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  • DEPARTAMENTO DE MATEMTICA E ENGENHARIAS

    Construes dos Nmeros Reais

    Paula Cristina Reis Lopes

    Orientador: Professor Doutor Jos Francisco da Silva C. Rodrigues

    Dissertao para a obteno do grau de Mestre em Ma temtica Especializao em Matemtica para o Ensino

    Funchal Madeira

    Junho de 2006

  • ii

  • Resumo

    Neste trabalho estudamos vrias construes do sistema dos nmeros reais. Antes

    porm, comeamos por abordar a evoluo do conceito de nmero, destacando trs

    diferentes aspectos da evoluo do conceito de nmero real.

    Relacionado com este tema, dedicamos dois captulos, deste trabalho, apresentao

    das teorias que consideramos assumir maior importncia, nomeadamente: a construo

    do sistema dos nmeros reais por cortes na recta ou seces no conjunto dos nmeros

    racionais, avanada por Dedekind, e a construo do nmero real como classe de

    equivalncia de sucesses fundamentais de nmeros racionais, ideia protagonizada por

    Cantor.

    Posteriormente, e de uma forma mais sintetizada do que nas anteriores, apresentamos

    outras construes, onde procuramos clarificar a ideia fundamental subjacente ao conceito

    de nmero real. Finalmente utilizamos o mtodo axiomtico com o intuito de mostrar

    a unicidade do sistema dos nmeros reais, isto , concluir finalmente que existe um corpo

    completo e ordenado, e apenas um a menos de um isomorfismo, do conjunto dos nmeros

    reais.

    Palavras Chave

    Nmeros Reais; Construo dos Nmeros Irracionais; Aritmetizao da Anlise;

    Axiomatizao dos Reais; Didctica dos Nmeros Reais; Histria dos Nmeros Reais.

    iii

  • Abstract

    In this work we study some constructions of the system of the real numbers. First,

    we describe an approach to the evolution of the number concept, detaching three different

    fields of the construction of the concept of real number.

    Related with this subject, we dedicate two chapters, of this work, to the presentation

    of the theories that we consider to be more important, namely: the construction of the

    system of the real numbers with cuts in the line or sections in the set of the rational

    numbers, due to Dedekind, and the construction of the real number as an equivalence

    class of fundamental sequences of rational numbers, idea carried out by Cantor.

    Later, and in a more condensate form, we present other constructions, where we try

    to clarify the underlying basic idea of the concept of real number. Finally we describe

    the axiomatic method and we show the uniqueness of the system of the real numbers,

    that is, we conclude finally that there exists one complete and ordered field and, up to

    isomorphism, only one, the set of the real numbers.

    Key Words

    Real Numbers; Construction of Irrational Numbers; Arithmetization of Analysis;

    Axiomatization of Reals; Didactic of Real Numbers; History of Real Numbers.

    v

  • Agradecimentos

    Ao meu orientador, Professor Doutor Jos Francisco da Silva Costa Rodrigues, pelas

    criteriosas sugestes e pistas, que foram fontes primrias, fundamentais na minha inves-

    tigao.

    Universidade da Madeira, nomeadamente ao Departamento de Matemtica e

    Engenharias, pelas condies de trabalho que me proporcionou e pelo apoio logstico

    prestado.

    minha amiga, Dr.a Snia Correia Martins, pela ajuda, pelo empenho, pelo nimo

    que me transmitiu, pela amizade que perdura, um obrigado especial.

    Aos colegas de Departamento de Matemtica e Engenharias, em especial ao Dr. Jorge

    Nlio Ferreira e ao Dr. Maurcio Reis por me tirarem de apuros informticos com simpatia

    e disponibilidade.

    minha famlia, em especial, minha me, Ana Azevedo, ao Duarte Azevedo e ao meu

    marido, Hugo Pereira por tudo o que fizeram para que eu pudesse realizar um sonho, pela

    pacincia demonstrada, pelo apoio, tendo sempre palavras de amizade, nimo e incentivo.

    A todos os meus alunos pela compreenso e incentivo nos momentos em que o cansao

    era evidente.

    Finalmente agradeo a todos os meus amigos, que apesar de no lhes ter dado a devida

    ateno, continuaram presentes e com palavras amigas.

    vii

  • viii

  • ndice

    1 Introduo 1

    1.1 Das Quantidades aos Nmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.2 Aritmetizao da Anlise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.3 Axiomatizao dos Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2 Construo dos nmeros reais utilizando a Noo de Corte ou Seco 21

    2.1 Analogia entre os nmeros racionais e os pontos de uma linha recta . . . . 22

    2.2 Continuidade de uma linha recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.3 Construo dos Nmeros Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.4 Continuidade do Domnio dos Nmeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.5 Operaes com Nmeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.6 Nmeros Reais como Corpo Ordenado Completo . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3 Construo dos Nmeros Reais utilizando Classes de Equivalncia 51

    3.1 Cantor e as Sucesses de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    3.2 Nmero Real como Limite de uma Sucesso de Cauchy . . . . . . . . . . . 53

    3.3 Ordenao do Conjunto dos Nmeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    3.4 Nmeros Reais como Grupo Abeliano Aditivo . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    3.5 Nmeros Reais como Corpo Ordenado Comutativo . . . . . . . . . . . . . 64

    3.6 Nmeros Reais como extenso dos Nmeros Racionais . . . . . . . . . . . 71

    3.7 Completude do Conjunto dos Nmeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    4 Outras Construes do Conjunto dos Nmeros Reais 85

    4.1 Construo dos nmeros reais utilizando uma alternativa aos Cortes de

    Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    ix

  • x

    4.2 Construo dos nmeros reais utilizando a Noo de Quantidade . . . . . . 93

    4.2.1 Sistema de Quantidades Positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    4.2.2 Aplicaes Lineares e Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    4.2.3 O Corpo dos Nmeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    4.3 Construo dos nmeros reais como Classes de Equivalncia de Declives . . 108

    4.3.1 Declives e definio de Nmero Real . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    4.3.2 Aritmtica dos Nmeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    Declives Bem Ajustados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    4.3.3 Axiomtica do Sistema dos Nmeros Reais . . . . . . . . . . . . . . 116

    4.4 Construo dos Nmeros Reais como Sucesses de Intervalos Encaixados . 121

    4.4.1 Nmero Real como Equivalncia de Sucesses . . . . . . . . . . . . 125

    4.4.2 Aritmtica do Sistema dos Nmeros Reais . . . . . . . . . . . . . . 127

    4.4.3 Ordenao do Sistema dos Nmeros Reais . . . . . . . . . . . . . . 131

    5 Axiomatizao dos Nmeros 135

  • Captulo 1

    Introduo

    1.1 Das Quantidades aos Nmeros

    Ao longo de toda a histria da Matemtica o problema da relao entre o descontnuo

    da Aritmtica e o contnuo Geomtrico (a passagem dos nmeros naturais, 1, 2, 3, ... , aos

    pontos, que na linha recta se sucedem, sem lacunas e sem saltos) esteve sempre presente,

    sendo este um dos aspectos essenciais da filosofia de Pitgoras (cerca de 580 - 500 a.C.)

    para compreender o mundo real a partir dos nmeros naturais.

    Podemos, como do conhecimento geral, afirmar que esta ideia de Pitgoras fracassou

    devido inviabilidade do pressuposto da comensurabilidade de todas as grandezas, isto ,

    da possibilidade de se exprimirem as suas relaes por meio de uma razo de inteiros, con-

    duzindo ao absurdo de um mesmo nmero natural ser par e mpar (para que a hipotenusa

    do tringulo rectngulo issceles se possa medir com um dos seus lados mediante um

    nmero racional) (Veja-se, por exemplo, [35], pp. 34 - 35).

    Movidos pela necessidade de estruturar uma lgebra das grandezas os Gregos desen-

    volveram a Teoria das Propores ([2], p. 204) atribuda a Eudxio (408 - 355 a.C.).

    Se, por exemplo, no plano, G e G0 representam duas reas e U a rea limitada por um

    quadrado, diz-se que a razo G/U das duas grandezas G e U igual razo G0/U das

    grandezas G0 e U :

    1

  • 2 Introduo

    G/U = G0/U se quaisquer que sejam os nmeros inteiros positivos m e n,

    m U < n G implica m U < n G0

    m U > n G implica m U > n G0

    m U = n G implica m U = n G0

    onde m U , por exemplo, significa uma rea constituda por m reas iguais a U .

    Por outro lado, diz-se que G/U > G0/U se se encontrarem dois nmeros m e n tais

    que n G > m U e m U > n G0.

    G/U e G0/U exprimem-se por ratios g e g0 e as convenes de Eudxio equivalem a

    considerar g e g0 como iguais sempre que dem lugar mesma repartio dos nmeros

    racionais em duas classes: a dos que so maiores que g (ou g0) e a dos que so menores

    que g (ou g0).

    Como veremos mais frente, esta caracterizao dos nmeros semelhante elaborada

    posteriormente por Dedekind (1831 - 1916) onde est igualmente subjacente o conceito

    de ordenao ([9], p. 12).

    A Teoria de Eudxio remonta ao sculo IV antes de Cristo e foram precisas algumas

    centenas de anos para que o programa de Pitgoras, de aritmetizao do contnuo, fosse

    efectivamente cumprido.

    Quando os Gregos consideravam, como grandeza a medir, o permetro de uma cir-

    cunferncia, suponham intuitivamente que esse comprimento exist