabos numa estrutura de betão pré-esforçado. Há também vantagem em utilizarem-se os

cabos estandardizados dos vários sistemas, formados pelo número de cordões para o qual

existem ancoragens (por exemplo, 7, 12, 19 cordões).

A opção de mais cabos de menor capacidade (menores bainhas e ancoragens) ou menos cabosde maior capacidade (maiores bainhas e ancoragens) prende-se, essencialmente, com a

geometria da estrutura e em especial com a concepção das zonas de ancoragem.

O traçado dos cabos pode ser qualquer, desde que contínuo, e pode incluir troços rectilíneos.

Sob o ponto de vista de capacidade resistente, os cabos são tanto mais efectivos quanto mais

afastados da linha neutra, ou seja, quanto mais perto das fibras extremas, salvaguardando-se,

evidentemente, as condições de recobrimento necessários para essas armaduras [3].

5.9. Escolha da Secção

No ponto 5.1 foi escolhido a forma da secção transversal mais simples, nomeadamente

rectangular. Esta escolha destinou-se principalmente a ilustrar os princípios básicos de

dimensionamento. Contudo, havendo liberdade de escolha, deve ser escolhida uma secção

mais económica.




79

Cada caso é um caso e, portanto, deve-se decidir que forma de secção a utilizar para uma

situação particular. A secção rectangular maciça é, geralmente, uma das menos económicas

devido ao facto de as regiões perto do centro da secção não apresentarem, em geral, alto nível

de tensões e, consequentemente, o material não é usado na sua máxima capacidade. Uma

maneira de contornar esta deficiência é providenciar vazios na parte da região central da

secção da peça, o que permite uma eficiência estrutural análoga com menos peso. Um

exemplo típico é a laje com vazios.

Tal como as secções de aço, uma secção em “I” é também bastante eficiente, garantindo a

máxima área de betão nas regiões mais afastadas do eixo neutro. Uma alternativa em I é a

secção em viga caixão rectangular a qual apresenta eficiência à flexão idêntica, mas muitomaior rigidez torsional. A viga caixão em “T” é uma solução para vigas de pontes de longo

vão. Em edifícios os vãos são, em geral, menores, pelo que uma solução suficiente será uma

viga em T, podendo o banzo ter o contributo da própria laje, desde que maciça [4].

5.10. Disposições Construtivas

As disposições gerais relativas a armaduras a cumprir estão indicadas no REBAP, presentenos Artigos 74º a 86º. As disposições relativas a vigas são apresentadas nos Artigos 87º a 99º.

O Artigo 76.2º prevê o agrupamento de bainhas para o caso de armaduras pós-tensionadas.

No caso de se considerar um agrupamento vertical (no máximo duas) numa viga há o perigo

de na operação de pré-esforço um dos cabos destruir a membrana de separação entre as 2

bainhas. Existem duas soluções que são [4]:

⇒ Pós-tensionar o cabo que não tenha hipótese de provocar rebentamento da membrana eesperar que a calda de cimento injectada nessa bainha ganhe a resistência suficiente, para

que se proceda então ao pré-esforço do 2º cabo. Esta solução implica uma maior demora

do processo construtivo.

⇒ Ou não considerar o agrupamento e providenciar que as bainhas isoladas estejam

distanciadas de um valor mínimo definido no Artigo 77º do REBAP, esta é a solução mais

utilizada.




80

Figura 5.12 - Exemplos de secções pré-esforçadas [2].

Forma da secção Tipo de secção

Viga rectangular maciça

e

G

h

Viga em I

e

Laje de alvéolos

Gh

e

Viga caixão rectangular

G

e

Viga em T

e

G

h

Viga em T invertida

e

Viga caixão em T




81

O estudo da deformação não é necessário desde que se faça a verificação do artigo 89º do

REBAP.

O estudo do estado limite de largura de fendas, ou seja, o controle da fendilhação, só pode ser conseguido através da diminuição da tensão instalada nas armaduras de pré-esforço. Assim,

ao contrário das peças de betão armado, para as peças de betão pré-esforçado o Artigo 91º não

é aplicável [4]. O controle da fissuração pode ser concretizado, indirectamente, pela

imposição da tensão máxima de tracção no betão não ultrapassar a que este comporta: o que

determina a impossibilidade de se desenvolverem fendas.




82

6. Estados-limites Últimos

Para que uma estrutura apresente desempenho adequado às finalidades da construção é

necessário que não sejam atingidos os chamados estados limites. Isso equivale a dizer que as

respostas da estrutura (esforços, tensões, deslocamentos, etc.), em qualquer um dos seus

pontos, não podem ultrapassar determinados valores limites inerentes aos materiais e à forma

da estrutura, aos materiais a ela ligados e à sua finalidade. Como todas as grandezas

envolvidas (acções, efeito das acções, resistências, etc.) são probabilísticas, a garantia de não

ocorrência de um estado limite só poderá ser feita também probabilisticamente [1]

Os procedimentos para o dimensionamento e verificação de elementos estruturais pré-

esforçados do REBAP e Eurocodigo 2 estão baseados no método dos estados limites. Este

método considera que uma estrutura atende aos objectivos para os quais foi fabricada quando,

para todas as combinações apropriadas de acções, nenhum estado limite aplicável é excedido

[4]

6.1. Estado Limite Último de Flexão

A análise ao estado ultimo de flexão deve ser efectuada, tendo em conta as seguintes

hipóteses [4]:

⇒ As deformações no betão e no aço ordinário são directamente proporcionais às distâncias

ao eixo neutro, onde a extensão é nula;

⇒ O estado limite último é atingido quando a deformação no betão na fibra mais comprimida

atinge o seu valor último, εcu;

⇒ Na rotura, a distribuição das tensões de compressão do betão é definida por um diagrama

idealizado (regulamentar);

⇒ A resistência à tracção do betão considera-se nula;

⇒ As tensões no aço são obtidas através da curva tensões/deformações regulamentar.




83

Os valores do Estado Limite Último de Flexão de uma secção de Betão Armado, são

definidos regulamentarmente (artigo 52º do REBAP) e de forma convencional, através dos

seguintes limites de deformação do aço e betão [15]:

⇒ 01,0<sε (Alongamento do aço)

⇒ 01,0<∆ spε (Variação do alongamento no aço de pré-esforço)

⇒ 0035,0<− cε (Encurtamento do betão)

Na figura seguinte (a), apresenta-se um diagrama de deformações associado ao estado limite

ultimo de flexão e o correspondente diagrama de tensões.

σc

Fc

σsp

σs εcp εo

ε pt

Z

εs

y p

Asp

As

∆εsp

Figura 6.1 - Diagrama de Estado Limite Ultimo de Flexão [3]

A deformação total no aço de pré-esforço vem dada por:

⇒ sp pt sp

c

cgcp

p E

ε ε ε σ σ

ε ε ∆−=∆−⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−= 0 (6.1)

⇒ spsp E A

P

.0

0 =ε (6.2)




84

⇒ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

∞−−=

+∞

p

c

g

p

cccc

cgcp y

I

M y

I

P

A

P

E E

21σ σ (6.3)

Mg - é o Momento das Acções Permanentes

diagrama de cálculo

ε

σ

∆εsp

σ (x)

σ po(x)σ p'o

f puk

diagrama caratcerístico

diagrama simplificadof po,1k

εo

εo'

Situação inicialϖ

ε p

ε ϖ0.001

Figura 6.2 - Diagrama Tensões Extensões [3]

É comum desprezar-se o termoc

cgcp

E

σ σ +, pois o valor da extensão até se atingir a situação

de extensão nula é insignificante em comparação com ε0 e ∆εsp [3].

Em função de ε p, obtém-se a tensão na armadura de pré-esforço através da relação extensão-

deformação adoptada. Normalmente, o valor do pré-esforço e traçado de cabos, é obtido

através das condições de segurança em serviço, analisando as tensões na secção em fase

elástica (a função principal do pré-esforço consiste em melhorar o comportamento em serviço

dos elementos estruturais) [3].




85

A área dos cabos sp A é então conhecida:

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ =≅

fpuk

P

k fpu

P Asp 75,0

'1,85,0

'

Bem como pY . Conhecendo-se estes valores, resta, para a verificação da segurança, conhecer

o valor da área de armaduras ordinárias s A .

Assim, para determinar o valor do momento resistente de uma secção de betão pré-esforçado,

pode proceder-se pelos métodos a seguir apresentados [3].

Método Geral Iterativo (dado As determinar Mrd)

1) Considerando o caso limite do diagrama de deformações dado por:

εc = - 0.0035 (6.4)

εs = 0.01 (ou ∆εsp = 0.01) (6.5)

Determinar o diagrama de tensões correspondente e a resultante dessas tensões.

X

εs = 0.01

0.259 d

σs

σsp

Fs

Fsp

0.8X

Fc

Figura 6.3 - 1ª iteração para Estado limite ultimo de flexão [4]

2) Assim:

Se a resultante é negativa (compressão), o diagrama último é o do tipo A (figura 6.4).

Se a resultante é positiva (tracção), o diagrama último é o do tipo B (figura 6.4).




86

dp AZ B Z

σsp σsp

−ε c = 0.0035−ε c ≤ 0.0035

∆ε sp=0.01 ∆ε sp ≤ 0.01

Figura 6.4 - Diagramas para Estado limite ultimo de flexão, tipo A e B [4]

Depois de identificar o diagrama (Tipo A: xu < 0.259 d; ou Tipo B: xu > 0.259 d), arbitra-se uma nova

posição para a linha neutra, repetindo-se o processo até se obter o equilíbrio de forças, a menor de uma

tolerância dada.

Com base na 2ª iteração, a posição da linha neutra pode ser obtida com grande aproximação, utilizando

a interpolação apresentada na figura 6.5.

Diagrama último tipo A

N

N

Diagrama último tipo B

x

N

N

0.259

d

u

dx

u

dx

xd

2

1

2

1

0.259

N N

Figura 6.5 - Determinação da linha neutra (xu), por interpolação [3]

3) Depois de obtida a posição da linha neutra, o momento resistente é determinado através do

momento resultante da distribuição de tensões.




87

De referir que se pode utilizar o diagrama rectangular para descrição da distribuição das

tensões de compressão no betão.

Método Geral (dado x determinar As e Mrd)

1) Arbitrar um valor para x;

Conhecendo-se Asp e y p, e dado arbitrariamente um valor para a posição da linha neutra

associada ao estado limite último, fica perfeitamente determinado o diagrama de deformação

e tensões associado a esse estado limite (Figura 6.6).

As=?

ε u

xarbitrado

σsp

σs

σc

Figura 6.6 - Diagrama Estado Limite Ultimo. Método Geral [3]

2) A partir da equação de equilíbrio, obtém-se o valor de As:

∫ =++= 0cccspspss dA A A A N σ σ σ

Se o valor de As for negativo, significa que a linha neutra x deverá ser reduzida.

3) Da equação de equilíbrio de momentos, obtém-se Mrd.

Repetindo o processo, obtém-se pares (As, Mrd), os quais permitem, através de interpolação,

obter a armadura necessária para verificar a segurança para o Msd dado.

Este procedimento tem a vantagem de eliminar o processo iterativo para de terminação de x u,

conforme descrito no método anterior.




88

Método Simplificado

Normalmente, utilizado em secções onde os cabos de pré-esforço estão colocados perto das

armaduras ordinárias mais traccionadas.

1) Admitindo:

pyd sp

syd s

f

f

=

=

σ

σ

2) Para uma dada área de armaduras ordinárias, determina-se a posição da linha neutra, de

forma a satisfazer a equação de equilíbrio de forças.

d pd

x

σc

f syd

f pyd

Fs

Fsp

Fc

λx

( ) 0=++= spsc F F xF N

Figura 6.7 - Diagrama Estado Limite Ultimo. Método Simplificado [4]

3) Verificar que as hipóteses admitidas são correctas:

sp

pyd

pysps p

s

syd

sys

E

f

E

f

=>∆+=

=>

ε ε ε ε

ε ε

(Geralmente, para valores de x < 0.64 d p, esta condição é satisfeita).

Se as hipóteses não forem satisfeitas, deverão adoptar-se os 2 métodos anteriormente

descritos.




89

4) Determinar Mrd pela equação de equilíbrio de momentos:

⇒ ( ) ( )s

syd

p pyd spsyd srd

E

f xd f A xd f A M =−+−= λ λ (6.4)

Método Simplificado (para secções tipo T em que dp≅d)

1) Admitindo:

pyd sp

syd s

f

f

=

=

σ

σ

2) Considera-se uma secção de betão equivalente:

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

syd

pyd

spseqs f

f A A A )(

pyd ssyd s

p pyd spsyd s

eq f A f A

d f Ad f Ad

+

+=

d pd deq

AeqAs

Asp

Figura 6.8 - Definição da secção equivalente

3) Determina-se o valor de Mrd e x, para a secção de betão armado equivalente, com recurso a

tabelas de cálculo.

4) Verifica-se, através do valor de x, se as hipóteses são válidas.




90

6.2. Estado Limite Último de Esforço Transverso

Pode tomar-se como favorável a contribuição da componente de corte do pré-esforço (cabos

pré-tensionados com bainhas injectadas), já que a rotura por esforço transverso não envolve

grandes alongamentos no cabo de pré-esforço.

α

x

V s d

PV p - P s i n α = 0

Figura 6.9 - Estado Limite último de esforço transverso [2]

A verificação de segurança deverá ser feita para um valor de esforço transverso, actuante decálculo, em que se tem em conta o efeito equivalente do pré-esforço:

rd sd sd V PV V ≤−= α sin'(6.5)

Note-se que, o valor do pré-esforço é normalmente favorável, no entanto, existem situações

em que o efeito é desfavorável. Assim, ter-se-á em conta o sentido do efeito equivalente ao

pré-esforço, através da figura anterior.

Da equação 6.5, resumem-se 2 verificações:

⇒ A da tensão máxima de compressão no betão (das bielas comprimidas), em que se obtém

d bPV wsd 2sin τ α <− (6.6)

⇒ A tensão nas armaduras transversais:




91

⇒ wd

sd

wwd cd sd V M

M d bV V PV +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=+≤− 0

1 1sin τ α (6.7)

O termo correctivo ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

sd M

M 01 pretende simular o efeito favorável do pré-esforço ao atrasar o

início da fissuração (e aumentar a extensão das zonas comprimidas). Neste termo (que varia

de 1 a 2):

Msd - representa o momento de cálculo actuante

M0 - representa o momento de descompressão. É o momento que produz uma tracção igual à

descompressão nessa fibra, produzido pelo esforço axial e pré-esforço.

Vwd - representa o esforço transverso resistente associado ao mecanismo de treliça de Morsh, dado por:

( ) α α ω ω sincot19,0 g f

s

Ad V syd

sd +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ = (6.8)

O esquema do calculo do momento de descompressão, esta apresentado na figura seguinte:

y1

N

σc (P)

a

M0

a

σc (M0)

Figura 6.10 - Momento de descompressão [3]

Calculo analítico do momento de descompressão:

eP y A

PI M y

I

M y

I

eP

A

Pc .0

.

101

01 +=⇒=+−−=σ (6.9)




92

Para se ter em conta o efeito do esforço transverso nas armaduras longitudinais, deverá ser

considerada a regra da translação do diagrama de forças (a1), quando da análise da interrupção

das armaduras longitudinais, já que o Esforço Transverso aumenta a tensão, por efeito da

deformação, nas armaduras longitudinais [4].

Isto sucede porque a treliça de Mörsch assenta num equilíbrio da treliça que mobiliza as

armaduras longitudinais:

Asp

fc

Asw

Figura 5.11 - Vectores de forças

Nos apoios com liberdade de rotação, deverá dispor-se uma armadura longitudinal mínima de:

( )d

aV F f A sd sapoiossyd s

1min .. == (6.10)

Note-se ainda que, ao contrário das vigas de betão armado, não é possível dispensar a mesma

quantidade de armaduras. Com efeito, a redução dos momentos flectores do vão para os

apoios é, em parte, compensada com a redução de excentricidade dos cabos de pré-esforço do

vão para os apoios.

O CEB [9] adverte só se deve considerar o efeito favorável do pré-esforço na equação 6.7,

quando haja uma quantidade suficiente de armaduras ordinárias, sendo As

a armadura

longitudinal. Assim vem:

⇒ sy

sd s

se

sd sd f

V APV V ≥ ⎯→ ⎯ −= α sin' (6.7)

Caso esta condição não seja satisfeita, deve considerar-se:

⇒ sd sd V V =' (6.8)




93

Quando a bainha de diâmetro ∅ passa na alma da largura, bw, deve considerar-se uma redução

dessa largura para se ter em conta a redução de resistência que o vazio da bainha provoca. A

nova largura de alma a considerar, largura efectiva (bw,ef ), esta apresentada no quadro seguinte

[4]:

Quadro 6.1 - Largura das almas

Figura 6.12 - Definição das larguras da alma, bω, e da bainha Ø [4]

6.3. Resumo dos passos de dimensionamento

Fecha-se este trabalho com a apresentação de um algoritmo que pode ser utilizado para o

dimensionamento de uma peça de betão pré-esforçado:

1º) Definir acções;

2º) Estimar o peso próprio;

Bainhas não injectadas com calda de

cimentoBainhas injectadas com calda de cimento

∅−= wef w bb ,

8

82

,

,

wquando

wef w

wquando

wef w

bbb

bbb

<∅ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ =

>∅ ⎯ ⎯ → ⎯ ∅

−=

bw

Ø




94

3º) Traçar diagramas de momentos e esforços transversos;

4º) Escolher classes de betão e determinar tensões admissíveis;

5º) Calcular Wi e Ws, limites;

6º) Escolher forma da secção transversal;

7º) Estimar perdas de pré-esforço;

8º) Traçar diagrama de Magnel (opcional) e fuso limite;

9º) Escolher nº e diâmetro dos cabos;

10º) Determinar perdas de pré-esforço;

11º) Verificação da segurança aos E.L. Últimos de Flexão. Adicionar as armaduras

longitudinais necessárias;

12º) Verificação da segurança aos restantes E.L. de Utilização (abertura de fendas

deformação, limites da tensão de compressão). Adicionar armaduras ordinárias longitudinais,

caso necessário;

13º) Verificação da segurança ao E.L. Último de Esforço Transverso (considerar o efeito do

pré-esforço). Dimensionar as armaduras transversais;

14º) Verificar a segurança e dimensionar as zonas dos blocos de ancoragem;

15º) Pormenorizar as armaduras incluindo as zonas de apoio. Definir aspectos construtivos.

Na figura 6.13 inclui-se um fluxograma de dimensionamento de peça em betão pré-esforçado,

de acordo com os passos acima expostos [4].




95

Definir acções

Estimar o peso próprio

Calcular Wi e Ws limites

Traçar os diagramas de esforços tranversos

Escolher a classe de betão e determinar as tensões admissíveis

Escolher o recobrimento mínimo e determinar eadm

Estimar as perdas de pré-esforço

Traçar o diagrama de Magnel e fuso limite

Escolher o nº e dimensão dos cabos

Determinar as perdas de pré-esforço

Verificar segurança com E.L. últimos de flexão

Verificar segurança com E.L. utilização

Verificar segurança com E.L. últimos de esforço transverso

Verificar segurança e dimensionar blocos de ancoragens

Pormenorizar armaduras e definir aspectos construtivos

Escolher a forma da secção transversal

Figura 6.13 - Fluxograma de dimensionamento de peça em betão pré-esforçado [4]




96

Conclusão

Na recta final deste trabalho, reflectindo nos aspectos respeitantes às varias fases deconcepção e execução de pré-esforço em estruturas isostáticas, a cada uma delas ficou a clara

necessidade do engenheiro civil ter uma visão multidisciplinar sobre as diversas matérias que

constituem a área do saber denominada de Engenharia Civil.

No primeiro capitula ficou patente que existem um sem número de soluções de pré-esforço,

que este tipo de construção envolve metodologias com alguma dificuldade técnica e custos

associados de valor apreciável. Assim sendo, um bom planeamento, dimensionamento econcepção da obra tornam-se essenciais na incessante busca da solução mais económica e

tecnicamente viável.

O capitulo dedicado aos materiais e equipamentos deste tipo de estruturas permitiu aferir que

todos os materiais de construção usados devem ser homologados de forma a garantir a

qualidade e segurança das obras de betão pré-esforçado, passando por uma boa utilização

destes materiais e equipamentos, respeitando suas capacidades, as disposições construtivas elegislação aplicável em vigor.

O terceiro capitulo permitiu constatar que as perdas instantâneas ou imediatas são devidas a

deformação (contracção) instantânea do betão, ao atrito entre as armaduras e as bainhas ou o

betão, a reentrada de cabos (escorregamento da armadura junto à ancoragem e à acomodação

dos dispositivos de ancoragem), que para um mesmo determinado traçado, condições e

materiais só é possível evitar parte das perdas através da reentrada de cabos com a colagemdas cabeças de ancoragem, se bem que as perdas de pré-esforço são parte intrínseca de uma

estrutura de betão pré-esforçado.

No capítulo de análise de secções betão pré-tensionado e pós-tensionado com aderência

constatou-se ser necessário admitir uma ligação perfeita entre os materiais (betão, aço e aço

de pré-esforço), isto é, considera-se uma aderência total tanto do aço normal como do aço de

pré-esforço ao betão. Ainda, quando os níveis de tensão nas secções são elevados, o cálculolinear elástico não é válido, dado os materiais não terem um comportamento elástico perfeito.




97

O aço entra em cedência e o betão apresenta um comportamento não linear que é modelado

no REBAP por um diagrama parábola-rectângulo. O cálculo das tensões na secção deve, pois,

ser feita considerando os diagramas tensões-extensões apresentadas no REBAP para os

diferentes tipos de materiais que compõe essa secção.

No quinto capítulo, o cerne deste trabalho, o dimensionamento de peças de betão pré-

esforçado é condicionado pelo valor mínimo de pré-esforço (Diagrama de Magnel) e por a

verificação das tensões de tracção. Há também vantagem em utilizarem-se os cabos standards

dos vários sistemas, formados pelo número de cordões para o qual existem ancoragens (por

exemplo, 7, 12, 19 cordões). A escolha do número de cabos está associado a opções de

concepção e depende das dimensões da peça e do valor do pré-esforço necessário. Em geral,

deverão adoptar-se 2 ou mais cabos numa estrutura de betão pré-esforçado.

No sexto capítulo, sobre Estados Limites Últimos, ficou claro que, para que uma estrutura

apresente desempenho adequado às finalidades da construção, é necessário que sejam

assegurados tanto estes quanto os Estados Limites de Utilização.

Apesar da complexidade associada a análise e execução deste tipo de obras não ser

apreciável, comparativamente com outras estruturas mais frequentes, existem certos aspectos

essenciais que devem ser alvo de especial atenção. O uso de secções bem estudadas e

conhecidas em peças pré-fabricadas facilita, e muito, tanto a concepção como a execução.

Outro aspecto é, sem dúvida, a segurança. O pré-esforço é um trabalho que apresenta um alto

risco de acidentes se não for executado com os devidos cuidados. Os cabos são pré-

esforçados na sua tensão máxima atingem tensões elásticas muito elevadas, podendo

funcionar como molas com grande energia concentrada, pelo que se houver algum descuido,

ou as condições de segurança forem precárias, podem acontecer graves acidentes.

O sentido económico do betão pré-esforçado consiste no facto de que os aumentos

percentuais de preços são muito inferiores aos acréscimos de resistência utilizáveis. As

resistências do betão utilizado em betão pré-esforçado são significativamente maiores que as

utilizadas em betão armado, aumentando-lhe também a sua durabilidade. Os aços utilizados




98

nos cabos de pré-esforço têm resistência três a cinco vezes superiores às dos aços usuais de

betão armado.

De referir que para todas as estruturas de betão pré-esforçado deve existir um relatório

emitido pelo projectista, contendo as informações essenciais para o controle das operações de

pré-esforço dos cabos.

O relatório fornece no mínimo os seguintes dados: aço de pré-esforço; pré-esforço a ser

empregado; cabo de pré-esforço adoptado; esforço máximo de pré-esforço por cabo;

resistência necessária do betão, na época de pré-esforço; coeficientes admitidos para perdas

por atrito ao longo do cabo; alongamento previsto para o cabo, sob acção do esforço máximo;

esforço de reentrada das cunhas, quando for o caso.

Em suma verificou-se que o pré-esforço é uma técnica de grande rendimento cujo

conhecimento de causa é ao longo de décadas adoptado com grande sucesso.




99

BIBLIOGRAFIA

[1] - Gustavo de Souza Veríssimo, Fundamentos de Concreto Protendido, 1998.

[2] - Joaquim Azevedo Figueiras, Sebenta de Betão Pré-esforçado, FEUP, Porto, 1993.

[3] - Sebenta de Betão Pré-esforçado, IST, Lisboa, 1988.

[4] - Sérgio Lopes, Sebenta de Betão Pré-esforçado, FCTUC, Coimbra, 2002.

[5] - Catálogos da VSL, sistemas de pré-esforço, 2005.

[6] - Appleton et al, “Curso de Especialização sobre Comportamento em Serviço de

Estruturas de Betão Armado e Pré- Esforçado”, Instituto Superior Técnico, Lisboa, 1986.

[7] - A. H. Nilson, Design of prestressed concrete structures, John Wiley and Sons, New

York, 1987.

[8] - F. Leonhardt, Construções de Concreto, Vol. 5 - Concreto Protendido, Editora

Interciência, Rio de Janeiro, 1983.

[9] - CEB/FIP, “Model Code 1990 - final draft”, Comité Euro-Internacional du Béton, 1991.

[10] - REBAP, INCM, 1983.

[11] - RSAEP, INCM, 1983.



1

ANEXO A



2

A.1. – Definições [1,2,3,4,6,15]

Armadura de pré-esforço

A armadura de pré-esforço, é constituída por fios ou varões, feixes (barras

ou fios paralelos) ou cordões (fios enrolados), e se destina à produção das

forças de pré-esforço. Denomina-se cabo a unidade de armadura de pré-

esforço considerada no projecto. A armadura de pré-esforço também é

designada por armadura activa.

Armadura passiva

A armadura passiva è qualquer armadura não utilizada para produzir forças

de pré-esforço

Puxe dos cabos

O puxe dos cabos é a aplicação do pré-esforço, ou seja tracciona-se os

cabos, controlando a força do pré-esforço pelos manómetros de pressão,

existentes no macaco hidráulico.

Betão pré-esforçado com aderência inicial (armadura de pré-esforço

pré-traccionada)

Betão pré-esforçado com aderência inicial é aquele em que o puxe da

armadura de pré-esforço é feito utilizando-se apoios independentes da peça,

antes da betonagem da peça, sendo a ligação da armadura de pré-esforço

com os referido apoios desfeita após a cura (endurecimento) do betão. A

ancoragem no betão realiza-se só por aderência.

Betão pré-esforçado com aderência posterior (armadura de pré-esforço

pós-tracionada)



3

Betão pré-esforçado com aderência posterior é aquele que o estiramento da

armadura de pré-esforço é realizado após a cura (endurecimento) do betão,

utilizando-se como apoios partes da própria peça, injectando-se calda de

cimento nas bainhas e criando-se posteriormente aderência com o betão de

modo permanente.

Betão pré-esforçado sem aderência (armadura de pré-esforço pós-traccionada)

Betão pré-esforçado sem aderência é aquele obtido no caso anterior, mas em, que após o

puxe do cabos, não é criada aderência com o betão, normalmente é injectado um tipo de

graxa ou gel no interior das bainhas de modo, a armadura ficar protegida da corrosão.

Pré-esforço sem aderência (Pré-tensão)

A armadura activa é traccionada após a execução da peça de betão. A inexistência de

aderência refere-se somente à armadura activa. A armadura passiva deve estar sempre

aderida ao betão. Geralmente, a armadura activa é colocada dentro de bainhas metálicas

ou plástico. Após a aplicação da força de pré-esforço, injecta-se graxa nessas bainhas para proteger a armadura da corrosão.

Pré-esforço com aderência inicial (Pós-tensão)

A peça é betonada envolvendo-se uma armadura previamente traccionada e

ancorada em dispositivos externos. A força de pré-esforço é transferida ao

betão pela aderência, que deve estar suficientemente desenvolvida. Umexemplo de pré-tensão de elementos construtivos, são as vigotas largamente

usadas na execução de lajes aligeiradas.

Pré-esforço com aderência posterior (Pós-tensão)



4

O pré-esforço é aplicado sobre uma peça de betão já endurecido e a

aderência é processada posteriormente, geralmente através de injecção de

calda de cimento no interior das bainhas.

A.2. - Exercício exemplificativo

FIGURA A.1. – Viga rectangular simples

A.2.1 –Dados [1,2]

Peso próprio: m KN m KN g /75,3/2575,020,0 3 =××=

Sobrecarga: q = 15 KN/m

Força de pré-esforço: P = -600 KN, aplicada com excentricidade e p = 12,5

cm em relação ao eixo baricentrico da secção transversal

Adoptou-se o índice para as variáveis que se referem à fibra inferior ou base

da peça (b) e topo da peça (t) ou fibra superior.

Também adoptou-se (1) para a base da peça e (2) para a base da peça.



5

A força de pré-esforço é aplicada por meio de um dispositivo qualquer,

admitindo-se que ela seja de intensidade e excentricidade constantes ao

longo do vão.

Os cálculos descritos são efectuados considerando-se o betão como homogéneo e de

comportamento elástico-linear.

A.2.3-Cálculo das características geométricas e mecânicas da secção

transversal

333 70312512

752012

cmbh =×==Ι

m y y 5,3721 ==

3

121 18750

5,37

703125cm

y

I W W ===−=

215007520 cmhb A =×==

cmee bk t k 5,12=−= (Distancias das extremidades do núcleo central de inércia da secção

ao centro de gravidade)

A.2.4-Cálculos dos esforços actuantes e tensões normais a meio vão

a)Tensões devido ao peso próprio

cm KN m KN l g

M g .2297.97,228

775.3

8

22

==×

==



6

MPacm KN I

W

M

b

g

g 23,1/123,018750

2297 2 ====σ {na fibra inferior

MPamc KN I W

M

t

g

g 23,1/123,0187502297 2 −=−=−==σ {na fibra superior

b) Tensões devido a sobrecarga

cm KN m KN l q

M q .9188.88,918

715

8

22

==×

== {na fibra inferior

MPacm KN W

M

b

q

q 90,4/49,018750

9188 2 ====σ {na fibra inferior

MPamc KN W

M

t

q

q 90,4/49,018750

9188 2 −=−=−==σ {na fibra superior

c) Tensões devido a força de pré-esforço

KN P 600−=

p p e P M .=

Mpacm KN W

e P

A

P

b

p

p 0,8/80,018750

5,126001500

600. 2 −=−=×−+−=+=σ {na fibra inferior

018750

5,12600

1500

600.=

−×−

+−

=+=t

p

pW

e P

A

P σ {na fibra superior



7

Era de se prever que a tensão na fibra superior fosse nula, pois a força de pré-esforço

tem excentricidade igual à excentricidade inferior do núcleo central de inércia da secção

transversal.

FIGURA A.2. – Centro de gravidade

A.2.5-Combinações de acções

São duas as combinações possíveis de acções. Refira-se que a força de

pré-esforço é uma acção de carácter permanente:

Pré-esforço e peso próprio: esta situação caracteriza o estado em vazio e

corresponde a um caso em que a estrutura não esta suportando as cargas

para as quais foi projectada;

Pré-esforço, peso próprio e sobrecarga: esta situação caracteriza o estado

de serviço. A estrutura esta suportando as cargas de utilização.

a)Estado em vazio (a data de aplicação do pré-esforço)

Representação gráfica das tensões provocadas por cada acção e o seu

somatório:



8

FIGURA A.3. – Diagramas

a) Estado em serviço

FIGURA A.4. – Diagramas

b) Primeira analise dos resultados

- em ambas as combinações não ocorrem tensões de tracção, e as tensões de compressão

são relativamente baixas, podendo ser suportadas por um betão de resistência media.

-no estado em vazio, as tensões de compressão são ate maiores que no estado em

serviço; ou seja o acréscimo de cargas não piora a situação.

A.2.6 - Reformulação do problema



9

Como foi visto, a força de pré-esforço estava aplicada exactamente na extremidade

inferior do núcleo central de inércia da secção. Será efectuada uma pequena alteração no

seu posicionamento e reavaliado o comportamento da peça. Aumentando a

excentricidade da força de pré-esforço, surgirão tensões da tracção no bordo superior.

Essas tensões não constituirão nenhum problema, pois o peso próprio actua

simultaneamente. Do ponto de vista económico, mantida a intensidade da força de pré-

esforço, a armadura permanece a mesma e o aumento da excentricidade não acarreta

aumento de custo. Assim adopta-se

cme p 5,320,55,37 =−=

Para forçar um resultado a ser comparado com o anterior, o valor da sobrecarga será

aumentado para 40 KN/m, um carregamento 2,67 vezes maior que o anteriormente

utilizado.

a)Cálculo de esforços solicitantes e tensões normais a meio vão

b)Tensões devido ao peso próprio (são as mesmas já calculadas anteriormente)

c)Tensões devido a sobrecarga

cm KN m KN l q

M q .24500.00,2458

740

8

22

==×

==

( )base MPacm KN W

M

b

q

q 10,13/31,118750

24500 2 ====σ

( )topo MPacm KN W

M

b

q

q 10,13/31,118750

24500 2 −=−=−

−==σ

a)Tensões devido à força de pré-esforço



10

KN P 600−=

m KN e P M p p .195005,32600. =×==

( )base Mpacm KN W

e P

A

P

b

p

p 40,14/44,118750

5,32600

1500

600.2 −=−=

×−+

−=+=σ

( )topo Mpacm KN W

e P

A

P

t

p

p 40,6/640,018750

5,32600

1500

600.2 −=−=

−×−

+−

=+=σ

A.2.7 - Combinações de acções

a) Estado em vazio, dessa nova combinação vem:

FIGURA 5 - Diagramas

b)Estado em serviço, analogamente vem:



11

Figura 6 – Diagramas

A.2.8 - Segunda análise de resultados

- No estado em serviço só existem tensões de compressão, com valores

próximos aos obtidos no cálculo anterior;

-A sobrecarga é bem maior (2,67 vezes), o que demonstra que um

simples deslocamento da força normal pode melhorar bastante o

comportamento da peça;

-No estado em vazio, surgem tensões de tracção na fibra superior, o que

demonstra que os efeitos do pré-esforço foram exagerados para a

situação;

-Mais uma vez se observa a possibilidade de, no estado em vazio, a

secção transversal estar mais solicitada que no estado em serviço. É

possível que o acréscimo acarrete a diminuição de esforços.

A.2.9 - Conclusões e observações importantes

a)Combinações de acções



12

É necessário verificar cuidadosamente todas as fases de solicitação da peça. A pior

situação pode ser aquela da actuação das cargas externas.

b)Efeitos da força de pré-esforço

Os efeitos da força de pré-esforço resultam da sua intensidade e da sua excentricidade,

no caso de estruturas isostáticas. Variando-se a intensidade e excentricidade da força de

pré-esforço, obtém-se os efeitos desejados.

c)Solicitações ao longo do vão

No exemplo visto, foi analisada somente a secção do meio vão, a mais solicitada pelo

carregamento externo. Se forem analisadas outras secções, como por exemplo aquelas

próximas aos apoios, notar-se-á que as tensões provocadas pelas cargas externas

diminuem, tendendo a zero. Assim, se forem mantidas as mesmas condições da força de

pré-esforço, intensidade e excentricidade constantes, poderão ocorrer situações

indesejáveis.

d)Estados limites últimos e de utilização

A análise da estrutura nas condições de serviço é útil para verificação de estados últimos

de utilização. É também necessário verificar os estados limites últimos.



13

ANEXO B



14

B.3.1. - Fios

Características dos diâmetros mais utilizados [1,2,3,4,6]Diâmetro

Nominal

Mm

Secção Nominal

mm 2

Massa

g/m

Tensão

N/mm 2

Força

Máxima

KN

Lisos

5

7

8

19,7

38,5

50,3

155

302

395

1570

1500

1470

30,9

57,8

74,0

Nervurados

3

4

5

6

7

7,1

12,6

19,7

28,4

38,5

55,5

98,9

155

223

302

1690

1600

1490

1520

1460

12,0

20,1

29,4

43,2

56,4

B.3.2. - Cordões

Características dos diâmetros mais utilizados [1,2,3,4,6]

Tipo decordão

Diâmetros

mm

Diâmetro

Nominal

Do

cordãomm

Tensão deruptura

Nominal

Àtracção

N/mm 2

Massa por comprimento Forçamáximaàtracção

KN

Nominal

g/m

Tolerância

%

2-arames

2x2,90 5,81910 104

25,2



15

5,2

6,2

7,5

1770

1960

1910

1770

1880

107

155

228

+4

-2

para todosos cabos

24,0

26,7

37,851,2

54,0

7 arames

ordinários 9,3

9,5

10,811,1

12,4

12,7

15,2

15,2

1720

1860

1720

1860

1720

1860

1720

1860

405

432

546

580

729

774

1104

1101

88,8

102

120138

160

184

239

259

7 arames

compactos 12,7

15,2

18,0

1860

1820

1700

890

1295

1750

209

300

380

19 arames 17,8

19,3

20,3

21,8

1860

1860

1810

1810

1652

1931

2149

2482

387

454

491

567



16

B.3.3 – Varões [6]

B.3.4. - Valores máximos de relaxação

Força inicial em percentagem

Da máxima força característica

Classe de relaxação

Relax 1

%

Relax 2

%

60

70

80

4,5

8,0

12,0

1,0

2,5

4,5

B.3.4. - Ancoragem de cabos revestidos para pós-esforço [6]



17



18



19



20



21



22

B.3.4. - Macacos hidráulicos de pré-esforço [6]



23



24

ANEXO C



25

C.1 – Relaxação segundo cálculos da VSL

A relaxação do aço origina perdas de tensão quando o nível de tensão nas

armaduras é superior a 50 % da tensão de rotura, variando estas linearmentea tensão constante, ou seja, tendo por base o valor para uma tensão inicial

igual a 0.7σ puk e considerando nula a relaxação para uma tensão inicial de

0.5 σ puk . Deve, no entanto, entrar-se em linha de conta com o facto da tensão

num cabo de pré-esforço não ser constante ao longo do tempo devido as

restantes perdas diferidas. [6]

0.70.5

pt,r (Δσ )

Perdas de tensão

σ´ poσ´ po

Τensãoinicial

obtido exper.

FIGURA C.1 - Variação do valor da relaxação com a

tensão instalada

De acordo com o parágrafo 3.3.23 do B.P.E.L – “Regles Techniques de

Conception et de Calcul dês Ouverages et Construtions en Béton

Précontraint la Méthod des États-limits“, as perdas de tensão devidas àrelaxação do aço podem ser calculadas pela expressão:

)()(

1000100

60, x

f

x pi

prg

pi

r pt σ μ σ

ρ σ ×⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −×=Δ

Onde:



26

ρ1000 = 2,5% - representa a relaxação após 1000 h a 20ºC e a 70% da

rotura:

σ pi(x) - representa a tensão após as perdas imediatas, na secção x;

μ0 – representa um coeficiente que, para aço de baixa relaxação, toma o

valor de 0,43.

f prg – representa a tensão de cedência garantida pela marca de aço

Po

Po PoΔ-

(x = 0)P

mo (x)

Pmo (x)

ΔPoo(x)

PΔo

(x)

PΔo(x)

t = 0 t

Aplicação do pré-esforçonos restantes cabos

Tempo

Δσatrito

(x)

Δσ po 2

Δσ po 2

Δσ po 2

σ pt (x = 0)

σ pt(x)

secção x

secção x = 0(ancoragem)

Δ oσ o(fluência, retracçãoe relaxação)

(Escorregamento na ancoragem)

( Deformação instância do betão)

Figura C.2 – Diagrama de perdas de tensão no sistema de pós-tensão com aderência [3]

C.2.- Valores da extensão de retracção e coeficientes de fluência do betão

Os valores apresentados no quadro C.1 retirados do artigo 42º do REBAP para a

extensão de retracção do betão e coeficientes de fluência são os indicados, para um



27

betão com 7 dias. Estes valores são obtidos por aplicação do anexo I, considerando a

espessura equivalente do elemento igual a 20 cm, a temperatura constante com o valor

de 20ºC e cimento de endurecimento normal ou lento. [15]

Quadro C.1.

C.3 – Exemplo

de perda de pré-

esforço por

contracção elástica

Determine a perda de pré-esforço devido à contracção elástica do betão para a vigarepresentada na Fig.C.3. Faça os cálculos para as secções de quarto de vão e de meio

vão. [4]

Dados:

2/1239 mm N f =ΡΟ

Ambiente

εc (too,t0) φc (too,t0)

Idade t0 (dias) Idade t0 (dias)

7 14 28 7 14 28

Húmido

(hum.rel.75%)

-220 -210 -200 2,9 2,6 2,3

Seco

(hum.rel.55%)

-350 -330 -310 3,8 3,4 3,0



28

22850 mm A =ΡΟ ;251025,4 mm Ac ×=

5,7,

=Ε

ΕΡ

jc

4101036,9 mm I ×=

m KN P /97,9= (inclui peso próprio)

20.0 m

31 2

6 0 0

6 0 0

mm

5 5 8

20.0 m

31 2

6 0 0

6 0 0

mm

5 5 8

FIGURA C.3 – Viga pré-tensionada

A meio vão:

mm N m KN M g .105,498.5,4988

2097,9 6

2

×==×=



29

2

10

6

1052

/09,1797,275,1131,8

558

1036,9

105,498

558

1036.9

55828501239

1025,4

28501239

mm N

c

−=+−−=

×

×+

×

××−

×

×−=σ

A perda de tensão é:

( ) 2, /12809,175,7 mm N xe =−×−=Δ ΡΟσ

100%3,10 , ×Δ==ΡΟ

ΡΟ

f Perda

e

A quarto de vão:

mm N m KN M g .109,373.9,37332

20397,9 6

2

×==×

×=

2

10

6

1052

/83,1723,275,1131,8

558

1036,9

109,373

558

1036,9

55828501239

1025,4

28501239

mm N

c

−=+−−=

×

×+

×

××−

×

×−=σ

A perda de tensão é:

( ) ( ) 2, /13483,175,7 mm N xe =−×−=Δ ΡΟσ %8,10≈ Perda

C.4 - Exemplo de perda de pré-esforço por atrito

Considere a viga simétrica (com traçado de cabo simétrico) representado na Figura C.4.Calcular a variação de tensão ao longo da viga após a operação de pré-esforço que é



30

executada através de uma tensão de MPa po 1390' =σ ao cabo na secção esquerda

(secção 1) da viga. [4]

DADOS:

- Escorregamento do fio sobre ancoragem = 6 mm

- GPa E p 200=

-25,0=μ

-101,0 −= mm K

- 23105,5 mm A sp ×=

Traçado do cabo (equações):

Troço A: 7,02,002,0 2 +−= x x Z

Troço B: 2,0= Z

Troço C: 3,234,102,0 2 −+= x x Z

Troço D: 3,234,102,0 2 −+−= x x Z



31

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.71.4

0.2

0.2

troço A troço B troço C troço D

5.0 20.0 5.0 5.0 35.0

Figura C.5 – Viga do exemplo 4

Resolução:

Perdas por atrito:

( ) ( )[ ]kxe x po

xk

po fr po +≅−=Δ +− β μ σ σ σ β μ

'', 1)(

Troço A:

( ) 2,002,0' −= x x Z

( ) ( ) rad tg Z 1974,02,00' 11 −=⇒=−= α α

( ) ( ) 005' 22 =⇒== α α tg Z

Troço B:

( ) ( )

0

00'

3

22

=⇒

=⇒==

α

α α tg x Z

Troço C:



32

( ) 104,0' −= x x Z

( ) 0025' 3 =⇒= α Z

( ) rad Z 1974,020,030' 4 +=⇒+= α

Troço D:

( ) 4,104,0' −= x x Z

( ) rad Z 1974,020,030' 4 +=⇒+= α

( ) 0035' 5 =⇒= α Z

Na tabela C.1 estão indicados os valores de ( ) ( ) Kxe Kx x +−−+ β μ β μ β 1,,, e pσ após as

perdas por atrito

Secção x(m) β µ(β+ kx) ( )ΚΧ+−− β μ e1 σΡ

(MPa)

1 0 0 0 0 1390

2 5 0,1974 0.062 0,060 1307

3 25 0,1974 0,112 0.106 1243

4 30 0,3948 0,174 0.159 1169

5 35 0,5922 0,236 0.210 1098

6 40 0,7896 0,294 0,257 1033

7 45 0,9870 0,359 0,302 970

8 65 0,9870 0,409 0,336 923

9 70 1,1844 0,4711 0,376 867



33

( )[ ]kx po fr po +=Δ β μ σ σ '

Tabela C.1 – Cálculo das perdas por atrito

5 25 30 35 40 45 70 x(m)

σ p(MPa)

65

1307

12431169

10981033970

923867

1390

Figura C.6 – Diagrama variação das tensões ao longo da viga (consideração de perdas

por atrito)

b) Perdas por escorregamento nos dispositivos de amarração:

mml c 6=Δ (Valor dado)

Zona de influência do escorregamento

ρ

sp pc A E l w

Δ=

L

ASP

σ ρ

Δ= , perda de atrito linear



34

Troço A:

mm N A /3,91

5000

105,5)13071390( 3

=××−

= ρ

mmmw A 5,885023,91

105,5102006 33

==××××

=

ml mw A A 0,55,8 =>=

Todo o Troço A é afectado e pelo menos parte do Troço B também o é. Quando existem

dois troços afectados pela reentrada de cabos a equação Aw deixa de ser válida pois a

equação só se pode aplicar quando o valor de ρ for constante ao longo de todo o troço

afectado. Neste caso particular, ao longo do comprimento afectado temos um valor

de A diferente de B e a expressão a utilizar é a seguinte:

( ) B

sp pc A A A B A B

B A E l W W W w

ρ ρ ρ ρ Δ−−+−= 222

Com mw A 0,5= e mm N A /3,91=

( )mm N B /6,17

20000

105,512431307 3××−= ρ

Substituindo os símbolos da equação Aw , pelos seus valores, temos:

( )6,17

5500200000650003,916,1750006,1750006,17 222 ××−×−×+×−= Bw

ml mmw B B 0,2011441 =<=



35

Só parte do troço B é afectado, a variação das tensões passa a ser a representada na

Figura C.7.

σ

5

σ1

12.44 25

1σ

σ2

,σ2

,

∗σ2 ,σ3

x

A partir de 12,44 m, as tensõesnão são afectadas peloescorregamento do cabo naancoragem

Figura C.7 – Diagrama de variações de tensões ao longo da viga

Tensões após perdas por atrito:

MPa1390

'

1 =σ

MPa1307'2 =σ

MPa1243'3 =σ

( ) MPa1270''2044,11 2232 =+−=∗ σ σ σ σ

Tensões alteradas pela reentrada dos cabos nas ancoragens:

( ) MPa1233371270'' 22222 =−=+−−= ∗∗σ σ σ σ σ

( ) MPa1150831233'' 2'2121 =−=+−−= σ σ σ σ σ



36

As perdas são as mesmas com a reentrada dos cabos, no que respeita ao atrito entre cabo

e bainhas, já que se considera que não houve variação de tensão no cabo muito

significativas, face aos valores instalados para as secções no momento imediatamente

anterior.

Valores rigorosos teriam que ser encontrados de forma iterativa já com a correcção que

inclui a própria perda de tensões no processo de reentrada (sendo certo que no exacto

momento dessa reentrada o valor da tensão é estabilizado conforme a tabela C.1)

Nota: Neste caso fazia sentido pré-esforçar o cabo nas duas extremidades da viga

devido à falta de simetria da variação das tensões ao longo da viga. De facto, na secção9, as perdas de pré-esforço atingem um valor muito elevado (37,6%) e seria

aconselhável aplicar pré-esforço também nessa secção.

C.5 – Exemplo de alongamento do cabo de pré-esforço

Calcule o alongamento esperado do cabo antes e depois da perda por escorregamento da

ancoragem para o exemplo C.2. [4]

Resolução:

Antes da reentrada de cabos, a área do diagrama da figura C.7 é:

mm MPam MPa

dx

L

SP

.1068,77.77680

52

86792320

2

9239705

2

97010335

2

103310985

2

10981169

52

11691243

202

12431307

52

13071390

6

0

×==

×+

+×+

+×+

+×+

+×+

=×

+

+×

+

+×

+

=Α

Ρ

∫

Portanto, o alongamento esperado antes das perdas por reentrada dos cabos é:



37

mm L 4,38810200

1068,773

6

1 =××

=Δ

Após o escorregamento vem:

mml L L c 4,38264,38812 =−=Δ−Δ=Δ

C.6 – Perda de pré-esforço por perdas diferidas

Calcular as perdas diferidas da tensão das armaduras de pré – esforço do exemplo C.1.

Dados complementares:

- 610250 −×−=csε

- GPa E p 200=

- 5,2=ϕ

- perdas por relaxação: 5% à carga de 70% da carga última do cabo

- MPa f pu 1652=

Resolução:

Vamos considerar perdas diferidas de aproximadamente 15% no exemplo C.1 já se

tinha concluído que as perdas instantâneas eram de 11,2%.

2/1100123988,0 mm N g po =×=+σ



38

para a relaxação: )64,0(1050110015,03,01100 pu p f ==××−=σ

0.64

0.5

a

0.7

0.05

perdas

fp/fpu

34,005,05,07,0

5,064,0=∴×

−−

= aa

MPar tot pt 365,105034,0,, =×=Δ −σ

21 /81,1706,20)112,01( mm N c =×−=′

σ (ver exemplo C.1)

22 /84,1497,281,17 mm N c =−=′

σ (ver exemplo C.1)

∴ 2/33,162

84,1481,17mm N c =

+=σ

O REBAP impõe sinal negativo para compressão:

2/33,16 mm N p g c −=+σ



39

2/81,17 mm N poc −=σ

2/1100 mm N po =σ

( )

MPa

xr c s pt

3082732,1

3630650

2

5,21

1100

81,175,71

36)33,16(5,25,71020010250 36

,

=−−−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +×−

×−

−−××+×××−−=Δ ++σ

∴ %281100

308=

Recalculo da relaxação:

)61,0(1008110028,03,1100 pu p f ==××−=σ

028,005,05,07,0

5,061,0=×

−−

=a

MPar c s pt 3022732,1

2830650, =

−−−−=Δ ++σ

MPar tot p 2810080028,0,, =×=Δ −σ

%271100

302= Suficientemente próxima do ponto de partida, 28%

∴ perda diferida =27%



40

ANEXO D



41

D.1 Combinações de acções regulamentares

Os valores limites a impor para as tensões estão definidos nos Art. 67 a 71º

do REBAP – verificação da segurança em relação aos E.L. de fendilhação

Quadro D.1- Estados de fendilhação para armaduras de pré-esforço.

As combinações de acções a considerar na verificação dos estados limites de utilização

estão especificados no quadro D.2.

Quadro D.2 – Combinações de acções

Em que:

Combinações de acções Definição

Raras ∑≥

+++1

1.11 )()(i

ik servk m QouQQ P G ϕ

Frequentes

∑≥+++ 1 1211 )(ik ik m QQ P G ϕ ϕ

Quase permanentes ∑≥

++1

2 )(i

ik im Q P G ϕ

Ambiente Combinações de acções Estado limite

Pouco agressivo Frequentes Largura de fendasmmw 2,0=

Quase permanentes Descompressão

Moderadamente agressivo Frequentes Largura defendas mmw 1,0=

Quase permanente Descompressão

Muito agressivo Raras Largura de fendasmmw 1,0=



42

mG – Valor médio das acções permanentes (peso próprio, etc.);

P -Valor do pré-esforço (P0 na fase inicial e P na fase final);

K Q1 -Valor característico da acção variável de base da combinação;

iK Q – Valor característico das outras acções variáveis;

ii 21 ,ψ ψ - Coeficientes a aplicarem às acções variáveis para encontrar os

seus valores frequentemente e quase permanente respectivamente.

Quanto ao limite das tensões de compressãoco f e

c f especifica-se no Art.

71º - Verificação da tensão à compressão – combinações raras de acções.

cd cco f f f ≤,

cd f -valor de tensão de rotura do betão à compressão.

No caso da aplicação do pré-esforço ser efectuada para um tempo de cura

inferior a 28 dias

28<ot dias de idade do betão

Então a tensãoco f , deve ser limitada a:

t t f f para

ck c = ⎯ ⎯ → ⎯ ≤ 00 5,1/0,1

jk c f - valor característico da tensão de rotura à compressão de provetes

cilíndricos à idade de j dias (ver Art. 15º do REBAP).



43

Muitas vezes a verificação da tensão máxima de compressão exige em o

cálculo em secções fendilhadas (quandoctmt to f f f >, ) o que será analisado

posteriormente.

D.2 – Exemplo de Dimensionamento de laje pós-tensionada.

Pretende dimensionar-se uma laje maciça pós-tensionada simplesmente

apoiada com 20 metros de vão. A única acção externa existente durante a

operação de pré-esforço é o seu peso próprio (considerar o peso específico γ

= 25 Kn/m3). Na laje actua uma acção variável definida por uma carga

uniformemente distribuída de 10 KN/m2

(considere ψ2 = 0,2). Esta acçãovariável só tem possibilidade de actuar quando a estrutura for posta em

serviço (nunca antes de 1 mês após o pré-esforço). [4]

Dados:

- B 35

- Ambiente pouco agressivo

- Pré esforço aos 21 dias de idade ( do betão)

h/2e

h/2G

Figura D.1 – Pormenor de laje



44

a)Admita que as perdas instantâneas são de 10 % e as perdas totais

(instantâneas + diferidas) são 20%. Determine a altura mínima para a laje.

b)Suponha que a laje tem uma altura total de 500 mm e que a distância

mínima entre o centro de gravidade das armaduras de pré-esforço e a base

da laje é de 75mm. Calcule o valor do pré-esforço admitindo que a meio vão

a excentricidade é igual à excentricidade admissível (admee = ).

c)Com os dados usados na alínea b) construa o diagrama de Magnel para a secção de

meio vão da laje.

d)Com os dados usados nas alíneas b) e c) calcule o fuso limite e proponha um traçado

para as armaduras de pré-esforço. Suponha que m KN P /45000 = .

Resolução:

Definição de parâmetros:

MPa f cd 20−=

( ) MPa f cd 6,182093,00 −=−×= (REBAP Art. 15º)

0=ct f (REBAP Art. 69º)

MPa f cto 2,133,193,0 +=×= (REBAP Art. 15º e 16º)

A meio vão, temos:



45

mm KN hh M g /.)(12508

2025

2

0 =×= (Nota: h em metros)

Art. 71º REBAP → verificação de cd f , usando combinações raras de

acções: mm KN hh M q /.500)(12508

20101250

2

1 +=×+=

Art. 68º REBAP →verificação de f ct = 0 usando combinação quase

permanentes de acções:

mm KN hh M q /.100)(12508

102,012502

2 +=×+=

Portanto: 1qq M M =

1qq M M = Na inequação V.6


Consequentemente:



Aplicando as inequações V.12 e V.13 obtemos:

[ ]( )[ ]

( ) 33

10734,235928,610202,18889,0

12508889,05001250 −×+−=×−−××−+

−≤ hhh

W t



46

[ ]( )[ ]

( ) 33

10048,6401,8106,188889,00

12508889,01001250 −×+−=×−×−

×−+−≥ h

hhW b

(Nota: 8889,09,080,00

=== η η R )

Por outro lado, os módulos de flexão, t b ww , são definidos por:

mmh

W t /6

32

−=

mmh

W b /6

32

=

Consequentemente:

( )3

2

10734,235928,66 ×+−≤− h

h

( ) 32

10048,6401,86

×+−≥ hh

Inequações equivalentes a:

( ) mhoumhhh 398,0358,00734,235928,66

1000 2 ≥−≤ ⎯→ ⎯ ≥+−

( ) mhoumhhh 217,0167,00048734,6401,86

1000 2 ≥−≤ ⎯→ ⎯ ≥+−

Conclusão:



47

Altura mínima da laje → hmin = 0,398 m

Determinação dos parâmetros para aplicação das inequações V.14 a V.17:

mmh

ee adm 175,0075,06

=−≤−==

mmW t /041667,06

500,0 32

=−= e 30041667,0 3mW b +=

mm A 2/500,0=

mm KN h M g /.62512500 ==

)(/.11255006252 cd q f aassociadomm KN M =+=

)(/.7251006251 ct q f aassociadomm KN M =+=

0092,0175,0083,0175,0500,0

041667,0>=+−=+−=+ e

A

W t

258,0175,0083,0 =+=+ e A

W b

Aplicando as inequações V.14 a V.17 obtemos, respectivamente:

m KN P /8152092,090,0

625102,1041667,0 3

0 =×

+××≤ Eq.V.14

m KN P /6029258,090,0

625106,18041667,0 3

0 =×+××

≤ Eq.V.15



48

m KN P /3963092,080,0

11251020041667,0 3

0 =×

+××−≥ Eq.V.16

m KN P /3513258,080,0 7250041667,00 =× +××−≥ Eq.V.17

Conclusão:

3963 KN / m ≤ P0 ≤ 6029 KN / m

a)Aplicando as inequações V.18 a V.21, obtemos:

( ) ( )ee

P

34

0

103333,1101111,16251200041667,0

50,0

041667,09,0

1 −− ×+×−=+×

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−

≥ Eq.V.18

( ) ( )ee

P

45

0

104285,61035716,562513000041667,0

50,0

041667,09,0

1 −− ×+×+=+×

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

≥ Eq.V.19

Eq.V.20

Eq.V.21

As rectas limitadoras do domínio de soluções passam nos seguintes pares de pontos A

),/1( 0 e P :

( ) ( )e

e

P

34

0 107429,2102857,2112520000041667,0

5,0

041667,08,0

1 −−

×+×−=+×−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−

≤

( ) ( )ee

P

35

0

1010345,1101954,97250041667,0

5,0

041667,08,0

1 −− ×+×+=+×−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

≤



49

( ) )18..(0,10111,11,008333,0,0 5 IV E de−×−+

( ) ( ) )19..(0,10111,11,008333,0,0 5 IV E de−×−−

( ) ( ) )20..(0,10857,22,008333,0,0 5 IV E de−×−+

( ) ( ) )21..(0,101954,9,008333,0,0 5 IV E de−×+−

Com estes dados podemos, finalmente, construir o diagrama de Magnel

representado na figura D.2.

V . 1 8

V. 2 1

e adm = e máx

-Wt excentricidade, eAA

-W b

P0

1

A

B

1P0 B

P0

1 máx

=BP0

1

V . 2

4

e A

Figura. D.2 – Diagrama de Magnel

A intersecção das rectas limitadoras das regiões representadas por V.18 e

V.21 é dada pela equação V.22:



50

( )

m KN P

m KN P

153

0

0

1067,106100667,11

/3,937

500,0

041667,0041667,08,0

1200041667,09,0

8,00625

9,0

8,0725

−−− ×=×=⇒

=+

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×−×−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×−

=

Substituindo este valor em V.18 (ou V.21) vem e = 0,883 m (ponto fora da

secção).

A inequação V.24 deve ser tida em consideração. A intersecção da recta e =

adme com as rectas correspondentes a inequação V.18 a V.21 faz-se para:

18../818210121

015

0

IV Eqm KN P m KN P

=⇒×= −−

19../6022106,161

015

0

IV Eqm KN P m KN P

=⇒×= −−

20../3977101,251 015

0

IV Eqm KN P m KN P =⇒×= −−

21../3500105,281

0155

0

IV Eqm KN P m KN P

=⇒×= −−−

Estes valores são iguais aos calculados na alínea b) a menos de erros

pequenos devidos a arredondamentos.

a)As inequações V.26 a V.29 conduzem aos seguintes valores para as

secções dos apoios ( 0210 === qq g M M M )

26..0957,045009,0

1200041667,0

500,0

041667,0 IV Eqme =

××

+≤



51

27..1080,045009,0

18600041667,0

500,0

041667,0 IV Eqme =

××

+−≤

28..01498145008,0 0041667,0500,0041667,0 IV Eqme −=× ×−≥

29..0833,045009,0

0041667,0

500,0

041667,0 IV Eqme −=

××

−−≥

Para a secção de meio vão temos:

26..250,045009,0

6250957,0 IV Eqme =

×+≤

27..2623,045009,0

6251080,0 IV Eqme =

×+≤

28..1644,045008,0

11251481,0 IV Eqme =

×+−≥

29..11806,045008,0

72508333,0 IV Eqme =

×+−≥

Considerando apenas o sinal de “ = “, as equações resultantes das inequações V.26 a

V.29 terão a forma:

cbxaxe ++= 2

Para tal consideraram-se constantes os parâmetros η η ,,,, 0 Aww bt ao longo da laje.

Os momentos q g M M , são representados por uma parábola contínua ao longo da viga o

que implica que as funções ( ) xee = também o sejam.



52

As inequações V.26, V.28 e V.29 são sempre as mais limitativas pelo que o fuso limite

vai ser definido por essas inequações e pela recta admee =

As equações resultantes das inequações IV.26, IV.28 e IV.29 terão a forma geral:

26262

2626 c xb xae ++=

28282

2828 c xb xae ++=

29292

2929 c xb xae ++=

Onde x é a distância em metros do apoio esquerdo.

Cálculo das constantes a, b, c:

x = 0

0957,00957,0 2626 +=⇒−= ce

1481,01481,0 2828 −=⇒−= ce

0833,00833,0 2929 −=⇒−= ce

x = 10

2626262626 200200' abbae −=⇒=+⇒=

2826282828 200200' abbae −=⇒=+⇒=

2929292929 200200' abbae −=⇒=+⇒=



53

326

262626

10543,1

250,00957,0)20(10100250,0

−×−=⇒

=+−+⇒=

a

aae

328

282828

10125,3

2047,00504,0)20(101001644,0

−×−=⇒

=+−+⇒=

a

aae

3

29

262929

10014,2

11806,00833,0)20(1010011806,0

−×−=⇒

=+−+⇒=

a

aae

Portanto:

0957,003086,0)101543,1( 2326 ++×−= −

x xe

1481,00625,0)10125,3( 2328 ++×−= −

x xe

0833,004028,0)10014,2( 2329 ++×−= −

x xe

Intersecção de rectas:

A recta 26e intersecta a recta mee adm 175,030 == nos pontos

m xm x 972,16028,3 =∧= como se pode facilmente verificar

igualando as equações V.26 e V.30:

0957,003086,0)10543,1( 23 ++×− − x x

A intersecção de 28e com 29e dá-se para m xm x 456,16544,3 =∧= .



54

Como já foi referido neste Capítulo, a consideração de apenas quatro inequações limites

de tensão só seria válida para momentos positivos. Para casos de momentos a rondar o

valor zero (neste exemplo junto aos apoios) dever-se-á considerar uma quinta inequação

por força do art. 69º uma vez que a “fibra extrema que fica mais traccionada por efeitos

dos esforços actuantes, com exclusão do pré-esforço” serão, neste caso, as duas fibras

extremas simultaneamente e não apenas a fibra extrema inferior (ver inequação V.7).

Consequentemente, a quinta inequação deverá limitar tensões de tracção na fibra

superior ( y = y2 ) a tempo t = t∞ sendo :

t c

s

q

s

t cq f

W M

W e P

A P f y

I M y

I e P

A P ≤+−−⇔≤+−− 00

2200 η η η η IV.7.b

Esta inequação resolvida em ordem a “e” conduz a:

( )t c sq s f W M

P A

W e −+−≤

0

1

η IV.29

Para o caso particular de exemplo D.2, a limitação da excentricidade sobre o apoio dada

pela inequação V.29 b) é a seguinte:

me 0833,0+≤

Devemos considerar uma equação suplementar, be ,29 para a zona dos apoios que é a

seguinte (reparar na analogia com a equação 29e ):

( ) 0833,004028,010014,2 2329 ++×−= xe

Esta equação intersecta a equação e nos pontos x = 1,404 m e x = 18,596 m.

O fuso limite está representado na figura D.3.



55

e < eadm

Equações IV.26 e IV.27

Equações IV.28 e IV.29

Figura D.3 – Fuso limite

Para o traçado do eixo de gravidade das armaduras podemos escolher uma função

parabólica ( ) cbxax x y ++= 2 , com excentricidade nula sobre os apoios e

excentricidade máxima a meio vão:

000 =⇒=⇒= c y x

175,010 =⇒= y x

abbax y x 2002'10 −=⇒=+=⇒=

175,0200100175,010102 =−⇒=×+× aaba

31075,1 −×−=⇒ a

035,01075,120 3 =××−=⇒ −b

Finalmente, temos um possível traçado para o centro de gravidade das armaduras de

pré-esforço definido pela seguinte equação:



56

x x y 035,0)1075,1( 23 +×= −



57

ANEXO E



58

E.1 – Exemplo de Dimensionamento de uma Secção aos Momentos Flectores

Dimensione a armadura ordinária para a secção representada na figura. E.1 [3,4]

Dados:

m KN M sd .8410=

27,29 cm A sp =

MPa f puk 1800=

MPa f k p 16001,0 =

Ambiente moderadamente agressivo

A p

0,13

1,50

0,27

0,20

1,60

0,95

0,080,20

(m)

Figura E.1 – Secção de betão pré-esforçado

Resolução:



59

Para um Pré-dimensionamento podemos considerar:

d = d p = 1.50 – 0.13 = 1.37 m

cd

sd Nota

f d b

M 232

140,0102037,16,1

8410= ⎯ ⎯ → ⎯ =

×××= μ μ

Para usar as tabelas do LNEC devemos definir wb

be

d

h f :

20,08 =∧=d

h

b

b f

w

Através das referidas tabelas há 2 parâmetros que são obtidos, ω α , . Neste

momento interessa-nos conhecer o ω pois é o parâmetro relacionado com a

quantidade de armadura:

154,0=ω

Sendo:

ω ω syd

cd eq s

vem

cd

syd

eq s f

f d b A

f d b

f A = ⎯ ⎯→ ⎯ = )()(

As dimensões e os materiais escolhidos para a viga deste exemplo

conduzem a:

20194,0348

2037,160,1)( m A eq s =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ××= ω

Por outro lado;



60

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

syk

k po

sp seq s f

f A A A

1,)(

Substituindo os valores conhecidos, obtemos:

200752,000118,00194,0400

16000194,0 m A A s s =−=⇔⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

∴ A s = 75.2 cm2 → 15 ∅ 25 ( um pouco por defeito para ter em conta o agravamento

por se ter considerado pd d = ).

É necessário verificar se os varões cabem todos numa só camada. Esta análise está

ilustrada na fig. E.2.

2,5 cm ≥2,5 cm

b'a

Figura E.2 – Disposição de armaduras ordinárias

( ) cmb 1,798,025,2145,2155,2155,22' min =×+×+×+×+×=

↓

(estribos ∅ 8)

∴ os varões cabem todos numa só camada

A altura útil para a armadura ordinária é, pois:



61

md 455,12

025,0028,05,1 =−−=

Nota:( )m008,0020,0028,0 += garante recobrimento dos estribos até ∅ 8 (o

recobrimento mínimo da armadura longitudinal apenas precisa de um recobrimento de

0.025m)

A altura útil equivalente é:

pyd s syd s

p pyd sp syd s

eq f A f A

d f Ad f Ad

+

+=

Substituindo os símbolos pelos seus valores, temos:

inicial eq d d ≠=×+×

××+××= 404,1

15,1

16007,29

15,1

4007,73

15,115,1

16007,2946,1

15,1

4007,73

Novo ciclo:

147,0230,0133,01020404,16,1

841032

=∧= ⎯ ⎯ → ⎯ =×××

= ω α μ tabelas

201898,0348

2040,160,1)( m A eq s =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ××= ω

( )22 7,73251500710,001188,001898,0 cm Am A s s = ⎯→ ⎯ =−=⇒ φ

Em conclusão, temos:



62

147,0230,0 == ω α 15 ∅ 25

259,0230,0 <==

d

xα

Portanto :

m xd

x

s

c

322,0230,0

%10

0035,0

=⇒=

=

<

ε

ε

O diagrama de deformações ao longo da altura da secção transversal é,

consequentemente, o ilustrado na Fig.E.3.

0,322

εs= 10 ‰

Δε p =1,37 - 0,322

1,457 - 0,322× 10 ‰

= 9,23 ‰

Figura E.3 – Diagrama de deformações da secção

Normalmente para valores %32 a p >Δε vem pyd sp f =σ



63

Conclusões:

psyd sp p

syd s s

f

f

= ⎯→ ⎯ =Δ

= ⎯→ ⎯ ≈

σ ε

σ ε

%23,9

%10

Consequentemente, a solução de 15 ∅ 25 está correcta. Verifica também as indicações

expressas no Art. 90º do REBAP.

E.2 – Exemplo de Dimensionamento de uma Secção aos Esforços Transversos

Para a viga relativa ao exemplo E.1, a secção junto aos apoios tem uma alma mais larga

(a uma distância de 1.6 m de cada apoio a largura da alma passa a 0.20 m para 0.50 m).

Na secção dos apoios o esforço transverso do dimensionamento é de 1800 KN em valor

absoluto. [3,4]

Para a secção do apoio dimensione estribos verticais para resistir ao esforço transverso

sabendo que, nessa secção, os cabos se encontram na alma e têm uma inclinação

definida por tg (α) = 0,132. Considere que a armadura ordinária dimensionada no

exemplo E.1 se prolonga até ao apoio e que P∞ = 3000 KN (as duas bainhas estão

dispostas verticalmente e têm 7 cm de diâmetro).

Resolução:

23

0052,010348

1800m

f

V

syd

sd =×

=

→=>=∴ 22 527,73 cm f

V cm A

syd

sd s (15 ∅ 25)



64

Uma vez que syd

sd s

f

V A > podemos usar um valor reduzido para o esforço transverso

que é definido por:

( )

KN

tg xtg P V V nota

sd sd

1404

132,030001800

sin'

=

×−=

= ⎯ ⎯→ ⎯ −= α α

A determinação de ef wb , faz-se através da Figura E.3.

bw

Ø

Figura E.3 – Cálculo da largura efectiva da alma ∅ = 7 cm

mb

bbb

cmmb

ef

ef

465,02

07,050,0

28

3,60625,08

50,0

8

,

,

=−=∴

∅−=⇒>∅

===

ω

ω ω ω

ω



65

Devemos, seguidamente, determinar a tensão máxima no betão (bielas compridas) (Art.

53º REBAP):

KN d b 3909401,1465,0100,63

2 =×××=ω τ

Como d bV w sd τ <' está verificada a tensão máxima no betão.

Vamos, seguidamente, determinar cd V :

⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ +=

sd

cd M M d bV 0

1 1ω τ

Como ∞≈+ ⎯→ ⎯ ≈ sd

vem

sd M

M M 010

Obrigados a respeitar o intervalo:

211 0 ≤+≤ sd M

M

Vamos tomar:

210

=+ sd M

M

Assim, de acordo com o art. 53º do REBAP, temos:

KN KN V cd 11072401,1465,01085,0 3 =××××=

De acordo com o mesmo art. do REBAP, temos:



66

KN V V V cd sd d 29711071404' =−=−=ω

mm s

A f

s

Ad V

s

syd

s

d /000677,0401,19,010348

2979,0 2

3

−=×××

=⇒⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ = ω ω

ω

A armadura mínima de esforço transverso definido pelo art. 94º do REBAP é:

mm s

A

sb

A s s /00005,0500,0100

10,0100,0100 2−=×≥⇒≥× ω

ω

ω

Prevalece a 1ª condição:

mm s

A s /000677,0 2≥ω

Usando estribos de 2 ramos ∅8, temos:

m scm A s 148,0000677,0

0001,0182 2 =≤⇒=→∅

Podemos escolher um afastamento de 14 cm o que verifica o afastamento mínimo

definido no artigo 94º do REBAP.

Conclusão: estribos ∅8 // 0.14



67

ANEXO F



68

F – Zonas de ancoragem

O exemplo seguinte tem como objectivo ilustrar a verificação da segurança e

dimensionamento de armaduras nas zonas de ancoragem. [2,3,4]

F.1 – Verificação da pressão local no betão

O dimensionamento da viga conduziu a um valor do pré-esforço na origem

(ancoragem) de KN P 6,3883'0 = . Adoptaram-se dois cabos de KN 8,1941 cada,

localizado conforme se ilustra na figura F.1.

G

1A

0,30

0,30

0,30

2

0,40

0,49

0,11

0,30

0,20

0,19

0,61

0,89

0,50

1,50

1

Figura F.1 – Secção transversal da viga



69

Considerando uma placa de ancoragem de 230,030,0 m× e os valores de MPa f cd 20=

e 21 30,030,050,02 m A =××= obtém-se:

MPa A

A f P cd crd 515,36826,120

09,0

30,020

0

1=×=×===

Sabendo que 3,30

1<

A

A.

KN A P KN f crd sd 35,3286310515,364,262218,194135,1 230 =××=×≤=×=

F.2 – Dimensionamento das armaduras

a) Análise do faseamento na aplicação do pré-esforço

Considerando que o 1º cabo a pré-esforçar é o cabo superior (cabo 1 indicado na

figura), tem-se para a força de tracção (A força F1 está localizada no núcleo central).



70

sd

1

1

0

1

1Ft

0,11

b

aF

núcleocentral

0,61

0,283

0,385

0,89

a = 1,0m

F0,11 G

a

Ft

A1

Figura F.2 – Definição do prisma do pré-esforço inicial na direcção vertical

mamba 3,00,15,022 01 =∧=×==

KN

a

a F F sd t 5,550

0,1

3,014,262130,0

1

13,0 01 =⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −××=⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −=

23

41 4,20

10270

105,550cm

f

F A

syd

t s =

××

==

(Adopta-se o aço A400, mas considera-se no entanto 310270×= syd f , de acordo com

as indicações regulamentares).

A armadura s A deverá ser distribuição no prisma de base 1 A e profundidade a1.

As forças de tracção que se obtêm na direcção horizontal são calculadas na alínea b.2.

b) Análise dos efeitos de duas forças concentradas



71

b.1) Direcção vertical

A distribuição de tensões (Figura F.3), de acordo com a teoria das peças lineares, numa

secção a uma distância igual à altura da secção conduz aos seguintes valores:

21 /45,6953

95,0

6,3883

285.0

21.06,3883m KN −==

×=σ

22 /83,5945

95,0

6,3883

439,0

21.06,3883m KN −=−=

×−=σ

0,50

0,70

2Ft

1a

0,60

0,40

0,60

0,30

0,20

1,50 m

1Ft

2a

1A

Figura F.3 – Definição dos prismas e distribuição de tensões

A definição dos prismas associados (FIGURA F.3 a cada uma das forças conduz aos

seguintes resultados:

O que significa que é necessário dimensionar armaduras no prisma de cada força e

armaduras no prisma envolvente das duas forças, dada por:



72

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

1

01 13,0

a

a F F sd t

Com

KN F sd 43,2621=

mama 6,030,0 10 =∧=

⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −=

1

02 16,0

aa F F sd t

Com

KN F sd 43,2621=

mama 4,160,0 10 =∧=

Obtendo-se

2

3

4

1,1 56,1410270

1021,39321,393 cm A KN F s sd t =

×

×==

2

3

4

2,2 32,810270

1021,22469,224 cm A KN F s sd t =

×

×==

A armadura 1 s A deverá ser distribuída no prisma de base 50,02,11 ×=v A e

profundidade 60,01 =va ; armadura 2 s A deverá ser distribuída no prisma de base

50,040,12 ×=v A e profundidade 40,12 =va .



73

b.2) Direcção horizontal

Na direcção horizontal tem-se:

0,10

0,30

1a1Ft

F

0,50

1,50 m

0,20

0,30

0,60

0,30

0,30

0,50

Figura F.4 – Definição do prisma

23

4

1,1 65,11

10270

1057,31457,314 cm A KN F s sd t =

×

×==

Esta armadura deverá ser distribuída na prisma de base 20,150,01 ×= H A e

profundidade 50,01 = H a .

c) Pormenorização das armaduras

De acordo com os cálculos efectuados a armadura transversal deverá cobrir, na direcção

vertical, as seguintes situações:



74

1,40 m

0,06

14,56 cm2

0,10

222,67 cm /m

1,0 m

20,4 cm2

0,6 m

0,14

28,32 cm

Figura F.5 – Armaduras para o cálculo na direcção vertical

Adoptou-se a seguinte armadura

0,06

226,96 cm /m

214,56 cm

0,60 0,40

5,84 cm2

25,94 cm /m

22,38 cm

0,40

18,13 cm /m238,94 cm /m

2

φ10//0,10(4 ramos)

2

26,58 cm /mφ10//0,10(1de 4 e 3de 2ramos)

Armadurada zona deancoragem

Armadura transversal total(esforço transverso eancoragem)

14,6 cm /m

2



75

Figura F.6 – Armadura adoptada na direcção vertical que cobre as situações

anteriormente indicadas.

Esta armadura deverá ser adicionada à armadura de esforço transverso de cálculo(11,98 cm2/m)

Na direcção horizontal deverá ter-se 10,93 cm2.

0,06

226,96 cm /m

214,56 cm

0,60 0,40

5,84 cm2

25,94 cm /m

22,38 cm

0,40

18,13 cm /m238,94 cm /m

2

φ10//0,10(4 ramos)

226,58 cm /m

φ10//0,10(1de 4 e 3de 2ramos)

Armadurada zona de

ancoragem

Armadura transversal total(esforço transverso e

ancoragem)

14,6 cm /m

2

Figura F.7 – Armadura na direcção horizontal



76

12 φ 6 // 0,10

,050,50

0,50

0,60

0,40

Figura F.8 – Armadura na direcção horizontal.



77

φ 10 // 0.10 (2 ramos)φ 10 // 0.10 (4 ramos)

A'

A

B'B

φ 6 (10 ramos)

Figura F.9 – Pormenorização de armadura.



78

ANEXO G

Caso de Aplicação



79

G - Exercício de uma viga em T pós-tensionada.

G.1 - Dados:

A35

A400

Pré-esforço aos 28 dias

Ambiente moderadamente agressivo

6,04,07,0 210 === ψ ψ ψ

Artigo 35.1.b – Sobrecarga de 5 KN

14,0m

6,0 m 6,0 mFigura G.1 – Laje e viga em estudo

G.2 – Cálculos básicos

mh 44,06,12014min =×=



80

MPa f

compressão MPa f

MPa f

f

cdo

cd

cto

ct

0,20)0,20(1

)(0,20

33,1

0

−=−×=

−=

=

=

Nos apoios (ate 0,35m).

Figura G.2 – Dimensões da viga ate 0,35m dos apoios

4,65,0

2,3235,0

85,0

2,0====

w

f

b

b

h

h 2965,0 m Ac =

7128,0

3216,0

=

=

g

b

C

C

mbC b beq 029,12,33216,0 =×=×=

mhC x g g 244,09,0)7128,01()1( =×−=×−=

m yh ym y x g 606,0244,085,0244,0 212 =−=−===

mca ye 476,013,0606,01 =−=−−=



81

mmhb

I eq /0526,0

12

85,0029,1

122

33

=×

=×

=

0868,0606,00526,0216,0244,00526,012

===−===− y I W

y I W bt

565,0476,0965,0

0868,0252,0476,0

965,0

216,0=+=+=+

−=+

−e

A

W e

A

W bt

A meio vão:

Figura G.3 – Dimensões da viga a meio vão

84,0

2,3235,0

85,0

2,0====

w

f

b

b

h

h 290,0 m Ac =

7378,0

273,0

=

=

g

b

C

C mbC b beq 8736,02,3273,0 =×=×=

045,012

85,08736,0

12

33

=×

=×

=hb

I eq

mhC x g g 223,085,0)7378,01()1( =×−=×−=



82

m yh ym y x g 627,0223,085,0223,0 212 =−=−===

mca ye 497,013,0627,01 =−=−−=

072,0627,0

045,0202,0

223,0

045,0

12

===−===− y

I W

y

I W bt

577,0497,09,0

072,0249,0497,0

9,0

223,0=+=+=+

−=+

−e

A

W e

A

W bt

Cargas

Viga: KN Aq c 5,222590,0 =×=×= γ

Laje: KN q 306252,0 =××=

Revestimentos: KN q 1565,2 =×=

Sobrecarga: KN l SC 3065inf =×=×

Antes do pré-esforço:

KN qtot 53305,22 =+=

Depois do pré-esforço

KN qtot 6815305,22 =++=

G.3 - Combinações de acções



83

Cargas existentes

KN M q 1299

8

1453 2

0 =×

=

Combinações quase permanentes

KN M q 19608

14304,0

8

1468 22

1 =×

×+×

=

Combinações raras

KN M q 24018

1430

8

1468 22

2 =×

+×

=

Combinações frequentes

KN M q 21078

14306,0

8

1468 22

3 =××+×=

Estado Limite ultimo

Combinações raras

KN M sd 33528

14305,1

8

146835,1

22

=×

×+×

×=

Equações de Momentos

( ) x

xq x

ql x M

2

2−= ( ) qx

ql xV −=

2



84

( )2

532

1453 2

0

x x x M q ×−×

×=

( ) x xV q ×−×= 53214530

( )( )

( )2

304,0682

14304,068 2

1

x x x M q ××+−×

××+=

( )( )

( ) x xV q 304,0682

14304,0680 ×+−

××+=

( )( )

( )2

30682

143068 2

2

x x x M q ×+−×

×+=

( )( )

( ) x xV q 30682

1430680 +−

×+=

( )( )

( )2

306,0682

14306,068 2

3

x x x M q ××+−×

××+=

( )( )

( ) x xV q 306,0682

14306,0680 ×+−

××+=

G.4 - Determinação do valor do pré-esforço

Admitindo 10% de perdas diferidas e 20 % de perdas totais (instantâneas +diferidas),

vem:

8,09,00 =∧= η η



85

KN

e A

W

M f W P

t

qctot 7203249,09,0

12991033,1237,0 30

0 =×

+××=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×

+×−≤

η

KN

e A

W

M f W P

b

qcd b 5275577,09,0

1299100,20072,0 30

0 =×

+××=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×

+×−≤

η

KN

e A

W

M f W P

t

qcdot 11742249,08,0

2401100,20237,0 3

0

20 −=

×+××−

=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×

+×−≥

η

KN

e A

W

M f W P

b

qt b 4246577,08,0

1960010 =

×+

=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×

+×−≥

η

Concluindo, vem:

KN P KN 52754246 0 ≤≤

G.5 – Construção do diagrama de Magnel

e

e

M f W

e A

W

P qctot

t

)105754,5(104682,1

12991033,1237,0

9,0

237,09,0

1 443

0

0

0

−− ×+×−=

+××

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−×

=

+×−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×

≥η

e

e

M f W

e A

W

P qcd b

b

)102858,3(106286,212991020072,0

9,0

072,09,0

1 453

0

0

0

−− ×+×=+××

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×

=+×−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×

≥η



86

( )0

)104202,3(10006,924011020237,0

9,0

237,08,0

1 453

20

<+−

×−×=+××−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−×

=+×−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×

≥ −−

qcd t

qcd t

t

M f W para

e

e

M f W

e A

W

P

η

( )0

)100816,4(102653,319600072,0

9,0

072,08,0

1

1

45

10

≥+

×+×=+×−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×

=+×−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×

≤ −−

M f W para

e

e

M f W

e A

W

P

ct b

qct b

bη

Fazendo a intersecção da recta V.18 com V.21, vem:

Wteadm

(497)excentricidade (mm)

AW bA eA

B

A

V.21

V.18

1P

(m/KN)

( 10)

0

-5

1P0( )

B

1P0( )

min=

V.24

Figura G.4 – Diagrama de Magnel



87

Como maxeeee adm

então

adm A = ⎯ ⎯ → ⎯ > , e o valor do pré-esforço mínimo é dado pela

seguinte expressão:

( ) KN

e A

W

M f W P P

b

qct b B 3397497,0

9,0

072,019601

min =+

=+

+×=∞

G.5 - Estimativa para o valor do pré-esforço e dimensões dos cabos.

Arbitrando o valor do pré-esforço na origem de, KN P 45000 = , e sabendo que;

KN P u 600075,0

4500==

Escolhendo cordões da VSL de 140mm de secção e aço N, vem:

cordõesn 8,23104,1101800

600043

=×××

= −

Solução:

- 2 Cabos de 12 cordões

- Ancoragens CR-16 (Stronghold)

k p po

puk po

f

f

1,085,0

75,0

≤

≤

σ

σ



88

0,240

0,390

0,220

0,280

0,120

Figura G.5 - Pormenor das ancoragens nos apoios e a posição dos cabos a meio vão

Em função das ancoragens escolhidas o fuso limite, e o consequente, traçado do caboresultante é limitado por as próprias dimensões das ancoragens. Escolhendo um traçado

parabólico, tipo, ( ) cbxax x y ++= 2 , com excentricidade máxima a meio vão.

O traçado do cabo resultante é dado pela seguinte equação:

Decidiu-se usar a dimensão de 7m, em vez de 6,85m (medida real).

,192

x

β 2

β

−

Figura G.6 – Traçado do cabo resultante



89

( )

( )

( )

497,000622,0

00'

192,07

497,00

2

2

+−=

=

=

=

++=

x y

y

y

y

cbxax y

G.6 - Calculo de perdas

Para o efeito será usado um programa gentilmente cedido pela VSL.

Para o calculo das perdas serão usados os dois traçados dos cabos.



90



91

Figura G.7 – Viga e cabos de pré-esforço em estudo

Calculo de perdas do cabo 1

PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO - CÁLCULO

CABO 1

Número de secções de cálculo

5

Coeficiente de atrito em curva (μ) 0,2 rad-1

Coeficiente de atrito em recta (k) 0,0008 m-1

Área de aço de pré-esforço (Asp) 16,80 cm2

Tensão de rotura do aço de pré-esforço (σ rot) 1860 MPaMódulo de elasticidade do aço de pré-esforço(Ep) 198 GPa

Módulo de elasticidade do betão aos 28 dias (Ec,28) 32,0 GPa

Módulo de elasticidade do betão à data da aplicação do p.e.(Ec,j) 28,7 GPaCoeficiente de Fluência do betão(ϕc) 2,7

Extensão de Retracção do betão (εc) -2,0E-04

Relaxação do aço às 1000 h a 20°C e a 70% da rotura 2,5%

Número de cabos na mesma secção transversal 2

Aplicação da força de pré-esforço

Puxe e reaperto (S/N)? N Puxe a 75,0% da σr

Lado de início de pré-esforço (E/D) D

Esquerda Direita

Força de puxe Po' [kN] 0 2343,6

Reentrada das cunhas [m] 0 0,002

Alongamento Teórico [m] 0,000 0,092

Traçado do Cabo

Secção Curva / Recta x [m] h [m] R planta [m] σc [MPa] σcPo+g [MPa] σc,Po [MPa] 1 - 0 0,63 0 -3,0 -4,0 -6,02 R 1 0,538 0 -3,0 -4,0 -6,03 C 6,85 0,28 0 -3,0 -4,0 -6,04 R 12,7 0,538 0 -3,0 -4,0 -6,05 C 13,7 0,63 0 -3,0 -4,0 -6,0

Apresentação de Resultados



92

Perdas imediatas

Secção x [m] h [m] β [rad] ΔPatrito[kN] ΔPr.c.[kN] ΔPd.i.[kN] Po [kN] 1 0,000 0,630 0,269942 147,4 0,0 8,7 2187,5

2 1,000 0,538 0,269942 145,6 0,0 8,7 2189,33 6,850 0,280 0,181965 96,1 58,0 8,7 2180,84 12,700 0,538 0,181965 85,6 79,1 8,7 2170,25 13,700 0,630 0,000000 0,0 250,2 8,7 2084,7

Perdas diferidas

Secção x [m] h [m] Po [kN] ΔPflu. [kN] ΔPretr. [kN] ΔPrel. [kN] P∞ [kN] 1 0,000 0,630 2187,5 112,3 66,5 88,6 1920,3

2 1,000 0,538 2189,3 112,3 66,5 88,9 1921,83 6,850 0,280 2180,8 112,3 66,5 87,6 1914,54 12,700 0,538 2170,2 112,3 66,5 86,1 1905,55 13,700 0,630 2084,7 112,3 66,5 74,2 1831,9

Tabela G.1 – Cálculo de perdas de pré-esforço do cabo 1

Calculo de perdas do cabo 2

PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO - CÁLCULO

CABO 2

Número de secções de cálculo

5

Coeficiente de atrito em curva (μ) 0,2 rad-1

Coeficiente de atrito em recta (k) 0,0008 m-1

Área de aço de pré-esforço (Asp) 16,80 cm2

Tensão de rotura do aço de pré-esforço (σ rot) 1860 MPaMódulo de elasticidade do aço de pré-esforço(Ep) 198 GPa

Módulo de elasticidade do betão aos 28 dias (Ec,28) 32,0 GPa

Módulo de elasticidade do betão à data da aplicação do p.e.(Ec,j) 28,7 GPaCoeficiente de Fluência do betão(ϕc) 2,7

Extensão de Retracção do betão (εc) -2,0E-04

Relaxação do aço às 1000 h a 20°C e a 70% da rotura 2,5%

Número de cabos na mesma secção transversal 2



93

Aplicação da força de pré-esforço

Puxe e reaperto (S/N)? N Puxe a 75,0% da σr

Lado de início de pré-esforço (E/D) D

Esquerda DireitaForça de puxe Po' [kN] 0 2343,6

Reentrada das cunhas [m] 0 0,002

Alongamento Teórico [m] 0,000 0,095

Traçado do Cabo

Secção Curva / Recta x [m] h [m] R planta [m] σc [MPa] σcPo+g [MPa] σc,Po [MPa] 1 - 0 0,24 0 -3,0

-4,0 -6,02 R 1 0,205 0 -3,0 -4,0 -6,0

3 C 6,85 0,12 0 -3,0 -4,0 -6,04 R 12,7 0,205 0 -3,0 -4,0 -6,05 C 13,7 0,24 0 -3,0 -4,0 -6,0

Apresentação de Resultados

Perdas imediatas

Secção x [m] h [m] β [rad] ΔPatrito[kN] ΔPr.c.[kN] ΔPd.i.[kN] Po [kN] 1 0,000 0,240 0,098938 71,0 2,1 8,7 2261,8

2 1,000 0,205 0,098938 69,1 5,8 8,7 2260,03 6,850 0,120 0,069886 45,2 53,7 8,7 2236,04 12,700 0,205 0,069886 34,4 75,3 8,7 2225,25 13,700 0,240 0,000000 0,0 144,1 8,7 2190,8

Perdas diferidas

Secção x [m] h [m] Po [kN] ΔPflu. [kN] ΔPretr. [kN] ΔPrel. [kN] P∞ [kN] 1 0,000 0,240 2261,8 112,3 66,5 99,7 1983,5

2 1,000 0,205 2260,0 112,3 66,5 99,4 1982,03 6,850 0,120 2236,0 112,3 66,5 95,8 1961,64 12,700 0,205 2225,2 112,3 66,5 94,2 1952,45 13,700 0,240 2190,8 112,3 66,5 89,1 1923,1

Tabela G.2 – Cálculo de perdas de pré-esforço do cabo 2

A meio vão o pré-esforço final será:



94

KN P 38766,19615,1914 =+=∞

Com uma força de puxe inicial de KN P 2,4687'0 =

260,33 cm A sp =

G.7 - Dimensionamento das armaduras ordinárias

Considerando para um pré-dimensionamento, usando o método c do capítulo 4, vem:

72,013,085,0 =−== pd d

10,0102072,02,3

3352

.. 322=

×××==

cd

sd

f d b

M μ

Interpolando na tabela 9 do REBAP-83, vem:

28,010,0 ==d

h f μ

107,0181,0 =∧= ω α

( ) ( ) 20142,0107,03482072,02,3

..m A

f d b f A

eq s

cd

syd eq s =×××=⇔×=ω

Por outro lado:

( )

( ) 2

1,

00076,001344,00142,0

400

160000336,00142,0

m A

A f

f A A A

s

s

syk

k po

sp seq s

−=−=

⇔×+=⇔×+=



95

22 92,71276,7 cm Acm A s s ==∴ φ

Verificando a armadura mínima, vem:

2

4

32,4

10100

72,04,015,0100

cm A

Ad b

A

s

s

t

s

=∴

×××

=⇔×= ρ

Verificando o espaçamento máximo, vem:

cm66

25,240=

×−

Pois segundo o artigo 91º do REBAP, Quadro XIV, diz que o espaçamento máximo dos

varões da armadura longitudinal, para ambiente moderadamente agressivo e aço A400,

é de 7,5 cm.

Os varões cabem todos numa só camada.

( )

)6(

226,022,162,175,22' min

φ estribos

cmb

↓

=×+++×+×=

A altura útil para a armadura útil é pois:

md 824,0006,002,085,0 =−−=

pyd sp syd s

p pyd sp syd s

eq f A f A

d f Ad f Ad

+

+=

Substituindo valores, vem:



96

..725,0

15,1

16006,33

15,1

40092,7

72,015,1

16006,33824,0

15,1

40092,7

K Od md inicial eq ⎯→ ⎯ ≈=×+×

××+××=

Em conclusão, temos:

127;107,0;181,0 φ ω α ==

259,0181,0 <==d

xα

Portanto:

0%100035,0 =∧< sc ε ε

m x

d

x131,0181,0 =⇒=

O diagrama de deformações ao longo da altura da secção transversal é

consequentemente, o ilustrado na figura seguinte.

ε =10%0

Δεsp

Figura G.8 – Diagrama de deformações



97

00 %5,8%10131,0824,0

131,072,0=×

−−

=Δ spε

Normalmente para valores 0%32 a p >Δε , vem pyd sp f =σ

Conclusão:

pyd sp p

syd s s

f

f

= ⎯→ ⎯ =Δ

= ⎯→ ⎯ =

σ ε

σ ε

0

0

%5,8

%10

Consequentemente a solução 127 φ está correcta. Verifica as condições expressas no

artigo 90º.

O facto de darem valores de armadura tão baixos, significa que só a armadura de pré-

esforço, só por si chegava para resistir aos momentos flectores.

G.8 - Dimensionamento aos esforços transversos

70

957,6 KN838 KN

0,825

Figura G.9 – Diagrama de esforços transversos

KN apoioV

KN q

sd 6,9577)305,16835,1()(

8,136305,16835,1

=××+×=

=×+×=

( ) ( ) KN apoiodod aV sd 844824,07)305,16835,1(' =−××+×=



98

G.8.1 - Verificação do betão comprimido

md

m KN

d bV

s

wrd

824,0

/106 232

2max

=

×=

=

τ

τ

Secção do apoio

(Artigo 53.4º - REBAP)

KN apoioV KN V

cmb

cmbcm

sd rd

w

almabainha

6,957)(2299824,0465,0106

465,007,02

150,0

25,6508

1

8

17

3max

=>=×××=

=×−=

=×=>=φ

Secção a 0,824m do apoio

Esta verificação é necessária porque a essa distância a largura da alma é menor.

Usando o traçado do cabo resultante, vem:

x y

x y

0124,0'

497,000622,0 2

−=

+−=

( )

( ) 0765,0)824,07(0124,0824,07'

'sin

=−×=+−

=

y

x yα



99

( )

KN P V V

KN P

sd sd 5460765,03900844sin

3900824,0

' =×−=−=

=

α

KN KN V

mbbcm

cmb

rd

walmabainha

alma

5461805824,0365,0106

365,007,02

14,0

8

17

40,0

3max >=×××=

=×−= ⎯→ ⎯ >=

=

φ

A uma distância “d “do apoio é já possível considerar uma distribuição de tensões

lineares na secção transversal da peça. Pode-se assim aproveitar a acção favorável do

pré-esforço.

Como 'max sd rd V V > , verifica. Considerando, pelo lado da segurança, o valor do pré-

esforço a meio-vão.

G.8.2 - Dimensionamento das armaduras transversais na secção à distancia “d” do

apoio

211sin 01

' <+ ⎯→ ⎯ +⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=<−=

Sd

com

wd

sd

owrd sd sd

M

M V

M

M d bV P V V τ α

Cálculo do momento de descompressão

m KN A

W e P M b .1268

90,0

072,0245,039000 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

Em que 0,245 representa a posição do cabo resultante na secção, a “d” do apoio:

m x x ycom 824,07497,000622,0 2 −= ⎯→ ⎯ +−=



100

m KN M

M

sd

sd

.760

2

824,030824,07305,1

2

824,030824,076835,1

22

=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×−×××+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×−×××=

Donde

267,2760

126811 0 = ⎯→ ⎯ =+=+ vem

sd M

M

KN V cd 32,560824,04,01085,023

=××××=

Pelo que:

KN M

M V V V

sd

cd sd wd 28432,5608441 0' =−=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +×−>

mcm f d

V

s

A

syd

wd s /0,1110348824,09,0

284

9,02

3=

×××==

mcm s

A s /410100

4,01,0 24

min

=××

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

Adoptando-se estribos de dois ramos, escolheu-se ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ = mcm

s A s /56,12125,0//10 2φ

O espaçamento mínimo regulamentar vem dado por:

KN d bV w sd 1203824,0365,01063

2

3

2 32

' =××××=< τ



101

m sd s 30,075,0824,09,09,0 < ⎯→ ⎯ =×=≤∴

d bV d b w sd w 2'

2

3

2

6

1τ τ ×<<

m sd s 25,0412,0824,05,05,0 < ⎯→ ⎯ =×=≤∴

KN d bV w sd 301824,0365,01066

1

6

1 32

' =××××=< τ

m sd s 20,025,0824,03,03,0 < ⎯→ ⎯ =×=≤∴

E para o resto da viga de igual modo 30 cm de espaçamento entre estribos

G.9 - Distribuição das armaduras ordinárias ao longo da viga

Armaduras longitudinais

Obteve-se a meio vão uma armadura de cálculo de 292,7 cm A s = , pelo que, optou-se por

não fazer dispensa de armadura.

Área da alma

Controle de fendilhação

)(317,092,704,0%4 2, face por cm A A salma s =×==

Pelo que, por razões construtivas, vai usar-se ( ) facecm A s /01,284 2=φ (por face, ate

a posição do eixo neutro).



102

Armadura de ligação do banzo a alma

Utilizando uma regra simples, em que a sua área não seja inferior a metade da área total

da secção dos estribos e com o mesmo espaçamento.

Junto aos apoios estribos máximos:

12,0//10/71,412,0//10 2 φ φ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ cmcm

Ate a 3,0 m do apoio restante 24,0//10φ

G.10 - Dimensionamento nas zonas de ancoragem

Figura G.10 – Dimensões da viga a 0,35m do apoio

G.10.1 - Verificação da pressão local

39,039,025,0

0625,025,025,0

1

20

=××=

=×=

A

m A



103

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ < ⎯ ⎯→ ⎯ =××== 3,349960

0625,0

39,01020

0

13

0

1

A

A KN

A

A f p

com

cd crd

KN A p F crd sd 3123.31645,234335,1 0 =≤=×=

É um valor a esperar, a de cumprir a risca o artigo 139º, provavelmente resultado da

severidade do coeficiente de 1,35 a afectar o pré-esforço na origem. O problema

prosseguira com a solução adoptada. O valor de KN F sd 3123= .

G.10.2 - Dimensionamento das armaduras transversais

Para o dimensionamento das armaduras transversais e existindo dos cabos de pré-

esforço, há que adoptar um plano de pré-esforço. Optou-se por:

1º Pré-esforçar o cabo superior

2º Pré-esforçar o cabo inferior

Figura G.11 – Dimensões da viga a meio vão

a) Análise do faseamento na aplicação do pré-esforço



104

Considerando que o 1º cabo a pré-esforçar é o cabo superior (cabo 1 indicado na

figura), tem-se para a força de tracção (F1 está localizada no núcleo central)

nucleo central

0,0030,142

0,213

0,627

d=0,44m

0,223a1

bFt1

Ft1

a0

Figura G.12 – Definição do prisma do pré-esforço inicial na direcção vertical

Direcção Vertical

mba 44,022,0221 =×==

ma 25,00 =

KN a

a F F sd

v

sd t 40544,0

25,0131233,013,0

1

0,1 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −××=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −×=

syd

t v

s f

F A 11

1 = =3

4

10270

10405

×× = 15,0 cm2

(Adopta-se o aço A400, mas considera-se no entanto f syd = 270×103, de acordo com as

indicações regulamentares).

A armadura AS deverá ser distribuição no prisma de base A1 e profundidade a1.



105

Direcção horizontal

25,0;40,0 01 == aa

KN a

a F F sd

h

sd t 35140,0

25,0131233,013,0

1

0,1 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −××=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −×=

243

,11 1310

10270

351cm

f

F A

syd

h

sd t h

s =××

==

b) Análise dos efeitos de duas forças concentradas

b.1) Direcção vertical

A distribuição de tensões (FIGURA G.3), de acordo com a teoria das peças lineares,

numa secção a uma distância igual à altura da secção conduz aos seguintes valores:

2

22

2

11

/4,17706072,0

192,04687

90,0

4687

/753202,0

192,04687

90,0

4687

m KN W

Pe

A

P

m KN W

Pe

A

P

−=×

−−=+−=

−=×

+−=+−=

σ

σ



106

Ft1

Ft1

Ft1

a1

a2

0,22

0,39

0,24

0,400

Figura G.13 – Definição dos prismas e distribuição de tensões

A definição dos prismas associados (figura G.13 a cada uma das forças conduz aos

seguintes resultados:

O que significa que é necessário dimensionar armaduras no prisma de cada força e

armaduras no prisma envolvente das duas forças, dada por:

KN F

a

a

sd 3123

39,0

25,0

1

0

=

=

=

KN a

a F F sd t 3,336

39,0

25,0131233,03,0

1

01 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −××=××=

KN F

aa

sd 3123

85,039,0

1

0

=

== KN a

a F F sd t 1014

85,039,0

131236,06,01

01 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −××=××=

Obtendo-se



107

( )

( )memcm A

memcm A

s

s

85,055,3710

10270

1014

39,045,121010270

3,336

2432

2431

=×

×

=

=××

=

A armadura As1 deverá ser distribuída no prisma de base A1v = 0,85×0,44 e

profundidade a1v = 0,39; a armadura As2 deverá ser distribuída no prisma de base A2

v =

0,85×0,44 e profundidade a2v = 0,85.

b.2) Direcção horizontal

Na direcção horizontal tem-se:

0,22

0,39

0,24

0,44

a1F

Figura G.14 – Definição do prisma

KN a

a F F sd t 405

44,0

25,0131233,03,0

1

01 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −××=××=

23

4

1510270

10405cm A s =

××

=



108

Esta armadura deverá ser distribuída no prisma de base A1H = 0,44×0,85 e profundidade

a1H=0,44m

G.11 - Verificação da segurança em relação ao Estado Limite de Fendilhação

Pelo artigo 68.2 do REBAP, no caso das armaduras ordinárias, o estado limite a

considerar é o de largura de fendas o qual, para um ambiente moderadamente agressivo

se traduz por uma largura máxima de fendas de w=0,2mm para combinação frequente

de acções. No caso de armaduras de pré-esforço alem da verificação da descompressão

há que garantir uma largura máxima de w=0,1mm para a combinação frequente de

acções.

G.11.1 -Cálculo do valor médio da abertura de fendas.

smrmm sw ε =

G.11.2 -Distancia media entre fendas

r

rm

sc s

ρ

φ η η 2110

2 +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

Com:

c- recobrimento da armadura

s – espaçamento dos varões da armadura )15( φ <

cr

sr

A

A= ρ

4,01 =η (aços de alta resistência)



109

2

212 2

25,0η

η η η

+=

Assim:

est recc φ +=

cmrec 5,2= (ambiente moderadamente agressivo)

A armadura longitudinal adoptada foi 292,7127 cm A s =φ

cmc 1,36,05,2 =+=

mm s 180,015056,06

031,0240,0=<=

×−= φ

210002540 cm Acr =×=

00792,01000

92,7==r ρ

Assim:

00792,0

124,0

10

056,0312 2η +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×=rm s

G.11.3 -Extensão média das armaduras tracionadas

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −=

2

211

s

sr

s

s sm

E σ

σ β β

σ ε



110

0,11 = β - Varões de alta aderência

5,02 = β - Combinação frequente de acções

G.11.4 -Calculo do Momento de Fissuração

ctm

bb

cr f w

Pe

A

P

w

M =−−

m KN w

Pe

A

P f w M

b

ctmbcr .2438072,0

497,03876

90,0

3876108,20072,0

3

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×++××=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++×=

G.11.5 - Calculo de fr M

( )4,011 =+= ψ ψ cscp fr M M M

m KN SC CP q /80304,0684,0 =×+=+=

m KN M fr .19608

1480

2

=×=

Sendo cr fr M M < , a secção não fendilha pelo que o Estado Limite esta

automaticamente verificado. Para elucidar o processo de cálculo vai, no entanto proceder-se à verificação para a combinação rara de acções.

m KN M M M sccpraro .24018

14)3068(

2

=×+=+=

G.11.6 -Cálculo das tensões

Vai recorrer-se às tabelas de secções em “T” para a fase fendilhada.



111

0,280

0,120x

x2

1

Figura G.15 – Distâncias entre armaduras

0,25 0,132x

1x

Figura G.15 – Distâncias entre armaduras

Cálculo do centro de gravidade da armadura traccionada. Para o recurso as tabelas a

altura útil devera corresponder ao centro de gravidade das armaduras, assim:

22 92,76,33 cm Acm A s sp =∧=

cmrec xlong

est 7,36,06,05,221 =++=++=

φ φ

cmrec xlong

est 3,96,01,3132

132 =−−=++−=φ

φ



112

Donde:

cmCG 22,116,3392,7

136,337,392,7=

+×+×

=

cmCGhd CG 74,01185,0 =−=−=

e

0,13P

M

e

CG P

Ms

Figura G.16 – Centros de gravidade

m KN Pe M M raro s

.2479)1113(38762401' =−×+=+=

Recorrendo as tabelas, vem:

27,074,0

2,0;8

4,0

85,0====

d

h

b

b f

w

m P

M e s

s 64,038762479 ===



113

86,074,0

64,0==

d

e s

( ) 00175,074,02,3

1092,76,334

=×

×+==bd A s ρ

Adoptando 15=α (Nota: correctamente, para combinação rara, dever-se-ia

tomar 25,6==c

s

E

E α .)

0262,000175,015 =×=α

Pelo que, das tabelas, vem (interpolando):

646,4

10,1= ⎯→ ⎯

=

=

d

h

C

C f

c

s 1049,4

71,0= ⎯→ ⎯

=

=

d

h

C

C f

c

s

45,4

91,0

=

=

c

s

C

C

MPabd

M C s

s s 3,191074,02,3

247991,015 3

22=×

×××== −α σ

MPabd M C s

cc 30,61074,02,3

247945,4 322 =×××=−= −σ

MPad C C

C X

sc

s Ln 124,074,0

91,049,4

91,0=×

+=×

+=

Procedendo do mesmo modo para o calculo de tensões em fase fendilhada para cr M ,

tem-se:



114

m KN Pe M M cr scr .259304,038762438, =×+=+=

67,0

3876

2593, === P

M e

scr

s

90,074,0

67,0==

d

e s

Donde:

1081,4

42,2= ⎯→ ⎯

=

=

d

h

C

C f

c

s 1079,4

70,2= ⎯→ ⎯

=

=

d

h

C

C f

c

s

48,4

56,2

=

=

c

s

C

C

MPabd

M C scr s s 82,561074,02,3 259356,215 3

22, =××××== −α σ

G.11.7 -Cálculo das tensões ao nível da armadura ordinária e ao nível da

armadura de pré-esforço

eixo neutro

0,497

0,593

0,544

Asp

As

Aseq

Δσsp

ΔσsΔσ eq

As

Figura G.17 – Variações de tensões



115

Admitindo que eq

As s σ σ =

MPa sp

eq

AS sp 63,17544,0497,0

=Δ ⎯→ ⎯ =Δ

σ σ σ

MPa s AS s 03,21544,0593,0

= ⎯→ ⎯ =Δ

σ σ σ

Assim:

G.11.8 -Extensão média da armadura ordinária:

4

2

31006,8

3,19

82,560,11

10200

03,21 −×=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

×= smε

G.11.9 -Extensão média da armadura de pré-esforço:

4

2

31037,6

3,19

82,560,11

10200

63,16 −×=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

×= smε

G.11.10 -Cálculo de 2η

11221 60,0

627,0

377,0

25,0627,0627,0ε ε ε

ε ε ==⇒

−=

2,02

60,125,0

2

60,025,0

225,0

1

11

1

212 =×=

+=

+=

ε

ε ε

ε

ε ε η

Donde:



116

mm srm 22,18300792,0

122,04,0

10

056,0312 =××+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×=

G.11.11 -Abertura média de fendas

mm sw smrmrm 147,006,822,183. =×== ε

G.11.12 -Armadura de pré-esforço

mm sw smrmrm 11,037,622,183. =×== ε

G.11.13 -Abertura característica de fendas

Armadura ordinária

mmww mk 25,0147,07,17,1 =×==

Armadura de pré-esforço

mmww mk 19,011,07,17,1 =×==

G.12 - Verificação a segurança em relação ao Estado Limite de deformação

Pelo artigo 72 do REBAP, a flecha não devera ser superior a 400/l para combinação

frequente de acções.



117

a0

a1

Figura G.18 – Diagrama de Flechas de uma viga

0a - flecha instantânea apos aplicação do pré-esforço e com actuação de todas as cargas

1a - flecha a tempo infinito tendo em conta os efeitos diferidos

G.12.1 - Calculo de 0a (flecha de base para ∞= P P 0

+

a ,cfr 0a ,p0

( ) EI EI I E

Lcqpa cqp 3073280143068384

5384

544

,0 =×+×=×=

2L _ _ p8f

f = _

+

m f 305,0192,0497,0 =−=



118

EI P

EI P

I E

P

a pc 85,148

514192,0

14

14

497,08

3845

24

2

, −=×−×

=×

×−=

m KN P .3876=∞

m EI

ac 0000103,06,575583073280

=−

=

Tendo-se verificado que cr fr M M < , vem:

( ) ( ) maa c 000034,00000103,03,2111 =×+=+≈ ϕ

Donde

4001

l a < (verifica)

G.13 - Calculo do alongamento do cabo durante a aplicação do pré-esforço

O alongamento teórico é de 0,092mm no cabo 1 e 0,095mm no cabo 2, cálculos estes

efectuados com o programa de perdas de tensão da VSL.

Mesmo assim calcular-se-á usando fórmulas analíticas para melhor exemplificar os

cálculos.

O pré-esforço ao longo da viga, em cada cabo contando com as perdas por atrito, é:



119

Cabo 2

Cabo 1

2343,62196,6

2272,62343,6

x=0m x=14m

x=0m x=14m

Figura G.17 – Alongamento dos cabos de pré-esforço

Admitindo um pré-esforço médio:

KN P cabomed 22702

6,21966,23431, =+=

KN P cabomed 23082

6,22726,23432, =

+=

Vem:

∫ ∫ =×

××

×=≅=

−

l l

sp sp

med

sp sp

caboaço mdx A E

P dx

A E

P

0 04

61, 0945,0

2

106,3310200

0,142270δ

∫ ∫ =×

××

×=≅=

−

l l

sp sp

med

sp sp

caboaço mdx A E

P dx

A E

P

0 04

62, 0961,0

2

106,3310200

0,142308δ



120

A deformação verificada no betão é, do mesmo modo:

∫ ∫ =

××

×=≅=

l l

cc

med

cc

betão mdx

A E

P dx

A E

P

0 0

60011,0

90,01032

0,142270δ

Donde, o alongamento total será:

mbetãoaçocabo 0956,00011,00945,01 =+== +δ δ δ

mbetãoaçocabo 0972,00011,00961,02 =+== +δ δ δ

O valor do alongamento teórico calculado pelo programa da VSL, foi ligeiramente

inferior ao dado pelas expressões usadas.

G.14 - Pormenorização das armaduras

Secção a meio vão

( )292,7127 cm A s φ =

25,0//8/02,4 2 φ ⎯→ ⎯ =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ mcm

s

A sw

)01,2(84 2, face por cm A A salma s == φ

G.14.1 - Zona de ancoragem

Direcção vertical



121

mcm s

A s /1,3444,0

0,15 2==⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

215,0 cm

0,44 m

Figura G.18 – Armaduras para o cálculo de 1 força na direcção vertical

mcm s

A s /92,3139,0

45,12 2==⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛

37,55 cm2

0,85 m

212,45 c

m

0,39 m

12,45 cm2

Figura G.19 – Armaduras para o cálculo de 2 forças na direcção vertical



122

Atendendo à necessidade de colocação de armadura de esforço transverso,

vem, para armadura total:

mcm s

A s /48,4456,1292,31 2=+=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ (Zona 1)

Adoptando-se estribos de quatro ramos, escolheu-se :

( )mcm Amcm s

A s

ramo

s /28,14075,0//10/12,114

48,44 22 = ⎯→ ⎯ ==⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ φ

mcm s

A s /11,5056,1255,37 2=+=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ (Zona 2)

Donde

075,0//10/77,124

11,51 2

φ ⎯→ ⎯ ==⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ mcm s

A

ramo

s

Zona 1 Zona 2

0,39 m 0,46 m

Figura G.20 – Zonas das armaduras

Direcção horizontal



123

213cm A s =

213,0 cm

0,40 m

Figura G.21 – Armadura na direcção horizontal

Adoptando estribos de 2 ramos afastados de m0075,0 (para estar de acordo

com o espaçamento dos estribos verticais): nº de estribos = 8

0075,0//1064,1279,028 2 φ cm A s =××= (2 ramos)

Secção de meio-vão



124

Est. φ8//0,25

0,40

7φ12

Est. φ8//0,25

8φ8

8φ10

4φ8

3,20

0,85

0,20

Mat: B35A400NR A1670/1800

rec: 2,5 cm

Figura G.22 – Pormenor da armadura a meio vão

Secção do apoio

Est. φ8//0,15

0,50

7φ12

Est. φ8//0,25

8φ8

8φ10

3,20

0,85

0,20

8φ8Est.4R φ10//0,075

Est. φ8//0,15Est.4R φ10//0,075

Mat: B35

A400NR A1670/1800

rec: 2,5cm

Figura G.23 – Pormenor da armadura a 0,35m do apoio



Mat: B35A400NR A1670/1800

rec: 2,5cm

Est 4R φ10//0,075

Figura G.24 – Ancoragens, armaduras ordinárias e cabos de pré-esforço nazona do apoio

Concreto armado Reforçado

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