Período: 10 a 13 de novembro de 2013. UFPEInternacionalização da Educação e Desenvolvimento Regional: implicações para a

GT 19

CONHECIMENTOS DMÉDIO SOBRE O USO DO

Resumo Serão investigadosconhecimentos de fundamental da contagem Trata-se de uma pesquisa de mestradoe entrevistas semiestruturadae finais do Ensino Fundamental e etapas: levantamento de informações sobre a fprofessores e suas experiênciadificuldades enfrentadas pelos professores e Combinatória, como essas dificuldades são superadas e sobre uestratégia para solução de problemas de fórmulas de arranjo, permutaçãoprotocolos de situações combinatórias resolvidas por alunos. Palavras-chave: Princípio Fundamental da Contagem, Análise Combinatória.

O ensino atual de Combinatória

Os conteúdos de

Curriculares Nacionais (PCN)

Fundamental e tratados com mais aprofundamento no Ensino Médio

Período: 10 a 13 de novembro de 2013. UFPE Internacionalização da Educação e Desenvolvimento Regional: implicações para a

GT 19 – Educação Matemática

DE PROFESSORES DO ENSINOFUNDAMENTAL E USO DOPRINCÍPIO MULTIPLICATIVOEM SITUAÇÕES

COMBINATÓRIAS

Ana Paula Barbosa de LimaRute Elizabete de Souza Rosa Borba

Agência Financiadora:

conhecimentos de professores do Ensino Básico sobre o (PFC) e seu uso na resolução de problemas

se de uma pesquisa de mestradoe como recurso metodológicosemiestruturadas com professores da rede pública de ensino,dos anos iniciais

do Ensino Fundamental e do Ensino Médio. A entrevista será realizada emevantamento de informações sobre a formação inicial e continuada

experiências de ensino e planejamento; questionamentopelos professores e seus alunos durante as aulas de Análise

como essas dificuldades são superadas e sobre uso destratégia para solução de problemas de produto cartesianoe para a construção de

permutação e combinação; e avaliação pelos professores de protocolos de situações combinatórias resolvidas por alunos.

Princípio Fundamental da Contagem, Conhecimentos

de Combinatória

Os conteúdos de Análise Combinatória são indicados pelos P

acionais (PCN)(BRASIL, 2002) desde os anos iniciais

Fundamental e tratados com mais aprofundamento no Ensino Médioe essa continuidade

XXI EPENN Encontro de Pesquisa Educacional doNorte e Nordeste

1

Internacionalização da Educação e Desenvolvimento Regional: implicações para a pós-graduação

FUNDAMENTAL E EM SITUAÇÕES

Ana Paula Barbosa de Lima (UFPE)

Rute Elizabete de Souza Rosa Borba (UFPE) Financiadora: CAPES

sobre o princípio na resolução de problemas combinatórios.

metodológico,serãorealizadas ,dos anos iniciais

A entrevista será realizada em três inicial e continuada dos

mento acerca das aulas de Análise

so do PFC como para a construção de pelos professores de

Conhecimentos Docentes,

pelos Parâmetros

os anos iniciais do Ensino

essa continuidade

Educacional do

pode fazer com que os conceitos combinatórios sejam tratados de uma forma mais

construtiva.Na mesma direção,Borba (2010), em seu estudo sobre o raciocínio

combinatório na Educação Básica, recomenda que professores aproveitem as estratégias

espontâneas desenvolvidas pelos estudantes, como desenhos, diagramas, listagens e

operações aritméticas, e, gradativamente, sejam desenvolvidos procedimentos mais

formais. Dessa forma, o professor estará estimulando seus alunos a pensarem sobre as

generalizações possíveis no estudo de situações combinatórias.

Borba (2010) enfatiza, ainda, que “Estas generalizações possibilitarão o

reconhecimento da natureza multiplicativa de problemas de Combinatória, o que

facilitará a compreensão que nas diversas situações combinatórias o

PrincípioFundamental da Contagem é válido”. Sendo assim, considera-se o

princípiofundamentaldacontagem, também conhecido como princípiomultiplicativo,

como a base das fórmulas utilizadas na Análise Combinatória.

Estudos anteriores (SABO, 2010; STURM, 1999) indicam, contudo, que esta

prática – de um trabalho com aprofundamento gradativo da Análise Combinatória – não

é seguida nas aulas de Matemática. Isso se justifica pelo fato de professores usaram

apenas as fórmulas para resolver problemas combinatórios, o que contraria o

recomendado em documentos oficiais. A Base Curricular Comum (BCC) do Estado de

Pernambuco (PERNAMBUCO, 2008) e as Orientações Educacionais Complementares

(BRASIL, 2002) indicam que as atividades combinatórias devem ser elaboradas de

modo que os alunos ampliem as estratégias básicas de resolução, usando o princípio

multiplicativo, e a partir do raciocínio combinatório se chegue às fórmulas gerais.

Assim, as fórmulas teriam como função simplificar cálculos quando a quantidade de

dados for muito grande.

O princípio fundamental da contagem

O princípio fundamental da contagem (PFC), ou princípio multiplicativo,é

enunciado, segundo Lima (2006), como, “Se uma decisão D1 pode ser tomada de p

modos e, qualquer que seja esta escolha, a decisão D2 pode ser tomada de q modos,

então o número de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisões D1 e D2 é

igual apq”.

Os exemplos a seguir ilustram o uso do princípiofundamentaldacontagem em

suas resoluções. O primeiro exemplo é uma situação de permutação e o segundo

exemplo é uma combinação.

Para verificar de quantos modos distintos cinco pessoas podem se posicionar em

um banco de cinco lugares, se tem, segundo o PFC, que para o primeiro lugar hácinco

possibilidades de escolha, ou seja, qualquer uma das cinco pessoaspode ocupar o

primeiro lugar; para o segundo lugar háquatro possibilidades de escolha – uma vez que

uma das pessoas já estaria sentada no primeiro lugar; hátrês possibilidades para o

terceiro lugar – já que o primeiro e segundo lugares estariam ocupados; duas

possibilidades de escolha para o quarto lugar e apenas uma possibilidade para o quinto

lugar – pois todos os outros lugares já estariam ocupados. A solução da situação

poderia, assim, ser representada por5 x 4x3x2x1, ou seja, seriam 120 maneiras distintas

das cinco pessoas se posicionarem.

Se, em outra situação, um técnico fosse escolher, dentre 12 atletas, cinco para

comporem a equipe titular de um time de basquete, usando o PFC se teria: para a

escolha do primeiro componente 12 possibilidades de escolha, ou seja, qualquer um dos

12 atletas; para a escolha do segundo componente haveria 11 possibilidades de escolha,

já que um atleta já foi escolhido; 10 possibilidades para a escolha do terceiro atleta; 9

possibilidades para a escolha do quarto atleta e 8 possibilidades para a escolha do quinto

e último componenteda equipe.Nesse caso, além dessa aplicação do PFC, seria

necessário aplicá-lo outra vez, dividindo o resultado obtido pelo produto 12 x 11 x 10 x

9 x 8 pela permutação dos cinco elementos escolhidos entre si, pois um time composto

por André, Beto, Carlos, Daniel e Ênio, por exemplo, é idêntico ao time composto por

Beto, Carlos, Daniel, Ênio e André. A permutação dos cinco elementos,

semelhantemente ao exemplo anterior, poderia ser obtido pelo produto 5 x 4 x 3 x 2 x 1,

e o resultado final seria dado por: ��������

����� .

Observa-se, assim, que o princípio fundamental da contagem, pode ser aplicado

a distintas situações combinatórias – como produtos cartesianos, arranjos, combinações

e permutações e pode servir de base para a construção de procedimentos formais da

Análise Combinatória. É preciso, entretanto que professores tenham conhecimento de

como o PFC pode ser utilizado para a resolução de distintas situações combinatórias e

como este princípio é base das fórmulas.

Conhecimento docente

Estudos anteriores destacam a importância dos conhecimentos do professor em

relação aos conteúdos específicos e alguns, da área de Educação Matemática,também

apontam o uso do PFC como estratégia para resolução de problemas combinatórios.

Shulman (2005) defende em seus estudos que seja criada uma base de

conhecimento do professor. Assim, essa base seria composta pelas seguintes categorias,

a) conhecimento do conteúdo; b) conhecimento didático geral, tendo em conta especialmente aqueles princípios e estratégias gerais de manejo e organização da classe que transcendem o âmbito da disciplina; c) conhecimento do currículo, com um especial domínio dos materiais e dos programas que servem como ―ferramentas para o ofício do docente; d) conhecimento didático do conteúdo: esse especial amálgama entre matéria e pedagogia que constitui uma esfera exclusiva dos professores, sua própria forma especial de compreensão profissional; e) conhecimento dos alunos e de suas características; f) conhecimento dos contextos educativos, que abarcam desde o funcionamento do grupo classe, a gestão e financiamento dos distritos escolares até o caráter das comunidades e culturas; e g) conhecimento dos objetivos, das finalidades e dos valores educativos, e de seus fundamentos filosóficos e históricos. (SHULMAN, 2005, p.11, apud ROCHA 2011).

Sabo (2010) em seu estudo,intitulado“Saberes Docentes: A Análise

Combinatória no Ensino Médio” faz um trabalho investigativo sobre práticas e

formação inicial dos professores que atuam no Ensino Médio. O autor conclui em seu

estudo que os professoresentrevistados reproduzem, de certo modo, a prática docente e

o saber herdado dos seus professores, com relação ao ensino de Análise Combinatória,

assim valorizam a memorização e a aplicação de fórmulas.

Rocha (2011) enfatiza em sua pesquisa que professores de mesma formação e

com experiência em diferentes níveisde ensino recomendaram o uso do

princípiomultiplicativo como estratégia eficaz na resolução de problemas de Análise

Combinatória. Observou, ainda, a necessidade de maispesquisas que enfoquem as

especificidades do conhecimento de conteúdo da Combinatória, e também sobre o

conhecimento didático desse conteúdo pelos professores.

Método

O objetivo do estudo é investigar conhecimentos de professores acerca do

princípiofundamentaldacontagem (PFC) como estratégia para solução de problemas de

Combinatória– de produto cartesiano, arranjo, permutação e combinação e sobre como

o PFC está presente no uso das fórmulas de Análise Combinatória.

Neste estudo serãorealizadas entrevistas semiestruturadas com professores de

escolas públicas (dos anos iniciais e finais do Ensino Fundamental e do Ensino

Médio).A entrevista serárealizada em três etapascomobjetivos distintos.

A primeira etapa terá comoobjetivo identificar a formação inicial e

continuada,bem como a experiência profissional dos professores, o planejamento das

aulas de Análise Combinatória e os recursos metodológicos que utilizam durante as

aulas.

Na segunda etapa oobjetivoseráidentificar o conhecimento e as dificuldades dos

professores no ensino de Combinatória; o conhecimento dos mesmos sobre o uso do

PFC como estratégia de resolução de problemas de produtocartesiano e construção das

fórmulas de arranjo, permutação e combinação. Serão, assim, questionadossobre qual

tipo de problema é mais difícil trabalhar;como propõem a superação de dificuldades;se

fazem relação entre o PFC e as fórmulas gerais daAnálise Combinatória; se seus alunos

são levados a perceberem essa relação e de que forma isso é feito.

A última etapa consistirá em analisar o conhecimento que os professores têm

sobre o uso do PFC como estratégia para resolução de problemas combinatórios.Para

isso,será propostoque os mesmos avaliem protocolos de situações combinatórias

resolvidas por alunos. Assim, acreditamos teremos uma melhor visão de como os

professores aplicam seus conhecimentos na sala de aula, quais suas reais dificuldades e

estratégias utilizadas durante as aulas de Análise Combinatória.

Deseja-se, dessa forma, contribuir para o levantamento de conhecimentos

docentes e práticas de ensino, em particular da Combinatória, e, assim, trazer

contribuições para o ensino de Matemática na Educação Básica.

Referências bibliográficas

BORBA, Rute. O Raciocínio Combinatório na Educação Básica. Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática, Salvador, 2010.

BRASIL. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. PCN+ Ensino Médio:Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros CurricularesNacionais. Ciências da Natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília:MEC; SEMTEC, 2002.

BRASIL.Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC, 2002.

LIMA, ElonLages. CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. WAGNER, Eduardo. MORGADO, Augusto Cesar.Temas e Problemas Elementares.12 ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006.

PERNAMBUCO. Secretária de Educação. Base Curricular Comum para as Redes públicas de Ensino Pernambuco: Matemática. Recife: SE, 2008.

ROCHA, Cristiane. Formação Docente e o Ensino de Problemas Combinatórios: diversos olhares, diferentes conhecimentos. (Dissertação de Mestrado – EDUMATEC UFPE) – Recife, PE, 2011.

SABO, Ricardo. Saberes Docentes: A Análise Combinatória no Ensino Médio. (Dissertação de Mestrado – PUC/SP) – São Paulo, 2010.

SHULMAN, Lee S.Conocimiento y enseñanza: fundamentos de lanueva reforma. In: Profesorado. Revista de currículum y formacióndelprofesorado. V 9,2, 2005 (p.1-30).

STURM, Wilton. As Possibilidades de um Ensino de Análise Combinatória Sob uma Abordagem Alternativa. (Dissertação de Mestrado - UNICAMP) – Campinas, SP, 1999.