Conectividade em grafos

Conectividade em Grafos


Michelle Cacais

Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia do Ceara - IFCE

15 de Abril de 2016

Michelle Cacais | Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia do Ceara - IFCE | 15 de Abril de 2016 1 / 16


Introducao

Conectividade e um dos conceitos basicos da teoria dos grafos.

Fala sobre o numero mınimo de elementos que precisam serremovidos para desconectar os vertices uns dos outros.

E um tema fortemente ligado a teoria dos problemas de fluxo de redes.

A conectividade de um grafo e uma importante medida da robustezde uma rede.



Conceitos iniciais

Em um determinado grafo G, uma caminhada (walk) em G e umasequencia finita de arestas, podendo ser representado porv0, v1, v2, ..., vm.

Cada aresta consecutiva e adjacente ou identica.

Essa caminhada determina uma sequencia de vertices v0, v1, ..., vm,sendo v0 o vertice inicial e vm o vertice final.

O numero de arestas em um caminho e chamado de tamanho(length).



Conceitos iniciais

Exemplo: v → w → x → y → z → z → y → w e uma caminhada detamanho 7 de v ate w.

Figura: Grafo com tamanho 7



Conceitos iniciais

Uma caminhada na qual todas as bordas sao distintas consiste emuma trilha (trail).

Se, alem disso, os vertices v0, v1, ..., vm sao distintos, (exceto sev0 = vm), entao e chamado de caminho (path).

Um caminho ou uma trilha e fechado (closed) se v0 = vm.

Um caminho fechado que contem no mınimo uma aresta e um ciclo(cycle).



Conceitos iniciais

Um grafo e dito conexo (connected) se, e somente se, houver umcaminho os ligando.

Figura: Exemplos de grafos conexo e desconexo



Definicao

Um grafo nao vazio G e chamado conexo se qualquer um dos verticesesta ligado por um caminho em G.

Se U ⊆ V (G ), e G [U] sao conexos, U tambem e chamado de conexo(em G ).

Um grafo e conectado se possuir exatamente um componenteconectado, ou seja, se cada no e alcancavel a partir de cada um dosnos.



Preposicao

Os vertices de um grafo conexo G pode ser sempre enumerado comov0, v1, ..., vm.

Entao Gi := G [v1], ..., vi e conectado para cada i.



Prova

Pegue qualquer vertice e assuma que e v1.

Assuma indutivamente que v1, ..., vi foi escolhido por algum i < |G |.Agora pegue um vertice v ∈ G − Gi .

Como G e conexo, contem um caminho P de v − vi .

Escolha como vi+1 o ultimo vertice de P em G − Gi .

A conectividade de cada Gi e seguida pela inducao de i.



Componentes

Imagine um grafo G = V ,E .

Um subgrafo com conectividade maxima de G e chamadocomponente de G.

Um componente a ser conectado e sempre um componente nao vazio.

O grafo vazio nao tem componentes.

Figura: Um grafo com tres componentes, e um mınimo subgrafo geradorligado em cada componente



Vertice de corte e ponte

Se A,B ⊆ V e X ⊆ V ∪ E , tais que cada caminho A - B em Gcontem um vertice ou uma aresta de X, diz-se que X separa osconjuntos A e B em G.

X separa G se G - X e desconexo.

Isso implica que A ∩ B ⊆ X .

Um vertice que separa dois outros vertices do mesmo componente echamado de vertice de corte (cutvertex).

A aresta que separa e chamada de ponte (bridge).



Ponte

Uma aresta e dita ser uma ponte se sua remocao produz um grafocom mais componentes conexos.

Figura: Um grafo com vertices de corte v, x, y, w e ponte e = xy



Separacao

O par nao ordenado A,B e uma separacao de G se A ∪ B = G e se Gnao tiver nenhuma aresta entre A para B e entre B para A.

E equivalente dizer que A ∩ B separa A de B.

Ambos casos de A para B e de B para A sao nao vazios e a separacaoe apropriada.

O numero |A ∩ B| e a ordem da separacao de A, B.



k-conectividade

G e chamado k-conexo (k ∈ N) se |G | > k e se G − X e desconexopara cada X ⊆ V com |X | < k.

Dois vertices de G nao podem ser separados por menos de k outrosvertices.

Todo grafo nao vazio e 0-conexo, e os grafos 1-conexos saoprecisamente os grafos conexos nao-triviais.

O maior numero inteiro k tal que G seja k-conexo e a conectividadek(G) de G.



l-arestas-conexas

Se |G | > 1, e G - F e conexo para cada conjunto F ⊆ E de menosque l arestas, entao G e chamado de l-arestas-conexas.

O maior numero inteiro l, tal que G seja l-arestas-conexo, e a arestaconexa λ(G ) de G.

Figura: O octaedro G com k(G ) = λ(G ) = 4 e o grafo H comk(H) = 2,masλ(H) = 4



Conclusao

Um grafo nao orientado e chamado de conexo (ou conectado) seexiste um caminho entre cada par de vertices distintos do grafo.

Um grafo G(V,E) desconexo e formado por pelo menos dois subgrafosconexos, disjuntos em relacao aos vertices.

Uma aresta e dita ser uma ponte se sua remocao produz um grafocom mais componentes conexos.

O maior numero inteiro k tal que G seja k-conexo e a conectividadek(G) de G.


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