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30/08/2016

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Condução de calor

2º. semestre, 2016

Transferência de calor

Parede plana

Cilindro longo

Esfera

Geometrias mais usuais

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2

3

q

=

+

+−

elemento no

contida energia da

variaçãode Taxa

elemento do dentrocalor

de geração de Taxa

x xemcalor de

condução de Taxa

xemcalor de

condução de Taxa

∆

( ) ( ) ( )ttttttttttttelem TTxcATTVcTTmcEEE −=−=−=−= ++++ ∆∆∆∆ ∆ρρ&

Balanço de energia

t

EEqq elem

elem,gerxxx ∆∆

∆ =+− +&

Taxas, em W

Energia/tempo, em W

xgerelemgerelem,ger AeVeE ∆&&& ==

Condução de calor em paredes planas: distribuição de temperatura

4

Substituindo na equação do balanço:

( )t

TTcAAeqq txt

xxgerxxx ∆∆ρ∆ ∆

∆−=+− +

+ &

Dividindo tudo por A∆x:

( )t

TTce

qq

Atxt

gerx

xxx

∆ρ

∆∆∆ −=+−− ++ &

1

No limite, quando ∆x → 0 e ∆t → 0 temos que (conceito da derivada):

t

Tce

TkA

A gerxx ∂

∂=+

∂∂

∂∂ ρ&

1

Para uma superfície plana a área A é constante e assim, a eq. de condução de calor transiente e unidimensional fica:

t

Tce

Tk ger

xx ∂∂=+

∂∂

∂∂ ρ&


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5

A condutividade térmica do material, k, depende da temperatura T(portanto de x). Na maior parte das aplicações, pode ser considerada constante (ou no valor médio). Assim, a eq. anterior fica:

t

T

t

T

k

c

k

eT ger

x ∂∂=

∂∂=+

∂∂

αρ 1

2

2 &

onde α é a difusividade térmica do material, que representa o quão rápido o calor se propaga através dele, isso é:

c

k

ρα =

Condução

Armazenamento

Em regime permanente (não há variação da energia interna no elemento) e sem geração de calor, a eq. fica simplificada como:

02

2

2

2

==∂∂

xx d

TdT


6

Para a solução dessa equação (diferencial ordinária de 2ª. ordem) é necessários duas integrações e a aplicação de duas condições de contorno:

02

2

=xd

Td 1Cd

dT

x

=1ª. Integração:

2ª. Integração: ( ) 21 CxCxT +=

Condições de contorno. Por exemplo, em x =0 T=T1:

( ) 121 00 TCCT =+⋅=

E em x =L T=T2:

( ) 211 TTLCLT =+⋅= ( )L

TTC 12

1

−=

Substituindo essas duas constante na expressão:

( ) 112 Tx

L

TTxT +

−=


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Essa equação fornece a distribuição da temperatura ao longo da espessura L do material.

( ) 112 Tx

L

TTxT +

−=

No caso de T1 e T2 serem constante, a distribuição da temperatura ao longo de x é linear.


8

Resistência térmica: analogia com circuitos elétricos

( )L

TTkAq 21 −=

eR

)VV(I 21 −=

onde V é a tensão, I é a corrente elétrica e Re a resistência elétrica.

Fluxo de calor

Fluxo da corrente elétrica

( )paredeR

TTq 21 −=

onde Rparede é a resistência térmica de condução pela parede (ou simplesmente resistência de condução.

kA

LRparede =

(W)

(K/W) ou (°C/W)

Re depende da geometria e das propriedades térmicas.

A taxa de transferência de calor unidimensional, em regime permanente, através de uma parede plana é dada por:

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Analogia com circuitos elétricos

eR

)VV(I 21 −= A

LR

ee σ

=

onde Re é a resistência elétrica e σe a condutividade elétrica.

Para o caso da transferência de calor por convecção, analogia similar pode ser feita. Pela Lei de Resfriamento de Newton:

( )∞−= TThAq ss

( )conv

sconv R

TTq ∞−= (W)

sconv hA

R1= (K/W) ou (°C/W)

onde Rconv é a resistência térmica de convecção ou simplesmente resistência de convecção.

10


Notar pela equação abaixo que quando h → ∞ (coef. de transferência de calor muito grande), a resistência à convecção torna-se nula e Ts ≈ T∞.

sconv hA

R1= Notar que para o caso da convecção a superfície não tem que ser

necessariamente plana.

Para o caso da radiação, a taxa de transferência de calor entre a superfície com emissividade ε e área As, na temperatura Ts e as superfícies vizinhas, na temperatura Tviz pode ser expressa como:

( )vizssradss TTAh)TT(Aq _ −== 4viz

4εσ

ou pelo conceito de resistência:

( )rad

vizsrad R

TTq

−=srad

rad AhR

1= (K/W) ou (°C/W)

)TT)(TT(Ah svizsr2

viz2 ++= σε (W/m2K)

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A transferência de calor em uma parede plana submetida à convecção em ambos os lados pode então ser facilmente resolvida pelo conceito de resistência térmica.

parede

Se T∞,1 for maior que T∞,2 (taxa de calor da esquerda para a direita da figura):

Note que a temperatura varia linearmente na parede e se aproxima de forma assintótica de T∞,1 e T∞,2 nos fluidos à medida que se aproxima das paredes.

=

=

parede dapartir a

calor de convecção de Taxa

parede

da atravéscalor de

condução de Taxa

parede da dentro para

calor de convecção de Taxa

12


ou:

2

2221

1

11

,conv

,

parede,conv

,

R

)TT(

R

)TT(

R

)TT(q ∞∞ −

=−=−

=

)TT(AhL

)TT(kA)TT(Ahq ,, 222

21111 ∞∞ −=−=−=

Que pode ser reorganizada como:

Ah

)TT(

kAL

)TT(

Ah

)TT(q ,,

2

2221

1

11

11∞∞ −

=−=−

=

21

2121

,convparede,conv

,,

total

,,

RRR

)TT(

R

)TT(q

++−

=−

= ∞∞∞∞

∑

Com a taxa de calor calculada, essa equação pode ser utilizada para determinar as temperaturas intermediárias.

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Resistência em paralelo. Caso convecção e radiação acontecendo simultaneamente:

Tviz

parede

radconveq RRR

111 +=

Note que as resistência são paralelas entre si. Quando Tviz ≈ T∞ pode ser utilizado o conceito de coeficiente de transferência de calor combinado, como visto antes:

radconvcomb hhh +=

No caso de duas resistências em paralelo a resistência equivalente pode ser escrita como:

21

21

RR

RRReq +

=

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Paredes planas multicamadas:

Em muitas aplicações, a utilização de paredes com camadas de diferentes materiais é utilizada.

totalR

)TT(q ∞

_1=

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Coeficiente global de transferência de calor

As vezes é conveniente expressar a transferência de calor através do meio de maneira análoga à lei de resfriamento de Newton como:

onde U é o coeficiente global de transferência de calor, cuja unidade é W/m2K.É muito utilizado em cálculos de trocadores de calor e para cálculos de carga térmica em edificações que utilizam materiais compostos (reboco, tijolo, reboco, por exemplo).Da análise das expressões anteriores, o produto UA pode ser expresso como:

TUAq ∆= (W)

totalRUA

1=

)]h/()k/L()k/L()h/)[(A/(U

222111 111

1

+++=

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Resistência térmica de contato

Em casos de condução de calor em múltiplas camadas de sólido, geralmente é adotada a hipótese de contato perfeito entre elas, sem queda de temperatura na interface.Devido à rugosidade das superfícies, criam-se vazios entre elas, preenchidos com lacunas de ar de tamanhos variados, funcionando como isolamento térmico (kar é muito baixo). Essa resistência formada na interface é chamada de resistência térmica de contato, Rc, determinado experimentalmente.

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A taxa de transferência de calor na interface entre dois sólidos em contato pode ser dada por uma expressão análoga à da lei de resfriamento de Newton:

erfaceintc T

Aq

h∆

=

erfaceintc TAhq ∆=

onde A é a área aparente da interface (a mesma que a área transversal dos sólidos em contato) e ∆Tinterface é a diferença efetiva de temperatura na interface. O termo hc que corresponde ao coeficiente de transferência de calor por convecção é chamado de condutância térmica de contato, dada por:

(W/m2K)

Aq

T

hR erfaceint

cc

∆== 1 (m2K/W)

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O valor da resistência térmica de contato depende da rugosidade superficial e das propriedades do material, assim como da temperatura, da pressão na interface e do tipo de fluido aprisionado na interface.

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Em geral, os valores de resistência de contato encontram-se entre 0,000005 e 0,0005 m2K/W, correspondendo a uma faixa de condutâncias térmicas de contato de 2.000 a 2000.000 W/m2K.

→→→→ Essa resistência é então significativa???

W/K,,

,

k

LRcond

2m 250 W/mK040

m 010 === Isolante

W/K,,

k

LRcond

2m 0000260 W/mK863

m 010 === Condutor (cobre)

Comparando esses dois valores (condução de calor em um dado material), verifica-se que a resistência de contato pode ser significativa, e até dominar a transferência de calor em sólidos condutores (metais), mas pode ser desprezada em materiais isolantes.

20


cc h

R1=

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Um chip de silício é fixado a uma placa de alumínio de 8 mm de espessura. O contato entre o chip e a placa é feito por uma junta de epóxi de 0,02 mm de espessura. O chip e a placa tem cada um 10 mm de lado e suas superfícies são resfriadas pelo ar que se encontra a 25 ºC e com um h=100 W/m²K.

a) O chip dissipa 104 W/m² em condições normais. Nesta condição ele irá operar abaixo da temperatura máxima permitida de 85ºC?b) Explore o efeito da variação do h de 100 a 2000 W/m²K sobre o fluxo de calor com Tchip=85 ºC e represente em um gráfico q” x h.c) Se na superfície do chip for bloqueado o escoamento do ar e o resfriamento for somente na parte inferior do alumínio, qual a temperatura do chip para q”=10.000 W/m².

Exemplo:

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Transferência de calor em cilindros

Suponha uma tubulação onde água quente circula pelo seu interior. Externamente ao tubo, circula ar. É fácil imaginar que a condução de calor através da parede do tubo se dê, prioritariamente, na direção radial, isso é, normal à direção da superfície do tubo, e que não seja significativa nas outras direções.Se as temperaturas se mantiverem constantes, então esse processo, além de unidimensional, é também permanente.

A temperatura do tubo depende então de uma única direção (r) e pode ser expressa como:

Nesse caso, a temperatura é independente do ângulo ou da distância axial. Essa situação é aproximada na prática para tubos longos ou para esferas.Como as temperaturas permanecem constantes (regime permanente) a taxa de transferência de calor deve ser constante, isso é, o que entra na parede interna do tubo deve ser igual a taxa que sai da parede externa, isso é:

)r(TT =

constante=cilindro,condq

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Considere o cilindro abaixo, com temperaturas conhecidas em r=ri e r=re:

A distribuição de temperatura ao longo da parede do tubo, considerando T=T1 em r=ri e T=T2 em r=re, é dada pela expressão abaixo:

2221

21 T)r/rln()r/rln(

TT)r(T +−=

24


Considerando um tubo circular de raio interno r1, raio externo r2, comprimento L e condutividade térmica média constante k, onde as duas paredes são mantidas nas temperaturas T1 e T2, constantes, e sem geração interna de calor, a taxa de transferência de calor (lei de Fourier) através dessa parede é dada por:

Nessa equação, A é a área de transferência de calor, transversal ao fluxo, na posição r, é dada por:

Obs.: notar que a área varia na direção de r, ou seja, na direção da transferência de calor.

dr

dTkAq cilindro,cond -=

rL2π=A

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Separando as variáveis na equação de Fourier e integrando de r=r1, onde T(r1)=T1, até r=r2 onde T(r2)=T2 :

Substituindo e realizando as integrações:

∫∫ === 2

1

2

1

T

TT- kdTrd

A

qr

rr

cilindro,cond

rL2π=A

∫∫ === 2

1

2

1

T

TT-k

2dT

r

dr

L

q r

rr

cilindro,cond

π2

1

2

1T-k

2

T

T

r

r

cilindro,cond rlnL

q=

π

2

1

2

1T-k

2

T

T

r

r

cilindro,cond rlnL

q=

π( ) ( )1212 T-k

2

1

2

TrlnrlnL

q

r

rln

cilindro,cond −=−

43421π

26

( ) ( )1212 T-k2

1

2

TrlnrlnL

q

r

rln

cilindro,cond −=−

43421π


( )

−=

1

2

21Tk2

r

rln

TLq cilindro,cond π

Utilizando o conceito de resistência térmica, essa equação pode ser escrita como:

onde

( )cilindro

cilindro,cond R

Tq 21T −=

kL

r

rln

Rcilindro π21

2

= (K/W)

(W)

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Transferência de calor cascas esféricas

Para uma casca esférica, a distribuição de temperatura na parede é dada pela expressão:

)TT()r/r(

)r/r(T)r(T 21

21

11 1

1 −

−−−=

28


2r4π=A

∫∫ === 2

1

2

1

T

TT2-k

4dT

r

drq r

rr

esf,cond

π ∫∫ ==

− = 2

1

2

1

T

TT

2 -k4

dTdrrq r

rr

esf,cond

π

2

1

2

1

T-k14

1T

T

r

r

esf,cond rq=

−

−

π2

1

2

1

T-k1

4

T

T

r

r

esf,cond

r

q=−

π

( )( )12

2121

Tkr4

rr

Trq esf,cond −

−= π( )2121

12 Tk4

Trr

rrq esf,cond −=

−π

Com o mesmo procedimento utilizado para o caso do cilindro, a análise pode ser repetida para uma casca esférica, com temperaturas conhecidas em T1 e T2, unidimensional, permanente e sem geração de calor. Lembrar que a área da superfície de uma esfera é dada por:

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Utilizando o conceito de resistência térmica, a equação anterior pode ser escrita como:

onde

( )esf

esf,cond R

Tq 21T −=

( )21

12

4 rkr

rrResf π

−=

(W)

(K/W)

30

Transferência de calor em cilindros e cascas esféricas

Para as mesmas hipóteses utilizadas (regime permanente, unidimensional, sem geração de calor), a transferência de calor através de uma parede cilíndrica ou esférica exposta à convecção em ambos os lados, para fluidos com temperaturas T∞1

e T∞2 e com coeficientes de transferência de calor h1 e h2, a rede de resistência térmica é mostrada na figura abaixo:

( )totalR

Tq 21T ∞∞ −=

21 ,convcil,convtotal RRRR ++=

( ) ( ) 22

1

2

11 2

1

22

1

hLrkL

rrln

hLrRtotal πππ

+

+=

Para uma casca cilíndrica

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Transferência de calor em cilindros e cascas esféricas

( ) ( ) 22

221

12

12

1 4

1

44

1

hrkrr

rr

hrRtotal πππ

+−+=

21 ,convesf,convtotal RRRR ++=

Para uma casca esférica

Obs.: notar que o termo A na equação da resistência à convecção é a área da superfície onde ocorre a convecção, igual a A=2πrL para superfície cilíndrica e A=4πr2, para uma superfície esférica de raio r.

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Transferência de calor em cilindros e esferas com múltiplas camadas

A transferência de calor em regime permanente através de múltiplas camadas cilíndricas ou esféricas pode ser trata de forma similar ao caso de múltiplas camadas em paredes planas, somando-se resistências adicionais em série. Por exemplo:

( )totalR

Tq 21T ∞∞ −=

23211 ,conv,cil,cil,cil,convtotal RRRRRR ++++=

243

3

4

2

2

3

1

1

2

11

1

222

1

hALk

rrln

Lk

rrln

Lk

rrln

hARtotal +

+

+

+=πππ

LπrALπrA 4411 2 e 2 ==

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