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Contabilometria

Aula 6

Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

Teste de Hipóteses

Fonte:

LEVINE, D. M.; STEPHAN, D. F.; KREHBIEL, T. C.;

BERENSON, M. L.; Estatística – Teoria e Aplicações, 5a.

Edição, Editora LTC, São Paulo, 2008

STEVENSON, W. J.; Estatística Aplicada à Administração;

Editora Arbra; São Paulo

Teste de Hipóteses - Definições

É uma regra de decisão para aceitar, ou rejeitar,

uma hipótese estatística com base nos elementos

de uma amostra.

Hipótese nula = H0 = é a hipótese a ser testada,

refere-se sempre a um valor de um parâmetro da

população

Hipótese alternativa = H1 = é o oposto da hipótese

nula, a conclusão a que se chegaria ao rejeitar a

hipótese nula

Teste de Hipóteses - Exemplos

a) H0: μ = 1,65m

H1: μ ≠ 1,65m

ou μ > 1,65m ou μ < 1,65m

b) H0: σ2 = 500

H1: σ2 ≠ 500

ou σ2 > 500 ou σ2 < 500

c) H0: π = 0,40

H1: π ≠ 0,40

ou π > 0,40 ou π < 0,40

Exemplo 1

Defina a hipótese nula e a hipótese alternativa para

a seguinte situação: inspeciona-se uma amostra de

142 peças de uma grande remessa, encontrando-se

8% defeituosas. O fornecedor garante que não

haverá mais de 6% de peças defeituosas em cada

remessa. O que tentamos descobrir é se a

afirmação do fornecedor é verdadeira.

H0: π = 6%

H1: π > 6%

Variação casual ou real?

No exemplo anterior a amostra de 142 peças

apontou 8% de peças defeituosas. Será que posso

afirmar que é diferente de 6% afirmado pelo

fabricante?

E se eu retirasse outra amostra e encontrasse 3%

de defeituosas? Afirmaria que não há problemas

com a remessa?

A resposta, depende da dispersão (variação) da

proporção de defeituosas de amostra para

amostra...


No nosso exemplo qual o desvio padrão?

A amostra deu 8% de defeituosas, ou seja, a

discrepância em relação ao afirmado pelo

fabricante é de 2%, o que é exatamente um desvio-

padrão.

02,0142

94,006,0)1(

n

ppp

0,102,0

06,008,0

pz


Na tabela normal:

A probabilidade de obter uma discrepância maior

que 2% é de aproximadamente 16%!!!!

Então, pode ser devido ao acaso...

0,1587

0,08 0,06

Z = +1,0


E se a amostra de 142 peças tivesse dado 12% de

defeituosas?

Neste caso, parece pouco provável que tal estatística

amostral provenha de uma população com o parâmetro

alegado de 6%.

0,302,0

06,012,0

pz

0,0013

5

0,12 0,06

Z = +3,0


Estatísticas amostrais

como essa são bastante

prováveis se H0 é verdadeira

Estatísticas amostrais

como essa são bastante

improváveis se H0 é verdadeira

Como separar a variação

real da casual? Ou o muito

próximo do muito

diferente?

Regiões de Rejeição e de Não-Rejeição e Estatística

do Teste

...ou ou Teste do aEstatístic

nS

xt

n

xz

Rejeitar H0 se a

estatística de teste

está nesse intervalo

Não Rejeitar H0 se


α

O que define a hipótese alternativa

Os desvios não aleatórios (isto é, significativos) de determinado parâmetro pode envolver desvios em ambas as direções ou apenas uma direção.

Exemplo: no. de caras em jogadas sucessivas de uma moeda H0 : a moeda é equilibrada

Se eu definir H1: a moeda não é equilibrada => vou investigar desvios em ambas as direções.

Mas, se eu estiver apostando em “caras”...

... é melhor definir H1: aparecem muito poucas “caras” (p < 0,50) => investigarei uma cauda apenas, a cauda à esquerda

H1 indica qual aspecto da variação não-aleatória nos interessa

Rejeita

H0

Não Rejeita

H0

α

v.c.

Rejeita

H0

Não Rejeita

H0

α

v.c.

Rejeita

H0

Não Rejeita

H0

α/2

v.c.

α/2

Rejeita

H0 v.c.

H0: π = 0,5

H1: π ≠ 0,5

H0: π = 0,5

H1: π < 0,5

H0: π = 0,5

H1: π > 0,5

(muito poucas caras)

(muitas caras)

Testes Bilaterais ou Unilaterais?

H0 se escreve sempre da mesma forma

H1 irá depender do problema com o qual você está lidando.

Bilaterais: A divergência crítica é em ambas as direções.

Ex: fabricação de roupas fora da

especificação, o problema ocorre sejam elas

serem muito grandes ou muito pequenas

Cauda esquerda: Para verificar se determinado padrão mínimo

foi atingido. Ex: % mínimo de gordura no leite,

vida útil de determinado produto. O problema

ocorre se a vida útil for muito pequena, se ela

for muito grande não há problema

Cauda direita: Para verificar se determinado padrão máximo

não foi excedido. Ex: no. de unidades

defeituosas em uma remessa, poluição

emitida por uma fábrica.

Exemplo 2

Um fornecedor de mancais comprometeu-se a enviar

para uma firma lotes que não contenham mais de 2%

de defeituosos. O comprador extrai amostras ao

receber a remessa, para verificar a qualidade.

a. indique Ho e H1

b. O fornecedor não deseja remeter lotes com

elevado risco de devolução em razão de

número excessivo de unidades defeituosas,

mas também não deseja remeter lotes com

percentagem de defeituosos muito menor que

a estabelecida, de modo que ele também,

fornecedor, faz seu teste antes de proceder à

remessa. Indique Ho e H1.

Exemplo 2

Um fornecedor de mancais comprometeu-se a enviar

para uma firma lotes que não contenham mais de 2%

de defeituosos. O comprador extrai amostras ao

receber a remessa, para verificar a qualidade.

a. H0: π = 2% e H1: π > 2%

b. H0: π = 2% e H1: π ≠ 2%

Mas, como estabelecer o

valor crítico?

Nível de Significância α

Rejeitar H0 se a

estatística de teste


Não Rejeitar H0 se


α

Mas, o que significa “nível de significância”????

Para entender seu significado é preciso

entender os erros que se pode cometer

e suas consequências...

Erros Tipo I e Tipo II

a verdadeirH sendo Hrejeitar de erro I Tipo Erro 00

falsa H sendo Haceitar de erro II Tipo Erro 00


Realidade

H0 verdadeira H0 falsa

Decisão

Aceitar H0 Decisão correta

(1 – α)

Erro Tipo II

( β )

Rejeitar H0 Erro Tipo I

( α )

Decisão correta

(1 – β)


α é também denominado Nível de Significância e é

estabelecido antes do teste por quem o realiza, em

geral, é igual a 1%, 5% ou 10%.

A escolha depende do risco que se quer correr e

dos custos de uma conclusão errada.

Erros Tipo I e Tipo II - Exemplo

Via de regra, em um tribunal os integrantes do júri

não se deixam enganar por provas falsas, quer sejam

a favor ou contra o réu. Tais enganos ocorrem sim,

mas com baixa probabilidade. Tendo em mente a

“filosofia” do teste de hipóteses da inferência

estatística com qual alternativa se deve trabalhar?

(a) O réu é inocente até prova em contrário.

(b) O réu é culpado até prova em contrário

H0: o réu é inocente

H1: o réu não é inocente

P(Erro Tipo I) = α = P(rejeitar H0 sendo H0 verdadeira)

= α = P(julgar o réu culpado sendo ele inocente)

Ao definirmos α limitamos a probabilidade de cometer

esse erro!!!

Nível de Significância α

Os níveis de significância mais utilizados são 1%,

5% e 10%

falsa é H quando Haceitar II Tipo Erro95% )HP(aceitar 000

a verdadeiré H quando Hrejeitar I Tipo Erro5% )H P(rejeitar 000

A decisão de rejeitar H0 é muito mais segura do

que a decisão de aceitar H0!!!!

A probabilidade de cometer erro é menor!

A lógica do Teste de Hipóteses

Atribuem-se baixos valores para α, geralmente 1%

a 10%

Formula-se H0 com a pretensão de rejeitá-la

Se o teste indicar a rejeição de H0, há um indicador

mais seguro para a decisão

Teste de uma média com

variância conhecida

Teste de Hipóteses para a Média

σ conhecido

Para um teste bi-caudal da média, σ conhecido:

Converta a estatística da amostra ( X ) em uma estatística de teste

Determine o valor crítico de z para o nível de confiança especificado a partir de uma tabela ou usando o Excel

Decisão: se a estatística de teste cair na região de rejeição, rejeite H0; caso contrário não rejeite Ho

n

σ

μXZ

Teste de Hipótese para a Média

σ conhecido

Não rejeita H0 Rejeita

H0

Rejeita

H0

Há dois valores

críticos definindo

as regiões de

rejeição /2

-Z

0

H0: μ = 3

H1: μ ≠ 3

+Z

/2

Valor

crítico

inferior

Valor

crítico

superior

3

Z

X


σ conhecido

Exemplo: Teste a afirmação de que o verdadeiro peso médio das barras de chocolate produzidas em uma fábrica é igual a 3 onças.

Declare as hipóteses nula e alternativa

H0: μ = 3 H1: μ ≠ 3 (este é um teste bi-caudal)

Especifique o nível desejado de significância

Suponha que = .05 seja escolhido para este teste

Escolha um tamanho de amostra

Suponha que um tamanho de amostra n = 100 seja

escolhido


σ conhecido

2.0.08

.16

100

0.8

32.84

n

σ

μXZ

Determine a técnica adequada σ é conhecido então pode-se usar o teste Z

Estabeleça os valores críticos

Para = .05 os valores críticos de Z são ±1.96

Colete os dados e calcule a estatística de teste

Suponha que os resultados da amostra sejam:

n = 100, X = 2.84

(σ = 0.8 é presumido a partir de dados históricos da

empresa)

Então a estatística de teste é:


σ conhecido

Rejeita H0 Não rejeita H0

A estatística de teste está na região de rejeição?

= .05/2

-Z= -1.96 0

Rejeita H0 se

Z < -1.96 ou

Z > 1.96;

caso contrário

não rejeite H0

= .05/2

Rejeita H0

+Z= +1.96

Aqui, Z = -2.0 < -1.96, então a

estatística de teste está na região de

rejeição de Ho’


σ conhecido

Decida e interprete o resultado

Como z = -2.0 < -1.96, você rejeita a hipótese

nula e conclui que há evidências suficientes de

que a média do peso das barras de chocolate

não é igual a 3 onças.


σ conhecido

As 6 etapas do Teste de Hipóteses:

1. Defina a hipótese nula, H0 e a hipótese

alternativa H1

2. Escolha o nível de significância, α, e o

tamanho da amostra n.

3. Determine a técnica estatística adequada e o

teste a ser realizado.

4. Encontre os valores críticos e determine a

região de rejeição.


σ conhecido

5. Colete os dados e calcule a estatística de teste a

partir da amostra.

6. Compare a estatística de teste com o valor crítico

para determinar se a estatística de teste caiu na

região de rejeição. Faça a decisão estatística:

Rejeitar H0 se a estatística de teste cair na região de

rejeição. Escreva a decisão no contexto do

problema em questão.


σ conhecido A abordagem do p-valor

O valor-p é a probabilidade de ser obtida uma estatística de teste igual ou mais extrema do que o resultado da amostra, considerando que a hipótese nula H0 seja verdadeira

Também conhecido como nível observado de significância

Menor valor de a partir do qual H0 pode ser rejeitada



Converta a estatística da amostra (ex. X)

para a estatística de teste (ex. Estatística Z)

Obtenha o p-valor em uma tabela ou usando

o Excel

Compare o p-valor com

Se p-valor < , rejeita H0

Se p-valor , não rejeita H0



Exemplo: Quão provável é encontrar uma amostra com média igual a 2,84 (ou algo mais distante da média, em qualquer direção) se a verdadeira média é = 3.0?

.02282.0)P(Z

.02282.0)P(Z

X = 2.84 é traduzida para

uma estatística Z = -2.0

p-valor

=.0228 + .0228

= .0456

.0228

/2 = .025

-1.96 0

-2.0

Z 1.96

2.0

.0228

/2 = .025



Compare o p-valor com

Se p-valor < , rejeita H0

Se p-valor , não rejeita H0

Aqui: p-valor = .0456 = .05

Como .0456 < .05, você

rejeita a hipótese nula

.0228

/2 = .025

-1.96 0

-2.0

Z 1.96

2.0

.0228

/2 = .025

Teste de Hipótese para a Média - σ conhecido

Relação com Intervalo de Confiança

100

0.8 (1.96) 2.84 a

100

0.8 (1.96) - 2.84

Para X = 2.84, σ = 0.8 e n = 100, o intervalo

para um nível de confiança de 95% é:

2.6832 ≤ μ ≤ 2.9968

Como o intervalo não contém o valor da média

especificado na hipótese (3.0), você rejeita a

hipótese nula a um nível de significância =

.05

Mesma conclusão que o teste de hipóteses!!!!

Teste de Hipótese para a Média: σ conhecido

Testes Unicaudais

Em muitos casos, a hipótese alternativa se

concentra em uma determinada direção

H0: μ ≥ 3

H1: μ < 3

H0: μ ≤ 3

H1: μ > 3

Este é um teste de cauda à esquerda (ou

inferior) já que a hipótese alternativa foca em

valores menores do que a média 3

Este é um teste de cauda à direita (ou

superior) já que a hipótese alternativa foca em

valores maiores do que a média 3.

Teste de Hipótese para a Média: σ conhecido Teste de cauda à esquerda

Há somente um valor crítico, já que a área de

rejeição concentra-se em uma cauda apenas.

Rejeita

H0

Não Rejeita

H0

α

-Z

μ

Z

X

Valor crítico

Teste de Hipótese para a Média: σ conhecido

Teste de cauda à direita

Há somente um valor crítico, já que a área de

rejeição concentra-se em uma cauda apenas.

Rejeit

a H0

Não Rejeita

H0

α

Z

μ

Valor crítico

Z

X

Teste de Hipótese para a Média: σ conhecido Exemplo de teste com cauda à direita

Um gerente de uma companhia telefônica acha que a

conta mensal de telefone celular dos clientes aumentou,

e agora tem um valor médio maior do que $52 por mês.

A companhia deseja testar essa afirmação. Dados

históricos mostram que o desvio padrão é igual a $10.

H0: μ ≤ 52 a média é menor ou igual a $52 por mês

H1: μ > 52 a média é maior do que $52 por mês

Forma do teste de hipótese:


Suponha que = .10 seja escolhido para o teste

Encontre a região de rejeição:

Rejeita

H0

Não rejeita H0

= .10

Z 0

Rejeita H0

1- = .90


Qual é o Z dado α = 0.10?

Z .07 .09

1.1 .8790 .8810 .8830

1.2 .8980 .9015

1.3 .9147 .9162 .9177 z 0 1.28

.08 a = .10

Valor Crítico

= 1.28

.90

.8997

.10

.90


Obtenha a amostra e calcule a estatística de teste.

Suponha que uma amostra com os seguintes

resultados: n = 64, X = 53.1 (=10 assume-se

conhecido a partir de dados históricos)

Então a estatística de teste é:

0,88

64

10

5253,1

n

σ

μXZ


Conclua e interprete o resultado:

= .10

1.28 0

Rejeita H0

1- = .90

Z = .88

Não é possível rejeitar H0 já que Z = 0.88 ≤ 1.28

i.e.: não há evidências suficientes de que a conta média de celular é maior do que $52


Calcule o p-valor e compare com

Rejeita

H0

= .10

Não Rejeitar

H0 1.28

0

Rejeita H0

Z = .88 .1894

.810610.88)P(Z

6410/

52.053.1ZP

53.1)XP(

p-valor = .1894

Não rejeitar H0 já que o p-valor = .1894 > = .10

Teste de Hipóteses para a Média:

σ desconhecido

Se o desvio padrão da população não é conhecido

usa-se o desvio padrão amostral S.

Devido a essa mudança, deve-se usar a

distribuição t ao invés da distribuição Z para testar

a hipótese nula sobre a média.

A distribuição t também é utilizada quando a

população não é normal e a amostra não é grande o

suficiente (> 30) para que, pelo Teorema do Limite

Central, se possa assumir distribuição amostral

normal.

Todas as demais etapas, conceitos e conclusões

são os mesmos.


σ desconhecido

Lembre que a estatística t com n-1graus de

liberdade é:

n

S

μXt 1-n


σ desconhecido - Exemplo

Afirma-se que o valor médio das diárias de hotel em Nova York

é $168 por noite. Uma amostra aleatória de 25 hotéis resultou

em X = $172.50 e S = 15.40. Teste a afirmação a um nível de

significância = 0.05.

(Análises através de gráfico da probabilidade normal indicam que a

distribuição da população pode ser aproximada pela distribuição

normal)

H0: μ = 168

H1: μ 168



H0: μ = 168

H1: μ ≠ 168

α = 0.05

n = 25

é desconhecido, então usamos a estatística t

Valor Crítico:

t24 = ± 2.0639

Determine as regiões de rejeição

Rejeita

H0

Rejeita

H0

α/2=.025

-t n-1,α/2 Não rejeita H0

0

α/2=.025

-2.0639 2.0639

t n-1,α/2



a/2=.025

-t n-1,α/2 0

a/2=.025

-2.0639 2.0639

t n-1,α/2

1.46

25

15.40

168172.50

n

S

μXt 1n

Não é possível rejeitar H0: não há evidências

suficientes de que o custo médio verdadeiro é

diferente de $168

1.46


Relação com Intervalos de Confiança

Para X = 172.5, S = 15.40 e n = 25, o intervalo

para um nível de confiança de 95% é:

166.14 ≤ μ ≤ 178.86

Como o intervalo contém a média especificada na

hipótese (168), não se pode rejeitar a hipótese nula

a um nível de significância = .05

25

15.4 (2.0639) 172.5 a

25

15.4 (2.0639) - 172.5

Teste de Hipóteses para a Média:

σ desconhecido

Lembre que assume-se que a estatística da amostra vem de uma amostra aleatória extraída de uma população com distribuição normal

Se a amostra for pequena (< 30) deve-se testar a hipótese de normalidade da população.

Se a amostra é grande, o Teorema do Limite Central é aplicável e a distribuição da média amostral é normal.

Teste de Hipóteses

Proporções

Variáveis categóricas

Dois possíveis resultados

“Sucesso” (observa-se certa característica)

“Fracasso” (a característica não é observada)

π indica a fração ou proporção da população em

que “sucesso” é observado. É o parâmetro da

população.

Teste de Hipóteses

Proporções

A proporção de “sucesso” na amostra é indicada

por p

Quando nπ e n(1-π) são ambos maiores do que

5, a distribuição de p pode ser aproximada pela

distribuição normal com as seguintes média e

desvio padrão:

amostra da tamanho

amostra na sucessos de número

n

Xp

pμn

)(1σ

p

Teste de Hipóteses

Proporções

A distribuição amostral de p é aproximadamente

normal, então a estatística do teste é a Z com

valor:

n

pZ

)1(

Teste de Hipóteses

Proporções - Exemplo

Uma empresa de marketing afirma que o índice de resposta de sua mala direta é de 8%. Para testar essa afirmativa, uma amostra aleatória de 500 correspondências foi pesquisada e encontrou-se 30 respostas. Teste a afirmação com um nível de significância = .05.

Primeiro, verifique:

n π = (500)(.08) = 40

n(1-π) = (500)(.92) = 460

Teste de Hipóteses


H0: π = .08 H1: π ≠ .08

α = .05

n = 500, p = .06

Valores Críticos: ± 1.96

z 0

Rejeita Rejeita

.025 .025

1.96 -1.96

Determine a região de rejeição

Teste de Hipóteses


Não rejeitar H0 a

= .05

Estatística de Teste:

Decisão:

Conclusão:

Não há evidência

suficiente para rejeitar

a afirmação da

empresa sobre o

índice de resposta ser

de 8%.

1.648

500

.08).08(1

.08.06

n

)(1Z

p

z 0

.025 .025

1.96 -1.96

-1.648

Armadilhas potencias do teste de hipóteses e

questões éticas

Adote métodos aleatórios na amostragem para reduzir potenciais vieses.

Não use respondentes humanos sem consentimento informado

Escolha o nível de significância, α, antes da coleta de dados

Não “espione os dados” para escolher entre teste unicaudal ou bicaudal, ou para determinar o nível de significância

Não pratique “descarte de dados” para esconder observações que não suportem as hipóteses formuladas

Divulgue todos os resultados relevantes

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