Definição de Conjuntos NuméricosAo agrupamento de elementos com características semelhantes damos o nome de conjunto. Quando estes elementos são números, tais conjuntos são denominados conjuntos numéricos.

Representação de um conjunto

Conjunto dos Números Naturais

São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula

N.

Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-

se colocar um * ao lado do N:

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}

N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}

Conjunto dos Números Inteiros

São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos

opostos (negativos). São representados pela letra Z:

Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:

- Inteiros não negativos

São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é

igual ao conjunto dos números naturais.

É representado por Z+:

Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}

- Inteiros não positivos

São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-:

Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- Inteiros não negativos e não-nulos

É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+:

Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Z*+ = N*

- Inteiros não positivos e não nulos

São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.

Z*- = {... -4, -3, -2, -1}

Conjunto dos Números Racionais

Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais

finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma

sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também

conhecidas como dízimas periódicas.

Os racionais são representados pela letra Q.

Conjunto dos Números Irracionais

É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número

irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu

diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular

bilhões de casas decimais para o PI.

Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...)

Conjunto dos Números Reais

É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com

os irracionais). Representado pela letra R.

Operação com conjuntosQuando falamos de operação lembramos logo de adição, subtração, divisão, multiplicação entre números. É possível também operar conjuntos.Essas operações recebem nomes diferentes, como: União de conjuntos, Intersecção de conjuntos, Diferença de conjunto, Conjunto complementar.Todas essas operações são representadas por símbolos diferentes. Veja a representação de cada uma delas:

 União de conjuntosDados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {6, 7}, a união deles seria pegar todos os elementos de A e de B e unir em apenas um conjunto (sem repetir os elementos comuns). O conjunto que irá representar essa união ficará assim: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.A representação da união de conjuntos é feita pelo símbolo U. Então,A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Intersecção de conjuntosQuando queremos a intersecção de dois conjuntos é o mesmo que dizer que queremos os elementos que eles têm em comum.Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7}, a intersecção é representada pelo símbolo ∩, então A ∩ B = {5, 6}, pois 5 e 6 são os elementos que pertencem aos dois conjuntos.Se dois conjuntos não têm nenhum elemento comum, a intersecção deles será um conjunto vazio.

Dentro da intersecção de conjuntos há algumas propriedades:1) A intersecção de um conjunto por ele mesmo é o próprio conjunto: A ∩ A = A2) A propriedade comutatividade na intersecção de dois conjuntos é: A ∩ B = B ∩ A.3) A propriedade associativa na intersecção de conjuntos é:A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 

Diferença entre conjuntoDados o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e o conjunto B = {5, 6, 7}, a diferença desses conjuntos é representada por outro conjunto, chamado de conjunto diferença.Então os elementos de A – B serão os elementos do conjunto A menos os elementos que pertencerem ao conjunto B.Portanto A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.

Conjunto complementarConjunto complementar está relacionado com a diferença de conjunto.Achamos um conjunto complementar quando, por exemplo, dado um conjunto A e B e o conjunto B e A, então B é complementar em relação a A.A = {2, 3, 5, 6, 8}B = {6,8}B   A, então o conjunto complementar será CAB = A – B = {2, 3, 5}.

Produto cartesiano 

Produto cartesiano de A e B, denotada por A × B, é o conjunto cujos membros são todos os

possíveis pares ordenados (a,b) onde a é um membro de A e b é um membro de B.

Conjunto das partes 

Conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto cujos membros são todos os possíveis

subconjuntos de A. Por exemplo, o conjunto das partes de {1, 2} é { {}, {1}, {2}, {1,2} }.

Relação de Ordem no conjunto dos reais

Sendo dois números reais "a" e "b", temos três possibilidades de relação de ordem entre eles:

1) a = b (a igual a b)

2) a > b (a maior que b)

3) a < b (a menor que b)

Representação gráfica de a > b. Se a é maior que b, a fica à direita de b na reta dos reais.

Representação gráfica de a < b. Se a é menor que b, a fica à esquerda de b na reta dos reais.

Se c > a e c < b, representa-se c atravês de uma desigualdade dupla:

a < c < b

Outras formas de relação de ordem entre dois números reais:

a≥b (aé maior ouigual ab )

a≤b (aé menorou igual ab ) Exemplo:

Intervalos

Intervalos é o nome dado aos subconjuntos dos reais.

Intervalo aberto

Quando as extremidades são representadas por bolinhas vazias, isso quer dizer que os

números a e b não

pertencem ao intervalo.

Esse intervalo possui todos os números reais entre a e b.

Intervalo fechado

Quando as extremidades são representadas por bolinhas cheias, isso quer dizer que os

números a e b 

pertencem ao intervalo.

Esse intervalo possui todos os números reais entre a e b, inclusive os próprios a e b

Intervalo semi-aberto à direita

Intervalo semi-aberto à esquerda

Intervalos infinitos:

EXERCICIOS:

1. Seja A = { 1, {2}, {1,2} }. Considere as afirmações:

(I) 1   A

(II) 2   A

(III)   A

(IV) {1,2}   A

Estão corretas as afirmações:

A) I e II

B) I e III

C) III e IV

D) III

E) I

2. Sabendo que A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6} e C = {1, 6, 7, 8, 9}, podemos afirmar que o

conjunto (A   B)   C é:

A) {1, 4}

B) {1, 4, 6, 7}

C) {1, 4, 5, 6}

D) {1, 4, 6, 7, 8, 9}

3. José Carlos e Marlene são os pais de Valéria. A família quer viajar nas férias de julho. José

Carlos conseguiu tirar suas férias na fábrica do dia 2 ao dia 28. Marlene obteve licença no

escritório de 5 a 30. As férias de Valéria na escola vão de 1 a 25. Durante quantos dias a

família poderá viajar sem faltar as suas obrigações?

A) 19

B) 20

C) 21

D) 22

4. Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática e 20 gostam de História. O número de

alunos desta classe que gostam de Matemática e História é:

A) exatamente 16

B) exatamente 10

C) no máximo 6

D) no mínimo 6

E) exatamente 18

5. Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam pelo menos um dos

produtos A ou B. Sabendo que 10 destas pessoas não usam o produto B e que 2 destas

pessoas não usam o produto A, qual é o número de pessoas que utilizam os produtos A e B?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

06. No último clássico Corinthians x Flamengo, realizado em São Paulo, verificou-se  que só

foram ao estádio paulistas e cariocas e que todos eles eram só corintianos ou só

flamenguistas. Verificou-se também que, dos 100.000 torcedores, 85.000 eram corintianos,

84.000 eram paulistas e que apenas 4.000 paulistas torciam para o Flamengo. Pergunta-se:

a) Quantos paulistas corintianos foram ao estádio?

b) Quantos cariocas foram ao estádio?

c) Quantos não-flamenguistas foram ao estádio?

d) Quantos flamenguistas foram ao estádio?

e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos não eram flamenguistas?

f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos?

g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas?

h) Quantos eram corintianos ou paulistas?

i) Quantos torcedores eram não-paulistas ou não-flamenguistas?

07. As marcas de cerveja mais consumidas em um bar, num certo dia, foram A, B e S. Os garçons constataram que o consumo se deu de acordo com a tabela a seguir:

a) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia?

b) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos beberam apenas duas dessas marcas?

c) Quantos não consumiram a cerveja S?

d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca S?

08. Dos 30 candidatos a vagas em certa empresa, sabe-se que 18 são do sexo masculino, 13 são fumantes e 7 são mulheres que não fumam. Quantos candidatos masculinos não fumam?

09. Considere os seguintes subconjuntos de números naturais:

N = { 0, 1, 2, 3, 4,...} P = { x IN / 6 ≤ x ≤ 20 } A = { x P / x é par }

B = { 6, 8, 12, 16 } C = { x P / x é múltiplo de 5 }

O número de elementos do conjunto (A – B) ∩ C é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

10. Considere três conjuntos A, B e C, tais que: n(A) = 28, n(B) = 21, n(C) = 20, n(A ∩ B) = 8, n(B ∩ C) = 9, n(A ∩ C) = 4 e n(A ∩ B ∩ C) = 3. Assim sendo, o valor de n((A U B) ∩ C) é:

a) 3 b) 10 c) 20 d) 21

RESOLUÇÃO:

Exercício 1.Um ponto importante para chegar a resposta correta desta questão é ter em mente o que é relação de pertinência e sobre a relação entre um subconjunto e conjunto.A relação de pertinência é usada somente para relacionar o elemento e seu conjunto. Utilizamos para isso o símbolo   (lê-se: pertence).Para relacionar subconjunto e conjunto, usamos o símbolo   (lê-se: está contido), ou seja, sempre que um conjunto está contido em outro, utilizamos tal símbolo.Claro que o contexto envolvendo a questão deve ser analisado antes, como veremos a seguir na resoluçãoAnalisaremos item por item.(I) Veja que 1 é elemento de A e o símbolo usado (pertence) para relacionar está correto, então o item I é verdadeiro.(II) Repare que 2 não é elemento do conjunto A, então ele não pertence a A, logo o item II não está correto. Observe que {2} é elemento de A. Nesse ponto, chamamos a atenção para o fato de que {2} é um conjunto, já que está entre chaves, que é um elemento de A.Há uma diferença entre 2 e {2}, espero que tenha percebido. O item IV é semelhante.(III) Uma das propriedades de inclusão (por definição de subconjunto) diz o seguinte: o (vazio) está contido em qualquer conjunto. Portanto, o item III está correto.(IV) Mais uma vez temos que {1,2} é um elemento de A e não um subconjunto, logo a afirmação não está correta, pois deveria ser usado o símbolo de pertence. Neste caso, o símbolo estaria correto se, ao invés de {1,2} tivéssemos {{1,2}} (subconjunto 1,2).Temos que somente os itens I e III estão corretos.Observação: caso você tenha dificuldade para compreender as relações que existem entre um conjunto, elemento e subconjunto estude um pouco mais sobre relação de pertinência e subconjuntos.Exercício 2.O exercício pede o conjunto (A   B)   C, “A interseção B união C”.Sendo que a relação entre parênteses (interseção) precede a que está fora (união), deve ser realizada antes.(A   B), o conjunto “A interseção B” é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B, que são comuns aos dois conjuntos.A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6}.(A   B) = { 4 }.Como já obtemos o conjunto “A interseção B”, {4}. Vamos agora realizar a união com C.O conjunto união (reunião) é formado por todos os elementos que pertencem a um ou a outro conjunto. Todos os elementos dos conjuntos fazem para do conjunto união e não precisa repetir o mesmo elemento.(A   B) = { 4 } e C = {1, 6, 7, 8, 9}.

(A   B)   C = {1, 4, 6, 7, 8, 9}.Exercício 3.A resposta para a pergunta deste problema será dada pela interseção dos dias em que cada um poderá faltar sua obrigações. Vejamos:José Carlos = { 2, 3, 4, 5, …,25, 26, 27, 28 }.Marlene = { 5, 6, 7, …, 25, 26, 27, 28, 29, 30 }.Valéria = { 1, 2, 3, 4, 5, …, 25 }Repare que Marlene só terá licença a partir do dia 5, antes não poderá já que José Carlos e Valéria podem, logo os membros da família só poderão iniciar as férias juntos a partir do dia 5.Veja que as férias de Valéria terminam no dia 25, logo os membros da família só poderão ficar juntos até dia 25.Os dias em que a família poderá viajar sem faltar as obrigações vão do dia 5 ao dia 25.{5, 6, 7, …, 23, 24, 25}, temos um total de 21 dias.Observação: ao realizar o cálculo da quantidade de dias, tenha atenção para não excluir o dia 5 realizando o seguinte cálculo: 25 – 5 = 20. Deste modo você exclui um dia (5) e está errado já que o dia 5 entra, ok?Para você calcular a quantidade de números naturais num intervalo dado basta seguir o seguinte método:(número final) – (número inicial) + 1.Como exemplo, vamos calcular a quantidade de (dias) números naturais de 5 a 25.Número final = 25, número inicial = 5.25 – 5 + 1 = 21.Exercício 4.Sejam n(M) e n(H) o número de alunos que gostam de Matemática e História, respectivamente.n(M U H) = número de alunos que gostam de Matemática ou História (união).n(M   H) = número de alunos que gostam de Matemática e História (interseção).Do problema temos: n(M) = 16, n(H) = 20 e n(M U H) = 30.O número de elementos da união de dois conjuntos finitos (no caso n(M U H)) é dado por:n(M U H) = n(M) + n(H) – n(M   H), fazendo a substituição dos valores.30 = 16 + 20 – n(M   H) <=> n(M   H) = 36 – 30 <=> n(M   H) = 6.Bem, com isso chegamos ao resultado de que o número de alunos que gostam de Matemática e História é igual a 6. Mas, se repararmos nas alternativas, não há esta opção.E agora?Ficamos então em dúvida se marcamos a alternativa C) no máximo 6 ou D) no mínimo 6.Repare o seguinte:em nossos cálculos acima, consideramos que todos os alunos (30) gostam de pelo menos uma matéria, ok?Mas, em momento algum o problema diz isso no enunciado, concorda?Pode haver alunos que não gostam de nenhuma das matérias  e isso aumentaria o número de alunos que gostam de ambas.Exemplo: suponha que 1 aluno não goste de Matemática, nem de História.30 – 1 = 29, isto quer dizer que 29 alunos gostam de Matemática ou História.Refazendo os cálculos acima para o valor 29, teremos: 36 – 29 = 7 alunos gostam de Matemática e História.Portanto, o número de alunos que gostam de Matemática ou História deve ser menor ou igual a 30, pois pode haver alunos que não gostam de ambas.n(M U H)   30 <=>n(M) + n(H) – n(M   H)   30. Fazendo as substituições.16 + 20 – n(M   H)   30 <=> 36 – 30   n(M   H) <=> 6   n(M   H) ou n(M   H)   6.Logo, o número de alunos que gostam de Matemática e História deve ser no mínimo 6.Exercício 5.Como 15 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos A ou B, temos o seguinte:

10 pessoas não usam o produto B, então elas usam o produto A.Total de pessoas que usam só A = 10 pessoas.2 pessoas não usam o produto A, então elas usam o produto B.Total de pessoas que usam só B = 2 pessoas.Seja x o número de pessoas que utilizam os produtos A e B (ambos).Temos que o número de pessoas que usam o produto A, mais o número de pessoas que usam o produto B, mais o número de pessoas que usam ambos deve ser igual a 15 (já que pelo menos um dos produtos é utilizado). Veja:(nº de pessoas que usam só A) + (nº pessoas que usam só B) + x = 1510 + 2 + x = 15 <=> x = 3 pessoas.O número de pessoas que utilizam os produtos A e B é igual 3 pessoas.

07. a) 315 b) 75 c) 235 d) 155

08. 10

09. A

10. B