CONJUNTOS NUMÉRICOS

CONJUNTO

A IDÉIA PRIMITIVA DE CONJUNTO É UMA REUNIÃO OU COLEÇÃO DE ELEMENTOS.

- Conjunto de revistas

- Conjunto de alunos de uma escola

Formas de representação:

Tabular: ( forma de tabela):

A = { a, e, i, o, u }

B= { 0, 2, 4, 6 }

Diagrama de Venn

a

b

A

Representação por meio de propriedade:

A = { x / x tem a propriedade p}

A = { x / x é país da Europa}

Propriedade p

O conjunto A é formado por TODOS os países da Europa.

B = { x / x é número par }

B é formado por todos os números pares.

Conjunto vazio:

-Não possui elemento algum

-Representa-se por ou { }

A = { x / x IN e 0 . X = 8 } A =

Conjunto finito:

- É todo conjunto onde é possível contar todos os seus elementos A = { verde, azul, rosa} n(A) = 3

Conjunto infinito:

- É todo conjunto infinito onde não é possível estabelecer uma contagem dos elementos. B = { 1, 2, 3, 4....}

Conjunto unitário:

-É todo conjunto infinito que possui apenas 1 elemento. B = { 1}

RELAÇÃO DE PERTINENCIA E INCLUSÃO

Dado o conjunto A = { 1, a, 2, b, 3, c }

Dizemos que:

O elemento 1 pertence ao conjunto A: 1 A

4 A 4 não pertence ao conjunto A

Elemento e conjunto usamos os símbolos ou

contido está nãoou contido Está

contém nãoou Contém :inclusão

pertence nãoou : pertenceapertinênci

SUBCONJUNTO – É PARTE DE UM CONJUNTO

Sendo A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Podemos obter vários subconjuntos a partir de A

B = { 0, 2, 4, 6 } B está contido em A B A

ou A contém B A B

C = { 4, 5, 7 } C não está contido em A C A

Conjunto e conjunto utilizamos a relação de inclusão:

( está ou não está contido) ( contém ou não contém)

{ 2, 3, 4 } { 0, 3, 6, 8 }

A

B

A CONTÉM B A B

ou

B ESTÁ CONTIDO EM A B A

Em forma de diagrama

• Igualdade de conjuntos:• Dois conjuntos A e B são iguais ( A = B) se e

somente se A tem os mesmos elementos de B.

Conjunto Universo:

É todo conjunto considerado para estudar determinada situação:

Exemplo: Ao estudar uma determinada doença em uma população de ratos, o conjunto universo é o conjunto de todos os ratos.

Conjuntos Numéricos I) Números Naturais  N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }

II) Números Inteiros   Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }

Todo número natural é inteiro, isto é, N é um

subconjunto de Z

• III) Números Racionais

•  - São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0.

• Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 }

 -Números decimais exatos são racionais  Pois  0,1 = 1/10

        2,3 = 23/10 ...

 - Números decimais periódicos são racionais.

0,1111... = 1/9        0,3232 ...= 32/99 2,3333 ...= 21/9 0,2111 ...= 19/90

 -Toda dízima periódica 0,9999 ... 9 ... é uma outra representação do número 1.

IV) Números Irracionais

 - São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.

 -São compostos por dízimas infinitas não periódicas.   Ex:                                                                                 

V) Números Reais  - É a reunião do conjunto dos números

irracionais com o dos racionais.    Resumindo:

                                                                                                                   

                                                        

Vejamos primeiramente o conceito de par ordenado:• Dados dois números x e y numa certa ordem, chamamos de par ordenado

( x,y) ao par de números x e y , tais que x é o 1º elemento do par e y é o 2º elemento do par ordenado.

• Exemplo: ( 2, 3 ) x = 2 e y = 3 ( - 5 ; 3,2 ) x = -5 e y = 3,2

Produto cartesiano A x B é o produto deProduto cartesiano A x B é o produto de

A por B, formado por pares ordenados A por B, formado por pares ordenados onde onde

o 1º elemento pertence ao 1º conjunto e o 1º elemento pertence ao 1º conjunto e

o 2º elemento pertence ao 2º conjunto. o 2º elemento pertence ao 2º conjunto.

Sendo conhecidos os conjunto A e B: A = { 3, 4, 5 } e B = { 1, 2 }

Em diagrama:Em diagrama:

3

4

5

1

2

A B

A x B

AXB= { (3,1), (3,2), (4,1),(4,2),(5,1),(5,2) }

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

UNIÃO ( ADIÇÃO)

A B

A U B = TODOS ELEMENTOS DE A + TODOS ELEMENTOS DE B

1

2

3

4

2

A U B = { 1, 2, 3, 4} A

BSE A CONTÉM B ENTÃO A U B = A

A B

1

23

4

Exemplo 1: Dados os conjuntos A = { x | x é inteiro e -1 < x < 2} e B = {1,2,3,4} a união desses dois conjuntos é : A U B = {0,1,2,3,4}

Exemplo 2: Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} a união desses conjuntos é: A U B = {1,2,3,4,5}, nesse caso podemos dizer que A U B = B.

INTERSECÇÃO

SÃO OS ELEMENTOS QUE APARECEM NOS DOIS CONJUNTOS AO MESMO TEMPO

a

b cd

e

A B = { C }

A

B A B = B

A B

Os elementos que fazem parte do conjunto interseção são os elementos comuns aos conjuntos relacionados.

Exemplo 1: Dados dois conjuntos A = {5,6,9,8} e B = {0,1,2,3,4,5}, se pedimos a interseção deles teremos: A ∩ B = {5}, dizemos que A “inter” B é igual a 5.

                           

Exemplo 2: Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se pedirmos a interseção deles teremos: B ∩ C = { } ou B ∩ C =    , então B e C são conjuntos distintos.

                              

Exemplo 3: Dados os conjuntos D = {1,2,3,4,5} e E = {3,4,5}. A interseção dos conjuntos ficaria assim: E ∩ D = {3,4,5} ou E ∩ D = E, pode ser concluído também que E    D.                                 

Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. O conjunto diferença é representado por A – B.

Exemplo 1: A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7} a diferença dos conjuntos é: A – B = {1,2}

                                  

Exemplo 2: A = {1,2,3,4,5} e B = {8,9,10} a diferença dos conjuntos é: A – B = {1,2,3,4,5}

Exemplo 3: A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5}a diferença dos conjuntos é: A – B =                                          

DIFERENÇA A – B OU B – A

A – B ( TODOS ELEMENTOS QUE APARECEM EM A MAS NÃO ESTÃO EM B )

1

2

3

4

5

6

A B

A – B = { 1, 2}

B – A = { 5, 6 }

CONJUNTO COMPLEMENTAR

Complemento é aquilo que completa

BCA Lemos Complementar de A em

relação a B B – A

Toda parte azul é o complementar de A

A

B

ELEMENTOS QUE ESTÃO EM B MAS NÃO ESTÃO EM A

Exemplo 4:

Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6} e B = {5,6}, a diferença dos conjuntos é:

A – B = {1,2,3,4}. Como B    A podemos escrever em forma de complementar:

A – B =  A B = {1,2,3,4}. Lemos: complementar de B em relação a ASão todos elementos que estão em A mas não estão em B

• Intervalos Reais • O conjunto dos números reais (IR) possui subconjuntos, denominados intervalos. Estes intervalos são determinados por meio de desigualdades.

• Sejam os números reais a e b, com a < b , temos os conjuntos:

OBSERVAÇÃO:

A bolinha vazia na reta real indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo.A bolinha cheia na reta real indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo.

• Existem, também, os intervalos infinitos. São eles:

• 5 - Menos infinito e fechado em n :

• 6 - Menos infinito e aberto em n :

• 7 - Mais infinito e fechado em n

• 8 - Mais infinito e aberto em n :

• Prof. Meire de Fátima

• Ensino Médio – 1º ano

• 2011