Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha VantiCaptulo IV Conjuntos de Antenas4.1 IntroduoOs padres de irradiao resultantes de elementos isolados, como as antenas lineares estudadas no captulo anterior, apresentam normalmente baixas diretividades ou ganhos. O aumento da diretividade de uma antena pode ser conseguido aumentando-se suas dimenses fsicas, o que muitas vezes no conveniente. As caractersticas de radiao podemser consideravelmente melhoradas, entretanto, com o uso de conjuntos ou arranjos de antenas.Arranjos de antenas hoje so utilizados de muitas formas, e esto se tornando cada vez mais importantes na melhoria dodesempenho de sistemas de comunicaes semfio. Entre muitas aplicaes, talvezamaisatraenteseja a capacidade de fazer o cancelamento da interferncia co-canal,comumemserviosde comunicaes mveis. Um resumo das aplicaes de conjuntos de antenas em sistemas de comunicaes mveis pode ser encontrado em [6].O diagrama de irradiao de um conjunto de antenas idnticas pode ser determinado atravs do controle de alguns parmetros como a geometria do conjunto, o deslocamento de fase entre as correntes de excitao dos elementos e suas amplitudes, alm, claro, do padro de irradiao do elemento individual irradiante. 4.2 Conjunto de dois elementos isotrpicosConsidere as duas antenas pontuais isotrpicas separadas por uma distnciad, e excitadas com correntes de mesma amplitude I0 e fases -/2 e /2, nos elementos 1 e 2, respectivamente.Figura 4.1: Par de antenas pontuais isotrpicas sobre o eixo zSendo um ponto na regio de campo distante, representado por suas coordenadas esfricas p(r, ), o campo eltrico total dado por:

,_

+ ,_

+ 220210 r wt j r wt je E e E E(4.1)onde assumiu-se quer r r2 1// // , e portanto1Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha Vanticos2cos2dr rdr r21 + . (4.2)Com a substituio de (4.2), (4.1) pode ser rescrita como:( )11]1

+

,_

+ ,_

+ 2cos2 2cos20 djdjr wt je e e E E( )( )1]1

+ cos21cos 20d e E Er wt j(4.3)Em(4.3) ocampoirradiadopeloconjuntoigual aocampoirradiadopor umelemento isolado( )( )r wt je E 0multiplicadoporum termo denominado defator de arranjoFA,o qualj havia aparecido quando foi estudado o comportamento de antenas dipolo sobre planos refletores, em (3.47) e (3.49)O fator de arranjo uma funo dependente da geometria do conjunto e da excitao. Em (4.3) o fator de arranjo dado por:( )12cos cos2FA d 1 + 1 ](4.4)que pode ser escrito na forma normalizada como( )1cos cos2nFA d 1 + 1 ](4.5)Portanto, para um conjunto de elementos iguais, o campo eltrico em um ponto dado :( ) ( ) FA simples elemento total E E (4.6)A equao (4.6) conhecida como princpio de multiplicao de diagramas. O campo total obtidopela multiplicao dodiagrama de irradiao doelemento individual comodiagrama descrito pelo fator de arranjo.Exemplo 4.1Para um par de elementos isotrpicos localizados em y = -d/2 e y = d/2 encontre os nulos do fator de arranjo e esboce o diagrama de polar irradiao quando d=/4 e:a) = 0;2Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha Vantib) = /2, ou seja, o elemento 1 (y = d/2) est /2 avanado em relao ao elemento 2 em y = -d/2.c) = -/2, ou seja, o elemento 1 (y = d/2) est /2 atrasado em relao ao elemento 2 em y = -d/2.Resoluo: a) = 0( ) ( )110 cos cos cos cos 2 , no existe2 2 4 2n n n nFA 1 _ t t 1 , ].Os dois elementos irradiam em fase e suas contribuies so aditivas perpendicularmente ao eixo do conjunto, como mostra a figura 4.2.Figura 4.2. Fator de arranjo para =0.Ao longo do eixo do conjunto, em 2 t , o sinal de cada elemento adicionado ao sinal quechegadoelementomais afastadoqueestatrasadoded=/2, eestadefasagemno suficiente para o cancelamento. Se por outro lado a distncia entre os elementos for igual a /2, d = e os campos so cancelados em 2 t como mostrado na figura 4.3.3Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha VantiFigura 4.3.Fator de arranjo para =0 e d= /2.b) = /2( )10 cos cos cos 1 cos 2 12 2 2 4 2n n n nFA 1 _ + + t t 1 , ]( )1 1cos 1 ou cos 3 , .2n Figura 4.4. Fator de arranjo para =/2 e d= /4.A onda irradiada pelo elemento 1(y= d/2) alcana o elemento 2 (y= -d/2) em fase com a ondairradiada poreste,reforando o diagrama de irradiao em = 3/2. Inversamente, o sinal irradiadopeloelemento2alcanaoelemento1comngulodefaseigual a90o, eossinais irradiados pelos dois elementos esto defasados de 180o, com cancelamento total em = .c) = -/2( )10 cos cos cos 1 cos 2 12 2 2 4 2n n n nFA 1 _ t t + 1 , ]4Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha Vanti( )1 13cos 1 ou cos 3 , .2n Figura 4.5. Fator de arranjo para =-/2 e d= /4.Com = -/2 h cancelamento em =3/2, pois os campos irradiados pelos dois elementos esto defasados de 180o. Por outro lado os campos esto em fase para =/2. Considere-se agora o exemplo descrito na figura 4.1 com a referncia no mais sobre ponto mdio entre os elementos, mas sobre o elemento 1. Neste caso, o campo irradiado pelo elemento de referncia (1) ser ( )10r wt je E , enquanto o elemento 2, afastado de uma distancia d, e excitado com um ngulo de fase em relao ao elemento de referncia, ter seu campo dado por:( ) + 20 2r wt je E E (4.7)onde r2=r1-dcos. Desta forma, o campo total visto uma distncia r do conjunto :( ) ( ) ( )[ ]) cos (1020101 + + + + d j r wt j r wt j r wt je e E e E e E E (4.8)onde o fator de arranjo :( )[ ] 11]1

+ +

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+

,_

+ ,_

++ 2cos2cos2coscos1 FA djdjn djd je e e e=1]1

,_

+

,_

+ cos21cos 22cosd edj. (4.9)Este resultado mostra que a alterao do ponto de referncia apenas causa um deslocamento de fase do fator de arranjo, no de suas propriedades.5Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha Vanti4.3 Conjunto Linear de N Elementos com Amplitude de Excitao e espaamento constantes.4.3.1 Fator de ArranjoNesta seo generalizaremos a anlise realizada para um arranjo de dois elementos. Para isto, considere um conjunto linear de N elementos alinhados com o eixo z, igualmente espaados e com diferena de fase de excitao entre elementos adjacentes, como mostra a figura 4.6.Figura 4.6.Campo irradiado de um conjunto linear de N antenasAssim, para ponto situados na regio de campo distante, , r1, r2, ..., rN so relacionados como segue:( ) cos 1 coscos 2 coscos1 11 2 31 2d N r d r rd r d r rd r rN N O fator de arranjo , de(4.9):( ) ( ) ( ) ( ) + + ++ + + cos 1 cos 2 cos1d N j d j d je e e FA ( ) ( ) ( ) + Nnn jNnd n je e FA111cos 1 (4.10)onde + cos d.Multiplicando (4.10) por ej, obtemos jN j j j je e e e FA + + + + 3 2e(4.11)Subtraindo (4.10) de (4.11) leva a6Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha Vanti( ) 1 1 e jN je FA1 e1jjNeFA (4.12)Alguma manipulao pode ser realizada com (4.12) para que uma forma mais simples seja obtida. Com efeito, [ ]11]1

,_

2 2222 222 2 2e e e e1e e e1 j jjN jj jjNjj j jjNe e e e eFA

,_

,_

+

,_

,_

+ 2 22 212 212 22 2 2 2 2 2e e e e j jNNj NNjj jN N j N N je e e e111]1

2 22 2212 22 212 21e e e e j jNjNjNj jNjNjNjNje eee e e eFinalmente, (4.12) pode ser reescrita como:1111]1

,_

,_

2sen2sen21Ne FANj(4.13)ondeotermo21 Njeaparecedevidoaposiodoelementodereferncianaextremidadedo arranjo. Com a referncia no centro do arranjo, (4.13) torna-se1111]1

,_

,_

2sen2sen NFA(4.14)Ofator dearranjoem(4.14)descreveopadrodeirradiaodeumconjuntodefontes pontuais ou isotrpicas dispostas em linha, com separao d entre elas e alimentao com correntes 7Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha Vantide amplitudes iguais, mas com deslocamento progressivo de fase . O valor mximo de FA ocorre quando =2n, e pode ser calculado como segue:NNFAn 2sen2senlim max2 (4.15)O fator de arranjo normalizado dado por:1111]1

,_

,_

2sen2senNNFAn(4.16)Os diagramas de campo dados por (4.16) podem ser comparados para N=3,10 e 20 elementos na figura 4.7. Observe que FA atinge valores mximos para =2n.Figura 4.7

,_

,_

2sen2senxNNx para N=3,10 e 20 elementos.O conjunto descrito pela equao (4.16) ter pontos de valor nulo quando o numerador for igual a zero. Isto ocorrer quandoNnnN N 2202sen t t ,_

8Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha Vantionde + cos2d . Portanto,1]1

,_

t Nndn22cos1(4.17)Em (4.17), n indica a ordem dos nulos no diagrama de irradiao. Quando n um mltiplo inteiro de N, entretanto, kNkN22t t e o denominador de (4.16) anulado, causando um mximo para o fator de arranjo. Portanto, os nulos so calculados com o auxlio de (4.17) para os seguintes valores de n:N N N nn3 , 2 ,3 , 2 , 1O Fator de arranjo ser mximo, por outro lado, quando o denominador for nulo, como j foi dito. Isto ocorrer quando m 2 t . Ou seja,( )1]1

t mdm22cos1 3 , 2 , 1 m(4.18)Finalmente,os pontos de meia potncia, ou pontos de 3 dB, ocorrem quando 21FA=0,707. Para pequenos espaamentos entre os elementos, (4.16) pode ser aproximada como:1111]1

,_

22senNNFAn(4.19)Assim, fazendo391 , 12707 , 022sent 1111]1

,_

NNNLogo, os ngulos para os quais a potncia irradiada a metade de seu valor mximo so:1]1

,_

t N d782 , 22cos121(4.20)9Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha VantiA posio dos pontos de mximos e de nulos, portanto a forma do diagrama de irradiao ser determinada primariamente pelo deslocamento de fase entre os elementos do conjunto. Os diagramas obtidos com diferentes valores de so discutidos na prxima seo.Aintensidadederadiaoobtidadaequao(4.16). Assim,Um=1e 40rPU ea diretividade mxima Um/Uo, onde Prpode ser calculada numericamente. A equao (4.20) pode tambm serusadaparaadeterminao da largura de feixe,e a partir desta, da diretividade pelo mtodo de Kraus, embora a preciso resultante aqui seja menor. Expresses simplificadas para Do em casos especficos sero deduzidas nas prximas sees.4.3.2 Conjunto BroadsideQuando os elementos de um conjunto linear so excitados em fase, isto , =0o, o conjunto irradia em fase em todas as direes perpendiculares ao eixo do conjunto. Por outro lado, os campos irradiados por cada elemento atingem os elementos vizinhos com um ngulo de atraso igual a -d, comefeitos predominantemente destrutivos. De uma maneira geral, o padro de irradiao broadside tem seus mximos dirigidos nas direes perpendiculares ao eixo do conjunto, formando, portanto, um padro omnidirecional. Com efeito, se os mximos devem estar dirigidos em2 , basta fazer 02cos + d , o que d =0. As figuras 4.7 e 4.8 ilustram as irradiaes obtidas com 5 e 10 elementos, e espaamento /4. Os crculos pequenos representam os elementos. Mximos de mesma intensidade que os principais podem ocorrer se d=n, pois d=2ne os campos irradiados por cada elemento atingiro os elementos vizinhos em fase com estes ltimos, reforando o campo total na direo do conjunto, em ambos sentidos. Note-se que nestas direes n 2 t . Estes lbulos so chamados de esprios grating lobes e so facilmente evitados garantindo d< .Um exemplo com N=10 e d= pode ser visto na figura 4.9Figura 4.7. Conjunto Broadside com 5 elementos e d = /4.10Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha VantiFigura 4.8. Conjunto Broadside com 10 elementos e d = /4.Figura 4.8a Diagrama 3d do Conjunto Broadside com 10 elementos e d = /4. 11Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha VantiFigura 4.9 Conjunto Broadside com GratingLobes.Os ngulos de nulos e de meia potncia para conjuntos broadsideso obtidos fazendo =0 em (4.17) 3 (4.20). desta forma temos que, 3 , 2 ,, 3 , 2 , 1cos1N N N nnNdnn1]1

t (4.21)1]1

t d N391 , 1cos121(4.22)onde 4.22 vlida para pequenos valores de d.Para o clculo da diretividade, considere o fato de Arranjo com=0 e pequenos espaamentos (d x x m x Tm(4.68)Defina-se Rcomo a relao do mximo lbulo principal para o nvel do lbulo secundrio desejado. Deseja-se que o fator de arranjo em algum ponto desejado x0 apresente valor mximo igual a R. Se os lbulos secundrios apresentarem mximos iguais a 1, ento a relao mximo lbulo principal/mximo lbulo secundrio ter sido satisfeita. Como o fator de arranjo um polinmio de Tchebyscheff, isso o que ocorre. Entretanto, como R>1, x0 estar fora da faixa1 1 x , qual x deveria estar restrito por sua definio. Logo, deve ser realizada uma mudana de escala de forma que02cosxxz (4.69)Para um conjunto de Ne elementos, e R dado, faa-se:( ) R x TeN 0 1 (4.70)30Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha Vantide onde determinamos o valor de x0, onde posicionado o lbulo principal. Ora, substituindo (4.70) em (4.68)( )1]1

RNxe10cosh11cosh(4.71)Os outros lbulos estaro situados entre 1 e 1. O fator de arranjo escrito em funo de z, para levar em considerao o ponto x0. Igualando FAa um polinmio de Tchebyscheff de ordem Ne-1em funo de x, os pesos pi so determinados. O processo completo ser ilustrado atravs do exemplo abaixo.Exemplo 4.4. Projete um conjunto Dolph-Tchebyscheff de 8 elementos espaados de /2, de forma que a relao entre o lobo principal para o lobo secundrio seja 26 dB.Soluo: Segundo as especificaes, R 20. Da, de (4.68),( ) ( ) [ ] 20 cosh 7 cosh010 7 x x T , e de 4.71, ( ) 14 . 1 20 cosh71cosh101]1

xSubstituindo 2cos zem (4.66) e (4.51) e expandindo, teremos: + + + 27cos25cos23cos2cos4 3 2 1 p p p p FAn( ) ( ) ( ) z z z z p z z z p z z p z p 7 56 112 64 5 20 16 3 43 5 743 5332 1 + + + + + (4.72)Lembrando que 0xxz e re-agrupando os termos comuns, xxp p p pxxp p pxxp pxxpFAn

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+ +

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+ +

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+ 07 5 3 13307 5 3 5507 5 77077 5 356 20 4 112 16 64(4.73)O Polinmio de ordem 7 , de (4.62) (ver figura 4.24),( ) x x x x x T 7 56 112 643 5 77 + (4.74)31Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha VantiIgualando (4.73) e (4.74) termo a termo,obtm-se finalmente os valores dos pesospn, ou seja, 94 . 6 184 . 502 . 450 . 2234pppp, ou normalizando, 78 . 2 134 . 261 . 11234ppppO fator de arranjo para o conjunto especificado :

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+ ,_

+ ,_

+ ,_

27cos25cos 61 . 123cos 34 . 22cos 78 . 2 nFA(4.75)O resultado pode ser visto na figura 4.25. Para comparao, as figuras 4.26 e 4.27 mostram os diagramas de irradiao do mesmo conjunto para alimentao uniforme e binomial, respectivamente. Anatureza tima da distribuio Dolph-Tchebyscheff pode ser confirmada inspecionando-seaslarguras de feixes nas trs formas de excitao. claro que, embora possua lobossecundrios, osquaisnoexistemnaalimentaobinomial, ousodadistribuioDolph-Tchebyscheff resultaemmenor larguradefeixe, situando-seentreasalimentaesuniformese binomial. Figura 4.24. Polinmio de Tchebyscheff de ordem 7.32Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha VantiFigura 4.25. conjunto Dolph-Tchebyscheff de 8 elementos, d=/2.Figura 4.26. conjunto convencional de 8 elementos, d=/2.Figura 4.26. conjunto binomial de 8 elementos, d=/2.33Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha VantiComefeito,oclculodas diretividades para os conjuntos com alimentao uniforme,binomial e Dolph-Tchebyscheff fornece D0=8, 4,77 e 7,11, respectivamente. Note que a distribuio de corrente para o caso binomial dada por3521715 46 37 28 1 p pp pp pp pAlgumas propriedades podem ser melhor compreendidas analisando-se um exemplo simples extrado do artigo original de Dolph [8].Exemplo 4.5. Propriedades de um conjunto Dolph-Tchebyscheff de 4 elementos, com R=20.Considere-seumconjuntolinear de4elementos. Ofatordearranjodadopor(4.59)e (4.66), ou seja:( ) + + x x p x p p p FAn3 423 cos2cos32 1 2 1 ( ) ( )2 1223 4 p p x p x + (4.76)O fator de arranjo possui dois mximos e trs nulos entre 1 e 1, como pode ser visto na figura 4.23. Os mximos correspondem aos lbulos secundrios do conjunto. Ospontosdenulo podem ser determinados a partir de (4.76), fornecendo.43e 021

,_

t ppxxnn(4.77)Por sua vez, os pontos entre 1 e 1 onde FA atinge seus mximos valores so determinados igualando a zero a derivada de (4.76). Assim, 0 3 12222 1 + p x p pdxdFAmn12321

,_

t ppxm(4.78)O valor mximo de |FA|n para os lbulos laterais em xm 34Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha Vanti23212393max

,_

ppp FAn. (4.79)Por outro lado, o lbulo principal ocorrer em algum ponto x0>1, de forma que a largura de feixe do conjunto depende da distncia entre x0 e o primeiro nulo xn, dado por (4.77). Quanto menor esta distncia, mais estreito ser o feixe e vice-versa. importante notar tambm que as posies de nulos e mximos, assim como o nvel mximo dos lbulos secundrios so proporcionais ao fator

,_

213pp.Pode-se, portanto, analisar a diretividade com base na relao entre os pesosp1e p2. Com efeito, afaixadevalores3 121 ppcobreafaixaintegral entreadistribuiouniformeea distribuio binomial. Com o aumento da razo, ou seja, quando o conjunto passa da distribuio uniforme para a distribuio binomial o primeiro nulo desloca-se em direo ao zero, aumentado assim a largura do feixe principal, enquanto o nvel mximo de lbulo secundrio cancelado, como pode ser concludo de (4.79). Apartir dovalordeRespecificado, ospesospodemsercalculadoscomoalgoritmode Dolph, assim, 856 , 10 x e13 , 2392 , 661 , 132121ppppSubstituindo em (4.77)-(4.79) os seguintes valores so calculados:1 max5 , 0868 , 0nmnFAxxAsposiesdexn (tringulos) exm(crculos)ex0(crculo) so mostradosnodiagrama da figura 4.27. O diagrama de irradiao para espaamento d = /2 mostrado na figura 4.28, e uma ampliao mostrando os lbulos secundrios vista na figura 4.29. Como previsto, o nvel mximo de lbulo secundrio na figura 4.29 unitrio, assimcomo no diagrama do polinmio de Tchebyscheff de terceira ordem na figura 4.27. Logo, o nvel do lbulo secundrio 20.Conforme (4.69), quando = 0o, x = 0 na figura 4.27. O ponto x0corresponde = 90o, e entoem =180o xretornazero, passandopelafaixadevaloresdatabela4.1. Oconjunto apresenta um lbulo principal e dois secundrios, como pode ser confirmado nas figuras 4.28 e 4.29. 35Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha VantiFigura 4.27.Nulos mximos do polinmio de Tchebyscheff de ordem 3Figura 4.28 Diagrama de irradiao para d=/2Figura 4.29 Lbulos secundrios para d=/236Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha VantiTabela 4.1 x Max |FA|n0o0 034,274o0,5 1 (secundrio)46,31o0,867 0 (1o nulo)90o1,856 20 (principal)133,7o0,867 0 (1o nulo)145,73o0,5 1 (secundrio)180o0 0Algumas observaes baseadas neste exemplo simples mostram claramente que a distribuiodecorrentes oupesos noconjuntoDolph-Tchebyscheff tima. Comefeito, para valores de 13 , 221pp,xnse aproxima de zero, aumentando a largura do feixe principal e diminuindo a diretividade. Portanto, para a relaoR=20 especificada, os pesos encontrados no exemplo correspondem distribuio tima de pesos maximizando a diretividade do conjunto.4.5 Impedncia Mtua e Elementos Parasitas : O Conjunto Yagi - UdaEstudou-seataquiaspropriedades dos conjuntos de antenas sem considerar um aspecto essencial decorrentedoacoplamentoeletromagnticoentreos elementos doconjunto. Deuma maneira geral, a impedncia que uma antena apresenta aos terminais de uma linha de transmisso conhecida como impedncia terminal, e quando esta antena consiste de apenas um elemento isolado, a impedncia terminal a impedncia prpria da antena, ou seja a resistncia de radiao refrida ao pontodealimentao mais areatncia prpriapara uma antena semperdas. Nocasodeum conjunto, a proximidade entre elementos diferentes resulta no aparecimento de impedncias mtuas entre estes, que devem ser consideradas na determinao da impedncia terminal. Alm disso, ser visto que o acoplamento eletromagntico pode ser usado vantajosamente nos elementos ditos parasitas, que compe o conjunto conhecido como antena Yagi-Uda .4.5.1 Impedncia MtuaConsideredoiselementoslinearesacopladoseletromagneticamente, como mostra a figura 4.27.37Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha VantiFigura 4.27 Dois elementos lineares acopladosUsando o conceito de quadripolos, a impedncia mtua entre os dois elementos mostrados na figura 4.27 dada pela razo entre as tenses e correntes em elementos diferentes, ou seja:211221 12IVIVZ Z (4.76)Note que a igualdade entre Z12e Z21 resultante do teorema da reciprocidade para antenas. Para o caso mostrado na figura, onde os elementos tm comprimentos iguais l e esto dispostos lado a lado e separados por uma distnciad, a impedncia mtua obtida pelo mtodo da fora eletromotriz induzida[2]-[3] :( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) [ ]2 1 00122 1 00122424u S u S u SZXu C u C u CZRi i ii i i (4.77)onde

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+

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+ + l l d ul l d ud u2 222 210(4.78)Se V1 a tenso aplicada aos terminais da antena 1, ento12 2 11 1 1Z I Z I V + (4.79)Analogamente, podemos escrever22 2 12 1 2Z I Z I V + (4.80)38Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha Vantionde Z11e Z22so as impedncias prprias das antenas 1 e 2. Como exemplo de determinao das impedncias terminais, consideremos as duas antenas alimentadas uniformemente e emfase (broadside) e com deslocamento =-d (end-fire). Para o conjunto broadside, as correntes I1 e I2 so iguais e em fase, portanto,( )12 11 1 1Z Z I V + (4.81)( )22 12 2 2Z Z I V + (4.82)A impedncia terminal para o elemento 1 :12 11111Z ZIVZ + (4.83)e, para o elemento 2 :12 22222Z ZIVZ + (4.84)Como os elementos so idnticos, Z11=Z22 e V1=V2, logo, 12 11 2 1Z Z Z Z + (4.85)Se os dois elementos so dipolos de meia onda, afastados de meio comprimento de onda, ento,Z11=Z22= 73.13+j42.55 , e de (4.77)-(4.78), Z12=-12.53-j29.93 , e ento Z1= 60+j14 . A impedncia dos dois dipolos em paralelo 30+j7 , portanto, alimentando os dipolos com um cabo coaxial de meio comprimento de onda, a impedncia de entrada Zin ser igual a 30+j7 .Para o conjunto end-fire com d=/2, as correntes I1 e I2 so iguais e contrrias, portanto, ( )12 11 1 1Z Z I V (4.86)( )12 22 2 2Z Z I V (4.86)Como Z11=Z22, temos que12 11 2 1Z Z Z Z (4.87)Para o dipolo de meia onda, Z1= 86 + j23. 4.5.2 Elementos Parasitas - A antena Yagi-UdaAantenaYagi-Udanaverdade um conjunto de elementos onde um destes ativo e os outros agem como parasitas diretores ou refletores [3]-[5].39Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha VantiConsidere novamente o conjunto formado por dois elementos, mas onde apenas o primeiro excitado diretamente. O segundo elemento chamado de elemento parasita, conforme mostrado na figura 4.28.Figura 4.28 Conjunto com elemento parasita.NoExemplomostrado, oelementoparasitachamadodediretor, seseucomprimento menor que o do elemento ativo; refletor, se maior.A corrente que circula no elemento parasita na figura 4.28 jeZZIZZI I2212122121 2 (4.88)onde o ngulo entre as impedncias mtua e prpria mais . O fator de arranjo ser ento jeZZFA22121+ (4.89)Assim,se a corrente no elemento parasita tiver umngulod + t , ocorrer um cancelamento em = , configurando um padro end-fire. Este ngulo obtido com uma escolha judiciosa do afastamento d e do comprimento l do elemento parasita. Para o caso mostrado na figura 4.28, oelemento parasita deve ser umpouco menor que o elemento ativo, e portanto mais capacitivo, de maneira queparapequenas distnciasd, opadroend-firesejaatingido. Mais elementos parasitas podem ser adicionados, seja como diretores, seja como refletores. Os elementos refletoresdeveroterseucomprimentomaiordoqueoelementoativo, deformaqueomesmo deslocamento de fase exista no elemento ativo em relao ao refletor. Neste caso, deve ser notado qued , ongulodacorrentenoelementorefletor, e-d, ongulodefasecomqueo campoirradiadopeloelementoativoatingeorefletor, sototalmenteopostos, deformaqueo padro end-fire seja reforado.. Normalmente, espaamentos menores que /4 so desejveis.Continuando o exemplo da figura 4.28, considere que o comprimento do elemento ativo seja l1=0.5, ocomprimento doelemento diretorl2=0.475, e o afastamentod=0,12Portanto,d= 43.2o. A impedncia mtua para pequenas distncias pouco alterada para pequenas variaes de comprimento, de modo que pode ser calculada usando (4.77)-(4.78), e da temos que Z12=64.86+j1.6 =64.87ej1.4, Z22=63.08-j69.91=94.16e-j47.93. Portanto,( ) 83 . 130 17 . 492212126889 . 0j je eZZII + , 40Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha Vantiou seja, obteve-se um valor de ngulo muito prximo do esperado. O diagrama de irradiao para o conjunto pode ser visto na figura 4.29.Figura 4.29 Diagrama de irradiao para conjunto formado por um elemento ativo e um parasita, l1=0.5, l2=0.475, e d=0,124.6 Conjuntos Planares com Alimentao de Amplitude UniformeArranjos planares so capazes de focar um lobo principal de pequena largura de feixe em um ponto no espao, diferentemente de arranjos lineares, para os quais isto somente possvel quando a configurao end-fire aplicada. Considere a situao descrita na figura 4.30, na qual uma rede de elementos isotrpicos distribuda no plano z = 0. Pode ser facilmente verificado que esta rede composta de M conjuntos lineares alinhados com o eixo x, dispostos lado a lado, com uma distncia dxentr cada dois conjuntos, ou diferentemente, a rede vista como Nconjuntos lineares alinhados com y e separados entre si por uma distncia dy. Figura 4.30 Conjunto planar M X N elementosO fator de arranjo para um conjunto de N elementos alinhado sobre o eixo x :41Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha Vanti( )+ Mid i jxx xe I FA1cos sen ) 1 (0 (4.90)onde x o deslocamento de fase entre os elementos alinhados com x. Se N destes conjuntos iguais so alinhados em y, formando um conjunto planar, o fator de arranjo ser:( )( ) + + 1]1

Nkd k jMix d i jx yy yxe e I I FA1sen sen ) 1 (1cos sen ) 1 (0 0 (4.91)onde y o deslocamento de fase dos elementos alinhados com y. (4.91) pode ser reescrita fazendo I0=I0xI0y, ou seja:( ) ( )( ) ( ) + + MiNkd k jd i j y yx xe e I FA1 1sen sen 1cos sen 10 (4.92)Finalmente, a normalizao de (4.92) leva a :11111]1

,_

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1111]1

,_

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2sen2sen2sen2senyyxxnNNMMFA(4.93)onde x x xd + cos sen e y y yd + sen sen.Para que os grating lobes sejam evitados, o conjunto deve ser projetado de forma que dx < /2 e dy < /2.Paraqueoconjuntoirradieumnicofeixenadireodefinidapor=0e=0, os deslocamentos de fase devem ser0 00 0sen sencos sen y yx xdd (4.94)A Diretividade pode ser relacionada com o ngulo slido do feixe principal atravs debD20(4.95)Como exemplo de conjunto planar, considere um conjunto de 5x5 elementos, dispostos sobre o plano xy como na figura 4.32, com espaamento dx=dy = /4, 0 = 60 e 0 = 45. Com (4.94) os deslocamentos de fase so calculados, e o resultado mostrado na figuras 4.33a e 4.33b. Nas duas figuras, os retngulos representam a disposio dos elementos como vistos no plano do grfico. 42Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha Vantia) Funo de b) Funo de Figura 4.33. Diagramas polares de irradiao para um conjunto planar 5x5 elementos, d x= dy = /4, 0 = 60 e 0 = 45.Figura 4.33a. Diagrama 3dpolares de irradiao para um conjunto planar 5x5 elementos, d x= dy = /4, 0 = 60 e 0 = 45.Na figura 4.33a, o ponto de observao o eixo z, e o conjunto est no plano xy. O grfico mostra os diagramas de irradiao obtidos em = 45 para = 60 (linha cheia) e para = 28 (linha 43Captulo IV Conjuntos de AntenasMarcelo Grafulha Vantitracejada), ondeaatenuaoalcanaaproximadamente3dB. Nafigura4.33bsomostradosos diagramas de irradiao para = 60 (150 , pois o arranjo esta em 90), com = 45 (linha cheia) e = 15 (linha tracejada), onde de novo a atenuao alcana 3dB.Referncias1BALANIS, C. Antenna Theory, John Wiley & Sons, 1997.2 ELLIOT, R. S., Antenna Theory and Design, The IEEE Press series on Electromagnetic Wave Theory, 2003. 3 KRAUS, Antenas, Guanabara Koogan, 1950.4 KRAUS, J.D.; MARHEFKA, R.J. Antennas for all applications. 3rd ed. New York : McGrau-Hill, 2002. 5 YAGI, H. BeamTransmissionof UltraShort Waves,Proc.IRE, pp715-741, junho1928, reimpresso em Proc. IEEE, Vol 72, No5, pp 634-645, Maio, 1984. 6 GODARA, L.C., Applications of antenna arrays to mobile communications, part I: performance improvement, feasibility, and system considerations, Proc. IEEE, pp 1031-1060, , Vol 85, No7, julho 1997.7 HANSEN, W. W.; WOODYARD, J.R., A New Principle in Directional Antenna Design, Proc.IRE, pp 333-345, Vol 26, No3, March, 19388 DOLPH,C.L., A CurrentDistribution for Broadside arrays which Optimizes therelationship Between Beam Width and Side-Lobe Level,Proc. IRE and Waves and Electrons, pp 335-348, june 1946.44