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Confiabilidade estrutural de vigas de madeiras submetidas à flexão em condições normais e em situação de incêndio

Andrés Batista Cheung, Professor do Centro de Ciências Exatas e Tecnologia, UFMS. E-mail: andres.cheung@ufms.br. Edna Moura Pinto, Professora do Departamento de Arquitetura, UFRN. E-mail: emourap@ufrnet.br. Carlito Calil Junior, Professor Titular do Departamento de Engenharia de Estruturas, EESC-USP. E-mail: calil@sc.usp.br. Resumo: Métodos probabilísticos são caminhos naturais para se estudar e projetar estruturas de madeira devido à mesma apresentar alta variabilidade nas propriedades mecânicas de resistência e rigidez em condições normais e de incêndio. Este trabalho tem como objetivo estudar a confiabilidade estrutural de vigas de madeira submetidas à flexão em condições normais de uso e em situação de incêndio utilizando para isso dados experimentais de velocidade de carbonização de espécies de reflorestamento, resistências mecânicas e rigidez da literatura nacional. Para isso foi utilizado o método de simulação de Monte Carlo e o Método de Confiabilidade de Primeira Ordem (FORM) para a determinação da probabilidade de falha e determinação do índice de confiabilidade. O estudo apresentou uma maneira prática de estimar a segurança de vigas em situação normais e de incêndio avaliando o risco da estrutura quando submetido a uma condição excepcional. Palavras-chave: vigas, madeira, confiabilidade, flexão.

Structural reliability of bending performance of a beam in normal and fire conditions

Abstract: Probabilistic methods are a natural way to study and design timber structures due to wood is a material with significant variability in its strength and stiffness properties in normal and fire conditions. The aim of this work is a analysis a structural reliability in normal and fire conditions using experimental data to carbonization velocity, strength and stiffness obtained by national literature. For this purpose, Monte Carlo Simulation and First Order Reliability Method (FORM) were used to determinate probability of failure and reliability Index. This study shows that a practical way to evaluated beam safety in normal and fire conditions computing structural risk when submitted exceptional conditions. Keywords: beam, wood, reliability, bending. beam

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Introdução à confiabilidade estrutural

Métodos probabilísticos são caminhos naturais para se estudar e projetar estruturas de madeira devido à mesma apresentar alta variabilidade nas propriedades mecânicas de resistência e rigidez em condições normais e de incêndio (CHEUNG, 2007). Desta forma, a segurança é um requisito essencial para a determinação do risco em que as pessoas estão submetidas em caso de vigas em situação de incêndio.

O risco pode então ser associado, em termos de probabilidade, e estudado, pela teoria da confiabilidade, que vem sendo desenvolvida nos últimos 40 anos. A teoria da confiabilidade tenta quantificar as incertezas usando a teoria da probabilidade, e introduz os principais conceitos para que um projeto possa ser efetuado com uma determinada probabilidade de falha, ou um risco mensurável.

Os métodos probabilísticos reconhecem que as falhas não podem ser evitadas, mas que o engenheiro pode e deve minimizar o número esperado de insucessos para estar dentro de um nível aceito pela sociedade dentro dos conceitos de economia (FOSCHI, 2003).

Antes de definir-se confiabilidade é necessário definir o que significa falha. Falha pode ser definida como: a incapacidade do componente ou do sistema de funcionar como foi projetado. Então a condição de falha deve ser definida em relação a um cenário ou modo de falha específico.

As falhas em engenharia são geralmente expressas pelas equações de estados limites. Estas equações representam o limite entre o atendimento de um requisito de segurança, serviço, estético e econômico. Caso as equações de estados limites não cumpram os requisitos supracitados, define-se que a estrutura apresentou um modo de falha para o requisito para a qual foi projetada.

É importante lembrar que os modos de falhas são idealizados para representar as falhas nas estruturas. Geralmente os modelos são baseados em ensaios laboratoriais ou experiência em estruturas reais.

Segundo Beck (2006), a ultrapassagem de um estado limite é em geral irreversível, ou seja, a primeira ocorrência deste evento caracteriza falha na estrutura. Desta forma, a confiabilidade pode ser definida como sendo a probabilidade de que um componente, ou sistema, operando dentro dos limites de projeto, não falhe durante o período de tempo previsto para a sua vida, dentro das condições de agressividade do meio.

De acordo com a BS 4778:1991, o termo confiabilidade é definido como a capacidade de um componente desempenhar satisfatoriamente a função requerida, sob condições de operação estabelecida, por um período de tempo determinado. Em termos quantitativos pode ser definido como complemento da probabilidade de falha.

É importante notar da definição acima que quatro elementos importantes são ressaltados (HOLICKÝ et al, 2005):

• operação estabelecida (definição de falha); • período de trabalho (avaliação do período de vida útil); • nível de confiabilidade (avaliação da probabilidade de falha); • condições de uso (limitando as incertezas quanto ao uso).

Em princípio, a probabilidade de falha deve ser considerada para todos os riscos possíveis, incluindo a presença de carregamentos externos, baixas qualidades dos materiais e erros de detalhamento e de hipóteses teóricas de vinculação da estrutura.

Nesta linha de pesquisa. este trabalho tem como objetivo estudar a confiabilidade estrutural de vigas de madeira solicitadas à flexão em condições normais de uso e em situação de incêndio utilizando para isso dados experimentais de velocidade de carbonização de espécies de reflorestamento, resistências mecânicas e rigidez da literatura nacional.

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Elementos fletidos em condições normais

Os elementos fletidos em condições normais são aqueles expostos a temperatura ambiente em que os estados limites representativos, para este caso, são: tensões máximas normais e de cisalhamento e deformação aceitável. Neste contexto, o estudo formulou as equações para as tensões normais e as deformações permissíveis desprezando aquelas oriundas do cisalhamento no âmbito dos procedimentos de projetos comumente adotados. Elementos fletidos submetidos à condição de incêndio

Atualmente diversas pesquisas vem sendo conduzidas no Brasil e no mundo com o

objetivo de proporcionar aos usuários da segurança das estruturas em situação de incêndio. Para atingir este objetivo, geralmente, adota-se um conjunto de procedimentos denominado sistemas de proteção contra incêndio, que consiste de sistemas ativos e passivos de atuação.

Neste contexto, um dos pontos fundamentais para garantir o sucesso de um sistema é a de que um elemento estrutural submetido à condição de incêndio, com ou sem proteção contra incêndio, resista aos esforços em elevadas temperaturas e mecanismos de degradação, de forma que não apresente algum estado limite último.

Diferentemente de outros materiais de construção civil, a ação térmica na madeira provoca degradação por combustão de seus componentes químicos, liberação de gases inflamáveis e formação de carvão. Contudo, esta camada carbonizada assegura um bom comportamento ao incêndio da seção transversal que promove um sistema de isolamento térmico ao núcleo da viga (ver Figura 1), conforme mostrado por Ritter (1990).

Figura 1 – Estrutura de Madeira após a exposição ao fogo. (Fonte: RITTER, 1990).

Estas constatações podem ser observadas na Figura 2, que ilustra as seções de madeira em condições normais de uso, parcialmente carbonizada e totalmente carbonizada (PINTO, 2005).

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Figura 2 – Estrutura de Madeira após a exposição ao fogo. Fonte: PINTO (2005).

A resistência ao fogo é a capacidade dos materiais, elementos e componentes construtivos atenderem, por um período de tempo estabelecido, as suas funções de estabilidade, estanqueidade e isolamento térmico.

Para os elementos estruturais de madeira, um dos modelos mais utilizados pelas normas de dimensionamento é a verificação pela seção residual de madeira (ver Figura 3 ) que depende da taxa de carbonização da madeira. Este parâmetro é dependente das propriedades constituintes da espécie de madeira, sendo de difícil obtenção analítica recorrendo, na maioria das vezes a procedimentos experimentais com alta variabilidade. Sabe-se no entanto que, a taxa de carbonização depende de diversos fatores tais como: densidade aparente, umidade e espécie.

Figura 3 – Modelo adotado com base na taxa de carbonização e incêndio. Outro fator levado em consideração é a redução de resistência devido a degradação

térmica provocada pela ação do calor. Diversos estudos foram conduzidos, dentre os quais destacam-se: Almeida e Sanches (1998), Buchanan (1998) e Pinto (2005). Métodos de confiabilidade

Existem muitos métodos para calcular a probabilidade de falha. Muitos

pesquisadores vêm sugerindo diferentes aproximações, alguns dos principais trabalhos são: Ditlevsen e Madsen (2005), Hong (1999), Kiureghian et al. (1987); Melchers (1987), Agusti et al. (1984), Ang e Tang (1984), Hasofer e Lind (1974). O método mais direto e utilizado para as aferições é a simulação de Monte Carlo. Porém existem outros métodos aproximados que são mais eficientes computacionalmente, e que são baseados no cálculo

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de índice de confiabilidade β (First Order Second Moment - FOSM, First Order Reliability Method - FORM e Second Order Reliability Method - SORM).

Os métodos de obtenção da probabilidade de falha são descritos resumidamente

como:

• Analítico: somente em poucos casos é possível encontrar a solução analítica e essa depende do vetor de variáveis aleatórias que devem ser independentes e normalmente distribuídos.

• FOSM (Método de primeira ordem e segundo momento): neste método a equação de estado limite é aproximada por um hiperplano no ponto mais representativo (ponto de projeto), e a informação estatística para construção da função conjunta de distribuição )(xf X se limita aos dois primeiros momentos (média µ evariância 2σ ).

• FORM (Método de confiabilidade de primeira ordem): similarmente ao FOSM, este método aproxima a equação de estado limite por um hiperplano, porém utiliza as informações estatísticas das variáveis envolvidas como o tipo da distribuição marginais não Gaussianas e seus coeficientes de correlação entre pares de variáveis.

• SORM (Método de confiabilidade de segunda ordem): este método utiliza todas as características anteriores diferenciando-se pela aproximação de uma função de segunda ordem (quadrática) no ponto de projeto ou por uma hiperesfera.

• Simulação: Todas as informações estatísticas são consideradas e a confiabilidade é obtida pelos experimentos aleatórios simulando n realizações das variáveis aleatórias.

Dentre os métodos para o cálculo da probabilidade de falha, neste trabalho foi escolhido o método de simulação de Monte Carlo puro e o FORM por este apresentar simplicidade na sua aplicação. Método de simulação de Monte Carlo

Segundo Ang e Tang (1984), um método de simulação é um processo que reproduz o mundo real com base em um número de hipóteses e modelos que representam a realidade. Dentre os métodos de simulação o mais utilizado é o de Monte Carlo, pois tem características atrativas para seu emprego devido à sua robustez, simplicidade e flexibilidade. Entretanto, a maior desvantagem do método, é o número de simulações necessário para se reduzir o erro da estimativa da solução procurada, o que tende, na prática, a tornar o método muito lento.

Simulação de Monte Carlo é o nome dado à simulação que envolve a utilização de números aleatórios. Métodos de simulação são muitas vezes chamados de métodos exatos porque, teóricamente, o resultado da simulação tende ao resultado exato quando o número de simulações tende ao infinito. Além disto, métodos de simulação evitam certas aproximações dos métodos analíticos. No entanto, a concepção de exato se limita a estes dois fatores pois, na realidade, métodos de simulação ainda estão sujeitos a erros de modelo, aproximações algorítmicas na geração de números aleatórios, entre outros. Os resultados dependem da qualidade dos números aleatórios utilizados, o que representa importante parcela do trabalho de simulação (BECK, 2006).

A aplicação direta da metodologia descrita acima para a obtenção da probabilidade de falha é designada como simulação de Monte Carlo pura. Nesta simulação, as realizações de x são determinadas segundo a função distribuição conjunta de probabilidade das variáveis x. Como o método apresenta-se lento, muitas técnicas vêm sendo

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desenvolvidas para permitirem a estimação da probabilidade com a redução do número de repetições. Estas são chamadas de técnicas de redução de variância. Estas técnicas selecionam vetores x somente nas regiões de importância (ver Figura 4), dentro das quais a falha é localizada mais facilmente. Estes procedimentos são muito eficientes e inteligentes. Detalhes destes podem ser encontrados em: Ang e Tang (1984), Schueller et al. (1989), Ditilevsen (2005) e Beck (2006). Uma descrição detalhada é realizada por Beck (2006), que apresenta a amostragem por importância nos pontos de projeto.

Figura 4 – Técnicas de simulação: (a) Monte Carlo Puro (b) Técnica de amostragem por

importância. Onde:

)(xf � função densidade de probabilidade conjunta das variáveis de projeto )(xh � função de amostragem

gF � função acumulada de probabilidade da equação de estado limite )(xg � função de estado limite

1xµ � média da variável aleatória 1x

2xµ � média da variável aleatória 2x

O método de Monte Carlo consiste basicamente nos seguintes passos:

1. geração aleatória das variáveis pseudo-aleatórias com as distribuições marginais de probabilidade;

2. realização da análise determinística do modelo analítico ou numérico para a verificação da equação de estado limite ( sobrevivência ou falha). Para tal utiliza-se a função indicadora para as realizações do processo;

3. cálculo da probabilidade de falha média, dos intervalos de confiança e da variância da probabilidade de falha.

O método de simulção de Monte Carlo realiza a geração de conjuntos de números aleatórios { }nxxxx ,,, 21 = , sendo n o número de variáveis básicas do problema que devem ser obtidas a partir da função conjunta de densidade de probabilidades ( )xf x .

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Geralmente as distribuições conjuntas não são disponíveis para a simulação. Nestes casos, as distribuições marginais são utilizadas conjuntamente com os índices de correlação entre pares de variáveis aleatórias.

FORM (First Order Reliability Method)

O método de primeira ordem ou FORM - First Order Reliability Method foi

desenvolvido para simplificar problemas com alto custo computacional de simulação por meio do desenvolvimento do FOSM (First Order Second Moment) e permite incorporar à análise as funções de distribuição de probabilidades bem como a correlação entre as variáveis aleatórias do problema.

Geralmente o problema de confiabilidade envolve variáveis correlacionadas com distribuições de probabilidade não-gaussianas. Com isso, o procedimento via FOSM torna-se inadequado quando comparados com os métodos de simulação. Devida à necessidade da consideração da informação estatística relativa às distribuições não nomais e à dependência entre variáveis conduziu ao desenvolvimento do método FORM. Esse método envolve a construção de uma função conjunta de distribuição de probabilidades )(xf x e uma transformação para o espaço padrão reduzido (BECK, 2006).

Existem na literatura duas tranformações principais: transformação de Rosenblatt e o modelo de Nataf.

A Transformação de Rosenblatt (1969) propõem que a função cumulativa conjunta de probabilidades acumulada seja igual a distribuição conjunta acumulada padrão no ponto, conservando assim todo conteúdo de probabilidades. Porém isto é de difícil utilização nos problemas práticos, pois geralmente somente as funções marginais para as variáveis básicas podem ser obtidas.

0 0( ) ( ) ( )F F= = Φx yx y y (1) Onde:

)( 0xFX função distribuição acumulada de probabilidade no espaço de projeto; )( 0yFy função distribuição acumulada de probabilidade no espaço reduzido;

)(yΦ função distribuição normal acumulada de probabilidade no espaço reduzido. O modelo de Nataf (1962 apud BECK, 2006 p. 106) consiste em:

• uma transformação das distribuições marginais originais em distribuições normais equivalentes (em variáveis z correlacionadas);

• determinação de coeficientes de correlação equivalentes para as distribuições marginais normais;

• eliminação da correlação por meio da decomposição ortogonal ou da fatoração de Cholesky da matriz de correlação.

Segundo Beck (2006) a transformação que é usada na maioria dos problemas práticos é a transformação composta utilizando o modelo de Nataf (ver Figura 5).

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Figura 5 – Transformação composta de Nataf. Fonte: Adapatado de Neves (2004).

Exemplo de estudo

Para ilustrar o problema de incêndio em vigas de madeira em seções serradas foi usado um exemplo de dimensionamento de elemento estrutural submetido aos carregamentos permanentes e acidentais com diferentes propriedades estatísticas e situação de incêndio de exposição das quatro faces. Para o estudo foi escolhida a espécie de Eucalipto Citriodora por ser conhecida experimentalmente a taxa de carbonização em ensaios de elementos estruturais realizados por Pinto (2005). A resistência à compressão paralela às fibras e o módulo de elasticidade foram obtidos por meio de ensaios de copos de prova normatizados pela NBR 7190:1997 e ajustou-se a distribuição de probabilidades Lognormal para a resistência da madeira.

O elemento estrutural foi verificado para duas equações de estado limite último e por uma equação de estado limite de serviço, a saber:

• condições normais de uso; • tempo de resistência ao incêndio de 60 minutos com a taxa de carbonização como

variável aleatória; • deslocamento excessivo em condições normais de estado limite de serviço. Na situação de incêndio, devido aos modelos adotados neste trabalho, é necessário

conhecer a taxa de carbonização. Como a espessura carbonizada depende das condições do ambiente em que o elemento estrutural está submetido, foi adotada uma taxa constante de carbonização que será representada como variável aleatória devido a variabilidade dos resultados dos ensaios experimentais conduzidos por Pinto (2005). Desta forma, a espessura carbonizada será calculada com a seguinte expressão:

Te .α= ,

(2)

onde:

é a taxa de carbonização; T é o tempo de exposição ao fogo.

A geometria do elemento estrutural estudado foi escolhida conforme as seções transversais ensaiadas por Pinto (2005) esta apresentada na Figura 6. Para o estudo da confiabilidade estrutural foram utilizadas três equações de estado limite, são elas: tensões normais em situação normal (ver eq.03) e em condições de incêndio (ver eq.04) e deformação em situação normal (ver eq.05). Para que as incertezas nos modelos analíticos

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de determinação de tensões e efeitos de cargas fossem abordadas foram introduzidos dois parâmetros, são eles: Rθ e Eθ .

Figura 6 – Geometria do exemplo de estudo.

1) Modo de falha devido às tensões normais (temperatura ambiente):

)6/.(

18

).(.. 2

2

1 hbLqgfg EcoR

+−= θθ (3)

2) Modo de falha devido às tensões normais na seção residual sob condição de incêndio (T=60min):

)6/)..2)(..2((

18

)(.. 2

2

2 ThTbLqqfg EcoR αα

θθ−−

+−= (4)

3) Modo de falha por deformação excessiva em condições normais (temperatura ambiente):

)12/..(

1384

)(5200 3

4

3 hbELqgLg

co

+−= (5)

onde: g carregamento permanente; q carregamento variável;

cof resistência à compressão paralela às fibras;

Eθ parâmetro de incerteza do efeito da ação;

Rθ parâmetro de incerteza da resistência; β taxa de carbonização. Variáveis básicas dos modelos

Os modelos probabilísticos são representados pelos seus valores característicos Xk usado para a determinação dos valores das ações de projeto. A ação permanente é descrita pela distribuição normal e ações variáveis pela distribuição de Gumbel. A resistência à compressão paralela do Eucalyptus Citriodora é descrito pela distruibuição Lognormal. Os coeficientes de variação são estimados por trabalhos experimentais e pelos valores recomendados pelo Joint Committee on Structural Safety (JCSS, 2000).

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Tabela 1 – Valores utilizados para as variáveis básicas do problema.

no Categoria das variáveis

Nome das variáveis básicas Símbolos unid.

Distribuição de

Probabilidades

Média µx

Desvio Padrão

σx 1

Ações

Permanente g kN/m Normal 10,0 2,0

2 Variável q kN/m Gumbel 25,0 6,25

3 Taxa de carbonização β mm/min Lognormal 0,6 0,10

4 Propriedades

Módulo de Elasticidade Eco kN/cm² Lognormal 2067 254

5 Resistência paralela às fibras fco kN/cm² Lognormal 6,2 0,64

6 Modelos de incertezas

Efeito das ações θE - Normal 1,0 0,1

7 Efeito das resistência θR - Normal 1,1 0,1

OBS: As dimensões de b, h e L são consideradas determinísticas e tem os respectivos valores, 30cm, 40cm e 6m. Resultados e discussão

Os resultados da análise de confiabilidade estão apresentados na Tabela 2 para as três equações de estados limites estudadas. Os índices de confiabilidade calculados por meio dos métodos anteriormente descritos mostram uma boa concordância entre si e indicam, como esperado, uma diminuição da confiabilidade da viga em situação de incêndio. Entretanto, deve-se ressaltar que em condições de incêndio, a probabilidade de falha pode ser admitida com valores mais baixos que em condições normais. Os dois métodos utilizados apresentaram valores próximos, mostrando que o FORM pode ser usado com boa aproximação para a obtenção do índice de confiabilidade de vigas submetidas à flexão em condições normais e de incêndio.

Tabela 2 – Resultados da análise de confiabilidade.

Eq.β

(FORM)P f

(FORM)β

(Monte Carlo)P f

(Monte Carlo)

Índice deconfiabilidadealvo (β ) - JCSS

1 4,53 2,81.10-6 4,58 2,32.10-6 4,202 2,07 1,92.10-2 2,03 2,01.10-2 2,003 2,14 1,60.10-2 2,14 1,40.10-2 1,70

A Tabela 2 mostra que os valores encontrados para o índice de confiabilidade da

viga em condições normais apresentou valores acima dos recomendados pelo Joint Committee on Structural Safety, JCSS (2000), para a equação de estado limite 1. Fica evidente que uma calibração paramétrica para os coeficientes parciais de segurança é necessária tentando diminuir as diferenças entre o índice alvo e o obtido.

Comparando-se com os valores recomendados pela norma européia EN 1990: 2002 observam-se que os valores encontram-se abaixo dos recomendados. É importante lembrar que as estruturas são agrupadas em três classes de risco distintas na norma européia, e os valores para os índices de confiabilidade recomendados estão apresentados na Tabela 3.

Classe 1 (conseqüências pequenas): Risco econômico e de vida são pequenos (estruturas agrícolas, silos e mastros).

Classe 2 (conseqüências moderadas): Risco de vida médio e econômico considerável (escritórios, residências, apartamentos).

Classe 3 (grandes conseqüências): Risco de vida e econômico consideráveis (pontes, teatros, hospitais e edifícios altos).

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Tabela 3 – Índices recomendados pela EN 1990: 2002

Deve-se destacar que a condição de incêndio representa uma excepcionalidade e

que os índices de confiabilidade para estes casos são tratados de forma cuidadosa pelas normas de segurança e estão ligados a diversas probabilidades, tais como: ocorrer o incêndio, a brigada de incêndio falhar, os sprinklers falharem, área do cômodo em situação de incêndio, os detectores de fumaça não funcionarem. Conclusões

O estudo apresentou uma metodologia para estimar a segurança de vigas em

situação normais e de incêndio avaliando o risco da estrutura quando submetido a uma condição excepcional de incêndio. A partir dos resultados encontrados pode-se afirmar que:

- os valores encontrados com a Simulação de Monte Carlo e FORM foram muito próximos e estão abaixo dos recomendados pelas normas internacionais para o elemento estrutural estudado.

- a metodologia utilizada pode ser adotada para a calibração dos coeficientes parciais em viga submetidas à condição de incêndio.

- o estudo da confiabilidade estrutural deve ser adotada como uma ferramenta essencial para a próxima revisão da norma brasileira de estruturas de madeira com a finalidade de calibração do modelo adotado pela norma brasileira.

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Período de referência de 1 ano

Período de referência de 50 anos

Classe 1 4,2 3,3 Classe 2 4,7 3,8 Classe 3 5,2 4,3

Classes de risco Valor mínimo de β

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CHEUNG, A. B. Modelo estocástico de pressões de produtos armazenados para a estimativa da confiabilidade estrutural de silos esbeltos. 2007. 302f. Tese (Tese em Engenharia Civil - Estruturas) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 2007. DITLEVSEN, O.; MADESEN, H.O. Structural Safety. Lyngby: Internet edtion 2.2.2. of the Department of Mechanical Engineering (DTU – Technical University of Denmark), Disponível em: <http://www.mek.dtu.dk/staff/od/books.htm.>, 2005. Acessado em: 23 jun. 2005. FOSCHI, R. O. Reliability of Structures with Timber and Wood-Based Products. Lecture, Module 1, Shanghai, 2003, 57p. HASOFER, A. M.; LIND, N. An Exact and Invariant First-Order Reliability Format. Journal of Engineering Mechanics, v.100, n. EM1, 1974, p.111-121. HONG, H. Simple aprosimations for improving Second-order reliability estimates. Journal of Engineering Mechanics, n .3, 1999, p.592-595. HOLICKÝ, M.; MATERNA, A.; SEDLACEK, G.; ARTEAGA, A.; SANPAOLESI, L.; VROUWENVELDER, T.; KOVSE, I.; GULVANESSIAN, H. Implementation of Eurocodes - Handbook 2 – Reliability Backgrounds.: Leonardo da Vinci Pilot Project CZ/02/B/F/PP-134007. Prague, 2005, 254p. JCSS (Joint Committee on Structural Safety). Probabilistic Model Code – Part 1 – Basis of Design. 12th draft. 62 p, 2000. KIUREGHIAN, A. D., LIN, H-Z. E HWANG, S-J., Second Order Reliability Approximations, Journal of Engineering Mechanics, vol. 113, no 8, 1987, pg. 1208-1225. MELCHERS, R. Structural Reability: Analysis and Prediction. London: Ellis Horwood Limited, U.K., 1987, 1 ed., 400p. NEVES, R. A. Desenvolvimento de Modelos Mecânico-Probabilísticos para Estruturas de Pavimentos de Edifícios. 2004, 200f. Tese (Doutorado em Engenharia Civil) - Escola de Engenharia de São Carlos. São Carlos. 2004. PINTO, E. M. Proteção contra incêndio para habitações em madeira. 2001, Dissertação (Mestrado) – Departamento de Arquitetura e Urbanismo. Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 2001. PINTO, E. M. Determinação de um modelo pra taxa de carbonização transversal a grã para a Madeira de E. citriodora e E. Grandis. Tese (Doutorado) -- Escola de Engenharia de São Carlos/Instituto de Física de São Carlos/Instituto de Química de São Carlos-Universidade de São Paulo, 2005. RITTER M. A. Timber Bridges: Design, Construction, Inspection, and Maintenance. Washington, DC: United States Department of Agriculture Forest Service 1990. SCHUELLER, G. I.; BUCHER, C. G.; BOURGUND, U. On efficient Computational Schemes to Calculate Structural Failure Probabilities. Probabilistic Engineering Mechanics, v.4, n.1, 1989, p.10-18.