Conteúdo: Profª Maria Cristina Kessler Implementação: Prof. Claudio Gilberto de Paula.

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FUNÇÃO INVERSAEm matemática, o termo inversa é usado para

descrever funções que são reversas uma da outra, no sentido que cada uma desfaz o efeito da outra.

Em matemática, o termo inversa é usado para descrever funções que são reversas uma da outra, no sentido que cada uma desfaz o efeito da outra.

Dada uma função f, dizemos que ela é invertível quando podemos determinar outra função g que "desfaz o serviço de f". Nesse caso, g é denominada a função inversa de f e, portanto, f é a inversa de g. Normalmente, a função inversa de f é representada por f-1.

Pergunta: Dada uma função f, como fazemos, na prática, para determinar sua inversa?

Vejamos: se temos a função f, significa que para cada valor da variável independente x obtemos, em correspondência, um valor para a variável dependente y.

Dom f

f

Ao procurar a inversa de f pretendemos encontrar a função g que, a cada y na imagem de f associa o x inicial no domínio de f. Em linguagem simples, “o x vira y e o y vira x”.

Im g = Dom f Dom g = Im f

FUNÇÃO INVERSA

Vejamos a função representada no diagrama abaixo:

1

2

4

3

3

5

9

7

Observe o domínio da função:

A = {1,2,3,4}

Observe o conjunto imagem da função: B = {3,5,7,9}

Encontre a lei de formação que relaciona as variáveis x e y:

Y = Clique aqui para conferir .

Clique aqui para conferir .

Vamos agora encontrar a função inversa trocando o y pelo x e vice-versa:

3

5

9

7

1

2

4

3

Agora o domínio da função é: B = {3,5,7,9} eo conjunto imagem A = {1,2,3,4}.

O contradomínio da função: A

Encontre a lei de formação que relaciona as variáveis x e y:

Y = Clique para

conferir .Clique para

conferir .

A B

s4

AB

OBSERVE QUE:OBSERVE QUE:

Tudo isso sugere as seguintes relações:

a imagem de f é o domínio de f -1

O domínio de f é a imagem de f -1

domínio de f -1

= domínio de f

= imagem de f

Imagem de f -1

Para encontrarmos a função inversa de f(x), a f-1 (x) devemos realizar as seguintes etapas:

11 trocar x por y e y por x;

fica :

x = 2y + 1

22 isolar novamente o y, deixando-o em função de x.

ou seja f-1 (x) =

Considerando a função y = 2x+1,

EXEMPLOEXEMPLO

Considerando a função

f(x) = x+2, encontre f-1(x).

Utilizando o winplot construa o gráfico de f(x) e da sua inversa e cole-o no

espaço ao lado.

Clique aqui para conferir a resposta.


Observe que os gráficos dessas funções são simétricos em relação à reta y = x (função identidade).

Com a ajuda do winplot construa o gráfico de cada uma das funções abaixo e das suas respectivas inversas.

Construa também o gráfico da função identidade para observar a simetria entre f(x) e f-1(x).



EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS

1) y = 2x+3

s7






2) y = x+4






3) y = x³

Vamos agora analisar as condições, a serem cumpridas, para que uma função admita inversa:

Vamos agora analisar as condições, a serem cumpridas, para que uma função admita inversa:

Vejamos a função representada no diagrama abaixo:

O domínio da função: Dom f {1,2,3} e o conjunto imagem {2,4,6}.

Cont f : {2,4,6,8}.

Se fôssemos agora tentar encontrar a inversa, trocando o x pelo y, teríamos:

condiçõs

1

2

3

2

4

8

6

Neste exemplo o conjunto imagem não é igual ao contradomínio da função.

1

2

3

2

4

8

6

Observe que não temos uma função, pois o elemento 8 não tem correspondente no conjunto B.

Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se de função f de A em B, ao conjunto de pares ordenados (x,y) tal que, para todo x pertencente ao conjunto A, existe um e somente um y pertencente ao conjunto B.

Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se de função f de A em B, ao conjunto de pares ordenados (x,y) tal que, para todo x pertencente ao conjunto A, existe um e somente um y pertencente ao conjunto B.

Desta forma para que uma função admita inversa algumas condições precisam ser cumpridas: Desta forma para que uma função admita inversa algumas condições precisam ser cumpridas:

A função precisa ser sobrejetora

Analisaremos agora outra situação a partir do diagrama abaixo:

condiçõs1

-1

1

-2

1

4

-1

1

-2

1

4

Uma função é dita sobrejetora quando o conjunto imagem é igual ao contradomínio da função.

Uma função é dita sobrejetora quando o conjunto imagem é igual ao contradomínio da função.

11

2

Na tentativa de encontrar a inversa, troca-se o x pelo y.

2

Observe que este conjunto de pares ordenados não representa uma função.

{(1,-1); (1,1), (4, -2); (4,2)}

Os elementos 1 e 4 apresentam duas imagens, o que contraria a definição de função.

Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se de função f de A em B, ao conjunto de pares ordenados (x,y), tal que para todo x pertencente ao conjunto A, existe um e somente um y pertencente ao conjunto B.

Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se de função f de A em B, ao conjunto de pares ordenados (x,y), tal que para todo x pertencente ao conjunto A, existe um e somente um y pertencente ao conjunto B.

Desta forma temos outra condição a ser cumprida:Desta forma temos outra condição a ser cumprida:

A função precisa ser injetora

Conclusão: Para que uma função admita inversa ela precisa ser bijetora.

condiçõs2

Uma função é dita injetora se, para diferentes valores de x, apresentar diferentes imagens.Uma função é dita injetora se, para diferentes valores de x, apresentar diferentes imagens.

22

sobrejetora+ injetora.sobrejetora+ injetora.

Vejamos o seguinte exemplo:

Considere-se a função f(x) = x²

Esta função, f: R→R com imagem de [0, +∞), não admite inversa pois não é injetora, mas se restringíssemos o domínio da função para f: [0, +∞) →[0, +∞)?

Desta forma a função f: [0, +∞) → [0, +∞) com y = x² terá como inversa a função y = + x

É preciso ficar claro que se uma função não for invertível, é possível estabelecer uma restrição, ou seja, restringir o domínio de tal modo que a função definida nesse novo domínio o seja.

Observe os gráficos de f(x)= x² , da sua inversa f-1(x) e de y = x.

condic3

x

y


a) Encontre as funções inversas de cada uma das funções abaixo, estabelecendo, quando necessário, uma restrição.

b) Determine o domínio e imagem de f(x) e de f-1(x).

c) Construa o gráfico das funções e da função identidade y = x para observar a simetria.

Exerc.1

Clique aqui para conferir .Clique aqui para conferir .

1 y = x² + 1

Dom f:

Dom f-1

Im f:

Im f-1


Encontre as funções inversas de cada uma das funções abaixo estabelecendo, quando necessário uma restrição.

Determine o domínio e imagem de f(x) e de f-1(x).

Construa o gráfico das funções e da função identidade y = x para observar a simetria.

Exerc.2

Clique aqui para conferir .Clique aqui para conferir .

2 y = x² - 3

Dom f: Dom f-1

Im f: Im f-1

Resp 1

RESPOSTA:

y = 2x+1

Resp 2

RESPOSTA:

Resp 3

RESPOSTA:

1) f = 2x+3

2

3-x1-f

Resp 3a

RESPOSTA:

2) f = x+4

f-1 = x+4

Resp 3aa

RESPOSTA:

3 x1f

3) y = x³

Resp 4

RESPOSTA:

Dom f: [0,+∞) Dom f-1: [1, +∞)

Im f: [1, +∞) Im f-1: [0,+∞)

1

Resp 5

RESPOSTA:

Dom f: [0,+∞) Dom f-1: [-3, +∞)

Im f: [-3, +∞) Im f-1: [0,+∞)

2

Resp 3

RESPOSTA:

1) f = 2x+1

2

1-x1-f

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