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EXPLICAÇÃO DO PROGRAMA

Este programa mostra como a partir de um quadrado inserido num sistema coordenativo definido

pelas medianas desse quadrado (Fig.1) é possível obter, através da estrutura do conhecido “Jogo do Galo” (Figs.2 e 3) um número infinito de quadrados iguais e simétricos em relação aos eixos que definem esse sistema, cujos vértices coincidem com pontos de uma circunferência tendo por centro o ponto de origem (O) do referido sistema de coordenadas (Fig.4).

O processo contínuo que permite obter novos quadrados a partir do primeiro baseia-se num

Princípio de Igualdade implícito na própria estrutura do já mencionado jogo infantil, uma vez que unindo os vértices alternados da cruz que define a estrutura deste jogo se obtém dois quadrados iguais, de lados correspondentes a hipotenusas de triângulos rectângulos.

Neste processo, onde está subjacente um Princípio de Simetria, está ainda implícito um Princípio de Identidade que permite definir os lados de dois quadrados iguais através de números diferentes em relação à mesma unidade linear.

Vejamos em que consistem estes Princípios:

O

Fig.1

O

Fig.2

Fig.3 Fig.4

O O

3

1. PRINCÍPIO DE IGUALDADE Na Fig.5 os quadrados de lados AB e A’B’ estão relacionados por um Princípio de Igualdade,

dado que os seus lados são hipotenusas de triângulos de catetos iguais a 1 e 2 em relação ao segmento de recta EF, lado do quadrado central da estrutura do “Jogo do Galo”.

2. PRINCÍPIO DE IDENTIDADE

Na Fig.6 os mesmos quadrados de lados AB e A’B’ estão relacionados por um Princípio de

Identidade, uma vez que, em relação ao segmento de recta A1B1, AB pode ser definido por um dos seus múltiplos (ou seja, 5) e A’B’ corresponde à hipotenusa de um triângulo de catetos também múltiplos de A1B1 (ou seja, 3 e 4), como mostra a Fig.7. Isto é, a medição dos segmentos de recta AB e A’B’, sendo iguais, pode ser feita por dois instrumentos de medida diferentes: uma régua graduada segundo a unidade de medida correspondente ao segmento de recta A1B1, e uma régua em L graduada em ambos os lados também segundo esta mesma unidade de medida. Ou, por outras

A B

E

F

O

A’

B’

Fig.5

Fig.6 Fig.7

O

A B

A’

A1 B1

B’

A B

A1 B1

A’

O B’

4

palavras, o segmento de recta AB pode ser definido por um número inteiro em relação à unidade linear A1B1 e o segmento A’B’ por dois números inteiros em relação a esta mesma unidade.

3. PRINCÍPIO DE SIMETRIA Uma vez que o quadrado inicial representado na Fig.1 admite que a estrutura do “Jogo do Galo”

possa ser considerada em duas posições diferentes (Figs.2 e 3) a partir de cada um dos seus vértices, se se considerar os quadrados cujos vértices coincidem com as extremidades dos segmentos de recta que definem a estrutura desse jogo nestas duas posições obtém-se dois quadrados iguais e simétricos em relação ao sistema de coordenadas definido pelas medianas do quadrado de lado AB. Assim, na Fig.8 os quadrados de lado A’B’ e A’’B’’ estão relacionados com o quadrado de lado AB por um Princípio de Igualdade (todos são hipotenusas de catetos iguais a 1 e 2 definidos a partir dos segmentos de recta EF ou E’F’), e na Fig.9 por um Princípio de Identidade (AB corresponde a um segmento de recta múltiplo de A1B1, ou seja, é igual a 5 unidades, enquanto A’B’ e A’’B’’ são hipotenusas de triângulos de catetos iguais a 3 e 4 em relação a essa mesma unidade).

Os Princípios acabados de referir fazem parte do programa “Continuum.exe”, sendo através

deles que se faz a passagem do quadrado ao círculo, podendo essa passagem ser feita em dois sentidos opostos e complementares.

Vejamos como:

1. Partindo do Princípio de Igualdade que relaciona entre si os quadrados de lados AB e A’B’ através da estrutura do “Jogo do Galo” (Fig.5), verifica-se que os segmentos de recta que definem esta estrutura intersectam ao meio os lados do quadrado de lado A’B’, permitindo considerar um novo sistema de coordenadas representado pelas suas medianas (a laranja, na Fig.10). Logo, se for considerado o Princípio de Simetria em relação a este sistema (Fig.11), pode novamente obter-se uma estrutura igual à anterior, a qual permite considerar um outro quadrado (a amarelo) igual aos quadrados de lados AB e A’B’. E como os lados deste novo quadrado se encontram também divididos ao meio, o que permite definir as suas medianas e, consequentemente, repetir a estrutura do “Jogo do Galo”, torna-se possível obter um novo quadrado (a verde na Fig.12), e assim sucessivamente (Fig.13, onde se pode ver mais um quadrado, a azul).

Fig.8

B’’

A B

E

F

A’

B’

A’’

O

E’

F’

Fig.9

B’’ B’

A B

A1 B1

A’ A’’

O

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Pode daqui deduzir-se que a partir de um quadrado inicial (quadrado gerador) e das suas medianas pode obter-se continuamente um novo quadrado através da estrutura do “Jogo do Galo”, coincidindo os vértices de todos os quadrados que se vão obtendo com pontos da circunferência com centro em O. Logo, como este processo é teoricamente contínuo, levantam-se estas interrogações:

Será que algum dos quadrados assim obtidos virá a coincidir com um dos quadrados já existentes, impondo um limite a este processo? Ou será que este processo pode gerar um número infinito de quadrados cujos vértices não esgotam nunca os pontos da circunferência com centro em O?

Se a resposta comprovar a primeira hipótese (processo finito), isso significa que o número de quadrados obtidos por este processo é limitado, como limitado é também o número de pontos da circunferência coincidentes com os vértices desses quadrados.

O

A B

A’

B’ O

A B

A’

B’

Fig.10 Fig.11

A’

B’ O

A B

O

B

B’

A’

A

Fig.12 Fig.13

6

Se a resposta confirmar a segunda hipótese, então estamos perante um processo infinito, uma vez que este se pode repetir continuamente gerando sempre um novo quadrado e, consequentemente, novos pontos da circunferência. O que significa que, a comprovar-se esta segunda hipótese, estamos perante o conceito de infinito gerado pela repetição de um conceito racional e finito (quadrado inicial dividido pelas suas medianas e estrutura do “Jogo do Galo”).

2. Partindo do Princípio de Simetria definido pelas medianas do quadrado inicial (a vermelho)

que permite que a estrutura do “Jogo do Galo” dê origem a dois quadrados iguais e simétricos (a laranja na Fig.8), temos que admitir que o processo acabado de descrever pode ter continuidade num sentido com o quadrado A’B’, como mostra a Fig.13, ou no sentido oposto com o quadrado A’’B’’ como mostra a Fig.14, estando ambos os sentidos conjugados na Fig.15.

Pode então dizer-se que sendo apenas considerado um desses sentidos estamos na presença de um processo dinâmico, gerador de movimento (como mostra o programa “Continuum.exe” carregando ininterruptamente na tecla Enter), enquanto se forem considerados os dois sentidos em simultâneo estamos perante um processo estático (pulsante) que admite contínuas e diferentes

B

B’’

A’’

A A B

A’ A’’

B’’ B’

Fig.16

O

A B

A’ A’’

B’’ B’

Fig.14 Fig.15

7

estruturas cruciformes resultantes da união dos vértices de cada conjunto de dois quadrados simétricos em relação às medianas do quadrado de lado AB (Fig.16).

Para melhor identificação dessas estruturas cruciformes, os segmentos de recta que as formam têm a mesma cor dos quadrados cujos vértices unem, enquanto no referido programa, por uma questão de efeito visual ( quase “psicadélico”), se se carregar ininterruptamente na tecla ENTER, essas estruturas são representadas por quadriláteros perpendiculares entre si, coloridos com a mesma cor dos segmentos de recta que as definem. De notar, no entanto, que este programa apenas mostra a formação dos quadrados a partir do quadrado de lado A’B’, apresentando-se muitas vezes a estrutura que lhe dá origem oculta (total ou parcialmente) pelos quadriláteros coloridos que indicam o Princípio de Simetria implícito neste processo.

Para se conhecer a funcionalidade do programa e ver alguns exemplos das imagens que ele permite obter, veja-se agora o texto e exemplos que seguem.

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OPERAÇÃO DO PROGRAMA

CAIXAS DO LADO ESQUERDO: Caixa branca – se estiver activada mostra as estruturas cruciformes (quadriláteros perpendiculares entre si) que unem os vértices dos conjuntos de dois quadrados que vão surgindo simetricamente em relação às medianas do quadrado gerador. Caixa amarela – indica o número (de 1 a 9) escolhido para fixar a espessura dos traços dos quadrados, correspondendo o número 2 àquele fixado por defeito. Caixa preta CorQ – indica a cor dos quadrados. Mantendo-se esta caixa com CorQ, por defeito a sequência de quadrados surge ciclicamente com estas cores: vermelho, laranja, amarelo, verde, azul, violeta. Se CorQ for substituído por um número de 1 a 8, esses números correspondem às seguintes cores:

1 = Vermelho; 2 = Laranja; 3 = Amarelo; 4 = Verde; 5 = Azul; 6 = Violeta; 7 = Branco; 8 = Preto.

Caixa vermelha CorM – indica a cor das medianas dos quadrados. Por defeito a cor das medianas é igual aos lados dos quadrados. Se CorM for substituída por um número, esse número corresponde à cor já indicada para os quadrados. Caixa cinzenta CorD – indica a cor da estrutura do Jogo do Galo, segundo as cores já fixadas para os quadrados. Por defeito, se as letras corQ forem substituídas por um algarismo, a cor desta estrutura corresponde à cor 7 (branca). Caixa branca Cor C – indica a cor do círculo que circunscreve todos os quadrados, de acordo com as cores que podem ser atribuídas a esses quadrados. Por defeito, o círculo não é mostrado.

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BOTÕES DO LADO DIREITO: Rectângulo azul no canto superior direito – indica o número de ordem da imagem actual Botão EXECUTAR – executa a configuração dada ao programa, podendo este botão ser substituído pela tecla ENTER. Botão A – apaga as caixas e botões, com excepção do botão SAIR, no caso de não se querer que apareçam ao copiar para o clipboard. Para repor as caixas e botões clicar dentro da área que mostra o programa. Para voltar ao texto inicial clicar em SAIR. Botão SAIR – clicando uma vez neste botão volta ao texto explicativo inicial do programa. Clicando duas vezes abandona o programa

EXEMPLOS

1º Exemplo Todas as caixas se mantêm por defeito

O número na caixa azul indica que o botão EXECUTAR ou a tecla ENTER foram accionadas 24 vezes

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2º Exemplo

Todas as caixas se mantêm por defeito, com excepção da caixa CorC, à qual foi atribuída a cor 7 (branco)

O número 4 na caixa azul indica que o botão EXECUTAR ou a tecla ENTER foi accionada 4

vezes Na imagem aparece o quadrado gerador (a vermelho) e, com a mesma cor, as suas medianas

e a primeira estrutura do Jogo do Galo. O segundo quadrado tomou a cor laranja por defeito, assim como as suas medianas e a nova estrutura do Jogo do Galo.

11

3º Exemplo

As letras corD, corM, corD foram substituídas pelo número 7 (branco) e as letras corC pelo

número 8 (preto). O número de ordem da imagem é 7 (indicado na caixa azul)

12

4º Exemplo

As letras corQ, corM foram substituídas pelo algarismo 6 (violeta), as letras corD pelo algarismo 8 (preto) e as letras corC pelo número 4 (verde).

O número de ordem da imagem é 19

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5º Exemplo

Inicialmente mantiveram-se por defeito as caixas corQ, corM e corD, sendo as letras corC substituídas pelo algarismo 5 (azul). Quando a figura atingiu o número de ordem 11, as letras corQ e corM foram substituídas pelo algarismo 2 (laranja) e as letras corD pelo algarismo 4 (verde), mantendo-se esta configuração até o número de ordem 48, número de ordem actual.

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6º Exemplo

Inicialmente o algarismo da caixa amarela foi 4, as letras corQ, corM foram substituídas pelo algarismo 1 (vermelho), corC foi substituída pelo algarismo 5 (azul), mantendo-se esta configuração até ao número de ordem 7. Quando atingiu esse número de ordem, o algarismo da caixa amarela foi alterado para 6, as letras corQ e corM foram substituídas pelo algarismo 5 e corD pelo algarismo 3, até ao número de ordem actual, 22.

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7º Exemplo

Inicialmente mantiveram-se as letras corQ, corM e corD, sendo apenas as letras corC substituídas pelo algarismo 5. Quando atingiu o número de ordem 12, as letras corQ, corM e corD foram substituídas respectivamente pelos algarismos 1,2 e 4, até atingir o número de ordem actual, 86.

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8º Exemplo

Inicialmente foi activada a pequena caixa branca que permite considerar os quadrados simétricos em relação às medianas do quadrado gerador, mantendo-se todas caixas por defeito até ao número de ordem 9. Notar, no entanto, que estando activada esta caixa, apenas é considerado um dos sentidos que a estrutura do Jogo do Galo pode tomar, embora se possa considerar a mesma estrutura no sentido oposto a partir do quadrado gerador, da qual resultam continuamente dois quadrados simétricos em relação às medianas deste quadrado, dando origem a uma estrutura cruciforme cujas extremidades unem os vértices alternados desses quadrados.

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9º Exemplo

Activada a pequena caixa branca. O algarismo 2 que se encontra por defeito no interior da caixa amarela foi substituído pelo

algarismo 5. As caixas corQ e corM mantiveram-se até ao número de ordem 36, tendo apenas as letras

corD e corC sido substituídas, respectivamente, pelos algarismos 8 e 7.

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10º Exemplo Activada inicialmente a pequena caixa branca; todos as caixas se mantiveram por defeito, até o número de ordem 9, tendo apenas as letras corC sido substituída pelo algarismo 3. Em seguida foi desactivada a pequena caixa branca e as letras corQ, corM e corD foram substituídas respectivamente pelos algarismos 8,5,7. Também o número 2 da caixa amarela foi substituído por 5. Ao atingir o número de ordem 13, corQ, corM e corD foram substituídas respectivamente pelos algarismos 4,4,2, até o número de ordem 18.

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Outros exemplos

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