Controlador Adaptativo Backstepping a Estrutura Vari´avel
Transcript of Controlador Adaptativo Backstepping a Estrutura Vari´avel
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Tecnologia
Programa de Pos-Graduacao em Engenharia Eletrica e Computacao
Controlador Adaptativo Backstepping a Estrutura
Variavel
Kurios Iuri Pinheiro de Melo Queiroz
Orientador: Prof. Dr. Aldayr Dantas de Araujo
Natal/RN - Brasil
Novembro de 2008
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Tecnologia
Programa de Pos-Graduacao em Engenharia Eletrica e Computacao
Controlador Adaptativo Backstepping a Estrutura
Variavel
Kurios Iuri Pinheiro de Melo Queiroz
Dissertacao submetida ao Programa de Pos-
Graduacao em Engenharia Eletrica e Com-
putacao da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte como parte dos requisi-
tos para a obtencao do grau de Mestre em
Ciencias.
Orientador: Prof. Dr. Aldayr Dantas de Araujo
Natal/RN - Brasil
Novembro de 2008
Controlador Adaptativo Backstepping a Estrutura
Variavel
Kurios Iuri Pinheiro de Melo Queiroz
Dissertacao de Mestrado aprovada em 20 de Novembro de 2008 pela banca axamina-
dora composta pelos seguintes membros:
Prof. Dr. Aldayr Dantas de Araujo (orientador) DEE/UFRN
Prof. Dr. Josenalde Barbosa de Oliveira EAJ/UFRN
Prof. Dr. Ramon Romankevicius Costa COPPE/UFRJ
Aos meus pais - Ivanildo Pinheiro e Maria Luzimar
Ao meu irmao - Kurios Igor
A minha noiva - Janaına
Agradecimentos
A Deus, pelo dom da vida e por tudo o que Ele tem me proporcionado diariamente.
Aos Professores Aldayr Dantas de Araujo e Ricardo Lucio de Araujo Ribeiro, pelos
ensinamentos e orientacoes academicas.
A minha noiva Janaına, que sempre esteve ao meu lado, nos momentos de tristeza e
alegria, muitas vezes abdicando do seu proprio lazer e descanso quando assim precisei.
A todos os meus familiares e amigos, que me incentivaram e me apoiaram nessa etapa
de minha vida. Aos meus amigos Marcus, Erico, Iuri e Allyson que me acompanharam
e me apoiaram nos momentos difıceis. Ao meu amigo Marcelo Duarte, pelas calorosas
discussoes no INPE e pela atencao prestada nos momentos importantes.
Aos amigos do LACI, que me ajudaram sempre que precisei. A todos os professores do
PPGEE, que me transmitiram seus conhecimentos e experiencias profissionais durante este
perıodo. Aos funcionarios da UFRN e a todos que, direta ou indiretamente, contribuıram
para a realizacao deste trabalho.
Conteudo
Lista de Figuras iv
Lista de Tabelas v
Resumo vi
Abstract vii
Glossario de Termos viii
1 Introducao 1
1.1 Consideracoes Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Robustez a Dinamica Nao Modelada e Disturbios . . . . . . . . . . 3
1.2 Controle Adaptativo Backstepping e as Funcoes de Sintonia (Tuning Func-
tions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Abordagem Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Controle Adaptativo Backstepping por Realimentacao de Saıda . . . . . . . 6
1.5 Esquema Geral do Controle Backstepping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Controle por Modos Deslizantes (Sliding Mode Control) . . . . . . . . . . . 7
1.6.1 Solucao de Filippov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Estrutura do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 VS-ABC para Sistemas de Primeira Ordem 13
2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Controlador Adaptativo Backstepping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Controlador Adaptativo Backstepping a Estrutura Variavel . . . . . . . . . 19
i
2.4 Resumo dos Controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Resultados de Simulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.1 Simulacoes Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.2 Os Exemplos de Rohrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 VS-ABC para Sistemas com Grau Relativo Unitario 30
3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.1 Filtros de Estimacao (Filtros K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Controlador Adaptativo Backstepping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Controlador Adaptativo Backstepping a Estrutura Variavel . . . . . . . . . 36
3.4 Resumo dos Controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Resultados de Simulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Conclusoes e Consideracoes Finais 45
Apendices 47
A Conceitos sobre Estabilidade 47
A.1 Definicao de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.2 Metodo Direto de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.2.1 Funcoes Definidas Positivas e Negativas . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.2.2 Translacao da Origem do Sistema de Coordenadas . . . . . . . . . . 48
A.2.3 Teoremas sobre Estabilidade (Segundo Lyapunov) . . . . . . . . . . 49
B Producao Cientıfica Relacionada 50
Bibliografia 51
ii
Lista de Figuras
1.1 Esquema geral do controle backstepping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Superfıcie de deslizamento para o sistema de segunda ordem (1.2). . . . . . . . . . . 8
1.3 Comportamento do sistema no deslizamento ideal (a) e real (b). . . . . . . . . . . . 10
1.4 Campo vetorial no modo deslizante (solucao de Filippov). . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 Diagrama de blocos do VS-ABC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Saıda do sistema e do modelo de referencia para o controlador adaptativo backstepping
(a) e para o VS-ABC (b) na ausencia de incertezas parametricas e disturbios - sistema
de primeira ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Controle virtual para o controlador adaptativo backstepping (a) e para o VS-ABC (b)
na ausencia de incertezas parametricas e disturbios - sistema de primeira ordem. . . . . 25
2.4 Saıda do sistema e do modelo de referencia para o controlador adaptativo backstepping
(a) e para o VS-ABC (b) na presenca de uma perturbacao aditiva (d = 2) e uma variacao
de 20% nos valores nominais dos seus parametros - sistema de primeira ordem. . . . . 26
2.5 Controle virtual para o controlador adaptativo backstepping (a) e para o VS-ABC (b)
na presenca de uma perturbacao aditiva (d = 2) e uma variacao de 20% nos valores
nominais dos seus parametros - sistema de primeira ordem. . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Estimativas para os parametros da planta, na presenca (a) e na ausencia (b) de incer-
tezas parametricas e disturbios para o controlador adaptativo backstepping - sistema de
primeira ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 Saıda do sistema e do modelo de referencia (a) e as estimativas para os parametros (b)
com o controlador adaptativo backstepping na presenca de dinamica nao-modelada e o
sinal r(t) = 0.3 + 1.85sin16.1t como entrada para o modelo de referencia. . . . . . . . 28
2.8 Saıda do sistema e do modelo de referencia para o VS-ABC na presenca de dinamica
nao-modelada e o sinal r(t) = 0.3+1.85sin16.1t como entrada para o modelo de referencia. 29iii
3.1 Saıda do sistema e do modelo de referencia para o controlador adaptativo backstepping
(a) e para o VS-ABC (b) na ausencia de incertezas parametricas e disturbios - grau
relativo unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Sinal de controle para o controlador adaptativo backstepping (a) e para o VS-ABC (b)
na ausencia de incertezas parametricas e disturbios - grau relativo unitario. . . . . . . 42
3.3 Saıda do sistema e do modelo de referencia para o controlador adaptativo backstepping
(a) e para o VS-ABC (b) na presenca de uma perturbacao aditiva (d = 2) e uma variacao
de 20% nos valores nominais dos seus parametros - grau relativo unitario. . . . . . . . 43
3.4 Sinal de controle para o controlador adaptativo backstepping (a) e para o VS-ABC (b)
na presenca de uma perturbacao aditiva (d = 2) e uma variacao de 20% nos valores
nominais dos seus parametros - grau relativo unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Estimativas para os parametros da planta, na presenca (a) e na ausencia (b) de incertezas
parametricas e disturbios para o controlador adaptativo backstepping - grau relativo
unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
iv
Lista de Tabelas
2.1 Resumo dos controladores adaptativos backstepping e VS-ABC para sistemas de primeira
ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1 Filtros K para sistemas lineares SISO com grau relativo qualquer. . . . . . . . . . . . 34
3.2 Resumo dos controladores adaptativos backstepping e VS-ABC para sistemas com grau
relativo unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
v
Resumo
Neste trabalho, um controlador adaptativo backstepping a estrutura variavel (Vari-
able Structure Adaptive Backstepping Controller, VS-ABC) e apresentado para plantas
monovariaveis, lineares e invariantes no tempo com grau relativo unitario. Ao inves das
tradicionais leis integrais para estimacao dos parametros da planta, leis chaveadas sao
utilizadas com o objetivo de aumentar a robustez em relacao a incertezas parametricas e
disturbios externos, bem como melhorar o desempenho transitorio do sistema. Adicional-
mente, o projeto do novo controlador e mais intuitivo quando comparado ao controlador
backstepping original, uma vez que os reles introduzidos apresentam amplitudes direta-
mente relacionadas com os parametros nominais da planta. Esta nova abordagem, com
uso de estrutura variavel, tambem reduz a complexidade das implementacoes praticas, mo-
tivando a utilizacao de componentes industriais, tais como, FPGAs (Field Programmable
Gate Arrays ), MCUs (Microcontrollers) e DSPs (Digital Signal Processors). Simulacoes
preliminares para um sistema instavel de primeira e segunda ordem sao apresentadas de
modo a corroborar os estudos. Um dos exemplos de Rohrs e ainda abordado atraves
de simulacoes, para os dois cenarios adaptativos: o controlador backstepping adaptativo
original e o VS-ABC.
Palavras-chave: Controle Adaptativo, Robustez, Sistemas com Estrutura Variavel e
Controlador Backstepping Adaptativo.
vi
Abstract
In this work, a Variable Structure Adaptive Backstepping Controller (VS-ABC) for
monovariable, linear time invariant plants with relative degree one is presented. Instead
of traditional integral adaptive laws for estimating the plant parameters, switching laws
are used to increase robustness to parametric uncertainties and disturbances, as well as,
to improve transient response. Moreover, the new controller design is more intuitive
when compared with the original adaptive backstepping controller, since the amplitude
relays are related to the plant nominal parameters. This new approach, using variable
structure, also reduces the practical implementation complexity, encouraging the use of
industrial embedded components, such as, FPGAs (Field Programmable Gate Arrays),
MCUs (Microcontrollers) and DSPs (Digital Signal Processors). Additionally, preliminary
simulation results for an unstable first and second order system are shown in order to
corroborate the theoretical studies. A Rohrs example is also simulated for both adaptive
schemes: the adaptive backstepping controller and the VS-ABC.
Keywords: Adaptive Control, Robustness, Variable Structure Systems and Adaptive
Backstepping Controller.
vii
Glossario de Termos
APPC - Adaptive Pole Placement Controller (Controlador Adaptativo por Posiciona-
mento de Polos)
DMARC - Dual Mode Adaptive Robust Controller (Controlador em Modo Dual Adapta-
tivo Robusto)
FEA - Funcao de Estabilizacao Auxiliar
FS - Funcoes de Sintonia
ISS - Input-to-State Stability
LTI - Linear Time Invariant (Linear e Invariante no Tempo)
MIMO - Multiple Input Multiple Output (Multivariavel)
MRAC - Model Reference Adaptive Controller (Controlador Adaptativo por Modelo de
Referencia)
SG - Small Gain
SISO - Single Input Single Output (Monovariavel)
VS-APPC - Variable Structure Adaptive Pole Placement Controller (Controlador Adap-
tativo por Posicionamento de Polos e Estrutura Variavel)
VSC - Variable Structure Control (Controle por Estrutura Variavel)
VS-MRAC - Variable Structure Model Reference Adaptive Controller (Controlador Adap-
tativo por Modelo de Referencia)
VSS - Variable Structure Systems (Sistemas com Estrutura Variavel)
viii
Capıtulo 1
Introducao
1.1 Consideracoes Preliminares
Tradicionalmente, o principal problema dos sistemas adaptativos esta relacionado com
o seu desempenho transitorio, que e caracterizado como um tema de grande relevancia
em aplicacoes reais. Para os controladores adaptativos convencionais, apesar da especi-
ficacao de um modelo de referencia ou de um polinomio caracterıstico desejado em malha
fechada, os requisitos de desempenho no transitorio nem sempre sao atendidos. Isso se
deve a tais controladores nao considerarem a dinamica presente no processo de estimacao
dos parametros, o que impossibilita o projetista de assegurar limites no comportamento
transitorio do sistema. Alem disso, grandes oscilacoes iniciais sao normalmente observa-
das, uma vez que o sistema esta “aprendendo” sobre o processo atraves das estimativas
para os parametros da planta ou do controlador. Em sistemas de potencia, por exemplo,
nao e desejavel que a tensao controlada nos terminais dos geradores apresente grandes
oscilacoes por um longo perıodo de tempo, sob a prerrogativa de ocasionar grandes proble-
mas aos consumidores da rede. Com o objetivo de melhorar a performance dos sistemas
adaptativos, a tecnica de controle backstepping foi proposta por Ioannis Kanellakopoulos
[1] em colaboracao com Petar Kokotovic e Steve Morse. Posteriormente, novos resultados
para sistemas lineares e nao-lineares foram apresentados em [2], com enfase maior ao caso
nao-linear.
Comparado aos controladores adaptativos tradicionais para sistemas lineares, como
o MRAC (Model Reference Adaptive Controller) em [3] e [4], e o APPC (Adaptive Pole
Capıtulo 1. Introducao 2
Placement Controller) em [5] e [6], o controlador adaptativo backstepping em [7] garante
estabilidade na falta de adaptacao dos parametros estimados, alem de apresentar uma
boa resposta transitoria que pode ser devidamente especificada atraves de algumas cons-
tantes de projeto. Entretanto, estas novas caracterısticas sao obtidas com um aumento
na complexidade da lei de controle, e consequentemente, nos problemas associados a im-
plementacoes praticas, principalmente em sistemas embarcados. O projeto do controla-
dor corresponde a outra desvantagem, comumente presente na maioria dos controladores
adaptativos com uso de leis integrais (excesso de constantes a serem ajustadas). Tais
peculiaridades contribuem para a baixa popularidade dos controladores adaptativos no
meio industrial, cuja fase de projeto pode se tornar relativamente longa e cansativa, ate
mesmo para projetistas mais experientes.
Neste trabalho, um controlador adaptativo backstepping a estrutura variavel (Variable
Structure Adaptive Backstepping Controller, VS-ABC) e proposto, onde as leis integrais
adaptativas do controlador backstepping original sao substituıdas por leis chaveadas. Esta
nova estrategia visa agregar as melhores qualidades de cada tecnica individualmente,
em particular, o rapido transitorio e a robustez a incertezas parametricas e disturbios
externos. Ainda como resultado dessa uniao, o projeto do novo controlador foi simplificado
em relacao ao controlador backstepping original, pois a amplitude dos reles introduzidos
esta associada a parametros fısicos (parametros nominais da planta), como resistencias,
capacitancias, momentos de inercia, etc. O VS-ABC tem como meta ser um controlador
totalmente baseado em sıntese de sinais, proporcionando uma reducao na complexidade
do seu algoritmo e estimulando implementacoes praticas no ambiente industrial.
Estrategias semelhantes, combinando as tecnicas de estrutura variavel e controle adap-
tativo, foram apresentadas em [8] e [9], onde o VS-MRAC (Variable Structure Model
Reference Adaptive Controller) e o VS-APPC (Variable Structure Adaptive Pole Place-
ment Controller) foram propostos, respectivamente, nas suas versoes direta e indireta. A
versao indireta do controlador VS-MRAC (IVS-MRAC) foi apresentada em [10], cujo pro-
jeto do controlador se mostrou mais intuitivo, em virtude da relacao entre os parametros
nominais da planta e a amplitude dos reles. Um controlador em modo dual adaptativo
robusto (Dual Mode Adaptive Robust Controller, DMARC) foi ainda proposto em [11] e
[12], onde as estrategias MRAC e VS-MRAC sao interpoladas com o intuito de incorporar
Capıtulo 1. Introducao 3
as vantagens de desempenho transitorio do VS-MRAC, com as propriedades em regime
permanente do MRAC convencional (sinal de controle suave).
Ao comparar o VS-MRAC tradicional com o VS-ABC, devido as diferentes abordagens
adotadas (direta e indireta, respectivamente), observa-se que a fase de projeto e menos
intuitiva no primeiro caso, uma vez que o processo de obtencao dos limitantes para os
parametros do controlador e bastante oneroso. A abordagem indireta proporciona ainda
um processo de “estimacao” individual dos parametros do sistema, extremamente util
em situacoes onde somente parte dos parametros da planta e desconhecida. Caso exista
pelo menos um parametro desconhecido no cenario VS-MRAC, todos os parametros do
controlador devem ser “estimados”, pois o desconhecimento parcial do sistema se espalha
por toda a sua estrutura. Apesar das desvantagens mencionadas, o VS-MRAC apresenta
uma lei de controle mais simples em relacao ao VS-ABC.
Alguns trabalhos anteriores descrevem ainda estrategias baseadas na uniao entre as
tecnicas de controle backstepping e estrutura variavel [13]-[19]. Em [14], o metodo de
controle backstepping e simplificado atraves do uso de filtros com modos deslizantes para
estimacao das derivadas da saıda da planta. Em [18] e [19], os autores propuseram a
estabilizacao de uma classe de sistemas nao-lineares com incertezas, caracterizada pela
existencia de um controle por modos deslizantes de segunda ordem, em conjunto com a
tecnica de backstepping. O algoritmo de controle e composto por n − 1 passos, onde n
corresponde a ordem do sistema, semelhantes aos apresentados em [20], com um controle
por modos deslizantes desenvolvido no ultimo passo e que visa compensar as incertezas
presentes no sistema. O VS-ABC difere dos cenarios supracitados no uso da tecnica de
estrutura variavel, proposta aqui para substituir as leis de adaptacao integrais por leis
chaveadas apropriadas.
1.1.1 Robustez a Dinamica Nao Modelada e Disturbios
Motivados por questoes de ordem pratica, os autores em [21] mostraram que os algo-
ritmos adaptativos originais tornavam-se instaveis na presenca de dinamica nao modelada
e disturbios na saıda da planta. Ao longo dos ultimos anos, varios pesquisadores desenvol-
veram modificacoes adicionais nas leis adaptativas, dentre elas, a zona morta normalizada
[22], a projecao de parametros [23] e a modificacao σ [24], [25], com o objetivo de au-
Capıtulo 1. Introducao 4
mentar a robustez dos sistemas adaptativos. A principal ideia por tras das modificacoes
propostas corresponde a limitacao das estimativas dos parametros do controlador (no caso
direto) ou dos parametros da planta (no caso indireto), evitando a instabilidade do sis-
tema pelo uso das leis adaptativas integrais. A inclusao da tecnica de estrutura variavel
nos controladores adaptativos convencionais naturalmente realiza essa limitacao, uma vez
que os reles fazem parte do processo de “estimacao” dos parametros incertos, ao inves do
tradicional mecanismo de integracao.
1.2 Controle Adaptativo Backstepping e as Funcoes
de Sintonia (Tuning Functions)
A estrategia de controle adaptativo backstepping consiste na analise de alguns passos
anteriores a partir da equacao escalar da lei de controle, separada do sistema por um certo
numero de integradores. Considere o conjunto de equacoes
x1 = bx2 − ax1
x2 = x3
x3 = u,
(1.1)
onde a e b correspondem a parametros desconhecidos para um sistema de primeira ordem,
linear e invariante no tempo. O sinal de controle u esta separado do sistema por dois inte-
gradores, nao sendo possıvel a sua aplicacao direta na entrada da planta. A principal ideia
da tecnica backstepping e projetar um controlador recursivamente, considerando algumas
das variaveis de estado (nesse caso, x2 e x3) como Controles Virtuais (Virtual Controls)
e projetando para elas leis de controle intermediarias. As leis adaptativas para estimacao
dos parametros sao obtidas com base na teoria de Lyapunov, porem com a possibilidade de
sobre-parametrizacao (existencia de varias leis de adaptacao para um mesmo parametro).
Este problema foi parcialmente reduzido por Jiang e Praly em [26], e totalmente solucio-
nado por Miroslav Krstic em [27], atraves das Funcoes de Sintonia (Tuning Functions).
Elas correspondem a uma forma mais avancada do controle adaptativo backstepping, com
a vantagem da dinamica do controlador ser a menor possıvel.
Capıtulo 1. Introducao 5
1.3 Abordagem Modular
Apesar dos benefıcios apresentados pelo controle adaptativo backstepping e sua abor-
dagem atraves das funcoes de sintonia (FS), algumas desvantagens podem ser observadas.
A principal delas esta relacionada a falta de liberdade na escolha das leis de atualizacao
para os parametros. Na versao adaptativa e por FS, o controlador backstepping nao pode
ser utilizado em conjunto com as tecnicas tradicionais de estimacao, como o metodo do
gradiente ou dos mınimos quadrados. Alem disso, em sistemas com muitos parametros
desconhecidos, a ordem do controlador adaptativo backstepping e alta em virtude da
sobre-parametrizacao, enquanto que no uso das funcoes de sintonia ela e a menor possıvel.
Por outro lado, em sistemas de ordem elevada, as expressoes nao-lineares do controlador
se tornam bem complexas na abordagem por FS, cuja principal fonte de complexidade
encontra-se na interacao entre os blocos de estimacao e de controle. Tais desvantagens
foram removidas pela abordagem Modular do controlador adaptativo backstepping, pro-
posta inicialmente em [28].
Os controladores adaptativos tradicionais para sistemas lineares apresentam um impor-
tante grau de modularidade, devido ao princıpio da equivalencia a certeza: qualquer
estimador pode ser utilizado em conjunto com qualquer controlador adaptativo. Segundo
essa propriedade, caso as estimativas para os parametros da planta (ou do controlador)
convirjam para os seus valores ideais, o desempenho do controlador tendera ao apre-
sentado na situacao em que os parametros sao conhecidos. Inspirada neste cenario, a
abordagem modular do controlador adaptativo backstepping foi idealizada, porem com a
presenca de um obstaculo na aplicacao do princıpio da equivalencia a certeza aos sistemas
nao-lineares. No caso linear, as variaveis de um sistema instavel permanecem limitadas
sobre qualquer intervalo de tempo finito, o que e suficiente para que o bloco de estimacao
forneca valores adequados para os parametros desconhecidos. A situacao e bem diferente
no caso nao-linear, onde podem existir termos (x1x2, ex, x3, etc.) com uma taxa de cres-
cimento alta, e que na presenca de um pequeno erro de estimacao, podem ocasionar o
fenomeno de escape em tempo finito.
Um novo controlador com importantes propriedades de robustez, o controlador adap-
tativo backstepping ISS (Input-to-State Stability) e apresentado em [2], sendo capaz de
garantir estabilidade mesmo na falta de adaptacao dos parametros estimados. Adicio-
Capıtulo 1. Introducao 6
nalmente, esse controlador nao so garante estabilidade na presenca de erros parametricos
constantes, mas tambem na presenca de estimativas/erros que variam com o tempo. Um
segundo controlador foi ainda proposto, chamado de controlador adaptativo backstepping
SG (Small Gain) [2], reduzindo algumas das complexidades do controlador ISS, porem
com um desempenho inferior. O controlador ISS e exclusivo para sistemas nao-lineares,
pois no caso linear e sem adaptacao, ele apresenta uma estrutura nao-linear com expressoes
bem complexas, sem justificativa para o seu uso em sistemas lineares e com adaptacao.
Ja o controlador SG pode ser aplicado aos dois casos, linear e nao-linear.
1.4 Controle Adaptativo Backstepping por Realimen-
tacao de Saıda
A tecnica de controle adaptativo backstepping pode ser utilizada nas duas formas
classicas de controle: por realimentacao de estado (state-feedback), em que as variaveis de
estado estao disponıveis para medicao ou sao obtidas atraves de um observador; ou por
realimentacao de saıda (output-feedback), em que somente a saıda da planta e mensuravel.
No ultimo caso, sao utilizados os filtros K, propostos inicialmente para observadores li-
neares adaptativos por Kreisselmeier [29], e posteriormente modificados para sistemas
nao-lineares [30], [31], [32]. Uma alternativa aos filtros K corresponde a utilizacao dos fil-
tros MT, introduzidos por Marino e Tomei em [33], [34] e [35]. Ambos sao mais complexos
quando comparados aos filtros do cenario adaptativo tradicional para sistemas lineares,
apresentados em [3] e [4]. Em trabalhos futuros, o objetivo final e a utilizacao do VS-
ABC para plantas com grau relativo qualquer em conjunto com os filtros convencionais
mencionados.
1.5 Esquema Geral do Controle Backstepping
A Figura 1.1 apresenta o esquema geral da tecnica de controle backstepping, onde suas
diversas abordagens sao apresentadas. O controlador VS-ABC para plantas com grau
relativo unitario proposto neste trabalho tem como base a abordagem por funcoes de
sintonia, utilizando somente medicoes da entrada e da saıda da planta (filtros K) e com
Capıtulo 1. Introducao 7
substituicao das leis integrais do controlador backstepping original por leis chaveadas.
Nessa primeira versao, a escolha inicial das funcoes de sintonia e dos filtros K, ao inves da
abordagem modular em conjunto com os filtros tradicionais, viabilizou de forma direta a
obtencao das provas de estabilidade para o VS-ABC atraves dos algoritmos em [2] e [7].
Futuramente, a estrutura modular do controle backstepping tambem sera alvo de estudos.
Controle Backstepping
AdaptativoNão−adaptativo
ControladorSG
Modular(Tuning Functions)Funções de Sintonia
ControladorISS*
Obs.:
não−lineares.* Exclusivo para sistemas
Simples
Figura 1.1: Esquema geral do controle backstepping.
1.6 Controle por Modos Deslizantes (Sliding Mode
Control)
Desde o famoso artigo de Utkin em 1977 [36], observa-se ao longo dos ultimos anos um
crescente e significante interesse em sistemas com estrutura variavel (Variable Structure
Systems,VSS ) e controle por modos deslizantes (Sliding Mode Control, SMC ). Um dos
aspectos relevantes do SMC corresponde a sua natureza descontınua em relacao a acao de
controle. Ela e responsavel por chavear entre duas estruturas diferentes, que podem ser
inclusive instaveis, de modo a restringir a dinamica do sistema a uma superfıcie chamada
superfıcie de deslizamento. Como vantagens, os sistemas com estrutura variavel pro-
porcionam um bom desempenho transitorio, alem de robustez a incertezas parametricas
e disturbios externos. Entretanto, o sinal de controle apresenta um chaveamento em alta
frequencia, denominado de chattering, e que pode ser indesejavel em algumas aplicacoes.
Capıtulo 1. Introducao 8
A presenca de dinamica nao modelada e atrasos no chaveamento sao fatores que podem
ocasionar este fenomeno, como descrito em [37]. Existem varias formas de suavizar o sinal
de controle, dentre elas o uso de regioes lineares nas leis chaveadas [38], [39], a introducao
de filtros de saıda no sinal de controle [40], [41], e recentemente, a estrategia denominada
DMARC que combina estrutura variavel e controle adaptativo em [11] e [12].
Como exemplo de sistemas com estrutura variavel e controle por modos deslizantes,
considere o sistema de segunda ordem,
x1 = x2
x2 = a1x1 + a2x2 + u,(1.2)
em que a1 e a2 sao parametros conhecidos, porem com incertezas. Podemos definir uma
superfıcie de chaveamento s como
s ={x ∈ R
2 | s(x) = cx1 + x2 = 0, c > 0}
, (1.3)
onde se deseja que as variaveis de estado x1 e x2 (dinamica do sistema) permanecam
confinadas, ∀t > 0. De acordo com [42] e [43], se a condicao ss < 0 e satisfeita em uma
vizinhanca de s(x) = 0, os campos vetoriais representados por f+(x) e f−(x) apontam
para s nesta vizinhanca (ver Figura 1.2). Portanto, se uma trajetoria alcanca s(x), ela
e forcada a deslizar sobre esta superfıcie, definindo assim, um modo deslizante ou sliding
mode.
x2
x1
f−(x)
s(x) < 0s(x) > 0
s(x) = cx1 + x2 = 0
x(0)
s(x) < 0
f+(x)
s(x) > 0
Figura 1.2: Superfıcie de deslizamento para o sistema de segunda ordem (1.2).
Vamos analizar a expressao de ss com uso de (1.2) e (1.3),
ss = s(cx1 + x2) = s(cx2 + a1x1 + a2x2 + u). (1.4)
Capıtulo 1. Introducao 9
Definindo o sinal de controle da seguinte forma
u(x) =
⎧⎨⎩
u+(x), se s(x) > 0
u−(x), se s(x) < 0,(1.5)
e com a respectiva expressao
u = θ1x1 + θ2x2, (1.6)
obtemos
ss = s[a1x1 + (a2 + c)x2 + θ1x1 + θ2x2]. (1.7)
Utilizando as seguintes leis chaveadas para os parametros do controlador (θ1 e θ2),
θ1 = −θ1sgn(sx1)
θ2 = −θ2sgn(sx2),(1.8)
onde
sgn(sxi) =
⎧⎨⎩
1, se sxi > 0
−1, se sxi < 0,(1.9)
e em seguida substituindo (1.8) em (1.7), temos
ss = s[a1x1 + (a2 + c)x2 − θ1sgn(sx1)x1 − θ2sgn(sx2)x2]
= a1sx1 − θ1|sx1| + (a2 + c)sx2 − θ2|sx2|.(1.10)
Se θ1 > |a1| e θ2 > |a2+c|, a condicao de deslizamento ss < 0 e satisfeita de acordo com
(1.10). E interessante ressaltar que os valores dos parametros θ1 e θ2 determinam a rapidez
com que a trajetoria atinge a superfıcie de deslizamento. Quanto maior a magnitude destes
parametros, mais rapido sera o transitorio do sistema, porem resultando num esforco de
controle maior. Uma vez que a trajetoria se encontra em s, o Controle Equivalente
pode ser definido, originalmente, como o controle contınuo que deve ser aplicado para
manter a trajetoria sobre esta superfıcie, e que consequentemente, satisfaz a condicao
s = 0, de acordo com [43]. Para o exemplo em questao,
s = cx1 + x2 = cx2 + a1x1 + a2x2 + u = 0, (1.11)
e dessa forma,
ueq = −a1x1 − (a2 + c)x2. (1.12)
Normalmente, a obtencao de ueq e realizada atraves da filtragem de u por um filtro passa-
baixa com frequencia de corte suficientemente elevada.
Capıtulo 1. Introducao 10
Os parametros do sistema a1 e a2 sao conhecidos com incertezas, mas tambem podem
ser variantes no tempo. Em ambos os casos, a condicao de deslizamento pode ser satisfeita,
desde que os parametros do vetor θ sejam devidamente dimensionados, ou seja,
θ1 > supt>0|a1(t)|θ2 > supt>0|a2(t) + c|.
(1.13)
A implementacao da lei de controle (1.6) apresenta alguns problemas de ordem pratica,
dentre eles, a necessidade de medicao de todas as variaveis de estado do sistema. Isto
nem sempre e possıvel, em virtude de restricoes fısicas e/ou economicas relacionadas a
utilizacao de sensores (fragilidade e/ou alto custo). Nestes casos, uma alternativa inte-
ressante corresponde ao uso de observadores de estado, que frente a essas dificuldades,
proporciona uma reducao no numero de sensores necessarios e, consequentemente, no
custo total dos projetos de controle.
Um segundo problema esta associado diretamente a frequencia de chaveamento (fch)
dos parametros θ1 e θ2 em (1.8). Para que a trajetoria deslize idealmente sobre a superfıcie
de chaveamento s, conforme Figura 1.3(a), e necessario que a frequencia fch seja infinita.
Tal condicao e impossıvel de ser obtida na pratica, em virtude de limitacoes fısicas nos
sistemas de acionamento, provocando assim, o comportamento apresentado na Figura
1.3(b), tambem conhecido como o fenomeno de chattering.
x2
x1
x(0)
s(x) = 0
(a)
x2
x1
x(0)
s(x) = 0
(b)
Figura 1.3: Comportamento do sistema no deslizamento ideal (a) e real (b).
Capıtulo 1. Introducao 11
1.6.1 Solucao de Filippov
O uso de controladores com estrutura variavel, inevitavelmente, conduz ao problema
teorico relacionado com a definicao de solucoes para equacoes diferenciais com lado direito
descontınuo. Existem diversas solucoes para tais sistemas, porem dependendo do tipo
especıfico do problema, algumas sao mais apropriadas para descrever o comportamento
de uma dada trajetoria, do que outras. Por exemplo, no caso em que o campo vetorial
e contınuo, a solucao de Euler [44], [45] e bastante util para estabelecer a existencia
da solucao, bem como para estabelecer propriedades matematicas importantes. Dentre
as varias solucoes disponıveis, podemos citar as propostas por Hermes [46], Krasovskii
[47] e Filippov [44]. Esta ultima e particularmente adequada para o tipo de equacoes
diferenciais que surgem em sistemas com estrutura variavel. Segundo Filippov, o valor da
solucao num certo ponto pode ser determinado pelo comportamento da sua derivada em
pontos da vizinhanca.
Em cada ponto da superfıcie de descontinuidade, o campo vetorial que determina a
solucao para x = f(x) pertence ao conjunto convexo mınimo que contem todos os valo-
res de f(x), quando x varia em quase toda a vizinhanca δ (com δ → 0) do ponto sob
consideracao, exceto para um conjunto de medida nula segundo Lebesgue. Se ocorre
deslizamento sobre uma dada superfıcie s, um campo vetorial f∗ em cada ponto desta
superfıcie pode ser determinado a partir dos campos vetoriais f+ e f− direcionados con-
forme Figura 1.4. Desta maneira e obtido um fecho convexo mınimo, que e a base para
o metodo de Filippov. Uma vez que o deslizamento ideal ocorre na superfıcie de cha-
veamento, o campo vetorial permanece em um plano tangencial a superfıcie. Assim, a
equacao para o deslizamento ideal, definida de acordo com Filippov, e dada por
f ∗ = αf+ + (1 − α)f−, 0 ≤ α ≤ 1 (1.14)
onde α e um parametro que depende das direcoes e magnitudes do campos vetoriais f+,
f−, e do gradiente da funcao s(x).
1.7 Estrutura do Trabalho
Este trabalho esta organizado da seguinte forma:
Capıtulo 1. Introducao 12
x2
x1
s(x) = 0
f+
f−
f∗
Figura 1.4: Campo vetorial no modo deslizante (solucao de Filippov).
• O capıtulo 2 apresenta o desenvolvimento matematico do controlador adaptativo
backstepping e do VS-ABC para sistemas de primeira ordem, utilizando a teoria
de Lyapunov. Resultados de simulacao para um sistema instavel e para um dos
exemplos de Rohrs sao apresentados.
• O capıtulo 3 descreve a prova de estabilidade do controlador adaptativo backstepping
e do VS-ABC, com base na teoria de Lyapunov, para o caso de sistemas com grau
relativo unitario. Resultados de simulacao para um sistema de segunda ordem
instavel sao apresentados de modo a corroborar os estudos.
• O capıtulo 4 apresenta algumas conclusoes, perspectivas deste trabalho e futuras
pesquisas.
Capıtulo 2
VS-ABC para Sistemas de Primeira
Ordem
2.1 Introducao
Este capıtulo apresenta o desenvolvimento matematico dos controladores adaptativos
backstepping e VS-ABC para sistemas de primeira ordem, SISO (Single Input, Single
Output) e LTI (Linear Time Invariant). O objetivo e apresentar os princıpios basicos
da tecnica VS-ABC a partir do seu desenvolvimento e analise para uma planta escalar
com parametros desconhecidos. Simulacoes preliminares para um sistema instavel sao
ainda apresentadas, alem de testes de robustez na presenca de incertezas parametricas e
disturbios. Adicionalmente, um dos exemplos de Rohrs e apresentado com a finalidade de
se verificar a robustez do VS-ABC na presenca de dinamica nao-modelada e disturbios.
Considere o seguinte sistema generico de primeira ordem, SISO e LTI,
x1 = bu − ax1, (2.1)
onde a e b sao parametros constantes, porem desconhecidos ou conhecidos com incertezas.
Introduzindo o erro de saıda
z = x1 − yr, (2.2)
o objetivo de projeto e desenvolver uma lei de controle capaz de estabilizar (2.1), regu-
lando z a zero e mantendo todos os sinais em malha fechada uniformemente limitados.
Inicialmente, algumas suposicoes sao necessarias:
Capıtulo 2. VS-ABC para Sistemas de Primeira Ordem 14
• Hipotese H1: A referencia yr e um sinal do tipo degrau.
• Hipotese H2: O sinal do ganho de alta frequencia (sgn(b)) e conhecido.
Atraves da hipotese H1 e das equacoes (2.1) e (2.2), a derivada do erro de saıda pode
ser obtida como,
z = x1 = bu − ax1. (2.3)
Seja a lei de controle dada por
u = �u, (2.4)
onde � corresponde a uma estimativa para � = 1/b, e definindo
a = a − a
� = � − �,(2.5)
obtemos,
z = b�u − ax1 = −b�u + u − ax1. (2.6)
A partir da seguinte lei de controle auxiliar
u = −c1z + ax1, c1 > 0, (2.7)
a expressao (2.6) pode ser reescrita como
z = −c1z − b�u − ax1. (2.8)
Selecionando a respectiva candidata a funcao de Lyapunov
V =1
2z2 +
1
2γ1
a2 +|b|2γ2
�2 > 0, (2.9)
onde γ1 > 0 e γ2 > 0, sua derivada pode ser obtida da seguinte forma
V = zz +1
γ1
a ˙a +|b|γ2
� ˙� = zz − 1
γ1
a ˙a − |b|γ2
� ˙�, (2.10)
uma vez que a e � sao constantes. Substituindo (2.8) na equacao acima,
V = z (−c1z − b�u − ax1) − 1
γ1
a ˙a − |b|γ2
� ˙�
= −c1z2 + a
(−x1z − 1
γ1
˙a
)− |b|
γ2
�[γ2sgn(b)uz + ˙�
].
(2.11)
Capıtulo 2. VS-ABC para Sistemas de Primeira Ordem 15
e escolhendo as seguintes leis de adaptacao,
˙a = −γ1x1z (2.12)
˙� = −γ2sgn(b)uz, (2.13)
onde γ1 e γ2 sao os ganhos adaptativos, obtemos
V (z, a, �) = −c1z2 ≤ 0. (2.14)
O resultado acima garante que [z, a, �]T = [0, 0, 0]T e um ponto de equilıbrio estavel.
Atraves do teorema de LaSalle-Yoshizawa [2], e possıvel mostrar que z(t) → 0 quando
t → ∞.
A lei de controle proposta atraves das equacoes (2.4) e (2.7) pode apresentar novas
caracterısticas de robustez na presenca de incertezas parametricas e disturbios, a partir
da substituicao das leis integrais (2.12) e (2.13) por leis chaveadas adequadas. Considere
a seguinte candidata a funcao de Lyapunov
V =1
2z2, (2.15)
e a sua derivada atraves de (2.8),
V = zz = z(−c1z − b�u − ax1) = −c1z2 − b�uz − ax1z. (2.16)
Utilizando as leis chaveadas
a = −asgn(x1z), a > |a| (2.17)
� = −�sgn(b)sgn(uz), � >1
|b| , (2.18)
em (2.16), temos
V = −c1z2 − (�buz + �|buz|) − (ax1z + a|x1z|). (2.19)
Finalmente,
V ≤ −c1z2 < 0, (2.20)
o que garante z = 0 como um ponto de equilıbrio globalmente assintoticamente estavel,
de acordo com o teorema A.2.2 do apendice A.
Capıtulo 2. VS-ABC para Sistemas de Primeira Ordem 16
2.2 Controlador Adaptativo Backstepping
Considere o mesmo sistema de primeira ordem da secao anterior, em que a entrada de
controle e agora separada deste atraves de um integrador:
x1 = bx2 − ax1
x2 = u.(2.21)
Introduzindo as duas variaveis de erro
z1 = x1 − yr(t) (2.22)
z2 = x2 − �yr − α(t), (2.23)
o objetivo de projeto e forcar a saıda do sistema x1 a rastrear o sinal de referencia yr, re-
gulando z = [z1, z2]T a zero e mantendo todos os sinais em malha fechada uniformemente
limitados. Para o desenvolvimento do controlador adaptativo backstepping, algumas su-
posicoes sao necessarias:
• Hipotese H3: A referencia yr(t) pode ser a saıda de um modelo de referencia
com uma entrada r(t) contınua por partes, ou um sinal cuja primeira derivada e
conhecida, limitada e contınua por partes.
• Hipotese H4: O sinal do ganho de alta frequencia (sgn(b)) e conhecido.
A variavel x2 e somente uma variavel de estado e nao corresponde a entrada de controle
do sistema. Ela sera chamada de Controle Virtual (Virtual Control), como mencionado
no capıtulo anterior, e α(t) de Funcao de Estabilizacao (Stabilizing Function), pois sera
utilizada no processo de estabilizacao do sistema. A variavel z2 representa o desvio entre
o sinal aplicado na entrada do sistema (x2) e o que deveria ser aplicado (α(t)), caso o inte-
grador posicionado entre o sinal de controle e a entrada da planta nao existisse. A adicao
do termo −�yr na expressao de z2 esta relacionada com o desenvolvimento matematico
do controlador e sera explicado posteriormente.
Passo 1. A partir da equacao para o erro de saıda (2.22), a sua derivada pode ser obtida
com uso de (2.21):
z1 = x1 − yr = bx2 − ax1 − yr. (2.24)
Capıtulo 2. VS-ABC para Sistemas de Primeira Ordem 17
Substituindo (2.23) em (2.24), temos
z1 = bz2 + b�yr + bα − ax1 − yr. (2.25)
Seja a funcao de estabilizacao α(t) dada por
α = �α, (2.26)
e definindo
a = a − a
b = b − b
� = � − �,
(2.27)
obtemos,
z1 = bz2 + bz2 + b�yr + b�α − ax1 − yr
= bz2 + bz2 − b�yr + yr − b�α + α − ax1 − yr.(2.28)
Entao, a escolha
α = −c1z1 + ax1, c1 > 0, (2.29)
resulta na equacao
z1 = bz2 + bz2 − b�(yr + α) − ax1 − c1z1. (2.30)
Selecionando a seguinte candidata a funcao de Lyapunov,
V1 =1
2z1
2 +1
2γ1
a2 +1
2γ2
b2 +|b|2γ3
�2 > 0, (2.31)
com γ1 > 0, γ2 > 0 e γ3 > 0, vamos examinar a sua derivada:
V1 = z1z1 +1
γ1
a ˙a +1
γ2
b ˙b +|b|γ3
� ˙�. (2.32)
Considerando a e b constantes, por suposicao, temos
V1 = z1z1 − 1
γ1
a ˙a − 1
γ2
b˙b − |b|
γ3
� ˙�, (2.33)
e substituindo (2.30) em (2.33),
V1 = −c1z12 + bz1z2 + bz1z2 − b�(yr + α)z1 − ax1z1 − 1
γ1
a ˙a − 1
γ2
b˙b − |b|
γ3
� ˙�. (2.34)
Capıtulo 2. VS-ABC para Sistemas de Primeira Ordem 18
Passo 2. Diferenciando (2.23) e utilizando (2.21), (2.26), (2.27) e (2.29), obtemos
z2 = x2 − ∂(�yr)
∂t− α
= u − ∂(�yr)
∂t− ˙�α − � ˙α
= u − ∂(�yr)
∂t− ˙�α − �
(∂α
∂z1
z1 +∂α
∂a˙a +
∂α
∂x1
x1
)
= u − ∂(�yr)
∂t− ˙�α − �
[∂α
∂z1
z1 +∂α
∂a˙a +
∂α
∂x1
(b + b)x2 − ∂α
∂x1
(a + a)x1
].
(2.35)
Uma nova candidata a funcao de Lyapunov que inclua z2 e necessaria. Vamos utilizar
V2 = V1 +1
2z2
2 > 0, (2.36)
e em seguida analisar a sua derivada atraves de (2.34) e (2.35):
V2 = V1 + z2z2
= −c1z12 + a
(−x1z1 − 1
γ1
˙a + �z2∂α
∂x1
x1
)+ b
(z1z2 − 1
γ2
˙b − �z2
∂α
∂x1
x2
)
+z2
[bz1 + u − ∂(�yr)
∂t− �
(∂α
∂z1
z1 +∂α
∂a˙a + b
∂α
∂x1
x2 − a∂α
∂x1
x1
)− ˙�α
]
−|b|γ3
�[γ3 sgn(b)(yr + α)z1 + ˙�
].
(2.37)
Os termos a, b e � podem ser eliminados de V2 escolhendo-se as seguintes leis de adaptacao,
˙a = γ1
(−x1z1 + �z2
∂α
∂x1
x1
)(2.38)
˙b = γ2
(z1z2 − �z2
∂α
∂x1
x2
)(2.39)
˙� = −γ3 sgn(b)(yr + α)z1, (2.40)
onde γ1, γ2 e γ3 sao os ganhos adaptativos. Finalmente, a lei de controle pode ser escolhida
como
u = −bz1 +∂(�yr)
∂t+ �
(∂α
∂z1
z1 +∂α
∂a˙a + b
∂α
∂x1
x2 − a∂α
∂x1
x1
)+ ˙�α−c2z2, c2 > 0, (2.41)
de modo a tornar (2.37) uma funcao semi-definida negativa:
V2(z1, z2, a, b, �) = −c1z12 − c2z2
2 ≤ 0. (2.42)
Capıtulo 2. VS-ABC para Sistemas de Primeira Ordem 19
O resultado acima garante que [z1, z2, a, b, �]T = [0, 0, 0, 0, 0]T e um ponto de equilıbrio
estavel. Atraves do teorema de LaSalle-Yoshizawa [2], e possıvel mostrar que z(t) → 0
quando t → ∞.
O termo −�yr introduzido na expressao do erro (2.23), entre o sinal que esta sendo
aplicado na entrada da planta (x2) e o seu valor desejado (α(t)), tem como objetivo
eliminar −yr em (2.24). Este cancelamento tambem pode ser realizado atraves da funcao
de estabilizacao auxiliar (α), acrescida de yr a partir de (2.29). Entretanto, tal modificacao
provocaria a presenca de um termo adicional em (2.35), referente a derivada parcial de
α em relacao a yr, e que inevitavelmente se refletiria num acrescimo da lei de controle
proposta em (2.41). E interessante ressaltar que o nao cancelamento de −yr em (2.23)
inviabiliza a obtencao do resultado (2.42), devido a presenca de um termo na derivada da
funcao de energia, cujo sinal e indefinido.
2.3 Controlador Adaptativo Backstepping a Estru-
tura Variavel
Seguindo os passos 1 e 2 descritos na secao anterior, leis chaveadas serao propostas
para substituir as leis adaptativas integrais (2.38-2.40), utilizadas para garantir a estabi-
lidade da origem de acordo com (2.42).
Passo 1. Vamos comecar com a equacao (2.30), usando b + b = b, conforme (2.27)
z1 = bz2 − b�(yr + α) − ax1 − c1z1, (2.43)
e a seguinte candidata a funcao de Lyapunov
V1 =1
2z1
2, (2.44)
cuja derivada e
V1 = z1z1 = bz1z2 − b�(yr + α)z1 − ax1z1 − c1z12. (2.45)
Passo 2. Neste novo projeto, o termo z2 nao sera expandido da mesma forma como em
Capıtulo 2. VS-ABC para Sistemas de Primeira Ordem 20
(2.35). A partir de (2.23) e (2.21), temos
z2 = u − ∂(�yr)
∂t− α. (2.46)
Selecionando a candidata a funcao de Lyapunov (2.36) e obtendo a sua derivada com uso
de (2.45) e (2.46), temos
V2 = V1 + z2z2
= −c1z12 + bz1z2 − b�(yr + α)z1 − ax1z1 + z2
[u − ∂(�yr)
∂t− α
].
(2.47)
Utilizando-se a seguinte lei de controle
u = −c2z2 − bz1 +∂(�yr)
∂t+ α, (2.48)
e as leis chaveadas
a = −a sgn(x1z1), a > |a| (2.49)
b = b sgn(z1z2), b > |b| (2.50)
� = −� sgn(b) sgn [(yr + α)z1] , � >1
|b| , (2.51)
em (2.47), entao:
V2 = −c1z12 − c2z2
2 − (b|z1z2| − bz1z2)
−(a|x1z1| + ax1z1) −[� |(yr + α)z1| |b| + 1
b(yr + α)z1b
].
(2.52)
O novo resultado e
V2(z1, z2) ≤ −c1z12 − c2z2
2 < 0, (2.53)
garantindo que [z1, z2]T = [0, 0]T e um ponto de equilıbrio globalmente assintoticamente
estavel, de acordo com o teorema A.2.2 do apendice A.
A presenca do termo −�yr na expressao de z2 pode ser justificada por motivos seme-
lhantes aos apresentados na secao anterior. Sua inclusao em (2.23) permite a obtencao
do resultado (2.53), e adicionalmente, possibilita uma reducao na quantidade de termos
em (2.48).
Teorema 2.3.1 Seja o sistema (2.21), as equacoes de erro (2.22-2.23), as leis chaveadas
(2.49-2.51) e o sinal de controle (2.48). Se as hipoteses H3 e H4 sao satisfeitas, todos
Capıtulo 2. VS-ABC para Sistemas de Primeira Ordem 21
os sinais em malha fechada sao uniformemente limitados, e o rastreamento da saıda do
sistema x1(t), em relacao ao sinal de referencia yr(t), e alcancado assintoticamente:
limt→∞
[x1(t) − yr(t)] = 0. (2.54)
Prova. Considere a candidata a funcao de Lyapunov (2.36) para o sistema (2.21) em
malha fechada. A derivada de (2.36) pode ser obtida como uma funcao definida negativa,
atraves das equacoes de erro (2.22-2.23), das leis chavedas (2.49-2.51) e do sinal de con-
trole (2.48). Utilizando-se o teorema A.2.2 (apendice A), o resultado (2.54) e encontrado.
O sinal de controle do VS-ABC nao deve ser implementado como descrito em (2.48),
pois o carater descontınuo das variaveis �(t) e α(t) impede a obtencao de suas derivadas,
e consequentemente de u(t). Entretanto, esta dificuldade pode ser superada obtendo-se o
controle virtual a partir de
x2(t) = −∫
c2z2 dt −∫
bz1 dt + �yr + α. (2.55)
Uma vez que o integrador na entrada da planta faz parte do controlador, e nao do
sistema a ser controlado, a expressao acima pode ser utilizada, sem perdas de desempenho
no VS-ABC.
Cálculo dosErros
Cálculo daFEA
Cálculo de
Cálculo de
Planta
�
u(t)
c2
∫
c1
α
α
z1
a
b z1α
x2 x1
z2 x1
x2 αyr�
x1z1
x1
�
yr
sgn(b)
� z1
−c2z2 − bz1
�yr + α
z2
Figura 2.1: Diagrama de blocos do VS-ABC.
O diagrama de blocos do VS-ABC e apresentado na Figura 2.1, onde o bloco FEA
e responsavel pelo calculo da funcao de estabilizacao auxiliar, α. As leis chaveadas pro-
postas em (2.49-2.51) simplificam a implementacao do algoritmo de controle, uma vez
Capıtulo 2. VS-ABC para Sistemas de Primeira Ordem 22
que a “estimacao dos parametros” e obtida atraves de reles, ao inves das leis adaptativas
integrais (2.38-2.40). Por exemplo, o calculo de a em (2.49) nao requer a multiplicacao
de z1 por x1, mas somente a analise dos seus sinais, o que e uma tarefa bem simples em
sistemas digitais. Dessa forma, o numero de operacoes e reduzido, bem como o numero
de instrucoes necessarias para a execucao do algoritmo. Em sistemas embarcados, devido
as restricoes de software e hardware normalmente encontradas, dentre elas, o numero re-
duzido de perifericos e a limitacao de algumas Unidades Logicas Aritmeticas (ULA), esta
nova caracterıstica e bem interessante.
No processo de obtencao de � atraves das leis chaveadas (2.49) e (2.51), e da funcao
de estabilizacao auxiliar (2.29), observa-se a presenca de um termo com o calculo da
funcao sinal de sinal, o que pode ocasionar problemas quando a frequencia de chaveamento
e infinita. Porem, neste caso especıfico, e possıvel contornar tal situacao pela simples
manipulacao algebrica das expressoes envolvidas. Substituindo-se a equacao (2.29) em
(2.51), temos:
� = −� sgn(b) sgn [(yr + α)z1]
= −� sgn(b) sgn [(yr − c1z1 + ax1)z1]
= −� sgn(b) sgn (yrz1 − c1z21 + ax1z1) .
(2.56)
Em seguida, substituindo-se (2.49) na equacao acima,
� = −� sgn(b) sgn (yrz1 − c1z21 + ax1z1)
= −� sgn(b) sgn {yrz1 − c1z21 + [−a sgn(x1z1)]x1z1}
= −� sgn(b) sgn (yrz1 − c1z21 − a|x1z1|) .
(2.57)
2.4 Resumo dos Controladores
A Tabela 2.1 apresenta um resumo das equacoes desenvolvidas neste capıtulo para os
controladores adaptativos backstepping e VS-ABC.
Capıtulo 2. VS-ABC para Sistemas de Primeira Ordem 23
Tabela 2.1: Resumo dos controladores adaptativos backstepping e VS-ABC para sistemas de primeira
ordem.
Equacoes Comuns
Erros:
z1 = bx2 − ax1
z2 = x2 − �yr − α(t)
Funcao de Estabilizacao:
α = �α
α = −c1z1 + ax1
Controlador Adaptativo Backstepping
Lei de Controle:
u = −bz1 +∂(�yr)
∂t+ �
(∂α
∂z1
z1 +∂α
∂a˙a + b
∂α
∂x1
x2 − a∂α
∂x1
x1
)+ ˙�α − c2z2
Leis Adaptativas:
˙a = γ1
(−x1z1 + �z2
∂α
∂x1
x1
)
˙b = γ2
(z1z2 − �z2
∂α
∂x1
x2
)
˙� = −γ3 sgn(b)(yr + α)z1
VS-ABC
Lei de Controle:
u = −c2z2 − bz1 +∂(�yr)
∂t+ α
Leis Chaveadas:
a = −a sgn(x1z1), a > |a|
b = b sgn(z1z2), b > |b|
� = −� sgn(b) sgn [(yr + α)z1] , � >1
|b|
Capıtulo 2. VS-ABC para Sistemas de Primeira Ordem 24
2.5 Resultados de Simulacao
2.5.1 Simulacoes Iniciais
Considere o sistema descrito por (2.21), com b = 2 e a = −3, e um modelo de referencia
dado por
yr = 3r − 3yr. (2.58)
O comportamento do sistema na ausencia de incertezas parametricas e disturbios e apre-
sentado nas Figuras 2.2(a) e 2.2(b), respectivamente, para o controlador adaptativo backs-
tepping e para o VS-ABC. Os ganhos adaptativos utilizados no primeiro caso foram
γ1 = γ2 = γ3 = 100 e as constantes auxiliares, c1 = c2 = 18. No ultimo, as amplitu-
des dos reles foram a = 3.5, b = 2.5 e � = 1, enquanto que as constantes auxiliares,
c1 = c2 = 1. Nas duas situacoes, o sinal de entrada para o modelo de referencia foi
r(t) = 1, a condicao inicial para a planta, x1(0) = 0.4, e as demais condicoes iniciais nu-
las. Os controles virtuais sao apresentados nas Figuras 2.3(a) e 2.3(b). Observa-se que o
VS-ABC apresentou um melhor transitorio quando comparado ao controlador adaptativo
backstepping.
As Figuras 2.4(a) e 2.4(b) mostram os resultados de simulacao para o mesmo sistema,
porem com uma perturbacao na entrada da planta (d = 2), adicionada em t = 3s, e
uma variacao de 20% nos valores nominais dos seus parametros, em t = 6s. O controle
virtual para o controlador adaptativo backstepping e para o VS-ABC podem ser analisados
atraves das Figuras 2.5(a) e 2.5(b). As estimativas para os parametros da planta sao ainda
apresentadas nas Figuras 2.6(a) e 2.6(b), respectivamente, na presenca e na ausencia
de incertezas parametricas e disturbios para o controlador adaptativo backstepping. No
momento em que a perturbacao foi somada a entrada da planta, picos nas estimativas
dos parametros sao observados para o cenario adaptativo backstepping, refletindo num
acrescimo do controle virtual. Esta desvantagem nao e apresentada pelo VS-ABC, como
observado atraves das equacoes (2.49-2.51).
Capıtulo 2. VS-ABC para Sistemas de Primeira Ordem 25
0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo (Segundos)
Saíd
a
(a)
0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo (Segundos)Sa
ída
(b)
Figura 2.2: Saıda do sistema e do modelo de referencia para o controlador adaptativo backstepping (a) e
para o VS-ABC (b) na ausencia de incertezas parametricas e disturbios - sistema de primeira ordem.
0 0.5 1 1.5 2 2.5−5
−4
−3
−2
−1
0
1
Tempo (Segundos)
Con
trol
e V
irtu
al
(a)
0 0.5 1 1.5 2 2.5−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Tempo (Segundos)
Con
trol
e V
irtu
al
(b)
Figura 2.3: Controle virtual para o controlador adaptativo backstepping (a) e para o VS-ABC (b) na
ausencia de incertezas parametricas e disturbios - sistema de primeira ordem.
Capıtulo 2. VS-ABC para Sistemas de Primeira Ordem 26
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo (Segundos)
Saí
da
(a)
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo (Segundos)
Saí
da
(b)
Figura 2.4: Saıda do sistema e do modelo de referencia para o controlador adaptativo backstepping (a) e
para o VS-ABC (b) na presenca de uma perturbacao aditiva (d = 2) e uma variacao de 20% nos valores
nominais dos seus parametros - sistema de primeira ordem.
0 1 2 3 4 5 6 7 8−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
Tempo (Segundos)
Con
trol
e V
irtua
l
(a)
0 1 2 3 4 5 6 7 8−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
Tempo (Segundos)
Con
trol
e V
irtua
l
(b)
Figura 2.5: Controle virtual para o controlador adaptativo backstepping (a) e para o VS-ABC (b) na
presenca de uma perturbacao aditiva (d = 2) e uma variacao de 20% nos valores nominais dos seus
parametros - sistema de primeira ordem.
Capıtulo 2. VS-ABC para Sistemas de Primeira Ordem 27
2.5.2 Os Exemplos de Rohrs
As ultimas simulacoes tratam dos exemplos de Rohrs. Em [21], os autores demonstra-
ram que um sistema estavel de primeira ordem, em conjunto com um controlador adap-
tativo tradicional, tornou-se instavel na presenca de dinamica nao-modelada e disturbios
externos. Um dos varios exemplos propostos pelos autores sera reproduzido aqui, con-
siderando-se o controlador adaptativo backstepping e o VS-ABC. Como em aplicacoes
praticas, a presenca de dinamica nao-modelada e disturbios externos (ruıdos de medicao,
por exemplo) e muito comum, todo sistema de controle deve ser capaz de operar nestas
condicoes, sem tornar-se instavel.
Considere o sistema de primeira ordem, com um par de polos complexos conjugados
desconsiderados no processo de modelagem, descrito por
y(t) =2
(s + 1)· 229
(s2 + 30s + 229)u(t), (2.59)
um modelo de referencia dado por (2.58) e todas as condicoes iniciais nulas, exceto para
as estimativas
a(0) = 0.9, b(0) = 1.7, �(0) = 0.4. (2.60)
As Figuras 2.7(a) e 2.7(b) apresentam a saıda da planta e as estimativas para os parametros
na presenca de dinamica nao-modelada para o controlador adaptativo backstepping, onde
os ganhos adaptativos utilizados foram γ1 = γ2 = γ3 = 1, as constantes auxiliares,
c1 = c2 = 1, e a entrada do modelo de referencia,
r(t) = 0.3 + 1.85sin16.1t. (2.61)
Embora, as condicoes iniciais para as estimativas dos parametros estivessem proximas aos
valores desejados, o sistema se tornou instavel como previsto por Rohrs.
A Figura 2.8 apresenta os resultados para o VS-ABC nas mesmas condicoes do caso
anterior. Neste novo cenario, a instabilidade nao ocorreu, entretanto a saıda da planta
nao rastreou a saıda do modelo de referencia. Analisando-se os resultados, o VS-ABC
apresentou um desempenho melhor, uma vez que o controlador adaptativo backstepping
se tornou instavel na presenca da dinamica nao-modelada. As amplitudes dos reles foram
a = 3.5, b = 2.5 e � = 1, enquanto que as constantes auxiliares, c1 = c2 = 1. Todas as
condicoes iniciais foram nulas.
Capıtulo 2. VS-ABC para Sistemas de Primeira Ordem 28
0 1 2 3 4 5 6 7 8−20
−15
−10
−5
0
5
10
Tempo (Segundos)
Par
âmet
ros
a
�
b
(a)
0 1 2 3 4 5−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (Segundos)P
arâm
etro
s
b
�
a
(b)
Figura 2.6: Estimativas para os parametros da planta, na presenca (a) e na ausencia (b) de incertezas
parametricas e disturbios para o controlador adaptativo backstepping - sistema de primeira ordem.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−3
−2
−1
0
1
2
3
Tempo (Segundos)
Saíd
a
(a)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
100
Tempo (Segundos)
Parâ
met
ros
b
a
�
(b)
Figura 2.7: Saıda do sistema e do modelo de referencia (a) e as estimativas para os parametros (b)
com o controlador adaptativo backstepping na presenca de dinamica nao-modelada e o sinal r(t) =
0.3 + 1.85sin16.1t como entrada para o modelo de referencia.
Capıtulo 2. VS-ABC para Sistemas de Primeira Ordem 29
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−0.5
0
0.5
1
Tempo (Segundos)
Saíd
a
Figura 2.8: Saıda do sistema e do modelo de referencia para o VS-ABC na presenca de dinamica nao-
modelada e o sinal r(t) = 0.3 + 1.85sin16.1t como entrada para o modelo de referencia.
Capıtulo 3
VS-ABC para Sistemas com Grau
Relativo Unitario
3.1 Introducao
Considere o sistema SISO, LTI e com grau relativo unitario (ρ = n−m = 1), descrito
por
y(s) =B(s)
A(s)u(s) =
bmsm + · · · + b1s + b0
sn + an−1sn−1 + · · · + a1s + a0
, (3.1)
onde os coeficientes bm · · · b0 e an−1 · · · a0 sao constantes, porem desconhecidos ou conhe-
cidos com incertezas. Introduzindo a variavel do erro de saıda
z = y − yr(t), (3.2)
nosso objetivo e forcar y (saıda do sistema) a seguir o sinal de referencia yr, regulando
z → 0, e mantendo todos os sinais em malha fechada uniformemente limitados. Para tal,
algumas suposicoes sao necessarias:
• Hipotese H1: A referencia yr(t) pode ser a saıda de um modelo de referencia
com uma entrada r(t) contınua por partes, ou um sinal cuja primeira derivada e
conhecida, limitada e contınua por partes.
• Hipotese H2: O sinal do ganho de alta frequencia (sgn(bm)) e conhecido.
• Hipotese H3: A planta e de fase mınima, ou seja, o polinomio B(s) = bmsm +
· · · + b1s + b0 e Hurwitz.
Capıtulo 3. VS-ABC para Sistemas com Grau Relativo Unitario 31
• Hipotese H4: O grau relativo do modelo de referencia deve ser igual ao grau
relativo da planta (ρr = ρ).
As suposicoes acima sao semelhantes as apresentadas no controle adaptativo por mo-
delo de referencia tradicional.
3.1.1 Filtros de Estimacao (Filtros K)
No cenario proposto, somente medicoes da entrada e da saıda da planta serao con-
sideradas, e dessa forma, filtros de estimacao para substituir as medicoes das variaveis
de estado serao necessarios. Como mencionado, o projeto do VS-ABC sera baseado na
utilizacao dos filtros K, desenvolvidos por Kreisselmeier em [29].
O sistema (3.1), para qualquer grau relativo, pode ser representado na forma canonica
observavel
x1 = x2 − an−1y
...
xρ−1 = xρ − am+1y
xρ = xρ+1 − amy + bmu
...
xn−1 = xn − a1y + b1u
xn = −a0y + b0u
y = x1,
(3.3)
ou, mais compactamente, como
x = Ax − ya +
⎡⎢⎣ 0(ρ−1)×1
b
⎤⎥⎦ u
y = eT1 x,
(3.4)
onde
A =
⎡⎢⎢⎢⎣
0 In−1
...
0 · · · 0
⎤⎥⎥⎥⎦ , a =
⎡⎢⎢⎢⎣
an−1
...
a0
⎤⎥⎥⎥⎦ , b =
⎡⎢⎢⎢⎣
bm
...
b0
⎤⎥⎥⎥⎦ .
Capıtulo 3. VS-ABC para Sistemas com Grau Relativo Unitario 32
A representacao do sistema (3.4) pode ainda ser reescrita como
x = Ax + F (y, u)T θ
y = eT1 x,
(3.5)
onde
F (y, u)T =
⎡⎢⎣
⎡⎢⎣ 0(ρ−1)×(m+1)
Im+1
⎤⎥⎦ u −Iyn
⎤⎥⎦ , (3.6)
e o vetor de parametros
θ =
⎡⎣ b
a
⎤⎦ =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
bm
...
b0
an−1
...
a0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
θ1
...
θm+1
θm+2
...
θ2n
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
. (3.7)
Para a estimacao de estado, os seguintes filtros serao usados
ξ = A0ξ + ky
ΩT = A0ΩT + F (y, u)T ,
(3.8)
onde o vetor k = [k1 · · · kn]T e escolhido de forma que a matriz
A0 = A − keT1 , (3.9)
seja Hurwitz, e P existe tal que
PA0 + AT0 P = −I, P = P T > 0. (3.10)
Utilizando (3.8), a estimacao de estado e dada por
x = ξ + ΩT θ, (3.11)
sendo possıvel demonstrar que o erro de estimacao
ε = x − x, (3.12)
Capıtulo 3. VS-ABC para Sistemas com Grau Relativo Unitario 33
desaparece exponencialmente, uma vez que
ε = A0ε. (3.13)
Um passo adicional em (3.8) corresponde a reduzir a dinamica do filtro Ω, explorando
a estrutura de F (y, u) em (3.6). Sejam as m + 1 primeiras colunas de ΩT denotadas por
υm, · · · , υ1, υ0, e as demais n colunas por Ξ,
ΩT = [υm, · · · , υ1, υ0, Ξ] . (3.14)
Em virtude da dependencia especial de F (y, u) em relacao a u, as equacoes para as m+1
primeiras colunas de ΩT sao governadas por
υj = A0υj + en−ju, j = 0 · · ·m. (3.15)
Isto significa que, gracas a estrutura particular de A0,
Aj0en = en−j, j = 0 · · ·n − 1, (3.16)
os vetores υj podem ser obtidos do filtro,
λ = A0λ + enu, (3.17)
atraves da expressao algebrica
υj = Aj0λ, j = 0 · · ·m. (3.18)
Similarmente, Ξ, governado por
Ξ = A0Ξ − Iy, Ξ ∈ Rn×n, (3.19)
pode ser obtido a partir do filtro
η = A0η + eny, (3.20)
atraves da expressao algebrica
Ξ = − [An−1
0 η, · · · , A0η, η]. (3.21)
Finalmente, com a identidade
An0en = −k, (3.22)
Capıtulo 3. VS-ABC para Sistemas com Grau Relativo Unitario 34
o vetor ξ em (3.8) pode ser obtido de (3.20) com uso da expressao
ξ = −An0η. (3.23)
Os filtros K se encontram resumidos na Tabela 3.1. Em comparacao com os con-
troladores adaptativos tradicionais, observa-se que a ordem total dos filtros K e 2n, e
adicionalmente, pode ser reduzida para 2(n − 1), explorando o fato de que u e y estao
disponıveis para medicao. Mais detalhes podem ser encontrados em [7] e [29]
Tabela 3.1: Filtros K para sistemas lineares SISO com grau relativo qualquer.
η = A0η + eny
λ = A0λ + enu
Ξ = − [An−1
0 η, · · · , A0η, η]
ξ = −An0η
υj = Aj0λ, j = 0 · · ·m
ΩT = [υm, · · · , υ1, υ0, Ξ]
3.2 Controlador Adaptativo Backstepping
Nesta secao, o controlador adaptativo backstepping para plantas com grau relativo
unitario (ρ = 1) sera desenvolvido com base na sua descricao para o caso geral, apresentado
pelos autores em [7]. Devido a hipotese H3, o projeto do controlador fica restrito a
equacao
x1 = x2 − an−1y + bmu = x2 − yeT1 a + bmu. (3.24)
Atraves de (3.11) e (3.12), a variavel x2 pode ser obtida como
x2 = ξ2 + ΩT(2)θ + ε2
= ξ2 +[υm,2, υm−1,2, · · · , υ0,2, Ξ(2)
]θ + ε2.
(3.25)
Capıtulo 3. VS-ABC para Sistemas com Grau Relativo Unitario 35
Substituindo o resultado acima em (3.24), temos
x1 = ξ2 +[υm,2, · · · , υ0,2, Ξ(2) − yeT
1
]θ + ε2 + bmu
= ξ2 + [w1 · · ·w2n] θ + ε2 + bmu
= ξ2 + wT θ + ε2 + bmu,
(3.26)
onde w e o vetor regressor. Assim, a derivada do erro de saıda (3.2) com uso de (3.26) e
dada por
z = y − yr = x1 − yr = ξ2 + wT θ + ε2 + bmu − yr. (3.27)
Seja a lei de controle
u = �u, (3.28)
onde � e uma estimativa para � = 1/bm, e em seguida definindo
θ = θ − θ
� = � − �,(3.29)
obtemos
z = ξ2 + wT θ + ε2 + bm�u − yr
= ξ2 + wT θ + ε2 − bm�u + u − yr.(3.30)
Considere a seguinte candidata a funcao de Lyapunov
V =1
2z2 +
1
2θT Γ−1θ +
|bm|2γ
�2 +1
4d1
εT Pε > 0, (3.31)
com Γ−1 > 0, γ > 0 e d1 > 0, e sua derivada atraves de (3.10) e (3.13)
V = zz − θT Γ−1 ˙θ − |bm|
γ� ˙� − 1
4d1
εT ε. (3.32)
Substituindo (3.30) em (3.32),
V = z(ξ2 + wT θ + ε2 − bm�u + u − yr)
−θT Γ−1 ˙θ − |bm|
γ� ˙� − 1
4d1
εT ε,(3.33)
e selecionando a lei de controle auxiliar como
u = −c1z − d1z − ξ2 − wT θ + yr, c1 > 0, (3.34)
Capıtulo 3. VS-ABC para Sistemas com Grau Relativo Unitario 36
temos
V = −c1z2 − d1z
2 + zε2 − 1
4d1
εT ε
+θT Γ−1[Γwz − ˙
θ]− |bm|
γ�
[γsgn(bm)uz + ˙�
].
(3.35)
Para eliminar os termos θ e � em (3.35), as leis de adaptacao podem ser escolhidas como
˙θ = Γwz, (3.36)
˙� = −γsgn(bm)uz, (3.37)
onde Γ e γ sao os ganhos adaptativos. Entao,
V = −c1z2 − d1z
2 + zε2 − 1
4d1
εT ε
= −c1z2 − d1
(z − 1
2d1
ε2
)2
− 1
4d1
(ε12 + ε3
2 + · · · + εn2),
(3.38)
e finalmente,
V (z, θ, �, ε) ≤ c1z2 ≤ 0. (3.39)
O resultado acima garante que [z, θ, �, ε]T = [0, 0, 0, 0]T e um ponto de equilıbrio
estavel, de acordo com o teorema A.2.1 do apendice A. Novamente, atraves do teorema
de LaSalle-Yoshizawa [2], e possıvel mostrar que z(t) → 0 quando t → ∞.
3.3 Controlador Adaptativo Backstepping a Estru-
tura Variavel
A partir dos passos descritos na secao anterior, leis chaveadas serao propostas para
substituir as leis adaptativas integrais (3.36-3.37). Considere a candidata a funcao de
Lyapunov
V =1
2z2 +
1
2d1
εT Pε > 0, (3.40)
e sua respectiva derivada
V = zz − 1
2d1
εT ε. (3.41)
Capıtulo 3. VS-ABC para Sistemas com Grau Relativo Unitario 37
Substituindo (3.30) e (3.34) em (3.41), obtemos
V = −c1z2 + wT θz − bm�uz − 1
4d1
εT ε − d1z2 + zε2 − 1
4d1
εT ε
= −c1z2 + wT θz − bm�uz − 1
4d1
εT ε
−d1
(z − 1
2d1
ε2
)2
− 1
4d1
(ε12 + ε3
2 + · · · + εn2).
(3.42)
Entao,
V ≤ −c1z2 +
2n∑i=1
θiwiz − bm�uz − 1
4d1
εT ε, (3.43)
e utilizando as leis chaveadas
θi = θisgn(wiz), θi > θi (3.44)
� = −�sgn(bm)sgn(uz), � >1
|bm| , (3.45)
em (3.43), temos
V ≤ −c1z2 − 1
4d1
εT ε +2n∑i=1
(θiwiz − θi|wiz|)
−bm(�uz + �|uz|).(3.46)
O novo resultado e
V ≤ −c1z2 − 1
4d1
εT ε < 0, (3.47)
garantindo que [z, ε]T = [0, 0]T e um ponto de equilıbrio globalmente assintoticamente
estavel, uma vez que (3.47) e uma funcao definida negativa.
Teorema 3.3.1 Seja o sistema (3.1), os filtros da Tabela 3.1, a equacao do erro de saıda
(3.2), as leis chavedas (3.44-3.45) e o sinal de controle dado por (3.28) e (3.34). Se as
hipoteses H1-H4 sao satisfeitas, todos os sinais em malha fechada sao uniformemente
limitados, e o rastreamento da saıda do sistema y(t), em relacao ao sinal de referencia
yr(t), e alcancado assintoticamente:
limt→∞
[y(t) − yr(t)] = 0. (3.48)
Prova. Considere a candidata a funcao de Lyapunov (3.40) para o sistema (3.1) em
malha fechada. A derivada de (3.40) pode ser obtida como uma funcao definida negativa,
Capıtulo 3. VS-ABC para Sistemas com Grau Relativo Unitario 38
atraves da equacao do erro (3.2), das leis chavedas (3.44-3.45) e do sinal de controle dado
por (3.28) e (3.34). Utilizando-se o teorema A.2.2 (apendice A), o resultado (3.48) e
encontrado.
Assim como no caso do VS-ABC para sistemas de primeira ordem, o uso das leis cha-
veadas (3.44-3.45) simplifica o algoritmo de controle, bem como reduz a quantidade de
calculos envolvidos na obtencao das “estimativas”para os parametros da planta. Como
exemplo, o calculo de θi em (3.44) nao requer a multiplicacao de wi por z, mas somente a
analise dos seus sinais. Ainda no processo de obtencao das “estimativas”, de forma seme-
lhante ao que acontece no capıtulo anterior com �, observa-se a presenca da funcao sinal de
sinal, de acordo com as expressoes (3.34), (3.44) e (3.45). Novamente, e possıvel contornar
tal situacao pela simples manipulacao algebrica das expressoes envolvidas. Substituindo-
se a equacao (3.34) em (3.45), temos:
� = −�sgn(bm)sgn(uz)
= −�sgn(bm)sgn[(−c1z − d1z − ξ2 − wT θ + yr)z
]
= −�sgn(bm)sgn(−c1z2 − d1z
2 − ξ2z − wT θz + yrz)
= −�sgn(bm)sgn(−c1z2 − d1z
2 − ξ2z − w1θ1z − · · · − w2nθ2nz + yrz).
(3.49)
Em seguida, substituindo-se (3.44) na equacao acima,
� = −�sgn(bm)sgn[−c1z
2 − d1z2 − ξ2z − θ1sgn(w1z)w1z − · · · − θ2nsgn(w2nz)w2nz + yrz
]= −�sgn(bm)sgn(−c1z
2 − d1z2 − ξ2z − θ1|w1z| − · · · − θ2n|w2nz| + yrz).
(3.50)
3.4 Resumo dos Controladores
A Tabela 3.2 apresenta um resumo das equacoes desenvolvidas neste capıtulo para
os controladores adaptativos backstepping e VS-ABC. E interessante ressaltar que as ex-
pressoes para a lei de controle, (2.4) e (2.7), para as leis adaptativas, (2.12) e (2.13), e
para as leis chaveadas, (2.17) e (2.18), apresentadas na introducao do capıtulo anterior,
podem ser obtidas a partir das equacoes do VS-ABC para sistemas com grau relativo
unitario.
Capıtulo 3. VS-ABC para Sistemas com Grau Relativo Unitario 39
Tabela 3.2: Resumo dos controladores adaptativos backstepping e VS-ABC para sistemas com grau
relativo unitario.
Equacoes Comuns
Erro de Saıda:
z = y − yr
Sinal de Controle:
u = �u
u = −c1z − d1z − ξ2 − wT θ + yr
Vetor Regressor:
wT = [w1 · · ·w2n]
=[υm,2, · · · , υ0,2, Ξ(2) − yeT
1
]
Filtros K: ver tabela 3.1
Controlador Adaptativo Backstepping
Leis Adaptativas:˙θ = Γwz
˙� = −γsgn(bm)uz
VS-ABC
Leis Chaveadas:
θi = θisgn(wiz), θi > θi
� = −�sgn(bm)sgn(uz), � >1
|bm|
Capıtulo 3. VS-ABC para Sistemas com Grau Relativo Unitario 40
3.5 Resultados de Simulacao
Nesta secao, simulacoes para uma planta instavel de segunda ordem com grau rela-
tivo unitario serao apresentadas, alem de testes de robustez na presenca de incertezas
parametricas e disturbios. Considere o sistema descrito por
y(s) =s + 1
s2 − 3s + 2u(s), (3.51)
e um modelo de referencia por
yr(s) =s + 1
s2 + 4s + 4r(s). (3.52)
Os filtros K foram implementados como descritos na Tabela 3.1
η = A0η + e2y
λ = A0λ + e2u(3.53)
Ξ = − [A0η, η]
ξ = −A20η
υ1 = A0λ
υ0 = λ
ΩT = [υ1, υ0, Ξ] ,
(3.54)
onde a matriz
A0 =
⎡⎣ −k1 1
−k2 0
⎤⎦ , (3.55)
e Hurwitz, devido a escolha do vetor
k = [k1 k2]T = [2 1]T . (3.56)
O comportamento do sistema na ausencia de incertezas parametricas e disturbios e
apresentado nas Figuras 3.1(a) e 3.1(b), respectivamente, para o controlador adaptativo
backstepping e para o VS-ABC. Os ganhos adaptativos utilizados no primeiro caso foram
Γ =
⎡⎣ 100 0
0 100
⎤⎦ , γ = 100, (3.57)
Capıtulo 3. VS-ABC para Sistemas com Grau Relativo Unitario 41
e as constantes auxiliares, c1 = d1 = 18. No segundo, as amplitudes dos reles foram
θ1 = 1.5, θ2 = 1.5, θ3 = 3.5, e θ4 = 2.5, enquanto as constantes auxiliares, c1 = d1 = 18.
Nas duas situacoes, o sinal de entrada para o modelo de referencia foi r(t) = 1, a condicao
inicial da planta, x1(0) = 0.15, e demais condicoes iniciais nulas. Os sinais de controle
sao apresentados nas Figuras 3.2(a) and 3.2(b). Observa-se que o VS-ABC apresentou
um melhor transitorio, quando comparado ao controlador adaptativo backstepping.
As Figuras 3.3(a) e 3.3(b) apresentam os resultados de simulacao para o mesmo sis-
tema, entretanto com a presenca de um disturbio aditivo na entrada da planta (d = 2),
no instante t = 7s, e uma variacao de 20% nos valores nominais dos seus parametros,
em t = 13s. O sinal de controle para o controlador adaptativo backstepping e para
o VS-ABC podem ser analisados atraves das Figuras 3.4(a) e 3.4(b). As estimativas
para os parametros da planta sao ainda apresentadas nas Figuras 3.5(a) e 3.5(b), res-
pectivamente, na presenca e na ausencia de incertezas parametricas e disturbios para o
controlador adaptativo backstepping. Nota-se que o VS-ABC novamente apresentou um
melhor desempenho, quando comparado ao cenario backstepping original.
Capıtulo 3. VS-ABC para Sistemas com Grau Relativo Unitario 42
0 2 4 6 8 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Tempo (Segundos)
Saí
da
(a)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Tempo (Segundos)S
aída
(b)
Figura 3.1: Saıda do sistema e do modelo de referencia para o controlador adaptativo backstepping (a) e
para o VS-ABC (b) na ausencia de incertezas parametricas e disturbios - grau relativo unitario.
0 2 4 6 8 10−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
Tempo (Segundos)
Sin
al d
e C
ontr
ole
(a)
0 2 4 6 8 10−6
−4
−2
0
2
4
6
Tempo (Segundos)
Sin
al d
e C
ontr
ole
(b)
Figura 3.2: Sinal de controle para o controlador adaptativo backstepping (a) e para o VS-ABC (b) na
ausencia de incertezas parametricas e disturbios - grau relativo unitario.
Capıtulo 3. VS-ABC para Sistemas com Grau Relativo Unitario 43
0 5 10 15 200
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Tempo (Segundos)
Saí
da
(a)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Tempo (Segundos)
Saí
da
(b)
Figura 3.3: Saıda do sistema e do modelo de referencia para o controlador adaptativo backstepping (a) e
para o VS-ABC (b) na presenca de uma perturbacao aditiva (d = 2) e uma variacao de 20% nos valores
nominais dos seus parametros - grau relativo unitario.
0 5 10 15 20−3
−2
−1
0
1
2
3
Tempo (Segundos)
Sin
al d
e C
ontr
ole
(a)
0 5 10 15 20−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Tempo (Segundos)
Sin
al d
e C
ontr
ole
(b)
Figura 3.4: Sinal de controle para o controlador adaptativo backstepping (a) e para o VS-ABC (b) na
presenca de uma perturbacao aditiva (d = 2) e uma variacao de 20% nos valores nominais dos seus
parametros - grau relativo unitario.
Capıtulo 3. VS-ABC para Sistemas com Grau Relativo Unitario 44
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
Tempo (Segundos)
Par
âmet
ros
θ4
θ2
θ3
θ1
(a)
0 2 4 6 8 10−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Tempo (Segundos)
Par
âmet
ros
θ4
θ3
θ1
θ2
(b)
Figura 3.5: Estimativas para os parametros da planta, na presenca (a) e na ausencia (b) de incertezas
parametricas e disturbios para o controlador adaptativo backstepping - grau relativo unitario.
Capıtulo 4
Conclusoes e Consideracoes Finais
Neste trabalho, um controlador adaptativo backstepping a estrutura variavel (Varia-
ble Structure Adaptive Backstepping Controller, VS-ABC) foi proposto para plantas com
grau relativo unitario. Simulacoes para um sistema de primeira e segunda ordem foram
apresentadas com o objetivo de corroborar os estudos teoricos. Como previsto, a uniao
entre as duas tecnicas supracitadas proporcionou uma melhoria no transitorio e na robus-
tez do sistema a incertezas parametricas e disturbios, quando comparado ao controlador
adaptativo backstepping original. E interessante ressaltar que nos exemplos apresenta-
dos, o VS-ABC rejeitou as perturbacoes na entrada da planta, bem como as variacoes
parametricas. Muito embora ambos possuam o mesmo numero de parametros, o projeto
do VS-ABC se mostrou mais intuitivo, uma vez que o processo de sintonia das constantes
auxiliares e dos ganhos adaptativos necessitou de varios testes preliminares para o cenario
backstepping. Adicionalmente, o algoritmo de controle tambem foi simplificado devido as
leis chaveadas propostas.
Algumas perpectivas e trabalhos futuros sao:
• Aplicacoes praticas: controle de velocidade de motores de inducao, controle de
corrente em sistemas de acionamento e controle de processos.
• Uso da tecnica adaptativa backstepping a estrutura variavel em observadores.
• Estimacao de fluxo em maquinas de inducao atraves de observadores adaptativos
backstepping a estrutura variavel.
• Extensao do controlador para uma classe de sistemas nao-lineares.
Capıtulo 4. Conclusoes e Consideracoes Finais 46
• Desenvolvimento do VS-ABC com base na abordagem modular do controle backs-
tepping.
• Generalizacao para sistemas de ordem e grau relativo qualquer.
• Suavizacao do sinal de controle atraves de funcoes sigmoides, regioes lineares, etc.,
proporcionando uma consequente reducao na amplitude do sinal de controle.
• Comparacao entre o VS-ABC e controladores semelhantes: VS-MRAC e VS-
APPC.
Apendice A
Conceitos sobre Estabilidade
A.1 Definicao de Estabilidade
Considerando sistemas descritos por equacoes diferenciais nao-lineares da forma
x = f(x), x(0) = x0 (A.1)
onde f e uma funcao vetorial nao-linear n × 1, x e um vetor de estado n × 1 e cada
elemento deste vetor e uma variavel de estado. Um valor particular do vetor de estado e
tambem chamado de ponto, porque ele corresponde a um ponto no espaco de estado. O
numero de variaveis de estado n e chamado ordem do sistema. Uma solucao de x(t) para
(A.1) corresponde a uma curva no espaco de estado com t variando de zero a infinito.
Definicao A.1.1 Um estado x∗ e dito ser um ponto de equilıbrio do sistema descrito
por (A.1) se f(x∗) = 0, ou seja, se x(0) = x∗ implica x(t) = x∗, para todo t ≥ 0.
Definicao A.1.2 O ponto de equilıbrio x∗ e dito ser estavel se para um ε > 0 existe um
δ(ε) tal que |x0 − x∗| < δ implica |x(t; x0) − x∗| < ε para todo t ≥ 0. Caso contrario, o
ponto de equilıbrio e instavel.
Definicao A.1.3 O ponto de equilıbrio x∗ e dito ser assintoticamente estavel se este
e estavel e se existe um δ(ε) tal que |x0 − x∗| < δ implica limt→∞ |x(t; x0) − x∗| = 0.
Definicao A.1.4 O conjunto de todos x0 ∈ Rn tal que x(t; x0) → x∗ quando t → ∞ e
chamado regiao de atracao do ponto de equilıbrio x∗.47
Apendice A. Conceitos sobre Estabilidade 48
Definicao A.1.5 O ponto de equilıbrio x∗ de (A.1) e globalmente assintoticamente
estavel se este e estavel e cada solucao de (A.1) tende a x∗ conforme t → ∞ (isto e, a
regiao de atracao de x∗ e todo o Rn).
A.2 Metodo Direto de Lyapunov
Este metodo utiliza funcoes de energia para a verificacao de estabilidade do sistema. Se
a energia total de um sistema e continuamente dissipada, seja este sistema linear ou nao-
linear, tende a convergir para um ponto de equilıbrio. Portanto, pode-se tirar conclusoes
sobre a estabilidade de um sistema observando a variacao de uma funcao de energia.
A.2.1 Funcoes Definidas Positivas e Negativas
Definicao A.2.1 Uma funcao V (x) e definida positiva (V (x) > 0) em uma vizinhanca
de x = 0, se V (x) > 0, ∀x tal que ‖x‖ < ε, ε > 0, x = 0 e V (0) = 0.
Definicao A.2.2 Uma funcao V (x) e semidefinida positiva (V (x) ≥ 0) em uma vizi-
nhanca de x = 0, se V (x) ≥ 0, ∀x tal que ‖x‖ < ε, ε > 0 e V (0) = 0.
Definicao A.2.3 Uma funcao V (x) e definida negativa (V (x) < 0) em uma vizinhan-
ca de x = 0, se V (x) < 0, ∀x tal que ‖x‖ < ε, ε > 0, x = 0 e V (0) = 0.
Definicao A.2.4 Uma funcao V (x) e semidefinida negativa (V (x) ≤ 0) em uma vi-
zinhanca de x = 0, se V (x) ≤ 0, ∀x tal que ‖x‖ < ε, ε > 0 e V (0) = 0.
A.2.2 Translacao da Origem do Sistema de Coordenadas
Seja x∗ um ponto de equilıbrio de (A.1), ou seja, f(x∗) = 0. Para analisar o compor-
tamento do sistema em uma vizinhanca de x∗, e feita a seguinte translacao do ponto de
equilıbrio para a origem
x = x − x∗
˙x = x − x∗ = x
˙x = f(x + x∗)
Ponto de equilıbrio: x = 0 (para x = 0 ⇒ ˙x = f(x∗) = 0).
Apendice B. Producao Cientıfica Relacionada 49
A.2.3 Teoremas sobre Estabilidade (Segundo Lyapunov)
Teorema A.2.1 Se para o sistema (A.1), existe uma funcao V (x) continuamente dife-
renciavel tal que
(i) V (x) > 0
(ii) V (x) ≤ 0
entao x∗ = 0 e estavel.
Teorema A.2.2 Se para o sistema (A.1), existe uma funcao V (x) continuamente dife-
renciavel tal que
(i) V (x) > 0
(ii) V (x) < 0
entao x∗ = 0 e assintoticamente estavel.
Teorema A.2.3 Se para o sistema (A.1), existe uma funcao V (x) continuamente dife-
renciavel tal que
(i) V (x) > 0
(ii) V (x) ≤ 0
(iii) V (x) → ∞ quando ‖x‖ → ∞
entao x∗ = 0 e globalmente assintoticamente estavel.
Teorema A.2.4 (Teorema de LaSalle) Se para o sistema (A.1), existe uma funcao
V (x) continuamente diferenciavel tal que
(i) V (x) > 0
(ii) V (x) ≤ 0
(iii) nao existe x = 0 tal que V (x) = 0, para todo t ≥ 0
entao x∗ = 0 e assintoticamente estavel.
Apendice B
Producao Cientıfica Relacionada
Para evidenciar a divulgacao dos resultados obtidos e relacionados a esta dissertacao
de mestrado, seguem abaixo alguns artigos publicados ou submetidos ate o momento:
1. A proposta inicial do controlador VS-ABC foi apresentado em [48] e [49], para
o caso de plantas de primeira ordem, objetivando introduzir os conceitos basicos
desta nova estrategia de controle. Simulacoes para um sistema instavel (com e sem
perturbacao) e para um dos exemplos de Rohrs foram apresentadas.
2. O VS-ABC foi proposto para plantas com grau relativo unitario em [50], utilizando
somente medicoes da entrada e da saıda da planta. Para tal, os filtros K foram em-
pregados, em substituicao a medicao das variaveis de estado do sistema. Simulacoes
para uma planta instavel de segunda ordem, na presenca de uma perturbacao aditiva
constante em sua entrada, foram ainda incluıdas neste trabalho.
50
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