Condutores, Dielétricos e CapacitânciaCondutores, Dielétricos e Capacitância

1. Corrente e densidade de corrente1. Corrente e densidade de corrente2. Continuidade da corrente2. Continuidade da corrente3. Condutores metálicos3. Condutores metálicos4. Propriedades dos condutores e condições de 4. Propriedades dos condutores e condições de

contornocontorno5. O método das imagens5. O método das imagens6. Semicondutores6. Semicondutores7. A natureza dos materiais dielétricos7. A natureza dos materiais dielétricos8. Condições de contorno para materiais dielétricos 8. Condições de contorno para materiais dielétricos

perfeitosperfeitos9. Capacitância9. Capacitância

1. Corrente e densidade de corrente1. Corrente e densidade de correnteCorrente Elétrica: quantidade de carga que atravessa uma secção transversal de um condutor por unidade de tempo.

dt

dQI [I] = C/s = A (Ampére)

Microscópicamente define-se densidade de corrente J.l

A

+

++

+++

+

n - número de partículas por unidade de volumeV - volume totalq - carga das partículas.Q - carga total

t

QI

nqVQ

lSV .

tvl .

vqnS

IJ

..

qn. Densidade

de carga

vJ

. sdJIS

2. Continuidade da corrente2. Continuidade da corrente(Conservação da carga)

Corrente através de uma superfície fechada

S

sdJI

Fluxo de cargas positivas é balanceado por um decrescimo das mesmas (ou um acrescimo das cargas negativas)

Forma integral da equação de continuidade

dt

dQsdJ i

S

Princípio da conservação da cargaDepende da carga considerada

SV

sdFdvF

. Teorema do divergente

v

i dvQ

dt

dJdv

dt

ddvJ

vV

..Carga por unidade de tempo que sai de um pequeno volume é igual razão do decréscimo de carga por unidade de volume em cada ponto

3. Condutores metálicos3. Condutores metálicosE

nerg

ia

Banda de condução

vazia

Banda de ValênciaPreenchida

Banda de condução

vazia

Banda de ValênciaPreenchida

Banda de condução

vazia

Banda de ValênciaPreenchida

Energia Proibida

Condutor Isolante Semicondutor

3. Condutores metálicos3. Condutores metálicos

Considerando-se um condutor

Elétrons carga Q=-e

EeF

Ev ed

Velocidade de arrastamento

Mobilidade

Sabendo-se que:devJ

Densidade de carga do elétron lívre

EJ ee

ee Condutividade metro

mhos

m=

EJ

Forma puntual da Lei de Ohm

3. Condutores metálicos3. Condutores metálicos

Lei de Ohm

l

VE JSI

EJ

l

V

S

I IS

lV

S

lR

RIV

Considerando-se as Relações

b

a

ab ldEV

S

sdJI

EJ

S

b

a

sdE

ldE

R

4. Propriedades dos condutores e condições de contorno4. Propriedades dos condutores e condições de contorno

d

condutor

vácuoS

h

w

a

b

c

D

tD

nDE

tEnE

0 ldE

0 a

d

d

c

c

b

b

a

ldEldEldEldE

Dentro do condutor0

22

hE

hEwE nnt

0tE

QsdDS

topo base lado

Q

SSD sn .

snD

snn ED 0

0 tt EDSuperfície equipotencial

Princípios aplicados em condutores eletrostáticosPrincípios aplicados em condutores eletrostáticos1. A intensidade do campo elétrico no condutor é nula.1. A intensidade do campo elétrico no condutor é nula.2. O campo elétrico de um condutor, em qualquer ponto, é normal à superfície.2. O campo elétrico de um condutor, em qualquer ponto, é normal à superfície.3. A superfície condutora é equipotencial.3. A superfície condutora é equipotencial.

O método das Imagens

Superfície equipotencial

Plano condutor

+q

-q

+

-Exemplo: Determinar a densidade superficial de carga no ponto P(2,5,0) no plano condutor z=0, estando presente uma linha de cargas de +30nC/m em x=0, z=3.

+

-

3

2

R+

R-

objeto

imagem

+

-

3

2

R+

R-

objeto

imagem

Rl aR

E02

Rl aR

E02

EEE

Pg 14

Semicondutores

São portadoresElétron

buraco

1 eV

e-

buraco

Movem-se no campo elétrico emsentidos opostos

Ambos contribuem para a corrente total

- mobilidade do buraco

hhee

•No semicondutor a mobilidade cresce com a temperatura•Satisfazem a forma pontual da lei de ohm•semicondutores tipo

•n fornecem elétrons•p fornecem buracos

A Natureza dos Dielétricos

Cargas de polarizaçãoMomento de dipolo - P=Qd

Distância entre as cargas

Considerando-se um volume V e n dipolos idênticos

Vn

iit pP

1

Vn

ii

vp

VP

10

1lim

Polarização - momento de dipolo por

unidade de volume:Deve ser tratada como um campo vetorial contínuo

Unidade= C/m2

Objetivo: Mostrar que a densidade volumétrica da carga de polarização age como uma densidade volumétrica de carga livre ao produzir um campos externos

S EMaterial dielétrico

S

-

+-

+

-

+

-

+

-

+d

d/2 cos

d/2 cos

Suposições:•que o dielétrico contém moléculas não polares e portanato P=0•seleciona-se S em algum lugar do dielétrico•Aplica-se um campo elétrico E. •E produz p=Qd em cada molécula.•P e d formam um ângulo com S.•A carga líquida que atravessa a superfície incremental:

Sd cos2

1Metade do volume

SdnQQp

pMolécula por unidade de volume

PSPQp

Elemento de superfície fechada•esta dirigido para fora•o acréscimo líquido das cargas de polarização entro da superfície fechada

SdEQS

t

0Lei de Gauss

QQQ tt Carga livre da superfície

s

pt SdPEQQQ

0 )( 0 PED

s

SdDQ

Sabendo-se que:v

dvQ

v

pp dvQ

v

tt dvQ

Teorema do Divergente

vs

dvFSdF

Verifica-se que:pP

0tE

D

Equação de Maxwell

Para materiais isotrópicos: EP e

0 Suscetibilidade elétrica do

materialEP R

0)1(

Permissividade relativa ou constante dielétrica do material

PED

0 EED R

00 )1( ED R

0 ED

é a permissividade do meio

Para materiais anisotrópicos:

zzzyzyxzxz

zxzyxyxyxy

zxzyxyxxxx

EEED

EEED

EEED

Os nove valores de ij são chamados coletivamente de tensor.

Neste caso os vetores D, E e P não são paralelos

Resumindo

ED

D

s

SdDQ

0 R

Condicões de Contorno para Materiais Dielétricos Perfeitos

Região 1

Região 2

h

w

SDn1

Dn`2

Etg1

Etg2

0 ldE

21

21 0

tgtg

tgtg

EE

wEwE

Se Etg é contínuo Dtg também é contínuo

2

1

2

1

2

2

1

1

tg

tg

tgtg

D

D

DD

Da Lei de Gauss

0

21

21

s

snn

snn

DD

SQSDSD

Devido ao fato dos dielétricos serem perfeitos.

2211

21

nn

nn

EE

DD

Componente contínua

Componente descontínua

Vamos examinar D1 e (E1) formando um ângulo com a superfície

1

2

D2

D1

212

1

2

1

22

1

2211

21

2112

cos

cos

sensen

tgtg

D

D

DD

EE

DD

nn

cc

Resolução

Se 1>2 então 2>1

A direção de E é identica a de D por que

ED

1122111

222

112

1221122

coscoscoscos

sensensensen

EEDD

EEDD

12

2

2

11

212

12

2

1

21

212

sencos

cossen

EE

DD D é maior para maior 1=2=90

E é maior para menor 1=2=0

Condições de contorno entre o condutor e dielétrico

dentro do condutor0ED

0 tgtg DE Para satisfazer a condição: EDeldE

0

Pela Lei de Gauss

sn

sn

E

D

QsdD

snn

tgtg

ED

ED

0

É interessante observar que qualquer carga introduzida em um condutor chega à superfície como uma carga superficial.

EJ

dt

dJ

.

Dada a Lei de Ohm

a equação de continuidade:

Cargas Livres

dt

dE

.dt

dD

dt

dD

..

dt

dD

. como D

.

te

ddt

ddt

dt

d

)/(0

)/()/(

Constante de Tempo

Tempo de relaxação

Densidade de cargas no tempo t=0

9. Capacitância9. Capacitância

M2M1

------

----

--

--

----

---

-

--

--

--

----

--+

+

++