Conjuntos numéricos

IN

Q

ZIN0

-3 -56

-12 -4

0

41

314

96

IN - Conjunto dos números Naturais

IN = {1;2;3;4;5;6…}

Z - Conjunto dos números Inteiros relativos

Z= {… -3;-2;-1;0;1;2;3;…}

Q- Conjunto dos números racionais

Q = z U { números fracionários}

Completa com os símbolos ; ; ; -1 ….. IN 1,4 ….. Z -3 …… Z- 0 …… IN 3 …… IN 4 …… Z-

IN…… Z 2,3 …… Q1

0, (3)

Resumo da matéria de 7º ano e 8º ano

A raiz quadrada permite calcular o lado de um quadrado sabendo a sua área.

´ 249A rea cm 49 7cmlado

Raiz quadrada

A raiz cúbica permite calcular a aresta de um cubo sabendo o seu volume.3343Volume cm

3 343 7cmaresta Raiz cúbica

2

Mínimo múltiplo comum (m.m.c)

1º processoM12 = {0;12;24;36;48;60…}

M30 = {0;30;60…}

m.m.c = {60}

Determina o m.m.c (12;30)2º processo12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1

12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5

m.m.c = 22 x 3 x5 = 60

Produto dos factores primos comuns e não comuns de maior expoente

3

Máximo divisor comum (m.d.c)

1º processoD12 = {1;2;3;4;6;12}

D30 = {1;2;3;5;6;10;15;30}

M.d.c (12;30)= {6}

Determina o m.d.c (12;30)2º processo12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1

12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5

M.d.c (12;30) = 2 x 3 = 6

Produto dos factores primos comuns com menor expoente

4

mmc e mdc

Texto«…de tanto em tanto…» mmc«…dividir/repartir/agrupar…» mdc

5

Na sequência:

1 , 5 , 9 , 13 , 17,…

Termo de ordem 2?1Termo de ordem 5?

Ordem 10Termo de ordem 14?

O termo geral da sequência é 4n-3.53144 3

+4

Sequências Numéricas+4

-34 , 8 , 12 , 16

+4

A ordem do termo 37? 404 3 37 104 37 3

4nn n n

6

17

Qual é a expressão geradora de todos os termos de cada uma das sequências?

5, 10, 15, 20, 25, 30, …

6, 11, 16, 21, 26, 31, …

5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, …

5n

5n+1

3n+2

Regra: somar cinco ao número anterior

Regra: somar três ao número anterior

Regra: somar cinco ao número anterior

7

Definição: Duas grandezas x e y são diretamente proporcionais se a razão entre os seus valores correspondentes, tomados pela mesma ordem, é constante.

Quando umas das grandezas é zero a outra também é zero.

A representação gráfica de uma situação de proporcionalidade direta é uma recta que passa pela origem.

A expressão analítica de uma situação de proporcionalidade direta é

onde k é a constante de proporcionalidade direta.

y xk

Proporcionalidade diretaProporcionalidade direta

8

Quando uma das grandezas é zero a outra também é zero.

2 4 6 82; 2; 2 e 21 2 3 4

Existe proporcionalidade direta, porque a razão entre as grandezas é constante.A constante de proporcionalidade direta é 2.

Não existe proporcionalidade direta, porque a razão entre as grandezas não é constante.

2,50 3,002,50 e 1,501 2

I II

xy 2 Expressão Analítica

9

I II

Representação gráfica de cada situação

Unindo os pontos obtém-se uma reta que passa pela origem.

Unindo os pontos obtém-se uma reta que não passa pela origem.

Existe proporcionalidade direta, porque a representação gráfica é uma reta que passa pela origem.

Não existe proporcionalidade direta, porque a representação gráfica não é uma reta que passa pela origem.

10

4 22

y y xx

Expressão Analítica

Percentagens 5 % de 120 chocolates são _______

5 x 120 = 6 100

6 chocolates em 50 são ___% 50------- 100% x = 6 x 100 =12% 6 -------- x 50

11

Resolução de problemas envolvendo Percentagens

1- O preço de um sofá é de 300€, sem IVA.Sabendo que o IVA é 20%, quanto é o valor, em euros, do IVA deste sofá? Qual é o preço final do sofá?20% de 300 = 300 x 20 = 60 euros 100300 + 60 = 360 O preço final do sofá é 360 euros.

2- Uma camisola custava 56 euros e a Ana que era amiga da dona da loja, comprou-a por 42 euros. Qual foi a percentagem de desconto?Euros %56 ------------------ 10042 ------------------- x x = 42 x 100 = 75% 56100 – 75% = 25% O desconto foi de 25%.

12

- mesma forma- mesma dimensão

- mesma forma- menor dimensão

- mesma forma- maior dimensão

Ampliação

Figuras Semelhantes

Redução

Geometricamente iguais

Semelhança de Figuras

Dois Polígonos são Semelhantes quando têm os ângulos geometricamente iguais e os lados correspondentes directamente proporcionais. 13

Semelhança de Figuras

medida do lado da figura final

medida do ladoRazão de Se da figura melha ininça cial

Se a razão de semelhança for:maior que 1, obtemos uma ampliação;menor que 1, obtemos uma redução;igual a 1, obtemos uma figura geometricamente

igual à original.

14

TriângulosCritérios de semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes se:

Tiverem dois ângulos geometricamente iguais (aa)

Tiverem os três lados correspondentes diretamente proporcionais (lll)

Tiverem dois lados diretamente proporcionais e o ângulo por eles formado for igual (lal)

15

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.

Aplicação dos critérios de semelhança de triângulos

Semelhança de triângulos

1. Determina a altura da árvore.

• Serão os triângulos [ABE] e [CDE] semelhantes? Sim, porque tem dois ângulos geometricamente iguais, o de 90º e o ângulo AEB.• Determinação da altura da árvore. sombra altura 5,2 = h 1,6 0,8 h = 5,2 x 0,8 1,6 h = 2,6 mA altura da árvore é de 2,6 metros.

3,6 + 1,6 = 5,2 m

Semelhança de triângulos

16

Semelhança de triângulosRelação entre perímetros e áreas de figuras semelhantes

Se dois polígonos A e B são semelhantes e a razão de semelhança de A para B é r, então:

• A razão entre os perímetros de A e B é r.

• A Razão entre as áreas de A e B é r2.

PB = r x PA

AB = r2 x AA

17

18

Classificação de Quadriláteros

Se dois ângulos têm o vértice em comum e os lados de cada um dos ângulos estiverem no prolongamento dos lados do outro ângulo, então chamam-se ângulos verticalmente opostos.

Ângulos opostos formados por duas rectas que se cruzam.

Os ângulos AOB e COD são verticalmente opostos. Os ângulos AOC e BOD também são verticalmente opostos.

ˆˆ 60ºCOA DOB

Ângulos Verticalmente Opostos

19

60º

Na figura abaixo os dois ângulos têm os lados paralelos e são ambos ângulos obtusos (a sua amplitude é maior do que 90º e menor do que 180º).

Os dois ângulos assinalados são geometricamente iguais.

Ângulos de Lados Paralelos

20

110º

110º

x=180º-110º=70º

EQUAÇÕES COM PARÊNTESES

• simplificação de expressões com parênteses:•Sinal menos antes dos parêntesesSinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses

trocando os sinais dos termos que estão dentro 53225322 xxxx

•Sinal mais antes dos parênteses:Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses mantendo os sinais que estão dentro. 15231523 xxxx

•Número antes dos parênteses:Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses, aplicando a propriedade distributiva. 22661332 xxxx

21

8625312 xxx

Como resolver uma equação com parênteses.

•Eliminar parênteses.8661512 xxx

•Agrupar os termos com incógnita.

8661152 xxx

•Efectuar as operações

312 x

•Dividir ambos os membros pelo coeficiente da incógnita

312

x

41

x •Determinar a solução, de forma simplificada.C.S =

41

22

EQUAÇÕES COM DENOMINADORES

436 33

42

21 xx

•Começamos por reduzir todos os termos ao mesmo denominador.

6 6 12 412 12 12 12

x x

6 6 12 4x x •Duas fracções com o mesmo denominador são iguais se os numeradores forem iguais.

•Podemos tirar os denominadores desde que sejam todos iguais.

12646 xx

182 x9

218

x

23

Esta fração pode ser apresentada da seguinte forma 2

32

522

23

xx

Sinal menos antes de uma fração

23523

xx •O sinal menos que se encontra antes da fração

afeta todos os termos do numerador.

1(2) (6) (3) (3)

2218

321 xx

743

743437

348234334842

xxx

xxxx

218

321 xx

•Começamos por “desdobrar” a

fração que tem o sinal menos antes.(atenção aos sinais!)

•Reduzimos ao mesmo denominador e eliminamos os denominadores.

24

EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES

•Devemos começar por eliminar os parênteses e depois os denominadores

312

2213

xxx

31

32

223

23

xxx

(3) (3) (3) (2) (2)

24399 xxx 29439 xxx

112 x 211

211

xx

C.S.=

211

25

Potências Regras operatórias das potências

•Multiplicação•Com a mesma base 2-2 x 27 = 25

•Com o mesmo expoente (-2)3 x (-7)3 = 143

•Divisão•Com a mesma base 2-2 : 27 = 2-9

•Com o mesmo expoente (-24)3 : 63 = (-4)3

•Potencia de potência (23)5 = 215

•Potencia de expoente inteiro negativo

Potencia de expoente nulo (-8)0 = 1

26

22 1 15

5 25

Notação Científica Definição: Diz-se que um número está escrito em notação cientifica se está escrito na forma de um produto de um número a entre 1 e 10 e uma potência de base 10, e escreve-se:

a x 10p , com 1≤a<10 e p um número inteiro

Escreve os seguintes números em notação cientifica 6769800 = 6,7698 x 106

0,0000008 = 8 x 10-7 0,0253 x 10-3 = 2,53 x 10-2 x 10-3 = 2,53 x 10-5 76,9 x 105 = 7,69 x 101 x 105 = 7,69 x 106

27

Funções

Definição: Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos em que a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada.

Formas de definir uma função:•Por um diagrama•Por uma tabela•Por uma expressão analítica•Por um gráfico

28

Funções definidas por um diagrama

Ex. Não são funçõesEx. Funções

1234

-1-2-3

1

2

-1

2

123

-1-7-2-4-3

A B

Df = {1;2,3}

D’f = {-1;-2,-3}

Objetos: 1;2,3

Imagens: -1;-2;-3

A – Conjunto de Partida

B – Conjunto de chegada

f ( 2 ) = -2

f ( x ) = -x

f

29

Noção de Função. Teste da reta vertical

x

y

Não representa um gráfico de uma função

Representa o gráfico de uma função.

x

y

30

Funções definidas por uma Tabela

Dg = {1;2,3;4}

D’g = {4;8;12;16}

Objectos: 1;2,3;4

Imagens: 4;8;12;16

Variável independente: Lado do quadrado

Variável dependente: Perímetro do quadrado

g ( 2 ) = 8

g (x) = 4x

Seja a função g definida pela tabela seguinte

Lado de um quadrado (L) 1 2 3 4Perímetro do quadrado (P) 4 8 12 16

31

Funções definidas por uma expressão analítica

Seja a função h definida pela seguinte expressão analítica

h(x) = 2x -1•Calcular a imagem sendo dado o objecto

h(3) = 2x3 - 1 h(3) = 5

•Calcular o objecto sendo dada a imagem h(x) = 15 2x – 1 = 15 2x = 15 + 1 2x = 16 x = 8

(3;5) e (8;15) pertencem à recta que é gráfico da função h.

32

Funções definidas por um gráfico

•Variável independente: Peso•Variável dependente: Custo•j( … ) = 12•j(1) = …..•Tipo de função: Linear•Expressão analítica: j(x) = 6x

33

Uma Função Afim é uma função do tipo

y ax b

O gráfico de uma função afim é uma reta não vertical.

5 3 21 0

B A

B A

y yax x

2 y x b

A a chamamos o declive da reta e b é a ordenada na origem.

30,A 51,B

3 02 b 30,A

3 b2 3 y x

34

qualitativos

Representam a informação que não suscetível de ser medida, mas de ser classificada.

Exemplos:

-Cor dos olhos dos alunos de uma turma . Podem ser castanhos, azuis ou verdes.

Representam a informação que pode ser medida, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem ser de natureza discreta ou contínua.

Exemplo

quantitativos

Notas de Matemática, do 7ºF, no final do 2º período.

Exemplo

Altura dos jogadores da equipa de futebol do FCP.

Estatística – Recolha de dados

Tipo de dados

35

Frequência absoluta (f)

Frequência relativa (fr)

Fr em percentagem

6 %11 %11 %39 %16 %11 %

X 100%

1 : 18 = 0,062 : 18 = 0,112 : 18 = 0,117 : 18 = 0,393 : 18 = 0,16

1,00

3637383940

Total

4142

12273

18

21

2 : 18 = 0,111 : 18 = 0,06 6 %

100 %

Estatística - Tabelas de frequências

Número do sapato

36

Estatística - Gráficos de barras

Número do sapato dos alunos de uma turma

12 2

7

32

1

02468

36 37 38 39 40 41 42nº do sapato

freq

uenc

ia a

bsolu

ta

37

Pictograma= 1 alunoEstatística - Pictograma

38

Estatística - Gráficos circularesFrequência absoluta (f) Graus

20º40º40º

140º60º

360º

x

18 3601

36018 x x 20º36

37383940

Total

4142

12273

18

21

40º20º

x

18 3602

360x218 x x 40º720

18 x

x

18 3607

360x718 x x 140º2520

18 x

x

18 3603

360x318 x x 60º1080

18 x

39

Estatística – Medidas de tendência central

Frequência absoluta (f)

36 137 238 239 740 341 242 1Total 18

36 1 +37 2 +38 2 +39 7 +40 3+41 2+42 1 18

X

36 +74 +76 +273 +120+82+42 18

X

70318

X 39,1X

A média do número do sapato dos alunos é 39,1

40

A média (ou média aritmética) de um conjunto de valores é o quociente entre a soma de todos os valores e o número total de elementos. A média representa-se por .

X

Estatística – Medidas de tendência centralFrequência absoluta (f)

36 137 238 239 740 341 242 1Total 18

Moda - É o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos.Neste caso a moda é 39.Mediana - Ordenados os elementos, a mediana é o valor que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana.

36;37;37;38;38;39;39;39;39;39;39;39;40;40;40;41;41;42

(39 + 39) : 2 = 39

41

Tabela de frequênciasClasses

(Altura dos alunos)

N.º de alunos

[145,151[ 5[151,157[ 3[157,163[ 3[163,169[ 4[169,175[ 8

Total 23

Para organizar estes dados vamos agrupá-los em classes. Tendo em conta o menor e o maior valor da tabela e que cada classe tem que ter a mesma amplitude, ou seja, a diferença entre o extremo superior e o extremo inferior da classe.

Na 1.ª classe estão incluídas as alturas maiores ou iguais a 145 e menores do que 151.

.

145 151 147 167 175 174 153 167 173 162 169 171158 149 170 167 168 175 174 157 149 150 156

42

Os gráficos das distribuições usando dados contínuos têm um aspecto diferente dos gráficos de barras das distribuições de dados discretos. Neste caso chamam-se histogramas.

Histograma é um gráfico de barras formado por um conjunto de rectângulos adjacentes (colados), tendo cada um deles por base um intervalo de classe e por altura a respectiva frequência.

Histograma

43

Polígono de frequências

Se num histograma unires por segmentos de recta os pontos médios dos lados superiores de cada rectângulo do histograma, como se fez em baixo, obténs uma outra forma de apresentar a distribuição, que se chama polígono de frequências.

Nota: Para obtermos os pontos nos extremos da linha poligonal, devemos imaginar que existe uma classe com a mesma amplitude das restantes e frequência zero, determinar o ponto médio desta classe e uni-lo aos restantes.

44

3 55 0 7 9 96 3 67 1 3 5 8 98 2 3 69 4

Esta representação chama-se diagrama de caule-e-folhas. O caule é a coluna com os números 3, 5, 6, 7, 8 e 9 que representam o algarismo das dezenas e as folhas que representam o algarismo das unidades de cada um dos dados.

Pode-se organizar este conjunto de dados utilizando uma representação gráfica do tipo seguinte:

35, 78, 50, 63, 86, 73, 57, 82, 59, 75, 66, 79, 83, 71,

94, 59

45

Os quartis são valores da variável que dividem a distribuição em 4 partes iguais, cada uma delas com 25% dos dados totais ordenados.

1.º Quartil 3.º Quartil2.º Quartil

Diagrama de Extremos e Quartis

46

A amplitude e a amplitude interquartis são medidas indicadas para estudar a dispersão dos dados.

A amplitude é a diferença entre o máximo e o mínimo do conjunto de dados (os extremos).

Amplitude e Amplitude Interquartis

Amplitude = máximo mínimo

A amplitude interquartis é a diferença entre o 3.º quartil e o 1.º quartil.

Amplitude interquartis= Q3 Q1

47

Propriedades das isometrias: uma isometria conserva as medidas dos lados e as amplitudes dos ângulos.

Translação

Rotação

ReflexãoReflexão deslizan

te 48