Congruências Quadráticas

Sumario

CONGRUENCIAS QUADRATICAS

Luciana Santos da Silva Martinolulismartino.blogspot.com.br

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PROFMAT - Colegio Pedro II

09 de dezembro de 2016

Congruencias Quadraticas Resıduos Quadraticos Soma de Quadrados Lei da Reciprocidade Quadratica

Sumario

1 Congruencias Quadraticas

2 Resıduos Quadraticos

3 Soma de Quadrados

4 Lei da Reciprocidade Quadratica


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3 Soma de Quadrados



Congruencias Quadraticas

Estamos interessados em resolver congruencias do tipo

AY 2 + BY + C ≡ 0 mod N

onde A,B,C ∈ Z e N > 1 e um natural tal que A 6≡ 0 mod N

Pondo Z = 2AY + B, ∆ = B2 − 4AC e m = 4AN, resolver acongruencia acima e equivalente a resolver o sistema decongruencias

Z 2 ≡ ∆ mod m2AY + B ≡ Z mod m



. Congruencias do tipo X 2 ≡ a mod n sao mais simples de tratarquando (a,n) = 1

Proposicao 12.1: Seja (∆,m) = e2l , onde l e livre de quadrados.Escrevendo ∆ = ∆′e2l e m = m′e2l , temos que a congruenciaZ 2 ≡ ∆ mod m admite solucao se, e somente se,(∆′l ,m′) = (l ,m′) = 1 e a congruencia X 2 ≡ ∆′l mod m′ admitesolucao

Proposicao 12.2: Seja n = pr11 ...p

rss a decomposicao de n em fatores

primos. A congruencia X 2 ≡ a mod n admite solucao se, e somentese, cada congruencia, separadamente, da famılia

X 2 ≡ a mod prii , i = 1, ..., s

admitir solucao



Proposicao 12.3: Sejam a, p, r ∈ Z, onde p e um numero primo ımpar er ≥ 2 tais que (a, p) = 1. A congruencia X 2 ≡ a mod pr admite solucao se,e somente se, a congruencia X 2 ≡ a mod p adimite solucao

Observe que congruencias do tipo X 2 ≡ a mod p nem sempre tem solucao.A congruencia X 2 ≡ 2 mod 3 nao possui nenhuma solucao

Proposicao 12.4: Considere a congruencia

X 2 ≡ a mod 2r

onde a, r ∈ Z, com a ımpar e r ≥ 2. Temos que:

i) Se r = 2, a congruencia dmite solucao se, e somente se, a ≡ 1 mod 4 e,nesse caso, ela admite duas solucoes incongruentesii) Se r ≥ 3, a congruencia admite solucao se, e somente se, a ≡ 1 mod 8

Exemplo 12.5: Vamos resolver a congruencia quadratica4Y 2 + 3Y + 5 ≡ 0 mod 2.52.19


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3 Soma de Quadrados



Resıduos Quadraticos

Definicao: Seja a um numero inteiro. Quando a congruenciaX 2 ≡ a mod p possui alguma solucao, diz-se que a e resıduoquadratico modulo p, caso contrario diz-se que a nao e resıduoquadratico modulo p

2 nao e resıduo quadratico modulo 3 (X 2 6≡ 2 mod 3)

todo numero natural a e resıduo quadratico modulo 2(a congruencia X 2 ≡ a mod 2 tem solucao para todo a ∈ N)

Exemplo 10.27: Seja p um primo tal que p ≡ 1 mod 4. Tem-seque [(p − 1

2

)!]2≡ −1 mod p

Em particular, ∃a ∈ Z, com 0 < a ≤ p−12 , tal que a2 ≡ −1 mod p

Assim, se p e um numero primo da forma 4n + 1, entao −1 eresıduo quadratico modulo p



Teorema da Lei da Reciprocidade Quadratica

Algoritmo para reconhecer se um determinado inteiro a e ounao e resıduo quadratico modulo p, para um dado primo p



Lema 12.6: Sejam p > 2 um numero primo e a ∈ Z tal que(p,a) = 1. Se x0 ∈ R∗ = {1, ...,p − 1} e solucao dacongruencia X 2 ≡ a mod p, entao (x0,p) = 1 e p− x0 tambeme solucao, nao congruente a x0, e essas sao as unicassolucoes em R∗

Proposicao 12.7: Sejam p um numero primo e ımpar e a ∈ Ztal que (a,p) = 1

i) Se X 2 ≡ a mod p nao tem solucao, entao ap−1

2 ≡ −1 mod p

ii) Se X 2 ≡ a mod p tem solucao, entao ap−1

2 ≡ 1 mod p



Criterio de EulerTeorema 12.8: Se p e um numero primo ımpar e a ∈ Z e talque (a,p) = 1, entao

i) p | ap−1

2 − 1 se, e somente se, a e resıduo quadratico modulop

ii) p | ap−1

2 + 1 se, e somente se, a nao e resıduo quadraticomodulo p

Exemplo 12.9: Voltando ao Exemplo 7.2047 divide um, e apenas um, dos numeros 223 − 1 ou 223 + 1Temos que 47 | 223 − 1 pois X 2 ≡ 2 mod 47 tem a solucao 7



Proposicao 12.10: Seja p um numero primo ımpar. Os

numeros 12,22, ...,(

p−12

)2sao dois a dois incongruentes e

representam todos os resıduos quadraticos modulo p

Corolario 12.11: No conjunto R∗ = {1, ...,p − 1} ha tantosresıduos quadraticos quanto nao resıduos quadraticos modulop



. Uma nocao extremamente conveniente para lidar comresıduos quadraticos

Definicao: Se p e um numero primo e a e um inteiro tal quep - a, define-se o sımbolo de Legendre como(

ap

)=

{1, se a e resıduo quadratico modulo p−1, se a nao e resıduo quadratico modulo p

. Se p - a entao(

a2

p

)= 1. Em particular

(1p

)= 1

. Se a e ımpar entao(

a2

)= 1



. O sımbolo de Legendre possui as seguintes propriedades

Proposicao 12.13: Sejam a,b ∈ Z e p um primo ımpar tal que(a,p) = (b,p) = 1. Tem-se que

i) Se a ≡ b mod p, entao(

ap

)=(

bp

)ii) a

p−12 ≡

(ap

)mod p

iii)(

a.bp

)=(

ap

)(bp

)Em particular, para todos m, k ∈ N tais que (m,p) = (k ,p) = 1,vale

(k2m

p

)=(

k2

p

)(mp

)=(

mp

)



Corolario 12.14: Sejam p um numero primo ımpar e a e b doisnumeros inteiros primos com p

i) Se a e b sao ambos resıduos quadraticos ou nao resıduosquadraticos modulo p, entao ab e resıduo quadratico modulo pii) Se a e resıduo quadratico modulo p e b nao e resıduoquadratico modulo p, entao ab nao e resıduo quadraticomodulo p



Dado qualquer a ∈ Z, com (a,p) = 1, podemos escrever a na formaa = ±k2p1...pr , onde k ∈ N e p1, ...,pr sao numeros primos distintos,com (k ,p) = (p1,p) = ... = (pr ,p) = 1.Assim, (a

p

)=(± 1

p

)(p1

p

)...(pr

p

)Isso mostra que, para determinar o sımbolo de Legendre de umnumero inteiro qualquer, basta saber calcular

(− 1

p

)e(

qp

), onde p e

q sao numeros primos distintos

Corolario 12.15: Sejam p um numero primo ımpar. Temos que(− 1

p

)= (−1)

p−12 =

{1, se p = 4n + 1−1, se p = 4n + 3


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3 Soma de Quadrados



Soma de Quadrados

Teorema 12.16: Para um numero natural ımpar c saoequivalentes:

i) Existem n,m ∈ N, com (n,m) = 1 e de paridades distintastais que c = n2 + m2

ii) A congruencia X 2 ≡ −1 mod c admite solucao em Ziii) Os fatores primos de c sao todos da forma 4k + 1

Corolario 12.17: Um numero natural e a hipotenusa de umtriangulo pitagorico primitivo se, e somente se, ele so admitedivisores primos da forma 4k + 1.Um numero natural e a hipotenusa de um triangulo pitagoricose, e somente se, ele e multiplo de um primo da forma 4k + 1


Soma de Quadrados

Corolario 12.18: Para um numero primo p > 2, saoequivalentes:

i) Existem n,m ∈ N, com (n,m) = 1 e de paridades distintastais que p = n2 + m2

ii) A congruencia X 2 ≡ −1 mod c admite solucao em Ziii) p e da forma 4k + 1

Lema 12.19: Quaiquer que sejam a,b, c,d ∈ Z, tem-se que:

i) (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac − bd)2 + (ad + bc)2

ii) (2a + 1)2 + (2b + 1)2 = 2[(a + b + 1)2 + (b − a)2] e(2a + 1,2b + 1) = (a + b + 1,b − 1)


Soma de Quadrados

Corolario 12.20: Todo divisor de um numero da forma x2 + y2,com (x , y) = 1, e da forma 2l(4k + 1), onde l = 0,1

Exemplo 12.21: Existem infinitos primos da forma 8n + 5


Soma de Quadrados

FermatTeorema 12.22: Um numero natural e um quadrado ou somade dois quadrados de numeros naturais se, e somente se, elee da forma a = 2lb2p1...pr , onde l = 0,1, b ∈ N, r ≥ 0 e os pi ,i = 1, ..., r sao primos distintos da forma 4k + 1

Proposicao 12.23: Se p e um numero primo da forma 4k + 1,os numeros naturais x e y tais que p = x2 + y2 sao unicos amenos da ordem


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3 Soma de Quadrados



Lei da Reciprocidade Quadratica

Lema de GaussProposicao 12.24: Sejam p e a dois numeros, com p primo ımpar e(p,a) = 1. Sejam r1, ..., r p−1

2os restos da divisao por p dos numeros

a,2a, ..., p−12 a, respectivamente. Se k e o numero dos ri que sao

maiores do que p−12 , entao (a

p

)= (−1)k

Proposicao 12.25: Sejam p e a dois numeros naturais ımpares, comp primo e (a,p) = 1. Pondo p′ = (p−1)

2 e κ =[

ap

]+[

2ap

]+ ...+

[p′ap

],

temos que (ap

)= (−1)κ



Exemplo 12.26: Vamos mostrar que a equacao diofantinaX 2 − 13Y = 5 nao possui solucao em numeros naturais

Corolario 12.27: Seja p um numero primo ımpar. Tem-se que(2p

)= (−1)

p2−18 =

{1, se p ≡ 1 ou p ≡ 7 mod 8−1, se p ≡ 3 ou p ≡ 5 mod 8

Lema 12.28: Sejam p e q dois numeros primos ımpares distintos.Tem-se que

[qp

]+[2q

p

]+ ...+

[ p−12 qp

]+[p

q

]+[2p

q

]+ ...+

[ q−12 pq

]=

p − 12

q − 12



Lei da Reciprocidade Quadratica de GaussTeorema 12.29: Sejam p e q dois numeros primos ımparesdistintos. Tem-se que(p

q

)(qp

)= (−1)

p−12

q−12

Coroilario 12.31: Se p e q sao dois numeros primos distintos,tais que p ≡ 1 mod 4, ou q ≡ 1 mod 4, entao q e resıduoquadratico modulo p se, e somente se, p e resıduo quadraticomodulo q



A Lei de Reciprocidade Quadratica, juntamente com aspropriedades do sımbolo de Legendre contidas na Proposicao12.13 e nos Corolarios 12.15 e 12.27, funciona como umalgoritmo para determinar se um numero e ou nao e resıduoqaudratico modulo um numero primo ımpar p

Exemplo 12.32: Vamos calcular(

2561241

)Exemplo 12.33: Vamos calcular

(3p

), onde p e um numero

primo maior do que 3

Exemplo 12.34: Vamos calcular(

5p

), onde p e um numero

primo maior do que 5

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