Condensação Bose Einstein

7/23/2019 Condensao Bose Einstein

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Captulo 7

Condensacao de Bose

8 de dezembro de 2009

1 Bosons

Introducao

Um sistema de bosons livres confinados num recipiente pode sofrer o fenomenoda condensacao de Bose. Esse fenomeno e consequencia direta da distri-buicao de Bose-Einstein segundo a qual um orbital, definido como estado departcula unica, pode conter um numero arbitrario de partculas. Os orbitais

de bosons nao interagentes sao identificados com os modos normais de pro-pagacao de partculas livres e sao definidos pela quantidade de movimentop = k de uma partcula, ou equivalentemente pelo vetor de onda k. Acondensacao de Bose corresponde ao surgimento, a baixas temperaturas, deuma fracao macroscopica de bosons com p= 0.

O fenomeno da condensacao de Bose e surpreendente pois usualmente, afracao de partculas com uma velocidade especfica, estritamente falando, edesprezvel. Para apreciar isso vamos considerar o sistema a altas e baixastemperaturas. A altas temperaturas, as velocidades v =p/mdas partculasse repartem de acordo com a distribuicao de Maxwell. De acordo com essa

distribuicao o numero de partculas N(v) com valor absoluto da velocidadeentre v e v+ v vale N(v) = N(v)v, em que N e o numero total departculas confinadas num recipiente de volumeV. A grandeza (v) e finitapara qualquer velocidade de modo que N(v) se anula quanto v 0 paraqualquer velocidade. Estritamente falando, isso significa que o numero departiculas com uma velocidade especfica e nulo. A maneira apropriada e

1


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nos referirmos ao numero de partculas num certo intervalo de velocidades e

a razao entre eles N/v que e finita no limite v 0.A medida que a temperatura decresce a distribuicao de velocidades (v)

deixa de ser a distribuicao classica de Maxwell mas a propriedade que aca-bamos de mencionar continua valida, isto e, a fracao de partculas com umavelocidade especfica e desprezvel. Entretanto, a temperaturas suficiente-mente baixas um novo fenomeno. comeca a ocorrer. Nesse regime, N(0)nao se anula quando v 0 embora N(v) 0 se v= 0. Em outros ter-mos, o numero de partculas com velocidade estritamente igual a zero, istoe, no estado fundamental, se torna nao nula, que e condensacao de Bose. Sea temperatura for diminuda mais ainda a fracao de boson no estado funda-

mental cresce e se torna igual a unidade em T= 0, isto e, o sistema inteirose torna o condensado de Bose.

Densidade de estados

Considere um sistema de bosons fracamente interagentes de massa m, con-finados num recipiente cubico de volume L3 =V. As energias de um unicoboson colocado dentro do recipiente corresponde aos autovalores da equacaode Schrodinger independente do tempo

2

2m2

= , (1)

em que m e a massa do boson. As autofuncoes e os autovalores sao dadospor

k = 1

Veikr (2)

e

k = 2k2

2m. (3)

Os possveis vetores de onda sao determinados utilizando condicoes periodicasde contorno e sao dados por

kx =2

Ln1, ky =

2

Ln2, kz =

2

Ln3, (4)

em que n1, n2, n3 = 0, 1, 2, . . ..

2


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O numero de orbitais com energia menor do que e dado por

N() = V83

4

3

2m

2

3/2=

V

62

2m

2

3/23/2 (5)

A densidade de orbitais e

D() = V42

2m

2

3/21/2 (6)

Distribuicao de Bose-Einstein

Supondo que o sistema esteja em contato com reservatorios termicos e departculas que fixam a temperatura T e o potencial qumico , o numeromedio de bosons no estadok e dado pela distribuicao de Bose-Einstein

f(k) = 1

e(k) 1 , (7)

O potencial qumico nao pode ser maior do que qualquerk, caso contrarioo numero medio de bosons f(k) seria negativo, e esta portanto sujeito arestricao

0. (8)

O numero medio total de bosonsN, a energia mediaUe o grande poten-cial termodinamico sao dados por

N=k

f(k), (9)

U=k

kf(k), (10)

e = kBT

k

ln[1 + f(k)]. (11)

Essas grandezas termodinanmicas dependem da temperatura T e do poten-cial qumico e tambem de V atraves de k.

O numero de partculas no estado fundamentalk= 0 e dado por

N0= 1

e 1 (12)

3


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Tendo em vista que essa parcela do numero total de bosons possui um papel

fundamental no fenomeno da condensacao de Bose, escrevemos

N=k(=0)

f(k) +N0. (13)

Propriedades termodinamicas

O numero medio de bosons Ne a energia U sao dados por

N=

0

f()D()d +N0 (14)

U=

0

f()D()d (15)Substituindo as densidades de obitais nas expressoes para N e U, obtemosos seguintes resultados para a densidade de partculas= N/V,

= 1

42

2m

2

3/2 0

1/2 1

e() 1d+0, (16)

em que 0 =N0/V e a densidade de bosons no estado fundamental, e, paraa densidade de energia u= U/V,

u= 1

42

2m

2

3/2 0

3/2 1

e() 1d. (17)

O grande potencial termodinamico e dado por

= kBT 0

ln[1 + f()]D()d (18)

Integrando por partes, obtemos a seguinte expressao para o grande potencialtermodinamico

=

0f()N()d (19)

Tendo em vista que o numero de orbitais e a densidade de orbitais e dadaporN() = (2/3)D() entao podemos concluir que

= 23

U (20)

4


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Tendo em vista que

D() e diretamente proporcional ao volume V, ve-

mos que U e tambem sao proporcionais ao volume. Como a pressaop =/V entao =pV , em que p depende apenas de T e . Poroutro lado, = 2U/3 e portanto

p=2U

3V =

2u

3 (21)

ou

p= 1

62

2m

2

3/2 0

3/2 1

e() 1 d. (22)

A entropia S se calcula por meio de S =/T = V p/T. A den-sidade de entropia, isto e, a entropia por unidade de volume s = S/V edeterminada por s= p/T.

Atividade

Fazendo a mudanca de variavel x= , as integrais contidas nas expressoespara e p se tornam

= 1

42

2mkBT

2

3/2 0

x1/2

ex 1dx +0, (23)

ep=

1

62kBT

2mkBT

2

3/2 0

x3/2

ex 1 dx. (24)

Utilizando a definicao de comprimento de onda termico , dada por

=

22

mkBT

1/2(25)

e definindo a atividade zporz=e (26)

as expressoes para e use tornam

= 1

32

0

x1/2

exz1 1 dx +0, (27)

e

p=kBT

34

3

0

x3/2

exz1 1dx. (28)

5


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Notar que z

1 pois

0.

Definindo funcoes g(z) e g(z) por

g(z) = 2

0

x1/2

exz1 1 dx (29)

e

f(z) = 4

3

0

x3/2

exz1 1dx, (30)

obtemos as seguintes expressoes para a densidade e a pressao de um sistemade bosons livres

= 1

3g(z) +0 (31)

e

p=kBT

3 f(z) (32)

Como p= 2u/3 entao a densidade de energia e dada por

u=3kBT

23 f(z) (33)

Notamos que essas tres expressoes devem ser entendidas como validas nolimite V , implicitamente tomado quando fizemos a substituicao desomas em

k por integrais em . Nesse limite devemos concluir que se= 0ou z= 1 entao 0 =N0/V, que e dado por

0= 1

V(e 1) = 1

V(z1 1) . (34)

deve ser nulo, isto e, 0 = 0 e a f ormula para , dada por (31), se torna

= 1

3g(z) (35)

valida para

= 0 ou z

= 1. Quando

0 ou z

1, a expressao (34) se

torna indeterminada e 0 pode assumir um valor nao nulo, como sera vistomais adiante.

A eliminacao da atividadezem ambas as equacoes (32) e (35) fornecem aequacao de estadop(T, ). A partir dessas duas formulas vemos quep3/kBTe 3 sao funcoes apenas de zo que nos leva a concluir que p3/kBT podeser considerada uma funcao de 3. Isso e conseguido invertendo a funcao

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g(z), de tal forma que zse torna funcao de 3, e substituindo o resultado

em f(z). Portanto, a dependencia da pressao com a densidade e temperaturapossui a seguinte forma

p3

kBT = F(3) (36)

Funcoes g(z) e f(z)

As funcoes g(z) ef(z), definidas por (29) e (30), podem ser desenvolvidas empotencias de z. As expansoes sao obtidas pela substituicao do resultado

1

exz1 1=

zex

1 zex =

=1

zex (37)

nas integrais contida em (27) e (28). Apos a mudanca de variavel x = y,obtem-se

g(z) = 2

=1

z

3/2

0

y1/2eydy (38)

f(z) = 4

3

=1

z

5/2

0

y3/2eydy (39)

Basta lembrar em seguida que as duas integrais acima s ao respectivamente

iguais a (3/2) = /2 e (5/2) = 3/4 para alcancar as expansoesg(z) =

=1

z

3/2 (40)

f(z) ==1

z

5/2 (41)

validos para 0 z 1. Notar que g(z) =zf(z).As duas funcoes g(z) e f(z) crescem com z e atingem valores finitos em

z= 1, dados por g(1) = 2.612 e f(1) = 1.341. Entretato, elas possuem com-

portamentos singulares em z= 1, nao sendo funcoes analticas nesse ponto.A derivada da funcao g(z) diverge em z= 1. Para obter o comportamentodeg(z) ao redor dez= 1 procedemos da seguinte maneira. A partir de (29),obtemos a seguinte expressao para a derivada de g(z),

g(z) = 2

0

x1/2ex

(1 + ex)2dx (42)

7


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valida para pequenos valores de = 1

z. Em seguida escrevemos essa

expressao como a soma de duas parcelas. Uma delas e

A= 2

a0

x1/2ex

(1 + ex)2dx (43)

e a outra e

B= 2

a

x1/2ex

(1 + ex)2dx (44)em que a e considerado pequeno mas maior do que . Tendo em vista que ae pequeno o integrando da integralA pode ser substitudo por sua expressaovalida para pequenos valores de x. Fazendo isso, a primeira integral se reduz

ao resultado

A= 2

a0

x1/2

(+x)2dx=

2

a/0

y1/2

(1 + y)2dy (45)

Como estamos interessados no comportamento de Apara pequenos valores de, o limite superior pode ser estendido ate o infinito, com o seguinte resultado

A= 2

0

y1/2

(1 + y)2dy=

(46)

em que levamos em conta que a integral vale /2.

A segunda integral B permanece finita para qualquer valor de , mesmoquando 0, pois o limite inferior e estritamente nao nulo. Sendo finita elase torna muito menor do que A, isto e, B


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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z

0

1

2

3

3

(a)

0

(b)

0

Figura 1: (a) Grafico de 3 versus z = e/kBT para bososns livres. (b)Isotermas no plano densidade versus potencial qumico. A coexistencia docondensado de Bose e o gas ocorre em = 0. Na coexistencia a densidadedo gas e igual a e a do condensad vale 0 = .

2 Transicao de fase

Isotermas

Vimos que se = 0 ou z

= 1, entao 0 = 0 e a f ormula para e aquela

dada por (35). A medida que a densidade cresce, mantendo a temperaturaconstante, o potencial qumico tambem cresce, como mostrado na figura 1.A densidade atinge o valor

= 1

3g(1) =

mkBT

22

3/2g(1) (50)

quando 0 ou z 1. Se a densidade for aumentada mais ainda a partirde, a temperatura constante, inicia-se a condensacao de Bose e o potencialqumico permanece inalterado e igual a = 0. A densidade do condensado

de Bose

cresce de acordo com

0 = (51)

A transicao de fase ainda pode ser apreciada considerando isotermas noplano pressao p versus volume por partcula v = 1/. A formula (36) nos diz

9


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0 0.5 1 1.5 2

v-3

0

0.5

1

1.5

2

p

3

/kT

(a)

v* v00

p*

p (b)

Figura 2: (a) Grafico dep3/kBT versus v/3 para bosons livres. (a) Isoter-

mas no plano pressaopversus volume por partculav = 1/. Os segmentos dereta horizontal sao linhas de conjugacao entre as duas fases termodinamicasem coexistencia: o condensado de Bose e o gas. A pressao de coexistencia erepresentada por p e o volume por particula por v.

que p3/kBTpode ser considerada como uma funcao de 3. Equivalente-

mente podemos dizer que p3/kBT e funcao de v/3, isto e,

p3

kBT = G(v

3 ) (52)

cujo grafico e mostrado na figura 2. Quando o volume v e diminudo, atemperatura constante, a pressao p aumenta e atinge o valor correspondenteao incio da condensacao. No limiar da condensacao o volume valev = 1/,isto e,

v = 3

g(1) (53)

e a pressao correspondente vale

p = kBT3

f(1) (54)

Diminuindo ainda mais o volume v a partir de v, ocorre a condensacao. Apressao se mantem invariante e igual ap, enquanto a temperatura for man-tida constante. A densidade de energia u ao longo da linha de coexistencia

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p

T

T

T*

T*

p*

Figura 3: Diagrama de fase (a) no plano versus Te (b) no plano pversusT. A curva contnua representa um processo em que a densidadee mantidaconstante.

vale u = 3p/2 ou

u =3kBT

23 f(1) (55)

Como e proporcional a T1/2 vemos que o volume v e a pressao devaporp variam com a temperatura de acordo

v

T3/2

p

T5/2

(56)

e portanto p v5/3.

Condensado

Os diagramas de fase nos planos versus T e p versus T sao mostrados nafigura 3. A linha de transicao de fase ocorre ao longo de = 0 no primeiroe ao longo de p= p no segundo, em que p e a pressao de vapor dada por(54). Essa linha possui o comportamento p T5/2.

Consideramos em seguida um resfriamento isocorico, isto e, um processo

em que a temperatura e diminuda mantendo-se a densidade constante.Nesse processo a pressao diminui como mostrado na figura 3 ate atingir alinha de coexistencia no ponto (T, p). Esse ponto e tal

=

mkBT

22

3/2g(1) (57)

11


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3

2 Bk

T* T

0

cv

T* T0 000

1

Figura 4: (a) Fracao de bosons no estado fundamental em funcao da tempe-ratura. (b) Calor especfico de bosons livres como funcao da temperatura.

Portanto, abaixando a temperatura mantendo a densidade constante, o limiarde condesacao ocorre a temperatura

T =22

mkB

g(1)

2/3(58)

A temperaturas abaixo de T, a densidade 0 do condensado e nao nula e e

dada por 0 = (59)em que e a densidade do gas de bosons em coexistencia com o condensado,dada por (50). Portanto a fracao de bosons no estado fundamental 0/ edada por

0

= 1

(60)

ou, utilizando os resultados (50) e (57),

0

= 1 T

T

3/2

, (61)

como mostrado na figura 4.

12


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Calor especfivo

Aqui estamos interssado na determinacao do calor especfico a volume cons-tante, ou capacidade termica a volume constante por partcula, definido por

cv = 1

N

U

T

V

(62)

ou

cv =1

u

T

(63)

pois = N/V e u= U/V. Utilizando a identidade

uT

=

uT

z

uz

T

(/T)z(/z)T

(64)

e as formulas (33) e (35), obtemos

cv =3

2kB

5 f(z)

2 g(z) 3 f

(z)

2 g(z)

(65)

valida para z= 1 ou = 0, isto e, enquanto houver uma unica fase.Quando z= 1 ou = 0, isto e, ao longo da curva de coexistencia, a den-

sidade de energia e dada por (55) cuja derivada relativamente a temperaturano leva ao resultado

cv =15

4kB

TT

3/2 f(1)

g(1) (66)

em que usamos a relacao (57) entre a densidade e a temperatura T.O calor especfico cv como funcao da temperatura e mostrado na figura

4. Para temperaturas acima de T, o calor especfico e determinado pelainversao numerica da equacao (35). A atividade resultante e substitudaem (65). Para pequenos valores de z usamos os resultados g(z) = z ef(z) = z para obter cv = 3kB/2 que e o resultado classico, valido paraaltas temperaturas como mostrado na figura 4. Para temperaturas abaixode T, ou seja, ao logo da curva de coexistencia, o resultado (66) nos diz

que cv T3/2. Em T = T ambos os resultados (65) e (66) fornecemcv/kB = 15f(1)/4g(1) = 1, 925, mostrando que cv e funcao contnua de T.

Devemos notar que o calor especfico a pressao constante cp e distinto decv e e dado por

cp= 1

N

H

T

p

(67)

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em que H = U+pV e a entalpia. Como U = 3pV /2 entao H = 5pV /2 de

modo que

cp=5

2p

v

T

p

= 5p22

T

p

(68)

Usando uma identidade analoga a (64) para (p/T)p, obtemos o resul-tado

cp=5

2kB

f(z)

g(z)

5

2

g(z)

f(z) 3

2

g(z)

f(z)

(69)

valido para z= 1 ou = 0.O calor especfico a pressao constante, diferentemente do calor especfico

a volume constante, diverge quando

0, isto e, quando nos aproximamos

da condensacao. De fato, substituindo os resultados (48) e (49), em (69) e(35), obtemos

cp=25

4kB

f(1)

[g(1)]2

1 z (70)e

= 1

3

g(1) 2

(1 z)

(71)

Utilizando ainda a relacao entre e T, dada por (57), podemo escrever essaultima equacao como

T

T

T = 4

3g(1)

(1 z) (72)e portanto, ao longo d euma isocorica e nas proximidades da linha de coe-xistencia,

cp=25

3kB

f(1)

[g(1)]3

T

T T

(73)

Portanto, o calor especfico diverge de acordo com

cp (T T)1 (74)A partir de (68) e da definicao do coeficiente de expansa termica

=1

v

v

T

p

(75)

vemos que

cp=5

2pv (76)

14


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Como pe v sao finitos entao diverge da mesma maneira que cp, isto e,

(T T)1 (77)

Mostramos tambem que a compressibilidade isotermica

T = 1v

v

p

T

(78)

se comporta da mesma maneira. Utilizando a identidade

p

T

v

=

T(79)

e tendo em vista que u= 3p/2, a equacao (63) nos leva ao resultado

cv = 3

2T(80)

Como cv e sao finitos entao Tdiverge da mesma maneira que , ou seja,

T (T T)1 (81)

15

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