construcoes Poligonos

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA 105

05. Determine graficamente a medida aproximada em graus de um arco de 2cm de comprimen-to em uma circunferncia de 2,5cm de raio.

06. Numa circunferncia de raio r qualquer, define-se um radiano (1rad) como sendo o arco cujo comprimento igual ao raio r. Determine graficamente a medida aproximada, em graus, de um arco de 1rad.

Sugesto: use r = 4cm.

4.3. DIVISO DA CIRCUNFERNCIA EM ARCOS IGUAIS: PROCESSOS EXATOS

Dividir a circunferncia em partes iguais o mesmo que construir polgonos regulares. Isso porque os pontos que dividem uma circunferncia num nmero n (n >2) qualquer de partes iguais so sempre vrtices de um polgono regular inscrito na mesma.

Se dividirmos uma circunferncia em n partes iguais, teremos tambm a diviso da mesma em 2n partes, bastando para isso traar bissetrizes.

Estudaremos processo exatos e aproximados para a diviso da circunferncia.

1O DIVISO DA CIRCUNFERNCIA EM n ==== 2, 4, 8, 16, ... ==== 2.2m PARTES; m

Para dividir a circunferncia em duas partes iguais, basta traar um dimetro. Para obter a diviso em 4, 8, 16,..., traamos bissetrizes.

O lado de um polgono regular de n lados denotado por ln.

Medida de l4: considerando o tringulo retngulo issceles de cateto r, temos que a hipotenusa o l4, logo sua medida r 2.

n NGULO CNTRICO POLGONO REGULAR 2 180o 2 arcos capazes de 90o 4 90o Quadrado 8 45o Octgono 16 22,5o Hexadecgono 32 11,25o Triacontadgono


Dividindo a circunferncia em n partes iguais, estamos dividindo o ngulo central de 360o em n partes tambm iguais. Logo, o ngulo cntrico (vrtice no centro e lados passando por vrtices consecutivos do polgono) correspondente diviso da circunferncia em n partes iguais

medir o360

n.

2O DIVISO DA CIRCUNFERNCIA EM n ==== 3, 6, 12, ... ==== 3.2m PARTES; m

Medida de l6: considere AB um arco que seja a sexta parte da circunferncia, logo este medir 60o. Assim, deduzimos que o tringulo OAB equiltero, isto , o comprimento da corda AB igual ao raio da circunferncia. Portanto l6 = r.

Logo, com raio r igual ao da circunferncia, descrevemos sucessivamente os arcos: centro em um ponto A qualquer da circunferncia obtendo B; centro em B obtendo C e assim por diante.

Unindo os pontos A, C e E teremos um tringulo equiltero inscrito na circunferncia. Basta notar que o ngulo central correspondente a corda AC vale 120o = 360o/3.

Medida de l3: Os pontos A, O e D esto alinhados, pois AD = 180o. Logo, o ponto C pertence ao arco capaz de 90o de AD . Portanto, o tringulo ACD retngulo em C, sendo AC = l3, CD = l6 = r e AD = 2r. Aplicando o teorema de Pitgoras vem que:

2 2 2AD AC CD= +

2 2 2AC AD CD= l32 = (2r)2

r2 l32 = 4r2 r2 l32 = 3r2 l3 = r 3.

n NGULO CNTRICO POLGONO REGULAR 3 120o Tringulo equiltero 6 60o Hexgono 12 30o Dodecgono 24 15o Icositetrgono 48 7,5o Tetracontoctgono


3O DIVISO DA CIRCUNFERNCIA EM n ==== 5, 10, 20, ... ==== 5.2m PARTES; m

TEOREMA: O lado do decgono regular inscrito em uma circunferncia o segmento ureo do raio.

O ngulo central correspondente de um

decgono regular 36o = o360

10.

Considere um arco AB, cujo ngulo central seja de 36o. Logo, a corda AB tem a medida l10. Devemos mostrar que l102 = r (r l10).

O tringulo AOB issceles (seus lados so raios da circunferncia), logo os ngulos da base so iguais A B= , e como = 36o, ento + B + =

180o ou = o o180 - 362

. Portanto, = 72o.

Traar a bissetriz de B obtendo P sobre OA . Como PBA = 36o e PB = 72o, ento BPA = 72o. Logo, o tringulo PBA issceles de base PA , e com isto BP BA= = l10.

No tringulo OPB, os ngulos da base so iguais. Logo, ele issceles de base OB e seus lados so congruentes, ou seja, OP BP= = l10 e, portanto, PA = r l10. Como OBA ~ BPA (pois tem dois ngulos congruentes), ento os seus lados correspondentes so proporcionais, ou

seja, 1010 10

lrl r l

=

ou l102 = r.(r l10) ou seja, l10 ureo de r.

EXERCCIO: Esta proporo pode ser obtida tambm pelo teorema das bissetrizes.

Medida de l10: Como l10 o segmento

ureo do raio, ento l10 5 1

r .2

=

Assim, para dividir uma circunferncia em 10 partes iguais, a construo seguinte se justifica.

Procedimento e Justificativa:

- traar dois dimetros perpendiculares entre si, AB e CD ;

- obter o ponto M mdio de OA ;

- unindo C e M temos que r 5

CM2

= , pois CM


hipotenusa de um tringulo retngulo de catetos r e r2;

- como l10 = r 5 r

2

, ento devemos descrever um arco de centro M e raio MC , obtendo um

ponto E sobre a reta AO;

- logo, EO = l10 ureo de r, pois EO = EM OM = r 5 r

.2 2

Observao: Para dividir uma circunferncia em 5 partes iguais, basta divid-la em 10 partes iguais e unir os vrtices de 2 em 2. Porm, convm estudarmos uma propriedade que relaciona l5, l6 e l10, permitindo dividir diretamente em 5 partes, sem ter que dividir em 10 partes primeiro.

TEOREMA: Para uma mesma circunferncia, o l5 hipotenusa de um tringulo retngulo cujos catetos so o l6 e o l10.

Observao: Por esta propriedade, a construo anterior nos fornece o l5, basta notar que o tringulo retngulo EOC tem os catetos medindo l6 = r e l10.

Prova:

Considere uma circunferncia de centro O e raio r, com a corda AB = l10. Logo AB = 36o, e como o tringulo AOB issceles de base AB , ento OB = OBA = 72o. Seja C um ponto da semi-reta AB

tal que AC = r. Logo

CB = r l10 (1).

Considerando a circunferncia de centro A e raio r, como o ngulo central OC tem medida igual a 72o, ento OC = l5 (basta

notar que 72o = o360

5 e que o raio desta ltima

circunferncia r).

Conduzindo por C, a tangente CD circunferncia de centro O e raio r, temos um tringulo ODC, retngulo em D, onde o cateto OD = l6 = r e a hipotenusa OC = l5, assim, devemos mostrar que o cateto DC o l10, ou seja, que DC ureo de l6 = r.

De acordo com a potncia do ponto C em relao circunferncia de centro O e raio r,

temos 2

CD CB.CA= . Por (1) temos: 2

CD = (r l10).r. Logo, pelo teorema anterior, temos que CD = l10.

Medida de l5: Como l52 = l102 + l62


l52 = 2

r 5 r2 2

+ r2

l52 = 2 2 25r 2r 5 r

4 4 4 + + r2

l52 = 2 210r 2r 5

4

l52 = ( )2r 5 52

l5 = 5 5

r2

.

n NGULO CNTRICO POLGONO REGULAR 5 72o Pentgono 10 36o Decgono 20 18o Icosgono 40 9o Tetracontgono

4O DIVISO DA CIRCUNFERNCIA EM n ==== 15, 30, ... ==== 15.2m PARTES; m

Considere uma circunferncia de centro O e raio r. Obtenha as cordas AB = r (lado do hexgono regular inscrito) e AC = l10 (lado do decgono regular inscrito). Temos ento AB = 60o e AC = 36o, logo BC = 60o 36o = 24o que o ngulo cntrico de um polgono regular de 15 lados inscrito na circunferncia. Logo BC = l15.

Observao: Teoricamente o problema muito simples, mas graficamente, devido ao grande nmero de operaes que ele exige, costuma-se obter resultados ruins. Por esta razo, estudaremos mais adiante um processo aproximado para l15 que fornece resultados grficos melhores.

n NGULO CNTRICO POLGONO REGULAR 15 24o Pentadecgono 30 12o Triacontgono 60 6o Hexacontgono



Gauss (1796) demonstrou que possvel encontrar o ngulo 17pi

:

( )1sen 34 2 17 2 2 17 17 2 68 12 17 2 2 17 1 17 17 16 2 17 1717 8pi

= + + +

A construo para encontrar o lado do heptadecgono devida a Johannes Erchinger:

- Trace o dimetro AB e o raio OC AB ;

- Determine em OC o ponto D tal que r

OD4

= ;

- Encontre o ponto F em AB tal que ADOEDF4

= = ;

- Encontre o ponto G em AB tal que o

o180FDG 454

= = ;

- Determine o ponto H mdio de AG ; - O ponto I a interseo de OC com a circunferncia de centro em H e raio HG ; - O ponto J a interseo de AB com a circunferncia de centro em E e raio EI ; - Trace as perpendiculares a AB que passam por H e J; - HL e KJ determinam na circunferncia um arco com o dobro do tamanho correspondente da corda de l17; - Fazendo a mediatriz de KL obtemos M na circunferncia, tal que LM KM= = l17.

n NGULO CNTRICO POLGONO REGULAR 17 21,18o Heptadecgono 34 10,59o Triacontatetrgono 68 5,29o Hexacontoctgono


4.4. DIVISO DA CIRCUNFERNCIA EM ARCOS IGUAIS: PROCESSOS APROXIMADOS

Foram vistos processos para a diviso da circunferncia em n partes iguais, por exemplo, para n igual a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15,... possvel dividir uma circunferncia em 7, 9, 11, 13,... partes iguais, completando a primeira sequncia, porm estas divises so aproximadas.

Para determinar o erro terico que se comete nas construes das cordas l7, l9, l11, l13 e l15, vamos inicialmente determinar o lado de um polgono regular de n lados em funo do ngulo central correspondente.

Consideremos uma circunferncia dividida em n partes iguais, e a corda AB = ln um dos lados do polgono regular inscrito na circunferncia.

Seja 2 o ngulo central correspondente ao lado ln = AB . Para cada ln, temos um ngulo central corresponden-

te a o360

n.

Construindo a bissetriz do ngulo central AB = 2, obtemos o ponto M mdio de AB (pois o tringulo AOB issceles de base AB e a bissetriz relativa a base tambm mediatriz),

logo AM = nl2.

Como a mediatriz perpendicular ao lado do tringulo, ento AB OM , ou seja, o

tringulo AOM retngulo em M. Alm disso, AB = o360

n ser divido em AM =

o180n

. No

tringulo retngulo AOM temos que:

no

l180 2senn r

=

ou

o

n

180l 2r.sen

n

=


Procedimento:

- Marcar sobre a circunferncia um ponto D. Cen-tro em D marcar MA = MB = r, sendo que A e B pertencem circunferncia;

- unir A e B, temos ento que AB = l3 = r 3 ;

- unir O e D, determinando o ponto C sobre AB . Este ponto divide AB ao meio, pois pertence mediatriz deste segmento, logo OC tambm bissetriz e altura do tringulo AOB, issceles de


base AB ;

- l7 = AC = 3l2.

Medida de l7 e l7:

Da frmula geral temos: l7 = 2r.o180

sen7

0,86776r e como l7 = l3/2 = r 32

0,86602r. Desta forma, o erro terico dado por

Et = l7 l7 = 0,00174r

Ou seja, o erro por falta e da ordem de dois milsimos, pois 0,0017 0,002.

n NGULO CNTRICO POLGONO REGULAR 7 51,4o Heptgono 14 25,7o Tetradecgono 28 12,9o Icosioctgono


Procedimento:

- Traar dois dimetros AB e CD perpen-diculares entre si. Prolongar AB ;

- Traar a circunferncia com centro em C e raio CO = r, obtendo o ponto E na circun-ferncia de centro O;

- Traar a circunferncia de centro em D e raio DE , determinando na semi-reta BA

o ponto F;

- Traar a circunferncia de centro em F e raio FD DE= , obtendo sobre a semi-reta BA

o ponto G;

- l9 = BG .

Medida de l9 e l9:

O tringulo CED retngulo em E (pois este est no arco capaz de 90o de CD ), ento pelo teorema de Pitgoras temos que

2 2 2CD CE DE= + ou

2 2 2DE CD CE= , onde CD 2r= e

CE r= , logo DE = r 3.


Como DE DF FG= = , ento DF FG= = r 3.

O tringulo ODF retngulo em O, ento aplicando o teorema de Pitgoras vem que 2 2 2

DF DO OF= + 2 2 2

OF DF DO= ( )22 2OF r 3 r= 2OF = 3r2 r2 OF = r 2. Como GF GO OF= + ou GO GF OF= , ento GO = r 3 r 2.

Assim, l9 = BG = r GO = r ( )r 3 r 2 0,68216r Da frmula geral temos: l9 = 2r.

o180sen

9

0,68404r. Desta forma, o erro terico dado

por:

Et = l9 l9 = 0,00188r.

Como 0,0018 0,002, podemos concluir que o erro por falta e da ordem de dois milsimos.

n NGULO CNTRICO POLGONO REGULAR 9 40o Enegono 18 20o Octadecgono 36 10o Triacontahexgono


Procedimento:

- Traar dois dimetros AB e CD perpendiculares entre si;

- Obter o ponto M mdio de um dos raios, por

exemplo OA . Logo, r

OM2

= ;

- Unir M com C. Obter o ponto N mdio de MC ;

- l11 = CN NM= .

Medida de l11= e l11:

Clculo do valor de l11: O tringulo OMC retngulo em O. Logo, temos

2 2 2CM CO OM= +

ou r 5

CM2

= . Ento l11 = CN = CM2

= r 54

0,55901r.

Da frmula geral temos: l11 = 2r. o180

sen11

0,56346r. Temos ento que o erro terico


dado por

Et = l11 l11 = 0,00445r

Ou seja, o erro por falta e da ordem de quatro milsimos.

n NGULO POLGONO REGULAR 11 32,7o Undecgono 22 16,3o Icosidgono 44 8,2o Tetracontatetrgono


Procedimento:

- Traar dois dimetros AB e CD perpendicula-res entre si;

- Dividir um raio, por exemplo OA , em quatro

partes iguais, obtendo um segmento r

OE4

= ;

- unir E e C, obtendo um ponto F sobre a circunfe-rncia;

- l13 = DF .

Medida de l13 e l13:

Considere os tringulos retngulos DFC (pois F est no arco capaz de 90o de DC ) e EOC. Como o ngulo C comum e DFC = EC = 90o, ento DFC ~ EOC pelo critrio AAA. Desta semelhana temos que:

DF CDOE EC

= ou 13l 2rr EC4

=

mas 2

2 2rAE r4

= +

, ou seja, r 17

AE4

= . Substituindo na expresso acima temos que:

13l 2rr r 174 4

= ou 132r 17

l17

= = 0,48507r


sen13

0,47863r. Assim, o erro terico dado por

Et = l13 l13 = 0,00644r


Isto , o erro por excesso e da ordem de seis milsimos.

n NGULO CNTRICO POLGONO REGULAR

13 27,69o Tridecgono 26 13,84o Icosihexgono 52 6,92o Pentacontadgono


Quando foi apresentada a construo do pentadecgono regular por um processo exato, foi feita uma observao de que o processo implica em muitos erros grficos, e que existe uma construo aproximada deste polgono que nos d resultados melhores, que ser apresentada a seguir.

Procedimento:

- Traar dois dimetros AB e CD perpendiculares entre si;

- Com centro em C e raio CA , obter um ponto E sobre CD ;

- l15 = OE .


Como AC = r 2 , ento l15 = CE CO = CA CO = r 2 r 0,41421r.


sen15


Et = l15 l15 = 0,00161r

Isto , o erro por falta e da ordem de aproximadamente dois milsimos.

Observao: Podemos dividir a circunferncia em n partes iguais retificando-a, obtendo o seu permetro e dividindo-o e n partes iguais (aplicando o teorema de Tales), e depois desretificando uma das n partes sobre a circunferncia. Note que este processo aproximado.



Procedimento:

- Traar dois dimetros AB e CD perpendicula-res entre si;

- Dividir um raio, por exemplo OA , em quatro

partes iguais, obtendo um segmento r

OE4

= ;

- Construir a mediatriz do raio OC , e obter o ponto G, que a interseo da paralela a CD, que passa pelo ponto E, com esta mediatriz;

- unir D e G, obtendo um ponto H sobre a circun-ferncia;

- l19 = CH .


Considere os tringulos retngulos DHC (pois H est no arco capaz de 90o de DC ) e DFG. Como o ngulo D comum e DFG = DHC = 90o, ento DHC ~ DFG pelo critrio AAA. Desta semelhana temos que:

HC DCFG DG

= ou 19l 2rr DG4

=

mas 2 2

2 3 rDG r

2 4

= +

, ou seja, r 37

DG4

= . Substituindo na expresso acima temos que:

19l 2rr r 374 4

= ou 192r 37

l37

= = 0,328798r


sen19


Et = l19 l19 = 0,000392r

Isto , o erro por falta e da ordem de 4 milsimos.

n NGULO CNTRICO POLGONO REGULAR

19 18,94o Eneadecgono 38 9,47o Triacontaoctgono 76 4,74o Heptacontahexgono


4.5. POLGONOS ESTRELADOS

DEFINIO: Um polgono estrelado quando possui ngulos alternadamente salientes e reen-trantes, e os lados pertencem a uma linha poligonal fechada que percorrida sempre no mesmo sentido.

TEOREMA: Pode-se obter tantos polgonos estrelados de n vrtices quantos nmeros p h, exceto a unidade, menores que a metade de n e primos com n.

De fato, basta considerar os nmeros

p menores que n2, porque unir os pontos de p

em p equivale a uni-los de (n p) em (n p); devemos excluir a unidade, porque unindo os pontos consecutivos, obtm-se o polgono convexo; sendo p e n primos entre si, so necessrios n lados para voltar ao ponto de partida, e assim devem ser encontrados cada ponto de diviso.

DEFINIO: Polgono regular estrelado aquele que se forma de cordas iguais e onde os lados so iguais e os ngulos tambm so iguais.

Logo, o polgono estrelado regular formado por uma linha poligonal contnua e se obtm quando, partindo de um ponto de diviso qualquer da circunferncia, volta-se ao mesmo ponto de partida aps as unies p a p, isto , pulando p divises.

Processo Geral de Construo: Para obter um polgono regular estrelado de n vrtices, devemos dividir a circunferncia em n partes iguais, e unir os pontos de diviso de p em p, sendo que: p < n2, p 1 e p e n primos entre si.

Exemplos:

a) Para n = 7: 3, 2 e 1 so menores do que 72 = 3,5 p = 3 ou p = 2.

b) Para n = 8: 3, 2 e 1 so menores do que 82 = 4 p = 3.

c) Para n = 15: 7, 6, 5, 4, 3, 2 e 1 so menores do que 152

= 7,5 p = 7 ou p = 4 ou p = 2.


EXERCCIOS

01. Dada uma circunferncia de centro O e raio r = 5cm, construir os seguintes polgonos regulares estrelados:

a) Pentgono (n = 5, p = 2);

b) Octgono (n = 8, p = 3);

c) Decgono (n = 10, p = 3).

d) Enegono (n = 9, p = 2).

e) Enegono (n = 9, p = 4).

02. Construir um heptgono regular estrelado inscrito num circunferncia de centro O e raio r = 6cm.

03. Quantos polgonos regulares estrelados distintos podem ser traados quando uma circunfe-rncia est dividida em 20, 24, 30 e 36 partes iguais?

04. Dado um segmento AB , lado de um decgono regular, construir o decgono regular estre-lado.

05. Considere o pentgono regular ABCDE. Prove que o lado AB paralelo diagonal EC .

06. Prove que as diagonais de um pentgono regular so congruentes.

07. Prove que o lado de um pentgono regular o segmento ureo da diagonal do pentgono.

08. Construir um pentgono regular dado o lado l5 = 4cm.

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