Conjuntos – ALGEBRA – REFORÇO/ 2014 1. Seja A o conjunto {3, 5, 7, 9, 11, 12}, enumere cada um dos seguintes, conjuntos:

a) {x A / x2 9} =

b) {x A / x +9 = 16} =

c) {x A / x é primo} =

d) {x A / x2 –12x + 35 = 0} =

e) {x A / (x +1) A} = 2. (EN) Considere os conjuntos A = {x} e B = {x, {A}} e as proposições:

I. {A} B II. {x} AIII. ABIV. B A V. {x, A} B

As proposições falsas são:

a) I,III e V b) II, IV e V c) II, III, IV e V d) I, III, IV e V e) I, III e IV 3. Sendo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; A = {1, 3, 5, 7, 9}; B = {2, 4, 6, 8} e C = {1, 2, 3, 5}, calcule:

a) A C = b) B C =

c) A B = d) A C = e) A – C = f) C – A = g) A – B = h) B – A =

i) A = j) C =

k) BA = l) CA =

m) BA = n) CA =

o) ( A – B ) C = p) ( A – C ) ( B – C ) =

4. Dados os conjuntos: A = {1,4,5,6,8}, B = {2,6,8,13,17,20} e C = {5,7,8,6}, verifique as igualdades:

a) n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)

b) n(ABC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC) 5. Sejam A e B dois conjuntos tais que: n(A) = 12; n(B) = 10; n(AB) = 15. Determine:

a) n(AB) = b) n(B – A) = c) n(A – B) =

6. Determine os conjuntos A, B e C que satisfazem as seguintes condições simultaneamente:

1º) A B C = {z, x, v, u, t, s, r, q, p}; 2º) A B = {r,s}; 3º) B C = {s, x}

4º) C A = {s, t}; 5º) A C = {p, q, r, s, t, u, v, x}; 6º) A B = {p, q, r, s, t, u, x, z} 7. (CN) Considere o diagrama onde A, B, C e U são conjuntos. A região hachurada pode ser representada por:

a) (A B) (A C) - (B C) b) (A B) (A C) - (B C)

c) (A B) (A C) (B C) d) (A B) - (A C) ( B C)

e) (A - B) (A - C) (B - C)

8. (PUC) Se A = e B = {}, então:

a) A b) A B = c) A = B d) A B = B e) B A

Conjuntos – Problemas - 2014

1. Numa pesquisa sobre preferência de detergentes realizada numa população de 100 pessoas, constatou-se que 62 consomem o produto A; 47 consomem o produto B e 10 pessoas não consomem nem A e nem B. Que parte desta população consome tanto o produto A quanto o produto B? 2. Num teste para verificar o aproveitamento de 100 estudantes do terceiro ano do Ensino Médio, observou-se o seguinte resultado entre os que conseguiram nota satisfatória em uma só disciplina: Matemática, 18; Física, 20; Química, 22. Em duas das disciplinas: Matemática e Química, 15; Química e Física, 17; Matemática e física, 9. Nas das três disciplinas avaliadas, 6 alunos. Obtenha o número estudantes com nota satisfatória em pelo menos duas das disciplinas avaliadas. 3. Foi realizada uma pesquisa numa indústria X, tendo sido feitas a seus operários apenas duas perguntas. Dos operários, 92 responderam sim à primeira pergunta, 80 responderam sim à segunda. 35 responderam sim a ambas e 33 responderam não a ambas as perguntas feitas. Qual o número de operários da indústria? 4. Em uma pesquisa realizada, foram encontrados os seguintes resultados: 60% das pessoas entrevistadas fumam a marca A de cigarros; 50% fumam a marca B; 45% fuma a marca C; 20% fumam A e B; 30% fumam A e C; 15% fumam B e C; 8% fumam A, B e C. Que porcentagem das pessoas fuma exatamente duas marcas. 5. (CN) Numa cidade constatou-se que as famílias que consomem arroz não consomem macarrão. Sabe-se que: 40% consomem arroz, 30% consomem macarrão, 15% consomem feijão e arroz, 20% consomem feijão e macarrão, 60% consomem feijão. O percentual correspondente às famílias que não consomem esses três produtos, é:

a) 10% b) 3% c) 15% d) 5% e) 12% 6. (AFA) Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os três esportes. Qual o valor de n,sabendo que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses esportes?

7. Ao se aproximar a data de realização de certo concurso, uma escola que se dedica a preparar candidatos a cargos públicos deu três aulas de revisão intensiva para seus alunos. Do total T de alunos, sabe-se que 80 compareceram à primeira aula, 85 à segunda e 65 compareceram à terceira aula de revisão. Dos alunos que assistiram à primeira aula, 36 não retornaram para as duas aulas seguintes, 15 retornaram apenas para a segunda e 20 compareceram às três aulas. Dos alunos que não estavam presentes na primeira aula, 30 compareceram à segunda e à terceira aulas. Com base nessas informações, se 1/3 do total de alunos não compareceu às aulas de revisão, calcule o valor de T.

8. Antes da realização de uma campanha de conscientização de qualidade de vida, a Secretaria de Saúde de um município fez algumas observações de campo e notou que dos 300 indivíduos analisados 130 eram tabagistas, 150 eram alcoólatras e 40 tinham esses dois vícios. Após a campanha, o número de pessoas que apresentaram, pelo menos, um dos dois vícios sofreu uma redução de 20%. Com base nessas informações, com essa redução, qual o número de pessoas sem qualquer um desses vícios?

a) 102 b) 104 c) 106 d) 108 e) 110 9. Num colégio verificou-se que 120 alunos não tem pai professor, 130 alunos não tem a mãe professora e 5 alunos tem pai e mãe professores. Qual é o número de alunos do colégio, sabendo-se que 55 alunos possuem pelo menos um dos pais professor e que não existem alunos irmãos.

a) 125 b)135 c) 145 d) 155 e) 165 10. (UFRJ) Uma amostra de 100 caixas de pílulas anticoncepcionais, fabricadas pela Nascebem S.A., foi enviada para a fiscalização sanitária. No teste de qualidade, 60 foram aprovadas e 40 reprovadas por conterem pílulas de farinha. No teste de qualidade 74 foram aprovadas e 26 reprovadas por conterem um número de pílulas menor do que o especificado. O resultado dos dois testes mostrou que 14 caixas foram reprovadas em ambos os testes. Quantas caixas foram aprovadas em ambos os testes?

Conjuntos – Operações – 2013 - GABARITO 1. Seja A o conjunto {3, 5, 7, 9, 11, 12}, enumere cada um dos seguintes, conjuntos:

a) {x A / x2 9} = {5, 7, 9, 11, 12}. Somente 3

2 = 9, neste conjunto.

b) {x A / x +9 = 16} = {7}. Se x + 9 = 16 => x = 16 – 9 = 7.

c) {x A / x é primo} = {3, 5, 7, 11}. Números primos possuem somente dois divisores.

d) {x A / x2 –12x + 35 = 0} = {5, 7}. Resolvendo temos (x – 5).(x – 7) = 0 => x = 5 e x = 7.

e) {x A / (x +1) A} = {3, 5, 7, 9}. Somente o elemento 11 tem seu sucessor 11 + 1 em A. 2. (EN) Considere os conjuntos A = {x} e B = {x, {A}} e as proposições:

I. {A} B II. {x} AIII. ABIV. B A V. {x, A} B

As proposições falsas são:

a) I,III e V b) II, IV e V c) II, III, IV e V d) I, III, IV e V e) I, III e IV

Solução. Analisando as sentenças, temos:

I. Verdadeiro. {A} é elemento de B. II. Falso. {x} é um subconjunto unitário de A. O símbolo deveria ser “contido”. III. Falso. O conjunto A é subconjunto de B, pois x є A e x є B. Logo o símbolo seria “contido”. IV. Falso. Há elemento de B que não é elemento de A, no caso {A}. V. Falso. Não há o elemento A em B. O elemento é {A}. 3. Sendo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; A = {1, 3, 5, 7, 9}; B = {2, 4, 6, 8} e C = {1, 2, 3, 5}, calcule:

Solução. Utilizando as definições das operações e considerando a barra sobre um conjunto como conjunto complementar em relação ao conjunto U, temos:

a) A C = {1, 2, 3, 5, 7, 9} b) B C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

c) A B = { } ou Ø d) A C = {1, 3, 5} e) A – C = {7, 9} f) C – A = {2} g) A – B = A h) B – A = B

i) A = B j) C = {4, 6, 7, 8, 9}

k) BA = { } ou Ø l) CA = {2, 4, 6, 7, 8, 9}

m) BA = {2, 4, 6, 8} n) CA = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

o) ( A – B ) C = {1, 3, 5} p) ( A – C ) ( B – C ) = {4, 6, 7, 8, 9}

4. Dados os conjuntos: A = {1,4,5,6,8}, B = {2,6,8,13,17,20} e C = {5,7,8,6}, verifique as igualdades:

Solução. Expressando os conjuntos envolvidos nas operações, temos:

i) n(A) = 5; n(B) = 6; n(C) = 4. ii) n(AB) = n{1,2,4,5,6,8,13,17,20} = 9.

iii) n(AB) = n{6,8} = 2. iv) n(AC) = n{5,6,8} = 3.

v) n(BC) = n{6,8} = 2. vi) n(ABC) = n{6,8} = 2.

vii) n(ABC) = n{1,2,4,5,6,7,8,13,17,20} = 10. a) n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)

Verificação: 9 = 5 + 6 – 2 => 9 = 9. Ok.

b) n(ABC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC)

Verificando: 10 = 5 + 6 + 4 – 2 – 3 – 2 + 2 => 10 = 15 – 7 + 2 => 10 = 8 + 2 => 10 = 10. Ok. 5. Sejam A e B dois conjuntos tais que: n(A) = 12; n(B) = 10; n(AB) = 15. Determine:

a) n(AB) = 7 b) n(B – A) = 3 c) n(A – B) = 5.

Solução. Observando a representação no diagrama, temos:

a) (12 – x) + x + (10 – x) = 15 => 22 – x = 15 => x = 22 – 15 => x = 7.

b) n(B – A) = 10 – 7 = 3. c) n(A – B) = 12 – 7 = 5. 6. Determine os conjuntos A, B e C que satisfazem as seguintes condições simultaneamente:

1º) A B C = {z, x, v, u, t, s, r, q, p}; 2º) A B = {r,s}; 3º) B C = {s, x}

4º) C A = {s, t}; 5º) A C = {p, q, r, s, t, u, v, x}; 6º) A B = {p, q, r, s, t, u, x, z}

Solução. Representando os conjuntos em diagramas, temos: A = {p, q, r, s, t, u} B = {r, s, x, z} C = {s, t, v, x} 7. (CN) Considere o diagrama onde A, B, C e U são conjuntos. A região hachurada pode ser representada por:

a) (A B) (A C) - (B C) b) (A B) (A C) - (B C)

c) (A B) (A C) (B C) d) (A B) - (A C) ( B C)

e) (A - B) (A - C) (B - C) Solução. Representando na forma de diagrama passo a passo, temos: a)

8. (PUC) Se A = e B = {}, então:

a) A b) A B = c) A = B d) A B = B e) B A

Solução. Analisando cada sentença, temos:

a) Verdadeiro. Podemos representar B = {A}.

b) Falso. AUB = {}. c) Falso. B não está contido em A. d) Falso. A interseção é vazia. e) Falso. B possui um elemento e A não possui nenhum.

Conjuntos – Problemas – 2013 - GABARITO

1. Numa pesquisa sobre preferência de detergentes realizada numa população de 100 pessoas, constatou-se que 62 consomem o produto A; 47 consomem o produto B e 10 pessoas não consomem nem A e nem B. Que parte desta população consome tanto o produto A quanto o produto B?

Solução. Representando as informações em diagramas, temos:

19x100119x

100119x10010x47xx62

.

Logo, 19 pessoas consomem ambos os produtos. 2. Num teste para verificar o aproveitamento de 100 estudantes do terceiro ano do Ensino Médio, observou-se o seguinte resultado entre os que conseguiram nota satisfatória em uma só disciplina: Matemática, 18; Física, 20; Química, 22. Em duas das disciplinas: Matemática e Química, 15; Química e Física, 17; Matemática e física, 9. Nas das três disciplinas avaliadas, 6 alunos. Obtenha o número estudantes com nota satisfatória em pelo menos duas das disciplinas avaliadas.

Solução. Representando as informações em diagramas, observa-se que:

i) A soma (18 + 3 + 6 + 9 + 20 + 11 + 22) = 89. Logo, há alunos sem nota satisfatória em nenhuma das 3. Temos que x + 89 = 11 => x = 100.

ii) Ter nota satisfatória em pelo menos duas disciplinas implica em ter nota satisfatória em duas ou nas três: 3 + 6 + 9 + 11 = 29 alunos.

OBS: Não ter nota satisfatória em pelo menos duas disciplinas implica ter nota satisfatória em somente uma ou em nenhuma: 18 + 20 + 22 + 11 = 71. Logo, o complementar será 100 – 71 = 29. 3. Foi realizada uma pesquisa numa indústria X, tendo sido feitas a seus operários apenas duas perguntas. Dos operários, 92 responderam sim à primeira pergunta, 80 responderam sim à segunda. 35 responderam sim a ambas e 33 responderam não a ambas as perguntas feitas. Qual o número de operários da indústria?

Solução. Representando na forma de diagramas, temos que o total de funcionários é: 57 + 35 + 45 + 33 = 170.

4. Em uma pesquisa realizada, foram encontrados os seguintes resultados: 60% das pessoas entrevistadas fumam a marca A de cigarros; 50% fumam a marca B; 45% fuma a marca C; 20% fumam A e B; 30% fumam A e C; 15% fumam B e C; 8% fumam A, B e C. Que porcentagem das pessoas fuma exatamente duas marcas.

Solução. Representando na forma de diagramas observa-se que há 2% dos pesquisados que não consomem nenhuma das três marcas. A porcentagem dos pesquisados que fuma exatamente duas marcas é: 12% + 22%+ 7% = 41%. OBS: Observe que 41% = 100% - (18% + 23% + 8% + 8% + 2%). 5. (CN) Numa cidade constatou-se que as famílias que consomem arroz não consomem macarrão. Sabe-se que: 40% consomem arroz, 30% consomem macarrão, 15% consomem feijão e arroz, 20% consomem feijão e macarrão, 60% consomem feijão. O percentual correspondente às famílias que não consomem esses três produtos, é:

a) 10% b) 3% c) 15% d) 5% e) 12%

Solução. Na representação em diagramas, não haverá interseção entre os consumidores de arroz e macarrão. Indicando “x” como o percentual de famílias que não consomem nenhum dos três produtos e considerando o total como 100%, temos: X = 100% - (25% + 15% + 25% + 20% + 10%)

=>X = 100% - (95%) = 5%. 6. (AFA) Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os três esportes. Qual o valor de n,sabendo que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses esportes?

Solução. Representando as quantidades com as retiradas das interseções, basta somar todos os valores: N = 12 + 3 + 2 + 3 + 11 + 16 = 47 cadetes. 7. Ao se aproximar a data de realização de certo concurso, uma escola que se dedica a preparar candidatos a cargos públicos deu três aulas de revisão intensiva para seus alunos. Do total T de alunos, sabe-se que 80 compareceram à primeira aula, 85 à segunda e 65 compareceram à terceira aula de revisão. Dos alunos que assistiram à primeira aula, 36 não retornaram para as duas aulas seguintes, 15 retornaram apenas para a segunda e 20 compareceram às três aulas. Dos alunos que não estavam presentes na primeira aula, 30 compareceram à segunda e à terceira aulas. Com base nessas informações, se 1/3 do total de alunos não compareceu às aulas de revisão, calcule o valor de T.

Solução. De acordo com o enunciado, 36 alunos assistiram somente à primeira aula e 15 alunos assistiram somente à segunda aula. Indicando com incógnitas as quantidades desconhecidas no diagrama, temos:

i) O valor de “y” representa o número de alunos que não foram à 1ª aula, mas foram à 2ª e 3ª aula. Logo, y = 30.

ii)

115465w6520w30z

47680z802036z20

6520w30z

206585x

802036zx

6520w30z:aulaª3

85152030x:aulaª2

802036zx:aulaª1

.

iii) A soma dos valores vale 2T/3. Temos: 36 + 20 + 20 + 4 + 15 + 30 + 11 = 136. Logo T = (136 x 3) ÷ 2 = 204. 8. Antes da realização de uma campanha de conscientização de qualidade de vida, a Secretaria de Saúde de um município fez algumas observações de campo e notou que dos 300 indivíduos analisados 130 eram tabagistas, 150 eram alcoólatras e 40 tinham esses dois vícios. Após a campanha, o número de pessoas que apresentaram, pelo menos, um dos dois vícios sofreu uma redução de 20%. Com base nessas informações, com essa redução, qual o número de pessoas sem qualquer um desses vícios?

a) 102 b) 104 c) 106 d) 108 e) 110

Solução. Observe pelo diagrama que inicialmente 240 = (90 + 40 + 110) indivíduos apresentavam pelo menos um desses vícios e 300 – 240 = 60, nenhum vício. Com a redução de 20% dos indivíduos com algum vício, passaram a não ter vício nenhum (0,20 x 240) = 48 indivíduos. Logo, adicionados aos 60 iniciais, o total de indivíduos sem nenhum vício será 60 + 48 = 108.

9. Num colégio verificou-se que 120 alunos não tem pai professor, 130 alunos não tem a mãe professora e 5 alunos tem pai e mãe professores. Qual é o número de alunos do colégio, sabendo-se que 55 alunos possuem pelo menos um dos pais professor e que não existem alunos irmãos.

a) 125 b)135 c) 145 d)

155 e) 165

Solução. Repare que se 55 possuem pai ou mãe professor e 120 não possuem pai professor, então há alunos que não possuem nem pai, nem mãe professor. Representando as regiões com incógnitas, temos:

20y120100y

100z130z30

30x60x210yx

50yx

)1(120zy

130zx

55y5x

.

O total de alunos é: 30 + 5 + 20 + 100 = 155. 10. (UFRJ) Uma amostra de 100 caixas de pílulas anticoncepcionais, fabricadas pela Nascebem S.A., foi enviada para a fiscalização sanitária. No teste de qualidade, 60 foram aprovadas e 40 reprovadas por conterem pílulas de farinha. No teste de qualidade 74 foram aprovadas e 26 reprovadas por conterem um número de pílulas menor do que o especificado. O resultado dos dois testes mostrou que 14 caixas foram reprovadas em ambos os testes. Quantas caixas foram aprovadas em ambos os testes?

Solução. Representando as reprovações por farinha como RF e RN por número de pílulas e, da mesma forma, as aprovações AF e NA, respectivamente no teste de farinha e número especificado, observa-se:

i) Se 26 caixas ficaram reprovadas somente no teste da farinha, então foram aprovadas no teste do número de pílulas. ii) Da mesma forma as 12 caixas reprovadas somente no número de pílulas foram aprovadas no teste da farinha. iii) Pelas informações, foram aprovadas 60 caixas no teste de pílulas de farinha. Logo, 12 + x = 60 => x = 48. OBS: O mesmo resultado poderia ter sido encontrado sabendo que 74 caixas foram aprovadas no teste do número especificado. Logo, x + 26 = 74 => x = 74 – 26 = 48. Resposta. Foram aprovadas em ambos os testes 48 caixas.