Contexto e Aplicações Dante - Volume 3

1. 3 Apresentao A questo primordial no o que sabemos, mas como o sabemos. Aristteles No h ramo da Matemtica, por mais abstrato que seja, que no possa um dia vir a ser aplicado aos fenmenos do mundo real. Lobachevsky o elaborar esta coleo para o Ensino Mdio, levamos em conta as ideias que abrem esta apresentao. Isso porque nosso objetivo criar condies para que voc, aluno, possa compreender as ideias bsicas da Matemtica desse nvel de ensino atribuindo significado a elas, alm de saber aplic-las na resoluo de problemas do mundo real. Todos os conceitos bsicos prprios do Ensino Mdio foram explorados de maneira intuitiva e compreensvel. As receitas prontas e o formalismo excessivo foram evitados, porm mantivemos o rigor coerente com o nvel para o qual a coleo est sendo proposta. Na abertura das unidades apresentamos um tema que est relacionado com um dos captulos que a compem; ela te dar uma ideia de um dos temas que ser estudado. J na abertura dos captulos apresentamos informaes gerais, que podem ter uma abordagem histrica sobre o assunto que ser discutido. Antes de resolver os exerccios, absolutamente necessrio que voc es- tude a teoria, analise os exemplos e refaa os exerccios resolvidos. Na seo Resolvido passo a passo, comentamos e explicitamos as fases da resoluo de um problema. A seo Outros contextos foi criada para formular, resolver e interpretar situaes-problema que esto relacionadas a situaes reais e/ou relacionadas com outras disciplinas. Cada unidade contm ainda as sees Pensando no Enem e Vestibulares de Norte a Sul, com questes baseadas no Enem (Exame Nacional do Ensino Mdio) e de vestibulares de todas as regies do pas, destinadas a revisar, fixar e aprofundar os contedos estudados. E no fim de cada volume, na seo Caiu no Enem, foram includas questes do Enem relacionadas a cada unidade. A coleo engloba, desse modo, todos os assuntos costumeiramente tra- balhados no Ensino Mdio, alm de auxili-lo em sua preparao para os pro- cessos seletivos de ingresso nos cursos de Educao Superior. As sugestes e crticas que visem ao aprimoramento deste trabalho sero sempre bem-vindas. O autor A Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_003.indd 3 5/27/13 2:50 PM

2. Cada volume da coleo dividido em quatro unidades nas quais voc encontrar os seguintes boxes e sees: UNIDADE 1 Matemtica financeira e Estatstica 10 11 Surge um aparelho menor e mais leve (cerca de 1 kg), vendido comercialmente e marca poca como smbolo de status e tecnologia. poca marcada pela popularizao do famoso tijolo, semelhante a um telefone sem fio convencional. Surge o primeiro celular com tela touchscreen da Histria. Surgem os primeiros celulares com inovaes, como display colorido, cmera digital integrada e MP3 player. Surgem os smartphones dando origem a sistemas operacionais exclusivos, interao touchscreen e instalao de aplicativos. Surgem os primeiros celulares com antena interna e recursos, como o recebimento de mensagens de texto e acesso internet. O celular acumula recursos capazes de substituir computadores em tarefas domsticas e profissionais. E a evoluo persiste... para a sorte do consumidor! Adaptadode:.Acessoem:15fev.2013. UNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADE 11111111111111111111111111 MatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemticaMatemtica financeira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira efinanceira e EstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatsticaEstatstica Adaptadode:.Acessoem:15fev.2013. A Estatstica uma cincia que se dedica coleta, anlise e interpretao de dados numricos para o estudo de fenmenos naturais, econmicos e sociais, com o objetivo de analis-los e compreend-los para subsidiar a proposio de estratgias e tomadas de deciso. Evoluo do celular desenvolvido o primeiro prottipo do celular. O aparelho contava com a desvantagem de pesar 40 kg e era instalado em porta-malas de carros de luxo. 1. Com que objetivo so realizados estudos estatsticos de fenmenos naturais, econmicos e sociais? 2. correto afirmar que de 2002 a 2012 houve um aumento de aproximadamente 500% no nmero de pessoas com acesso internet no Brasil? Por qu? PESSOAS COM ACESSO (Casa, trabalho, lan houses e locais pblicos) 14 MILHES 83,4 MILHES USURIOS ATIVOS (Casa e trabalho) 9,8 MILHES 48,3 MILHES COMPUTADORES EM USO 18 MILHES 99 MILHES DOMNIOS.BR REGISTRADOS 400 MIL 3 MILHES FATURAMENTO DO COMRCIO ELETRNICO 500 MILHES 10 BILHES CELULARES 32 MILHES 252 MILHES INTERNET FIXA 400 VEZES MAIS RPIDA INTERNET MVEL 200 VEZES MAIS RPIDA OS NMEROS DE DEZ ANOS DE INTERNET E TELEFONIA MVEL NO BRASIL (Dados do 1 semestre) 12 1 CAPTULO Matemtica financeira A Matemtica financeira utilizada em muitas situaes de nosso cotidiano, e um de seus principais conceitos o juro, uma relao entre o dinheiro e o tempo. A pessoa que conhece os fundamentos da Matemtica financeira pode adotar uma postura consciente em seu papel de consumidor, evitando o endividamento e o pagamento de juros altos. Por exemplo, um trabalhador que ganha R$ 1 000,00 mensais comprou um televisor a prazo nas condies da figura. Ele ter de trabalhar 45 dias no ano para pagar o televisor e mais 12 dias para pagar o valor dos juros do financiamento. Voc acha que ele fez um bom negcio? EduLyra/PulsarImagensDamdSouza/Arquivodaeditora 195Captulo 8 Equaes algbricas passo a passo: exerccio 13 Resolvido passo a passo 13. (FGV-SP)Duranteoltimojogodaseleobrasileira, brinquei com meu primo, apostando quem conse- guiria colocar mais pipocas na boca. Comecei colocando duas na boca e fui aumentando r pipocas por vez, como em uma PA. Ele comeou colocando 1 na boca e foi multiplicando por r, como numa PG. Na quarta vez em que colocamos pipocas na boca, des- cobrimosqueaquantidadecolocadapornsdoisfoi a mesma. Nessa nossa brincadeira, o valor de r : a) um nmero quadrado perfeito. b) um nmero maior que 3. c) um divisor de 15. d) um mltiplo de 3. e) um nmero primo. 1. Lendo e compreendendo a) O que dado no problema? So dadas uma PA cujo primeiro termo 2 e uma PG de primeiro termo 1, ambas de razo r. infor- mado que o 4o termo de ambas igual. b) O que se pede? O valor de r, que, segundo o enunciado, a razo das sequncias descritas no texto. 2. Planejando a soluo Vamos obter o 4o termo de cada sequncia, igual- -los e resolver a equao cbica resultante. Para tal, precisaremos obter uma raiz. 3. Executando o que foi planejado Vamos construir a PA e a PG, de acordo com o enunciado: PA (2, 2 r, 2 2r, 2 3r, ) PG (1, r, r2 , r3 , ) Como o 4o termo das duas sequncias igual, en- to r3 2 3r. Para obter o valor de r, precisamos resolver a equa- o r3 3r 2 0. Vamos ento pesquisar as provveis razes racionais dessa equao: p divisor de 2 p {1, 1, 2, 2} q divisor de 1 q {1, 1} Ento, p q {1, 1, 2, 2}. Fazendo a verificao: p(1) (1)3 3(1) 2 p(1) 1 3 2 0 Como p(1) 0, ento 1 raiz. Vamos eliminar a raiz 1 utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini e obter as razes restantes: 1 1 0 3 2 1 1 2 0 Portanto, as duas razes restantes so as razes da equao r2 r 2 0: (1)2 4 1 (2) 9 r ( )( ) 1 91 9( )1 9( ) 1 9 2 1 1 3 1 3 2 1 91 9 2 12 1 1 31 3 r 2 ou r 1 Assim, o conjunto soluo dessa equao S {1 , 2}. Porm, para haver coerncia com o enunciado, somente a raiz positiva pode ser a razo das sequncias apresentadas (no h pipocas ne- gativas). Desse modo, r 2; portanto, r um n- mero primo. 4. Emitindo a resposta A resposta a alternativa e. 5. Ampliando o problema a) Quantas pipocas o narrador colocou na boca at o momento relatado no texto? E o primo? b) Se os rapazes continuarem a brincadeira, se- guindo as mesmas regras, qual dos dois (o narrador ou o primo) conseguir continuar pondo pipocas na boca por mais vezes? 26. ATIVIDADE EM DUPLA Pesquisem as razes racionais das equaes algbricas: a) 2x3 x2 2x 1 0 c) 4x3 5x 1 0 b) 4x4 4x3 3x2 4x 1 0 d) 2x3 7x2 7x 2 0 27. ATIVIDADE EM DUPLA (PUC-SP) Quais so as razes da equao 3x3 13x2 13x 3 0? 28. ATIVIDADE EM DUPLA (FEI-SP) Resolva a equao cbica x3 2x2 3x 6 0. 29.(ITA-SP) Quais so as razes inteiras da equao x3 4x2 2x 4 0? Exerccios Exerccio resolvido passo a passo Apresenta a resoluo detalhada de uma questo ou problema. No so modelos a serem seguidos, mas visam inspirar e indicar estratgias de resoluo. Conhea seu livro Para refletir, Fique atento! e Voc sabia? Pequenos boxes que trazem questes para reflexo ou dicas importantes para o estudo. Exerccios Essenciais para a aprendizagem. Ajudam a fixar e aprofundar os contedos estudados. 39 Captulo 2 Estatstica Veja outros exemplos de grficos de segmentos. Voc sabia? Os dados dos grficos acima foram obtidos do Censo Demogrfico 2010, que uma pesquisa realizada a cada 10 anos pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica (IBGE). O primeiro Censo brasileiro aconteceu em 1872 e chamava-se Recenseamento da Populao do Imprio do Brasil. Os pesquisadores do IBGE visitam todos os domiclios do pas para aplicar um questionrio e posteriormente os dados so analisados e publicados em estudos sobre diversos temas. a) Crescimento da populao brasileira de 1940 a 2010 Em milhes de habitantes Ano1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 20 40 60 80 100 120 140 160 180 190 Fonte: IBGE. b) Nmero de alunos matriculados no Ensino Supe-rior no Brasil 0 1 750 000 3 500 000 5 250 000 7 000 000 20 04 20 03 20 05 20 06 20 07 20 08 20 09 20 10 Matrcula(s) Ano Fonte: . Acesso em: 6 nov. 2012. 10. Utilize o grfico de segmentos do exemplo dado (venda de livros) na pgina anterior e responda: a) Em que perodos do segundo semestre as vendas subiram?b) Em qual destes dois meses as vendas foram maiores: julho ou outubro? c) Em que ms do semestre as vendas foram menores?d) Em que ms foram vendidos 450 livros? 11. Um aluno apresentou durante o ano letivo o seguinte aproveitamento: primeiro bimestre: nota 7,0; segundo bimestre: nota 6,0; terceiro bimestre: nota 8,0; e quarto bimestre: nota 8,0. Construa um grfico de segmentos correspondente a essa situao e, a partir dele, tire algumas concluses.12. Uma professora anotou o nmero de faltas dos alunos, durante um semestre, de acordo com os dias da semana. Observe as anotaes, construa o grfico de segmentos e tire concluses: segunda-feira, 64 faltas; tera-feira, 32; quarta-feira, 32; quinta-feira, 48; sexta-feira, 60.13. Analise o grfico a seguir e responda:a) Em qual ano o saldo comercial foi o menor?b) Em qual ano o saldo foi o maior? c) O que ocorreu com o saldo comercial de 2007 a 2008?d) Quantos milhes de dlares cresceu o saldo de 2010para 2011? Exerccios Valores Evoluo do saldo comercial do Brasil Ano 2002 5 000 0 10 000 10 440 15 076 19 749 19 533 20 584 11 293 13 905 7 880 12 959 7 069 15 000 2 618 20 000 25 000 (em U$ milhes) 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012Fonte dos dados: e . Acesso em: 9 mar. 2013. Voc sabia? O saldo comercial, ou seja, osaldo da balana comercial, um termo econmico que representa a diferena entre oque exportado e o que importado. Quando o saldo positivo porque o pas exportou mais do que importou. Caso ocorra o inverso, dizemos que o saldo negativo. Unidade 1 Matemtica financeira e Estatstica 32 Varivel Uma indstria automotiva que pretende lanar um novo modelo de carro faz uma pesquisa para sondar a preferncia dos consumidores sobre tipo de combustvel, nmero de portas, potncia do motor, preo, cor, tamanho, etc. Cada uma dessas caractersticas uma varivel da pesquisa. Na varivel tipo de combustvel, a escolha pode ser, por exemplo, entre etanol e gasolina. Dizemos que esses so valores ou realizaes da varivel tipo de combustvel. Varivel qualitativa Em uma pesquisa que envolve pessoas, por exemplo, as variveis consideradas podem ser sexo, cor de cabelo, esporte favorito e grau de instruo. Nesse caso dizemos que as variveis so qualitativas, pois apresentam como possveis valores uma qualidade (ou atributo) dos indivduos pesquisados. Alm disso, dizemos que as variveis qualitativas podem ser ordinais, quando existe uma ordem nos seus valores, ou nominais, quando isso no ocorre. Por exemplo, grau de instruo uma varivel qualitativa ordinal, j que seus valores podem ser ordenados (Fundamental, Mdio, Superior, etc.). Varivel quantitativa Quando as variveis de uma pesquisa so, por exemplo, altura, peso, idade em anos e nmero de irmos, dizemos que elas so quantitativas, pois seus possveis valores so nmeros. As variveis quantitativas podem ser discretas, quando se trata de contagem (nmeros inteiros), ou contnuas, quando se trata de medida (nmeros reais). Por exemplo: a) Nmero de irmos uma varivel quantitativa discreta, pois podemos contar (0, 1, 2, etc.). b) Altura uma varivel quantitativa contnua, uma vez que pode ser medida (1,55 m, 1,80 m, 1,73 m, etc.). Quadro-resumo dos tipos de varivel de uma pesquisa: Varivelvelv qualitativaivaiv nominal ordinal quantitat iviivi aivaiv discreta contnua Para refletir Esporte favorito uma varivel qualitativa nominal. Justifique. Fique atento! A idade em anos exatos pode ser considerada varivel quantitativa discreta (8, 10, 17, etc.). 1. Classifique as variveis em qualitativas nominais, qualitativas ordinais, quantitativas discretas ou quantitativas contnuas: a) nmero de alunos da sua sala; b) altura dos professores; c) cor do cabelo de uma determinada pessoa; d) nmerodedefeitosobservadosemumequipamento eletrnico; e) tipos de defeitos observados em cada unidade de um determinado produto; f) srie em que um aluno estuda; 2. Uma concessionria de automveis tem cadastrados 3 500 clientes e fez uma pesquisa sobre a preferncia decompraemrelaoacor(branco,vermelhoouazul), preo, nmero de portas (duas ou quatro) e estado de conservao (novo ou usado). Foram consultados 210 clientes. Diante dessas informaes, responda: a) Qual o universo estatstico e qual a amostra dessa pesquisa? b) Quais so as variveis e qual o tipo de cada uma? c) Quais os possveis valores da varivel cor nessa pesquisa? ATENO! No escreva no seu livro! Exerccios 185 Matemtica tecnologiae Grfico de funes polinomiais Para construir grficos de funes polinomiais vamos novamente utilizar o Geogebra.Caso voc ainda no tenha o programa instalado, volte ao captulo 5, siga as instrues de download e veja os primeiros passos de utilizao do software. Vamos construir o grfico de uma funo polinomial do quarto grau p(x) ax4 bx3 cx2 dx e com coeficientes variveis. Para isso siga os passos abaixo. 1o passo: Na barra de ferramentas, clique com o boto esquerdo do mouse, inicialmente, na opo Controle deslizante: Em seguida,clique em qualquer ponto da janela de visualizao (Zona grfica) e tecleEnter. Nesse instante aparecer o parmetro a (com valor inicial igual a 1) Repita a operao e insira novos parmetros (b, c, d e e). 2o passo: No campo Entrada (situado na parte inferior da tela) digite o polinmio: p(x) a*x^4 b*x^3 c*x^2 d*x e, em seguida, tecleEnter. Observe que*significa a operao de multiplicao e ^ significa a operao de potenciao. 3o passo: Para melhorar a visualizao, clique com o boto direito do mouse no grfico da funo polinomial. Na aba que ser apresen- tada clique em Propriedades. Clique na aba Core escolha uma nova cor para o seu grfico. Em seguida, clique na aba Estilo e coloque a espessura da linha igual a 5. Feche a janela e observe que o grfico ficou destacado. 4o passo: Na barra de ferramentas (parte superior da tela) clique na aba Exibir e depois em Malha. 5o passo: Para observar significados importantes para os coeficientes a, b e c, clique na bolinha do controle deslizante de a e altere lenta- mente o seu valor (basta arrastar a bolinha para um dos lados). Observe o que acontece com o grfico da funo polinomial. Repita a operao para os controles deslizantes de b, c, d e e (utilize um controle deslizante por vez). Por exemplo, se a 2, b 1, c 4, d 2 e e 1, a curva a seguinte: 6o passo: Para determinar os pontos em que a curva intersecta os eixos coordenados, deve- -se digitar no campo de entrada Interseco [p, x 0] e teclar Enter para obter o ponto em que a curva intersecta o eixo das ordena- das (eixo y) e Interseco [p, y 0] e teclar Enter para obter o ponto em que a curva intersecta o eixo das abscissas (eixo x). Observao: Para obter as razes do polinmio, basta analisar as abscissas dos pontos obtidos ao digitar interseco [p, y 0] ou Raiz [p]. Voc pode mover, ampliar ou reduzir sua ima- gem utilizando o boto Outra opo para aumentar ou diminuir o zoom utilizar o scroll do mouse (aquela bolinha que fica na parte superior da maioria dos mouses). Agora, utilizando o controle deslizante, faa o que se pede. 1. Tendo como base a funo polinomial p(x) ax4 bx3 cx2 dx e, qual o efeito do parmetro e no grfico da funo? 2. Obtenha o grfico das funes polinomiais a seguir, obtendo, se existirem, suas razes reais: a) p(x) x4 2x3 x2 2x b) p(x) 2x4 x3 x2 x 1 c) p(x) 3x4 x3 x2 3x 2 Salve suas atividades em um local escolhido do seu computador. Reproduo/ Captulo 7 Polinmios Matemtica e tecnologia Sugestes de atividades em que o computador utilizado para visualizar e manipular grficos e tabelas. Uma oportunidade de trabalhar com a Matemtica dinmica. Abertura de unidade Duas pginas que proporcionam o primeiro contato com um dos assuntos que ser abordado na unidade. Abertura de captulo Texto introdutrio com o objetivo de apresentar, por meio de uma situao real ou contexto histrico, o contedo que ser estudado no captulo. 4 Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_004a005.indd 4 04/06/2013 09:42

3. Ateno! Ainda que seja pedido Assinale, Indique, etc. em algumas questes, nunca escreva no livro. D todas as respostas no caderno. Objeto Educacional Digital Este cone indica Objetos Educacionais Digitais relacionados aos contedos do livro. ATENO! No escreva no seu livro! 199Unidade 4 Polinmios e equaes algbricas Captulo 8 Equaes algbricas198 Outros contextos A folhas tantas do livro matemtico, um Quociente apaixonou-se, um dia, doidamente por uma Incgnita. Olhou-a com seu olhar inumervel e viu-a, do pice base, uma figura mpar; olhos romboides, boca trapezoide, corpo retangular, seios esferoides. Fez de sua uma vida paralela dela at que se encontraram no infinito. Quem s tu?, indagou ele em nsia radical. Sou a soma do quadrado dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa. E de falarem descobriram que eram (o que em aritmtica corresponde a almas irms) primos entre si. E assim se amaram ao quadrado da velocidade da luz numa sexta potenciao traando ao sabor do momento e da paixo retas, curvas, crculos e linhas senoidais nos jardins da quarta dimenso. Escandalizaram os ortodoxos das frmulas euclidianas e os exegetas do Universo Finito. Romperam convenes newtonianas e pitagricas. E enfim resolveram se casar constituir um lar, mais que um lar, um perpendicular. Convidaram para padrinhos o Poliedro e a Bissetriz. E fizeram planos, equaes e diagramas para o futuro sonhando com uma felicidade integral e diferencial. E se casaram e tiveram uma secante e trs cones muito engraadinhos. E foram felizes at aquele dia em que tudo vira afinal monotonia. Foi ento que surgiu O Mximo Divisor Comum frequentador de crculos concntricos, viciosos. Ofereceu-lhe, a ela, uma grandeza absoluta e reduziu-a a um denominador comum. Ele, Quociente, percebeu que com ela no formava mais um todo, uma unidade. Era o tringulo, tanto chamado amoroso. Desse problema ela era uma frao, a mais ordinria. Mas foi ento que Einstein descobriu a Relatividade e tudo que era esprio passou a ser moralidade como alis em qualquer sociedade. FERNANDES, Millr. Poesia matemtica. Rio de Janeiro: Desiderata, 2009. Trabalhando com o texto 1. Depois de ler o poema, identifique os termos matemticos e escreva os seus respectivos significados. H termos que voc no conhece? Pesquise-os. 2. Em equipe, representem o texto por meio de desenhos. Pode ser uma histria em quadrinhos. 3. Agora sua vez. Escreva um poema com elementos matemticos e apresente para a classe. Pesquisando e discutindo 4. Pesquise a biografia de Millr Fernandes (1923-2012) e as principais caractersticas das suas obras. Depois, tente verificar essas caractersticas no poema. MarcosdePaula/AgnciaEstado Millr Fernandes 5. Existem outros artistas brasileiros (poetas, msicos, etc.) que tm obras cujo tema se refere Matemtica. Pesquise alguns exemplos. 6. Em 1906, Adam C. Orr, publicou na revista norte-americana Literary Digest os seguintes versos: Now I, even I, would celebrate In rhymes unapt, the great Immortal Syracusan, rivaled nevermore, Who in his wondrous lore, Passed on before, Left men guindance, How to circles mensurate. a) De maneira breve e jocosa, esses versos homenageiam um importante matemtico grego da Antiguidade, referido como o Imortal de Siracusa (Immortal Syracusan), que chegou a um valor aproximado do nmero irracional ( 3,1415926... ), o que explica o ltimo verso. Quem foi esse matemtico? b) Esses versos ainda tm uma curiosidade implcita muito interessante. Conte o nmero de letras de cada uma das palavras do poema e as coloque em ordem. Que nmero voc obteve? Veja mais sobre o assunto Procure mais informaes em jornais, revistas e nos sites: Pgina Millr On-line: ; Outros poemas matemticos: ; Passeios pela Matemtica: . Acessos: em 20 dez. 2012. Um matemtico que no tambm um pouco poeta nunca ser um matemtico completo. Karl Weierstrass (1815-1897), matemtico alemo. 199Unidade 4 Polinmios e equaes algbricas Captulo 8 Equaes algbricas198 Poesia matemtica Captulo 4 Geometria analtica: a circunferncia112 113 Vestibulares de Norte a Sul Unidade 2 Geometria analtica: ponto, reta e circunferncia Regio Norte 1. (Ufam) Dadas as equaes das retas r: 5x y 5 0 e s: x 5y 10 0, podemos afirmar: I. que a reta r passa pelos pontos (0, 5) e (2, 5). II. que a reta s passa pelos pontos (10, 0) e (5, 5). III. que r e s so paralelas. IV. que r e s so perpendiculares. Est(o) correta(s): a) I apenas. b) II apenas. c) II e IV apenas. d) III e IV apenas. e) II e III apenas. 2. (Uepa) A linha de produo tecnolgica de uma fa- mosa fbrica de bicicletas, na sia, utiliza em suas pesquisas modelos matemticos que visam ao aprimoramento do desempenho de seus produtos. A figura abaixo ilustra uma dessas pesquisas que busca aperfeioar as relaes entre as duas engre- nagens utilizadas para movimentar uma bicicleta. A engrenagem E1 , representada pela circunferncia menor, est centrada no sistema de coordenadas cartesianas e tem raio r. A engrenagem E2 , representada pela circunferncia maior, est deslocada direita e tem raio R. E1 0 E2 x y r d A B R D C Sabendo que a medida do segmento AB vale d e que o dimetro de E2 d r, a equao da circunferncia que representa E2 : a) (x 2R)2 y2 R2 . b) (x R)2 y2 R2 . c) (x 3R)2 y2 R2 . d) (x 3R)2 y2 R2 . e) (x 2R)2 y2 R2 . Regio Nordeste 3. (UFRN) Uma formiga se desloca num plano, ao longo de uma reta. Passa pelo ponto (1, 2) e percorre a menor distncia at interceptar a trajetria retilnea de outra formiga, nesse mesmo plano, descrita pela equao y 2x 8. A equao da reta que representa a trajetria da primeira formiga : a) 2y x 5 0. c) y x 1 0. b) y x 3 0. d) 2y x 2 0. 4. (UFRN) Uma praa, em formato retangular, tem uma fonte luminosa de forma circular no seu centro. Su- ponha que as coordenadas dos cantos da praa sejam (0, 0), (40, 0), (0, 60) e (40, 60) e que o raio da circunferncia da fonte seja r 3. Em relao aos pontos P(22, 32) e Q(17, 29), pode-se afirmar: a) P est fora da fonte e Q est dentro. b) P est dentro da fonte e Q tambm. c) P est dentro da fonte e Q est fora. d) P est fora da fonte e Q tambm. Regio Centro-Oeste 5. (UEMT) Observe os trs pares de pontos: P1 : (4, 15); P2 : (12, 11) e P3 : (18, k). O valor de k para que os trs pontos estejam sobre a mesma reta : a) 8. b) 16. c) 4. d) 4. e) 8. 6. (UFG-GO) Num sistema de coordenadas cartesianas, so dadas trs retas e os pontos de interseo das mesmas, como na figura a seguir. A (1, 2) C (1, 4) y xB (2, 0) Assim, encontre o centro e o raio da circunferncia determinada pelos pontos A, B e C. 7. (UFG-GO) Dado o sistema de equaes: x2 y2 4x 2y 4 0 y mx, m a) represente graficamente, no plano cartesiano, o sistema quando a reta y mx passa pelo centro da circunferncia descrita pela primeira equao. b) determine o conjunto de valores de m para que o sistema admita duas solues. Regio Sudeste 8. (Uerj) Em uma folha de frmica retangular ABCD, com 15 dm de comprimento AB por 10 dm de largu- ra AD, um marceneiro traa dois segmentos de reta, AE e BD. No ponto F, onde o marceneiro pretende fixar um prego, ocorre a interseo desses segmentos. A figura abaixo representa a folha de frmica no primeiro quadrante de um sistema de eixos coordenados. y (dm) CD BA E x (dm) F Considerando a medida do segmento EC igual a 5 dm, determine as coordenadas do ponto F. 9. (UFRRJ) Em um circo, no qual o picadeiro tem no plano cartesiano a forma de um crculo de equa- o igual a x2 y2 12x 16y 300 0, o palhao acidentou-se com o fogo do malabarista e saiu desesperadamente do centro do picadeiro, em linha reta, em direo a um poo com gua localizado no ponto (24, 32). Calcule a distncia d percorrida pelo palhao, a partir do momento em que sai do picadeiro at o momento em que chega ao poo. Regio Sul 10. (UFSM-RS) Uma luminria foi instalada no ponto C(5, 10). Sabe-se que a circunferncia iluminada por ela tangente reta que passa pelos pontos P(30, 5) e Q(30, 15). O comprimento da linha central do passeio correspondente ao eixo y, que iluminado por essa luminria, : a) 10 m. b) 20 m. c) 30 m. d) 40 m. e) 50 m. 11. (UFPR) Um balo de ar quente foi lanado de uma rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a figura abaixo descreve a situao de maneira sim- plificada. 5 20 0 10 20 y x P Q Ao ser lanado, o balo esticou uma corda presa aos pontos P e Q, mantendo-se fixo no ar. As coordenadas do ponto P, indicado na figura, so, ento: a) (21, 7). b) (22, 8). c) (24, 12). d) (25, 13). e) (26, 15). 12. (UEL-PR) Um pssaro sobrevoa uma rampa conforme mostra a figura. A ave faz seu voo em linha reta e paralela calada. 135 calada 3 m muro de apoio a) Sabendo-se que a rampa forma um ngulo de 135 com a calada, conforme mostra a figura, e que a distncia do muro de apoio at o p da rampa de 3 metros, calcule o comprimento da rampa. b) Determine a menor distncia entre o pssaro e a rampa no instante em que o pssaro se encontra a 5 metros do muro e a 6 metros da calada em que se apoia a rampa. Apresente os clculos realizados na resoluo de cada item. Ilustraes:DamdSouza/Arquivodaeditora Outros contextos Temas relevantes e atuais que tratam de situaes prticas, articulando a Matemtica com outras disciplinas e com temas como sade, sociedade, meio ambiente entre outros. Vestibulares de Norte a Sul Questes de vestibulares, de todas as regies geogrficas do Brasil, relacionadas aos contedos estudados. Pensando no Enem Atividades contextualizadas que visam o desenvolvimento das competncias e habilidades previstas na Matriz do Enem. Caiu no Enem Questes extradas do Enem classificadas de acordo com as unidades. Unidade 1 Matemtica financeira e Estatstica 62 Pensando ENEMno 1. Este cartaz faz parte de uma campanha para o consumo consciente e apresenta dicas para a economia de gua. Disponvel em: . Acesso em: 1o nov. 2012. Suponha que Antnio tenha viajado um ms inteiro, e nesse tempo tenha ocorrido um vazamento em um cano de sua casa por conta de um buraco de 2 mm. Veja como cobrada a conta de gua e de esgoto na cidade em que Antnio mora: Classe de consumo (m3 /ms) Tarifas de gua (R$) Tarifas de esgoto (R$) Residncia/ Normal 0 a 10 14,19/ms 14,19/ms 11 a 20 2,22/m 3 2,22/m 3 21 a 50 5,54/m 3 5,54/m 3 Acima de 50 6,10/m 3 6,10/m 3 (Dado:1 m3 1 000 .) Observao: O pagamento da tarifa mnima de gua e de esgoto obrigatrio para todas as residncias pela disponibilizao dos servios, mesmo que no sejam utilizados. Com base nessas informaes, responda: a) Quanto Antnio pagou pela gua desperdiada? b) Se a empresa responsvel pelo abastecimento de gua e coleta de esgotos cobra por esse segundo servio o mesmo valor do primeiro, qual foi o prejuzo total de Antnio? 2. No dia 14 de fevereiro de 2011 foi anunciada a aposentadoria de um dos melhores jogadores de futebol de todos os tempos e o maior artilheiro de Copas do Mundo, Ronaldo Nazrio de Lima, o Fenmeno. Eleito trs vezes o melhor jogador do mundo pela Fifa, marcou centenas de gols e atuou em 7 clubes, 2 do Brasil e 5 do exterior. Teve tambm uma brilhante passagem pela seleo brasileira. GovernoFederal/www.brasil.gov.br/cons umo-consciente Unidade 1 Matemtica financeira e Estatstica16 Leitura Conceito de inflao: o que e como se forma? A inflao um conceito econmico que representa o aumento persistente e generalizado do preo de uma cesta de produtos em um pas ou regio durante um determinado perodo de tempo. Se, por exemplo, uma cesta de produtos custa R$ 100,00 em julho e passa a ser ven- dida por R$ 150,00 em agosto, verifica-se uma inflao de 50% no ms. Ela tambm representa a queda do poder aquisitivo do dinheiro em relao elevao dos preos de bens e servios. Quando a inflao est em um nvel muito baixo, ocorre a estabilizao dos preos e, assim, o valor dos produtos no aumenta. A inflao j foi o grande drama da economia brasileira, e sempre merece grande ateno e acompanhamento do governo e da sociedade. A partir dos anos 1980, vrios planos fracas- saram na tentativa de impedir o seu crescimento, mas, desde 1994, com a implantao do Plano Real, ela est relativamente sob controle. Causas Inflao monetria: emisso exagerada e descontrolada de dinheiro por parte do governo. Inflao de demanda: demanda nos custos (aumento no consumo) maior do que a capacidade de produo do pas. Inflao de custos: aumento nos custos de produo (mquinas, matria-prima, mo de obra) dos produtos. Indicadores No Brasil, existem vrios ndices que medem a inflao e so referncias. Os principais so: IGP ou ndice Geral de Preos (calculado pela Fundao Getlio Vargas), IPC ou ndice de Preos ao Consumidor (medido pela Fipe Fundao Instituto de Pesquisas Econmicas), INPC ou ndice Nacional de Preos ao Consumidor (medido pelo IBGE) e IPCA ou ndice de Preos ao Consumidor Amplo (tambm calculado pelo IBGE). O IPC, por exemplo, considera o consumo de famlias com renda at 33 salrios mnimos que vivem no Rio de Janeiro e em So Paulo. O IGP-M calculado a partir de outros ndices. O IPCA, de maior abrangncia, pesquisa famlias com renda de at 40 salrios mnimos em pelo menos 10 grandes capitais brasileiras. J o ICV, calculado pelo Dieese, considera apenas os preos de alimentao, transporte, sade e habitao praticados na cidade de So Paulo. Adaptado de: . Acesso em: 30 out. 2012. A inflao brasileira em 2012 foi de 5,84% (IPCA). Assim, se uma cesta de produtos custava R$ 100,00 em dezembro de 2011, quanto ela custava em dezembro de 2012? IsmarIngber/PulsarImagens Leitura(s) Textos que visam ampliar e enriquecer o contedo estudado no captulo. Um pouco mais... Textos e exerccios que ajudam a aprofundar o contedo do captulo. 93Captulo 3 Geometria analtica: ponto e reta Um pouco mais... ngulo formado por duas retas Vamos considerar duas retas concorrentes, r e s, oblquas aos eixos coordenados e no perpendiculares entre si, de coeficientes angulares m1 e m2 , respectivamente. Elas formam entre si o ngulo . y s r x Para agudo, temos: tan m m m m 1 2m mm m 1 2m mm m1 m mm m Se r e s forem paralelas, m1 m2 e 0. Se r e s forem perpendiculares, m1 m2 1 e 90. Se uma das retas for vertical, temos: y s r x Considerando agudo, temos: tan 1 m Por exemplo, vamos determinar o valor do ngulo agudo formado pelas retas r: y 4 3(x 5) e s: 2x y 7 0. y 4 3(x 5) m1 3 2x y 7 0 y 2x 7 m2 2 Logo: tan 3 2 1 3 2 5 5 ( ) ( ) |1| 1 45 tan tan ( ) tan tan tan tan 1 m m m m 1 2 1 21 90 90 tan tan (90 ) cot 1 1 tan m Fique atento! As retas r e s do exemplo formam dois ngulos de 45 e dois ngulos de 135. 1. ATIVIDADE EM DUPLA Qual o valor do ngulo agudo formado pelas retas y 4x 6 e y 3 1 4 (x 5)? 2. ATIVIDADE EM DUPLA Determinem a tangente do ngulo agudo formado pelas retas y 7 e 2x 3y 5 0. 3. ATIVIDADE EM DUPLA Determinem a equao da reta que passa pelo ponto P(2, 1) e forma um ngulo de 45 com a reta de equao y 5x 3. 4. ATIVIDADE EM DUPLA Calculem a cotangente do ngulo agudo formadopelasretas x y 2 6 1e15x5y20. Exerccios adicionais 202 Caiu no Enem (Enem) Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de desmatamento, conforme grfico abaixo, da chamada Amaznia Legal, integrada por nove estados. 9O Amap Ranking do desmatamento em km2 8O Tocantins 7O Roraima 6O Acre 5O Maranho 4O Amazonas 3O Rondnia 2O Par 1O Mato Grosso 4 136 326 549 766 797 3463 7293 10416 Disponvel em: . Acesso em: 30 abr. 2010 (adaptado). Considerando-se que at 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relao aos dados de 2004, o desmatamento mdio por estado em 2009 est entre: a) 100 km2 e 900 km2 . b) 1000 km2 e 2700 km2 . c) 2800 km2 e 3200 km2 . d) 3300 km2 e 4000 km2 . e) 4100 km2 e 5800 km2 . (Enem) Uma pessoa aplicou certa quantia em aes. No primeiro ms, ela perdeu 30% do total do investimento e, no segundo ms, recuperou 20% do que havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3 800,00 gerado pela aplicao. A quantia inicial que essa pessoa aplicou em aes corresponde ao valor de: a) R$ 4222,22. b) R$ 4523,80. c) R$ 5000,00. d) R$ 13300,00. e) R$ 17100,00. (Enem) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trar maior retorno financeiro em uma aplicao de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupana e CDB (certificado de depsito bancrio). As informaes obtidas esto resumidas no quadro: Rendimento mensal IR (Imposto de Renda) POUPANA 0,560 ISENTO CDB 0,876 4% (sobre o ganho) Para o jovem investidor, ao final de um ms, a aplicao mais vantajosa : a) a poupana, pois totalizar um montante de R$ 502,80. b) a poupana, pois totalizar um montante de R$ 500,56. c) o CDB, pois totalizar um montante de R$ 504,38. d) o CDB, pois totalizar um montante de R$ 504,21. e) o CDB, pois totalizar um montante de R$ 500,87. (Enem) Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que sejam apresentadas trs possibilidades de investimento, com rentabilidades lquidas garantidas pelo perodo de um ano, conforme descritas: Investimento A: 3% ao ms Investimento B: 36% ao ano Investimento C: 18% ao semestre As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do perodo anterior. O quadro fornece algumas aproximaes para a anlise das rentabilidades: n 1,03n 3 1,093 6 1,194 9 1,305 12 1,426 Para escolher o investimento com maior rentabili- dade anual, essa pessoa dever: a) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais so iguais a 36%. 5 Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_004a005.indd 5 5/27/13 2:52 PM

4. 6 Sumrio Matemtica financeira e Estatstica UNIDADE 1 EduLyra/PulsarImagens CAPTULO 1 Matemtica financeira 1 Situao inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 2 Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 3 Fator de atualizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 Aumentos e descontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 Aumentos e descontos sucessivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 4 Termos importantes de Matemtica financeira. . 20 Juros simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Juros compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 Conexo entre juros e funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5 Equivalncia de taxas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 CAPTULO 2 Estatstica 1 Termos de uma pesquisa estatstica . . . . . . . . . . . . . . . .31 Populao e amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Indivduo ou objeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Varivel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Varivel qualitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Varivel quantitativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Frequncia absoluta e frequncia relativa. . . . . . . . . . . . . 33 Tabela de frequncias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Tabelas de frequncias das variveis quantitativas . . . 34 2 Representao grfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Grfico de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Grfico de barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Grfico de setores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 Histograma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Construo de grficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3 Medidas de tendncia central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Mdia aritmtica (MA). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Mdia aritmtica ponderada (MP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Mediana (Me) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Moda (Mo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Mdia aritmtica, moda e mediana a partir das tabelas de frequncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4 Medidas de disperso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 Varincia (V). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 Desvio padro (DP). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 5 Estatstica e probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_006a009.indd 6 5/27/13 2:53 PM

5. 7 CAPTULO 3 Geometria analtica: ponto e reta 1 Introduo Geometria analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2 Sistema cartesiano ortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3 Distncia entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71 Frmula da distncia entre dois pontos. . . . . . . . . . . . . . . . .71 4 Coordenadas do ponto mdio de um segmento de reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5 Condio de alinhamento de trs pontos . . . . . . . . . .75 6 Inclinao de uma reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 7 Coeficiente angular de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 8 Equao fundamental da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 9 Formas da equao da reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 10 Posies relativas de duas retas no plano. . . . . . . . . 83 Retas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Retas concorrentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Interseco de duas retas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 11 Perpendicularidade de duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 12 Distncia de um ponto a uma reta. . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Frmula da distncia de um ponto a uma reta . . . . . . . . 88 13 rea de uma regio triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Frmula da rea de uma regio triangular. . . . . . . . . . . . . .91 14 Aplicaes Geometria plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 CAPTULO 4 Geometria analtica: a circunferncia 1 Definio e equao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Equao geral da circunferncia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2 Posies relativas entre reta e circunferncia . . . 100 3 Problemas de tangncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4 Aplicaes Geometria plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Geometria analtica: ponto, reta e circunferncia UNIDADE 2 A roda de um carro lembra uma circunferncia. Tratong/Shutterstock/GlowImages Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_006a009.indd 7 5/27/13 2:53 PM

6. 8 CAPTULO 5 Geometria analtica: seces cnicas 1 Reconhecendo formas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2 Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Definio e elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118 Equao da parbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 Equao da parbola com vrtice na origem . . . . . . . . . . . .119 Equao da parbola com vrtice em um ponto qualquer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122 3 Elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125 Origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125 Definio e elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125 Equao da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4 Hiprbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 Origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 Definio e elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 Equao da hiprbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Assntotas da hiprbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138 Hiprbole equiltera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 CAPTULO 6 Nmeros complexos 1 Retomando: conjuntos numricos . . . . . . . . . . . . . . . . .145 2 Conjunto dos nmeros complexos (). . . . . . . . . . . . 146 Forma algbrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 3 Conjugado de um nmero complexo . . . . . . . . . . . . . 149 4 Diviso de nmeros complexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5 Representao geomtrica dos nmeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Interpretao geomtrica do conjugado. . . . . . . . . . . . . . .152 6 Mdulo de um nmero complexo. . . . . . . . . . . . . . . . . .153 7 Forma trigonomtrica dos nmeros complexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154 Multiplicao e diviso de nmeros complexos na forma trigonomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . .157 Potenciao de nmeros complexos na forma trigonomtrica a primeira frmula de De Moivre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158 Radiciao razes ensimas de nmeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161 A segunda frmula de De Moivre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161 8 Aplicao Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165 Cnicas e nmeros complexos UNIDADE 3 ChrisHellier/Corbis/Latinstock Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_006a009.indd 8 5/27/13 2:53 PM

7. 9 Polinmios e equaes algbricas UNIDADE 4 TheOxfordHystoryofIslam/OxfordUniversity CAPTULO 7 Polinmios 1 Definio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173 2 Funo polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174 Polinmio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174 Polinmio identicamente nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174 3 Valor numrico de um polinmio . . . . . . . . . . . . . . . . . .175 4 Igualdade de polinmios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176 5 Raiz de um polinmio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177 6 Operaes com polinmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177 Diviso de polinmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178 Mtodo da chave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178 Diviso por (x a): dispositivo prtico de Briot-Ruffini . .181 Teorema de DAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183 Teorema do fator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 CAPTULO 8 Equaes algbricas 1 Equaes polinomiais ou algbricas: definio e elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187 Raiz de uma equao polinomial ou algbrica. . . . . . . . .187 Conjunto soluo de uma equao algbrica. . . . . . . . . .187 2 Teorema fundamental da lgebra. . . . . . . . . . . . . . . . . 188 3 Decomposio em fatores de 1 grau . . . . . . . . . . . . . 188 Multiplicidade da raiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 4 Relaes de Girard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191 Na equao do 2 grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191 Na equao do 3 grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191 Na equao de grau n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192 5 Pesquisa de razes racionais de uma equao algbrica de coeficientes inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6 Razes complexas no reais em uma equao algbrica de coeficientes reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Caiu no Enem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Respostas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Sugestes de leituras complementares. . . . . . . . . . . . . . 214 Significado das siglas de vestibulares . . . . . . . . . . . . . . . . .215 Bibliografia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215 ndice remissivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_006a009.indd 9 5/27/13 2:53 PM

8. UNIDADE 1 Matemtica financeira e Estatstica 10 Surge um aparelho menor e mais leve (cerca de 1 kg), vendido comercialmente e marca poca como smbolo de status e tecnologia. poca marcada pela popularizao do famoso tijolo, semelhante a um telefone sem fio convencional. Surge o primeiro celular com tela touchscreen da Histria. Surgem os primeiros celulares com inovaes, como display colorido, cmera digital integrada e MP3 player. Surgem os smartphones dando origem a sistemas operacionais exclusivos, interao touchscreen e instalao de aplicativos. Surgem os primeiros celulares com antena interna e recursos, como o recebimento de mensagens de texto e acesso internet. O celular acumula recursos capazes de substituir computadores em tarefas domsticas e profissionais. E a evoluo persiste... para a sorte do consumidor! Evoluo do celular desenvolvido o primeiro prottipo do celular. O aparelho contava com a desvantagem de pesar 40 kg e era instalado em porta-malas de carros de luxo. Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_010a011_U1.indd 10 5/27/13 2:54 PM

9. 11 Adaptadode:.Acessoem:15fev.2013. A Estatstica uma cincia que se dedica coleta, anlise e interpretao de dados numricos para o estudo de fenmenos naturais, econmicos e sociais, com o objetivo de analis-los e compreend-los para subsidiar a proposio de estratgias e tomadas de deciso. 1. Com que objetivo so realizados estudos estatsticos de fenmenos naturais, econmicos e sociais? 2. correto afirmar que de 2002 a 2012 houve um aumento de aproximadamente 500% no nmero de pessoas com acesso internet no Brasil? Por qu? PESSOAS COM ACESSO (Casa, trabalho, lan houses e locais pblicos) 14 MILHES 83,4 MILHES USURIOS ATIVOS (Casa e trabalho) 9,8 MILHES 48,3 MILHES COMPUTADORES EM USO 18 MILHES 99 MILHES DOMNIOS.BR REGISTRADOS 400 MIL 3 MILHES FATURAMENTO DO COMRCIO ELETRNICO 500 MILHES 10 BILHES CELULARES 32 MILHES 252 MILHES INTERNET FIXA 400 VEZES MAIS RPIDA INTERNET MVEL 200 VEZES MAIS RPIDA OS NMEROS DE DEZ ANOS DE INTERNET E TELEFONIA MVEL NO BRASIL (Dados do 1 semestre) Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_010a011_U1.indd 11 5/27/13 2:55 PM

10. 12 1 CAPTULO Matemtica financeira A Matemtica financeira utilizada em muitas situaes de nosso cotidiano, e um de seus principais conceitos o juro, uma relao entre o dinheiro e o tempo. A pessoa que conhece os fundamentos da Matemtica financeira pode adotar uma postura consciente em seu papel de consumidor, evitando o endividamento e o pagamento de juros altos. Por exemplo, um trabalhador que ganha R$ 1 000,00 mensais comprou um televisor a prazo nas condies da figura. Ele ter de trabalhar 45 dias no ano para pagar o televisor e mais 12 dias para pagar o valor dos juros do financiamento. Voc acha que ele fez um bom negcio? EduLyra/PulsarImagensDamdSouza/Arquivodaeditora Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_012a029_U1_C01.indd 12 5/27/13 2:57 PM

11. 13Captulo 1 Matemtica financeira 1 Situao inicial Entre as inmeras aplicaes da Matemtica est a de auxiliar na resoluo de problemas de ordem financeira, como clculo do valor de prestaes, pagamento de impostos, rendimento de poupana e outros. Por exemplo, uma pessoa vai fazer uma compra no valor de R$ 4 000,00, usando o dinheiro que est aplicado em um fundo de investimento que rende 1% ao ms. Ela quer saber, do ponto de vista financeiro, qual destes planos de pagamento mais vantajoso: pagar vista; ou pagar em duas prestaes iguais de R$ 2 005,00, uma delas como entrada e a segunda depois de 1 ms. Rena-se com um colega e tentem resolver esse problema com os conhecimentos que vocs j tm. Considere que vocs tm R$ 4 000,00 e que podem tanto optar por gastar quanto aplicar no fundo de investimento, tirando o dinheiro necessrio para o pagamento das prestaes. Esse problema e outros, que envolvem assuntos de Matemtica financeira, sero estudados e resolvidos neste captulo. 2 Porcentagem No Ensino Fundamental estudamos que a porcentagem uma forma usada para indicar uma frao de denominador 100 ou qualquer representao equivalente a ela. Veja os exemplos: a) 50% o mesmo que 50 100 1 2 ou ou 0,50 ou 0,5 (metade) b) 75% o mesmo que 75 100 3 4 ou ou 0,75 c) 25% o mesmo que 25 100 1 4 ou ou 0,25 (um quarto) d) 5% o mesmo que 5 100 1 20 ou ou 0,05 Fique atento! Para calcular 1% de uma quantia, basta dividir essa quantia por 100: 1% de 5000 5000 100 50 DamdSouza/Arquivodaeditora Fique atento! 100% 1; 200% 2; 300% 3; 400% 4; etc. Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_012a029_U1_C01.indd 13 5/27/13 2:57 PM

12. Unidade 1 Matemtica financeira e Estatstica14 Exerccios resolvidos 1. O salrio de Felipe de R$ 2 000,00 por ms e o de Renato corresponde a 85% do salrio de Felipe. Qual o salrio de Renato? Resoluo: 85% de R$ 2 000,00: 85 100 17 100 2000 2000 2 000 1 700 ou 0,85 2 000 1 700 ou 85 100 2000 170 000 1 100 170 000 x x x0 10 170 000 100 1 100 1 100 1x xx x0 10 170 0000 10 10 1 0000 O salrio de Renato de R$ 1 700,00. 2. Leia esta notcia de jornal: Aps a reduo do IPI (Imposto sobre Produtos Industrializados) e a queda de at 10% nos preos, as vendas de automveis e comerciais leves (camio- netes e vans) registraram recorde para o ms de junho, desde quando os nmeros comearam a ser medidos, em setembro de 2003. Segundo fontes do setor, venderam-se 340,3 mil veculos alta de 24% em relao a maio e de 18,6% sobre junho de 2011. Venda de carros no reanima indstria. Folha de S.Paulo, So Paulo, 3 jul. 2012. p. B1. De acordo com essa notcia, quantos veculos foram vendidos em maio de 2012? Resoluo: Seja x o nmero de veculos vendidos em maio de 2012, temos: x 24%x 340300 x 24 100 x 340300 100x24x34030000124x 34030000 x 274435 Foram vendidos 274435 veculos em maio de 2012. 3. Observe esta outra notcia de jornal: No Brasil, so 27 milhes de empreendedores, ou 27% da populao adulta, com idade entre 18 e 64 anos. O nmero 28,5% maior do que o regis- trado em 2010. 4 milhes tm negcio com at trs meses de operao; 11 milhes tm negcio entre trs meses e trs anos e meio de operao; 12 milhes tm negcio com mais de trs anos e meio de operao. ROLLI, Cludia. 1 em cada 4 adultos tem ou est abrindo um negcio. Folha de S.Paulo, So Paulo, 3 jul. 2012. p. B3. De acordo com essa notcia, responda: a) De quanto era a populao adulta do Brasil nessa data? b) Desses 27 milhes de empreendedores, que porcentagem representa os 12 milhes que tinham negciocommaisdetrsanosemeiodeoperao? Resoluo: a) 27% 27 milhes 100% x milhes 27 100 27 000 000 x 27x 2700000000 x 100 000 000 A populao adulta era de 100 milhes. b) 1a maneira: ?% de 27 000 000 12 000 000 12000000 12 27 4 9 44 10027000000 0 44 ,0 40 4 44% (aproximadamente) 2a maneira: x x 100 27 000 000 27 12x xx x000x xx x000x xx x 100 12 27 x xxx27272727 12x xx x00x xx x 44x xx xx xx x Logo, 44% de 27 milhes igual a 12 milhes. Para refletir Qual o valor de 10% de R$ 8,00 e 1% de R$ 8,00? 4. (UFTM-MG) Com a proximidade do evento e com muitos ingressos disponveis, um cambista passou a oferecer um desconto de 50% sobre o preo de venda de certo tipo de ingresso. Mesmo dando o desconto, o cambista ainda obteve um lucro de 40% sobre o preo de custo (preo de bilheteria) desse ingresso. Se no tivesse dado o desconto, mas tivesse, mesmo assim, vendido o ingresso, o lucro do cambista seria de: a) 80%. d) 150%. b) 90%. e) 180%. c) 120%. Resoluo: Uma estratgia para resolver questes que envolvem apenas porcentagem (questes em que no so apresentados valores fixos) atribuir um valor para um dos termos. Considere que o preo do ingresso na bilheteria seja R$ 100,00. Teremos ento: Lucro do cambista quando este oferece 50% de desconto R$ 40,00 Valor do ingresso vendido pelo cambista (com desconto) R$ 140,00 Valor do ingresso vendido pelo cambista (sem desconto) R$ 280,00 Portanto, o lucro do cambista ao vender o ingresso sem desconto de R$ 180,00 ou 180% do valor da bilheteria. Alternativa e. Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_012a029_U1_C01.indd 14 5/27/13 2:57 PM

13. 15Captulo 1 Matemtica financeira 1. Calcule e responda: a) Qual o valor de 60% de 95? b) Quanto por cento de 70 igual a 56? c) 6 15% de que nmero? d) Quanto vale 3,5% de R$ 650,00? e) R$ 75,20 correspondem a 20% de que quantia? f) Em relao a um total de R$ 300,00, a quantia de R$ 171,00 corresponde a quanto por cento? g) 0,5% de R$ 85,00 d um valor maior ou menor do que 1% de R$ 170,00? Para refletir Sexindicaumaquantia,podemosrepresentar60%dex por 60 100 3x x ou 5 ou0,6x.Comoserepresenta75%dex9? 2. O salrio de Roberto, em 2011, era de R$ 1 200,00 mensais. Em 2012, ele passou a ganhar R$ 1 400,00 mensais. De quanto por cento foi o seu aumento? 3. O volume total de gua que entra e sai por dia no nosso organismo varia de 1500 m a 3000 m. Aproximada- mente 47% desse volume origina-se das bebidas ingeri- das,comogua,sucos,refrigerantes,chs,etc.Deacordo com esses dados, determine a quantidade mnima e mxima, em mililitros, da gua que entra e sai do nosso organismo proveniente de bebidas que ingerimos. 4. Caderneta de poupana A caderneta de poupana a mais tradicional aplica- o financeira do mercado. A partir de 2012 a remunerao da poupana passou a depender da data da aplicao. Para depsitos feitos at 3 de maio de 2012, a remunerao continuou de 6,17% ao ano mais a TR. Entretanto, para depsitos feitos a partir de 4 de maio de 2012, sempre que a taxa Selic ficar igual ou menor que 8,5% ao ano, o rendimento da poupana passar a ser 70% da taxa Selic mais a TR. Voc sabia? A Taxa Referencial (TR) um ndice criado pelo governo para complementar os juros pagos na poupana. A taxa Selic a taxa bsica de juros utilizada como referncia pela poltica monetria do Brasil. Com base nesse texto, responda: a) Se a taxa Selic for de 10% ao ano, qual ser a remunerao da poupana a ser somada com a TR para um depsito feito em janeiro de 2014? b) Se a taxa for de 8% ao ano, qual ser a remunerao da poupana a ser somada com a TR para um depsito feito em janeiro de 2014? 5. (Enem) A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros maior do que se imagina, como mostra a pesquisa abaixo, realizada com os jogadores profissonais dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro. Total: 112 jogadores 20 0 Fundamental incompleto Fundamental Mdio incompleto Mdio Superior incompleto 40 60 54 14141614 Fonte: O Globo, 27 jul. 2005. De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluram o Ensino Mdio de aproximadamente: a) 14%. b) 48%. c) 54%. d) 60%. e) 68%. 6. O salrio lquido de Antonela de R$ 1 100,00. Sabe-se que so descontados 17% do seu salrio para o pagamento de impostos. Qual o salrio bruto de Antonela? 7. ATIVIDADE EM DUPLA Tomando decises nas liquidaes Ana Maria quer aproveitar as liquidaes para fazer compras.Observemalgumasofertasqueelaencontrou. LTIMO DIA levando 1 pea 20% de desconto 2 peas 30% de desconto 4 peas 40% de desconto mais de 4 peas 50% de desconto Na compra de duas peas a terceira voc leva grtis OPORTUNIDADE! DESCONTOS DE AT 50% oferta 1 DDE!DEDE!DD oferta 2 eeeeee rcrceiraec oferta 3 a) Qual dessas ofertas vale a pena aproveitar? Discuta com seus colegas. b) Compare a OFERTA 1 com a OFERTA 3. Em qual delas mais vantajoso comprar 2 peas? 8. ATIVIDADE EM DUPLA Biologia (Enem) O tabagismo (vcio do fumo) responsvel por umagrandequantidadededoenasemortesprematu- ras na atualidade. O Instituto Nacional do Cncer divul- gou que 90% dos casos diagnosticados de cncer de pulmo e 80% dos casos diagnosticados de enfisema pulmonar esto associados ao consumo de tabaco. Pa- ralelamente, foram mostrados os resultados de uma pesquisa realizada em um grupo de 2 000 pessoas com doenas de pulmo, das quais 1 500 so casos diagnosticados de cncer e 500 so casos diagnosticados de enfisema. Com base nessas informaes, pode-se esti- mar que o nmero de fumantes desse grupo de 2 000 pessoas , aproximadamente: a) 740. c) 1310. e) 1750. b) 1100. d) 1620. ATENO! No escreva no seu livro! Exerccios Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_012a029_U1_C01.indd 15 5/27/13 2:57 PM

14. Unidade 1 Matemtica financeira e Estatstica16 Leitura Conceito de inflao: o que e como se forma? A inflao um conceito econmico que representa o aumento persistente e generalizado do preo de uma cesta de produtos em um pas ou regio durante um determinado perodo de tempo. Se, por exemplo, uma cesta de produtos custa R$ 100,00 em julho e passa a ser ven- dida por R$ 150,00 em agosto, verifica-se uma inflao de 50% no ms. Ela tambm representa a queda do poder aquisitivo do dinheiro em relao elevao dos preos de bens e servios. Quando a inflao est em um nvel muito baixo, ocorre a estabilizao dos preos e, assim, o valor dos produtos no aumenta. A inflao j foi o grande drama da economia brasileira, e sempre merece grande ateno e acompanhamento do governo e da sociedade. A partir dos anos 1980, vrios planos fracas- saram na tentativa de impedir o seu crescimento, mas, desde 1994, com a implantao do Plano Real, ela est relativamente sob controle. Causas Inflao monetria: emisso exagerada e descontrolada de dinheiro por parte do governo. Inflao de demanda: demanda nos custos (aumento no consumo) maior do que a capacidade de produo do pas. Inflao de custos: aumento nos custos de produo (mquinas, matria-prima, mo de obra) dos produtos. Indicadores No Brasil, existem vrios ndices que medem a inflao e so referncias. Os principais so: IGP ou ndice Geral de Preos (calculado pela Fundao Getlio Vargas), IPC ou ndice de Preos ao Consumidor (medido pela Fipe Fundao Instituto de Pesquisas Econmicas), INPC ou ndice Nacional de Preos ao Consumidor (medido pelo IBGE) e IPCA ou ndice de Preos ao Consumidor Amplo (tambm calculado pelo IBGE). O IPC, por exemplo, considera o consumo de famlias com renda at 33 salrios mnimos que vivem no Rio de Janeiro e em So Paulo. O IGP-M calculado a partir de outros ndices. O IPCA, de maior abrangncia, pesquisa famlias com renda de at 40 salrios mnimos em pelo menos 10 grandes capitais brasileiras. J o ICV, calculado pelo Dieese, considera apenas os preos de alimentao, transporte, sade e habitao praticados na cidade de So Paulo. Adaptado de: . Acesso em: 30 out. 2012. A inflao brasileira em 2012 foi de 5,84% (IPCA). Assim, se uma cesta de produtos custava R$ 100,00 em dezembro de 2011, quanto ela custava em dezembro de 2012? IsmarIngber/PulsarImagens Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_012a029_U1_C01.indd 16 5/27/13 2:57 PM

15. 17Captulo 1 Matemtica financeira 3 Fator de atualizao O fator de atualizao (f) a razo entre dois valores de uma grandeza em tempos diferentes (passado, presente ou futuro). Constitui uma ferramenta importante no trabalho com Matemtica financeira. Na diviso entre dois valores quaisquer, s existem trs resultados possveis: ou resulta em 1, ou maior do que 1 ou menor do que 1. Quando o resultado da diviso 1, os dois valores so iguais, portanto, nenhum maior nem menor do que o outro. Um valor 100% do outro. Por isso, diz-se que f 1 o fator neutro. No caso de a diviso resultar em nmeros maiores do que 1, como A B 1 05, , podemos entender o resultado de duas formas diferentes: 1a ) A 5% maior do que B ou 2a ) A 105% de B (portanto, 5% maior) Ambas as interpretaes so corretas e seu uso depende do melhor contexto. No caso de a diviso resultar em nmero menor do que 1, por exemplo A B 0 90 , , tambm podemos entender o resultado de duas formas diferentes: 1a ) A 10% menor do que B ou 2a ) A 90% de B (portanto, 10% menor) Tambm aqui a escolha da melhor interpretao depende do contexto. Na prtica, se a opo for pela primeira interpretao, ento precisamos aprender a obter a taxa percentual i a partir do valor do fator de atualizao. Se f 1, f 1 i; portanto, a taxa i f 1, em nmeros decimais. Se f 1, f 1 i, portanto, a taxa i 1 f, em nmeros decimais. Assim: f 1,05 i f 1 0,05 taxa 0,05 5 100 5% (maior do que...) f 0,90 i 1 f 0,10 taxa 0,10 10 100 10% (menor do que...) Aumentos e descontos Na comparao de dois valores diferentes de uma mesma grandeza, f 1 significa aumento (ou acrscimo de valor) e f 1 significa desconto (ou perda de valor), pois o valor da grandeza variou no tempo e o valor mais antigo a base de comparao. O fato f 1 significa que no ouve variao: f valor novo valor velho f 1 aumento f 1 desconto f 1 no houve variao Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_012a029_U1_C01.indd 17 5/27/13 2:57 PM

16. Unidade 1 Matemtica financeira e Estatstica18 Exerccios resolvidos 5. (Vunesp-SP) Se a taxa de inflao de janeiro de 6% e a de fevereiro de 5%, ento a taxa de infla- o no bimestre janeiro/fevereiro de: a) 11%. b) 11,1%. c) 11,2%. d) 11,3%. e) 11,4%. Resoluo: f1 1 0,06 1,06 f2 1 0,05 1,05 facumulado f1 f2 facumulado 1,06 1,05 1,113, ou seja, inflao de 11,3% Portanto, alternativa d. 6. (UEL-PR) Em uma liquidao os preos dos artigos de uma loja so reduzidos em 20% de seu valor. Terminada a liquidao, e pretendendo voltar aos preos originais, de que porcentagem devem ser acrescidos os preos da liquidao? a) 27,5% b) 25% c) 22,5% d) 21% e) 20% Resoluo: f1 1 0,20 0,80 f2 ? facumulado f1 f2 1 (f 1 significa que no houve alterao: voltou ao valor original) Assim: facumulado 0,80f2 1 f2 1 0,8 1,25 Como f2 1, ento: f2 1 i 1,25 i 0,25 25% Assim, alternativa b. 7. Umageladeira,cujopreovistadeR$ 680,00,tem um acrscimo de 5% no seu preo se for paga em 3prestaesiguais.Qualovalordecadaprestao? Resoluo: 1a maneira: 5% de 680 0,05 680 34 (acrscimo) 680 34 714 (preo em 3 prestaes iguais) 714 : 3 238 (valor de cada prestao) 2a maneira: t 5% 0,05 f 1 0,05 1,05 680 1,05 714 714 : 3 238 Ento, o valor de cada prestao de R$ 238,00. 8. Atabelaaseguirmostraavariaodopreododlar emumasemanaqualquer,emtermospercentuais.No valor acumulado desses 5 dias, o que aconteceu com o preo do dlar? (Subiu? Caiu? Quanto por cento?) Dia Variao Segunda-feira 2,35% Tera-feira 1,37% Quarta-feira 1,05% Quinta-feira 0,13% Sexta-feira 0,21% Resoluo: Temos de compor as cinco variaes para poder emitir um julgamento. Para isso, precisamos dos fatores de atualizao de cada variao: f1 1 0,0235 0,9765 f2 1 0,0137 1,0137 f3 1 0,0105 1,0105 f4 1 0,0013 0,9987 f5 1 0,0021 1,0021 Assim: facumulado f1 f2 f3 f4 f5 0,9765 1,0137 1,0105 0,9987 1,0021 1,00107 Como o fator facumulado 1, ento: f 1 i i 0,00107 0,107% Ento, o dlar teve uma pequena alta de 0,107%. Aumentos e descontos sucessivos Para compor vrios aumentos e/ou descontos, basta multiplicar os vrios fatores individuais e assim obter o fator acumulado, que nada mais do que o fator de atualizao entre o primeiro e o ltimo valor considerado, independentemente dos valores intermedirios. facumulado f1 f2 f3 f4 ... O fator acumulado tambm um fator de atualizao e deve ser interpretado como tal. Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_012a029_U1_C01.indd 18 5/27/13 2:57 PM

17. 19Captulo 1 Matemtica financeira 9. Escreva o fator de atualizao correspondente a cada situao: a) 3% de aumento b) 3% de desconto c) 15% de aumento d) 15% de desconto e) 230% de aumento f) 3 000% de aumento 10. Interprete cada fator de atualizao, definindo se aumento ou desconto e qual o valor da taxa. a) f 1,13 b) f 0,70 c) f 2 d) f 0,95 e) f 30 11. Avalie o efeito acumulado de cada situao a seguir, definindo qual o aumento ou o desconto equivalente. a) Aumento de 3% e aumento de 5%. b) Aumento de 10% e desconto de 20%. c) Trs aumentos de 10%. d) Dois aumentos de 6% e trs descontos de 4%. 12. Investi R$ 11 000,00 em um fundo de aplicao de um banco e hoje, aps 3 meses, tenho R$ 11 440,00. Qual foi o rendimento percentual obtido nesse perodo de 3 meses? 13. OpreodeumacamisapassoudeR$ 50,00paraR$ 59,00. Qual foi o aumento percentual desse preo? 14. Um objeto que custava R$ 70,00 teve seu preo aumentado em R$ 10,50. De quanto por cento foi o aumento? 15. Uma mercadoria custava R$ 80,00 e seu preo foi reajustado (aumentado) em 5%. Se sobre o novo preo for dado um desconto de 5%, ela voltar a custar R$ 80,00? Justifique sua resposta. Calcule os preos aps o aumento e aps o desconto. 16. ATIVIDADE EM DUPLA O mesmo modelo de uma geladeira est sendo vendido em duas lojas do seguinte modo: na 1a loja, sobre o preo de R$ 800,00 h um descon- to de 8%; na 2a loja, sobre o preo de R$ 820,00 h um descon- to de 10%. Qual dessas ofertas a mais conveniente para o cliente? 17. ATIVIDADE EM DUPLA O ndice Bovespa (ndice da Bolsa de Valores de So Paulo Ibovespa) o mais importante indicador do desempenho mdio das cotaes do mercado de aes brasileiro. Ele indica o retorno financeiro (valo- rizao e lucro) de um valor de 100 pontos teoricamen- te aplicado em aes em 2/1/1968. A tabela abaixo mostra a variao percentual desse ndice em 4 anos. Se o Ibovespa fechou o ano de 2011 com 56 754 pontos, com quantos pontos ele estava no fim de 2007 (ou seja, antes de 2008)? Ano Variao 2011 18,11% 2010 1,04% 2009 82,66% 2008 41,22% Disponvel em: . Acesso em: 30 out. 2012. 18. ATIVIDADE EM DUPLA A quantia de R$ 1 890,00 foi repartida entre 3 pessoas da seguinte forma: Marta recebeu 80% da quantia de Lus, e Srgio recebeu 90% da quantia de Marta. Quanto recebeu cada pessoa? 19. ATIVIDADE EM DUPLA Uma cala teve um aumento de 7% e passou a custar R$ 59,00. Qual era o preo antes do aumento? 20. ATIVIDADE EM DUPLA Um posto de gasolina aumentou seus preos em 5% em fevereiro e 3% em janeiro. Se a gasolina custa agoraR$2,59,quantocustavaantesdosaumentos? 21. ATIVIDADE EM DUPLA O fluxo de veculos em determinada rua passou de 3 por hora para 3 por minuto depois que ela foi asfaltada. Qual foi o aumento percentual do fluxo de veculos nessa rua? 22. ATIVIDADE EM DUPLA O que voc prefere quando vai comprar algo: receber um nico desconto de 55% ou dois descontos sucessivos de 30%? Justifique do ponto de vista financeiro. 23. ATIVIDADE EM DUPLA O dlar caiu 3% em janeiro. Em fevereiro caiu mais x%. Se no bimestre a queda acumulada foi de 5%, de quanto por cento foi a queda do dlar em fevereiro? 24. ATIVIDADE EM DUPLA Em uma promoo, o preo de um celular passou de R$ 499,00 para R$ 399,00. Qual foi o descon- to nessa promoo? Exerccios Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_012a029_U1_C01.indd 19 5/27/13 2:57 PM

18. Unidade 1 Matemtica financeira e Estatstica20 4 Termos importantes de Matemtica financeira Vamos supor que uma pessoa aplique certa quantia (capital) em uma caderneta de poupana por determinado perodo (tempo). A aplicao semelhante a um emprstimo feito no banco. Ento, no fim desse perodo, essa pessoa recebe uma quantia (juros) como compensao. O valor dessa quantia estabe- lecido por uma porcentagem (taxa de juros). Ao final da aplicao, a pessoa ter em sua conta a quantia correspondente capital (C) mais os juros (j), que conhecida como montante (M), ou seja, M C j. Veja o exemplo: Um banco oferece rendimento de 0,8% ao ms. Se uma quantia de R$ 600,00 for aplicada nesse banco, vejamos que quantia o cliente ter em sua conta no fim de 1 ms: 0,8% de 600 0,008 600 4,8 600,00 4,80 604,80 No fim de 1 ms de aplicao a quantia em depsito ser de R$ 604,80. Nesse problema, temos: Fique atento! O valor de uma quantia depende da poca qual ela se refere. Por exemplo, R$ 100,00 hoje provavelmente valem mais do que R$ 100,00 daqui a um ano. 0,8% ao ms: taxa de juros (i) R$ 600,00: capital (C) ou principal 1 ms: tempo (t) j C i R$ 4,80: juros (j) M C j R$ 604,80: montante (M) unidade monetria (UM): real Juros simples Se um capital C aplicado durante t unidades de tempo e a taxa i% de juros por unidades de tempo incide apenas sobre o capital inicial, os juros j so chamados juros simples: j i C: juros obtidos no fim de 1 perodo j (i C)t: juros obtidos no fim de t perodos 9. Parcelar ou no? Muitas vezes o comprador possui o dinheiro para pagar vista, mas escolhe a prazo. Nesses casos, comum que sejam cobrados juros que encarecem o produto. Acompanhe a situao: Ccero um chefe de famlia que decide comprar um bero para seu filho Joo Gabriel. A loja oferece dois planos de pagamento: I. vista por R$ 500,00. II. Em duas parcelas iguais de R$ 300,00, sendo a primeira no ato da compra e a segunda um ms aps a compra. Caso Ccero opte pelo pagamento a prazo, qual a taxa mensal de juros que ele pagar? a) 20% b) 25% c) 35% d) 40% e) 50% Resoluo: A1a prestao(nacompraparcelada)paganoatoda compra e, dessa forma, no incidem juros sobre ela. Preo vista: R$ 500,00 (esse o valor da mercadoria sem juros) Preo a prazo: R$ 600,00 R$ 300,00 R$ 300,00 Aps pagar a 1a parcela, vista, o valor que o cliente estar devendo : R$ 500,00 R$ 300,00 R$ 200,00 Seoptarporefetuaropagamentoda2a parcelaaps 1ms,terdepagarR$300,00(enoR$200,00);logo, os juros cobrados sero 300 200 200 0 20 2 0,50 50% ao ms. Ou ainda j C i t, em que j 100, C 200 e t 1. 100 200 i 1 i 0,5 50% ao ms. Portanto, alternativa e. Exerccio resolvido Voc sabia? Na internet, pode-se acessar uma calculadora financeira on-line em . Acesso em: 30 out. 2012. Assim, as frmulas so j C i t e M C j , embora no sejam necessrias. Evite depender delas. Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_012a029_U1_C01.indd 20 5/27/13 2:57 PM

19. 21Captulo 1 Matemtica financeira Juros compostos Vejamos o seguinte problema: Um capital de R$ 40 000,00 foi aplicado taxa de 2% ao ms durante 3 meses. Qual foi o montante no fim dos 3 meses? No sistema de juros simples, calculamos: 2% de 40 000 0,02 40 000 800 (juros produzidos em 1 ms) 800 3 2 400 (juros produzidos em 3 meses) 40 000 2 400 42 400 (montante ao final de 3 meses) Logo, no fim dos 3 meses o montante ser de R$ 42400,00. No sistema de juros compostos, temos: No primeiro ms: 2% de 40 000 800 (juros produzidos no 1o ms) 40 000 800 40 800 (montante no fim do 1o ms) No segundo ms: 2% de 40 800 816 (juros produzidos no 2o ms) 40 800 816 41 616 (montante no fim do 2o ms) No terceiro ms: 2% de 41 616 832,32 (juros produzidos no 3o ms) 41 616 832,32 42 448,32 Logo, no fim dos 3 meses o montante ser de R$ 42448,32. Observe que no sistema de juros simples os juros foram de R$ 2400,00 e no de juros compostos foram de R$ 2 448,32. O que gerou essa diferena? Essa diferena foi gerada pelo fato de que, no sistema de juros compostos, deve-se calcular os juros no fim de cada perodo, formando um montante sobre o qual se calculam os juros do perodo seguinte, at esgotar o tempo da aplicao ( o que chamamos juros sobre juros). Alm disso, possvel perceber que o mtodo usado na resoluo (clculo ms a ms) no conveniente para um prazo longo. Vamos ento determinar um mtodo mais prtico de resoluo. Acompanhe como calcular, no sistema de juros compostos, qual ser o montante (M), produzido por um capital (C), aplicado taxa i ao perodo, no fim de t perodos: Incio Juros Montante no fim do perodo 1o perodo C iC M1 C iC C(1 i) 2o perodo M1 iM1 M2 M1 iM1 M1(1 i) C(1 i)(1 i) M2 C(1 i)2 3o perodo M2 iM2 M3 M2 iM2 M2(1 i) C(1 i)2 (1 i) M3 C(1 i)3 ... No fim de t perodos o montante ser: M C(1 i)t Voc sabia? costume usar juros compostos nas aplicaes financeiras. Fique atento! No regime de juros compostos, os juros em cada perodo so calculados sobre o montante anterior. Fique atento! Observe que a sequncia (C, M1, M2, ...) uma PG de razo 1 i. Fique atento! No regime de juros compostos de taxa i, um capital C0 transforma-se, em n perodos de tempo, em um montante Cn C(1 i)n . Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_012a029_U1_C01.indd 21 5/27/13 2:57 PM

20. Unidade 1 Matemtica financeira e Estatstica22 Exerccios resolvidos 10. Quanto receber de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de R$ 6 000,00 taxa de 1% ao ms? Resoluo: C: 6 000 t: 1 semestre 6 meses i: 1% (0,01) ao ms M 6 000(1 0,01)6 6 369,120904 Fique atento! (1,01)6 1,0615 fator acumulado em 6 meses. Consideramos M R$ 6 369,12 e j 6 369,12 6 000,00 369,12. Logo, a pessoa receber R$ 369,12 de juros. 11. O capital de R$ 2 000,00, aplicado a juros compostos, rendeu, aps 4 meses, juros de R$ 165,00. Qual foi a taxa de juros mensal? Resoluo: C: 2 000 t: 4 meses j: 165 M: 2 165 2 000 165 i: ? M C(1 i)t 2 165 2 000(1 i)4 (1 i)4 2 165 2000 (1 i)4 1,0825 1 i 1,08254 1 i 1,020015981 i 0,020015981 2,0015981% Portanto, a taxa de juros foi de aproximadamente 2% ao ms. Podemos ento escrever que, no sistema de juros compostos, o capital C, aplicado taxa i ao perodo, produz juros j e gera um montante M no fim de t perodos. M C(1 i)t e j M C Veja a situao que foi resolvida ms a ms, usando agora as frmulas acima: C: R$ 40 000,00 i: 2% ao ms (0,02) t: 3 meses M C(1 i)t 40000(1,02)3 40000 1,061208 R$ 42448,32 (montante no fim de 3 meses) j 42448,32 40000 R$ 2448,32 (juros produzidos nos 3 meses) Fique atento! Usando fator de atualizao, podemos escrever o montante M C ft , em que f 1 i. Resolvido passo a passo 12. (Enem) Joo deseja comprar um carro cujo preo vista, com todos os descontos possveis, de R$ 21000,00, e esse valor no ser reajustado nos prximos meses. Ele tem R$ 20000,00, que podem ser aplicados a uma taxa de juros compostos de 2% ao ms, e escolhe deixar todo o seu dinheiro aplicado at que o montante atinja o valor do carro. Para ter o carro, Joo dever esperar: a) dois meses, e ter a quantia exata. b) trs meses, e ter a quantia exata. c) trs meses, e ainda sobraro, aproximadamente, R$ 225,00. d) quatro meses, e ter a quantia exata. e) quatro meses, e ainda sobraro, aproximadamente, R$ 430,00. 1. Lendo e compreendendo a) O que dado no problema? dado o preo do carro vista (21 mil reais), o capital que Joo tem para investir (20 mil reais) e a taxa de juros que Joo obter nesse investimento (2% ao ms). b) O que se pede? O tempo que Joo dever esperar para comprar o carro pretendido, e se haver ou no sobra de dinheiro. 2. Planejando a soluo Devemos calcular o montante do investimento de Joo para 2, 3 e 4 meses, e comparar com o valor vista do carro para saber quando Joo conseguir comprar o carro. passo a passo: exerccio 12 Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_012a029_U1_C01.indd 22 5/27/13 2:57 PM

21. 23Captulo 1 Matemtica financeira 3. Executando o que foi planejado O montante pode ser obtido pela frmula M C (1 t)t , com C 20 000 (capital) i 0,02 (taxa) e t assumindo os valores 2, 3 e 4. Assim: M2 20000 (1 0,02)2 20808,00 M3 20 000 (1 0,02)3 21 224,16 M4 20 000 (1 0,02)4 21 648,64 Como M2 21 000 (preo vista), conclumos que investir por 2 meses apenas insuficiente para comprar o carro. Como M3 21 000, conclumos que 3 meses suficiente, e ainda sobram 224,16 reais. Tambm percebemos que esperar 4 meses des- necessrio, porm, se assim ocorresse, sobrariam 648,64 reais. Diante desses resultados, Joo dever esperar 3 meses e ainda sobraro, aproximadamente, 225 reais. 4. Verificando Vamos acompanhar a evoluo do dinheiro aplicado ms a ms at o 3o ms aps a aplicao inicial: No dia da aplicao, temos C 20 000. Aps o 1o ms, temos M1 20 000,00 1,02 20 400,00. Aps o 2o ms temos M2 20 400,00 1,02 20 808,00. Aps o 3o ms temos M3 20 808,00 1,02 21 224,16. Esse valor suficiente para comprar o carro e sobram quase R$ 225,00. Isso confirma o resultado obtido anteriormente. 5. Emitindo a resposta Alternativa c. 6. Ampliando o problema a) Qual deveria ser a taxa para que, em apenas 1 ms de investimento, Joo conseguisse comprar o carro vista sem sobra de dinheiro? b) Discusso em equipe Converse com seus colegas sobre a importncia de uma boa educao financeira para a popula- o, ou seja, a importncia de ensinar as pessoas, de qualquer idade e nvel social, a planejar os gastos futuros, economizando dinheiro quando for possvel para que ele seja usado mais tarde sem atrapalhar as finanas da famlia. 13. Em quanto tempo um capital dobrar se for aplicado, a juros compostos, taxa de 30% ao ano? Resoluo: M C f t M 2C 2C C 1,3t 1,3t 2 log 1,3t log 2 t log log 2 1,3 2,64 anos 2 anos e 8 meses Logo, o tempo deve ser de aproximadamente 2 anos e 8 meses. 14. Qual deve ser o tempo para que a quantia de R$ 30 000,00 gere o montante de R$ 32 781,81, quando aplicada taxa de 3% ao ms, no sistema de juros compostos? Resoluo: C: 30000 M: 32781,81 i: 3% ao ms (0,03) t: ? MC(1i)t (1i)t M C (1,03)t 32 781,81 30000 (1,03)t 1,092727 t log1,031,092727 log log 1,092727 1,03 3 O tempo deve ser de 3 meses. 15. Situao-problema inicial do captulo Uma pessoa vai fazer uma compra no valor de R$ 4 000,00 usando o que tem depositado na caderneta de poupana, que est rendendo 1% ao ms. Ela quer saber, do ponto de vista financeiro, qual plano de pagamento mais vantajoso: pagar vista; ou pagar em duas prestaes iguais de R$ 2005,00 cada uma, com entrada. Resoluo: Pagando vista: toda a quantia de R$ 4000,00 ser gasta (sobrar 0). Pagando em duas prestaes de R$ 2 005,00: como a caderneta de poupana utiliza o sistema de juros compostos,apsopagamentodaprimeiraprestao sobraraquantiadeR$ 1995,00,querenderjurode 1% at o pagamento da segunda prestao. Veja: 1% de 1 995 19,95 M 1 995 19,95 2 014,95 2 014,95 2 005 9,95 Logo, o segundo plano de pagamento o melhor, pois ainda sobrar a quantia de R$ 9,95. Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_012a029_U1_C01.indd 23 5/27/13 2:57 PM

22. Unidade 1 Matemtica financeira e Estatstica24 25. Quanto render a quantia de R$ 600,00, aplicada a juros simples, com a taxa de 2,5% ao ms, ao final de 1 ano e 3 meses? 26.Um capital de R$ 800,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao ms, resultou no montante de R$ 880,00 aps certo tempo. Qual foi o tempo de aplicao? 27. Uma dvida de R$ 750,00 foi paga 8 meses depois de contrada e os juros foram de R$ 60,00. Sabendo que o clculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa de juros? 28.Um capital aplicado a juros simples rendeu, taxa de 25% ao ano, juros de R$ 110,00 depois de 24 meses. Qual foi esse capital? 29.Se uma mercadoria cujo preo de R$ 200,00 for paga em 6 meses, com taxa de 20% ao ano, quanto ser pago de juros no sistema de juros simples? 30.Calcule o montante produzido por R$ 5 000,00 aplicado taxa de 6% ao bimestre, aps um ano, no sistema de juros compostos. 31. Um capital de R$ 900,00 foi aplicado a juros de 18% ao ano durante 2 anos. Quanto rendeu de juros: a) em porcentagem? b) em reais? 32.Uma dvida de R$ 700,00 foi contrada a juros compostos de 2% ao ms para ser quitada em 4 meses. a) Quanto dever ser pago para quitar a dvida? b) Qual a taxa de juros acumulada nesse perodo de 4 meses? 33.Carlos deixou R$ 800,00 aplicados por 3 anos em um fundo de investimento. Se o rendimento mdio desse fundo foi de 1% ao ms, quanto Carlos tinha ao final desse perodo? 34.Afonso depositar R$ 1 000,00 hoje na poupana, que rende, em mdia, 0,7% ao ms. Daqui a 6 meses, depositar mais R$ 1 000,00. Daqui a 1 ano, quanto ele ter na poupana? 35. ATIVIDADE EM DUPLA Investindo um capital a juros mensais de 4%, em quanto tempo vocs triplicaro seu capital? 36. ATIVIDADE EM DUPLA Quando Lusa nasceu, seu pai investiu para ela R$ 600,00 em um fundo de investimento que rende, em mdia, 1,2% ao ms. Em quanto tempo Lusa ter mais de R$ 650,00? 37. ATIVIDADE EM DUPLA Aps quanto tempo, taxa de 4% ao ms, a aplicao de R$ 1 000,00 render juros de R$ 170,00 no sistema de juros compostos? 38. ATIVIDADE EM DUPLA Uma pessoa deseja aplicar R$ 10000,00 a juros compostos e, no fim de 3 meses, obter um montante de R$ 11 248,64. Qual deve ser a taxa de juros? 39. ATIVIDADE EM DUPLA (FGV-SP) Um capital de R$ 10000,00, aplicado a juro composto de 1,5% ao ms, resgatado ao final de 1 ano e 8 meses no montante, em reais, aproximadamente igual a: a) 11 605,00. b) 12 986,00. c) 13 456,00. d) 13 895,00. e) 14 216,00. Dados: x x10 0,8500 0,197 0,9850 0,860 0,9985 0,985 1,0015 1,015 1,0150 1,160 1,1500 4,045 Para refletir Compare esse resultado com aquele que voc e seu colega encontraram no incio deste captulo. 40. ATIVIDADE EM DUPLA (UEMT)Umafinanciadoraofereceemprstimos, por um perodo de 4 meses, sob as seguintes condies: 1a ) taxa de 11,4% ao ms, a juros simples; 2a )taxa de 10% ao ms, a juros compostos. Marcos tomou um emprstimo de R$ 10 000,00, optando pela primeira condio, e Lus tomou um emprstimo de R$ 10 000,00, optando pela segunda condio. Quanto cada um pagou de juros? Exerccios Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_012a029_U1_C01.indd 24 5/27/13 2:57 PM

23. 25Captulo 1 Matemtica financeira Conexo entre juros e funes Consideremos uma dvida de R$ 10 000,00 paga com juros de 40% ao ano. 1o ) No sistema de juros simples, os juros so obtidos em funo do tempo de aplicao, por meio da equao j 10 000 0,4t ou j 4 000t. Essa funo tem uma equao do tipo da funo linear (f(x) ax), estudada no captulo 3 do volume 1, cujo grfico uma reta que passa pela origem. Observe a tabela e o grfico abaixo: t 0 1 2 j f(t) 4000t 0 4000 8000 2o ) Ainda no sistema de juros simples, o montante obtido em funo do tempo e a equao dessa funo M 10000 4000t ou M 4 000t 10 000, que do tipo da funo afim (f(x) ax b) estudada no captulo 3 do volume 1, cujo grfico uma reta que passa pelo ponto (0, 10000). Observe a tabela e o grfico abaixo: t 0 1 2 3 4 M g(t) 4000t 10000 10000 14000 18000 22000 26000 A sequncia dos montantes a partir do primeiro ano (14000, 18000, 22000, 26000, ...) uma PA de razo 4 000 e cujo termo geral dado por: Mn M1 (n 1)r Mn 14 000 (n 1) 4 000 Mn 4 000 10 000n aumentoanual capital 3o ) J no sistema de juros compostos, o montante obtido em funo do tempo por meio da equao M 10 000 1,4t , que envolve uma variao do tipo exponencial (f(x) a bx ), estudada no captulo 5 do volume 1. Veja a tabela e o grfico abaixo: t 0 1 2 3 4 M h(t) 10000 1,4t 10000 14000 19600 27440 38416 Como j estudamos, a sequncia dos montantes a partir do primeiro ano (14 000, 19 600, 27 440, 38 416, ...) uma PG de razo 1,4 e cujo termo geral dado por: Mn M1 qn 1 Mn 14 000 1,4n 1 Mn 14 000 (1,4) 1,4 n 10 000 (1,4)n 4 000 8 000 0 1 2 3 j (em reais) t (em anos) Fique atento! Em j 4 000t, os valores de j so diretamente proporcionais aos valores de t e o coeficiente de proporcionalidade 4 000. 10 000 14 000 18 000 22 000 0 1 2 3 M (em reais) t (em anos) 10 000 14 000 19 600 27 440 0 1 2 3 4 M (em reais) t (em anos) Fique atento! Para t 0, M 10 000, que o capital da dvida. O acrscimo anual de 4 000 reais. Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_012a029_U1_C01.indd 25 5/27/13 2:57 PM

24. Unidade 1 Matemtica financeira e Estatstica26 4o )Vamos agora comparar os grficos dos itens 2o ) e 3o ) colocando-os em um mesmo sistema de eixos: 10 000 14 000 19 600 27 440 0 1 2 3 4 M (em reais) montante com juros compostos montante com juros simples t (em anos) 18 000 22 000 Observe que a interseco dos grficos ocorre no ponto (1, 14000). Isso significa que aps o perodo, nesse caso 1 ano, os montantes a juros simples e a juros compostos coincidem. A partir desse ponto, o grfico do montante a juros compostos est sempre acima do grfico do montante a juros simples, ou seja, para qualquer valor de t (em anos), t 1, o montante da dvida a juros compostos maior do que o montante a juros simples. 5 Equivalncia de taxas Considere a seguinte situao-problema: Se um investimento rende 3% ao ano, quanto render em 10 anos? i 3% 0,03 Capital inicial: C0 Montante aps 1 ano: C0(1 0,03) Montante aps 2 anos: C0(1 0,03)2 Montante aps 10 anos: C0(1 0,03)10 Se I a taxa de juros acumulada em 10 anos e i a taxa de juros relativa a 1 ano, temos: 1 I (1 i)10 pois 10 anos equivalem a 10 perodos iguais a 1 ano. No problema, temos: 1 I (1 0,03)10 1 I (1,03)10 1 I 1,3439 I 0,3439 34,39% Portanto, o investimento render aproximadamente 34,39% em 10 anos. possvel provar que, se I a taxa de crescimento de uma grandeza relativa ao perodo de tempo T e i a taxa de crescimento relativa ao perodo t, e se T nt, ento: 1 I (1 i)n Fique atento! Se i a taxa de juros relativa a 1 ano, a taxa de juros relativa a n anos I tal que 1 I (1 i)n . Fique atento! Taxa de juros uma taxa de crescimento. Quando dizemos 12% ao ano com capitalizao mensal estamos falando em 1% ao ms. Contexto_e_Aplicaes_Matematica_V3_PNLD2015_012a029_U1_C01.indd 26 5/27/13 2:57 PM

25. 27Captulo 1 Matemtica financeira Exerccios resolvidos 16. Qual a taxa de juros anual equivalente a uma taxa mensal de 2%? Resoluo: i 2% 0,02 1 I (1 0,02)12 1 I 1,268 I 0,268 26,8% Portanto, a taxa anual de 26,8%. 17. Qual a taxa de juros mensal equivalente a uma taxa anual de 50%? Resoluo: I 50% 0,5 1 0,5 (1 i)12 1,5 (1 i)12 1 i 1,512 1,034 i 0,034 3,4% Portanto, a taxa mensal de 3,4%. Fique atento! Use uma calculadora cientfica para extrair a raiz de ndice 12. 18. Uma bomba retira, em cada suco, 3% da gua de um poo. Depois de 20 suces, quanto restar da gua inicialmente existente no poo? Resoluo: i 3% 0,03 1 I (1 0,03)20 1 I (0,97)20 1 I 0,5437 I 0,4563 45,63% Portanto, a quantidade de gua, aps 20 suces, diminuir aproximadamente 46%, e restaro cerca de 54% da gua existente inicialmente no poo. 19. Paula investe seu dinheiro a juros de 6% ao ano com capitalizao mensal. Qual a taxa anual de juros qual est investido o capital de Paula? Resolu

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