Unidade 11 – Geometria Plana I

Congruência e semelhança de figuras planas

Relações métricas do triângulo retângulo

Triângulo qualquer

Congruência e Semelhança de Figuras Planas

TRIÂNGULOS SEMELHANTES

� Dois polígonos são semelhantes quando satisfazem, simultaneamente, duas condições: os ângulos são respectivamente congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.

� Os triângulos, no entanto, constituem um casos especial.

� Para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que verifiquem uma das duas condições de semelhança; se essa condição for satisfeita, a outra será automaticamente válida.

� Portanto, dois triângulos são semelhantes quando têm os ângulos respectivamente congruentes ou lados homólogos correspondentes proporcionais.

TRIÂNGULOS SEMELHANTES

PROPRIEDADES

EXEMPLO 1

EXEMPLO 2

Para você fazer – p. 33

44

022052.105

105

2)2

5,72

151523.52

3

5

2)1

10

3

5

2

:,

=→=→=→=→=

=→=→=→=→=

==

mmmmm

nnnnn

m

n

temosproporçãoPela

45,7 == mn e

POLÍGONOS SEMELHANTES

� Para que duas figuras sejam semelhantes, é necessário que tenham

ângulos correspondentes de mesma medida e as medidas dos

segmentos correspondentes proporcionais.

� Consideremos os polígonos QRSTU e ABCDE das figuras

seguintes:

POLÍGONOS SEMELHANTES

POLÍGONOS SEMELHANTES

POLÍGONOS SEMELHANTES

� Os valores ½ obtido chama-se razão de semelhança

do pentágono QRSTU para o pentágono ABCDE.

� Dois polígonos com o mesmo número de lados são

de semelhantes quando possuem ângulos

respectivamente congruentes e lados

correspondentes proporcionais.

� A razão entre qualquer lado de um pol[igono e o

lado correspondente do outro chama-se razão de

semelhança.

POLÍGONOS SEMELHANTES

PROPRIEDADES

PROPRIEDADES

EXEMPLO 1

CONTINUAÇÃO

Para você fazer – p. 35

→=

=→=

103

2

35

2

3

:,

DF

DFDF

AC

temosproporçãoPela

cmDF3

10=

A

B CH

αααα

m n

a = m + n

αααα ββββ

c bhββββ

Os triângulos HBA, HAC e

ABC são semelhantes

)1(. 2cmaa

c

c

m=⇒=

)2(. 2bnaa

b

b

n=⇒=

amc =2

anb =2

Relação Métricas do Triângulo Retângulo

Relação Métricas do Triângulo Retângulo

22)( cbnma +=+

A

m

αααα

cββββ

HB

h

CH

αααα

nββββ

bh

Somando as

equações (1) e (2) 222 cba +=

n

h

h

m=

nmh .2 =A área do triângulo ABC

pode ser calculada por:

2

.

2

. cbha=

cbha .. =

Ba = m + n

CH

αααα

nββββ

bh

A

mαααα

cββββ

A

mαααα

cββββ

HB

h

CH

αααα

nββββ

bh

Relação Métricas do Triângulo Retângulo

Resolução de Atividades

� Página 37 e 38

Triângulo qualquer e suas propriedades

� O estudo de triângulos é um dos assuntos mais

importantes na Geometria.

� Isso ocorre porque eles podem ser associados a

figuras geométricas circulares, possibilitando

relações importantes, além de serem elementos

básicos constituintes de figuras poligonais com mais

de três lados.

� A seguir, apresentaremos algumas propriedades

geométricas e generalidades sobre triângulos.

Elementos principais de um triângulo

� Os principais elementos de

um triângulo são os lados,

os vértices, os ângulos

internos e externos:

� Considerando o triângulo

ABC ao lado, temos:

C e B ,A ângulos os são externos ângulos Os;C e B Â, formados são internos ângulos Os

,BC e AC ,AB segmentos os são lados Os

eeeˆˆˆ

ˆˆ

→

→

→

Soma dos ângulos internos de um triângulo

� Vamos relembrar agora uma

propriedade que relaciona

os ângulos internos de um

triângulo. Observe:

� Se, pelo vértice C,

traçarmos uma reta paralela

ao lado AB, obteremos

ângulos congruentes aos

ângulos A e B.

� Os três ângulos destacados

no vértice C, juntos,

correspondem a um ângulo

de 180º.

� Logo, podemos concluir

que:

180º C B  =++ ˆˆ

� Portanto, em qualquer triângulo, a

soma dos ângulos internos é

sempre igual a 180º.

� Essa relação é conhecida como

Teorema Angular de Tales.

Soma dos ângulos externos de um triângulo

� Observe, no triângulo ABC

abaixo, que a soma de

qualquer ângulo interno de um

triângulo com correspondente

ângulo externo é sempre igual

a 180º.

º180ˆˆ

º180ˆˆ

º180ˆˆ

=+

=+

=+

e

e

e

C CB BA A

relações. seguintes as escrever podemos Assim,

Soma dos ângulos externos de um triângulo

º180º180º180ˆˆˆˆˆˆ ++=+++++ eee C CB BA A:temos equações, íltimas três

essas membro, a membro Somando,

( )º540ˆˆˆº180

º540ˆˆˆˆˆˆ

=+++

=+++++

eee

eee

C B AC B ACBA

º180º540ˆˆˆ −=++ eee C B A

º360ˆˆˆ =++ eee C B A

Resolução de Atividades

� Página 39

Classificação dos triângulos

� Os triângulos podem ser classificados de acordo

com dois critérios principais: quanto aos lados e

quanto aos ângulos.

� Quanto aos lados:

� Triângulo Equilátero: apresenta os lados e os

ângulos com a mesma medida.

� Triângulo Isósceles: apresenta dois lados e dois

ângulos com a mesma medida.

� Triângulo escaleno: apresenta os três lados e os

ângulos com medidas diferentes.

Classificação dos triângulos

� Quanto aos ângulos:

� Triângulo acutângulo: apresenta os ângulos

internos agudos, ou seja, de medidas

menores que 90º;

� Triângulo retângulo: apresenta um ângulo

reto, ou seja, com medida igual a 90º;

� Triângulo obtusângulo: apresenta um ângulo

interno obtuso, ou seja, de medida maior que

90º.

Condição de existência de um triângulo

� Para a existência de um triângulo cujos lados tenham medidas a, b, e c devem ser verificadas as seguintes condições:

� A medida de cada lado deve ser menor que a soma das medidas dos outros dois lados:

a > b + c

b > a + c

c > a + b

Condição de existência de um triângulo

� A medida de cada lado deve ser maior que o módulo da diferença das medidas dos outros dois lados:

a > |b – c |

b > |a – c |

c > |a – b |

� Para qualquer lado de medida a de um triângulo, necessariamente, devemos ter:

|b – c | < a < b + c

� Essa última expressão é denominada desigualdade triangular.

Outros elementos de um triângulo

� Além dos chamados elementos principais de um

triângulo, que são os lados, os vértices, os ângulos

internos e externos, existem outros elementos cujo

conhecimento será importante no desenvolvimento

da Geometria.

� Estudaremos, agora, no contexto de triângulos, as

alturas, as medidas, as mediatrizes e as bissetrizes.

� Cada um desses elementos determinará um ponto

notável distinto de um triângulo:

Outros elementos de um triângulo

Altura

� Uma altura de um triângulo é um segmento

de reta que tem extremidades em u vértice e

no lado oposto a esse vértice, sendo

perpendicular a esse lado.H é o ortocentro do triângulo ABC

ha

hb

hc

A

B C

Altura

ha

hc

hb

A

B

H é o ortocentro do triângulo ABC

C

Triângulo Obtuso

Mediana

� Mediana em um triângulo é um segmento de

reta que tem extremidades no ponto médio

de um lado e no vértice oposto a esse lado.

A

B CM1

M2M3

G

G é o baricentro

do triângulo ABC

VOCÊ LEMBRA?

� Mediatriz de um segmento é

a reta que passa pelo ponto

médio desse segmento

sendo perpendicular a ele.

� A mediatriz de um segmento

traduz o lugar geométrico

dos pontos equidistantes

dos vértices do segmento:

� Bissetriz de um ângulo é a

reta que divide esse ângulo

em duas partes iguais.

� A bissetriz é o lugar

geométrico dos pontos

equidistantes dos lados de

um ângulo.

Mediatriz

� Todo triângulo admite um

circunferência circunscrita a

ele que passa pelos vértices

desse triângulo.

� O centro dessa

circunferência, chamado

circuncentro, é obtido pela

intersecção das mediatrizes

dos lados do triângulo.

A

B C

O

Bissetriz

� Todo triângulo admite uma

circunferência inscrita que

tangencia internamente os

três lados.

� O centro dessa

circunferência, chamada de

incentro, é obtido pela

intersecção das bissetrizes

dos ângulos internos do

triângulo.