OPERAÇÕES COM NÚMEROS(Adição, subtração, multiplicação e divisão)

OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIRO

Antes de tratarmos das operações com números inteiros, devemos recordar quais elementos fazem parte desse conjunto. Pertencem ao conjunto dos números inteiros todos os números positivos, negativos e o zero. Sendo assim:Z = {… - 3, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4...}As operações com números inteiros estão relacionadas com a soma, subtração, divisão e multiplicação. Ao realizar alguma das quatro operações com esses números, devemos também operar o sinal que os acompanha.Adição de números inteiros: Na adição de números inteiros, somam-se as parcelas:

Sinais iguais na soma ou na subtração: some os números e conserve o sinal.Regra do sinal: (+) + (+) = +(–) + (–) = –Exemplos:+ 2 + 5 = + 7+ 10 + 22 = + 32– 5 – 4 = – 9– 56 – 12 = – 68

Sinais diferentes: conserve o sinal do maior número e subtraia.Regra do sinal:(+) + (–) = – → Esse menos indica que a operação a ser realizada é de subtração.(–) + (+) = – → Esse menos indica que a operação a ser realizada é de subtração.Exemplos:3 – 4 = – 1 → O maior número é o quatro; logo, o sinal no resultado foi negativo.– 15 + 20 = + 5 → O maior número é o vinte; logo, o sinal no resultado foi positivo.

Multiplicação e divisão de números inteiros: Sinais iguais na multiplicação ou na divisão sempre resultam em sinal positivo.

Regra do sinal: (+) . (+) = (+) → Operação de Multiplicação(–) . (–) = (+) → Operação de Multiplicação(+) : (+) = (+) → Operação de Divisão(–) : (–) = (+) → Operação de DivisãoExemplos:(+ 2) . (+ 4) = + 8(- 4) . (- 10) = + 40(- 20) : (- 2) = + 10(+ 15) : (+ 3) = + 5

Sinais diferentes na multiplicação ou na divisão sempre resultam em sinal negativo.Regra do sinal: (+) . (–) = (–) → Operação de Multiplicação(–) . (+) = (–) → Operação de Multiplicação(+) : (–) = (–) → Operação de Divisão(–) : (+) = (–) → Operação de DivisãoExemplos:

(+ 6) . (– 7) = – 42(– 12) . (+ 2) = – 24(+ 100) : (– 2) = – 50(– 125) : (+ 5) = - 25

Em relação à multiplicação e à divisão, podemos estabelecer a seguinte regra geral:1 – SE OS DOIS NÚMEROS POSSUÍREM O MESMO SINAL, O RESULTADO SERÁ POSITIVO.2 – SE OS DOIS NÚMEROS POSSUÍREM SINAIS DIFERENTES, O RESULTADO SERÁ NEGATIVO.

OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS

Quando começamos a trabalhar com os números racionais, deparamo-nos com os números

decimais, aqueles que possuem vírgula. Esses números possuem algumas características que

merecem nossa atenção. Eles são formados por uma parte inteira e outra parte decimal, sendo

que os números que estão do lado esquerdo da vírgula compõem a parte inteira, e os que

estão à direita representam a parte decimal. Vejamos um exemplo:

                                      1,357

                                       |     |

Parte inteira  <------------------|       |------------------>     Parte Decimal

Quando desejamos realizar operações de adição ou de subtração, podemos utilizar o algoritmo

de cada operação. Mas devemos nos lembrar de que a parte inteira deve somar apenas com

outra parte inteira, do mesmo modo a parcela decimal deve ser operada com a outra que

também é decimal. Para evitar enganos, é recomendável que façamos o algoritmo colocando

sempre a vírgula embaixo de outra vírgula. Vejamos alguns exemplos:

Exemplos de adição e subtração com números decimais

Na imagem, temos alguns “zeros” em vermelho. Isso aconteceu porque nem sempre todos os

números terão a mesma casa de números decimais e, a fim de melhorar nossos cálculos,

devemos preencher com zeros os espaços vazios à direita.

Em se tratando de multiplicação, não há a necessidade de colocarmos vírgula embaixo de

vírgula. Devemos realizar a multiplicação da forma tradicional, mas devemos lembrar que é

necessário unir a quantidade de casas decimais. Por exemplo, o caso da multiplicação de

0,075 por 0,001. Ao fazermos a multiplicação normalmente, desconsiderando a vírgula,

obtemos o resultado 75, mas o primeiro número tem três algarismos após a vírgula, e o

segundo, três algarismos. Portanto, a resposta é 0,000075. Vejamos alguns exemplos:

Exemplos de Multiplicação com números decimais

A divisão de números inteiros requer a nossa atenção para alguns detalhes. Vejamos os

possíveis casos de divisões:

1º – Divisão de números inteiros

a) Quando o dividendo é maior que o divisor:

Divisão de inteiros

Nesse caso, poderíamos ter finalizado a divisão tendo como quociente o número 8 e deixando

3 como resto. Como demos continuidade, foi necessário acrescentar o zero ao fim dos

números que seriam divididos para concluir a divisão. Quando é necessário fazer o acréscimo

do zero, colocamos uma vírgula no quociente.

b) Quando o dividendo é menor que o divisor:

Divisão de inteiros

Nesse exemplo, queremos dividir 4 por 8. Mas para conseguir fazer esse cálculo, é necessário

aumentar o dividendo. Então antes de iniciar a divisão, precisamos acrescentar um zero após o

4, transformando-o em 40. Ao fazer isso, colocamos um zero e uma vírgula no início do

quociente para em seguida iniciar de fato a divisão. Caso fosse necessário, poderíamos colocar

outro zero no dividendo, então haveria 400, e, no quociente, acrescentar outro zero após a

vírgula, ficando com 0,0. É possível realizar esse processo quantas vezes forem necessárias.

2º – Divisão entre inteiros e decimais

a) Dividendo inteiro e divisor decimal

Divisão de inteiro por decimal

Quando precisamos dividir um número inteiro por outro que é decimal, é necessário tornar o

dividendo também um número decimal. Para isso, basta acrescentar uma vírgula e um zero e

verificar se o dividendo e o divisor possuem a mesma quantidade de números após a vírgula.

Se for necessário, podemos acrescentar zeros até ficarem iguais. Feito isso, desconsideramos

a vírgula e realizamos a divisão normalmente.

a) Dividendo decimal e divisor inteiro

Divisão de decimal por inteiro

Semelhantemente ao caso anterior, precisamos que o divisor seja também um número decimal.

Para tanto, acrescentamos nele a vírgula e um zero e verificamos se a quantidade de zeros

após a vírgula é mesma para o divisor e para o dividendo. Feito isso, podemos realizar a

divisão como de costume.

3º – Divisão entre decimais

Para realizar a divisão entre números decimais, é necessário que ambos tenham a mesma

quantidade de números após a vírgula. Como já foi dito, acrescentamos zeros ao fim do

número até que consigamos igualar a quantidade de casas decimais. Feito isso,

desconsideramos as vírgulas e realizamos a divisão.

OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS

A adição de números naturais

A primeira operação fundamental da Aritmética, tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.

Multiplicação de Números Naturais

É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.

Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:

4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36

O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.

Divisão de Números Naturais

Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.

No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.

Relações essenciais numa divisão de números naturais

1. Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.

35 : 7 = 5

OPERAÇÕES COM NÚMEROS FRACIONÁRIOS

Adição e Subtração

Para somar frações homogêneas (com mesmo denominador), somam-se os numeradores e conserva-se o denominador.

Exemplos:

1º) 25+ 15−45=−15

2º)  67+ 137

−57=147

=2

Para somar frações heterogêneas (com denominadores diferentes), é necessário reduzi-las a um denominador comum. O processo para transformá-las a um denominador comum segue os passos abaixo:

1º passo: Determina-se o m.m.c (mínimo múltiplo comum) dos denominadores das frações dadas. O resultado obtido é o novo denominador.

m.m.c. (4, 5, 10)

m.m.c. (4, 5, 10) = 20 (denominandor comum)

2º passo: Divide-se o m.m.c encontrado pelos denominadores das frações dadas.

20 : 4 = 5; 20 : 5 = 4; 20 : 10 = 2

3º passo: Multiplica-se o quociente encontrado, em cada divisão, pelo numerador da respectiva fração. O produto é o novo numerador.

Logo, temos:

 

Multiplicação

Para multiplicar duas ou mais frações, multiplicam-se entre si os numeradores e os denominadores.

Exemplo: 

Divisão

Para dividir uma fração por outra, multiplica-se a primeira pela inversa da segunda.

Exemplo:

 

NÚMEROS PRIMOSNúmero Primo Positivo é todo aquele número que só pode ser dividido pelos números positivos 1 e  ele mesmo.Por exemplo, o número 10 não é primo, pois pode ser dividido por 1, 2, 5 e 10.O número 5 é primo, pois só pode ser dividido por 1 e por 5.Os primeiros números primos positivos são:{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37...}Curiosidade :  O único número primo positivo que é PAR é o 2. Todos os restantes são ímpares.

Obs.: A qualidade de ser primo é algo que também afeta os números negativos. Apesar de não ser algo muito utilizado nos vestibulares. Para os negativos, dizemos que um número é primo negativo quando só pode ser divido pelos números negativos -1 e ele mesmo. Ou seja, o número -3, que só pode ser dividido pelos negativos -1 por ele mesmo também é primo.

FatoraçãoO estudo de fatoração em números primos é muito importante para diversas partes da Matemática, mas principalmente para potenciação e fatoração. Por isso colocamos todos estes tópicos juntos.

O que significa fatorar? O que é um fator? Números Primos? :-)

Quando aprendemos a multiplicar (lá nas primeiras séries), também aprendemos o que é um fator.Cada parte de uma multiplicação tem seu nome:

Fatorar um número nada mais é do que achar uma multiplicação de números que resulte o número a ser fatorado. Exemplos:

Uma fatoração para 4 pode ser 2 · 2

9 = 3 · 3

32 = 16 · 2

90 = 15 · 3 · 2

Todos estes são exemplos de fatoração.

Mas o que nos interessa é a fatoração em números primos.

Fatorar em números primos é achar uma multiplicação de números primos que resulta no número que deseja-se fatorar.

Veja que os dois últimos exemplos, logo acima, não são fatoração em primos, pois 16 e 15 não são números primos. Então aquela fatoração é somente fatoração, e não fatoração em números primos.

Para fatorar um número em fatores primos utilizamos um método que foi ensinado a vocês nas primeiras séries do colégio.

Começamos escrevendo o número a fatorar com uma barra vertical ao lado:

Por isso não iremos entrar muito em detalhes. Veja os exemplos abaixo:

Com isso achamos a fatoração em primos destes números:

Número Fatoraçãoem primos

Fatoração em Primosutilizando Potências

81 3 · 3 · 3 · 3 34

126 2 · 3 · 3 · 7 2 · 32 · 7147 3 · 7 · 7 3 · 72

1365 3 · 5 · 7 · 13

Agora vamos ver a aplicação de tudo isso na potenciação e radiciação. Veja os exemplos:

Primeiro fatoramos o radicando:

Agora aplicando as propriedades de radiciação:

Portanto,

EXERCICIOS:

1. Se x e y são números reais tais que x=(0,25)0,25 e y=16−0,125, é verdade que

a) x=yb) x>yc) x⋅y=2√2d) x−y é um número irracional.e) x+y é um número racional não inteiro.

2. Seja S o conjunto dos números naturais maiores que 1 que são divisores de 360 e não possuem fatores primos em comum com 147.

Então, é CORRETO afirmar que S contém

A) 6 elementos.B) 7 elementos.C) 8 elementos.D) 9 elementos.

3. Dado que A = {x ∊ ℕ | 1 < x < 4} e B = {x ∊ ℕ | 2 < x < 20}, então A⋂B =

(A) { }

(B) {2}

(C) {3}

(D) {2,3}

(E) {3,4}

4. Dado que 1 ≤ x ≤ 4 e 13 ≤ y ≤ 20, então 

(A) o valor máximo de x/y é 20(B) o valor mínimo de x/y é 1(C) o valor máximo de x/y é 4(D) o valor máximo de x/y é 4/13(E) o valor máximo de x/y é 5

5. Dado que x é um número racional e Y um número irracional, é verdade que:

(A) x⋅Y é racional(B) Y2 é racional(C) x⋅Y pode ser racional(D) x⋅Y é irracional(E) x+Y é racional

RESPOSTA:

1.

x=(0,25)0,25=(14)1/4

y=16−0,125=16−1/8

Temos várias potências de base 2 envolvidas. Vamos usar esse fato também, em alguns

trechos:

x=(1/4)1/4=(1/2²)1/4=(2−2)1/4=2(−2)⋅(14)=2−2/4=2−1/2

y=16−1/8=(24)−1/8=24⋅(−1/8)=2−4/8=2−1/2

Temos x=2−1/2 e y=2−1/2. Logo, x = y. 

2. B3. C4. D5. C