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Capítulo 6 - Deformação infinitesimal (parte 1)

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Conteúdo Capítulo 6 - Deformação infinitesimal ........................................................................................ 61

6.1 Medidas de deformação unidimensional .......................................................................... 61

6.1.1 Deformação de engenharia ........................................................................................ 61

6.1.2 Deformação de Lagrange ........................................................................................... 61

6.1.3 Deformação logarítmica ............................................................................................. 62

6.1.4 Deformação de Almansi ............................................................................................. 62

6.1.5 Alongamento relativo ................................................................................................. 62

6.2 Descrição de movimentos de um contínuo ...................................................................... 63

6.3 Campo de deslocamento....................................................................................................... 64

6.4 Equações do movimento de corpo rígido ............................................................................. 65

6.5 Deformação infinitesimal ...................................................................................................... 66

6.5.1 Significado geométrico das componentes do tensor de deformação infinitesimal .. 68

Referências .................................................................................................................................. 72


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Capítulo 6 - Deformação infinitesimal

6.1 Medidas de deformação unidimensional

A deformação de barra é caracterizada por um deslocamento u na barra (Figura 6.1). O

comprimento inicial (antes da deformação) da barra é representado por L0 e o seu

comprimento após a deformação, por L, tal que o alongamento da mesma é u = L - L0.

Figura 6. 1 Alongamento da barra.

Há várias medidas de deformação que podem ser apropriadas para a análise não linear. O

termo deformação usado aqui se refere ao termo em inglês strain.

6.1.1 Deformação de engenharia

A deformação de engenharia ou de Cauchy é a medida de deformação mais simples, sendo

representada por (LACERDA, 2014):

𝜀 =𝑢

𝐿0=

𝐿 − 𝐿0

𝐿0 (6.1)

Essa deformação mede a deformação mesmo que a barra tenha sofrido uma grande

rotação na direção de 𝜀.

6.1.2 Deformação de Lagrange

Considerando a deformação de engenharia , pode-se reescrevê-la da seguinte forma

(LACERDA, 2014):

𝜀 =𝐿 − 𝐿0

𝐿0=

(𝐿 − 𝐿0)(𝐿 + 𝐿0)

𝐿0(𝐿 + 𝐿0)=

𝐿2 − 𝐿02

𝐿0(𝐿 + 𝐿0) (6.2)

Como L = L0 + L0, tem-se que:

𝜀 =𝐿2 − 𝐿0

2

𝐿0(𝜀𝐿0 + 𝐿0 + 𝐿0)=

𝐿2 − 𝐿02

𝐿02(𝜀 + 2)

(6.3)

No caso de a deformação ser pequena, temos que 𝜀 ≈ 0. Então, 𝜀 pode ser omitido na Eq.

(6.3) tal que:


62

𝐸∗ =𝐿2 − 𝐿0

2

2𝐿02 (6.4)

A Equação (6.4) representa a deformação de Lagrange (E*). Existem muitos exemplos

de estruturas com grandes deslocamentos, mas com pequenas deformações. Nesses casos,

a deformação de Lagrange é perfeitamente adequada. Por isso, a deformação de Lagrange

e suas versões para duas e três dimensões são bastante utilizadas na análise não linear

geométrica dessas estruturas.

6.1.3 Deformação logarítmica

Caso a deformação seja muito grande, como ocorre em materiais semelhantes à borracha,

então a medida de deformação mais adequada é a deformação logarítmica (). Essa

deformação é também conhecida como deformação natural, deformação verdadeira ou

deformação de Hencky. A ideia é uma medida que some todas os incrementos

infinitesimais de deformação que ocorrem durante o alongamento da barra, desde o

comprimento inicial L0 até o final L. O incremento infinitesimal de deformação é dado

por (LACERDA, 2014):

𝑑𝜀 =𝑑𝐿

𝐿 (6.5)

A integração desse incremento é a definição da deformação logarítmica:

𝜂 = ∫ 𝑑𝜀𝐿

𝐿0

= ∫𝑑𝐿

𝐿

𝐿

𝐿0

= ln(𝐿) − ln(𝐿0) = ln (𝐿

𝐿0) (6.6)

Apesar de a deformação logarítmica poder ser generalizada para mais de uma dimensão,

tal generalização é complexa e de alto custo computacional (BONET; WOOD, 2008).

6.1.4 Deformação de Almansi

A deformação de Almansi é dada por (LACERDA, 2014):

𝐸 =𝐿2 − 𝐿0

2

2𝐿2 (6.7)

A concepção da deformação de Almansi é similar à da deformação de Lagrange. A

diferença é que aquela tem como referência a configuração deformada (descrição

Euleriana), enquanto que esta tem como referência a configuração inicial (descrição

Lagrangeana).

6.1.5 Alongamento relativo

O alongamento relativo sofrido pela barra é designado por λ e é definido por (LACERDA,

2014):


63

𝜆 =𝐿

𝐿0 (6.8)

O alongamento relativo, λ, é uma grandeza adimensional que tem um valor unitário para

a barra não deformada. Reescrevendo as deformações anteriores em função do

alongamento λ, tem-se:

𝜀 =𝐿

𝐿0− 1 = 𝜆 − 1 (6.9)

𝐸∗ =1

2(

𝐿

𝐿0)

2

−1

2=

1

2(𝜆2 − 1) (6.10)

𝜂 = ln (𝐿

𝐿0) = 𝑙𝑛(𝜆) (6.11)

𝐸 =1

2−

1

2(𝐿0

𝐿)

2

=1

2(1 −

1

𝜆2) (6.12)

6.2 Descrição de movimentos de um contínuo

A trajetória de uma partícula é descrita por um vetor em função do tempo t, chamado de

vetor posição r, o qual é dado por (LAI; RUBIN; KREMPL, 2010):

𝒓 = 𝒓(𝑡) = 𝑥𝑚(𝑡)�̂�𝒎 = 𝑥1(𝑡)�̂�𝟏 + 𝑥2(𝑡)�̂�𝟐 + 𝑥3(𝑡)�̂�𝟑 (6.13)

Se uma partícula de um meio contínuo estava na posição (X1, X2, X3) no tempo t0, o

conjunto de coordenadas (X1, X2, X3) pode ser usado para identificar essa partícula. Em

geral, as trajetórias de toda partícula de um meio contínuo podem ser descritas pela

seguinte equação vetorial:

𝒙 = 𝒙(𝑿, 𝑡), com 𝑿 = 𝒙(𝑿, 𝑡0) (6.14)

na qual 𝒙 = 𝑥1�̂�𝟏 + 𝑥2�̂�𝟐 + 𝑥3�̂�𝟑 é o vetor posição no tempo t para a partícula P, que

estava em 𝑿 = 𝑋1�̂�𝟏 + 𝑋2�̂�𝟐 + 𝑋3�̂�𝟑 no tempo t0 (Figura 6.2). Em forma de componentes

fica:

𝑥𝑖 = 𝑥𝑖(𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, 𝑡) com 𝑋𝑖 = 𝑥𝑖(𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, 𝑡0) (6.15)

As coordenadas (X1, X2, X3) servem para identificar as diferentes partículas do corpo e

são conhecidas como coordenadas materiais.

Figura 6. 2 Trajetória da partícula P no tempo t0 e tempo t.


64

6.3 Campo de deslocamento

Considere-se um corpo sólido e contínuo sujeito a uma deformação que o faz passar de

um estado inicial para um estado final (Figura 6.3). Considere que essa deformação é

provocada por um sistema de forças (LAI; RUBIN; KREMPL, 2010).

Figura 6. 3 Estado inicial e final de um corpo após a aplicação de um sistema de

forças.

O vetor deslocamento u de uma partícula num meio contínuo (identificada por sua

coordenada material X), da posição de referência P(t0), para a posição corrente P(t), é

obtido pela adição vetorial:

𝑿 + 𝒖 = 𝒙

𝒖 = 𝒙 − 𝑿 (6.16)

Em notação indicial, o vetor u fica:

𝑢𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑋𝑖 (6.17)

O vetor de deslocamento apresenta as seguintes componentes no sistema de coordenadas

cartesianas:

𝒖 = 𝑢𝑖�̂�𝑖 = 𝑢1�̂�1 + 𝑢2�̂�2 + 𝑢3�̂�3

𝒖 = (𝑥1 − 𝑋1)�̂�1 + (𝑥2 − 𝑋2)�̂�2 + (𝑥3 − 𝑋3)�̂�3 (6.18)

______________________________________________________________________

Exemplo 6.1: A posição no tempo t de uma partícula inicialmente em (X1, X2, X3) é dada

por (LAI; RUBIN; KREMPL, 2010):

𝑥1 = 𝑋1 + (𝑋1 + 𝑋2)𝑘𝑡; 𝑥2 = 𝑋2 + (𝑋1 + 𝑋2)𝑘𝑡; 𝑥3 = 𝑋3

obtenha o campo de deslocamento (u).

Solução:


65

As componentes ui do vetor de deslocamento u são determinadas por meio da Equação

(6.17). Fazendo i = 1, 2, 3, tem-se:

𝑢1 = 𝑥1 − 𝑋1 = 𝑋1 + (𝑋1 + 𝑋2)𝑘𝑡 − 𝑋1 = (𝑋1 + 𝑋2)𝑘𝑡

𝑢2 = 𝑥2 − 𝑋2 = 𝑋2 + (𝑋1 + 𝑋2)𝑘𝑡 − 𝑋2 = (𝑋1 + 𝑋2)𝑘𝑡

𝑢3 = 𝑥3 − 𝑋3 = 𝑋3 − 𝑋3 = 0

O vetor u é dado por:

𝒖 = (𝑋1 + 𝑋2)𝑘𝑡�̂�1 + (𝑋1 + 𝑋2)𝑘𝑡�̂�2

Ou

𝒖 = [(𝑋1 + 𝑋2)𝑘𝑡(𝑋1 + 𝑋2)𝑘𝑡

0

]

______________________________________________________________________

6.4 Equações do movimento de corpo rígido

a) Translação de corpo rígido - a equação cinemática para translação de corpo rígido é:

𝒙 = 𝑿 + 𝒄(𝑡) (6.19)

na qual 𝒄(0) = 𝟎.

b) Rotação de corpo rígido sobre um ponto fixo - a equação cinemática é:

𝒙 − 𝒃 = 𝑹(𝑡)(𝑿 − 𝒃) (6.20)

em que 𝑹(𝑡)é o tensor ortogonal (isto é, o tensor de rotação, com 𝑹(0)= I), e b é um

vetor constante.

c) Movimento geral de corpo rígido - a equação cinemática é:

𝒙 = 𝑹(𝑡)(𝑿 − 𝒃) + 𝒄(𝑡) (6.21)

na qual 𝑹(𝑡) é o tensor rotação com 𝑹(0)= I e 𝒄(𝑡)é um vetor com 𝒄(0) = 𝒃. A equação

(6.21) mostra que o movimento é descrito por uma translação 𝒄(𝑡) de um ponto base X =

b mais a rotação 𝑹(𝑡) sobre esse ponto.


66

Figura 6. 4 Translação de um corpo.

Figura 6. 5 Translação e rotação de um corpo.

Figura 6. 6 Translação, rotação e deformação de um corpo.

6.5 Deformação infinitesimal

Há vários problemas de engenharia que envolvem membros estruturais em que a

deformação é muito pequena (matematicamente tratadas como infinitesimal). Considere

um corpo tendo uma configuração em algum tempo t0 e muda para outra configuração no

tempo t (Figura 6.7) (LAI; RUBIN; KREMPL, 2010).


67

Figura 6. 7 Configuração de um corpo no tempo t0 e no tempo t.

O tensor que caracteriza a deformação de tais corpos é obtido como se segue. Seja um

ponto material P que sofre um deslocamento u tal que ele chegue na seguinte posição:

𝒙 = 𝑿 + 𝒖(𝑿, 𝑡) (6.22)

Um ponto vizinho Q em X + dX chega em x + dx, os quais são relacionados por:

𝒙 + 𝒅𝒙 = 𝑿 + 𝒅𝑿 + 𝒖(𝑿 + 𝒅𝑿, 𝑡) (6.23)

Subtraindo-se as equações (6.22) e (6.23), tem-se:

𝒅𝒙 = 𝒅𝑿 + 𝒖(𝑿 + 𝒅𝑿, 𝑡) − 𝒖(𝑿, 𝑡) (6.24)

Usando a definição de gradiente de um vetor função, tem-se que:

𝒅𝒙 = 𝒅𝑿 + (𝛁𝒖)𝒅𝑿 (6.25)

na qual 𝜵𝒖 é um tensor de segunda ordem conhecido como gradiente de deslocamento.

Considere dx = F dX, em que:

𝑭 = 𝑰 + 𝛁𝒖 (6.26)

em que F é chamado de tensor gradiente de deformação. O tensor C, conhecido como

tensor de deformação de Cauchy-Green à direita, é definido por:

𝑪 = 𝑭𝑇𝑭 (6.27)

O tensor C = I corresponde a um movimento de corpo rígido (translação e/ou rotação).

Das Equações (6.26) e (6.27), tem-se:

𝑪 = 𝑭𝑇𝑭 = (𝑰 + 𝜵𝒖)𝑇(𝑰 + 𝜵𝒖) = 𝑰 + 𝜵𝒖 + 𝜵𝒖𝑇 + 𝜵𝒖𝑇𝜵𝒖 (6.28)

uma vez que I = IT. Fazendo 𝑬∗ =1

2(𝜵𝒖 + 𝜵𝒖𝑇 + 𝜵𝒖𝑇𝜵𝒖), a Equação (6.28) pode ser

reescrita por:

𝑪 = 𝑭𝑇𝑭 = 𝑰 + 2𝑬∗ (6.29)

O tensor 𝑬∗é conhecido como tensor de deformação de Lagrange, que é um tensor de

deformações finitas. Considerando o caso em que as componentes do vetor de


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deslocamentos, bem como suas derivadas parciais, sejam muito pequenas

(matematicamente infinitesimais), o tensor C fica:

𝑪 ≈ 𝑰 + 𝜵𝒖 + 𝜵𝒖𝑇 = 𝑰 + 2𝜺 (6.30)

na qual

𝜺 =1

2(𝜵𝒖 + 𝜵𝒖𝑇)éapartesimétricade𝜵𝒖 (6.31)

O tensor 𝜺 é conhecido como tensor de deformação infinitesimal. Para deformações

infinitesimais de um corpo contínuo (os deslocamentos e os gradientes de deslocamentos

são pequenos, ou seja, ‖𝒖‖ ≪ 1 e ‖𝛁𝒖‖ ≪ 1), é possível desempenhar uma linearização

geométrica do tensor de deformações finitas Langrangeana E*. Em tal linearização, os

termos não lineares ou de segunda ordem são desprezados de E* (𝜵𝒖𝑇𝜵𝒖 ≅ 𝟎). Então,

tem-se que:

𝑬∗ =1

2(𝜵𝒖𝑇 + 𝜵𝒖 + 𝜵𝒖𝑇𝜵𝒖) ≅

1

2(𝜵𝒖𝑇 + 𝜵𝒖) (6.32)

𝑬∗ = 𝜺 (6.33)

As componentes do tensor deformações infinitesimais , também chamado do tensor de

deformação de Cauchy, são:

𝜀𝑖𝑗 =1

2(𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑋𝑗+

𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑋𝑖) (6.34)

e na forma matricial fica:

𝜺 =

[

𝜕𝑢1

𝜕𝑋1

1

2(𝜕𝑢1

𝜕𝑋2+

𝜕𝑢2

𝜕𝑋1)

1

2(𝜕𝑢1

𝜕𝑋3+

𝜕𝑢3

𝜕𝑋1)

1

2(𝜕𝑢2

𝜕𝑋1+

𝜕𝑢1

𝜕𝑋2)

𝜕𝑢2

𝜕𝑋2

1

2(𝜕𝑢2

𝜕𝑋3+

𝜕𝑢3

𝜕𝑋2)

1

2(𝜕𝑢3

𝜕𝑋1+

𝜕𝑢1

𝜕𝑋3)

1

2(𝜕𝑢3

𝜕𝑋2+

𝜕𝑢2

𝜕𝑋3)

𝜕𝑢3

𝜕𝑋3 ]

(6.35)

6.5.1 Significado geométrico das componentes do tensor de deformação infinitesimal

Elementos da diagonal de :

11 é o alongamento unitário para um elemento originalmente na direção de x1;

22 é o alongamento unitário para um elemento originalmente na direção de x2;

33 é o alongamento unitário para um elemento originalmente na direção de x3.

Essas componentes (elementos da diagonal principal de ) são conhecidas como as

deformações normais.

Os elementos fora da diagonal principal de :

212 dá o decréscimo do ângulo entre dois elementos inicialmente nas direções x1

e x2;


69


e x3;


e x3.

______________________________________________________________________

Exemplo 6.2: Num dado instante do tempo a relação entre as coordenadas de um ponto

na configuração inicial e final é:

𝑢1 = 𝑋1 + 𝑋12

𝑢2 = −𝑋3

𝑢3 = 𝑋2

Calcule o tensor de deformação infinitesimal .

Solução:

O tensor gradiente de deslocamento 𝜵𝒖 é obtido por:

𝜵𝒖 =

[ 𝜕𝑢1

𝜕𝑋1

𝜕𝑢1

𝜕𝑋2

𝜕𝑢1

𝜕𝑋3

𝜕𝑢2

𝜕𝑋1

𝜕𝑢2

𝜕𝑋2

𝜕𝑢2

𝜕𝑋3

𝜕𝑢3

𝜕𝑋1

𝜕𝑢3

𝜕𝑋2

𝜕𝑢3

𝜕𝑋3]

= [1 + 2𝑋1 0 0

0 0 −10 1 0

]

A transposta de 𝜵𝒖 é:

𝜵𝒖𝑇 = [1 + 2𝑋1 0 0

0 0 10 −1 0

]

O tensor de deformação infinitesimal 𝜺 é calculado por meio da Equação (6.31). Assim,

o tensor 𝜺 na forma matricial fica:

𝜺 =1

2(𝜵𝒖 + 𝜵𝒖𝑇) =

1

2[2 + 4𝑋1 0 0

0 0 00 0 0

]

𝜺 = [1 + 2𝑋1 0 0

0 0 00 0 0

]

______________________________________________________________________

Exemplo 6.3: Seja um campo de deslocamento bidimensional dado por:

𝑢1 = 𝑘(𝑋2 + 𝑌2)

𝑢2 = 𝑘(2𝑋 − 𝑌)

𝑢3 = 0

em que k é uma constante. Determine e desenhe a forma deformada de um elemento

diferencial retangular originalmente localizado com seu canto esquerdo na origem.


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Solução:

O tensor gradiente de deslocamento 𝜵𝒖 é obtido por:

𝜵𝒖 =

[ 𝜕𝑢1

𝜕𝑋1

𝜕𝑢1

𝜕𝑋2

𝜕𝑢1

𝜕𝑋3

𝜕𝑢2

𝜕𝑋1

𝜕𝑢2

𝜕𝑋2

𝜕𝑢2

𝜕𝑋3

𝜕𝑢3

𝜕𝑋1

𝜕𝑢3

𝜕𝑋2

𝜕𝑢3

𝜕𝑋3]

= [2𝑘𝑋1 2𝑘𝑋2 02𝑘 −𝑘 00 0 0

]

A deformação do elemento na direção x1 (𝒅𝒙𝟏) é calculada como segue:

𝒅𝒙𝟏 = 𝒅𝑿𝟏 + (𝛁𝒖)𝒅𝑿𝟏

𝒅𝒙𝟏 = [𝑑𝑋1

00

] + [2𝑘𝑑𝑋1 2𝑘𝑑𝑋2 0

2𝑘 −𝑘 00 0 0

] [𝑑𝑋1

00

]

𝒅𝒙𝟏 = [𝑑𝑋1 + 2𝑘𝑑𝑋1

2

2𝑘𝑑𝑋1

0

]

De maneira semelhante, a deformação do elemento na direção x2 (𝒅𝒙𝟐) é determinada

como segue:

𝒅𝒙𝟐 = 𝒅𝑿𝟐 + (𝛁𝒖)𝒅𝑿𝟐

𝒅𝒙𝟐 = [0

𝑑𝑋2

0] + [

2𝑘𝑑𝑋1 2𝑘𝑑𝑋2 02𝑘 −𝑘 00 0 0

] [0

𝑑𝑋2

0]

𝒅𝒙𝟐 = [2𝑘𝑑𝑋2

2

𝑑𝑋2 + 2𝑘𝑑𝑋22

0

]

A deformação do elemento 𝒅𝒎 é determinada por:


71

𝒅𝒎 = 𝒅𝑴 + (𝛁𝒖)𝒅𝑴

𝒅𝒎 = [𝑑𝑋1

𝑑𝑋2

0

] + [2𝑘𝑑𝑋1 2𝑘𝑑𝑋2 0

2𝑘 −𝑘 00 0 0

] [𝑑𝑋1

𝑑𝑋2

0

]

𝒅𝒎 = [𝑑𝑋1 + 2𝑘𝑑𝑋1

2 + 2𝑘𝑑𝑋22

𝑑𝑋2 + 2𝑘𝑑𝑋1 − 𝑘𝑑𝑋2

0

]

Um esboço do elemento deformado é:

______________________________________________________________________


72

Referências

BONET, J.; WOOD, R. D. Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element

Analysis. 2. Ed. [S.l.]: Cambridge University Press, 2008.

LACERDA, E. G. M. Análise não linear de treliças pelo Método dos Elementos

Finitos Posicional. Dissertação (Mestre em Engenharia Civil) - Programa de Pós-

graduação em Engenharia Civil, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal,

2014.

LAI, W. M.; RUBIN, D. H.; KREMPL, E. Introduction to continuum mechanics.

Butterworth-Heinemann, 2010.

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