CONTRIBUIÇAO AO PROJETO DE FUNDAÇÕES EM RADIER … · dos para o cãlculo de fundações em...

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i CONTRIBUIÇAO AO PROJETO DE FUNDAÇÕES EM RADIER Mauro Jorge da Costa Santos TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇAO DOS PROGRAMAS DE PÕS-GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JA NEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENÇAO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M.Sc.) EM ENGENHARIA CIVIL. Aprovada: FRANCISCO DE REZENDE LOPES ( Orientador ) DIRCEU DE ALENCAR VELLOSO HUMBERTO LIMA SORIANO RAUL ROSAS E SILVA RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL JUNHO DE 1987

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CONTRIBUIÇAO AO PROJETO DE FUNDAÇÕES EM RADIER

Mauro Jorge da Costa Santos

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇAO DOS PROGRAMAS DE

PÕS-GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JA

NEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENÇAO DO

GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M.Sc.) EM ENGENHARIA CIVIL.

Aprovada:

FRANCISCO DE REZENDE LOPES

( Orientador )

DIRCEU DE ALENCAR VELLOSO

HUMBERTO LIMA SORIANO

RAUL ROSAS E SILVA

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

JUNHO DE 1987

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i i

SANTOS, MAURO JORGE DA COSTA

Contribuição ao Projeto de Fundações em Radier (Rio

de Janeiro) 1987.

XI,196 p. 29,7 cm {COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia Ci

vi1, 1987).

Tese - Universidade Federa1 do Rio de Janeiro,CCPPE.

1. Estudo de esforços em placas sobre base e1ãstica

I. COPPE/UFRJ II. Titulo (serie)

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CURRICULUM VITAE

Engenheiro Civil - PUC-RJ - dezembro de 1973.

Engenheiro Estrutural - Estudos Têcnicos e Projetos

ETEP-LTDA - janeiro 1974/maio 1985.

Engenheiro Estrutural - Krebs Engenharia LTDA - a

partir de junho de 1985.

Professor Assistente do Departamento de Engenharia

Civil da Universidade Santa Orsula - a partir de

agosto de 1978.

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i V

A minha esposa e filhos

Marliicia

Maria Christina

Maria Carolina

Mauro Liicio

pelo carinho e incentivo.

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V

AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Francisco de Rezende Lopes, pela orientação deste

trabalho.

Aos colegas do Departamento de Engenharia Civil da Universi

dade Santa Orsula pelo incentivo e apoio recebidos.

Ao corpo docente do Programa de Engenharia Civil da COPPE ,

pelos ensinamentos recebidos no curso de mestrado.

à Pedro Paulo de Souza Pereira Junior, pela ajuda nos tra~

balhos de computação.

à Gilberto Ant6nio Candido e Evandro da Silva Machado pe­

la preparação dos desenhos.

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vi

Resumo da Tese apresentada ã COPPE/UFRJ como parte dos requisi­

tos para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

CONTRIBUIÇÃO AO Pr.~JETO DE

FUNDAÇOES EM RADIER

Mauro Jàrge da Costa Santos

J~nho de 1987

Orientador: Francisco de Rezende Lopes

Programa Engenharia Civil

Este trabalho apresenta uma revisão dos mêtodos mais conheci

dos para o cãlculo de fundações em radier e a aplicação em exem­

plos prãticos.

O objetivo principal da tese ê a obtenção de critêrios de

cãlculo de esforços solicitantes em radiers, atravês do estudo

comparativo entre vãrios modelos e mêtodos sugeridos em publica­

ções e normas de cãlculo.

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Vi i

Abstract of Thesis presented to COPPE/URFJ as partial fulfillment

of the requirements for the degree of Master of Science{M.Sc.)

A CONTRIBUTION TO THE DESIGN OF

MAT FOUNDATIONS

Mauro Jorge da Costa Santos

June, 1987

Chairman: Francisco de Rezende Lopes

Department: Civil Engineering

The thesis presents a review of the better known design

methods for mat foundations and their application to practical

cases.

The main objective of the thesis is to establish criteria

for the computation of internal forces in mat foundations, follo

wing a comparative study of the various models and methods pro­

posed in the technical literature and Codes of Practice.

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Vii i

Resume de la these presentee ã COPPE/UFRJ d'apres les

pour obtenir le degrede Maitrise en Sciences (M.Sc.)

CONTRIBUTION POUR LE PROJET DE FONDATIONS

EN RADIER

Mauro Jorge da Costa Santos

June, 1987

Conseiller: Francisco de Rezende Lopes

Programme : Genie Civil

Ce travail presente une revision des mêthodes plus

demandes

connues

pour le calcul des fondations en radier et l 'application a des

exemples pratiques.

L ' o b j e c t i f p ri n c i p a 1 d e 1 a t h e s e e s t d ' o b te n i r d e s cri teres

de calcul des efforts sollicites en radiers, par l'etude comparative

entre plusieurs modeles et methodes presentes dont des publica­

tions et normes de calculs.

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I.

I !.

ix

INDICE

INTRODUÇi'IO ....................................... .

REVISIIO DA LITERATURA ........................... .

Página

. l .

. 3 •

Il.l - Radier- Definição .3.

II.2 - Sistemas Estruturais Empregados em Ra-

dier .. .. . . .. .. .. .. . . .. . .. . . . . .. . . . .. . . .. .3.

II.3 - Métodos de Análise da Interação Solo

Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.

II. 4 - Métodos de Solução ...................... . • 5 •

III. METO DOS DE CIILCULO ESTUDADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15.

III.l - Métodos Selecionados.................... .15,

III.2 - Modelização do Solo...................... .15.

III.3 - Método das Diferenças Finitas............ ·15.

II!. 4 -

III. 5 -

III.3.1 - Base Teórica................. .15·.

III.3.2 - Condições Gerais de Aplicação. .21.

III.3.3 - Metodologia de Cãlculo Empre -

gada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22.

III.3.4 - Estrutura Bãsica do Programa.. .22 .

Método

III.4.1

III.4.2

III.4.3

r'étodo

III.5.1

III.5.2

III.5.3

da

da

Grelha sobre Base Elástica .....

- Base Teórica ................ - Condições Gerais de Aplicação

- Metodologia de Cãlculo Empre-

gada ........................

Viga sobre Base Elãstica ......

- Base Teõri ca ............... .

- Condições Gerais de Aplicação

- Metodologia de Cálculo Empre-

ga da ....................... .

. 26 .

.26 .

.27 .

.28 .

.28.

.28 .

·29 ·

.29 .

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IV.

X

TNDICE Pãgina

III.6 - Metodo dos Elementos Finitos ... .. . . .. .. . .29 .

III.6.1

III.6.2

III.6.3

- Base Teõri ca ............... .

- Considerações Gerais de Apli-

caçao . , .................... .

- Metodologia de Cãlculo Empre-

gada

III.7 - Método do AC!

........................

III.7.1

III.7.2

III.7.3

III.7.4

- Base Teõrica ................ - Condições Gerais de Aplicação

do AC! (20)

- Metodologia de Cãlculo Empre-

ga da ....................... .

- Estrutura Básica do Programa.

APLICAÇIIO A CASOS REAIS ......................... .

IV.l - Exemplo l: Radier com Distribuição Regu-

IV.l.l

IV.1.2

IV.1.3

IV.1.4

lar de Pilares .............. .

- Métodos dos Elementos Finitos

- Método das Diferenças Finitas

- Método do AC!

- Método da Grelha sobre Base

. 29.

. 32.

. 3 2 .

. 3 3 .

. 3 3 .

• 3 7 •

. 39,

. 39.

. 7 3 .

. 7 3.

• 7 3 .

. 74.

.7 4.

Elãstica .................... .74.

IV.1.5 - Método da Viga Sobre Base

El ãsti ca . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . .75.

IV.1.6 - Anãlise dos Métodos de Cãlcu-

1 o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • .76.

IV.2 - Exemplo 2: Radier com Distribuição lrreg~

lar de Pilares . . . . . . . . . . . .. . . .83 .

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V •

xi

INDICE

IV. 2. 1 - Método dos Elementos Finitos.

IV.2.2 - Método das Diferenças Finitas

IV. 2. 3 - Método do ACI

IV.2.4 - Método da Grelha sobre Base

Elâstica .................... IV.2.5 - Método da Viga sobre Base

Elãstica .................... IV. 2. 6 - Anãlise dos Resultados ......

CONCLUSÕES ...................................... .

V • 1

V.2

- Anâl i se Geral

- Recomendações para o Projeto de Radiers ..

V.3 - Sugestões para os Desenvolvimentos Futu-

ros .................... · · . · · · · · · · · · · · · · ·

REFERtNCIAS BIBLIOGRAFICAS ............................ .

APtNDICE A: Fundações em Radier por Diferenças Finitas ..

APtNDICE B: Fundações em Radier pelo Método do ACI(20) ..

NOMENCLATURA ........................................... .

Pãgina

.83.

. 83.

. 84.

. 84.

. 84.

. 85.

. 162.

. 1 6 2.

. 1 64.

. 166.

. 1 70.

. 1 7 3.

• 1 86 .

. 195.

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. l.

CAPITULO I

INTRODUÇÃO

O objetivo deste trabalho e apresentar e comparar dife­

rentes metadas de cãlculo de fundações em radier. Inicialmente fo

ram selecionados alguns metadas mais facilmente empregados em es

critõrios de projeto. Foram revistas as bases teóricas dos meto

dos selecionados e desenvolvidos programas para micro- computad~

res aplicãveis a dois deles.

Em seguida, exemplos de projetos correntes foram resolvi

dos com o objetivo de se avaliar os procedimentos de cãlculo mais

indicados. A anãlise aqui apresentada aborda apenas aspectos es

truturais do radier como placa sobre uma base elãstica. Não houve

intenção neste trabalho de discutir questões geotecnicas, como

por exemplo, a escolha de parâmetros dos solos.

A importância do tema escolhido para este trabalho se de

ve ao fato de que fundações em radier são empregadas em grande

numero de estruturas, tais como silos, metrôs, edif1cios com ma­

quinãrias pesadas, tanques, edif1cios residenciais e comerciais,

castelos d'ãgua e torres de chamines de grande altura.

Em contrapartida, a bibliografia que trata especificame~

te do cãlculo de radiers e pouco extensa, acarretando ao engenhei

ro estrutural uma serie de duvidas quando surge a necessidade de

projetar uma fundação em radier. Os trabalhos e livros textos na­

cionais e internacionais apresentam na maioria das vezes casos

particulares de placas sobre base elãstica ou metadas simplific~

dos empregados no cãlculo de radiers. Estas simplificar.ões visam

eliminar as dificuldades de um cãlculo matemãtico exato, possibi

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. 2.

li tando ao engenheiro a elaboração do projeto estrutural do radier,

empregando tabelas e procedimentos usuais; ocorre, entretanto,que

na maioria dos casos hã um super dimensionamento da estrutura,com

repercussões sensíveis na economia da obra. Com a facilidade de

acesso aos micro e grandes computadores, existe uma tendência na

tural do emprego de mêtodos numéricos como os das Diferenças Fini

tas, Elementos Finitos e Elementos de Contorno, contornando-se

assim as dificuldades e deficiências das formulações teóricas e

obtendo-se atravês de cãlculos mais exatos uma economia na estru­

tura projetada e um maior rigor científico no dimensionamento e

especificações dos materiais empregados no radier. Deste modo es

te trabalho se preocupou prioritariamente com a anãlise de mêto­

dos númericos, em detrimento de uma revisão extensa da literatura

no que se refere a têcnicas simplificadas e casos particulares de

placas sobre apoio elãstico.

Do Capítulo II consta uma revisão da literatura, aprese~

tando principalmente os mêtodos de anãlise de interação solo x es

trutura. No Capítulo III estão detalhados os mêtodos de cãlculo

selecionados para serem programados e empregados nos exemplos nQ

mericos. O Capítulo IV apresenta a aplicação dos mêtodos

tos no Capítulo anterior a dois exemplos de fundações em

descri

radier

e a anãlise comparativa dos resultados obtidos atravês das vãrias

soluções empregadas. O Capítulo V procura apresentar as conclu-

sões gerais obtidas pelo presente trabalho, sugerindo ainda proc~

dimentos para cãlculo,bem como possíveis temas de tese. Os -ape~

dices A e B apresentam, respectivamente, os fluxogramas bãsicos

e as listagens dos programas de cãlculo de radier baseados no Mé­

todo das Diferenças Finitas e no Método do AC! (20) .

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. 3 .

CAPITULO II

REVISÃO DA LITERATURA

II.l - RADIER - DEFINIÇÃO

O radier ê uma placa de fundação em concreto que recebe o

carregamento total de urna estrutura F l G • I I • 1 ) , trans

mitindo-o ao terreno de fundação, ou a um conjunto de estacas, no

caso dos chamados '' radiers estaqueados ", que não serão tratados

nesta tese.

Na maioria dos casos, o radier ê utilizado em solos com

baixa capacidade de suporte, onde, descarregando-se os pilares

numa placa englobando vãrios pilares, consegue-se uma redução na

pressão transmitida ao terreno e uma maior capacidade de

pelo aumento de largura e profundidade total da ·~ndação

I 1 . 2 ) .

carga

~IC .

A adoção do radier acarreta ainda uma sensível redução nos

recalques totais da estrutura e, por solidarizar vãrios pilares,

reduz tambêm os recalques diferenciais, que sao os que maiores

danos causam ã obra e suas instalações.

11.2 - SISTEMAS ESTRUTURAIS EMPREGADOS EM RADIER

Os tipos mais usuais estão descritos na FIG.II.3.

A escolha e emprego do tipo mais adequado dependerã das

condições particulares de cada obra, tais como:

- cargas a transmitir

- terreno de fundação

- recalques mãximos permitidos

mêtodo e prazo de execuçao

- viabilidade econômica

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.4.

11.3 - M[TODOS DE ANÃLISE DA INTERAÇAO SOLO-ESTRUTURA

Os métodos de análise podem ser classificados (i) quanto

ao modelo de representação do solo e (ii) quanto ã consideração

ou nao da linearidade nestes modelos.

Quanto ao modelo de representação do solo, hã dois

principais:

tipos

- solo representado por um sistema de molas ( Modelo de

Winkler (1867) )

solo representado por um semi espaço (elástico ou não)

O modelo de Winkler (FIG.11.4)equivale a uma placa sobre

fluido denso, onde a tensão de contato despertada num ponto e

diretamente proporcional ao deslocamento (recalque) sofrido pelo

ponto. A relação do modelo de Winkler, q = K0 ~, é analoga ã do

princípio de Arquimedes, sendo o modulo Ko idéntico ao peso espe­

cifico do fluido.

No modelo do semi-espaço ( FIG.11.5), o solo é idealizado

como um meio continuo, onde a superfície deformada do terreno de

fundação não ocorrerã somente na região carregada. Esta modela

gem emprega a teoria clássica da elasticidade e conduz, no caso

da interação solo-estrutura, ã resolução de problemas de comple­

xa formulação matemática.

Quanto ã consideração da nao linearidade, existem basica-

mente duas possibilidades:

- modelos elásticos

- modelos elasto-plãsticos

Os modelos elãsticos utilizam caracteristicas puramente

elásticas como o modulo de reação vertical K0 empregado no método

de Winkler ou o modulo de elasticidade longitudinal E e coefici-

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. 5.

ente de Poisson µ empregados nos mêtodos de semi-espaço, com

relações constitutivas lineares entre tensão e deformação.

Os modelos elasto-plãsticos consideram a não linearidade

das relações tensão deformação em que, cessada a causa ( carrega­

mento), parte da deformação ocorrida no solo permanece de maneira

residual. Os modelos elasto-plãsticos não são empregados no mome~

to, na prática dos escritórios de projeto. Uma revisão deste tipo

de modelo pode ser encontrada em Selvadurai (12).

Il.4 - MrTODOS DE SOLUÇAO

(a) Soluções Fechadas: São soluções matemãticas do proble-

ma de uma placa sobre apoio elãstico. Como em outras

areas da engenharia, as soluções fechadas sô são disp~

niveis para casos simples, como problemas axissimêtri­

cos e plano deformação. Uma vez que o problema a ser

resolvido se enquadra numa dessas soluções fechadas, o

trabalho ê grandemente facilitado pelo emprego de aba­

cos e tabelas jã elaborados. O livro de Selvadurai (12)

cita como exemplos os trabalhos de Schleicher (1926) ,

Hetênyi (1946), Timoshenko e Woinowsky - Krieger{l959),

Kerr(l963), Fryba {1972), Pane (1975), Westergaard

(1923, 1926, 1948), Wiseman (1973), Leonards and Harr

(1959), Richartand Zia (1963), Naghdi and Rowley{l953),

Reissner (1945, 1947, 1955), Selvadurai (1977), Nadai

(1963), Brotchie e Silverter (1969), Walcott (1970)

Andrews (1974), Le Pichon(l973), Me Nutt e Merand(l978),

Cathles (1975), Filonenko - Borodick (1940), Pas ter-

nack (1954), Vlazov e Leontiev (1966), Pane (1975 )

Korenev (1951, 1960), Key (1973), Hogg (1938),Holl(l938),

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. 6.

Popov (1971), Shekhter (1937,1939), Leonev (1939), Pi­

ckett (1951), Sneddon (1975), Pister e Westmann (1962,

1963), Burmister (1943,1945), Fox (1948), Acum and Fox

(1951), Jones (1962), Plevako (1972), Hoskin e Lee

(1959), Pister (1963), Murphy (1937), Gladwell (1975),

Pu e Hussain (1970), Gladwell e Iyer (1974),Svec{l974),

Laermann (1976,1977), Yoon e Rim (1971), Tsai (1974) ,

Green (1952). Os trabalhos de Beyer (26),Kany (27) e

Grasshof (28) apresentam soluções para câlculo de pl~

cas circulares ( problema axissimétrico) ou

( problema plano-deformação).

corridas

(b) Soluções Aproximadas: Se caracterizam por simplifica-

çoes no esquema e na modelagem estrutural do radier.

Como exemplo,pode-se citar uma prãtica muito utiliza­

da de se calcular um radier como se fosse uma laje com

carregamento vertical de baixo para cima gerado pela

reaçao do terreno suposta uniformemente distribu1da

ou com distribuição linear, empregando-se no câlculo

dos esforços solicitantes e no dimensionamento as tabe

las usuais de lajes.

Um outro exemplo é o método simplificado do ACI (20) ,

que calcula a influência isolada das cargas em cada

ponto do radier, totalizando depois os efeitos parci­

ais de cada carga e obtendo os esforços no ponto em

estudo.

O método de Gorbunov - Posadov (1959) reproduzido por

Selvadurai (12) trata de placas lisas com uma distri­

buição regular de pilares. O método foi classificado

como aproximado por Sel vadurai (12) porque nao consi-

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. 7 ..

dP.ra o efeito dos bordos. E um método bastante

lhante ao do ACI (20)

seme-

O método de Zemochkim e Sinitsyn (1947), descrito tam­

bém por Salvadurai (12) , analisa de forma aproximada

placas retangulares apoiadas em um meio elãstico. As

pressões de contato são determinadas pela compatibili­

zação entre a deformação da laje e do meio elãstico

conectados através de barras rigidas, conforme Figura

II. 6.

Scott (11) apresenta o método de Baker ( 1948), uti 1 i za

do também no cálculo de vigas em base elástica e adaf

tado para o cálculo aproximado de radiers.

(c) Soluções Numéricas: Consistem em se obter uma solução

discreta (e~ pontos discretos) para o proble~a que se­

rã tão aproximada quanto refinados forem a discretiz3

ção e o tipo de solução. Pode-se citar como e~emplos

bastante C:irunc!idos os 11etocos dos Elementos Finitos ,

üas Ciferenças Finitas e dos Elementos de Contorno.

Exemplos do emprego do Método de Elementos Finitos,re~

lizados por Cheung e Zienkiewicz (1965) utilizando el~

mentes retangulares, Svec e Gladwell (1973) utilizando

elementos triangulares e Yang (1972) utilizando uma

técnica interativa de Elementos Finitos com elementos

retangulares, acham-se descritos por Selvadurai (12)

Bowles (9) utiliza elementos de grelha na modelage~

através do Método de Elementos Finitos ao invés de

elementos de placa.

Exemplos do emprego do Método das Diferenças Finitas

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. 8,

sao apresentados por Bowles (9) , através de

aplicações prãticas.

Uma outra forma de discretização é a modelagem

posta por Hudson e Matlock (1966) e ilustrada na

Il.7. Uma apresentação resumida deste modelo ê

por Salvadurai (12) .

vãrias

pro­

Fig.

feita

Outro exemplo de aplicação do Método dos Elementos Fi­

nitos a radiers é o trabalho de De Mello (23) .

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~ 1 1

RAOIER

o . _, .

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n

F'IG.JI.I-RADIER E SAPATA ASSOCIADA

SAPATA ASSOCIADA

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.

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SAPATAS ISOLADAS

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LARGUR~ DA FUNDAÇAO

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FIG.JI.2-PROFIJNDIDADE E LARGURA DA FUNDAÇÃO NO CASO DE SAPATAS ISOLADAS E RADIER

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..-.--., ,----, ,---, r---• E F : :: :: H : F

L ---' '----' '----' '----' r--.., ,---, r---1 r----, f 11 , , li 1

li l 1 11 L - _J l.--.J '---J , ___ .} ... --, ... --., .--- ....... ---. 1 t I I[ 1 1 1 1 11 li 11 1 L---''---JL --..J L--.J

( f )

FIG.II.3- TIPOS COMUNS DE RADIER a J Radi,r //ao b J Radl,r //ao com capil•I c-d J Radl•r n•rvurado •- f J Rad l•r ,m caixão c•lular

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. l 2 .

q

FIG.lI.5-SOLO NA HIPOTESE DE SEMI-ESPAÇO CONTINUO.

p

,--- -

t '

FIG.II. 4-SOLO NA HIPOTESE DE WINKLER

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PLACA ELÁSTICA ---~

/

y

PLACA

/

/ l z

'

P( x,y)

/

'

P(x,y)

z

i--1--------;BARRAS RIGIDAS .•

./ /

FIG • .II. 6- METODO DE ZEMOCHKIN E SINITSYN

X

, MEIO ELASTICO

X

' MEIO ELASTICO

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••••• ic block

j+l--

. l A.

'\ riglcl ttar

,·. jjl{

l+l, J +1

iii;.i • 1

1l'i ·1.I.

~~~ ~;;, t~~~·- i1'.1~-~1\:-~~~.:,' 1!, i=-~~.:/: 7 i+.;~;~1.c:::.~?-{ ~:~, i:{i; 111,11 l'jl, '.1.. ·l:1 -1!!'.!!! !ii 1i 111: 1, ,.,

l --- l.j i+l,J

rii ii j•1.!1

Y BAR .li1ii '=-==-'!t .1'./'c-c~,....

l?~ i-1,j ~If5::- ~:;_:"';_~-=;:~ i.l '""-t~';?.i+1.f/ .. ,,;_~~~i i+-\J ~~J~,

i-1---

i-1

1!i1i"

i1i'11 i!1 1i"

(a) The dl1crot element modol of a plote or slab.

,.,

l • 1

l • 1

( b) Plan view of lhe plote oi 1howin9 ali paris with 9enera l lzed numberln9 sistem ( alter HUDSON and Matlock)

FIG.JI. 7- a J MODELO OE OISCRETIZAÇAÕ 00 RAOIER b} MODELAGEM 00 RAOIER

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. l 5.

CtAPfTULO III

METODOS DE CÃLCULO ESTUDADOS

dll.l - MÉTODOS SELECIONADOS

Como base para o estudo dos procedimentos de cãlculo, sele·

cionou-se os seguintes mêtodos:

- Mêtodo das Diferenças Finitas

- Mêtodo da Grelha sobre Base Elãstica

- Mêtodo da Viga sobre Base Elãstica

- Mêtodo dos Elementos Finitos

- Mêtodo do ACI (20)

III.2 - MODELAGEM DO SOLO

O solo serã considerado como um material puramente elãsti­

co, deformando-se sob a ação de um sistema de forças externas, o

qual cessando farã que o mesmo retome ã sua configuração inicial.

O modelo adotado para representar o solo serão proposto

por Winkler (1867), onde a pressão de contato q no ponto e dire­

tamente proporcional ao seu deslocamento, independente dos des-

locamentos no restante da superficie do radier, ou seja

III.l):

q ponto

= w ponto

(FIG.

O coeficiente K0

e denominado coeficiente de reaçao verti­

cal e serã constante com a dimensão FL- 3.

III.3 - METODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

III. 3. l - Base Teõri ca

Serã analisado o comportamento de uma placa delgada finita

apoiada em um meio elãstico linear.

Page 27: CONTRIBUIÇAO AO PROJETO DE FUNDAÇÕES EM RADIER … · dos para o cãlculo de fundações em radier e a aplicação em exem plos prãticos. O objetivo principal da tese ê a obtenção

. l 6.

Sendo a placa de espessura uniforme h e tendo como suporte

um terreno com modulo de reação vertical constante de valor

k0 , obedecendo ao modelo de Winkler, temos a seguinte equação di­

ferencial para um elemento de placa (FIG.III.2):

4 4 4 k o w a w 2 a w a w p + + = a x4 a X

2 aY 2 aY 4 D D

D rigidez flexão da placa E h 3 = a =

• 12(1-µ 2)

E = mõdulo elasticidade longitudinal do material da placa

µ=coeficiente de Poisson do material da placa

Para se contornar as dificuldades matemãticas da resolução

da equaçao diferencial acima e obter-se uma solução aproximada,

pode-se substituir o meio contínuo da placa por uma malha formada

por setores finitos ( FIG.III.3).

A superfície deformada da placa com· curvatura continua se

transforma em uma superfície poliedrtca, o que significa matema­

ticamente a transformação da equaçao diferencial parcial em uma

equação de diferenças finitas.

Os coeficientes diferenciais sao substituídos então por fu~

çoes dos deslocamentos wk dos nõs da malha. Usando então uma inter

polação com operadores centrais obtem-se:

6 WK aw w K+1 -w ( = K-1 =

3 X K 26 X 6 X

a w wi - Wi ) = =

ay K 26 y 6 y

a 2 w wi+1 - w - w. + w. 6 2 W ( ) = i-1 , + 1 , - 1 K = a x a y K 4 6x 6y 6x 6y

2 w -2w + w 2

( a w K+1 K K-1 6 WK = = 3 X 2 K 6x 2 6 xz

a2 w wi -2w + wi 6 2 ._wk ) K ( = = a y2 K 6y2 6 2 y

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(

(

=

(

a 3w ) = a X 3

K

a 'w ) =

a y' K

a 4w

ô X 2 ay2 K

~ 1:,x21:,y2

â 4 w ) =

a x• K

a•w ) =

~ y• K

. 17 .

-w -2w +2w w /::, 3WK K+2 K+1 K-1 K-2

wm

=

= 2/::, X 3 /::, x3

-2w + 2w. - wh 3

t 1 /::, WK =

2 t,y 3 /::, y'

4w -2(w + w +w +w 1.) + (w. +w. +w, +w, K K+1 K-1 t 1-1 1+1 N+J N-j =

/::, X 2 /::, y2

w -4w + +6w -4w +w K+2 K ! K K-1 K-2 /::, X 4

wm -4wt +6wK -4wi + wh

t,y• =

' /::, w K =

/::, X 4

/::, y'

A equaçao diferencial de flexão da placa se transforma em:

/::, 'w 21:, 'w I!.' w p ko wk K K K K +· + = /::, x' t,x, t,y2 /::, y' D D

Examinando as expressoes obtidas constata-se que para os

pontos da placa próximos ao seu contorno e necessãrio o uso de

nõs fictícios situados fora do domínio da placa, conforme mostra

do na FIG.111.4.

Nas expressões Pk e o valor da intensidade da carga distri

buida no ponto K fazendo /::, y2 = CI .temos

/::, x2

w ( 6 l -4 ( ( l +a ) (WK+l (a+ -)+8) +w ) + K a K-1

l + ( l + -) ( w, +w . ) ) + 2 ( w . 1 Ç( N 1 1-

da.

t,x4

D

1

- K W a O K

/::, X'

D

Caso l!.x = t,y = s, tem-se uma expressao bastante simplica-

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= p s' K D

- K W O K

. l fl .

s 4

D

Utilizando as condições de contorno de Kirchhoff associadas

com uma placa retangular com os bordos livre te~-se:

(a) bordos verticais

MX (0,y) = MX ( J/,X' y ) = o

vx = Qx - a Mxy = o para X = o e X = J/,x

d y

(b) bordos horizontais

ax = O para y = O e y = J/,y

Adicionalmente te~-se as condições de reaçoes nulas nos can-

tos das placas:

( c) a 2w o o o = para X = y = ax ay

X = J/,x y = o

X = o y = J/,y

X = J/,x y = J/, y

Considerando uma malha de m x n pontos nodais tem-se para

o sistema mostrado na FIG.III.5 um total de (mn + 4m + 4n + 4)

incõgnitas ou seja deslocamentos verticais wk.

Pelas equações aplicadas a cada ponto da malha dentro do

domínio da ;placa obtem-se mn equaçoes.

Page 30: CONTRIBUIÇAO AO PROJETO DE FUNDAÇÕES EM RADIER … · dos para o cãlculo de fundações em radier e a aplicação em exem plos prãticos. O objetivo principal da tese ê a obtenção

. l 9 .

Considerando as condições de contorno de Kirchhoff de momen

to fl etor ~x e 1·1y nulos bem como Vx e Vy tem;c,e 4 (m + n) equaçoes

adicionais.

As 4(quatro) equaçoes remanescentes sao obtidas através da

condição de reação nula nos cantos da placa.

Consequentemente a partir desse conjunto de equaçoes linea­

mente independentes, os deslocamentos wk podem ser obtidos através

da resolução do sistema- assim gerado.

O numero de equações pode ser bastante reduzido ao se utili

zar as condições de contorno, exprimindo-se os valores dos deloca­

mentos dos pontos ficticios em termos de deslocamentos dos pontos

do dominio da placa, restando portanto um sistema de m x n equa­

ções que fornecerão diretamente os valores das m x n deslocamentos

wk dos pontos nodais da placa.

Esse processo e utilizado por Joseph E.Bowles (9) e repro­

duzido nas figuras III.6 e III.7.

Nas deduções feitas ate o momento, assumiu-se que a carga

externa atuante em toda placa seja um carregamento distribuído de

intensidade P = P ( x,y) co~ a dimensão cL- 2 .

Quando a carga aplicada for concentrada em um ponto do dominio

de placa, seus efeitos podem ser levados em consideração de uma

maneira aproximada, substituindo-a por uma carga distribuida equl

valente, como abaixo.

p

t::.Y

carga concentrada: p

t::.X carga distribuida equl

valente: p = p

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. 20.

Se a carga concentrada nao atuar exatamente em um no da

placa, basta distribuí-la pelos nõs vizinhos, como abaixo:

PI P2

p

ll y / P3 P4.

t:. X

Incluindo a carga concentrada, a eauaçao diferencial de

flexão da placa em termos de diferenças finitas sera: ~\"- y

'w •w 4 ,,-----,

w pi l:,. 2A A w p K K K . K o K K + + = +

1', x' t,,x2 t,,y2 1', y• D D Dt,,x t,,y

Apõs o cãlculo dos deslocamentos dos pontos da malha pode-se

tambêm empregando a interpolação por diferenças finitas centrais

ealcular os esforços solicitantes e reações do terreno, confor

me mostrado a seguir na FIG .. III.B.

Pela teoria das placas temos as seguintes equaçoes diferen­

ciais par~iais que exprimem os valores dos momentos fletores e es

forças cortantes:

a 2 a 2 M -D ( w + w = 2 µ

X a X a y

a2w a 2 M -D ( w ) = 2 + µ y ay a X

M = -M = -D ( l -µ) a2w yx xy ax ay

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Q = y

'<JM ~ X

.àx .

d y

. 21 .

+ ay

3M xy

;)X

Utilizando-se diferenças finitas temos as seguintes expre­

soes em termos dos deslocamentos nodais para um ponto K generico

-W +2W -W /" = D( k-1 k k+l + ., k x, 6 x2

M y,x

µ(-wi+2Wk-w9.))

6 y 2

(-V\f2Wk -W Q. ------)

6 y2

M = xy,k D(l-µ) (wQ.-1-wQ.+l-wi-l+wi+l) 46x6y

Mx, k+l -Mx, k-1

26x

M -M . y,'l y,1,

2 6y

As pressões no terreno sao obtidas facilmente atraves do

conceito do mõdulo de reação vertical do terreno.

K = qk

o 6x 6y w K

qK - K 6 6 w o X y K

Os esforços cortantes obtidos sao expressos por unidade de

comprimento FL-l o mesmo ocorrendo para os momentos

FLL-l ( dimensão de força).

III.3.2 - Condições Gerais de Aplicação

fletores

Para os casos de radier com ;ormato regular na süa geome -

t ri a.

Page 33: CONTRIBUIÇAO AO PROJETO DE FUNDAÇÕES EM RADIER … · dos para o cãlculo de fundações em radier e a aplicação em exem plos prãticos. O objetivo principal da tese ê a obtenção

.22.

No caso de placas com reentrâncias ou saliências, a monta

gem das equações se torna bastante complexa nos limites do domí­

nio da estrutura.

Teoricamente ê sempre possível estabelecer-se um sistema

de equaçoes linearmente independentes que simulem as condições de

contorno da placa, e cuja solução nos forneça os valores dos des­

locamentos da estrutura.

III.3.3 - Metodologia de Cálculo Empregada

Para a aplicação e análise do método da resolução de pla­

cas, empregando a interpolação por diferenças finitas, foi desen

volvido um programa em linguagem BASIC para o micro-computador da

linha PC com aproximadamente 60 K de memória RAM.

Este programa foi baseado na metodologia empregada por

Bowles (9)

Com o objetivo de se aperfeiçoar a metodologia empregada

por Bowles (9) , utilizou-se a têcnica do armazenamento dos coefi

cientes das equações em forma de matriz retangular e o conceito

de faixa, bem como a resolução do sistema de equações pelo mêtodo

de Gauss, o que não ê feito por Bowles (9) . Obtivemos assim uma

grande economia de posições de ~enõrias do micro-computador.Esta

adaptação foi realizada de acordo com os conceitos desenvolvidos

na disciplina Técnicas Computacionais em Análise Estrutural da

COPPE-UFRJ.

III.3.4 - Estrutura Básica do Programa

O programa subdivide o radier gerando automaticamente uma

malha retangular com m divisões na direção horizontal (X) e n

divisões na direção vertical (Y). (FIG.III.9}

Os dados necessários para a definição da geometria, mate-

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. 2 3.

rial e carregamento atuante no radier sao introduzidos via tecla­

do:

- titulo do programa

- vao na direção X

- vao na direção Y

- divisões na direção X

- divisões na direção Y

- mõdulo de reação vertical do terreno K0

- espessura do radier = h

- modulo de elasticidade do radier = E

- peso específico do radier ( o programa concentra as car

gas devidas ao peso prÕprio nos pontos da malha)

- coeficiente de Poisson do radier = µ

- valores das intensidades das cargas concentradas e seus

respectivos pontos de aplicação= P K

No caso de carga externa distribu1:da,basta se adotar um

peso específico equivalente para se levar em consideração a açao

deste tipo de carregamento.

O programa realiza automaticamente a subdivisão do

gerando uma malha formada por elementos retangulares.

radier

Utilizando-se os coeficientes de deslocamento de cada ponto

segundo Bowles (9) (FIG.III.6}, monta-se ponto a ponto a

respectiva equação diferencial da placa em termos de diferenças

finitas, jã embutidas as condições de contorno para os bordos li­

vres

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. 2 4.

equação de deslocamento

do ponto

= D D

Como os coeficientes dos deslocamentos do Bowles (9) estão di

vididos por r 2 teremos:

+

equação com os coeficientes divididos por r2

=

N

p h2 k + -----

rD

rr termos de carga

O programa utiliza a matriz W para armazenar os coeficien

te dos deslocamentos de cada ponto em que o radier e dividido.E como

se fosse a "matriz de rigidez do ponto'', anãlogo i matriz de rig!

dez de uma barra em estruturas reticuladas (FIG.III.10 e 111.11)

A equação montada e a seguir armazenada na matriz Y.

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. 2 5.

Repetindo-se este processo para cada ponto do radier temos

desta forma um sistema K x K de equações linearmente independen­

tes, sendo K o numero de pontos nodais: K = (m+l) x (n+l). A ma­

triz Y ê a '' matriz de rigidez do radier'', anãlogo ã matriz de

rigidez global de uma estrutura.

Ao montar-se a matriz Y (FIG.III.12), nota-se que ela ê si­

métrica, positiva definida e possui um índice de esparsidade bas

tante elevada.

Para se evitar o desperdício de posições de memõria com ar­

mazenamento de grande quantidade de termos nulos, pode-se traba­

lhar com os coeficientes da matriz Y em um arranjo retangular,co~

tendo somente os elementos não nulos situados na diagonal princl

pal e na parte superior da mesma, utilizando-se a técnica da lar­

gura de faixa.

No nosso caso a largura de faixa sera.: (m+ l) x 2+1 = 2m+3 ,

onde me o nQ de divisões do radier na direção X.

A matriz Y se transforma da dimensão K x K para a dimensão

( K,2m+4), jã se utilizando uma coluna para o armazenamento dos

termos de carga (FIG.III.13).

O programa realiza a resolução do sistema de equaçao utili

zando o método de Gauss, conforme o algoritimo descrito por Humberto

Lima Sariano (3), obtendo-se os deslocamentos verticais dos

nodais da malha do radier.

pontos

Verifica-se se houve tração em cada no, eliminando-se a

parcela de 4

reaçao do terreno nos pontos onde tal fato ocorre:

K0 h wk = O, repetindo-se o processo atê chegar-se a todos

valores de reação no solo de compressão.

os

O programa executa o cãlculo ponto a ponto dos esforços so

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. 2 6.

licitantes utilizando os deslocJmentos calculadas, e finalmente im

prime os valores dos deslocamentos, momentos fletores e torsores.

Através do somatõrio das reações no solo calculada's a par­

tir dos deslocamentos pode-se comparar com a resultante das cargas

aplicadas, verificanc'.o-se assim. a precisão dos resultados.

O fluxograma básico da estrutura do programa e a respecti­

va 1 istagem encontram-se no Apendi ce A.

Ill.4 - METODO DA GRELHA SOBRE BASE EL~STICA

III.4.1 - Base Teõrica

Será analisado o comportamento de uma placa finita, subdi­

vidida em uma serie de vigas ficticias apoiadas em um meio elásti

colinear (FIG.III.14).

Temos então uma grelha formada . pelas vãrias vigas em

que foi subdividido o radier, com as respectivas cargas aplicadas.

A reaçao do solo será discretizada nos pontos nodais da

malha, através de uma mola linear com rigidez constante K (FIG.

III.15).

Caso o solo possua um modulo de reaçao vertical - -3 dimensao (FL ), a rigidez de cada mola será obtida

K0

, com a

diretamente

através do produto de K0

pela area de influência respectiva da

mola (FIG.III.16).

A dimensão da rigidez K será (FL-l).

Note-se que o somatõrio das rigidez de cada mola deverá

ser igual ao produto do módulo de reação vertical do terreno pela

area do radier: i = n9 molas

~Ki = K o X area radier

i = l

As constantes elásticas da grelha serao idênticas ao do

radier ou sejam modules de elasticidade longitudinal([) e trans

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• 2 7 .

versal (G).

O peso espec1fico adotado serã a metade do peso especffico

do radier, jã que ele entra no cãlculo em ambas as direções X e Y.

As barras de grelha serão dotadas de caracterfsticas geom~

tricasque confer.ir-lhes -a rigidez a flexão e a torção (FIG.III.17).

Efetuando o cãlculo estãtico da grelha obtemos então os

valores dos esforços solicitantes e das reações do terreno.

Mostra-se na F!G.III.18 um nõ t1pico da grelha com os re­

sultados obtidos e o respectivo cãl cul o dos· momentos fl e tores nas

direções X e Y, que deve ser feito utilizando-se os momentos fle

tores e de torção do nõ , conforme descrito por.Bowles (9).

Como alternativa pode-se realizar o cãlculo da grelha sem

a consideração da rigidez ã torção das vigas, conforme descrito

por Kurt Beyer (13). Neste caso os valores dos momentos fletores

obtidos em cada nõ serão diretamente os momentos Mx e My da placa

no ponto em questão. (FIG.III.19).

III.4.2 - Condições Gerais de Aplicação

Este mêtodo pode ser empregado para qualquer radier com

a: mais diversa configuração geomêtrica, incluindo alturas variã­

veis, furos e reentrâncias.

O sistema de cargas tambêm pode ser bastante diversificado

tais como:

- momentos fletores e de torção concentrados.

- cargas distribuídas e concentradas em qualquer posição

- deslocamentos impostos

Pode-se,tambêm,variando a rigidez da mola em cada ponto

simular-se poss1veis heterogeniedadesdo terreno de fundação.

Page 39: CONTRIBUIÇAO AO PROJETO DE FUNDAÇÕES EM RADIER … · dos para o cãlculo de fundações em radier e a aplicação em exem plos prãticos. O objetivo principal da tese ê a obtenção

. 28.

111.4.3 - Metodologia de Cálculo Empregada

Para a aplicação deste método nos exemplos numéricos, ;fo1

utilizado o sistema LORANE LINEAR implantado no NCE da UFRJ.

Utilizo.~·-se o elemento de grelha ~baixo detalhado:

Nome: "GP"

Plano de definição: XV

Incõgnitas nodais: w, u, v

Caracteristicas básicas: uma grelha e uma estrutura

contida em um plano, com carregamento perpendicular ao plano ou

momentos cujos eixos estão contidos no plano da grelha. As solicl

tações são esforços cortante, momento fletor e momento torsor, e

respectivos deslocamentos. Opicionalmente pode-se levar em conta

a deformação por corte, na consideração dos deslocamentos. O ele

mente é linear, de eixo reto.

111.5 - M[TODO DA VIGA SOBRE BASE ELÃSTICA

111.5.1 - Base Teõrica

A base teõrica e a mesma empregada no caso do método de

grelha sobre base elástica descrito no Item 111.4.

A placa e subdividida em uma série de vigas em ambas as di

reçoes {FIG.III.14), e o solo modelizado por molas lineares de -1 , constante K{ FL }.(FIG.IIl.l6}.

A diferença fundamental consiste no cálculo estático da

placa nas direções X e Y sem a consideração da continuidade en

tre as várias faixas.

O método realiza o cálculo das várias vigas sem a conside­

raçao de qualquer interação entre elas.(FIG.111.20}.

As constantes elásticas das vigas são as mesmas do radier:

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.29.

- modulo de elasticidade: E

O peso especifico e os carregamentos externos serao adota

dos na sua totalidade para o cãlculo em ambas as direções X e Y

do radier.

As barras das vigas serao dotadas somente de rigidez a

flexão.(FIG.III.21).

Efetuando o cãlculo estãtico das vãrias vigas, temos os

valores dos esforços solicitantes, reações do terreno e a linha

elãstica das vigas em configuração deformada.

Conforme demonstrado este mêtodo e um caso particular do

mêtodo da grelha sobre base elãstica.

III.5.2 - Condições Gerais de Aplicação

As mesmas condições do mêtodo da grelha, ress·altando-se se~

pre que deve-se avaliar com bastante critêrio o fato de ~ão se l.e

var ·em consideração as interações entre as vãrias faixas nas

quais o radier foi subdividido.

III.5.3 - Metodologia de Cálculo Empregado

Para a aplicação deste mêtodo nos exemplos numêricos, uti

lizou-seo sistema LORANE LINEAR e o SAP IV implantado no NCE da

UFRJ.

Foi utilizado sempre o elemento de põrtico plano sobre vin

culos elãsticos para se especificar as constantes de mola de cada

ponto.

III.6 - MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

III.6.1 - Base Teõrica

Considerando-se o caso de uma placa finita sobre um meio

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. 30.

elãstico linear segundo a ~ódela~em · de Winkler.

O domínio da placa ê dividido em uma malha de elementos de

placa.(FIG.111.22).

A superfície de contato entre o radier e o terreno e repr~

sentado por um conjunto de molas situadas nos pontos nodais da

malha. Desta maneira a reação do terreno serã transmitida a placa

por uma sêrie de cargas concentradas oriundas das reações das mo

las .(FIG.111.23).

A rigidez de cada mola K com a dimensão (FL- 1 ) serã cale~

lada a partir do produto K0

x ( 6x 6y), onde K0

(FL- 3) ê o mõdu

lo de reação vertical do terreno e

presentada pela mola.(FIG.111.23).

6x 6y) a ãrea do solo re-

Os elementos de placas são supostos interligados nos pon­

tos nodais e os deslocamentos destes pontos são as incõgnitas bã­

sicas.

Uma função (ou conjunto de funções) ê escolhida para defi

nir univocamente o estado de deslocamentos de cada elemento em

termos dos deslocamentos nodais.

As funções dos deslocamentos definem tambêm univocamente as

deformações especificas de cada ponto nodal em termos dos seus

deslocamentos.

A partir das deformações especificas e das propriedades

elãsticas dos materiais, o estado de tensões do elemento e defi

nido empregando as relações constitutivas.

Baseado nas funções que definem o estado de deslocamentos

e desenvolvida a matriz de rigidez de cada elemento K, utilizando

-se o principio do trabalho virtual ou o principio da energia PQ

tencial total mínima. A matriz de rigidez K relaciona o sistema *

das forças F concentradas nos pontos nodais com os seus respectl

vos deslocamentos~. O sistema de forças nodais em equilíbrio com

Page 42: CONTRIBUIÇAO AO PROJETO DE FUNDAÇÕES EM RADIER … · dos para o cãlculo de fundações em radier e a aplicação em exem plos prãticos. O objetivo principal da tese ê a obtenção

. 31 .

os esforços atuantes no contorno do elemento e em conjunto com as

cargas externas distribuídas no elemento, resultam numa

de rigidez do tipo abaixo:

-F* + F p + FE = K S

onde:

relação

- F e o vetor de forças nodais que simulam as cargas dis p

·tribuidas aplicadas ao elemento.

- F e o vetor de forças nodais que simulam as E

de contorno iniciais.

condições

- K S representa o sistema de forças induzidas pelos des­

locamentos nodais.

Nem sempre as funções dos deslocamentos adotados para o

elemento conseguem satisfazer a continuidade dos deslocamentos en

tre elementos adjacentes. Esta compatibilidade pode ser ~tolada.

nos contornos, porem sempre existirã no seu interior e nos pontos

nodais devido a solução ser unívoca.

Ao substituir-se as cargas aplicadas por cargas nodaisequi

valentes, as condições de equilíbrio global serao sempre satisfei

tas, o mesmo porem poderã nao ocorrer para pontos no interior e

no contorno dos elementos.

Apõs a determinação da matriz de rigidez de cada elemento,

obtem-se a matriz de rigidez global da placa pela superposição da

contribuição em cada ponto nodal dos diversos elementos que nele

incidem.

Pela formulação e resolução das equaçoes de equilíbrio ex

primindo o relacionamento entre as forças nodais aplicadas e o

respectivo deslocamento, calculam-se as incógnitas bãsicas que sao

os respectivos deslocamentos nodais de cada ponto da malha.

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. 3 2.

A partir dos deslocamentos obtidos e utilizando-se a rigi-

dez· de cada elemento pode~se determinar o correspondente estado

de tensões do elemento, os quais integrados fornecerão os esforç~

solicitantes.

III.6.2- Considerações Gerais de Aplicação

As mesmas descritas no mêtodo da grelha sobre base elãsti

ca, Convêm porem resaltar que a precisão dos resultados estã

estreitamente ligada ao tipo de elemento adotado,· ã malha utili­

zada na modelJgem do radier, e ao seu refinamento.

Como exemplo cita-se que o elemento retangular Rl2 de qu!

tro nós utilizado em flexão de placas apresenta pouca confiabili­

dade nos resultados relativos aos valores dos momer.tos de torção.

Este elemento ê utilizado ~elos ~rogramas S~P VI e LO~ANE'.

III.6.3 - Metodologia de Cãlculo Empregada

Para a aplicação do mêtodo dos elementos finitos, foi uti

lizado o sistema LORANE LINEAR e o tipo de elemento descrito abai

xo:

Nome: FPRNC {elemento retangular nao conforme)

Plano de definição: xy

Incógnitas nodais: w, ru, rv

Modelo: de deslocamentos

Caracterfsticas bãsicas: este ê um elemento de placa delg!

da,retangular de quatro nõs.A i~plementação deste elemento ê ba­

seado em uma variação do tipo polinômio incompleto de quarta or­

d~m para o deslocamento transversal w. Não existindo compatibili­

dade inter-elemento.para os pendentes normais aos lados do elemen

to , o me s mo r e s u l t.a .~.r d o t i p o não c o n f,o .r. me . ,.

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. 33.

4 3

FPR NC

2

Na literatura este elemento e conhecido como Rl2.

III. 7 - MfTODO DO ACI (20)

III.7.1 - Base Teõrica

O mêtodo do I\CI e baseado na solução de vlestergaarc para nl_~

cas de pavimentos apoiadas ern um meio elãstico linear(FIG.III.24).

Neste caso a equaçao diferencial da placa del~ada :de espessLira cons

tante h suportada por um solo com um mbdulo de reação vertical uni

forme de valor K0

, segundo o modelo de Winkler ê:

D ( )+Kw=O o

D= rigidez a flexão da placa= 12 ( 1-µ

2)

E= modulo elasticidade longitudinal do material da placa

µ=coeficiente de Poisson do material da placa

Considerando a atuação de uma carga concentrada na origem,

podemos tratar o modelo como axissimetrico reescrevendo a equaçao

di·ferencial em termos de coordenadas polares, jã tirando parti-

do da simetria de revolução onde as grandezas independem do âng~

1 o 0·.(FIG.III.25).

d 4w 2 d Jw 1 a 2 w 1 ....!!:'!!__) D (-- + - - -2- + -- + K \'i = o ai dr 3

dr 2 3

dr o r r r

Sendo nulo o carregamento externo distribuído p.

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. 3 4.

4 Definindo a grandeza L = To' çomo o raio da

K rigidez

efetiva, a solução da equação difergncial acima serã:

tas na

onde:

sendo x = r/L o argumento, as funções z. podem ser escri-1,

forma de serie de potenciais conforme mostrado a seguir: X 4 X 8 X

) 1 2;. z

1 (x)

( 2 ) . ( 2 ) ( 2 -------= 1 + ' 2 1 2 1 2 2. 4. 6.

X 2 X )6 X 10

z2

(x} - (2" ) ( 2 ( -z ) + = + 3!2-

-------1 !2 5 ! 2

zl (x} 2 ( Rl + log e ( Yx ) X z

2 (x}) z

3(x) =

2 1[

2

z4

(x) z

2(x}

2 (R2 + l o 9\ ( _2i___ f X z1

(x}) = + 2 1[ 2

(~)2- Í(3) (_x_) 6 J( 5) 10

Rl - + ~) - -------

2 3!2 2 5!2 2

J (2) 4 .J( 4) 8 J (6) 12

(~) (~) R2

- (_x_) - + -1 2 2 2 . 2 4!2 2 6'2

j (n} 1 1 1 1 1 = 1 + + + + ~- + ---- + ~-~2- --3~ 4 5 n

log y = 0.577216 = constante de Euler e

- - - - -

Apresenta~se· a seguir o grãfico das funções z4 e das suas

primeiras derivadas ( FIG.Ill.26)

Conforme os grãficos apresentados nota-se que z1

e z2 cre~

cem rapidamente com o acréscimo do argumento x. sendo que z3 e z4

ao contrãrio decressem rapidamente com o acréscimo do argumento z.

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.35.

Retomando ao cãlculo inicial, considerando uma laje infi-

nita carregada na origem por uma carga concentrada P, atuando

portanto em r = O, serão determinadas as constantes Ci, confor­

me a anãl ise apresentada por Hetenyi (18):

- deslocamento vertical e rotação da placa nulos em

r = oo ... c1 = c2 = o

- rotação nula na origem em r =O.,. c4 = O

A equaçao solução da linha elãstica sera:

A constante c3 e obtida igualando-se a carga aplicada P

com a reação do terreno na hipôtese de Winkler, obtendo-se en­

tão:

w = PL 2

40

Os esforços solicitantes e as rotações sao obtidos atra­

ves das equações diferenciais cor~espondentes:

e dw = dr

Mr = -0 (

Q = -0 ( r

PL2 Z' = 40

d2w + _µ_ dr 2

d2w + 1 dr2 r

r

+ _l_ r

3 ( r/L)

Z' 3

~) __ p_(Z 4 (r/L)-(l-µ) = dr 4

~) = - _P_(µ Z. (r/L )+(1-µ) 4 4 dr

1 ~) =

7 dr

p

4L

onde z3 e z4 sao as pri melras derivadas de z3 e z4 .

(r/L)

r/L

Para a anãlise dos resultados obtidos serao plotados(FIG.

)

III.27) os valores dos esforços e deslocamentos obtidos, ressal

tando-se que os momentos são expressos por unidade de comprimento

Page 47: CONTRIBUIÇAO AO PROJETO DE FUNDAÇÕES EM RADIER … · dos para o cãlculo de fundações em radier e a aplicação em exem plos prãticos. O objetivo principal da tese ê a obtenção

.36.

ou seja com a seguinte diriensão , ( FLL- 1) ( dimensão de Força F )

e o esforço cortante tambem por unidade de comprimento{FL-l ).

Pela análise dos diagramas obtidos verifica-se que os

efeitos gerados pela carga concentrada P sao rapidamente amor­

tecidos, e que para distâncias da ordem de x = ~r~ ~ 5 os va-L

lores remanescentes são praticamente nulos, ou seja para distân-

cias r ~ 5 L os efeitos gerados pelo carregamento são desprezí­

veis.

Outro fato que os diagramas apontam,e que os

gerados na origem r = O ou seja no ponto de aplicação da

tendem para infinito.

esforços

carga

Isto mostra que a teoria aplicada ao nosso modelo nao e

satisfatória nas regiões prõximas ã carga concentrada.

Para se contornar esta falha serâ assumido que na realicia

de a força concentrada se distribui em uma pequena area, por exem

plo sobre um circulo de raio C.(FIG.III.28).

Neste caso segundo ''STRESSES ON CONCRETE PAVEMENTS COM-

PUTED BY THEORETICAL ANALYSIS de WESTERGAARD'' descritos por

Selvadurai (12)e Scott (11) os esforços solicitantes no ponto de

aplicação da carga serao:

M (r=O} = M (r=O} = r 8

(1 + µ}P (loge

4 11

y =constante de Euler = 0.5772157

Q = (r =O} I'

= p

211C

2L +

e 1

2

:.. y}

Para se converter os esforços obtidos em termos de coor-

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. 3 7.

denadas polares para cartesianas, usaremos o procedimento normal

da teoria das placas abaixo resumido:

Q cose 1'

Q = Q sin e y 1'

II!.7.2 - Condições Gerais de Aplicação (AC! (20) item 7.3)

Para os casos gerais de radiers suportando cargas com p~

sições e valores aleatórios, o procedimento de projeto pode ser

baseado na teoria vista. Os efeitos gerados pelas cargas conce­

tradas, conforme foi demonstrado, são .rapid,rn~ente amorteci dos. De~

ta maneira ê possivel considerar o radier como uma placa e deter

minar os efeitos das cargas na vizinhança da mesma

r :;; 5 L.

ou seja

Usando o principio de superposição, pode-se determinar os

esforços solicitantes e deslocamentos em qualquer ponto do radier,

considerando apenas as cargas na zona de influência do ponto. Es

ta zona de influência geralmente não ê muito extensa, não sendo

necessãrio considerar muitas cargas para o cãlculo. Como o efeito

da carga em um determinado ponto ê transmitido pelo radier na

direção radial, o uso de coordenadas polares se impõe.

O seguinte roteiro ê recomendado:

(1) Determinação da espessura

conta o efeito de punção.

do radier levando em

(2) Determinação do mõdulo de reaçao vertical K0

do ter-

rena.

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. 38.

(3) Cálculo da rigidez a flexão da placa D=

E= modulo elasticidade longitudinal

ll = coeficiente de Poisson

(4) Cálculo do raio da rigidez efetiva

Et 3

2 12( 1-µ )

(5) Cálculo dos momentos radial e tangencial mãximo atuan

tes no radier em cada ponto utilizado para o dimensionamento

(Z4(r/L) z' (r;LJ ) M = - p - (1-1-!) 3 r

4 r/r,

p ( ]J Z4 (rj L) z' (rir,) ) M = - + ( 1 - ll) 3

e 4 r/L

r = distância da.ca:r>ga·ao ponto em estudo (metros)

Mr = momento radial ( mt/m)

Me= momento tangencial ( mt/m)

P = carga concentrada ( t)

z3 e Z4 = funções descritas na teoria apresentada

(6) Conversão dos esforços para coordenadas retangulares

M Mr cos 2e + Me . 2 = s,z,n e

X

M . 2 cos2 = Mr s,z,n e + Me y e

( 7) Cálculo do esforço cortante radia 1

Qr p z' (rir, )

= - -- 4 4L

Qr = cortante radial ( t/m)

zi' = função descrita na teoria apresentada 4

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. 39.

(8) Quando o contorno do radier estiver na zona de in-

fluência das cargas aplicadas, os esforços deverão ser computados

ao longo do contorno como se a descontinuidade não existisse. Mo

mentos e cortantes de módulos iguais e sinais contrãrios aos cal­

culados deverão ser aplicados no contorno para restabelecer as

condições de momento e cortante nulos ao longo dos bordos livres.

Os efeitos dessas correções devem ser somados aos jã cal

culados para cada ponto do radier.

lores

durai

(9) (item não incluído no AC!)

Para os pontos situados sobre as cargas aplicadas, os va-

dos esforços solicitantes serao calculados conforme Selva

(1 2 ) e Scott ( 11 ) .

M r ( r = O) = Me (r=Q) = (1-)J) p log. 2L + 1 - y)

e 4~ e 2

Y = constante de Euler= 0,5772157

C = raio da seção transversal do pilar ou no caso de pi­

lar quadrado de lado s o valor de C é C = 0,56418 s

Q r ( r=O ) p

pilar - circular = - com seçao 2 ~ e

(r=O ) p

pilar - quadrada de lado Qr = - com seçao S

4 S

111.7.3 - Metodologia de Cãlculo Empregada

Para a aplicação deste método aos exemplos numéricos, foi

desenvolvido um programa em linguagem BASIC para o micro computa­

dor DISMAC da linha Apple com 48 K de memõria RAM.

111.7.4 - Estrutura Bãsica do Programa

O programa gera uma reticula de pontos nodais formando

uma malha retangular com m divisões na direção X (horizontal) e

n divisões na direção Y. (vertical) - FIG.111.29.

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. 40 .

Utiliza-se então uma matriz de trabalho Y para armazena­

mento das coordenadas dos pontos nodais gerados, das cargas apli

cadas e dos esforços solicitantes a serem calculados.(FIG.III.30)

Os dados necessãrios ã inicialização do programa são in­

troduzidos via teclado, tais como:

- titulo do programa

- vao na direção X

- vao na direção y

- divisões na direção X

- divisões na direção y

- modulo de reação vertical do terreno

- espessura do radier

- modulo de elasticidade do radier

peso especifico do radier ( no caso de valor nao nulo o

o programa concentra as cargas devidas ao peso prõprio nos pontos

nodais, somando-as as cargas concentradas aplicadas)

- coeficiente de Poisson do radier

- raio da seção transversal do pilar

- cargas concentradas aplicadas nos pontos nodais da ma-

lha do radier.

O programa apos a geraçao dos pontos nodais executa o cãl

culo ponto a ponto dos esforços solicitantes, armazenando-os na

matriz Y para a impressão final.

A compatibilização dos esforços solicitantes nos bordos

da placa ê feita conforme determina o ACI, atravês de uma sub-

rotina especifica, programada utilizando-se as expressoes de

Hetenyi (18) para o cãlculo de vigas em base elãstica.

Este programa devido aos polinômios utilizados nas fun-

Page 52: CONTRIBUIÇAO AO PROJETO DE FUNDAÇÕES EM RADIER … · dos para o cãlculo de fundações em radier e a aplicação em exem plos prãticos. O objetivo principal da tese ê a obtenção

. 4 l .

çoes de Hetêhyi (18), apresenta um elevado consumo de tempo de

mãquina.

t apresentado no Apêndice B o fluxograma bãsico da estru

tura do programa descrito, bem como a sua respectiva listagem on­

de se encontram identificados as variãveis utilizadas.

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• /l 2.

p p

} L ~ > ) '

----/-= •• "' . ·- - ,c .~.

( . ) ( b )

p

p

11

> > .

1 1 ·-;,: _-. ·, ' - -.

( e > ( d )

FIG.III.I-DESLOCAMENTOS SEGUNDO A TEORIA DE WINKLER.

a - Carregamento distrlbu/do não uniforme . b - Carga concentrada Isolada. c - Carga concentrada sobre estrutura rlgida. d - Carregamento distribuldo uniforme.

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Y,v

. 43 .

• ~ - -- - - - - - /-1------- x,u / )- - - - - - - - -

/ / i

/ / 1 //

// 1

// 1

/// 1

// /

1 t l t q, REAÇÃO 00

SOLO: Kc,w

Z,w

h

FIG.III.2 -ELEMENTO OE PLACA COM CARGAS ATUANTES E A RESPECTIVA REAÇÃO DO TERRENO

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y

llX

lly ~ m

L- 1 L L+1

L K-2 K -1

J K Kt1 K+2

1 - , i i+1

h

X LX

FIG.JII.:I-MALHA FORMADA POR SETORES FINITOS E A , RESPECTIVA SUPERF/CIE DEFORMADA

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1 m '

L-1 L

K-2 K-1 K

+ i-1 • i 1

h

1 1 t

. 45.

1 1 L-1 L IL+l ' 1

1 T T 1

IK-2 K-1 K K+l i K+21 T l l 1 i

1 1-1 i+l '

1

T 1 1

Ih !

1 T i 1

iK-2

1

' 1

1

L+l

K+l 'K+2

1+1

FIG . .llI. 4- PONTOS PRÓXIMOS AO CONTORNO DA PLACA

'

1 m 1

L- 1 L L+l i

1 K- 1 K K+l 'K+ 2

T

i-1 i · 1+1

h

1

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y

.. . .. ._ ____ --<I .. ~•---- t -- . . --' - ~

.__ • l- -- ---'4 i.,_..__ --'t-- -----4...__

_ 4

~ __ .,;;l_...__ ..... _ ___, ..... _...__...,. _ _, ..... _.__...,. _ _, ..... _.__...,.m ,. __ __._ __ l

' . • • A < .. -------1

"-.._____ PONTO FICTÍCIO ~' . 1...---- ... ' • j t- 1!.- _.,..____ - ~• ... ._ -- lt,__ - -4~ .. ._ --

, p, NTO REAL ---iL___ .... ---i -- - -

_ ____. .. ____ _,L_ ---<L ____ ..,i.. .~. --------11----- - " ' -- - t- ••

~-~!...- ... - ._ __ -4 ~ -------< ...__ . - .._ -- l-------·-1------ ..

.. n

F/G.Jll.5-MALHA OE m x n PONTOS NODAIS ACARRETANDO NA UTILIZAÇÃO OE (mn+4m+4nf4) PONTOS

X

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(a)

(e)

(.)

( g )

( h)

. 4 7 .

( b)

(d)

( f)

( i )

C i 1 h h h h

h rh h rh h rh h rh

rh rh rh rh

h rh rh h 4y

Oeflectlon-coeficient matrlx for indicated nod11. AI I horizontal grid d imen1ion1 are rh; alt vertical value1 are h. Any set ot grld cofficienta ia equated to

4 • • nodal loods of Phi'Drh -( 11,,•h/D) •ij .

FIG.1/I. 6-IDENTIFICA~ÃO DAS VAR/AVEIS DOS COEFICIENTES DOS DESLOCAMENTOS ONDE iJx = rh e JJy = h.

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1 • Xl = -:;-:.,(1-A)

2r

. 4 8 .

1 2 2 1 2 X3= - 4(1--«) +2 (1-.M.)+-(1-"')

2r r 2

2 • X 5 : - -:t ( 1 -.«) - ( 1 - " ) r

2 z 2 X7=·-(1-.u) --(1-.a)

,• ,2

1 X9 = -( 2 ·-"') r

X 13 = • .!_ • .!_ ( 2 -M) r4 ,2

Xl5•· 4

2 ·4 r

6 8 Xl7=-+-+5 r4 ,2

2 1 X 19 = • 2 ( 1 •-'< ) - 2 ( 1 - .« )

r

5 8 X21=-+-+5 r4 ,2

1 4 1. X 23•-.+-:;r( 1 ·M) + 3( 1 -.<.q

r r

1 2 2 X2= - 4 (1 -A) - 2 (1-.a)

r r

X4 = ~( 1 • ...- ) r

5 2 4 XB=-(1-,;) +-(1-.«) + 1.0

2r4 ,2

XIO = 1.0

2 X 12 = • 2 (2-.«) -2.0 r

1 4 5 2 X 14 = - +-( 1 - .u) + - ( 1 -.a)

r4 ,2 2

4 4 X16= ·- ·­

r4 ,2

2 XIB = r2

5 8 6 X20•-+-+ ,4 ,2

6 8 X22•-+-+6 r4 ,2

X27 = -k-r

FIG.IIr.7-COEFICIENTES DOS DESLOCAMENTOS EM TERMOS DOS PONTOS DO DOMINIO DA PLACAd 2 I (MULTIPLICADO PELO FATOR o<= y2 = 2

dx r ONDE r= dx/dy)

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. 49.

llyx

Mx 4x

My X

Mxy tJ.y Mxy

Mx My

1 y Myx

y

z

F/6.III.8-ESFORÇOS SOLICITANTES NUM ELEMENTO OE PLACA NOS SENTIDOS CONVENCIONADOS COMO POSITIVO

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1 • 1

ja:n+1=6

y

j = 1

1

' 1

7

1

i <n 13

1~ <n ... -

_J 1 ~ ' e: 19

25

·1 = m + 1 = 6

1 T2 --

--- ··v- -16 3 4

8 9 10 11 i'2

~. r "- j .. ~;/115 16

' '

1

20 21 122 23 : 24 --- .. --·

26 27 28 29 1

,30 -·---- ---- ---

PONTO 16 = =( 1-l)•(m+l)+J=

• ( 3-l)x( 5+1) +4 = = 16

_L-._+3:..:l ___ ..::.3=.2 ___ ._3:::3:_ __ .....:3:..:4 __ __.._:3:::5:_ __ ._3:.:6:_ ___________ X

Lx

m OIVISÕES

FIG . .III.9-MALltA RETAN6fJLAR GERADA POR fJM RADIER ONDE m=n=~

cn o

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. 51 .

= 1 j , m + 1

1 - j:J

~

w' ( 1 i )

""- -- ' PONTO GENERICO

i-l)x(m+l)+j

__,__i=m+l

-FIG.III.10- MATRIZ W DOS COEFICIENTES DOS PONTOS NODAIS

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=

j = 1

PONTO 1 I

1 X3

X5

X6

(

1

1..:

. 5 2.

VALORES SEGUNOO

/FIG.m.6

X2

X4

"'

Xl -

~ -\ VALORES NULOS

( TIPICO)

j=m+l =6

1

FIG.III.li - MArRIZ w DO PONro l DE UM RADIER ONDE m=n=~

-l=n+l=6

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. 5 3 .

â=K

1 Í =i

I LARGURA FAIXA

1 1 '

i=l__,_.~5~-~z+'-1!-+--l-+"5+-"'4!-+--l--+-t-le~•l-+--l--+-+--4-+--l-+-H-+--l-+-t-2 1 T 1 9 12 9 I 10 '

1

' 1

1 7 li Tt-l+-+-~9~1"'1-'9+-+-;'-+-+IO"+--+-l-+-+-+-H-+-+--+-+-~ 1171171 9129 ,,

1 T: +,±z+-t-l--=+9='r.'o,±-9H l-+-+-'tl H-+-+-+-H-+-+-+-t-1 •• • • •

• 9 1411 119 • '

4 IZ 9 115111411~ 9 IS li 10 1

9129 2111111 :111!11 9·12 9 2 11 ITIIZ'l U 1511

' 1 12 4 ,. li 11 1 ,. 115 9 10

9 5 2 IJl4 9 19 • ' • 1991 1~112· 199 •

10 ,9 1 l li 1 911! 1 ii 10 IIU!H 1!1~8 9"" l1a1911 101

~•111111 l•I"'~ 11111 I'

Y= 101 11 1• 9 1 ~IS ffll 11

11 1

1 IO

8 1 _a ! -f''-l""l--+--4-r--l--l"l+-H--1--+-~+-I •

1 199 1 199 • ' H-r,-t-+-H~.1-.!-+-t- .j.... 9 18 1 l'I 1c•~,.~t:;j~+~9,,_ '+'-l'1'"9~ "~llt.~t+=t~~1ot.~~~=tj

1 0 18 1 1 181111 18 2 1 15 18 10 ;10 1' 11 11 16 111 1!:li l' 10

1 10 111! 9 li! ,,,., li 18 15 9 1

' ! • 9 19 18' 1'51

'"" 9 14

NO 25 - l-<--i--l-+.\-!----+-l---+"-ªJ-.i-l-+.\-J!'19"!."9-He--+--+-ll'-'11, ,µ1,._,,i'.'f~--l-+.J!º·=• 1--J.-'--I-J •

' 10

10

1

'

10

9 ·,, 18 111111,1... 4 12 9 111511 ~· 181711 2 9129

18 UI li Z 18 ~17~1~:ll--i-i.!IJ'.j!1~2+J9~ 1 15 9 llr,:1• ;;ª;;'i;.l';;+--+-1~·"--fcl"l4~

1 1 1514 9 5

·1 110 ,u, 11az

i: K - --~-~~~~ i , , [L___l_,__[I_L-=·j_J_L_J_J:·=ªj_JL.L...J..'..1.1'2'-'=JS

""'---- COEFICIENTES NULOS NÃO INDICADOS (TÍPICO)

"' F/G.l/[./2-MATRIZ Y PARA m:n•6 K = 36

LARGURA FAIXA

(m+1)x2+1=

= 2m + 3

ARMAZENADA NA MATRIZ

Y(K,2m+3)

EXEMPLO ,

m = 5 lorgura·· foixa • 2 X 5 + 3: 13

COEFICIENTE

BOWLES (9 NÃO NULO

(TÍPICO)

FIG.JII. .6

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-y =

NÓ 2!1 -

. se..

í' 2m + 4

I • 1

1 ;, 2m+3

1

• 2 1 1 • • •' • 7 1 1

' i • ' 12 9 10

li 7 1 1 • 12 • ''º ! li 1 1 9 ! 12 • ! : 'º ... -~

• 2 • 12, 9 'º • ! 1 • 5 1 ' • 14 ,. 27' 19 ' 9 • 21111!211 I• li li + ! 10

17 ,. 21 1 T,. 15 ,. ' ' 'º 1 ' 10' 17' li 27 li: 19 li

21 ,. 1 11 ! 1• • i 10

,. 1 9 ! 19 ,8

-l--23 i 13 27,

' 19 9 . '

.. 20 li 27 I• ,. '18 i l 10

22 18 27 1 ! T 18 ,. ,. 10

22, 'ª 27. 'ª ,. ,. 10

i 'ª 1 15 9 ' 20 13i 10

23 • 11: • 23 IS 27 19 9 :• 20 li l7'

' ! 9 151 li i 101 .. .. 27 ,. 15 ,. ' ' 10: _

1

,-22., 18 27' 'ª li ,. 10 ~

20 isl . li, li 9 1 101

~ -w· '

23 9 19 • Ili ~-~- .

• IS· 27 • ,, 21,11121. ; •• . 12 • i '~

T • i ' 17 li lT t • 12 li:

111

11 27 1 --- ~-

• 12 9 1-

21,,. i rt' ... 14 : • f..!' 1 ' ' ..

3 1

2 1 1 ~~~-- '

• 1 7 ' 1 ' .. r 1 li· T, 1 .

li 1 7 1 1 1

• ,2

!:::L 1

1

• 'r--. 1 1

1

' '

BOWLES ~ COEFICIENTE NÃO NULO (TÍPICO)

FIG. fil. 6

~

9

FIG.III 13 - MATRIZ Y ARMAZENADA EM ARRANJO RETANGULAR m=n=5 K=36

- COEFICIENTES NULOS NÃO INDICADOS ( TÍPICO)

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. 5 5.

Lx

-~--X

y

FIG . .III.14- ELEMENTO DE PLACA SUBDIVIDIDO EM FAIXAS FORMANDO UMA GRELHA

z

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y

. 5 6.

z

FIG. III. 15 - MODELAGEM DO RADIER POR f.lMA GRELHA SOBRE MOLAS

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. 5 7.

t--~.,........,A;:..X-,-,_,

h / y

X

MOMENTO OE INERCIA A FLEXÃO , Iy = Ax h3

12

MOMENTO OE INERCIA A TORÇitO • Ix = n Ax h3 :. ( Ax>h)

MÓDULO ELASTICIDADE LONGITUDINAL E

MÓDULO ELASTICIDADE TRANSVERSAL • G

, , , FIG.IJI-17- CARACTER/STICAS ELASTICAS E GEOMETRICAS

DE UM MEMBRO DA GRELHA

Ax

/ '/

/ / /

K=K0 AxAy

AREA OE INFLUÊNCIA

FIG.'III. 16 - DISCRETIZAÇAÕ DA REAÇÃO DO SOLO

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.,,

. 58 .

••·••• ft kips

o

~ 1 '-... 1

J.. ,, '

Horizontal 91ament• 28.387+ 10.802.• 39.119 24.556 + 14.633: 39.119

P•rpendic11lar monient1 Sam• from IJMfflatry os lllorizontol moment.

Computing tbe •odol b•nding momentstor dflh;in u•in9 the compute, output.

' FIG. OI. 18 - CALCULO DOS MOMENTOS FLETORES NAS 0/REÇOÉS X ti Y SEGUNDO BOWLES EM

"ANALYTICAL ANO COMPUTER METHOOS IN FOUNOATION EN6ENEERIN6 " CAPITULO 7. 9 {9]

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,- o • J::;.

Mx

\ /ZERO

/

-FIG. III. 19- MOMENTOS FLETORES NAS 0/REÇOES X e Y SEGUNDO KURT BEYER C/3 J

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I y

y

1 I l

. 60.

I t.X ,/

I i

J' t. X

.. -:;?,/_

I /

F"IG.I!I-20- MODELAGEM DO RAD/ER POR VIGAS SOBRE BASE ELÁSTICA

DIREÇÃO X

X

DIREÇAÕ Y

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. 61 .

X

MOMENTO DE INÉRCIA A FLEXÃO Iy' Ax h• 12

MODULO DE ELASTICIDADE LONGITUDINAL , E

' ' FIG.III. 21 - CARCTERISTICAS ELAST/CAS E GEOMETRICAS DE f.lM MEMBRO DE VIGA

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. f. 'Z •

dX

ELEMENTO DE PLACA

X,u ---~-

i

j 1

1 ! l y'.

Z,w REAÇÃO DO SOLO

FIG.III.22-PLACA FINITA COM CARGAS ATUANTES E RESPECTIVA MALHA DE ELEMENTOS FINITOS

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. 6 3.

K = Ko .õ. x .õ.y

ELEMENTO DE PLACA

5

ELEMENTO DE SOLO

Y,v

1 REAÇÃO DO TERRENO R =Ko W

Z,w

FIG.10.. 23 - PLACA FINITA COM CARGAS ATUANTES E MODELAGEM EM ELEMENTOS FINITOS DA PLACA E DO SOLO

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. 6 ~.

/ o /

11- - - - - /~/'-,,<----- X, u ,, 1 /

/ / / 1 /

/ /

h l=L---"------: _-__,,/ Y,v

Z,w

~

FIG.III. 24- ELEMEN70 DE PLACA NA CONFIGURAÇAO INDEFORMADA

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. 6 5.

/ y

z

Qr

• o

Mr ( 1

z

(')

r

Qr+ ~Qr dr 11,

1 ) Mr + 'aa~r dr

Qr+~ dr "ilr

q(r)•Ko w(r)

r

FIG. III. 25 - ELEMENTO OE PLACA SOB AÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES E SUBMETIDO AO CARREGAMENTO

, -EXTERNO DISTRIBUIDO p E A REAÇAO DE CONTATO q

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o

FIG. III. 26 -

. 66.

~,o.o

to.

t<J.3

tO. I

o

-0.1

·0.2

·!JO

-o.3

-0.4

-,ao ·o.

-

o

dZ4( X)

dx

Z4 (x)

dx

FUNÇOES z,,zz,Z3,Z4

z; ,z2 ,z~, z4 BEAMS ON ELAST/C FOVNDA T/ON , M. HETENYI C/8]

6

X

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A o

o.e

8 o

-O.e

e o

1.0

o o

2.0

E o

-100

-•

. 6 7.

-· -4 -· -· _, o

,

2 •

AisZ1 (.Sr)

Oefiection= ~A 4/J O

e isZ'1 ~rl

Slope=..Ls '\SD

o is!Az';c~>+.,',z~(,ar)l

Moment = .f.. O .. 4

4

Fl6.Jlr. 27- ANALISE EFETUADA POR S(ll(}Tr C li J ~

a)DESLOCAMENro VERTICAL, ROTAÇAO, MOMENTOS TAN6ENCIAL E RADIAL E ESFORÇO CORTANTE RADIAL b) a f) 6RÁFIC0S AMPLIADOS

JJr= r /L ONDE ,S = 1/L

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o

o,,

0,2

••• 0,4

. 6 8.

1 A

j O~'-"----'--~-'---'-~-'---_.._~_,__----'~---'-----'~---'-~L...---'--~L...-'-~-'----'

o 0.4 011 1.2 111 2,0 2.-1 2.a ~2 s,1 •,o 414 4,e s,2 s,1 ep

+l,2

+-1,1

e

~· DeflectlH

~· 11.,. (.)

+tp~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~___.,

O 0,4 0 18 11 2 119 2 10 2 14 z.a 1,2 :S,I 4 10 4,4 4,8 5,2 15,8 1 10

6•

IUdlal •••Ht

,. )

FIG.III. 27 CONTINUAÇÃO

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o

+0.4

+o.a

+ 1.2

+1.6

. 69.

D

+ 2.0 L...-'----'--'----'---L--'--'--J._-'---'---'--'---'--......J'--'---' o o.4 o.a 1.2 1.s 2.0 2.4 2.a 3.t 3.6 4.o 4.4 4.e s.2 ,.e s.o ,,

(o)

flnilllle Beams o•d Sloll1 on Winltter Foundatlo11

ºr~---------------------• 20

· 40

·•o

·ao

-100L...~-~-~-L...~----'--~-~~----'--~-~~----'--~~ o o.4 o.a 1.2 1.1 2.0 2.4 z.a a.2 3.8 4.o 4.4 4.a a.z s.s e.o

(f)

FIG. III. 27 - continuação

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( a )

( b )

. 70.

p Po= Trc2

FIG.III.28 - a) CARGA CONCENTRADA TEORICA

b)CARGA DISTRIBUIDA REAL

r

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Y,

i = ,

i = n + 1

j ' ,

1

~

/

/ /

-T 1

'

" T

l

. 71 .

r

0 ~ ---__,-~-

1-1 l .1;..l1i+1 PONTO ( i

'

!

,

1. ---~

m OIVISOES

~ _, %1

F"IG.III.29- MALHA DE PONTOS NODAIS GERADOS

J = m+ 1

i -r ! ' '

1

1

1

"' i ' ...

' «> "' >

.!: õ e

~ . -X

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i= 1

i=I~ •

CI) C( o C( lt:

y: w "' " "' e o e z lt: w o lt: o

i = o ~ u

n2 F'ONTOS

NODAIS = ( m + 1)

i= 2

y

CI)

< o < lt: ... "' ""

V,

< o e z lt: w o lt: o o u

(n + 1 )

. 7 2 .

CI)

e o o z CI)

e "' lt: e u

-FIG.'1/I. 30 - ESTRUTURA DA MATRIZ Y

i = 4

Mx

" o ,e .,. ... lt:

o e z

J:! z w :li o :li

j=5

My

"" o .. , <> w lt:

o

C(

z

o .... z w :I! o :E

j=6

Qx

" o

lC <> w lt:

o

< z

w 1-z i'! a: o u

j=7

Qy

"" o

}C .,. w lt:

o

e z

w 1-z C( 1-a: o u

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. 7 3.

CAP1TULO IV

APLICAÇÃO A CASOS REAIS

Neste Capitulo serão analisados dois radiers de edifícios

no Rio de Janeiro, o primeiro com uma distribuição bastante re­

gular de pilares e cargas e o segundo com uma distribuição irre­

gular, com o objetivo de se verificar a aplicabilidade dos mêto­

dos descritos no Capitulo III a casos da prática e comparar seus

resultados.

IV. l - EXEMPLO l: RADIER COM DISTRIBUIÇÃO REGULAR DE PILARES

O primeiro radier a ser analisado tem dimensões em planta

de 45m x 52.5m, com uma modulação uniforme para os pilares (Figu­

ras IV.l e IV.2).

As cargas transmitidas ao radier sao forças concentradas

de intensidade elevada. O estudo será feito para um radier com-

posto por placa lisa em concreto. A análise sera efetuada para

2 (duas) espessuras:

- lQ caso: espessura= 2,50m

- 29 caso: espessura = 1, 70m

A seguir são apresentadas as modelagens do radier para

cada mêtodo de análise, e os respectivos diagramas de

fletores nas direções X e Y da placa.

IV.1.1 - Mêtodo dos Elementos Finitos

momentos

Na análise foi utilizado o programa LORANE LINEAR e o

elemento de placa retangular não conforme descrito no item III.6.

3 com vínculos elásticos (molas) nos seus quatros pontos nodais.

Devido ã dupla simetria geomêtrica e das cargas aplicadas, foi

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. 7 4.

moéelado apenas um quarto do radier.

Na Figura IV.3 é apresentada a modela9em- adotada.

Nas Figuras IV.4 a IV.7 estão apresentados os diagramas

de momentos fletores para as direções X e Y relativos às alturas

de· l , 70m e 2, 50m.

IV. l.2 - Método das Diferenças Finitas

Na análise foi utilizado o programa descrito no item III.

3.4 e Apêndice A.

O cálculo foi elaborado segundo a modela9e~ apresentada

na Figura IV.8, utilizando-se o radier total, pois o programa nao

simula as condições de simetria do exemplo em estudo.

Os valores dos momentos fletores estão apresentados nas

Figuras IV.9 a IV.12, para um quarto do radier e alturas de 1,70m

e 2,50m.

IV. l .3 - Método do AC!

O cálculo foi elaborado utilizando-se o programa descrito

no item 111.7.4 e Apêndice B, que elabora, conforme já descrito,

a compatibilização das condições de contorno da placa exigido

-+ pelo ACI (20).

A escolha de pontos onde os esforços sao calculados se-

guiu a malha do Método das Diferenças Finitas (FIG.IV.8).Como no

caso anterior, não se pode tirar partido da dupla simetria.

Nas Figuras IV.13 a IV.16 estão apresentados os diagramas

de momentos fletores em um quarto do radier para ambas as

çoes e para alturas de l,70 e 2,50m.

IV.1.4 - Método da Grelha sobre Base Elástica

d ire-

Na anãlise foi utilizado o programa LORANE LINEAR e o ele

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. 7 5.

mente de grelha descrito no item III.4.3 com vínculos elãsticos

(molas) nos pontos de cruzamento das vigas da grelha e tambem

nos pontos intermediários e do contorno, essenciais para um cor­

reto desempenho do modelo em estudo. (FIG.IV.17).

Neste caso tambem foi tirado partido da dupla simetria

existente, sendo calculado um quarto do radier.

Nas Figuras IV.18 a IV.21 estão apresentados os valores

dos momentos fletores nas direções X e Y no caso de consideração

ou não da rigidez à torção das barras de grelha descrita no item

III.4.1, para a altura do radier de 1,70m.

Nas Figuras IV.22 a IV.25 estão apresentados os resulta­

dos para a altura do radier de 2,50m.

IV.1.5 - Metodo da Viga sobre Base Elãstica

Conforme a Figura IV.26, a modelagem adotada dividiu o

radier em vigas independentes nas direções X e V, sem qualquer

vínculos entre elas conforme descrito no item III.5. l. Esta divi

sao serviu como base para se efetuar o cãlculo do radier por fai

xas em ambas as direções:

(i ) faixas das vigas externas (englobando as linhas de

pilares prõximas ao contorno externo) .

(ii) faixas das vigas internas (englobando as linhas de

pilares internas).

O carregamento adotado foi o total para ambas as direções,

conforme e usual no cãlculo de lajes cogumelo.

Para a anãlise foram utilizados elementos de viga com

vínculos elãsticos nos pontos nodais sendo o cãlculo elaborado p~

los programas SAP IV e LORANE LINEAR conforme jã descrito no item

lll.5.3.

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. 76.

Os valores dos momentos fletores totais obtidos para cada

viga estão apresentados nas Figuras IV.27 a IV.30 para as alturas

de 1 , 70m e 2, 50m.

IV.1.6 - Anãlise dos Metodos de Cãlculo

Serã efetuada a análise dos resultados dos diversos meto-

dos de cálculo, comparando os valores dos momentos fletores nas

diversas faixas em que foi dividido o radier.

Como a distribuição dos pilares e regular, poder-se-á di-

vidir o radier em duas faixas (para cada direção de estudo), a

exemplo do que se faz em lajes cogumelo.

Teremos 2(dois) tipos de faixas (FIG.IV.31 e IV.32).

- as faixas coincidentes com os eixos dos pilares, deno­

minada de faixa dos pilares.

- as faixas situadas entre 2(duas) linhas de pilares, de

nominada de faixa interna.

A análise sera efetuada para 2(duas) alturas distintas do

radier 1,70m e 2,50m.

r conveniente lembrar que os Metodos dos Elementos Fini­

tos, Diferenças Finitas e ACI, fornecem os valores dos esforços

por unidade de comprimento. Para se obter o valor do momento fle

tor total atuando na faixa deve-se efetuar a integração dos valo

res apresentados nos diagramas solicitantes.

Os Metodos da Grelha e da Viga sobre Base Elástica já

apresentam os valores, dos esforços totais em cada faixa, dispe~

sando portanto cálculos adicionais.

Apresenta-se nas Figuras IV.33 e IV.34 um resumo dos mo­

mentos fletores totais nas cinco faixas em que o radier foi divi­

dido na direção X e nas Figuras IV.36 e IV.37 um resumo dos momen

tos fletores totais nas quatro faixas em que o radier da,direção Y.

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. 7 "J •

As Figuras IV.35 e IV.38 apresentam um resumo com a soma

dos momentos fletores entre a faixa dos pilares e a metade dos

momentos fletores de cada faixa interna vizinha ã faixa dos pila­

res considerada, de modo a se poder comparar com os valores ob­

tidos no cãlculo do Metada da Viga em Base Elãstica, para as dire

ções X e Y.

(a) Direção X:

Os momentos fletores obtidos a partir do emprego dos

Metadas dos Elementos Finitos e das Diferenças Fini­

tas, apresentam valores significativamente próximos.

As diferenças medias dos resultados se situam em tor

no dos 15%.(ver Figura IV.33 e IV.34).

Os momentos fletores calculados pelo Metada do ACI se

aproximam dos valores dos metadas anteriores, para

pontos do radier afastados dos bordos. As diferenças­

medias dos resultados obtidos pelo ACI, Elementos Fi­

nitos e Diferenças Finitas são de ordem dos 20%. Para

os pontos próximos aos bordos os valores obtidos dife

rem de atê 48%, apresentando resultados sempre inferi o

res, denotando que o Metada do ACI não simula de modo

correto as condições do contorno da placa.

Lembramos que os valores dos esforços nos bordos jã

se acham compatibilizados conforme o item 7.3.8 da

AC I.

Para o Método da Grelha sobre Base Elãstica, os valo

res dos momentos Fletores nos casos da consideração

ou não da torção, diferem entre si em media de 15%.

Com o objetivo de não sobrecarregar a nossa anãlise ,

plotou-se nas FIG.IV.33 e IV.34 apenas os resultados

Page 89: CONTRIBUIÇAO AO PROJETO DE FUNDAÇÕES EM RADIER … · dos para o cãlculo de fundações em radier e a aplicação em exem plos prãticos. O objetivo principal da tese ê a obtenção

. 7 3,

numéricos do caso da grelha com torção. Observando-se

os valores dos momentos fletores, concluimos que os

mesmos diferem bastante dos obtidos pelos outros me­

todos. Para pontos do balanço em torno de 60% (trecho

entre a linha de pilares e o bordo da laje) e para

os centros do lQ vão em torno de 35% (trecho entre os

2(dois) pilares extremos de uma faixa). Esta diferen

ça entre os resulta dos ê devi da a m:ode.l:crgem adotada,

que resulta sempre em trechos com balanços para os

bordos de placa. Desta maneira o" maior quinhão de

cargas'' das faixas dos pilares fica com uma esquemat!

zação deficiente, não conseguindo interagir entre

duas faixas de balanço consecutivas, acarretando um

fraco momento fletor e uma correspondente majoração

dos momentos positivos no lQ vão. Note-se ainda que

para as faixas internas os momentos fletores obtidos

se aproximam em media cerca dos 20% dos obtidos pelos

Mêtodos dos Elementos Finitos e das Diferenças Fini­

tas.

Os valores totais dos momentos fletores do cãlculo

como viga sobre base elãstica se diferenciam dos

valores totais mêdios da soma dos momentos fletores

das faixas dos pilares e da faixa interna de no mãxi­

mo 20% (em relação aos Mêtodos das Diferenças Finitas

e Elementos Finitos - FIG.IV.35). Observa-se que, ao

menos para o exemplo l, este método aproximado forne

ce resultados totais satisfatürios, faltando apenas

definir-se o modo da distribuição dos momentos fleto­

res entre as diversas faixas do radier. A NB-1 (22) ,

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. 79.

sugere a seguinte distribuição para lajes do tipo co­

gumelo:

- faixas dos pilares:

momentos positivos 55%

momentos negativos 75%

- faixas internas:

momentos positivos 45%

momentos negativos 25%

Baseado nos resultados obtidos, observa-se uma pequ~

na alteração nos valores acima, para o seguinte modo

de distribuição na direção X:

- faixas dos pilares:

momentos positivos 52%

- momentos negativos 68%

- faixas internas:

momentos positivos 48%

momentos negativos 32%

Convêm ressaltar que conforme explicado no item IV.l.5

foi tomada para cada direção de estudo como viga, a

totalidade da carga nos pilares.

Na anâlise dos resultados obtidos nos casos do

radier com a altura de l , 70m ou 2 , 50m, os valores dos

momentos fletores variaram de no mâximo 10%.

Como exceção temos os momentos do centro do 19 vão(tr~

cho entre os dois pilares extremos de uma mesma fai­

xa), onde para a placa com uma altura de 2,5 metros

foram atingidas majorações de em mêdia 25%. Como ilus

Page 91: CONTRIBUIÇAO AO PROJETO DE FUNDAÇÕES EM RADIER … · dos para o cãlculo de fundações em radier e a aplicação em exem plos prãticos. O objetivo principal da tese ê a obtenção

. 80.

tração, a variação do ''raio da rigidez relativa'' pl!

ca X terreno ida ordem de 25% e a variação da rig!

dez a flexão da placa da ordem de 70%, conforme de­

monstrado abaixo:

19 caso: espessura do radier = 1,70m

Et 3 rigidez a flexão da placa= D 2

E =3000000 t/m2

\1 = O , 20

h = 1 , 70m

12(1-µ)

+ D = 1 2 7 9 4 2 7 • 1 tm

modulo reação vertical do terreno: K0

= 3000 t1

m3

raio de rigidez relativa= •J 1279427. 11=4,54m

v 3000

29 caso: espessura do radier = 2,50m 3

rigidez a flexão da placa= D Et 2

E= 3000000 t/m2

µ = 0,20

h = 2,50m

12(1-µ)

+D= 4069010.4 tm

modulo reação vertical do terreno: K = 3000 t1

3 o m

raio da rigidez relativa = ~ = ]4069010.4~ Ko 3000

6,07m

A Figuras IV.39 e IV.40 apresentam as pressoes de con

tato (reações do terreno) nos casos de h = 1,7.0m e

h = 2,50m, respectivamente, onde se constata uma me­

lhor distribuição das pressões no caso do radier com

altura de 2,50m em relação ao de 1,70m de altura. As

variações atingiram uma midia de 10% nos bordos e de

15% no interior do radier, bastante distante das va-

Page 92: CONTRIBUIÇAO AO PROJETO DE FUNDAÇÕES EM RADIER … · dos para o cãlculo de fundações em radier e a aplicação em exem plos prãticos. O objetivo principal da tese ê a obtenção

. 81.

riações do raio da rigidez relativa e da rigidez a

flexão da placa. A distribuição de pressões obtida ex

plica as variações ocorridas nos diagramas de momen­

tos fletores nos casos das duas alturas do radier que

foram analisadas neste exemplo.

(b) Direção Y:

A comparação entre os momentos fletores resultante do

emprego dos Mêtodos dos Elementos Finitos e das Dife-

renças Finitas, apresentaram valores com diferenças

mêdias da ordem de 13% para as faixas dos pilares

(19 e 39 faixas). Para as faixas internas (29 e 49 fai

xas), as diferenças atingiram atê 46%. Nestas faixas

internas os valores dás esforços são da ordem de

20% dos esforços das faixas dos pilares. Por este mo

tivo apesar da variação em termos absolutos entre os

2(dois) mêtodos de cãlculo analisados, terem mantidos

a mesma ordem de grandeza (ver FIG.IV.36 e IV.37), em

termos relativos as diferenças constatadas se tornam

elevadas.

O Mêtodo do ACI, mantêm alguma aproximação dos Mêto­

dos dos Elementos Finitos e das Diferenças Finitas p~

ra pontos do interior da placa, e resultados inferio­

res para pontos prõximos ao contorno.

O Mêtodo da Grelha sobre base elãstica apresenta valo

res prõximos (diferenças mêdias não superiores a

15%), para os casos da consideração ou não da rigidez

ã torção das barras. Continuaremos de maneira anãloga

a anãlise efetuando para a direção X, a plotar nas

FIG.IV.36 e IV.37 os resultados numêricos do caso da

Page 93: CONTRIBUIÇAO AO PROJETO DE FUNDAÇÕES EM RADIER … · dos para o cãlculo de fundações em radier e a aplicação em exem plos prãticos. O objetivo principal da tese ê a obtenção

. 82.

grelha com torção. Para a direção Y, esse método apr~

sentou momentos fletores com diferenças médias da or-

dem de 45% em relação aos outros métodos, para as

faixas dos pilares. Esta majoração dos esforços nes-

tas faixas, acarretou em contrapartida uma diminuição

nos valores absolutos das faixas internas,tornando as

diferenças relativas aos outros métodos bastante sig­

nificativas. As observações feitas para a direção X

com respeito ã modelage~ adotada para os pontos dos

balanços (trechos entre os bordos do radier e a linha

de pilares), também se verificam.

De modo semelhante a direção X, o Método da Viga sobre

Base Elãstica, apresenta valores totais dos momentos

fletores com diferenças médias da ordem de 21% (exceto

em 2(dois) pontos nao representativos do trecho em

balanço no Método dos Elementos Finitos) em relação

aos valores totais médios da soma dos momentos fleta

res das faixas internas e da faixa dos pilares em

comparaçao com o Método das Diferenças Finitas e dos

Elementos Finitos). O modo de distribuição observado

nas diversas faixas, foi o seguinte:

FIG.IV.38).

- faixa dos pilares:

momentos positivos 68%

momentos negativos 90%

- faixas internas:

momentos positivos 32%

- momentos negativos 10%

Page 94: CONTRIBUIÇAO AO PROJETO DE FUNDAÇÕES EM RADIER … · dos para o cãlculo de fundações em radier e a aplicação em exem plos prãticos. O objetivo principal da tese ê a obtenção

. 83.

A variação dos resultados numêricos dos momentos fle­

tores para a direção Y, entre as alturas do radier de

1,70m e 2,50m se situaram na mêdia de 15%. Esta varia

çao ocorreu de forma aleatoria ao contrãrio da dire­

çao X.

IV.2 - EXEMPLO 2 - RADIER COM DISTRIBUIÇÃO IRREGULAR DE PILARES

Este exemplo refere~se a um radier com 8,00m de largura

e 16,00m de comprimento, com um arranjo de pilares bastante irre­

gular. As cargas concentradas tem valores moderados (Figura IV.

41 e IV.42).

O radier e uma placa lisa em concreto e a anãlise sera

feita para 2(duas) espessuras:

- 19 caso: espessura 0,50m

- 29 caso: espessura 0,80m

A seguir são apresentados, em conjunto com a modelagem

do radier para cada mêtodo jã descrito no Capitulo III, os res-

pectivos diagramas de momentos fletores nas direções X e Y.

IV.2.1 - Mêtodo dos Elementos Finitos

A anãlise foi elaborada utilizando-se o programa LORANE

LINEAR e o elemento de placa retangular não conforme descrito no

item III.6.3 com molas nos pontos nodais.

A Figura IV.43 apresenta a modelaoem e as cargas atuan

tes.

As Figuras IV.44 a IV.47 apresentam os diagramas de mome~

tos fletores para as direções X e Y e alturas 0,50m e 0,80m.

IV.2.2 - Mêtodo das Diferenças Finitas

A anãlise utilizou o programa jã descrito no item III.3.4

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. 8'4,

e Apêndice A. A malha adotada e as cargas estão apresentadas na

Figura IV.43.

Os momentos fletores para as direções X e Y e alturas de

0,50m e 0,80m estão apresentados nas Figuras IV.48 a IV.51.

IV.2.3 - Mêtodo do AC!

A escolha dos pontos de cãlculo seguiu a malha empregada

no Mêtodo das Diferenças Finitas (FIG.IV.43).

As Figuras IV.52 a IV.55 apresentam os diagramas de mame~

tos fletores para as alturas de 0,50m e 0,80m nas direções X e Y.

O programa descrito no item III.7.4 e Apêndice B foi utilizado Pi

ra os cãlculos dos esforços, incluindo a compatibilização das

condições de contorno conforme determina o AC! (20) .

IV.2.4 - Mêtodo da Grelha sobre Base Elãstica

Efetuou-se a anãlise atravês do programa LORANE LINEAR

utilizando-se o elemento de grelha com vinculas elãsticos nos

pontos de cruzamento das vigas da grelha, pontos intermediârios e

do balanço, a exemplo do que foi explicado no item IV.1.4 do

exemplo 1.

As cargas aplicadas estão descritas na Figura IV.57 e a

modela~em empregada na Figura IV.56.

Os diagramas dos momentos fletores para os casos da con­

sideração ou não da rigidez ã torção das barras estão apresenta­

das nas Figuras IV.58 a IV.65 para as direções X e Y e para as

alturas de 0,50m e 0,80m.

IV.2.5 - Mêtodo da Viga sobre Base Elãstica

Conforme as Figuras IV.66 e IV.67, o radier foi dividido

em quatro vigas no sentido horizontal (direção X) e em cinco vi-

Page 96: CONTRIBUIÇAO AO PROJETO DE FUNDAÇÕES EM RADIER … · dos para o cãlculo de fundações em radier e a aplicação em exem plos prãticos. O objetivo principal da tese ê a obtenção

. 85.

gas no sentido vertical (direção Y).

O emprego deste mêtodo constou do cálculo das vigas acima

descritas utilizando-se o elemento de viga do programa LORANE

LINEAR com vinculação elástica nos pontos nodais de cada elemento.

As vigas não interagem entre si, sendo o trabalho de cada uma to

talmente independente das demais. As cargas totais foram aplicadas

em ambas as direções X e Y. Os valores dos momentos fletores para

as vigas 1 a 9 acham-se apresentadas nas Figuras IV.68 a IV.71.

IV.2.6 - Análise dos Resultados

De maneira análoga ao exemplo 1, a análise será feita ba-

seando-se nos resultados dos valores dos momentos fletores obti

dos para cada mêtodo.

Por não existir uma uniformidade na distribuição dos pila­

res, a análise feita no exemplo 1, onde subdividimos o radier em

faixas denominadas internas e faixas dos pilares, fica sem senti­

do.

A avaliação dos resultados sera baseada de maneira

nas FIG. IV .43 e IV. 71.

total

Os esforços obtidos no Mêtodo dos Elementos Finitos, Mê-

todo das Diferenças Finitas e Método do AC!, apresentam os resul­

tados numêricos dos momentos fletores por unidade de comprimento,

ou seja mt/m. No caso do Mêtodo da Grelha sobre Base Elástica e

Viga sobre Base Elástica os momentos fletores apresentados já sao

totais para cada trecho correspondente do radier, ou seja mt.

(a) Direções X e Y

Os momentos fletores do Mêtodo dos Elementos Finitos

comparados com os Mêtodo das Diferenças Finitas, apr~

sentaram valores muito prõximos. As diferenças nao

Page 97: CONTRIBUIÇAO AO PROJETO DE FUNDAÇÕES EM RADIER … · dos para o cãlculo de fundações em radier e a aplicação em exem plos prãticos. O objetivo principal da tese ê a obtenção

.86.

suplantaram o valor de 10%, exceto para 2(dois) pontos

localizados do radier. Estes pontos são exatamente os

situados sob os pilares P2 e P10 que tem cargas elev~

das junto ao bordo da laje. Neste caso a diferença

nos valores dos momentos fletores atingiu o mãximo

de 36%.

O Mêtodo do AC!, comparado com os anteriores, atingiu

diferenças relativas elevadas. Este mêtodo em toda a

extensão da placa apresentou sempre valores inferio­

res, da ordem de 75% aos Mêtodos dos Elementos Finitos

e Diferenças Finitas.

No Mêtodo da Grelha sobre Base Elãstica, a comparaçao

entre os casos da consideração ou não da rigidez a

torção das barras, conduz a resultados com diferenças

pouco significativas (da ordem de no mãximo 10%). De~

te modo efetuamos, seguindo o jã feito para o exemplo

l, a anãlise para o caso da grelha com rigidez a ter

ção das barras. A comparaçao deste mêtodo com os ante

riores mostra que os valores diferem de maneira alea

teria variando entre 24% e 80%.

Em alguns pontos os valores sao totalmente invertidos.

E conveniente ressaltar que para a comparaçao entre

os valores numêricos, os resultados da grelha sao os

momentos totais correspondentes a 2,00m de largura,

enquanto que no Mêtodo das Diferenças Finitas, AC! e

Elementos Finitos, os momentos fletores são apresent~

dos para os pontos nodais de cada elemento, que neste

caso tem l ,OOm de largura. A comparação deve ser fei­

ta integrando-se os esforços neste trecho de 2,00m

Page 98: CONTRIBUIÇAO AO PROJETO DE FUNDAÇÕES EM RADIER … · dos para o cãlculo de fundações em radier e a aplicação em exem plos prãticos. O objetivo principal da tese ê a obtenção

. 87.

para possibilitar a comparaçao.

O Mêtodo da Viga sobre Base Elãstica apresentou a

mesma configuração do Mêtodo da Grelha sobre Base

Elãstica, embora com valores um pouco mais prõximos

do Mêtodo dos Elementos Finitos e Diferenças Finitas.

Estes valores apresentaram diferenças relativas aos

Mêtodos dos Elementos Finitos e Diferenças Finitas

entre 8% e 70%.Este mêtodo tambêm apresenta os

res totais dos momentos fletores para uma faixa

2,00m.

valo­

de

No tocante as diferenças verificadas nos momentos fle

tores para as espessuras do radier de 0,50m e 0,80m ,

pode-se resumir o seguinte:

- os Mêtodos dos Elementos Finitos,ACI, e das Diferen

ças Finitas apresentaram uma redução da ordem de

20% no pico dos momentos, nos pontos onde atuam

cargas concentradas, no caso da majoração da espes­

sura do radier de 0,50m para 0,80m. Em contraparti

da ocorreu um aumento da ordem de 30% nos momentos

fletores do restante da placa.

- O Metodo da Grelha sobre Base Elãstica apresentou

variações pequenas, da ordem de 10% sempre com mo­

mentos menores nos pontos sob a ação de cargas con

centradas, e maiores no restante da placa, quando

da majoração da espessura de 0,50m para 0,80m.

- O Mêtodo da Viga sobre Base Elãstica apresentou gra~

des variações, da ordem de 50%, seguindo o modo dos

mêtodos anteriores, ou seja redução nos picos dos

momentos e uma consequente majoração em outros pon­

tos.

Page 99: CONTRIBUIÇAO AO PROJETO DE FUNDAÇÕES EM RADIER … · dos para o cãlculo de fundações em radier e a aplicação em exem plos prãticos. O objetivo principal da tese ê a obtenção

,88.

Como ilustração, conforme demonstrado abaixo o raio

da rigidez relativa variou de 30% e a rigidez a fle

xão da placa de 75%, quando da alteração das espess~

ras.

19 caso: espessura: t = 0,50m

rigidez a flexão da placa= D = Et3

E = 3000000 t/m 2

h = 0,50m + D = 32552 tm

µ = 0,20

raio da rigidez relativa = L = fi1 K

o K0 = 3000 t/m3 "*L=l.Slm

29 caso: espessura: t = O ,Som

Et 3 D =

1 2 ( 1 -µ 2)

rigidez a flexão da placa=

E= 3000000 t/m2

h = 0,80m + D = 133333 tm

µ = O , 20

raio da rigidez relativa= L = Yº, Ko

K0

= 3000 t/m3 + L = 2,58m

A rigidez relativa radier-solo influe nas pressoes de

contato, conforme pode ser observado nas Figuras IV.72

e IV.73, que apresenta os resultados obtidos para o

Metodo das Diferenças Finitas. Os pontos internos do

radier apresentaram uma variação nas pressoes medias

de 30% para o contorno e de 25% para o interior da

placa.

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RADIER, PESO ESPECÍFICO= 2 ,50t/m5

MÓDULO ELASTICIDADE •E= 3000000 t/m 2

COEFICIENTE POISSON : 0,2 =}(. G"' 0,4E : 1.200.000t/m2

F /6.:::r:sc. 2 - CORTE A - A •

CARACTERISTICAS DOS MATERIAi$

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MÉTODO DAS DIFERENÇAS F IH/TAS • , METODO DO ACI

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FAIXA INTERNA

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DOS PILARES

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(INTERNA)

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FIG. JY. 34 - DIREÇÃO X MOMENTOS FLETORES TOTAIS NAS FAIXAS INTERNAS II NAS FAIXAS OOS PILARES h=2,50m. ESCALA." /cm =500mf

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Page 134: CONTRIBUIÇAO AO PROJETO DE FUNDAÇÕES EM RADIER … · dos para o cãlculo de fundações em radier e a aplicação em exem plos prãticos. O objetivo principal da tese ê a obtenção

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VII&: 1,11 Vl&A: 1411

EP': 1138(2'%} IP' :1521(3%)

DP' : 1571 (2%) EP': 1414 ( 1%)

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• • r 110 • 111 • a,eo •

VIIA: J.190

EF: 5!48 ( 1%) o,: 5237 (1%1

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VIIA: 1194

VtlA: 1271 VII&; 1200

EP': 1BZ3(4'%) EF:, 1288(1%1 DF: IUl(4%) Dff: 1211 (7%)

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., : 1510(2%1

EP': 1191(1%)

º': 1111 (1%)·

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Vla&:!511

EF: 1101 o,'11,1

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EF: 17'3 (1%)

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H: 1011(1~) •• : 1011(10%)

11. • l'.70•

YIIA~l443

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F'IG.IY.35 • ANALISç DA SOMA DOS MOMENTOS FLE'T;ORES ENTRE AS FAIXAS DOS PILARES E AS FAIXAS INTERNAS DIREÇÃO X h= t, 70 m ti h = 2,50 m

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EF; 1180 (8%),

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MOMENTOS FLETORES TOTAIS NAS FAIXAS INTERNAS • NAS FAIXAS DOS PILARES h=l,70m. ESCALA." /cm= 500ml

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VIIA: 1901

VIIA: 1144 v1e.1: 1111

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VIIA.: Ili Vl8A.: 917

Ef:1140(42%) .,, llll (44%)

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VIIA: 1514

EF: 1891 (1%) Df: 105(0%)

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VIIA.: 157!5

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VIIA.:1.71

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YIIA: 1415

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VIIA: l:SB2 VIIA: 141

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FIG . .IZ.38- ANALISE DE SOMA DOS MOMENTOS FLET'ORES ENTRE

AS FAIXAS DOS PILARES E FAIXAS INTERNAS DIREÇÃO y' h=l,70m "h=2,$0m

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RADIER : PESO ESPEC(FICO = 2,50 t/m3

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FIG.IJZ:. 427 CORTE A-A E CARAct-r-RÍSTICAS DOS MAirERIA'/S

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42,4 50, 22.1 1~! 21 • 24.2 22.4 21!1.9

"º· 21,a 21,t 21,5 28,0 2415 11,0

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41,0 320 21. 11,2 18,t 22,7 18,1 14,9

•º' 19,1 IB17 1111 11, 4 11,4 11,0 •••

\ ' \ \ 2,9 1,2 0,1 0,1 1,2 ••• 1,2

' FIG.:IIZ:. 47'- METOOO DOS ELEMENTOS FINITOS DIREÇÃO Y

h = O,Bm

1,4 o,a 1,6

/ 24,9/ 19,2

/ 28.9 40,1

32,8 49,1

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CAPITULO V

CONCLUSOES

V. l - ANALISE GERAL

Com base nos resultados dos exemplos estudados e na teoria

dos diversos métodos expostos, pode-se apresentar as

conclusões:

seguintes

- O Método dos Elementos Finitos, para o elemen -

to retangular nao conforme da biblioteca do programa LORANE, apr~

sentou sempre na proximidade das cargas concentradas descontinui-

dades nos valores dos momentos fletores. O fato ocorreu nos nos

comuns a dois elementos nodais, independente do refinamento da

malha adotada. Este elemento não parece se comportar bem para

cargas concentradas; talvez devido a este fato, o programa SAP

IV, que trabalha com o mesmo elemento, sã fornece os esforços no

centro do elemento e não em seus pontos nodais. Nos exemplos ado

tou-se como momento fletor no ponto a media aritimetica dos mo-

mentos nos pontos nodais dos elementos que concorrem no ponto

em estudo. Este procedimento pode não ser o mais indicado e a me­

dia aritimetica nao ser a melhor forma de avaliação. Conforme

comentado anteriormente, os valores numéricos dos momentos torso­

res não estão condizentes com a realidade conhecida através de

exemplos teóricos. Os torsores resultantes do emprego do elemento

retangular de placa apresentaram valores, em alguns casos, da

mesma ordem de grandeza que os momentos fletores, o que nao e

correto. No cômputo geral, este elemento fornece uma razoãvel

precisão apenas para os valores dos momentos fletores e das fle­

chas.

- O Método das Diferenças Finitas, onde sao clãssicas as

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. 163.

dificuldades da modelagem, das condições de contorno nos bordos,

não apresentou aparentemente nenhuma distorção ou duvidas em seus

resultados. Os valores dos deslocamentos,_ momentos fletores e tor­

sores se mostraram bastante compativeis, inclusive o câlculo da

reação total do terreno, obtida a partir dos deslocamentos calcula-

das, apresentou uma diferença praticamente nula em relação -as

cargas aplicadas. Com o programa implantado em micro-computador da

linha PC, este mêtodo se mostrou realmente bastante eficiente.

- Os Mêtodos dos Elementos Finitos e das Diferenças Finitas

apresentaram valores bastante semelhantes nos dois exemplos ana­

lizados, exceto para os momentos torsores onde os valores obtidos

no Mêtodo dos Elementos Finitos são bastante superiores ao das

Diferenças Finitas.

- O Mêtodo do AC! nao se mostrou confiâvel, pois na maioria

dos pontos do radier, os momentos fletores apresentaram valores

bastante inferiores aos Mêtodos dos Elementos Finitos e Diferen

ças Finitas. Este Mêtodo s6 parece ter uma razoãvel performace

para pontos distantes dos bordos da placa, bem como para cargas

aplicadas longe do contorno. No tocante ã parte computacional, o

emprego das funções de Hetényi (18) conduz a grandes tempos de

processamento.

- O Mêtodo da Grelha sobre Base Elâstica, apesar de se mos

trar muito prãtico, apresentou valores bastante diversos dos

Mêtodos dos Elementos Finitos e das Diferenças Finitas. Estes va­

lores foram na maioria das vezes superiores aos Mêtodos citados.

O emprego de barras sem rigidez ã torção ê mais prãtico do que

a consideração da torção, não acarretando grandes diferenças nume

ricas.

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. l 6 4.

- O Mêtodo da Viga sobre Base Elãstica apresentou pratica­

mente a mesma performace do Mêtodo da Grelha sobre Base Elãstica,

no caso de radiers irregulares (exemplo 2). Para os radiers reg~

lares (exemplo l), este Mêtodo se mostrou um Mêtodo

com excelentes resultados.

aproximado

- r interessante comparar o tempo gasto na solução dos dois

exemplos pelos diferentes Mêtodos. A TABELA V.l apresenta os

tempos aproximados empregados na preparação e entrada dos dados

e obtençio dos resultados para os exemplos 1 e 2. Para o Mêtodo

das Diferenças Finitas e do ACI, foi utilizado um micro- computi

dor e para os '1etodos restantes utiliz_çi,u - se os pro­

gramas SAP IV e LORANE LINEAR implantados no Nucleo de Computaçio

Eletrônica da UFRJ ( que dispõe de um sistema Borroughs 6700). O~

servou-se que a grande rapidez de processamento obtida no NCE-UFRJ

ê grandemente perdida no tempo gasto em espera na fila para pro­

cessamento e na liberaçio da respectiva listagem. Tendo em vista

a grande facilidade na introduçio dos dados no micro- computador,

onde as correções sio feitas em paralelo sem a necessidade da

espera de listagens, a vantagem operacional obtida ê insuperã­

vel, desde que o problema se limite, logicamente, ã memõria cen­

tral disponivel no micro-computador.

V.2 - RECOMENDAÇOES PARA O PROJETO DE RADIERS

Com base no estudo realizado, sugerem-se os seguintes proc~

dimentos de cãlculo:

- O cãlculo empregando o Método das Diferenças Finitas ê o

que mostrou resultados mais confiãveis.Os exemplos foram sempre

de placas com geometria bastante regular, sem variações de espes­

suras e ou reentrâncias. O solo foi sempre homogêneo ao longo do

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. l 6 5.

dominio da placa ( sem variações no modulo de reaçao vertical).

Na elaboração do programa descrito no Capitulo III , os testes

feitos para comparaçao com resultados analiticos ( incluindo os

exemplos do Capitulo 7 do Livro do Bowl es (9): apresentaram resul

tados coincidentes.

- O cãlculo empregando o Mêtodo dos Elementos Finitos ( el~

menta retangular de flexão de placas conhecido como Rl2) aprese~

tou resultados menos razoãveis que o Mêtodo das Diferenças Fini­

tas. Este Mêtodo conduz a valores razoãveis para os momentos fle

tores e flechas. Tem a seu favor a vantagem da existência de

software desenvolvido para vãrios sistemas computacionais, tais

como SAP IV, LORANE e EASE 2. Aplicando tal Mêtodo em conjunto

com outros tipos de elementos finitos, pode-se simular por exem­

P lo:

- apoios em estacas

- terrenos heterogeneos

- variação de espessura

- inclusão da superestrutura

- carregamentos dinâmicos e estãticos

- retração e deformação lenta do concreto

- esforços de origem têrmica

- forças de protensão

- A utilização do Mêtodo da Grelha sobre Base Elãstica deve

ser feita com bastante critêrio, pois apesar de apresentar confi

guração idêntica, os esforços solicitantes não se mostraram compi

tiveis com os Mêtodos anteriores. E preferivel neste caso calcu­

lar a grelha não considerando a rigidez ã torção das barras.

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. l 6 6.

- O cálculo empregando o Método da Viga sobre Base Elástica

pode ser adotado como um Método aproximado nos casos de radiers

regulares, com os pilares possuindo distribuição uniforme na

placa e simetria nos valores das cargas transmitidas.

- Os resultados do Método do ACI devem ser encarados com

restrição, pois o Método não simula com exatidão os esforços so­

licitantes na estrutura, especialmente prõximo aos bordos.

V.3 - SUGESTOES PARA OS DESENVOLVIMENTOS FUTUROS

Pode-se sugerir os seguintes tÕpicos sequenciais a este tra

balho:

- Desenvolvimento de um programa que elabore o cálculo de

radiers utilizando o Método das Diferenças Finitas para os casos

mais gerais de geometria, condições de contorno, apoios sobre

estacas, terrenos heterogêneos ( com diferentes modulas de rea­

çao vertical} e diferentes espessuras da placa.

- Análise do comportamento de uma placa sobre base elástica,

com a utilização de uma série de tipos de elementos finitos se­

guida de análise comparativa dos resultados gerados.

- Análise de Métodos de cálculo para o projeto de fundações

em radiers, utilizando o modelo de Filonenko-Borodich para o

solo, conforme citado por Selvadurai (12} . Este modelo simula a

interação entre as várias molas utilizadas no modelo de Winkler

conectando-as através de uma membrana elãstica (ver FIG.V.l}. Con

siderando o equilíbrio membrana X mola, obtém-se a pressão q em

termos da deformação w da placa:

2 q {x,y) = K0

w {x,y) - T 9 w (x,y)

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. l 6 7.

onde K0

é o modulo de reaçao vertical do terreno e Ta tensão

constante atuante na membrana.

Neste caso tem-se duas constantes elãsticas para caracteri

zar o modelo adotado para o solo.

- Anãlise do comportamento de uma placa espessa sobre ba

se elãstica, utilizando-se os métodos da presente tese.

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. l 70.

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. l 73.

APtNDlCE A

FUNDAÇÕES EM RADIER POR DIFERENÇAS FINITAS

Apresenta-se a seguir o fluxograma bisico e a respectiva

listagem do programa em linguagem BASIC destinado ao cilculo

placas de espessuras constantes sobre base elistica de modulo

com os bordos livres e submetidas aos carregamentos gerados

de

K o

pelo

peso prõprio, cargas distribuidas uniformemente e cargas concen­

tradas.

A capacidade do programa e limitada a:

- computador da linha PC com 60 K de memõria RAM:252 ele­

mentos de placa totalizando 285 pontos nodais.

- computador da~linha APPLE com 48 K de memõria RAM: 121

elementos de placa totalizando 144 pontos nodais.

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. l 7 5.

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. 184.

4 l c'iO l':E:TURn 4300 RE!1 -~~!JBROTI~IA PARA CALCUL.O D(~S REACOES E PRESSOES DO !3DL.0·--ARMAZEN

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. l 86 .

. APrNDICE B

~UNDAÇOES EM RADIER PELO METODO DO ACI (20)

A listagem em linguagem BASIC e o fluxograma bãsico

programa elaborados para os cãlculos efetuados no Capitulo

são apresentados a seguir. O programa ê destinado ao cãlculo

radier de espessura constante sobre base elãstica de modulo

e submetida a ação de cargas concentradas. As condições de

do

IV

de

K o

con-

torno de bordo livre são corrigidos por uma sub rotina especifi­

ca.

A capacidade do programa e limitado a:

- computador de linha APPLE com 48 K de mem~ria RAM: 529

pontos de cãlculo.

O programa tambêm permite o cãlculb para cargas, distri­

buidas em toda a extensão da placa.

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' CALCULO DAI

CONSTANTES

INTIIOOuçÃo

DAS CAR8AI

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IERAÇÂO DA

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CÁLCULOS , 001

EIP09ÇOI IOLICITAll·

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FIG.A. 2 - FLUXOGRAMA

IIIPIIESSÃO

PAIICIAL

C~RREÇÃO DOS !S"FORÇOS S Ot.1-

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INPIIESSAO

DOS E9'0RÇOS

BASICO

NOS

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. 19 3 .

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. 1 95.

NOMENCLATURA

h = altura total do radier

K = modulo de reação vertical do solo o

q = reaçao do terreno na superfície de interação com o

radier

w = deslocamento vertical de um ponto do radier( direção Z)

P = carga concentrada vertical

E = modulo de elasticidade longitudinal do material

radier

µ = coeficiente de Poisson do material do radie r

G = modulo de elasticidade transversal do material

radier

p = carga distribuída vertical na superfície do radier

X, Y, Z = eixos coordenados

do

do

u = deslocamento horizontal na direção X de um ponto do

radier

v = desloc.amento horizontal na direção Y de um ponto do

radier

D = rigidez a flexão do radier

1 = vao do X

radier ·na direção X

1 = vao do y radier na direção y

m, 1, k, i = pontos nodais de uma malha

6X = 1 ado na direção X de um elemento de placa

f!,y = 1 a do na direção y de um elemento de placa

M = momento fletor na direção X de um ponto da placa X

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. l 96.

M = momento fl etor na direção y de um ponto da placa y

M = Myx = momentos torsores xy de um ponto da placa

Qx = esforço cortante na direção X de um ponto da placa

Qy = esforço cortante na direção y de um ponto da placa

K = rigidez de uma mola linear adotada para fl discretiza

çao do solo

L = raio da rigidez relativa

e = raio da seçao transversal de um pi l ar circular

M e= momento fl etor tangencial

Mr= momento fl etor radial

Qr= esforço cortante radial

Y = constante de Euler

s = lado da seção transversal de um pilar quadrado