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Congruncia de Tringulos SEAM 17/03/2014

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Temos que dois tringulos so congruentes: Quando seus elementos (lados e ngulos) determinam a congruncia entre os tringulos. Quando dois tringulos determinam a congruncia entre seus elementos.

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Casos de congruncia:

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1 LAL (lado, ngulo, lado): dois lados congruentes e ngulos formados tambm congruentes.

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2 LLL ( lado, lado, lado): trs lados congruentes.

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3 ALA (ngulo, lado, ngulo): dois ngulos congruentes e lado entre os ngulos congruente.

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4 LAA (lado, ngulo, ngulo): congruncia do ngulo adjacente ao lado, e congruncia do ngulo oposto ao lado.

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Atravs das definies de congruncia de tringulos podemos chegar s propriedades geomtricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse mtodo damos o nome de demonstrao. Dizemos que, em todo tringulo issceles, os ngulos opostos aos lados congruentes so congruentes. Os ngulos da base de um tringulo issceles so congruentes.

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Pontos Notveis de um Tringulo

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Cevianas Notveis As cevianas aqui estudadas sero: Mediana, Bissetriz Interna e Altura. O nome ceviana foi dado a esses seguimentos em homenagem ao matemtico italiano Giovanni Ceva (1648- 1734), que demonstrou teoremas importantes

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Definio de Ceviana: todo segmento que tem uma das extremidades num vrtice qualquer de um tringulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte ao lado oposto a esse vrtice.

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Por conveno, os pontos mdios dos lados opostos aos vrtices A, B e C so denotados por M a e M b, respectivamente e os comprimentos das medianas relativas aos mesmos so denotados por m a e m b.

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Mediana e Baricentro Num tringulo ABC, marquemos, ponto mdio do lado BC.

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Tracemos o segmento :

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O segmento uma mediana do tringulo ABC. Mediana de um tringulo um segmento com extremidades num vrtice e no ponto mdio do lado oposto.

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Um tringulo tem trs medianas. Na figura, as trs medianas so: , mediana relativa ao lado BC ou ao vrtice A; , mediana relativa ao lado AC ou ao vrtice B; , mediana relativa ao lado AB ou vrtice C.

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As trs medianas de um tringulo encontram-se num ponto chamado baricentro do tringulo.

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Na figura, G o baricentro do tringulo ABC. Bissetrizes e incentro. Num tringulo ABC, tracemos a bissetriz As, relativa ao ngulo . Chamemos de S1 o ponto de encontro da bissetriz com o lado BC.

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Destaquemos o segmento AS1. O segmento AS1 uma bissetriz do tringulo ABC.

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Observe que: O segmento AS1 est contido na semirreta As (bissetriz do ngulo ); S1 a interseo do lado BC com a bissetriz do ngulo .

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Bissetriz de um tringulo um segmento com extremidades num vrtice e no lado oposto e que divide o ngulo desse vrtice em dois ngulos congruentes. Um tringulo em trs bissetrizes. Na figura, as trs bissetrizes so: As1, bissetriz relativa ao lado BC ou ao vrtice A; BS2, bissetriz ao lado AC ou ao vrtice B; CS3, bissetriz relativa ao lado AB ou ao vrtice.

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As trs bissetrizes de um tringulo encontram-se num ponto chamado incentro do tringulo. Na figura, S o incentro do tringulo ABC.

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Alturas e ortocentro Num tringulo ABC, tracemos pelo ponto A uma reta r perpendicular reta que contm o lado BC. Chamemos de H1 o ponto de encontro da reta r com a reta BC:

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Destaquemos o segmento AH1: O segmento AH1 uma altura do tringulo ABC. O ponto H1 a interseo da reta BC com a perpendicular a ela conduzida pelo ponto A. H1 tambm chamado p da altura.

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Altura de um tringulo o segmento perpendicular reta suporte de um lado, com extremidade nessa reta e no vrtice oposto a esse lado. Um tringulo tem trs alturas. Observe:

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Nas figuras acima, as trs alturas so: AH1, altura relativa ao lado BC ou ao vrtice A; BH2, altura relativa ao lado AC ou ao vrtice B; CH3, altura relativa ao lado AB ou ao vrtice C.

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As trs alturas, ou os seus prolongamentos, encontram-se num ponto chamado ortocentro do tringulo. Nas figuras, H o ortocentro do tringulo ABC, o qual pode ser interno ao tringulo (quando o tringulo ABC acutngulo) ou externo ao tringulo ABC obtusngulo).

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Mediatrizes e circuncentro Num tringulo ABC, tracemos a reta perpendicular ao lado BC e passando por, ponto mdio de BC. A Reta a mediatriz do lado BC.

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Um tringulo em trs mediatrizes de lados. Na figura abaixo, as trs mediatrizes so:, mediatriz de BC;, mediatriz de AC;, mediatriz de AB.

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As trs mediatrizes dos lados de um tringulo encontram-se num ponto chamado circuncentro do tringulo. Na figura, O o circuncentro do tringulo ABC.

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EXERCCIOS

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1- No tringulo, determine os valores de x e y:

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2. Um tringulo tem dois de seus ngulos medindo 46 e 112, respectivamente. Qual a medida do terceiro ngulo desse tringulo?

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4. Determine, na figura abaixo, as medidas x, y e z indicadas:

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5- Um tringulo issceles e dois lados medem 4 cm e 6 cm. Que medidas pode ter o terceiro lado?

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6- Se AS bissetriz do tringulo ABC determine e B nos casos:

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7- Calcule o valor de x nas figuras:

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8 -O segmento de reta s do tringulo abaixo : a) Mediana b) Bissetriz c) Altura d) Incentroo de reta s do tringulo abaixo :

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9 - O segmento de reta M do tringulo abaixo : a) Mediana b) Bissetriz c) Altura d) Incentro

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10 - Dada a figura abaixo, qual o nome do segmento de reta H? a) Mediana b) Bissetriz c) Altura d) ngulo

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11 - Marque V para verdadeiro e F para falso ( ) Existe a possibilidade de desenhar um tringulo cuja medidas dos lados so respectivamente 6cm, 7cm e 13 cm. ( ) A soma dos ngulos internos de um tringulo 180.

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( ) Altura segmento de reta com origem em um dos vrtices e perpendicular (forma um ngulo de 90) ao lado oposto. ( )Mediana um segmento que divide as bases do tringulo em duas partes iguais.

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( )Bissetriz tambm um segmento de reta com origem em um dos vrtices do tringulo com a outra extremidade no lado oposto a esse vrtice. Sendo que ela divide ao meio o ngulo correspondente ao vrtice.