Progressão Aritmética, PA

Introdução

Chama-se sequência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma sequência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente. Uma sequência pode ser finita ou infinita.

O exemplo dado acima é de uma sequência finita. Já a sequência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita. Uma sequência numérica pode ser representada genericamente na forma:

(a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, ... , ak é o k-ésimo termo, ... , an é o n-ésimo termo. (Neste caso, k < n). Por exemplo, na sequência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3 = 18, a5 = 162, etc.

São de particular interesse, as sequências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível escrever uma relação matemática entre eles.

Assim, na sequência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3. A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da sequência, é denominada termo geral.

Considere por exemplo a sequência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo. Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo termo) correspondente.

Assim por exemplo, para n = 20, teremos an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa sequência (a20) é igual a 65. Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a sequência S que seria: S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).

Dado o termo geral de uma sequência, é sempre fácil determiná-la. Seja por exemplo a sequência de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo. Nestas condições, podemos concluir que a sequência poderá ser escrita como: (15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ). Por exemplo: a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.

Conceito de Progressão Aritmética - PA Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda sequência numérica cujos termos a partir do

segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão. Exemplos: A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente) B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente) C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante) D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma Progressão Aritmética Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r. De acordo com a definição podemos escrever: a2 = a1 + 1.r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r .....................................................

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. an = a1 + (n – 1) . r A expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA. Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA. Exemplos: Qual o milésimo número ímpar positivo? Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a1000. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever: a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999. Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar. Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ? Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n. Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ; logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n , de onde vem n = 40. Portanto, a PA possui 40 termos. Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética, podemos generaliza-la da seguinte forma:

Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA, poderemos escrever a seguinte fórmula genérica: aj = ak + (j - k).r Exemplos: Se numa Progressão Aritmética o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão? Temos a5 = 30 e a20 = 60. Pela fórmula anterior, poderemos escrever: a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ; 60 - 30 = 15r ; logo, r = 2. Numa Progressão Aritmética de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo? Temos r = 5, a20 = 8. Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5 a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.

Propriedades das Progressões Aritméticas Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste. Exemplo: PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2 Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo: Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo: (x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA. Numa PA, a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante.

Exemplo: PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.

Soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an). A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an , pode ser deduzida facilmente, da aplicação da segunda propriedade acima. Temos: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como: Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1 Somando membro a membro estas duas igualdades, vem: 2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1) Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos termos extremos a1 + an ) , de onde concluímos inevitavelmente que: 2.Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da PA. Daí então, vem finalmente que: Exemplo: Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos. Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) Precisamos conhecer o valor de a200 . Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399 Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000 Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.