Aluno: Davi Freire da Silva

Matria: Geometria analtica Engenharia Eltrica.

Professor: Anete Cruz

Cnicas e suas aplicaes na engenharia.

RESUMO

Este trabalho traz uma breve explanao das cnicas

para situar o leitor, porm, o seu principal objetivo expor as

aplicaes das cnicas na vida prtica com nfase na

engenharia, principalmente na engenharia eltrica. O seguinte

trabalho visa tornar mais interessantes os posteriores estudos

sobre cnicas.

INTRODUO

Quando um cone circular completo cortado por um plano, o resultado

uma curva plana conhecida como cnica. As variaes destas curvas devem-se s

diferentes posies do plano que intercepta a superfcie cnica, que fazem com que

a cura varie desde um ponto a uma elipse, ou mesmo uma curva em mais de uma

parte.

Exemplos de seces cnicas:

1 A PARBOLA

Tomando um ponto como foco e uma reta como diretriz, a parbola o

conjunto de todos os pontos equidistantes de um ponto da reta e do foco como

mostra a figura a seguir:

.

As equaes das parbolas so quadrticas como por exemplo X=2PY ou

aX + bX + c = 0.

Observando as equaes reduzidas das parbolas possvel afirmar que

quando a equao do tipo X=4PY, o eixo da parbola paralelo ao eixo das

ordenadas, e quando a equao do tipo Y = 4PX, o eixo da parbola paralelo ao

eixo das abcissas.

Parbola com eixo paralelo a Y Parbola com eixo paralelo a X

Um exemplo prtico da utilizao da parbola est na construo de faris

automotivos. A parbola tem uma propriedade muito til se construda

segundo suas leis matemticas. Se tomarmos o foco como referncia, uma

linha que saia dele em qualquer direo que toque a curva, somada ao ngulo

do ponto de encontro, resultar em uma linha paralela ao eixo da parbola. O

que na prtica significa que se a fonte luminosa for colocada no foco, e a

superfcie espelhada coincida com a parbola revolucionada, a luz ser

enviada para frente diminuindo as perdas e tornando o farol mais eficiente

como mostra a figura abaixo:

Outro uso da mesma propriedade est nas antenas receptoras de ondas de

rdio. O mesmo princpio se aplica da forma inversa. Ou seja: Ao receber as ondas

vindas de diversas direes, elas vo se dirigir ao foco, onde est localizado o

receptor/amplificador.

1 A ELPSE

A elipse formada quando tomamos todos os pontos cuja soma das

distncias relativas a dois pontos no plano constante. Diferente da parbola,

tem dois focos e tambm podem estar orientadas em relao aos eixos X ou

Y. Suas equaes reduzidas podem ser das formas:

1

x y

a b (Eixo maior

paralelo ao eixo X), ou

1

x y

b a (Eixo maior paralelo ao eixo Y).

A elipse tem uma propriedade muito til na arquitetura que o fato de que

algo irradiado de um foco ser direcionado para o outro. Isto muito utilizado para

melhorar a acstica e a iluminaode teatros e estdios de futebol.

O formato faz com que os sons emitidos por regies prximas ao centro

sejam melhor distribudos e permite que os participantes do jogo possam se ouvir.

Descrever o objetivo geral da pesquisa.

A elipse ainda muito utilizada no estudo de rbitas espaciais e em estudos

das propriedades de partculas subatmicas.

2 A HIPRBOLE

Tomando todos os pontos dos quais as diferenas em relao a dois focos so

constantes, formamos uma hiprbole.

Quando a hiprbole tem o seu eixo principal paralelo ao eixo X, a equao

pode ser escrita na forma:

1

x y

a b e quando o seu eixo principal paralelo ao

eixo Y, a equao reduzida fica:

1

y x

a b . A hiprbole uma cnica que tem como

principal caracterstica o fato de ser dividida em duas partes.

Os primeiros telescpios sofriam deformaes nas imagens captadas devido

a vrios motivos como uso de espelhos que tambm agiam como prismas,

decompondo a luz branca. Isaac Newton utilizou um espelho plano no foco da

parbola para melhorar a qualidade das imagens geradas. Porm, a ideia de Newton

trouxe novos problemas. Os telescpios precisariam ser grandes para que o plano

funcionasse corretamente.

O astrnomo francs Cassegrain resolveu o problema com a utilizao de um

espelho hiperblico como mostra a figura abaixo:

O formato do espelho faz com que os raios recebidos se direcionem

exatamente para o outro foco da curva. Isto permitiu uma grande variao na

distncia entre os focos e consequentemente no tamanho dos telescpios.

REFERNCIAS

Geometria Analtica e Vetores Paulo Winterlee

UC J. Fiqueiro - Aplicaes de cnicas

Venturi, Jacir J. Cnicas e Qudricas