Conjuntos operações com conjuntos- etc - fevereiro 2010 - parte -04 de 04

CONJUNTOS e

CONJUNTOS NUMÉRICOS

MATEMÁTICA

Prof. Mário Hanada

FEVEREIRO - 2010

http://professormariohanada.blogspot.com

PARTE - 04/04

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Ideia de intervalos entre dois números reais

Como podemos representar geometricamente todos os números reais entre 0 e 2 ?

CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IRINTERVALOS

0 2

Localizemos os seguintes números reais na reta real: 12

1

1

2

3

4

3

4

515,0 15,1 99,1 04,0 6543545,0 78,0

85,0 748102,1 2 E se continuarmos enumerando todos os números reais entre 0 e 2…..?

Os números reais 0 e 2 estão excluídos da questão. Logo a representação é uma “bolinha” vazia para cada um deles.

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CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IRINTERVALOS

Na questão anterior, como podemos representar não geometricamente, mas por uma propriedade

característica, todos os números reais entre 0 e 2 ?

0 2

Representação:

( )2,0 ou { }20/ <<∈ xIRx ou ] [2,0

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CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IRINTERVALOS REAIS

Então podemos representar rapidamente um intervalo real

Representar geometricamente e também por uma propriedade todos os números reais entre -3 e 1/2, incluindo o 1/2.

Exemplo:

3− 2/1

Representação por uma propriedade característica:

ou ou

−

2

1,3

≤<−∈

2

13/ xIRx

−

2

1;3

Então vamos agora estudar : INTERVALOS REAIS

geometricamente:

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a) Intervalo ABERTO de extremos a e b

a b

Considere dois números reais a e b, com ba <

Representação: ( )ba, ou { }bxaIRx <<∈ / ou ] [ba,

Exemplo:

2 5

Representação:

( )5,2 ou { }52/ <<∈ xIRx ou ] [5,2

Intervalo ABERTO de extremos 2 e 5.

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b) Intervalo FECHADO de extremos a e b.

a b


Representação: ou

Exemplo: 24

2 5

Representação: ou

Intervalo FECHADO de extremos 2 e 5.

{ }bxaIRx ≤≤∈ / [ ]ba,

{ }52/ ≤≤∈ xIRx [ ]5,2Prof. Mário Hanada


c) Intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de extremos a e b.

a b


Representação: ou

Exemplo:

2− 3

Representação: ou

Intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de extremos -2 e 3.

{ }bxaIRx <≤∈ /

{ }32/ <≤−∈ xIRx

[ [ba,

[ [3,2−Prof. Mário Hanada


d) Intervalo fechado à direita ou (aberto à esquerda) de extremos a e b.

a b


Representação:

=

Exemplo:

Representação: =

Intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de extremos e

( ]ba, { }bxaIRx ≤<∈ / ] ]ba,=

2− .2

2− 2

{ }22/ ≤<−∈ xIRx ] ]2;2−Prof. Mário Hanada


e) Intervalo fechado de extremo inferior a

a

Considere um número real a

Representação: =

Exemplo: k é um número real maior ou igual a

=

7

7

INTERVALO INFINITO

ou, mais infinito e fechado em a :

[ )+∞,a { }axIRx ≥∈ / [ [+∞,a

Representação: ==[ )+∞,7 { }7/ ≥∈ kIRk [ [+∞,7

ou Semi-reta direita, fechada, de origem a

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f) Intervalo aberto de extremo inferior a

a


Representação:

=

Exemplo: Intervalo incomensurável aberto a esquerda em

=

7

7

INTERVALO INFINITO

ou, mais infinito e aberto em a :

{ }axIRx >∈ /

Representação: == { }7/ >∈ xIRx

( )+∞,a ] [+∞,a

( )+∞,7 ] [+∞,7

ou Semi-reta direita, aberta, de origem a

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g) Intervalo fechado de extremo superior a

a

Considere um número real m

Representação:

=

Exemplo: Intervalo fechado de extremo superior

=

5−

5−

INTERVALO INFINITO

ou, menos infinito e fechado em a :

Representação: ==

( ]a,∞− { }amIRm ≤∈ / ] ]a,∞−

( ]5,−∞− { }5/ −≤∈ xIRx ] ]5,−∞−

ou Semi-reta esquerda, fechada, de origem a

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h) Intervalo aberto de extremo superior a

a


Representação: =

Exemplo: um número real negativo

=

x

0

INTERVALO INFINITO

ou, menos infinito e aberto em a :

Representação:

==

{ }axIRx <∈ /

{ }0/ <∈ xIRx

( )a,∞− ] [a,∞−

( )0,∞− ] [0,∞−

ou Semi-reta esquerda, aberta, de origem a

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Vamos estudar agora as OPERAÇÕES COM CONJUNTOS que serão muito utilizados ao longos desses próximos 3 anos no ENSINO MÉDIO.

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CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IROperações com INTERVALOS

Determine:

Dados:

e{ }11/ <<−∈= xIRxA [ ]5,0=B

a) BA∩

BA∪

BA−

AB −

CA

Bb)

c)

d)

e)

Exemplo:

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Resolução :

Dados:

e{ }11/ <<−∈= xIRxA [ ]5,0=Ba) BA∩

1− 1

0 5B

A

ATENÇÃO!!! Coloque os números -1, 1, 0 e 5 em ordem nas retas

1− 0 1 5

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Resolução :

Dados:

e{ }11/ <<−∈= xIRxA [ ]5,0=Ba) BA∩

1

0 5B

A1−

BA∩

Resposta do item a): ou{ }10/ <≤∈ xIRx

[ [1,0=∩ BA

=∩ BA ou =∩ BA [ )1,0Prof. Mário Hanada


Resolução :

Dados:

e{ }11/ <<−∈= xIRxA [ ]5,0=Bb)

1

0 5B

A1−

Resposta do item b): ou

ou

BA∪

BA∪

( ]5,1−

{ }51/ ≤<−∈ xIRx

] ]5,1−=∪BA

=∪ BA

=∪BAProf. Mário Hanada


Resolução :

Dados:

e{ }11/ <<−∈= xIRxA [ ]5,0=Bc)

1

0 5B

A1−

Resposta do item c): ou

ou

BA−

BA−

{ }01/ <<−∈ xIRx

=− BA

=− BA

=− BA

1− 0 1 5

( )0,1−] [0,1−Prof. Mário Hanada


Resolução :

Dados:

e{ }11/ <<−∈= xIRxA [ ]5,0=Bd)

1

0 5B

A1−

Resposta do item d): ou

AB −

AB −

=− AB

=− AB1− 0 1 5

{ }51/ ≤≤∈ xIRx

[ ]5,1Prof. Mário Hanada


Resolução :

Dados:

e{ }11/ <<−∈= xIRxA [ ]5,0=B

e) CA

B

Resposta do item d):

Não se define, pois CA

BBA⊄

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