Construção e Análise de Gráficos

Uma das maneiras mais simples de representar uma relação entre grandezas é através de gráficos. Um gráfico consiste em representar os valores de duas variáveis (grandezas) pela posição de um único ponto em relação a um sistema de coordenadas, onde a distância do ponto ao eixo indica o valor da grandeza. Ao representar um par de valores simultaneamente, tem-se uma ideia global da dependência de uma variável com relação à outra.

Em laboratório, ou sempre que for necessário o levantamento de dados interdependentes, a melhor forma de organizar os dados é através de tabelas. No entanto, apesar de oferecer muito mais precisão em valores individuais, a apresentação de dados através de tabelas torna difícil a visão global do fenômeno. O gráfico oferece uma visão de conjunto, permitindo uma visualização imediata de comportamentos, porém a precisão de representação de cada valor é bem menor do que na tabela.

Com o intuito de obter o máximo de informação possível do conjunto de dados obtidos, indo além da simples visualização de comportamentos, além da apresentação gráfica dos dados é necessária uma determinação quantitativa da relação entre variáveis. Para atingir esse objetivo é importante seguir uma metodologia bem definida, a qual é resultado de anos de desenvolvimento pela comunidade científica e tecnológica.

1. Procedimento para construção de gráficos

Em geral, gráficos são traçados em papéis destinados a esse fim: papel milimetrado (para escalas lineares), papel monolog (quando uma escala é linear e a outra logarítmica) e papel dilog ou log-log (quando as duas escalas são logarítmicas).

Tendo-se em mãos o papel adequado, as etapas de construção do gráfico são: Definição do tamanho: para uma melhor visualização do gráfico e percepção de comportamentos, sugere-se o uso do maior espaço disponível possível, lembrando que eixos e grandezas, devidamente acompanhadas das unidades, devem estar contidos dentro do espaço definido; Construção dos eixos: os eixos são completamente independentes entre si e, por mais óbvio que possa parecer, devem ser perpendiculares entre si, sendo seus comprimentos definidos pelo espaço reservado para o gráfico. Cada eixo consiste de uma reta com marcações numeradas ao longo de seu comprimento e é terminado por uma flecha, a qual indica que os valores possíveis para aquele eixo não se restringem aos representados. Definição das grandezas: A escolha das grandezas a serem representadas depende de cada indivíduo, porém, normalmente, a grandeza independente é representada no eixo horizontal, enquanto que a grandeza dependente representa-se no eixo vertical. É indispensável a indicação da unidade, ao lado da grandeza e entre parênteses, associada à grandeza representada. Marcas e numeração: A não ser que haja uma coincidência muito grande, os valores originais da tabela não são representados, ou marcados, diretamente no gráfico. Todos os pares de valores da tabela devem constar do gráfico e sua obtenção deve ser fácil. Por isso

divide-se o eixo em espaçamentos iguais, que representam intervalos de valores constantes, distribuídos de forma que fiquem suficientemente espaçados para facilitar sua leitura. Os números usados sob cada marca devem ter poucos algarismos e ser convenientes de trabalhar. Marcação dos pontos da tabela: após o desenho dos eixos deve-se colocar os pontos experimentais no gráfico. Para isso é necessário saber a distância em milímetros no papel entre um ponto e cada eixo. Essa distância é calculada fazendo-se uma regra de três:

valor do intervalo da tabela – valor do intervalo em milímetros valor tabelado – X (posição do ponto no papel)

A fim de exemplificar a aplicação das regras acima, usaremos a tabela apresentada abaixo, a qual representa o resultado de um experimento para a determinação da densidade de um material. Mediu-se a massa m e o volume V do material de diferentes objetos constituídos do mesmo material. No caso da massa, os valores extremos da tabela são 10 g e 50 g, portanto o eixo do gráfico tem que cobrir esta faixa de valores. O próximo passo é escolher a origem do eixo, isto é, o ponto onde ele intercepta o outro eixo do gráfico. É interessante, apesar de não ser necessário, escolher a origem como sendo o zero. Assim, a faixa de valores se estende de 0 a 50 g. Note que a escolha de marcas está ligada à numeração e que os valores dos eixos não são, em geral, os valores da tabela. Note, também, que além das marcas definirem uma distância constante, elas também representam intervalos de valores constantes.

Tabela 1: medidas de massa e volume para determinação da densidade.

m (g) V (cm3)10 5122 10828 15542 20550 245

Fig. 1 Gráfico dos pontos da tabela 1.

Após o desenho dos eixos, deve-se colocar os pontos experimentais no gráfico. Para isso é necessário saber a distância em milímetros no papel entre um ponto e cada eixo. Tomando como exemplo o caso acima, vê-se que a diferença de massa entre dois números consecutivos é de 10 g e a separação do papel entre marcas consecutivas é 1,2 cm. Para o ponto de massa 28 g da tabela 1, a proporção é dada por:

10 g → 1,2 cm

28 g → x

Então, o ponto 28 g deve se localizar a do eixo y.

Algumas normas adicionais de construção de gráficos que devem ser seguidas:

• não se escrevem os valores da tabela original no gráfico;• não se traçam linhas paralelas aos eixos. Se isso for indispensável para a marcação dos pontos no papel, elas devem ser apagadas após o término do trabalho;• não se ligam os pontos. Somente podem ser traçadas retas, ou curvas, com significado bem definido, como por exemplo funções ajustadas aos dados.

Olhando a distribuição dos pontos no gráfico, a fim de verificar a dependência entre as grandezas, podemos facilmente visualizar uma linha reta, o que está de acordo com o esperado, já que a relação entre a massa e o volume é linear. A partir disso, é possível fazer uma análise quantitativa dos dados. O método analítico de determinação da reta que usaremos, é o que também chamamos de Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), o qual é, atualmente, o método padrão de determinação da melhor reta para descrever um conjunto de dados.

Este método exige uma grande quantidade de cálculos porém, em comparação ao método gráfico, tem a vantagem de ser objetivo, o que significa que seu resultado independe unicamente dos dados e será sempre o mesmo independentemente de quem o aplique.

O Método dos Mínimos Quadrados determina a reta que minimiza os quadrados das distâncias dos pontos a ela. As expressões dos coeficientes angular ( ) e linear ( ) são:

e .

Na expressão acima o coeficiente angular é dado de duas formas equivalentes. A escolha entre uma e outra dependerá do usuário.

Tabela 2: Exemplo de cálculo utilizando o MMQ, sobre os dados da Tabela 1.

pontos1 10 51 100 5102 22 108 484 23763 28 155 784 43404 42 205 1764 86105 50 245 2500 12250

5N

Com esses dados obtemos:

e

A equação da reta é . Substituindo as grandezas correspondentes a cada eixo e os valores dos coeficientes obtidos, temos:

É importante agora traçar a reta determinada pelo MMQ, pois isso facilita a avaliação da qualidade do ajuste, e também permite perceber erros nas operações acima, se a reta calculada estiver visivelmente longe dos pontos experimentais. Para traçar essa reta é preciso determinar dois pontos por onde ela passa. Isso é feito com o auxílio da equação da reta obtida, escolhendo-se dois valores diferentes para , desde que diferentes de qualquer

experimental. Esses valores são substituídos na equação da reta para obter seus valores correspondentes no eixo .

OBS. IMPORTANTE: Esse método só pode ser aplicado em RETAS!

Referências Bibliográficas

1. Apostila de Física Experimental I, W. Soares et alli, Depto. Física, UFPR, Curitiba (2006).

2. Introdução ao Laboratório de Física, J. Piacentini et alli, Ed. UFSC, Florianópolis (1998).