Construção Geométrica de PHI

8/17/2019 Construção Geométrica de PHI

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Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 1)

Há diversas construções geométricas utilizando circunferências onde podemos encontrar a constante Φ(PHI), ou o nmero de ouro!"e#am três circunferências de di$metros iguais a %, cu#os centros s&o colineares e tangentes entre si duas aduas! 'emonstraremos ue o segmento BE = CD = Φ!

'a figura acima, temos ue no tri$ngulo ABC , os segmentos AB % e AC *! +ogo, o segmento BC serádado pelo teorema pitagrico-

Por simetria, temos ue os segmentos BD e EC s&o iguais-

'a mesma forma, temos ue os segmentos BE e CD s&o iguais e-

.sta simples e elegante construç&o geométrica de como e/pressar Φ foi ela0orada por 1engt .ri2.rlandsem em *334!5utra forma de provar ue o segmento BE Φ foi sugerida pelo Professor Paulo do 0log 6atos7atemáticos, como segue a0ai/o-8omo o segmento BC 9: e de BD ; DE DE + CE segue ue BD = CE


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.sta é uma construç&o com três circunferências concêntricas, cu#os raios est&o numa proporç&o de % - * -=, onde podemos encontrar a raz&o áurea-

"e#am três circunferências concêntricas de raios %, * e =! >raçar uma tangente ? circunferência menorem C , marcando os pontos A e B na circunferência de raio * e Dna circunferência e/terna!

< raz&o entre os segmentos AD e AB é PHI e pode ser provada da seguinte forma- @o tri$ngulo OCB, ret$ngulo em C , aplicamos o teorema pitagrico-

.nt&o o segmento AC medirá-

e

@o tri$ngulo OCD, analogamente, encontramos a medida do segmento CD-

+ogo, o segmento AD medirá-

< raz&o entre os segmentos AD e AB-

.sta construç&o foi desenvolvida por "am Autler e apresentada por "teve +autizar!

http://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TYYMUD1WKOI/AAAAAAAAMGg/LEOwX2Bu0F8/s1600-h/clip_image012%5B3%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TYYMaBwyQZI/AAAAAAAAMHI/sMfmOsDme8A/s1600-h/clip_image022%5B2%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TYYMZH-GxLI/AAAAAAAAMHA/fJ_d_8IMxSk/s1600-h/clip_image020%5B2%5D.gifhttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TYYXmMp0cPI/AAAAAAAAMG4/1pklgqT5pMU/s1600-h/clip_image018%5B2%5D.gifhttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TYYMWe-3TtI/AAAAAAAAMGw/KSVJRzE0eL8/s1600-h/clip_image016%5B2%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TYYMVLhWxkI/AAAAAAAAMGo/l585MoAHsRk/s1600-h/clip_image014%5B2%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TYYMUD1WKOI/AAAAAAAAMGg/LEOwX2Bu0F8/s1600-h/clip_image012%5B3%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TYYMS3jPzXI/AAAAAAAAMGY/8TAPa3K-JBo/s1600-h/clip_image010%5B4%5D.gifhttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TYYMRldi8bI/AAAAAAAAMGQ/sjE0jDg6Q8w/s1600-h/clip_image008%5B4%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TYYMQXeMSXI/AAAAAAAAMGI/LHFBwUMjKTk/s1600-h/clip_image006%5B2%5D.gifhttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TYYWTp6t-dI/AAAAAAAAMGA/hvnhaWVdX2U/s1600-h/image%5B6%5D.pnghttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TYYWRwABVjI/AAAAAAAAMF4/yyDRULlD0EI/s1600-h/clip_image002%5B2%5D.gif


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.sta construç&o se dá com a circunferência circunscrita a um tri$ngulo eBilátero! >omando os pontosmédios de dois lados do tri$ngulo, unimos esses pontos por um segmento de reta prolongandoCo até aintersecç&o com a circunferência! < raz&o entre os segmentos AC e AB é PHI!

D6igura %E"endo a os lados do tri$ngulo eBilátero inscrito ? circunferência, temos ue encontrar as medidas dossegmentos AC e AB!8onsiderando a figura a0ai/o, notem ue, se DF = a, logo-

D6igura *E

http://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TYyx4OYNZ7I/AAAAAAAAMi4/lsRy9rfgUAc/s1600-h/image4%5B2%5D.pnghttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TYyx13Sy5GI/AAAAAAAAMio/VOCywny62Ig/s1600-h/image%5B2%5D.png


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Famos determinar primeiramente a medida da altura MF do tri$ngulo-

Fe#a ue DE = DJ + JL + LE = a e ue JL = AB = a G *! +ogo, o segmento DJ é igual-

Famos determinar a medida de AJ -

emos ue

"implificando, o0temos-

5 segmento AC = AG + GC ! "a0emos ue AG a G =, logo-

< az&o Jurea nesta construç&o é dada por-

Fe#a ue esta construç&o desenvolvida por Keorge 5dom e pu0licada no


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.sta é uma construç&o de com so0reposiç&o de circunferências! 'uas circunferências concêntricas deraios r e *r so0repõemCse a outras duas circunferências concêntricas idênticas, de tal modo ue o centrodas duas primeiras se#a um ponto da circunferência menor da segunda! nindo com um segmento de retaos pontos de intersecç&o entre as duas circunferências menores e prolongandoCa até o ponto de

intersecç&o das circunferências maiores, o0temos ue a raz&o entre AC e AB é a raz&o áurea, o0tendoPHI!

D6igura %E5 pro0lema se resume em determinar as medidas dos segmentos AC e AB! Para isso, considere a figuraa0ai/o-

D6igura *E

http://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TZi4yplkOVI/AAAAAAAAMd4/RC2dV6MYaQA/s1600-h/image4%5B4%5D.pnghttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TaEMrDYxBII/AAAAAAAAMdw/_CCzNK_Q0ak/s1600-h/image%5B2%5D.png


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Famos determinar primeiramente o comprimento do segmento DB = AD! 8onsidere o tri$nguloret$ngulo O* BD! Pelo teorema pitagrico, temos ue-

Para determinarmos o comprimento do segmento DC , aplicamos o teorema pitagrico no tri$ngulo O*8'-

5 comprimento AC é dado por-

< raz&o áurea é dada por-

.sta construç&o foi desenvolvida por Aurt Hofstetter em *33* e pu0licada no 6orum Keometricorum,volume * em *33*!

http://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TZi5CenOfzI/AAAAAAAAMfQ/Ih5ICPYtFNI/s1600-h/clip_image026%5B2%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TZi5BKm8L1I/AAAAAAAAMfI/9kjJRT5XzU4/s1600-h/clip_image024%5B2%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TZi4_1Xs9mI/AAAAAAAAMfA/GyBTHLFI8cw/s1600-h/clip_image022%5B2%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TZi49zFkWZI/AAAAAAAAMe4/X76-xsIPAoo/s1600-h/clip_image020%5B2%5D.gifhttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TZi48kaUzbI/AAAAAAAAMew/AEQtUyYnFKU/s1600-h/clip_image018%5B4%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TZi47O5s5rI/AAAAAAAAMeo/fGBl9clqHlA/s1600-h/clip_image016%5B2%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TZi450W4dZI/AAAAAAAAMeg/OTbjWtq4kcE/s1600-h/clip_image014%5B2%5D.gifhttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TZi44lEfzvI/AAAAAAAAMeY/AF0R2wa6lGE/s1600-h/clip_image012%5B2%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TZi43qcpmnI/AAAAAAAAMeQ/0wmK4av_hKc/s1600-h/clip_image010%5B2%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TZi42dLaojI/AAAAAAAAMeI/Klsrdz80Lc4/s1600-h/clip_image008%5B2%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TZi405Ax3aI/AAAAAAAAMeA/VH6QgaP0KjA/s1600-h/clip_image006%5B2%5D.gif


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.sta talvez se#a a construç&o mais conLecida da az&o Jurea e consiste em inscrever um uadrado numasemicircunferência! < raz&o entre os segmentos AC e AB é a az&o Jurea!

8omo #á temos o segmento AB, vamos escrever o segmento AC em funç&o de AB! 8omo ouadrilátero ABDE é um uadrado por construç&o, temos ue AB = BD! Pelo teorema pitagrico, temosue-

Fe#am ue o segmento AC OC + AO! 'esta forma temos-

http://lh3.ggpht.com/-PKgW7DcZlyw/UA8wfHGzJsI/AAAAAAAAUNI/J1EpnSxyKJA/s1600-h/clip_image002%25255B3%25255D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TahtgiotEXI/AAAAAAAAMiY/gdJnN_6geBk/s1600-h/clip_image014%5B3%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TahtfpqK2YI/AAAAAAAAMiQ/phvtrorr-Ko/s1600-h/clip_image012%5B3%5D.gifhttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TahteSLB8dI/AAAAAAAAMiI/R_MwDzWXUPc/s1600-h/clip_image010%5B3%5D.gifhttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TahtdQIE0wI/AAAAAAAAMiA/PCweE_n1Tg0/s1600-h/clip_image008%5B3%5D.gifhttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Tahtc1YXS-I/AAAAAAAAMh4/V6U4OV8OrSk/s1600-h/clip_image006%5B3%5D.gifhttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TahtcE5eZjI/AAAAAAAAMhw/JbeBjiEyxpE/s1600-h/clip_image004%5B3%5D.gifhttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/TahtbXSQPoI/AAAAAAAAMho/hopaHZnq8Q8/s1600-h/clip_image002%5B3%5D.gifhttp://1.bp.blogspot.com/-CHQiCsFIQ7I/TahsgfK8VtI/AAAAAAAAMhk/rV10CpseVOw/s1600/Figura1.jpg


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.sta construç&o geométrica de PHI foi ela0orada por Aurt Hofsteller, em : passos utilizando apenas réguae compasso!

D6igura %EConstrução

%) 'escreva uma circunferência C % de raio AB com centro em AR*) 'escreva uma circunferência C * de raio AB com centro em B! 7arue as intersecçõescom C % como C e DR) 'escreva a circunferência C de raio AB com centro em C ! 7arue a intersecç&o com C % como E R=) >race o segmento CD e marue como F a intersecç&o com C !:) 'escreva a circunferência C = de raio EF com centro em E e marue a intersecç&o com AB como G!5 ponto G divide o segmento AB na raz&o áurea!Pro!a

Por construç&o, o tri$ngulo ABC é eBilátero com lado igual a AB e sua altura IC é dada por-

8omo AC AB, temos-Por construç&o, o ponto E está na mesma paralela de C em relaç&o ? HI ! +ogo, HE = IC -


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Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte ")

.sta construç&o foi ela0orada por 7icLael 1ataille e pu0licada no Forum Geometricorum em *3%%!"e#a um tri$ngulo euilátero ABC , onde em um de seus lados, e/ternamente, construa um uadrado, cu#oslados tam0ém ser&o de comprimento AB! 8om centro em C , descreva uma circunferência de raio CE emarue como F a intersecç&o com prolongamento de AB! 5 ponto B divide o segmento AF na raz&o

áurea!

Para demonstrarmos esta construç&o, vamos tomar como unidade de medida o segmento AB!

< altura do tri$ngulo euilátero é dada por h e divide o segmento AB em H dividindoCo partes iguais!Famos determinar o segmento CH em funç&o de AB!


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Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte #)

.sta construç&o foi ela0orada por So @iemeMr e pu0licada no Forum Geometricorum, volume %% de *3%%!

%) Para esta construç&o, inicie com uma circunferência de dentro ' e di$metro AB!*) >race uma reta tangente ao ponto A, prolongandoCa!) 'escreva uma circunferência de dentro D e raio AB e centro marue o ponto C na intersecç&o com areta tangente!=) na os pontos CD e marue como F a intersecç&o com a primeira circunferência! Fe#am ue ossegmentos AB e CD tem mesmo comprimento!:) 8om centro em F e raio AB descreva uma circunferência interceptando a reta tangente em E.4) Fe#am ue o segmento EF tem o mesmo comprimento dos segmentos AB e CD!5 ponto C divide o segmento AE na raz&o áurea!$emonstração

Primeiramente vamos demonstrar ue os pontos G e H dividem em partes iguais os segmentos AC e AD,

respectivamente!8omo os segmentos AB e CD tem mesmo comprimento, temos ue CD = * AD e FD = AD!


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Construção Geométrica de PHI

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